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UNA APROXIMACIÓN SOCIOEPISTEMOLÓGICA AL ESTUDIO DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ma. Guadalupe Cabañas Sánchez 1 Ricardo Cantoral Uriza 2
R ESUMEN En este capítulo presentamos los resultados parciales de una investigación relacionada con una particular interpretación de la integral definida desarrollada en el marco de la aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática educativa ; se parte del tratamiento de la noción de área al nivel de actividad en la vida cotidiana (repartir , comparar y reproducir , medir , cuantificar, y conservar ). Describimos, en un primer término, el tratamiento escolar de la integral definida que suele ser usado en la enseñanza contemporánea y discutimos algunos resultados de investigación que exhiben las dificultades de los estudiantes ante dicho tratamiento. Se presentan además, ejemplos de actividades que incorporan la noción de conservación del área en construcciones vinculadas al tratamiento de regiones geométricas planas, descritas en términos sintéticos o descritas en términos analíticos. Palabras clave: Socioepistemología, integral definida, comparación, medición y conservación del área, reproducibilidad de situaciones didácticas.
1. I NTRODUCCIÓN La comprensión de los conceptos básicos del cálculo suele resultar una tarea difícil para la mayoría de los estudiantes en sus primeras experiencias en esas asignaturas. Algunas de estas dificultades han sido documentadas sistemáticamente en diferentes regiones del mundo y bajo el abrigo de diversas perspectivas teóricas (Orton, 1983; Artigue, 1998 y Cantoral, 2000). En México particularmente, esta problemática ha sido estudiada desde hace dos décadas por el grupo de investigación del Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav IPN. Sin embargo, sus trabajos se han orientado al desarrollo de acercamientos didácticos que favorezcan la construcción de significados, tanto al nivel de los procesos como de los conceptos propios del cálculo y del análisis matemático, principalmente del concepto de función, límite, continuidad, derivada, convergencia y analiticidad, siempre basados en lo que llaman las ideas variacionales; desatendiendo un tanto, bajo este enfoque, el problema de la enseñanza y aprendizaje de la integración.
1
Centro de Investigación en Matemática Educativa (Cimate). Facultad de Matemáticas (FM). Universidad Autónoma de Guerrero (UAG). 2 Cinvestav – IPN, en receso sabático en el Cimate – FM, UAG.
Específicamente, diferentes investigaciones muestran que los estudiantes tienen dificultades con la conceptualización de los procesos de integración y que éstas se refieren al desequilibrio existente entre lo conceptual y lo algorítmico. De ahí que coincidimos con quienes afirman que, bajo el influjo del discurso matemático escolar 3 , la enseñanza del cálculo integral privilegia el tratamiento algorítmico a través de las llamadas técnicas de integración en detrimento propiamente de la comprensión de nociones básicas como se señala en (Quezada, 1986 Artigue, 1998, Cantoral, 2000). Actualmente, aspectos centrales de esta problemática están siendo estudiados en el marco de una investigación titulada: “Un estudio sobre la reproducibilidad de situaciones didácticas: El papel de la noción de conservación del área en la explicación escolar del concepto de integral”, investigación conducida en el marco de la aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática educativa . El problema que motiva esta investigación se ubica en el reconocimiento de las dificultades que muestran los estudiantes en su intento por alcanzar una adecuada comprensión de la integral definida con base en la típica explicación escolar de “área bajo la curva”, presentación que precisa de un equilibrio entre el desarrollo conceptual de las ideas básicas del cálculo con el manejo apropiado de sus algoritmos. Desde la perspectiva socioepistemológica se dará una visión alternativa respecto de las prácticas sociales relacionadas a dichos conceptos y procesos matemáticos, y que son detectadas en las filiaciones entre enseñanza básica y enseñanza superior cuando se trata con el concepto de integral definida a través de actividades como: repartir , comparar y reproducir , medir , cuantificar, y conservar bajo diferentes métodos las áreas. Empecemos reseñando el acercamiento usual de la integral en los textos escolares.
2. T RATAMIENTO ESCOLAR DE LA INTEGRAL DEFINIDA En el contexto escolar los procesos de integración son tratados en el último año de la enseñanza media y en el primero de la enseñanza superior, a partir de dos vertientes: la integral indefinida y la integral definida. El concepto de integral definida se asocia a expresiones simbólicas y representaciones geométricas. Las formas más usuales de concebir estas representaciones son: la integral como la operación inversa de la derivada y la integral cómo el método de determinación del área bajo una curva para funciones continuas sobre intervalos cerrados. Una representación geométrica del concepto de integral cuando la función es positiva, es aquella del área bajo una curva, donde el símbolo b f ( x ) dx expresa el valor de dicha área. Es decir:
òa
b
ò f ( x ) dx = " área bajo la curva y =
f ( x )"
a
3
Constituye una concepción de enseñanza que está normada por el contrato escolar y el pragmatismo que se deriva de éste. Se ejerce la enseñanzaaprendizaje por un lado, considerando a la matemática como un conocimiento acabado y por el otro, tratando a los conceptos matemáticos en la didáctica como actos de repetición o memorización (Cordero, 2003).
Una interpretación plausible dice que el signo ò significa la suma de los rectángulos representados por f ( x ) dx , donde f ( x ) es la altura y dx la base. Mientras que los extremos a y b del intervalo son los límites de integración, sobre los que construyen los rectángulos. Para describir el tratamiento escolar de la integral definida seleccionamos uno de los textos de cálculo avanzado más utilizados en nuestro medio universitario, (Spivak, 1999). En este texto los procesos de integración son presentados en el Capítulo 13 y su construcción se da a partir de la definición de la integral de Riemann, donde se trata con área de regiones simples, particularmente aquellas delimitadas por el eje horizontal, las rectas verticales que pasan por (a , 0) y (b, 0), y por la gráfica de una función f tal que f ( x ) ³ 0 para todo x en [a , b ] , denotando este tipo de regiones por R ( f , a , b ) . Previo a la definición de integral, Spivak define partición de un intervalo y suma inferior y superior. Definición de partición de un intervalo: “Sea a 0 existe una partición P de [a , b ] tal que
U ( f , P ) - L ( f , P ) < e …” (p.356) El teorema fundamental del cálculo es presentado en el capítulo 14 (Teorema 1) “Sea f integrable sobre [a , b ] y defínase F sobre [a , b ] por b
F ( x ) = ò f . a
Si f es continua en c de [a , b ] , entonces F es derivable en c, y
F ¢ (c ) = f ( c ). (Si c = a o b, entonces F ¢ (c ) se entiende que representa la derivada por la derecha o por la izquierda de F )”… (p.399)
Es el Capítulo 18 que presenta la notación tanto de la integral indefinida como a la definida. Este capítulo inicia señalando que “…todo cálculo de una derivada proporciona, según el segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal, una fórmula para integrales…” (p. 499). Muestra a través de un ejemplo el uso de este teorema por medio de la función logaritmo para indicar que “… las fórmulas de este tipo se simplifican considerablemente si adoptamos la notación b
F ( x ) a = F ( b ) - F ( a ) …” (p. 499)
Enseguida define una función primitiva como sigue: “… En general, una función F que satisface F ¢ = f recibe el nombre primitiva de f. Se da paso a la presentación de la integral definida, que es posterior al de integral indefinida, y lo hace de la siguiente manera: “… Una función
ò f ( x ) dx , es decir, una primitiva de f, recibe con frecuencia el nombre de
«integral indefinida» de f, mientras que
b
òa f ( x ) dx es llamada, por contraste, «integral
definida». ..” (p.502) Respecto de la integral definida señala que: “… esta sugestiva notación da un buen resultado en la práctica, pero es importante no dejarse extraviar por ella. Aun a riesgo de b cansar al lector, hacemos notar una vez más el siguiente hecho: la integral f ( x ) dx no se
òa
define como « F (b ) - F ( a ) , donde F es una integral indefinida de f»…” (p.502).
Esta forma de presentar la integral produce efectos notables en el desarrollo conceptual de los estudiantes, donde la construcción de nociones aparecen visiblemente complejas con ausencia de actividades asociadas a prácticas de la vida, tendiendo a favorecer el desarrollo de técnicas de integración y en consecuencia su pensamiento algorítmico. En nuestro estudio, el diseño de las situaciones serán incorporadas prácticas de conservación, medición y comparación, tomando como eje conductor al concepto de área. Pretendemos abordar dos clases de cuestiones: una relacionada con la búsqueda de evidencia empírica sobre el fenómeno didáctico de la reproducibilidad de las situaciones didácticas en el cálculo integral, y el otro relativo al papel que la noción de conservación de área desempaña en las explicaciones del profesor cuando trata en sus clases con el concepto de integral definida.
3. DIFICULTADES DE LOS ESTUDIANTES LIGADAS A LOS CONCEPTOS BÁSICOS DEL CÁLCULO
Como se dijo al inicio, las dificultades ligadas al aprendizaje de los conceptos del cálculo han sido reportadas por diversos autores. Artigue (1991) las sintetiza de la siguiente manera: § Al nivel altamente sofisticado de las estructuras de los objetos en los fundamentos del cálculo, tales como sucesiones y funciones § A la existencia de varios obstáculos, incluyendo aquellos evidentes en el desarrollo histórico como los obstáculos debidos a los procesos infinitos, y los obstáculos en la conceptuación de los números reales por parte de los estudiantes. § Dificultades planteadas en el aprendizaje de técnicas específicas o propias del análisis; tal como el uso de los axiomas de completez.
§ Los estudiantes llegan a obtener un nivel de éxito razonable en un cierto número de tareas algorítmicas; sin embargo, las concepciones desarrolladas por los estudiantes son pobres y las técnicas sutiles del Cálculo no son adoptadas. Por su parte Dreyfus (1990), afirma que los estudiantes aprenden los procedimientos del cálculo (encontrar límites, diferenciación, etc.) a un nivel puramente algorítmico, construidos sobre imágenes conceptuales escasas. Y que las dificultades en la concepción de los procesos de diferenciación e integración pueden explicarse en términos de que los estudiantes carecen, necesariamente, de un nivel alto de abstracción, tanto del concepto de función (como un objeto), como de los procesos de aproximación. En estudios anteriores (Orton, 1980, 1983), identifica dificultades entre estudiantes de 16 a 22 años de edad, al momento de estudiar ideas del cálculo, debido a problemas vinculados con los procedimientos algorítmicos, a pesar de la gran dependencia que se tiene con el álgebra elemental. Así como dificultades para determinar áreas bajo curvas cuando éstas cortan un eje o en la comprensión de relaciones entre una integral definida y las áreas bajo una curva, la cual debe ser dividida en tantos rectángulos como sea posible (una cantidad muy grande). Además, para explicar por medio de un diagrama o por otra vía, el por qué a
a
a
de la igualdad siguiente: ò ( x 2 + x ) dx = ò x 2 dx + ò xdx . 0
0
0
Schneider (1991), en un estudio realizado con estudiantes de 15 a 18 años de edad en el que recurrió a la “descomposición infinita” de superficies y sólidos utilizando los principios de Cavalieri, identificó dificultades para calcular áreas y volúmenes debido a un obstáculo que considera epistemológico, el cual consiste en derivaciones inconscientes e indebidas en la manera de pensar de los alumnos entre el campo de las cantidades y el campo de las medidas. En una investigación de Quezada, (1986), se reporta el análisis de las dificultades de los estudiantes al buscar primitivas, y señalan que estas se deben a un dominio insuficiente del álgebra. Sugiere la autora situar a los estudiantes para que realicen una cantidad suficiente de ejercicios para que adquieran destrezas a través de la experiencia en la búsqueda de primitivas, considerando en dicha labor el atender a los errores más frecuentemente. El estudio realizado en (Cordero, 2003), no busca caracterizar dificultades de los estudiantes ante las tareas que requieren de la integración, sino que se orienta al examen de las características necesarias para entender el concepto de integral, para lo cual acude al empleo de diferentes marcos como los epistemológicos, el cognitivo y el didáctico: § Del análisis epistemológico se identificó un patrón de construcción de la b
teoría de integración con la expresión
òa f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) en donde
la diferencia F ( x + dx ) - F ( x ) y las condiciones de una función derivada F ¢ juegan un papel definitivo. § Se le asoció un significado a la integral por medio de la noción de acumulación
§ Las situaciones que favorecen el pensar en la integral, son los fenómenos de cambio § Considerar al área bajo una curva como modelo geométrico de la integral en un ambiente de variación continua, exige mover lo estático. § En las explicaciones de profesores y estudiantes ante situaciones de variación, relacionaron a los significados y objetos dentro de un sistema específico de la situación, en contraste con una estructura axiomática. Por ejemplo: f (x)dx es una porción de una cantidad que varía o es la pieza de un todo, f (x) es una función la cual es representada por una curva o por una expresión algebraica y el dx como un término independiente de la función f (x).
4. L A INTEGRAL DEFINIDA LA APROXIMACIÓN SOCIOEPISTEMOLÓGICA
La socioepistemología es una aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar a los fenómenos de producción y de difusión del conocimiento desde una perspectiva múltiple al incorporar el estudio de las interacciones entre la epistemología del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización vía la enseñanza. Tradicionalmente las aproximaciones epistemológicas asumen que el conocimiento es el resultado de la adaptación de las explicaciones teóricas con las evidencias empíricas, ignorando en sobremanera el papel que los escenarios históricos, culturales e institucionales desempeñan en toda actividad humana. La socioepistemología por su parte, plantea el examen del conocimiento socialmente situado, considerándolo a la luz de sus circunstancias y escenarios sociales (Cantoral y Farfán, 2003, 2004). Dada su naturaleza sistémica, este enfoque posibilita la articulación entre la teoría de situaciones con el estudio de construcción del conocimiento, por lo que el punto de partida de esta investigación es el diseño de situaciones didácticas. Presentaremos una visión alternativa a partir del tratamiento de la noción de área al nivel de las actividades asociadas, que son detectadas en las filiaciones entre enseñanza básica y superior cuando tratan con la integral definida (figura 1) mediante actividades como: a) Repartir . Esta actividad se vincula a situaciones de la vida cotidiana en la que dado un objeto hay que repartirlo equitativamente, ya sea aprovechando regularidades, por estimación o por medición. b) Comparar y reproducir . Las situaciones tienen que ver con la comparación de dos superficies con el fin de determinar cómo es una respecto de la otra. En otras, se busca obtener una reproducción con forma diferente a la dada inicialmente. Estas actividades pueden realizarse mediante: inclusión, transformaciones, estimación, por medición, o estudiando funciones. c) Medir y cuantificar . El área suele aparecer en situaciones de medida ya sea para repartir, conservar, comparar o valorar. Este proceso puede
realizarse mediante exhausción, acotación, transformaciones, o relaciones geométricas generales. d) Conservar. Esta actividad se presenta después de realizar transformaciones, o movimientos en construcciones vinculadas a regiones planas o no planas. En este proceso, los objetos pueden cambiar o mantener su forma sin que el área se altere. Actividades que en la enseñanza habitual no son consideradas en el estudio de la integral. El método de enseñanza tradicional por el contrario tiende a desarrollar habilidades en los estudiantes para el uso de fórmulas y técnicas de integración en el cálculo de áreas, olvidando el papel de las actividades de la vida cotidiana En la escuela básica por ejemplo, previo a la medición del área, se sitúa a los niños a trabajar con objetos tangibles para que perciban cualidades como la conservación y la comparación, de tal forma que sean capaces de determinar si un objeto o cosa es más grande, igual o más pequeño que otro, sin el uso de fórmulas, se trata más bien de que comparen mediante la superposición apoyándose en movimientos como Figura 1. Una visión del estudio de la integral definida la rotación, traslación, reflexión. desde la aproximación socioepistemológica En muchas actividades la medida de la extensión de un terreno no se obtiene en metros cuadrados, sino en unidades de producción, o bien con base en linderos naturales. La idea de medir el área con base en la noción de área para figuras rectangulares requiere de otras prácticas, como la conservación que no son usadas en la enseñanza tradicional. Nuestra tesis es que aunque estemos en el nivel superior y trabajemos con objetos formales, se requiere introducir a esos objetos con actividades previas que tomen en cuenta principios esenciales como la conservación. Aceptamos que la dimensión empírica juega un papel importante en la dimensión conceptual de la enseñanza superior, la comparación y la medición son antecedentes. Sin embargo, nos preguntamos ¿Cómo recuperar estas prácticas en la enseñanza superior sin regresar a la escuela básica? Consideramos que previo a la presentación didáctica de la integral, se requiere movilizar prácticas como la conservación y conceptos asociados. El área en particular es una noción arraigada a la cultura de las sociedades, a la ciencia y a la tecnología, así como a las vicisitudes de la vida diaria de las personas. El concepto de área a su vez está relacionado con tres prácticas: medida, comparación y conservación, mismas que pueden ser representadas a través de formas diversas, tales como: gráfica,
numérica y simbólica. El concepto de medida de área requiere del concepto de unidad de medida, del concepto de iteración de dicha unidad, de la noción “cantidad de unidades” y del cálculo de fórmulas (Piaget et al, 1970; Kordaki y Potari, 1998). La conservación significa que el valor del área permanece intacto mientras su figura puede ser cualitativamente nueva (Piaget, et al, 1970; Kordaki y Potari, 2001). Puede presentarse a partir del cambio de la posición de una figura sin modificar su forma, mediante los movimientos de traslación, rotación y reflexión; modificando una figura partiéndola y reacomodando sus partes, y; mediante transformaciones analíticas y geométricas. Significa por tanto que es posible ejercer transformaciones en los objetos y que ciertas cualidades de éstos permanecerán invariantes. Respecto de la conservación del área, Kordaki y Potari (2003) afirman que en el contexto escolar los estudiantes son introducidos tempranamente al uso de la fórmula del área, pero el concepto de conservación del área es pasado por alto. A pesar del hecho de que los estudiantes pueden lograr este concepto, estudiándolo en una variedad de formas y usando una cierta cantidad de herramientas distintas.
5. L OS CONCEPTOS DE ÁREA, CONSERVACIÓN Y MEDIDA DE ÁREA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
En la enseñanza de las matemáticas el concepto de área es fundamental. Su estudio inicia al nivel básico, y tiene que ver principalmente con la medida de superficies planas. En los niveles medio y superior este concepto también se relaciona con la medición de superficies a través de la integral. En la escuela básica, los niños son introducidos al concepto de medida de área usando cuadrículas dispuestas para ello y mediante la tarea de contar los cuadrados que quedan dentro de la figura geométrica en cuestión. Se introduce de manera gradual de tal forma que usan la unidad cuadrada para cubrir formas regulares y posteriormente medirlas. Ver un ejemplo de actividad (actividad 1).
Actividad 1. El uso de la unidad cuadrada para cubrir formas regulares
Cuando se introduce la fórmula del área del rectángulo por ejemplo, lo subdividen en un número entero de cuadrados unitarios (normalmente se empieza con el tratamiento de figuras que efectivamente lo permiten), y se indica a los estudiantes que la medida del área de dicha figura equivale al número de cuadritos en que se le ha subdividido al rectángulo, advirtiéndoles, siempre por iniciativa del profesor, que el número de filas y columnas son a la vez las medidas de las longitudes de los lados del rectángulo. Con este procedimiento,
concluyen que el área de esta figura se obtiene entonces de multiplicar las medidas del largo y del ancho, para obtener así la medida del área que habrá de expresarse en unidades cuadradas. Pasan a la representación algebraica del resultado: A= b´h y a las conocidas expresiones “base por altura” o “largo por ancho”. Por el contrario, para el cálculo del área del círculo se prescinde de este tipo de procedimientos, limitándose a utilizar la fórmula p r 2 o la introducción de estrategias como la de seccionar el círculo en sectores cada vez más pequeños. Esta forma de presentar la medida del área en la enseñanza básica y de introducir prematuramente las fórmulas carece de sentido para los niños si no se cuenta con la comprensión de las propiedades de la medida de áreas, ya que no existen espontáneamente como condiciones lógicas en su pensamiento. Por ejemplo, para un niño el área de una figura no es desde siempre equivalente a la suma de áreas de las partes que lo componen (Domínguez, p. 31, 1984). Piaget afirma que la ausencia de actividades para manipulaciones de área, principalmente aquellas con las cuales se inician las acciones sensoriomotoras de los niños, el salto del concepto de conservación de área y el uso prematuro de fórmulas de áreas matemáticas en la escuela causa dificultades en la mayoría de los estudiantes en este tema. Además, los niños no tienen la oportunidad para crear sus herramientas subjetivas para medir, por ejemplo unidades o cuadrículas, debido a la introducción de una unidad propuesta por el profesor (Piaget et al, 1970). Acerca del área, Piaget afirma (Piaget et al, 1970) que el concepto de conservación de área es un aspecto preliminar y fundamental en el entendimiento del concepto de medición de área entre los estudiantes, es decir, la conservación antecede a la medición. En la enseñanza de las matemáticas del nivel medio y superior, el estudio del área se vincula con el de integral definida. Este concepto suele introducirse mediante explicaciones relacionadas con la medición del área de regiones planas acotadas, mediante la expresión “área bajo la curva”. Dicho procedimiento de medición consiste en dividir la región en regiones más pequeñas, cuyas áreas tengan fórmulas de cálculo conocidas. Se suele dividir al intervalo de integración en subintervalos de igual longitud, sobre los cuales se construyen rectángulos con los que busca cubrir la región ya sea por defecto o por exceso (en la explicación se muestran siempre gráficas de funciones positivas). El valor aproximado del área se obtiene a partir de la suma de las áreas de los rectángulos así construidos. El cálculo del área de estos rectángulos utiliza la fórmula de “base por altura”, por lo que basta contar con los valores de las bases y de las alturas para conocer el valor de las áreas de los rectángulos. Si bien el procedimiento utilizado pudiera parecer simple, el recurso de subdividir la región en rectángulos es introducido artificialmente tanto en los textos escolares como en las explicaciones del profesor, además de que la particular forma de toma al límite plantea dificultades cognitivas. Esto suele hacerse con el propósito de justificar la presentación de la integral definida a través de la noción de área de donde se pasará al tratamiento algorítmico típico de la enseñanza de las integrales. “Si bien, en geometría elemental se deducen fórmulas para las áreas de muchas figuras planas, un poco de reflexión hace ver que tampoco se da una definición aceptable de la
noción de área. El área de una región se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que caben en la región. Pero esta definición es totalmente inadecuada para todas las regiones con excepción de las más simples. Por ejemplo, el círculo de radio 1 tiene por área el número irracional p , pero no está claro en absoluto cuál es el significado de « p cuadrados». Incluso si consideramos un círculo de radio 1 cuya área es 1, resulta p
difícil explicar de qué manera un cuadrado unidad puede llenar este círculo, ya que no parece posible dividir el cuadrado unidad en pedazos que puedan ser yuxtapuestos de manera que formen un círculo” (Spivak. pp. 345346, 1999). Una particularidad relativa a la medición del área, es que las unidades convencionales (metro cuadrado, centímetro cuadrado, etc.) a diferencia de otras unidades no existen como instrumentos de medición en las tiendas, así como podemos encontrar reglas, cintas graduadas, escuadras en unidades de longitud; pesas para la masa, entre otras. El cálculo del área se determina indirectamente, a partir de medidas de longitud y con instrumentos correspondientes a esta magnitud.
6. E STUDIOS SOBRE MEDIDA Y CONSERVACIÓN DEL AREA Los estudios realizados por Piaget y colaboradores en los años 60’s, han significado una contribución importante a la comprensión del desarrollo en el niño de conceptos relacionados con el área, pues ellos descubrieron qué clase de nociones destacan entre niños de 8 a 11 años de edad cuando tratan con las nociones de conservación y medición de áreas. A partir de estudios como este en que se emplean materiales concretos, se afirma que el concepto de conservación de área es un aspecto preliminar y fundamental en el entendimiento del concepto de medición de área, es decir en términos llanos, señalan que la conservación antecede a la medición. Esta tesis se llevó adelante en Grecia con estudiantes de secundaria (14 años de edad) por parte de Kordaki y Potari (2003) quienes utilizaron un micromundo llamado C.AR.M.E. (Conservación de Área y su Medida) para que los estudiantes construyeran de forma dinámica sus propias aproximaciones a los conceptos de conservación y medida de área. Los antecedentes de este trabajo fueron las investigaciones realizadas por Piaget et al., (1970). Mediante el uso de este ambiente exploraron: las estrategias de los estudiantes en relación al concepto de conservación de área y su desarrollo mientras interactuaban con el micromundo; el pensamiento de los estudiantes sobre el concepto de conservación de área en triángulos equivalentes y paralelogramos de base común e igual altura, y; el papel de las herramientas ofrecidas por el micromundo en relación con las estrategias de los estudiantes. El estudio muestra que las herramientas proporcionadas por el ambiente experimental estimularon a los estudiantes a expresar sus propias aproximaciones al concepto de conservación de área. En la investigación de Domínguez (1984) se estudiaron las dificultades en alumnos de segundo, tercero, cuarto y sexto de primaria ante tareas de comparación, conservación, seriación y medición de superficies, equivalencia de unidades, partición de la unidad y duplicación del cuadrado vinculadas con: Partición del continuo; elección de la unidad; cuantificación de las unidades y equivalencias; aproximación, precisión y exactitud, y; convencionalidad de la medida. En actividades de medición identifica que los alumnos conciben el área como determinada por longitudes y que en consecuencia, le asignan una medida que corresponde
a dichas longitudes; en otros casos, y; como determinada por las superficies que la componen o que la cubren, pero que no sabiendo cómo cuantificar éstas, asignan una medida que corresponde a ciertas longitudes. En alumnos de los últimos grados de primaria identifica que tienden a reconocer como válidos para establecer una medida de áreas únicamente los procedimientos que emplean “fórmulas” y que calculan el área a través de medidas de longitud. Incluso, llegan a la conclusión de que si una superficie “no tiene fórmula” (o no se conoce), no se puede medir.
7. ACTIVIDADES RELATIVAS A LA CONSERVACIÓN DEL ÁREA Los resultados de la investigación permitirán en un futuro presentar una propuesta alternativa para el tratamiento de la integral definida en el contexto escolar. Pretendemos hacer aportaciones tanto al nivel teórico como al de la mejora en el campo de la educación que favorezcan una mejor enseñanza del cálculo integral. El estudio teórico se situará al nivel del fenómeno de reproducibilidad de las situaciones didácticas, buscando responder preguntas como: ¿Qué tipo de hechos esperamos reproducir cuando la misma situación es aplicada por diferentes profesores o cuando un mismo profesor la escenifica en escenarios distintos? ¿Qué fenómenos didácticos emergen cuando se repite una situación didáctica en escenarios distintos? Las aportaciones a la enseñanza del cálculo integral se derivan de la reproducción de las situaciones didácticas en forma de propuestas para su uso, de tal forma que contribuya en la construcción de la integral definida pero mediante nociones como la conservación, la comparación y la medición de áreas, todo con el fin de lograr un equilibrio entre el tratamiento conceptual y algorítmico de la integral. En este estudio estamos interesados en diseñar actividades vinculadas a la noción de integral a fin de estudiar el fenómeno de reproducibilidad. Estos diseños usarán sistemáticamente aspectos de la conservación del área de figuras elementales como triángulos o polígonos de pocos lados cuando sean sometidos a ciertas transformaciones como recortar y recomponer, o trasladar entre otras; haremos evidente también, mediante recursos tecnológicos específicos, cómo es que el método del cambio de variable para la integración es un recurso que modifica la forma de la gráfica de la función a integrar así como los límites de integración, pero que tiene la propiedad de conservar el valor del área; o bien veremos cómo con la aplicación del teorema del valor medio para integrales lo que se busca es transformar una figura en otra conservando su área. A continuación presentamos un diseño de actividades que, si bien no están concluidas y por tanto no son definitivas ni hemos hecho sobre ellas exploraciones sistemáticas, intentan sólo mostrar a qué queremos referirnos. En las actividades uno y dos se sitúan a trabajar con polígonos convexos y no convexos. En las actividades tres, cuatro y cinco, a trabajar con funciones lineales y no lineales y en la seis, con integrales. El propósito es identificar si se percibe que el área puede conservarse en representaciones analíticas o gráficas ya sea realizando transformaciones o bien al determinar relaciones entre figuras geométricas.
Actividad 1. Determina qué relación existe entre las áreas de los triángulos ABC, ACD, ACE, ACF, ACG y ACH. Ellos son construidos entre dos paralelas. Argumenta tu respuesta. L1
A
C
L2 B
D
E
F
G H
Actividad 2 Construye tres polígonos diferentes. Realiza las transformaciones convenientes sobre las figuras construidas, de tal forma que el área de las figuras resultantes sea igual a las construidas inicialmente. Explica los procedimientos que realizaste en las transformaciones.
Actividad 3. Bosqueja la gráfica de una función no lineal cuya “área bajo la curva” sea igual al área de la región sombreada para cada una las siguientes figuras:
Actividad 4. Una función f está definida en el intervalo [0, 1], el área bajo la curva en dicho intervalo es 1/6. Grafica cuatro funciones diferentes cuyo dominio sea igual al de f y el área bajo la curva en dicho intervalo sea también 1/6. Actividad 5 Determina tres funciones diferentes, cuya área bajo las gráficas correspondientes sea igual a la de la región sombreada en la gráfica dada, considerando el mismo dominio de definición.
Actividad 6. Interpreta geométricamente los resultados de cada una las siguientes integrales
3
a ).
1 ò 2 x + 1 dx 0
2
b ).
4 2
ò n dn 1
c ).
1
ò 2
m dm
1
8. C ONSIDERACIONES FINALES Una vez planteado el enfoque basado en prácticas que centran la atención en la conservación del área, pretendemos que antes de definir la integral, el área sea claramente manejada por los estudiantes. Es decir, antes que medir el área, con lo que eso signifique, debemos desarrollar entre los estudiantes la necesidad de que, bajo ciertas transformaciones, esta se conserva. Para llevar adelante este enfoque habremos de diseñar y desarrollar una serie de situaciones de aprendizaje que precisen de la conservación planteadas en el contexto de la integración de funciones elementales. Con esta etapa de la investigación no pretendemos estudiar las dificultades del aprendizaje entre los estudiantes, ni explorar las bondades o limitaciones de un cierto diseño innovador, pretendemos estudiar el fenómeno de reproducibilidad de situaciones en el caso de la integral definida cuando se introduce al aula mediante explicaciones relativas al área bajo la curva. Se contribuirá con el entendimiento de la noción de reproducibilidad de situaciones didácticas relativas a la enseñanza del concepto de integral definida. Se abordarán dos clases de cuestiones: una relacionada con la búsqueda de evidencia empírica sobre un fenómeno didáctico particular, la reproducibilidad de las situaciones didácticas en cálculo integral, y el otro relativo al papel que la noción de área desempeña en las explicaciones del profesor cuando trata en sus clases con el concepto
de integral definida. Presentaremos una visión alternativa a partir del tratamiento de la noción de área al nivel de las actividades asociadas, y que son detectadas en las filiaciones entre enseñanza básica y superior cuando tratan con la integral definida mediante actividades como: repartir , comparar y reproducir , medir , cuantificar, y; conservar . Abordar esta problemática desde la aproximación socioepistemológica permitirá hacer consideraciones de tipo cognitivo, didáctico epistemológico y social. La dimensiones cognitiva, didáctica y epistemológica contribuyen a explicar el funcionamiento didáctico. Sin embargo en si mismas no explican por completo fenómenos de orden social, fundamentalmente aquello que escapa al ámbito de las relaciones internas en el contexto escolar. La perspectiva socioepistemología considera en el análisis del estudio de los fenómenos didácticos en la enseñanza de la matemática la dimensión “social”, buscando afectar el sistema educativo en el rediseño del discurso matemático, al abordar las prácticas, previo a la construcción de conceptos. En la enseñanza superior las actividades que se proponen a los estudiantes los sitúan a trabajar únicamente sobre objetos formales, por lo que pretendemos rescatar prácticas como la comparación, medición y conservación entre otras, que son usadas en la enseñanza básica sin regresar a ese nivel educativo.
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