Uso de tecnología para el aprendizaje de aspectos relevantes en el razonamiento geométrico: exploración, conjetura y estructura de validación matemática
UMSNH
Lourdes Guerrero (
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¿Qué formas de validación del conocimiento matemático son útiles en el quehacer matemático?
¿Qué tipo de pruebas es importante promover en la actividad matemática?
¿Qué tipo de actividades pueden ayudar a los estudiantes a disminuir sus dificultades con la demostración?
Formas de validar el conocimiento matemático
Ejemplificación Verificación Explicación
Construcción
Justificación
Prueba
Argumentar y demostrar
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Balacheff (1988): Distingue entre razonamiento argumentativo y razonamiento deductivo.
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Harel y Sowder (1998): Hablan de diferentes tipos de prueba (empírica y deductiva).
Argumentar y demostrar
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La argumentación como una forma de exponer y defender las ideas y resultados.
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Duval (1991, 1995): Existe un distanciamiento entre argumentación y demostración.
Argumentar y demostrar Duval (1991):
Demostración: prueba matemática formal que establece que un resultado es válido bajo un sistema deductivo.
En una argumentación: se busca convencer a un posible interlocutor.
Argumentar y demostrar Busca la validez de un razonamiento Determina el valor de verdad de una afirmación
Demostración
Lógica Argumentación
Credibilidad y el convencimiento
Busca su pertinencia
Argumentar y demostrar Para los alumnos argumentar y demostrar son casi sinónimos. ―
Poseen formas lingüísticas semejantes.
En la vida diaria el alumno argumenta para sustentar y validar sus hipótesis.
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Argumentar y demostrar El desarrollo de la argumentación, no abre una vía de acceso a la demostración.
Es necesario un aprendizaje específico e independiente. (Duval,1999)
Ejemplo El planteamiento de conjeturas puede ayudar a obtener un camino para la demostración; sin embargo, en matemáticas, esto no siempre sucede así. EJEMPLO Dado un triángulo acutángulo ABC, inscribir un triángulo PQR cuyo perímetro sea el más pequeño posible (Coxeter, 1969).
Conjetura
El triángulo PQR tiene perímetro mínimo cuando los puntos P, Q y R son los pies de las alturas del triángulo ABC.
Proposición
Dado un triángulo acutángulo ABC, demostrar que el triángulo PQR, inscrito a ΔABC, tiene perímetro mínimo si los puntos P, Q y R son los pies de las alturas de ΔABC.
Demostración Sean P’ y P’’ los puntos simétricos de P respecto a AC y AB, respectivamente.
Demostración Unimos P’’ con R y P’ con Q. Entonces PQ = P’Q;
AP =AP’;
RP = RP’’;
AP = AP’’
PQ + QR + RP = P’Q + QR + RP’’ AP’ = AP’’
Demostración P’Q + QR + RP’’ es igual al perímetro del ΔPQR; P’Q + QR + RP’’ es una forma de ir de P’ a P’’ Ésta es mínima cuando corresponde a P’P’’ R y Q deben estar sobre la línea P’P’’ .
Demostración ΔAP’P’’ es isósceles y la base P’P’’ es mínima cuando AP tenga longitud mínima.
Esto sucede cuando AP sea perpendicular a BC.
Estructura de la inferencia
Estructura binaria y ternaria Regla de inferencia
Término medio (axiomas, teoremas, definiciones, …) Premisas o hipótesis Conclusión Comprobación de Entrada condiciones
Proposición inferida
Ejemplo
Regla de inferencia
Los ∠ en la base de un Δ isósceles son congruentes Comprobación de condiciones:
ΔABC isósceles
ΔABC tal que AB ≅ AC Entrada
∠B≅ ∠C Proposición inferida
Valor de verdad
La imposición del valor de verdad de las proposiciones.
No verificamos que las premisas cumplan con todas las condiciones de la regla.
Ejemplo Demostrar que todo ‘papalote’ tiene un par de ángulos opuestos congruentes
Ejemplo
AD ≅ AB ⇒ ΔABD es isósceles
⇒ ∠ADB ≅ ∠ABD
CD ≅ BC ⇒ ΔBCD
es isósceles
⇒ ∠CDB ≅ ∠CBD
Ejemplo
Lo que implica que ∠D = ∠ADB + ∠CDB ∠D = ∠ABD + ∠CBD = ∠B
Ejemplo Demostrar que todo papalote tiene un par de ángulos opuestos congruentes
La congruencia de los lados AD y AB (premisa) precede a la congruencia de los ángulos ∠D y ∠B (prop. inferida).
Ejemplo Demostrar que todo papalote tiene un par de ángulos opuestos congruentes La congruencia de los lados ya es cierta, no la de los ángulos. Esta última requiere de la congruencia
Ejemplo
El estudiante no podrá comprender que en una demostración, no son los enunciados lo que se valida, sino el razonamiento mismo (Duval, 1995).
No se trata de que produzca enunciados verdaderos, sino razonamientos válidos.
Propuesta de actividades
Actividades que pongan el acento en la organización deductiva de las demostraciones (Tanguay, 2006).
Particularmente en: • La estructura local ternaria de las inferencias • El papel que juegan las reglas • Arreglo no lineal de las inferencias en la estructura global de una demostración
Propuesta de actividades
Un ejemplo En la escuela Siete Garrapatas, el profesor de matemáticas afirmó que las tres mediatrices de todo triángulo son concurrentes. Tomás, que nunca cree lo que le dicen sus profesores, dijo que eso es falso y le mostró al profesor la siguiente figura:
Propuesta de actividades
Propuesta de actividades 1. Tu tarea es escribir un mensaje para convencer a Tomás de la verdad del enunciado: “las tres mediatrices de todo triángulo son concurrentes”
2. Tu mensaje debe incluir una demostración matemática
Propuesta de actividades La figura sobre la que vamos a razonar:
Tu tarea consistirá en reconstruir la cadena deductiva que permita demostrar que el punto W también está sobre la recta L y, por tanto, es la intersección de las tres mediatrices.
Propuesta de actividades Las actividades incluyen: Un diagrama Una lista de proposiciones de base Una lista de justificaciones
Para el ejemplo (diagrama)
Proposiciones de base
BW = CW
AW = BW
W es un punto de la recta n
W es un punto de la recta m
m es mediatriz de AB
W es un punto de la recta l
AW = CW
l es mediatriz de AC
n es mediatriz de BC
Justificaciones 1. 2.
Transitividad de una igualdad: Si x = y y y = z entonces x = z Un punto sobre la mediatriz de todo segmento PQ, necesariamente está a la misma distancia de los extremos P y Q.
3.
Un punto a la misma distancia de dos puntos P y Q necesariamente está sobre la mediatriz del segmento PQ.
4.
Definición de mediatriz de PQ: es la única recta que pasa por el punto medio de PQ y que hace un ángulo recto con la recta PQ.
5.
Definición de punto medio de PQ: es el punto entre P y Q sobre la recta PQ que está a la misma distancia de P que de Q.
6.
Definición de congruencia de dos triángulos: dos triángulos son congruentes cuando sus elementos homólogos (lados y ángulos) tienen la misma medida.
7.
Criterio de congruencia LLL: dos triángulos que tienen sus tres pares de lados homólogos de la misma medida, son congruentes.
8.
Criterio de congruencia LAL: dos triángulos que tienen dos ángulos homólogos de la misma medida, comprendidos entre lados homólogos de la misma medida, son congruentes.
9.
Criterio de congruencia ALA: dos triángulos que tienen dos lados homólogos de la misma medida, comprendidos entre ángulos homólogos de la misma medida, son congruentes.
10. Si el punto O está entre P y Q, sobre la recta PQ, entonces todo punto Z en el exterior del PQ determina los ángulos suplementarios ∠ZOP y ∠ZOQ.
11. Un ángulo de la misma medida que su suplementario es recto.
Justificaciones 1. Transitividad de una igualdad: Si x = y y y = z entonces x = z
Resultados (lápiz y papel) 1. Los estudiantes pueden llegar a realizar demostraciones muy complejas.
2. Una cuestión importante: El ‘desprendimiento de la herramienta’ (diagrama) a través del cambio de registro (hipótesis).
Diseño de actividades Llevar las actividades a un software de geometría dinámica. ¿Qué cambios deben presentar las actividades cuando se implementan en software? ¿Cómo caracterizar los aprendizajes con el uso de ambas herramientas?
Diseño de actividades
Conclusiones ¿Qué pueden aportar los instrumentos tecnológicos al aprendizaje de las matemáticas? Las TIC son herramientas de trabajo fundamentales. Necesidad de generar materiales de aprendizaje que hagan uso efectivo de estas herramientas.
Conclusiones Las actividades mostradas promueven la organización deductiva de una de mostración. Paulatina desaparición de la demostración en geometría La demostración no sólo busca probar y validar resultados, sino también promover formas de razonamiento cada vez más sofisticadas.
Conclusiones
En el bachillerato, es posible que el rigor matemático sea mediado por procesos de exploración Un argumento presentado con suficiente rigor, puede convencer a un mayor número de estudiantes (Hanna, 2007).
Conclusiones
Las actividades que se están diseñando permitirán al profesor contar con recursos para dar oportunidades a sus estudiantes de desarrollar habilidades relacionadas con la organización deductiva en geometría, así como de realizar exploraciones a través del uso de software de geometría dinámica.