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MECÁNICA DE MEDIOS GRANULARES COHESIVOS Y SU RELACIÓN CON LAS FUERZAS ENTRE PARTÍCULAS
Memoria presentada por
Miguel Ángel Sánchez Quintanilla para optar al grado de Doctor en Física
Departamento de Electrónica y Electromagnetismo
FACULTAD DE FÍSICA
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Sevilla, Octubre de 2002
c Miguel Ángel Sánchez Quintanilla, 2002
MECÁNICA DE MEDIOS GRANULARES COHESIVOS Y SU RELACIÓN CON LAS FUERZAS ENTRE PARTÍCULAS Memoria presentada por
Miguel Ángel Sánchez Quintanilla
para optar al grado de Doctor en Física Sevilla, Octubre de 2002
Director de la Tesis
Dr. Antonio Castellanos Mata
Catedrático de Electromagnetismo
Miguel Ángel Sánchez Quintanilla
Doctorando
Departamento de Electrónica y Electromagnetismo
FACULTAD DE FÍSICA
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
A mis padres
Índice Agradecimientos
xi
Prefacio 1 Fuerzas de contacto entre partículas 1.1 1.2
1.3
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contactos sometidos a fuerzas normales . . . . . . 1.2.1 Contacto elástico no adhesivo . . . . . . . 1.2.2 Contacto adhesivo para una esfera rígida . 1.2.3 Contacto adhesivo para una esfera elástica 1.2.4 Contacto adhesivo completamente plástico 1.2.5 Contacto adhesivo elastoplástico . . . . . . Contactos sometidos a fuerzas oblicuas . . . . . . 1.3.1 Efecto sobre contactos no adhesivos . . . . 1.3.2 Efecto sobre contactos adhesivos . . . . . . Límites entre distintos tipos de contacto . . . . . Efecto de las asperezas en la cohesión . . . . . . . Montaje experimental: Fuerzas entre partículas . Valores experimentales de la fuerza de adhesión . Adhesión en presencia de campo eléctrico . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Sólido granular 2.1 2.2 2.3 2.4
2.5 2.6
xiii . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Montaje experimental: Resistencia a la tracción . . . . . Valores experimentales de la resistencia a la tracción . . Relación entre las fuerzas entre partículas y el tensor de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . Visualización de tensiones mediante bloques fotoelásticos Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 2 2 2 4 7 10 15 15 20 22 26 27 33 40 43
45
45 50 53 57 57 61 68 72
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Índice
3 Avalanchas 3.1 3.2
3.3
3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Material granular sometido a fuerzas centrífugas . . . . . 77 3.2.1 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.2 Comportamiento de un material no cohesivo . . . 78 3.2.3 Comportamiento de un material cohesivo . . . . . 81 3.2.4 Resultados para materiales cohesivos . . . . . . . 89 Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación 92 3.3.1 Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3.2 Evolución del ángulo de inclinación de la super cie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.3.3 Avalanchas y criticalidad autoorganizada . . . . . 98 3.3.4 Avalanchas y procesos markovianos . . . . . . . . 104 Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo . . . 109 3.4.1 Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Comportamiento de un material no cohesivo en el tambor rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Comportamiento de los materiales granulares nos . . . . 127 Parámetros relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4 Fluidización 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
4.6 4.7
4.8 4.9
Ecuaciones para el asiento uidizado . . . . . Colapso de un asiento uidizado de toner . . . Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resultados experimentales . . . . . . . . . . . 4.5.1 Efecto de las propiedades super ciales 4.5.2 Efecto del tamaño de partícula . . . . 4.5.3 Visualización de los agregados . . . . . Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Difusión en un asiento uidizado . . . . . . . . 4.7.1 Introducción histórica . . . . . . . . . 4.7.2 Montaje experimental . . . . . . . . . 4.7.3 Resultados experimentales . . . . . . . Fluidización en el tambor rotante . . . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Estabilidad del asiento uidizado 5.1 5.2 5.3
75
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Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De nición del inicio de la inestabilidad para los toners . . Montaje experimental: espectrómetro . . . . . . . . . . .
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135 144 147 148 149 149 154 157 157 161 161 163 165 170 176
177
177 180 186
Índice 5.4 5.5 5.6
ix Resultados experimentales: espectrómetro y sensor de altura187 Asiento uidizado sometido a vibraciones verticales . . . 192 5.5.1 Montaje experimental: vibración . . . . . . . . . 194 5.5.2 Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . 194 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Conclusiones
207
A Apendice
211
Bibliografía
217
Publicaciones relacionadas con la tesis
235
x
Índice
Agradecimientos Quisiera agradecer en primer lugar a mi director de Tesis, Antonio Castellanos Mata, sin cuyos consejos y dirección a lo largo de los años de labor, cuyo fruto se recoge en esta tesis, este trabajo no habría sido posible. En segundo lugar, he de agradecer a José Manuel Valverde por su apoyo y por número de discusiones y comentarios cientí cos con los que me ha orientado cada vez que he tenido necesidad de ellos. He de agradecer al resto de mis compañeros en el Departamento de Electrónica y Electromagnetismo la ayuda que frecuentemente me han prestado, en particular a Alberto Tomás Pérez Izquierdo, Francisco Javier García, Heliodoro González y Antonio Ramos por su ayuda en el laboratorio, y a Carlos Soria y Paco Pontiga por su ayuda con los ordenadores y la programación. En general, debo dar las gracias a todos mis compañeros por el ambiente de compañerismo y colaboración que ha existido durante mi trabajo. Quiero dar las gracias a mis padres, mi hermana, familia y amigos por los ánimos que me han transmitido en todo momento. A todas los profesores, profesoras y todas las personas de las que he aprendido en el colegio público Giner de los Ríos en Puertollano (Ciudad Real); en el colegio público San Isidoro en Sevilla; en el instituto de bachillerato Velázquez de Sevilla y en la facultad de Física de la Universidad de Sevilla, desde que con algo menos de diez años de edad decidiera orientar mi vida a la ciencia, muchísimas gracias por ayudarme a conseguirlo. Por último debo agradecer a Javier García su ayuda con el LaTex al redactar esta Tesis.
xii
Agradecimientos
Prefacio Un material granular es un medio multifásico en el que están presentes al menos dos fases: una fase discreta constituida por un conjunto de partículas sólidas y una fase continua consistente en un uido, líquido o gas, que llena los espacios libres entre partículas. En el caso de que la fase continua sea un gas las partículas pueden estar recubiertas por una película de líquido que se extiende formando puentes líquidos allí donde dos partículas están en contacto o su cientemente próximas entre sí. La fase continua y la fase discreta no son disociables: las propiedades de un material granular dependen conjuntamente de las propiedades de las partículas y del uido intersticial. Por ejemplo, es de sobra conocido que la arena seca de una playa no se comporta de la misma manera que la arena húmeda que se encuentra por encima del nivel freático junto a la orilla. En el primer caso el uido intersiticial es el aire, mientras que en el segundo caso el espacio entre partículas está ocupado en parte por el aire, en parte por agua de mar. Los puentes líquidos presentan cierta resistencia a romperse, lo que hace que entre partículas de arena húmedas exista cierta fuerza de atracción efectiva que hace que la arena húmeda sea un material cohesivo. Tampoco la arena saturada de agua que se alcanza si se cava por debajo del nivel freático se comporta igual que la arena húmeda, pues al estar saturado de agua el espacio entre partículas no hay puentes líquidos que unan partículas vecinas. La arena saturada de agua es un material no cohesivo, como la arena seca y la diferencia de comportamiento entre ambas se debe a la diferente naturaleza de la fase continua. El ejemplo de la arena nos ha servido para presentar la primera división existente entre materiales granulares: materiales granulares cohesivos y materiales granulares no cohesivos. El comportamiento de los materiales granulares no cohesivos puede describirse bajo la hipótesis de que los contactos entre partículas sólo pueden transmitir fuerzas compresivas. Por el contrario para poder explicar el comportamiento de los materiales granulares cohesivos es necesario admitir que los contactos entre partículas pueden sostener fuerzas en tensión, además de fuerzas compresivas. En realidad, en cualquier medio granular los contactos entre partículas son capaces de soportar fuerzas en tensión, pero la importan-
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Prefacio
cia de estas en el comportamiento del material depende de la razón de la intensidad de las fuerzas atractivas, que siempre existen entre partículas, con el valor típico de las fuerzas que han de transmitir los contactos. Como un valor típico de estas fuerzas es el peso de la propia partícula, se explica que las partículas de los materiales granulares cohesivos sean pequeñas, con tamaños del orden o menores de 30 m (Castellanos et al., 1999). El objeto de estudio de esta tesis son los materiales granulares cohesivos. Los materiales cohesivos que se han utilizado en los experimentos que se presentan en esta tesis son colorantes xerográ cos de dos tipos: toners, formados por partículas de polímero con densidades del orden de 1000 kg/m3 y tamaños del orden de la decena de micrómetros y developers, formados por partículas férricas recubiertas en su super cie por una capa de polímero al que están adheridas partículas de toner. La partícula compuesta resultante tiene un tamaño del orden del centenar de micrómetros. Los materiales granulares pueden mostrar cuatro regímenes dinámicos distintos, según la clasi cación de Castellanos et al. (1999) que llamaremos: ujo plástico, ujo inercial, uidización y suspensión. La velocidad del gas y de las partículas, el tamaño de las partículas, su densidad y la intensidad de las fuerzas atractivas entre partículas determinan en qué régimen dinámico de los que se detallan a continuación se encuentra el material. 1. El régimen plástico se caracteriza por que el espaciado entre las partículas es pequeño, de manera que las partículas establecen con sus vecinas contactos duraderos. Por contactos duraderos entendemos aquellos contactos que duran un tiempo su ciente como para que las tensiones en el interior de las partículas estén en equilibrio. En el régimen plástico el material está estático o las velocidades típicas de las partículas son pequeñas. Las tensiones en el material granular son independientes de la velocidad de las partículas. El régimen plástico es el que determina la estabilidad de laderas y pendientes de un material granular. 2. En el régimen inercial las tensiones en el material se transmiten mediante colisiones entre partículas. Se entiende como colisión un contacto que no dura el tiempo su ciente como para que las tensiones en el contacto alcancen sus valores de equilibrio. La existencia de colisiones requiere que la distancia entre partículas sea algo mayor que en el régimen plástico, aunque las partículas han de estar los su cientemente próximas como para que el movimiento de cada partícula se vea constreñido por la presencia de sus vecinas. Muchos materiales granulares ordinarios como el azúcar o la arena seca
Prefacio
xv
uyen de esta forma cuando alcanzan el límite de estabilidad en el régimen plástico. En un ujo inercial la acción del uido intersticial es insigni cante en la mayoría de las situaciones. 3. Cuando un material granular está uidizado el uido intersticial es el agente encargado de transmitir las tensiones dentro del material y las tensiones en el interior del material dependen de la diferencia entre las velocidades del uido y de las partículas. La separación típica entre partículas es del orden del tamaño de las partículas. En este estado el material granular se comporta aparentemente como un líquido y la movilidad de las partículas se incrementa grandemente comparado con la movilidad en el régimen inercial o el plástico. Por esta razón la uidización se usa en muchas situaciones en las que interesa que un sólido y un uido reaccionen o se mezclen. 4. En una suspensión la distancia entre partículas es mucho mayor que el tamaño de las partículas, la velocidad media de las partículas es cercana a la velocidad del uido y la interacción entre partículas vecinas es despreciable. Si se supone que las partículas y el gas tienen velocidades comparables en los cuatro regímenes se puede construir un diagrama de velocidad frente a tamaño de partícula como el de la gura 1, en el que cada régimen dinámico ocupa una región determinada. Para una velocidad concreta de las partículas (y del uido) el régimen dinámico en el que se encuentra el material depende del tamaño de la partícula. El diagrama de la gura 1 predice que para partículas con tamaños desde el micrómetro hasta la centena de micrómetros aproximadamente al aumentar la velocidad de las partículas se produce una transición directa desde el régimen plástico a la uidización sin pasar por el régimen inercial. Los valores exactos que limitan el rango del tamaño de las partículas con estas propiedades dependen de la densidad de la partícula y el uido intersticial y las propiedades super ciales de las partículas como se detalla en Castellanos et al. (1999). Al tener las partículas de los materiales granulares cohesivos un tamaño que entra dentro de ese rango, se deduce que la mayoría de los materiales granulares cohesivos no presentarán ujo inercial. Esto es así para los toners, razón por la cual esta tesis está centrada en el estudio de los materiales granulares cohesivos en el régimen plástico y en uidización. No todos los materiales granulares se comportan igual en estado uidizado. El comportamiento de un material granular uidizado depende de las propiedades de las partículas, como su tamaño, densidad y cohesividad y de las del uido, por ejemplo la densidad y la viscosidad. Geldart
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velocidad (m/s)
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SU
E SP
N
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N
N Ó I C ZA INERCIAL
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FL
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SÓLIDO-PLÁSTICO -7
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Diámetro de la partícula (m) Figura 1: Diagrama de regímenes de ujo en materiales granulares en función del tamaño de la partícula. Tomado de Castellanos et al. (1999) y Valverde (1997). (1973) propuso un clasi cación del comportamiento de un material granular al ser uidizado que es aceptada ampliamente. Según Geldart, un material granular uidizado puede pertenecer a uno de estos cuatro grupos, según el tamaño de las partículas y la diferencia de densidad entre las partículas y el uido. 1. Materiales Geldart-A. En este grupo pertenecen los materiales granulares poco densos (densidad menor que 1400 Kg/m3 ) y cuyo tamaño de partícula es pequeño (diámetro de partícula 40 - 50 m o menor). Un asiento uidizado de estos materiales se expande considerablemente una vez que la velocidad del uido supera cierto valor mínimo, llamado velocidad mínima de uidización Umf . El asiento no es atravesado por burbujas visibles de fase continua hasta que la velocidad del uido no supera cierto valor llamado velocidad de burbujeo Umb . Por tanto, en estos materiales Umb > Umf
Prefacio
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2. Materiales Geldart-B. Estos materiales tienen tamaños de partícula y/o densidades intermedias (diámetro de partícula entre 40 y 500 m y densidades hasta de unos 4000 kg/m3 ). Cuando se uidiza un material Geldart-B aparecen burbujas visibles de fase continua en el asiento tan pronto como la velocidad de la fase continua supera la velocidad mínima de uidización y la expansión del asiento es pequeña. Por tanto, en estos materiales Umb = Umf . 3. Materiales Geldart-C. Estos materiales tienen tamaños de partícula muy pequeños, del orden de algunos micrómetros o menor, lo que hace que las fuerzas atractivas entre partículas sean mayores que las fuerzas que el uido puede ejercer sobre cada partícula individual. Son difíciles de uidizar, pues debido a la acción de las fuerzas atractivas las partículas tienden a aglomerarse sin mezclarse uniformemente con el uido, que tiende a atravesar el asiento a través de canales en los que no hay partículas. 4. Materiales Geldart-D. Los materiales de este tipo están formados por partículas muy grandes o muy densas, por lo que es muy difícil uidizarlos. El ujo de fase continua alrededor de las partículas de estos materiales en estado uidizado suele ser turbulento. Cada grupo de Geldart ocupa una región distinta en un diagrama en el que se represente la diferencia de densidades entre la fase discreta y la continua frente al diámetro de las partículas llamado diagrama de Geldart, como el que se muestra en la gura 2. Como no existe un criterio cuantitativo preciso para distinguir entre materiales Geldart-B y Geldart-D la frontera entre ambos grupos es difusa. También es difusa la separación entre los grupos Geldart-A y Geldart-C, en este caso porque la posición del límite entre ambos grupos depende de la intensidad de las fuerzas atractivas entre partículas (Molerus, 1982). Como se demostrará en esta tesis, la intensidad de las fuerzas atractivas depende de las propiedades super ciales de las partículas. Gracias a esto, alterando las propiedades super ciales de las partículas se puede modi car la posición de la frontera entre materiales Geldart-A y Geldart-C. La localización de esta frontera es de importancia industrial porque las reacciones en lechos uidizados en los que un material granular se pone en contacto con un uido requieren para su funcionamiento óptimo que el material granular sea Geldart-A, pero la necesidad de trabajar con partículas lo más pequeñas posible hace necesario que el material granular se localice lo más cerca posible de la frontera con el grupo Geldart-C. Por ejemplo, en las reacciones catalizadas por sólido interesa que las partículas del catalizador sean muy pequeñas para aumentar todo lo posible la razón
xviii
Prefacio
Figura 2: Clasi cación de Geldart de los materiales granulares según su tipo de uidización. Tomado de Gidaspow (1994). entre la super cie y la masa del catalizador. La mayoría de los materiales granulares cohesivos, como los toners xerográ cos se localizan en el diagrama de Geldart a ambos lados de la región fronteriza entre los materiales Geldart-A y Geldart-C. Por esta razón al estudiar el comportamiento de los materiales granulares cohesivos en estado uidizado nos hemos centrado en la in uencia de la intensidad de las fuerzas atractivas entre partículas en la dinámica del asiento uidizado. En el capítulo 1 de esta tesis se estudia la mecánica del contacto entre partículas y como las propiedades super ciales afectan a la fuerza de adhesión en los contactos. En el capítulo 2 se relacionan las fuerzas entre partículas con el tensor de tensiones en el interior de un material granular en régimen plástico y se estudia como la adhesión en los contactos entre partículas origina la cohesión del material. En el capítulo 3 se discute el límite del régimen plástico en materiales cohesivos a través del estudio de la pérdida de estabilidad de la pendiente de la super cie libre de materiales granulares cohesivos bajo la acción de fuerzas centrífugas y en el tambor rotante. El tambor rotante permite estudiar situaciones dinámicas para materiales cohesivos en el régimen plástico cuando la velocidad de rotación del tambor es pequeña. Aumentando la velocidad de rotación se estudia la transición del régimen
Prefacio
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plástico al régimen de uidación. En el capítulo 4 se estudia el efecto de las fuerzas de adhesión en la dinámica del asiento uidizado y en la transición entre el régimen plástico y la uidización. Se presentan resultados sobre la velocidad de colapso de un asiento uidizado y el coe ciente de difusión efectiva de las partículas que demuestran que el comportamiento del asiento cambia con el grado de expansión, según existan o no en el asiento contactos permanentes entre partículas. Por último, en el capítulo 5 se estudia la estabilidad de un asiento uidizado de material granular cohesivo y como cambia el límite de estabilidad bajo la acción de una perturbación externa (vibraciones).
Capítulo 1 Fuerzas de contacto entre partículas 1.1 Introducción No existe un modelo general que describa la mecánica del contacto entre dos sólidos cuyas super cies no encajen la una en la otra (Adams y Nosonovsky, 2000) sino que cada caso concreto se aborda mediante modelos que hacen aproximaciones especí cas. La principal división existente entre modelos consiste en asumir que la deformación en el contacto es elástica y por tanto reversible, o bien plástica, de manera que tras romper el contacto queda cierta deformación remanente. En la realidad, dependiendo de la fuerza de carga a la que esté sometido el contacto puede aparecer deformación elástica, plástica o más comúnmente, regiones donde la deformación es plástica y regiones donde la deformación es elástica. Además hay que considerar la posible presencia de fuerzas atractivas o de fricción entre las super cies en contacto, lo que nos da un buen número de casos posibles, algunos de los cuales se detallaran en esta sección. Supondremos que las partículas son esféricas con radios R1 y R2 . Si el radio del área de contacto entre ambas partículas es muy pequeño frente a R1 y R2 el contacto es equivalente al de una esfera de radio R y un semiespacio indeformable, donde R viene dado por:
1 1 1 = + R R1 R2
(1.1)
Además a no ser que se diga lo contrario, admitiremos que las constantes elásticas (módulo de Young E y coe ciente de Poisson ) y la dureza plástica H de las super cies en contacto son idénticas. De esta forma la deformación en el plano del contacto es la misma para ambas partículas,
2
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
con lo cual en ausencia de fuerzas tangenciales externas no es necesario tener en cuenta la presencia de fricción.
1.2 Contactos sometidos a fuerzas normales 1.2.1 Contacto elástico no adhesivo Este es el caso más simple que podemos encontrar para el contacto entre dos partículas. Se admite que no existen fuerzas atractivas entre ambas y que toda la deformación es elástica. Recibe el nombre de contacto hertziano, ya que fue Hertz el primero en estudiarlo (Hertz, 1882). Si la fuerza externa aplicada sobre el contacto es P , ambas esferas se deforman hasta tocarse en una región circular de radio a dado por:
3 RP a3 = 4 E 1 1 12 1 22 = + E E1 E2
(1.2)
donde Ei es el módulo de Young de la esfera i, i su coe ciente de Poisson y R recibe el nombre de radio reducido. La presión normal que se transmite dentro del área de contacto vale:
p(s; a) =
2E p 2 a R
s2
(1.3)
Se denomina fuerza de adhesión entre dos cuerpos a la fuerza que es necesario hacer para separarlos cuando se encuentran en contacto. En un contacto hertziano no existe fuerza de adhesión pues la fuerza en el contacto P siempre toma valores positivos y se anula cuando el radio de la zona de contacto se hace nulo.
1.2.2 Contacto adhesivo para una esfera rígida Para que exista fuerza de adhesión entre dos cuerpos en contacto es necesario que entre ambos existan fuerzas atractivas, situación que es la usual ya que las fuerzas atractivas son ubicuas. Entre dos super cies secas estas son debidas a fuerzas eléctricas entre cargas atrapadas en las super cies (aún cuando ambos cuerpos sean eléctricamente neutros) o a fuerzas de van der Waals, siendo estas últimas las más importantes para distancias pequeñas (Gady et al., 1996). Podemos calcular la fuerza de van der Waals entre dos cuerpos si admitimos que la fuerza de van der Waals entre moléculas es aditiva por pares y obedece a un potencial de
1.2. Contactos sometidos a fuerzas normales interacción
3
u(z ) del tipo Lennard-Jones: " 12 u(z ) = 6 z
6 #
z
(1.4)
es la constante de London, cuyo valor depende de cuales sean las moléculas que interaccionan. En rigor, el primer término del potencial u(z ) no
se debe a las fuerzas de van der Waals, sino que aproxima la fuerza repulsiva de origen cuántico entre las nubes electrónicas de ambas moléculas. La energía de interacción entre una esfera de radio R y un semiespacio, ambos indeformables, puede obtenerse a partir de la expresión 1.4 y resulta: " # A 2R(R + z ) z U (z ) = + ln + (1.5) 6 (2R + z )z 2R + z " # 6
A 6R z 8R + z + 7 7560 z (2R + z )7
A es la llamada constante de Hamaker, que está relacionada con la constante de London por: A = 2 1 2 (1.6) donde representa la densidad numérica de moléculas en cada cuerpo. La fuerza de interacción entre la esfera y el semiespacio vale: " # 3 6
F (z ) =
2R A A 7R z 9R + z + + 2 8 3z (2R + z ) 1260 z (2R + z )8 2
(1.7)
con signo negativo si la fuerza es atractiva. En el caso que el radio de la esfera R sea mucho mayor que la distancia de separación z entre la esfera y el semiespacio la energía y la fuerza de interacción pueden simpli carse en la forma:
A R A6 R + 6 z 1260 z 7 AR A6 R F (z ) = + 6z 2 180 z 8
U (z ) =
(1.8) (1.9)
En ausencia de fuerzas externas la esfera y el plano estarán a una distancia de equilibrio ze tal que F (ze ) = 0. En el caso en que R z se tiene ze = =301=6 ' 0:57. La fuerza de interacción tiene un mínimo negativo a una distancia zm = 21=3 ze . La fuerza F (zm ) ' (AR)=(10ze2 ) representa la fuerza que es necesario hacer para separar esfera y plano así que recibe el nombre de fuerza de adhesión. Siempre que R ze la fuerza de adhesión aumenta linealmente con el radio de la partícula.
4
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
1.2.3 Contacto adhesivo para una esfera elástica Si la esfera no es rígida, sino elástica, esta se deformará y es necesario encontrar una expresión para la fuerza de interacción entre super cies a partir de la expresión 1.4. En esta situación se suele aceptar la hipótesis de Derjaguin: la energía de interacción entre área pequeñas de dos sólidos, aunque estén curvadas o ligeramente inclinadas una con respecto a la otra es la misma que la energía por unidad de área uw (z ) entre dos semiespacios (Derjaguin, 1934). Esta aproximación es aceptable si el radio de curvatura de las super cies es mucho mayor que el alcance de las fuerzas de interacción entre ellas y da lugar a una expresión para la fuerza de interacción por unidad de super cie (z ) que depende únicamente de la separación local z entre ambas super cies. A partir de la expresión 1.4 se tiene para la energía de interacción por unidad de área debida a las fuerzas de van der Waals entre dos semiespacios:
uw (z ) =
A6 A + 12z 2 360z 8
(1.10)
y para la fuerza de interacción por unidad de super cie: " 9 6 # 6
(z ) =
A A A + = 3 9 6z 45z 6z03
zeq z
zeq z
(1.11)
donde z0 = (2=15)1=6 ' 0:71 es la distancia de equilibrio entre dos semiespacios. El valor de zeq se suele tomar entre 3 y 5 Å. Para resolver el problema de forma completamente autoconsistente hay que encontrar la deformación y el campo de tensiones en equilibrio para la ley de interacción 1.11. Para de nir el área de contacto hay que usar algún criterio adicional, como considerar área de contacto la región donde la separación entre ambas super cies es menor que cierto valor dado a priori. Esta forma de considerar el problema sólo admite tratamiento numérico y ha sido usada por diversos autores (Greenwood, 1997; Attard y Parker, 1992). Otra aproximación al problema del contacto elástico consiste en sustituir la parte repulsiva del potencial de interacción entre super cies uw (z ) por un potencial con un núcleo duro tal que que dos semiespacios no pueden aproximarse una distancia menor que z0 . Si llamamos al nuevo potencial de interacción uhw (z ) para mantener la consistencia es necesario escoger z0 de forma que uhw (z0 ) = uw (zeq ) = w , donde zeq es la distancia de equilibrio entre dos semiespacios. A la energía por unidad de super cie w se la denomina trabajo de adhesión. El valor de z0 no coincide, en general, con zeq aunque sí tendrá un valor comparable. De ahora en adelante usaremos z0 = 4 Å. El área de contacto queda de nido como
1.2. Contactos sometidos a fuerzas normales
5
aquella región en la cual las super cies de la esfera deformada y del plano distan entre sí una distancia z0 . Llamando s a la coordenada radial en la región de contacto y Æ al desplazamiento relativo entre el plano y un punto sin deformar de la esfera, el problema se reduce a encontrar la deformación u(s) y la tensión en la super cie p(s) que cumplen las condiciones de contorno (Barthel, 1998):
u(s) = Æ
s2 ; s a
(1.12)
donde a es el radio de la zona de contacto, que por la simetría del problema es circular. El problema así planteado puede ser resuelto simbólicamente una vez se ha escogido una expresión para la fuerza de atracción por unidad de super cie at (z ) (que resulta de la parte atractiva del potencial uhw ) con la condición adicional de que el radio a de la región de contacto sea mucho menor que el radio de curvatura R de las super cies en contacto, de manera que las tensiones dentro de la esfera se puedan aproximar por las tensiones en un semiespacio elástico cargado dentro del área de contacto. La forma funcional que se escoge para at (z ) no tiene por qué coincidir con la parte atractiva de la fuerza por unidad de super cie de la expresión 1.11. Por ejemplo, en ocasiones se utiliza (Maugis, 1992; Barthel, 1998; Mesarovic y Johnson, 2000):
at (z ) = 0 (lat
z)
(1.13)
donde es la función de Heaviside y lat de ne el alcance de las fuerzas atractivas, con la condición de que 0 lat = w Al resolver la deformación elástica que experimenta la esfera aparece de forma natural el parámetro: !1 Rw2 3 = 2 3 (1.14)
E z0
llamado parámetro de Tabor (Tabor, 1976) que relaciona la amplitud de la deformación elástica de la super cie en el momento en el que el contacto se rompe con el alcance de las fuerzas atractivas. Una vez que se conocen la presión p(s) y la deformación de la super cie u(s), se puede hacer entonces la sustitución pt (s) = at [u(s)]. A pt la denominaremos presión sobre la super cie de la esfera debida a las fuerzas atractivas. El núcleo duro del potencial uhw también hace una contribución pe a la presión sobre la super cie de la esfera de valor pe (s) = p(s) pt (s). Como el núcleo duro de uhw da lugar a una fuerza repulsiva de contacto, pe sólo puede tomar valores dentro del área de contacto, mientras que pt puede tomar valores dentro y fuera del área de contacto.
6
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
Independientemente de la forma funcional de at (z ), para valores muy pequeños o muy grandes de el comportamiento del contacto tiende a dos modelos aproximados completamente analíticos llamados modelos DMT (Derjaguin et al., 1975) y JKR (Johnson et al., 1971) respectivamente (Johnson y Greenwood, 1997; Tabor, 1976; Greenwood, 1997; Barthel, 1998). En ambos modelos pe (s) se da a priori y se hace coincidir con la presión p(s) en un contacto hertziano (expresión 1.3). En el modelo JKR se admite que las fuerzas atractivas actúan únicamente dentro del área de contacto, mientras que en el modelo DMT las fuerzas atractivas actúan únicamente fuera del área de contacto. Si la deformación en el contacto es elástica la fuerza de adhesión Ft depende exclusivamente del valor del parámetro de Tabor (Barthel, 1998) y toma valores comprendidos entre los límites dados por los modelos DMT y JKR (ver gura 1.1):
3 1 ) Ft = !R ; (JKR) 2 1 ) Ft = 2!R ; (DMT )
(1.15)
Se acepta en la literatura que el modelo JKR es su cientemente aproximado para > 5 mientras que el modelo DMT es válido para < 0:1. Como el parámetro no depende de la fuerza de carga, la fuerza de adhesión es independiente de la fuerza de carga. El cálculo exacto de la fuerza de adhesión para un valor cualquiera de es complicado aunque existe un modelo simpli cado que permite calcularla con bastante aproximación (Greenwood y Johnson, 1998). Este modelo consiste en suponer que tanto pt como pe está dadas a priori y tienen la forma funcional:
2E p 2 2 a s (a s) (1.16) R i p2 2 2E hp 2 2 pt (s; a) = c s (c s) a s (a s) R donde es la función de Heaviside y c > a y son parámetros ajustables cuyo valor se obtiene de imponer que el parámetro de Tabor y el trabajo de adhesión w han de ser constantes y valen: R 1=3 (1.17) = 0 2 E W 2E p 2 2 0 = c a R 2E w = (1 + ) (c a)2 (c + 2a) 2 3R
pe (s; a) =
la última condición resulta de imponer la de nición del trabajo de adhesión: Z1 w= pt (h) dh (1.18) 0
1.2. Contactos sometidos a fuerzas normales
7
Ft / (2 π w r) -0.75 -0.8 -0.85 -0.9 -0.95 -1 0.01
0.1
µ
1
10
Figura 1.1: Fuerza de adhesión entre un plano y una partícula elástica esférica de radio r en función del parámetro de Tabor donde la separación h(s) se limita a recorrer la super cie de la esfera en contacto con el plano y se ha hecho z0 = 0. La fuerza de carga P para un radio de contacto a es la resultante de las fuerzas atractivas y las fuerzas elásticas. Za Zc P = 2spe(s) ds + 2spt (s) ds (1.19) 0
0
la fuerza de adhesión Ft se corresponde con el mínimo valor de P en la expresión 1.19. El valor de la fuerza de adhesión frente al parámetro de Tabor se presenta en la gura 1.1.
1.2.4 Contacto adhesivo completamente plástico En un contacto completamente plástico existe tanto deformación elástica como plástica. La región de deformación plástica abarca toda la super cie del área de contacto y la presión sobre el área de contacto p(s) debida a la reacción del material toma un valor constante pm = H (Maugis y Pollock, 1984). Las tensiones en el interior de la región plástica se determinan suponiendo que el material se encuentra en el límite de ujo plástico. Como límite plástico se usa el criterio de Von Mises (aunque existen otros, como el de Tresca, que proporcionan resultados similares): s
1 [( 2 1
2 )2 + (1
3 )2 + (2
3 )2 ] = Y
(1.20)
El primer miembro de esta expresión recibe el nombre de tensión equivalente de von Mises vm , i son los valores principales del tensor de
8
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
tensiones del material e Y es una constante, con dimensiones de tensión, característica del material y llamada límite elástico. El valor que se mide experimentalmente para Y di ere si la deformación del material se produce mediante una tensión o una compresión uniaxial. De ahora en adelante supondremos que el valor de Y se ha medido mediante una compresión uniaxial. Por contra, H no es una característica del material, sino que depende de la geometría del contacto (esfera-esfera, cono-plano, cilindro-plano, etc.). Sin embargo, en la mayoría de las situaciones, entre las que se incluye el contacto esfera-esfera H = kY independientemente del valor de la fuerza de carga, donde k está comprendido entre 2.8 y 3 (Johnson, 1985; Wu, 2001), razón por la cual llamaremos al valor pm = 3Y dureza plástica del material. Todo lo dicho hasta ahora es cierto siempre que la deformación plástica de la esfera sea pequeña comparada con el radio de esta, por ejemplo a=R < 0:7 si el contacto es adhesivo (Mesarovic y Johnson, 2000)), pero para contactos no adhesivos sin fricción se dan valores tan bajos como a=R < 0:08 (Mesarovic y Johnson, 2000). Si la deformación plástica de la esfera no es pequeña hay que tener en cuenta el efecto del ujo plástico del material desde el centro hasta el borde de la zona de contacto. El material que ha uido se apila en la región más externa del área de contacto. Esto tiene el efecto de hacer que pm caiga por debajo del valor 3Y de modo que pm se reduce al aumentar el valor de la fuerza de carga (Mesarovic y Fleck, 2000; Wu, 2001). Además, como en el caso de que la deformación no sea pequeña las líneas de ujo plástico no son las mismas si se considera una esfera plástica frente a un semiespacio indeformable (como suponemos aquí), que cuando se considera una esfera indeformable frente a un semiespacio plástico, ambos tipos de contacto no son equivalentes, como ocurre cuando toda la deformación es elástica. Si admitimos que la deformación plástica es pequeña comparada con el tamaño de la esfera la fuerza de carga P y el radio de contacto a están relacionados por: P = a2 H + Fat (1.21) donde Fat es la fuerza atractiva que actúa entre las super cies en contacto (que ha sido de nida con signo negativo). Para cerrar la expresión 1.21 es necesario contar con una expresión para Fat en función de a (o bien una expresión para pt en función de s que integrada nos de Fat ), así podremos calcular el radio nal de equilibrio af cuando el contacto se carga con una fuerza P . Como la deformación plástica es irreversible, al descargar el contacto la relación entre la fuerza de carga y el radio de contacto no será 1.21, sino que habremos de calcular que parte de la deformación se recupera. Aunque no es estrictamente cierto, sí es muy aproximado admitir que durante la descarga del contacto toda la
1.2. Contactos sometidos a fuerzas normales
9
deformación es elástica (Wu, 2001). Si el radio a de la zona de contacto es su cientemente pequeño comparado con el radio R de la partícula como para que sean válidas las soluciones para un semiespacio cargado, la componente elástica de la presión pe (s; a) en el área de contacto puede hallarse en función de a como (Mesarovic y Johnson, 2000): K Z a p f ( ) d (1.22) pe (s; a) = 2 2
s 2 @ sp(s; af ) p f ( ) = ds K @ s2 2 donde, por supuesto p(s; af ) = H . La integral de pe (s; a) sobre el área de contacto arroja el valor de la fuerza Fe resultante de las tensiones elástis
Z af
cas en el interior del material. A esta fuerza hay que añadir la resultante de las fuerzas atractivas que actuán en el contacto. Si suponemos que las fuerzas atractivas están con nadas dentro de la zona de contacto (Mesarovic y Johnson, 2000), lo que nos da una situación análoga al modelo JKR durante la descarga, es razonable suponer que la contribución de las fuerzas atractivas es igual a la del modelo JKR (Mesarovic y Johnson, 2000), es decir: s Z
Fat =
a
0
2s
2wE a ds = (a2 s2 )
p
8wE a3
(1.23)
Sustituyendo en 1.22 se encuentra que la fuerza de adhesión vale: q 1 F 2 2 1=2 t
arcsin c c 1 c2 4 1 c3=2 P wE ac = ; = (1.24) 2 4 p2m a c a donde ac es el radio del área de contacto para el cual ambas super cies se separan. c es la solución de la ecuación: 9( 2) 3 = 1 2 (1.25) 4 Podemos obtener una relación simple entre la fuerza de adhesión Ft y la fuerza de carga que actúa en el contacto P en el caso particular en el que ac a si usamos como cota superior de 1.24 la expresión: Ft 3 (2 4) = (1.26) P 2 =
con lo que se obtiene:
Ft =
3wE p P 2(H 3)1=2
(1.27)
10
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
Según esta expresión si no se aplica una fuerza de carga al contacto el valor de la fuerza de adhesión es cero, a pesar de que en ese caso el valor de Ft debería ser igual o menor (recuérdese el signo negativo) que el valor de la fuerza de adhesión cuando el contacto es elástico. Esta contradicción se debe a que para llegar a la expresión 1.27 se ha supuesto que la fuerza de carga P es mucho mayor que las fuerzas atractivas actuando en el contacto para poder despreciar Fat frente a P y hacer P ' a2 H en 1.21. Por este motivo 1.27 no es válida cuando la fuerza de carga y las fuerzas atractivas son comparables.
1.2.5 Contacto adhesivo elastoplástico Se dice que un contacto es elastoplástico cuando la región donde se produce la deformación plástica no llega a abarcar completamente el área de contacto. Cuando un contacto elástico se transforma en elastoplástico en ausencia de fuerzas atractivas la región de deformación plástica aparece dentro de la esfera sin alcanzar la super cie del área de contacto en un punto bajo el centro del área de contacto (Johnson, 1985; Vu-Quoc et al., 2000; Kogut y Etsion, 2002; Wu, 2001). Al aumentar la fuerza de carga el volumen de la región de deformación plástica crece. La presión p(s) en el área de contacto sigue teniendo forma hertziana (expresión 1.3) hasta que la presión en el centro del área de contacto alcanza el valor 1:6Y (Wu, 2001). A partir partir de entonces los resultados numéricos para un contacto no adhesivo (Vu-Quoc et al., 2001; Wu, 2001; Kogut y Etsion, 2002) indican que existe un radio ap dentro de la zona de contacto tal que dentro del círculo de radio ap la presión p(s) es constante mientras que para a > ap la presión p(s) tiene forma hertziana (Thornton, 1997; Thornton y Ning, 1998). Conforme aumenta la fuerza de carga, ap crece más rápidamente que el radio del área de contacto a, con lo que p(s) es constante dentro de una fracción mayor del área de contacto. Además el valor de p(s) para s < ap se incrementa paulatinamente desde 1:6Y hasta 3Y . No debe pensarse que la región del área de contacto con s < ap se corresponde con la región de deformación plástica. De hecho, la región de deformación plástica alcanza la super cie del área de contacto en un anillo más cercano al borde que al centro del área de contacto y desde allí progresa radialmente en la super cie tanto hacia afuera como hacia adentro del área de contacto (Kogut y Etsion, 2002; Wu, 2001). No obstante, en la simulación de un contacto entre una esfera indeformable y un semiespacio elastoplástico (Wu, 2001), mientras la región de deformación plástica no alcanza la super cie del área de contacto el valor de ap es algo menor que la distancia radial al centro del área de contacto del punto donde la región de deformación plástica está más cerca de la super cie del área de contacto.
1.2. Contactos sometidos a fuerzas normales
11
Si existen fuerzas atractivas y el parámetro de Tabor es lo bastante grande como para que en situación elástica el contacto pueda ser descrito por el modelo JKR, cuando la deformación plástica aparece bajo el centro del área de contacto ya existe deformación plástica en los bordes del área de contacto (Maugis y Pollock, 1984). Por este motivo es de esperar que la evolución de la región plástica sea similar a la evolución en ausencia de fuerzas de atracción. Si suponemos que existen fuerzas atractivas en el contacto, se puede hacer un modelo para calcular la fuerza de adhesión siguiendo el procedimiento de la sección 1.2.4, si se propone para la presión p(s) en el área de contacto la siguiente dependencia con el radio de contacto (Thornton y Ning, 1998):
p(s; a) = pe (s; a) + pt (s; a) (1.28) p 2E pe (s; a) = H (ap s) + a2 s2 (s ap ) R Como hemos hecho pe = 3Y para p < ap la distribución de presión 1.28
ajusta mejor el per l de presión real en el contacto cuando la región de deformación plástica está bastante desarrollada y ha alcanzado la super cie del área de contacto que cuando la deformación plástica está recién iniciada. La presión debida a las fuerza atractivas la de nimos de la misma forma que en la expresión 1.23. Por tanto, para ser consecuente hay que limitarnos a contactos en los que el valor del parámetro de tabor es grande ( > 5) de manera que las fuerzas atractivas estén con nadas dentro del área de contacto. El valor de ap se obtiene de imponer la continuidad de la presión en s = ap :
q
1 c2p =
RH a ; cp = p 2E a a
(1.29)
Si af es el radio de equilibrio de la zona de contacto bajo la carga sustituyendo en la segunda expresión de 1.22 se tiene:
f ( ) =
2H q 2 2 2H a Æ ( ( a ) + p E p E a2p 2 a2f 2 2 + ( ap ) Æ ( ap) R R v Z af u u a2f s2 4 t s ds + Æ ( ap ) R s2 2 ap q
4 (a R p
)
@ @
v Z af u 2 u t af ap
s2
s2 s ds 2
ap )
P,
(1.30)
12
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
y sustituyendo en la primera expresión de 1.22 podemos hallar la componente elástica de la presión pe (s; a) en la zona de contacto durante la descarga. A la integral de pe (s; a) sobre el área de la zona de p contacto 8wE a3 hay que añadir la resultante de las fuerzas atractivas Fat = para obtener la fuerza de contacto F (a) durante la descarga. La función F (a) tiene un mínimo para un determinado valor del radio de la zona de contacto a = ac . El contacto se rompe para un radio ac con una fuerza de adhesión Ft = F (ac ). Resulta conveniente pasar a variables adimensionales en la forma: 1=3 P E H E R 1=3 P = ; a = a 2 ; H = (1.31)
2wR
Rw
E
w
En la gura 1.2 se muestra la curva de la fuerza de carga P frente al radio de contacto a para H = 2 y H = 0:8, así como las curvas de fuerza F frente a a durante la descarga para algunos valores de af . Se observa que el efecto de la existencia de deformación plástica es hacer que que las curvas P (a ) y F (a ) no coincidan. Tanto P (a ) como F (a ) valen cero cuando a = 0 debido a que hemos supuesto que el alcance de las fuerzas atractivas es nulo, de manera que queden con nadas dentro de la zona de contacto. En cualquier situación real el alcance de las fuerzas atractivas no es nulo, y P (0) y F (0) han de tener valor negativo. Entre a = 0 y su mínimo respectivo ambas curvas presentan un intervalo en el que la fuerza de contacto, ya sea P o F , disminuye al aumentar el radio de la zona de contacto. Este intervalo no es accesible experimentalmente pues cuando se forma el contacto con carga P = 0 el radio de la zona de contacto toma el valor en el que la curva P (a ) corta al eje de abscisas, mientras que cuando se separa la partícula del plano el contacto se rompe cuando F (a ) alcanza su valor mínimo en a = ac En la gura 1.3 se muestra como la razón cp entre el radio de la región plástica y el radio del área de contacto crece desde cp = 0+ , cuando aparece deformación plástica hasta cp 1, cuando el contacto es completamente plástico. Cuanto menor es H la deformación plástica aparece para un valor del radio de la zona de contacto a más pequeño. En rigor, debido a como se han de nido las tensiones en el área de contacto cp no alcanza nunca el valor 1 (véase 1.29). Para conectar los resultados de esta sección con los resultados para el modelo completamente plástico (sección 1.2.4) es necesario escoger un valor umbral cp0 lo su cientemente próximo a 1 y suponer que para cp > cp0 el contacto es completamente plástico. En la gura 1.3 se muestra también cómo la presión media, incluida la contribución de las fuerzas atractivas en el área de contacto, aumenta hasta el valor de la dureza H y como el crecimiento es más rápido cuanto menor es la dureza H del material. Como la fracción del área de contacto ocupada por la región plástica
1.2. Contactos sometidos a fuerzas normales
13
25 H* = 2
Carga P*
20
Contacto elástico Contacto elastoplástico Contacto plástico
15 10 5 0 0
1
-5
2 3 4 5 Radio del área de contacto a*
25
7
H* = 0.8
20
Contacto elástico Contacto elastoplástico Contacto plástico
15
Carga P*
6
10 5 0 0
1
2
3
4
5
6
7
-5 -10
Radio del área de contacto a*
Figura 1.2: Fuerza de carga P frente a radio de contacto a para un contacto elastoplástico (linea continua). Se muestra también la relación P (a ) si el contacto fuera elástico en todo momento (línea a trazos). Las líneas de trazo no representan la fuerza de contacto F (a ) cuando el contacto se descarga. La banda gruesa es la envolvente de todos los mínimos de las curvas F (a ) y por tanto representa la fuerza de adhesión Ft (ac ) donde ac es el radio de la zona de contacto para el cual el contacto se rompe. aumenta más rápidamente cuanto menor es la dureza adimensional H , la fuerza de adhesion Ft crece más rápidamente con la fuerza de carga P cuanto menor es H (ver gura 1.4). Como se ha de nido H en
14
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas 2
(P-Fat)/(π a H) 1 0.8 0.6 0.4
H* = 0.8 H* = 2
0.2
H* = 4 0 0
2.5
5
a* 7.5
10
12.5
15
cp 1 0.8 0.6 0.4
H* = 0.8 H* = 2
0.2
H* = 4 0 0
2.5
5
a* 7.5
10
12.5
15
Figura 1.3: Presión media sobre el área de contacto (arriba; las fuerzas atractivas están de nidas con signo negativo) y fracción cp del radio del área de contacto en la que la deformación es plástica (abajo) en función del radio del área de contacto a para varios valores de la dureza H . función de la dureza plástica del material H y del módulo de Young E , la dependencia de la fuerza de adhesión con la fuerza de carga cuando el contacto es elastoplástico no depende exclusivamente de H sino también del módulo de Young, lo que también ocurre en el contacto completamente plástico como puede verse en la expresión 1.27. Por ejemplo, en la gura 1.4 se presenta la fuerza de adhesión en función de la fuerza de
1.3. Contactos sometidos a fuerzas oblicuas
15
carga para distintos valores del módulo de Young a igual valor del resto de las variables (H = 300 MPa, = 1=3, w = 0:07 J/m2 y R = 50 nm). La relación Ft frente a P cambia debido a que la fuerza de carga necesaria para iniciar la deformación plástica depende el módulo de Young. Esto se entiende si se tiene en cuenta que la región de deformación plástica está rodeada de material deformado elásticamente, de manera que cerca del límite entre ambas regiones la tensiones elásticas han de ser comparables a la dureza plástica H del material. Cuanto mayor es el módulo de Young menor deformación es necesaria para que las tensiones elásticas alcancen el valor de H y antes aparecerá deformación plástica.
1.3 Contactos sometidos a fuerzas oblicuas 1.3.1 Efecto sobre contactos no adhesivos Hasta ahora hemos supuesto que el contacto sólo soporta fuerzas de carga normales y que no existe fricción entre las super cies de la esfera y el semiespacio en el área de contacto. En la situación más general un contacto no soporta sólo fuerzas normales sino también fuerzas tangenciales que actúan paralelamente al plano del área de contacto. Considerar fuerzas tangenciales introduce una complicación adicional a la mecánica del contacto: mientras que las fuerzas normales sólo son capaces de producir deformación (elástica o plástica) en el área de contacto y sus alrededores, las fuerzas tangenciales son capaces de producir tanto deformación como deslizamiento de las super cies dentro del área de contacto. Se dice que existe deslizamiento cuando un punto A en la super cie de la esfera y un punto B en la super cie del semiespacio que están inicialmente en contacto se separan al aplicar una fuerza tangencial T~ . El deslizamiento ds se de ne como la distancia que separa los puntos A y B tras la aplicación de la fuerza tangencial. La fuerza tangencial T~ aplicada sobre la esfera es equilibrada por una distribución de tracción ~q en el área de contacto. La distribución de tracción es una magnitud vectorial porque en cada elemento de super cie la fuerza tangencial que actúa sobre él tiene, en general, componentes a lo largo de los ejes Ox y Oy , si tomamos ambos ejes contenidos en el plano del área de contacto y el eje Oz perpendicular al área de contacto. En aquellas regiones dentro del área de contacto en la que existe deslizamiento las distribuciones de tracción y de presión están relacionadas por j~qj = m p, siendo m el coe ciente de fricción microscópico entre super cies en contacto. Cuando no existe deslizamiento j~qj < m p y dos puntos A y B que inicialmente estaban en contacto permanecen en contacto tras la aplicación de la fuerza tangencial T~ .
16
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas 8
H* = 4
7 Ft * 6
H* = 2 H* = 1.2 H* = 0.8
5 4 3 2 1 0 0
Ft (nN) 40
25
50
P* 75
100
125
150
E = 3 GPa E = 3.5 GPa
35
E = 4 GPa 30 25 20 15 10 0
25
50
75 P (nN)
100
125
150
Figura 1.4: (Arriba) Fuerza de adhesión adimensional en función de la fuerza de carga adimensional para algunos valores de H . (Abajo) Fuerza de adhesión en función de la fuerza de carga para H = 300 MPa, = 1=3, w = 0:07 J/m2 y R = 50 nm y distintos valores del módulo de Young. En ausencia de fuerzas atractivas puede hacerse la simpli cación de que la distribución de tracción ~q no ejerce ninguna in uencia sobre la distribución de presión p (Johnson, 1985). Esta aproximación es razonable cuando el contacto es elástico, pero deja de serlo cuando el contacto es elastoplástico o completamente plástico (Wu, 2001). Si consideramos un contacto entre una esfera elastica y un semiespacio
1.3. Contactos sometidos a fuerzas oblicuas
17
rígido en ausencia de fuerzas de adhesión, que inicialmente está sometido únicamente a una fuerza normal P , el radio del área de contacto a y la distribución de presión p(s) vienen dadas por las fórmulas de Hertz 1.2 y 1.3. Si sometemos al contacto a una fuerza tangencial Tx con la dirección del eje Ox e imponemos que no exista deslizamiento en el área de contacto, la distribución de tracción que actúa en la super cie es (Johnson, 1985):
qx (s) =
Tx p 1 2a a2 s2
(1.32)
qx diverge a in nito cuando s ! a, luego cerca del borde del área de contacto no puede cumplir la condición de no deslizamiento qx (s) < m p( s).
Por lo tanto, es necesario admitir que dentro del área de contacto existe una corona circular cuyo límite externo es el límite del área de contacto dentro de la cual existe deslizamiento y la tracción qx (s) no puede estar dada por 1.32. Si por el contrario admitimos que se produce deslizamiento en todo el área de contacto, la distribución de tracción se encuentra directamente de 1.3 y de la condición de deslizamiento qx (s) = m p(s) y vale:
qx (s) =
3m P p 2 a 2a3
s2
(1.33)
Esta distribución de tracción da lugar a una deformación ux en la super cie del área de contacto con la forma (Johnson, 1985):
i 3m P h 2 2 2 4(2 ) a + (4 ) x + (4 3 ) y 64Ga3 3m P E 2xy ; G = = 3 64Ga 2(1 + )
ux = uy
(1.34)
Y si Æ es la distancia que se desplaza un punto de la esfera muy alejado del área de contacto de forma que para ese punto la deformación es nula, el deslizamiento ds en cada punto vale ds = Æ ux , teniendo en cuenta que Æ se toma positivo aunque el desplazamiento Æ y la deformación ux en la super cie de contacto tengan distinto sentido. La solución para el caso general en el que el deslizamiento sólo se da en una corona circular de radio interior c puede obtenerse como una superposición de dos distribuciones de tracción con la forma (Mindlin y Deresiewic, 1953; Johnson, 1985):
3m P p 2 2 a s (a s) 2a3 3m P p 2 2 c s (c s) qx2 (s) = 2a3
qx1 (s) =
(1.35)
18
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
La distribución de tracción qx1 da lugar a una deformación u1x , u1y dada por 1.34, mientras que qx2 da lugar a una deformación en s < c:
3m P h 4(2 )c2 + (4 )x2 + (4 3 64Ga 3m P 2xy 64Ga3
u2x = u2y =
La distribución de tracción qx s < c:
i
(1.36)
= qx1 + qx2 da lugar a una deformación en
3m P (2 16Ga3 = u1y + u2y = 0
ux = u1x + u2x = uy
3 )y 2
)(a2
c2 )
(1.37)
y si se hace Æ = ux no hay deslizamiento en la región circular s < c. El valor de c se encuentra de integrar qx en el área de contacto, resultando:
c = (1 a
Tx 1=3 ) m P
(1.38)
En el caso de que el contacto sea entre esferas elásticas 1.37 queda: 3m P 2 2 2 1 2 2 (a c ) + (1.39) Æ= 3
16a
G1
G2
Si se mantiene el valor de P constante y se aumenta Tx desde cero, la región donde se produce deslizamiento crece hacia el interior del área de contacto según 1.38. Sin embargo, si en algún momento se hace decrecer el valor de Tx , la nueva distribución de tracción no se encuentra directamente de recalcular c en 1.38. Esto se debe a que, al contrario que la deformación, el deslizamiento no es reversible. Por ejemplo, supongamos que el valor de la fuerza tangencial se aumenta desde cero hasta el valor Tx0 . El radio interior de la corona de deslizamiento será c0 y se encuentra de sustituir Tx0 en 1.38. La distribución de tracción es qx0 = qx10 + qx20 , donde qx1 y qx2 se encuentran de sustituir c por c0 en 1.35. Si en ese momento se disminuye el valor de la fuerza tangencial hasta el valor Tx1 = Tx0 Tx en s = a el crecimiento de la corona de deslizamiento se detiene y aparece una corona de deslizamiento en b < s < a, con c < b, de sentido contrario al deslizamiento en la corona c < s < a (Mindlin y Deresiewic, 1953). Esta nueva corona de deslizamiento tiene asociada una distribución de tracción qx1 de valor:
qx1 (s) = qx11 + qx21 =
3m P hp 2 a 2a3
r2 (a s)
p
b2
i
s2 (b s)
(1.40)
1.3. Contactos sometidos a fuerzas oblicuas
19
s > b el cambio en la distribución de tracción es qx = qx11 qx10 = 2m p(s) = 2qx1 , luego la nueva distribución de tracción es (Mindlin y
en
Deresiewic, 1953):
qx (s) = qx0 (s) + qx (s) = qx0 (s) 2qx1 (s) p2 3m P hp 2 2 qx (s) = a r ( a s ) 2 b i p 22a3 2 + c s (c s)
(1.41)
s2 (b s)
el valor de b se encuentra imponiendo que la integral de 1.41 sobre el área de contacto ha de valer Tx1 con lo que resulta: ! T0 T1 b=a 1 (1.42)
2m P
que es válida mientras jT1 j < T0 . La situación se complica cuando además de variar la fuerza tangencial T , varía también la fuerza normal P . Si se dan las variaciones incrementales de las fuerzas tangencial T y normal P , la nueva distribución de tracción puede encontrarse de forma análoga a como se ha hecho hasta ahora siguiendo las reglas adicionales de que (Mindlin y Deresiewic, 1953; Thornton y Ying, 1991): (1) en ningún instante la distribución de tracción puede tomar valores fuera del área de contacto; (2) si la evolución de la fuerza tangencial cambia de sentido, entonces se forma una nueva corona de deslizamiento que crece hacia adentro desde el borde del área de contacto; (3) siempre que cambian las fuerzas P y T , se produce deslizamiento allí donde en ausencia de deslizamiento las distribuciones de tracción y de presión no cumplirían j~qj m p. Estas reglas hacen depender la distribución de tracción en un contacto elástico del estado inicial del contacto y de la historia de la fuerza normal y tangencial hasta llegar al estado actual del contacto. Cuando el contacto no es elástico, sino plástico o elastoplástico y no adhesivo, la simulación numérica del contacto muestra que la distribución de tracción tiene un comportamiento similar al caso del contacto elástico (Wu, 2001): existen coronas de deslizamiento y la distribución de tracción puede aproximarse por la superposición de términos como los que aparecen en la expresión 1.35. Sin embargo, como ya se ha comentado, cuando existe deformación plástica el efecto de la distribución de tracción q sobre la distribución de presión p no es despreciable. Además, la distribución de tracción introduce tensiones de cizalla adicionales en de manera que el punto en el que surge la deformación plástica cuando el contacto deja de ser elástico para ser elastoplástico se localiza más cerca de la super cie del área de contacto y fuera de la recta normal a su centro. Si la tracción es lo su cientemente intensa, las fuerza tangencial
20
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
puede causar por la aparición del régimen elastoplástico para un valor de la fuerza normal menor que en ausencia de fuerzas tangenciales (Johnson, 1985). Por último, en un contacto plástico o elastoplástico entre dos cuerpos deformables la fuerza tangencial puede hacer girar el plano del área de contacto (Wu, 2001).
1.3.2 Efecto sobre contactos adhesivos El estudio de la aplicación de una fuerza tangencial sobre un contacto adhesivo para encontrar el efecto de la fuerza tangencial sobre la fuerza de adhesión sólo se ha hecho con cierta profundidad cuando el contacto es elástico. Sin embargo, los resultados pueden ser trasladables al caso de un contacto elastoplástico o plástico pues, como ya se ha dicho, durante la descarga de estos dos tipos de contacto la deformación es predominantemente elástica. Las fuerzas atractivas en el área de contacto de dos cuerpos hacen que los puntos inicialmente en contacto se adhieran. Si este efecto es su cientemente intenso cuando se aplica una fuerza tangencial a un contacto elástico adhesivo no ha de haber deslizamiento, por lo que la distribución de tracción ha de venir dada por la expresión 1.32. Como no existe deslizamiento todo el trabajo realizado al aplicar la fuerza tangencial se almacena en forma de energía potencial elástica. Si el parámetro de Tabor es los su cientemente grande como para que el contacto elástico, en ausencia de fuerza tangencial, pueda ser descrito por el modelo JKR, la energía potencial elástica debida al trabajo de la fuerza tangencial, de la fuerza normal y la energía potencial debida a las fuerzas atractivas pueden ser computadas fácilmente y se pueden usar criterios energéticos para estudiar el efecto de la fuerza tangencial sobre el área de contacto (Savkoor y Briggs, 1977; Thornton, 1991). En esta situación, la aplicación de un fuerza tangencial T causa una disminución del radio a del área de contacto respecto al valor cuando T = 0. Para cada valor de T existe un radio de equilibrio del área de contacto, hasta que la fuerza tangencial alcanza una valor Tc dado por: s
G Tc = 4 3wR (P + 3wR) E
(1.43)
a partir del cual no existe un valor del radio del área de contacto en equilibrio. Sin embargo, los resultados experimentales parecen indicar que incluso en un contacto elástico adhesivo existe deslizamiento dentro del área de contacto (Johnson, 1997). Cuando existe una corona de deslizamiento en c < s < a la distribución de tracción dentro del área de contacto tiene
1.3. Contactos sometidos a fuerzas oblicuas
21
la forma funcional (Savkoor, 1987; Johnson, 1997): ! 2 2 2
q (s) =
2c a s q0 arccos (c s) + q0 (s c) a2 s2
(1.44)
El valor de q0 se encuentra de imponer que la integral de q (s) en todo el área de contacto ha de valer T y c se encuentra de imponer q (c) = m p(s). La distribución de tracción 1.44 produce una deformación elástica en s = a que promediada a todo el borde del área de contacto vale: 2s 3 2 2(2 )q0 a 4 c c 5 c < ds >= arccos +1 (1.45) 1
(1 )E
a
a
a
en la dirección y sentido de la fuerza tangencial aplicada. Para calcular la fuerza de adhesión del contacto es necesario calcular cómo varía el área de contacto cuando disminuye la fuerza normal P en presencia de la fuerza tangencial T . Si se disminuye la fuerza normal P , el área de contacto disminuye una cantidad S = 2aa y la distribución de tracción deberá reajustarse al valor de la fuerza tangencial (cambie esta o no). Como consecuencia de las variaciones se libera una energía potencial elástica Un debido al reajuste de la presión normal p(s) y una energía potencial elástica Ut debido al reajuste de la tracción q (s). Como existe deslizamiento, no toda la energía elástica que se libera se emplea en entregar la energía super cial w S , sino que parte se pierde debido a la fricción. El balance de energía puede escribirse en la forma (Johnson, 1997):
Un Ut Ut + = wg ( ) ; = S S w S
(1.46)
donde g ( ) es una función que tiene en cuenta las pérdidas por fricción y ha de cumplir g 1. Cuando existe deslizamiento g > 1, mientras que cuando no hay deslizamiento y por tanto no hay pérdidas por fricción g = 1 y se recupera el modelo de Savkoor y Briggs (1977). Despejando en 1.46 se tiene: Un = g ( ) (1.47)
wS
El valor de Ut =S es aproximadamente igual a q0 < ds > (Johnson, 1997). Los valores de q0 y < ds > están determinados si se conoce T y P , lo que nos permite conocer el valor de en todo instante de la evolución del contacto. Como en un contacto elástico sobre el que no actúan fuerzas tangenciales Un =S es igual al trabajo de adhesión w , Johnson (1997) propone de nir un trabajo de adhesión efectivo w 0 según:
w0 = g ( ) w
(1.48)
22
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
de manera que bajo la acción de las fuerzas normal P y tangencial T el contacto se comporta como un contacto elástico en el que sólo actuara la fuerza normal P pero el trabajo de adhesión fuera w 0 . Si se conoce la forma funcional de g ( ) puede encontrarse la dependencia del radio del área de contacto a con P para encontrar la fuerza de adhesión Ft . Como resultado general, la acción de una fuerza tangencial T reduce el valor de la fuerza de adhesión y el valor del radio del área de contacto para un valor dado de la fuerza normal.
1.4 Límites entre distintos tipos de contacto Antes de aplicar un modelo para describir un contacto entre partículas es necesario determinar si el comportamiento del contacto bajo la fuerza de carga aplicada es elástico, elastoplástico o completamente plástico. Cuando se aumenta la fuerza de carga sobre un contacto elástico las tensiones en el interior del material aumentan, con lo que crece la tensión equivalente de von Mises vm . La deformación plástica aparece cuando las tensiones cumplen el criterio de de von Mises (expresión 1.20). En el caso de un contacto hertziano, al aumentar la fuerza de carga P el criterio de von Mises se cumple por primera vez en un punto dentro de la partícula en la perpendicular al centro del área de contacto. A partir de la distribución de presión en un contacto hertziano (expresión 1.3) se pueden calcular las tensiones en el eje Oz (Johnson, 1985): 2 ! 13 2 a 1 z z 5 arctan + 1+ r = = pe (1 + ) 41
z2 z = pe 1 + 2 a
!
a
z
2
a2
1
(1.49)
donde pe es el valor de la presión en s = 0. Sustituyendo en 1.20 se tiene:
Y = pe FH (; u)
FH (; u) = (1 + ) 1 u arctan
3
1 + 1 + u2 u 2
1
(1.50)
con u = z=a. La función FH (; u) tiene un máximo en un cierto valor u , que depende débilmente del coe ciente de Poisson . Al aumentar la fuerza de carga P aumenta el valor de pe pero la forma de FH (; u) no cambia, así que la deformación plástica aparece en z = u a cuando pe = Y=FH (; u ). Por ejemplo, para = 1=3 , u = 0:49 y FH (; u ) = 0:605 (ver gura 1.5), con lo que la deformación plástica se inicia cuando pe = 1:65Y , como ya se ha comentado. En presencia de fuerzas de
1.4. Límites entre distintos tipos de contacto
23
adhesión el tensor de tensiones en la perpendicular al centro del área de contacto no tiene expresión analítica cerrada salvo cuando el contacto puede describirse por el modelo JKR. En este caso la presión que se ejerce sobre el área de contacto resulta de añadir a la distribución de presión 1.3 una distribución de presión de la forma:
p(s) = pt q
1 1 (s=a)2
(1.51)
Por sí sola esta distribución de presión da lugar a unas tensiones en la perpendicular al centro del área de contacto con la forma: " ! # 2 2 2
a 3 z a 1 + a2 + z 2 2 z 2 + a2 3z 2 ! a2 z 2 a2 z = 3pt 2 2 2 1 + 2 3z (z + a ) r = = pt
(1 + )
(1.52)
en el modelo JKR, pe y pt dependen del radio del área de contacto según: s
2E a 2wE ; pt = (1.53) R a el máximo de la presión p(s) se alcanza en s = 0 y vale pmx = pe pt . Las tensiones en el eje Oz son la suma de los términos 1.49 y 1.52.
pe =
Sustituyendo en el criterio de von Mises (expresión 1.20) se tiene:
Y = pmx FJKR(u; ) pe FJKR (u; ) = FH (u; ) p mx " # pt 1 9 u2 1 1+ 2 (1 + ) pmx 1 + u2 2 1 + u2 3u
(1.54)
Los cocientes pe =pmx y pt =pmx dependen del radio del área de contacto a y por tanto de la fuerza de carga P . Por esta razón, al contrario que en el contacto hertziano, la forma de FJKR (u; ) depende no sólo del coe ciente de Poisson , sino también de la fuerza de carga (ver gura 1.5). Por tanto el punto en el que se inicia la deformación plástica depende del valor PY de la fuerza de carga para el que se alcanza el criterio de von Mises. El valor de PY no es constante , sino que depende de la intensidad de las fuerzas atractivas en el área de contacto a través del trabajo de adhesión w . En el caso particular de que la fuerza de carga sea nula, el radio del área de contacto vale: ! 9wR2 1=3 (1.55) a=
2E
24
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
y en este caso particular pe =pmx
= 3=2 y pt =pmx = 1=2, con:
4wE 2 pmx = 2 3 2 R
!1=3
(1.56)
La deformación plástica puede iniciarse a carga nula (Maugis y Pollock, 1984), si el valor de pmx encontrado usando 1.56 cumple pmx = Y=FJKR(u ; ), siendo u el valor de u donde la función FJKR (u; ) para pe =pmx = 3=2 y pt =pmx = 1=2 es máxima. En el caso particular = 1=3 se obtiene u = 0:35 y FJKR (u ) = 0:648. Sustituyendo todos estos valores se llega a que existe deformación plástica a carga nula cuando el radio R de la esfera cumple:
R
32wE 2 FJKR (u ) 3 2 Y
!3 (1.57)
Como puede verse cuanto mayor es el trabajo de adhesión w , mayor es la intensidad de las fuerzas atractivas y la deformación plástica aparece a carga nula para un radio R mayor. Cuando el contacto elástico no puede ser descrito por el modelo JKR no existe una expresión analítica cerrada que indique el inicio de la deformación plástica, puesto que la contribución de las fuerzas atractivas a la presión pt no puede escribirse de forma cerrada. Para calcular el inicio de la deformación plástica en esta situación es necesario encontrar numéricamente los valores de las tensiones en la normal al centro del área de contacto usando la forma numérica de pt y las expresiones de Johnson (1985). En el caso de la transición entre el contacto elastoplástico y el completamente plástico la situación es todavía más complicada pues es necesario seguir la evolución de la región de deformación plástica conforme aumenta la fuerza de carga. Debido a las complicaciones que esto presenta, este problema sólo puede ser resuelto mediante modelos numéricos (Mesarovic y Fleck, 2000; Vu-Quoc et al., 2001; Wu, 2001). En el modelo JKR la contribución de las fuerzas atractivas a la presión diverge en el límite del área de contacto (véase 1.51), así que siempre existe una zona de deformación plástica en el borde del área de contacto. De este modo, cuando la deformación plástica aparece en la normal al centro del área de contacto, la región de deformación plástica en s = a está bien desarrollada (Barquins y Maugis, 1982; Maugis y Pollock, 1984). Aunque en una situación real no es de esperar que p(s) tenga divergencias, la aparición de esta región de deformación plástica en s = a en el modelo JKR hace razonable admitir que en presencia de fuerzas atractivas la evolución de la región de deformación plástica no di ere en rasgos generales de la
1.4. Límites entre distintos tipos de contacto
25
2.0 z/a
Hertz JKR
1.6 1.2 0.8 0.4 0.0 0
0.2
0.4
σvm / pm x
0.6
0.8
2.0 a0
z/a 1.6
1.5 a0 2 a0
1.2 0.8 0.4 0.0 0
0.2
0.4
σvm / pm x
0.6
0.8
Figura 1.5: Arriba: F (u; ) = vm =pmx para = 1=3 en el modelo de Hertz y en el modelo JKR a carga nula (u = z=a). Abajo: F (u; ) para = 1=3 en el modelo JKR cuando el radio del área de contacto es 1, 1.5 y 2 veces el radio del área de contacto a carga nula a0 . evolución encontrada mediante simulación numérica: la región de deformación plástica crece hasta alcanzar la super cie del área de contacto en un anillo entre el centro y el borde del área de contacto y desde ese anillo se expande radialmente hacia el centro y hacia la periferia del área de contacto.
26
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
1.5 Efecto de las asperezas en la cohesión Las expresiones 1.15 y en general, todas la expresiones para la fuerza de adhesión que se citan en esta sección, están calculadas para el contacto entre una esfera y un semiespacio por lo que en el caso de un contacto entre dos partículas de radio R0 han de usarse con R = R0 =2. Cuando la super cie de las partículas es rugosa R0 es el radio de curvatura local de las asperezas y no el radio de la partícula, ya que (1) si la fuerza de carga no es muy grande las tensiones en el interior de la partícula están con nadas dentro de la aspereza y (2) al ser las fuerzas de Van der Waals de corto alcance, las fuerzas atractivas actuando en el contacto están determinadas por las asperezas del material. Como ejemplo, la fuerza atractiva de van der Waals Fat entre una partícula de radio R con una aspereza hemisférica de radio r y un plano indeformable a una distancia d viene dada por (Forsyth y Rhodes, 2000):
Fat = Fs + Fa 2A1 R3 Fs = 3(d + r)2 (d + r + 2R)2 2A r Fa = 2 2 2 3d (d + 2r)
(1.58)
y cuando la aspereza y el plano están en contacto:
Fa =
A2 r h h2 2h + 3z0 b 1 + 2 + c 6z02 z0 z0 (h + z0 )2
(1.59)
Fs y Fa son las fuerzas atractivas entre la partícula y el plano y entre la aspereza y el plano, respectivamente y h = z0 d es la deformación de la
aspereza cuando la aspereza y el plano están en contacto. Las expresiones 1.58 a 1.59 se representan en la gura 1.6 para A2 = 1:5 10 19 J (silica, aprox.) y A1 = 0:65 10 19 J que es un valor típico para polímeros (Ross y Morrison, 1988), z0 = 4 Å(Krupp, 1967), R = 4 m y r = 25 nm. Como puede verse la fuerza atractiva entre partícula y plano está dada muy aproximadamente por Fa cuando aspereza y plano están en contacto, razón por la cual el contacto entre partículas de toner se reduce al contacto entre las asperezas de su super cie, siempre que la fuerza de carga a la que está sometido el contacto no sea lo su cientemente alta como para que la deformación plástica termine por aplastar las asperezas.
1.6. Montaje experimental: Fuerzas entre partículas
d
27
R
r
100.00
Fuerza atractiva (nN)
Fa Fs
10.00
Fat 1.00
0.10
0.01 -2
0
2
4 d (nm)
6
8
10
Figura 1.6: Fuerza de van der Waals entre un plano y una partícula esférica de radio R con una aspereza hemisférica de radio r.
1.6 Montaje experimental para la medida de las fuerzas entre partículas El montaje experimental para la medida de las fuerzas de adhesión entre partículas se muestra en la gura (1.7). El primer paso del experimento es adherir una partícula a la punta de una sonda en forma de V del microscopio de fuerzas (AFM). Para ello, se espolvorean partículas sobre una super cie lisa recubierta de te ón, para minimizar la adhesión de las partículas a la super cie. Con la ayuda del microscopio óptico se localiza una partícula aislada y se lleva la sonda del microscopio a la vertical de esta. Lentamente se aproxima la sonda a la partícula. Cuando la separación es su cientemente pequeña, la partícula salta hacia la sonda debido a fuerzas electrostáticas entre la sonda y la partícula. Una indicación de que estas fuerzas son electrostáticas la da el que la partícula
28
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
presenta tendencia a adherirse al vértice de la V de la sonda del microscopio. A esta partícula la llamaremos partícula sonda. Si se hace tocar en esa situación esa partícula con otra partícula blanco para hacer un experimento de indentación, las fuerzas atractivas entre partícula sonda y sonda del microscopio no son lo su cientemente intensas como para impedir que la partícula sonda sea arrancada de la super cie de la sonda del microscopio al intentar separar las partículas sonda y blanco. Para jar la partícula sonda de forma permanente, la sonda del microscopio que porta la partícula es introducida en un horno donde se la calienta hasta unos 70 o C durante algunos minutos. De la misma forma se jan otras partículas a un substrato por el que tengan a nidad (en nuestro caso, un trozo de lm para transparencias). El tratamiento en el horno hace que los contactos entre las partículas y el substrato o la sonda del microscopio se suelden. Después del tratamiento en el horno es necesario comprobar al microscopio óptico que las partículas no se han fundido o cambiado de forma, en cuyo caso es necesario desecharlas. El siguiente paso es colocar la partícula sonda en la vertical de alguna partícula aislada que nos sirva como blanco. Seguidamente la partícula sonda se aproxima lentamente a la partícula blanco mediante un tornillo micrométrico controlado por un motor paso a paso. Un programa de ordenador vigila la de exión de la sonda del AFM para cortar la alimentación del motor tan pronto como la sonda se doble. Cuando esto ocurre, se retrae ligeramente el piezoeléctrico para alejar la partícula blanco. Ambas partículas están en posición para hacer un experimento de indentación. Durante el experimento, lo que se mide es la señal (A B ) del fotodiodo compuesto frente al voltaje Vz aplicado al piezoeléctrico para obtener una curva de carga-descarga (ver gura 1.7). Al inicio de la curva de carga la partícula blanco está separada de la partícula sonda (punto A). El piezoeléctrico aproxima la partícula blanco a la partícula sonda hasta que hacen contacto (punto B) y el cantilever comienza a doblarse hacia arriba hasta que se alcanza la de exión máxima que ha sido jada de antemano (punto C). Seguidamente el piezoeléctrico trata de alejar la partícula blanco de la partícula sonda. Ambas partículas permanecen en contacto y el cantilever comienza a doblarse hacia abajo hasta que la fuerza restauradora del cantilever sobrepasa la fuerza de adhesión entre ambas partículas y el contacto se rompe (punto D). Entre los punto C y D la relación entre desplazamiento del piezoeléctrico y de exión del cantilever es lineal, por lo que la pendiente de la recta de regresión de (A B ) frente a Vz nos relaciona el desplazamiento incremental del piezoeléctrico con el incremento en la de exión del haz láser. La gura 1.8 muestra con más detalle la disposición del haz láser, cantilever y fotodiodo compuesto en el AFM usado en nuestro experi-
1.6. Montaje experimental: Fuerzas entre partículas
29
Haz láser Fotodiodo
Partícula sonda
Cantilever
Partícula sustrato
Piezoeléctrico
C
∆(A-B)
A B
D Desplazamiento del piezoeléctrico Figura 1.7: Arriba: Diagrama de funcionamiento del microscopio de fuerzas. Abajo: Curva de carga y descarga. mento. Se observa que la de exión del haz láser puede ser causada tanto por la exión (cambio en el ángulo ) como por la torsión del cantilever (cambio en el ángulo Æ ). En la gura (1.8) el sistema de referencia Oxyz tiene los ejes Ox y Oy paralelos al plano del substrato. El sistema de referencia Ox00 y 0 z 0 tiene los ejes Ox00 y Oy 0 paralelos a la super cie del cantilever, que por simpli car, se ha representado con forma rectangular.
30
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas Oz´´ Oz
fotodiodo
Oz´ d Haz incidente
Haz reflejado
a
Oy´ Oy´´
L a
b
Oy
lp
h Ox´´ Ox Ox´
Figura 1.8: Disposición del sistema de detección formado por la sonda, haz láser y fotodiodo El sistema de referencia Oxy 0 z 0 es un sistema de referencia auxiliar. El vector tangente unitario del haz incidente es:
~ui = cos( )e~x
sin( )e~z
(1.60)
mientras que el vector tangente unitario del haz re ejado es:
~ur = M^ bb R^ M^ b b~ui 00
00
(1.61)
^ b b es la matriz de cambio de base del sistema de referencia donde M ^ es la matriz 1Æi3 Æj 3 . Desarrollando queda: al O 0 y R 00
O
~ur = [ cos( ) cos(2Æ ) sin( ) cos( ) sin(2Æ )] ~ex 1 + sin( ) sin(2 )(1 + cos(2Æ )) + cos( ) sin( ) sin(2) ~ey h 2 i + sin( ) cos( )2 cos(2Æ ) sin( )2 cos( ) cos( ) sin(2Æ ) ~ez El punto de incidencia Q sobre el fotodiodo tendrá por vector de posición:
~rq =
L ~u cos( ) cos(2Æ ) + sin( ) cos( ) sin(2Æ ) r
(1.62)
Consideraremos a continuación cual es la de exión del haz láser si el piezoeléctrico es extendido una distancia z cuando el cantilever responde únicamente mediante exión o torsión.
1.6. Montaje experimental: Fuerzas entre partículas
(A
Si el cantilever es de ectado un ángulo B ) del fotodiodo será
(A
31
, la variación de la señal
@yq @ z = lp cos( )
B ) / yq =
(1.63)
donde lp es la distancia del punto de contacto entre el cantilever y el substrato a la línea de jación del cantilever. Admitiendo que el ángulo Æ es pequeño en la mayoría de las situaciones, con lo cual cos(Æ ) 1 se llega a:
(A
B) / 2
Lz tan( ) cos(2 ) lp cos( )
(1.64)
Si el cantilever responde únicamente mediante torsión, girando un ángulo Æ , el vector tangente unitario del rayo re ejado tras la torsión será:
(A
B ) / yq =
@yq Æ ; z = h sin(Æ )Æ @Æ
(1.65)
donde h es la distancia en vertical que separa el punto de contacto entre el cantilever y el plano del cantilever. Volviendo a admitir que el ángulo Æ es pequeño se llega a que:
(A
B) / 2
Lz sin( ) + tan( )2 sin(2 ) cos( ) hÆ
(1.66)
En general, el cantilever responderá mediante exión y torsión, con lo que la relación entre (A B ) y Vz será una composición de las expresiones 1.64 y 1.66. Como lp 100m (la longitud del cantilever) y h 10m (el diámetro de la partícula adherida al cantilever) la torsión del cantilever puede afectar bastante a la pendiente de (A B ) frente a Vz . Es de esperar que exista torsión cuando la fuerza de contacto entre ambas partículas no es normal al plano del cantilever. En la gura 1.9 se muestra el cambio en el valor de la pendiente cuando se cambia el punto de contacto entre partículas. Para minimizar el efecto de la torsión se ha procurado que los centros de la partícula blanco y la partícula sonda estén siempre alineados en la dirección vertical y se han usado sólo sondas en forma de V y no sondas de forma rectangular. Aun así, puede verse en la gura 1.10 que la pendiente de (A B ) frente a Vz varía de un experimento de indentación a otro. Cuanto mayor es esta variación, mayor es la incertidumbre introducida por el procedimiento experimental en la medida de la fuerza de adhesión (Senden, 2001). A modo de comprobación se ha medido la adhesión de un cantilever a un substrato de nitruro de silicio (el material con el que están fabricados
32
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
5
posición 1
posición 2
pendiente
4
3
2
1 0
100
200
P (u.a.)
300
400
Figura 1.9: Cambio en la pendiente (A B )=Vz al cambiar la posición relativa entre dos partículas. El eje de abscisas representa la fuerza de carga ejercida sobre el contacto en unidades arbitrarias. los cantilevers) (ver gura 1.11). Como el nitruro de silicio es un material muy duro, es de esperar que el contacto sea elástico de forma que la fuerza de adhesión sea independiente de la fuerza de carga. Efectivamente, salvo para los primeros puntos la adhesión del cantilever al substrato es de unos 4.8 nN. (El descenso de la adhesión en los primeros puntos puede deberse a que el canilever se limpia de posibles contaminantes que pudiera tener en su punta, o a que la punta se vuelve más aguda bien porque se rompe, bien porque se adhieren partículas muy pequeñas a la punta de forma permanente). Si suponemos que la adhesión de la punta del cantilever puede aproximarse por el valor de la fuerza de adhesión de una esfera de radio r en contacto con un plano podemos usar la expresión 1.7 con z0 = 4 Å. El radio de curvatura de las puntas de los cantilevers está comprendido entre los 10 nm y los 50 nm (Thundat et al., 1992). Para el modelo de cantilever utilizado el fabricante da un valor nominal r = 10 nm. Si aceptamos para el nitruro de silicio el valor de la constante de Hamaker A = 1:5 10 19 J se obtiene para la fuerza de adhesión esperada Ft = 1:56 nN, valor que es comparable al obtenido experimentalmente.
1.7. Valores experimentales de la fuerza de adhesión
33
TB-16446
5
pendiente
4 Serie1
3
Serie2 Serie3
2
Serie4
1 0
200
P (u.a.)
400
600
TB-16459
4.5
pendiente
4 Serie1 3.5
Serie2 Serie3
3
Serie4
2.5 2 0
200
400
600 P (u.a.)
800
Figura 1.10: Valores medios de la pendiente (A B )=Vz en función de la fuerza de carga (en unidades arbitrarias) y de la serie experimental para los toners TB-16446 y TB-16458.
1.7 Valores experimentales de la fuerza de adhesión Se han usado en el experimento seis toners diferentes cuyas propiedades se muestran en la tabla 1.7. Una partícula de toner está formada por una
34
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
8
6 Ft (nN) 4
2 0
20
40 60 P (nN)
80
100
Figura 1.11: Fuerza de adhesión de la punta del cantilever a un substrato plano de nitruro de silicio. partícula de polímero orgánico cuyo diámetro es del orden de la decena de micrómetros recubierta por partículas de aditivo condicionador de ujo. (Las partículas de aditivo son partículas submicrométricas de un material inorgánico duro, como el sílice o el dióxido de titanio). El polímero base de los toners de la serie TB es poliester mientras que para los toners de la serie RT es estireno-butadieno. La rugosidad de la super cie de una partícula de toner depende del tanto por ciento de la super cie de la partícula de polímero que está recubierta por el aditivo. A su vez, el radio de las partículas de aditivo da una idea del radio típico de las asperezas de la super cie cuando las partículas de toner hacen contacto exclusivamente a través de las partículas de aditivo. Para cada toner los datos experimentales recogidos se agrupan en series. En cada serie se usaron las mismas partícula sonda y substrato. Se comienza imponiendo una fuerza de carga pequeña y se va aumentando esta en incrementos moderados. Para cada valor de la fuerza de carga se realizan del orden de una decena de contactos entre ambas partículas para obtener varios valores de la adhesión. En los toners de la serie TB el contacto se realiza siempre en el mismo punto, mientras para los toners de la serie RT los puntos de contacto formaban una malla de 4 4 puntos y 0.5 m de lado sobre la super cie de la partícula. La fuerza de carga siempre se hace aumentar, nunca disminuir en la misma serie de datos, pues la
1.7. Valores experimentales de la fuerza de adhesión
35
Tóner Dp % peso % rec d TB 16448 7.00 0.75% 20% 40 TB 16461 7.47 3.75% 100% 40 TB 16446 7.03 0.15% 20% 8 TB 16448 7.47 0.75% 100% 8 RT 5114 12.7 0.05% 10% 8 RT 5117 12.7 0.4% 80% 8 Tabla 1.1: Toners empleados en el microscopio de fuerzas. Dp : diámetro de la partícula de toner en m . % peso: % en peso de aditivo en el tóner. % rec: % de recubrimiento teórico de la super cie del polímero por el aditivo. d: diámetro de las partículas de aditivo en nm. deformación plástica que ocurra en la zona de contacto no desaparece al eliminar la fuerza de carga y origina un aumento irreversible del radio de curvatura local de las super cies en contacto como ya se ha explicado en el apartado 1.1 de manera que los valores de adhesión iniciales no se recuperan. Para cada toner los valores de adhesión de todas las series forman una nube de puntos dispersos que en conjunto muestra que la adhesión tiende a aumentar con la fuerza de carga. Para representar la dependencia de la adhesión con la fuerza de carga se agrupan los valores experimentales de la fuerza de adhesión por rangos según la fuerza de carga. A cada uno de esos rangos se le calcula la mediana de la adhesión y su desviación media absoluta y se toma como valor esperado de la adhesión el valor de su mediana. Se ha preferido usar estos estimadores porque son más robustos que la media y la desviación estándar para distribuciones que presentan colas muy amplias. La gura 1.12 muestra el valor esperado de la adhesión frente a la fuerza de carga para todos los toners estudiados. Para los toners de la serie RT no se han incluido barras de error puesto que la distribución de los valores de la adhesión se discutirá más adelante. Se observa que el valor esperado de la adhesión aumenta con la fuerza de carga y este incremento es mayor cuanto menor es el recubrimiento super cial de partículas de aditivo del toner. Como la fuerza de adhesión entre partículas de nuestros materiales aumenta con la fuerza de carga, el contacto no puede ser elástico y es necesario admitir que en el contacto ocurre cierto grado de deformación plástica, de forma que se produce un aumento irreversible del área de contacto que origina un incremento en la fuerza de adhesión (Quintanilla et al., 2001, 2002). Para determinar si se supera el límite elástico en los contactos entre super cies de polímero primero hay que determinar si nos encontramos en la situación dada por el modelo JKR o por el DMT. Usando z0 = 4
36
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas 120 Ft (nN) 100
TB 16448 TB 16461 TB 16446 TB 16459
80 60 40 20 0 0
20
40
P (nN)
60
80
100
40 Ft (nN)
RT 0.4%
30
RT 0.05%
20
10
0 0
20
40
60 80 P (nN)
100
120
Figura 1.12: Fuerza de adhesión Ft frente a fuerza de carga P medidas en el microscopio de fuerzas. Arriba: toners serie TB. Abajo: Toners serie RT. La línea continua representa la dependencia de la fuerza de adhesión con la fuerza de carga que se obtiene usando los resultados de la sección 1.2.5 para H = 300 Mpa, = 1=3, E = 3:5 Gpa y radio de la aspereza r = 0:1 m. Å(Krupp, 1967; Rimai et al., 1995), como radio típico de las asperezas del polímero r0 = 0:1 m (Mason et al., 1999; Massimilla y Donsi, 1976), como valor típico de la energía super cial de un polímero '0.033 J/m2 (Persson, 1998) y usando H = 300 Mpa, = 1=3, E = 6 Gpa, r = 0:1 m para el polímero de los toners de la serie TB (Ahuja, comunicación
1.7. Valores experimentales de la fuerza de adhesión
37
privada) y H = 300 Mpa, = 1=3, E = 3:5 Gpa, r = 0:1 m para el polímero de los toners de la serie RT (Pan, comunicación privada), se obtiene un valor para el parámetro de Tabor = 0:69 para los toners de la serie TB y = 1:0 para los toners de la serie TB, que indica que estamos en una situación intermedia entre el modelo JKR y el DMT. Para el modelo JKR el límite plástico se alcanza a fuerza de carga nula cuando se cumple 1.57. Sustituyendo los valores típicos de nuestros materiales se obtiene para el radio r de la aspereza, r 0:23 m para los toners de la serie TB y r 0:08 m para los toners de la serie RT (comparado con r0 =2 = 0:05 m). Por otro lado, resolviendo numéricamente el comportamiento de un contacto elastoplástico entre esferas no adhesivas (Mesarovic y Fleck, 2000), Mesarovic ha encontrado que el límite plástico y el límite entre contacto elastoplástico y el completamente plástico se alcanzan para un determinado valor del parámetro:
aE (1.67) rY La deformación plástica aparece para A = 2:5 mientras que el contacto A =
deja de ser elastoplástico para ser completamente plástico cuando el parámetro A toma un valor A0 comprendido entre 30 y 60 (Mesarovic y Fleck, 2000; Maugis y Pollock, 1984) dependiendo del valor del cociente entre el módulo de Young reducido E y la dureza plástica del material Y. En ausencia de fuerzas atractivas la presión media en el área de contacto es pm = P=(a2 ). Por q lo tanto el contacto será plástico para una carga P si el valor de a = P=(3Y ) satisface aE =(rY ) > A0 . En presencia de fuerzas atractivas, la presión media en el área de contacto vale pm = (Fc Fat )=(a2 ). Si nos restringimos al caso >> 1, de manera que las fuerzas atractivas exclusivamente dentro del área de p actúen 3 8wE a . A carga cero a = 8wE =(p2m ) y contacto tenemos Fat = haciendo pm = 3Y , el contacto es completamente plástico si se cumple:
1 8wE 2 r A0 9Y 3
(1.68)
En el peor de los casos (A0 = 30) para contactos entre polímero el límite dado por 1.68 es r 7:5 nm para los toners de la serie TB y r 2:5 nm para los toners de la serie RT, que es bastante más pequeño que r0 =2 = 50 nm, por lo que es de esperar que incluso para cargas pequeñas el contacto entre super cies de polímero sea elastoplástico. En la gura 1.12 se ha representado también la dependencia de la fuerza de adhesión con la fuerza de carga para un contacto elastoplástico (sección 1.2.5) usando H = 300 Mpa, = 1=3, E = 6 Gpa, r = 0:1
38
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
m
para los toners de la serie TB y H = 300 Mpa, = 1=3, E = 3:5 Gpa, r = 0:1 m para los toners de la serie RT. Para los toners de la serie RT, a=R < 0:30 si P < 125 nN, mientras que para los toners de la serie TB a=R < 0:33 si P < 150 nN. Hay que recordar que en 1.2.3 impusimos la condición de que el radio de la zona de contacto fuera bastante menor que el radio de curvatura de las super cies en contacto para que las tensiones se pudieran aproximar por las tensiones dentro de un semiespacio elástico y que en 1.2.4 se comentó que cuando el contacto es plástico la aproximación es válida hasta valores del orden de a=R 0:7.
Los contactos entre polímero y partículas de aditivo o entre partículas de aditivo pertenecientes a dos partículas de toner no pueden tratarse como los contactos polímero-polímero. Si se inspecciona al microscopio electrónico la super cie de una partícula de toner las partículas de aditivo aparecen formando agregados sobre la super cie del polímero, como se muestra en las guras 1.13 y 1.14. Los agregados sobre la super cie del polímero que aparecen en 1.13 y 1.14 tienen un tamaño medio es de 80 nm para el aditivo con dp = 40 nm y de 50 nm para el aditivo con dp = 8 nm. La tendencia del aditivo a agregarse tiene el efecto de hacer que el recubrimiento super cial real de la super cie del polímero sea menor que el teórico, que se calcula suponiendo que no existe agregación entre partículas de aditivo. Cuando se establece un contacto entre agregados de partículas de aditivo el contacto no puede estudiarse como si fuera un contacto entre dos esferas de un medio continuo con radio igual al radio de los agregados de aditivo, pues los agregados de partículas de aditivo pueden deformarse mediante el desplazamiento relativo de las partículas de aditivo en su interior. Aunque la deformación individual de cada partícula de aditivo fuera elástica este tipo de deformación hace aumentar la fuerza de atracción entre agregados de partículas de aditivo, pues hace que haya más partículas de aditivo en contacto directo en la super cie de contacto entre agregados. Heim et al. (1999) ha estudiado la deformación de cadenas de partículas esféricas de sílice de tamaño entre 0.5 y 2 m cuando se las somete a una fuerza de carga. El efecto de la fuerza de carga es hacer que las partículas rueden unas sobre otras de forma que la deformación de la cadena es irreversible, aunque cuando se toma una partícula aislada y se la somete a la misma fuerza de carga la deformación que se produce es elástica. Un límite inferior para el valor de la fuerza de atracción entre agregados de partículas de aditivo se obtiene si no consideramos deformación alguna en los agregados en contacto, en cuyo caso se puede estimar la fuerza de adhesión a partir de la fórmula de Hamaker para la fuerza de van der Waals entre dos esferas (Hamaker,
1.7. Valores experimentales de la fuerza de adhesión
39
Figura 1.13: Detalle de la super cie de partículas de toner con aditivo de 8 nm de tamaño. Izquierda: 20% de recubrimiento teórico. Derecha: 100% de recubrimiento teórico.
40
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
1937):
F=
1 A1 + 2 6z0 R1 R2
1
(1.69)
donde z0 es la separación entre los puntos mas próximos de las dos esferas y R1 y R2 son los radios de ambas esferas. Si tomamos z = 4 Åy tenemos en cuenta que las partículas de aditivo forman agregados sobre la super cie del polímero cuyo tamaño medio es de 80 nm para el aditivo con dp = 40 nm y de 50 nm para el aditivo con dp = 8 nm (ver guras 1.13 y 1.14) obtenemos con la expresión 1.69 un valor de F = 3:1 nN para el aditivo de 40 nm, y F = 1:9 nN para el aditivo de 8 nm. La adhesión entre dos partículas de toner en contacto a través de agregados de partículas de aditivo ha de coincidir con la fuerza de atracción entre agregados de partículas de aditivo si se desprecia la fuerza de atracción entre las super cies de polímero. Si los agregados de aditivo se deforman irreversiblemente como consecuencia de la fuerza de carga aplicada al contacto, el valor de la fuerza de atracción entre agregados es mayor que el valor dado por 1.69 y aumentará conforme aumente la fuerza de carga. Como tanto el módulo de Young E como la dureza H del material de las partículas de aditivo (en nuestros materiales es sílice) es notablemente mayor que el módulo de Young y la dureza del polímero es de esperar que en los contactos entre agregados de aditivo la fuerza de adhesión sea menor que en los contactos entre super cies de aditivo. Efectivamente nuestras medidas experimentales indican que la fuerza de adhesión Ft crece más lentamente con la fuerza de carga P cuando la mayoría de los contactos son sílice-sílice y es siempre menor que la fuerza de adhesión comparada con la situación en que la mayoría de los contactos son polímero-polímero (ver gura 1.12). Esta es la razón por la cual la adición de partículas nanométricas de sílice in uye favorablemente sobre la capacidad del toner para uir.
1.8 Adhesión en presencia de campo eléctrico Aunque las fuerzas de Van der Waals actúen siempre en el área de contacto entre dos partículas, también pueden aparecer fuerzas electrostáticas si hay una transferencia de carga entre ambas super cies en contacto. Si esto ocurre, la fuerza de adhesión puede depender de la existencia de un campo eléctrico externo y de su intensidad. Este hecho es muy importante en xerigrafía, donde las partículas de toner son transferidas entre super cies usando campos eléctricos y la adhesión de las partículas de toner afecta a la calidad de la imagen.
1.8. Adhesión en presencia de campo eléctrico
41
Figura 1.14: Detalle de la super cie de partículas de toner con aditivo de 40 nm de tamaño. Izquierda: 20% de recubrimiento teórico. Derecha: 100% de recubrimiento teórico.
42
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
La adhesión de una partícula a un substrato en presencia de un campo eléctrico depende de la carga de la partícula y de la intensidad del campo en la forma (Mizes, 1994):
Fa = Fne + q 2 + qE + E 2
(1.70)
donde el primer término del segundo miembro representa la fuerza de adhesión debida a fuerzas no electrostáticas, q es la carga que se ha intercambiado en el área de contacto y E es la intensidad del campo eléctrico aplicado. El segundo término es debido a la fuerza eléctrica entre cargas en el área de contacto, el tercero a la fuerza ejercida por el campo eléctrico externo y el cuarto a la polarización de la partícula. , y son constantes que dependen de la distribución de cargas sobre la partícula y de las propiedades físicas de esta. El montaje experimental ya ha sido descrito en la sección 1.6 con la salvedad de que las partículas sonda fueron adheridas al cantilever usando resina epoxy y que en lugar de un lm con partículas adheridas, se utilizó como substrato un lm del mismo polímero base (poliester) que las partículas blanco construido depositando partículas de toner sobre un papel de aluminio y fundiéndolas. De esta forma la parte inferior del lm es conductora y puede ser usada como electrodo a potencial V . La cabeza del AFM que contiene el cantilever que porta la partícula sonda se pone a tierra. Sobre el cantilever paralelamente al plano del substrato se coloca otro electrodo a tierra con el n de obtener un campo eléctrico lo más uniforme posible. Este último electrodo consiste en un porta de microscopio recubierto de una película de tungsteno para hacerlo conductor y se puede desplazar verticalmente mediante una mesa de desplazamiento para acercarlo lo máximo posible al cantilever. La película de tungsteno ha de ser lo bastante na como para que no absorba una fracción excesiva de la intensidad del haz láser cuando el haz atraviesa el electrodo para ir a re ejarse al cantilever. La distancia d entre el electrodo a tierra y el substrato se mide mediante la mesa de desplazamiento. La razón V=d se toma como valor aproximado de la intensidad del campo eléctrico en el substrato. Los resultados del experimento se muestran en la gura 1.15. La adhesión aumenta tanto con la fuerza de carga como con el campo eléctrico aplicado. Los valores de la fuerza de adhesión sin campo aplicado son mayores que cuando usábamos una partícula como substrato. Esto puede deberse a que los lms conductores fueron construidos a partir de partículas sin aditivos de sílice, por lo que es de esperar que la adhesión aumente.
1.9. Resumen
43
400
350 Ft (nN) 300 0 mV/um 250
4,0 mV/um 7,8 mV/um
200 0
50
100 P (nN) 150
200
Figura 1.15: Adhesión entre partícula y substrato en presencia de un campo eléctrico.
1.9 Resumen En este capítulo se han presentado medidas para la fuerza de adhesión en contactos entre partículas individuales Ft en función de la fuerza de carga. Se ha comprobado que el uso de aditivos condicionadores de ujo reduce la adhesión entre partículas. Los valores obtenidos para la fuerza de adhesión Ft son compatibles con los resultados de un modelo en el que se supone que la deformación en el contacto es elastoplástica. por último, se ha comprobado que la presencia de un campo eléctrico aumenta la fuerza de adhesión entre partículas.
44
Capítulo 1. Fuerzas de contacto entre partículas
Capítulo 2 Sólido granular 2.1 Introducción El comportamiento mecánico de los materiales granulares es elastoplástico. En el espacio de las tensiones principales existe una super cie denominada super cie límite de ujo plástico, tal que el ujo plástico no se inicia en un punto del material hasta que el punto que representa las tensiones en esa localización en el espacio de las tensiones principales toca dicha super cie límite. Mientras no se alcance en un punto del material el límite plástico, la respuesta del material en ese punto es elástica, es decir, las tensiones y la deformación en ese punto están relacionadas por una matriz de coe cientes elásticos. Aunque existen situaciones en que el comportamiento del material no sigue una regla de plasticidad asociada (Wood, 1993), como normal general sí se acepta que los materiales granulares presentan plasticidad asociada (Atkinson, 1993). Esto signi ca que el vector formado por las componentes principales del tensor de deformación incremental es perpendicular a la super cie limite de ujo plástico en cada punto de esta como se muestra en la gura 2.1, o lo que es lo mismo, que la super cie limite de ujo plástico es una super cie potencial para las componentes del tensor de deformación incremental. A su vez, la super cie de ujo plástico depende de la porosidad del material: si la porosidad disminuye el volumen encerrado dentro de la super cie aumenta y viceversa. Una vez que el material empieza a deformarse plásticamente su porosidad cambiará con lo que la super cie límite evoluciona para que el estado de tensiones no sobrepase la super cie límite para la porosidad que tiene el material en cada instante. Esto signi ca que mientras el estado de tensiones esté en el límite plástico la porosidad del material es función únicamente de los invariantes del tensor de tensiones del material (Molerus, 1975). Cuando el estado de tensiones del material es bidimensional es más sencillo representar la super cie lí-
46
Capítulo 2. Sólido granular
σ3
δε
e1 e2
e3
σ2 σ1 Figura 2.1: Super cie límite de ujo plástico en el espacio de las tensiones principales para tres porosidades e1 < e2 < e3 . El material es no cohesivo, pues todas las super cies límites pasan por el origen. El sentido del vector Æ depende del signo con el que se de nan las deformaciones. mite de ujo plástico en el espacio ( ; ; ), donde es la porosidad del material, es la tensión de consolidación y es el esfuerzo de cizalla que actúan en el interior del material. A esta representación se la llama diagrama de Roscoe y se muestra en la gura 2.2. En el plano = 0 se han representado dos curvas. La curva f1 f2 muestra la dependencia de la porosidad con el esfuerzo de consolidación cuando se comprime el material hidrostáticamente desde una porosidad inicial grande (como e5 ) y su forma funcional es (Atkinson, 1993):
e = e0
ln( )
(2.1)
La curva t1 t2 representa la dependencia de la resistencia máxima a la tracción del material con la porosidad. Cuando la curva t1 t2 no coincide con el eje e se dice que el material es cohesivo. Cualquier estado en el plano = 0 ha de estar comprendido entre las líneas f1 f2 y t1 t2 . Entre las curvas f1 f2 y t1 t2 se extienden dos super cies que se cortan en la línea s1 s2 que recibe el nombre de línea de estados críticos. La super cie entre las curvas t1 t2 y s1 s2 recibe el nombre de super cie de uencia. La super cie entre las líneas f1 f2 y la línea de estados críticos recibe el nombre de super cie de consolidación. La super cie formada por ambas recibe el nombre de super cie límite de ujo plástico. De acuerdo con lo que
2.1. Introducción
47
se ha comentado sólo representan estados de tensiones válidos los puntos bajo la super cie límite de ujo plástico. La super cie de uencia corta al plano = 0 a lo largo de la curva c1 c2 que da la dependencia de la cohesión del material con la porosidad. La cohesión es la máxima tensión de cizalla que puede soportar el material en ausencia de tensión de consolidación. Como ya se ha dicho antes, la porosidad puede cambiar cuando el punto representativo del sistema se encuentra sobre la super cie límite de ujo plástico. Cuando el punto representativo del sistema alcanza la super cie de consolidación la porosidad del material disminuye mientras el punto representativo del material se mantenga sobre la super cie de consolidación. Por el contrario, si el punto representativo del sistema alcanza la super cie de uencia la porosidad del material aumenta mientras el punto se mantenga sobre la super cie de uencia. En este caso se dice que el material está sobreconsolidado. Al fenómeno de la dilatación que experimenta un material sobreconsolidado cuando se lo somete a un esfuerzo de cizalla que lo lleva hasta la super cie de uencia se lo denomina dilatancia. Un material sobreconsolidado no se dilata en todos los puntos de su volumen al experimentar dilatancia, sino sólo en bandas de cierta anchura llamadas bandas de cizalladura en las que se concentra la deformación de cizalla que experimenta el material. Los puntos sobre la super cie de estados críticos tienen la propiedad de que cuando el punto representativo del material se encuentra sobre ellos la porosidad del material no cambia cuando se los somete a una tensión de cizalla. Por poner un ejemplo de cada caso si consideramos un material cuyo estado esté descrito por el punto B y lo sometemos a valores crecientes de tensión de cizalla el punto representativo del sistema avanzará a lo largo de la línea BF donde alcanza la super cie de consolidación. A partir del punto F la porosidad del material disminuye y hay que aumentar el esfuerzo de cizalla para que el punto representativo del material alcance la línea de estados críticos en el punto E , donde la porosidad del material deja de disminuir. Si el material está descrito por el punto O al aumentar la tensión de cizalla el punto representativo del sistema alcanza la super cie de uencia en el punto G, donde la tensión de cizalla toma el valor máximo. A partir de entonces la porosidad del material disminuye y el esfuerzo de cizalla necesario para deformarlo también hasta que se llega a la línea de estados críticos en el punto E . Es necesario tener en cuenta que el diagrama de Roscoe no es una super cie potencial para el tensor de deformación incremental pues en el diagrama la porosidad aparece como una variable y no como un parámetro como ocurre en la representación en el espacio de las tensiones principales (Schwedes, 1975). Consideremos ahora un material cuyo punto representativo se encuentre en el punto C en el plano = 0. Si se cambia el valor de la presión hidrostática que
48
Capítulo 2. Sólido granular
actúa sobre él, el material responde elásticamente y el punto representativo del sistema se mueve a lo largo de la línea ACI . Entre la curva ACI y la curva AEI que se extiende por encima del plano = 0 se encuentra una super cie formada por todos los estados a los que el punto representativo del sistema puede acceder desde el punto C mediante deformación elástica. La proyección de la curva AEI en el plano e = 0 representa la función límite de ujo plástico para la porosidad del punto C y tiene el aspecto de una curva f ( ; ) = 0 que intersecta al eje en dos valores 1 y 2 con 1 < 2 (ver gura 2.4). 2 representa la presión hidrostática máxima que puede soportar el material a esa porosidad antes de consolidarse a una porosidad menor y por tanto es la proyección de un punto de la línea f1 f2 . Por su parte 1 es la proyección de un punto de la línea t1 t2 . La proyección de la línea de estados críticos sobre el plano = 0 es una línea recta que pasa por el origen, tanto si el material es cohesivo como si no lo es (Schwedes, 1975), y corta a f ( ; ) = 0 en el punto en que toma su valor máximo. La existencia de cohesión en un material granular se debe a la acción de fuerzas atractivas entre partículas. Estas fuerzas pueden tener su origen en la presencia de puentes líquidos entre partículas (Schubert, 1984), si parte del volumen entre partículas está ocupado por un líquido que moje a estas, o si el material está seco, pueden deberse a fuerzas electrostáticas (Hays, 1995) o de Van der Waals (Krupp, 1967) entre partículas. Las fuerzas de Van der Waals están siempre presentes, pero como su intensidad crece linealmente con el diámetro de las partículas, mientras que el peso de estás crece en proporción directa al cubo del diámetro, las fuerzas de van der Waals sólo son importantes cuando las partículas son pequeñas, típicamente de un diámetro menor que unos 30 m, dependiendo de la densidad del material (Castellanos et al., 1999). Por tanto, si contamos sólo con las fuerzas de Van der Waals, presentarán cohesión aquellos materiales granulares secos cuyas partículas tengan un diámetro inferior a ese límite, como es el caso de los toners xerográ cos. Existe un mínimo teórico para la porosidad e de un asiento de esferas duras sin fricción (Makse et al., 2000). A ese empaquetamiento se le denomina empaquetamiento aleatorio compacto y corresponde con e = 0:364 (Gotoh y Finney, 1974). La introducción de fuerzas de rozamiento permite que asientos con una estructura más abierta sean estables pudiendo alcanzarse porosidades de hasta e = 0:40 (Makse et al., 2000; Gotoh y Finney, 1974). Para estas porosidades, se dice que las esferas tienen un empaquetamiento aleatorio laxo. Además de las fuerzas de fricción, la porosidad del asiento también depende de la forma de las partículas (Shinohara et al., 2000), de la distribución del tamaño de estas en el asiento (Latham et al., 2002) y de las fuerzas atractivas entre ellas, si es que exis-
2.1. Introducción
49
s2 σ A' σ2
f2
τ
E' G
A
E
σ3
c2
L'
O
F C
L e2 e4
s1 c1
f1 ε
σ1
e1
B
M
e5
e3
−σ
J t2
I
H
t1
Figura 2.2: Diagrama de Roscoe para un material granular cohesivo (Schwedes, 1975). ten. Con mucho, el factor con un rango de variación más grande y que por consiguiente más afecta a la porosidad es la intensidad de las fuerzas atractivas entre partículas, pues puede alcanzar valores centenares de veces mayor que el peso de la partícula. Experimentos con partículas magnéticas con diámetros del orden del milímetro (Forsyth et al., 2001a) muestran que las fuerzas atractivas entre partículas del orden de unas decenas de veces mayores que el peso de estas ya son capaces de estabilizar el asiento a porosidades muy superiores a la del empaquetamiento aleatorio laxo. En nuestro caso las partículas de toner tienen diámetros del orden de los 10 m y las fuerzas adhesivas entre partículas pueden ser del orden de mil veces superiores al peso de una partícula individual, por lo tanto la cohesión gobierna el comportamiento del material. Para poder ser manipulado fácilmente durante la impresión, un tóner no debe
50
Capítulo 2. Sólido granular
ser excesivamente cohesivo, así que en la fase de diseño de un tóner es importante poder determinar su cohesividad. Nuestro grupo ha desarrollado en colaboración con Xerox Corporation una técnica experimental para caracterizar la cohesividad de toners xerográ cos mediante la relación entre la resistencia a la tracción t , la porosidad y el esfuerzo de consolidación c (Valverde et al., 2000a; Valverde, 1997).
2.2 Montaje experimental para la determinación de la resistencia a la tracción El esquema del montaje experimental para la medida de la resistencia a la tracción se muestra en la gura (2.3). La muestra de toner se dispone en el interior de un cilindro vertical de metacrilato y reposa sobre un ltro metálico. En el otro extremo del cilindro un sensor por ultrasonido se encarga de medir la altura del asiento. Un juego de válvulas y de controladores de ujo se encarga de dirigir el ujo de gas a través del material, mientras que un manómetro diferencial mide la caída de presión del gas al recorrer el montaje. Llamaremos ujo directo al ujo en sentido contrario a la gravedad e inverso al ujo que actúa en el mismo sentido que la gravedad. Como gas se ha utilizado nitrógeno industrial. Un ordenador controla todo el dispositivo de forma que la adquisición de datos se haya completamente automatizada. Al iniciar una medida, el asiento se uidiza mediante ujo directo de gas. Si es necesario, se usa inicialmente un vibrador para agitar el toner de forma que se rompan los contactos entre partículas y el material no ascienda como un tapón por el interior del cilindro impulsado por el gas o se formen canales por los que el gas atraviese el asiento sin mezclarse con el toner. Una vez el material ha sido uidizado, se corta el ujo de gas y se deja que el material colapse en un estado macroscópicamente reproducible. Si queremos que el material se consolide a un valor por debajo de la consolidación debida a su propio peso, se mantiene cierto ujo directo de gas, de forma que tomamos como esfuerzo de consolidación del material c el peso de este por unidad de área del ltro menos la caída de presión del gas a través del asiento: c = mg=A p. Si queremos consolidar el material a esfuerzos de consolidación c mayores al correspondiente a su propio peso, se usa un ujo inverso de gas para comprimir el toner con el gas hasta el esfuerzo de consolidación deseado, que se toma como el peso por unidad de área más la caída de presión del ujo de gas: c = mg=A + p. Una vez alcanzado el esfuerzo de consolidación c deseado, el sensor por ultrasonidos mide la altura del asiento, de forma que conocida la masa de este y la densidad de las partículas se puede determinar la porosidad del material. El siguiente
2.2. Montaje experimental: Resistencia a la tracción
51
paso es usar un ujo directo de gas para romper el asiento del material. Mientras el material se comporta como un sólido, la caída de presión del gas a su través p es proporcional al ujo de gas f de acuerdo con la ley de Carman (Carman, 1937):
P (1 e)2 f =C 2 3 h dp e A
(2.2)
donde es la viscosidad del gas, dp el diámetro de las partículas, h la altura del asiento y C es una constante de proporcionalidad cuyo valor suele determinarse empíricamente. Si el material fuese no cohesivo, la caída de presión aumentaría hasta igualar al peso por unidad de área del material. En los materiales cohesivos, la caída de presión sobrepasa a este valor debido a que el gas no sólo ha de sostener el peso de las partículas para uidizar el material, sino que además ha de romper los enlaces entre las partículas. Por esta razón tomamos como esfuerzo tensil t del material el máximo valor de la caída de presión menos el peso por unidad de área del material. En los casos en que es posible observar visualmente la fractura del toner se comprueba que esta tiene lugar en el interior del material en las proximidades del ltro. Con todos los materiales estudiados, cuando se vacía la celda, una película de material queda siempre ja a la super cie del ltro. Se ha comprobado también que el valor del esfuerzo tensil no depende del material con el que se construya el ltro. Por tanto, se puede admitir con seguridad que el valor medido para el esfuerzo tensil es originado por la adhesión entre partículas del material y no por la adhesión de las partículas al ltro metálico. Por simpli car, en todos los casos supondremos que la super cie de fractura es una super cie plana S en el interior del material in nitesimalmente próxima a la super cie del ltro. Hay que hacer notar que tanto cuando se comprime el toner como cuando se mide su resistencia a la tracción se le está sometiendo a un test odeométrico. Esto signi ca que las tres tensiones principales en el interior del material no son idénticas. Si, por simpli car, suponemos que no existe fricción entre la pared del cilindro y el toner, el tensor de tensiones en el interior del materia tiene geometría cilíndrica (Atkinson, 1993). El eje de la tensión principal mayor z sería el eje vertical Oz mientras que las otras dos tensiones principales de valor h tienen sus ejes situados en el plano horizontal. Como h 6= z existen tensiones de cizalla en el interior del material, por lo que c no coincidirá con 2 y t será distinto de 1 . En general, es estado de tensiones en el plano S vendrá descrito por un círculo de Mohr con centro = (z + h )=2 y radio = (z h )=2 durante la compresión y por un círculo de Mohr con centro = (h t )=2 y radio = (h + t )=2 en el
52
Capítulo 2. Sólido granular Filtro contra elutriación Sensor ultrasonidos
Controlador de flujo 2 0 0
1.500
Toner
Manómetro diferencial
2 0 0 0
Controlador de flujo
Válvulas
Figura 2.3: Esquema del montaje experimental para la medida de la resistencia a la tracción y la porosidad en función del esfuerzo de consolidación momento de la fractura. La situación se muestra representada en la gura 2.4. Como c no tiene por que coincidir con 2 y t no tiene por qué coincidir con 1 nos referiremos siempre a c con el nombre de esfuerzo de consolidación y a t como resistencia a la tracción sin sugerir por ello que los valores de c y t frente a la porosidad se dispongan sobre curvas en el plano = 0 del diagrama de Roscoe ( gura 2.2) tales como las curvas f1 f2 o t1 t2 . Experimentalmente se encuentra que el esfuerzo de consolidación z y la porosidad presentan una dependencia análoga a la de la expresión 2.1. Para minimizar el efecto de la tensión principal menor h sobre los resultados del experimento en un trabajo anterior realizado por otros miembros del Grupo (Valverde et al., 1998) se midió previamente dependencia de la porosidad de un mismo toner con la altura de la capa de toner en celdas de distinto diámetro y se comprobó que la dependencia era la misma para capas de toner de hasta 6 cm de profundidad independientemente del ancho de la celda para celdas de un diámetro mayor de 4 cm. En el montaje experimental se ha usado siempre una capa de toner de espesor menor que 6 cm en una celda de diámetro 4.42 cm.
2.3. Valores experimentales de la resistencia a la tracción
53
τ Superficie límite de flujo plástico
ρ σ1 σt
ρ
t
σh
t
σh
c
c
σc σ2
Figura 2.4: Super cie límite de ujo plástico para una porosidad constante y un estado de tensiones bidimensional. es el esfuerzo de cizalla y el esfuerzo normal. c es el esfuerzo de consolidación y t la resistencia a la tracción que se miden experimentalmente.
2.3 Valores experimentales de la resistencia a la tracción Hemos realizado el experimento con el conjunto de toners con la misma formulación del polímero base (poliester) y aproximadamente el mismo tamaño de partícula (entre 7 y 7.5 m) pero di eren en: a) el grado de entrelazado de las cadenas de polímero, que se ha variado tratando el polímero con hexametildisilazano. Este agente químico crea regiones dentro del polímero de fuerte entrelazado, a las que denominaremos como "gel". El entrelazado de las cadenas tiene el efecto de aumentar la dureza del polímero. b) La cantidad de aditivo condicionador de ujo añadido al toner. Este aditivo consiste en partículas submicrométricas de sílice (nombre comercial Aerosil o Cabosil) que se disponen sobre la super cie del polímero. Se añadió aditivo para obtener un recubrimiento teórico del 100% o del 20% de la super cie del polímero, aunque en la práctica ese valor es menor debido a que las partículas de aditivo se agregan sobre la super cie del polímero. c) El radio de las partículas de aditivo. Se han usado dos tamaños de partículas de aditivo (40 m u 8 m). Como normal general para una consolidación dada, cuanto más cohesivo es un material granular mayor es su porosidad. Esto se debe a que para que disminuya la porosidad las partículas han de reorganizarse, lo que implica la ruptura de cierto número de contactos para crear otros nuevos. Cuanto más adhesivas sean las partículas más difíciles de romper serán los contactos. En el caso de nuestros materiales para una porosidad dada el esfuerzo de consolidación necesario para alcanzarla es menor cuanto menor es la resistencia a la tracción del material para esa porosidad ( g. 2.5). El toner con 20% de recubrimiento es más cohesivo que el
54
Capítulo 2. Sólido granular 45% gel 1000 σc (Pa) 800
100% rec. 40 nm 20% rec 40 nm 100% rec. 8 nm
600
20% rec 8 nm
400 200 0 σt (Pa) 0.55 -200
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
porosidad
30% gel 1000 σc (Pa) 800
100% rec. 40 nm 20% rec. 40 nm 100% rec. 8 nm
600
20% rec. 8 nm 400 200 0 σt (Pa) 0.55 -200
0.65
0.75
0.85
porosidad
15% gel
1000 σc (Pa) 800
100% rec. 40 nm 20% rec. 40 nm 100% rec 8 nm
600
20% rec. 8 nm
400 200 0 σt (Pa) 0.55 -200
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
porosidad
0% gel
1000 σc (Pa) 800
100% rec. 40 nm 20% rec. 40 nm 100% rec. 8 nm
600
20% rec. 8 nm
400 200 0 σt (Pa) 0.55 -200
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
porosidad
Figura 2.5: Dependencia del esfuerzo de consolidación y de la resistencia a la tracción con la porosidad para los toners de la serie TB.
2.3. Valores experimentales de la resistencia a la tracción
55
45% gel
250
100% rec. 40 nm 200 σt (Pa)
20% rec. 40 nm 100% rec. 8 nm
150
20% rec. 8 nm
100 50 0 0
200
400
600 σc (Pa)
800
1000
800
1000
800
1000
800
1000
30% gel 250 100% rec. 40 nm 20% rec. 40 nm
200 σt (Pa)
100% rec. 8 nm
150
20% rec. 8 nm
100 50 0 0
200
400 600 σc (Pa)
15% gel
250
100% rec. 40 nm 20% rec. 40 nm 100% rec. 8 nm
200 σt (Pa)
20% rec. 8 nm
150 100 50 0 0
200
400 600 σc (Pa)
0% gel 250 100% rec. 40 nm 200 σt (Pa)
20% rec. 40 nm 100% rec. 8 nm
150
20% rec. 8 nm
100 50 0 0
200
400 600 σc (Pa)
Figura 2.6: Dependencia de la resistencia a la tracción con el esfuerzo de consolidación para los toners de la serie TB.
56
Capítulo 2. Sólido granular
toner con 100% de recubrimiento independientemente del contenido en gel porque para este último prácticamente todos los contactos entre partículas se forman a través de partículas de aditivo (contactos sílice-sílice); mientras que para el toner con un 20% de recubrimiento existen contactos polímero-sílice, polímero-polímero y sílice-sílice, aunque estos últimos serán los más infrecuentes. El polímero es más blando que el sílice y el radio típico de la aspereza en las áreas donde el polímero está expuesto ( 0:1 m) (Mason et al., 1999; Massimilla y Donsi, 1976) es mayor que el radio de las partículas de aditivo. El área de contacto aumenta con el radio local de curvatura de las super cies y decrece con la dureza de los materiales, de acuerdo con los modelos que se discutieron en el capítulo 1. La adhesión entre partículas aumenta con el área de contacto ya que se debe a fuerzas atractivas de corto alcance. Por tanto es de esperar que la presencia de contactos polímero-sílice y polímero-polímero haga a los toners con 20% de recubrimiento más cohesivos que los toners con 100% de recubrimiento, como es el caso ( g. 2.6). Por otro lado, si disminuye la dureza del polímero el área de contacto aumentará para los contactos polímero-polímero y estos contactos se harán más adhesivos. Este efecto es visible si comparamos las curvas de los toners con 45% gel con las de los toners con 0% gel: las curvas de los toners con 0% de gel se hallan desplazadas hacia porosidades mayores. Este desplazamiento es menor para los toners con 100% de recubrimiento que para aquellos con 20% de recubrimiento puesto que para los primeros sólo existen contactos entre partículas de aditivo. P. ej., en la gura 2.7 se muestra el efecto del contenido en gel para los toners con aditivo de 8 nm. Mientras que la dependencia del esfuerzo de consolidación con la porosidad resulta inalterada para el toner con 100% de recubrimiento, para el toner con 20% de recubrimiento el descenso en contenido en gel se acompaña con un desplazamiento a porosidades mayores para el mismo valor del esfuerzo de consolidación, como corresponde con un aumento de la cohesividad del toner. Esto representa una prueba de que para un tamaño de partícula base la cohesividad de un toner sólo depende de sus propiedades super ciales.
El tamaño de las partículas de aditivo controla la rugosidad de la super cie. Si las partículas de aditivo son más pequeñas, el radio de curvatura local de las super cies en los contactos sílice-sílice también será menor. Esto hace que para los toners con 100% de recubrimiento el toner con aditivo de 8 m de diámetro sea menos cohesivo que el toner con aditivo de 40 m de diámetro.
2.4. Relación entre las fuerzas entre partículas y el tensor de tensiones 57 100% rec. 8 nm 1000 σc (Pa) 800
45% gel 30% gel 15% gel
600
0% gel
400 200 0 σt (Pa) 0.6 -200
0.65
0.7
0.75
porosidad
20% rec. 8 nm 1000 σc (Pa) 800
45% gel 30% gel 15% gel
600
0% gel
400 200 0 σt (Pa) 0.65 -200
0.7
0.75
0.8
porosidad
Figura 2.7: Efecto del gel sobre la relación entre esfuerzo de consolidación, resistencia a la tracción y porosidad para los toners con aditivo de 8 nm de diámetro.
2.4 Relación entre las fuerzas entre partículas y el tensor de tensiones 2.4.1 Teoría Si conocemos los valores de todas las fuerzas que actúan en los contactos entre partículas, es posible calcular el tensor de tensiones en el interior
58
Capítulo 2. Sólido granular
del material granular (Emeriault y Chang, 1997). De la misma forma, si conocemos el tensor de tensiones en el interior del material es posible conocer el valor típico de las fuerzas de contacto entre partículas. Este problema fue abordado por primera vez por Rumpf (1958), que usando argumentos geométricos obtuvo una expresión para la fuerza de contacto F para un material compuesto por partículas esféricas de diámetro dp, en empaquetamiento aleatorio isótropo (los contactos no tienen una orientación preferente) sometido a una presión hidrostática :
F=
dp 2 k
(2.3)
donde k es el número medio de coordinación, de nido como el número medio de contactos entre una partícula y sus vecinas y es la fracción sólida del material (la fracción de volumen del material ocupada por las partículas). La expresión 2.3 también se puede demostrar usando el principio de los trabajos virtuales (Helle et al., 1985). Sin embargo, lo más común es que la distribución angular de los contactos no sea isótropa (Seidler et al., 2000; Sederman et al., 2001; Geng et al., 2001). Si se aplica el principio de los trabajos virtuales a un asiento donde la distribución angular de los contactos sea anisótropa, se llega a que la componentes del tensor de tensiones ij y las componentes Fi de las fuerzas de contacto entre partículas están relacionadas por la expresión (Emeriault y Chang, 1997): Fi = ij nk Akj (2.4) donde ni es el vector normal unitario y Aij es la inversa del tensor de estructura del material. El tensor de estructura Fij se de ne a partir de las orientaciones de los contactos en el interior del material en la forma (Emeriault y Chang, 1997):
Fij =
dp X c c nn V c i j
(2.5)
El sumatorio se extiende a todos los contactos en el volumen V y nci es el vector unitario normal a la super cie de las partículas en el punto de contacto. Al derivar la expresión 2.5 se supone que todos los contactos con la misma orientación están sometidos a la misma fuerza, es decir que no hay una distribución de fuerzas de contacto para la población de contactos que comparten una misma orientación. Bajo esta hipótesis, sólo se necesita conocer la función de distribución angular de la orientación de los contactos P ( ) y el número medio de coordinación k para calcular el tensor de estructura Fij y usarlo en 2.4 para encontrar el valor típico de las fuerzas de contacto.
2.4. Relación entre las fuerzas entre partículas y el tensor de tensiones 59 En forma integral, la expresión 2.5 se escribe (Emeriault y Chang, 1997): 3 k Z (2.6) Fij = 2 P ( )ni nj d
dp
donde la distribución angular de los contactos P ( ) está normalizada a la unidad. Si se somete a un material granular a una compresión odométrica en una celda de forma cilíndrica y se desprecia la fricción entre el material y la pared de la celda el tensor de tensiones en el interior del material tiene la forma: ij = h Æij + (z h ) Æi3 Æj 3 (2.7) Mediante simulación numérica del test odométrico de un asiento bidimensional de discos (Radjai et al., 1998) se encuentra que las direcciones principales del tensor de estructura coinciden con las direcciones principales del tensor deformación incremental. Como en una compresión odométrica el tensor de deformación incremental tiene simetría cilíndrica alrededor del eje z el tensor de estructura y la función de distribución angular de los contactos han de tener también la misma simetría. Por tanto P ( ) puede expandirse en serie de armónicos esféricos con la misma simetría. Por simpli car consideramos sólo los dos primeros términos de la serie para estimar el efecto de la anisotropía en la orientación de los contactos: P ( ) = N (Y00 + Y20) (2.8) donde es una constante que mide la magnitud de la anisotropía de la función de distribución angular P ( ) y N es una constante de normalización. Sustituyendo (2.8) en (2.6) se obtiene para el tensor de estructura y su inverso:
Fij = MÆij + NÆi3 Æj 3 1 1 1 Æ Æ Aij = Æij + M M + N M i3 j 3
donde
M
y
N
valen:
p
k 5 M = 1 2 dp 2 k 9p N = d2p 2 5
(2.9)
! (2.10)
usando (2.7) y (2.9) en (2.4) se obtiene el valor esperado para la componente Fi de la fuerza cuyo contacto tiene la dirección ni . h z h Fi = ni + Æi3 n3 (2.11)
M
M +N
M
60
Capítulo 2. Sólido granular
la fuerza normal que actúa en el contacto vale:
Fn = Fi ni =
z h + M M +N
h 2 cos M
(2.12)
donde es el ángulo subtendido entre la dirección del contacto y el eje Oz . En las medidas de la fuerza de adhesión entre partículas usando el microscopio de fuerzas se disponen las dos partículas que entran en contacto de forma que sus centros están aproximadamente alineados en la dirección vertical. Con esta disposición es razonable suponer que la normal a la super cie de contacto esté próxima a la dirección vertical. Por tanto los valores encontrados para las fuerzas de carga y de adhesión deben ser comparados con los obtenidos de la expresión (2.12) haciendo ' 0. Como h < z por ser h la tensión principal menor, la expresión (2.12) puede ser aproximada por: ! 1 2 dp2 z 1 + p Fn = Fi ni = (2.13)
k
5
En ausencia de anisotropía = 0 y se recupera la expresión (2.3). El valor de debe ser encontrado mediante simulaciones por ordenador o técnicas de tomografía. Un valor típico para un sistema bidimensional es 0:1 (Radjai et al., 1998), que se corresponde con un descenso del 10% en la fuerza que actúa en el contacto. Es de esperar que la corrección introducida por la anisotropía en la distribución angular de los contactos sea del mismo orden en sistemas tridimensionales. Hasta ahora hemos considerado que el asiento es monodisperso. El efecto de la distribución de diámetros de las partículas también puede encontrarse usando el principio de los trabajos virtuales (Tsoungui et al., 1998). La fuerza normal F actuando sobre un contacto en función de la tensión externa aplicada para un sistema tridimensional polidisperso es:
F=
dp2 k
(2.14)
donde = 1 para un asiento monodisperso, con lo que se vuelve a recuperar la expresión (2.3). El parámetro 1 es una función de la variación de la densidad media del asiento con el diámetro medio de las partículas (Tsoungui et al., 1998). Para un sistema tridimensional con un distribución bimodal de diámetros, presenta un valor máximo de 1.5 cuando las partículas pequeñas representan una fracción del volumen cercana a 0.2 pero en general, presenta una dependencia débil con la razón de diámetros entre partículas grandes y pequeñas. Los toners usados en los experimentos son bastante monodispersos, así que se espera que la
2.4. Relación entre las fuerzas entre partículas y el tensor de tensiones 61
% con diametro menor
100 80 60 CLC700 magenta CLC700 amarillo
40 20 0 0
5
10 diámetro (µm)
15
20
Figura 2.8: Distribución de tamaños de partícula para un tóner típico (Canon CLC700). La distribución se ha construido mediante imágenes SEM de unas 150 partículas. corrección debida a la distribución de tamaños de partícula sea pequeña (ver g. 2.8). Así pues, los efectos de la anisotropía en la distribución de los contactos y de la polidispersidad se resumen en la introducción de un factor multiplicativo en la expresión (2.3) cercano a la unidad. En lo que respecta a las irregularidades en la super cie de las partículas no hemos encontrado ninguna aproximación realista así que no las tendremos en cuenta. En la expresión (2.3) aparece el número medio de coordinación k . Este puede ser relacionado con la fracción sólida del material mediante simulaciones numéricas de deposición balística de esferas a las que se permite mayor o menor libertad para reacomodar sus posiciones. Para nuestros materiales toma valores entre 0.2 y 0.4. En este rango los resultados numéricos pueden ser aproximados por (Watson et al., 1997):
k ' (1 ) 2 Lo que signi ca que
=
3 2
(2.15)
k está en el rango 2 < k < 4.
2.4.2 Resultados experimentales Usando las expresiones (2.3) y (2.15) la fuerza de carga P y la fuerza de adhesión Ft en los contactos entre partículas pueden ser estimados a
62
Capítulo 2. Sólido granular
partir del esfuerzo de consolidación c y del esfuerzo tensil t , respectivamente:
P
Ft
2dp2 (1 2dp2 (1
)3=2 c
(2.16)
)3=2 t
Los resultados de aplicar la expresión 2.16 a los datos de la gura 2.5 y 2.6 se muestran en la gura 2.9, donde el error típico para la fuerza de adhesión es de 2 nN. Se observa que en todos los casos la fuerza de adhesión Ft aumenta con la fuerza de carga Fc aplicada al contacto durante la consolidación de forma aproximadamente lineal. Como ya hemos medido directamente la fuerza de adhesión entre partículas podemos juzgar la validez de los resultados de la sección 2.4.1, comparando los resultados de la sección 1.7 con los valores para las fuerzas entre partículas estimados de las tensiones en el material mediante la expresión 2.3. Para los cuatro toners de la serie TB los valores de la fuerza de adhesión entre partículas obtenida a partir de la dependencia de la resistencia a la tracción y la porosidad frente al esfuerzo de consolidación se encuentran representados entre las series de la gura 2.9. La dependencia del esfuerzo de consolidación y la resistencia a la tracción con la porosidad para los dos toners de la serie RT que se presentaron en la sección 1.7 habían sido obtenidos ya previamente por otros componentes del grupo (Valverde et al., 1998). La fuerza de adhesión que se deduce de esos datos se ha representado superpuesta a los datos de la gura 1.12 en la gura 2.10. Comparando las guras 1.12 y g. 2.9 se observa que el valor esperado de la adhesión y el valor típico deducido a partir de las tensiones macroscópicas tienen el mismo comportamiento: la adhesión aumenta con la fuerza de carga y este incremento es mayor cuanto menor es el recubrimiento super cial de partículas de aditivo del toner. Sin embargo el valor esperado de la fuerza de adhesión es sistemáticamente mayor que el valor típico que se deduce de la resistencia a la tracción del material a partir de 2.16. Para los toners de la serie TB ( 7 m de diámetro) la adhesión esperada es unas siete veces mayor que el resultado de 2.16 independientemente de la fuerza de carga, mientras que para los toners de la serie RT (12:7 m) la adhesión esperada es sólo unas tres veces mayor (ver gura 2.10). Para cada rango de la fuerza de carga se puede calcular una adhesión reducida f de nida como la razón entre el valor esperado de la adhesión y el valor teórico obtenido de la expresión 2.16. Las distribuciones acumulativas de los valores de la adhesión reducida para los dos toners de
2.4. Relación entre las fuerzas entre partículas y el tensor de tensiones 63 Ft (nN) 45 40
45 % gel 100% sac 40 nm 20% rec 40 nm
35
100% rec 8 nm
30
20% rec 8 nm
25 20 15 10 5 0 0
50
Fc (nN)
100
150
200
150
200
0 % gel
Ft (nN) 45 100% rec 40 nm
40
20% rec 40 nm
35
100% rec 8 nm
30
20% rec 8 nm
25 20 15 10 5 0 0
50 Fc (nN) 100
Figura 2.9: Valores de la fuerza de adhesión frente a fuerza de carga para los contactos entre partículas obtenidos a partir del esfuerzo de consolidación y de la resistencia a la tracción. la serie RT se muestran en la gura 2.11. Se observa que la distribución acumulativa de la adhesión reducida es independiente del rango de fuerza de carga. Esto indica que la función de distribución de los valores experimentales de la adhesión escala con el valor teórico obtenido de 2.16 y que es la misma para los dos toners de la serie RT. En la gura 2.12 se muestra la función de distribución P (f ) que da la probabilidad de encontrar un valor de la adhesión reducida f . A pesar de tener dis-
64
Capítulo 2. Sólido granular 40
RT 0.4%
Ft (nN)
RT 0.05%
30
RT 0.05% RT 0.4%
20
10
0 0
20
40
60 80 P (nN)
100
120
Figura 2.10: Fuerza de adhesión Ft frente a fuerza de carga P medidas en el microscopio de fuerzas para los toners serie RT (símbolos blancos). Los símbolos negros representan la fuerza de adhesión frente a la fuerza de carga obtenidos a partir de los datos para el esfuerzo de consolidación c y la resistencia a la tracción t de la referencia (Valverde et al., 1998). tinta cohesión ambos toners obedecen la misma distribución dentro de los errores experimentales. La distribución tiene un máximo alrededor de f ' 2 y no es simétrica, sino que presenta una caída exponencial para valores por encima del máximo. Como se ha mencionado en la sección 2.4.1 el efecto de la anisotropía y de la polidispersidad introducen un factor próximo a la unidad en el valor teórico de las fuerzas y por consiguiente no pueden explicar por sí solas la discrepancia entre valores teóricos y experimentales. Por el contrario, es razonable pensar que si las fuerzas entre partículas uctúan grandemente a escalas del tamaño de la partícula esto puede hacer necesario una corrección importante al valor teórico de las fuerzas de contacto, ya que al derivar las expresiones de la sección 2.4 se ha asumido que el material granular puede ser tratado como un medio continuo. Sin embargo hay numerosas evidencias experimentales de que las tensiones en el interior de un material granular no se reparten homogéneamente entre todas la partículas (Liu et al., 1995; Miller et al., 1996; Ngadi y Rajchenbach, 1998; Mueth et al., 1998; Lovoll et al., 1999; Behringer et al., 1999), sino que existen cadenas de partículas, llamadas cadenas de fuerza, que están sometidas a fuerzas de carga mucho mayores que el valor medio de la fuerza de carga por partícula (en la sección 2.5 se muestran las cadenas de fuerza en un medio granular especial pero que es ilustrativo de la naturaleza
2.4. Relación entre las fuerzas entre partículas y el tensor de tensiones 65 RT 0.4%
probabilidad acumulada
1 0.8 0.6
5-15 nN 15-25 nN
0.4
25-35 nN 35-45 nN
0.2
45-65 nN 0 0
5
10 15 adhesión normalizada
20
RT 0.05%
probabilidad acumulada
1 0.8 0.6 25-35 nN
0.4
35-45 nN 45-55 nN
0.2 0 0
5
10 15 adhesión normalizada
20
Figura 2.11: Distribución de la adhesión reducida para los toners de la serie RT con 0.4% y 0.05% de aditivo en peso. de estas cadenas). La existencia de cadenas de fuerza también parece inferirse a partir de la transmisión de ultrasonidos en materiales granulares (Liu y Nagel, 1992; Jia et al., 1999). Estas cadenas de fuerza soportan la mayor parte del tensor desviador de tensiones en el interior del material mientras que el resto de las partículas están sometidas prácticamente a una presión hidrostática (Radjai et al., 1998). Esto hace que en la escala de unas decenas de granos se encuentren desviaciones en los valores de las tensiones muy alejadas del promedio (Miller et al., 1996; Ngadi y
66
Capítulo 2. Sólido granular
Rajchenbach, 1998; Behringer et al., 1999; Radjai et al., 1996), quizás lo su cientemente importantes como para que la descripción del material como un medio continuo no sea válida a escalas bastante mayores que el tamaño de grano. Liu et al. (1995) encontraron que la distribución de probabilidad de las fuerzas de carga P (F ) decae exponencialmente para fuerzas normales F mayores que el valor medio F mientras que es más o menos constante para F < F . Otros resultados similares han sido encontrados experimentalmente por otros autores (Mueth et al., 1998; Lovoll et al., 1999; Behringer et al., 1999). El decaimiento exponencial de P (F ) puede explicarse mediante modelos estadísticos en los que la fuerza que una partícula ejerce sobre las partículas vecinas a través de los contactos se distribuye al azar, por ejemplo, el "modelo q" (Coppersmith et al., 1996). En este modelo no se tiene en cuenta la fricción y el desorden en el empaquetamiento de las partículas se considera como el factor físico determinante de la aparición de las cadenas de fuerza, aunque estas siguen apareciendo si se tienen en cuenta las fuerzas de fricción (Socolar, 1998). Se ha encontrado mediante simulaciones numéricas que la función de distribución de las fuerzas de contacto, convenientemente normalizada, colapsa en la misma distribución, independientemente del tamaño de las partículas si el asiento es monodisperso o de la distribución del tamaño de estas si es polidisperso (Radjai et al., 1996). También se ha comprobado para materiales ligeramente cohesivos que la existencia de fuerzas atractivas entre partículas no cambia los rasgos principales de la distribución de las fuerzas de contacto (Antony, 2000). Es más, simulaciones numéricas en las que se varía la porosidad del asiento cambiando el coe ciente de fricción entre partículas han demostrado que cuanto mayor es la porosidad de un asiento más inhomogéneamente se distribuyen las fuerzas en su interior (Makse et al., 2000) mientras que la forma funcional de la distribución permanece esencialmente inalterada (Blair et al., 2001). Todos estos resultados se han obtenido en asientos de partículas duras, por ejemplo, esferas de vidrio, con lo que la deformación individual de las partículas es pequeña. Si las partículas son blandas de forma que la deformación que experimentan bajo la acción de las fuerzas de contacto es importante la distribución de las fuerzas de contacto se hace más estrecha (el decaimiento exponencial para F > F se hace más rápido) (Erikson et al., 2002). Sin embargo, el efecto de la deformación de las partículas sobre la función de distribución sólo es importante cuando la deformación de las partículas en mayor que el 30%, que es un valor demasiado alto para los esfuerzos de consolidación a los sometemos a nuestros materiales (que no superan 1 KPa). Por estas razones suponemos que la existencia de cadenas de fuerza en nuestros materiales tiene un efecto apreciable en la relación entre la resistencia a la tracción y la fuerza
2.4. Relación entre las fuerzas entre partículas y el tensor de tensiones 67 1 RT 0.4% RT 0.05%
frecuencia
0.1
0.01
0.001 0
5 10 adhesión normalizada
15
Figura 2.12: Distribución de probabilidad P(f) de la fuerza de adhesión reducida. de adhesión entre partículas. Si al someter al medio a una tensión de consolidación se forman cadenas de fuerza sólo una fracción de todos los contactos existentes en el material soportará la mayor parte de la tensión aplicada mientras que el resto de los contactos no se verán afectados por la tensión aplicada. Si sólo los contactos que pertenecen a cadenas de fuerza contribuyen a la resistencia a la tracción, la fuerza de carga F 0 sobre esos contactos será mayor que la fuerza F dada por la expresión 2.3. Si < 1 es la fracción de los contactos que contribuye a la resistencia a la tracción y esta fracción permanece constante la fuerza de adhesión entre partículas será F 0 F= . Si asumimos que la relación entre la fuerza de adhesión Ft y la fuerza de carga P es lineal (Ft ' P + Ft0 ), para las fuerzas de contacto reales Ft0 P 0 + Ft0 = , de forma que usar la expresión (2.3) lleva a una estimación demasiado baja de las fuerzas de adhesión entre partículas. También es necesario tener en cuenta que cuando la fuerza de carga se hace muy grande la relación entre la fuerza de adhesión y la fuerza de carga en un contacto se vuelve sublineal ((Watson et al., 2001), Eq. (1.27). En los contactos que estén sometidos a fuerzas de carga muy altas por pertenecer a cadenas de fuerza la fuerza de adhesión se saturará lo que implica que ha de producirse una reducción de la resistencia a la tracción del material frente al valor que tendría si las fuerzas de consolidación estuviesen equitativamente distribuidas sobre todos los contactos. Por último, otra posible explicación es que la existencia de defectos estructurales en el material puede hacer decrecer la resistencia a la tracción,
68
Capítulo 2. Sólido granular
pero a la vez, debería provocar una gran dispersión en su valor, lo cual no se observa en la práctica. Así pues estos defectos, si están presentes tienen una escala menor que el radio de la base de la capa de material y su efecto sobre la resistencia a la tracción está promediado.
2.5 Visualización de tensiones mediante bloques fotoelásticos: Efecto de las condiciones de contorno Ya se ha comentado que la existencia de cadenas de fuerza puede hacer que no sean correctas las expresiones que tratan de relacionar las tensiones en el interior del material con las fuerzas de contacto entre partículas de forma local, como se hizo en la sección 2.4.1. Además en 2.4.1 se admitió de forma implícita que la presencia de anisotropía en la distribución angular de los contactos afecta a la relación entre fuerzas de contacto y tensiones de forma local (expresión 2.13) cuando se sabe que la distribución de los contactos puede afectar a la distribución de las tensiones en el interior del material a gran escala: por ejemplo, la presión en la base de un montoncito de arena es máxima bajo la cima del montón si este ha sido construido dejando caer los granos desde una fuente extensa, pero presenta un mínimo local bajo la cima si se construye el asiento dejando caer los granos uno a uno desde una fuente puntual (Vanel et al., 1999) (la base sobre la que se construye el asiento ha de ser lo bastante rígida para no ceder bajo el peso de las sucesivas capas de granos dejando que se reacomoden los contactos). La presencia del mínimo local se ha relacionado con el hecho de que por el primer procedimiento la distribución angular de los contactos es isótropa, mientras que por el segundo método los contactos se forman preferentemente en la dirección que forma un ángulo de 45o con la super cie libre del asiento (Geng et al., 2001). La existencia de cadenas de fuerza se ha relacionado con el hecho de que en un asiento de material granular, las direcciones de los contactos y las fuerzas de contacto no están determinadas a escala local. Por ejemplo, si consideramos el entorno de un grano, por norma general las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos no determinan unívocamente los valores de las fuerzas de contacto (Grindlay y Opie, 1995). Cuando se somete el medio granular a una tensión las direcciones de los contactos se reorganizan de manera que se ve favorecida la formación de contactos en aquellas direcciones en las que las fuerzas de contacto soportan más e cientemente la tensión aplicada. Estos contactos forman las cadenas de fuerza y con eren rigidez mecánica al material. Por tanto las partículas en cadenas de fuerza han de soportar fuerzas de contacto grandes
2.5. Visualización de tensiones mediante bloques fotoelásticos
69
comparadas con las partículas que no intervienen en ellas, que actúan como espectadoras (Cates et al., 1998). Mediante simulaciones numéricas se ha comprobado que en empaquetamientos regulares de partículas aparecen cadenas de fuerza simplemente admitiendo que la fuerza que una partícula ejerce sobre las partículas vecinas a través de los contactos se distribuye al azar (Coppersmith et al., 1996). Cuando se considera únicamente el desorden en las fuerzas de contacto se obtienen ecuaciones parabólicas para la transmisión de tensiones, es decir, las tensiones obedecen a una ecuación de difusión en la que el coe ciente de difusión depende del tensor de estructura (Rajchenbach, 2001). Según esto, en dos dimensiones la región del asiento sometida a tensiones por efecto de una carga puntual ha de estar limitada por una parábola, lo que ha sido comprobado usando pilas de bloques de material fotoelástico (Da Silva y Rachenbach, 2000). Sin embargo, se supone que en un medio granular real la trasmisión de tensiones obedece a ecuaciones elípticas mientras la deformación sea elastica de forma que no se rompan cadenas de fuerza (Reydellet y Clément, 2001)) o hiperbólicas cuando se alcanza el límite plástico (Nedderman, 1992). También se han propuesto también ecuaciones hiperbólicas para la transmisión de tensiones en situaciones por debajo del límite plástico (Cates y Wittmer, 1998). De hecho, si se admite que los contactos están distribuidos anisótropamente (Rajchenbach, 2001) o si se tienen en cuenta las fuerzas de fricción lo que obliga a tratar las fuerzas como vectores, lo que es equivalente a considerar que los contactos transmiten sólo fuerzas normales pero su orientación es variable (Socolar, 1998), se obtienen ecuaciones hiperbólicas para la transmisión de tensiones. Sin embargo un punto al que no se le ha prestado excesiva atención y que puede proporcionar información sobre la naturaleza de las ecuaciones para la transmisión de tensiones en un medio granular es el efecto de las condiciones de contorno. Hemos repetido el experimento con bloques fotoelásticos de (Da Silva y Rachenbach, 2000) para estudiar el efecto del desorden en las direcciones de los contactos y de diferentes condiciones de contorno sobre la transmisión de tensiones. Las dimensiones de los bloques utilizados son 9 mm de alto y 16, 12, 10.66, 8, 5.33 y 4 mm de ancho. Los bloques se apilan por las dentro de un marco metálico que puede ser comprimido lateralmente en uno de sus lados para cambiar las condiciones de contorno, siendo la compresión de cada la independiente. Un tornillo de acero terminado en una semiesfera de 8 mm de diámetro situado en la parte superior del marco se utiliza para aplicar una fuerza casi puntual sobre los bloques. El marco se intercala entre dos polarizadores cruzados y se ilumina con luz blanca. Si al aplicar una fuerza sobre la pila de bloques el tensor desviador de tensiones en el interior de algún bloque no es nulo
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Capítulo 2. Sólido granular
el material del bloque se hace birrefringente y el bloque aparece coloreado. Si se intercalan bloques de distinta anchura en las las y cada vez que se impone la fuerza se construye una nueva pila con una con guración de bloques distinta, se crea cierto desorden en las direcciones de los contactos entre los bloques de una la y los de las las inmediatamente superior e inferior (aquí se entiende por dirección del contacto la del segmento que une los centros de los bloques en contacto). El desorden en el reparto de las fuerzas entre bloques vecinos se crea espontáneamente debido a las imperfecciones en la super cie de los bloques. Cada vez que se construye un nuevo apilamiento se captura una imagen de los bloques antes y después de aplicar fuerza mediante el tornillo sobre ellos. Posteriormente ambas imágenes se restan pixel a pixel una de la otra en valor absoluto y como resultado del experimento se toma el promedio de todas las imágenes así conseguidas (20 imágenes). Es importante resaltar que en cada imagen se visualiza la diferencia entre las tensiones principales máxima y mínima dentro de un grano, de modo que al hacer el promedio de las imágenes se obtiene un promedio de las tensiones en el interior de los granos en un punto de la imagen. Este promedio no tiene por qué coincidir con la tensión del medio granular equivalente, la cual está de nida como un promedio sobre muchos granos que ocupan posiciones distintas dentro de un cierto volumen. Si se deja la super cie lateral de la pila de bloques como super cie libre se recuperan los resultados de Da Silva y Rachenbach (2000), como se muestra en la gura 2.13, en la que la región sometida a tensiones está limitada por una parábola de acuerdo con el modelo difusivo para la transmisión de tensiones (en la gura los bloques sometidos a tensiones aparecen oscuros porque se han invertido los colores de la imagen). Como los bloques no están con nados lateralmente pueden desplazarse dentro de una la para acomodar la expansión lateral que experimentan al ser comprimidos en la dirección vertical (típicamente 100 N), así que las fuerzas se transmiten preferentemente en dirección vertical; cada bloque soporta las fuerzas ejercidas por sus dos vecinos en la la superior y las transmite a sus dos vecinos en la la inferior, al igual que en el modelo difusivo de Coppersmith et al. (1996). Si se ajusta el marco de la pila de manera que los bloques no puedan desplazarse lateralmente, en esta situación los contactos entre bloques dentro de una misma la son capaces de transmitir fuerzas, con lo que el comportamiento difusivo no aparece tan pronunciado. Si se comprime lateralmente la pila de bloques es de esperar que los contactos dentro de una misma la cobren importancia en la transmisión de tensiones con respecto a los contactos entre las contiguas. La imagen corrobora este razonamiento, pues en esta situación las tensiones debidas a la carga puntual impuesta se trans-
2.5. Visualización de tensiones mediante bloques fotoelásticos
71
Figura 2.13: Transmisión de las tensiones en una pila de bloques formando las regulares cuando: la super cie lateral de la pila es una super cie libre (arriba a la izquierda); se impiden los desplazamientos laterales en la super cie lateral de la pila (arriba a la derecha) y cuando se comprimen la pila de bloques lateralmente (abajo a la izquierda). Se muestra también la transmisión de tensiones cuando los bloques no forman las regulares y se impiden los desplazamientos laterales en la super cie lateral de la pila. miten prácticamente a todos los puntos de la pila, como correspondería a un modelo elíptico para la transmisión de tensiones. El efecto de las condiciones de contorno en la transmisión de las fuerzas puede entenderse también si se describe la pila de bloques como un medio elástico continuo, caracterizado por un potencial elástico degenerado de manera que el medio puede soportar esfuerzos compresivos pero no esfuerzos en tensión (Gavrilov2002, 2002). Cuando en el punto en el que se aplican las fuerzas sobre la pila de bloques se impone un pequeño incremento del esfuerzo compresivo, del punto de aplicación parten ondas elásticas hasta que la pila de bloques alcanza el estado de equilibrio bajo el nuevo estado de tensiones. En la estela de estas ondas se produce una disminución transitoria de las tensiones en el material. Si las tensiones iniciales
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Capítulo 2. Sólido granular
en el interior del material eran pequeñas (como es el caso cuando no se comprime lateralmente la pila de bloques) la disminución transitoria de las tensiones tras una onda elástica puede conducir a la aparición de esfuerzos de tensión. En el caso de un medio elástico ordinario esto no representa ningún problema, pero en el caso de un medio con potencial elástico degenerado, al no poder sostenerse esfuerzos en tensión la propagación de las ondas elásticas no es libre, sino que se ve afectada por la condición adicional de que nunca se produzcan en su estela esfuerzos en tensión. Como el estado de tensiones que alcanza nalmente el medio viene dado por la superposición de todas las ondas elásticas que se han generado para un tiempo t ! 1, no es de extrañar que la pila de bloques no alcance el estado nal que corresponde a un medio elástico y que el estado de tensiones nal dependa del estado de tensiones original. Por último, hemos probado una situación más parecida a la que se da en un medio granular real, distribuyendo los bloques aleatoriamente de forma que no haya orden en la dirección horizontal y que el apilamiento presente defectos en forma de huecos. Hay que decir que de todas formas alguna regularidad en la dirección horizontal se conserva pues los huecos han de ser pequeños para que la pila de bloques no colapse y la orientación de los bloques no puede ser arbitraria. En la gura 2.13 presenta la transmisión de las tensiones cuando se impone desplazamiento lateral nulo. La desviación con respecto al modelo difusivo aparece mucho más pronunciada que cuando existe ordenamiento en la dirección horizontal, ya que al haber más desorden en las direcciones de los contactos se hace más probable la transmisión lateral de las fuerzas sobre los bloques. Además, como las fuerzas no pueden transmitirse a través de un hueco, las cadenas de fuerza suelen rami carse cuando encuentran un defecto de este tipo. De las imágenes 2.13 resulta evidente que las condiciones de contorno afectan de forma esencial a la propagación de las tensiones en el interior de un material granular.
2.6 Resumen En este capítulo se han presentado medidas para la resistencia a la tracción t en función del esfuerzo de consolidación y de la porosidad. Se ha presentado una forma de calcular la fuerza de adhesión entre partículas individuales a partir del valor de la resistencia a la tracción, que resulta de la acción conjunta de las fuerzas adhesivas entre todos los contactos existentes en una muestra macroscópica del material. Usando estos resultados se ha calculado la fuerza de adhesión Ft en contactos entre partículas individuales en función de la fuerza de carga a partir de las medidas de la resistencia a la tracción. Se ha comprobado que el uso
2.6. Resumen
73
de aditivos condicionadores de ujo reduce la resistencia a la tracción, de acuerdo con los modelos y los resultados experimentales para la adhesión entre partículas que se presentaron en el capítulo 1. Aunque la fuerza de adhesión calculada para las partículas no coincide con la que se mide directamente, si se de ne una adhesión reducida f como la razón entre el valor medido y el estimado para la adhesión a una determinada fuerza de carga, f no depende de la cohesividad del material y presenta una distribución con un máximo en f ' 2 y un decaimiento exponencial para valores grandes de f . Usando bloques fotoelásticos para visualizar las tensiones en el interior de un material granular formado por una pila de estos bloques se ha comprobado que las condiciones de contorno y que el grado de desorden del apilamiento de los bloques in uyen en la transmisión de tensiones dentro de este material granular en concreto.
74
Capítulo 2. Sólido granular
Capítulo 3 Avalanchas 3.1 Introducción Como ya se comentó en el primer capítulo, un medio granular sometido a tensiones no uye hasta que las tensiones en su interior alcanzan cierto límite. Son comunes las situaciones en las que es necesario predecir si un medio granular va a uir o no: un desmonte en una carretera o el terreno bajo los cimientos de un edi cio han de permanecer estables, mientras que es necesario asegurar que el contenido de un silo saldrá por la simple acción de la gravedad cuando se abra su compuerta. Como los materiales granulares no se mezclan en situación estática y generalmente tienen una conductividad térmica pobre es necesario hacerlos uir para que se mezclen o reaccionen químicamente entre sí, o bien para secarlos o calentarlos (un caso típico es una hormigonera). Para estos nes normalmente se usan tambores rotantes. Cuando la deformación del material se produce cuasiestáticamente, el ujo del material se corresponde con el comportamiento de un material sólido plástico (normalmente se admite plasticidad asociada) (Atkinson, 1993). La resistencia que opone el material a las tensiones de cizalla aplicadas se debe únicamente a las fuerzas de contacto entre partículas y los contactos pueden considerarse semipermanentes (Lanier y Jean, 2000). Si se admite plasticidad asociada, el comportamiento del material queda descrito si se conoce su super cie límite de ujo plástico en el espacio de las tensiones principales. En general, esta super cie es complicada, pero en muchas aplicaciones prácticas en el que el estado de tensiones del material es bidimensional (como es el caso de un test triaxial) se usa el criterio de Mohr-Coulomb. Este criterio indica que el ujo plástico se inicia en una punto si existe un plano conteniendo ese punto en el que la tensión normal y la tensión de cizalla cumplan:
= + c ; = tan
(3.1)
76
Capítulo 3. Avalanchas
donde la cohesión c no está presente si el material es no cohesivo. Este es el caso de los materiales secos con tamaños de partícula grandes, mientras que c toma valores apreciables en los materiales granulares nos, en los que las fuerzas atractivas entre partículas pueden ser mucho mayores que el peso de las partículas individuales. Para usar el criterio 3.1, y han de ponerse en función de las componentes del tensor de tensiones. El ángulo recibe el nombre de ángulo de fricción interna y es una medida de la capacidad del material para soportar tensiones de cizalla. El valor de depende de la distribución de tamaños entre las partículas del material (Oger et al., 1998), de la rugosidad de la super cie de estas (Shinohara et al., 2000; Zhou et al., 2002) y de la fracción sólida del material (Horvath et al., 1996). Como resultado de su capacidad para resistir tensiones de cizalla la super cie libre de un material granular puede presentar un pendiente no nula. Para materiales no cohesivos la estabilidad de una pendiente depende del ángulo de fricción interna. Según 3.1 si la pendiente es mayor que la pendiente es inestable y las partículas del material se reorganizarán para formar una nueva pendiente estable mediante una avalancha (Nedderman, 1992). Si la super cie libre del material está estrechamente con nada, el ángulo de la máxima pendiente estable es mayor que el ángulo de fricción interna debido a la acción de las condiciones de contorno (Boltenhagen, 1999), por eso se llama máximo ángulo de estabilidad ' al valor que ha de tener la pendiente de la super cie libre del material para que se inicie una avalancha. Para el mismo ángulo de fricción interna y las mismas condiciones de contorno la presencia de cohesión estabiliza la pendiente de un material granular de manera que el ángulo máximo de estabilidad puede tomar valores mucho mayores que (Nedderman, 1992; Forsyth et al., 2001b). Si se considera un material granular como un medio continuo, una avalancha se origina cuando aparece en el material una super cie de deslizamiento que limita el material que permanece estático del que se pone en movimiento. En los materiales no cohesivos la super cie de deslizamiento está próxima a la super cie libre del material, a una profundidad de unos diez diámetros de partícula (Rajchenbach, 2002a) y por encima de ella las partículas se mueven individualmente salvo por la existencia de correlaciones en la velocidad debidos al efecto de las colisiones inelásticas y a las restricciones geométricas que sobre movimiento de una partícula imponen sus vecinas (Bonamy et al., 2002b). Por el contrario en los materiales cohesivos la super cie de deslizamiento se encuentra a cierta profundidad bajo la super cie libre (Valverde et al., 2000b; Halsey y Levine, 1998) y las partículas no pueden moverse individualmente, sino que el material se mueve como un bloque (Tegzes et al., 1999).
3.2. Material granular sometido a fuerzas centrífugas
77
Cuando la deformación del material no es cuasiestática su comportamiento depende del tamaño de las partículas constitutivas. Si las partículas del material son su cientemente grandes (dp > 100m) se hace necesario considerar la contribución de las colisiones entre partículas al transporte de momento dentro del material. Por el contrario, en los materiales nos (dp entre 1 y 100 m) cobra importancia la interacción con el gas intersticial (Castellanos et al., 1999; Rietema, 1991). Por ejemplo, la velocidad terminal de una partícula esférica de diámetro dp = 100m y densidad = 1 g/cm3 en el aire es de unos 29 cm/s. Para velocidades comparables o menores que la velocidad terminal de una partícula aislada no es despreciable el efecto del gas intersticial. Como los materiales granulares nos suelen ser cohesivos (Kendall y Stainton, 2001), trataremos por separado el comportamiento de los materiales no cohesivos y cohesivos.
3.2 Material granular sometido a fuerzas centrífugas 3.2.1 Montaje experimental En el montaje experimental la muestra de developer se dispone en el interior de una celda transparente con forma de paralelepípedo. La base de la celda tiene 72 mm de longitud y 4, 6 u 8 cm de ancho. El material dentro de la celda se inicializa agitándolo de manera que su super cie libre quede horizontal. La celda se rellena hasta una altura no mayor que 1 cm así que el material está sometido a bajas consolidaciones. Como el ancho de la celda es pequeño comparado con su longitud, el estado de tensiones en el material puede considerarse bidimensional. Una vez que el material ha sido inicializado se coloca la celda en una plataforma rotante para hacerla girar alrededor de su eje vertical. Una fotografía del montaje puede verse en la gura 3.1. La plataforma rotante es impulsada por un motor DC equipado con un tacómetro. El circuito de alimentación del motor incrementa el voltaje suministrado al motor uniformemente para que la velocidad angular de la celda aumente progresivamente durante el experimento. Una cámara de video situada en la mesa rotante graba la celda mientras que otra cámara de video muestra el tacómetro para que el valor de la velocidad aparezca en la grabación en todo instante. La máxima velocidad que se alcanza en el experimento es de 540 rpm. La aceleración centrífuga resultante del movimiento se combina con la gravedad para ejercer un esfuerzo de cizalla sobre la muestra. Mientras la velocidad angular ! es moderada el material permanece en reposo en el sistema de referencia de la mesa rotante, pero a partir de
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Capítulo 3. Avalanchas
Figura 3.1: Plataforma rotante y celda usada en el experimento. El motor DC y el tacómetro se encuentran en posición vertical bajo la plataforma rotante. La cámara de video es la caja negra situada a la derecha de la celda. A la izquierda de la celda aparece una pantalla blanca usada para aumentar el contraste de la imagen. cierto valor de ! la aceleración centrífuga fuerza al material a moverse hacia el exterior de la celda en forma de avalanchas.
3.2.2 Comportamiento de un material no cohesivo La super cie libre de los materiales no cohesivos evoluciona grano a grano. Por encima de cierto valor crítico de la velocidad angular los granos que se encuentran en el borde de la celda se ponen en movimiento. Conforme se aumenta la velocidad angular progresa hacia el interior de la celda la región donde los granos se ponen en movimiento. En todo momento sólo existen granos en movimiento en la super cie del material, cuyo per l cambia suavemente y de forma continua. Consideremos un elemento de volumen en la super cie libre del ma-
3.2. Material granular sometido a fuerzas centrífugas
79
t n
Fc θ W + Fc W
Figura 3.2: Esquema de las fuerzas ejercidas sobre un elemento de volumen en la super cie de un material granular no cohesivo. W es el peso del elemento de volumen y Fc la fuerza centrífuga. terial con área dA y profundidad dh referida a la normal n a la super cie libre en la posición del elemento de volumen. Sobre este actúan su propio peso W y la fuerza centrífuga Fc . Si la pendiente de la super cie libre es tan = dz=dr las tensión normal y el esfuerzo de cizalla que actúan en la base del elemento de volumen son:
dm dA dm g sin ) dA
= (! 2 r sin + g cos )
(3.2)
= (! 2r cos
(3.3)
que resultan de dividir las componentes normal y tangente a la super cie libre de la fuerza resultante entre el área dA. Según el criterio de Mohr-Coulomb para un material no cohesivo, el elemento de volumen que estamos considerando permanecerá estático mientras la fuerza resultante forme un ángulo menor que con la normal local n, o lo que es lo mismo, mientras se cumpla la desigualdad:
= tan
j j = ! r cos q sin 2
! 2r sin + g cos
(3.4)
80
Capítulo 3. Avalanchas
donde = 1 dependiendo de la dirección del esfuerzo de cizalla. El equilibrio límite se alcanza cuando se cumple la igualdad. Una vez en el equilibrio límite la super cie libre del material evolucionará si se aumenta in nitesimalmente la velocidad angular ! . Si la velocidad angular aumenta la pendiente de la super cie libre aumentará pues el material se moverá remontando la pendiente ( > 0 y = +1). Si la velocidad angular decrece desde un valor más alto la pendiente de la super cie libre decrecerá, ya que el material en la super cie se moverá a favor de la pendiente ( < 0 y = 1). Si la super cie libre es inicialmente horizontal ( = 0) y w 2 R=g > la super cie permanecerá horizontal hasta un radio rc. La condición 3.4 se convierte en una expresión de la pendiente de la super cie libre para r > rc :
!2r tan = g
!,
! 2r 1+ g
! (3.5)
siempre que la aceleración angular sea lo su cientemente pequeña como para dejar que la super cie libre se acomode al valor instantáneo de la velocidad angular. El valor de rc no coincide con el valor r0 que veri ca la igualdad en la expresión 3.4 para = 0, pues la super cie libre evoluciona en la región rc < r < r0 mediante pequeños deslizamientos de material para reemplazar el material que ha sido empujado hacia el exterior de la celda por la fuerza centrífuga. El valor de rc se obtiene de imponer la conservación de la masa. El comportamiento de los materiales no cohesivos se estudia con más detalle en las referencias (Vavrek y Baxter, 1994; Medina et al., 1995). Como modelo de material no cohesivo se ha usado XP808, un material que consiste en partículas aproximadamente esféricas de estirenobutadieno con un radio típico de unos cientos de m. La gura 3.3 muestra un fotograma tomado del experimento. La distorsión de la cuadrícula en la imagen se debe a la aberración esférica de la cámara. La cuadrícula se usa para medir la altura de la super cie libre en función de la distancia radial respecto a la altura de la super cie libre en el centro de la celda. Se puede ver que el per l de la super cie libre no es simétrico respecto al eje de rotación. Esto se debe a que el XP808 tiene cierta cohesión, que normalmente es despreciable si el material no ha sido consolidado. Si una región de la super cie libre del material está ocupada por material que ha permanecido consolidado a pesar de la inicialización, el movimiento de los granos del material en esa localización se detiene mientras la fuerza centrífuga no sea capaz de compensar el pequeño valor de la cohesión de esa zona. El per l de la super cie libre que se aprecia no es entonces el per l de equilibrio de un material ideal no cohesivo a esa velocidad angular.
3.2. Material granular sometido a fuerzas centrífugas
81
XP808 ω = 318 rpm
20
h (mm)
15 lado izquierdo
10
lado derecho teoría
5 0 0
10
20
30
40
-5 distancia radial (mm)
Figura 3.3: Super cie libre del material XP808 a 318 rpm. En el grá co se muestran superpuestos los per les de la super cie libre en ambos lados de la celda junto con el per l dado por la expresión 3.5 usando para el ángulo de fricción interna = 35:8
3.2.3 Comportamiento de un material cohesivo La evolución de la super cie libre de un material cohesivo tiene lugar mediante avalanchas que involucran un volumen nito del material. Las
82
Capítulo 3. Avalanchas
avalanchas ocurren a distancias más cercanas del eje de la celda conforme aumenta la velocidad angular. Entre dos avalanchas sucesivas el material permanece estacionario. La velocidad angular a la que se produce la primera avalancha depende de la cohesión del material. La gura 3.4 muestra tres fotogramas de la primera avalancha en un experimento. Puede observarse como el material cede repentinamente en la parte más externa de la celda mientras en la parte más interna el material permanece estacionario (en el sistema de referencia de la celda). En la imagen, la primera avalancha no ocurre en ambos lados de la celda simultáneamente. En la práctica, para un material dado el valor de la velocidad angular a la que se produce la primera avalancha presenta cierta dispersión, que se puede achacar a que la inicialización del material no es perfecta. El material en la celda puede presentar regiones donde la porosidad/consolidación se desvíe signi cativamente de su valor medio. Como la cohesión depende de la porosidad/consolidación (Valverde et al., 1998), las imperfecciones en la inicialización contribuyen a la dispersión de los valores de la velocidad angular a la que se produce la primera avalancha. Además, si la super cie libre del material inicializado no queda perfectamente horizontal, la velocidad angular para provocar la primera avalancha se reduce respecto al caso de pendiente nula en el lado de la celda en el que la pendiente del material es decreciente hacia el exterior de la celda (o se incrementa si la pendiente es creciente). Cuando la velocidad angular es tan elevada que la mayor parte del material se ha desplazado hasta el borde de la celda, las avalanchas se producen para ajustar la pendiente del material en la parte externa de la celda a valores crecientes de la fuerza centrífuga. La gura 3.5 muestra algunos fotogramas de este tipo de avalancha. Se aprecia que en la parte central de la celda queda cierta cantidad de material que todavía no ha participado en ninguna avalancha. Cuando parte de este material se inestabiliza, es expulsado hacia el exterior de la celda y se deposita sobre la pendiente que forma el material allí presente. La nueva pendiente es inestable y se produce una avalancha que incrementa el valor de la pendiente. En la avalancha no participa sólo el material procedente del centro de la celda, pues tras la avalancha la base de la nueva pendiente es más estrecha que la de la pendiente anterior a la avalancha. Del experimento se puede obtener el valor de la cohesión del material a partir de la velocidad angular para la primera avalancha y el valor del ángulo de fricción interna a partir de las avalanchas que ocurren en la parte externa de la celda cuando la velocidad angular es elevada. Para describir las avalanchas de un material cohesivo en el experimento hacemos uso del método de los bloques. El método consiste en asumir que el material forma bloques que deslizan con fricción unos respecto
3.2. Material granular sometido a fuerzas centrífugas
83
1
2
3
Figura 3.4: Fotogramas de la primera avalancha de un material granular cohesivo. a otros como sólidos rígidos (Atkinson, 1993). Los bloques permanecen en equilibrio hasta que las ecuaciones de equilibrio para las fuerzas que actúan en los bloques y el criterio de Mohr-Coulomb (expresión 3.1) en las super cies de deslizamiento del sistema de bloques se cumplen simultáneamente. Para modelar la primera avalancha usamos un sistema de dos bloques que queda descrito dando los valores de dos parámetros x0 y como se muestra en la gura 3.7. x0 es la distancia desde el centro de la celda hasta el punto más interior de la avalancha y determina la profundidad de la avalancha. Las fuerzas que actúan en cada bloque se dan por unidad de longitud a lo ancho de la celda. W1 ; W2 (= W ) son los pesos de cada bloque, F1 es la fuerza centrífuga que actúa en el bloque 1 y F2 es la fuerza centrífuga que actúa en el bloque 2. En cada super cie de deslizamiento i actúa una fuerza normal Ni y una fuerza de rozamiento Ti . N1 y T1 (respectivamente N2 y T2 ) son fuerzas ejercidas por el resto del material sobre el bloque 1 (bloque 2) a través de la super cie de deslizamiento. N3 y T3 (respectivamente N4 y T4 ) son fuerzas que
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Capítulo 3. Avalanchas
1
2
3
Figura 3.5: Fotogramas de una avalancha cuando la velocidad de rotación es elevada en un material granular cohesivo. el bloque 2 (bloque 1) ejerce sobre el bloque 1 (bloque 2) a través de la super cie de deslizamiento que las separa. Las tensiones normales y de cizalla en cada super cie de deslizamiento se hallan dividiendo cada fuerza por la correspondiente longitud de su super cie de deslizamiento. Como los bloques se mueven como sólidos rígidos cuando se produce una avalancha el material ha de ceder a lo largo de todas las super cies de deslizamiento simultáneamente. Por tanto cuando el sistema de bloques alcanza el equilibrio límite se han de veri car simultáneamente las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y el criterio de Mohr-Coulomb en las tres
3.2. Material granular sometido a fuerzas centrífugas
85
ω primera avalancha (rpm)
240 celda 4 mm celda 6 mm
220
celda 8 mm 200 180 160 140 0
20 40 60 tiempo de envejecimiento (min)
80
Figura 3.6: Velocidad angular ! a la que se produce la primera avalancha frente al tiempo de envejecimiento del developer. Cada punto representa el promedio para 10 avalanchas. La leyenda indica el ancho de la celda utilizada.
β
N3
N4
β F1
F2 T2 T3
T4
N1
N2
T1 W2
W1
Figura 3.7: Esquema del modelo de dos bloques para la primera avalancha. super cies de deslizamiento. Usando T3 = T4 y N3 = N4 se obtiene un conjunto de siete ecuaciones con siete incógnitas N1 ; N2 ; N3 ; T1 ; T2 ; T3 y ! , con y x0 como parámetros. De esta ecuaciones se despeja T3 y ! . Para esta última se obtiene:
f1 ( ; ) + 124 f2 ( ; )
= (2 + )f3 ( ; ) + (1 + 2 )f4( ; ) !2R x c ; = ;= 0
= gR g R
f1 ( ; ) = 6 sin cos 2 + sin2
(3.6) (3.7)
86
Capítulo 3. Avalanchas
28.8 β 25.6 22.4 19.2 16
Ω 2.25-2.5 2-2.25 1.75-2 1.5-1.75
12.8
1.25-1.5
9.6
1-1.25
6.4 0.02 0.14 0.26 0.38 0.5 0.62 0.74 0.86 ζ Figura 3.8: Número de Froude y para = 0:006, = 30o .
para la primera avalancha en función de
cos cos cos 2 + sin2 sin f3 ( ; ) = cos( + ) cos( 2 ) f4 ( ; ) = cos( ) cos( + 2 )
f2 ( ; ) =
donde es la cohesión adimensional. es la razón entre la aceleración centrífuga en el borde de la celda y la aceleración de la gravedad y recibe el nombre de número de Froude. Fijado el ángulo de fricción interna para cada valor de y x0 la expresión 3.6 da el valor de la velocidad angular para la que el sistema de bloques alcanza el equilibrio límite. La primera avalancha se corresponde con la con guración de bloques más crítica, es decir, aquella con guración para la cual el número de Froude del equilibrio límite es mínimo (ver gura 3.8). Para asegurar que en dicho mínimo las fuerzas entre los bloques tienen sentido físico es necesario incluir la condición T3 > 0. De esta forma el bloque 2 se mueve hacia abajo y empuja al bloque 1 que se mueve hacia arriba. El método de los bloques proporciona resultados aproximados. La aproximación de los resultados depende del parecido entre la super cie de deslizamiento dada por el sistema de bloques y la super cie de deslizamiento real que aparece en el material. Para comprobar la aproximación del modelo de dos bloques se ha hecho un modelo de tres bloques. De esta forma se puede comprobar cómo cambia el valor del número de Froude para la primera avalancha cuando se incluye un bloque más. La gura 3.9 muestra las fuerzas que actúan en el sistema de tres bloques y el signi-
3.2. Material granular sometido a fuerzas centrífugas β
N7
N6
N5
F3
T6
β
N4 F2
T3 T7
87
F1 T4 T1
T5
N1 W3
N3
W1
T2
W2
N2
Figura 3.9: Esquema del modelo de tres bloques para la primera avalancha.
3.5 3.0
Ω
φ = 40º
2.5
φ = 35º
2.0
φ = 30º φ = 25º
1.5 1.0
2 bloques
0.5
3 bloques
0.0 0
0.005
0.01
γ
0.015
0.02
0.025
0.03
Figura 3.10: Número de froude para la primera avalancha en función de la cohesión adimensional para distintos valores del ángulo de fricción interna obtenidos usando los modelos de dos y tres bloques. cado de los tres parámetros que describen el sistema. El procedimiento es el mismo que en el caso de dos bloques. La máxima diferencia entre los resultados es de un 5% (ver gura 3.10). Como la dispersión de los datos experimentales supera el 5%, no parece necesario incrementar el número de bloques. Para las avalanchas que ocurren cuando la velocidad angular ! es elevada supondremos que la super cie de deslizamiento entre el material estático y el que participa en la avalancha se forma una vez que el material procedente del centro de la celda se ha depositado sobre la antigua pendiente formada por el material en el borde de la celda. En la práctica, si se observa la avalancha a cámara lenta se observa que ambos procesos ocurren al mismo tiempo, pero la simpli cación es necesaria para poder
88
Capítulo 3. Avalanchas
ω
T Fc N α W
θ
∆R Figura 3.11: Esquema del modelo de bloques para las avalanchas a velocidad de rotación elevada. usar el método de los bloques. La gura 3.11 representa el sistema de bloques utilizado. El ángulo es el ángulo de la pendiente del material antes de la avalancha. La super cie de deslizamiento forma un ángulo con la horizontal. Supondremos que el ángulo es igual al ángulo de la nueva pendiente tras la avalancha. Fc es la fuerza centrífuga actuando sobre el bloque que representa al material que participa en la avalancha y W es su peso. La razón de la fuerza centrífuga al peso del bloque es:
Fc w2 R = 1 W g
2R = tan 3R
(3.8)
donde se ha hecho la aproximación ya que experimentalmente se comprueba que el bloque es no (la avalancha es poco profunda) y también se ha supuesto que el cambio en la pendiente es pequeño de manera que los ángulos y son similares. La expresión 3.8 de ne un ángulo que mide la importancia relativa de la fuerza centrífuga que actúa en el bloque. R y pueden ser obtenidos de la grabación en vídeo usando un programa de procesamiento de imágenes. Las fuerzas Fc y W , junto con las fuerzas normal N y tangente T que actúan en la super cie de deslizamiento deben de estar en equilibrio para que el bloque sea estable. Usando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para sustituir N y T en el criterio de Mohr-Coulomb se llega a: a
sin(
) sin[ ( + )]
2c cos cos sin gh
(3.9)
3.2. Material granular sometido a fuerzas centrífugas
89
bm292 bm323 bm324 bm325 bm322 bm293 0 5 10 20 30 60 Tabla 3.1: Tiempos de envejecimiento (en minutos) para los developers usados en el experimento. La expresión 3.9 nos indica que si damos valores a y , conforme se incrementa la velocidad angular el material alcanza un punto (cuando en 3.9 se cumple la igualdad) en el que la cohesión ya no puede estabilizar la pendiente y se produce una avalancha cuya super cie de deslizamiento viene dada por . Si consideramos como un parámetro, la nueva pendiente que se forme será aquella dada por el valor 0 que haga que la igualdad en 3.9 se cumpla para el valor más bajo posible de la velocidad angular. El primer miembro ha de tener un máximo puesto que si aumentamos , sin( ) aumenta (pues aumentamos la masa del bloque) mientras que sin[ ( + )] disminuye pues disminuye el efecto de la fuerza centrífuga. La con guración mas crítica es aquella para la que el primer miembro de la desigualdad 3.9 es máximo, y la posición del máximo nos da 0 , que vale:
0 =
+ ; ' 2
(3.10)
con lo que se obtiene una expresión para el ángulo de fricción interna, donde se ha hecho la aproximación .
3.2.4 Resultados para materiales cohesivos Como se ha mencionado, es necesario inicializar adecuadamente la muestra para obtener resultados reproducibles. La importancia de una buena inicialización es tanto mayor cuanto más cohesivo es el material. Para comprobar la posible in uencia de las paredes se han usado celdas de 4 y 6 mm de ancho para medir el ángulo de fricción interna y de 4, 6, y 8 mm de ancho para determinar la cohesión. Como materiales se ha usado una serie de materilaes xerográ cos conocidos como "developers". Un developer está formado por una partícula de de material mágnético y diámetro del orden del centenar de micrómetros llamada carrier con un recubrimiento plástico al que se hallan adheridas partículas de toner 3.12. Los developers no son tan cohesivos como el toner, aunque su cohesividad aumenta cuando se los somete a un proceso de envejecimiento conocido como "housing". Los developers usados en el experimento están formados por la misma partícula de carrier y el mismo tipo de toner, pero han sido sometidos a un proceso de envejecimiento durante diferente período de tiempo (ver tabla 3.1). Como el valor del ángulo de fricción interna se necesita como dato para aplicar el método de los bloques a
90
Capítulo 3. Avalanchas
Figura 3.12: Imagen de una partícula de developer. La partícula de mayor tamaño es el carrier y las partículas adheridas a su super cie son partículas de toner. la primera avalancha, las expresiones de la sección 3.2.3 se aplican primero para obtener el valor del ángulo de fricción interna para cada developer (ver gura 3.13). El ángulo de fricción interna no depende del tiempo de envejecimiento del developer y no se aprecia efecto de pared. Los datos que se presentan en la gura 3.13 son el valor medio sobre diez avalanchas. Una vez que se conoce el ángulo de fricción interna se puede obtener el valor de la cohesión a partir de la velocidad angular a la que se produce la primera avalancha. La velocidad angular a la que se produce la primera avalancha aumenta con el tiempo de envejecimiento del developer ( gura 3.13), indicando que la cohesión del developer aumenta con el tiempo de envejecimiento. Nuevamente, no se observan efectos de pared. En la gura 3.13 se aprecia que cuanto mayor es la cohesión del developer mayor es la dispersión de los datos: esto indica que cuanto mayor es la cohesión más importante se vuelve la adecuada inicialización de la muestra. Se presentan también los valores de la cohesión para estos developers que se dan en la referencia (Genovese et al., 1997). Los
3.2. Material granular sometido a fuerzas centrífugas
91
40 38 36 34 32 φ (º) 30 28 26
celda 4 mm
24 22 20
celda 6 mm
0
20 40 tiempo de envejecimiento (min)
60
16
cohesión (Pa)
14 12 10 8 celda 4 mm
6
celda 6 mm
4
celda 8 mm
2
Gen
0 0
20 40 60 tiempo de envejecimiento (min)
80
Figura 3.13: Valores del ángulo de fricción interna (arriba) y cohesión c (abajo) encontrados usando el método de los bloques en función del tiempo de envejecimiento del developer. Se muestran también los resultados de Genovese et al. (1997). resultados del experimento son consistentes con los que se dan en dicha referencia.
92
Capítulo 3. Avalanchas
Figura 3.14: Esquema del montaje experimental para el estudio de las avalanchas en el tambor rotante.
3.3 Material cohesivo en el tambor rotante a baja velocidad de rotación 3.3.1 Montaje experimental En el montaje experimental un motor eléctrico paso a paso de resolución 4000 pasos/revolución, conectado a una caja reductora con razón de reducción 1/12.5 hace girar un tambor de policarbonato de 7.4 cm de diámetro interior y 2 cm de profundidad. El tambor y la caja reductora se colocan en una mesa antivibratoria mientras que el motor eléctrico está conectado a la caja reductora mediante un eje elástico. Así se aísla el tambor de vibraciones externas que puedan iniciar avalanchas del material en el tambor. Frente a la base libre del tambor se coloca una cámara de video CCD conectada a un ordenador equipado con una tarjeta de captura de imágenes. El ordenador captura y analiza cada imagen a una tasa de una imagen cada 6.44 s y aplica una rutina de detección de bordes en C++ para calcular la pendiente media i de la super cie libre del material en el tambor para cada imagen i. El programa cuenta una avalancha cada vez que i 1 i supera cierto valor umbral dado de antemano. Este valor umbral ha de escogerse de manera que sea mayor que la indeterminación en la pendiente de la super cie libre del material debido a las irregularidades de la super cie pero al mismo tiempo, que sea lo su cientemente bajo como para que se puedan detectar las avalanchas más pequeñas. Cada vez que se detecta una avalancha se almacena en memoria el ángulo inicial y nal de la avalancha, el área representativa de
3.3. Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación
αi-1 - αi (grados)
30
93
bm 293
25 20 15 10 5 0 0
1000 2000 área (pixels)
3000
Figura 3.15: Diferencia entre los ángulos de iniciación y reposo tras una avalancha frente al área representativa de la avalancha en pixels para el developer bm 293. Cada punto representa una única avalancha. la avalancha Aa , la longitud representativa la del material que interviene en la avalancha y el tiempo transcurrido desde la avalancha anterior. El ángulo inicial y nal se toman como el ángulo que forma con la horizontal la recta que mejor ajusta la super cie libre del tambor antes y después de la avalancha, respectivamente. Para medir la longitud representativa la de la avalancha se busca el punto Pc en el que se cortan los per les de la super cie libre anterior y posterior a la avalancha. Se toma como longitud representativa de la avalancha la , la longitud de la porción de la super cie libre anterior a la avalancha por encima del punto de corte Pc y como área representativa de la avalancha Aa , el área comprendida entre los per les de la super cie libre anterior y posterior a la avalancha por encima del punto de corte Pc . El área representativa de la avalancha está linealmente relacionada con la diferencia entre el ángulo inicial y el nal (ver gura 3.15). El tambor se mantiene girando durante algunos días, para medir unas 5000 avalanchas.
3.3.2 Evolución del ángulo de inclinación de la super cie libre Como materiales se han usado los developers utilizados en el apartado 3.2.4, cuya cohesión y ángulo de fricción interna es conocido. El tambor se rota a una velocidad de 0:288o /s y como valor umbral se usa i 1 i > 2o . Además, se han usado esferas de vidrio polidispersas con diámetros
94
Capítulo 3. Avalanchas
entre 400 y 600 m para probar el montaje experimental con un material no cohesivo. En este caso la velocidad de rotación del tambor es de 0:044o/s. Este valor se ha escogido de manera que el intervalo temporal entre avalanchas sea aproximadamente igual para los developers y para las esferas de vidrio. Como valor umbral se ha escogido i 1 i > 0:6o ya que para las esferas de vidrio las avalanchas involucran muy poco material y como la super cie es bastante plana la indeterminación en la pendiente de la super cie libre es bastante más pequeña. Para las esferas de vidrio las avalanchas se inician en toda la super cie libre del material. El ángulo de iniciación y el ángulo de reposo tras una avalancha tienen distribuciones estrechas, centradas en 30o para el ángulo de iniciación y en 24:5o para el ángulo de reposo, con una desviación estándard de 1:2o . Existe un tiempo típico entre avalanchas, de forma que el ángulo de la pendiente del material tiene el aspecto de una señal cuasiperiódica (ver gura 3.16). Este comportamiento coincide con el obtenido en experimentos anteriores para materiales no cohesivos (Jaeger et al., 1989). Para los developers el comportamiento es muy diferente. Como la super cie libre de estos materiales es irregular, al aumentar la pendiente de la super cie libre del material con el giro del tambor se producen pequeñas avalanchas, en las que interviene una pequeña cantidad de material, que ocupa una pequeña fracción del total de la super cie libre. Estas avalanchas, que llamaremos precursores, no son capaces de disminuir drásticamente la pendiente de la super cie del material, de manera que tras un cierto número de precursores ocurre una avalancha de tamaño grande que reduce signi cativamente la pendiente de la super cie del material. No se producen nuevas avalanchas hasta que transcurre su ciente tiempo como para que el giro del tambor incremente la pendiente de la super cie hasta el punto de que vuelvan a producirse precursores. La evolución de la pendiente del material con el tiempo ya no es tan sencilla como en el caso de las esferas de vidrio (ver guras 3.16, 3.17). Tras una avalancha de tamaño grande transcurre un tiempo t1 hasta que se produce el primer precursor, cuando la super cie del developer forma un ángulo c1 . Tras la aparición del primer precursor le siguen otros precursores separados un tiempo típico t2 < t1 y que se originan en las irregularidades de la super cie libre del material. Los precursores eliminan las irregularidades de la super cie libre de forma que pasado un tiempo t t2 del último precursor ocurre una avalancha grande que cierra el ciclo. En la gura 3.18 se muestra la distribución del intervalo temporal entre avalanchas consecutivas. Esta última distribución presenta dos picos bien de nidos, de acuerdo con el esquema que hemos presentado. El pico para menor intervalo temporal (que es también el más alto de los dos) se correspon-
3.3. Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación α (º)
95
T0
60 50 40 30 20 0
500
1000
1500
t (s)
2000
2500
3000
Figura 3.16: Evolución temporal de la pendiente de la super cie libre para el developer bm293 (curva superior) y para esferas de vidrio (curva inferior).
65
T0 t1
60 α (º) 55
t 2 t 2'
50 45 40 35 16400
16500
16600
16700 16800 t (s)
16900
17000
Figura 3.17: Esquema de la evolución temporal para un material cohesivo: T0 es el tiempo típico entre avalanchas grandes, t1 es tiempo entre una avalancha grande y el primer precursor y t2 es el tiempo entre precursores. de con el intervalo temporal t2 entre precursores, mientras que el pico a tiempos grandes se corresponde con el tiempo t1 que transcurre desde que ocurre una avalancha grande hasta el primer precursor que ocurre tras ella. La distribución de ángulos de iniciación de las avalanchas ( gura 3.19) es también bimodal (con la posible excepción del developer con 20 minutos de envejecimiento, donde los dos picos no se observan claramente diferenciados). Esto también está relacionado con la existencia de dos
96
Capítulo 3. Avalanchas 0.030 60 min 0.025 P(∆t) 0.020
30 min 20 min 10 min
0.015 0.010 0.005 0.000 0
25
50
75 ∆t (s)100
125
150
Figura 3.18: Distribución de los intervalos temporales t entre avalanchas consecutivas. Los developers se designan mediante su tiempo de envejecimiento. tipos distintos de eventos (precursores y avalanchas grandes). Si se observa la evolución temporal de la pendiente de la super cie de un developer ( gura 3.16) se observa que el primer precursor ocurre para un ángulo de inclinación c1 que típicamente es mayor que los ángulos de iniciación c del resto de precursores y de la avalancha grande que cierra el ciclo. La relación entre la distribución de intervalos temporales entre avalanchas P (t) y la de ángulos de iniciación P ( c ) puede ponerse de mani esto construyendo la distribución P ( c ; t) de los pares de ángulos de iniciación c para la avalancha i-ésima e intervalo temporal ti ti 1 entre la avalancha i 1 y la i-ésima. Dicha distribución se muestra en las guras 3.20 para los developers con cohesión c = 11:7 Pa y c = 7:7 Pa. Puede observarse que los pares ( c ; t) tienden a formar dos grupos separados. El primer grupo, centrado alrededor de c 60o , t 85 s, se corresponde con el primer precursor después de una avalancha grande. El segundo grupo alrededor de c 50o , t 26 s, está formado por los restantes precursores y por la avalancha grande. Los centroides de estos de los grupos se corresponden aproximadamente con los picos en las distribuciones P ( c ) y P (t) para ambos developers. Además, en la distribución de ángulos de iniciación ( gura 3.19) se observa que cuanto mayor es la cohesión, mayor es la anchura de la distribución debido a dos factores. El primero, que la estabilidad de la pendiente del material está dominada por la cohesión: para un mismo per l de la super cie libre, cuanto mayor es la cohesión mayor es el
3.3. Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación 0.10 P(α c)
97
60 min 30 min
0.08
20 min 10 min
0.06 0.04 0.02 0.00 30
40
50
α c (º) 60
70
Figura 3.19: Distribución de los ángulos de iniciación de las avalanchas. Los developers se designan mediante su tiempo de envejecimiento. ángulo de inclinación que puede soportar la super cie libre antes de que se inicie una avalancha. El segundo factor consiste en que cuanto mayor es la cohesión del material más irregular es la super cie libre del material y la consolidación a la que está sometido el material bajo la super cie libre, con lo que hay muchas más regiones en las que se puede iniciar una avalancha. Ambos factores se combinan para hacer que el máximo ángulo de estabilidad tenga un comportamiento más errático cuanto mayor es la cohesión. Las inhomogeneidades en la distribución de la cohesión también se re ejan en la distribución de tamaños representativos de la avalancha ( gura 3.21). Para un material dado, el número de ocurrencias de las avalanchas de un tamaño representativo Aa dado es bastante independiente del tamaño representativo de la avalancha por debajo de un cierto tamaño de corte. Por encima de este tamaño representativo de corte el número de ocurrencias de las avalanchas cae rápidamente al aumentar el tamaño representativo de estas. Esta característica de la distribución de tamaños representativos de avalancha se ha encontrado también en otros experimentos (Held et al., 1990; Kaye, 1997). Algunos autores consideran esta característica consecuencia de un cambio en la importancia de los factores implicados en el origen las avalanchas (Kaye, 1997), mientras que otros lo consideran un efecto del tamaño nito del sistema (Held et al., 1990). Dado que la longitud representativa la de las avalanchas en nuestro experimento es comparable al radio del tambor (el máximo valor de las longitudes representativas medidas en el experimento es aproxi-
98
Capítulo 3. Avalanchas
madamente igual al radio del tambor), consideramos que la existencia de un tamaño representativo de corte se debe al tamaño nito del tambor. Aunque por debajo de ese valor de cote se dan avalanchas de todos los tamaños representativos, el tamaño representativo medio de las avalanchas disminuye cuando disminuye la cohesión. Por el contrario, cuando se disminuye la cohesión la longitud representativa de la super cie en la que se inicia la avalancha aumenta. Esto signi ca que cuanto menos cohesivo es el material las avalanchas tienden a involucrar material cercano a la super cie libre, ya que el área representativa de la avalancha disminuye y su longitud representativa aumenta. Este comportamiento de las avalanchas se puede predecir a partir del método de los bloques (Valverde et al., 2000b). Usando el modelo más simple con un sólo bloque se tiene que el ángulo máximo de estabilidad c de una pendiente de longitud D de un material caracterizado por un ángulo de fricción interna y una cohesión c vale: ! cos (3.11) c = + arccos 1 4c
gD
donde es la densidad del material y g es la aceleración de la gravedad. La profundidad h de la super cie de deslizamiento que se forma al iniciarse la avalancha es: ! s 4c cos = (3.12) h = D tan
2
2gD
4c cos
de manera que en el límite no cohesivo c ! 0 el ángulo máximo de estabilidad c tiende al ángulo de fricción interna y la razón de la profundidad de la avalancha a la longitud de la pendiente tiende a cero. En la tabla 3.2 se muestran los valores medios del tamaño representativo de la avalancha, del intervalo temporal entre avalanchas, del ángulo de iniciación y del ángulo de reposo tras una avalancha, junto con la distribución estándar de la distribución correspondiente. Tanto los valores medios como las desviaciones estándard aumentan con la cohesión del material. Para el caso del tamaño de avalancha y del intervalo temporal entre avalanchas se observa que la desviación estándar es comparable al valor medio de la distribución, indicando que ambas distribuciones son muy amplias.
3.3.3 Avalanchas y criticalidad autoorganizada Se dice que un sistema físico alcanza un punto crítico cuando el sistema cambia radicalmente su comportamiento o su estructura al variar un parámetro de control. Por analogía, se denominan fenómenos de criticalidad autoorganizada (en inglés SOC, de Self-organized criticality) a
3.3. Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación
99
ti - ti-1 (s)
122.36 103.04
bm 322
83.72 64.4 45.08 25.76 6.44 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 α i (º) 0.001-0.004 0.01-0.013
0.004-0.007 0.013-0.016
0.007-0.01 0.016-0.019
103.04 ti - ti-1 (s) 83.72
bm 293
64.4 45.08 25.76 6.44 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 α i (º) 0-0.002
0.002-0.004
0.004-0.006
0.008-0.01
0.01-0.012
0.012-0.014
0.006-0.008
Figura 3.20: Distribución P ( c ; t) de los pares de ángulos de iniciación c para la avalancha i-ésima e intervalo temporal ti ti 1 entre la avalancha i 1 y la i-ésima. para los developers bm322 (arriba) y bm293 (abajo). aquellos fenómenos en los que un sistema físico sometido a la acción de un agente externo alcanza un estado crítico debido a la dinámica interna del sistema, independientemente del valor de cualquier parámetro de control. Se toma como marca de la existencia de criticalidad autoorganizada que el valor de los observables de un sistema varíen aleatoriamente según una función de distribución con un decaimiento potencial con un exponente entre 1 y 2 (Bak et al., 1987; Bak, 1996), de forma que no
100
Capítulo 3. Avalanchas developer c (Pa) < t > (s) (t) (s) (%) (Aa ) (%)
bm324 bm325 bm322 bm293 3.9 6.3 7.7 11.7 36.7 41.2 45.0 47.6 25.4 29.3 31.7 28.8 4.4 5.6 5.9 8.7 3.2 5.0 4.1 5.6 < c > (o ) 45.3 44.6 49.7 53.7 ( c ) (o ) 4.8 3.8 6.1 6.6 o < r > ( ) 38.1 38.9 40.9 43.1 ( r ) (o ) 4.1 4.1 5.7 5.8 Tabla 3.2: Valores medios de las distribuciones del tiempo entre avalanchas t, área representativa de una avalancha Aa (como tanto por ciento de la sección del tambor ocupada por el developer), ángulo de iniciación de las avalanchas c y ángulo de reposo tras una avalancha r frente a la cohesión c del developer en la gura 3.13 (celda de 6 mm de ancho) junto con sus respectivas desviaciones estándard .
30 P(Aa) 25
60 min
20
10 min
30 min 20 min e. vidrio
15 10 5 0 0.01
0.1
Aa
1
Figura 3.21: Distribución del área representativa de las avalanchas Aa . El área está medida como el tanto por ciento de la sección del tambor ocupada por el material. Para comparar se han representado también las avalanchas de esferas de vidrio. exista una escala típica de variación del observable. Aunque se ha sugerido que el asiento de un material granular es un ejemplo de sistema con SOC (Bak et al., 1987), sigue siendo una cuestión abierta si el ujo intermitente de un material granular en su super cie
3.3. Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación
101
presenta SOC (Jaeger et al., 1989; Held et al., 1990; Liu et al., 1991; Bretz et al., 1992; Cantelaube et al., 1995; Frette et al., 1996). Jaeger et al. (1989) han encontrado que las avalanchas en un tambor rotante no presentan SOC. Por el contrario, se observa un pico en el espectro de potencias debido a la existencia de un intervalo regular de tiempo mientras el tambor se mueve entre el máximo ángulo de estabilidad y el ángulo de reposo del material. Held et al. (1990), estudiando las avalanchas que se producen en un asiento circular construido grano a grano dejando caer los granos sobre el ápice del asiento, encontró que para asientos su cientemente grandes la distribución de avalanchas presentaba un pico, mientras que para asientos su cientemente pequeños aparecía SOC con un espectro con decaimiento según una potencia entre -1 y -2. Esta dependencia con el tamaño del sistema fue con rmada por otros autores (Liu et al., 1991). Como consecuencia, se creyó que en los experimentos realizados hasta la fecha no se detectó SOC porque estaban diseñados de tal forma que sólo se contabilizaban las avalanchas que llegaban hasta el límite del asiento. Cantelaube et al. (1995) trató de resolver el problema estudiando las avalanchas en un tambor rotante que giraba lentamente mediante técnicas de captura y tratamiento de imágenes. Encontró que mientras las avalanchas más grandes ocurrían con cierta periodicidad y presentaban un tamaño típico, entre ellas ocurrían pequeñas avalanchas que presentaban una distribución con un decaimiento potencial (cada autor da un exponente diferente, pero siempre está entre -1 y -2). Frette et al. (1996) en un experimento en el que se construía grano a grano una pila de granos de arroz encontró evidencia de SOC, mientras que no la encontraba si usaba granos de forma esférica. Estos resultados parecen sugerir que la existencia de SOC depende de los detalles de cómo se disipa la energía de una avalancha en la pila. Según este argumento, al no tener forma esférica, los granos de arroz pueden adoptar una variedad más grande de con guraciones que los granos esféricos. Cada avalancha hace aparecer una con guración nueva de los granos en la pila. Además, la forma elongada de los granos de arroz hace más intensa la fricción entre los granos con lo que se reduce la importancia de la inercia de estos, de manera que la dinámica del asiento está dominada por la disposición local de los granos. Según el trabajo de Frette et al. (1996) si no se cumplen estas condiciones no se puede esperar que un material granular presente SOC. De acuerdo con estos argumentos, es de esperar que las avalanchas en materiales cohesivos presenten SOC incluso aunque los granos sean más o menos esféricos. Los materiales cohesivos presentan regiones entre las que la cohesión varía apreciablemente de forma aleatoria y es de esperar que la distribución de estas regiones cambie de una avalancha a otra. Además,
102
Capítulo 3. Avalanchas
la super cie libre de un material cohesivo puede ser muy irregular, con lo que puede tener muchas regiones potencialmente inestables donde iniciar una avalancha. Como las fuerzas de adhesión son mayores que el peso de las partículas, el efecto de la inercia de las partículas será pequeño y aumenta la disipación. Para determinar si la distribución de intervalos temporales 3.18 entre avalanchas que se encuentra en nuestro experimento es indicativo de la presencia de SOC, hemos calculado el espectro de potencias del ángulo de la pendiente del material en función del tiempo para los developers y las esferas de vidrio ( gura 3.22). Ambos espectros muestran características similares. Existe un pico a frecuencias bajas centrado en = 1=T0 , siendo T0 ' 200s el tiempo medio entre avalanchas grandes, que representa la frecuencia dominate en el sistema y una transición a un decaimiento potencial como f 2 a frecuencias grandes. Como las avalanchas de esferas de vidrio no presentan SOC, ya que se trata de un material no cohesivo (Jaeger et al., 1989), esto sugiere que el decaimiento exponencial para frecuencias altas para los developers no se debe a la presencia de criticalidad autoorganizada, sino a que cuando tiene lugar una avalancha la pendiente del material cambia rápidamente, dando lugar a una señal en forma de diente de sierra. De hecho, el espectro de potencias de una señal periódica con forma de diente de sierra también presenta un decaimiento potencial como f 2 a frecuencias altas. Para una función en diente de sierra periódica con período T :
2n 1 T 2 ; fn = Pd (fn ) = 2 n T
(3.13)
La similitud entre los espectros de potencias de una señal periódica en forma de diente de sierra y la señal para los developers se hace mayor si consideramos una función como: ( aT ; T2 < x < T2 (1 2a) f (x) = T 2 + x (3.14) T T 2
(a
1) + x
; 2 (1 2a) < x <
2
En la que hay dientes de dos alturas distintas. Su espectro de potencias es: 1 T 2 2n [1 + ( 1)n cos (n (1 2a))] ; fn = (3.15) Pd (fn ) =
4 n
T
haciendo que la razón a=T sea un número irracional se consigue un espectro de potencias muy similar al que se muestra en la gura 3.22. En cuanto al pico a la frecuencia 1=T0 , se observa en la función de distribución P (t) que para el developer con cohesión c = 11:7 Pa, el tiempo típico t2 entre precursores es de unos 40 s, mientras que el tiempo típico
3.3. Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación 1.0000
103
esferas de vidrio
S (f) 0.1000
0.0100
0.0010
1/T0 0.0001 0.001
0.010
f (1/s)
0.100
1.000
0.01
0.1
developer
10.000 S (f) 1.000
0.100
30
60 20
0.010
10 1/T0
0.001 0.0001
0.001
f (1/s)
Figura 3.22: Espectro de potencias del ángulo de la pendiente de la super cie libre del material para esferas de vidrio (arriba) y developer (debajo). La línea de trazos representa un decaimiento como f 2 .
t1 entre una avalancha grande y el primer precursor es de unos 100s.
De la gura 3.16 se observa que para este developer hay unos dos precursores entre cada dos avalanchas grandes así que el intervalo temporal entre dos avalanchas grandes puede estimarse como T 0 < t1 > +2 < t2 > 200 s, que está de acuerdo con la localización del pico que se observa en los espectros de la gura 3.22.
104
Capítulo 3. Avalanchas
3.3.4 Avalanchas y procesos markovianos Se dice que un proceso descrito por una variable aleatoria, que toma valores xi ; i = 1; 2; :: en los instantes ti ; i = 1; 2::: es markoviano si la probabilidad condicional P (xn jxn 1 ; xn 2 ; :::; x1 ) de que la variable tome el valor xn en el instante tn dado que en los instantes t1 ; t2 ; :::; tn 1 tomó los valores x1 ; x2 ; :::; xn 1 cumple:
P (xnjxn 1 ; xn 2 ; :::; x1 ) = P (xn jxn 1 )
(3.16)
es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor xn en el tiempo tn sólo depende del valor xn 1 en el instante anterior tn 1 , o como se suele decir, el proceso no tiene memoria. Si además, el proceso es estacionario, lo que quiere decir que P (xn jxn 1 ) no depende individualmente del los tiempos tn y tn 1 sino de su diferencia t = tn tn 1 , la probabilidad condicional P (xn jxn 1 ) ha de cumplir la ecuación maestra: Z
dP (xn; t) = dt
[P (xn 1 ; t)W (xn jxn 1 ) P (xn ; t)W (xn
1
jxn)] dxn
1
(3.17) donde W (xn jxn 1 ) es la probabilidad por unidad de tiempo de que ocurra una transición desde el valor xn 1 al xn . la pendiente de la super cie de un material granular en un tambor rotante es un ejemplo de variable aleatoria. La transición desde un valor n 1 al n se corresponde con la ocurrencia de una avalancha que lleva la pendiente del material desde el valor n 1 al n , con lo que la ecuación maestra en nuestro caso particular se escribe: dP ( ; t) Z =2 = [P ( 0; t)W ( j 0) P ( ; t)W ( 0j )] d 0 (3.18)
dt
0
! tendremos que: dP ( ; t) @P ( ; t) @P ( ; t) = +! (3.19) dt @t d Por otro lado, llamando Pi ( ) a la distribución de ángulos de iniciación de las avalanchas y Pf ( ) a la distribución de ángulos de reposo tras una Si el tambor rotante gira con velocidad angular
avalancha, se tiene que:
Pi ( ) = Pf ( ) =
1 Z
NZ 1
N
0
0
=2
P ( 0; t)W ( 0 j ) d 0
=2
P ( 0; t)W ( j 0) d 0
(3.20)
donde N es el número de avalanchas por unidad de tiempo. Usando las expresiones 3.19 y 3.20 en 3.18 se llega a:
@P ( ; t) @P ( ; t) +! = N (Pf ( ) Pi ( )) @t d
(3.21)
3.3. Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación P(α,α 0 )θ
105
esferas de vidrio
θ
0.3
2.9º 14.3º 286º
0.2
0.1
0 20
25
α (º)
30
35
Figura 3.23: Probabilidad condicional P ( (t)j (0)) de que la pendiente de la super cie libre tome el valor (t) sabiendo que para t = 0, (0) = 28 0:3o . En lugar de t la leyenda muestra el ángulo girado = !t. En el límite de t muy grande, cuando ya han ocurrido muchas avalanchas, la probabilidad P ( ; t) = P ( (t)j (0)) de que la pendiente tome el valor (t) dado que su valor inicial era (0) se hace independiente de t y tiende a la distribución de probabilidad P ( ) no condicional de encontrar la pendiente con un ángulo ( gura 3.23). Si en este límite se integra la expresión 3.21 entre 0 y se tiene: Z ! (P ( ) P (0)) = N (Pf ( 0 ) Pi ( 0 )) d 0 (3.22) 0
donde sabemos que P (0) = 0 de la gura 3.16 y el resto de los términos pueden determinarse experimentalmente. La gura 3.24 muestra el resultado de aplicar la expresión 3.22 a las esferas de vidrio y al developer bm 60 min. Para las esferas de vidrio (N = 1=132 s 1 y ! = 0:0444 o /s) se observa que el segundo término de 3.22 coincide razonablemente con P ( ) calculado directamente de la señal que se muestra en la gura 3.16 y puede aceptarse que las avalanchas de las esferas de vidrio en el tambor rotante siguen un proceso markoviano, es decir, la avalancha i-ésima sólo depende de la avalancha i 1: cada avalancha borra completamente la información anterior que se tenga del sistema. Sin embargo, para el developer ambos términos de 3.22 no coinciden. Como un error en la determinación del número de avalanchas por unidad de tiempo N puede ser el causante de la discrepancia que se
106
Capítulo 3. Avalanchas
observa, se ha representado en la gura 3.24 el segundo miembro de 3.22 para dos series de datos tomados a dos velocidades distintas de rotación, una serie de 4096 avalanchas con ! = 0:288 o /s y N = 1=47:56 s 1 y otra serie de 598 avalanchas con ! = 0:133 o /s y N = 1=94:81 s 1 . Los resultados para el segundo miembro de 3.22 usando ambas series son similares entre sí y diferentes al primer miembro, así que parece razonable admitir que las avalanchas de un material cohesivo en un tambor rotante no son un proceso markoviano. Se puede justi car esta a rmación a partir de la evolución de la pendiente de la super cie del developer en el tambor rotante. Hemos dicho que cada avalancha grande está precedida de unos dos precursores. Supongamos que sabemos que la avalancha i 1 ha sido un precursor. Si la avalancha i 2 ha sido también un precursor, sabemos que muy probablemente la avalancha i será una avalancha grande, mientras que si la avalancha i 2 fue una avalancha grande, sabemos que muy probablemente la avalancha i será un precursor. Por tanto, la condición 3.16 no se cumple en el caso de las avalanchas del developer. El hecho de que un proceso aleatorio sea markoviano no quiere decir que no existan correlaciones, lo único que indica es que las correlaciones han de decaer rápidamente con el tiempo: una forma típica es el decaimiento exponencial. En la gura 3.25 se muestran las funciones de autocorrelación del ángulo de la pendiente del material en función del ángulo girado por el tambor (el tiempo transcurrido es igual al ángulo girado por el tambor dividido por la velocidad de rotación) para las esferas de vidrio y el developer 60 min, este último para la serie experimental tomada a ! = 0:133 o /s. Para el caso de las esferas de vidrio la función de correlación presenta un decaimiento exponencial con una constante de decaimiento de 6:24o que es del orden del ángulo girado en el tiempo medio entre avalanchas (que se puede obtener como la diferencia entre los valores medios del ángulo de iniciación de las avalanchas y del ángulo de reposo tras una avalancha). Este ángulo recibe el nombre de ángulo de Bagnold y para las esferas de vidrio vale 5:89o . Este decaimiento está modulado por una oscilación de tipo cosenoidal, de manera que la función de correlación presenta algunos máximos de amplitud decreciente. La posición del primer máximo se corresponde aproximadamente con el ángulo de Bagnold. Para el developer bm 60 min la función de correlación también decae conforme transcurre el tiempo, pero el decaimiento ya no es exponencial. La función de correlación presenta algunos máximos antes de decaer, pero al contrario con el caso de las esferas de vidrio, la posición del primer máximo ( = 65:08o ) ya no se corresponde con el ángulo girado en el tiempo medio entre avalanchas, sino con el ángulo girado durante el tiempo T0 que para ! = 0:133 o /s es de 488 s (determinado a partir del espectro de potencias de la señal). El hecho de
3.3. Material cohesivo en el tambor a baja velocidad de rotación 0.2 P(α )
107
esferas de vidrio
0.15
0.1
0.05
0 20
25
0.08
α (º)
30
35
developer
ω
P(α )
0.133 º/s
0.06
0.288 º/s
0.04
0.02
0 30
40
50
α (º)
60
70
Figura 3.24: Función de distribución de probabilidad P ( ) de la pendiente del material en el tambor determinada experimentalmente (cruces) y calculada a partir de la expresión 3.22 (rombos). Para el developer se muestra el resultado de la expresión 3.22 para dos velocidades de rotación distintas. que la función de correlación decaiga a cero en el caso del developer 60 min indica que, aunque una avalancha no dependa exclusivamente de la avalancha anterior, tras varias avalanchas se pierde la información inicial que tuviéramos del sistema.
108
Capítulo 3. Avalanchas corr(α)θ 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2
0
5
10
-0.4
15
20
25
θ (º)
corr(α)θ 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
0
50
100
150
200
250
300
350
θ (º)
Figura 3.25: Función de correlación del ángulo de la pendiente del material frente al ángulo girado para esferas de vidrio (arriba) y developer 60 min (abajo). Las cruces representan una, dos y tres veces el ángulo de Bagnold para las esferas de vidrio (5:89o ) y una, dos y tres veces el ángulo girado durante el cuasiperíodo de la señal para el developer (65:1o ). La línea continua representa un decaimiento exponencial con una constante de tiempo de 6:24o para las esferas de vidrio y de 65:1o para el developer.
3.4. Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo
109
3.4 Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo Para calcular el máximo ángulo de estabilidad de la pendiente de un material granular es necesario encontrar las tensiones en el interior del material, es decir, hay que resolver, al menos de forma aproximada las ecuaciones:
@ij = fi @xj
(3.23)
donde fi son las fuerzas externas que actúan por unidad de volumen del material, normalmente el peso. Para que las ecuaciones 3.23 tengan forma cerrada es necesario suplementarlas con una ecuación constitutiva. Lo estrictamente correcto sería usar una super cie límite de ujo plástico, de manera que en aquellas regiones del material en las que las tensiones no alcanzaran el límite plástico, las tensiones estuvieran relacionadas con la deformación mediante un tensor de coe cientes elásticos, mientras que en las regiones en las que la deformación es plástica se usara un potencial de ujo plástico (asociado o no) para calcular la deformación que conduce a la formación de una avalancha. Estos modelos elástoplásticos para medios continuos se detallan en Wood (1993). En nuestro caso el problema es muy complicado, pues la frontera entre las regiones de deformación plástica y elástica no se conoce a priori. Una hipótesis simpli cadora que se usa comúnmente es aceptar que las tensiones en cada punto del material se encuentran in nitesimalmente cerca del límite de ujo plástico, por lo que la expresión para dicho límite se usa como relación constitutiva en 3.23. En situaciones en las que el estado de tensiones es bidimensional ya hemos dicho que se suele emplear el criterio de Mohr-Coulomb (expresión 3.1). Una vez sustituido este en 3.23 se obtiene un conjunto de ecuaciones hiperbólicas que han de resolverse usando el método de las características. Se considera que la pendiente del material alcanza el límite de estabilidad (estabilidad marginal) si las curvas características tienen una envolvente de manera que el estado de tensiones a un lado de la envolvente no se ve afectado por el estado de tensiones al otro lado de la envolvente. Así pues las regiones separadas por la envolvente son dinámicamente independientes y la envolvente puede ser tomada como la super cie de deslizamiento que limita el material que participa en la avalancha. Ya hemos indicado que una vez que se inicia una avalancha en un material no cohesivo las partículas se mueven individualmente (Bonamy et al., 2002b). Por el contrario, en un material cohesivo las partículas no se mueven individualmente, sino que el material que participa en la avalancha forma un bloque macroscópico (Tegzes et al., 1999). Por tanto, cuando la cohesión es importante la aproximación de consi-
110
Capítulo 3. Avalanchas
derar equilibrio límite en todos los puntos del interior del material (que llamaremos aproximación de ujo incipiente) puede no estar justi cada y sería conveniente utilizar una condición de cierre distinta del criterio de Mohr-Coulomb en las ecuaciones 3.23, suponiendo que el estado de tensiones es bidimensional. Aparte de esta discusión, cualquier método que se utilice para determinar el ángulo máximo de estabilidad de una pendiente es determinista, mientras que en la práctica este ángulo es una magnitud estadística (Cantelaube et al., 1995). La presencia de cohesión hace aumentar la dispersión en los valores del ángulo máximo de estabilidad (Tegzes et al., 1999). El valor de la cohesión en un punto del material depende de la historia de los valores del esfuerzo de consolidación al que se haya sometido ese elemento de volumen del material (recuérdese que en el contacto entre partículas existe deformación plástica), por lo que es de esperar que en el interior de un material granular la cohesión pueda variar ampliamente de una región a otra. En el apartado 3.3 se ha visto cómo el máximo ángulo de estabilidad en un tambor rotante tiene cierta distribución estadística (ver gura 3.19). Como en 3.3 se estudian las avalanchas sucesivas en el tambor rotante, tras cada avalancha la super cie libre del developer es irregular, lo que añade una fuente de variabilidad adicional al ángulo máximo de estabilidad. Por ejemplo, si la pendiente local del material en cierto tramo de la super cie libre es grande, en ese tramo se originará probablemente una avalancha aunque la pendiente promedio de toda la super cie libre no sea muy grande. Si queremos estudiar la variabilidad en la cohesión es importante inicializar la super cie libre del material, de forma que antes de cada avalancha la super cie libre del material sea lo más plana posible. Para ello se ha usado el mismo montaje experimental que se describe en 3.3.1 con tambores de 9,7 y 5 cm de diámetro por 4 cm de profundidad. Como material no se ha usado developer, sino toners cuyas características se muestran en la tabla 3.3. Se ha preferido usar toner porque el toner puede uidizarse en un tambor rotante (el proceso de uidización del toner en el tambor rotante se discutirá más adelante). Como el rango de velocidades del motor es de 0.01 a 50 rev/s, manteniendo la caja reductora el tambor puede girar hasta 4 rev/s. Antes de provocar una avalancha primero se inicializa el material en el tambor uidizándolo a 2.42 rev/s durante 90 s. Después se para bruscamente el tambor y se deja que el material sedimente, con lo que la super cie libre del toner queda horizontal. Una vez que el material se ha asentado se hace girar el tambor a 0.003 rev/s hasta que el ordenador detecta una avalancha. Como valor umbral para detectar una avalancha se ha usado i i 1 > 2o . Una vez que el ordenador detecta una avalancha el
3.4. Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo
111
Toner t0 @t =@c aditivo (0 ) (Pa) % CLC 700 10 1.5 0.1469 RT 5117 23 1.0 0.0839 0.4 RT 5115 8 1.0 0.2528 0.1 RT 5463 15 2.1 0.2556 0.02 Tabla 3.3: Propiedades de los toners usados en el experimento. La cantidad de aditivo se da por su tanto por ciento en el peso del toner. Los valores de , t0 y @t =@c han sido tomados de las referencias (Valverde et al., 1998, 2000b). material se vuelve a inicializar y el ciclo se vuelve a repetir. Para cada material se han medido 200 avalanchas aproximadamente.
3.4.1 Modelo matemático Para calcular el máximo ángulo de estabilidad del material en el tambor rotante admitimos que el estado de tensiones del material es bidimensional ya que la profundidad del tambor es mucho más grande que el diámetro de las partículas. El método utilizado es una versión del método de Matsukovic (Bromhead, 1992). Cuando la pendiente del material alcanza cierto valor ' el material alcanza el equilibrio límite y aparece una super cie de deslizamiento S tal que el material que se encuentra sobre la super cie de deslizamiento pierde el equilibrio e inicia una avalancha, mientras que el material bajo la super cie de deslizamiento permanece estacionario. La super cie S tiene las siguientes características: a) se extiende bajo toda la super cie libre de la pendiente del material; b) la condición (3.1) se satisface únicamente para las tensiones compresivas y de cizalla que actúan a través de la super cie S ; c) la sección de la super cie S es constante a lo largo del tambor. Admitimos también que para cualquier super cie S que satisfaga las condiciones a) a c) existe un único valor del ángulo de inclinación 0 tal que si S fuera la super cie de deslizamiento real, el máximo ángulo de estabilidad sería 0 , es decir, existe una funcional 0 [S ]. El valor real del máximo ángulo de estabilidad es ' = min( 0 [S ]). Para encontrar el ángulo 0 [S ] consideramos que el material se divide en n bloques equiespaciados a lo largo de la super cie libre y que las super cies de separación entre bloques son perpendiculares a la super cie libre. Las bases de los bloques forman una línea poligonal Sp que ajusta la curva S . La pendiente alcanza el máximo ángulo de estabilidad cuando se cumplen simultáneamente las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y de momentos para cada bloque (ver
112
Capítulo 3. Avalanchas
gura 3.26):
sin( + j ) Nj;j +1 = Wj sin + clj lj cos j ; (3.24) cos cos( + j ) Tj;j +1 = Wj cos + clj lj sin j ; Tj 1;j + Nj cos 1 1 1 Nj 1;j rj 1 lj sin j Nj;j +1 rj + lj sin j + bTj;j +1 2 2 2 1 + bTj 1;j = Mj 2 donde es el ángulo entre la dirección vertical y la normal a la super cie libre del material, Wj es el peso de cada bloque, Mj ( ) es el momento del peso de cada bloque respecto al punto medio P de la base del bloque y rj es la línea de acción de la fuerza Nj;j +1 . En las expresiones
Nj
;j
1
Nj
(3.24) las fuerzas tangenciales en las super cies que limitan los bloques se sustituyen usando: h i Tj 1;j = qj 1 Nj 1;j + chj 1 hj 1 ; Tj = Nj + clj lj (3.25)
donde qj es un conjunto de parámetros cuyo valor se deja libre con la condición de que cumplan qj2 1. De esta manera la condición (3.1) no tiene por qué cumplirse necesariamente en las super cies que separan bloques vecinos. Si usamos una de las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas en cada bloque para despejar las fuerzas Nj en función de las fuerzas normales en las super cies entre bloques Nj;j +1 en la forma:
sin( + j ) 6= 0 ) (3.26) cos Nj = Nj 1;j Nj;j +1 + Wj sin clj lj cos j ; sin( + j ) cos( + j ) 6= 0 ) cos ( Tj 1;j + Tj;j +1 + Wj cos + clj lj sin j ) Nj = cos( + j )
en la restante ecuación de equilibrio de fuerzas intervienen sólo las fuerzas Nj;j +1:
Nj 1;j [qj 1 sin( + j ) + cos( + j )] = Nj;j +1[qj sin( + j ) + cos( + j )] + Wj sin( + j ) + clj lj cos qj 1 sin( + j )chj 1 hj 1 + qj sin( + j )chjhj j = 2; :::::; n (3.27) en la ecuación con j = 1 se añade un término adicional N0 : N0 = N1;2 [q1 sin( + 1 ) + cos( + 1 )] + W1 sin( + 1 ) + c1 l1 cos 1 + q1 sin( + 1 )ch1 h1 (3.28)
3.4. Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo
113
Si se dan valores a los qj y a , puede usarse las expresiones (3.27) y (3.28), para encontrar el valor de N0 . Si resulta que N0 = 0 entonces esos valores de qj y cumplen las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en el sistema de bloques. Si en las ecuaciones de equilibrio de momentos hacemos el cambio de variables Rj = Nj;j +1 rj :
1 1 = Rj Mj bqj 1 [Nj 1;j + chj 1 hj 1 ] bq [N + ch h ] 2 2 j j;j +1 j j 1 (3.29) + lj sin j (Nj 1;j + Nj;j +1) ; j = 2; ::::; n 2 y de nuevo introducimos un término adicional R0 = 0 en la expresión con j = 1: 1 1 R0 = R1 M1 bq1 [N1;2 + ch1 h1 ] + N1;2 l1 sin 1 (3.30) 2 2 se tiene que si dado ; fqj g resulta R0 = 0, se satisfacen las ecuaciones de
Rj
1
equilibrio de momentos. El problema no está cerrado hasta que no se dan valores a los parámetros qj . La norma general es escoger el valor de cada qj como el producto de un valor predeterminado sj por un parámetro libre , es decir qj = sj (Bromhead, 1992). Para nuestro problema hemos elegido sj = 1. Una vez escogidos los valores de las sj para cada curva S , N0 y R0 son funciones de y . Sus correspondientes valores que satisfacen simultáneamente las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y de momentos son 0 [S ] y 0 [S ]. Para encontrar 0 [S ] y 0 [S ] se ha seguido el siguiente procedimiento: primeramente se resuelve la ecuación N ( ; 1) = 0. Seguidamente se usa la solución de dicha ecuación y las derivadas parciales de N0 y R0 con respecto a y (que pueden ser encontradas analíticamente a partir de las expresiones 3.27 y 3.29) para trazar la curva N0 ( ; ) = 0 hasta su corte con la curva R0 ( ; ) = 0. La intercepción de ambas curvas se encuentra comprobando el signo de R0 en cada iteración cuando se recorre la curva N0 = 0. Como localización aproximada del punto donde las curvas N0 = 0 y R0 = 0 se interceptan se toma el punto medio entre las dos últimas iteraciones de la curva N0 ( ; ) = 0. Este punto se toma como punto inicial para aplicar el algoritmo de NewtonRaphson hasta que los valores de N0 y R0 se encuentran su cientemente próximos a cero. El procedimiento de búsqueda de la solución se explica más detalladamente en el apéndice A. Esta rutina ha de repetirse para todas las posibles curvas que representen una super cie de deslizamiento S para obtener el máximo ángulo de estabilidad '. Obviamente esto no es posible así que se hace uso del hecho de que el valor de 0 [S ] depende suavemente de la curva S si S es su cientemente parecida a la super cie de deslizamiento real S (AlKarni y Al-Shamrani, 2000), restringiéndose la búsqueda a una familia
114
Capítulo 3. Avalanchas
de curvas que sean semejantes a la super cie de deslizamiento observada experimentalmente. Hemos elegido la familia de polinomios de tercer grado de la forma:
y = ax3 + bx2 aL2 x bL2 1 1 a = 2 (tan tan ) ; b = (tan + tan ) 4L 4L donde ls = 2L es la longitud de la super cie libre del material.
(3.31)
Las propiedades del material están descritas en las expresiones (3.27) y (3.29) por el ángulo de fricción interna y la cohesión en las super cies entre bloques chj y en la base de cada bloque clj . Si todas las chj y clj toman el mismo valor c, el valor del máximo ángulo de estabilidad no depende del número de bloques n para n 3. En los materiales reales la cohesión en un punto es función del valor local del esfuerzo de consolidación c (Valverde et al., 2000b). Ciertos resultados experimentales indican que la cohesión c y la resistencia a la tracción t (el máximo esfuerzo en tensión que el material puede admitir) son del mismo orden de magnitud (Watson et al., 1996), así que podemos usar la resistencia a la tracción t para caracterizar la cohesión del material. Cuando el esfuerzo de consolidación no es muy grande (por debajo de unos 200 Pa), t depende linealmente del esfuerzo de consolidación:
t = t0 +
@t @c c
(3.32)
Si el material está consolidado bajo su propio peso c aumenta linealmente con la profundidad h en las capas más super ciales del material. En las capas más profundas las fuerzas de fricción trasladan hasta las paredes del recipiente el peso de las capas superiores y c tiende a un valor constante (Socolar, 1998; Vanel y Clement, 1999). La profundidad hc a la que se produce el cambio de comportamiento vale hc = L=(2 tan( )K ) donde L es una dimensión lineal característica de la sección del recipiente (en nuestro caso el tambor) y K es el coe ciente de Janssen. Como en nuestro caso L es del orden del radio del tambor y h toma valores bastante más pequeños que el radio del tambor podemos hacer c gh y:
@t @ c = t h (3.33) @c @h por tanto los valores de chj y clj han de ser dependientes de la profundi-
dad. Para explicar la distribución de los valores del máximo ángulo de estabilidad suponemos que la cohesión c del material no es uniforme y que cada vez que se inicializa el material el valor de la cohesión c en un punto del material cambia. Para modelar las inhomogeneidades se toma
3.4. Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo
115
bi
Ti-1,i
Ti,i+1
Ni-1,i
Ni,i+1 α
Wi
ri
ri+1 Ti
θi P Ni 25 24
3
23 2 22
σ(ϕ)
1
valor medio
desviación estándad
4
21
0
20 0
10
20 30 40 número de bloques
50
Figura 3.26: Arriba: Esquema de las fuerzas que actúan en un bloque. Abajo: valor medio y desviación estándard del ángulo máximo de estabilidad según el método de los bloques para el toner CLC 700 en el tambor de 9 cm de diámetro. la cohesión c como una magnitud distribuida estadísticamente cuyo valor medio a una determinada profundidad viene dada por la expresión (3.32). Como función de distribución proponemos:
P (f ) =
b 1+a a f (1 f ) + exp [ b(f 2 2
1)] (f
1)
116
Capítulo 3. Avalanchas
f = c=t (h)
(3.34)
donde es la función de Heavyside, y los parámetros a y b toman los valores a = 0:3, b = 1:8. La expresión 3.34 se ha escogido a priori y coincide con a función de distribución de las fuerzas de contacto entre partículas en el interior de un material granular (Lovoll et al., 1999), pero cualquier otra distribución P (f ) que cumpla < f >= 1, que sólo tome valores para f > 0 y que decaiga su cientemente rápido cuando f se hace grande es igualmente aceptable. Con los valores de a y b que se dan en la expresión 3.34 se obtiene < f >= 1:06 y (f ) = 0:661. El uso de cohesión distribuida estadísticamente según la expresión (3.34) hace que el máximo ángulo de estabilidad tenga una distribución aproximadamente gaussiana p cuya anchura escala con el número de bloques como 1= n de acuerdo con el teorema del valor medio (ver gura 3.26). En un sistema de n bloques la anchura de un bloque b = 2L=n mide el tamaño lineal de las inhomogeneidades en el material. Como partículas que se encuentren en el mismo bloque han de moverse coherentemente (al menos en las fases iniciales de la avalancha), el movimiento de dos partículas no estará correlacionado siempre que su separación sea mayor que b. En el límite de cohesión muy pequeña las partículas pueden moverse independientemente durante una avalancha y será necesario un número de bloques n muy grande para describir la distribución del máximo ángulo de estabilidad, ya que la anchura b de cada bloque habrá de ser comparable al tamaño de la partícula. Por tanto, para asegurar la consistencia con el límite no cohesivo, la distribución del esfuerzo de consolidación en cada bloque ha de tender a la forma funcional que da la distribución de las fuerzas de contacto entre partículas, cuando el número de bloques es muy grande, de ahí la elección de la expresión 3.34.
3.4.2 Resultados Para comprobar el efecto que la elección de los valores de sj tiene sobre el ángulo máximo de estabilidad se ha calculado el ángulo máximo de estabilidad usando n = 10 bloques, suponiendo que la cohesión es independiente de la profundidad y usando dos conjuntos de valores distintos para las sj : la primera elección es sj = 1 para todo j y la segunda es fsj ; j = 1; 9g = f0:5; 0:575; 0:65; 0:725; 0:8; 0:85; 0:90; 0:94; 0:97g. Los valores del ángulo máximo de estabilidad usando ambas elecciones para distintos valores del ángulo de fricción interna y de la cohesión adimensional (de nida como c=(gR) donde R es el radio del tambor y es la densidad del material) pueden verse en la gura 3.27. Para cada valor del ángulo de fricción interna las series para ambas elecciones prácticamente se superponen. El valor de 0 que es solución del equilibrio de
3.4. Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo
117
0 -0.2
-0.4
-0.6
10º -0.8
20º 30º
-1 0
0.05
c/(ρgR)
0.1
0.15
0.2
80 ϕ (º)
70 60 50 40 30 20
10º
10
20º 30º
0 0
0.05
c/(ρgR)
0.1
0.15
0.2
Figura 3.27: Valor medio < qj > (arriba) y máximo ángulo de estabilidad ' (debajo) como función de la cohesión adimensional para ángulos de fricción interna de = 10o ; 20o ; 30o . Los símbolos en negro representan los resultados usando sj = 1. Los símbolos en blanco representan los resultados usando el conjunto de valores sj que se comenta en el texto. R es el radio del tambor y es la densidad del material.
118
Capítulo 3. Avalanchas
fuerzas y de momentos sí depende en cambio de la elección que se haga para las fsj g. Esto es de esperar pues el valor del parámetro 0 es una medida de la validez de la aproximación de ujo incipiente en todos los puntos del material como relación de cierre para la expresión 3.23: si 0 sj está próximo a 1 entonces el material está cerca del límite plástico en la j -ésima super cie entre bloques y no sólo en la super cie de deslizamiento. Como se ha dicho anteriormente, esta es la situación que se espera para los materiales no cohesivos. Por el contrario, si 0 sj = 0 el material sobre la que sería la j -ésima super cie de deslizamiento entre bloques se comporta como un sólido rígido. Este caso se corresponde con el límite de cohesión muy elevada, cuando los contactos entre partículas son tan adhesivos que no se rompen durante la avalancha. Para medir lo cerca que se encuentra el material del límite de ujo plástico se puede usar el valor medio < 0 sj >=< qj >. Como se observa en la gura 3.27, < qj > sigue la tendencia esperada con la cohesión, con < qj > tendiendo a -1 cuando la cohesión es muy pequeña y no depende de la elección que se haya hecho para las fsj g. El signo negativo de < qj > se debe a que la elección del sentido positivo de las fuerzas que se presentas en la gura 3.26 hace que el momento de las fuerzas que actúan en las super cies entre bloques se oponga al momento debido al peso cuando qj toma valores negativos. El valor del ángulo de fricción interna afecta a la dependencia de < qj > con la cohesión. En general, cuanto menos cohesivo es el material y menor es el ángulo de fricción, más justi cada está la hipótesis de ujo incipiente en todos los puntos del material. El máximo ángulo de estabilidad aumenta con la cohesividad del material y con el valor del ángulo de fricción interna como es de esperar. Los valores medios del máximo ángulo de estabilidad para los toners usados en el experimento se muestran en la tabla 3.4, junto con el valor medio resultante de aplicar el método de Matsukovic y el número de bloques n que mejor ajusta la distribución experimental. Para ajustar el valor de n se ha usado el siguiente procedimiento: se ha ajustado una distribución gaussiana a la distribución experimental del máximo ángulo de estabilidad y se ha escogido como valor más adecuado del número de bloques aquel que arroja un valor para la desviación estándard del ángulo máximo de estabilidad lo más cercano posible a la desviación estándard de la gaussiana. El número de bloques n que proporciona el mejor ajuste para un toner depende de la desviación estándard de la función de distribución P (f ) que se escoja: si la desviación estándard es más grande el valor de n también será más grande para un mismo toner. Como se espera, el valor de n disminuye cuando la cohesividad del toner aumenta. Las distribuciones experimentales y numéricas coinciden bastante bien, como se observa en la gura 3.28, donde también puede verse cómo la
3.4. Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo Toner CLC 700 CLC 700 CLC 700 RT 5177 RT 5117 RT 5115 RT 5115 RT 5463
R
e
cm 4.5 3.5 2.5 4.5 2.5 4.5 2.5 2.5
(Kg/m ) 0.62 0.60 0.66 0.58 0.58 0.66 0.68 0.67 3
119
< ' > (< ' >) (0 ) exp. (o ) exp. 25.0 24.0 24.2 28.8 29.8 31.9 33.9 41.7
4.6 2.7 3.5 3.0 4.8 2.4 2.7 5.6
Toner R n < ' > (< ' >) t (< h >)=(gR) 0 cm ( ) cal. (0 ) cal. Pa CLC 700 4.5 8 23.8 2.9 0.024 CLC 700 3.5 22 24.4 1.8 0.027 CLC 700 2.5 16 27.0 2.4 0.037 RT 5177 4.5 4 32.0 2.5 0.013 RT 5117 2.5 4 34.1 2:9 0.019 RT 5115 4.5 26 28.0 2.6 0.032 RT 5115 2.5 24 31.0 3.0 0.043 RT 5463 2.5 8 41.7 5.4 0.065 Tabla 3.4: Porosidad e, valor medio y desviación estándar del máximo ángulo de estabilidad experimentales (arriba) y obtenidos mediante el método de los bloques (abajo). n es el número de bloques para el que la distribución de valores del máximo ángulo de estabilidad dada por el método de los bloques mejor ajusta la distribución experimental. t (< h >) es el valor de la resistencia a la tracción a la profundidad máxima a la que ocurre la avalancha según el método de los bloques. anchura de la distribución de los ángulos de iniciación ' es mayor cuanto más cohesivo es el toner. Si se integra 3.31 para los valores de y correspondientes al mínimo de 0 [S ] se obtiene el área de la sección del material en el tambor por encima de la super cie de deslizamiento teórica Ad . Tal como se de ne la super cie de deslizamiento todo el material del área Ad participa en la avalancha. El área Ad no tiene por qué coincidir con el área representativa de la avalancha Aa , a causa de que el material que participa en la avalancha queda en reposo sobre la super cie de deslizamiento como se muestra con un caso real en la gura 3.29. Esta gura consiste en la superposición de dos imágenes del toner RT 5115 en el tambor con 9 cm de diámetro inmediatamente antes y después de una avalancha. Se ha representado también en la gura 3.29 la super cie de deslizamien-
120
Capítulo 3. Avalanchas 0.2
Experimentos
P(ϕ) 0.15 CLC 700 RT 5115 RT 5463
0.1
0.05
0 10
20
30
40
50
60
máximo ángulo de estabilidad ϕ (grados) 0.2
Teoría
P(ϕ) 0.15
0.1
0.05
0 10
20
30
40
50
60
máximo ángulo de estabilidad ϕ (grados) Figura 3.28: Distribuciones experimentales del máximo ángulo de estabilidad (arriba) y distribuciones numéricas obtenidas usando los valores de la tabla (3.4) (abajo) para los toners que se indican en la leyenda en el tambor de 5 cm de diámetro. to teórica para el caso particular de que no existan irregularidades en la distribución de la cohesión. La super cie de deslizamiento teórica no tiene, en principio, por qué coincidir con la super cie de deslizamiento real, aunque si el modelo está bien construido deben ser parecidas. La super cie de deslizamiento teórica se extiende bajo toda la longitud de la super cie libre del material de acuerdo con lo que hemos admitido en la
3.4. Estabilidad de la pendiente de un material cohesivo
121
la ls
Aa
superficie de deslizamiento
Figura 3.29: Superposición de dos fotogramas del toner RT 5115 en el tambor con D = 9 cm inmediatamente antes y después de una avalancha (que se inicia con un ángulo = 27:5o ), mostrando la longitud de la super cie libre del material antes de la avalancha ls y la longitud representativa de la avalancha la . El área rayada es el área representativa de la avalancha Aa . Sobre la gura se han trazado los per les encontrados por la rutina de detección de bordes (cuadrados blancos)y la super cie de deslizamiento predicha cuando no hay uctuaciones en la cohesión en el interior del material (el ángulo de iniciación predicho en estas condiciones es = 27:0o ). sección 3.4.1 para el caso de las avalanchas de toner inicializado mediante uidización. Todo el material sobre la super cie de deslizamiento real se pone en movimiento al ocurrir la avalancha y al detenerse determina el per l de reposo de la super cie libre, que sólo deja expuesta en un tramo la super cie de deslizamiento real. La porción de la super cie de deslizamiento real que queda oculta bajo el per l de reposo no es accesible experimentalmente para calcular cuanto material participa en la avalancha. Por este motivo, solamente se sabe con certeza que el área Aa ha participado en la avalancha y por eso se toma Aa como área representativa de la avalancha, aunque en la realidad pueda haber material fuera del área Aa que participe en la avalancha. El área Aa siempre será menor que el área Ad y la longitud representativa de la avalancha la siempre será menor que la longitud de la super cie libre del material ls tal como se observa en la gura 3.29. Una vez hecha esta salvedad podemos comparar entre sí las distri-
122
Capítulo 3. Avalanchas
buciones de tamaños representativos de la avalancha Aa en los casos en el que el material no está inicializado antes de la avalancha (como se hizo con los developers) y en el que sí lo está (como se hizo con el toner) y comparar ambos casos con las predicciones para Ad del método de Matsukovic. En la gura 3.30 se muestra el área representativa de la avalancha Aa frente a la longitud representativa de la avalancha la para el developer bm 324 usando los resultados del experimento que se discutió en la sección 3.3.2 y para el toner RT 5115 en el tambor de 9 cm de diámetro. La zona gris de la gura muestra la región ocupada por los puntos experimentales (por claridad no se ha representado su frecuencia). Se observa que el área ocupada por los puntos experimentales es muy diferente en los dos casos: mientras que para el toner las avalanchas tienen un valor típico para la longitud y el área representativas dado por el centroide de la distribución, en el caso del developer esto no ocurre así. La diferencia se debe a que en el caso del toner se ha inicializado la super cie libre antes de cada avalancha de manera que esta sea horizontal. Esto hace que la única fuente de variabilidad sean las inhomogeneidades en la consolidación en el interior del material. Como para el developer se han medido avalanchas sucesivas, la super cie libre no es, en general horizontal antes de una avalancha y a la variabilidad introducida por las inhomogeneidades en la consolidación se une el efecto de las irregularidades en la super cie libre. Por esta causa en el caso de las avalanchas en un material no inicializado no se puede asumir que la super cie de deslizamiento se extiende por debajo de toda la longitud de la super cie libre. Por ejemplo, en el caso del developer una avalancha puede iniciarse en un tramo pequeño de la super cie libre cuya pendiente local sea elevada. Al iniciarse la avalancha en un volumen pequeño del material es de esperar que el área representativa Aa de la avalancha sea pequeña. Puesto que el área representativa de la avalancha está linealmente correlacionada con la diferencia entre el ángulo de iniciación y el ángulo de reposo tras una avalancha (ver gura 3.15), una de estas avalanchas hace disminuir muy poco la pendiente de la super cie libre del material y por tanto será un precursor. Para predecir el tamaño de las avalanchas cuando el material no está inicializado se calcula el área Ad sobre una super cie de deslizamiento que se extienda por debajo de un segmento de la super cie libre de longitud la . El valor de Ad (la ) está representado en la gura 3.30 por la línea de puntos para el developer bm 324 utilizando = 30o y c = 3:9 Pa y suponiendo que la cohesión no depende de la profundidad. La línea de puntos da aproximadamente un límite inferior para el área representativa de las avalanchas Aa de una cierta longitud representativa la . El que el área representativa Aa de las avalanchas con longitud representativa la sea mayor que el área Ad (la ) se debe a que
3.5. Comportamiento de un material no cohesivo en el tambor rotante 123 una vez que una avalancha se inicia, el material en movimiento arrastra material que inicialmente estaba estacionario, con lo que la cantidad de material que participa en la avalancha aumenta conforme la avalancha se desplaza pendiente abajo (Bouchaud et al., 1994; Daerr, 2001; Rajchenbach, 2002b). El punto nal M de la línea de puntos en la gura 3.30 muestra el valor de Ad cuando la super cie de deslizamiento se extiende bajo toda la longitud de la super cie libre del material. Tanto para el developer como para el toner el tamaño representativo de las avalanchas no alcanza el valor Ad así como su longitud representativa la no alcanza el valor ls de la longitud de la super cie libre, por las razones que se han comentado al discutir la gura 3.29.
3.5 Comportamiento de un material no cohesivo en el tambor rotante Incluso en el caso de materiales no cohesivos el máximo ángulo de estabilidad es mayor que el ángulo de fricción interna. Para explicarlo es necesario acudir a modelos para describir las avalanchas en materiales no cohesivos (Bouchaud et al., 1994). En un material no cohesivo una avalancha se inicia cuando al menos una partícula pierde el equilibrio y empieza a rodar pendiente abajo desestabilizando otros granos, bien empujándolos o bien porque al desplazarse de su posición original crea un hueco que hace que algunos granos por encima de su posición pierdan el equilibrio (Bouchaud et al., 1994; Rajchenbach, 2002a). Un grano que esté rodando pendiente abajo puede encontrar una nueva posición de equilibrio y pararse. La aparición de la primera partícula en perder el equilibrio se debe a cualquier perturbación externa que sufra el material. Se puede demostrar (Bouchaud et al., 1994) que si la pendiente fuera perfectamente plana existe un ángulo 'c por encima del cual el número de granos que pierden el equilibrio crece con el tiempo provocando una avalancha, mientras que si la pendiente es menor que 'c el número de granos que pierden el equilibrio decrece con el tiempo de manera que sólo se produce una reordenación local de las posiciones de los granos que no da lugar a una avalancha. En este caso, la pendiente nal del material sigue siendo mayor que el ángulo de fricción interna. Por tanto, el máximo ángulo de estabilidad ' no puede ser menor que 'c , ni tampoco puede ser mayor que el ángulo para el cual las fuerzas de fricción y adhesión con partículas vecinas no son capaces de equilibrar el peso de una partícula que se encuentre en la super cie libre (Albert et al., 1997). El valor de 'c cambia si la pendiente inicial no es perfectamente plana, sino que tiene irregularidades, de ahí que el máximo ángulo de estabilidad presente
124
Capítulo 3. Avalanchas
M
Aa / As x 100
20 15 10 5 0 0
0.2
0.4
la / ls
0.6
0.8
Aa / As x100
20
1
M
16 12 8 4 0 0
0.2
0.4 l / l 0.6 a s
0.8
1
Figura 3.30: Área representativa de la avalancha Aa como tanto por ciento del área de la sección del material en el tambor As frente al cociente entre la longitud representativa de la avalancha la y la longitud de la super cie libre del material ls para el developer bm324 (arriba) y el toner rt 5115 en el tambor de 9 cm de diámetro (abajo). La línea de trazos indica el valor del área sobre la super cie de deslizamiento As cuando la super cie de deslizamiento se extiende bajo toda la longitud de la super cie libre del material. Para el developer, la línea de puntos muestra el valor de As cuando se hace que la super cie de deslizamiento se extienda bajo una longitud la . una distribución estadística. La pendiente de la super cie libre tras una avalancha recibe el nombre de ángulo de reposo . El ángulo de reposo
3.5. Comportamiento de un material no cohesivo en el tambor rotante 125 tampoco coincide con el ángulo de fricción interna; en general, será algo menor pues debido a la inercia de los granos una avalancha no termina justo cuando la pendiente de la super cie libre iguala al ángulo de fricción interna y también tendrá una distribución estadística (Cantelaube et al., 1995). El ángulo de reposo depende de las condiciones de contorno de la avalancha, p.ej. en un tambor rotante depende de la razón entre la profundidad de la avalancha h y el radio del tambor R (Rajchenbach, 1990). A la diferencia ' se la denomina ángulo de Bagnold. Las partículas que participan en una avalancha han de poder cambiar sus posiciones relativas, por lo que el material que avalancha se dilata ligeramente (Ristow, 1996) y se producirán colisiones entre partículas. En las colisiones se produce un intercambio de momento que contribuye a los esfuerzos en el interior del material. El esfuerzo debido a las colisiones depende cuadráticamente de la tasa de deformación (Bagnold, 1954) debido a que tanto el número de colisiones por unidad de tiempo como el momento transferido en las colisiones son proporcionales a la tasa de deformación (Rajchenbach, 1990). Para una avalancha en la que el estado de tensiones sea bidimensional el esfuerzo debido a las colisiones tiene la forma (Savage y Hutter, 1989; Elperin y Vikhansky, 1998): ! du 2 2 (3.35) c = f1 (l)p dp
dy ! du 2 2 c = f2 (l)p dp dy
donde f1 y f2 son funciones que dependen de la distancia media entre partículas l y por tanto de la porosidad, dp es el diámetro y p la densidad de las partículas, u es la componente de la velocidad media de las partículas paralela a la super cie libre del material y y es la coordenada normal a la super cie libre del material. Si llamamos t a la tensión normal y t a la tensión de cizalla totales existentes dentro del material que participa en la avalancha tendremos:
t + c = t + c
(3.36)
Mientras la tasa de deformación sea pequeña c , c serán pequeños, la expresión 3.1 será válida y el ujo puede considerarse cuasiestático, razón por la cual se llama ángulo de fricción estático. Si predominan las tensiones debidas a las colisiones se habla de ujo inercial y tendremos:
t t
c
c
= tan d (l)
(3.37)
A d se le llama ángulo de fricción dinámico. Basándose en la expresión 3.36 es posible describir la evolución del material en una avalancha ya
126
Capítulo 3. Avalanchas
iniciada (Savage y Hutter, 1989; Gray, 2001; Elperin y Vikhansky, 1998) y junto con la descripción para las etapas iniciales de una avalancha (Bouchaud et al., 1994) se describe por completo el comportamiento de un material granular no cohesivo en un tambor rotante. Mientras el tambor gire lentamente el tiempo entre avalanchas (que depende del ángulo de Bagnold) será mayor que la duración de una avalancha y se observarán avalanchas intermitentes. Cuando la velocidad del tambor sea tal que ambos tiempos sean del mismo orden ya no se observan avalanchas (Bouchaud et al., 1994), sino que la super cie libre del material en el tambor estará formada por una capa de partículas en ujo inercial alimentada por las partículas en capas más profundas que se mueven solidariamente con el tambor (Gray, 2001; Elperin y Vikhansky, 1998). Otra forma de expresar la misma condición es imponer que el tiempo que se tarda en voltear todo el material en el tambor mediante avalanchas ha de ser igual al tiempo que se tarda en voltearlo mediante el ujo inercial en la super cie (Ding et al., 2002). Ambos criterios no describen la histéresis que se presenta en la situación real: si partimos del régimen de avalanchas individuales la velocidad de rotación !1 a la que desaparecen las avalanchas individuales y aparece el ujo inercial es mayor que la velocidad !2 a la cual el ujo inercial desaparece y se restablece el régimen de avalanchas individuales cuando se disminuye la velocidad (Rajchenbach, 1990). La explicación reside en que el tiempo medio de caída t1 de una partícula en una avalancha individual es mayor que el tiempo de tránsito de la super cie libre t2 en el ujo inercial. Los velocidades !1 y !2 han de ser del orden del cociente del ángulo de Bagnold entre el correspondiente tiempo de tránsito t1 o t2 . Una vez que se establece el ujo inercial el per l de la super cie libre del material en el tambor es plano. Conforme aumenta la velocidad angular ! la super cie libre adopta una forma cóncava y a valores mayores de ! la super cie adopta un per l en S (Elperin y Vikhansky, 1998; Orpe y Khakhar, 2001). La profundidad de la capa donde tiene lugar el ujo inercial crece con la velocidad angular desde un valor inicial de unos diez diámetros de partícula (Rajchenbach, 2002a; Bonamy et al., 2002a). Si se sigue aumentando la velocidad hasta que la aceleración centrípeta en el borde del tambor se hace comparable a la aceleración de la gravedad las partículas que alcanzan la super cie libre arrastradas por el movimiento del tambor son lanzadas en trayectorias parabólicas y se comportan como partículas independientes. Cuando la aceleración centrípeta es lo su cientemente grande se forma una capa de partículas que gira solidaria con las paredes del tambor.
3.6. Comportamiento de los materiales granulares nos
127
3.6 Comportamiento de los materiales granulares nos Los materiales granulares con tamaño de partícula dp comprendido entre 1 m y 100 m no alcanzan nunca el régimen inercial sino que experimentan una transición directa entre el régimen sólido-plástico y el régimen de uidización debido a que la interacción entre las partículas y el gas intersticial es muy fuerte (Castellanos et al., 1999). Mientras el tambor gira lentamente se producen en el material avalanchas cuasiperiódicas, pero al contrario de lo que ocurre en los materiales no cohesivos, estas avalanchas ocurren a una profundidad típica mucho mayor que el tamaño de las partículas del material, que depende de la cohesividad del material y de las condiciones de contorno como se ha discutido en las secciones 3.3 y 3.4. En el régimen sólido-plástico el comportamiento de los materiales granulares cohesivos es similar al de la arena mojada. Durante una avalancha el material granular puede atrapar cierta cantidad del gas circundante (comúnmente el aire). Al escapar del interior del material el gas uidiza parcialmente el material que interviene en la avalancha. Además, hay que considerar que parte del material que interviene en la avalancha se uidiza como consecuencia del impacto con la pared del tambor. Si el tambor gira lo bastante despacio, el aire que quedó atrapado dentro del material tiene tiempo de abandonarlo antes de que otra avalancha tenga lugar y el material sedimenta mostrando una super cie libre horizontal. A esta situación la llamaremos régimen de uidización intermitente. La uidización durante una avalancha ha sido estudiada usando un asiento rectangular inclinable (Valverde, 1997; Valverde et al., 2000b). En este experimento se inicializa el material uidizándolo para después cortar el ujo de gas, de manera que el material se deposite bajo el efecto de su propio peso, mostrando una super cie libre horizontal. Una vez que el material se ha asentado, se inclina el asiento hasta que se produce una avalancha. Si el material que participa en la avalancha se uidiza, durante el transcurso de esta se depositará en la parte baja del asiento mostrando una super cie horizontal. El experimento se graba con una cámara de video, de modo que se puede medir la velocidad media del material de la avalancha. Como la resistencia a la tracción de los materiales usados en el experimento se conoce por haberla medido previamente (Valverde et al., 1998; Valverde, 1997), se puede representar en un diagrama la velocidad media del material en la avalancha frente a su resistencia a la tracción para la porosidad del material antes de que se produjera la avalancha, como se hace en la gura 3.31. De esta gura se observa que para que el material de la avalancha se uidize la velocidad media del material ha de sobrepasar cierto valor umbral que
v (cm/s)
128
Capítulo 3. Avalanchas 80
RT 0.4%
RT 0.2%
70
RT 0.1%
RT 0.05%
60
RT 0.01%
CLC500
50 40 30 20 10 0 0
2
4
σt (Pa)
6
8
10
Figura 3.31: Velocidad el material que participa en una avalancha frente a su cohesión indicando si el material se uidiza o no en la avalancha. Tomado de (Valverde, 1997) depende de la resistencia a la tracción del material antes de la avalancha.
Conforme se aumenta la velocidad de rotación del tambor disminuye el intervalo temporal entre avalanchas. Como el gas tarda cierto tiempo en escapar del interior del material, si aumentamos la velocidad de rotación cada vez más cantidad de gas queda atrapado dentro del material. Si el intervalo entre avalanchas se hace menor que el tiempo necesario para que el gas escape del material que participó en la avalancha, se forma una región dentro del tambor, al pie de la pendiente del material en régimen sólido-plástico, donde el material está permanentemente uidizado. Esta región está alimentada por las partículas que le llegan en las sucesivas avalanchas, que compensan el número de partículas que precipitan a través del gas y se reincorporan a la región sólida-plástica. La extensión de la región uidizada aumenta si se sigue aumentando la velocidad de rotación del tambor, hasta que prácticamente toda la super cie libre del material está formada por material uidizado. En esta situación la super cie libre del material es horizontal y el tambor parece estar lleno de líquido (ver gura 3.32). Si se sigue aumentando la velocidad angular el material se sigue expandiendo. Por último, se llega a una velocidad tal que el material se precipita sobre las paredes del tambor por acción de la fuerza centrífuga y forma un anillo que gira solidario con las paredes del tambor.
3.6. Comportamiento de los materiales granulares nos
129
A
B
d
C
Figura 3.32: Imágenes del toner RT 5117 en un tambor de 9 cm de diámetro para una velocidad angular de A: 10 rpm, B: 45 rpm, C: 100 rpm
130
Capítulo 3. Avalanchas
3.7 Parámetros relevantes En el experimento se procede primeramente a inicializar el material uidizándolo. Para ello se hace girar el tambor a unas 200 rpm durante el tiempo necesario para que el material alcance su máxima expansión. Una vez que el volumen ocupado por el material ha alcanzado un valor estacionario, se detiene el tambor súbitamente y se deja que el material colapse bajo la acción de la gravedad. Una vez que el colapso se detiene se mide la fracción sólida 0 del material en el tambor. Seguidamente se aumenta lentamente la velocidad de rotación del tambor desde cero a 200 rpm y se mide la fracción de llenado del tambor f y la longitud de la super cie de la región uidizada d (ver gura 3.32) en función de la velocidad de rotación. En la gura 3.33 se muestra f=f0 y d=D como función de la velocidad de rotación del tambor ! , siendo f0 la fracción de llenado del tambor para ! = 0 una vez que el material ha sido inicializado (aproximadamente 1=3). Como se ha comentado, f=f0 y d=D aumentan con la velocidad de rotación pero para un determinado valor de la velocidad angular son función de la cohesividad del toner y del diámetro del tambor D . Si medimos la cohesividad de cada material por el valor de su resistencia a la tracción t a la porosidad que presenta el material tras inicializarlo, cuanto menor sea la resistencia a la tracción del material, menor será la velocidad intersticial del gas necesaria para uidizarlo. Por tanto, disminuir la resistencia a la tracción ha de facilitar la uidización. Esto se comprueba comparando las series a-d, b-e, con c-f-g en la gura 3.33. Entre estas series la única diferencia es la resistencia a la tracción del material. En ellas se aprecia que cuanto menos cohesivo es el material más rápidamente se produce la transición entre el régimen sólido-plástico y el régimen de uidización. Por otro lado, si aumentamos el radio del tambor aumentamos la velocidad relativa del material respecto al aire en el interior del tambor y favorecemos también la uidización del material. Esto puede comprobarse comparando las series a-b, d-e, h-i, j-k, and lm. En cada pareja de series el material el es mismo, pero el radio del tambor utilizado es diferente. Se puede ver que la uidización se produce más rápido para un mismo material cuando se usa el tambor de 9 cm de diámetro que cuando se usa el tambor de 5 cm de diámetro. Las tres variables que intervienen en el problema de la uidización en el tambor rotante son: la resistencia a la tracción t , el radio del tambor R = D=2 y la velocidad de rotación ! . Con ellas pueden construirse dos parámetros adimensionales: uno es el número de Froude, que es igual a la razón entre la aceleración centrífuga y la aceleración gravitatoria F r = ! 2 R=g y el otro es la razón entre la resistencia a la tracción y la presión típica a la que está sometido el material en el tambor Co = t =gR. Por
3.7. Parámetros relevantes
131
2 f/f0
a 1.8
b c
1.6
d e
1.4
f g
1.2
h i
1 0
50
100
150 ω (rpm)
200
1 d/D
a 0.8
b c
0.6
d e
0.4
f g
0.2
h i
0 0
50
100 150 ω (rpm)
200
Figura 3.33: Arriba: Cociente entre el áreas de la sección del tambor ocupada por el toner para una cierta velocidad angular ! y el área ocupada con el tambor en reposo. Abajo: Cociente entre la longitud de la región uidizada y el diámetro del tambor frente a la velocidad angular !. tanto,
f=f0 y d=D serán funciones de F r y Co: d f = G F r ; Co ; = H F rÆ ; Co f0 D
(3.38)
132
Capítulo 3. Avalanchas
En el límite ! ! 0 se tiene que dependencia más simple posible:
f
!f
0
y
d
! 0 lo que arroja como
d f = 1 + AF r Co ; = BF rÆ Co (3.39) f0 D donde A > 0 y B > 0 son dos constantes de proporcionalidad. Todos los valores de f=f0 de una misma serie de datos i comparten el valor de Co así que del ajuste por mínimos cuadrados de: ! f
ln
f0
1 = ln ACo i + i ln F r
(3.40)
es posible encontrar i y (ACo )i para esa serie. Tomando como valor para el valor medio < i > y para el valor que mejor ajusta (ACo )i para los valores de Coi de todas las series se tiene: = 0:97 0:27 y = 1:07 0:28. Si aproximamos = 1 y = 1 tenemos f=f0 = 1 + AF r=Co = 1 + A, donde es un nuevo parámetro adimensional de valor = ! 2 R2 =t . En Como d=D es una medida de la extensión lineal de la región uidizada, mientras que f=f0 es una medida del p área de la sección de la región uidizada se puede esperar que d=D / . En lap gura 3.34 pede verse como f=f0 y d=D dependen linealmente de y , respectivamente. Se puede admitir que prácticamente todo el toner en el tambor está uidizado pcuando d=D 1. En la gura 3.34 se observa que esto ocurre cuando 1:5, es decir 2:25. Para los toners menos cohesivos el valores de f=f0 sigue aumentando para valores de más allá de 2.25, pues una vez que todo el toner en el tambor ha sido uidizado, si se aumenta la velocidad de rotación el gas se mezclará con más e cacia con el toner y este se expandirá para alojar un mayor volumen de gas. Como la expansión del toner puede ser medida por la variación relativa de la fracción sólida ( 0 )= 0 = f0 =f 1 resulta que el grado de uidización del toner en el tambor rotante está gobernado por el valor del parámetro .
3.8 Resumen En este capítulo se han estudiado las avalanchas provocadas por la fuerza centrífuga en una capa vertical de material granular cohesivo que gira alrededor de su eje vertical. Por este procedimiento puede encontrarse la cohesión y el ángulo de fricción interna del material. Una vez conocidos los valores de estas magnitudes se han estudiado las avalanchas sucesivas de estos materiales en el tambor rotante a baja velocidad de rotación. La distribución de tamaños de avalancha no muestra un decaimiento exponencial y su anchura está relacionada con la cohesión del material. las
3.8. Resumen
133
Serie Material % aditivo D (cm) e0 t0 (Pa) a RT 0.4 9 0.601 24.7 b RT 5117 0.4 5 0.597 27.9 c RT 5117 0.4 4.2 0.618 16.0 d RT 5115 0.2 4.2 0.654 26.1 e RT 5115 0.1 4.2 0.669 48.3 f RT 5463 0.02 9 0.692 57.7 g RT 5463 0.02 5 0.683 70.01 h CLC 700 9 0.671 21.4 i CLC 700 5 0.677 19.4 Tabla 3.5: Toners y tambores utilizados en el experimento, junto con el esfuerzo tensil correspondiente a la porosidad e0 del toner para ! = 0 rpm. La cantidad de aditivo se da por el tanto por ciento en el peso del toner. distribuciones del máximo ángulo de estabilidad y del intervalo temporal entre avalanchas muestran picos bien de nidos. La posición de estos picos está correlacionada con la cohesión del material. Se dedujo del experimento que las avalanchas sucesivas de un material cohesivo en el tambor rotante no son un ejemplo de sistema con criticalidad autoorganizada. Se ha sometido a prueba la aproximación de ujo plástico incipiente en todos los puntos del interior de un material granular y se ha encontrado que esta aproximación no es válida cuando la cohesión es importante. Se ha presentado un método para calcular la máxima pendiente estable ' de la super cie libre de un material cohesivo usando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos en un sistema de n bloques. Los valores obtenidos mediante este método están razonablemente de acuerdo con los valores experimentales en un tambor rotante. Se ha comprobado que la distribución del máximo ángulo de estabilidad ' puede ser descrita a partir de las inhomogeneidades en la distribución de los valores de la cohesión dentro del material. Por último, se ha encontrado que la uidización de un material granular no en el tambor rotante está gobernada por la razón entre la energía cinética por unidad de volumen del material y la resistencia a la tracción del material.
134
Capítulo 3. Avalanchas
2 f/f0
a 1.8
b c
1.6
d e
1.4
f
1.2
g h i
1 0
1
2
Θ
3
4
5
1 d/D
a 0.8
b c
0.6
d e
0.4
f g
0.2
h i
0 0
0.5
1
Θ
1/ 2
1.5
2
Figura 3.34: Arriba: Cociente entre el áreas de la sección del tambor ocupada por el toner para una cierta velocidad angular y el área ocupada con el tambor en reposo frente al parámetro . Abajo: Cociente p entre la longitud de la región uidizada y el diámetro del tambor frente a .
Capítulo 4 Fluidización 4.1 Ecuaciones para el asiento uidizado Un asiento uidizado es un sistema bifásico que consiste en una suspensión de partículas sólidas a través de las cuales se hace pasar un uido (líquido o gas). Las fuerzas ejercidas por el uido sobre las partículas soportan al menos una parte importante del peso de estas. A las partículas se las suele denominar fase discreta, mientras que el uido recibe el nombre genérico de fase continua. Una descripción completa de un asiento uidizado requeriría resolver las ecuaciones de movimiento para todas y cada una de las partículas, junto con la ecuación de Navier-Stokes para el uido en el espacio libre entre partículas. Como este nivel de descripción no es práctico, en la mayoría de las situaciones se recurre a describir un asiento uidizado como un sistema formado por dos uidos que se interpenetran entre sí. De cada elemento de volumen del asiento uidizado una fracción e (la porosidad) está ocupada por la fase continua y una fracción = 1 e está ocupada por la fase discreta. De niendo promedios sobre ambas fases pueden derivarse ecuaciones de medio continuo para cada una de ellas (Gidaspow, 1994; Jackson, 2000). Así, se obtienen sendas ecuaciones de continuidad para la fase continua:
@ @ (ef ) + ef vif = 0 @t @xi
(4.1)
@ @ (p ) + (p vis ) = 0 @t @xi
(4.2)
y para la fase discreta:
Los asientos uidizados que hemos estudiado usan nitrógeno como fase continua. Las velocidades típicas del gas son del orden del cm/s así que, como la velocidad típica del gas es mucho más pequeña que la velocidad
136
Capítulo 4. Fluidización
del sonido en el gas, suponemos en todo momento que el ujo de gas es incompresible. Se propone también una ecuación de conservación de la cantidad de movimiento para la fase continua:
f e
@vjf @v f @T f + f evif j = ij + efjf + Fjfs @t @xi @xi
(4.3)
y para la fase discreta:
@v s @ @T s @vjs + p vis j = ij + ij + fjs + Fjsf @t @xi @xi @xi el tensor de tensiones dentro del uido y f~f es
p
(4.4)
donde Tijf es la fuerza por unidad de volumen (de la fase continua) sobre la fase continua. En el caso de la gravedad f~f = f ~g . La fuerza de la fase sólida sobre la fase continua por unidad de volumen de la mezcla es F~ fs . La fuerza por unidad de volumen (de la fase discreta) sobre la fase discreta es f~s . En el caso de la gravedad, f~s = p~g . F~ sf es la fuerza por unidad de volumen de la fase continua sobre la fase discreta. Ha de cumplirse (Gidaspow, 1994): F~ sf = F~ fs (4.5) El tensor de tensiones de la fase discreta se ha escrito en forma de dos contribuciones separadas: ij es la contribución al tensor de tensiones debido a contactos permanentes entre partículas y Tijs es la contribución al tensor de tensiones debido a colisiones e interacciones hidrodinámicas entre partículas. Dependiendo de la porosidad del asiento una u otra de las dos contribuciones será dominante. Como se demostrará en este capítulo existe un valor de la porosidad ec tal que para e > ec no existen contactos permanentes dentro del material y será nulo, mientras que para e < ec es de esperar que la mayor parte de las tensiones soportadas por las partículas sean transmitidas a través de contactos permanentes y se pueda despreciar T s frente a (Castellanos et al., 2001b; Valverde et al., 2001b,c). Como para e < ec existen contactos permanentes, si las partículas son adhesivas el asiento debe ser capaz de resistir esfuerzos de tracción. Como vimos en el capítulo 2 la resistencia a la tracción es una función decreciente de la porosidad del asiento, así que el valor de ec puede ser identi cado como el valor de la porosidad para el cual la resistencia a la tracción del asiento del material se hace cero. En la práctica es muy difícil medir valores muy pequeños de la resistencia a la tracción. Como en los toners xerográ cos la resistencia a la tracción disminuye linealmente con la porosidad para valores pequeños de la resistencia a la tracción (ver gura 4.11) tomamos como valor de ec el valor de la porosidad para el cual la extrapolación lineal de los valores de la resistencia a la tracción se hace cero.
4.1. Ecuaciones para el asiento uidizado
137
Tal como están escritas las expresiones 4.3 y 4.4, F~ sf incluye la fuerza de otación que el uido ejerce sobre las partículas. Normalmente se suele ~ sf la fuerza de otación f~b como un término aparte y el resto extraer de F de las fuerzas de interacción entre ambas fases se engloban en un término S~ sf . No existe una forma unívoca de de nir la fuerza de otación en un ~ sf asiento uidizado (Jackson, 2000). Esto hace que las de nición de S dependa de la forma dada a f~b . De ahora en adelante de nimos la fuerza de otación como:
Fjsf = fbj + Sjsf =
@ f Tij + Sjsf @xi
(4.6)
El primer término se reduce a la fuerza de otación arquimediana por unidad de volumen en el caso de un cuerpo aislado inmerso en un uido ~ sf engloba la fuerza de arrastre y en reposo respecto a él. El término S del uido sobre las partículas, que es función de la porosidad y de la diferencia de velocidades entre la fase continua y la fase discreta, y la fuerza de interacción debida a efectos de masa virtual (Didwania, 2001). Este último término da cuenta de que cuando las partículas experimentan un movimiento acelerado con respecto al uido, este ejerce una fuerza sobre las partículas que es proporcional a la aceleración relativa entre ambos con un coe ciente llamado masa virtual. Los distintos modelos ~ sf , Tijs y para un asiento uidizado se diferencian en la elección de S f Tij (Zenit et al., 1997; Duru et al., 2002; Jackson, 2000). Normalmente se suelen escoger para Tijs y Tijf tensores con la forma de un tensor de tensiones de un uido newtoniano, es decir: s! s @v @v j i + (4.7) Tijs = ps Æij + s
@xj
para la fase discreta y:
Tijf =
0 @v f pf Æij + f @ i
@xi
1
@vjf A + @xj @xi
(4.8)
para la fase continua. Aunque el uido que constituye la fase continua sea newtoniano, la expresión 4.8 es una expresión empírica aproximada y f no tiene por qué coincidir con la viscosidad real del uido. Esto se debe a que ~v f es un promedio sobre el campo de velocidades real del uido ~u, que es mucho más complicado que ~v f ya que ~u ha de describir el ujo del uido por los espacios entre partículas, y cumplir la condición de no deslizamiento en la super cie de todas las partículas. De la misma forma, Tijf es un promedio del verdadero tensor de tensiones del uido: ! @ui @uj f + (4.9) ij = pÆij +
@xj
@xi
138
Capítulo 4. Fluidización
A lo largo de este capítulo supondremos, para simpli car, que s y f son nulos. Con estas de niciones y tomando el eje Oz en sentido vertical ascendente las ecuaciones de equilibrio de momento quedan:
f e
@vjf @v f @pf + f evif j = e Æij @t @xi @xi
ef gÆzj + Sjfs
(4.10)
para la fase continua, y:
p
@vjs @v s @ @T s + p vis j = ij + ij @t @xi @xi @xi
@pf Æ @xi ij
p gÆzj + Sjsf (4.11)
Para la fase discreta. El término que queda para la fuerza de interacción S~ sf sólo puede ser función de la porosidad e y de la diferencia de velocidades entre ambas fases ~v f ~v s (Gidaspow, 1994; Jackson, 2000). Para ser riguroso es necesario incluir en 4.11 un término que tenga en cuenta que cuando existen contactos permanentes entre partículas el rozamiento entre las paredes del recipiente que contiene el asiento uidizado y la fase discreta contribuye a soportar parte de las tensiones a las que está sometida la fase discreta (Jackson, 2000). Este término es tanto más importante cuanto mayor es la razón de aspecto altura / anchura del asiento uidizado o cuanto mayor es la razón entre el diámetro de las partículas y el diámetro del asiento. En experimentos usando partículas con un tamaño típico de 50 m y asientos de 5 cm de diámetro típico se encuentra que la fricción con la pared tiene un efecto apreciable cuando la relación de aspecto del asiento uidizado es de 6 a 10 en adelante (Srivastava y Sundaresan, 2002; Tsinontides y Jackson, 1993), pero no se aprecia efecto de la fricción con la pared cuando la razón de aspecto es menor o del orden de 5 (Ojha et al., 2000). La máxima razón de aspecto que se ha usado en los experimentos que se detallan en adelante es del orden de 4 (2.52 cm de diámetro del asiento frente a aproximadamente 10 cm de altura del material uidizado dentro del asiento); por lo tanto no incluiremos ningún término en 4.11 para tener en cuenta la fricción con las paredes ya que su efecto debe ser despreciable. Consideremos un asiento uidizado homogéneo en estado estacionario. Entendemos como uidización homogénea aquella en la que las partículas individuales forman una suspensión mesoscópicamente uniforme en el gas. Como ni las partículas ni el gas experimentan aceleraciones no ~ fs sólo puede ser función de la porosihay términos de masa virtual y S dad local y de la diferencia de velocidades entre la fase continua y la fase discreta (Jackson, 2000). Tomando el eje Oz en la dirección vertical, la velocidad del gas es ~v f = v0~ez , luego la ecuación de momento para el gas queda:
e
dpf = S fs [e(z ); ~v f dz
~v s ]
(4.12)
4.1. Ecuaciones para el asiento uidizado
139
Y de ahora en adelante denotaremos como p a la presión de la fase continua. Admitimos que las partículas en el asiento no se desplazan ~v s = 0 , (no hay ujo de partículas ni convección) luego para la caída de presión del gas a través del asiento:
p =
ZH 0
1 fs S [e(z ); ~v f (z )] dz e
(4.13)
siendo H la altura del asiento. Por tanto midiendo la caída de presión a través del asiento podemos tener información sobre S sf . Además, S sf ha de cumplir una condición adicional: en un asiento uidizado uniformemente con un gas la caída de presión p ha de ser constante e igual al peso de las partículas por unidad de área del ltro (Tsinontides y Jackson, 1993). Imponiendo esa condición en la expresión 4.13, se tiene que en un asiento uidizado la porosidad e y ~v f = v0~ez han de estar relacionados. Una de las expresiones más utilizadas para esta relación es la ecuación de Ergun que para partículas esféricas tiene la forma:
(1 e)2 U0 dp = C dz e3 d2p
1:75
(1 e)f U02 e3 dp
(4.14)
donde U0 = ev0 recibe el nombre de velocidad super cial y C es una constante que para partículas esféricas no cohesivas vale 150. Si las partículas no son esféricas, hay que multiplicar el diámetro medio por la esfericidad de la partícula y sustituir el resultado en dp . El valor de C depende de la tortuosidad de las líneas de corriente del gas dentro del asiento así que si el asiento no es monodisperso o si las partículas son cohesivas, de forma que la porosidad del asiento puede tomar valores alejados de la porosidad del empaquetamiento aleatorio de partículas no cohesivas, el valor de C es diferente de 150 y ha de ser determinado empíricamente (Valverde, 1997). Cuando el número de Reynolds es pequeño el segundo término se puede despreciar. Sustituyendo 4.14 en 4.12 tenemos para el término S fs :
S fs
(1 e)2 U0 = C d2p e2
f (1 e)U02 1:75 dpe2
(4.15)
La ecuación de Ergun sólo es válida para valores de la porosidad relativamente bajos, cercanos a la porosidad del empaquetamiento aleatoria laxo de esfera no cohesivas (Rietema, 1991), así que se usa sólo para asientos estáticos o para uidización de partículas del tipo Geldart-B. Esto se debe a que si sustituimos la expresión 4.14 en 4.13 para un asiento uidizado que contiene una masa m de la fase discreta y cuyo ltro tiene un área A se tiene:
U0 =
dp p e3 g C (1 e)
(4.16)
140
Capítulo 4. Fluidización
donde se ha usado p = mg=A y H = m=(p A(1 e)). La relación entre U0 y e dada por la expresión 4.16 no coincide con los resultados experimentales para porosidades a partir de e 0:8. En una suspensión inicialmente homogénea la fase discreta sedimenta inicialmente con una velocidad vs dada por la ley de Richardson-Zaki (Richardson y Zaki, 1954): vs = (1 )n (4.17) El valor de 1987):
n
vt
es función del número de Reynolds en la forma (Rowe,
2af vt 4:7 n = 0:175Re3t =4 ; 0:3 < Ret < 103 ; Ret = n 2:35 f
(4.18)
vt
es la velocidad terminal de una partícula aislada inmersa en el uido que forma la fase continua. Cuando el número de Reynolds es pequeño vt está dada por la ley de Stokes:
vt =
2 (p f )a2 g 9 f
(4.19)
durante la sedimentación las velocidades de la fase continua y de la fase discreta serán, respectivamente ~v f = v f ~ez y ~v s = v s~ez . Si tenemos en cuenta que el ujo neto de la suspensión a través de un plano a z constante ha de ser nulo si la suspensión es incompresible (Mills y Snabre, 1994):
ev f
v s = 0
(4.20)
Si hacemos un cambio de sistema de referencia desde el sistema de referencia laboratorio O a un sistema de referencia inercial O 0 que acompañe a las partículas mientras sedimentan, las velocidades de ambas fases en el f s nuevo sistema de referencia son v~0 = (v f + v s )~ez , v~0 = 0, v f = v 0f v s , y sustituyendo en 4.20: ev 0f = v s = vs (4.21) desde el punto de vista de las partículas que sedimentan, la situación es equivalente a la de un asiento uidizado estacionario en el que el uido tuviera una velocidad v 0f , por lo que podemos hacer la identi cación U0 = ev 0f , de forma que la ley de Richardson-Zaki describe también la relación entre la velocidad super cial U0 y la porosidad e de un asiento uidizado estacionario homogéneo:
U0 = (1 )n vt
(4.22)
La expresión 4.22 no es válida para todos los valores posibles de la velocidad super cial U0 , ya que U0 sólo puede variar entre dos valores Umf
4.1. Ecuaciones para el asiento uidizado
141
y Umb . Umf es la velocidad mínima de uidización y es la velocidad a la cual la caída de presión a través del asiento del material equilibra el peso de las partículas por unidad de área de la sección del asiento más la resistencia a la tracción t del asiento. Al ser esta función de la fracción sólida 0 del asiento en reposo, como hemos visto en el capítulo 2, la velocidad mínima de uidización es función de la porosidad inicial del asiento. Mientras la velocidad super cial del gas es menor que Umf la fracción sólida del asiento no cambia. Una vez que la velocidad super cial U0 supera la velocidad mínima de uidización, la fracción sólida del asiento varía en función del ujo de gas según la expresión 4.22, hasta que U0 alcanza el valor Umb , llamada velocidad mínima de burbujeo. Cuando se alcanza Umb el asiento se hace macroscópicamente inestable y aparecen dentro del asiento burbujas de gas apreciables a simple vista cuando rompen en la super cie. En esta situación, al volumen del asiento excluido del volumen ocupado por las burbujas se le llama fase densa. La máxima expansión del asiento (el mínimo de la fracción sólida) se alcanza cuando U0 = Umb . Si la velocidad super cial se hace mayor que la velocidad mínima de burbujeo, la mayor parte del uido atraviesa el asiento a través de las burbujas y la fracción sólida del asiento aumenta. Cualquier expresión para la fuerza de interacción S fs para un asiento expandido ha de ser compatible con 4.22. Si suponemos que el número de Reynolds es pequeño, podemos factorizar S sf en la forma S sf = (~v f ~v s ) con lo que las expresiones 4.10 y 4.11, para la sedimentación quedan:
dp (v f + v s) f eg 0= e dz dp 0 = + (v f + v s ) p g dz
(4.23)
despejando el gradiente de presión y usando la expresión 4.20 recordando que v s = vs = U0 queda:
=
(p
f )g (1 e)e2 ~ sf ; S = ~v f U0
~v s
(4.24)
No existe demostración teórica general para las expresiónes 4.17 y 4.18. En el límite de suspensiones muy diluidas de esferas monodispersas no Brownianas puede demostrarse a partir del balance de energía entre la disipación viscosa y la liberación de energía potencial gravitatoria que la velocidad de sedimentación depende de la fracción sólida como vs = 1 5:6 cuando el número de Reynolds cumple Ret < 0:1 (Batchelor, 1972), resultado que ha sido con rmado experimentalmente (Buscall et al., 1982). Para Ret = 0:3 la expresión 4.18 arroja el valor n = 4:54. Cuando el número de Reynolds Ret es menor que 0.3 es de esperar que
142
Capítulo 4. Fluidización
el valor de n aumente desde n = 4:54 hasta n = 5:6 debido a la existencia de interacciones hidrodinámicas de largo alcance entre partículas (Snabre y Mills, 2000). Si como caso extremo en un asiento uidizado de toner consideramos una partícula de radio a = 15 m y densidad 1000 Kg/cm3 (las partículas de toner tienen un diámetro menor de 30 m) la velocidad terminal dada por 4.19 es vt = 2:6 cm/s (f = 1:18 g/cm3 y = 1:89 10 4 P para el nitrógeno), lo que arroja un valor máximo de Ret = 0:05 para asientos uidizados de toner suponiendo que las partículas sedimentan individualmente. Esto sugiere que debemos usar la expresión 4.17 con n = 5:6 para describir la velocidad de sedimentación de un asiento uidizado de nuestros toners (Valverde et al., 2001c; Castellanos et al., 2001b). Para rangos mayores de la fracción sólida, cuando la suspensión ya no puede considerarse diluida, Mills y Snabre (1994) han demostrado a partir del balance de energía durante la sedimentación que la velocidad de sedimentación depende de la fracción sólida como (Mills y Snabre, 1994):
vs 1 = vt 1 + k=(1 )3
(4.25)
donde el parámetro k se escoge igual a 4.6 para que 4.25 coincida con el límite teórico para suspensiones muy diluidas. Para < 0:6 las expresiones 4.17 y 4.25 prácticamente coinciden (Esta es la justi cación para que usemos la ecuación de Richardson-Zaki). Esta descripción simpli cada sólo es válida aplicada a la uidización para los materiales no cohesivos próximos a la transición Geldart-B a Geldart-A. En los materiales Geldart-A la relación entre la fracción sólida del asiento uidizado no es la misma cuando se aumenta la velocidad super cial del gas desde Umf hasta Umb que cuando se disminuye la velocidad super cial desde la velocidad mínima de burbujeo hasta la velocidad mínima de uidización (Tsinontides y Jackson, 1993; Ojha et al., 2000). Cuando se aumenta la velocidad super cial desde Umf hasta Umb la porosidad del toner es menor que cuando se disminuye desde Umb hasta Umf para el mismo valor de la velocidad super cial del gas, es decir, los ciclos de expansión de los materiales Geldart-A presentan histéresis. La presencia de histéresis es para algunos autores un indicio de la existencia de que en un asiento uidizado, parte de las tensiones son transmitidas por contactos entre partículas (Tsinontides y Jackson, 1993; Rietema, 1991). Los asientos uidizados de toner también presentan histéresis en sus ciclos de expansión, como se muestra en la gura 4.1. Para evitar ambigüedades, cuando apliquemos la ley de Richardson-Zaki a un asiento uidizado de toner, nos referiremos siempre a la rama superior del ciclo de expansión. Al aplicar la expresión 4.17 hay que tener en cuenta que la profundi-
4.1. Ecuaciones para el asiento uidizado
143
0.85
porosidad
0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0
0.2
0.4 U (cm/s)0.6 0
0.8
Figura 4.1: Porosidad del toner rt-5116 frente a la velocidad super cial del gas U0 en un ciclo de uidización-de uidización. El peso por unidad de área del tóner en el asiento uidizado es de 158 Pa. Las echas indican el sentido en el que se recorre el ciclo. dad del asiento no es in nita: consideremos un asiento uidizado homogéneamente de manera que la porosidad e0 no depende de la coordenada z cuya super cie libre está a una altura H sobre el ltro a través del cual el gas entra en el asiento. Cuando se corta el ujo de gas las partículas que sedimentan forman una capa de sedimento sobre el ltro, así que durante la sedimentación el asiento se divide en tres regiones: junto al ltro, una capa de sedimento no uidizado donde las partículas tienen contactos permanentes. Bajo la super cie libre hay una capa de partículas donde la porosidad es igual a la porosidad inicial y las partículas sedimentan con velocidad vs dada por 4.17 con e = e0 . Entre ambas existe otra capa donde el asiento está uidizado pero la porosidad disminuye desde el valor e0 hasta el valor correspondiente al sedimento. A través de esta capa se propagan frentes de porosidad que se describen partiendo de la ecuación de continuidad para la fase discreta y suponiendo que las partículas se mueven con velocidad ~v s = vs~ez : ! @e @vs @e + vs =0 (4.26)
@t
@e
@z
lo que indica que durante la sedimentación los cambios en la porosidad del asiento se propagan con velocidad:
Ue =
@vs @e
vs
(4.27)
144
Capítulo 4. Fluidización
Ue es la velocidad de propagación en el sistema de referencia del labora-
torio de un frente de porosidad en un asiento uidizado. Si suponemos que en el instante t = 0 el asiento está uidizado uniformemente con porosidad e0 , en el instante t = 0+ parten de la base del asiento frentes de porosidad con porosidades e0 < e1 < e2 ::: < ec . Cuando el frente de porosidad con porosidad ei alcanza la super cie libre del asiento la porosidad local en la super cie toma el valor ei . La altura h del asiento disminuye de forma lineal con el tiempo hasta que el frente con porosidad e0 alcanza la super cie libre del asiento. A partir de entonces la velocidad con que disminuye la altura del asiento depende de la llegada de los sucesivos frentes de porosidad como se muestra en la gura 4.2 y la pendiente de la curva h(t) disminuye progresivamente con el tiempo. Cuando la porosidad del asiento alcanza un valor ec = 1 c parte de las tensiones en el interior del asiento son soportadas por contactos permanentes entre partículas, y la expresión 4.26 ya no es válida. Si admitimos que en esta situación el primer miembro de las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento es despreciable, se tiene:
0 = 0 =
dp ef g (v f + v s ) dz dp d + c p g + (v f + v s ) dz dz
e
(4.28)
donde c es el esfuerzo de consolidación al que está sometido el asiento localmente. Despejando el gradiente de presión, usando 4.20 y que c es función de la porosidad como se vio en el capítulo 2 se llega a que:
vs =
e2 ( p
f )g
e2 dc de de dz
(4.29)
y sustituyendo en la ecuación de continuidad para la fase discreta se tiene: ! ! @ e2 dc de @ @ 2 e2 + (p f )g = (4.30)
@t
@z
@z
de dz
Esta expresión gobierna el colapso del asiento en el volumen por debajo del frente de porosidad con porosidad ec . Una vez que este frente alcanza la super cie libre del asiento la expresión 4.30 gobierna el colapso del asiento en todo el volumen del asiento. A partir de entonces para encontrar la altura de la super cie libre del asiento es necesario resolver la ecuación 4.30 dentro del asiento.
4.2 Colapso de un asiento uidizado de toner Formalmente, el colapso de un asiento uidizado es análoga a la sedimentación de partículas suspendidas en un líquido. En este caso si las
4.2. Colapso de un asiento uidizado de toner
145
h
e0 e1
e2
ec
t Figura 4.2: Esquema de la curva de sedimentación teórica para un asiento homogéneo mostrando cómo los cambios en la porosidad se propagan siguiendo líneas características que parten de la base del asiento. partículas son coloidales pueden unirse y formar agregados, lo que afecta notablemente a la velocidad de sedimentación (Allain et al., 1995; Senis et al., 2001). Se sabe que las partículas de los materiales del tipo GeldartC tienen tendencia a formar aglomerados cuando se los trata de uidizar (Zhou y Li, 1999). De hecho, el tamaño de los aglomerados puede ser tan grande como para cambiar el comportamiento del material de GeldartC a Geldart-A (Yao et al., 2002). Además, resultados experimentales indican que la velocidad de sedimentación de materiales Geldart-A (partículas de FCC de 50 m) se ve afectada por la intensidad de las fuerzas entre partículas (Lettieri et al., 2000) y modelos de simulación numérica para asientos uidizados de partículas adhesivas del mismo tamaño pero distinta rugosidad super cial predicen la formación de agregados cuyo tamaño depende de la rugosidad de la super cies de las partículas (Kuwagi et al., 2000). Los toners que utilizamos se comportan en el estado uidizado como materiales Geldart-A, a pesar de que por su densidad y tamaño de partícula deberían ser materiales Geldart-C. Como además la fuerza de adhesión entre partículas de toner es mucho mayor que su peso es razonable suponer que en un asiento uidizado de toner las partículas forman aglomerados. Por otro lado, se sabe que el cociente entre la magnitud de la fuerza atractiva entre pares de partículas y el peso de una partícula gobierna la transición Geldart-B a Geldart-A (Seville et al., 2000). Este cociente recibe el nombre de número de Bond granular Bog , y aparece como parámetro relevante en situaciones en las que se estudia el comportamiento de materiales cohesivos, como por ejemplo, en la tasa
146
Capítulo 4. Fluidización
de descarga de un silo o en el comportamiento en el tambor rotante (Nase et al., 2001). Según este razonamiento las expresiones 4.17 y 4.25 no describen la velocidad de sedimentación de nuestros asientos uidizados, ya que no tienen en cuenta que en nuestro caso el asiento está formado por agregados de partículas y no por partículas aisladas (Castellanos et al., 2001b; Valverde et al., 2001c). Si consideramos que un agregado de partículas es la menor entidad independiente en el asiento uidizado la ley de Richardson-Zaki debería reescribirse como:
vs = (1 ef )n va
(4.31)
donde va es la velocidad de sedimentación de un agregado aislado y ef es la fracción de volumen ocupada por los agregados. Si N es el número de partículas en un agregado el peso Fg y la fuerza de Stokes Fs sobre un agregado aislado serán:
4 Fg = Na3 p g ; Fs = 6Rv 3
(4.32)
siendo R el radio hidrodinámico del agregado. No se ha tenido en cuenta el efecto de la fuerza de otación en Fg pues la densidad del gas es mucho menor que p . La velocidad terminal del agregado es:
va = vp0 N= ; = R=a
(4.33)
donde vp0 es la velocidad terminal de una partícula aislada. Por otro lado, si se admite que el radio hidrodinámico R del agregado y su radio geométrico son similares, la fracción de volumen ocupada por los agregados vale:
ef =
4N0 3 R 3N
(4.34)
donde N0 es el número de partículas por unidad de volumen, que está relacionada con la fracción sólida del asiento por = 4N0 a3 =3. La ecuación de Richardson-Zaki modi cada para un asiento uidizado formado por agregados queda: ! vs N 3 n = 1 (4.35)
vp0
N
Para n se sigue haciendo n = 5:6, siempre que el número de Reynolds Ret para el radio y la velocidad terminal de agregado cumplan Ret < 0:1. La expresión 4.25 también puede ser modi cada para tener en cuenta agregados en lugar de partículas individuales. La tasa de variación
4.3. Montaje experimental
147
de la energía potencial por unidad de volumen del asiento durante la sedimentación vale (Mills y Snabre, 1994):
@Wg = (1 )p gvs @t que p g . Por otro
(4.36)
donde se ha supuesto lado, suponemos que la energía disipada por unidad de tiempo y unidad de volumen puede ser aproximada por (Mills y Snabre, 1994): ! K ef @Wvis 9 ef vs2 = 1+ (4.37) 2 3
@t
2 R
(1 ef )
es decir, hemos supuesto que la energía se pierde por disipación viscosa igual que si los agregados fueran partículas individuales. Igualando la energía disipada con la producción de energía se llega a que:
vs 1 = va 1 + kef =(1 ef )3 en el límite ! 0, esta expresión puede aproximarse por:
vs =1 va
k+
N 3 ef
(4.38)
(4.39)
y suponiendo que el número de Reynolds para los agregados cumple Ret < 0:1 para que la expresión 4.39 coincida con el resultado de Batchelor (1972) el parámetro k no puede ser constante, sino que ha de depender de las propiedades del agregado a través de N y . Por este motivo resulta más conveniente usar 4.35 para describir la velocidad de sedimentación de una asiento uidizado de partículas agregadas
4.3 Montaje experimental El montaje experimental es el mismo de la gura 2.3. La muestra de material se dispone dentro de un cilindro de policarbonato de 4.42 cm de diámetro interior y 17 cm de altura dispuesto verticalmente y cerrado en su base por un ltro de partículas de metal soldadas con un diámetro de poro de 5 m. El toner se uidiza mediante un ujo de nitrógeno industrial, para minimizar cualquier efecto de la humedad ambiente. El ujo de gas se controla mediante un controlador de ujo y un par de válvulas electromecánicas. Las válvulas se usan para permitir el ujo de gas a través del cilindro o bien para cortar el ujo de gas desviándolo directamente a la atmósfera. En la parte superior del cilindro un sensor de ultrasonidos mide la altura del asiento con una frecuencia ajustable
148
Capítulo 4. Fluidización
de 10 a 40 Hz, según el toner sedimente con menor o mayor velocidad. Por las razones comentadas en el apartado 4.1, para medir la velocidad de sedimentación de un tóner en función de la fracción sólida en estado uidizado primeramente se hace pasar a través del asiento uidizado un ujo de gas lo su cientemente grande como para que el asiento burbujee y pierda la memoria de su estado inicial. Una vez que el asiento ha estado burbujeando durante un tiempo pre jado se reduce el ujo de gas hasta un valor en el que no se aprecien burbujas visibles de gas. La medida de la altura del asiento una vez que ha alcanzado el equilibrio para ese ujo de gas da la fracción sólida . Seguidamente se corta el ujo de gas a través del cilindro y se mide la altura del asiento en función del tiempo durante la sedimentación. Como valor de la velocidad de sedimentación se toma la pendiente de la curva de altura frente al tiempo en la parte inicial de la curva de sedimentación (típicamente para t 1 s), dentro de la región de la curva de sedimentación en la que la altura h decrece linealmente con el tiempo (ver gura 4.3).
4.4 Materiales Como materiales se ha usado un conjunto de toners cuya partícula base está formada por el copolímero estireno n-butilmetacrilato, con una densidad p de 1135 kg/m3 . Las partículas base son producidas por un proceso de atrición y posteriormente separadas por tamaño para formar toners cuyo diámetro medio de partícula es de 19.1, 15.4, 11.8 y 7.8 m. Las partículas de estos toners no son esféricas, como las partículas que se han considerado en el apartado 4.1, sino irregulares debido a que han sido obtenidas mediante atrición y su tamaño es bastante monodisperso (la desviación típica es de 1 m). A las partículas base se les añadió cierta cantidad de partículas submicrométricas de sílice para controlar la cohesión del toner resultante, como se ha visto en el capítulo 2. Por razones que se expondrán más adelante, todos los toners que se usaron tienen un recubrimiento super cial teórico del 32%. La dependencia de la resistencia a la tracción con la porosidad y el esfuerzo de consolidación para estos toners es conocida (Watson et al., 2001; Valverde et al., 2001a). Si se comparan toners con el mismo recubrimiento super cial, para un mismo esfuerzo de consolidación la porosidad de un asiento de estos toners depende fuertemente del tamaño de la partícula. Idéntico comportamiento se obtiene mediante la simulación numérica del empaquetamiento de partículas adhesivas esféricas de distinto diámetro (Yang et al., 2000). Como ya vimos en el capítulo 1, las fuerzas de adhesión entre partículas de toner están dominadas por las propiedades super ciales. Así pues es de esperar que el valor de las fuerzas de adhesión entre
4.5. Resultados experimentales
149
partículas para toners con el mismo recubrimiento super cial sea similar. De hecho, si se estima la fuerza de adhesión entre partículas para estos toners a partir del valor de la resistencia a la tracción, los valores de la fuerza de adhesión en función de la fuerza de carga en el contacto se disponen sobre una misma recta, sin que exista dependencia con el tamaño de la partícula (Watson et al., 2001). Esto signi ca que la diferencia de comportamiento que se observa al variar el tamaño de las partículas se debe únicamente a que cambia el peso de estas y con ello cambia la razón entre la fuerza de adhesión y el peso de la partícula, es decir, el número de Bond granular. Se ha medido también la velocidad de sedimentación del toner comercial Canon CLC700. Se usaron toners coloreados con los colores primarios magenta y amarillo. Aunque ambos toners tienen la misma denominación comercial, no son exactamente iguales. La dependencia del esfuerzo de consolidación y la resistencia a la tracción con la porosidad no es la misma para el CLC700 amarillo y el CLC700 magenta. El tamaño de partícula, determinado mediante imágenes SEM es de 8:53 2:31 m para el toner magenta y de 7:56 2:55 m para el toner amarillo. El número de partículas analizado es de unas 150, mientras que el número de partículas recomendado por este método para determinar completamente la función de distribución de los tamaños de partícula es de unas 500 (Vigneau et al., 2000). Para las partículas de ambos toners se admite una densidad de 1199 kg/m3 (igual a la del toner Canon CLC500 medida en usando un picnómetro AccuPyc 1330 en Xerox Corp.). Para comparar, también se han utilizado esferas de vidrio de 35 12 m de diámetro y 2500 kg/m3 de densidad. Este material es también del tipo Geldart-A. Esferas de vidrio de tamaño más grande son de tipo Geldart-B (Cody et al., 1996) y no se uidizan homogéneamente, por lo que no son válidas para comparar con materiales que sí se uidizan homogéneamente.
4.5 Resultados experimentales 4.5.1 Efecto de las propiedades super ciales En la gura 4.4 se muestra la velocidad de sedimentación de asientos uidizados de toner CLC700 magenta y amarillo frente a la fracción sólida inicial de asiento y a la velocidad super cial del gas cuando el asiento está uidizado homogéneamente. Como puede comprobarse, la velocidad de sedimentación coincide aproximadamente con la velocidad super cial U0 de acuerdo con lo dicho en la sección 4.1 hasta que se alcanza la velocidad mínima de burbujeo Umb , a partir de la cual la velocidad de sedimentación
150
Capítulo 4. Fluidización
1000 σc (Pa)
CLC-700
800
magenta amarillo
600 400 200 0 0.65
0.7
0.75
porosidad
9
0.40
8
0.35
7
0.30
6
0.25
5
0.20
4
0.15
3
0.10 0
5
10
t (s)
15
fracción sólida
h (cm)
σt (Pa) 0.6 -200
20
Figura 4.3: (Arriba) Propiedades mecánicas del toner CLC-700 (Abajo) Curva de sedimentación para el toner CLC700 amarillo (línea gruesa) y variación de la fracción sólida con el tiempo (línea de trazo no). la línea discontinua es la recta de ajuste a partir de la cual se determina la velocidad de sedimentación vs . La línea de puntos se corresponde con la fracción sólida c = 1 ec .
vs es menor que la velocidad super cial del gas. Los puntos correspondientes a velocidades de sedimentación obtenidas cuando la velocidad super cial supera la velocidad mínima de burbujeo no se han representado en las curvas de vs frente a fracción sólida. La ley de Richardson-Zaki en la forma 4.17 no coincide con los datos experimentales, como es de
4.5. Resultados experimentales
151
esperar si las partículas de toner se agrupan en agregados. Se observa también que el toner magenta y el amarillo, aunque son bastante similares en estado estático (ver gura 4.3), tienen distinto comportamiento en estado uidizado gura (4.4). La velocidad mínima de burbujeo para el toner amarillo es mayor que para el toner magenta. Por este motivo, aunque las curvas de vs frente a U0 son prácticamente coincidentes, la curva del toner amarillo se extiende hasta fracciones sólidas más pequeñas que la del toner magenta, indicando que el rango de ausencia de burbujas visibles del asiento uidizado del toner amarillo se extiende hasta valores menores de la fracción sólida. Suponiendo que el toner magenta y el amarillo tengan propiedades super ciales similares, ya que sus valores de la resistencia a la tracción t en función del esfuerzo de consolidación c son bastante parecidos, la diferencia de comportamiento entre ambos puede deberse a que tienen distinto tamaño de partícula. Para el toner magenta dp = 8:53 m, mientras que para el toner amarillo dp = 7:56 m. En la gura se muestra también el ajuste de la expresión 4.35 para el toner CLC700 magenta, con N = 96 y = 5:712 (diámetro del agregado 48.7 m). Para el toner amarillo el ajuste de 4.35 arroja un resultado de N = 140 y = 6:405 (diámetro del agregado 48.4 m). Volveremos al efecto del tamaño de las partículas más adelante. Si se ajusta la expresión 4.38 a los valores de la velocidad de sedimentación del toner CLC700 magenta se obtiene N = 124 y = 6:577. Estos valores son parecidos a los que se encuentran de ajustar con 4.35. Como además las curvas de mejor ajuste para ambas expresiones son casi idénticas a partir de hora usaremos sólo la ley de Richardson-Zaki en su forma para agregados (expresión 4.35). Una vez que se conoce la forma funcional de la velocidad de sedimentación se puede usar en la expresión 4.24 con lo que tenemos también la forma funcional de la fuerza de arrastre entre la fase continua y la fase discreta. A modo de ejemplo se representa en la gura 4.5 la resistencia al ujo de gas por unidad de altura, o lo que es lo mismo, el gradiente vertical de presión partido por la velocidad super cial del gas frente a la porosidad para un asiento de toner CLC700 magenta. Cuando el asiento está estático la resistencia al ujo de gas se ha medido a partir de la recta de mejor ajuste de la caída de presión a través del asiento frente a la velocidad super cial del gas. Cuando el asiento está uidizado no se puede medir así la resistencia al ujo de gas, pues la porosidad del asiento cambia al cambiar el ujo de gas, así que se ha usado el hecho de que cuando el asiento está uidizado la caída de presión iguala el peso de las partículas por unidad de área de la base del asiento. Se observa que para valores pequeños de la porosidad, cuando el asiento está estático la resistencia por unidad de altura está bien descrita por la ley de
152
Capítulo 4. Fluidización 1 magenta
0.8
vs (cm/s)
amarillo
0.6 0.4 0.2 0 0.1
0.15
0.2 fracción sólida
0.25
0.3
1
vs (cm/s)
0.8 0.6 0.4 0.2
magenta amarillo
0 0
0.2
0.4
0.6 U0 (cm/s)
0.8
1
1.2
Figura 4.4: Velocidad de sedimentación vs frente a la fracción sólida y la velocidad super cial del gas para los toners CLC-700 amarillo y magenta. En la gura superior la curva continua representa el ajuste de la expresión 4.35 a los datos experimentales para el toner CLC-700 magenta. La línea discontinua se representa la expresión 4.17. El valor de vs coincide aproximadamente con mientras U0 < Umb . Ergun 4.14 (valor de la constante de Ergun 340), mientras que cuando la porosidad es grande (el asiento está uidizado) la resistencia por unidad de altura está descrita por la expresión 4.24 donde vs se ha sustituido de 4.35. Para valores intermedios de la porosidad ninguna de las dos expre-
4.5. Resultados experimentales
153
2
∆p / (U0 ∆x) (Pa s / mm )
60 50
experimental experimental
40
Ergun 30
R-Z
20 10 0 0.6
0.65
0.7
0.75 0.8 porosidad
0.85
0.9
Figura 4.5: Resistencia por unidad de longitud al ujo de gas para el toner CLC700 magenta. Símbolos blancos: resultados obtenidos en un asiento uidizado. Símbolos negros: resultados obtenidos midiendo p frente a ujo en un asiento estático. Las líneas representan los valores que se obtienen usando 4.15 (línea discontinua), y 4.24 (línea continua) siones describe satisfactoriamente el comportamiento de la resistencia al ujo por unidad de altura: la ley de Richarson-Zaki aproxima los valores de la resistencia al ujo de gas pero sobreestima su derivada con respecto a la porosidad; la ley de Ergun, por el contrario, sobreestima los valores de la resistencia pero ajusta mejor la derivada con la porosidad (el valor de la derivada de la resistencia al ujo de gas es importante cuando se estudia la estabilidad del asiento uidizado). En la gura 4.6 se presenta la velocidad de sedimentación frente a la fracción sólida inicial para dos toners de 11.8 m de tamaño de partícula, pero con distinta proporción de recubrimiento super cial (teórico) de aditivo: 8% y 32% del área super cial. Como hemos visto en la sección 1.7, cuanto menor es el recubrimiento super cial del aditivo mayor es la fuerza de adhesión entre partículas de toner. Si las partículas del toner con 8% de recubrimiento son más adhesivas deberían formar agregados más grandes que las partículas del toner con 32% de recubrimiento y por tanto, para la misma fracción sólida la velocidad de sedimentación del toner con 8% de recubrimiento debería ser bastante mayor que la velocidad de sedimentación del toner con 32% de recubrimiento. Sin embargo, vs es sólo ligeramente mayor para el toner con 8% de recubrimiento que para el toner con 32% de recubrimiento. El mismo resultado se obtiene para otras parejas de toner compartiendo tamaño de partícula pero con
154
Capítulo 4. Fluidización 0.7 8% rec 32% rec
0.6
vs (cm/s)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1
0.15
0.2 0.25 fracción sólida
0.3
0.35
Figura 4.6: Velocidad de sedimentación para toner de la serie RT con diámetro de partícula 11.8 m y 32% ó 8% de recubrimiento super cial de aditivo. diferente recubrimiento de aditivo. Esta aparente contradicción se debe a que en el estado uidizado en la rama superior del ciclo de expansión (en la que el material ha perdido la memoria de su estado inicial) los contactos entre partículas no están sometidos a fuerzas de consolidación, salvo las que puedan originarse debido a las colisiones entre partículas. En 1.7 hemos visto que el mayor efecto de los aditivos condicionadores de ujo es hacer que la fuerza de adhesión entre partículas crezca más lentamente cuando están presentes que cuando están ausentes y el polímero base queda expuesto. A consolidación nula los aditivos también reducen la fuerza de adhesión pero su efecto no es tan marcado como cuando el contacto está consolidado. Según este razonamiento, es de esperar que el recubrimiento de aditivo controlador de ujo tenga un efecto mucho menor en un asiento uidizado que en un asiento estático, de manera que la velocidad de sedimentación inicial del asiento no depende signi cativamente de las propiedades super ciales para un tamaño de partícula dado.
4.5.2 Efecto del tamaño de partícula En la gura 4.7 se muestra la velocidad de sedimentación inicial del asiento uidizado frente a la fracción sólida del asiento uidizado para los toners con 32% de recubrimiento super cial y diferente tamaño de partícula. Se observa que, para un mismo valor de la fracción sólida, la velocidad de sedimentación aumenta conforme aumenta el tamaño de las
4.5. Resultados experimentales
155
partículas. Se muestran también los valores de la velocidad de sedimentación dados por la expresión 4.17. Para cada tamaño de partícula existe un valor de la fracción sólida t , tal que la expresión 4.17 subestima el valor de la velocidad de sedimentación para < t y lo sobreestima para > t . Por tanto, para > t la velocidad de sedimentación es menor que la predicha por la expresión 4.17, donde se admite que las partículas otan libremente dentro del asiento uidizado. En asientos uidizados por líquido también existe una fracción sólida a partir de la cual la ley de Richardson-Zaki sobreestima el valor de la velocidad super cial del uido (Duru et al., 2002). Como la velocidad de sedimentación del asiento en ausencia de contactos permanentes entre partículas no puede ser menor que la velocidad de sedimentación de las partículas si estas no formaran agregados, la fracción sólida t ha de coincidir con la fracción sólida c a partir de la cual se forman contactos permanentes entre partículas, determinada a partir de la extrapolación lineal de los valores experimentales de la resistencia a la tracción t frente a la fracción sólida . Si se observa una curva en concreto de la dependencia de la altura del asiento con el tiempo durante la sedimentación, se observa que el valor de t está dentro del rango de valores de la fracción sólida para la cual a altura del asiento deja de disminuir con el tiempo de forma aproximadamente lineal. En la tabla 4.1 se muestran lo valores de t en función del tamaño de la partícula y los valores de c obtenidos a partir de la extrapolación de la dependencia con la porosidad de la resistencia a la tracción. En la gura 4.3 se ha señalado el valor de c para el toner CLC700 amarillo (c = 0:257). En la gura 4.7 también se muestran las curvas de la velocidad de sedimentación dada por la expresión 4.35 para los valores de N y que mejor ajustan los datos experimentales (ver tabla 4.1). Como se espera, el número de partículas en un agregado N y la razón del radio del agregado al radio de las partículas individuales crecen conforme disminuye el tamaño de las partículas individuales. El radio del agregado R apenas depende del tamaño de las partículas individuales, de manera que R 40 m para todos los tamaños de partícula, mientras que y N sí dependen del tamaño de las partículas individuales. Si suponemos que nuestros agregados pueden considerarse como agregados fractales (a pesar de no tener autosimilaridad en varios órdenes de magnitud), se puede de nir la dimensión fractal del agregado D como D = ln N= ln . En todos los casos D vale aproximadamente 2.5, que es la dimensión fractal para agregados tridimensionales de partículas formados por agregación limitada por difusión (DLA) (Witten y Sander, 1981). En un agregado de este tipo (DLA) se forma sin que exista reorganización en las posiciones de las partículas: las partículas permanecen en la posición donde hacen contacto por primera vez con el agregado. Es de esperar que las
156
Capítulo 4. Fluidización 0.7 19.1
vs (cm/s)
0.6
15.4
0.5
11.8
0.4
7.8
0.3 0.2 0.1 0 0.05
0.1
0.15
0.2 0.25 0.3 fracción sólida
0.35
0.4
Figura 4.7: Velocidad de sedimentación para los toners de la serie RT con 32% de recubrimiento super cial. El diámetro de las partículas se indica en m. Las líneas discontinuas representan las predicciones para partículas aisladas (expresión 4.17). Las líneas continuas representan la expresión 4.35 para los valores que se presentan en la tabla 4.1 partículas de toner se incorporen a los agregados de una forma similar, debido a la acción de la fuerza de adhesión en los contactos. Al derivar la expresión 4.35 hemos supuesto que el tamaño y el número de partículas de los agregados no depende de la fracción sólida en el asiento uidizado, lo que parece razonable a la vista del que 4.35 ajusta satisfactoriamente los resultados experimentales. De acuerdo con nuestro modelo, la fracción sólida de la partículas en un agregado viene dada por N=k 3 . En la tabla 4.1 puede verse que los valores de están comprendidos entre el límite dado por el empaquetamiento aleatorio compacto de esferas idénticas = 0:64 (Gotoh y Finney, 1974) y la fracción sólida c por debajo de la cual la resistencia a la tracción del toner desaparece. Por último, puesto que los valores de N y que se muestran en la tabla 4.1 han sido encontrados usando n = 5:6 en 4.35, es necesario calcular el número de Reynolds Ret (ver 4.18) de los agregados de partículas de toner para comprobar que se cumple Ret < 0:1. En caso de que no se cumpla Ret < 0:1 es necesario recalcular los valores de N y de manera que cumplan simultáneamente la ley de Richardson-Zaki para agregados 4.35 y la relación entre n y Ret dada por 4.18. Los valores del número de Reynolds Ret para los agregados del tamaño y número de partículas que se indican en la tabla 4.1 están comprendidos entre Ret = 0:063 para
4.6. Discusión
dp (m)
157
N
D
t
c
7.6 140 6.405 2.660 0.33 0.26 0.48 8.5 96 5.712 2.619 0.30 0.29 0.52 7.8 63.0 5.218 2.508 0.22 0.25 0.44 11.8 23.7 3.549 2.499 0.26 0.32 0.53 15.4 12.4 2.724 2.512 0.28 0.33 0.62 19.1 9.6 2.448 2.526 0.29 0.36 0.65 Tabla 4.1: Valores del número de partículas por agregado N , razón entre el radio del agregado y el de la partícula , dimensión fractal del agregado D y de fracción sólida dentro del agregado para los toners usados en el experimento. el toner con 7.8 m de tamaño de partícula y Ret = 0:14 para el toner CLC-700 amarillo y el toner con 19.1 m de tamaño de partícula, por lo que no se ha considerado necesario recalcular los valores de N y .
4.5.3 Visualización de los agregados Para obtener una con rmación más directa de la existencia de agregados de partículas de toner en un asiento uidizado se ha aprovechado la tendencia de las partículas a adherirse a una super cie. Si se introduce cuidadosamente una tira de papel en el asiento paralelamente al ujo de gas, es de esperar que al retirarla las partículas que queden adheridas a ella tengan una distribución semejante a la que tenían en el asiento, salvo si se tiene en cuenta que al extraer la tira se ejerce una fuerza de cizalla que puede romper los agregados que se hallan adherido. Sin embargo, esta fuerza de cizalla ha de ser pequeña si la tira se extrae despacio y el asiento está expandido de forma que su viscosidad sea pequeña. La gura 4.8 muestra imágenes al microscopio óptico de partículas de toner de diámetro 19.1 y 7.8 m obtenidas de esta forma. Las partículas no se distribuyen homogéneamente sobre la super cie de la tira de papel, sino que forman estructuras rami cadas, que agrupan más partículas cuando estas son más pequeñas. Para el caso de las partículas de 19.1 m, para las cuales se pueden distinguir individualmente los agregados el número medio de partículas en un agregado es de 9.9 partículas (para un total de nueve imágenes analizadas), valor que concuerda con el obtenido a partir del ajuste de la expresión 4.35.
4.6 Discusión Para que una partícula que forma parte de un agregado se separe de él, el gas ha de ejercer una fuerza de arrastre sobre la partícula que supere la fuerza de adhesión que mantiene a la partícula unida a sus compañeras
158
Capítulo 4. Fluidización
Figura 4.8: Agregados toner 19.1 m (izquierda), 7.8 m (derecha). La barra representa 100 m. del agregado. Por consiguiente, el tamaño del agregado depende de la magnitud relativa de la fuerza de adhesión y de la fuerza de arrastre del gas. Aunque la fuerza de arrastre que ejerce el gas sobre una partícula
4.6. Discusión
159
individual no es la misma para todas las partículas del agregado (las partículas del centro del agregado están resguardadas del ujo de gas por las que ocupan la super cie), su orden de magnitud ha de ser igual al peso de la partícula, ya que la caída de presión del gas sostiene el peso de todas las partículas del asiento. Según esto, el tamaño del agregado ha de ser función del cociente entre la fuerza de adhesión de las partículas y el peso de una partícula, que se ha denominado número de Bond granular Bog . Como ya se discutió en el capítulo 1 la contribución más importante a las fuerzas de adhesión entre partículas de toner en contacto se debe a las fuerzas de van der Waals. En un asiento uidizado cuya fracción sólida sea menor que c no existen contactos entre partículas así que cuando una partícula se incorpora a un agregado, el contacto que se forma no estará consolidado (recuérdese que suponemos que el asiento está en la rama superior del ciclo de expansión). Si admitimos que la deformación en la super cie de contacto de las partículas es poco importante, se puede estimar la fuerza de adhesión entre partículas a partir de la fórmula de Hamaker (Hamaker, 1937): 1 1 A1 + (4.40) F= 2
6z0 R1
R2
donde hacemos z0 = 4 Å, ya que ambas partículas están en contacto (Krupp, 1967). Según lo discutido en la sección 1.5, R1 y R2 han de tomarse como el radio típico de las asperezas de la super cie de las partículas, bien sean asperezas de polímero o aglomerados de partículas de aditivo. Cuando el polímero base de las partículas está expuesto, el radio de las asperezas es del orden de 0.1 m (Mason et al., 1999; Massimilla y Donsi, 1976). De las imágenes a microscopio SEM que se presentan en la gura 1.13 y 1.14 se observa que las partículas de aditivo forman aglomerados con un tamaño de 50 a 80 nm. Cuando el recubrimiento super cial de las partículas es del 32%, es de esperar que una buena parte de los contactos se produzca entre aglomerados de partículas de sílice. Usando como diámetro típico de los aglomerados de partículas de aditivo 50 nm y A = 1:5 10 19 J para la sílice (Ross y Morrison, 1988) se tiene para la fuerza de adhesión 3.9 nN. Por el otro lado, para el toner con un 8% de recubrimiento super cial la mayor parte de los contactos se darán entre asperezas de polímero así que usando A = 0:65 10 19 J (Ross y Morrison, 1988) para el polímero obtenemos una fuerza de adhesión de 3.4 nN (usando 0.1 m como el radio típico de las asperezas de la super cie del polímero). Como el cambio en la fuerza de adhesión es pequeño es de esperar que si se mantiene jo el diámetro de la partícula de toner el número de partículas en un agregado cambie poco, pues el cambio en el número de Bond granular Bog es pequeño. En cambio, Bog es muy sensible al tamaño de la partícula, con un rango de variación de un orden
160
Capítulo 4. Fluidización 175
10 N RT
150 N 125 100
N CLC700
8
k RT k CLC700
6
κ
75
4
50 2
25 0 0
200
400
600
Bo
800
0 1000
Figura 4.9: Número de partículas por agregado N y razón entre le radio del agregado y el de la partícula para los toners utilizados en el experimento de magnitud desde 19.1 m (Bog 48) hasta 7.8 m (Bog 706), así que no es extraño que el número medio de partículas en un agregado aumente notablemente en ese intervalo de variación del tamaño de partícula. Este razonamiento explica porque en la gura 4.6 ambos toners tienen un comportamiento tan parecido mientras que en la gura 4.7 la velocidad de sedimentación depende fuertemente del tamaño de la partícula. En la gura 4.9 se muestra la variación de N y en función del número de Bond suponiendo que los contactos entre partículas tienen lugar a través de aglomerados de partículas de aditivo. Tanto N como crecen potencialmente con Bo. Extrapolando los puntos experimentales se tiene que N ' 1 y ' 1 cuando Bo ' 1.
Si para las esferas de vidrio de 35 m hacemos A ' 10 19 J y como diámetro típico de las asperezas tomamos 0.2 m, el número de Bond vale aproximadamente 6 y por tanto es de esperar que estas partículas prácticamente no formen agregados, de modo que su velocidad de sedimentación esté descrita por 4.17. La fracción sólida de las esferas de vidrio cuando no se hace pasar gas a su través es ' 0:51. Cuando se uidiza el asiento, este se expande hasta una fracción sólida de ' 0:44. Si se deja sedimentar el asiento desde este valor de la fracción sólida el valor medio del cociente entre la velocidad de sedimentación del asiento y la velocidad de sedimentación de una partícula individual es de vs =vt ' 0:037, mientras que sustituyendo en el segundo miembro de 4.17 se obtiene un valor de 0.039, que es similar al resultado experimental como esperábamos.
4.7. Difusión en un asiento uidizado
161
4.7 Difusión en un asiento uidizado 4.7.1 Introducción histórica Hasta ahora hemos considerado que todas las partículas en un asiento uidizado se mueven con velocidad ~v s y no hemos usado el tensor de tensiones T s en las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento 4.10. Sin embargo, en un asiento uidizado cada partícula posee una velocidad individual ~up , de la que ~v s es el valor promedio. Por ejemplo, durante la sedimentación se forman torbellinos de partículas, que son arrastrados por el movimiento promedio de estas (Segre y Chaikin, 1997). La existencia de una distribución de velocidades de las partículas afecta a las interacciones hidrodinámicas que se dan entre partículas (Ladd, 1997), y por tanto, al término de la fuerza entre fases S fs . Además, si no existieran diferencias entre las velocidades individuales de cada una de las partículas y la velocidad promedio ~v s no existiría el tensor de tensiones T s . El valor de este tensor se debe a dos contribuciones, llamadas colisional y cinética (Gidaspow, 1994). La contribución colisional se debe a que como las partículas no se mueven todas con la misma velocidad existirán colisiones entre ellas. Estas colisiones transportan cantidad de movimiento en el asiento uidizado. La contribución cinética se debe al movimiento aleatorio de las partículas y es análoga al origen de la viscosidad en uidos. Imaginemos que una partícula tiene una velocidad individual mayor que la velocidad promedio. Como las partículas no se mueven ordenadamente, la partícula en cuestión puede alejarse una cierta distancia de su entorno original llevándose con ella su propia cantidad de movimiento, para depositarla a cierta distancia del orden del recorrido libre medio de las partículas mediante colisiones. Ambas contribuciones son tanto más fuertes cuanto más amplia sea la distribución de velocidades individuales de las partículas. Por analogía con la de nición de temperatura de la cinética física se de ne la temperatura granular como (Gidaspow, 1994; Cody et al., 1996):
3T =< u2p > v s 2
(4.41)
En algunas ocasiones el segundo miembro se multiplica por la masa de las partículas para medir la temperatura granular en unidades de energía y no como el cuadrado de una velocidad. Hay que tener en cuenta que la temperatura granular T está de nida para un estado estacionario de no equilibrio, al contrario que la temperatura termodinámica, que se de ne para sistemas en equilibrio térmico. Según lo dicho el tensor T s ha de ser función de la temperatura granular. Por ejemplo, de su traza se de ne la presión granular ps , que teóricamente debe tener la forma funcional
162
Capítulo 4. Fluidización
(Gidaspow, 1994):
ps = p [1 + 2(1 + e)go p ] T
(4.42)
donde e es el coe ciente de restitución en las colisiones y g0 es una función de la porosidad igual a la razón entre la función de distribución para parejas de partículas y el producto de la función de distribución para partículas individuales. g0 tiende a uno cuando la porosidad tiende a uno. La magnitud del tensor T s es importante para el estudio del límite de estabilidad de un asiento uidizado homogéneo. Si se supone que la fase discreta no contribuye a la transmisión de tensiones el asiento uidizado homogéneo es siempre linealmente inestable (Jackson, 1963). Sin embargo, los materiales Geldart-A presentan un intervalo de uidización aparentemente estable, desde la velocidad Umb , donde aparecen burbujas visibles de gas en el asiento hsta la velocidad mínima de uidización Umf . Por tanto, es necesario admitir que al menos para este tipo de materiales la fase discreta es responsable de la transmisión de una parte de las tensiones durante la uidización. A lo largo del tiempo se han presentado muchos modelos para el estudio de la estabilidad lineal de un asiento homogéneo incluyendo transmisión de tensiones entre partículas (Jackson, 1994). Todos ellos se pueden separar en dos grandes grupos, según el mecanismo mediante el que las partículas transmiten las tensiones. Un grupo es el de aquellos modelos en los que las tensiones se transmiten mediante contactos permanentes entre partículas (Rietema, 1991; Tsinontides y Jackson, 1993; Menon y Durian, 1997; Jackson, 2000). Según estos modelos la existencia de contactos permanentes hace que el asiento tenga un módulo de elasticidad efectivo que lo estabiliza frente a pequeñas perturbaciones en la porosidad. El otro grupo está formado por los modelos en los cuales la transmisión de tensiones se debe a mecanismos hidrodinámicos, debidos bien a las uctuaciones en la velocidad individual de las partículas (Batchelor, 1988), o bien a la dependencia con la porosidad de la fuerza ejercida por la fase continua sobre las partículas (Foscolo y Gibilaro, 1984). Los partidarios del primero de los grupos vieron apoyadas sus ideas por resultados experimentales en los que se medía la conductividad eléctrica de un asiento uidizado de partículas conductoras (Rietema, 1991); en los que se mostraba que las desviaciones locales en la porosidad de un asiento uidizado eran duraderas y no se desplazaban por el interior del asiento (Tsinontides y Jackson, 1993) y por medidas de las uctuaciones en la velocidad de las partículas en un asiento uidizado mediante espectroscopía de onda difundida (diusion-wave spectroscopy) en las que no se encontraban uctuaciones en la velocidad de las partículas (Menon y Durian, 1997). Según los
4.7. Difusión en un asiento uidizado
163
defensores del modelo de contactos permanentes, las uctuaciones en la velocidad de las partículas deben su origen a la aparición de burbujas en el interior del asiento (Tsinontides y Jackson, 1993; Menon y Durian, 1997). Por otro lado, midiendo la temperatura granular en un asiento uidizado se demostró que esta depende de la velocidad super cial del gas y del diámetro de las partículas y que el tipo dependencia cambia en la transición entre materiales Geldart-B y Geldart-A (Cody et al., 1996). Aparentemente los resultados experimentales son contradictorios. Sin embargo en todos los casos los materiales empleados presentaban un rango de uidización homogénea muy pequeño y se expandían poco al ser uidizados (un máximo del 4% de la altura inicial (Menon y Durian, 1997)). Por el contrario, nuestros materiales presentan un intervalo de uidización homogénea mucho más amplio (el rango de velocidades super ciales del gas abarca desde 0.01 hasta 0.8 cm/s aproximadamente) y se expanden más en estado uidizado (hasta una porosidad del orden de 0.85, un 40% más que la porosidad en estado estático), lo que los hace adecuados para estudiar si cuando la fracción sólida es pequeña las partículas pueden seguir manteniendo contactos permanentes. Está claro que si las partículas no establecen contactos permanentes, debido a la naturaleza aleatoria de su velocidad individual ~up presentarán un comportamiento difusivo análogo al de las moléculas en los uidos. Como la difusión es más rápida cuanto mayor sea la dispersión de las velocidades de las partículas, el coe ciente de difusión D ha de ser función de la temperatura granular (Brey et al., 2000b). Se puede usar la teoría cinética para encontrar el coe ciente de difusión en función de la temperatura granular (Gidaspow, 1994; Wildman et al., 2000). Para partículas no cohesivas en un asiento vibro uidizado las predicciones de la teoría cinética no se desvían más de un 20% de los resultados numéricos para fracciones sólidas menores que 0.6 (Wildman et al., 2000).
4.7.2 Montaje experimental En el experimento se ha utilizado únicamente toner CLC700 amarillo y magenta. El toner se uidiza en celdas rectangulares de 4 cm de ancho y largos de 7.6, 10 y 20 cm, cuya base está formada por un ltro de partículas de metal sinterizado. Todas las celdas cuentan con una pared divisoria deslizante estanca a las partículas de toner que las divide en dos partes iguales. El ujo de gas a través de la celda se ja mediante un controlador de ujo, y la caída de presión se mide mediante un manómetro diferencial. Como gas se ha usado nitrógeno industrial, para minimizar posibles efectos debidos a la humedad. En una mitad de la celda se vierte el toner amarillo y en otra el magenta. Se ha usado aproximadamente la misma masa de toner en cada mitad de la celda, y en
164
Capítulo 4. Fluidización
todas las series experimentales se mantiene el peso por unidad de área en torno a 80 Pa. Antes de iniciar el experimento, el toner se uidiza con un ujo de gas su cientemente grande como para que el asiento burbujee. Posteriormente se reduce el ujo de gas hasta el valor deseado y se mide la altura del asiento para determinar su porosidad. Antes de levantar la pared deslizante para que ambos toners se mezclen, es necesario comprobar que las super cies libres de ambos toners estén al mismo nivel (es posible que no lo estén porque ambos toners no tienen la misma curva de sedimentación frente al ujo de gas). La velocidad mínima de uidización de la mezcla de ambos toners es de 0.015 cm/s y el asiento se vuelve inestable para una velocidad super cial del gas de unos 0.8 cm/s, para la cual la porosidad alcanza el valor 0.85 (ver gura 4.4). Se toma como instante inicial de tiempo el momento en el que se levanta la pared deslizante y ambos toners comienzan a mezclarse. Durante el tiempo que ambos toners tardan en mezclarse se introducen manualmente tiras de papel a intervalos regulares en la mitad de la celda inicialmente ocupada por el toner amarillo. Estas tiras tienen un ancho igual a la mitad del largo de la celda, y se sumergen hasta el fondo del asiento paralelamente al ujo de gas y a la dirección en que ambos toners se mezclan, para causar una perturbación lo más pequeña posible. Las partículas de toner se adhieren a la tira de papel, de manera que retirando esta cuidadosamente el color de la tira está relacionado con la concentración de toner amarillo y magenta. Para jar permanentemente las partículas de toner a la tiras de papel, una vez terminado el experimento se introducen todas las tiras en un horno a unos 100 o C para fundir las partículas de toner. Posteriormente las tiras se escanean para obtener una imagen RGB con una profundidad de color de 4 bytes por pixel. Cada imagen se separa en cuatro imágenes según el sistema de color CMYK (cyan, magenta, amarillo y negro), de forma que la imagen M da la intensidad de magenta y la Y la intensidad de amarillo en un punto de la tira en una escala de 255 a 0 donde el 255 es la ausencia de color y 0 es la máxima intensidad de color (el programa utilizado codi caba la intensidad del color (hue) en sentido contrario al que se utiliza normalmente). Previamente como calibración, se ha hecho la misma operación con una serie de tiras inmersas en mezclas de toner amarillo y magenta de concentración conocida. En la gura 4.10 se observa cómo cambia el valor medio del canal M y el Y en toda la imagen de la tira en función de la concentración del toner amarillo en el magenta. Se observa que ambos canales no cubren toda la escala, por ejemplo, el amarillo no va del 0 al 127. Esto se debe a que el papel de la tira también hace contribución a los colores de la imagen y a que como el espacio de color CMYK es dependiente del dispositivo, no es posible asegurar que
4.7. Difusión en un asiento uidizado
165
el magenta y el amarillo del canon CLC700 sean los mismos magenta y amarillo para el programa usado por el ordenador. Esto explica que en las imágenes de los patrones aparezca cierta cantidad de cyan, que no debería aparecer si en la tira de calibración sólo existe amarillo y magenta puros. Para tener una escala con el mayor rango posible, se toma como medida de la concentración c en tanto por ciento del toner magenta en el amarillo la diferencia entre los canales M e Y, que se ajusta a la ley < M > < Y >= 0:0574c2 6:607c + 208:47. El usar la diferencia también contribuye a minimizar errores debido a que las intensidades de los canales M e Y dependen del grado de recubrimiento del papel por las partículas de toner magenta y amarillo, respectivamente y no de la proporción numérica entre ambas. Así, si por azar en una región del papel han quedado adheridas muy pocas partículas de toner, tanto el valor del canal M como el del canal Y subirán (por el sentido en el que se ha tomado la escala de color) y su diferencia tenderá a permanecer constante. Para reducir todavía más los posibles errores del método, no medimos la concentración local de cada toner en un punto de la tira, sino que usamos los valores medios e en cada tira para calcular la concentración media de toner magenta en el lado de la celda donde inicialmente estaba el amarillo en función del tiempo.
4.7.3 Resultados experimentales En el intervalo de velocidades super ciales del gas entre U0 = Um = 0:1 mm/s hasta U0 = Uc = 1 mm/s el toner no se mezcla. Hay que suponer que las partículas se encuentran jas en sus posiciones respectivas, de acuerdo con los resultados experimentales de Menon y Durian (1997) que encontraron que las partículas permanecen estáticas aunque el asiento esté uidizado hasta que no se forman burbujas de gas y supusieron que las tensiones en el asiento uidizado se transmiten por contactos permanentes entre partículas. De hecho, hemos encontrado que para velocidades super ciales del gas en el rango Um < U0 < Uc la caída de presión a través del asiento (descontado la caída debida a la resistencia del ltro) es menor que el peso del toner por unidad de área de la sección del asiento (ver gura 4.13), es decir parte del peso del asiento ha de ser soportado por contactos permanentes entre partículas (Valverde et al., 2001b). De acuerdo con esto la resistencia a la tracción debe hacerse nula para un valor de la porosidad ec coincidente con la porosidad que tiene el asiento cuando U0 = Uc . Para el toner CLC700 amarillo la resistencia a la tracción se anula para ec = 0:74, mientras que para el clc700 magenta ec = 0:72. Por debajo de esta porosidad el asiento uidizado se comporta como un sólido muy débil. En la gura 4.13 se observa que el valor de e 0:7 se alcanza para Uc ' 0:1 mm/s y
166
Capítulo 4. Fluidización
valor medio del canal
250 200 150 100 50 Canal C
Canal Y
Canal M
0 0
0.1
0
0.1
0.2 0.3 0.4 concentración de magenta
0.5
0.6
0.2 0.3 0.4 0.5 concentración de magenta
0.6
175
-
150 125 100 75 50 25 0
Figura 4.10: Arriba: valor medio de los canales cyan (C), magenta (M) y amarillo (Y) en los patrones de calibración. Abajo: curva de calibración de la concentración de toner magenta en función de la diferencia entre los canales magenta y amarillo. por tanto es de esperar que para U0 < Uc el toner no se mezcle. Este resultado coincide con el valor de ec obtenido a partir de la velocidad de sedimentación. Otra evidencia de la existencia de contactos permanentes entre partículas para U0 < Uc la da el hecho de que para U0 < Uc la super cie libre del asiento uidizado no tiene por qué ser horizontal. Si se inclina el asiento uidizado cuidadosamente la super cie libre se
4.7. Difusión en un asiento uidizado
167
inclina hasta cierto valor del ángulo de inclinación. En la gura 4.11 se representa el máximo ángulo de inclinación del toner CLC700 magenta en función de la porosidad y se observa que dicho ángulo tiende a cero cuando la porosidad tiende al valor 0.72 aproximadamente. Para U0 > Uc el asiento uidizado pasa a comportarse como un líquido: la super cie libre permanece siempre horizontal, no existe resistencia a la tracción y las tensiones en el interior del asiento son soportadas por el gas o mediante colisiones entre partículas. En este intervalo de velocidades del gas no se aprecian visualmente burbujas en la super cie del asiento, así que la pérdida de la rigidez mecánica del asiento no hace que este deje de ser estable frente a perturbaciones de gran amplitud como son las burbujas (Valverde et al., 2001b). Para U0 > Uc el toner se mezcla y para una misma celda el tiempo de mezcla depende de la velocidad del gas. Como ejemplo se muestran en la gura 4.12 la concentración media de toner magenta en función del tiempo para varios valores de la velocidad del gas. Suponemos que el proceso de difusión está descrito por la ley de Fick con un coe ciente de difusión efectivo Def . Como nuestros toners son similares podemos suponer que todas las partículas forman parte de la misma población de manera que se puede tratar la mezcla como un proceso de autodifusión descrito por la ecuación:
@2c @c = Def 2 @t @x donde x es la coordenada a lo largo de la longitud de la celda y concentración del toner magenta. Las condiciones iniciales son:
c(x; 0) = 0 ; x < L=2 c(x; 0) = 1 ; x > 1=2
(4.43)
c es la (4.44)
y las condiciones de contorno son:
@c = 0 ; x = 0; L @x
(4.45)
La cantidad total de toner en el lado del amarillo vendrá dada por: ZL < c > (t) = c(x; t) dx (4.46) L=2
y el coe ciente de autodifusión efectivo se encuentra como el valor Def que hace mínimo: X [c(ti ) < c > (ti )]2 (4.47) i
En la gura 4.12 se muestran < c(t) > y c(t) para el coe ciente de autodifusión efectivo encontrado de esta forma, mientras que en la gura 4.14
Capítulo 4. Fluidización 25
Resistencia a la tracción ángulo de avalancha
σt (Pa)
20
30 25 20
15 15 10 10 5
5
0
0 0.75
0.6
0.65
porosidad
0.7
∆α (grados)
168
Figura 4.11: Resistencia a la tracción t y ángulo máximo de estabilidad de la super cie libre del toner CLC-700 magenta en función de la porosidad. se muestra el valor del coe ciente de autodifusión efectivo en función de la velocidad del gas. Se observa que en el rango 1 < U0 < 2 mm/s el coe ciente de autodifusión efectivo crece exponencialmente con la velocidad del gas para alcanzar un valor máximo que se mantiene prácticamente constante. Mediante el uso de resonancia magnética nuclear otros autores también han encontrado que el coe ciente de autodifusión crece con la velocidad del gas en asientos uidizados (Savelsberg et al., 2002). Conocido el coe ciente de autodifusión efectivo se puede estimar la temperatura granular. De acuerdo con los resultados de la teoría cinética para gases densos, el coe ciente de difusión para un gas de esferas duras es igual al producto del recorrido libre medio de las partículas por el valor medio del módulo de la velocidad individual de las partículas < j~upj > (suponiendo que v s es cero). Si admitimos queq la distribución de velocidades de las partículas es gaussiana < j~upj >= 8T= . Cuando la fracción sólida ocupada por p las partículas es muy pequeña, el recorrido libre medio vale = dp =(6 2), con lo que tenemos:
< j~upj > U0
p ' 6 2 dUD p
0
(4.48)
Para una velocidad super cial del gas U0 de 0.3 cm/s el coe ciente de difusión efectivo y la fracción sólida valen Def ' 0:1 cm2 /s y ' 0:2. Sustituyendo estos valores en 4.48 y usando para dp el diámetro del agregado dp ' 50 m se tiene < j~up j > =U0 110. La medida de la temperatura granular en un asiento uidizado por Cody et al. (1996) muestra
4.7. Difusión en un asiento uidizado
169
concentración de magenta
0.5 0.4 0.3 0.2
1.46 mm/s 1.88 mm/s
0.1
2.29 mm/s 0 0
1500
3000
t (s)
4500
6000
0.90
1.2
0.85
1
0.80
0.8
0.75
0.6
0.70
0.4 Um f
0.65
Uc
∆p*
porosidad
Figura 4.12: Evolución de la concentración media de toner CLC-700 magenta en la mitad de la celda ocupada inicialmente por el toner CLC-700 amarillo para distintos valores de la velocidad super cial del gas.
0.2
0.60
0 0
1
2
3 U0 (mm/s)
4
5
Figura 4.13: Expansión del toner CLC-700 magenta: los cuadrados representan la caída de presión p adimensionalizada con el peso de toner por unidad de área de la sección del asiento; los rombos representan la porosidad. Las echas indican la velocidad mínima de uidización Umf y la velocidad Uc por debajo de la cual el coe ciente de difusión efectivo es nulo. que para materiales del tipo Geldart-A la razón < j~up j > =U0 crece con la velocidad super cial del gas desde desde el valor de la velocidad mínima
170
Capítulo 4. Fluidización
2
Def (cm /s)
1
0.1
0.01 Uc 0.001 0
1
2
3 U0 (mm/s)
4
5
Figura 4.14: Coe ciente de difusión efectivo del toner CLC-700 amarillo en toner CLC-700 magenta en función de la velocidad super cial del gas. Ambos toners no se mezclan si U0 < Uc de uidización Umf hasta un valor máximo que depende del diámetro de las partículas como:
< j~upj > U0
dop U0 3d U f p m
(4.49)
con dop = 110 m. Para la consolidación a la que está sometido el toner CLC700 en las celdas que hemos utilizado (80 Pa aproximadamente) Umf 0:015 cm/s. Sustituyendo en 4.49 se obtiene < j~upj > =U0 150 si de nuevo se toma como valor de dp el diámetro de loos agregados. Ambas expresiones concuerdan en dar para el módulo de la velocidad individual de las partículas un valor que es dos órdenes de magnitud mayor que la velocidad del gas.
4.8 Fluidización en el tambor rotante En la sección 3.6 se discutió el proceso de uidización de un toner en un tambor rotante conforme se aumenta la velocidad de rotación del tambor. Parte del material en el tambor se encuentra en estado uidizado y parte del material se encuentra en régimen plástico, existiendo un equilibrio dinámico entre el material que sedimenta a través de la región uidizada por unidad de tiempo y el aporte de material a la región uidizada desde la región plástica mediante avalanchas. Si se aumenta la velocidad angular del tambor la extensión de la región uidizada aumenta. En la sección
4.8. Fluidización en el tambor rotante
171
A ω d2
∆mf
d1 zona fluidizada
d ∆mdf zona sólida
B ω δm
d zona fluidizada
vs
d δ sedimento
Figura 4.15: Representación esquemática del comportamiento del toner en el tambor rotante cuando las avalanchas se suceden de forma prácticamente continua ( gura A) y cuando casi toda la super cie libre del material está ocupada por la región uidizada ( gura B) 3.7 se encontró que la extensión de la zona uidizada, medida mediante la razón entre la longitud d de su super cie libre y el diámetro D del tambor o mediante el cociente entre la fracción de llenado del tambor en movimiento f y la fracción de llenado del tambor en reposo f0 , depende del parámetro = ! 2 R2 =t (0 ). Este parámetro es igual a la energía
172
Capítulo 4. Fluidización
cinética por unidad de volumen ! 2 R2 del material en el tambor entre la resistencia a la tracción del material t para la fracción sólida 0 que presenta cuando se lo inicializa en el tambor. Usando los resultados de los capítulos 3 y 4 debería poderse construir un modelo físico que describa con cierto rigor el proceso de uidización del toner en el tambor. No obstante, la falta de una descripción experimental exhaustiva nos limita a una descripción muy general que explica la dependencia de la extensión de la zona uidizada con el parámetro . Por ejemplo, no se sabe nada acerca de las líneas de corriente del gas, ni se puede precisar cuanto gas atrapa el toner durante una avalancha. Tampoco se puede establecer una diferencia clara entre región uidizada y material sin uidizar, sino que es de esperar que la fracción sólida del material varíe de forma continua en el área de la sección del tambor ocupada por el toner. La situación más sencilla se da cuando la zona uidizada es extensa y d=D es próximo a 1, como se muestra en la gura 4.15. El material de la zona uidizada sedimenta formando una capa na que es arrastrada por el movimiento del tambor hasta la super cie libre del material. El espesor Æ de la capa de sedimento crece en la dirección en la que gira el tambor y alcanza su máximo valor Æm en la super cie libre, donde el sedimento es lanzado con velocidad !R para caer sobre la super cie libre de la región uidizada. Durante la caída a través del gas que ocupa la fracción superior del tambor las partículas de toner trans eren parte de ~ sf su cantidad de movimiento al gas gracias al término de interacción S como vimos en la sección 4.1 arrastrando cierta cantidad de gas dentro de la zona uidizada, de una forma análoga a como las gotas líquidas de un spray son capaces de arrastrar cierto ujo de gas (Cossali, 2001). Este gas abandona el toner mientras este sedimenta a través de la zona uidizada. La masa de toner que sedimenta por unidad de tiempo es del orden de p f vs (f )d, donde f es el valor típico de la fracción sólida del toner en la región uidizada. Si s es el valor típico de la fracción sólida del sedimento la masa de sedimento que es lanzado por unidad de tiempo es del orden de p s !RÆm . Para que la situación sea estacionaria ambos términos han de ser iguales, con lo que se tiene:
f vs (f )d s !R(2R d) donde se ha usado Æm
(4.50)
2R d. Despejando d=D se tiene: d D
!Rs v ( ) + !R s
f
f
s
(4.51)
Un valor máximo típico para la velocidad de sedimentación vs es 1 cm/s (ver guras 4.4 y 4.7). Tomando R = 5 cm, !R > vs si ! > 2 rpm, lo
4.8. Fluidización en el tambor rotante
173
que signi ca que cuando la zona uidizada tiene un tamaño importante !R=vs 1 y:
d D
(f )f 1 vs!R s
(4.52)
En las secciones 4.2 a 4.6 se ha descrito la dependencia de velocidad de sedimentación vs con la fracción sólida del material uidizado a través de la ecuación 4.35, que puede ser escrita como:
vs = vt N 1
=Df
1
1
n
(4.53)
Mientras que la dimensión fractal de los agregados Df toma siempre valores en torno a 2.5, el número de partículas en un agregado es función del número de Bond granular Bog . Como se recordará, el número de Bond es igual al cociente de las fuerza de adhesión Ft entre partículas y el peso de una partícula. Usando los resultados para los toners negros de la serie RT se tiene que N 1 1=Df / Bo0g:43 ' Bo0g:5 . Los resultados que se ha presentado hasta ahora en este capítulo para asientos uidizados se han obtenido en asientos que se encuentran en la rama superior del ciclo de expansión (ver gura 4.1 y 4.16), ya que el material se ha inicializado uidizándolo hasta la aparición de burbujas. Como se admitió que de esta forma se han roto todos los contactos entre partículas que pudieran haber permanecido desde que el toner estaba en estado sólido, se supuso que los contactos no estaban consolidados en la rama superior del ciclo de expansión (ver gura 4.1). Esta argumentación se usó como justi cación para usar la fórmula de Hamaker (expresión 4.40) para hallar la fuerza de adhesión Ft y calcular el número de Bond en la sección 4.6. Sin embargo, el material en el tambor rotante no se uidiza hasta la formación de burbujas visibles. Cuando el material se uidiza por la rama inferior del ciclo de expansión hasta un valor de la velocidad super cial del gas U01 menor que la velocidad mínima de burbujeo Umb y se reduce la velocidad super cial del gas desde U0 = U01 hasta U0 , la curva de porosidad frente a U0 que se obtiene parte de U01 y queda por debajo de la rama superior y por encima de la rama inferior del ciclo de expansión (Tsinontides y Jackson, 1993). Podemos describir esta nueva curva de porosidad frente a U0 usando la ley de Richardson-Zaki para agregados 4.35 si admitimos que el tamaño de los agregados es mayor que cuando el material se inicializó con una velocidad super cial del gas U0 Umb . Si el tamaño de los agregados es mayor, según la argumentación que hicimos en la sección 4.6, como el peso de las partículas individuales no puede variar, esto signi ca que las fuerzas de adhesión Ft entre partículas son mayores que cuando el asiento está uidizado en
174
Capítulo 4. Fluidización 0.85
porosidad
0.80 0.75 CLC-700 magenta 0.70
ciclo expansión experimento sedimentación
0.65 0.60 0
0.85
0.4
0.6 U0 (cm/s)
0.8
RT 0.2% RT 0.4%
0.80
0.85 0.80
0.75
porosidad
porosidad
0.2
0.70
0.75 0.70 0.65
0.65
0.60 0.01
0.1
U0 (cm/s)
1
0.60 0
0.2
0.4 U (cm/s)0.6 0
0.8
Figura 4.16: Arriba: Ciclo de expansión para el toner CLC-700 magenta (línea continua). Se han representado los valores de la porosidad frente a la velocidad de sedimentación vs (en el mismo eje de abscisas que la velocidad super cial U0 ) que se obtuvieron en el experimento del colapso (cuadrados). Abajo: ciclos de expansión para los toners de la serie RT con 12.7 m de diámetro de partícula y recubrimiento super cial de aditivo 0.4% y 0.2%. el peso del toner por unidad de área es de 161 y de 158 Pa para los toners RT 0.4% y RT 0.2%, respectivamente. la rama superior del ciclo de expansión. El mayor valor de Ft puede deberse a que perduran entre las partículas del material contactos que
4.8. Fluidización en el tambor rotante
175
se crearon cuando el material estaba en régimen plástico y que fueron sometidos a cierta consolidación (recuérdese que debido a la existencia de deformación plástica la fuerza de adhesión no recupera su valor a carga nula cuando se desconsolida el contacto). Este argumento explica también que el área del ciclo de expansión aumente con la cohesividad del toner si se mantiene constante el tamaño de partícula. En la gura 4.16 se muestran los ciclos de expansión de los toners de la serie RT de 12.7 m de tamaño de partícula con 0.4 % y 0.2% de recubrimiento super cial. El toner con 0.2% de recubrimiento super cial es más cohesivo en régimen plástico que el toner con 0.4% de recubrimiento super cial. Puede verse en la gura que aunque las ramas superiores de los ciclos de expansión de ambos toners son similares (como ya se discutió en la sección para el caso de los toners de la serie TB con 11.8 m de tamaño de partícula y 32% y 8% de recubrimiento super cial), la rama inferior del toner RT 0.2% siempre está por debajo de la rama inferior del toner RT 0.4%. Esto signi ca que los agregados de partículas de ambos toners son de tamaño similar en la rama superior, pero de mayor tamaño para el toner RT 0.2% en la rama inferior del ciclo de expansión, como debe ser si el material mantiene cierta memoria de la consolidación a la que las partículas estuvieron sometidas en el estado plástico. Según esto, en el caso del material en la región uidizada en el tambor rotante no hay que calcular Ft con la expresión 4.40 para sustituir en el número de Bond granular, sino que es más representativo del valor de la fuerza de adhesión Ft el valor que se obtiene a partir de la resistencia a la tracción t para la fracción sólida s del sedimento usando la expresión 2.3. Si suponemos que la fracción sólida del sedimento s es similar a 0 el número de Bond queda:
Bog = 6
t (0 ) pgdp0 k(0 )
(4.54)
Suponiendo que la dimensión fractal de los agregados no cambia y que se sigue cumpliendo N 1 1=Df / Bo0g:43 ' Bo0g:5 , sustituyendo 4.54 y vt = p gd2p=(18) en la expresión 4.52 queda: q q ( )) d 1 pd3p t 0 T (f ; s; 0; ) (4.55)
D
!R
donde aparece explícitamente la raíz cuadrada del parámetro . El término T (f ; s ; 0 ; ) engloba las dependencias con los valores de las distintas fracciones sólidas que se han q mencionado, con g y con la viscosidad el gas . En cuanto al factor p d3p , este sólo varía en un factor 2 entre los toners azules de la serie RT y el canon CLC700 amarillo, que se puede ver compensado por el cambio en el término T .
176
Capítulo 4. Fluidización
La situación es más complicada a velocidades de rotación intermedias, cuando la zona uidizada se alimenta mediante avalanchas que se producen de forma prácticamente continua como se muestra en la gura 4.15. El material transportado por la avalanchas hasta la región uidizada en un tiempo t es del orden de mf d2 !Rt. Para que el tamaño de la región uidizada permanezca constante, la misma cantidad de material ha de sedimentar al estado sólido para ser arrastrada por el movimiento del tambor. La cantidad de material que sedimenta durante el tiempo t es mdf d1 vs t. Como la velocidad de sedimentación del material en la región uidizada es proporcional a la raíz cuadrada de la resistencia a la tracción del material, igualando p las expresiones para mf y mdf p se tiene que d1 =d2 !R= t , lo que justi ca porqué es el parámetro que describe la extensión de la zona uidizada en esta situación (Castellanos et al., 2001a, 2002).
4.9 Resumen Mediante la medida de la velocidad de sedimentación de un asiento uidizado se ha mostrado que la acción de fuerzas atractivas entre partículas provoca la formación de agregados en el interior de un asiento uidizado de toner. El tamaño de los agregados y el número de partículas en un agregado dependen de la intensidad relativa de las fuerzas atractivas y el peso de las partículas individuales. Como consecuencia de la existencia de agregados la fuerza de interacción entre el uido y las partículas S sf no es la misma que si el asiento estuviera formado por partículas individuales. Hemos presentado una versión modi cada de la ley de Richardson-Zaki para tener en cuenta la presencia de agregados. Usando esta ley puede explicarse la relación entre la expansión del toner cuando se lo uidiza en un tambor rotante, la energía cinética por unidad de volumen y la resistencia a la tracción del material. A partir del estudio de la difusión de partículas en un asiento fuidizado hemos mostrado que el asiento presenta dos regímenes de comportamiento. Cuando la fracción sólida es mayor que cierto valor c las partículas establecen contactos duraderos con sus vecinas y no se difunden por el asiento. Este comporta como un sólido muy débil. Cuando < c los contactos duraderos desaparecen y las partículas son libres de moverse por el interior del asiento. En esta situación, las tensiones en el interior del asiento son soportadas por el uido y por las colisiones entre agregados de partículas. El valor de c puede determinarse a partir de la extrapolación a cero de los valores de la resistencia a la tracción del toner frente a la fracción sólida.
Capítulo 5 Estabilidad del asiento uidizado 5.1 Introducción En el capítulo 4 hemos supuesto que el asiento está uidizado homogéneamente. No obstante, en la mayoría de los asientos uidizados por gas que se utilizan en la práctica la uidización no es homogénea y parte del gas atraviesa el asiento a través de burbujas dentro de las cuales la fracción sólida es muy pequeña o nula; por el contrario, cuando la fase continua es un líquido no es difícil encontrar situaciones en las que no se forman burbujas de líquido en el interior del asiento (Jackson, 2000). Se pensó inicialmente que mediante el análisis de la estabilidad lineal de las ecuaciones 4.1 a 4.4 para la solución correspondiente a un asiento uidizado homogéneo (~v f = v0~ez y e = e0 , con v0 y e0 constantes) era posible obtener un criterio para predecir cuando se forman burbujas de fase continua dentro de un asiento uidizado (Jackson, 1963). Sin embargo, esta descripción de la pérdida de estabilidad resultó ser demasiado sencilla. En experimentos usando líquido como fase continua en asientos estrechos se encontró que un asiento homogéneo se hace inestable mediante la aparición de una onda de porosidad viajera unidimensional (Nicolas et al., 1996; Ham et al., 1990). Estas ondas consisten en bandas de alta y baja fracción sólida alternantes que se propagan verticalmente hacia la super cie del asiento (el vector de onda sólo tiene componente vertical kz ). Para poder predecir el número de onda de las ondas que aparecen al surgir la inestabilidad, es necesario incluir en las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento las viscosidades de la fase discreta y de la continua. De esta manera la disipación de energía aumenta cuando la escala espacial de la perturbación disminuye, aunque ambas viscosidades no son necesarias para predecir la porosidad
178
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
a la que se produce la inestabilidad (Jackson, 2000). La aparición de una onda de porosidad unidimensional es una bifurcación de Hopf sobre la solución correspondiente al asiento homogéneo (Glasser et al., 1998). La amplitud de las ondas de porosidad crece conforme estas se propagan a lo largo del asiento. Con el crecimiento de la amplitud de una solución tipo onda unidimensional esta puede perder su estabilidad frente a perturbaciones con cierta componente transversal del vector de onda. Como la mayoría de los trabajos numéricos se han hecho en dos dimensiones, las ondas de porosidad viajeras resultantes son bidimensionales. Cuanto mayor es la componente transversal del vector de onda mayor es la amplitud a la cual la onda unidimensional pierde su estabilidad (Glasser et al., 1998). Esto explica por qué las ondas unidimensionales sólo se observan en asiento estrechos y por qué el límite de estabilidad de estas ondas dependen de la razón de los diámetros del asiento y las partículas (Duru et al., 2002). Este comportamiento es el que cabe esperar a partir de la teoría de bifurcaciones: cuando las dimensiones físicas del sistema son comparables a la escala espacial de los mecanismos de la inestabilidad, los umbrales a los que se producen los distintos modos de inestabilidad están bien separados, de forma que pueden excitarse ciertos modos mientras el sistema sigue siendo estable frente al resto y la estructura espacial de los modos excitados aparece bien de nida (Manneville, 1990). A su vez, la amplitud de las ondas de porosidad bidimensionales crece conforme se propagan. Al aumentar la amplitud de estas ondas su estructura se vuelve más pronunciada hasta que aparece una región de partículas baja densidad de partículas (Homsy, 1998; Glasser et al., 1997), alrededor de la cual las líneas de corriente de las fases discreta y continua son muy similares a las medidas en burbujas de gas en situaciones reales (Jackson, 2000). La evolución de estas bolsas de fase continua depende de la diferencia f p entre las densidades de la fase continua y discreta, la viscosidad y el ujo de la fase continua que atraviesa el asiento (Anderson et al., 1995). Cuando la diferencia f p no es grande y la viscosidad de la fase continua es importante como ocurre en asientos de partículas moderadamente densas (como esferas de vidrio) uidizados por líquido, las bolsas de fase continua crecen hasta cierto tamaño antes de ser rellenadas por partículas que caen a través de su super cie superior, por lo que pueden llamarse burbujas incipientes. El crecimiento es tanto más rápido cuanto mayor es el ujo de la fase discreta. Aguas abajo de la región donde las burbujas incipientes alcanzan su tamaño máximo y son destruidas el asiento tiene un comportamiento pseudoturbulento, animado por la ruptura y formación de las burbujas incipientes (Duru y Guazelli, 2002). En el caso contrario (diferencia f p es grande y viscosidad de la fase continua poco importante), las bolsas de fase discreta
5.1. Introducción
179
sí evolucionan hasta burbujas propiamente dichas que no contienen en su interior partículas. El crecimiento de las burbujas sigue limitado por debajo de cierto valor crítico del ujo de la fase continua, pues alcanzado cierto tamaño son destruidas a mayor velocidad de la que se crean. Si se sobrepasa dicho valor crítico, las burbujas dominan la dinámica del asiento (Duru y Guazelli, 2002). Una vez en esta situación, el tamaño y el número de burbujas dependen del equilibrio entre su formación, ruptura y coalescencia (Duru y Guazelli, 2002; van Wachem et al., 1998). Aunque un asiento no esté uidizado homogéneamente, se expande en función del ujo de la fase continua siguiendo la ley de Richardson-Zaki (expresión 4.17), mientras el crecimiento de las burbujas esté limitado y estas no dominen la dinámica del asiento. En cada rango de fracción sólida existe un mecanismo de inestabilidad dominante (Duru et al., 2002; Duru y Guazelli, 2002). Esto no quiere decir que la presencia de estructuras pseudoturbulentas no tenga ningún efecto sobre el asiento. Por el contrario, la presencia de estructuras pseudoturbulentas reduce la fuerza de arrastre que el uido ejerce sobre las partículas, es decir, hace ~ sf tome valores que para un mismo valor de la porosidad el término S más pequeños, luego para una misma expansión del asiento la diferencia entre las velocidades intersticiales de las fases continua y discreta ha de ser más elevada que si no estuvieran presentes (como ocurre cuando tenemos agregados). La reducción de la fuerza de arrastre se debe a que en las regiones donde la porosidad es pequeña el valor local de la velocidad relativa entre partículas y uido es signi cativamente menor que la diferencia ~v f ~v s entre las velocidades de las fases continua y discreta (recuérdese que ambas están de nidas como un promedio sobre un elemento de volumen que contenga un número su ciente de partículas). Además la psudoturbulencia aumenta las viscosidades efectivas de ambas fases, la presión debida a las partículas ps y la producción y disipación de temperatura granular y aumenta la importancia de los términos de masas efectiva (Agrawal et al., 2001; Zhang y VanderHeyden, 2002). La presencia de mesoestructuras hace que los términos de masa inercial sean proporcionales a la densidad media del asiento uidizado y no a la densidad de la fase continua (Zhang y VanderHeyden, 2002). En la sección 4.1 despreciamos la contribución de los términos de masa inercial al término ~ fs a causa de que la densidad de la fase contide interacción entre fases S nua es mucho más pequeña que la densidad de la fase discreta en asientos uidizados por gas. Si el término de masa inercial debido al efecto de las mesoestructuras no es despreciable frente al término de arrastre, es necesario mantenerlo, al igual que se hizo en asientos uidizados por líquido. ~ fs en las Esto hace aumentar la importancia del término de interacción S ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento del asiento, lo
180
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
que puede hacer que el comportamiento de los asientos uidizados por gas se asemeje al de los asientos uidizados por líquido.
5.2 De nición del inicio de la inestabilidad para los toners Según lo que se ha comentado en la sección 5.1, el comportamiento de un asiento uidizado puede ser muy distinto del modelo que representa el asiento uidizado homogéneo, con distintos tipos de soluciones a las ecuaciones 4.1 a 4.4 perdiendo su estabilidad en favor de otras soluciones con estructura espacial más complicada. Por este motivo resulta conveniente especi car que tipo de estabilidad se pretende estudiar en este capítulo. Usando la teoría cinética puede demostrarse que en el rango de fracción sólida típica de un asiento uidizado, si sólo existen interacciones hidrodinámicas y colisiones entre partículas el asiento es inestable cuando el número de Stokes St = (2mp vt )=(3f d2p ) es mayor o del orden de 5 (Koch y Sangani, 1999) (mp es la masa de una partícula aislada). Sustituyendo como valores típicos para un asiento uidizado de toner dp = 10 m, p 1 g/cm3, f 1:9 10 2 cP y considerando agregados con N 50 partículas y 5 se tiene un valor para el número de Stokes de St 3:4. Por lo tanto, un asiento uidizado homogéneo de toner debe hacerse inestable frente a pequeñas perturbaciones para valores de la fracción sólida ligeramente menores que la fracción sólida c a partir de la cual desaparecen los contactos permanentes entre partículas. Debido al hecho de que la tasa de crecimiento de las ondas de porosidad unidimensionales es mucho más alta en asientos uidizados por gas que por líquido y a que en el caso de los asientos uidizados por gas el diámetro de las partículas es mucho menor que el diámetro de la sección del asiento (del orden de la decena de micrómetros frente a algunos centímetros en nuestro caso), no se aprecian ondas de porosidad unidimensionales en asientos uidizados por gas. En cuanto a las ondas de porosidad con componente transversal, es de esperar por las mismas razones que tengan un intervalo de estabilidad reducido, luego dentro del asiento las perturbaciones respecto a la uidización uniforme que podemos esperar encontrar son burbujas, bien incipientes, bien desarrolladas. De hecho, como vimos en el capítulo 4, un asiento uidizado de toner se expande conforme se aumenta el ujo de gas hasta un determinado valor de la velocidad super cial Umb , a partir de la cual se forman burbujas de gas que son visibles cuando rompen en la super cie del asiento. La aparición de burbujas visibles de gas va acompañada por violentas oscilaciones de la super cie libre del asiento, como se muestra en la gura 5.1. Cuando
5.2. De nición del inicio de la inestabilidad para los toners
181
la velocidad super cial U0 está muy próxima a la velocidad mínima de burbujeo Umb , la porosidad y la velocidad de sedimentación del asiento toman sus valores máximos emx , vsmx . Una vez que las burbujas aparecen, la velocidad de sedimentación del asiento es menor que la velocidad super cial del gas (ver gura 4.4) y la porosidad del asiento disminuye con respecto a su valor máximo (ver gura 5.1). De ahora en adelante, diremos que en el asiento existen burbujas desarrolladas cuando aparecen burbujas de gas visibles en su super cie. Esto no quiere decir que no existan burbujas mesoscópicas en el asiento para U0 < Umb . Al medir el coe ciente de difusión efectivo Def en un asiento de toner (capítulo 4) encontramos que los valores de Def indicaban que la velocidad individual de las partículas < j~upj > es dos órdenes de magnitud mayor que la velocidad intersticial del gas. Este valor tan grande de la velocidad individual no es admisible en un asiento uidizado homogéneo y ha de deberse a la existencia de estructuras hidrodinámicas mesoscópicas como las que se han comentado en el apartado anterior. Aunque un asiento uidizado de toner se encuentre lejos del estado de uidización homogénea, resulta interesante comparar el valor de la máxima porosidad del asiento emx , que como dijimos, se alcanza justo antes de que aparezcan burbujas desarrolladas en el asiento, con el valor teórico de la porosidad a la cual el estado de uidización homogénea alcanza el límite de estabilidad lineal. Este límite aparece porque al tener las partículas una inercia mucho mayor que la del gas, no son capaces de responder a las variaciones locales en la porosidad con la rapidez del gas (Jackson, 1963). Allí donde la fracción sólida local disminuye, las partículas presentan menor resistencia al ujo de gas con lo que las líneas de corriente de la fase continua tienden a concentrarse en las regiones de porosidad más alta. La presión debida a la fase discreta ps fuerza a las partículas a moverse hacia las regiones con baja concentración de partículas, tendiendo a homogeneizar la porosidad y las líneas de corriente del ujo de gas. La efectividad del mecanismo recuperador depende de la rapidez con que la presión ejercida por las partículas aumenta con la fracción sólida (Anderson y Jackson, 1968), es decir depende de la derivada de ps con la fracción sólida. Como el movimiento de las partículas bajo la acción de su propia presión es análogo a la propagación de una perturbación de la presión en un uido se de ne una velocidad llamada velocidad dinámica como:
p Ve2 =
@ps @
(5.1)
que se corresponde con la velocidad de propagación de las variaciones de la presión debida a las partículas en el asiento. Como se discutió al deducir la expresión 4.27 una variación en la velocidad super cial del gas
182
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado 0.90
10 9
0.85 0.80
7
0.75
6 5
0.70
4
altura
3
porosidad
porosidad
h (cm)
8
0.65
2
0.60 0.0
0.2
0.4
0.6 0.8 1.0 U0 (cm/s)
1.2
1.4
8 U0 = 0.53 cm/s 7.8 h (cm)
U0 = 1.15 cm/s
7.6 7.4 7.2 7 0
10
20
t (s)
30
40
Figura 5.1: Arriba: Dependencia de la altura media h y de la porosidad de un asiento e de toner CLC-700 magenta con la velocidad super cial del gas U0 para un peso por unidad de área de 130 Pa. Las barras indican la desviación estándard de h y e. Abajo: Evolución temporal de la altura media de la super cie libre del asiento para dos valores de la velocidad super cial U0 por encima y por debajo de Umb . La frecuencia de adquisición es de 20 Hz. causa una variación en la porosidad que se propaga con respecto a las partículas que forman el asiento con velocidad (velocidad cinemática):
V =
@vs @e
(5.2)
5.2. De nición del inicio de la inestabilidad para los toners
183
Según el criterio de Wallis (Wallis, 1969), el asiento se considera estable si se cumple: V < Ve (5.3)
Como la dependencia de vs con la porosidad es conocida para nuestros toners podemos calcular V . Para obtener Ve es necesario adoptar alguna expresión para la derivada de ps . Midiendo directamente la presión de las partículas (Zenit et al., 1997), se encuentra que los dos modelos que mejor ajustan la contribución colisional a la presión de las partículas son los modelos de Foscolo y Gibilaro (1987) y de Batchelor (1988). El modelo de Foscolo predice prácticamente la misma derivada de ps con la fracción sólida que la medida experimentalmente para < 0:3 aunque sobreestima los valores de la presión ps , a la que da por expresión:
1 ps = ngdp2 (p 3
f )
(5.4)
n es el exponente de la ley de Richardson-Zaki, para el que Foscolo toma
el valor 4.8. La expresión 5.4 se encuentra de admitir que la derivada de ps respecto a la fracción sólida está relacionada con la dependencia ~ sf con la fracción sólida. Repitiendo el procedimiento utidel término S lizado en Foscolo y Gibilaro (1987) para el caso de un asiento formado por agregados, se llega a que la presión debida a las partículas puede generalizarse en el caso de agregados como:
k4 1 ps = ngdp( )(p ) 3 N
(5.5)
Usando 4.35 con 5.2 el criterio de Wallis 5.3 se escribe: 1=2 q N 3n
kgdp >
k
2
vt 1ef=2 (1 ef )n
1
(5.6)
Usando los valores de N y k que se muestran en la tabla 4.1 se encuentran valores de emx comprendidos entre 0.9 y 1, que son bastante mayores que la porosidad a la cual aparecen burbujas en el asiento, cuando de lo dicho en el apartado 5.1 es de esperar que 5.6 proporcionara un valor muy por debajo de la porosidad a la máxima expansión del asiento (si las burbujas incipientes aparecen en cuanto desaparecen los contactos permanentes en el asiento 5.6 debería dejar de cumplirse para una porosidad cercana a 1 c ). Otros resultados experimentales con asientos uidizados de partículas tipo Geldart-A (Lettieri et al., 2001) también encuentran que los valores de emx dados por 5.6 son próximos a la porosidad máxima que alcanza el asiento si se tiene en cuenta la presencia de agregados. Si usamos el modelo de Batchelor, que da para la derivada de ps con la porosidad (Batchelor, 1988): ( " # ! ) d 2 2
g f @ps = p 1 U0 + 1 D (5.7)
@
d m
m
U0
p
184
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
donde es un parámetro que varía entre 1 cuando el número de Reynolds es pequeño y 2 cuando el número de Reynolds es grande, D es el coe ciente de difusión de las partículas y m el valor máximo de la fracción sólida (0.62 para el empaquetamiento aleatorio compacto de partículas esféricas). Si sustituimos los valores del coe ciente de difusión efectivo para el Canon CLC700 presentados en la sección 4.7, usamos para la velocidad super cial U0 la dependencia con la fracción sólida encontrada en 4.5 y hacemos m c , la velocidad Ve encontrada a partir de 5.7 es siempre mayor que V , es decir, el asiento uidizado uniforme debería ser estable para todos los valores de la fracción sólida. Como la fracción sólida a la que se alcanza el límite de la estabilidad lineal para un asiento uidizado que hemos encontrado usando nuestros resultados experimentales para evaluar ps está lejos de c , esto signi ca que los valores para ps dados por 5.5 y 5.7 varían mucho más rápidamente con la fracción sólida de lo que resulta razonable. Como en el rango de fracciones sólidas típicas de un asiento uidizado ps crece con (Zenit et al., 1997) esto parece indicar que 5.5 y 5.7 subestiman los valores de ps cuando la porosidad del asiento es grande. Como la presencia de estructuras pseudoturbulentas aumenta el valor de la presión debida a la fase discreta ps (Agrawal et al., 2001) y es de esperar que la importancia de la pseudoturbulencia sea mayor cuanto más expandido está el asiento, la existencia de estructuras pseudoturbulentas puede reducir el valor de la velocidad dinámica Ve de manera que 5.6 se cumpla a una fracción sólida cercana a c y a la vez retrasar el desarrollo de burbujas de gas en el asiento. De hecho, el valor de la porosidad a la que aparecen burbujas en el asiento emx tiende a ser mayor cuanto menor es el tamaño de las partículas (ver gura 5.2). En asientos bidimensionales uidizados por líquido en situaciones en las que no se forman burbujas desarrolladas la amplitud sat a la que se saturan las uctuaciones en la porosidad que se originan cuando las ondas de porosidad bidimensionales se desestabilizan depende del tamaño de las partículas como (Duru y Guazelli, 2002): sat / gd3p( f )2 (5.8)
f
El tiempo tb necesario para que una de estas uctuaciones (que hemos llamado burbujas incipientes) expulse de su interior las partículas que todavía la ocupen y se transforme en una burbuja desarrollada es función el número de Stokes (Batchelor y Nitsche, 1994): s p d2p g (5.9) St =
18f Rb
donde Rb es el radio de la burbuja incipiente. Cuando St disminuye tb aumenta; en concreto, en el límite de partículas muy pequeñas tb / St 1 .
5.2. De nición del inicio de la inestabilidad para los toners
185
0.92 em x
0.90
serie RT
0.88
Canon CLC-700
0.86 0.84 0.82 0.80 0.78 0.76 0
5
10
dp (µm)
15
20
25
Figura 5.2: Máxima expansión de un asiento uidizado para los toners que se presentan en la tabla 4.1. A la vista de 5.8 y 5.9, se entiende por qué cuanto menor es el tamaño de la partícula mayor es emx : para burbujas incipientes de un mismo tamaño cuanto más pequeñas son las partículas de toner menor es la diferencia entre la porosidad dentro de la burbuja incipiente y la porosidad fuera de ella, es decir la perturbación está más lejos de convertirse en una burbuja desarrollada y además necesita más tiempo para desarrollarse. Para que la velocidad con que se desarrollen las burbujas se mantenga cuando disminuimos el tamaño de la partícula es necesario aumentar la velocidad super cial del gas con lo que el asiento ha de expandirse para acomodar el incremento en la fuerza de arrastre del uido sobre las partículas. Por último, tanto los datos experimentales (Zenit et al., 1997) como los modelos teóricos (Batchelor, 1988) en los que ps tiene un origen hidrodinámico sugieren que a partir de un cierto valor de la fracción sólida, la contribución hidrodinámica a la presión de la fase discreta ps disminuye al aumentar la fracción sólida. Esto hace necesario que la existencia de otros mecanismos, como las fuerzas transmitidas entre contactos permanentes entre partículas, que hagan que la derivada de ps con respecto a no se haga negativa y el asiento se vuelva inestable para valores altos de la fracción sólida (Sundaresan, 2002). Esto parece indicar que el valor de c puede asociaciarse también con el valor de la fracción sólida para la cual la contribución de los mecanismos hidrodinámicos a la presión de la fase discreta ps alcanza su valor máximo.
186
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
5.3 Montaje experimental: espectrómetro
Hemos medido la existencia de uctuaciones en la porosidad de un asiento uidizado de toner CLC700 amarillo a partir de la luz difusa retrodispersada por las partículas del asiento. El recipiente para el asiento es un cilindro de vidrio de 8 cm de diámetro con un ltro de porcelana en su base para dejar pasar el gas. Se ha usado un ltro de porcelana y no uno de partículas de metal porque el ltro de porcelana tiene una resistencia muy alta que asegura que la distribución del ujo de gas sea homogénea. El gas utilizado es nitrógeno industrial y su ujo se regula mediante un controlador de ujo (rango de 0 a 2000 cm3 /min). Al igual que hicimos al estudiar la sedimentación, antes de llevar el asiento al grado de expansión deseado se uidiza el asiento mediante un ujo de gas tal que la velocidad super cial sea mayor que la velocidad mínima de burbujeo. El sistema óptico utilizado consiste en una fuente halógena de tungsteno que emite en las longitudes de onda entre 360 nm y 2 m. La luz emitida no es coherente, ni tampoco la potencia emitida en cada longitud de onda es constante en toda la banda de emisión. La luz es colimada e introducida en una guía óptica multihaz de seis bras que lleva la luz hasta un casquillo metálico cilíndrico de 6.4 mm de diámetro que se sumerge parcialmente en el asiento. La base del casquillo es una ventana de vidrio cortada a bisel para que se presente oblicuamente al ujo de gas. A través de la ventana pasa la luz y se re eja en las partículas. Las seis bras iluminantes rodean a una bra óptica que recoge la luz dispersada y la dirige hasta un espectrofotómetro. Todas las bras ópticas tienen 200 m de diámetro y transmiten preferentemente en la banda ultravioleta-visible (250-800 nm). El espectrómetro se con gura para medir la intensidad luminosa en el intervalo = 550 1:8 nm cuyo centro esta próximo al máximo de de intensidad re ejada por toner CLC700 amarillo para la composición espectral de la luz incidente y cuya anchura es de 5 canales del espectrofotómetro. El tiempo de integración de la señal es de 3 ms, lo que da un número de cuentas del orden de la mitad del máximo del aparato (2000 frente a 4096). La sensibilidad máxima del CCD lineal del espectrómetro es del orden de la decena de fotones por cuenta, según el fabricante. Un ordenador personal recoge los datos del espectrofotómetro para su posterior uso. La tasa de transferencia es de 43.5 Hz, luego 3 ms corresponden al tiempo de integración y 20 ms es tiempo empleado en la lectura y transferencia de datos entre adquisiciones.
5.4. Resultados experimentales: espectrómetro y sensor de altura
187
5.4 Resultados experimentales: espectrómetro y sensor de altura La gura 5.3 muestra la dependencia temporal de la intensidad luminosa para una velocidad super cial del gas de 0.68 cm/s. La intensidad luminosa varía rápidamente alrededor de un valor medio y de cuando en cuando tiene una caída brusca en forma de pico. Como en ausencia de partículas no hay luz retrodispersada que llegue a la sonda se considera que la aparición de un pico se debe al paso de una región de baja densidad de partículas. Como no se conoce la distancia de penetración de la luz en el asiento no es posible determinar el tamaño de las regiones de baja densidad de partículas que se detectan, aunque como el toner está pigmentado es de esperar que la longitud de penetración sea del orden de algunos diámetros de partícula (de otra forma el toner no sería útil para imprimir). Los picos muestran una distribución continua de alturas; el descenso en un pico ha de ser tanto más marcado cuanto menor sea la densidad de partículas o cuanto mayor sea el volumen de la región de baja densidad. Es también necesario indicar que la tasa de recuento no es lo su cientemente alta como para resolver temporalmente la variación temporal de la señal dentro de un pico. El ritmo de llegada de los picos es aleatorio, no cuasiperiódico, como sería de esperar si la aparición de los picos se debiera al paso de burbujas bien desarrolladas de un tamaño comparable a la región donde se dispersa la luz recogida en el espectrofotómetro (Johnsson et al., 2000). Entre picos, la señal también varía aleatoriamente con una amplitud bastante mayor que el ruido de la señal cuando no se hace pasar gas a través del asiento y las partículas están estáticas. En esta situación las variaciones se deben únicamente a uctuaciones aleatorias en el ritmo de llegada de los fotones al CCD. Por tanto, puede concluirse que las oscilaciones de la señal entre picos consecutivos se deben a la agitación de las partículas producida por el ujo de gas. La gura 5.4 muestra un intervalo temporal más amplio de la señal para distintos valores de la velocidad super cial del gas. Se observa que el aspecto general de la señal cambia cuando la porosidad del asiento es menor que ec = 1 c , es decir, cuando el asiento tiene cierta rigidez mecánica. Cuando e < ec las series tienen regiones quiescentes donde no se producen uctuaciones intercaladas entre regiones donde el comportamiento es similar al de las series para e > ec . La duración de las regiones quiescentes disminuye al aumentar la porosidad del asiento. Cuando e > ec no se distinguen en las series regiones diferenciadas, sólo picos separados por regiones donde la oscilación de la señal es más moderada, como en la gura 5.3. Conforme aumenta el ujo de gas los picos parecen
188
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
no. cuentas
2400 2200 2000 1800 1600 90
91
92
t (s)
93
94
95
Figura 5.3: Aspecto de la señal recogida en el espectrómetro para un asiento de toner CLC-700 amarillo. La velocidad super cial del gas U0 es de 0:68 cm/s. La señal muestra una serie de picos que aparecen aleatoriamente. Las echas indican las posiciones de los picos detectados por la rutina de análisis. hacerse más frecuentes. En la gura 5.4 se muestra también una serie tomada para una velocidad super cial U0 mayor que Umb . Se aprecia que aunque el asiento sea inestable y a escala macroscópica se observen burbujas, el aspecto de la señal no di ere de las series tomadas cuando el asiento es estable y e > ec . Estas señales son también similares a las obtenidas por otros autores midiendo la intensidad luminosa transmitida a través de un asiento estrecho uidizado por líquido en régimen pseudoturbulento (Ham et al., 1990). El aspecto de las series en la gura 5.4 parece indicar que la dinámica del asiento a la escala de las partículas en la situación inestable (U0 > Umb ) y en la estable (U0 < Umb ) es similar siempre que cuando U0 < Umb no existan contactos permanentes entre partículas (e > ec ) y que es representativo de un estado pseudoturbulento en el que aparecen estructuras mesoscópicas. De hecho el aspecto de la super cie libre del asiento parece indicar la presencia de estas estructuras 5.5. El carácter pseudoturbulento del ujo cuando e < ec puede explicar los valores del coe ciente de difusión efectivo Def presentados en la sección 4.7, que requieren que la velocidad individual de las partículas < j~upj > sea dos órdenes de magnitud mayor que la velocidad super cial del gas. Como se ha discutido en la sección 5.2 la presencia de mesoestructuras pseudoturbulentas puede proporcionar un mecanismo hidrodinámico que inhibe la formación de burbujas desarrolladas dentro
5.4. Resultados experimentales: espectrómetro y sensor de altura
189
U0 (cm/s)
e
1.14
0.85
señal
Umb 0.68
0.85
0.49
0.84
0.29
0.77
ec
0
50
100
t (s)
200
0.19
0.73
0.15
0.71
0.10
0.68
250
Figura 5.4: Dependencia temporal de la intensidad luminosa recogida en el espectrómetro en un asiento uidizado de toner CLC-700 amarillo. Se indica al lado de cada serie la velocidades super ciale del gas U0 y la porosidad del asiento. del asiento. Por tanto, la acción de estas estructuras puede explicar simultáneamente los valores del coe ciente de difusión y la existencia de un rango de velocidades del gas entre la velocidad mínima de uidización Umf y la velocidad mínima de burbujeo Umb en el que no aparecen burbujas desarrolladas, pero hace necesario admitir que aunque cuando e < ec y U0 < Umb no se aprecien burbujas de gas desarrolladas, el asiento es intrínsecamente inestable y no puede describirse como un asiento uidizado homogéneo. En cambio, la diferencia entre las series con porosidad por encima y por debajo de ec parece indicar que cuando e < ec el ujo de gas
190
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
S(1/l)
180 140 100 60 0.1
1
-1
1/l (cm )
10
100
1 cm Figura 5.5: Aspecto de la super cie libre del toner CLC-700 magenta para una velocidad super cial del gas U0 = 0:46cm=s. La grá ca muestra el promedio angular de la transformada de Fourier bidimensional de la imagen, que tiene una longitud típica de 0.6 cm aproximadamente. entre las partículas no es uniforme, sino que el gas pasa a través de las partículas siguiendo caminos preferentes. Dentro de estos caminos el gas tiene velocidad su ciente para agitar las partículas mientras que fuera de ellos pasa muy poco gas, así que la velocidad del gas no es su ciente para romper los contactos entre partículas. Cuando uno de estos caminos pasa cerca de la región iluminada por la bra óptica la intensidad luminosa se comporta como en las series tomadas para e > ec mientras que el resto del tiempo la serie ocupa una región quiescente. La inhomogeneidad en la distribución del ujo de la fase continua cuando e < ec explica por qué parte del peso del asiento ha de ser soportada por las partículas y se corresponde con la observación visual de la formación de canales dentro del asiento, que también han sido observados en otras condiciones experimentales por otros autores (Duru et al., 2002).
5.4. Resultados experimentales: espectrómetro y sensor de altura
191
U0 (cm/s) 1.26
señal
0.88
0.78
0.68 0.58 0
50
150
100
200
t (s)
Figura 5.6: Dependencia temporal de la intensidad luminosa recogida en el espectrómetro para distintas velocidades super ciales del gas en un asiento uidizado de esferas de vidrio de 56 13 m. Para comparar se ha repetido el experimento con esferas de vidrio de diámetro 56 13 m, un material del tipo Geldart-B con el que aparecen burbujas visibles sin que previamente se produzca una expansión apreciable del asiento. El aspecto de las series de intensidad luminosa frente al tiempo para este material se muestra en la gura 5.6. Todas las series se asemejan a las tomadas para el toner CLC700 cuando e > ec , por lo que es razonable admitir que el aspecto de las series del toner CLC700 para e > ec es compatible con la existencia de burbujas desarrolladas o incipientes en el interior del asiento. Si la detección de un pico se corresponde realmente con el paso de una región de baja densidad de partículas, el número de picos detectados por unidad de tiempo debería aumentar con la velocidad super cial del gas conforme el asiento se acerca al límite de estabilidad. Para discriminar los picos sobre el fondo de variación debido a la agitación de las partículas se ha seguido un criterio basado en la altura del pico. Si suponemos que la probabilidad de que un fotón sea dispersado de manera que vuelva a la bra óptica para su recuento es independiente de lo que ocurra con el resto de fotones, podemos admitir que el número de cuentas por unidad
192
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
de tiempo que registra el espectrofotómetro ha de tener una distribución gaussiana. Como el ritmo de llegada de los fotones se debe a procesos aleatorios individuales sin relación entre sí y que cambian con el tiempo al cambiar las posiciones de las partículas al ser arrastradas por el gas la desviación estándar de la distribución ha de ser igual a la raíz cuadrada del número medio de cuentas (como en las fuentes radiactivas). Sea mi el número de cuentas en el instante ti y s(i; j ) la desviación estándar del conjunto de medidas mi ; mi+1 ; :::; mi+j . Para detectar un pico a partir del instante i se calculan los valores de s(i; 1); s(i; 2); s(i; 3); :: y así hasta que para algún entero k > 2 se tiene que s(i; k ) y s(i; k + 1) son mayores que la raíz del número medio de cuentas. Cuando esto ocurre se cuenta un pico en el instante ti+k y se hace i = k +2. Como para detectar un pico necesitamos al menos tres puntos, la tasa máxima de detección que se puede conseguir es de 10:8 picos/s. El funcionamiento del método puede verse en la gura 5.3, y los resultados de aplicarlo a las series obtenidas para el toner CLC700 y las esferas de vidrio pueden verse en la gura 5.7. Se observa que para las esferas de vidrio el número medio de picos por unidad de tiempo crece rápidamente desde que se empieza a detectar el movimiento de las partículas, hasta alcanzar el máximo valor posible. Para el toner sólo se han representado valores para las series con e > ec . El crecimiento del número de picos por unidad de tiempo es más lento y el valor se satura cuando la velocidad super cial es próxima a Umb
5.5 Asiento uidizado sometido a vibraciones verticales La aparición y el crecimiento de inestabilidades en la porosidad de un asiento uidizado puede provocarse excitando el asiento mediante oscilaciones sinusoidales de la base del asiento en dirección vertical (Nicolas et al., 1996; Duru et al., 2002). En asientos uidizados por líquido los distintos modos de inestabilidad excitados que aparecen se encuentran los su cientemente separados y su evolución es lo su cientemente lenta como para que de la amplitud y la forma espacial de la inestabilidad se pueda extraer información sobre la viscosidad s y la presión ps de la fase discreta (Duru et al., 2002). Si los asientos uidizados por gas de partículas de toner se comportan de forma similar a los asientos uidizados por líquido, también ha de ser posible excitar inestabilidades mediante la aplicación de vibraciones en la base del asiento. Puesto que los factores de crecimiento de las inestabilidades en asientos uidizados por gas son mayores en en asientos uidizados por líquido y los distintos modos de inestabilidad en ausencia de excitación no se observan separados expe-
5.5. Asiento uidizado sometido a vibraciones verticales
193
Tasa de recuento (1/s)
10 8 6 4 2 0 0
0.5
1
0
0.5
1
U0 (cm/s)
1.5
2
1.5
2
Tasa de recuento (1/s)
5 4 3 2 1 0 U0 (cm/s)
Figura 5.7: Tasa de recuento de picos en función de la velocidad super cial del gas para el asiento de esferas de vidrio (arriba) y el de toner CLC-700 amarillo (abajo). rimentalmente, es de esperar que el efecto visible de la excitación sea la formación de burbujas desarrolladas dentro del asiento, aunque puedan existir efectos a escala microscópica antes de que la excitación sea lo su cientemente intensa como para provocar la aparición de burbujas desarrolladas de gas. La existencia de contactos permanentes entre partículas por debajo de la fracción sólida c también puede tener un efecto en el comportamiento del asiento cuando se aplica la excitación.
194
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
5.5.1 Montaje experimental: vibración El montaje experimental consta de un recipiente cilíndrico de metacrilato que contiene el toner. La base del cilindro de metacrilato está formada por un ltro de partículas metálicas sinterizadas con un tamaño de poro de 5 m. Como fase continua se usa nitrógeno industrial. El ujo de gas se controla mediante un controlador de ujo y se mide la caída de presión a través del asiento mediante un manómetro diferencial. El recipiente del toner es un cilindro de 2.52 cm de diámetro interior y está montado sobre un vibrador eléctrico. El asiento se vibra sinusoidalmente en dirección vertical. Tanto la amplitud como la frecuencia de la vibración son controladas a través del ampli cador que alimenta el vibrador. El rango de frecuencias que permite el ampli cador utilizado va de 10 a 1000 Hz, mientras que la amplitud máxima depende de la frecuencia. La amplitud de las oscilaciones se mide mediante un acelerómetro piezoeléctrico. La altura de la super cie libre del toner sobre el ltro de gas se mide mediante una cámara CCD para conocer la porosidad media del asiento. El asiento se ilumina con luz estroboscópica a la misma frecuencia de vibración si la amplitud de la vibración es resuelta por la cámara de video y con luz ordinaria en caso contrario. Por las mismas razones que se discutieron en el capitulo 4 al describir la expansión del toner en un asiento uidizado (ver gura 4.1), el asiento se somete a un ujo de gas tal que la velocidad super cial del gas sea mayor que la velocidad mínima de burbujeo Umb para luego reducir el ujo hasta la velocidad super cial U0 que proporciona la expansión deseada.
5.5.2 Resultados experimentales En todas las series experimentales se mantiene constante la velocidad super cial del gas U0 y la frecuencia de las oscilaciones y se incrementa poco a poco la amplitud A de las oscilaciones. El comportamiento del asiento depende de la fracción sólida 0 del asiento cuando la amplitud de oscilación es nula. Si 0 > c al aumentar la amplitud de las oscilaciones el asiento se compacta, a pesar de estar en presencia de un ujo de gas cuya velocidad super cial es mayor que la velocidad mínima de uidización Umf . La compactación es irreversible de forma que la fracción sólida del asiento no retorna a su valor original al disminuir hasta cero la amplitud A. El comportamiento del asiento es similar a la compactación por vibración de un empaquetamiento aleatorio laxo de partículas no uidizadas (Nowak et al., 1998; Brey et al., 2000a; Prados et al., 2000). En cambio, si 0 < c , conforme se aumenta la amplitud A el asiento se expande hasta que la amplitud alcanza cierto valor Ac en el que la po-
5.5. Asiento uidizado sometido a vibraciones verticales
195
rosidad del asiento alcanza un máximo para después disminuir. La caída de presión a través del asiento se mantiene constante independientemente de la amplitud A. La expansión inicial del asiento puede ser debida a que al aumentar la amplitud de vibración aumenta la frecuencia de las colisiones entre agregados de partículas en el interior del asiento, lo que puede disminuir el tamaño medio de los agregados. Las oscilaciones también pueden hacer que el gas se mezcle más e cientemente con las partículas, como ocurre en asientos uidizados de partículas muy cohesivas (Marring et al., 1994). Cuando 0 < c el comportamiento del asiento es reversible y la porosidad retoma sus valores anteriores si se disminuye la amplitud de vibración. El diferente comportamiento del asiento según la fracción sólida inicial es similar al comportamiento de un asiento de material granular que se hace oscilar horizontalmente. En esta situación aparecen inestabilidades convectivas cuya amplitud presenta histéresis frente a la amplitud de las oscilaciones (Tennakoon et al., 1999). La histéresis puede hacerse desaparecer haciendo que un ujo de gas atraviese el asiento. Según Tennakoon et al. (1999) la supresión de la histéresis se debe a la reducción de las fuerzas de fricción en los contactos entre partículas. Como en un asiento uidizado de nuestros materiales cuando < c no existen contactos permanentes entre partículas, el material no presenta fricción sólida y según el argumento de Tennakoon et al. (1999) es de esperar que no exista histéresis. Cuando > c la existencia de contactos permanentes en los que actúan fuerzas de fricción hace que la compactación del material sea irreversible. Una vez que el valor de la amplitud A supera la amplitud crítica Ac cuando < c pueden ocurrir dos tipos de inestabilidades, dependiendo de la fracción sólida inicial del asiento. En la gura 5.8 se ha representado el cambio en la fracción sólida = m 0 del toner CLC-700 magenta frente a la fracción sólida inicial 0 para distintas series experimentales tomadas a distinta frecuencia de excitación . m es la fracción sólida del asiento cuando A = Ac , en el caso en el que el asiento se expande (no hay contactos permanentes entre partículas) o bien la fracción sólida hasta la que se compacta el asiento cuanto existen contactos permanentes entre partículas. Esta gura muestra que depende principalmente del valor de 0 y más débilmente del valor de la frecuencia de vibración , excepto cuando 0 toma valores cercanos a la mínima fracción sólida del asiento mb = 1 emx . (Recuérdese que una vez que el asiento alcanza su máxima expansión las burbujas desarrolladas aparecen sin que sea necesario excitar de ninguna forma el asiento). En las proximidades de = 1 emx el valor de aumenta ligeramente al aumentar la frecuencia. Para el toner CLC-700 magenta c ' 0:28. Puede verse en la
196
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
gura 5.8 como para 0 > c el asiento se compacta ( > 0), mientras que para 0 < c el asiento se expande. Como es lógico, ! 0 cuando 0 ! mb . Por tanto el valor de debe tener un mínimo para tr entre mb y c . Para el toner CLC-700 magenta este mínimo está localizado en tr ' 0:24, independientemente de la frecuencia de las vibraciones. En el intervalo de fracciones sólidas comprendido entre tr y c cuando la amplitud de vibración alcanza el valor crítico Ac se observa una inestabilidad super cial consistente en la eyección localizada de material por encima de la super cie libre del asiento (en inglés "sloshing"). Esta inestabilidad se aprecia mejor cuando la frecuencia es baja < 100 Hz de manera que el valor de Ac es grande. En este rango de frecuencias el aspecto de la inestabilidad recuerda el de las ondas solitónicas llamadas oscilones que se han observado al vibrar asientos profundos de esferas no cohesivas (Umbanhowar et al., 1998). En asientos vibrados de materiales granulares nos también se han observado inestabilidades super ciales aún sin estar sometidos a un ujo de gas (Pak y Behringer, 1993; Duran, 2000). Como en nuestro caso, la inestabilidad se hace más notoria cuando la amplitud de vibración es grande (Pak y Behringer, 1993). Uno de los mecanismos identi cados en la aparición de la inestabilidad es la interacción de las partículas con el aire que las capas super ciales del asiento atrapan en cada ciclo de vibración (Duran, 2000). Cuando la fracción sólida del asiento se hace menor que tr la inestabilidad que se produce al alcanzar la amplitud crítica Ac no es una inestabilidad super cial, sino que la super cie libre del asiento comienza a oscilar debido a la llegada de burbujas de gas. La amplitud de las oscilaciones de la super cie libre aumenta con A, indicando un aumento del tamaño del las burbujas que llegan a la super cie libre. Como parte del ujo de gas atraviesa el asiento mediante las burbujas sin mezclarse con las partículas, la porosidad del asiento disminuye. El valor de tr coincide aproximadamente con el valor de la fracción sólida del asiento uidizado para el cual el coe ciente de difusión efectivo Def de la mezcla de toners toner CLC-700 amarillo y magenta del asiento alcanza su valor máximo (ver gura 4.14). Según los modelos en los que la presión de la fase discreta ps tiene un origen hidrodinámico, el coe ciente de difusión estabiliza el asiento uidizado frente a perturbaciones en la concentración local de partículas (Batchelor, 1988). De acuerdo con esto, cuando la fracción sólida del asiento uidizado es menor que tr la saturación en el coe ciente de difusión efectivo reduce la capacidad del asiento uidizado para amortiguar estas perturbaciones locales, lo que debe aumentar los exponentes de crecimiento de las inestabilidades en la distribución de la porosidad en el asiento.
5.5. Asiento uidizado sometido a vibraciones verticales
197
régimen fluidizado
Φmb
Φc sin contactos permanentes
con contactos permanentes
expansión
compactación
ν
burbujas de gas inestabilidad superficial
Φmb
8 h(cm) 7 6
Φc
5
con contactos permanentes
hhm hh0
4
sin contactos permanentes
3 0.1
0.15
0.2
φ 0 0.25
0.3
0.35
Figura 5.8: Arriba: Variación de la fracción sólida desde el valor correspondiente en ausencia de vibración hasta que se alcanza la amplitud crítica Ac si < c o hasta que la compactación del toner se detiene, si < c. En cada serie la frecuencia de vibración se mantiene constate. El toner empleado es CLC-700 magenta. Abajo: altura inicial y altura nal del asiento en función de la fracción sólida inicial 0 para la serie con = 300 Hz. Parece razonable admitir que las burbujas de gas que rompen en la super cie del asiento para A > Ac y 0 < tr son el resultado de la perturbación provocada por las oscilaciones en el ujo de gas y la porosidad local en las proximidades de la base del asiento. Al vibrar un asiento de
198
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
partículas lo su cientemente grandes como para poder despreciar el efecto del gas intersticial la fracción sólida crece con la altura cerca de la base del asiento (Wildman et al., 2000; Brey et al., 2001). La vibración de la base del asiento es capaz de provocar inestabilidades en la densidad del asiento similares a las ondas de porosidad unidimensionales y bidimensionales que se discutieron en la sección 5.1 en el caso de asientos uidizados (Brey et al., 2002) Cuando las partículas son lo su cientemente pequeñas como para que la interacción con el gas intersticial no sea despreciable por encima de cierta amplitud de vibración se forman burbujas de gas en las proximidades de la base del asiento. Las burbujas tienden a formarse en la parte del ciclo en la que la base del asiento desciende y en su ascenso hacia la super cie crecen de tamaño de manera que el tamaño de las burbujas al llegar a la super cie libre del asiento puede ser mucho mayor que la amplitud de la perturbación original que las causó (Pak y Behringer, 1994). Durante su ascenso hacia la super cie libre las burbujas pequeñas tienden a coalescer y las grandes a romperse. La tasa de formación de burbujas es independiente de la amplitud de vibración y del orden de unos pocos Hz, pero el tamaño medio de las burbujas crece al crecer la amplitud de la oscilación. Si suponemos que en nuestro caso la fracción sólida tiene el mismo comportamiento cerca de la base del asiento, las oscilaciones crean una situación de estrati cación inestable, análoga a la causada por la aparición de ondas viajeras de porosidad, que como ya hemos comentado, pueden iniciar la formación de burbujas dentro del asiento si su amplitud es lo su cientemente grande. No es de extrañar entonces que la amplitud de oscilación de la base del asiento tenga que sobrepasar un valor crítico Ac para conducir a la formación de burbujas dentro del asiento. Las burbujas hacen de cortocircuito para el ujo de la fase continua cuando el gas que hay en el interior de la burbuja no puede mezclarse con las partículas fuera de la burbuja. Esto ocurre cuando las líneas de corriente del gas en la burbuja son líneas cerradas que generan una super cie envolvente que encierra la partícula (Jackson, 2000). A este tipo de burbujas se las llama burbujas rápidas porque existen cuando la velocidad de ascenso Vb de la burbuja es mayor que la velocidad intersticial de la fase continua. La velocidad Vb depende del tamaño de la burbuja p según Vb = C gRb , donde C es un coe ciente del orden de la unidad (Jackson, 2000; van Wachem et al., 1998; Batchelor y Nitsche, 1994) y Rb es el radio típico de la burbuja. Tomando como valor típico de la velocidad intersticial de la fase continua cuando el asiento está plenamente uidizado v f 1 cm/s, son burbujas rápidas todas aquellas cuyo radio es mayor que v f 2 =(C 2 g ) 10 m, que es el orden de magnitud del diámetro de nuestras partículas. Si admitimos que el tamaño de las burbujas
5.5. Asiento uidizado sometido a vibraciones verticales
199
que se forman en las proximidades de la base del asiento es comparable a la amplitud de las oscilaciones y que han de ser burbujas rápidas, la amplitud crítica Ac ha de ser del orden de magnitud del diámetro de las partículas. La dependencia de la porosidad con la amplitud de la oscilación se muestra en la gura 5.9 para ambos toners utilizados, manteniendo constante la frecuencia y usando distintos valores de la velocidad super cial U0 . La amplitud A se ha adimensionalizado dividiéndola por el diámetro de la partícula de toner. El valor de Ac depende de la velocidad super cial del gas o lo que es lo mismo, de la porosidad del asiento cuando A = 0 y como se espera los valores típicos de Ac son comparables al diámetro de las partículas del toner utilizado en cada caso. Por supuesto Ac decrece conforme la velocidad super cial U0 se aproxima a la velocidad mínima de burbujeo Umb a la cual el asiento alcanza su máxima porosidad emb y para la que Ac debe valer cero. Para ambos toners Ac depende de la porosidad de la forma: Ac = G(emb e) (5.10) donde G es un factor de proporcionalidad. Para el toner clc-700 magenta, = 0:229 mientras que para el toner RT-5116 = 0:221, lo que parece indicar que la dependencia de Ac con la porosidad no se ve afectada por el tamaño de la partícula ni por sus propiedades super ciales. Es preciso indicar que existe una indeterminación en el valor de Ac debido a que es detectado mediante el cambio en la porosidad. El error típico en la porosidad en el experimento es del orden de 0.005, que se corresponde con la mitad de las divisiones de la escala vertical de la gura 5.9. Podemos de nir una velocidad super cial efectiva Uef como la velocidad super cial del gas para el asiento que tiene la misma fracción sólida cuando A = 0. La diferencia U0 Uef se debe al gas transportado por las burbujas en su interior. En un asiento uidizado en el que existen burbujas de tamaño bastante menor que las dimensiones de la sección del asiento, las burbujas suelen disponerse en trenes de burbujas (Duru y Guazelli, 2002; Pain et al., 2001). Si suponemos que él área S de la sección del asiento perteneciente a un tren de burbujas es proporcional a la sección de una burbuja, es decir a Rb2 , tendremos que U0 Uef / 4Rb3 b =(3S ) / Rb b , donde b es la frecuencia de paso de una burbuja en un tren de burbujas, entendiendo que el paso de las burbujas no se produce de forma periódica, sino aleatoria. La frecuencia de paso de las burbujas puede determinarse a partir de la frecuencia dominante en el espectro de potencias de la señal recogida por sondas que midan la fracción sólida local o la presión local en el asiento. Según los distintos autores b está comprendido en el rango de 1 a 10 Hz y no depende fuertemente de las condiciones experimentales (Johnsson et al., 2000; Pak y
200
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
porosidad
0.86
clc-700 magenta
0.25 cm/s
0.85
0.33 cm/s
0.84
0.42 cm/s 0.50 cm/s
0.83
0.58 cm/s
0.82
0.67 cm/s
0.81 0.80 0.79 0.78 0
1
0.87
2
A/dp
3
4
0.25 cm/s
RT 5116
0.85
0.33 cm/s 0.42 cm/s
0.84
0.50 cm/s
0.83
0.58 cm/s
0.82
0.67 cm/s
porosidad
0.86
0.81 0.80 0.79 0.78 0.0
0.5
1.0
A/dp
1.5
2.0
2.5
Figura 5.9: Dependencia de la porosidad de un asiento uidizado de toner Canon CLC-700 magenta y RT 5116 (0.2% de recubrimiento super cial) con la amplitud de vibración. La leyenda da el valor de la velocidad super cial U0 del gas. La frecuencia de la excitación es = 201 Hz en todas las series. Behringer, 1994; van der Schaaf et al., 2002; Enwald et al., 1999), así que podemos tomar U0 Uef como una medida del tamaño de las burbujas que se desarrollan dentro del asiento a partir de las perturbaciones en la porosidad local que se forman cerca de la base del asiento (entendiendo que se divide por una estimación para b ). Si usamos la expresión 4.35 y tenemos en cuenta que la porosidad del asiento no toma valores muy
5.5. Asiento uidizado sometido a vibraciones verticales alejados de la porosidad
U0
Uef
201
e0 cuando A = 0 se tiene que:
' nvt k (e 2
0
e) 1
0 k3 N
!
1
(5.11)
luego la diferencia e0 e ec e da una medida del tamaño de las burbujas. En la gura 5.10 se muestra la q disminución de la porosidad e = ec e del asiento en función de = (A Ac)=dp para distintos valores de la velocidad super cial U0 y la misma frecuencia de vibración . e crece linealmente con y para cada toner la pendiente de e frente a es prácticamente la misma independientemente del valor de U0 . En cambio, si se mantiene ja la velocidad super cial U0 y se cambia la frecuencia de vibración , e sigue creciendo linealmente con pero la pendiente de e frente a tiende a hacerse mayor cuanto mayor es la frecuencia (ver gura 5.11) Si se mantiene ja la velocidad super cial del gas U0 y se mide la amplitud crítica en función de la frecuencia , se encuentra que Ac presenta unos picos suaves a determinadas frecuencia pero en conjunto decrece con la frecuencia como 1:3 independientemente del valor de U0 (ver gura 5.12), con lo que la expresión 5.10 queda:
Ac = g ( )
:
13
(emb
e)
(5.12)
donde g ( ) tiene en cuenta los máximos locales de la amplitud crítica con la frecuencia. El esquema del comportamiento de la porosidad de un material ideal frente a la amplitud y la frecuencia de vibración se muestra en la gura 5.13. A una frecuencia de vibración 1 la porosidad del material se mantiene constante con la amplitud de vibración A hasta que la amplitud alcanza la envolvente dada por 5.12, que hemos representado tomando = 1=4 (suponemos que el material está perfectamente mezclado con el gas así que la vibración no mejora la calidad de la uidización). A partir q de entonces la porosidad disminuye proporcionalmente a (A Ac )=dp , siendo la constante de proporcionalidad independiente de U0 . Como la q dependencia (A Ac )=dp no permite que la curva de porosidad e frente a amplitud A para A > Ac sea tangente a la envolvente 5.12 cuando a Ac donde A = Ac , debe existir una región de valores de A próximos q el descenso de la porosidad no sea proporcional a (A Ac )=dp . Si se aumenta la frecuencia de vibración hasta un valor 2 la envolvente de los valores de Ac se estrecha hacia el eje de ordenadas y la porosidad cae más q rápidamente con (A Ac )=dp cuando se supera la amplitud crítica.
202
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
0.050 ec-e 0.040
clc-700 0.25 cm/s 0.33 cm/s 0.42 cm/s
0.030
0.50 cm/s 0.58 cm/s
0.020
0.67 cm/s
0.010 0.000 0
0.2
0.050 ec-e 0.040
0.4
0.6 0.8 1/2 (A/dp-Ac/dp)
1
1.2
1.4
RT 5116
0.030
0.34 cm/s 0.42 cm/s
0.020
0.50 cm/s 0.58 cm/s
0.010
0.67 cm/s 0.000 0.0
0.2
0.4 0.6 0.8 1/2 (A/dp-Ac/dp)
1.0
1.2
Figura 5.10: Disminución de la porosidad del asiento desde el punto de máxima expansión para las series experimentales de la gura 5.9. La frecuencia de la excitación es = 201 Hz en todas las series.
5.6 Resumen A partir de la medida de la dependencia temporal de la intensidad luminosa retrodispersada en un asiento uidizado hemos determinado que una vez que desaparecen los contactos permanentes entre partículas el ujo de partículas y de gas es pseudoturbulento. En el asiento aparecen regiones de baja densidad de partículas que son tanto más frecuentes
5.6. Resumen
203
0.05 ec-e
clc-700
0.04 0.03 50 Hz 0.02
100 Hz 150 Hz
0.01
201 Hz 302 Hz
0.00 0
1
0.12 ec-e 0.10
2 (A/dp-Ac/dp)1/2
RT 5116
3
4
50 Hz 100 Hz 150 Hz
0.08
200 Hz 300 Hz
0.06 0.04 0.02 0.00 0.0
0.5
1.0 1.5 2.0 1/2 (A/dp-Ac/dp)
2.5
3.0
Figura 5.11: Disminución de la porosidad del asiento desde el punto de máxima expansión para los toners Canon CLC-700 magenta y RT 5116 para distintos valores de la frecuencia de excitación y misma velocidad super cial U0 = 0:33 cm/s. cuanto mayor es la velocidad super cial del gas. Aunque estas regiones de baja densidad no van acompañadas de la formación de burbujas macroscópicas de gas hasta que la velocidad super cial del gas supera la velocidad mínima de burbujeo Umb , el comportamiento del asiento a escala del orden del tamaño de la partícula no di ere cualitativamente del comportamiento cuando U0 > Umb . Es de esperar que la existen-
204
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado 1.E-03
Ac (m) 1.E-04
Φ 0.185 1.E-05
0.266 0.233
1.E-06 1.E+01
1.E+02
ν (Hz)
1.E+03
1.E-03 Ac (m) 1.E-04
1.E-05
Canon RT(0.4% ) RT(0.2% )
1.E-06 1.E+01
1.E+02
ν (Hz)
1.E+03
Figura 5.12: Dependencia de la amplitud crítica Ac con la frecuencia de la vibración . (Arriba) Resultados para el toner CLC-700 magenta. Cada serie corresponde a una fracción sólida inicial cuyo valor se da en la leyenda. (Abajo) Resultados para tres toners con distintas propiedades super ciales. La fracció sólida inicial para los tres toners es = 0:185. cia de pseudoturbulencia aumente la contribución a la presión de la fase discreta ps , inhibiendo la formación de burbujas macroscópicas de gas y aumentando el rango de expansión del asiento. Se ha investigado la respuesta de un asiento uidizado de toner frente a vibraciones sinusoidales dirigidas verticalmente aplicadas a la base del
5.6. Resumen
emb
205
U0 3
porosidad
e3 U0 2 e2 U0 1 e1
ν1
ν2
A/dp Figura 5.13: Esquema del comportamiento idealizado de un asiento uidizado frente a vibraciones. Las echas indican la dependencia seguida por la porosidad cuando se aumenta desde cero la amplitud de vibración. Se ha representado el comportamiento para tres valores de la porosidad e1 < e2 < e3 y dos valores de la frecuencia de vibración con 1 > 2 . asiento. Se han identi cado tres regímenes distintos según la fracción sólida del asiento. Para fracciones sólidas mayores que un cierto valor c existen contactos permanentes entre partículas y el asiento responde a las vibraciones de una forma similar a como lo hace un asientos de partículas no cohesivas no uidizadas. Cuando la fracción sólida inicial del asiento cumple 0 < c de modo que no hay contactos permanentes entre partículas, salvo los que existen dentro de los agregados de partículas que están suspendidos en el uido, el asiento se expande hasta que se alcanza una amplitud crítica Ac . Cuando la amplitud de las vibraciones supera el valor Ac , aparece una inestabilidad cuya forma depende de si el valor de 0 supera cierto valor tr de la fracción sólida. Cuando tr < 0 < c , la inestabilidad que aparece toma la forma de eyecciones localizadas de material mientras que si mb < 0 < tr se forman burbujas de gas dentro el asiento. En líneas generales, en este régimen el valor de Ac disminuye al aumentar la velocidad super cial del gas y al aumentar la frecuencia de las oscilaciones.
206
Capítulo 5. Estabilidad del asiento uidizado
Conclusiones 1. Se ha medido la fuerza de adhesión en contactos entre partículas individuales de toner en función de la fuerza de carga aplicada al contacto. Se ha comprobado que el uso de aditivos condicionadores de ujo reduce la adhesión entre partículas y que la presencia de un campo eléctrico aumenta la fuerza de adhesión entre partículas. 2. Se ha construido un modelo analítico aproximado que describe la relación entre el radio del área de contacto y la fuerza de carga en un contacto en el que la deformación es elastoplástica. Este modelo puede ser usado para calcular la relaciónentre la fuerza de adhesión y la fuerza de carga en un contacto elastoplástico. Los resultados del modelo son compatibles con los valores de la fuerza de adhesión medidos experimentalmente. 3. Se ha medido la resistencia a la tracción en función del esfuerzo de consolidación y de la porosidad para un conjunto de toners cuyas partículas di eren en sus propiedades super ciales. Se ha comprobado que el uso de aditivos condicionadores de ujo reduce la resistencia a la tracción, de acuerdo con los modelos y los resultados experimentales para la adhesión entre partículas individuales. 4. Se ha presentado una forma de calcular la fuerza de adhesión entre partículas individuales a partir del valor de la resistencia a la tracción, que resulta de la acción conjunta de las fuerzas adhesivas entre todos los contactos existentes en una muestra macroscópica del material. Aunque la fuerza de adhesión calculada a partir de la resistencia a la tracción no coincide con la que se mide directamente, si se de ne una adhesión reducida f como la razón entre el valor medido y el estimado para la adhesión a una determinada fuerza de carga, f no depende de la cohesividad del material y presenta una distribución con un máximo en f ' 2 y un decaimiento exponencial para valores grandes de f . 5. Usando bloques fotoelásticos para visualizar las tensiones en las partículas de un material granular formado por una pila de estos
208
Conclusiones bloques se ha comprobado que las condiciones de contorno y que el grado de desorden del apilamiento de los bloques in uyen en la transmisión de tensiones dentro de este material granular modelo.
6. Se ha presentado un procedimiento por el que puede encontrarse la cohesión y el ángulo de fricción interna de materiales granulares cohesivos que no puedan ser uidizados con facilidad. El procedimiento se basa en las avalanchas provocadas por la fuerza centrífuga en una capa vertical de material granular cohesivo que gira alrededor de su eje vertical. 7. Se ha estudiado las avalanchas sucesivas de materiales granulares cohesivos en el tambor rotante a baja velocidad de rotación para comprobar la existencia de criticalidad autoorganizada. La distribución de tamaños de avalancha no muestra un decaimiento exponencial y su anchura está relacionada con la cohesión del material. Las distribuciones del máximo ángulo de estabilidad y del intervalo temporal entre avalanchas muestran picos bien de nidos. La posición de estos picos está correlacionada con la cohesión del material. Por tanto, se dedujo del experimento que las avalanchas sucesivas de un material cohesivo en el tambor rotante no son un ejemplo de sistema con criticalidad autoorganizada. 8. Se ha sometido a prueba la aproximación de ujo plástico incipiente en todos los puntos del interior de un material granular y se ha encontrado que esta aproximación no es válida cuando la cohesión es importante. Se ha presentado un método para calcular la máxima pendiente estable ' de la super cie libre de un material cohesivo usando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos en un sistema de n bloques. Los valores obtenidos mediante este método están razonablemente de acuerdo con los valores experimentales en un tambor rotante. 9. Mediante la medida de la velocidad de sedimentación de un asiento uidizado se ha mostrado que la acción de fuerzas atractivas entre partículas provoca la formación de agregados en el interior de un asiento uidizado de toner. El tamaño de los agregados y el número de partículas en un agregado dependen de la intensidad relativa de las fuerzas atractivas y el peso de las partículas individuales. Como consecuencia de la existencia de agregados la fuerza de interacción entre el uido y las partículas S sf no es la misma que si el asiento estuviera formado por partículas individuales. Hemos presentado una versión modi cada de la ley de Richardson-Zaki para tener en cuenta la presencia de agregados.
Conclusiones
209
10. Se ha encontrado que la uidización de un material granular no en el tambor rotante está gobernada por la razón entre la energía cinética por unidad de volumen del material y la resistencia a la tracción del material. Usando los resultados obtenidos en el estudio de la sedimentación de un asiento uidizado de toner puede justi carse la relación entre la expansión del toner cuando se lo uidiza en un tambor rotante, la energía cinética por unidad de volumen y la resistencia a la tracción del material. 11. A partir del estudio de la difusión de partículas en un asiento fuidizado hemos mostrado que el asiento presenta dos regímenes de comportamiento. Cuando la fracción sólida es mayor que cierto valor c las partículas establecen contactos duraderos con sus vecinas y no se difunden por el asiento, que se comporta como un sólido muy débil. Cuando < c los contactos duraderos desaparecen y las partículas son libres de moverse por el interior del asiento. En esta situación, las tensiones en el interior del asiento son soportadas por el uido y por las colisiones entre agregados de partículas. El valor de c puede determinarse a partir de la extrapolación a cero de los valores de la resistencia a la tracción del toner frente a la fracción sólida. 12. A partir de la medida de la dependencia temporal de la intensidad luminosa retrodispersada en un asiento uidizado hemos determinado que una vez que desaparecen los contactos permanentes entre partículas, el ujo de partículas y de gas es pseudoturbulento. En el asiento aparecen regiones de baja densidad de partículas que son tanto más frecuentes cuanto mayor es la velocidad super cial del gas. Estas regiones de baja densidad no van acompañadas de la formación de burbujas macroscópicas de gas hasta que la velocidad super cial del gas supera la velocidad mínima de burbujeo. Una vez que desaparecen los contactos permanentes entre partículas el comportamiento del asiento a escalas de tamaño del orden del diámetro de las partículas no cambia cualitativamente antes o después de la aparición de burbujas macroscópicas de gas. La existencia de pseudoturbulencia puede explicar el mayor rango de expansión de los materiales Geldart-A frente a los materiales Geldart-B debido a que aumenta la contribución a la presión de la fase discreta ps , inhibiendo la formación de burbujas macroscópicas de gas. 13. Se ha investigado la respuesta de un asiento uidizado de toner frente a vibraciones sinusoidales dirigidas verticalmente aplicadas a la base del asiento. Se han identi cado tres regímenes distintos según la fracción sólida del asiento. Cuando existen contactos
210
Conclusiones permanentes entre partículas el asiento responde a las vibraciones de una forma similar a como lo hace un asientos de partículas no cohesivas no uidizadas. Cuando no existen contactos permanentes entre partículas y la estabilidad del asiento se debe a factores hidrodinámicos el asiento se expande hasta que se alcanza una amplitud crítica Ac . En ese momento aparece una inestabilidad cuya forma depende de si el valor de la fracción sólida inicial del asiento 0 supera cierto valor tr . Cuando tr < 0 < c , la inestabilidad que aparece toma la forma de eyecciones localizadas de material mientras que si mb < 0 < tr se forman burbujas de gas dentro el asiento. En líneas generales, en este régimen el valor de Ac disminuye al aumentar la velocidad super cial del gas y al aumentar la frecuencia de las oscilaciones.
Apéndice A Apendice Supongamos dados el conjunto de valores sj y los valores de los parámetros y que de nen un miembro de la familia de curvas dada por 3.31. El problema de resolver simultáneamente el equilibrio de fuerzas y de momentos para el sistema de n bloques consiste en resolver el sistema de ecuaciones:
N0 ( ; ; ; ) = 0 (A.1) R0 ( ; ; ; ) = 0 en el rectángulo Z = (0 < < =2) ( 1 < < 1) (donde hemos supuesto que al menos un sj cumple s2j = 1). El primer problema consiste en saber si A.1 tiene solución para los valores dados y dados. En la gura A.1 se representan las funciones N0 ( ; ; ; ) y R0 ( ; ; ; ) para = 36:4o y = 22:50 . A.1 tiene solución si las líneas de nivel para N0 = 0 y R0 = 0 se cortan. Se observa que () a lo largo de la línea de nivel N0 = 0 es una función decreciente de . Esto ocurre así para todos los valores de y que se propongan, pues cuando < 0 las fuerzas Nj;j +1
se oponen al movimiento relativo de los bloques, mientras que cuando > 0 lo favorecen (repasar). Por tanto, si la ecuación N0 ( ; 1; ; ) = 0 no tiene ninguna solución en 0 < < =2, el sistema A.1 no la tendrá. Si encontramos una solución para N0 ( ; 1; ; ) = 0 podemos seguir la línea de nivel N0 desde = 1 para encontrar si corta en 1 < < 1 a la curva de nivel R0 = 0. El vector tangente a la línea de nivel N0 = 0 se obtiene directamente a partir de las derivadas de N0 . Derivando 3.27 con respecto a y se obtienen las relaciones de recurrencia:
@Nj 1;j [qj 1 sin( + j ) + cos( + j )] @ @Nj;j +1 [qj sin( + j ) + cos( + j )] = Wj cos( + j @ @Nj 1;j [qj 1 sin( + j ) + cos( + j )] @
(A.2)
) (A.3)
212
Apéndice A. Apendice
80
80
-0.2
0 60
α (grados)
α (grados)
60
0
40
0.2
20
0
40
0.1
20
-0.1
0.4 0
-1
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
0
-1
λ
-0.6
-0.2
0.2
0.6
1
λ
Figura A.1: Representación de las funciones N0 ( ; ; ; ) (izquierda) y R0 ( ; ; ; ) (derecha) para = 36:4o , = 22:50 , = 25o , c = 0:048.
@Nj;j +1 [qj sin( + j ) + cos( + j )] @ + Nj 1;j sj 1 sin( + j ) Nj;j +1sj sin( + j ) = sj sin( + j )cvj hj sj 1 sin( + j )cj 1 hj 1 con las que podemos hallar las derivadas de
N1;2 para sustituirlas en:
@N0 @N1;2 = [q1 sin( + 1 ) + cos( + 1 )] W1 cos( + 1 ) @ @
(A.4)
@N0 @N1;2 = [q1 sin( + 1 ) + cos( + 1 )] @ @ +N1;2 s1 sin( + 1 ) + s1 sin( + 1 )cv1 h1
(A.5)
y de esta forma hallar las derivadas de N0 . En cada punto de la curva calculamos el valor de R0 . Si en una iteración el valor de R0 cambia de signo hemos cruzado la curva de nivel R0 = 0. El punto medio (que llamaremos M ) entre las dos últimas iteraciones para la curva N0 = 0 puede tomarse como punto inicial para resolver A.1 mediante el método de Newton-Raphson. Si por el contrario llegamos a = 1 si haber encontrado un corte con R0 = 0 el sistema no tiene solución. Para aplicar Newton-Raphson necesitamos las derivadas de R0 que se obtienen derivando 3.29 para obtener las derivadas de R1 resolviendo las ecuaciones de recurrencia: @Rj 1 @Rj @Mj @Nj 1;j 1 1 = + lj sin j bqj 1 (A.6) @ @ @ @ 2 2
+
@Nj;j +1 1 l sin j @ 2 j
1 bq 2 j
213
@N 1 @N @Rj 1 @Rj 1 + bqj 1 j 1;j + bqj j;j +1 @ @ 2 @ 2 @ h i 1 h i 1 + bsj 1 Nj 1;j + cvj 1 hj 1 + bsj Nj;j +1 + cvj hj 2 " # 2 1 @Nj 1;j @Nj;j +1 = lj sin j 2 @ @
(A.7)
y después sustituimos en:
@R0 @R1 = @ @
@M1 @
1 @N 1 @N bq1 1;2 + l1 sin 1 1;2 2 @ 2 @
(A.8)
@R0 @R1 1 @N 1 @N 1 = bq1 1;2 + l1 sin 1 1;2 bs1 (N1;2 + c1 h1 ) (A.9) @ @ 2 @ 2 @ 2 Como sólo es necesario que M sea una aproximación razonable a la solución de A.1, no es necesario resolver N0 ( ; 1; ; ) = 0 ni integrar la curva de nivel N0 = 0 con mucha precisión. Vista la gura A.1 parece
que resolver A.1 no es difícil. Sin embargo, el problema no es tan sencillo. En la relación de recurrencia 3.27 para encontrar Nj 1;j hay que dividir por Qj 1 = qj 1 sin( + j ) + cos( + j ) y existe la posibilidad de j sea tal que Qj 1 sea próximo a cero o incluso nulo. Como cada bloque tiene un valor distinto para j , Qj no se hace pequeño o nulo para todos los bloques a la vez, sólo para algunos. Si Qj es muy pequeño, Nj;j +1 puede tomar un valor muy grande de manera que al nal de la relación de recurrencia N0 tendrá un valor desproporcionadamente grande. En general, N0 diverge siempre que exista un Qj en 3.27 que sea próximo a cero. Como en 3.29 aparece Nj;j +1 si N0 diverge R0 también lo hace. Como los j son jos para y dados Qj = 0 es una ecuación para (pues qj = sj , así que las singularidades de N0 y R0 aparecen en rectas de constante en el rectángulo Z que lo dividen en rectángulos más pequeños, lo que signi ca que A.1 puede tener más de una solución y hay que decidir cual de esas soluciones tiene sentido físico. Esta es la situación que se muestra en la gura A.2. Como las fuerzas tangenciales a las super cies que limitan los bloques Tj y Tj;j +1 han sido de nidas positivas (el sentido de Tj;j +1 depende del signo de qj ), de 3.25 se deduce para que una solución tenga sentido físico ha de cumplirse:
Nj
1;j >
1h cj 1 hj 1 ; Nj > clj
y además, de la de nición de
(A.10)
Rj :
0 < Rj =Nj;j +1 < 1
(A.11)
214
Apéndice A. Apendice
80
0
60
α (grados)
α (grados)
-2
-2
60
0.25
0
80
-4 -4
0
40
-0.25 -0.25 -0.25
40
0 20
2
2 0 4
0
-1
-0.6
20
-0.5
-0.5
4 -0.2
0.2
0.6
1
0
-0.6
-1
λ
-0.2
0.2
0.6
1
λ
Figura A.2: Representación de las funciones N0 ( ; ; ; ) (izquierda) y R0 ( ; ; ; ) (derecha) para = 66:87o , = 36:4o , = 250 , c = 0:048. El mayor valor de j +1 que haga Qj = 0 da la máxima pendiente de la super cie de deslizamiento dentro del material. De Qj = 0 se tiene:
qj tan tan( + j +1 ) = 1 Si sj
= 1 se tiene:
(A.12)
!
1 j +1 = arctan (A.13) tan Como < =2 si < 0 entonces + j +1 < =2, mientras que si > 0 entonces + j +1 > =2, así que para que j +1 sea mínimo = 1 y se tiene: m = 2 (A.14) 2
la pendiente de la super cie de deslizamiento de la super cie de deslizamiento no puede alcanzar el valor m para que la solución tenga signi cado físico. Para estudiar cuándo las soluciones tienen sentido físico simpli camos la super cie de deslizamiento usando un arco de circunferencia cuyo centro esté a una distancia z sobre el centro de la super cie libre del material. La profundidad máxima de la super cie de deslizamiento es h de forma que el radio de curvatura de la super cie de deslizamiento es z + h. Por simpli car hacemos el radio del tambor igual 1 y suponemos que el tambor está semilleno. Usamos un sistema de cinco bloques de manera que el arco de circunferencia está aproximado por una poligonal con cinco segmentos. La máxima pendiente de la poligonal está es la del bloque que alcanza la super cie libre del material y vale: p 1 z + z 2 b2 + 2b (A.15) tan =
b
215 90
α (grados)
80 70
c* = 0.05
60 50
c* = 0.01
40
c* = 0.05
c* = 0.01 30 0
0.2
0.4
h
0.6
0.8
1
Figura A.3: Valor de solución de la ecuación N0 ( ; ) = 0 para = 1 y una super cie de deslizamiento con forma de arco de circunferencia aproximada por una poligonal con cinco segmentos. Los parámetros del material son = 30o y c = 0:01 y c = 0:05. h es la profundidad máxima de la super cie de deslizamiento. La línea vertical marca la profundidad h = 0:346, para la cual la máxima pendiente de la poligonal cumple A.14. Las curvas de trazo grueso indican las soluciones con sentido físico. Como para llegar a A.14se ha hecho = 1 no imponemos equilibrio de momentos. El ángulo 0 solución del equilibrio de fuerzas con = 1 se representa en la gura A.3 frente a h. 0 tiene dos ramas, una con derivada segunda negativa y otra con derivada segunda positiva. En A.10 se han representado con trazo grueso las soluciones que cumplen la condición A.10. En todos los casos las soluciones con sentido físico se encuentran en la rama con derivada segunda positiva y h es tal que la pendiente máxima de la poligonal no alcanza el valor máximo dado por A.14. Si se deriva A.14 con respecto a se tiene:
tan dm = d 1 + 2 tan
(A.16)
luego m crece al crecer , con lo que crece la profundidad hasta la cual aparecen soluciones con sentido físico. Por tanto si al resolver A.1 se encuentra más de una solución, la solución con sentido físico será la que tenga mayor valor de .
216
Apéndice A. Apendice
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