UD. 4 CÁLCULO DE CIRCUITOS 4.1. ACOPLAMIENTO DE RECEPTORES EN SERIE.

• Consiste en ir conectando el terminal de salida de uno con el de entrada del otro.

V

I

V = VAB + VBC + VCD A

R1 VAB

R2

B

C

VBC

R3

D

VCD

V

VAB = R1 · I VBC = R2 · I VCD = R3 · I

Los electrones no se quedan en ningún lugar.

IR1 = IR2 = IR3 = I

V= R1 · I + R2 · I + R3 · I V = I · (R1 + R2 + R3) I=

V R 1 + R 2 + R3

Resistencia Total Equivalente (RT) • Resistencia que produce los mismos efectos que todo el conjunto de resistencias. I

V

RT A V

V I= RT

D

RT = R1+ R2 + R3

V

I

A

R1

B

VAB

R2

C

VBC

R3

D

VCD

V

• POTENCIAS. P1 = VAB · I P2 = VBC · I P3 = VCD · I

PT = P1 + P2 + P3

PT = V · I

• Ejercicio 1: Se conectan a una batería de acumuladores de 24v dos resistencias en serie de 20Ω y 10 Ω. Dibujar el esquema y determinar la intensidad que recorre el circuito, la tensión a la que queda sometida cada resistencia, la potencia de cada una de las resistencias y la potencia total del circuito. • Ejercicio 2: En el circuito de la figura, la tensión que se ha medido con el voltímetro es de 100v.Con estos datos calcular la intensidad de corriente, la tensión y potencia de cada una de las resistencias y del conjunto.

• Ejercicio 3: Se desea aprovechar unas lámparas de 115v/40w para conectarlas a una red de 230v. ¿Cuántas lámparas será necesario montar en serie?¿Que intensidad recorrerá el circuito?¿Cual será la potencia total consumida por el conjunto de lámparas?¿Cual será la resistencia de cada lámpara y la equivalente al conjunto de las mismas? • Ejercicio 4: Para que una lámpara incandescente de 110v/40w no se funda al conectarla a una red de 230v se le conecta una resistencia en serie. Calcular el valor óhmico de esta resistencia, así como su potencia. Dibujar el esquema eléctrico.

APLICACIONES PRÁCTICAS DEL ACOPLAMIENTO EN SERIE. • Lámparas conectadas en serie. (Árbol de navidad). • Reostatos. • Resistencias variables conectadas en serie con un receptor. • Producen una caída de tensión variable consiguiendo regular la intensidad, tensión y potencia del receptor.

Rvariable

V I R

Ejercicio 5: Para regular la intensidad que recorre un receptor eléctrico de 10Ω de resistencia se conecta en serie con él un reóstato. Determinar los valores óhmicos que habrá que tener dicho reóstato para conseguir que la intensidad de corriente esté entre 1 y 10A al aplicar al conjunto una tensión de 230v.

** El reóstato no es muy buena solución para regular corrientes de carga considerables, dada la elevada potencia perdida que se desarrolla en él. En la práctica sólo se emplean reóstatos o resistencias variables en los circuitos en que las corrientes son muy pequeñas (algunos miliamperios). Se suelen emplear en aplicaciones de circuitos electrónicos, para corrientes elevadas se emplean otros medios a base de semiconductores.. **

4.2. ACOPLAMIENTO DE RECEPTORES EN PARALELO.

• Acoplamiento en Paralelo o Derivación es conectar los terminales de dichos receptores entre sí. • Todas las entradas juntas y todas las salidas juntas. • Todos los receptores están sometidos a la misma tensión.

V = VR1 = VR2 = VR3

V

V = VR1 = VR2 = VR3 IT

I1 I2

R1

IT se reparte por cada resistencia.

R2

A

B I3

R3

I1 + I2 + I3 = IT

V

I1 

V R1

; I2 

V R2

; I3 

V R3

V V V   1 1 1 IT     IT  V      R1 R2 R3  R1 R2 R3 

V

IT

I1

R1

I2

R2

1 1 1 IT  V      R1 R2 R3 

A

B I3

R3 V

I

V IT  RT

V

RT A V

B

1 RT  1 1 1   R1 R2 R3

• Las Potencias quedan como siguen:

P1 = V · I1 P2 = V · I2 P3 = V · I3

PT = P1+ P2 + P3 =V · IT

Ejercicio 6: A una pila de 9V se le conectan dos resistencias en paralelo de 6 y 2Ω, respectivamente. Calcular: a) La resistencia total b) La intensidad de cada resistencia y del conjunto. c) La potencia de cada una, así como la total cedida por la pila. Dibujar el esquema. Ejercicio 7: En el circuito de figura, la intensidad de corriente que se ha medido con un amperímetro en la resistencia R2 es de 2A. Con estos datos, calcular la intensidad de corriente por el resto de las resistencias, así como la tensión y corriente suministrada por el generador.

Ejercicio 8: Una línea eléctrica de 230v alimenta a los siguientes receptores: una lámpara incandescente de 60w, una cocina eléctrica de 3kw y una estufa de 1kw. Calcular: a) la intensidad que absorbe cada receptor de la red. b) resistencia de cada receptor c) Resistencia total. Dibuja el esquema.

4.3.- CIRCUITOS MIXTOS. •

Al igual que es posible conectar receptores en serie o en paralelo, en ocasiones pueden aparecer circuitos con receptores acoplados en serie mezclados con receptores acoplados en paralelo. V

R2 R1

A

R3

C

•

Para resolver circuitos mixtos hay que seguir los siguientes pasos:

1)

Reducir a su circuito equivalente aquellas partes del circuito que estén claramente acopladas, bien en serie o en paralelo.

2) Dibujar sucesivamente los nuevos circuitos equivalentes obtenidos, indicando las magnitudes conocidas y desconocidas. 3) Calcular las magnitudes desconocidas del circuito desde los circuitos equivalentes más reducidos hasta el circuito original.

Ejercicio 9: Determinar las tensiones, potencias e intensidades de cada una de las resistencias del circuito mixto anterior si aplicamos entre los extremos AC del circuito una tensión de 24,8v. Sabiendo que R1=10Ω. R2=6Ω, R3=4Ω. V Dibuja el esquema en cada paso.

R2 R1 R3

Ejercicio 10: Determinar las tensiones, potencias e intensidades de cada una de las resistencias del circuito mixto de la figura si aplicamos entre los extremos del circuito una tensión de 100v.

4.4. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS CON VARIAS MALLAS. • Gustav Robert Kirchhoff enuncio dos reglas que permiten resolver de forma sistemática problemas de circuitos eléctricos, que tendrían díficil solución por aplicación directa de la ley de Ohm. • En primer lugar vamos a definir tres elementos: Nudo: Punto de un circuito donde se unen más de dos conductores. En el esquema inferior los nudos o nodos correspondería a las letras A, B, C, y D. Rama: Es el conjunto de todos los elementos de un circuito comprendido entre dos nudos consecutivos así las ramas existentes serían: AB, BD, BC, AD, DC. Malla: Conjunto de todas las ramas que forman un camino cerrado en un circuito y que no puede subdividirse en otros, ni pasar dos veces por la misma rama. En el circuito inferior podemos apreciar tres ramas: ABDA, DBCD y ADCA.

4.4.1.- LEYES DE KIRCHHOFF. 1ª LEY DE KIRCHHOFF. Regla de los nudos: En todo circuito eléctrico, la suma de las corrientes que se dirigen hacia el nudo es igual a la suma de las intensidades que se alejan de él. Por lo tanto la suma algebraica de las intensidades en un nudo es 0. Es decir  I  0 Para aplicar esta regla hay que fijar un sentido positivo I1

I3

A I2

I1+ I2 = I3

I1+ I2 - I3 = 0

2ª LEY DE KIRCHHOFF.

• Regla de las mallas: La suma algebraica de las fuerzas electromotrices aplicadas a una malla es igual a la suma de las caídas de tensión en dicha malla. Es decir  i   Ii  Ri .

E -

+

I

M R

V=R·I

I

Para aplicar esta regla se empieza por elegir un sentido de circulación positivo (por ejemplo, el contrario a las agujas del reloj) y se asignan sentidos arbitrarios a las intensidades que circulan por cada rama. Todas las fuerzas electromotrices que tengan este sentido serán positivas, y negativas las que tengan sentido contrario.

4.4.2 ¿CÓMO SE APLICAN LAS LEYES DE KIRCHHOFF PARA RESOLVER CIRCUITOS? a) Se fijan provisionalmente el sentido de las intensidades de corriente que circulan por el circuito. Los generadores proporcionan corriente por su terminal positivo. I3

I1

I2

I1

I2 I3

b) Se fija un sentido para recorrer cada una de las mallas (sentido horario). Las f.e.m. y las caídas de tensión se consideran positivas si van del polo positivo al negativo y su sentido coincide con el marcado por nosotros en la malla y negativo en caso contrario.

c) Se aplica la 1ª Ley de Kirchhoff a todos los nudos del circuito excepto a uno. I3 I1

I2

Nudo A => I1 + I2 = I3

d) Se aplica la 2ª Ley de Kirchhoff a tantas mallas como sea necesario para disponer de tantas ecuaciones como incógnitas.

Malla M1 => E1 – E2= r1·I1 - r2·I2 Malla M2 => E2 = r2·I2 + RL·I3

• Por lo tanto tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Nudo A => I1 + I2 = I3 Malla M1 => E1 – E2= r1·I1 - r2·I2 Malla M2 => E2 = r2·I2 + RL·I3

EJERCICIO PASO A PASO. Calcular las intensidades de corriente: I1, I2, I3, que circulan por las ramas del circuito de la figura:

A continuación se proponen los pasos a seguir:

1.- Fijamos los nudos del circuito: Puntos A y B del circuito

2.- Determinamos las ramas del circuito, cuyo número será igual a las intensidades de corriente incógnitas que tenemos: I1, I2, I3

3. Determinamos las mallas del circuito.

4.- Se fija arbitrariamente los sentidos de I1, I2, I3, en su respectiva rama.

5.- Se fija los sentidos de las F.e.m. de los generadores V1, V2, V3, V4, V5, mediante una flecha del (-) al (+) de los mismos.

6.- Se aplica la primera Ley de Kirchhoff a tantos nudos como sea necesario hasta que sean consideradas todas las incógnitas.

Por lo tanto tenemos

I1=I2+I3

7.- Se elige un número de mallas (de las vistas en el punto 3) = (Número de I incógnitas) – (Número de nudos considerados en el punto 6) En nuestro ejercicio: Nº mallas = 3 – 1 = 2 Se pone en cada malla elegida un sentido (+) para considerar las flechas puestas en intensidades y voltajes. Se puede considerar el sentido de las agujas del reloj o el contrario.

8.- Aplicamos la 2ª Ley de Kirchhoff a cada malla elegida:  i   Ii  Ri teniendo en cuenta los sentidos de las flechas de las I y de las V de la malla respecto al sentido (+) considerado.

o lo que es lo mismo

- 6 = 11 I1 + 5 I2

3 = - 5 I2 + 23 I3

9.- Finalmente se resuelve el sistema con las tres ecuaciones obtenidas al aplicar la 1ª y 2ª Leyes de Kirchhoff.

I1 = 0,03620 A Soluciones finales:

I2 = -0, 4045 A I3 = 0,0425 A

DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE 2 PUNTOS • Una vez resuelto un circuito, por Kirchhoff, y conocidas las intensidades que circulan por cada rama podremos ser capaces de determinar: a) Intensidad que atraviesa cada componente, que será la misma que la que circule por la rama donde se encuentre el mismo b) Caída de tensión en un componente cualquiera, determinada por la Ley de Ohm. c) Potencia disipada o absorbida por un componente cualquiera: Como en cada rama hemos calculado las intensidades, resulta útil que una vez determinado su valor y su sentido dibujemos una flecha sobre la rama indicando el sentido en que circula y así recorrer el camino que hayamos elegido, y que nos lleva de A a B, consideraremos positivas las intensidades y las tensiones (Generadores V) que vayan en el mismo sentido en que nos movemos y negativas en sentido opuesto. Conviene prestar especial atención al realizar este paso, no olvidemos que cada vez que cambiamos de rama cambia la intensidad.

Una sencilla comprobación de que nuestro circuito está bien consiste en calcular la diferencia de potencial entre dos puntos yendo por varios caminos distintos debiendo coincidir; de no ser así deberiamos revisar la resolución del circuito por Kirchhoff. Así pues dibujamos el circuito con los sentidos reales de las corrientes obtenidas.

Como podemos ver el resultado es el mismo, luego está bien resuelto. (Las pequeñas variaciones en los resultados se deben al hecho de no haber trabajado con todos los decimales)

Ejercicio 11: Para el siguiente circuito calcular la intensidad, la tensión en los bornes de la lámpara y la potencia que consume.

Ejercicio 12: Se conectan en serie tres baterías de acumuladores para alimentar un horno de 5Ω de resistencia. Determinar la tensión en los bornes del horno, así como su tensión y potencia.

Ejercicio 13: Se trata de averiguar las corrientes I1, I2 e I3 que fluyen por cada una de las ramas del siguiente circuito:

4.5.- TRANSFORMACIÓN -

- 

• TRANSFORMACIÓN - . • Cuando las resistencias no están conectadas ni en serie ni en paralelo. • Estos circuitos se pueden resolver por Kirchhoff. • Es más sencillo transformar las resistencias conectadas en triángulo a estrella.

A R1

A R3

Ra

R2 C

R1

B

R4

R5

R3

Rc

Rb R2 C

B

D

R1  R 3 Ra  R1  R 2  R 3 R1  R 2 Rb  R1  R 2  R 3

R2  R3 Rc  R1  R 2  R 3

A Ra Rc

Rb C

B

R4

R5

D

A

A

R1

R3

10 

30 

Ra

R2 C

R1

B

R3

20 

R4

R5

40 

Rc

Rb

50 

R2 C

D

B A

A Ra 5

Rb

Rc

3,33 

10 

C

A

Ra

Ra

5

5

RT

B

R4

A

30,2 

R4b

R5c

Rp

4,3 

60 

25,2 

R5

40 

50 

D

D

D

D

Ejercicio 14: Determinar la resistencia equivalente del siguiente circuito:

TRANSFORMACIÓN -  A

R1 Ra

Rc

R3

R2 Rb C

B

R1  R 2  R1  R 3  R 2  R 3 Ra  R3 R1  R 2  R1  R 3  R 2  R 3 Rb  R1 R1  R 2  R1  R 3  R 2  R 3 Rc  R2

El valor de las resistencias del triángulo es igual a la suma de las resistencias de la estrella multiplicadas de dos en dos y dividido entre la resistencia que se encuentra en el lado opuesto de la estrella.

Ejercicio 15: Determinar la resistencia equivalente del siguiente circuito:

4.6. TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN. • Un circuito formado por varias fuentes de tensión o de corriente, la tensión o la corriente que se presenta en cualquier componente, es la suma de los efectos producidos por cada una de las fuentes trabajando independientemente. Si en una red actúan varias fem dando lugar a una serie de corrientes, éstas son iguales a la suma de las que produciría cada fem actuando por separado. Este principio resuelve problemas de redes en los que existen fem en paralelo con resistencias y no se puede hallar fácilmente la resistencia equivalente.

• Proceso de resolución: • 1º Se selecciona una de las fuentes para que actúe por separado. • 2º Para eliminar el resto de las fuentes: - Si es una fuente de tensión se sustituye por un cortocircuito. - Si es una fuente de corriente se sustituye por un circuito abierto. • 3º Se calculan las corrientes de los circuitos correspondientes a cada fuente por separado, para posteriormente sumarlas y obtener el resultado buscado

Ejemplo

En este caso, al aplicar el principio de superposición para las corrientes resulta que:

Teorema de Superposición

I=I’+I’’ I1=I1’+I1’’ I2=I2’+I2’’

Ejercicio 16: Determinar las corrientes proporcionales por cada uno de los generadores del circuito de la figura, asi como la corriente que fluye por la carga de 10Ω

4.7. TEOREMA DE THEVENIN. • A veces hay que cambiar una resistencia de un circuito permaneciendo igual el resto. En la siguiente figura si cambiamos R, habrá que calcular las intensidades en todas las ramas para saber cuál es la que circula por la nueva resistencia.

• Sin embargo, el teorema Thévenin nos permite simplificar el circuito aplicado entre A y B y calcular la intensidad que circula la intensidad que circula por R cualquiera que sea su valor. • El enunciado del teorema es el siguiente: Una red que tenga dos terminales, se comporta respecto de una resistencia de carga colocada entre ellos como un simple generador de fem Ex y resistencia interna Rx. Mediante este teorema es posible reducir una red compleja con varias cargas interconectadas entre sí y encontrar un circuito equivalente sencillo, en el que solamente aparezca una fuente de tensión ideal con una resistencia en serie.

Ex y Rx se calculan de la siguiente forma: • Ex= Diferencia de potencial entre los terminales cuando se quita R. • Rx= Resistencia equivalente entre los terminales si se anulan todas las fem de la red. • La polaridad de la tensión equivalente de Thevenin, Ex ,debe ser tal que el sentido de la corriente en una resistencia que se conecta entre A y B, sea el mismo que tendría si dicha resistencia se conectara en el circuito real.

Pasos a seguir: 1. Calcular RTH – Se cortocircuita la fuente y se calcula la resistencia equivalente. 2. Calcular VTH – La VTH corresponde a la circundante entre A y B. – Si en el circuito original eliminamos la carga entre sus extremos nos queda la VTH 3. Una vez obtenido el circuito equivalente de Thevenin ya podemos calcular la corriente y tensión para las diferentes cargas conectadas entre los terminales A y B.

Ejercicio 16: En el circuito de la figura se nos muestra el circuito equivalente de una fuente de alimentación; se trata de determinar la corriente y la tensión para los siguientes valores de resistencia de carga RL