NÚMEROS PRIMOS, SUS USOS Y POTENCIALIDADES Llamaremos número mixto a todo aquel número que tenga como divisores tan solo al mismo número y al número 1. Una forma simple de clasificarlos ese basa en un proceso de conteo y de eliminación. Inicialmente anotamos todos los números impares, pero incluyendo el número 2, por mera simplificación

17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

Luego se procederá a eliminar aquellos números múltiplos de 3. Esto se puede hacer contando de tres en tres, partiendo del número 3. El primer eliminado es el 9, luego el 15 y así.

17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

9 27 45 63 81 99

21 39 57 75 93

15 33 51 69 87 105

Luego, en la misma tabla se procederá a eliminar aquellos numero múltiplos de 5, contando de cinco en cinco a partir del numero 5. El primer eliminado es el 15. Eso implica que dicho número es múltiplo de 3 y de 5.

17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

15 25 35

45 55

65 75

85 95

105

. Luego procedemos a eliminar los números partir del 7, de siete en siete. El primer eliminado es el numero 21, luego el 35 y así...

17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

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13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

21 35

49 77 91

105

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NÚMEROS PRIMOS, SUS USOS Y POTENCIALIDADES Siguiendo la misma lógica deberíamos seguir con aquellos múltiplos de 9, pero como se puede observar ya fue eliminado, por ende nos pasamos al 11.

17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

33 55 77 99

Siguiendo con la misma lógica pasamos 13, eliminando de 13 en 13.

17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

39 65 91

Seguimos con el 17 17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

51 85

Luego con el 19 17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

57 95

Con el 23 17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

69

Con el 29 17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

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NÚMEROS PRIMOS, SUS USOS Y POTENCIALIDADES Con el 31 17 35 53 71 89

2 19 37 55 73 91

3 21 39 57 75 93

5 23 41 59 77 95

7 25 43 61 79 97

9 11 27 29 45 47 63 65 81 83 99 101

13 31 49 67 85 103

15 33 51 69 87 105

93

Con el 37, ya se sobrepasa esta escala, eliminando el 111. Por ende cada número que no es eliminado tiene como característica contar como divisores tan solo a así mismo y al número 1

17 53 71 89

2 19 37

3

5 23 41 59

73

7 43 61 79 97

9

11 29 47

13 31 35 67

83 101 103

55 91

21 39 57 75 93

25

77 95

9 27 45 63 81 99

65

15 33 49 51 69 85 87 105

¿Cuál es la característica principal de estos números? Cualquier número puede ser escrito como un producto consecutivo de una combinación de ellos. Usando combinaciones de 2, 3, 5 y 7, se pueden escribir infinidad de números

2⋅2⋅2 2⋅2⋅3 2 ⋅3⋅3 3⋅3⋅5 3⋅5⋅5 5⋅5⋅7 7 ⋅ 7 ⋅11 Por ejemplo

14 = 2 ⋅ 7 180 = 18 N ⋅10 N = 9N ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 9⋅2

2⋅5

3⋅3

Recuerde.

El usar las técnicas de divisibilidad para reconocer los divisores de tal o cual numero corresponde solo a la primera parte del proceso. Es recomendable que descomponga mentalmente cada numero según sea conveniente Profesor Eduardo Flores

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NÚMEROS PRIMOS, SUS USOS Y POTENCIALIDADES

Por ejemplo consideremos algunos de los números eliminados de la tabla. ¿Cuales son sus divisores? 2

3

35

99

3⋅3 3⋅3⋅3 3⋅3 3⋅3 3⋅3⋅3⋅3 3⋅3

21 39 57

3 3 3

75

3

93

3

9 27 45 63 81

5

7

5

7

13

17

19

23

29

31

descomposición

5 7 11 7 13 19

5⋅5 31

7⋅7

49 85 55 91 65 77 95 15 33 51 69 87 105

11

5 5

17 11 7

13 13

5 7

11

5 5

3 3 3 3 3 3

19 11 17 23 29

5

7

5⋅5

25

5⋅7 32 33 33 ⋅ 5 32 ⋅ 7 34 2 3 ⋅11 3⋅ 7 3 ⋅13 3 ⋅19 3 ⋅ 52 3 ⋅ 31 72 5 ⋅17 5 ⋅11 7 ⋅13 5 ⋅13 7 ⋅11 5 ⋅19 3⋅5 3 ⋅11 3 ⋅17 3 ⋅ 23 3 ⋅ 29 3⋅5⋅ 7 52

Llamaremos m.c.m a aquel producto de números primos común en la de composición de cualquier grupo de números.

Como se calcula? Vemos algunos ejemplos M.c.m(14, 22, 77) Anotemos los divisores pertinentes

14= 2 7 22= 2 11

en cada producto aparece ó un solo 2 ó un solo 7 ó un solo 11

Usaremos entonces un 2, un 7 y un 11. m.c.m = 2 ⋅ 7 ⋅11 = 154

77= 7 11

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NÚMEROS PRIMOS, SUS USOS Y POTENCIALIDADES

Al descomponer números mayores, solo debe considerar aquellos múltiplos que se repiten en mayor grado. Observe el caso del m.c.m entre 36,27 y 24

36=2 2 3 3 27=3 3 3

m,c.m= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 216

24=2 2 2 3 Apliquemos más rápidamente

m.c.m= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 900

¿Y para que sirve? En general tienen relación con todos los procesos cíclicos, tales como los semáforos, la toma de medicamentos, recorridos de buses, comerciales en la radio y televisión, engranajes, etc Supongamos algunos casos para aplicar Ejemplo Explicativo

Un sujeto, sumamente enfermo recibe como prescripción medica el tomar cierta cantidad de pastillas según la siguiente tabla Medicamento A B C D

Cada cuantas horas 6 horas, 360 minutos 4 horas, 240 minutos 3 ½ horas, 210 minutos 5 horas, 300 minutos

Cada cuántos minutos debe tomar al mismo tiempo los medicamentos …? AyB AyC ByC A, B y C ByD B, C y D A, B, C y D

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NÚMEROS PRIMOS, SUS USOS Y POTENCIALIDADES

Desarrollo AyB

m.c.m ( 4, 6 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 horas

4 = 2 ⋅ 2⎫ ⎬ = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 horas 6 = 2⋅3⎭ AyC

m.c.m ( 360, 210 )

360 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5⎫ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎪⎪ ⎬ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2520 minutos = 42 horas 210 = 3 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ ⎪⎭ = 2 ⋅3⋅5⋅ 7

ByC

m.c.m ( 240, 210 )

240= 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎫ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5⎪⎪ ⎬ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1860 minutos = 28 horas 210 = 3 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ ⎪⎭ =2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

A, B y C

ByD

B, C y D

A, B, C y D

m.c.m ( 360, 240, 210 )

360 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5⎫ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎪⎪ 240= 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ ⎬ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 5040 minutos = 84 horas = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅3⋅5⎪ ⎪ 210 = 3 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ = 2 ⋅3⋅5⋅ 7 ⎭ 240= 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎫ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5⎪⎪ ⎬ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 1200 minutos = 50 horas 300 = 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⎪⎭ 240= 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎫ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5⎪⎪ ⎪ 210 = 3 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎬ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 1200 minutos = 50 horas = 2 ⋅3⋅5⋅ 7 ⎪ 300 = 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ ⎪ = 2 ⋅ 2 ⋅3⋅5⋅5 ⎭ 360 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5⎫ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎪⎪ 240= 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ ⎪ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅3⋅5⎪ ⎬ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3600 minutos = 150 horas 210 = 3 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ ⎪ = 2 ⋅3⋅5⋅ 7 ⎪ 300 = 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⎪ = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⎪⎭

Le deseamos una pronta recuperación al sujeto, pues se encuentra en una precaria situación

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NÚMEROS PRIMOS, SUS USOS Y POTENCIALIDADES Problemas 1. El instituto diseño una campaña para publicitarse en tres radios de gran popularidad en la ciudad, a saber en las radios “grafía”,”logia” y “circular”, con las siguientes frecuencias

RADIO Frecuencia en minutos 12 minutos Grafía 10 minutos Logia 15 minutos Circular ¿Cada cuanto tiempo sonara la publicidad en el mismo momento en las tres radios si todas emiten el comercial desde las 7 de la mañana, y tal que este dura 20 segundos?

Inocente pregunta ¿Bastara calcular el m.c.m de los números indicados o será necesario incluir el tiempo de duración del comercial?

2. Se tienen 4 engranajes de 6, 10, 15 y 18 puntas según muestra la figura, (quede claro desde ya que mi experticia no está en el dibujo), de tal que todos están conectados entre si. ¿Cuántas vueltas deberá cada uno para que nuevamente estén en la posición inicial?

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NÚMEROS PRIMOS, SUS USOS Y POTENCIALIDADES

Recorridos de buses. 3. Revisando el recorrido de diversos buses de Transantiago se ha logrado determinar que la frecuencia de algunos es la siguiente. Buses Frecuencia Tiempo en paraderos A 28 2 B 25 3 C 33 2 D 27 3 Cada cuanto tiempo pasan frente al mismo paradero los buses… AyB AyC ByC A, B y D A, B y C

Semáforos 4. En una avenida “Las Ligustrinas” se pueden contar 5 semáforos que no han dejado de funcionar desde el primero de enero de este año. Los tiempos en cada uno de los colores varían de acuerdo a características propias de cada intersección y se detallan en la siguiente tabla Semáforo A B C D E

Rojo 4 minutos 3 minutos 3 minutos 4 minutos 4 minutos

Amarillo 5 segundos 8 segundos 8 segundos 10 segundos 8 segundos

Verde 3 minutos 3 minutos 4 minutos 4 minutos 4 minutos

Si a las 2 de la mañana del 4 de febrero del 2009 se les vio perfectamente sincronizados, ¿Cuantas horas deberán pasar para que nuevamente lo estén?

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