ESTADISTICA ESPAÑOLA Núm. 1 1 5, 1987, págs. 5 a 39

U n esq uema m ixto d e m uestreo con probabilidades desiguates Por J. L. SANCHEZ-CRESPO y J.M. GABEIRAS Correspondencia: J. L. Sánchez-Crespo - Villanueva, 20 - 28001-Madrid RESU1'VIEN Desde un punto de vista teórico, el esquema mixto de muestreo llena una laguna entre los procedimientos clásicos del muestreo probabilistico con probabilidades desiguales con y sin reposicián. En la práctica de encuestas constituye un procedimiento útil que puede proporcionar una reducción substancial en la varianza del estimador. En particular para r^2, en cada estrato, la reducción potencial es similar a la obtenida con el muestreo sin reposición sobre el muestreo con reposición en el caso de probabilidades iguales.

La selección de la muestra es muy sencilla y se dispone de un estimador insesgado y no negativo de la varianza cuyo cálculo es muy simple. La probabilidad incondicional de obtener una unidad es igual a la probabilidad inicial, en cualquier selección. Esta propiedad es importante en los esquemas de muestreo que ineluyen rotación de la muestra. En el muestreo bietápico se pueden reducir ambas componentes de la varianza, La aplicación de un modelo de superpoblación indica un valor esperado para la varianza igual al de Horwitz y Thompson y siernpre menor que el Hansen y Hurwitz. Palabras clave: Muestreo con probabilidades desiguales. Esquemas de rotación. Modelos de superpoblacicín, Esquemas de Hansen y Hurwitz, y de Horvitz y Thornpson. Clasi^cacián A1^IS 62D05

EST.1[)ISTIE^A ESPAti()L.A

0.

ANTECE©ENTES HISTORICOS DEL ESQUE:viA :vIIXTO

Consideraremos el prablema de estimar el total X en una población finita de N unidades de muestreo, para las que se conocen los valores de una variable auxiliar M; altamente correlacionada con la X, . En el muestreo con probabilidades desiguales aparecen dos alternativas clásicas bien conocidas: u^ Muestreo con reposición, debido n a Hansen y Hurwitz ( i 943) con el estimador ^ f,,^ _^ X; 1,u, donde ^u; = nP; es el r

número esperado de apariciones de la unidad t^, en una muestra de n unidades. h1 Muestreo sin repasición, debido a Horwitz y Thompson (1952) con el estimador ^Zf^^^ _^ X, 1^, siendo n, la probabilidad de inclusión de la unidad u, en la muestra. Can los pro^edimientos de selección debidos a Brewer (1963), Durbin (1967) y otros, ^t; = nP;. Brewer y Hanif (1983), presentan una lista de 50 procedimientos en el muestreo con probabilidades desiguales. No obstante en la página ó dicen: «^:1 muc^strc^^^ cvn rc^pusicicín c^.s menos ^feciE^ntc^ yue cic-^rtc^s^ e.syuc^mus ultE^rnutiv^^.s' ^rc^puc^.stc^.s r^c^.^^cle c^ntunec^.s puru el muestr^c^ .S^in re^^^.sieic^n. A^e.^^ur t,l^ E'.S'1(^ ulkun^^.s ^7rE'Jic^rc^n utiliLur c^l rrti-^c^.^'trc^v c{^n repusicivn». Entre las razones que alegan figuran: la selección de la muestra, la estimación insesgada de la varianza, as^ coma otros aspectos de los diseños polietáticos son comparativamente más simples y fáciles de aplicar. Queremos señalar que la idea de Sánchez-Crespo (1977), con las probabilidades gradualmente variables y su extensión al esquema mixto con la colaboración de Gabeiras, ha tratado fundamentalmente de mantener las ventajas del método de Hansen y Hurwitz, reduciendo al mismo tiempo la varianza. Esta reducción puede en algunos casos ser i m portan te.

Con relación al trabajo realizado entre los años 1943 y 1952 queremos mencionar los siguientes nombres: C^oodman y Kish (1950), Lahiri (1951), Madow { 1949), Midzuno (1950) y Narain (1951). En una carta reciente J. N. K. Rao hizo mención sobre el trabajo realizado en esta dirección por Sethi en 19b2. Me sorprendió ya quc cuando en 1977 presenté mi artículo en Nueva Delhi nadie mencionó dicho trabajo a pesar de cstar presentes durante la discusión más de 5^ est^tdísticos, especialistas en muestrea, cíc^ la lndia. E1 presidente de la reunión fue Hartley y a ella asistieron Azorin, E3rcwer, F'ellegi, Hansen y Kish, entrc otros que no recuerdo. C'onsulté algunos lihros hien conocidos camo los de C'ochran, Kish y Murthy. Solo en este último encontré cl cnt^^que de las suh-unidacies de Sethi, páginas 187-88, pero sin mención dc la varianl;i del estimador dcl total en cl caso cíel muestreo sin reposición. Es posihlc que cstc^ tic clchti al hccho dc yuc en las pvcas líneas que en las páginas 219-20 de su artículo Sethi dedica al muestreo sin reposición, la fórmula (3.2) para la v^irianla ^ip^Irc^c c:c^^^ c^c^ti ^•rr^^ ^(X RHC^

No obstante este orden cambia en el ejemplo siguiente. Ejempio 2

Supongamos ahora los valores X; (40; 42; 43) , M; (120; 125; 130} , P; (0,320(^; 0,3333; 0,34b7), M=375, b=120, y n=2. Los resultados obtenidos son: ^(RHH) = 0,3351, V(^HT^B) = 0,1577, V(^RNC - 0,2234, y V(^scc) = 0,1774. Vemos que en este ejemplo el estimador de Brewer ha pasado al primer lugar con el orden siguiente: V (^`tfN) } V (^RHC} ^` V (RSCG) ^ V (^fI T ^ g)

quedando el esquema rnixto en segundo lugar en ambos ejemplos.

8.

DISCUSION StJBRE EL VALOR DE b

De acuerdo con lo expuesto en la sección segunda sabemos que, para un tamar^o dado de la muestra, la probabilidad de que la unidad u; pertenezca n veces a la misma viene dada por la expresión: P(e; = n) = W(M'' b' n) _ W(M, b, n)

M^(M^ - b)..........(M; -(n - 1) b) M(M - h)............(M -(n - 1) b)

con la condición M; -(n - l) h >0, correspondiendo fi

= mr'n . M; n-1

a la mínima varianza. Por otro lado sabemos que: G= 1-

M - nh

M-h

M^, = _______ n-1 .

ES7^AL)^STIC`A ESP^^()LA

Por lo tanto la g,anancia en varianza sobre el procedimiento de Hansen y Hurwitz, para un tamaño medio M f N= M^, es:

G =^

n-1 N(n- 1)- 1

que para n= 2 proporciona la misma ganancia que el muestreo sin reposición sobre el muestre© con reposición en el muestreo con probabilidades iguales. En el caso de que los valores de Ní, difieran considerablemente de dicho tamaño medio se debería utiiizar una estratificación conveniente tratando de encontrar tamaños similares en cada estrat©. El número de estratos debería ser igual o próximo a n/2, obteniéndose dos unidades por estrato. Ejerrtplo 3 Consideremos ahora el siguiente conjunta de valores: X; (40; 42; 43; 46; 48; 50; 55; 58; 60) con tamaños: M; (120; 125; 130; 150; 160; 165; 200; 215; 220). Par n=6 el valor de b seria 120/5 = 24 y la ganancia en precisión sobre el esquema de Hansen y Hurwitz un 8,2%. Si ahora consideramos la población dividida en n/2 = 3 estratos obtendríamos: los valores de b(120; 150; 200) y los de M(375; 475; 635) con el siguiente cuadro de varianzas. Estrato h

V(^St)

v^^NN)

V(^scc)

nn

1 2 3

3,5 6,5 9, 5

0,335 0,810 0,900

0,177 0,436 0,486

2 2 2

19,0

2,045

1,099

6

Varianza global

Vemos por lo tanto que con la estratificación, tomando dos unidades por estrato, tenemos una ganancia sobre el método de Hansen y Hurwitz del 46% con el mismo tamaño de rnuestra, en vez de( 8,2%. Sobre el muestreo aleatorio simple estratificado, V(^.s^), la ganancia en este caso es del 94°!0.

UN FSC;^UEMA MIXTO DE Ml^`ESTREU CON PROHABII_IDADES DESI^áUAL_ES

9.(*)

^ ^

RAZON DE UN LIMITE SUPERIOR PARA G SOBR^; (nh - l)/(N^, - 1).

La fórmula 1 de la sección 8, puede ser considerada com© la máxima ganancia potencial del esquema rnixto, que puede ser obtenida en cada estrato, respecto al esquerna de Hansen y Hurwitz. En la siguiente tabla figuran los cocientes de dicha ganancia potencial rnáxirna, a la que se obtiene en el muestreo aleatorio simple sin reposición respecto al con reposición. Tabla l. Razón de GmQ,,^ a (nh - 1) /(Nh - 1) (Puede verse facilmente que la razón es algebraicamente igual a: (N^, - 1) / (Nh ( nh - 1) - 1).

nh 4

2

3

3 4

1,00 1,00

0,43

s

l,ao

0,44

0,29

ó 7 8 9 10 20

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

0,4s 0,46 0,47 0,47 0,49 0,49

0,29 0,30 0,30 0,31 0, 31 0,32

NN

b

10

0,18 0,18 0,18 0,18 0,19

0,10

Esta tabla confirma para nh = 2 una mejora potencial substancial del esquema mixto sobre el de Hansen y Hurwitz en cada estrato. Esta ganancia seria idéntica a la que se obtendria con el muestreo aleatorio simple sin reposición sobre el mismo esquema con reposición, en el caso de probabi lidades iguales. La ganancia se reduci ría a la m itad para n=3, y a un tercio para n=4. Cuando N es grande la razón se aproxima a 1 /(nh - 1). La tabla 2 presenta los valores de Gm^X para varios tamaños de muestra y estrato. En ella vemos que para un valor fíjo de N^, los valores de G,^ú^ decrecen lentarnente al aumentar nh cuando Nh es menor o igual a cinco.

(*) E1 contenido de esta sección se debe a una sugerencia de I. Fellegi.

rsT ,^nisT^c^,A ^:sP^^c^t_^ "I'abla 2.

Valores de Gm^_x para varios valores de Nh y nh

r=h ^

3

3 4

0, 50 0,33

0,29

s

O,ZS

0,22

0,21

b 7 8 9

0,20 0,17 0,14 0,12 0,05

0,18 0,15 0,13 0,12 0,05

0,18 0,15 0,13 0, l 2 0,05

20

10.

6

4

2

^

10

--

-0,05

0,15 O,i3 0,1 1 0,05

EL ESQUEMA MIXTO EN MUESTItE(J BIETAPICO

Consideraremos los dos ^asos siguientes: a) Las unidades de primera etapa son elegidas con el esquema mixto. En las unidades primarias de ia muestra se realiza un listado y las unidades de segunda etapa se seleccionan utilizando muestrec^ sxn reposición y probabilidades iguales. ,. „ ^; El estimador del total es: ^scG = T-` n P;

^; = M; z;

con

A partir de la varianza incondicional (teorema de Madow) tenemos: 1

M-nó ^t^SCGj ^

M-ó

^

1

2

^(^NH^ + -"` ^ P; n ^

M; - m;

S;

M;

m;

h) En ambas etapas se utilizan conglomerados compactos, aplicando el método mixto.

El estimador es:

,^

^

^sC^G =

^ = donde ^; _ ^ X;^^ / n'P; r n p; i

^.

^^ ,

es el estimador del totai para la i-ésima unidad primaria de la muestra.

l1N E:SQUFMA M(X^TC) I7E Mt.'ESTREU C^`C)ti PRC)BABILIDA[^ES DESIGI.'.ALES

19

De la expresión de la varianza incondicional ^ ^

V(^) = V(^) +

^ V2(^;) / nP;

se obtiene: ^ M- n b V(^sr^^) = V(^HN) ♦

w M; - n; b; ^

^ (^^^x / i) / n P;

donde M; , n; y b; tienen el mismo significado, dentro de la unidad de primera etapa muestral, que M, n y b en el resto del texto. Una extensitín al muestreo trietápico gradual (b = 1) puede verse en A. Galero (1982). Ejemplo ilustrativo Supongamos una población formada por tres conglomerados compactos en un estrato dado. Los conglomerados pUdrían ser, por ejemplo, manzanas de una ciudad. Las unidades de segunda etapa podrían ser segmentos de aproximadamente 10 viviendas. Los tamarlos de ias unidades de primera etapa serían el número de segmentos dentro de ellas.

Supondremos también que no es conveniente realizar el muestreo de segunda etapa a partir de listados, y que se dispone de mapas y planos con suficiente detalle para preparar segmentos cornpactos, utilizando croquis sobre el terreno. Sean las unidades de primera etapa: Manzanas

V iviendas

Segmentos

ul

80

8

n=2

u2

40

4=b

^-0,^1

u3

b0

b

M = 180

18

Supongamos conocidos los tamaños de las unidades de segunda etapa, para todas las unidades de primera etapa en la población, aunque en la práctica solo sería necesario conocer los tamaños de las unidades primarias pertenecientes a la muestra. u, (10, 10, 15, 1 1, 14, 13, 10, 12} u, (1 l, 14, 15, 10)

u^(10, 2 5, 12, 8, 15, 1 Q)

FST^1^ [^[S71t',A F^,SPAÑOLA

b 1= 10 h^ =- 10 t^ ^--8

M^-9 5 M^--54 M^=-80

n' 2

bi

-0, 8 ó -0, 7 S+G 3-C^=0, 8 8 C;y la ganancia global en varianza con relación al esquema de Hansen y Hurwitz sería: V(^ sc.c) = 0,71 . V(^HH) + 0,88 . V,(^frN l ul) I n P 0,75 . VZ{^ f f^^ / u2) I n P^ + 0,86 . V^(^tft^ / u3) 1 n P^

11.

UTILIZAí.'ION DE UN MODELU DE SUPERPCiBLACIQN

Consid^erarem©s el modelo de superpoblación utilizado por Bayless y Rao (1970): ^;=^M;+E;

i= l, 2,... N

E*(E; / M;) = 0

E*(E?/ M;) = a. M;^

E*(^; ^e; / M;, Mi} = 0

i^j

con a > 0, y en muchas situaciones prácticas 1^ g< 2. E* representa la esperanza rnatemática sobre todas las poblaeiones hipotéticas del modelo. Para ^t^ I^ y ^ f^^! los autores mencionados encontraron:

E* {V (^fir^) ) _ - . ^ (1 - n^) ^Mx

(1)

r ^^

E* (V (^fr^^) ) _ ^ • n^^-

,v ^ { 1 ' ^^ f n ) ^^"- i ^

donde ,u; = nP; es el número esperado de apariciones de la unidad u; en la nuestra. La contribución de la unidad u; a la varianza esperada, sobre todas las posibles poblaciones hipotéticas, es menor para ^NT que para ^HH por el factor { 1- n;) /{ 1-,u; / n) (véase Brewer y Hanif, { 1983), página 61), que es de orden {N-n)/(N- 1). Para el caso g= 1 tendríamos: E^` { (V (X il^^^) ) _ ^ ^ (N - n) n

E* ( (V (^»i^) ) _ - . (N - 1) n

l1N E:s(^UEMA MItTO DE MUESTREO C'C)N PRCaBABILIDA[)ES DESI(-;U,A,LES

y por lo tanto E* ( (v (^HT^ ) _ ^.^...._ E* ( (V (^HH) )

N- 1 en donde se ha utilizado un procedimiento de selección en el que n; = nP; . Para la esperanza de la varianza de V(^scc) condicionado a un conjunto de valores de M; tenemos: E* { (V (^scc^) ) = naM . (N - 1) (M - nb} / n(M - b} (N - n) uM . E* ( (V (^ f^ ^^) ) o sea E* { (V (^sc^c) ) _ ^ (N - 1) (M - nb) / {N - n) (M - b) J . E* (V (^„r) ) y para n=2, de acuerdo con la tabla l de la seccián 9.

^* ( (^ (^SC'C^) } = E* ( (v (^1i I'} }

verificándase siempre E* (V (^scc) ) < E* (v (^HN) )

12.

Ct)NCLUSIONES

a) La variable aleataria e^ , indicadora del número de veces que la unidad u^ de tamaño M; es observada en una muestra de n unidades, sigue una distribución de probabiiidad nueva cuando b> 1, en 1a que:

E{e;) = n P;

V(e^ )_

M - nb

. n P; (1 - P; )

M-b Cav (e;, e^ )_

M-nb

. n P; P^

M-b b) La varianza para el estimador A s^^^; está relacionada con la correspondiente al estimadar de Hansen y Hurwitz medianie la expresión: V (^s,^.c) = M - nh •v (^i^ii)

M-b que siempre se verifica V(^.s^^^;) < V(^„f^)

de la que se deduce, al ser n> 1,

ESTA[aIST{C'A E:SPAÑt)LA

e)

Un estimador insesgado y no negativo de la varianza viene dado por: ,^. (^

) ^ M - nó sc ^

d)

M

n ( z X^ / Pt - ^sc^) ^ n{n - 1) i

L.a gananeia en varianza respecto al esquema de Hansen y Hurwitz es: b(n - 1) G _ .-.

M-b que para n= 2 produce una ganancia potencial máxima, equivalente a la obtenida con el muestreo sin reposicicín sobre el muestreo con reposición en el caso de probabilidades iguales. e) La probabilidad incondicional de elegir la unidad u; es ígual a P; en cualquiera de las n selecciones. Esta propiedad es importante en los esquemas de muestreo que incluyen rotación de la muestra. f)

EI valor de b igual a mín . M^ /{n - 1} proporciona varianza mínirna.

g) El muestreo estratificado con un número de estratos igual a nl2, eligiendo dos unidades por estrato, y tratando de conseguir estratos con unidades de tamaño similar produce una ganancia substancial en la varianza del estimador. h) En el muestreo bietápico se puede obtener una reducción en la varianza para ambas etapas. i) Al aplicar los resultados obtenidos por Bayless y Rao con un modelo de superpoblación para g= 1 y n= 2 hemos obtenido:

E* (^ (^sc^c) ) = E* (v (^t^ r / B) ) ^ E* (^ {^:trN) ) indicando con E* la esperanza, sobre todas las poblaciones hipotéticas del modelo, condicionada a un conjunto de las M; .

l1N ESQl7EMA MIXTO DE MUESTREO C`o11 PR(JBABIC.ID.ADES C?FSIGI'AL.ES

23

RECONC^CI M I ENTU Queremos expresar nuestro agradecimiento a, Barbara A. Bailar, R. K. Brewer, I. P. Fellegi, M. H. Hansen, y J. N. K. Rao por sus útiles cornentarios y sugerencias durante la preparación de este articulo. Así mismo queremos señalar nuestra gratitud a F. Azorín y a J. de Parada por su cuidadosa lectura del manuscrito y sus valiosos comentarios.

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UN ESQUEMA MIXTO DE MUESTREO C`C1N PRC)HAHII.If)ADES [3E:S1(;I;ALES

?5

S[^`MMARY

A MIXED SAMPLING SCHEME WITH I.JNEQLTAL PROBABILITIES The rnixed scheme, from a theoretical point of view, removes a gap between the classical procedures of unequal probability sarnpling with and without replacernent. In survey sampling practice it seems to provide a potentially useful procedure that always has smaller variance than sampling with replacement. In occasions the reduction in variance could be substantial and in particular for n equal two in each stratum the potential reductions is similar to that obtained with sampling without replacement in equal probability sampling. In two stage sampling both components of the variance could be reduced. The selection of the sample is simple and the unconditional probability of drawing unit u; is equal to P; at any draw. An unbiased estimator for the variance which is always non negative is available and his computation very simple.

The application of the Bayless and Rao results with a superpopulation model, for g=1 and n=2, shows an expectation for the variance of the mixed scheme equal to the one of Horvitz and Thompson using the method of Brewer, and that it is always smaller than the expectation of the Hansen and Hurvitz procedure. Key words: Unequal probability sampling. Rotating schemes. Superpopulation rnodels. Hansen-Hurwitz and Horvitz-Thornpson procedures.

Esr.AC^IS^^IC'A F^SPAÑC)l_A

CO M E N TAR I OS BAR BARA A. BA1 LAR ( Bureau of the Census. Washington, D.C. ) Este artículo proporciona un nuevo enfoque al muestreo de poblaciones finitas con probabilidades desiguales. Aunque básicamente es un procedimiento de muestreo con reposición, las probabilidades en selecciones sucesivas son modificadas de tal forma que el esquema tiene algunas propiedades del muestreo sin reposición en cuanto a reducción de varian^as. E1 contexto básico del procedimiento es la selección de una muestra de n unidades de una poblacián finita de N unidades. Cada unidad lleva asociada una caracteristica X; y una medida Mt de su tamat^o, indicando M la suma de todos 1os valores de M;. Consideremos ahora una urna que contiene M bolas de las que M^ (i = 1, 2, ..., N) son de un color específico y están as©ciadas con la i-ésima unidad de la población. Se selecciona aleatoriamente una bola de la urna. Su color identifica la unidad seleccionada. A continuación b bolas del color seleccionado con (O < b< M;) son retiradas de la urna, Entonces se realiza una segunda selección de las restantes bolas de la urna, y otra vez se retiran b bolas del color elegido. La selección continúa l^asta que se elígen n unidades, no necesaríamente distintas. Si b=0, se obtiene el método de muestreo tradicional con reposicicín (VItR). Si b=M; se abtiene el procedimiento tradicional de muestreo sin reposicián (W+OR). Si b=1 resulta un caso particular que fue tratado por Sánchez-Crespo (19??) en otro artículo. El

(traducción del inglés por J. L. S^nchez-Crespo)

l1N ES(^UEMA MIXTO DE MUESTREn CON PRC)BABILIDAUES DESIGI'ALES

considerado ahora se refiere a b> 2, siendo el valor de b constante, de selección a selección. Además b debe satisfacer la desilguadad (n-1 }ó < Mo dande Mo es el menor valor de M; en la población. (De aquí que cualquier unidad, excepto quizás en la selección final, pueda ser elegida en cada selección). E1 esquema tiene la propiedad de que la varianza real de un estimador del total, de una población, es menor que la obtenida para el estimador del total con el método tradicional {WR). Además, es más fácil de utilizar que muchos de los procedimientos (WOR) de selección, y una estimación insesgada y no negativa de la varianza del estimador es fácil de calcular. La mejora en varianza comparada con la correspondiente al estirnador (WR), ha sido mostrada para varios ejemplos. No obstante estos se refieren a poblaciones pequeñas con fracciones de muestreo grandes. Para poblaciones grandes con fracciones de muestreo pequeñas, las reducciones en varianza pueden no ser impresionantes. No se han hecho comparaciones de la varianza con su procedimiento y cualquiera de los métodos WOR con probabilidades desiguales, aunque se hace referencia a ellos (por ejemplo, Brewer (1963), Durbin (1967), y Brewer y Hanif (1983) que cubren muchos de estos procedimientos). Sería interesante incluir alguno de estos métodos en las comparaciones. Las secciones 2, 3 y 4 contienen derivaciones de (1) el valor esperado y la varianza del número de veces, c^;, que una unidad es seleccionada, (2) la varianza del estimador del total, y(3) el valor esperado del estimador de la varianza. Estas expresiones podrían derivarse más rápidamente tratando el esquema de muestreo como un caso especial del procedimiento anterior (h=1) que Sánchez-^respo analizó en 1977. Si cada medida de tamaño, M;, se reemplaza por M;/b entonces la realización del esquema con estas medidas modificadas de los tamaños y h-1, es equiva lente a utilizar las M; originales y los valores h. Con el procedimiento modificado, M pasa a ser Mlh. Si M se sustituye por M/h en los valores esperados y fórmulas para la varianza en el caso h=1 dado en la página 2, las expresiones obtenidas en las secciones 2, 3 y 4, se obtienen inmediatamente. Hay sin embargo un problerna conceptual con el cambio de las medidas de tamaño a M;/h. Las medidas modificadas, que representan el número de bolas en la urna para un determinado color, no serían generalmente númeras enteros. Presumiblemente este problema de redondeo no invalidaría mi argumento. Los autores se centran en la comparación de su esquema con el procedimiento WR tradicional. Aunque su procedimiento es ligeramente más difícil de realizar que el ^7VR traciicional, el estimador de un total y su varianza se obtienen directarnente, por lo menos para el muestreo en una etapa. Por consiguiente las ganancias reales en varianza, especialmente cuando la fracción de muestreo es grande, parecen merecedoras de la complejidad añadida en este caso al proceso de selección. Se incluye el muestreo bietápico, pero sólo comparando varianzas reales. Sugiero quc los autores consideren varianzas estimadas para dos o más etapas de muestrco cuando se utiliza su csquema cn la primera, y quizás

FSTAC)1ST1(^A ^SPAÑt)L.^

otras etapas de selección. Si en un esquema polietápico, son fáciles de calcular estimaciones insesgadas y no negativas de la varianza, puede exisEir un potencial consic.lerable en el esquema de los autores. Sin embargo, para una evaluación completa de su procedimiento, deberian también haberse hecho comparaciones con otros procedimientos de muestreo WOR. Presumiblemente, las varianzas reales de los totales estimados serían menores para los correspondientes estimadores basados en diseños Wt^R. (Los auto^res sugieren que esto no siempre es asi aunque realmente no hay mucho apoyo para ello en su artículo, sóto una corta aseveración en la página 17 en términ©s de un mvdelo de superpoblación}. Aunque las aarianzas reales de los totales estimados puedan generalmente ser mayores que las obtenidas con procedimientos WC?R, el método de muestreo presentado puede ser más fácil de realizar que muchos procedimientos WOR, y las varianzas estimadas

más fáciles de obtener. Recomiendo a los autores que consideren estos

aspectos.

8 R E^/1^ E R, K. R. W. (Bureau of Agricultural Economics. Camberra, Australia}.

Mi comentario al caso b-1, es decir con una sola bola retirada de la urna, en cada selección, fue el existir usualmente muy poca diferencia con el muestreo con reposición, Es ciertamente más interesante ei caso en el que, para cada selección, puede ser retirada de la urna más de una bola, No obstante con b> 1 es importante considerar que posici ^^n oeupa el procedimiento en el espectro entre el muestreo con y sin reposición. En cierto sentido pareceria quedar relativamente próximo al muestreo con reposición ya que todavía es posible seleccionar cualquier unidad hasta n veces.

En el caso de una unidad grande, comparada con la unidad rnás pequeña, su probabilidad de inclusión e; veces seguiría una distribución próxima a la multimonial. Para aquellas unidades próximas en tamaño a la más pequeña la distribución se aproximará a la hipergeométrica, y si el tamaño de la muestra es pequeño, la varianza de la variable aleatoria e^ será apreciablemente más pequeña que su valor bajo la distribución multimonial. L.as circunstancias más favorables p^ ara el uso del esquema mixto, parecen ser aquellas en las que las unidades son relativamente próximas entre si en cuanto a su tamaño y el valor de n es pequeño. La cuestión elave es si la reducción en varianza es del orden nl N o de un orden más pequeño, Sustituyendo el valor máximo de f^, M„/(n- 1), donde 1Vi„ es el mínimo de los valores M; en el término de reducción de la varianza (1- (M-nb) ! ( M-b}) obtenemos una aproximación de primer orden M^,lM que es, en general, menor que 1/N. Este es un

UN ESQUEMA M1XT0 DE MUESTREO CON PROBABILIUADES DESIGUALES

29

orden de magnitud más pequeño que n/N indicando de modo bastante concluyente que el método propuesto para n> 2 queda más próximo al muestreo con reposición que al muestreo sin reposición. No obstante, el caso r^2 es de gran interés y proporciona la aplicación más importante del método mixto. La estratificación es más eficiente con n tan pequeño c^omo sea posible, pero si se requiere un estimador insesgado de la varianza del estimador, n debe ser al menos igual a 2. En este casa podemos retener casi la mitad de la reducción en varianza proporcionada por el método mixto y ganar considerablemente en sencillez, al comparar con el muestreo sin reposición.

No estoy de acuerdo con Cochran en que para n=2 todos los métodos sean simples. Solo son menos laboriosos e incómodos que para n> 2. E1 método mixto es más simple, incluso para n=2, que la mayor parEe de los métodos alternativos.

I. P. FELLEGI (Statistics Canada. Ottawa, Canada).

EI esquema mixto aparece como una ingeniosa nueva propuesta. Tengo dos observaciones relacionadas con la ganancia esperada sobre el método Hansen-Hurwitz. La primera es que la ganancia en precisión es modesta si los valores de u; pertenecen a un intervalo amplio. Pero si la estratificación (en términos de u;) es realmente útil, pudiera ocurrir que no fuese necesario utilizar un esquema pps para reducir varianzas ya que este solo ayuda con un recorrido razonable para los valores de u; y existe una correlación alta con los valores de X;.

La segunda observación se refiere a la sección 9, tabla 2, del artículo en la que ^guran los valores de Gmáx, para distintos valores de nh y N^,. Puede observarse que ia máxima ganancia, excepto para r^2, se aproxima rdpidamente a 1/Nh para valores decrecientes de Nh: Incluso para nh=3 la ganancia resulta del orden 1/N,, para todo Nh mayor que 5 ó 6. Por lo tanto solamente para nh=2, obtenemas una ganancia potencial sustancial en varianza al utilizar el esquema mixto en lugar del debido a Hansen-Hurwitz. En el ejemplo 3 con N=9 y n=6 la ganancia máxima es 0, l 1 que pasa a 0,4ó al utilizar estratificación; este incremento de la ganancia se debe fundamentalmente a la reducción de los tamaños muestrales en los estratos a nh=2 y solo en una pequeña proporción a la reducción en varianza entre las u;.

ESTADISTICA ESPA^ULA

MORRIS H. HANSEN {WESTAT, Rockville, USA}.

E1 método mixto es interesante y puede proporcionar reducciones en la varianza, que merezcan la pena, en algunos problemas prácticos en tos que una fracción grande de las unidades elernentales s+ea incluida en la muestra, con relativamente pocas unidades muestra.les de segunda etapa en cada unidad muestreada de primera etapa. El método propuesto no solamente proporciona un procedimiento potencialmente útil, sino que adem^s completa una laguna en la teoña.

J. N. K. RAC} (Department of Mathematics and Statistics. Carleton University. Qtawa, Canadaj. La extensión de su trabajo previo, al caso b > 1, la he encontrado muy interesante y útil. Solo tengo comentarios menores que hacer: a) I^io se discute la elección de b. Para minimizar la vañanza de ^scc uno debería presumiblemente elegir b=mínimo de los M^. b) Si ó-1 =^ ^Cómo se elegiñan b-1 bolas de la urna si en ella permanecen menos de b-1? Presumo que en ese momento la unidad es eliminada de la urna. Con reiación al artículo de Sethi, por mí mencionado, la fórmula (3.^2) debería no haber omitido el factor (X - 1}-r y X tendría que haber figurado como X^. En este caso para r^ 1 se llegaría a la fórmula Hansen-Hurwitz.

FRANCISCQ AZORlIV (Universidad Autónoma de Madrid),

Comenzaré con una breve reseña sobre la personalidad y rnéritos de los comentañstas extranjeros, ya que es posible que parte de los lectares de la Revista, no familiañzados con el rnuestreo de poblaciones finitas y probabilidades desiguales desconozean 1o que los comentaristas rnencionados representan en este campo. ^arbara A. Bailar: Es Directora de Metodología Estadística del Bureau of the Census de los EE.UU. Entre sus actividades figura también la investigación de errores de medida y la organización de estudios estadísticos. Ha sido Secretaña Científica de la IASS y

l1N ES(^UEMA MIXTO I^E MIUESTREO CON PROB.ABILI[)AUES DESIC;I;ALES

31

preside su Comité de Terminología. Es Presidenta de la American Statistical Association. Ha dictado clases en la Graduate School y la George Washington University y es Presidenta electa de la IASS.

K R. W. Brewer.• Ha desarrollado una intensa actividad en el campo investigador y en el docente, habiendo sido profesor visitante en varias universidades. En particular son relevantes sus trabajos sobre diser^o y estimadores robustos, para encuestas por muestreo a gran escala. Autor de importantes trabajos sobre selección de rnuestras y cálculo de probabilidades de inclusión, en el muestreo sin reposición y probabilidades desiguales. Co-autor con Hanif del libro «t^nequal Probability Sampling» ( 1983), considerado como el más completo en este área. I. P. Fellegi:Es Director General de la Oficina de Estadística del Canadá y Presidente del Instituto Internacional de Estadística. Ha realizado numerosos estudios e investigaciones, como los correspondientes a la estimación de la varianza de respuesta correlacionada. Asimismo son muy importantes sus investigaciones sobre los esquemas de rotación y la imputación en censos y encuestas.

M. H. Hansen: Es actualmente Presidente del Consejo de la WESTAT, INN. Es considerado como una de las personas que mayor impulso han dado al desarrollo tanto científico como técnico del Muestreo de poblaciones finitas, especialmente en el Bureau of the Census de los EE.UU. Autor, en colaboración con Hurwitz del rnétodo de muestreo con reposición y probabilidades desiguales, y con éste y Madow del clásico libro «Sample S'urvey Methods and Theory». En particuíar deben citarse sus trabajos sobre las diversas fuentes de error en los censos y encuestas, pudiendo considerársele como el iniciador del muestreo con probabilidades desiguales y otros temas de investigación estadística. J. N. K. Rao.• Es profesor de Estadística de la Carleton University de Canadá. Sus campos específicos de investigación abarcan practicamente toda la teoría y métodos del muestreo de poblaciones finitas, así como los modelos lineales, el análisis de datos y las estadísticas oficiales. Entre sus numerosas aportaciones se destacan las relativas a la comparación de diseños y métodos de estimación en situaciones polietápicas y de gran complejidad estadística. Es miembro del Consejo del IASS y de otras Comisiones y grupos de investigación sobre encuestas por rnuestreo y censos. En cuanto al artículo que estamos comentando, me limitaré a decir que es un trabajo fundamental en el campo del muestreo con probabilidades desiguales, en el cual parecía dífícil hacer una nueva aportación significativa, si se tiene en cuenta que en él vienen trabajando desde Hansen y sus ^colaboradores los rnás destacados maestros en la investi-

ESTADISTICA ESPAÑ4LA

gación del muestreo con pr©babilidades desiguales. Se trata sin duda de un método de gran eficiencia en el sentida de costolprecisión, incluyendo en el costo los algoritmos necesarios para la estimación, la facilidad en la obtención de estimaciones insesgadas no negativas de la varianza del total, esquemas de rotaci+ón, etc. Creo que sería interesante evaluar tiernpos y recursos para diferentes situaciones con poblaciones artificiales y naturales.

JAViER DE PARAUA {Instituto Nacional de Estadistica. Madrid). Para un análisis de las propiedades del estimador utilizado en el esquema mixto de muestreo es de gra.n importancia el estudio generaíizado de Ia función de probabilidad propuesta por los autores e inherente al esquema de muestreo: P(e, _ t) -- ( n) V^ (M;, t

b, t} . W(M - M;, b, n-t)

(1)

Vt^ (M, b, n}

donde el es la variable aleatoria "número de veces que la unidad u^ puede resultar seleccionada en una rnuestra de tamar^o n", y M=^ M; donde M; es una medida del tamaño asociada can u;. '

En general, la expresión (1 j será una función de probabilidad si cumple las dos condici©nes síguíentes: 1. •)

n ^ p (e; = t) - i r=o

^.s)

p(e; = t) ^0 , para cualquier valor t

Puede observarse que la expresión (1) está íntimamente relacionada con las funciones factoriales por lo que será oportuna acudir a algunas interesantes propiedades de tales funciones. En general, se denomína función factorial a, de grado n, y diferencia b, ai producto de n términos consecutivos de una progresión aritmética de razón b, y primer término a, que expresaremos por:

W (a, b, n}=a(a+b)(a+2ó)..... [a+{n-I)b ] Según esta definición, la expresión ( l) contiene una relación de funciones factoriales de razón negativa, por lo que más propiamente podría escribirse: b, t) . W (M - M;, b, n-t) ^ P {e; -- t) _ ( n) ^ (M^' ' t W (M, - b, n)

(2)

UN ESQUEMA MIXTO DE MUESTREO CON PROBABILIDADES DE5IGUALES

33

siendo b cualquier número entero positivo. La fórmula de Vandermonde relaciona funciones factoriales mediante la importante expresión siguiente: n

W (a+c, - b, n)= ^ r=o

{t)W (a, - b, n-t) . V^✓ (c, - b, n),

(3)

La l.• condieión para que (2) sea función de probabilidad se cumple inmediatamente aplicando la relación (3) anterior. La 2.a condición, P(e; = t) >0 para todo valor de t, exige que: M; b < ^

,

y

b

^

M - M;

(4)

n-1

n-1

ó bien que M^ y(M - M;) sean cantidades rYiúltiples de b. Por tanto, aunque la l.a condición no impone ninguna restricción al valor de b, que es un número entero positivo fijado arbitrariamente, la 2.= condición restringe los valores válidos de ó para que la función (2) sea una función de probabilidad. Los valores de b quedan restringidos al cumplimiento de las relaciones dadas en (4). La fórmula (3) se puede generalizar al caso de un polinomia factorial, resultando: n

n.

W (a+c+d, - b, n) _ ^,

W(a,-b,x).W(c,-b,y).W(d,-b,z),

^, y, Z=o ,x ^ y t Z^

{^)

(x+y+z=n)

fórmula de estructura análoga a la fórmula de Leibnitz de la potencia de un poiinomio, pero aplicada a funciones factoriales. Por su estrecha relación con las funciones factoriales, las distribuciones que siguen la ley de probabilidad ( 1) propuesta por los autores podrían denominarse distribuciones factoriales, denominación que utilizaré en el siguiente apartado. Parámetros de la distribución fact©rial: 1)

Esperanza matemática: n

Por definición: E(e;) _^

t P(e; = t) _

_ n t( n) W(M;, - b, t) . W(M - M;, - b, n-t) - ^ t

^_^

W (M, - h, n)

34

ES-TA[^IS^Tit',A ESPAÑOLA

-n

M,

^

M

^=1

( n _ 1 ) W(Mr,b,-b,t-1).W(M-M,,-ó.n-t) =n M; t l

W( M - b, - h, n- 1)

M

Luego la esperan^za de esta variable aleat©ria viene determinada por los valores de n y P,=n Mi M 2)

L'arianza: Por definición

V(e;) = E(e;)^ -[ E(e;} ^2

.^ E(e;}Z=

^ t^P(e;--t)= t-o

n

- ,^ [t(t-1)+t ^_o

,, n^ W(M,, - b, t) . W(M - M^, - b, n-t}

W (M^, - b, n)

= n(n - 1) M' (M' h) + n M', por tanto 1Vi ( M - b) M V(e,)=n(n- 1) M'^M` b)+n M' -(n M' )2= M (1V1 - b) M M M - nb M ; . M-ó M

=n

3)

M

^^varianza:

A partir de la relación (5) podernos definir la función de probabilidad multivariante de la distribución factarial: p(el=tl ; e2=t2 ..... ; ek=tk)=

_ ^ ^ ^ Ir2..tk=tl

n! tf! 1

2^... t^^

W{M1^-b,t).W(M^,-b,t,}.. W(Mk,-b, t^) ^ (M,+Mz + .... + M,^, - ,n )

(t^+r2,..tk=n}

con la condicián, para que sea función de probabi lidad, de que

b< tnin

M' n -1

,(i = 1, 2....k)

UN ESQUEMA M1XT0 DE MUESTREO CON PROBABILIDADES DESIC;UALES

^S

Por definición: Cov (e; ; ef) = E(e; e^) - E{e;) E(ef) ; donde M^ M; E(e;}=n-, E{e^)=n-

M

M n

según vimos anteriormente, siendo M= ^ Mh h=1

n n! W(M;,-b,t;) . W(M;,-b,t^) . W(M-M;-M;,-b,n-t;-t;) t; t^ _ E (e; e^) _ ^ t r^ ^^ _^ t;! t;! (n- t,^-t^;) ! W(M^ - b, n) n (n-1) (n-2} ! ^ M; M^ W(M;-b, -b,t;-1)W(M^-ó,-b,t^-1 )W(M-M;M^,-b, n-t;-t^) _ _ ^ ^;. ^^_ ^(t;-1)!(t;-1)!(n-t;-t^}! M(M-b) W(M-2b, - b, n-2)

= n (n-1)

M; M^

M(M-b) ^ ^

(n-2)!

W(M;-b,-b,t;-1) W(Mf-b,-b,t^-1).VW(M-M;-M^,-b,n-t;-t^) ^ -

^;. ^.,;-o (t;-1)!(t;-1)!(n-t;-t;)!

W(M-2b, - b, n-2}

=n (n-1) M=

M(M-b) ya que la expresión entre corchetes, en virtud de (5), es igual a la unidad. Por tanto:

Cov(e; ; e;) = n (n-1)

M;M;

- n M(M-b)

^, M;M;M; M; { M-nb ) ^ --n M M M- b M`

3ó

ESTADISTIC`A ESPAÑOLA

Contestación En los cornentarios de Burhuru ,-^. f3uilar hay, par lo menos, tres sugerencias dc gran interés, que en un posible trabajo futuro serán tenidas en consideración, Las sugerencias a que me refero son:

a) Analizar el potencial del esquema mixto, en el caso de que en diseños polietápicos sean fáciles de obtener estimaciones insesgadas y no negativas de la varianza. h1 Ampliar " en lo posible" las comparaciones con otros métodos WOR. He añadido 1a frase " en lo posible", a causa de las difieultades que muchos métodos WOR pueden presentar, incluso con ardenadores potentes, ya sea en la selección de la muestra, en la estimación de varianzas, o en arnbos casos. c•J Aún en e1 caso de que los métodos WOR presentasen menores varianzas reales en la estimación de totales, el esquema mixto podria ser más fácil de realizar que muchos métodos WOR, y las estimaciones insesgadas y no negativas de la varianza más senciilas de obtener. Esto deberia ser tenido en cuenta. En cuanto a la consideración del caso N grande y fracción de muestreo pequeña, creo que llegariamos a la misma consecuencia que en el muestreo con probabilidades iguales, como puede verse en la tabia l. Se han hecho algunas comparaciones con otros métodos. Asi, en el ejemplo 1 de la sección 7 hemos obtenido: V(^scc) _ ^^8571 , V(^^H) = I,1428 , V(^NTIB) = 4,9286 , y^(^RHC) = 0,7^ l 9. En el ejemplo 2 de la misma sección pueden verse otros resultados. Por supuesto que los ejemplos son artificiales, con valores de N pequeños y fracciones de muestreo grandes. No obstante, debido a la complejidad que, en general, presentan los métodos WOR, no es fácil utilizar poblaciones grandes. Por ejemplo en la página 228 del libro de Cochran ( 1977) se comparan varios métodos con poblaciones en las que N= 5 y n= 2, y en la página 27U, se mencionan varias poblaciones naturales utilizadas por Rao y Bayless ( 19ó9) en las que N varía entre 9 y 35.

UN ESQUEMA MIXTO DE MUESTREO CON PROBABILIDADES DESIC^ UALES

37

En lo que se refiere al comentario acerca del modelo de superpoblación, parece corresponder más a nuestra sección de conclusiones que a]a dedicada al modelo, En cualquier caso estoy de acuerdo con la necesidad de extender este análisis. Finalmente creo interesante el carnbio de las medidas de tamaño y el problema conceptual que este presenta, pero he de pensar sobre ello. Creo que el punto eentral en los eomentarios de J^'. R. w'. Brc^ ^1^c^r c^.^^ c^crc^ !u u^lrc•uc•ic^n más irnpvrtunte cle! tnétc^clo mi_Ytc> eorr^spancl^ u n= 2, y que no todos los métodos son simples para n igual a dos. Solo son menos laboriosos e incómodos que para rr mayor que dos. El esquema rnixto es, incluso para rt = 2, más simple que la mayoría de los métodos alternativos. Las circunstancias más favorables para el uso del método propuesto parecerían ser aquellas en que los tamaños de las unidades sean relativarnente próximos y el número de unidades en la nuestra sea pequeño. Por mi parte pienso que podemos acercarnos a esta situación con una estratificación conveniente. Tengo ciertas reservas respecto al párrafo de Brewer en el que dice: "en cierto sentido parecería quedar relativamente próximo al muestreo con reposición ya que todavía es posible seleccionar cualquier unidad hasta n veces". En el ejemplo 1 hemos encontrado r V{ s^c^c;) = 0,8571 mientras que V(X^„-IB) = 0,9286. Sin pretender darle gran significación y a pesar de sus Iimitaciones, es claro que por lo menos en este caso el procedimiento mixto no solo no aparece cercano al Hansen-Hurwitz, V(X^^^^) = l,1428, sino que en el espectro mencionado por Brewer aparece como superior al esquema HorwitzThompson, utilizando el método de selección de Brewer. En esta misma línea y utilizando los resultados obtenidos por Bayless y Rao para un modelo de superpoblación con ^^=1 y n=2 hemos obtenido E* (V (Xsc^t;) )^ E* {V (X^^^^/B) indicando con el asterisco la esperanza, sobre todas las poblaciones hipotéticas del modelo, condicionada a un conjunto fíjado de las M;. Claro que tanto el ejemplo como el modelo se refieren al caso ^r1=2 comentado satisfactoriamente por Brewer, pero he creído importante señalar esios dos casos para evitar que una lectura rápida del excelente comentario de Brewer pudiese producir confusión. La contribución de /. P. 1^^^^^c^,^^i a la sccción I n ha ^ido de ^ran valor para rcducir las aplicaciones, en la practlca, " ^ ^• dca• csquc.ma ^ ^ • mixtc^ ^i ^ • • t^rminoti • • ra^onahlt,s. A continuación pasaré a comcntar dos dc sus c^hscrvacionc^: La primcra no crco quc afecta directamcnte al esquema mixto considcrado como un di^;eño ^^t^.ti^, ya quc estc tipo de muestreo requiere ciertas condicic^ncs, dc carácter ^enc:ral, para tier efícicnte.

FSTADIS^I'1C'A ESPAÑOLA

De la segunda observ^^cic^n, con la que por supuesto estoy por completo de acuerdo, pienso que posiblernente pc^dría cambiarse de negativa en positiva, diciendo p^or ejemplo, que en la tabla 1 la razón de G,,,ú,_ sobre ( n,,-1)/(N,,-1) es de cierta importancia para r^ = 3 y n= 4. Así vemos que incluso para N - 20 pasamos de una gananeia potencial del 1(JD% para n,, = 2 a una de aproximadamente el 50°Ic^ cuando n^, es iguai a 3, y a una pr^^ xima al 30^'l^ cuando n^, es igual a 4.

En cuanto al ejemplo 3 de la sección 8, estoy de acuerdo en que la ganancia observada con N-9, cuando pasamos a n,, = 2 en cada estrato, del 9°!^ al 4ó°l0, podría ser debida principalmente a la reducción de la muestra de n=f^ a, nj, = 2 en cada estrato y una parte residual sería debida a la reducción de variación de tamaño entre las unidades. Nu obstante, creo que sería interesante cuantificar qué parte se debería a cada fuente de variación. Finalmente pienso que el artículo ha mejorado mucho con la inclusión de las sugerencías de Fellegi. Los comentarios de ,^lurri_^^ H. Hunsc^n tienen para mí un significado muy especial por dos razones: La primera porque ía idea central del artículo, fué tratar de obtener una reducción sustancial en varianza, al tiempo que se mantenían las grandes ventajas de su procedimiento. La segunda razón es la oportunidad que me brinda de agradecerle todo lo que aprendí durante mi estancia, hace ya muchos años, en el Bureau of the ^ensus y en la ^raduate School, como becario. Me he sentido muy orgulloso con su frase: "It not only provides a potentially useful procedure but removes a gap in the theory" que en castellano sería" E1 esquema no solo proporciona un procedimiento potencialmente útil sino que completa una laguna existente en la teoría".

Respeeto a los comentarios de .i. N. K. Ruc^ me resta poco que añadir por dos razones: u) Su carta prímera que recibí se refíere a un primer borrador. h} Practicamente todos sus valiasos cornentarios han sido ineorporados al artículo. En cuanto a los comentaristas españoles creo de gran interés ia propuesta de F: ^c^^rín sobre un posible análisis costo/beneficio incluyendo en el costo la dif^cultad de los algoritmos y los tiempos de ordenador necesarios p^ira el cálcúlo, en su caso, de las probabilidades de inclusicín, así como para la estimación insesgada y no negtitiva de la varianza del total. En los beneticios ti,guraría la t^icilid^id de selección, posibilidad de obtener esquemas de rotación, t^tc., y por supucstc^ la diterencia de varianzas. E1 comentarío de Javier de Parada ha sido muy valioso, con una exposición oríginal y rigurosa de las bases del esquema mixto. Ha dejado aclaradas posibles lagunas, como por ejemplo, que mientras la suma de probabilidades es para cualquier ó entero y posítivo igual a la unidad, la función de

UN ESQUEMA MEXTC) DE Ml.`ESTREC) C`ON PROH.ABILIDADES DES[Gl'ALES

^9

cuantía requiere además la restricción b