CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea

un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es

necesario preocuparse demasiado con preguntas como qué es un cuerpo ya que normalmente trabajaremos con o . Sea

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por

Diremos que

es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:

1) Existe una ley interna en

que llamaremos suma y que denotaremos originalmente por +,

respecto de la cual se verifican las siguientes propiedades: a)

se tiene que

b)

se tiene que

c)

se tiene que

d)

existe un elemento de

e)

existe un elemento de

que denotaremos por 0 (elemento neutro) tal que

que denotaremos por

(elemento opuesto) tal que

. 2) Existe una ley de composición externa sobre denotaremos (también originalmente) por a)

se tiene que

b)

se tiene que

c)

se tiene que

d)

que denominaremos producto y a la que

respecto de la cual se verifica:

se tiene que 1

Veamos algunos ejemplos: matrices de orden

es un espacio vectorial sobre el cuerpo es un espacio vectorial sobre el cuerpo

polinomios de grado menor o igual que

. El conjunto de El conjunto de

con las operaciones suma de polinomios y producto

por un escarlar es un espacio vectorial sobre el cuerpo - Observación: no hay que preocuparse demasiado con esta definición, lo importante en los exámenes es saber si “algo” que nos dan es un subespacio vectorial de un espacio vectorial dado. Esto lo veremos más adelante y es más intuitivo (basta con aplicar teoremas).

Pedro_CC

1

2.1.2- Propiedades Dado un espacio vectorial a)

se tiene que 0

b)

se tiene que

se verifican las siguientes propiedades:

c)

si se tiene que

d)

se tiene que

entonces necesariamente

o

2.1.3- Sistemas de vectores Denominaremos sistema de vectores a un conjunto de vectores que supondremos finito:

Un ejemplo de sistema de vectores en

es

2.1.4-Combinación lineal Sea

un vector de . Diremos que

vectores

es combinación lineal de los vectores de

y escalares

si existen

tales que:

2.1.5- Sistemas libres y ligados. Un sistema independientes,

es libre si los vectores del mismo son linealmente es

decir,

si

los

únicos

son

que

verifican

que

.

Si un sistema no es libre decimos que es ligado. Ejemplo: estudiar si el sistema

es libre o ligado.

2.1.6- Propiedades de los sistemas libres y ligados. a)

con

se tiene que

b) Si

, entonces es ligado.

es libre.

c) Si un sistema es libre entonces cualquier sistema d) Si un sistema es ligado entonces cualquier sistema e) Si un sistema

es libre. es ligado.

es ligado entonces al menos uno de los vectores del sistema es combinación

lineal de los demás.

Pedro_CC

2

f) Si un sistema

es libre y el sistema

es ligado entonces

es combinación lineal

de los vectores de . 2.1.7- Definición al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de .

Se denomina

entonces

Ejemplo: si

.

2.1.8- Sistemas equivalentes. Dos sistemas

y

son equivalentes si

. Para obtener sistemas equivalentes

podemos realizar las siguientes operaciones: a) Añadir al sistema un vector que sea combinación lineal de los vectores del sistema. b) Cambiar el orden de los vectores del sistema c) Multiplicar un vector por un escalar d) Sumar a un vector una combinación lineal del resto de vectores del sistema. Con estas propiedades podemos triangular un sistema, lo cual es particularmente importante al trabajar con sistemas de ecuaciones. - Ejemplo: dado el sistema

, estudiar si es libre o

ligado. 2.2- Subespacios vectoriales 2.2.1- Definición Sea

un espacio vectorial sobre un cuerpo

y sea

un subconjunto

de

que tenga

estructura de espacio vectorial. Entonces, diremos que

es un subespacio vectorial de .

En la práctica, lo que se usa para ver si “algo” que nos dan es un subespacio vectorial es el apartado siguiente: 2.2.2- Teorema de caracterización de subespacios vectoriales. La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto

de

sea un subespacio

vectorial es que: se tiene que En realidad, es suficiente con ver que

y que

.

Ambas formas son igualmente válidas para ver que “algo” es subespacio vectorial. En concreto, de aquí se deduce que el vector nulo está en cualquier subespacio vectorial de . Pedro_CC

3

Otra forma de ver que que verifica

es un subespacio vectorial es calcular el sistema de vectores libre

puesto que dado un sistema de vectores

siempre se verifica que

es subespacio vectorial. Para ver que un

que nos dan no es subespacio vectorial lo primero que se mira es si

Si esto no se cumple entonces

no es un subespacio vectorial ya que

subespacio vectorial. Si a pesar de todo tenemos

.

pertenece a todo

se suelen buscar dos vectores

tales que alguna combinación lineal de ellos no pertenezca a

lo que implicaría que

no es

subespacio vectorial por el teorema de caracterización de subespacios vectoriales. - Ejemplo: estudiar si el siguiente sistema de

es un subespacio vectorial: con

Es inmediato ver que el cero está contenido en , por lo que parece que es un subespacio vectorial (además las ecuaciones que aparecen en la definición de

son lineales). Podemos

usar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales para ver que, efectivamente, es un subespacio vectorial (se aconseja hacerlo) aunque es más sencillo ver que:

que claramente es de la forma

y por tanto esto prueba que

es subespacio

vectorial. - Ejemplo: estudiar si el siguiente sistema de

es un subespacio vectorial:

Es inmediato ver que el cero está contenido en . Sin embargo, en este caso la ecuación que aparece en la definición de

no es lineal lo que lleva a pensar que

vectorial. En efecto, si tomamos pertenecen a

y

y sin embargo

no es subespacio

tenemos que ambos vectores por lo que se deduce del teorema de

caracterización de subespacios vectoriales que

no puede ser un subespacio vectorial.

2.2.3- Sistema de generadores Diremos que un sistema es un sistema de generadores de

si

.

Ver que un sistema

es un sistema de generadores para un subespacio

que todo vector

se puede expresar como combinación lineal de los vectores de .

equivale a ver

2.2.4- Base de un espacio vectorial. Una base de un espacio vectorial Por ejemplo, la base canónica de

es todo sistema libre de generadores de . viene dada por

Todo espacio vectorial admite, al menos, una base. Pedro_CC

4

Si un espacio vectorial admite un número finito de generadores se dice que es finito o finitamente generado. Veamos algunos ejemplos: Una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que

Una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 (

(

) es:

) es:

Una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden 2 ( ) es:

2.2.5- Teorema En un espacio vectorial finito todas las bases son finitas y tienen el mismo número de elementos. 2.2.6- Dimensión Al número de elementos de una base de un espacio vectorial se le denomina dimensión del espacio y se denota por . Algunos ejemplos son:

siendo

el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a ,

vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden

y

el espacio

el espacio vectorial de las

matrices cuadradas antisimétricas de orden . Se aconseja intentar demostrar las dos últimas igualdades. 2.2.7- Coordenadas de un vector en una base. Las coordenadas de un vector dependen de la base. Un vector tiene tantas coordenadas como el número de elementos de una base.

Pedro_CC

5

Diremos que

son las coordenadas de

si respecto a la base

si

se verifica - Ejemplo: respecto de la base

el vector

tiene como

coordenadas (1,2,0). 2.2.8- Rango de un sistema El rango de un sistema

es la dimensión de

, pues todos los vectores de

son

combinación lineal de los vectores de y supondremos que es libre. 2.2.9- Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio. Las ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio vectorial son la relación (paramétrica e implícita) que deben verificar las coordenadas de un vector para pertenecer a un subespacio. Si tenemos un subespacio vectorial

se verifica que:

número de ecuaciones implícitas de

en

- Ejemplo: consideremos el subespacio vectorial de

independientes. . Respecto de la base

podemos poner

por lo que unas

ecuaciones paramétricas vendrán dadas por

. Si despejamos el

parámetro obtenemos que las ecuaciones implícitas de consideramos

como subespacio vectorial de

son

. Nótese que si

las ecuaciones paramétricas e implícitas son

diferentes. - Ejemplo: vamos a obtener unas ecuaciones paramétricas e implícitas respecto de la base canónica de para el subespacio vectorial . Sean

las coordenadas de un elemento de

en cuenta la definición de

respecto de la base canónica. Teniendo

se debe verificar que:

por lo que las ecuaciones paramétricas en dicha base serán y como ya tenemos despejados los parámetros ecuaciones implícitas de

en las ecuaciones de

en la base canónica serán {

se sigue que las

}

Para encontrar unas ecuaciones paramétricas teniendo las implícitas es suficiente con resolver el sistema (normalmente compatible determinado), y las variables que pasan a la columna de términos independientes son los parámetros. Ejemplo: encontrar las ecuaciones paramétricas del subespacio:

Pedro_CC

6

Sustituyendo

tenemos que los elementos de

serán de la forma

, o lo que es lo mismo:

por lo que las ecuaciones paramétricas que buscamos vendrán dadas por:

Para encontrar unas ecuaciones implícitas a partir de las paramétricas se resuelve el sistema y se sustituyen las coordenadas de las ecuaciones sin usar. Ejemplo: calcular las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial cuyas ecuaciones paramétricas son Despejando en las dos últimas ecuaciones resulta

y sustituyendo

en las dos primeras se obtienen las ecuaciones implícitas

.

Nótese que en este caso resulta que las tres últimas ecuaciones paramétricas son linealmente dependientes (podemos obtener la segunda ecuación multiplicando por dos la segunda y restándole la tercera) y por eso obtenemos dos ecuaciones implícitas. Si todas las ecuaciones de tres de ellas y fueran linealmente independientes despejaríamos los parámetros los sustituiríamos en la otra obteniendo una única ecuación paramétrica. 2.2.10- Intersección de subespacios vectoriales Si

y

son dos subespacios vectoriales se define su intersección como

y

.

se denota por

siempre es subespacio vectorial si lo son vectoriales no podemos afirmar a priori que

y

. Si

o

no son subespacios

no sea subespacio vectorial, ya que podría

serlo. La forma más sencilla de calcular la intersección entre dos subespacios vectoriales es sustituir las ecuaciones paramétricas de uno en las ecuaciones implícitas del otro y calcular las relaciones que deben verificar los parámetros. También se puede calcular la intersección resolviendo el sistema de ecuaciones que verifican las ecuaciones implícitas de ambos subespacios vectoriales. -Ejemplo:

calcular

la

intersección

de

y

. Unas ecuaciones implícitas de paramétricas

de

y unas ecuaciones

son

Sustituyendo las paramétricas de Pedro_CC

son

. en las implícitas de

obtenemos

y

por 7

lo que sustituyendo la primera ecuación en las paramétricas de dice nada) obtenemos que

(la segunda ecuación no nos

por lo que la intersección tiene dimensión

uno. 2.2.11- Suma de subespacios vectoriales. Si

y

son dos subespacios vectoriales se define su suma como: con

y se denota por

es un subespacio vectorial formado por los vectores que son suma de vectores de . El subespacio de

.

Si

y

está formado por la unión de un sistema de generadores de

verifican

y

y otro

entonces su suma se denomina suma directa y se denota por

. Si además se verifica que

se dice que

y

son complementarios o

suplementarios. -Ejemplo:

Ejemplo:

calcular

la

suma

de

y

. Un sistema de generadores de

será

.

Sin embargo, el cuarto vector es combinación lineal de los otros tres (comprobarlo!) por lo que será y la suma tiene dimensión 3. 2.2.12- Teorema Si un espacio vectorial

es suma directa de

y

entonces todo vector de

descomponer de forma única como suma de una vector de

y otro

se puede

.

2.2.13- Teorema (fórmula de Grassmann) Si

y

son dos subespacios vectoriales se verifica que:

2.2.14- Subespacios vectoriales y matrices 2.2.14.1- Rango de una matriz. Se denomina rango de una matriz al número de filas o columnas linealmente independientes de dicha matriz. Dadas dos matrices A y B se verifica que:

2.2.14.2- Matrices de cambio de base.

Pedro_CC

8

Sea

un espacio vectorial de dimensión n y

bases tales que respecto de

,

tiene como coordenadas

dos

respecto de

y

.

Entonces sí:

Las ecuaciones de cambio de base (de

a

Es decir, la i-sima columna de la matriz

viene dada por las coordenadas del i-simo elemento

de la base

respecto de la base

) podemos calcular

) serán:

Para obtener el cambio de coordenadas inverso (de

directamente con , o también podemos calcular la matriz cuya i-

sima columna viene dada por las coordenadas del i-simo elemento de la base base

(que es

respecto de los de

consideremos

a las

de

y la matriz de cambio de base de

a

viene dado poniendo los

. La regla mnemotécnica sería algo así como:

cambio de -Ejemplo:

respecto de la

)

En la práctica basta con recordar que el cambio de base de elementos de

a

↔ elementos de

en

bases

. Entonces la matriz de cambio de base de

a

será

y a

será:

.

-Resumen capítulo 2 Este tema es el más importante del examen intercuatrimestral y, junto con el tema de la forma canónica de Jordan, el más importante del primer cuatrimestre. En el examen intercuatrimestral podéis esperar un par de problemas de unos 3.5 puntos cada uno sobre subespacios vectoriales de polinomios o matrices y quizás alguna cuestión, y en el examen cuatrimestral suele caer un problema de 2 o 3 puntos. Generalmente los enunciados de estos problemas suelen dar varios subespacios vectoriales y piden calcular sumas, intersecciones, ecuaciones paramétricas e implícitas, valores de ciertos

Pedro_CC

9

parámetros que hacen que “algo” sea un subespacio vectorial,… por lo que se aconseja encarecidamente tener muy claro todo el apartado 2.2. Veamos algunos problemas de otros años, que son del estilo de los que podéis esperar: PROBLEMA 1 (intercuatrimestral octubre 2011, 4 puntos) En el espacio vectorial

de las matrices cuadradas de orden 2 se considera el subconjunto

y los subespacios vectoriales

Se pide: a) Demostrar que

es un subespacio vectorial de

b) Calcular unas ecuaciones implícitas de c) ¿Son d) ¿Es

y

suplementarios en

un subespacio vectorial de

ecuaciones implícitas de a) Si

y calcular una base

en la base canónica de

? Razonar la respuesta. En caso afirmativo calcular unas

en la base

de

calculada en el primer apartado. entonces la matriz

poner en la forma

se puede lo que

es subespacio vectorial y que

b) Las matrices de

.

? Razonar la respuesta.

es una matriz simétrica que verifica

implica que

del mismo.

serán de la forma

por lo que las matrices de

es una base del mismo. y las matrices de serán de la forma de

base canónica

serán de la forma y en la

unas ecuaciones implícitas de

son:

c) Del apartado anterior se sigue que como deduce que

(el espacio

tiene dos ecuaciones implícitas su dimensión es (pues la base

tiene dimensión

y

) y del apartado a) se

tiene dos matrices). Por la fórmula de Grassmann

tenemos que:

Pedro_CC

10

como la suma de las dimensiones de

y

“cuadra” (notad que si la suma de estas

dimensiones fuese distinta de la dimensión de

ya sabríamos que no pueden ser

suplementarios) la condición necesaria y suficiente para que dichos espacios sean suplementarios es que su intersección sea nula. Sin embargo, es sencillo ver que la matriz pertenece a ambos subespacios por lo que su intersección no es nula y no pueden ser suplementarios (si no vemos esto, lo más fácil sería calcular las ecuaciones paramétricas de en la base y sustituir dichas paramétricas en las implícitas de del apartado b) para calcular la intersección de ambos subespacios. Os aconsejo que lo hagáis y comprobéis que la intersección es el subespacio

). y

d) Tenemos que subespacio vectorial de

por lo que

. En la base

y

es un

la ecuación implícita de

es

. PROBLEMA 1 (intercuatrimestral noviembre 2009, 3.5 puntos) En el espacio vectorial

de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes

reales se consideran los siguientes subespacios:

Se pide: a) Calcular una base y una ecuaciones implícitas en le base canónica de

y

de

.

b) Calcular unas ecuaciones paramétricas y una base de a ? ¿Y a

. ¿Pertenece el polinomio

? En caso afirmativo calcular sus coordenadas en las bases de

y

calculadas anteriormente. c) Encontrar una base de un subespacio suplementario

implícitas de

en

como suma de un polinomio de y otro de

el polinomio d) ¿Puede ser

de

un subespacio vectorial de en la base de

y descomponer .

? En caso afirmativo calcular unas ecuaciones

calculada anteriormente.

a) Si tenemos un polinomio de grado menor o igual que tres entonces su derivada será de grado menor o igual que dos, por lo que en realidad podemos definir sin pérdida de generalidad como:

Pedro_CC

11

y si tenemos una base de

integrando se sigue que es

y si consideramos la base canónica

ecuaciones implícitas de en

por lo que

en

son

unas

siendo

coordenadas

.

Por otra parte, si un polinomio verifica

la única posibilidad es que dicho

polinomio sea en realidad una constante. Si no, tendríamos que el grado de estrictamente mayor que el grado de

lo que implicaría que la igualdad

no se puede dar. Esto implica que una base de en

son

es

y unas ecuaciones implícitas de

siendo

b) Teniendo en cuenta que

coordenadas en

y

subespacios es el subespacio

, es decir,

.

en

coordenadas en

y unas ecuaciones

son {

} siendo

. pertenece tanto a

Teniendo en cuenta lo anterior es claro que el polinomio son

y sus coordenadas en

.

es claro que la intersección de ambos

Esto implica que una base de la intersección es paramétricas de

es

como a

mientras que su coordenada en

es (1). podemos tomar

c) Como

(si no veis claro que son

suplementarios comprobar que la intersección es nula y la suma de las dimensiones de ambos ). subespacios es la dimensión de por lo que lo hemos descompuesto como la

Tenemos que

y otro elemento de

suma de un elemento de d) Teniendo en cuenta que

y

es claro que

un subespacio vectorial de . Unas ecuaciones implícitas de coordenadas en

( .

en

por lo que son

es

siendo

.

PROBLEMA 1 (intercuatrimestral noviembre 2010, 3.5 puntos) En el espacio vectorial de los polinomios impares de grado menor o igual que 5, es decir, se consideran los subespacios siguientes:

Pedro_CC

12

Se pide: a) Está

contenido en

? Razonar la respuesta.

b) Calcular la dimensión de

y una base de

.

c) ¿Son

y

disjuntos? Razonar la respuesta.

d) ¿Son

y

suplementarios en ? Razonar la respuesta.

a) Si

entonces

por verificar b) Como

, por lo que dicho polinomio también pertenece a . Esto implica que

se tiene que

dimensión de

y una base de

La condición

está contenido en

y

, por lo que basta con calcular la

.

es una ecuación implícita (podemos poner

y dicha condición nos dará una ecuación con los coeficientes de

.

será la dimensión de los polinomios impares de

) por lo que la dimensión

menos uno, es decir:

Por otra parte, si un polinomio impar de grado menor o igual que entonces dicho polinomio

que verifica

también verificará que

por ser impar. Además, toda función impar se anula en el origen (esto deberíais saberlo de cálculo) por lo que se verificará que . Esto implica que es de la forma:

por lo que una base de

será

- Observación: la forma “estándar” de calcular la base de y obtener dos ecuaciones implícitas de

es tomar el polinomio haciendo

y

. De dichas ecuaciones implícitas se pasa a las paramétricas y de ahí es inmediato obtener una base. Así es como lo tenéis hecho en moodle. Esta solución es más rápida, pero hay que haber hecho unos cuantos problemas de examen para que se os ocurra. Podéis comprobar multiplicando la expresión que, como es de esperar, ambas soluciones dan el mismo resultado. c) Para que

y

sean disjuntos es necesario y suficiente con que ninguno de los polinomios pertenezca a

polinomio

verifica

. Sin embargo, es sencillo comprobar que el por lo que se tiene que

y

ambos espacios no son disjuntos.

Pedro_CC

13

d) Tenemos que

y es fácil ver que

puesto que la condición

es una ecuación implícita por lo que la dimensión de polinomios impares de

será la dimensión de los

menos uno, es decir:

Por tanto, las dimensiones de ambos subespacios “cuadran” en el sentido de que su suma es igual a la suma del espacio en el que estamos trabajando y podrían ser suplementarios. En este caso, los subespacios y serán suplementarios si y solo si su intersección es nula. Un polinomio de verifica

por tanto

es de la forma

. Veamos si dicho polinomio

:

(la igualdad se tendría que dar para todo

y solo se da para

) por

lo que la intersección de ambos subespacios es nula y son suplementarios.

Pedro_CC

14