POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Ecuaciones generales

r : Ax + By + C = 0 s : A′x + B′y + C ′ = 0

A B ≠ A′ B′

A B C = ≠ A′ B′ C ′

A B C = = A′ B′ C ′

RECTAS SECANTES

RECTAS PARALELAS

RECTAS COINCIDENTES

r\s

rs

r≡s

Un punto en común

Ningún punto en común

Todos los puntos comunes

Pendientes

mr y ms mr ≠ ms

mr = ms RECTAS PARALELAS O COINCIDENTES Se toma un punto de una de las rectas y se comprueba si pertenece a la otra

RECTAS SECANTES

P∈r

P∉s

y

P∈r

y

P∈s

r\s

Vectores de dirección

RECTAS PARALELAS

RECTAS COINCIDENTES

rs

r≡s

  ur ( a, b ) y vs ( c, d )

a b ≠ c d   ur y vs son l.i.

a b = c d   ur y vs son l.d.

Las rectas tienen distinta dirección

Las rectas tienen la misma dirección RECTAS PARALELAS O COINCIDENTES Se toma un punto de una de las rectas y se comprueba si pertenece a la otra

RECTAS SECANTES

r\s

P∈r

y

P∉s

P∈r

y

P∈s

RECTAS PARALELAS

RECTAS COINCIDENTES

rs

r≡s

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EJEMPLOS _____________________________________________________________________________________________ 1.

Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 0 0 0  x − 2y + 4 =  3 x − 6 y + 12 = 3 x + 4 y − 5 = b)  c)  a)  0 0 0 −2 x + 4 y + 4 = −2 x + 4 y − 8 =  x − 3y − 6 = _________________________________________________________________________________________

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EJEMPLOS _____________________________________________________________________________________________ 1.

Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: 0 x − 2y + 4 = 0 0 r : r : 3x + 4 y − 5 = r : 3 x − 6 y + 12 = b)  c)  a)  0 0 0  s : −2 x + 4 y + 4 =  s : −2 x + 4 y − 8 = s : x − 3 y − 6 = _________________________________________________________________________________________ 0 r : 3x + 4 y − 5 = a)  0 s : x − 3 y − 6 =

3 4 ≠ 1 −3

⇒

r y s son SECANTES

x − 2y + 4 = 0 r : ⇒ b)  − + + = s x y : 2 4 4 0 

1 −2 4 = ≠ −2 4 4

⇒

r y s son PARALELAS

0 r : 3 x − 6 y + 12 = ⇒ c)  0  s : −2 x + 4 y − 8 =

3 −6 12 = = −2 4 −8

⇒

r y s son COINCIDENTES

⇒

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EJEMPLOS _____________________________________________________________________________________________ 2.

Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas:  x = 2 + 4λ x + 4 y +1 r:  x =−1 + 9λ r: = r:  y = 5 − 3λ 3 2 b) c) a)  y = 5 − 3λ 2x + 5 x= 3 − 3λ  s: y = s : y + 3 =−3 ( x − 4 ) s: 3  y =−4 + 5λ _________________________________________________________________________________________

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EJEMPLOS _____________________________________________________________________________________________ 2.

Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas:  x = 2 + 4λ x + 4 y +1 r:  x =−1 + 9λ r: = r:  y = 5 − 3λ 3 2 b) c) a)  y = 5 − 3λ 2x + 5 x= 3 − 3λ  s: y = s : y + 3 =−3 ( x − 4 ) s: 3  y =−4 + 5λ _________________________________________________________________________________________ x + 4 y +1 = 3 2 a) 2x + 5 s: y = 3 r:

⇒

2  ⇒ mr = vr ( 3, 2 ) 3 ⇒ mr = ms  2 5 2 s : y = x + ⇒ ms =  3 3 3

Por lo tanto las rectas serán paralelas o coincidentes. Tomamos un punto de una de las rectas y comprobamos si pertenece a la otra recta. Tomamos el punto P ( −4, −1) , P ∈ r . En la recta s, para x = −4 , y =

2 ⋅ ( −4 ) + 5 3

=

−8 + 5 −3 = = −1 . 3 3

Así pues, P ∈ s y las rectas son coincidentes. r y s son COINCIDENTES  x = 2 + 4λ −3 3  r: = − vr ( 4, −3) ⇒ mr =  y = 5 − 3λ 4 4 b) ⇒  ⇒ mr ≠ ms 5 5   x= 3 − 3λ  v − 3, 5 ⇒ m == − ) s: s ( s −3 3   y =−4 + 5λ

Por lo tanto las rectas serán secantes. r y s son SECANTES  x =−1 + 9λ r: c)  y = 5 − 3λ s : y + 3 =−3 ( x − 4 )

⇒

9  −3 vr ( 9, −3) ⇒ mr = = ms ⇒ mr = −3  ms = −3

Por lo tanto las rectas serán paralelas o coincidentes. Tomamos un punto de una de las rectas y comprobamos si pertenece a la otra recta. Tomamos el punto P ( −1, 5 ) , P ∈ r , y comprobamos si pertenece a s. En la recta s, 8 5 + 3 = ⇒ 5 + 3 ≠ − 3 ⋅ ( −1 − 4 )  −3 ⋅ ( −1 − 4 ) =−3 ⋅ ( −5 ) =−15

Luego, P ∉ s y las rectas son paralelas. r y s son PARALELAS

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EJEMPLOS _____________________________________________________________________________________________ 3.

Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas:  x = 2 + 8λ x+ 2 y −5 r: = r: 5 6 y = − λ −3 4  b) a)  x =1 + 9λ  x = 2 − 12λ s: s:  y =1 − 12λ  y =−1 + 9λ

r : 6 x − 4 y + 11 = 0

c)

x = 2 + λ s:  y = 5 + 3λ

_________________________________________________________________________________________

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EJEMPLOS _____________________________________________________________________________________________ 3.

Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas:  x = 2 + 8λ x+ 2 y −5 r: = r: 5 6 y = − λ −3 4  b) a)  x =1 + 9λ  x = 2 − 12λ s: s:  y =1 − 12λ  y =−1 + 9λ

r : 6 x − 4 y + 11 = 0

c)

x = 2 + λ s:  y = 5 + 3λ

_________________________________________________________________________________________  x = 2 + 8λ r:  y = 5 − 6λ a)  x = 2 − 12λ s:  y =−1 + 9λ

⇒

 vr ( 8, −6 )  vs ( −12, 9 )

⇒

8 −6 = −12 9

⇒

  vr  vs

Por lo tanto las rectas serán paralelas o coincidentes. Tomamos un punto de una de las rectas y comprobamos si pertenece a la otra recta. Tomamos el punto P ( 2, − 1) , P ∈ s , y comprobamos si pertenece a r. En la recta r,  2 = 2 + 8λ λ = 0 . ⇒   −1= 5 − 6λ λ = 1

Como los valores de λ obtenidos son distintos, P ∉ s y, por lo tanto, las rectas son paralelas. r y s son PARALELAS _________________________________________________________________________________________ x+ 2 y −5 = −3 4 b) x = + λ 1 9  s:  y =1 − 12λ r:

⇒

 vr ( −3, 4 )  vs ( 9, −12 )

⇒

−3 4 = 9 −12

⇒

  vr  vs

Por lo tanto las rectas serán paralelas o coincidentes. Tomamos un punto de una de las rectas y comprobamos si pertenece a la otra recta. Tomamos el punto P (1, 1) , P ∈ s , y comprobamos si pertenece a r. En la recta r, 1+ 2 = −3 1− 5 = 4

3  = −1 1+ 2 1− 5  −3 = ⇒ P∈s .  ⇒ −4 −3 4 = −1  4

Como P ∈ s , las rectas son coincidentes. r y s son COINCIDENTES _________________________________________________________________________________________ r : 6 x − 4 y + 11 = 0

c)

x = 2 + λ s:  y = 5 + 3λ

⇒

 vr ( 4, 6 )  vs (1, 3)

⇒

4 6 ≠ ⇒ 1 3

  vr /| vs

Como los vectores tienen distinta dirección las rectas son secantes. r y s son SECANTES

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4.

En cada uno de los ejercicios anteriores, si las rectas son secantes, calcula el punto de intersección y el ángulo que forman, y, si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas.

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4.

En cada uno de los ejercicios anteriores, si las rectas son secantes, calcula el punto de intersección y el ángulo que forman, y, si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas. _________________________________________________________________________________________ 0 r : 3x + 4 y − 5 = 1a)  0 s : x − 3 y − 6 =

⇒

3 4 ≠ 1 −3

⇒

r y s son SECANTES

Para hallar el punto de intersección se resuelve el sistema − 5 0 −6 0 r : 3x + 4 y = 3 x + 4 y −= 5 0 x + 3 =   = s: x−= y + 18 0  x 3 3 y − 6 0  ⋅ ( −3) −3 x + 9= 13 y + 13 = 0 y = −1

Por lo tanto, las rectas se cortan en el punto P ( 3, −1)

  v ( −4, 6 )  ur ( −2, 3) . El ángulo α que forman las rectas lo determinamos con los vectores de dirección:  r vs ( 3, 1)   v ⋅v −2 ⋅ 3 + 3 ⋅1 3 3 ⇒= ⇒ α =74º 44 ' 41,57" cos α =  r s cos α = = 2 2 2 2 vr ⋅ vs 13 ⋅ 10 130 ( −2 ) + 3 ⋅ 3 + 1

_________________________________________________________________________________________ x − 2y + 4 = 0 r : ⇒ 1b)  s : − 2 x + 4 y + 4 = 0 

1 −2 4 = ≠ −2 4 4

⇒

r y s son PARALELAS

Para hallar la distancia entre ellas tomamos un punto de una de las rectas y calculamos la distancia de ese punto a la otra recta. En este caso resulta más cómodo tomar el punto de la recta r. Para y = 1 , x = −2 . Tenemos el punto P ( −2, 1) con P ∈ r . d ( P,= s)

−2 ⋅ ( −2 ) + 4 ⋅1 + 4 = 2 ( −2 ) + 42

12 12 = = 20 2 5

6 6 5 = 5 5

Por lo tanto 6 5 5 (NOTA: Se puede simplificar la ecuación de s antes de realizar el estudio de la posición y los cálculos.) _________________________________________________________________________________________ d ( r, s ) =

 x = 2 + 4λ r:  y = 5 − 3λ 2b)  x= 3 − 3λ s:  y =−4 + 5λ

⇒

 vr ( 4, −3)  vs ( −3, 5 )

⇒

r y s son SECANTES

Para hallar el punto de intersección se expresa una de ellas en forma continua o general, y se sustituye un punto genérico de la otra, expresado en función del parámetro. Por ejemplo, expresemos en forma general la recta s. x−3 y + 4 = ⇒ 5 ( x − 3) = −3 ( y + 4 ) ⇒ 5 x − 15 = −3 y − 12 ⇒ 5 x + 3 y − 3 = 0 −3 5 s : 5x + 3 y − 3 = 0 Los puntos de r serán de la forma P ( 2 + 4λ , 5 − 3λ ) con λ ∈  . Determinemos cuál de ellos pertenece también a s (punto de intersección de r y s). 5 ( 2 + 4λ ) + 3 ( 5 − 3λ ) −= 3 0 ⇒ 10 + 20λ + 15 − 9λ −= 3 0 ⇒ 11λ + 22 = 0 ⇒ = λ −2  x =2 + 4 ⋅ ( −2 ) =−6 Así, para λ = −2 , se tiene,  y será P ( −6, 11) el punto de intersección de r y s.  y = 5 − 3 ⋅ ( −2 ) = 11 El punto de intersección de r y s es P ( −6, 11) .

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 v ( 4, −3) El ángulo que forman lo podemos hallar usando los vectores directores:  r . vs ( −3, 5 )   4 ⋅ ( −3) + ( −3) ⋅ 5 v ⋅v 27 ⇒ cos α ⇒ α =22º 9 ' 58,84" cos = α =  r s = 2 2 vr ⋅ vs 42 + ( −3) ⋅ ( −3) + 52 5 ⋅ 34

_________________________________________________________________________________________  x =−1 + 9λ r: r y s son paralelas. 2c)  y = 5 − 3λ s : y + 3 =−3 ( x − 4 ) Para hallar la distancia entre ellas se expresa una de ellas en forma general y se calcula la distancia de un punto de la otra recta a esta. Expresemos la recta s en forma general. y + 3 =−3 ( x − 4 ) ⇒ y + 3 =−3 x + 12 ⇒ 3 x + y − 9 =0 s : 3x + y − 9 = 0

Tomamos un punto de r, P ( −1, 5 ) , P ∈ r , y calculamos , s) d ( P=

3 ⋅ ( −1) + 5 − 9 = 32 + 12

7 7 10 = 10 10

Por lo tanto 7 10 10 _________________________________________________________________________________________ d ( r, s ) =

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