Uno no puede escapar al pensamiento de que estas fórmulas matemáticastienen una existencia independiente y una inteligencia propia, que son másinteligentesque nosotros y que sus descubridores y que nosotros recibimosmásde ellas que ellas de nosotros. H einrich H ertz (1857-1894)

Unidad 1 Produc tos notables Objetivos:

ÁLGEBRA

Introducción

¿

En cuántas ocasiones al leer desarrollos matemáticos sientes que es imposible seguir los pasos que en ellos se i ndi can? ¿Cuánt as veces te has preguntado cuál es el truco de los grandes calculistas que son capaces de resolver con asombrosa rapidez operaciones extensas

y complicadas? I ntenta calcular mentalmente las siguientes operaciones: 21

19, 232, 392 y 113.

¿Imposible? Estamos seguros de que al terminar esta unidad tus opiniones con respecto a este tipo de cálculos habrán cambiado por completo. Aparentemente los comentarios sobre los desarrollos matemáticos y los calculistas son totalmente ajenos; no obstante, existe una importante relación entre ellos, que radica en gran parte en el dominio de una rama del álgebra: los productos notables. Como su nombre lo indica, los productos notables son multiplicaciones entre expresiones algebraicas a los que, debido a la regularidad con la que aparecen en los desarrollos matemáticos, se optó por clasificar en diferentes tipos y estudiar su comportamiento al efectuar las operaciones para encontrar una forma que permitiera calcularlos fácilmente. L a importancia de estudiar el tema de productos notables se encuentra, por un lado, en que te evitará tener que realizar desarrollos engorrosos en los que la probabilidad de cometer errores en los cálculos aumenta dramáticamente y, por otro, en que el contenido de esta unidad es una herramienta básica para poder continuar con éxito el estudio de otros temas de matemáticas. Antes de iniciar con el tema enfatizaremos algunas bondades de la notación algebraica. Recuerda que una expresión algebraica se encuentra establecida por términos que están formados por un coeficiente, una(s) variable(s) y su(s) exponente(s). L o que interesa destacar es que, por ejemplo, una expresión algebraica del tipo x+ y+ z es la representación más simple de un trinomio, pero es sólo eso, una representación, lo que significa que a x, y y z se les 3 3 pueden atribuir expresiones tan complicadas como x a2 b 5 , y a bc 4 ad y z . D e esta forma la expresión x + y + z es la representación b2 ad 4 . general de una expresión algebraica del tipo a2 b 5 a3 bc 3 b2

¿Qué hay det r ás de una expr esión como x + y?

1.1. Producto de un binomio por su conjugado El primer tipo de producto notable que estudiaremos es la multiplicación de un binomio por su conjugado. Empezaremos por recordar cada uno de estos términos: un binomio es una expresión algebraica de dos términos de la forma x+ y, en donde x y y representan monomios.

17

Unidad 1

Con base en esta definición, ¿llamarías a la expresión a–b binomio? L a respuesta es sí, ya que basta considerar que a–b= a+ (–b). Ésta es una buena oportunidad para hacer hincapié en que restar no es otra cosa que sumar negativos y esto es válido tanto para números como para expresiones algebraicas. Es usual referirnos al binomio conjugado solamente como conjugado. Binomio conjugado Si a uno de los términos del binomio x+ y se le cambia de signo: x – y ó –x+ y, se obtiene su binomio conjugado. Ejemplos: 3 1. U n conjugado de x

y2 es x3

y2 .

2. U n conjugado de 2 a 3 b 5c5 es 2 a 3 b 5c5 . 2 1 2 1 3. U n conjugado de 2 y x es 2 y x . Si lo que pretendemos es encontrar el producto de un binomio por su conjugado, lo adecuado es tomar la representación más simple de un binomio: x + y, considerar uno de sus conjugados, por ejemplo x – y, y efectuar el producto de la manera tradicional. x +y x – y x2 + xy – xy – y2 x2 – y2 Aun cuando la operación ha sido sumamente sencilla, hemos obtenido nuestra primera regla: El producto de un binomio por su conjugado está dado por el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. Simbólicamente se escribe como: (x

y)( x

y)

x2

y2

(1.1)

Ejemplos: 4. ( 5 xy yz)(5 xy yz) . Como podrás notar, los factores sí son conjugados. Por otra parte, aunque no es estrictamente necesario, resulta conveniente ordenar los términos para efectuar el producto con mayor facilidad. Entre binomios conjugados lo usual es que los dos primeros términos sean iguales y los segundos términos sean iguales con signosdiferentes: ( yz 5 xy)( yz 5 xy) . Aplicando la regla (1.1):

18

ÁLGEBRA

( yz 5 xy)( yz 5 xy) = (yz) 2 – (5xy) 2

= y2z2 – 25x2y2 5. La expresión algebraica que representa al enunciado: se tienen dos números tales que el producto del triple del primero, más el segundo, por el triple del primero, menos el segundo (conjugado), es igual a 1 025, está dada por: (3x+ y)(3x–y)= 1 025, en donde x es el primer número y y el segundo. Aplicando la regla (1.1) obtenemos: 9 x 2 y2 1025 . 6. La expresión algebraica que representa al enunciado: se tiene un número tal que el producto de la suma del número, más 7 veces su recíproco por su diferencia es 48, está dada por: x

7 x

7 x

x

48

en donde x es el número. Aplicando la regla (1.1) obtenemos: x2

49 x2

x4

49 x

2

48

7. Para calcular mentalmente el producto 21 19 puedes aplicar la regla (1.1) como sigue: 21 19 ( 20 1)( 20 1) 20 2 12 400 1 399 . El truco consiste en escribir el producto como un producto de binomios conjugados, de tal forma que los cuadrados de los términos que los forman sean fáciles de calcular.

Ejercicio 1 1. U n conjugado de ( x 2 y3 3 2. ( 2 xy

4 z2 )( 2 xy3

5 xy ) es:

4 z2 )

3. Calcula, con la ayuda del binomio conjugado, los siguientes productos: 32× 28= ___ y 93× 87= ____. En los ejercicios 4 y 5 escribe la expresión algebraica que representa cada uno de los enunciados y efectúa los productos. 4. El producto de la suma de dos números por su diferencia es 336. 5. El producto del cuádruple de un número x, más el doble de un número y, por el cuádruple de x, menos el doble de y, es: 2 204.

19

Unidad 1

1.2. Potencia cuadrada 1.2.1. Cuadrado de un binomio M ultiplicar el binomio x+ y por sí mismo significa elevar la expresión x+ y al cuadrado. Simbólicamente se representa como (x+ y) 2. Aun cuando podemos efectuar un procedimiento análogo al que se siguió en la sección 1.1 para deducir la regla, optamos por mostrarte un camino diferente. Nuestra finalidad es proporcionarte el mayor número de recursos para que apliques en tus desarrollos algebraicos el que consideres más adecuado. Éste es el secreto de "saber matemáticas". A continuación te damos varios ejemplos que te conducirán a la conclusión deseada. Empecemos con: (2a+ 5) 2, lo que significa que debemos multiplicar (2a+ 5)(2a+ 5). Al efectuar la multiplicación obtienes como resultado 4a2+ 20a+ 25. Compáralo con el binomio original 2a+ 5 y reflexiona al respecto: i. ¿Qué operación u operaciones se deben realizar para que 2a solo, ó 2a operado con 5, ó 5 solo, se conviertan en 4a2? ii. ¿Qué operación u operaciones se deben realizar para que 2a solo, ó 2a operado con 5, ó 5 solo, se conviertan en 20a? iii. ¿Qué operación u operaciones se deben realizar para que 2 a solo, ó 2a operado con 5, ó 5 solo, se conviertan en 25? Escribe tu conjetura y ve si funciona para el siguiente ejemplo: (3ab+ 7c) 2= 9a2b2+ 42abc+ 49c2 ¿Funcionó? Si la respuesta es afirmativa prueba con otros ejemplos y compara con la regla que te damos un poco más adelante. Si la respuesta es negativa, no te desesperes, tómate tu tiempo junto con tu lápiz y papel, y pregúntate de nuevo: ¿qué operación u operaciones se deben realizar para que 3ab solo, ó 3ab operado con 7c, ó 7c solo, se conviertan en 9a2b2 primero, 42 abc después y por último en 49c2? Si todavía tienes dificultades en encontrar las relaciones, te ayudaremos un poco más: las operaciones que debes considerar son: potencia cuadrada y multiplicación (de hecho, está involucrada una multiplicación por 2). Seguramente ya obtuviste tu conjetura y tendrás un enunciado muy parecido al siguiente:

El cuadrado de un binomio x+ y está dado por: i. El cuadrado del primer término; ii. más el doble producto del primero por el segundo término;

20

ÁLGEBRA

iii. más el cuadrado del segundo término. 2 x2 Simbólicamente se escribe como ( x y)

2 xy

y2 .

(1.2)

Si hubieras optado por el procedimiento que se siguió en la sección 1.1, el primer paso hubiera sido considerar el tipo de expresión algebraica con la que se iba a operar. En este caso sería x+ y. Posteriormente se hubiera efectuado, de la manera habitual, el producto de x y 2 2 por sí mismo, obteniendo como resultado x 2 xy y , que es precisamente la regla buscada. U na consecuencia de la regla (1.2) es el cuadrado del binomio x–y, ya que basta considerar la igualdad x

y

x ( y) y aplicar la regla.

Al aplicar la regla cada término se considera con todo y su signo. Ejemplos: 2 8. ( 2 ab 5bc) 2 3 9. ( ab c

bd) 2

( 2 ab) 2

2( 2 ab)(5bc) (5bc) 2

( ab2 c3 ) 2

4 a2 b2

2( ab2 c3 )( bd) ( bd) 2

20 ab2 c 25b2 c2 a2 b4 c6

2 ab3 c3 d

b2 d2

10. La expresión algebraica que representa el enunciado: el cuadradodeun númeroaumentado en 5 es169, está dada por ( x 5) 2 169 . Efectuando el producto obtenemos: x 2 10 x 25 169 . 11. L a expresión algebraica que representa el enunciado: se tienen dos números tales que la suma del doble del primero más el triple del segundo, multiplicada por sí misma, da 144, está dada por ( 2 x 3 y)( 2 x 3 y) ( 2 x 3 y) 2 144 . 2 2 Efectuando el producto obtenemos: 4 x 12 xy 9 y 144 .

Ejercicio 2 En los ejercicios 1, 2 y 4 escribe la expresión que representa el enunciado y efectúa el producto. 1. El lado de un cuadrado es un número que disminuido en 4 hace que su área sea 2.25 cm2. 2. Se tienen dos números tales que el cuadrado del doble del primero menos el segundo es 9. 3 2 3. ( x 3 y )

4. Calcula, utilizando el cuadrado de un binomio: 25 2 = _____________ y 68 2= _____________.

21

Unidad 1

1.2.2. Cuadrado de un trinomio Como recordarás, un trinomio es una expresión algebraica de la forma x y z , en donde x, y y z representan monomios. 2 3 2 2 Analiza muy bien la expresión (3 a b 2 bc de ) . ¿Consideras que con lo que has estudiado en este libro tienes los recursos suficientes para resolver la operación sin recurrir al desarrollo completo de multiplicar 3 a2 b 2 bc3 de 2 ? ¡Por supuesto! L a propiedad asociativa nos permite manejar 2 3 2 expresiones de este tipo "como si fueran binomios"; por ejemplo, podemos escribir 3a b 2 bc de como 3a2 b ( 2 bc3 de 2 ) . O cualquier igualdad que tenga la forma x+ y. 3 H agamos los cálculos. El primer término es 3a2 b y el segundo ( 2 bc 3 a2 b ( 2 bc3

de 2 )

2

(3 a2 b)2

2(3a2 b)( 2 bc3

de 2 ) ( 2 bc3

de 2 ) .

de 2 ) 2

Observamos que el tercer término es el cuadrado de un binomio, efectuando el producto obtenemos: 9 a4 b2

(6 a2 b)( 2 bc3

9 a4 b2

12 a2 b2 c3

de 2 ) ( 2 bc3 ) 2

6 a2 bde 2

4 b2 c6

2( 2 bc3 )( de 2 ) ( de 2 ) 2 4 bc3 de 2

d2 e 4

Ahora veamos la regla para elevar un trinomio al cuadrado: lo primero a considerar es: ¿qué tipo de expresión quieres elevar al cuadrado? En nuestro ejemplo la expresión es: 3a2 b 2 bc3 de 2 ; su forma general es: x y z . Elevándola al cuadrado tenemos que: (x + y + z) 2 = [ x + ( y + z)] 2 = x2 + 2x ( y + z) + ( y + z) 2 = x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz Tenemos, entonces que: El cuadrado de un trinomio x y z está dado por la suma del cuadrado de cada término más la suma de todos los dobles productos (diferentes) que se puedan formar con dos de sus términos. Simbólicamente se escribe como ( x+ y+ z) 2= x2+ y2+ z2+ 2xy+ 2xz+ 2yz. (1.3)

1.2.3. Cuadrado de un polinomio En esta sección entramos a la etapa de generalización, lo que significa que estableceremos la regla para elevar un polinomio al cuadrado.

22

ÁLGEBRA

El cuadrado de un polinomio x1 x2 ... xn está dado por la suma del cuadrado de cada término, más la suma de todos los dobles productos (diferentes) que se puedan formar con los términos x1, x2, . . ., xn. Simbólicamente se escribe como: ( x1

x2

... 2 x1 xn

xn ) 2

...

2 x2 x3

x12

x2 2

... 2 x2 xn

...

xn 2

2 x1 x2

2 x1 x3

(1.4)

... 2 xn 1 xn .

Ejercicio 3 Escribe la expresión algebraica que representa los enunciados de los ejercicios 1, 2 y 3. Efectúa el producto. 1. El cuadrado de la suma del doble de 3 números es 520. 2. El doble del perímetro de un terreno rectangular, más la potencia cúbica de su largo, menos 7 veces su ancho, todo al cuadrado es 3 387. 3. El cubo de un número menos 3 veces su recíproco, menos el número, todo elevado al cuadrado, da 529. 4. ( x 2

y z) 2

2 5. ( x

2 y z 3 w2 ) 2

H asta aquí hemos estudiado cómo elevar al cuadrado la suma de cualquier número de términos, es decir, la base ha dejado de ser un problema. Cambiemos entonces de exponente y tomemos la potencia siguiente:

1.3. Potencia cúbica 1.3.1. Cubo de un binomio x

El cubo de un binomio simbólicamente se representa por ( x y como factor tres veces: ( x y)( x y)( x y) .

y)3 y significa tomar al binomio

23

Unidad 1

Al igual que en las secciones anteriores, para encontrar una regla podemos estudiar el comportamiento de varios ejemplos, obtener alguna conjetura y posteriormente probarla. Si deseas 3 3 seguir por este camino, toma papel y lápiz y resuelve ejercicios como ( 2 a b) , ( 7 ab 6 c) ó (8 a 2 5bc3 )3 . Encuentra la relación entre los términos del binomio que aparece como base y los términos del resultado. N osotros te mostraremos otra forma, que no difiere en mucho de los procedimientos anteriores: 3 Como ya es costumbre, consideramos ( x y) . Sabemos que ( x

y)3

( x2

= x3

(x

y) 2 ( x

y)

2 xy

y2 )( x

y)

2 x 2 y xy2

Aplicando la regla 1.2.

x 2 y 2 xy2

y3

= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3

Se sumaron términos semejantes.

El cubo de un binomio x + y está dado por: i. El cubo del primer término. ii. M ás el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo. iii. M ás el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo. iv. M ás el cubo del segundo término. Simbólicamente se escribe como: ( x+ y) 3= x3+ 3x2y+ 3xy2+ y3.

(1.5)

Ejemplos: ¿Cómo elevar al cubo un binomio de la for ma x –y?

12. L a expresión algebraica que representa el enunciado: el volumen de un cubo de lado 2 x+ 1, está dada por ( 2 x 1)3 . Efectuando la potencia obtenemos: ( 2 x)3 3( 2 x) 2 (1) 3( 2 x)(1)2 (1)3 8 x 3 12 x 2 6 x 1 . 13. L a expresión algebraica que representa el enunciado: el cubo de la suma del tripledel cuadrado deun número, másel dobledel cubo de otro, está dada por (3 x 2 2 y3 )3

Efectuando el producto obtenemos: (3 x 2 )3

24

3(3 x 2 ) 2 ( 2 y3 ) 3(3 x 2 )( 2 y3 ) 2

( 2 y3 )3

27 x 6

54 x 4 y3

36 x 2 y6

8 y9

ÁLGEBRA

3 3 14. ( 3ab 7 c )

( 3 ab)3

3( 3ab) 2 (7 c3 ) 3( 3 ab)(7 c3 ) 2

27 a3 b3

189 a2 b2 c3

441abc6

(7 c3 )3

343c9

15. Para calcular mentalmente 113, podemos descomponer 11 como 10+ 1 y aplicar la regla. 113

(10 1)3

16. ( x

y)3

(10)3

3(10)2 (1) 3(10)(1)2

( x ( y))3 x3

x3

3 x 2 y 3 xy2

(1)3

3 x 2 ( y) 3 x( y) 2

1000 300 30 1 1 331 ( y)3

y3

Por lo tanto, (x–y) 3= x3–3x2y+ 3xy2–y3.

Ejercicio 4 En los ejercicios 1, 2 y 3 escribe la expresión algebraica que representa al enunciado y efectúa el producto. 1. Aplica la fórmula del volumen de una esfera V de radio r= (3x–2) cm.

4 3 r para expresar el volumen de una esfera 3

2. El cubo de la suma del triple de 3 enteros consecutivos es 250 047. 3. Se tienen dos números tales que la diferencia del doble del cuadrado del primero, menos el triple del segundo, todo al cubo, da 512. 2 3 4. (3 xy 2 xz ) 1 3 5. ( 4 x y

5 xz 2 )3

1.3.2. Cubo de un trinomio Podemos iniciar esta sección con el análisis de la expresión ( x y z)3 , la cual debe ser lo suficientemente clara debido a las explicaciones que ya se han dado en las secciones anteriores. El procedimiento que seguiremos también será análogo a lo que antes se había hecho. Como podrás notar, la mayoría de los últimos desarrollos que hemos realizado no aportan nuevas estrategias, por lo que puedes concluir que para entender el tema de productos notables basta asimilar las reglas básicas, que en realidad son bastante sencillas. L o que sigue de ellas es simplemente su aplicación.

25

Unidad 1

U na prueba más de ello es la forma como encontraremos la regla para elevar un trinomio al cubo:

(x

y z)3

[ x ( y z)] 3

x3

3 x 2 ( y z) 3 x( y z) 2

( y z)3

El cubo del primero. + El triple producto del cuadrado del primero por el segundo. + El triple producto del primero por el cuadrado del segundo. + El cubo del segundo.

Efectuando los cálculos obtenemos que: = x3+ 3x2y+ 3x2z+ 3x( y 2+ 2yz+ z2)+ y3+ 3y2z+ 3yz2+ z3 = x3+ 3x2y+ 3x2z+ 3xy2+ 6xyz+ 3xz2+ y3+ 3y2z+ 3yz2+ z3 Ordenando: = x3+ y3+ z3+ 3x2y+ 3x2z+ 3xy2+ 3y2z+ 3xz2+ 3yz2+ 6xyz El cubo de un trinomio x 3

3

3

3

y z está dado simbólicamente por:

2

(x+ y+ z) = x + y + z + 3x y+ 3x2z+ 3xy2+ 3y2z+ 3xz2+ 3yz2+ 6xyz

(1.6.)

Ejemplo: D esarrollar: y 3 z)3

17. ( 2 x

( 2 x)3

3( y)2 (3 z) 3( 2 x)(3 z)2 8 x3

y3

Ejercicio 5 D esarrollar: 1. (z – 2 x+ y2 ) 3=

26

( y)3

(3 z)3

3( y)(3 z) 2

3( 2 x)2 ( y) 3( 2 x)2 (3 z) 3( 2 x)( y)2

6( 2 x)( y)(3 z)

27 z3 12 x 2 y 36 x 2 z 6 xy2

9 y2 z 54 xz2

27 yz2

36 xyz

ÁLGEBRA

2. ( –x+ 2y2z–z) 3= 3. Aplica la regla (1.6) para calcular 22 3= En los ejercicios 4 y 5 escribe la expresión algebraica que representa cada enunciado y efectúa el producto. 4. El cubo de la suma de la edad del padre, menos la edad de la madre, más el triple de la edad del hijo, es 13 824. 5. Se tienen 3 números, si elevamos al cubo la suma de 3 veces el primero, menos el cuadrado del segundo, más el triple del cubo del tercero, da 3 veces el primero.

1.4. Interpretación geométrica El álgebra griega Con excepción de Diofanto (siglo II I d.C.), los griegos siempre estuvieron preocupados por darles a los números una interpretación geométrica, lo que significa que para ellos una cantidad del tipo a representaba la longitud de un segmento. El cuadrado de a, el área de un cuadrado de lado a. El cubo de a, el volumen de un cubo de lado a. Cantidades como ab, el área de un rectángulo de lados a y b. Este enfoque, y una notación algebraica, que dejaba mucho que desear, los impulsó a inventar ingeniosos procesos geométricos para solucionar los problemas algebraicos a los que se enfrentaron. Con sus métodos geométricos no sólo lograron demostrar algunas identidades algebraicas, sino que también resolvieron ciertas ecuaciones cuadráticas. A continuación te presentamos el enfoque geométrico de varios de los productos notables que hemos visto hasta ahora. Varios de los desarrollos en este sentido se encuentran recopilados en la obra más importante de Euclides: Elementos. Este trabajo consta de 13 libros en los que el gran matemático griego conjuntó sistemáticamente toda la matemática existente en su época y aportó diversas ideas originales. Por ejemplo, la proposición 4 del libro II de los Elementos establece geométricamente la 2 identidad (x+ y) 2= x2+ 2xy+ y2. Para probarla empezaron por considerar a ( x y) como el área de un cuadrado de lado x y.

27

Unidad 1

y2

xy

x2

xy

y

x

y

x

L a suma de las áreas de las regiones que dividen al cuadrado de lado x+ y, es igual al área del cuadrado: x 2+ x y+ x y+ y2= (x+ y) 2= x2+ 2 x y+ y2. H emos obtenido la regla para elevar al cuadrado un binomio de la forma x+ y. L a proposición 7 del libro I I de los Elementos establece geométricamente la identidad 2

(x–y) = x2–2 xy+ y2. En donde (x–y) 2 representa el área de un cuadrado de lado x–y. y2

y(x–y)

(x–y)2

y

y (x–y)

x

y x

El área del cuadrado de lado x – y es igual al área del cuadrado completo (lado x) menos la suma de las áreas de las regiones sombreadas: (x y)2 x 2 y(x y) y(x y) y2 x2

2 xy

y2

x2

2 xy

x2

xy

y2

xy

y2

y2

y2

H emos obtenido la regla para elevar al cuadrado un binomio de la forma x–y. L a proposición 5 del libro I I de los Elementos establece geométricamente la identidad ( x y)( x y) x 2 y2 , en donde ( x y)( x y) representa el área de un rectángulo de lados x –y y x+ y. x y

y2

y x

x(x–y) (x – y)y

x

28

y

x –y

ÁLGEBRA

(x

El área de las regiones en blanco es el área de un rectángulo de base x y y altura x y : y)( x y) . Esta área también puede calcularse si al área del rectángulo completo con base x y

y altura x se le resta el área de las regiones sombreadas: (x

y) x

xy

y2

x2

yx

xy

y2

x2

y2

Por lo tanto, hemos obtenido la regla para multiplicar binomios conjugados. ( x –y)(x+ y)= x2–y2

(1.1)

1.5. Triángulo de Pascal El triángulo de Pascal es un arreglo triangular de números, en el que cada línea contiene los coeficientes del binomio de N ewton elevado a la potencia n. Construcción del triángulo de Pascal En los lados de este triángulo siempre aparece el número 1:

L as componentes intermedias de cada línea se forman de la siguiente manera: L as líneas 1 y 2 están completas. Sitúate sobre la línea 3 y suma de dos en dos las componentes de la línea 2: (1+ 1= 2), escribe el resultado en la línea 3 en el centro de los números que sumaste. D ebe quedar así:

Para continuar, pasa a la línea 4, toma las componentes de la línea 3 de dos en dos y súmalas; escribe el resultado en la línea 4 en el centro de los números que consideraste. Queda así:

29

Unidad 1

Siguiendo este procedimiento puedes desarrollar el triángulo de Pascal tanto como lo necesites, nosotros lo haremos hasta la línea 7. L a importancia del triángulo de Pascal radica en que podemos determinar fácilmente los coeficientes del desarrollo para cualquier potencia de un binomio.

Cómo se aplica el triángulo de Pascal Consideremos el siguiente binomio (x–3y) 4 Primero se busca en el triángulo de Pascal la línea que tiene como segundo componente el 4, que es el exponente del binomio, estos números son los coeficientes del polinomio resultante 1 4 6 4 1 En seguida escribimos junto a cada coeficiente los términos del binomio en forma de producto 1x (–3y) 4x(–3y) 6x(–3y) 4x(–3y) 1x(–3y) L os exponentes se colocan de la siguiente forma: En este desarrollo tomemos su primer término x (–3y) Al primer factor se le asigna el exponente del binomio y al segundo factor el exponente 0 x4 (–3y) 0 Para los siguientes términos del desarrollo el exponente del primer factor irá disminuyendo en 1 y el exponente del segundo factor irá aumentando en 1 x4(–3y) 0 4x3(–3y) 1 6x2(–3y) 2 4x1(–3y) 3 1x0(–3y) 4 L os signos que unen a cada uno de esos términos será el resultado de realizar las operaciones indicadas x4 – 12x3y + 54x2y2 – 108xy3 + 81y4 18. Si tu binomio es por ejemplo 2x 3y–3y–2z4, entonces al elevarlo a la quinta potencia te quedará así: (2x3y–3y–2z4) 5= 1(2x3y) 5+ 5(2x3y) 4(–3y–2z4)+ 10(2x3y) 3(–3y–2z4) 2

30

ÁLGEBRA

+ 10(2x3y) 2(–3y–2z4) 3+ 5(2x3y)(–3y–2z4) 4+ 1(–3y–2z4) 5 = 32x15 y5–240x12 y 2z4+ 720 x9y–1z 8–1 080 x6y –4 z12+ 810 x3y –7z16–243y–10z20 Observa que los números en negritas son las componentes de la línea 6 del triángulo de Pascal. 19. Para encontrar un coeficiente determinado no hace falta desarrollar todo el binomio. Por ejemplo, si se desea el coeficiente del término a5b3 en ( 2 a b)8 , entonces debemos tomar la cuarta componente en la línea 9 del triángulo de Pascal, que es la que corresponde al término 70((2a) 5(–b) 3)). Por lo tanto, el coeficiente es –2 240.

Ejercicio 6 D esarrollar: 1. (2x + yz2) 4 = 2. (3x2 – 5y3) 5 = 3. Escribe la expresión algebraica que representa al enunciado: el doble del cubo de un número menos otro número, al elevarse a la séptima potencia, da 87. Aplicar el triángulo de Pascal. 4. Aplica el triángulo de Pascal para calcular ( a2 b 2 c3 )5 5. U tiliza el triángulo de Pascal para calcular el coeficiente de x6 en (–2 x3+ 8) 4.

1.6. Producto de dos binomios con términos semejantes correspondientes D os binomios con términos semejantes correspondientes son aquellos que en cada uno de sus términos tienen las mismas variables con potencias iguales y que sólo pueden diferir en signo o coeficiente.

31

Unidad 1

Ejemplos: 7 3 x 20. 2

6 y2

y

6 2 y 5

4 x3

son binomios con términos semejantes.

3 6 2 21. (3 x y 5w z ) y ( 2 x 3 y 7 w6 z2 ) son binomios con términos semejantes.

22. ( 6 a2 b 1

c6 ) y

3 6 c 4

b 1 a2

son binomios con términos semejantes.

El orden no importa, siempre y cuando cada término contenga lasmismasliteralescon losmismosexponentes. No tienen la misma potencia. 23. (–x2 + 5yz 6) y (–x–2 + 5y6) no son binomios con términos semejantes.

No tienen lasmismas literales. Caso I : El caso más sencillo de binomios con términos semejantes tiene como forma general (x+ a)(x+ b). En el recuadro de la derecha aparece el producto; la última línea nos da la regla. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab x

a

x

b

x2

x2

i) El cuadrado del primer término: 2. ii) más la suma de los términos independientes por : ( + ) iii) más el producto de los términos independientes: .

ax bx

ab

( a b) x

(1.7)

ab

L a interpretación geométrica de este producto es: b

x

bx

x2 x

32

ab

ax a

ÁLGEBRA

Ejemplos: x2

24. ( x 3)( x 7) 25. x

3 2

x

5 9

x2

( 3 7) x ( 3)(7) 3 2

x2

5 x 9

3 2

4 x 21 5 9

x2

37 x 18

15 18

x2

37 x 18

5 6

26. L os lados de un rectángulo son ( x 4) y ( x 5) , entonces su área está dada por: (x

x2

4)( x 5)

( 4 5) x

20

x2

x

20

2 27. (12)(15) (10 2)(10 5) 10 ( 2 5)(10) ( 2)(5) 100 70 10 180

Caso I I : Encontremos la regla para binomios con términos semejantes de la forma ( x Si efectúas el producto en la forma usual obtendrás que ( x ay)( x by) x 2 ( a b) xy aby2 (1.8)

ay)( x

by) .

Ejemplos: 28. ( x 3 y)( x 2 y) 2 29. ( z

3 y 1 ) z2

x2 1 1 y 2

( 3 2) xy ( 3)( 2) y2

x2

xy 6 y2

1 2 1 z y 2

(3)

1 ( y 1 )2 2

( z2 )2

3

30. Recordando que el área de un triángulo está dada por a que: si los catetos de un triángulo rectángulo son ( x 2 y) y ( x

z4

7 2 1 z y 2

3 2 y 2

( base)( altura) , tenemos 2

y) , entonces su área queda

determinada por: (x

2 y)( x 2

y)

x2

( 2 1) xy 2 y2 2

x2

3 xy 2 y2 2

x+2y

x+y

Caso I I I : Por último consideremos la forma más general de dos binomios con términos semejantes, sean (ax + by)(cx + dy). L as literales a, b, c y d representan a los coeficientes. L o que nos interesa ahora es encontrar la regla para efectuar el producto de dos binomios de este tipo. El siguiente procedimiento muestra el producto directamente.

33

Unidad 1

a x + by cx+ dy acx2+ bcxy + adxy+ bdy2 acx2+ (bc+ ad)xy+ bdy2

(1.9)

U na forma práctica de efectuar este producto es como sigue:

Ejemplos: 31. (3 x 2 y)( 4 x

y) (3 x)( 4 x) [ ( 2 y)( 4 x) (3 x)( y)] ( 2 y)( y) 12 x 2

5 xy 2 y2

32. L a expresión algebraica que representa al enunciado: se tienen dos números tales que el producto del triple del primero al cuadrado, más el doble del segundo, por 5 veces el cuadrado del primero, más el segundo es 134, está dada por: (3x2+ 2y)(5x2+ y)= 134. Efectuando el producto 4 3 x 2 y 10 x 2 y 2 y2 134 15 x 4 13 x 2 y 2 y2 134 . obtenemos 15 x 33. (5xy2–8z) (3xy2 + 10z) = ( 5xy2) (3xy2) + [ (–8 z) (3xy2) + ( 5xy2) (10z) ] + (–8 z) (10z) = (5)(3)(xy2) 2 + [ (–8)(3) + (5)(10)] x y2z + (–8)(10) z2= 15x2y4 + 26 xy2z – 80z2 34. Encontrar el área de un rectángulo de dimensiones ( 2 ft

3 in) , de largo y (1 ft

4 in)

de ancho. Recordar que "ft" e "in" son unidades métricas del sistema inglés y son equivalentes en el primer caso a pies y en el segundo a pulgadas. El área del rectángulo es: ( 2 ft

34

3in)(1 ft

4 in) ( 2)(1) ft 2

{ (3)(1) ( 2)( 4)} f t in (3)( 4) in 2

ÁLGEBRA

2 f t2

11( f t)( in) 12 in2

2(12 in) 2

Se sabe que 1 ft = 12 in, entonces:

11(12 in)( in) 12 in2

( 288 132 12) in2

432 in2

1 f t+4in 2 f t+3in

35. ¿Cuál es el área de un triángulo cuyas dimensiones son: base ( 3ft + 3in) y altura (3ft + 5in)? Si se sabe que 1in= 2.54cm, dar la respuesta en cm2. El área del triángulo es: (3 f t 3 in)(3 f t 5in) 2 ( 9)(12 in) 2

9 f t 2 (15 9)( f t)( in) 15 in2 2

( 24)(12 in)( in) 15in 2 2

1599 ( 2.54cm ) 2 2

1599 2 in 2

5 158.0542cm 2

El producto de dos binomios con términos semejantes (ax + by) y (c x + dy) está dado por el producto de los primeros términos, más la suma de los productos cruzados, más el producto de los segundos términos. Simbólicamente: (ax + by)(c x + dy) = acx 2 + (bc + ad) xy + bdy2

Ejercicio 7 Resuelve: 1.

x

2. ( xz2 3. x

3 2

x

7

3)( xz2 7 y 3

x

1 2 4) 2 y 5

35

Unidad 1

4. L os lados de un rectángulo son ( 2 x 3 yz) y (7 x 5 yz) . D etermina la expresión algebraica que representa su área y efectúa el producto.

5. D etermina la expresión algebraica que representa al enunciado: se tienen 2 números tales que el producto del doble del primero al cubo, menos el doble del segundo, por 3 veces el cubo del primero, más el cuádruple del segundo, es 874. Efectúa el producto.

Productos notables Caso

Fórmula

Número

(x + y)(x – y)= x 2 – y 2

1. Binomio por su conjugado.

( x±y)2 = x 2 ± 2xy + y 2

2. Cuadrado de un binomio.

3. Cuadrado de un trinomio.

(x + y + z)2=x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz

4. Cuadrado de un polinomio.

(x + y + z + w)2 = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + 2xy + 2xz + 2xw + 2yz + 2yw + 2zw

5. Cubo de un binomio.

6. Cubo de un trinomio.

(x ± y) 3 = x 3 ± 3x 2 y + 3xy 2 ± y 3

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(x + y + z)3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3x 2 y + 3x 2 z + 3xy 2 + 3y 2 z + 3xz 2 + 3yz 2 + 6xyz

(1.6)

(x + a)(x + b)= x 2 + (a + b)x + ab

(1.7)

7. Binomios con términos semejantes. Caso I Caso II

(x + ay)(x + by)= x 2 + (a + b)xy + aby 2

(1.8)

Caso III

(ax + by)(cx + dy)= acx 2 + (ad + bc)xy + bdy 2

(1.9)

36

ÁLGEBRA

Ejercicios resueltos 1. Resolver ( 3a2 bc 7 ac3 )( 3a2 bc 7 ac3 ) . Aplicamos la regla (1.1), ya que es el producto de binomios conjugados. Por lo tanto, ( 3 a2 bc 7 ac3 )( 3a2 bc 7 ac3 ) ( 3a2 bc)2 (7 ac3 ) 2 9 a4 b2 c2

49 a2 c6 .

2. Aplicar la regla de 1.1. para resolver ( 2 a2 b 3bc3

abc)( 2 a2 b 3bc3

abc) .

Como la regla es para multiplicar binomios conjugados, debemos agrupar los términos de cada trinomio de tal manera que puedan manejarse "como conjugados". L o más adecuado en estos casos es tomar como primer término la agrupación de los términos exactamente iguales (incluyendo el signo). D e esta forma obtenemos como primer término a 2 a2 b . Posteriormente se toma uno de los dos trinomios y de los términos restantes se saca un (–1) como factor común. Por ejemplo, si se consideró el segundo trinomio (–2a2b – 3bc3– abc), entonces es conveniente escribir (–2a2b – (3bc3+ abc)).

Este signo + hace las veces del (–1). H az lo mismo con el otro trinomio, sólo que en lugar de (–1) como factor común se tiene un (+ 1). L o que tenemos que resolver ahora es el producto: ( 2 a2 b (3bc3

abc))( 2 a2 b (3bc3

abc))

Este signo + hace las veces del (+ 1). Aplicando la regla 1.1 obtenemos que: ( 2 a2 b (3bc3 4 a4 b2

abc))( 2 a2 b (3bc3

(3bc3 )2

abc)) ( 2 a2 b)2

2(3bc3 )( abc) ( abc) 2

(3bc3

abc) 2

Se aplicó la regla 1.2.

Este signo menosafectaalostrestérminosque le siguen, por lo que esimprescindible el uso de corcheteso paréntesis. 4 a4 b2

9 b2 c6

6 ab2 c4

a2 b2 c2

37

Unidad 1

2 3 2 3. El lado de un cuadrado es ab2 d cd3 , entonces el área es ( ab d cd ) . 2 3 Aplicamos la regla 1.2, ya que ab d cd 2 3 2 Por lo tanto, ( ab d ( cd ))

a2 b4 d2

2 ab2 cd4

( ab2 d) 2

ab2 d ( cd3 ) .

2( ab2 d)( cd3 ) ( cd3 ) 2

c2 d6

4. Ya hemos mencionado que no hace falta establecer una regla adicional para elevar al cuadrado un binomio de la forma x – y. Sin embargo, es importante mencionar que muchos libros de álgebra básica sí dan como una segunda regla el siguiente enunciado:

El cuadrado de un binomio x–y está dado por el cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Simbólicamente se escribe como (x – y) 2 = x2 – 2xy + y2.

A esta regla la llamaremos "regla adicional".

3 2 4 2 Este ejercicio consiste en que apliques la "regla adicional" para resolver: ( 2 ab 5c d ) .

Observa que con esta nueva regla el primer término es –2ab3 y el segundo 5c2d4. La diferencia con la regla (1.2) es que aquí no se toma el signo menos porque la regla ya lo tiene considerado. Por lo tanto, ( 2 ab3 5c2 d 4 ) 2 4 a2 b6

( 2 ab3 ) 2

20 ab3 c2 d 4

2( 2 ab3 )(5c2 d4 ) (5c2 d4 ) 2

25c4 d8

5. El lado de un cubo es 5 a2 b 2 c 1 , entonces el volumen está dado por (5a2 b 2c 1 )3 . Aplicamos la regla (1.5). (5 a2 b 2 c 1 )3 125a6 b3

(5 a2 b)3

150 a4 b2 c 1

3(5 a2 b) 2 ( 2 c 1 ) 3(5a2 b)( 2 c 1 )2 60 a2 bc 2

( 2 c 1 )3

8c 3

2 3b5 c)3 . Aplicamos la regla (1.5), ya que: 6. Resuelve ( 2 a ( 2 a 2 3b5 c)3 ( 2 a 2 ( 3b5 c))3

Por lo tanto, (–2a–2–3b5c) 3= (–2a–2) 3+ 3(–2a–2) 2(–3b5c)+ 3(–2a–2)(–3b5c) 2+ (–3b5c) 3 = –8a–6–36a–4b5c–54a–2 b10c2–27b15c3

38

ÁLGEBRA

7. Aplica el triángulo de Pascal para resolver (–2a–3 + c–1) 7. Formemos la línea 8 en el Triángulo de Pascal:

Por lo tanto, ( 2a

3

c 1 )7

(1)( 2 ab 3 )7

(35)( 2 ab 3 )3 ( c 1 ) 4 128 a7 b 21 14 ab 3 c 6

(7)( 2 ab 3 )6 ( c 1 ) (21)( 2 ab 3 )5 ( c 1 ) 2

(21)( 2 ab 3 ) 2 ( c 1 )5

448 a6 b 18 c 1

672 a5 b 15 c 2

(7)( 2 ab 3 )( c 1 ) 6 560 a4 b 12 c 3

(35)( 2 ab 3 ) 4 ( c 1 )3

(1)( c 1 )7

280 a3 b 9 c 4

84 a2 b 6 c 5

c7

2 xy 4 6 x 3 y2 3 Observa que los binomios tienen términos semejantes:

3 2 8. Resuelve ( 2 x y

7 xy 4 )

( 2 x 3 y2

7 xy 4 )

2 xy 4 3

6 x 3 y2

Términos semejantes. En los binomios con términos semejantes los coeficientes y los signos pueden ser distintos.

Para aplicar la regla (1.9) es conveniente que ordenes los términos semejantes respectivamente, por ejemplo: 2 ( 2 x 3 y2 7 xy 4 ) 6 x 3 y2 xy 4 3 Resolviendo obtenemos que: 2 ( 2 x 3 y2 7 xy 4 ) 6 x 3 y2 xy 3

4

39

Unidad 1

( 2 x 3 y2 )( 6 x 3 y2 ) 4

3

2

El producto de losprimerostérminos. 3

2

(7 xy )( 6 x y ) ( 2 x y ) 4

(7 xy )

+ La suma de los productos cruzados.

2 xy 4 3

+

2 xy 4 3

12 x 6 y4

42

El producto de lossegundostérminos. 4 x 2y2 3

14 2 8 x y 3

12 x 6 y4

130 2 2 x y 3

14 2 8 x y 3

9. Realiza los siguientes cálculos mentalmente: a) 232

( 20 3) 2

529

b) 292

(30 1)2

841

10. L a superficie de un terreno está distribuida como indica la siguiente figura. Encuentra el área del terreno. Como la superficie es cuadrada, su área está dada por la longitud de uno de sus lados al cuadrado; como sus lados miden (20+ 30) m, el área es (20+ 30) 2 m2. Aplicando la regla (1.2) obtenemos que: (20 + 30) 2 = (20) 2 + 2(20)(30) + (30) 2 = 2 500. El área del terreno es 2 500 m2.

11. Área y volumen de un prisma cuadrangular en unidades inglesas.

40

ÁLGEBRA

Convenciones:

1 ft 2= (12 in) 2= 144 in2= 144 in2 ( ft)(in)= (12 in)(in)= (12 in)(in)= 12 in2

a) Área de la base AB = (2ft+ 3in) 2= 4ft 2+ 12(ft)(in)+ 9 in2 = 4(144 in2)+ 12(12in2)+ 9i n2= 729 i n2 b) Área de la cara lateral BC= (2ft+ 3in)(4ft+ 5in)= 8ft2+ 22(ft)(in)+ 15in2 = 8(144in2)+ 22(12in2)+ 15in2= 1 431in2 c) Área total = 2 bases + 4 caras laterales = 2(2ft + 3in) 2 + 4(2ft + 3in)(4 ft + 5i n) = 2(4 ft 2 + 12 (ft)(in) + 9 in2 ) + 4(8 ft 2 + 22 (ft)(in) + 15 in2) = 8 ft 2 + 24 (ft)(in) + 18 in2 + 32 ft 2 + 88 (ft)(in) + 60 in2 = 40 ft 2 + 112 (ft)(in) + 78 in2 = 40(144 in2) + 112(12 in 2)+ 78 in 2 = 7 182 in 2 Comprobación: 2(729) + 4(1 431) = 1 458 + 5 724 = 7 182 d) Volumen:

= (2 ft+ 3 in) 2(4 ft+ 5in) = (4 ft 2+ 12 (ft)(in)+ 9 in2)(4 ft+ 5in) = 729 in2(4 ft+ 5in) = 2 916 (ft)(in) 2+ 3 645in3 = 2 916(12 in3)+ 3 645 in3= 38 637in3

41

Unidad 1

Ejercicios propuestos 1. Encuentra el conjugado de cada uno de los siguientes binomios: a)

15 x3 y2 z 2 xyz2

b)

6 ab2

7 bc2

2. D e la(s) regla(s) estudiada(s) en esta unidad, aplica la(s) que consideres más adecuada(s) para calcular el área de un rectángulo con lados

3x z

2z 2z y 3y 3y

3x z

y efectúa el producto.

3. D e la(s) regla(s) estudiada(s) en esta unidad aplica la(s) que consideres más adecuada(s) para calcular: ( 5a3 b)3 .

2

4. Aplica el triángulo de Pascal para encontrar el quinto término de ( 2 a

3 4 5. Aplica el Triángulo de Pascal para calcular ( 4 x yz

3b 1 ) 8 .

2 xy 2 z) 4 .

6. D e la(s) regla(s) estudiada(s) en esta unidad aplica la(s) que consideres más adecuada(s) para calcular: 2 a) (5 x

3 y)5

3 3 b) (3 x y 7 x)(7 x 3 x y)

c) (5 x3 d)

2 x 3

2)(10 3 x3 ) 1

3 x 2

7. Calcula mentalmente: a) 39 2 b) (13)(15)

42

2

ÁLGEBRA

Autoevaluación 2 abz2 : 3

1. Encuentra cuál es el conjugado de 5a3 c2 d 3 2 a) 5a c d

b) 5 a3 c2 d c)

5 a3 cd2

3 2 d) 5 a c d

e)

5 a3 c2 d

2 abz2 3 2 abz2 3 2 abz2 3 2 abz 3 2 abz2 3

2. Calcula la potencia ( a3 b 2 c) 2 : a) a6 b2

4 a3 bc 4 c2

b) a6 b2

4 a3 bc 4 c2

c) a6 b2

4 c2

d) a6 b2

4 c2

e)

a6 b2

4 a3 bc 4 c2

3 3. Calcula ( xy 3 9 a) x y

xy 3 )3 : 3 x3 y3

b)

x3 y9

3 x3 y3

c)

x 3 y9

x3 y 9

d)

x3 y9

3 x3 y3

3 9 e) x y

3 x3 y3

3 x3 y 3 3x3 y 3 3 x 3 y3 3 x3 y 3

x3 y 9 x3 y 9 x3 y9 x3 y 9

4. Aplica el triángulo de Pascal para calcular ( x

1

2 y2 )5 :

a) x

5

10 x 4 y2

40 x 3 y4

80 x 2 y6

80 x 1 y8

32 y10

b) x

5

10 x 4 y2

40 x 3 y4

80 x 2 y6

80 x 1 y8

32 y10

c) x

5

32 y10

d) x

5

5 x 4 y2

10 x 3 y4

10 x 2 y6

5 x 1 y8

y10

e) x

5

5 x 4 y2

10 x 3 y4

10 x 2 y6

5 x 1 y8

y10

43

Unidad 1

5. Aplicando el triángulo de Pascal calcula el quinto término de (x 3 yz – 2 xz) 9: a) 2 016 x19y5z9 b) – 2 016 x19y5z9 c) – 2 016 x15 y5z9 d) – 2 016 x19y5z5 e) 2 016 x15y5z5

44

ÁLGEBRA

Curiosidades matemáticas Una forma fácil para multiplicar polinomios Para multiplicar dos polinomios escribe los términos de cada polinomio en orden descendente. L o que debes hacer ahora es formar un arreglo rectangular como sigue: escribe los coeficientes del primer polinomio de izquierda a derecha de tal manera que cada uno de ellos encabece una columna. Escribe ahora los coeficientes del segundo polinomio de tal forma que cada uno encabece un renglón a la derecha. Rellena el arreglo con el resultado de las multiplicaciones. Por último suma diagonalmente como se te indica en la figura. L a suma de estos productos son los coeficientes del polinomio resultante. Para formar el polinomio sólo debes intercalar la variable con su potencia principal e ir descendiendo el grado. 3 2 Ejemplo: (5 x 7 x 6)( 4 x

9x

5)

Este polinomio tiene grado 5 porque la potencia más grande del primer factor es 3 y la potencia más grande del segundo es 2. 3 2 Por lo tanto, (5 x 7 x 6)( 4 x

9 x 5)

20 x5

45 x 4

3x3

39 x 2

89 x 30 .

45

Unidad 1

Respuestas a los ejercicios Ej. 1

1.

5 xy ó 5 xy x 2 y3

x 2 y3

2. 4 x 2 y6 16 z4 3. (30 2)(30 2) 896 y ( 90 3)( 90 3) 8091 4. ( x

y)( x

x2

y)

y2

336

5. ( 4 x 2 y)( 4 x 2 y) 16 x 2

4 y2

2 204

Ej. 2

1. ( x 4) 2

x2

8 x 16

2. ( 2 x

y)2

4 x2

3. x 2

6 xy3

9 y6

4. 252

2.25 y2

4 xy

625 y 682

9

4 624

Ej. 3

1. ( 2 x 2 y 2 z) 2 x3

2. 2( 2 x 2 y) 16 x 2

x6

9 y2 x

4. x 4

y2

z2

5. x 4

4 y2

x3

Ej. 4

1. volumen esfera

4 z2

24 xy 6 x 3 y 3387

9 x2

5 x2

2 x4

6

529

2 x 2 y 2 x 2 z 2 yz

9 w4

4 x 2 y 2 x 2 z 6 x 2 w2

4 (3 x 3

2. (3x 3( x 1) 3( x 2))3

2)3

4 ( 27 x 3 3

4 yz 12 yw2

54 x 2

6 zw2

36 x 8)

729x3 2187x2 2187x 729 250 047

3. L a expresión algebraica es: ( 2 x 2 3 y)3 8 x 6 36 x 4 y 54 x 2 y2

46

8 xy 8 xz 8 yz 520

2

8 x4 x6

z2

4 y2

7y

2

3 x

3.

4 x2

27 y3

512

ÁLGEBRA

4. (3 xy 2 xz 2 )3

27 x3 y3

1 3 5 xz 2 )3 5. ( 4 x y

54 x3 y2 z

64 x 3 y 9

2

36 x3 yz

240 x 1 y 6 z

4

2

8 x3 z

6

300 xy 3 z

4

125 x3 z

6

Ej. 5

1. z3 –8x3 + y6 – 6xz2 + 3z2y2 + 12zx2 + 12x2y2 + 3zy4 – 6xy4 – 12zxy2 x3

2.

8 y6 z3

3. ( 20 1 1)3

z3

6 x 2 y2 z 3 x 2 z 12 xy4 z2

203

13

13

12 y4 z3

3 xz2

6 y2 z3

12 xy2 z2

3( 20) 2 (1) 3( 20) 2 (1) 3(1) 2 ( 20)

+ 3(1)(1) 2 + 3(1) 2 (20) + 3(1) 2 (1) + 6(20) (1) (1) = 10 648 y 3 z)3

4. ( x x3

y3

5. (3 x

y2

27 z3

3 x 2 y 9 x 2 z 3 xy2

3 z3 )3

27 x3

y6

9 y2 z 27 xz2

27 z9

27 x 2 y2

27 yz2

81 x 2 z3

9 xy4

18 xyz 13824 9 y4 z3

81 xz6

–27 y2z6 – 54 xy2z3 = 3x Ej. 6

1. ( 2 x

yz2 ) 4

2. (3 x 2 5 y3 )5 3. ( 2 x3 128 x 21

4.. a10 b5 a10 b5

16 x 4

32 x 3 yz2

24 x 2 y2 z4

243 x10 2 025 x 8 y3

8 xy3 z6

y4 z8

6 750 x 6 y6 11250 x 4 y9

9375 x 2 y12

3125 y15

y)7 448 x18 y 672 x15 y2

560 x12 y3

5a8 b4 ( 2 c3 ) 10 a6 b3 ( 2 c3 ) 2 10 a8 b4 c3

40 a6 b3 c6

280 x 9 y4

84 x 6 y5

10( a4 b2 )( 2 c3 )3

80 a4 b2 c9

80 a2 bc12

14 x 3 y6

5( a2 b)( 2 c3 ) 4

y7

87

( 2 c3 )5

32 c15

5. El término que contiene a x6 es: 6(–2x3) 2 (8) 2, por lo tanto el coeficiente de x6 es: 1 536.

Ej. 7 45 4 2. x 2 z4 xz2 12 29 14 2 3. x 2 xy y 15 15 4. ( 2 x 3 yz)(7 x 5 yz)

1. x 2

5. ( 2 x3

6x

2 y)(3 x3

4 y)

14 x 2 6 x6

31 xyz 15 y2 z2

2 x3 y 8 y2

874

47

Unidad 1

Ejercicios propuestos

1. a)

15 x 3 y2 z 2 xyz2 ó 15 x3 y2 z 2 xyz2

b) –6ab2+ 7bc2 ó 6ab2–7bc2 2 2. 4 z2 9y

9 x2 z2

9 3. 125a

75 a6 b 15a3 b2

b3

4. 90720 a8 b 4 12 4 16 5. 256 x y z

512 x10 yz13

384 x8 y 2 z10

128 x 6 y 5 z7

16 x 4 y 8 z4

6. a) 3 125 x10

9 375 x8 y 11 250 x 6 y2

6 750 x 4 y3

b) 9x 6y2 – 49x2 c) –15x6 + 56x3 – 20 d) 4 x 2 9 x 2 2 9 4 7. a)(39) 2 = (40 – 1) 2 = 1 521 b)(13)(15) = (10 + 3)(10 + 5) = 195

Autoevaluación

1. b) 2. b) 3. b) 4. b) 5. a)

48

2 025 x 2 y4

243 y5