ULAS DE VERANO Institut

Superior de Formación del Profesorado

NÚMEROS, FORMAS Y VOLÚMENES EN EL ENTORNO DEL NIÑO

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA

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NÚMEROS, FORMAS Y VOLÚMENES EN EL ENTORNO DEL NIÑO

MINISTERIO n DE EDUCACIÓN Y CIENCIA

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SECRETARIA GENERAL DE EDUCACIÓN

INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DEL PROFESORADO

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA

SECRETARÍA GENERAL DE EDUCACIÓN Instituto Superior de Formación del Profesorado Edita:

© SECRETARÍA GENERAL TÉCNICA Subdirección General de Información y Publicaciones N.I.P.O.: 651-04-129-5

ISBN.: 84-369-3923-9 Depósito Legal: M. 49.148-2004 Imprime: Sociedad Anónima de Fotocomposición

Colección: AULAS DE VERANO Serie: Principios

NÚMEROS, FORMAS Y VOLÚMENES EN EL ENTORNO DEL NIÑO

El mundo que nos rodea está lleno de matemáticas. Tal y como intuyó Leonardo en el Renacimiento, números, formas y volúmenes dan forma a la pintura, la música, la arquitectura, la tecnología, la naturaleza, ya sea bajo la forma de razón áurea o de conceptos más modernos como la geometría del caos y los fractales. Pero para ver hay que saber mirar, y por eso, hay que educar la mirada de los más jóvenes dotándoles de instrumentos de análisis de naturaleza matemática. Este volumen pretende en primer lugar, sensibilizar al profesor de Educación Primaria sobre el potencial didáctico que encierra, en sus distintas facetas, el mundo en que vivimos, ayudándole a vincular la escuela y el entorno. Por otra parte, se sabe que la manipulación bien planificada de los materiales adecuados, es un vehículo al servicio de la conceptualización en los alumnos de Primaria. Exploraremos las posibilidades que tienen distintos materiales para ayudarnos a simular y reconstruir nuestro entorno, y su potencialidad para explicar la realidad desde los modelos matemáticos proporcionados por el número y la geometría.

Dirección editorial del volumen Números, formas y volúmenes en el entorno del niño: CARMEN CHAMORRO PLAZA Coordinación: JESÚS LÓPEZ RUIZ Autores: CHAMORRO PLAZA, M. del Carmen DE MARÍA GONZÁLEZ, José Leandro DU VAL. Raymond PÉREZ GÓMEZ, Rafael RUIZ HIGUERAS, Luisa SALIN, Marie-Hélène VECINO RUBIO, Francisco

ÍNDICE

La consideración de distintas representaciones geométricas y su influencia en la proposición de una didáctica coherente de la geometría Francisco Vecino Rubio

9

La enseñanza del espacio y la geometría en la enseñanza elemental . Marie-Hélèn Salin

37

Un matemático pasea por la Alhambra Rafael Pérez Gómez

81



A la búsqueda de la numeración. De la filogénesis a la ontogénesis: Aspectos didácticos e históricos M.a del Carmen Chamorro Plaza Números, arte, naturaleza y geometría José Leandro de María González

95

123

Cómo hacer que los alumnos entren en las representaciones geométricas. Cuatro entradas y... Una quinta Raymond Duval

159

Construcción de los decimales en la escuela primaria. De las fracciones a la notación decimal Luisa Ruiz Higueras

189

Ediciones del Instituto Superior de Formación del Profesorado . .

233

LA CONSIDERACIÓN DE DISTINTAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS Y SU INFLUENCIA EN LA PROPOSICIÓN DE UNA DIDÁCTICA COHERENTE DE LA GEOMETRÍA Francisco Vecino Rubio Profesor titular de Didáctica de las Matemáticas Universidad Complutense Madrid

1. PRECEDENTES HISTÓRICOS DE INTRODUCCIÓN AL TEMA 2. CONSECUENCIAS DEL CAMBIO DE ORIENTACIÓN. ¿SE HA PRODUCIDO UN CAMBIO REAL EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA? 2.1. Consecuencias de ese estancamiento en la enseñanza de la geometría 3. UNA PROPOSICIÓN DIDÁCTICA: MATERIALES DIDÁCTICOS QUE DESARROLLAN LAS TEORÍAS SOBRE LA REPRESENTACIÓN FIGURAL 3.1. Algunos apuntes de interés sobre el marco teórico de referencia 3.2. Una proposición didáctica para desarrollar las representaciones intra e interfigural 4. NUEVAS POSIBILIDADES EN EL USO DE MATERIALES DIDÁCTICOS Y CONCLUSIÓN BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

1. PRECEDENTES HISTÓRICOS DE INTRODUCCIÓN AL TEMA Una revisión de la historia reciente de la Geometría como objeto de enseñanza obliga a tener en cuenta los dos hechos siguientes: — La exclamación de Dieudonné ' "¡Abajo el triángulo!", marcaría decisivamente la orientación de los programas oficiales y la enseñanza Esta exclamación de Dieudonne, insigne matemático francés, se oye en el Seminario organizado por la OECE (Organización Europea de Cooperación Económica)

9

de la geometría en cualquier nivel de enseñanza. La radicalidad de la propuesta, o la interpretación radical de la misma, impulsa a la mayoría de las orientaciones oficiales a no incluir la Geometría como objetivo prioritario de enseñanza, en los distintos niveles de la educación obligatoria. El ICME 2 del 1976, registra la intervención de un geómetra (Atyiah) que determinaría el regreso de la Geometría a su estatus de objetivo prioritario de enseñanza en los distintos niveles de educación. De su intervención recogemos el siguiente párrafo, decisivo por los cambios que produciría: "Habéis destronado a Euclides y en eso estamos de acuerdo. Pero, ¿cómo habéis sustituido la enseñanza de la geometría? La Matemática que se enseña en la mayor parte de los países está todavía más alejada de la realidad, pues carece del apoyo geométrico. Daros cuenta de que la intuición geométrica sigue siendo la fuente más poderosa para la comprensión de muchos ternas; y por tanto se debería estimular lo más posible, y en todos los niveles escolares, el pensamiento geométrico" 3. Como consecuencia de esta intervención y de otras de parecido talante, se produce un cambio de orientación, no sólo provoca la reaparición de la Geometría entre los objetivos prioritarios de la enseñanza de las matemáticas, además se produce un movimiento más general que desplaza casi totalmente a la llamada matemática moderna del lugar preferente y casi exclusivo que detentaba en los programas escolares.

en Royamont (Francia), en el ya un tanto lejano 1959, para coordinar los programas de matemáticas de los distintos países. No se trata de una exclamación individual, es una exclamación apoyada por toda una serie de representantes del "saber sabio" no menos ilustres que su portavoz, allí estaban apoyándole otros matemáticos como Choquet, Stone,... 2 Este congreso (Congreso Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas) contribuye a agitar las tranquilas aguas en que se había emplazado la enseñanza de las Matemáticas. Debemos tener en cuenta que se celebra en un momento en que los programas oficiales de enseñanza no se habían visto afectados por el torbellino de Mayo del 68 (quizás el movimiento revolucionario no veía la transformación de las enseñanza de esa disciplina como un objetivo prioritario al considerarla sumamente abstracta). 3 Este párrafo de la intervención de Atyiah lo recoge Emma Castelnuovo en: CASTELNUOVO, E. (1997). Enseñanza de las matemáticas: lo que es invariante en un mundo que cambia. Uno. N. 12. Pp. 29-36.

lo

2. CONSECUENCIAS DEL CAMBIO DE ORIENTACIÓN. ¿SE HA PRODUCIDO UN CAMBIO REAL EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA? Parece pues pertinente plantearse la cuestión de si el cambio que se produce es sólo un cambio aparente y dictado desde las alturas o si se trata de un cambio real cuyos efectos se notarán, a partir de entonces, tanto en las intenciones como en la práctica habitual de la enseñanza de la geometría en los distintos niveles de enseñanza. Creemos que la respuesta es negativa, basándonos para justificarla en el análisis global que permiten los casi tres decenios pasados. Se han podido detectar, al menos en nuestro país y en algunos de los países de nuestro entorno, algunas circunstancias que han hecho imposible que tal cambio se produjese. Entre ellas podemos señalar: — Es cierto que las orientaciones ministeriales situaban la geometría, de nuevo, entre los objetivos prioritarios de enseñanza, pero un análisis profundo de tales orientaciones desde el campo teórico de las matemáticas, por una parte, y de la didáctica de las mismas, por otra, demuestra que el cambio es sólo de fachada. La trasposición didáctica que aparece en los libros de texto y las limitaciones que imponen los mismos es, por fuerza, reductora, y no permite desarrollar la geometría, o el acercamiento a la misma, con todas las potencialidades que proporcionarían otros materiales menos encorsetados. La ausencia, o el olvido, de materiales específicos para la enseñanza de la geometría y el uso excesivo de la pizarra como instrumento de representación externa de ciertos elementos geométricos genera un contrato didáctico especial, lleno de cláusulas implícitas, en la didáctica de esta parte de las matemáticas, con la generación consecuente de ciertas concepciones erróneas de los conceptos geométricos más elementales. La inexistencia de una didáctica específica, basada en los principios básicos de la didáctica fundamental de las matemáticas impedirá el desarrollo de ciertos elementos geométricos, por una parte, y la obligada relación entre ellos, por otra.



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2.1.

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c•a -D CLD

o

Consecuencias de ese estancamiento en la enseñanza de la geometría

La simple mención de las circunstancias arriba indicadas hace previsibles una serie de consecuencias, las más evidentemente deducibles del simple enunciado de las circunstancias correspondientes, y otras no tan evidentes, al depender directamente de los supuestos teóricos que se adopten en la enseñanza de esa disciplina. Entre tales consecuencias podemos señalar:

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— La evidente atomización y desconexión de los conceptos que se introducen, debidas a la no consideración de los amplios campos conceptuales (Vergnaud, 1991) en que podría haber sido organizada la geometría dentro de las orientaciones oficiales.

:o

— La incoherencia en la introducción de ciertos conceptos, causada por un deficiente enunciado de ciertos contenidos o procedimientos en las orientaciones oficiales.

o

— La generación de un contrato didáctico específico de la geometría, causada por el formato del libro de texto y por las limitaciones de diseño que plantea la pizarra como elemento de ostensión 4, las limitaciones de confección de elementos geométricos ambos intermediarios, la imposibilidad de destacar las componentes que interesan de algunos entes geométricos en un momento dado... Tal contrato didáctico vendría caracterizado por reglas implícitas como las siguientes:

ca

ca

A) Una figura o ente geométrico se perciben, en su acepción correcta, sólo si aparecen en la posición canónica que privilegian esos medios de ostensión de la misma.

E

o

B) Ciertos elementos componentes o auxiliares de los diferentes entes geométricos sólo existen en ciertas condiciones regidas por distintos tipos de geometría (estos tipos de geometría apenas tienen cabida en los currículos escolares y, sin embargo, sirven para estructurar de forma correcta el espacio previo a un desarrollo coherente de la geometría que se introduce en los niveles elementales).

cts a) cu CL,

u)

C) El lenguaje de descripción de los elementos geométricos no se percibe como esencial para expresar la representación mental de los mismos (no aparece ni en los libros de texto ni en las orientaciones oficiales una actuación didáctica decidida para desarrollar y practicar tal tipo de lenguaje).

a.) cm; QD 1=3

4

c.)

12

Véase la definición de ostensión en VECINO (1996) o en BERTHELOT y SALIN (1992).

D) Las actividades de representación. de reproducción, de construcción de cualquier ente geométrico se consideran como una única actividad. Por el contrario tales actividades ponen al alumno ante situaciones didácticas de distinta categoría y de distinta valencia desde un punto de vista didáctico. E)

La geometría es una parte de la matemática donde casi exclusivamente se calculan áreas y volúmenes de los correspondientes entes geométricos. Tal cláusula genera un fenómeno tan difundido como es el de la aritmetización de la geometría, similar al correspondiente fenómeno, respecto a la medida, denunciado por Chamorro en los cursos de verano de la UIMP hace algunos años (Chamorro, 2001).

— La deficiente concepción sobre la geometría en general, tanto a nivel cognitivo como a nivel representativo, causada por la escasa utilización de materiales didácticos específicos que contribuyen a conformar una visión más amplia y coherente de esta rama de las matemáticas. El escaso interés de las lecciones de geometría, cuando las circunstancias obligadas de ostensión de la misma deberían causar la consecuencia contraria, es decir, clases interesantes por sus potencialidades estéticas, sus posibilidades de juego, su posibilidad de generar el interés en las actividades de construcción, de reproducción, de deducción, etc.

3. UNA

PROPOSICIÓN DIDÁCTICA: MATERIALES DIDÁCTICOS QUE DESARROLLAN LAS TEORÍAS SOBRE LA REPRESENTACIÓN FIGUlFtAL

Ante los problemas detectados en los puntos anteriores nos atrevemos a proponer la utilización de una serie de materiales didácticos que contribuyen a desarrollar el pensamiento geométrico en el niño disfrutando, en todas sus potencialidades, la representación tigural y sus variedades en un marco didáctico que coloque al constructivismo como teoría central de aprendizaje, a través de la teoría de situaciones de Brousseau s.

Consultar CHAMORRO (1991) y CHAMORRO et al. (2003) para una mayor información sobre esta teoría.



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E

3.1. Algunos apuntes de interés sobre el marco teórico de referencia Consideraremos la teoría sobre las representaciones espaciales de Piaget y García (Piaget y García, 1985) como el marco teórico que sustentará, desde un punto de vista psicológico, la proposición didáctica que realizaremos. En esta teoría se consideran tres tipos de representación espacial:

a) —

La representación intrafigural, entendida como la representación mental que da cuenta del desarrollo de las relaciones existentes en el interior de una figura.

C-)

C.) -rzs —

cp

La representación interfigural, entendida como la representación mental que da cuenta del desarrollo de las relaciones existentes entre distintas figuras.

:o — La representación transfigural. Entendida como la representación cr) o mental que da cuenta del desarrollo de las relaciones que contribuo yen a desarrollar estructuras generales de configuración de los entes geométricos.

=

ll)

crs E o

CL) CZ1) C./2

c., o

c.) a.)

En Vecino (1996) se caracterizaban estos tres tipos de representaciones. Así señalábamos como características de cada uno de los tipos las siguientes: — Para la representación intrafigural: la estaticidad, independencia, indescomponibilidad, incapacidad de medida, adireccionalidad,..., de las figuras; -

Para la representación interfigural: dinamicidad, dependencia, componibilidad, posibilidad de medición, consideración de distintas direcciones,..., en las figuras;

— Para la representación transfigural: diferenciación por invariantes, dependencia en base al espacio considerado, sistemas de medida, dirección, orientación y localización de las figuras.

C/) C6

=

. o— -o cn C0

C6

14

Si bien el objetivo último de la enseñanza de la geometría sería el desarrollo de la representación transfigural, debemos pensar que este es un objetivo a largo término, objetivo que se debería alcanzar al final de la enseñanza secundaria e incluso en la enseñanza universitaria. En los niveles de primaria nos deberíamos conformar con un desarrollo consistente de las representaciones intra e interfigural, aunque siempre haya la posibilidad de inicio al desarrollo e iniciación a ciertos aspectos de la transfiguralidad. La limitación preferente a los dos primeros tipos de representación figura] viene

dictada, evidentemente, por cuestiones como las capacidades del alumno en los distintos niveles de la enseñanza primaria y por cuestiones psicológicas sobre la génesis de los conocimientos espaciales en el niño. No faltan, además, indicaciones teóricas en las que apoyar la proposición que acabamos de hacer en el párrafo anterior. En particular destacamos la sugerencia de Berthelot y Salin 6 en el sentido de desarrollar determinados conceptos espaciales pregeométricos antes o simultáneamente a los conceptos geométricos básicos y de considerar la introducción de los conceptos fundamentales de la geometría como útiles para la resolución de determinados problemas espaciales.

3.2. Una proposición didáctica para desarrollar las representaciones in Ira e interfigural Materiales que van desde la simple hoja de papel hasta los más sofisticados, como pueden ser la tortuga de suelo Logo o la versión del mismo lenguaje para ordenador, pueden y deben contribuir a desarrollar esos dos tipos de representación figural e incluso a sentar las bases para la introducción de algunos elementos de la representación transfigural. Procederemos pues, a continuación, a la proposición de los distintos materiales, a su análisis respecto al desarrollo de los distintos tipos de representación y a su interés para lograr un cambio en la enseñanza de la geometría y para evitar las consecuencias nefastas y el contrato didáctico tradicional que se denunciaban en el punto 2.1. 3.2.1. Materiales que ponen de manifiesto la forma "llena" La percepción de la forma, en su totalidad de contorno y superficie interior, es uno de los factores que contribuirán al desarrollo de la representación intrafigural en el niño. Ya desde los primeros años de escolaridad, en la escuela infantil, se plantean una serie de actividades que tratan de desarrollar este factor. Sin embargo, la mayoría de estas actividades aparecen propuestas desde un medio, el manual escolar, que desarrolla una visión estática de la forma. El uso de otros materiales, que puedan salirse de ese carácter estático, se restringe casi exclusivamente al uso de los bloques lógicos y, por tanto, plantea un desarrollo de la percepción limitado tanto por el número de formas a percibir (4), como por el tipo de formas que se perciben: cuadrado, Nos referimos a la tesis de doctorado de estos autores sobre la enseñanza del espacio y de la geometría en la escolaridad obligatoria (BERTHELOT y SALIN, 1992).

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rectángulo, triángulo equilátero y círculo. Creemos que una percepción significativa de la forma exige el empleo de otros materiales, desde el nivel más primario de enseñanza. 3.2.1.1. El empleo de materiales que contienen formas básicas El mundo físico, representante de la realidad, aparece lleno de formas básicas que no pueden escapar a la percepción por parte del sujeto. El medio escolar se tiene que preocupar del desarrollo de la percepción de esas formas que aparecen tanto en el mundo fisico como en materiales diseñados expresamente para poner de manifiesto la forma y todas sus componentes. Diversos autores proponen la introducción de "materiales de tipo tridimensional y visual previo al material de tipo plano o más simbólico" (Alsina, Burgués y Fortuny, 1988), sin duda basándose en un principio psicológico tan simple como: "de lo concreto a lo abstracto". Este principio es fundamental en los primeros niveles de enseñanza por el periodo de desarrollo cognitivo que se supone a los niños de esas edades. Sin embargo el entorno es complejo y el aislamiento de ciertas figuras elementales, a partir de él, no resulta simple; además en el entorno físico las figuras aparecen estáticas y por ello no proporcionan un desarrollo adecuado de la percepción. Parece conveniente, pues, el uso de materiales escolares específicos que desarrollen un grado de percepción mucho más amplio desde un punto de vista geométrico. Uno de esos materiales, que introduce a una primera actividad básica (la actividad de percepción) para una didáctica eficaz de la geometría, puede ser el de los sólidos básicos donde aparecen una cantidad de figuras que, por su variedad y por las posibilidades de percepción desde distintos puntos de vista, proporcionan una visión de la figura en su totalidad de composición (desarrollo de la representación intrafigural) y en sus posibilidades de aparición (hacia el desarrollo de la representación interfigural). Sólo nos quedaría por recomendar que la progresión de utilización de estos sólidos se produjese desde aquellos en que aparecen las figuras más elementales (cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro, ortoedro, pirámide de base cuadrada y caras con triángulos equiláteros) hacia otros en que aparezca tanto una mayor variedad de formas como una mayor complejidad de las mismas (prismas y pirámides en general, dodecaedros, conos y cilindros (para la percepción del círculo), pirámides truncadas y otros). Una prolongación interesante de este material lo constituiría la plasmación de esos cuerpos sólidos en un medio (patata, porespan, etc.) que permitiese el "uso" tampón del cuerpo sólido. De esta forma, tomando como in-

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termediarios pintura o tinta y papel, se podrían hacer reproducciones conformes de las figuras geométricas en multitud de posiciones y en una variedad aceptable de medida de superficie. Con ello se seguiría desarrollando, a la vez, una representación intrafigural de la forma (figura y elementos básicos de la misma) y una transición hacia la representación interfigural de la forma (posibilidades de percepción de la figura en cualquier posición y de percepción de otros tipos de figura). Debemos damos cuenta de que dicho material permite la puesta en práctica de otra actividad básica para el desarrollo de la geometría, la actividad de reproducción en un primer estadio básico, el de la reproducción conforme. 3.2.1.2. El empleo de materiales que permiten la construcción de formas básicas Debemos destacar el material tipo tangram, entre los materiales que ponen de manifiesto la forma en su totalidad, entendiendo como tangram cualquier material constituido por figuras elementales que dan la posibilidad de construir ese mismo tipo de figuras, entre otras. Queremos subrayar que, en este apartado, se está introduciendo otra de las actividades didácticas, fundamentales para el desarrollo de situaciones didácticas propias del mundo geométrico. Nos estamos refiriendo a las actividades de construcción. Estas actividades aparecerán continuamente en la proposición didáctica que estamos desarrollando, y uno de los materiales que ayudan a plantear situaciones de construcción, es este material tipo tangram. A) El tangram clásico La composición de este material permite no sólo la construcción de numerosas figuras que representan objetos o figuras reales (animales, figura humana, objetos de uso corriente y composiciones más o menos atractivas desde un punto de vista estético), sino que proporciona también la posibilidad de construir una gran parte de las figuras elementales a partir de las 7 que lo forman. Como muestra de las posibilidades que ofrece aportamos la siguiente situación: "¿Con qué piezas se puede construir un cuadrado?" (Por supuesto, en esta situación, la regla de construcción impone adosar una pieza a otra sólo por un lado en que coincidan ambas). Desde la consideración del único cuadrado componente hasta el cuadrado que se puede formar con las siete piezas (figuras) componentes, hay otra serie de posibilidades de combina-

A ción de 2, 3,... piezas que contribuyen a conformar una representación interfigural, en cuanto composición del cuadrado a partir de otras figuras. Del mismo modo se podrían plantear situaciones similares como: "¿con qué piezas se puede construir un rectángulo?", "¿con qué piezas se puede construir un paralelogramo no rectángulo?", "¿con qué piezas se puede construir un triángulo rectángulo?", "¿con qué piezas se puede construir un trapecio? "...

No menos interesantes, para el desarrollo de la representación interfigural, resultan situaciones como las siguientes: "¿Cuántos polígonos convexos distintos se pueden construir empleando n piezas del tangram? (n=2, 3, 4, 5, 6, 7)" 7. "Elegir n figuras con las que se pueda construir un cuadrado o un rectángulo (n=2, 3, 4, 5, 6, 7)" Por supuesto casi todas ellas son problemas abiertos ya que existen varias soluciones a la pregunta que se plantea en cada una y además permiten, sin forzar para nada la situación, el desarrollo de las representaciones interfigurales a través de resoluciones tanto manipulativas como simbólicas, lo que resulta sumamente interesante a propósito de una actividad más general: la resolución de problemas. Relacionada con este tema y consecuencia inmediata de la actividad desarrollada con el tangram resultaría la situación siguiente: "Dadas figuras Véase, a propósito, la sugerencia de resolución que aparece en VECINO, F. La enseñanza de la geometría en la educación primaria. M.E.C. Madrid, 2001.

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básicas del tan gram, como uno de los triángulos rectángulos y el paralelogramo no cuadrado (en cartulina y en varios ejemplares de cada una de ellas), construir mediante recortado o pegado con cinta adhesiva las siete piezas del tangram". Resulta así la situación inversa de las anteriores y, por tanto, contribuye al desarrollo de las representaciones a que nos venimos refiriendo hasta ahora. B)

Otras posibilidades de tangram: desde el tangram triangular hasta la caja de formas básicas

Las carencias que puede ofrecer el tangram clásico, como generador de figuras elementales (cuadriláteros tan usuales como el rombo o más raras como el deltoide, o polígonos como el triángulo equilátero, pentágono regular, hexágono, etc. no se pueden generar 8), se pueden paliar considerando otros tipos de tangram 9 o simplemente considerando una colección de las figuras elementales más representativas. En cualquier caso se trataría de plantear situaciones de construcción, sobre todo de las figuras elementales a partir de otras (por ejemplo: "figuras elementales que resultan al asociar por parejas cualquier clase de triángulos') o de figuras más complicadas a partir de figuras elementales (aquí las posibilidades de construcción son tan amplias que preferimos dejar los posibles ejemplos de situaciones a cargo del lector). Además se trataría también de plantear las situaciones inversas, es decir, de conseguir, mediante recortado y pegado con cinta adhesiva, las figuras elementales que se pudiesen proponer. Todo este trabajo con el tangram clásico o con otros tipos de tangram debería dar sentido pedagógico a una de las actividades geométricas fundamentales: la actividad de construcción de figuras y, con ella, se contribuiría a la formación de la representación interfigural en el niño de los niveles primarios de educación.

Véanse las posibilidades de construcción de figuras elementales (pp. 192, 193) y de otro tipo en ELFFERS, J. Juego deformas, EL TANGRAM. Labor. Barcelona, 1982. 9 Véase ALSINA, C., BURGUÉS, C. y FORTUNY, J. M. Materiales para construir la Geometría. Síntesis. Madrid, 1988. Pp. 64, 65, 146 y 147, donde se ofrecen distintos tipos de tangram que dan la posibilidad de construcción de varias figuras, tanto elementales como más complicadas.

C) Un caso particular de construcción de figuras con formas básicas: Los poliminos como resultado de una regla particular de formación Este es otro de los materiales que ayuda a trabajar la geometría partiendo de la forma -llena", ya que la actividad primordial con él consiste "en la formación de figuras a partir de figuras elementales: cuadrado y triángulo equilátero, primordialmente, y a partir de otras figuras elementales: triángulo rectángulo, hexágono, etc., secundariamente". En esa formación se debe respetar una regla fundamental: las figuras se deben ensamblar por los lados comunes, sin cabalgamientos ni coincidencias en partes de lado".

Ensamblados válidos

Ensamblados no válidos

Esté tipo de material añade al anterior una mayor variedad en las posibilidades de construcción de los conceptos geométricos. Así podemos mencionar: Cl - se puede introducir un concepto de tipo proyectivo como es el de la concavidad y convexidad de las figuras resultantes y, al contrario del material anterior, la generación de figuras cóncavas es un resultado de la construcción sistemática (posibilidades de construcción de figuras con dos, con tres, con cuatro, con cinco, etc. figuras elementales). Esto es debido a la estricta regla de formación que no existía en la construcción de figuras con el tangram. Como ejemplo veamos el siguiente: La construcción de figuras con el triángulo rectángulo produce:

/R

\

con dos triángulos: dominós

Para construir triminos habría que continuar con las figuras que aparecen arriba, añadiendo un triángulo y procurando que no se repita ninguna figura

20

Vemos aquí algunas posibilidades.

(•)

Como vemos, esta forma sistemática de proceder no sólo nos asegura la construcción de todas las posibilidades, sino también la aparición espontánea de figuras cóncavas, como los dos triminos de la izquierda o el último que vemos aquí arriba. C2 - Se puede introducir, además, la medida de superficies a partir de una unidad de medida que viene dada implícitamente: la figura básica de formación como unidad de medida de superficies (así en el caso anterior, aparece el triángulo rectángulo como unidad implícita de medida de superficies). Como consecuencia aparece también la clasificación de superficies como actividad posible para la construcción de la magnitud "superficie", al obtener sucesivamente figuras equivalentes en superficie: primero la clase de los dominós, después la de los triminos, la de los tetraminos, la de los pentaminos, etc.) C3 - Otro de los conceptos que se pueden abordar, con este material, es la del perímetro, a partir de las unidades implícitas de longitud que nos ofrecen las figuras elementales que componen los distintos poliminos. Así podemos concluir que el perímetro de la figura (*) es 4 t, si t es la unidad de longitud dada por el lado del triángulo equilátero, o que el perímetro de la figura ( • ) es 3a +b+c, si a, b y c son las unidades que expresan la medida longitudinal de los lados de la figura b

Como consecuencia podemos realizar la clasificación de figuras según su perímetro. Así, podemos observar como el primer trimino que hemos construido antes y el trimino ( • ) tienen el mismo perímetro, aunque su for-

ma sea tan distinta. También podríamos observar corito son equiperimétricos (8t) el trimino y el tetramino que se dan a continuacion:

Resulta de gran valor formativo plantear la clasificación respecto al perímetro después de haber procedido a la clasificación respecto a la magnitud superficie, ya que se está contribuyendo así a solucionar el conflicto nocional que, de forma permanente durante muchos años en la educación elemental, se plantea entre el perímetro y la superficie (Chamorro 1997). C4 - A partir de este material, se puede abordar una cuestión de cierta importancia en la introducción de la geometría elemental: la regularidad o irregularidad de las figuras resultantes pudiendo observar, como consecuencia de la construcción, la obtención de un gran número de figuras irregulares de frente a las regulares. La regularidad aparece, entonces, como el caso especial que exige el cumplimiento de unas condiciones bastante rígidas y excepcionales. C5 - Además, la obtención de desarrollos planos de los poliedros regulares resulta bastante interesante (Vecino, 2001), ya que el doble proceso de construcción del poliedro a partir del desarrollo plano y de deconstrucción del poliedro para obtener el desarrollo plano tiene un gran valor formativo desde un punto de vista geométrico, por lo que supone como análisis y como previsión de una serie de condiciones de construcción a partir de los poliminos obtenidos a partir de una figura elemental. No plantearemos de nuevo, como ejemplo, el manido caso de los desarrollos planos del cubo, pero si que nos gustaría aportar una indicación ejemplificadora sobre los desarrollos planos del octaedro.

AA YA VV

•

El análisis de los octaminos anteriores y la previsión de unión de los lados de los mismos para "levantar" la figura tridimensional (el octaedro), resulta un trabajo didáctico de gran calado y de indudable importancia en la relación de las figuras bi y tridimensionales.

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