Bahan Ajar SSiisstteemm PPeerrssaammaaaann LLiinneeaarr TTiiggaa VVaarriiaabbeell Uli Damayanti fASE E Sekolah Menengah Atas

e Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang senantiasa memberikan curahan rahmat dan nikmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan bahan ajar berbasis problem based learning mata pelajaran Matematika materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) untuk peserta didik di sekolah menengah atas kelas X. Bahan ajar ini disusun untuk dapat melengkapi kebutuhan belajar peserta didik, terutama dalam SPLTV. Dalam bahan ajar ini, penyajian materi menggunakan model problem based learning guna meningkatkan rasa percaya diri serta hasil belajar peserta didik kelas X SMA. Bahan ajar ini dilengkapi dengan gambargambar, serta penjelasan langkah demi langkah sehingga diharapkan peserta didik lebih mengerti dan memahami materi yang dibahas. Sesuai dengan tujuan penyusunan bahan ajar ini, peserta didik diharapkan mampu menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan system persamaan linear tiga variabel. Penulis mengharapkan saran–saran yang membangun dari pembaca agar dapat mengembangkan lebih baik lagi, karena penulis menyadari penuh bahwa bahan ajar yang dibuat ini belum sempurna. Penulis berharap bahan ajar yang telah dibuat menjadi pengetahuan baru bagi peserta didik dan referensi bagi pendidik lain supaya lebih baik lagi dalam mengembangkan suatu bahan ajar. Pontianak, 20 November 2022 Penulis, Uli Damayanti Kata Pengantar ii

e Daftar Isi iii COVER.......................................................................................................................................(i) KATA PENGANTAR...............................................................................................................(ii) DAFTAR ISI..............................................................................................................................(iii) GLOSARIUM............................................................................................................................(1) PETA KONSEP........................................................................................................................(2) PENDAHULUAN.....................................................................................................................(4) MATERI AJAR..........................................................................................................................(5) 1. Bentuk Umum..............................................................................................................(5) 2. Metode Penyelesaian..................................................................................................(7) A. Metode Substitusi...................................................................................................(8) Contoh Soal..............................................................................................................(9) B. Metode Eliminasi...................................................................................................(10) Contoh Soal..............................................................................................................(11) C. Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)...................................................(13) Contoh Soal..............................................................................................................(14) RANGKUMAN.........................................................................................................................(16) EVALUASI................................................................................................................................(17) REFLEKSI.................................................................................................................................(21) DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................................(22)

e Glosarium 1

e Peta Konsep 2 Masalah Autentik Sistem Persamaan Linear SPLTV Eliminasi Substitusi Gabungan Himpunan Penyelesaian SPLTV

3 Motivasi Al-Khawarizmi memiliki nama lengkap Abdullah Muhammad bin Musa al-Khawarizmi, beliau dilahirkan di daerah Khawarizmi, yaitu suatu derah di bawah pemerintahan provinsi Khurasan dan sekarang bernama negara Uzbekistan, pada tahun 164 H (780 M). Beliau wafat di Bagdad, Irak pada tahun 232 H (847 M), dan dalam literatur lain disebutkan bahwa beliau wafat pada tahun 235 H (850 M). Di Barat, terutama di Eropa, al- Kawarizmi dikenal dengan nama Algorismi atau Algorism. Beliau dikenal sebagai tokoh Muslim yang banyak membangun dan menemukan teori-teori matematika, salah satunya aljabar, yang oleh para ilmuwan barat disebut aritmetika (ilmu hitung) yaitu dengan menggunakan angka-angka Arab. Dalam buku karangannya yaitu, alJabr wa al-Muqabalah beliau merumuskan dan menjelaskan tabel trigonometri secara detail. Beliau juga mengenalkan teori-teori kalkulus dasar dengan cara yang mudah, yang pada akhirnya al-Khawarizmi menjadi tonggak dalam sejarah aljabar yang saat ini berkembang menjadi matematika, bahkan beliau menjadikan aljabar menjadi sebuah ilmu eksak. Maka pantas jika al-Khawarizmi disebut sebagai bapak aljabar. Referensi: Setiawan, H. R. (2017). Kontribusi Al-Khawarizmi Dalam Perkembangan Ilmu Astronomi. Al-Marshad: Jurnal Astronomi Islam dan Ilmu-Ilmu Berkaitan, 1(1).

4 Amatilah video dibawah ini. Pendahuluan:MasalahKontekstual PertanyaanPemantik Bagaimana mengubah persoalan ini menjadi sistem persamaan linear? Apa artinya mencari solusi? Solusi sistem persamaan linear ini menyatakan apa?

5 UraianMateri DEFINISI PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebuah konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan suatu kasus yang tidak dapat diselesaikan menggunakan persamaan linear satu variabel dan dua variabel. Persamaan linear ditandai dengan pangkat tertinggi dalam variabel adalah satu. setiap persamaan berbentuk sama dengan dan merupakan bilangan real dan tidak nol. dan hanya mempunyai satu penyelesaian untuk x, y, dan z, yaitu (x,y,z). Bentuk umum

z = 0. Sistem persamaan linear tersebut memiliki suku konstan nol dan mempunyai penyelesaian yang tunggal, yaitu untuk x = y = z = 0. Model matematika dari permasalahan sehari-hari sering menjadi sebuah model sistem persamaan linear. Konsep sistem persamaan linear tersebut didasari oleh konsep persamaan dalam sistem bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah suatu himpunan semua pasangan terurut (x, y, z) yang memenuhi sistem tersebut. Himpunan Penyelesaian SPLTV

Metode substitusi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menyubstitusikan nilai salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lain. Metode ini dilakukan sampai diperoleh semua nilai variabel dalam sistem persamaan linear tiga variabel. 7 UraianMateri METODE PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR TICA VARIABEL (SPLTV) SPLTV memiliki beberapa cara penyelesaian yang sama dengan sistem persamaan linear dua variabel. hanya saja pembedanya terletak pada jumlah variabel yang dimiliki dari kedua sistem persamaan tersebut. Adapun metode- metode yang akan digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel, yaitu metode substitusi, metode eliminasi, metode gabungan (eliminasi dan substitusi). Metode eliminasi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu variabel pada dua buah persamaan. Metode ini dilakukan sampai tersisa satu buah variabel. Metode gabungan, metode ini dilakukan dengan cara menggabungkan dua metode yaitu metode eliminasi dan metode substitusi.

8 UraianMateri METODE substitusi Penyelesaian SPLTV (dalam variabel x, y, dan z) dengan menggunakan metode subtitusi ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y. Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah (a) kedua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) Substusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah (c) ke salah satu persamaan awal untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah (b) Untuk lebih memahami metode subtitusi, perhatikan contoh dihalaman selanjutnya dengan memperhatikan langkah yang diberikan A B C D

25 c = 300/3 c = 100 Panjang pita kuning = 100cm maka bila digunakan 35cm yaitu = c - 35 = 100 - 35 = 65cm Jadi panjang sisa pita kuning yaitu sepanjang 65cm.

10 UraianMateri METODE Eliminasi Penyelesaian SPLTV (dalam variabel x, y, dan z) dengan menggunakan metode eliminasi ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Eliminasi salah satu variabel, x atau y atau z, sehingga diperoleh SPLDV. Selesaikan SPLDV pada langkah (a) dengan mengeliminasi variabel kedua untuk mendapatkan nilai variabel ketiga atau mengeliminasi varabel ketiga untuk mendapatkan variabel kedua. Ulangi langkah (a) dan (b) dengan pemilihan variabel berbeda sampai didapatkan nilai dari ketiga variabel. Untuk lebih memahami metode subtitusi, perhatikan contoh dihalaman selanjutnya dengan memperhatikan langkah yang diberikan A B C

3z = 63.000 ....(3) Untuk menyelesaikan persamaan tiga variabel tersebut kita dapat menghitung dengan melakukan Metode Eliminasi Eliminasi z persamaan 2 dan 3 untuk menyisakan variabel x dan y Kemudian lakukan elimininasi x dari persamaan 1 dan 4 untuk mencari nilai y.

8.000) Kembalian = 50.000 - 35.000 Kembalian = 15.000 Jadi besar kembalian dengan uang Rp. 50.000 untuk membeli 1 kg jeruk, 1 kg apel dan 1 kg manggis sebesar Rp. 15.000.

Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang baru sehingga diperoleh nilai y dan z. Substitusikan nilai y dan x ke salah satu persamaan tiga variabel untuk memperoleh nilai x. 13 UraianMateri METODE Gabungan Penyelesaian SPLTV (dalam variabel x, y, dan z) dengan menggunakan metode eliminasi ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Pilihlah variabel mana dari persamaan yang mau dihilangkan atau dieliminasi, misalkan variabel x yang akan dieliminasi Samakan koefisien x pada persamaan pertama dan persamaan kedua, dengan cari mengalikan persamaan dengan bilangan sehingga tetap ekivalen. Kurangkan persamaan dengan persamaan kedua sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel baru yang petama. Samakan koefisien x pada persamaan pertama dan persamaan ketiga, dengan cari mengalikan persamaan dengan sebuah sehingga tetap ekivalen. Kurangkan persamaan dengan persamaan ketiga sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel baru yang ke dua. Agar lebih jelas, yuk perhatikan contoh di halaman selanjutnya ... A B C

3z = 11.000 ....(3) Misal: Buku = x, Pensil = y dan Bolpoin = z. Kita dapat melakukan penyelesaian dengan metode campuran yaitu kita dapat melakukan eliminasi terlebih dahulu dengan mengeliminasi x dari persamaan 1 dan 2. Kemudian setelah variabel tersisa y dan z kita dapat langsung mengeliminasi z dari persamaan 3 dan 4 untuk mencari nilai y.

z = 8.200 Jadi harga 2 buku tulis, 1 pensil dan 1 bolpoin yaitu Rp. 8.200.

16 Rangkuman Metode substitusi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menyubstitusikan nilai salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lain. Metode ini dilakukan sampai diperoleh semua nilai variabel dalam sistem persamaan linear tiga variabel. Metode eliminasi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu variabel pada dua buah persamaan. Metode ini dilakukan sampai tersisa satu buah variabel. Metode gabungan adalah metode yang dilakukan dengan cara menggabungkan dua metode yaitu metode eliminasi dan metode substitusi. Sistem Persamaan linear (SPL) mempunyai tiga kemungkinan penyelesaian, yaitu tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai satu penyelesaian dan mempunyai tak terhingga penyelesaian. Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel dapat kita tuliskan sebagai berikut. dan hanya mempunyai satu penyelesaian untuk x, y, dan z, yaitu (x,y,z).

17 Evaluasi Asep memiliki beberapa tongkat dengan tiga jenis ukuran, ukuran a, ukuran b, dan ukuran c. Asep menjajarkan 3 tongkat ukuran a, 2 tongkat ukuran b, dan 1 tongkat ukuran c dan panjangnya 390 cm. Asep menjajarkan sebuah tongkat ukuran a, 3 tongkat ukuran b, dan 2 tongkat ukuran c dan panjangnya 460 cm. Asep juga mengamati bahwa 2 tongkat ukuran a sama panjang dengan tongkat ukuran c. a. Tuliskan pengukuran pertama ke dalam persamaan matematika. b. Tuliskan hasil pengukuran kedua dan ketiga ke dalam persamaan matematika juga untuk menghasilkan sistem persamaan. c. Apakah sistem persamaan itu sebuah sistem persamaan linear? Bagaimana kamu tahu? d. Selesaikan sistem persamaan tersebut. e. Ada berapa solusi yang ada? f. Berapakah panjang tiap jenis tongkat? Perhatikan soal cerita dibawah ini.

18 Sebuah minuman dijual dalam tiga kemasan berbeda: kecil, sedang, dan besar. Jika Bonar membeli 3 kemasan kecil, 2 kemasan sedang, dan 3 kemasan besar, dia mendapat minuman sebanyak 4.700 ml. Jika Bonar membeli 3 kemasan kecil, 1 kemasan sedang, dan 2 kemasan besar, dia mendapat 3.300 ml. Jika Bonar membeli 2 kemasan sedang dan 2 kemasan besar, dia mendapat 2.800 ml minuman. Berapakah volume tiap jenis kemasan?. a.Tuliskan sistem persamaan yang bersesuaian dengan permasalahan tersebut.. b. Apakah sistem persamaan itu termasuk sistem persamaan linear? Tuliskan alasannya.. c. Selesaikan sistem persamaan tersebut. d. Ada berapa solusi yang ada? Jelaskan e. Apa artinya bagi Bonar jika sistem persamaan linear ini memiliki banyak solusi? Perhatikan soal cerita dibawah ini.

19 Bu Wati membeli tiga jenis buah. Kalau ia membeli 3 kg jeruk, 3 kg pepaya, dan 1 kg salak, ia harus membayar Rp130.000,00. Jika Bu Wati membeli 2 kg jeruk, 2 kg pepaya, dan 1 kg salak, ia harus membayar Rp 100.000,00. Jika Bu Wati mau membeli 1 kg jeruk dan 1 kg pepaya, ia harus membayar Rp50.000,00. Berapakah harga tiap kg setiap jenis buah? a. Tuliskan sistem persamaan yang bersesuaian dengan permasalahan tersebut. b. Apakah sistem persamaan itu termasuk sistem persamaan linear? Tuliskan alasannya. c. Selesaikan sistem persamaan tersebut. d. Ada berapa solusi yang ada? Jelaskan. e. Apa artinya bagi Bu Wati jika sistem persamaan linear ini tidak memiliki solusi Perhatikan soal cerita dibawah ini.

20 Yayang memiliki toko beras dan menjual campuran beras. Campuran 2 kg beras A, 2 kg beras B, dan 1 kg beras C dihargai Rp50.000,00. Campuran 4 kg beras A, 2 kg beras B, dan 3 kg beras C dihargai Rp91.000,00. Campuran 4 kg beras A, 4 kg beras B, dan 2 kg beras C dihargai Rp95.000,00. Tentukan harg tap kg beras A, beras B, dan beras C. a. Tuliskan model matematikanya. b. Apakah model matematika itu merupakan sistem persamaan linear? c. Ada berapa solusi yang dimiliki oleh sistem ini? Bagaimana kalian tahu? Perhatikan soal cerita dibawah ini.

21 Refleksi Dalam subbab ini kalian telah mempelajari tentang sistem persamaan linear dengan tiga variabel. 1. Ada berapa persamaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel? 2. Bagaimana kalian tahu jika sebuah sistem persamaan linear tidak memiliki solusi? 3. Bagaimana kalian tahu jika sebuah sistem persamaan linear memiliki banyak solusi?

22 DaftarPustaka Sinaga B, Sinambela, Sitanggang AK, dkk.2017. Buku Siswa Matematika Kelas X. Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud :Jakarta Adam Beni. 2022. Modul Ajar SPLTV Kelas X (Akses : https://anyflip.com/rqtgw/azvm/basic) Anggraini Y.D. 2020. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL MATEMATIKA UMUM KELAS X (Akses:http://sman1maronge.sch.id/wp-content/uploads/2020/11/Kelas-X_MatematikaUmum_KD-3.3-Baru.pdf ) https://bertema.com/contoh-alur-dan-tujuan-pembelajaran-atp-matematika-fase-e-kelas-10- kurikulum-merdeka