Teorema de Bayes

Una visión divina de la personalización Thomas Bayes, 1702 - 1761 Por Ricci Graham Knowledge Management. Enero 2001.

siguió el llamado de su padre, siendo ordenado en la iglesia presbiteriana en Tunbridge Wells a finales de la década de 1720; sin embargo él retuvo su pasión por las matemáticas, particularmente en el área de probabilidad y estadística.

Nació: 1702 en Londres, Inglanterra Murió: 17 de Abril 1761 en Tunbridge Wells, Kent, Inglanterra

Muchos grandes hombres parecen haber nacido anticipados a su época. Este axioma es particularmente apto cuando se aplica al reverendo Thomas Bayes, un teólogo inglés del siglo XVIII quien fue además un matemático. Sus esfuerzos eclesiásticos para salvar las almas de los protestantes ingleses han desaparecido gradualmente de la memoria del publico; pero sus exploraciones matemáticas –irrelevantes hace 200 añosson considerablemente significativas ahora.

Bayes fue autor de trabajos en teología, pero actualmente es mejor conocido por un par de tratados matemáticos. "Introducción a la Doctrina de Fluxiones" (1736) defiende las bases lógicas de los cálculos de Isaac Newton en contra del ataque del Arzobispo George Berkeley. "Ensayo para Resolver un Problema en la Doctrina de Probabilidad" (publicación póstuma en 1763), generalmente se dice ser su trabajo más convincente, el cual intenta establecer una fórmula para calcular probabilidades entre diferentes variables que están relacionadas casualmente pero para las cuales las relaciones no pueden ser fácilmente derivadas por medio de la experimentación.

Las teorías que él desarrolló durante los años de 1700 en el área de probabilidad y estadística subrayan algunos sistemas "inteligentes" de Software que aprenden del input del usuario para personalizar información. Estas teorías además han sido acreditadas por avances en investigaciones legales y médicas. Visto como un excéntrico durante su tiempo de vida, Bayes es ahora percibido como un visionario.

Aquí en el siglo XXI, las fórmulas de probabilidad que una vez parecieron tan esotéricas son la base para aplicaciones en negocios marcadamente innovadores. Corporaciones y grupos de investigación han aplicado la base de los teoremas de probabilidad de Bayes, para incrementar la estimación y mejorar los sistemas de basados en conocimiento y agregar contexto a la información. Por ejemplo, cuando se aplica a la epidemiología, su trabajo puede ayudar a discernir la probabilidad de que una enfermedad sea encontrada en un grupo de personas con una característica dada, en la base de las tasas globales de esa enfermedad y el predominio de esa característica tanto en individuos saludables como enfermos. Su uso más común es en decisiones de análisis clínico, estimando la probabilidad de un diagnóstico particular dada la aparición de algún síntoma o resultado de un examen.

Nacido en Londres en 1702, Thomas Bayes fue el hijo de un ministro, un disidente que se oponía a las doctrinas y practicas de la iglesia de Inglaterra. Bayes

En el mundo de la alta tecnología, las matemáticas Bayesianas han influenciado compañías como Microsoft Corp. y Autonomy Corp. en el desarrollo de softwares

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Teorema de Bayes «Basado en el Conocimiento». En el asistente de Microsoft Office –el módulo de ayuda para la adecuada productividad de su negocio- los teoremas de Bayes ayudan al software a evaluar los problemas de los usuarios y a determinar qué consejo proporcionarle. De este modo, el asistente de Office puede modificar la elección de avisos que ofrece, mientras gana conocimiento de los hábitos del individuo. En Autonomy Corp., sus teoremas apoyan softwares que pueden automáticamente organizar extensos e inestructurados volúmenes de información, en información relevante que ayuda a agruparse en lugares de internet y sitios comerciales en la Web los cuales sirven a las necesidades de cambio de los usuarios.

Si las fórmulas de Bayes son útiles ahora, ¿por qué fueron ignoradas tanto tiempo? Cuando él desarrolló los teoremas hace 200 años, había poco uso práctico para ellos; algunos estudiantes de probabilidad los aplicaron en discusiones concernientes a la existencia de Dios, mientras que otros usaron sus teorías para evaluar las probabilidades en apuestas. Sin embargo, en esta época de avances tecnológicos bruscos, con la escalada del poder de las computadoras y el desarrollo de ecuaciones matemáticas claves, los científicos han descubierto maneras más directas de poner los principios de Bayes a trabajar. Parece que el conocimiento, se encuentra en el ojo del espectador.

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Teorema de Bayes

Revisión de las estimaciones anteriores. Teorema de Bayes

Los conceptos teóricos de este tema se encuentran en el libro de texto en el capitulo 4.7 (páginas 196-201)

2.1 Un dado está cargado, de tal forma que el 40% de las veces marca «1». Otro dado «B» está cargado y marca «1» un 70% de las veces. Si se selecciona al azar un dado y este da un «1». a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dado sea el dado A? 2.2- La compañia Beck’s utiliza tres políticas para recuperar las cuentas por cobrar: Visitas personales 70% con un 75% de éxito. Llamadas telefónicas 20% con un 60% de recuperación. A través de carta 10% con un 65% de efectividad. a. Calcule la efectividad conjunta para recuperar la mora como porcentaje de personas que han pagado su mora

2.3- Un gerente de personal ha establecido que el 50% de los trabajadores que fueron contratados sin test de aptitud trabajan en forma satisfactoria en su puesto y el otro 50% no hace un trabajo satisfactorio. Así mismo, del otro grupo de empleados que se sometieron al test de aptitud el gerente obtuvo la siguiente información: - Del 100% de los trabajadores que hoy día hacen bien su trabajo (opinión de su jefe inmediato): - El 90% de ellos aprobaron dicho test de aptitud. - El 10% de ellos reprobaron dicho test de aptitud. - Del 100% de los trabajadores que hoy día no hacen bien su trabajo, (opinión de su jefe inmediato): - El 85% de ellos reprobaron dicho test de aptitud. - El 15% de ellos aprobaron dicho test de aptitud.

satisfactorio en el trabajo, si un solicitante escogido al azar pasa el test?. O sea, ¿cuál es la probabilidad de que el rendimiento de un solicitante sea satisfactorio si aprueba el test? b. ¿Cuál es la probabilidad posterior del rendimiento satisfactorio en el trabajo, si un solicitante escogido al azar reprueba el test? O sea, ¿cuál es la probabilidad de que el rendimiento de un solicitante sea satisfactorio si reprueba el test? 2.4- Se realiza una nueva película. La compañia productora juzga la probabilidad de un éxito arrollador en p =.0.30. También sabe que cierto crítico gusta del 75% de todas las películas que al final resultaron grandes éxitos, así como él expresó su desatisfacción con el 25% de las películas que al final resultaron ser éxito. Por otra parte, el crítico expresó que no le gustaban el 90% de todas las que al final resultaron rotundos fracasos, sin embargo, expresó su opinión favorable en el 10% de las películas que resultaron ser un fracaso. Si la compañía utiliza el método de Bayes, a. ¿Cómo corregiría su cifra de probabilidad de éxito si supiera que el crítico elogió la película? b. Refierase al resultado del inciso «a», donde el primer crítico dio una opinión favorable. Un segundo crítico da también una opinión favorable. ¿Cómo cambian las probabilidades posteriores? Olvide los incisos «a» y «b» y replantee el siguiente escenario: c. ¿Qué pasaría con las probabilidades posteriores si el primer crítico reprueba la película severamente (o sea, da una opinión desfavorable? d. Posteriormente al primer crítico que dio una opinión desfavorable, un segundo crítico da una opinión favorable. ¿Cómo cambian las probabilidades posteriores? 2.5- Un productor de vino ha diseñado una nueva y distintiva botella con la esperanza de aumentar sus ventas. El gerente ha estimado la probabilidad de éxito en 0.50. A fin de informarse mejor de la percepción de los clientes, pide un estudios de mercado.

a. ¿Cuál es la probabilidad posterior del rendimiento

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Teorema de Bayes El sabe que cuando la economía están por elevarse, (la demanda de este tipo de producto sube), los consumidores muestran estar motivados y confiados en la economía en un 90% de los estudio. Pero también en un 10% de los estudios dirán lo contrario (o sea, los consumidores entrevistados dirán estar desmotivados y pesimistas con la economía). Así mismo, cuando la economía están en recesión, (la demanda de este tipo de producto baja ) los consumidores no se impresionan, se muestran desmotivados en un 60% de los estudios, y en un 40% de los casos dirá lo contrario. (o sea, los consumidores entrevistados dirán estar motivados y confiados con la economía).

Al realizar un nuevo estudio, éste muestra gran entusiasmo y optimismo por parte de los consumidores a. ¿Cuál es la probabilidad posterior de éxito? b. ¿Cuál es la probabilidad posterior de fracaso? Al realizar un segundo estudio, éste muestra gran entusiasmo y optimismo por parte de los consumidores c. ¿Cuál es la probabilidad posterior de éxito? d. ¿Cuál es la probabilidad posterior de fracaso?

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Teorema de Bayes

Resolución de Ejercicios propuestos

Ejercicio 2.1

P(B/1) = P(B1)/P(1)

P(A/1) = P(A1)/P(1)

Evento Probabilidad Elemental del evento Dado A 0.5 Dado B 0.5 1.0

Probabilidad de escoger aleatoriamente el dado “X” de una caja

P(“1”/evento elemental) 0.4 0.7

Probabilidad de que el dado seleccionado sea el “x” y que el número obtenido sea “1”

P(“1”,evento elemental) 0.4*0.5=0.20 0.7*0.5=0.35 P(“1”) = 0.55

Probabilidad de obtener un “1” en el dado “X”

Probabilidad (Dado X/”1”) 0.2/0.55= 0.36 0.35/0.55=0.64 1.00

Probabilidad de que el resultado de lanzar el dado sea “1”

Ejercicio 2.2

Evento Probabilidad (Política) del evento Visita 0.7 Teléfono 0.2 Carta 0.1 1.00

P(“Pague” /evento) 0.75 0.60 0.65

P(“pague” y suceda evento) 0.7*0.75 = 0.525 0.2*0.6 = 0.120 0.1*0.65 = 0.065 P(“pague”) = 0.71

P (Evento/ ”Pagó”) 0.525/0.71= 0.74 0.12/0.71 = 0.17 0.065/0.71= 0.09 1.00

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Teorema de Bayes

Tabla de Ayuda para ejercicio #2.3

Evento.

P(evento) P(

/ evento)

Total

La probabilidad del evento " "=

P(evento y

P(evento /

)

)

1.00

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Teorema de Bayes

Tabla de Ayuda para ejercicio #2.4

Evento.

P(evento) P(

/ evento)

Total

La probabilidad del evento " "=

P(evento y

P(evento /

)

)

1.00

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Teorema de Bayes

Tabla de Ayuda para ejercicio #2.5

Evento.

P(evento) P(

/ evento)

Total

La probabilidad del evento " "=

P(evento y

P(evento /

)

)

1.00

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Teorema de Bayes

Tabla de Ayuda extra

Evento.

P(evento) P(

/ evento)

Total

La probabilidad del evento " "=

P(evento y

P(evento /

)

)

1.00

140

0.85

0.10

La probabilidad del evento "reprobar la prueba" es =

0.50

No satisfactorio

Total

0.50

Satisfactorio

0.475

0.425

0.05

1.00

0.89

0.11

P(evento P(evento / y reprobar reprobar el test) el test)

0.15

No satisfactorio

Evento. P(evento) P(reprobar El el test / rendimiento evento) final del empleado es..

0.90

Aprueba

Total

No satisfactorio

Satisfactorio

0.15

0.90

La probabilidad del evento "aprobar la prueba" es =

0.50

0.50

Evento. P(evento) P(aprobar El el test/ rendimiento evento) final del empleado es..

0.85

0.10

Reprueba

En el test de aptitud, el candidato ……….. el test.

Satisfactorio

Al final, el rendimiento del empleado es …

Ejercicio 2.3. Pruebas de aptitud a empleados “Tip”

0.525

0.075

0.45

1.00

0.14

0.86

P(evento P(evento / y aprobar aprobar el el test) test)

Teorema de Bayes

141

Total

Un fracaso 0.10

La probabilidad del evento "crítico de una opinión favorable" es =

0.7

0.295

0.070

1.00

0.24

P(evento / crítico de opinión favorable) 0.76

0.90

0.25

Desfavorable

0.90

0.25

La probabilidad del evento "crítico de una opinión no favorable" es =

0.7

Un fracaso Total

0.3

Un éxito arrollador

P(evento) P(crítico da Evento. La opinión no película favorable / resulta en: evento)

0.10

Un fracaso

Evento. P(evento) P(crítico P(evento y La de opinión crítico) película favorable/ resulta en: evento) Un éxito 0.3 0.75 0.225 arrollador

0.75

Favorable

La opinión del crítico respecto a las películas fue:

Un éxito

Al final, las películas resultaron en …

Ejercicio 2.4. La nueva película y el crítico. Tip

0.705

0.630

0.075

P(evento y crítico)

1.00

0.89

0.11

P(evento / crítico da opinión no favorable)

Teorema de Bayes

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0.40

0.90

La probabilidad del evento "estudio con opinión favorable" es =

0.50

Un fracaso

Total

0.50

Un éxito

Evento. P(evento) P(resultado El resultado de estudios es del nuevo favorable / Producto evento) (botella) es..

0.65

0.20

0.45

1.00

0.31

0.69

P(evento / resultado de estudios es favorable)

Respondió positivamente. Ventas altas ‡ Éxito Respondió negativamente. Ventas bajas ‡ Fracaso

Al final el mercado ……..

P(evento y resultado del estudio)

Ejercicio 2.5. Nuevo diseño de la botella

Total

Evento.

0.40

/ evento)

La probabilidad del evento " "=

P(evento) P(

0.60

Motivados, No motivados, interesados, creen indiferentes, creen que Ventas (Gral.) que Ventas (Gral.) subirán bajarán 0.90 0.10

Los consumidores se mostraron en el estudio…

)

P(evento y

1.00

)

P(evento /

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