Una buena notación tiene la sutileza y ejerce una sugestión tal, que a veces parece un maestro vivo. Bertrand Russell (1872 - 1970)

Unidad 2 Fac torizac ión Objetivos

ÁLGEBRA

Introducción

A

prender a manejar los diferentes métodos de factorización es un recurso sumamente valioso en cualquier profesión. Son estas técnicas las que sirven como herramientas para la resolución de ecuaciones y que son el lenguaje simbólico con el que se representan

las situaciones del mundo real.

El objetivo de la factorización es simplificar las expresiones algebraicas para que nuestros procedimientos puedan efectuarse más fácilmente. 2 205 3 3 Por ejemplo, señala qué fracción es más fácil de manejar, ó . Por supuesto que . 8 085 11 11 2 205 3 3 5 7 7 3 = . Encontrar los números primos que al multiplicarlos nos Sin embargo, 8 085 3 5 7 7 11 11 den el número original constituye una forma de factorizar. De esta forma, si queremos "facilitarnos la vida" es conveniente conocer los diferentes métodos de factorización. En esta unidad aprenderás las ventajas de un método sobre ¿Qué se ent iende por otro, según el tipo de expresión que necesites factorizar. También factor izar un ofreceremos los procedimientos básicos y compartiremos algunos trucos polinomio? que, con toda seguridad, te resultarán útiles. Sin embargo, dependerá únicamente del esfuerzo que estés dispuesto a hacer para culminar con éxito el estudio de estos temas. Esto no significa que la factorización sea un tema escabroso, pero para asimilarlo se requiere de mucha práctica. Aprenderte de memoria las reglas de nada te servirá: debes sentarte con lápiz y papel y crear tus propios desarrollos, reglas y trucos. Éste es el secreto de las matemáticas. Este tema es, así, un buen pretexto para que pongas a prueba tus capacidades y derroches tu creatividad y talento. Esperamos que cuanto te digamos aquí sea tan sólo el principio de lo que habrás de aprender y deducir por tu cuenta. Factorizar un polinomio significa escribirlo como el producto de otros polinomios. L os polinomios que forman ese producto se llaman factores. En esta unidad nos concretaremos a 2 3 trabajar con polinomios, con coeficientes enteros; es decir, expresiones del tipo x 7 x no 3 serán admitidas como factores. U n polinomio se llama irreducible o primo si no se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado menor que el original. Ejemplos: A continuación te mostraremos algunos polinomios ya factorizados. Si lo deseas puedes aplicar tus conocimientos sobre productos notables para verificar las igualdades. L a forma como se obtiene la factorización se estudiará en las siguientes secciones de esta unidad. Por lo pronto sólo escribiremos los resultados, para nombrar algunos términos que se utilizarán un poco más adelante.

51

Unidad 2

1. x 4

2 x3

7 x2

20 x 12 ( x 1)( x

2)( x

2)( x 3)

Cada factor es primo; entonces esta es la factorización prima de x 4 – 2x3 – 7x2 + 20x – 12. 2. x 4

9 x2

4 x 12 ( x 1)( x

2)( x

2)( x

3)

Factorización prima. 3. A pesar de que 3 x 2 7 ( 3 x 7 )( 3 x 7 ) , este polinomio se considera como primo porque los coeficientes de los factores no son enteros. 4. a2+ 2ab+ b2= (a+ b) 2 5. x3+ 3x2y+ 3xy2+ y3= (x+ y) 3 I niciaremos esta sección con el concepto de máximo común divisor entre monomios, que no es sino el equivalente a la noción de máximo común divisor entre naturales. D e hecho el procedimiento para calcularlo está basado en el mismo principio, el de la descomposición en factores primos; con una variante en este caso: los factores primos se refieren a expresiones algebraicas. Este concepto será fundamental para facilitar los métodos de la factorización. Empecemos por aclarar el concepto de factor común. Si todos los términos de un polinomio tienen un mismo factor, éste se llama factor común. Ejemplos: 6. 3 x 2 y3 z–15xy2 z4 + 30x 3 yz2 = 3xxyyyz–( 3) ( 5) x yyzzzz+ ( 2) ( 3) ( 5) x xxyzz. Todos los términos tienen a 3x yz como factor, por lo tanto, 3xyz es un factor común. 7. 2 a5 bc 7 ac3 8 b es una expresión cuyos términos no tienen un factor común, ya que ningún número divide a cada coeficiente de cada sumando, es decir, ni a, ni b, ni c son factores de los tres términos 2a5bc, 7ac3, 8b. M áximo común divisor entre monomios El máximo común divisor (M CD ) de dos o más monomios es el producto de sus factores comunes, si cada monomio es expresado como el producto de sus factores primos.

52

ÁLGEBRA

8. Para encontrar el máximo común divisor de 15a2bc3, 35a3b2c4 y 105ab3c2. Factorizamos cada uno de los monomios: 15a2bc3= 3.5.a.a.b.c.c.c 35a3b2c4= 5.7.a.a.a.b.b.c.c.c.c 105ab3c2= 3.5.7.a.b.b.b.c.c 2 Observa que 5, a, b y c c c son factores de los 3 monomios; por lo tanto, M CD (15a2 bc3,

3 5 a3 b2 c4 , 105ab3 c2 ) = 5 . a. b. c. c= 5abc2

Factores comunes. 9. Para calcular el máximo común divisor de dos polinomios, digamos (en este momento no te preocupes por no saber cómo factorizar polinomios): x4

2 x3

7 x2

20 x 12 y x4 – 9x2 + 4x + 12

Primero se encuentra la factorización prima de cada polinomio. Como todavía no hemos estudiado los métodos para factorizar, aprovechamos la información de los ejemplos 1 y 2. x4

2 x3

7 x2

x4

9 x2

4 x 12 ( x 1)( x

4 M CD ( x

2 x3

20 x 12 ( x 1)( x

7 x2

2)( x

20 x 12, x 4

2)( x

2)( x 3)

2)( x 3) 9 x2

4 x 12) ( x

2)( x

2)( x 3)

Factores comunes. Ahora veamos la relación de este concepto con la factorización de un polinomio.

2.1. Factorización por factor común Explicaremos en qué consiste este método a través de algunos ejemplos: Ejemplos: 10. Para factorizar el polinomio 10 xy2–5x3y4z+ 20 xyz2, se encuentra el M CD de sus términos. Factoricemos, entonces, cada uno de ellos. 10 xy2= 2.5.x.y.y –5x3y4z= –5.x.x.x.y.y.y.y.z 20 xyz2= 2.2.5.x.y.z.z M CD (10xy2, –5x3y4z, 20xyz2)= 5xy

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Unidad 2

Ahora aplicamos la propiedad distributiva: 10 xy2

5 x3 y4 z 20 xyz2

5 xy( 2 y x 2 y3 z 4 z2 )

Esto eslo que daal eliminar lostérminosdel MCD en la factorización de 20 2.

Éste es el MCD.

Esto eslo que daal eliminar lostérminosdel MCD en la factorización de10 2.

Esto eslo que daal eliminar lostérminosdel MCD en la factorización de –5 3 4 .

11. L a medida del perímetro de un cuadrado es 24 a+ 36 b. Encuentra su área y exprésala en forma factorizada. Sabemos que el perímetro= 4 (lado). Sacando el 4 como factor común, obtenemos 24 a+ 36 b= 4 (6a+ 9b). Recuerda que el área de un cuadrado es: A= (lado) 2. Por lo tanto, el área del cuadrado con lado 6a+ 9b está dada por (6a+ 9b) 2. 12. Factorizar el polinomio: –18a3bc4 + 6a2bc2 – 3abc2. D escomponemos en sus factores primos a cada término. –18a3bc4 2

aaabcccc

2

aabcc 6a bc 2 –3abc = –3 abcc El M CD = 3abc2, tomando al M CD como factor común tenemos: –18a3bc4 + 6a2bc2 – 3abc2 = 3abc2(–6a2c2 + 2a – 1)

Ejercicio 1 Factoriza: 1. 5x 2yz3 – 10 x y2z3 + 7z3 = 2. –15(x – y) 2z 4 + 60(x – y)z3 – 120(x – y) 3z = 2 3 3. El perímetro de un pentágono está dado por la expresión algebraica 2 a b

la expresión.

54

b2 c4

2 ab4 c. Factoriza

ÁLGEBRA

m , entonces la altura h que alcanza sobre el agua s después de t segundos, está dada por la fórmula: altura = 8(tiempo)–5(tiempo) 2, es decir, h= 8t–5t 2.

4. Si un delfín sale del agua con una velocidad de 8

Factoriza la fórmula y llena la tabla: h = 8 t –5 t 2=

t

h

0.25

(0.25)(8–5(0.25))

0.5

(0.5)(8–5(0.5))

0.75 1 1.5 2

Entre las expresiones algebraicas existen algunas con ciertas características que hacen que su factorización sea inmediata. L a siguiente sección se encargará de los binomios; y la que le sigue, de los trinomios.

2.2. Factorización de binomios especiales En la unidad anterior estudiamos los productos notables, entre ellos el de un binomio por su conjugado, cuya regla quedó establecida como: (x+ y)(x–y)= x2–y2. También recordarás que en más de una ocasión hemosinsistido en que una igualdad tiene camino de “ida y vuelta”, por lo que esta igualdad se puede leer como x2–y2= (x+ y)(x–y). Al hacerlo de esta manera, en lugar de efectuar el producto lo que estamos haciendo es una factorización. En esta sección aprenderás a factorizar diferencia de cuadrados y suma de cubos. Nuestro primer caso de binomio especial: la diferencia de cuadrados.

2.2.1. Diferencia de cuadrados L a diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de dos binomios (2.1) conjugados: x 2–y2= (x+ y)(x – y). Observa que los términos de los factores son las raíces principales (cuadradas) de los cuadrados de la diferencia: x2

x

y

y2

y

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Unidad 2

Ejemplos: 13. Podemos aplicar la diferencia de cuadrados para factorizar un número, por ejemplo: 75= (100 –25)= 102 – 52 = (10+ 5)(10 – 5)= (15)(5)= 3 5 5 Factorización en primos. 14. Para factorizar 25x 2 – 36 y 2 z 2, extraemos la raíz principal de cada uno de los cuadrados 36 y2 z2 6 yz . de la diferencia: 25 x 2 5 x y Ahora con estos elementos formamos los binomios conjugados que son factores: 25x 2 – 36 y 2 z 2= (5x+ 6yz)(5x–6yz). 15. Factorizar 144x6y8z4–16w8z14. 144x 6 y8z4–16w8z14= (12x3y4z2+ 4w4z7)(12x3y4z2–4w4z7) 16. Expresar el área de la región sombreada como una diferencia de cuadrados y factorizarla. L as áreas de los cuadrados son: Área región sombreada = Área total – Área cuadrado interior. = (a+ b) 2–(a–b) 2 : = [ (a+ b)+ (a–b)] [ (a+ b) –(a–b)] :

diferencia de cuadrados factorizando

= [ a+ b + a–b] [a+ b – a+ b]

:

eliminando paréntesis

= (2a)(2b)= 4a b

:

reduciendo términos

17. U sar la figura para demostrar que (x+ y) 2 – x2= y(2 x+ y) Área total – Área cuadrado superior derecho. = (x+ y) 2 – x 2 = Área región sombreada. = y(x+ y)+ xy = y[ (x+ y)+ x] = y(2 x+ y)

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ÁLGEBRA

Ejercicio 2 Aplica la diferencia de cuadrados para factorizar las siguientes expresiones: 1. a2 – 49= 2. x2 y 4 – z2 = 3. 16 w8 x2 – 9 w4 = 4. 25 w2 – (x – y2) 2 = 5. 95 = 6. El área de un rectángulo es (4 x 2–169) m2. Si a su largo y a su ancho se le aumentaron 9 m y se sabe que las dimensiones del rectángulo original son binomios con coeficientes enteros, encuentra la expresión factorizada que representa el área del rectángulo nuevo.

2.2.2. Suma de cubos L a forma más simple para representar una suma de cubos es x3+ y3. Recuerda que x y y son expresiones algebraicas cualesquiera. L a suma de cubos siempre es factorizable, y uno de sus factores es x+ y. Para encontrar el segundo factor hagamos la división de x3+ y3 por x+ y.

x+ y

x2 – xy + y2 x3 + y3 –x3 – x2y –x2y + y3 x2y + xy2 xy2 + y3 –xy2 – y3 0

3

Factorización de la suma de cubos + 3= ( + )( 2– + 2) (2.2)

Observa que estostérminosse obtienen de lasraícescúbicasde los cubos de la suma y son la clave para formar el segundo factor. 3

3

=

y

3

3

=

57

Unidad 2

Ejemplos: 18. Para factorizar 27x 3 y6+ 64 x 6 z12, primero extraemos la raíz cúbica de cada término: 3

27 x3 y6

3 xy2

2 Ahora formamos los factores: (3 xy

(3 xy2

3

y

64 x 6 z12

4 x 2 z4 )((3 xy2 ) 2

4 x 2 z4 )( 9 x 2 y4

4 x 2 z4

(3 xy2 )( 4 x 2 z4 ) ( 4 x 2 z4 ) 2 )

12 x 3 y2 z4

16 x 4 z8 )

También podemos factorizar diferencia de cubos. Para ello bastará recordar que restar es sumar negativos: 19. Factoricemos x3 – y3. x3 – y3 = x3 + (–y3) = (x + (–y))(x2 – (x)(–y) + (–y) 2) = (x – y)(x2 + xy + y2). Tenemos entonces la siguiente regla:

Factorización de la diferencia de cubos 3

–

3

= ( – )( 2+

Observa que el signo del primer factor coincide con el signo que conecta a los cubos.

+

2

)

(2.3)

Encambio, en el segundo factor el signo del segundo término es diferente y el del tercero es positivo.

Podemos resumir la regla de suma y diferencia de cubos como sigue: ±

( x3 ± y 3 ) = ( x ± y )( x2

xy + y2 )

20. D escomponer 189 como una suma o diferencia de cubos para factorizarlo. 189= 125+ 64= 53+ 43= (5+ 4)(52–(5)(4)+ 42)= (9)(21)= 3 3 3 7 21. D escomponer 37 como una suma o diferencia de cubos para factorizarlo. 37= 64 –27 = 43–33= (4–3)(42+ (4)(3)+ 32)= (1)(37)= 37 es un número primo.

Ejercicio 3 Aplica la suma o diferencia de cubos para factorizar 1. (a3 – 27 ) =

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ÁLGEBRA

2. x 6 y3 – z3 = 3. –8 x3 + (x – y) 3 = En los ejercicios 4 y 5 descompón los números como una suma o diferencia de cubos para factorizarlos: 4. 520 = 5. 279 =

2.3. Factorización de trinomios En esta sección estudiaremos algunas formas especiales de trinomios, para las cuales existen reglas que hacen fácil y rápida su factorización. Recordarás que ( x± y) 2= x2± 2xy+ y2. Si leemos esta igualdad de izquierda a derecha, lo que vemos es una regla para elevar un binomio al cuadrado. Si la leemos de derecha a izquierda, lo que tenemos es la regla para factorizar un trinomio de la forma x2± 2xy+ y2, es decir, la suma del cuadrado de dos términos, más o menos el doble producto de las raíces cuadradas –principales– de dichos términos. A una expresión de este tipo se le conoce como trinomio cuadrado perfecto.

2.3.1. Trinomios que son cuadrados perfectos Factorización de un trinomio que es cuadrado perfecto: x2

2 xy

y2

(x

y) 2

(2.4)

Observa que a la derecha de la potencia cuadrada aparece el doble de la suma o la resta de las raíces cuadradas de los términos cuadráticos de la expresión a factorizar, por tal motivo una forma segura de manejar esta regla es:

Se extrae la raíz cuadrada principal de lostérminosque están al cuadrado y verifica que el término que no hastomado en cuenta sea el doble producto de ellas.

59

Unidad 2

Ejemplos: 22. Para factorizar 9 x 2 12 x 4 , extraemos la raíz cuadrada principal de 9 x2 y de 4; obtenemos respectivamente: 3x y 2. Efectuamos el doble producto de ellas: 2 3x 2= 12x, que es precisamente el término intermedio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto y la factorización 2 2 es: 9 x 12 x 4 (3 x 2) .

iguales 23. Para factorizar 9 x 2 y4

24 xy2 z 16 z2 , extraemos la raíz cuadrada principal de 9 x 2 y4 y

16z2, obtenemos respectivamente: 3xy2 y 4z. Ahora efectuamos el doble producto de ellas: 2 3 xy2 4 z

24 xy2 z

Haciendo caso omiso del signo, éste es precisamente el término que no hemos considerado.

Por lo tanto, la factorización es:

9 x 2 y4

24 xy2 z 16 z2

(3 xy2

4 z) 2 .

Observa que el signo intermedio es igual al del término que es ninguno de los cuadrados. 24. Para saber si este trinomio 16 x 4 y6

16 x 4 y8

4 x 4 y4 es un cuadrado perfecto debemos

resolver un problema: que no es tan evidente saber cuáles son los términos que hacen las veces de cuadrados y cuál el doble producto de las raíces. I ncluso podría darse el caso de que ni siquiera tuviera la forma que esperamos. Cuando te enfrentes a expresiones así puedes hacer una búsqueda sistemática. Empieza por tomar dos de los términos, los que te dicte tu intuición. N osotros tomaremos los dos primeros: 16 x 4 y6 y 16x4y8. Ahora extrae sus raíces cuadradas; obtienes 4 x2 y3 2 3 2 4 4 7 y 4 x 2 y4. Efectúa el doble de su producto: 2 4 x y 4 x y 32 x y . Claramente, este término 4 4 no es igual a 4 x y . Antes de concluir que este trinomio no es un cuadrado perfecto debes

agotar todas las posibilidades. Por esta razón ahora considera otro par de términos; digamos, 16x 4 y8 y 4x 4 y 4 . Extrae las raíces cuadradas y obtienes 4 x 2 y 4 y 2 x 2 y2, respectivamente. Ahora 2 4 2 2 4 6 hacemos el doble producto: 2 4 x y 2 x y 16 x y , que es igual al término que no habíamos 4 6 considerado. Por lo tanto, 16 x y

16 x 4 y8

4 x 4 y4 sí es un cuadrado perfecto y, en consecuencia,

podemos aplicar la regla para factorizarlo: 16 x 4 y6

60

16 x 4 y8

4 x 4 y4

( 4 x 2 y3

2 x 2 y2 ) 2

ÁLGEBRA

25. El área de un cuadrado es ( 25 x 2 y2 40 xy 16) m2. Encuentra sus dimensiones. 25 x 2 y2 5 xy y 16 4 , como (2)(5xy)(4)= 40x y, tenemos que el trinomio es un 2 2 cuadrado perfecto. Factorizando, obtenemos que 25 x y

40 xy 16 (5 xy 4) 2 . Por lo tanto, el

lado del cuadrado es (5xy+ 4) m.

Ejercicio 4 Factoriza las siguientes expresiones: 1. 9x2 + 12 x+ 4= 2. x2 y2 – 8 x y+ 16 = 3. 25x2 – 10 xw2 + w4 = 4. El área de un cuadrado está dada por 4c6 + 9a2b4 + 12ab2c3. Encuentra sus dimensiones. 5. L a medida del área de un cuadrado es (169–104a+ 16a2) m2, en donde a es un entero positivo. ¿Cuál es la menor medida que puede tener su perímetro?

2.3.2. Trinomio cuadrático U na expresión de la forma ax 2

bx

c es un trinomio cuadrático.

Recuerda que sólo estamos considerando coeficientes enteros. Caso I Consideramos el caso más sencillo de trinomio cuadrático: el de la forma x2 + bx + c, es decir, cuando a= 1. Si queremos factorizarlo debemos encontrar los binomios (x+ q) y (x+ s), tal que x2 + bx + c = (x+ q) (x+ s), en donde b, c, q, sson enteros. Si efectuamos el producto (x+ q) (x+ s) obtenemos x2 + (q+ s) x + q s, comparando sus coeficientes con los coeficientes de x2+ bx+ c, observamos que para que se cumpla que x2 + bx + c = (x+ q) (x + s) es necesario que b= q+ sy c= qs. Por lo tanto, si queremos factorizar un trinomio de la forma x2 + bx+ c debemos buscar enteros q y s tales que su suma (q + s) sea igual a b y su producto (q s) sea igual a c.

(2.5)

61

Unidad 2

Ejemplos: 26. Factoricemos x2 + x – 6 . Queremos dos enteros que al sumarlos den 1 (el coeficiente de x) y al multiplicarlos den –6 (el término independiente). Estos enteros son 3 y –2: 3–2= 1 y (3)(–2)= –6. Por lo tanto, la factorización de x2+ x–6 es: (x+ 3)(x–2). 27. Factoricemos x2 – 18 x + 72 . Cuando el término independiente es muy grande conviene escribir varias de sus descomposiciones en factores para que resulte más sencillo detectar si la suma es –18. Por ejemplo: 72= 2(36), pero 2+ 36 –18; por lo tanto, este par de números no nos sirve. 72 = (–8) (–9), pero –8 –9 = –17

–18, y por lo tanto tampoco nos sirve.

72 = (–6) (–12) y –6 – 12 = –18, éstos son los números buscados. Por lo tanto, x2 – 18x + 72 = (x–6)(x–12). 28. El área de un rectángulo está dada por x 2+ 3 x–28. Si x es un entero positivo y el área no es cero, ¿cuánto es lo menos que puede medir? D escomponemos –28: –28 = (2)(–14), como 2 – 14

3. Estos factores no nos sirven.

–28 = (–2)(14), como –2+ 14 3, estos factores no nos sirven. –28= (–7)(4), como –7+ 4 3, estos factores no nos sirven. –28 = (7)(–4), como 7–4= 3, éstos son los factores buscados. Por lo tanto, la factorización es x2+ 3x–28 = (x+ 7)(x–4). Como el área debe ser un número positivo, el mínimo valor que puede tomar x es 5; entonces lo menos que puede medir el área es 52+ 3(5)–28= 12u2.

Ejercicio 5 Factoriza: 1. x2 – 12x + 32 = 2. x2 – 6 x – 135 = 3. x2 –x–42 = 4. x2 –9x+ 18= 5. El área de un rectángulo está dada por x2+ 8 x–33. Si x es un entero positivo y el área no es cero, ¿cuánto es lo menos que puede medir? 6. El área de un rectángulo está dada por x2+ 17x + 60; encuentra la dimensión de sus lados.

62

ÁLGEBRA

Caso I I Ahora factoricemos un trinomio del tipo ax2 + bx + c, lo cual significa encontrar dos binomios (px+ q) y (rx+ s) con p, q, r, s Z, de tal forma que al multiplicarlos nos den el trinomio original, es decir, ( px+ q)(rx+ s) = ax2+ bx+ c. Efectuando el producto obtenemos: prx 2

qs . Comparando sus coeficientes con los de a x 2

( ps qr ) x

las igualdades: pr = a; ps+ qr = b y qs = c.

bx c, se generan

(2.6)

Resumiendo y ordenando estas condiciones inferimos que para que un trinomio cuadrático de la forma ax2+ bx+ c se pueda factorizar, es necesario que existan enteros p, q, r y s que satisfagan lo siguiente:

La suma de los productos en cruz debe ser el coeficiente de . + = .

El producto de los coeficientesde debe ser igual al coeficiente de 2. = .

El producto de los términos independientes debe ser igual al término independiente. = .

Antes de empezar con los ejemplos es importante enfatizar que p y r son factores de a, y que q y s lo son de c. Ejemplos: 29. Factoriza 3x2–11x+ 8. D eterminemos todos los factores de a = 3: ± 1 y todos los factores de c = 8: ±1

±3 ±2

±4

±8

Tomemos dos factores de 3 y dos factores de 8, para analizar si su producto cruzado da: b = –11 Efectuemos los productos en cruz: 3 x2–11 x+ 8 3

1

1

1

8

24

Observa que estosnúmeros ni sumadosni restadosdan –11. Por lo tanto, debemosbuscar otra combinación.

63

Unidad 2

–3 –1

–1 –8

1 24

Observaqueestosnúmerosni sumadosni restadosdan –11. Por lo tanto, debemos buscar otra combinación.

Podemos cambiar el orden de un par de factores o definitivamente cambiarlos por otros. Por ejemplo, podríamos optar por tomar como factores de 8 a: ± 2 y ± 4, pero antes de hacer esto resulta más conveniente intercambiarlos: 3x2–11x+ 8 ±3

± 8

±8

±1

±1

±3

Si tomamos –8 y –3 obtenemos –11.

3

–8

–8

1

–1

–3

(3)(1) = 3

(–8)(–1) = 8

–11

Por lo tanto, la factorización del trinomio 3x2 – 11x + 8 es: ( 3x–8)(x –1) .

L os factores se forman "copiando" horizontalmente las combinaciones. 30. Factorizar: 10 x 2

9x

9

10

x2+ 9x –9

5

–3

–6

2

3

15 9

Por lo tanto, 10 x 2

9x

9

(5x–3)(2x+ 3).

31. L a medida del área de un rectángulo es (9a2–36 ab+ 35b2) u2. ¿Cuál es la medida de su perímetro?

64

ÁLGEBRA

Factorizando: 9

a2–36ab+

35 b2

3

–7

–21

3

–5

–15 –36

Por lo tanto, 9a2–36ab+ 35b2 = (3a–7b)(3a–5b), lo cual significa que las dimensiones del rectángulo son (3a–7b) unidades y (3a–5b) unidades; entonces el perímetro es: 2(3a–7b)+ 2(3a–5b) u = (12a–24b) u = 12(a–2b) u.

Ejercicio 6 Factoriza: 1. 6x2 – 13x + 6 = 2. 35x2 + 36 x – 32 = 3. 6 x2+ x–15 = 4. El área de un rectángulo está dada por (10a2 – 29a – 21) u2. Encuentra sus dimensiones. 5. El área de un rectángulo está dada por (6 x2 + xy – 15y2) u2. Si se sabe que su largo mide (2x–3y) u, ¿cuánto mide su ancho?

2.4. Factorización de un polinomio D ada la cantidad de términos que conforman un polinomio, es natural que al tratar de factorizarlo no detectemos a simple vista cuáles son los factores. En esta sección estudiaremos dos métodos de factorización para polinomios (por supuesto, cuando dicha factorización sea posible). El primero es para aquellos polinomios cuyos términos se pueden asociar de tal manera que cada grupo así formado sea factorizable. El segundo es para aquellos casos que pudieran parecernos "imposibles", es decir, aquellos en los que a simple vista "no detectamos nada".

65

Unidad 2

El primer método se conoce como:

2.4.1. Factorización por agrupación Si con los términos de un polinomio es posible formar grupos que posean un factor común, entonces la factorización por agrupación es factible. L a estructura general es la siguiente: ac + ad + bc + bd L a formación de grupos no es única, en este ejemplo podemos agrupar de dos formas. (ac + ad) + (bc + bd) o (ac + bc) + (ad + bd) Tomando el primer caso: (ac + ad) cuyo factor común es a y (bc + bd) cuyo factor común es b. Factorizando los factores comunes: a(c + d) + b(c + d) Aparece el término (c + d) que es común y factorizándolo nuevamente tenemos: (c + d)(a + b) Finalmente: ac + ad + bc + bd = (c + d)(a + b) Ejemplos: 32. Factoriza 3xy – 3x + 2y – 2 Agrupamos por factor común: (3xy – 3x) + (2y – 2) Factorizamos los términos comunes: 3x(y – 1) + 2(y – 1) Factorizando nuevamente tenemos: (y – 1)(3x + 2) = 3xy – 3x + 2y – 2

33. Factoriza 3ac + 6bc + ad + 2bd. 3ac + 6bc + ad + 2bd= 3c(a + 2b) + d(a + 2b) = (a + 2b)(3c + d). 34. Para factorizar 4 x2+ 2yz–y2–z2 debemos detectar las agrupaciones que permiten su factorización. Por ejemplo, 4 x2 y –y2 es una diferencia de cuadrados y 2yz y – z2 tiene un factor común. H agamos las agrupaciones y veamos si son adecuadas:

66

ÁLGEBRA

4x2+ 2yz– y2–z2= (4x2–y2)+ (2yz–z2) = (2x–y)(2x+ y)+ z(2y–z) L a agrupación que seleccionamos no es adecuada, pues ni se cuenta con un factor común ni la expresión resultante es alguno de los binomios o trinomios especiales. Consideremos otra opción. Por ejemplo: 4 x2

2 yz

y2

z2

4 x2

( y2

4 x2

( y z) 2

2 yz

z2 )

[ 2 x ( y z)] [ 2 x ( y z)] (2 x

y z)( 2 x

y z)

Factorizando –1. La agrupación nos permite visualizar una diferencia de cuadrados, por lo tanto es adecuada.

35. I ntentemos factorizar 8a2–50ab+ 8a–50 b. = (8a2+ 8a)–(50ab+ 50b) 8a2–50ab+ 8a–50b = 8a(a+ 1)–50b(a+ 1)

Factor común. = (a+ 1)(8a–50b)

Se puede factorizar más. = 2(a+ 1)(4a–25b)

Ejercicio 7 Factoriza: 1. a2+ 4 a+ 4 –9b2= 2. 2ab + 4ad – cb – 2cd = 3. 16b2 – 2ac – a2 – c2 = 4. 6 ab2+ 4bc–3abc–2c2= 5. El volumen de un prisma rectangular está dado por (16mn2+ 24n2+ 80mn+ 120n+ 100m+ 150)u3. Se sabe que la altura es 2(2m+ 3) u; encuentra las dimensiones de la base.

67

Unidad 2

Completar un trinomio cuadrado perfecto En ocasiones, para lograr la factorización es conveniente completar un trinomio para que sea un cuadrado perfecto, esto es: Para factorizar 4a6+ 8a3b2–12 b4, podemos proceder como sigue. L o primero que debemos hacer es tomar como factor común de todo el trinomio el coeficiente del primer término: 4(a6+ 2a3b2–3b 4). Al proceder de esta manera, obtenemos como factor un trinomio con coeficiente 1 en su primer término. Ahora completemos el cuadrado de a6+ 2a3b2–3b4. Observa que como el primer término es a6= (a3 ) 2, el coeficiente del término medio es 2b2, todo lo que no sea a3 y pertenezca al mismo. 6

3 2

Por lo tanto, a

2a b

4

6

3b

2 b2 2

3 2

a

2a b

2

2 b2 2

2

3b4 .

= a6 + 2b3b2 + b4 – b4 – 3b4

T.C.P. ( a3

b2 ) 2

b4

( a3

b2 ) 2

4 b4

b2 )

2 b2

( a3

3b4

Observa que esto es una diferencia de cuadrados.

( a3

a3

b2

2 b2

a3

a3

3b2

a3

b2

b2 ) 2 b2 b2

2 b2

L a factorización del polinomio original está dada por: 4 a6

8 a3 b2

12 b4

4( a3

3b2 )( a3

b2 )

Efectúa el producto para que compruebes la igualdad. En general, para completar un trinomio se procede como sigue: b x a

x2

x

c a

b 2a

b x a

x2

2

c a

b 2a

b 2a

2

2

b 2a

2

c a

Se le suma y se le resta el cuadrado de la mitad del coeficiente del término medio.

36. Factorizar x2 + 4x – 12, completando un trinomio cuadrado perfecto.

68

ÁLGEBRA

x2

4x

4 2

2

4 2

2

12

x 2 4 x 4 4 12 L os tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto, factorizándolo: (x + 2) 2 – 16 Factorizando como diferencia de cuadrados: [ (x + 2) – 4][ (x + 2) + 4]

Finalmente (x – 2)(x + 6) = x2 + 4x – 12 Factorización de un trinomio a x 2 + bx+ c L a factorización por agrupación se puede aplicar de una manera muy especial cuando se desea factorizar un trinomio. Veamos cómo sucede esto. Al factorizar un trinomio lo que obtenemos es el producto de dos binomios, lo que significa que si se efectúa su multiplicación regresamos al trinomio original. Con notación se escribe así: ax2+ bx+ c= (px+ q)(rx+ s) L o cual significa que: ( px q)( rx s) prx 2

( ps qr ) x

qs

El producto de los coeficientes del primero y último términos es ( ) y ( ), respectivamente. El producto de los sumandosque forman el coeficiente del término medio es ( ) y ( ), respectivamente. Ejemplos: 37. Apliquemos la idea anterior para intentar factorizar el trinomio 2 x2+ 7x+ 6. L a clave consiste en encontrar todos los factores de ac= (2)(6)= 12: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12. D e esta lista debemos seleccionar dos que al multiplicarlos den ac= 12, y al sumarlos den b= 7. Tenemos una sola opción: 3 y 4. Por lo tanto, 2 x2

7x

6

2 x2 (2 x2 2 x( x

(3 4) x

6

4 x) (3 x

6)

2) 3( x

2)

( 2 x 3) ( x

Seasociadetal maneraqueseaposible factorizar por agrupación.

2)

69

Unidad 2

38. Apliquemos el mismo método para factorizar 3y2 –10y–8. Primero calculamos ac= (3)(–8)= –24. Ahora escribimos todos los factores de 24: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12, ± 24. D e esta lista seleccionamos dos que al multiplicarlos den –24, y al sumarlos b= –10. L a única posibilidad es 2 y –12. Observa que los signos juegan un papel muy importante. Por ejemplo, –2 y 12 no pueden ser considerados dentro de las opciones, pues si bien es cierto que multiplicados dan –24, sumados dan 10 y no –10. Algo semejante sucede con –4 y –6, sumados dan –10, pero multiplicados no dan –24. Por lo tanto, 3 y2 10 y 8

3 y2

( 2 12) y 8

(3 y2 12 y) ( 2 y 8) 3 y( y 4) 2( y 4) (3 y 2)( y 4)

39. I ntentemos factorizar 12 x 4+ 5 x 2 –4. ac= –48 y los factores de –48 son: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12, ± 16, ± 24, ± 48. L os pares que multiplicados dan –48 son: (1,– 48), (–1,48), (2, –24), (–2,24), (3,–16), (–3,16), (4,–12), (–4,12), (6,–8), (–6,8). Ninguno de ellos al sumarse da 5. Por lo tanto, 12x4+ 5x2–4 no es factorizable en los enteros, es decir, no se puede descomponer como el producto de dos o más polinomios con coeficientes enteros.

Ejercicio 8 1. Completa el siguiente trinomio para que contenga un trinomio cuadrado perfecto y después factoriza 8 z4 – y2 – 2 z 2 y = Factoriza: 2. 35x2 + 9x – 2 =

3. 12 x2 – 28 x + 15 =

4. L as dimensiones de un rectángulo son los factores de 6 x2–7xy–5y2. ¿Cuáles son sus dimensiones?

5. D etermina si el trinomio 49a2+ 25ab2+ 16b4 puede representar el área de un cuadrado.

70

ÁLGEBRA

2.4.2. Raíces de un polinomio y su factorización L os polinomios que estudiaremos en esta sección tendrán coeficientes enteros y una sola variable. Es decir, serán aquellos que tienen la forma: an x n

an 1 x n

1

... a2 x 2

a1 x

a0 ,

ai Z, para toda i= 0, 1,..., n

Esto significa que todosloscoeficientes son enteros.

U na notación muy útil para describir un polinomio es a través de la igualdad: p( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 , de esta forma podemos decir que: Raíz o cero de un polinomio U n número real es raíz de un polinomio si al sustituir la variable por él y efectuar operaciones, el resultado es 0; es decir x=

es una raíz del polinomio p(x) = anxn + an–1xn–1+ ...+ a1x + a0, si p( ) = 0.

Ejemplos: 40. Consideremos el polinomio 5x4+ 15x3+ 5x2–35x–150. Analicemos si polinomio p(x)= 5x4+ 15x3+ 5x2–35x–150, cuando: a) = –3

es una raíz del

Evaluamos p(x) en –3, p( 3) 5( 3)4 15( 3)3 5( 3) 2 35( 3) 150 5(81) 15( 27 ) 5( 9) 35(3) 150 405 405 45 105 150 0 Por lo tanto, x = –3 es una raíz del polinomio p(x). b) = –2 4 3 2 Evaluamos p(x) en –2, p( 2) 5( 2) 15( 2) 5( 2) 35( 2) 150 5(16) 15(8) 5( 4) 35( 2) 150 80 120 20 70 150 170 270

= –100

Por lo tanto, x = –2 no es una raíz del polinomio p(x).

71

Unidad 2

41. El polinomio p(t) = t 2 –4t – 5 representa el número de moscos en una población después de t semanas. ¿Cuándo dejará de crecer la población? L a población dejará de crecer cuando p(t)= 0, por lo tanto, para contestar ¿Qué r elación exist e ent r e las r aíces de un polinomio y su factor ización?

esta pregunta será suficiente encontrar las raíces de p(t). Fact or i cemos p(t): ¿cuándo (t+ 1)= 0 ó (t – 5)= 0? Cuando t= –1 y t= 5, respectivamente. Observa que no tiene sentido hablar de un número negativo de semanas; por lo tanto, p(t)= 0 cuando t= 5. Es decir, la población deja de crecer después de 5 semanas.

L os polinomios tienen una propiedad muy interesante que relaciona sus raíces con su factorización. El enunciado formal es el siguiente: Teorema del factor Si p(x) es un polinomio tal que p( )= 0, entonces (x– ) es un factor de p(x) y si (x– ) es un factor de p(x), entonces p( )= 0. (2.7)

Si usamos el conectivo lógico "si y sólo si" el enunciado se simplifica bastante.

Dicen lo mismo.

Teorema del factor Si es un polinomio se tiene que: ( )= 0 si y sólo si ( – ) es un factor de . En otras palabras, el teorema del factor nos asegura que si tenemos la raíz de un polinomio podemos formar con ella un factor, y si tenemos un factor podemos encontrar una raíz. Ejemplo: 42. Sabemos que (x–2) es un factor de –x 3+ 2x2–2x+ 4. Consideremos el polinomio p(x)= –x3 + 2 x2–2x+ 4 y evaluemos en x = 2, este valor se obtiene al igualar a cero el factor x – 2 = 0, y despejando x. p( 2)

( 2)3

2( 2) 2

8 8 4

2( 2)

4

4

0

H emos confirmado que si (x –2) es un factor de –x3+ 2x2 –2x+ 4, 2 es una raíz. Encontrar las raíces de un polinomio resulta particularmente importante en esta sección, pues ellas nos conducirán a la factorización. Por eso sólo consideraremos aquellas que sean números

72

ÁLGEBRA

enteros o, en casos extremos, racionales. Sin embargo, vale la pena mencionar que los polinomios pueden tener raíces que son números irracionales o complejos. Por ejemplo, el polinomio 3x2–5 tiene como raíz al número irracional 5 . L a comprobación es sencilla: 3

p

5 3

5 3

3 3

5 3

2

5 5

5 5 0

¿Cómo se encuent r an las r aíces de un polinomio?

Si una r aíz de un polinomio det er mina un factor , ¿cómo se encuent r an los ot r os?

A través de un teorema, la teoría de polinomios nos indica cómo determinar todas las raíces racionales de un polinomio: Teorema de los ceros (raíces) racionales n n 1 ... a1 x a0 , un polinomio con coeficientes enteros. Sea p( x) an x an 1 x a Si es una raíz racional de la forma , entonces a es un factor de a0 y b es un factor de an. b D onde a0 es el término independiente y an es el coeficiente de la mayor potencia de x. Ejemplos: 43. Encontrar todas las raíces racionales de p(x)= 2 x3– x2–7x+ 6 y factorizar. Factores de a0= 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Factores de an= a3= 2: ± 1, ± 2. Formemos todos los cocientes de la forma: factor a0 1 1 2 2 3 3 6 6 : , , , , , , , factor a3 1 2 1 2 1 2 1 2

Simplificando y eliminando cocientes repetidos tenemos: 1 3 1, , 2, 3, , 6 2 2 El teorema de los ceros racionales asegura que todas las raíces racionales de 2 x3–x2–7x+ 6, se encuentran entre estos cocientes, pero en ningún momento afirma que cada uno de esos cocientes sea una raíz; por lo tanto no debe sorprendernos que al evaluar el polinomio en ellos no siempre obtengamos ceros. Empecemos con las evaluaciones: p(1)= 2(1) 3–(1) 2–7(1)+ 6= 2–1–7+ 6= 0 (x = 1 es una raíz.)

73

Unidad 2

p

p(–1)= 2(–1) 3–(–1) 2–7(–1)+ 6= –2–1+ 7+ 6= 10 0. (x = –1 no es raíz.) 3 2 1 1 1 1 1 1 7 1 2 7 6 2 6 9 0. x no es raíz. 2 2 2 2 8 4 2 2

Siguiendo con este procedimiento, obtenemos que –2 y 3/2 también son raíces. Evalúa el polinomio p(x) en x = –2 y x = 3 para verificar que estos números sí son sus raíces. 2 Aplicando el teorema del factor, obtenemos que los factores de 2 x3–x2–7x+ 6 son: 3 Como x= 1 es raíz, (x –1) es factor. Como x= –2 es raíz, (x + 2) es factor. Como x = es 2 3 raíz, (x – ) es factor, y como factor adicional el coeficiente del término de mayor grado, en este 2 caso es 2. 3 ( x 1)( x 2)( 2 x 3) Por lo tanto, 2 x3 x 2 7 x 6 2( x 1)( x 2) x 2

Factor adicional. Seguir este método puede resultar un poco tedioso, por lo que se sugiere recurrir a la división sintética una vez que se haya encontrado la primera raíz con él. D ivisión sintética Retomando el ejemplo anterior, la primera raíz que encontramos para 2 x3– x 2–7x+ 6, fue x= 1. Aplicando la división sintética, que acontinuación se describe: Escribimos los coeficientes del polinomio y a la izquierda de estos el valor propuesto de la raíz, quedando: 1

2

–1

–7

6

Coeficientes en orden decreciente de izquierda a derecha.

Raíz propuesta.

El primer coeficiente en este caso 2, se coloca debajo de la línea del residuo, quedando: 1

2 2

74

–1

–7

6

ÁLGEBRA

Se multiplica la raíz propuesta por el coeficiente 2 recién bajado, el producto se coloca bajo el siguiente coeficiente en este caso –1. Sumamos esta columna (–1) + 2 = 1, este resultado se coloca debajo de la línea de residuo. 1

2

–1 –7 + 2

2

6

1

En este punto se repite el procedimiento, multiplicando la raíz propuesta por el número obtenido en el paso anterior, el resultado se coloca debajo del siguiente coeficiente en este caso –7, sumamos la columna obteniendo (–7) + 1= –6, de la siguiente manera: 1

2

–1 2 1

2

–7 + 1 –6

6

Con el mismo procedimento multiplicamos la raíz propuesta por –6 el producto se coloca debajo del último coeficiente en este caso 6, se suman ambos y el resultado se coloca bajo la línea del residuo. Esta última cantidad es llamada residuo, si tal cantidad es cero significa que la raíz propuesta es en realidad una raíz del polinomio p(x). Como se muestra a continuación: 1

2 2

–1

–7

6

2

1

–6

1

–6

0

+

Residuo 0, porque 1 es raíz.

Por lo tanto, 2x3–x2–7x+ 6= (x–1)(2x2+ x–6)

Este factor se puede factorizar con los métodosanteriores. 44. Encontrar todas las raíces racionales de p (x)= 6 x4 –17x3+ 7x2+ 8x–4, y factorizar. Factores de a0= –4: ± 1, ± 2, ± 4. Cocientes de la forma

Factores de an= a4= 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

factor a0 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 . , , , : , , , , , , , , factor a4 1 2 3 6 1 2 3 6 1 2 3 6

75

Unidad 2

Simplificando obtenemos: 1 , 2

1,

1 , 3

1 , 6

2 , 3

2,

4 3

4,

Para evaluar usaremos división sintética: Para x= –2 –2

6

–17 –12

Probemos x= 1

1

+

7 58

+

8 –130

+

6

–29

65

6

–17

7

8

–4

6

–11

–4

4

–11

–4

4

0

6

–122

–4 244

+

240

Como el residuo es diferente de cero, –2 no es raíz de ( ). Como el residuo escero 1 es raíz de ( ).

Por lo tanto, una primera factorización queda como: 6x 4–17x3+ 7x2+ 8x–4= (x–1)(6x3–11x2–4x+ 4)

Como no podemosfactorizar o encontrar lasraícesdirectamente, seguimosprobando conloscocientes. Podemos regresar a la expresión original o evaluar este factor. Como éste tiene menos términos, trabajaremos con él. Probemos para x= –4

Probemos para x=

1 2

–4

1 2

6

–11

–4

4

–24

140

–544

6

–35

136

–540 – 4 no es raíz de p(x).

6

–11

–4

4

3

–4

–4

–8

–8

0

6

1 es raíz de p(x). 2

1 ( 6 x 2 8 x 8) . 2 Y, por lo tanto, una segunda factorización de p(x) queda como: 3 2 Tenemos entonces que: 6 x 11 x

4x

4

x

1 ( 6 x 2 8 x 8) 2 Factorizando y completando el trinomio cuadrado perfecto del tercer factor: (6 x2–8 x–8) tenemos que: 6 x4

76

17 x3

7 x2

8x

4 ( x 1)( 6 x 3

11 x 2

4x

4) ( x 1) x

ÁLGEBRA

6 x2

8x 8

6 x2

8 x 6

6

2 3

x

(3)( 2)( x

8 6 2

4 x 3

6 x2 4 3

2) x

2

6 2 3

x

2

2 3 2 3

2 3

4 3

2( x 2)(3 x

x

2

4 3 2 3

4 3

6

x

2 3

2

6( x 2) x

4 9

4 3

2 3

2)

Por lo tanto, la factorización completa de 6 x 4 –17x 3+ 7x 2+ 8 x–4 es: 6 x4

17 x3

7 x2

8x

4 ( x 1)( 6 x 3

11 x 2

4x

4)

1 2( x 2)(3 x 2) 2 ( x 1)( 2 x 1)( x 2)(3 x 2) ( x 1) x

45. L a altura, en centímetros, que alcanza un cohete de juguete al ser lanzado verticalmente hacia arriba desde el piso después de t segundos, está dada por el polinomio p(t) = 52t – 11t 2. D etermina en qué instante el cohete regresa al piso. Cuando el cohete está en el piso la altura es 0 cm. Como p(t) representa la altura, hacemos p(t)= 0. En consecuencia, para resolver el problema debemos encontrar las raíces del polinomio p. Factorizando p(t)= 0 obtenemos: p(t)= t(52–11t)= 0. 52 . Observa que t representa el tiempo en segundos, Tenemos que las raíces son t= 0 y t= 11 52 entonces si t= 0, significa que el cohete no ha despegado aún. En cambio t= nos indica que 11 ya ha pasado un lapso y que el cohete ya hizo su viaje de ida y vuelta. Por lo tanto, la respuesta es t= 52 segundos. 11

Ejercicio 9 Encuentra los ceros (raíces) racionales de cada uno de los siguientes polinomios. 1. 4 x 4 –16 x3+ 11 x2+ 16 x–15= 2. 36 x 4 – 97 x 2 + 36 = 3. 4 x3+ 24 x2+ 17 x–15= 4. 3 x 4 –30 x2+ 27=

77

Unidad 2

5. La altura, en centímetros, que alcanza un pelota al ser lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso, después de t segundos, está dada por el polinomio p(t)= 40t–16t 2. D etermina en qué instante la pelota regresa al piso.

Para terminar, presentamos un resumen sobre los métodos de factorización estudiados en esta unidad.

Factorización 2

– 2 = ( + )( – ) 3 + 3 = ( + )( 2 – + 2) 3 – 3 = ( – )( 2+ + 2) 2 ± 2 + 2 = ( ± )2 2 + = ( + ) ( + ), + en donde = y + = 2 + = ( + ) ( + ), en donde = + = y + = es raíz de un polinomio, entonces ( – ) es un factor.

(2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) (2.6) (2.7)

Como un paso intermedio en la factorización tenemos: Completar un trinomio para que contenga un trinomio cuadrado perfecto

Si

es un cuadrado perfecto, entonces la factorización es factible.

Caso práctico de aplicación Aplicación de la factorización al cálculo de áreas El área de un rectángulo está dada por (a2+ 5 a –6) unidades cuadradas. Su base y altura han sido incrementadas, cada una, en 4 unidades. Encuentra una expresión para el área del nuevo rectángulo, dado que las dimensiones del rectángulo original son representadas por binomios con coeficientes enteros.

78

ÁLGEBRA

El área de un rectángulo es: a2 + 5a – 6

Queremos encontrar una expresión para el área del nuevo rectángulo.

El área de un rectángulo es base por altura, y está dada por a2+ 5a –6. Entonces, si factorizamos esta expresión y respetamos la condición de que los coeficientes de los factores deben ser enteros, obtendremos la representación de la altura y de la base. Busquemos dos números enteros que al multiplicarlos den –6 y, sumados, 5. L as posibles combinaciones para obtener un –6 son: –1 y 6, 1 y –6, 2 y –3, –2 y 3. L a única que también satisface que la suma dé 5 es: –1 y 6. Por lo tanto, a2 5a 6 a2 ( 1 6) a 6 a2

a 6a 6

a( a 1) 6( a 1) ( a 6)( a 1)

Concluimos que a+ 6 es la base (pudimos haberla considerado como la altura) y a–1 es la altura (que pudimos haberla considerado como la base). En consecuencia, las expresiones para las dimensiones del nuevo rectángulo son (a+ 6)+ 4 para la base y (a–1)+ 4 para la altura. L a expresión para el área (del nuevo rectángulo) es: [ ( a 6) 4] [ a 1

4]

( a 10)( a 3) a2

13 a 30

79

Unidad 2

Ejercicios resueltos 1. ¿Es posible que 36a2+ 48 ab+ 16 b2 represente la medida del área de un cuadrado? Si tu respuesta es afirmativa, ¿cuál es la representación del lado del cuadrado? I ntentemos factorizar 36a2+ 48 ab+ 16 b2. Por la forma de sus términos primero y tercero, cabe la posibilidad de que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para saber si estamos en lo cierto tomamos las raíces cuadradas de esos términos para formar con ellas el factor base. 16 b2

36 a2

6a y

4 b . Si 36a2+ 48ab+ 16 b2 es un cuadrado perfecto, debe ser igual a (6a+ 4b) 2. Recordando

la unidad de productos notables observamos que 36a2+ 48ab+ 16 b2= (6a+ 4b) 2. Por lo tanto, la expresión sí representa el área de un cuadrado de lado 6a+ 4b. 36a2 + 48ab + 16b2 6 a + 4b

6a + 4b 2. Factoriza 3a6+ 7a3+ 2. Podríamos recurrir al teorema del factor encontrando los ceros racionales del polinomio. Sin embargo, decidimos resolver este ejercicio como un trinomio cuadrático cuya variable es a3, ya que puede ser expresado como sigue: 3(a3) 2+ 7a3+ 2. Ahora busquemos dos números que multiplicados den 6, y que sumados den 7. 6= 3(2)

pero

3+ 2

6 = 1(6)

y

1+ 6= 7

7

Por lo tanto, 1 y 6 son los números deseados: 3a6 + 7a3 + 2 = 3a6 + (1 + 6)a3 + 2 = (3a6 + a3 ) + (6a3 + 2) = a3(3a3 + 1) + 2(3a3 + 1) = (3a3 + 1)(a3 + 2) Tenemos como una primera factorización: 3(a3) 2+ 7a3+ 2= (a3+ 2)(3a3+ 1). Puesto que ninguno de los factores es una suma de cubos, es decir, como ni el 2 de (a3+ 2), ni el 3 de (3a3+ 1) son el cubo de algún entero, ya no es posible factorizar más. Entonces la respuesta es: 3a6+ 7a3+ 2= (a3+ 2)(3a3+ 1)

80

ÁLGEBRA

3. Factoriza: 12( 2 a 5b) 2 ( 2 a 5b) c 20c2 . L a expresión es un trinomio cuadrático con variable 2a – 5b. Sin que cometamos violación 2 xc 20 c2 ; cuando alguna, podemos cambiar la expresión del polinomio por una más sencilla: 12 x hayamos terminado el desarrollo, todas las x serán sustituidas por 2a – 5b. 12 x2

– cx

–20

c2

4

5

15

3

–4

–16

15–16= –1

Tenemos entonces que: 12 x2–xc–20c2= (4x+ 5c)(3x–4 c). Por lo tanto, 12(2a–5b) 2–(2a2–5b)c–20c2= [ 4(2a–5b)+ 5c] [ 3(2a–5b)–4c] = (8 a–20b+ 5c)(6a–15b–4c). 4. Factoriza: a4–(3a+ 5) 2 a4

(3 a 5) 2

( a2 ) 2 a2 ( a2

(3 a 5) 2 (3a 5) 3a 5)( a2

a2

(3a 5) 3a 5)

no factorizables.

Analicemos si a2 3a 5 es factorizable. Busquemos dos números enteros que multiplicados den 5 y sumados, 3. L as únicas opciones para que el producto sea 5 son: 1 y 5, –1 y –5. Ninguna 2 de ellas, al sumar los factores, da 3. Por lo tanto, a 3 a 5 no es factorizable en los enteros. Ahora analicemos si a2 3a 5 . Busquemos dos números enteros que multiplicados den –5 y sumados –3. L as únicas opciones para que el producto sea –5 son: 1 y –5, –1 y 5. N inguna de ellas, al sumar los factores, da 3. Por lo tanto, a2 3a 5 no es factorizable en los enteros. 4 2 2 2 En consecuencia la factorización de a (3 a 5) es: ( a 3 a 5)( a 3a 5) . 5. Encuentra todos los valores enteros de k que hacen que el trinomio 3x2+ kx+ 5 sea factorizable en los enteros. Factorizar 3x2+ kx+ 5 significa buscar dos enteros que al multiplicarlos den 15 y al sumarlos den k. L os factores de 15 son: ± 1, ± 3, ± 5, ± 15. L os pares de factores que al multiplicarlos dan 15 son: 1 y 15, –1 y –15, 3 y 5, –3 y –5. Por lo tanto, los valores enteros que puede tomar k para que el polinomio sea factorizable son las sumas de esas combinaciones; es decir, k puede ser: 16, –16, 8 ó –8.

81

Unidad 2

6. Escribe una expresión factorizada para el área sombreada.

Los rectángulos sombreados son iguales.

x+ y

Si los rectángulos son iguales, entonces su base mide:

x

y 2

x+ y

x–y

x–y

2

2

Por lo tanto, el área de la región sombreada es: 2

x

y

( x y) ( x y)( x y) . 2 Otra forma de obtener la expresión para el área es: área del rectángulo completo menos área

de la región en blanco: x(x+ y)–y(x+ y) = (x–y)(x+ y). 7. Se ha construido una jaula en forma de prisma rectangular y con un volumen de (45x2–66x–144) m3. Si se sabe que x es un entero positivo y la altura de la jaula es de 3 m, ¿cuál es el mínimo valor que puede tener como volumen? El volumen de un prisma rectangular es volumen = (área de la base)(altura), por lo tanto factorizando 45x2–66 x–144 obtenemos: 45x2–66 x–144 = 3(15x2–22x–48) = 3(3x–8)(5x+ 6). Para encontrar el mínimo valor que toma su volumen nos apoyaremos en la siguiente tabla.

82

x

(3x–8)(5x+ 6)

signo

1

(3(1)–8)(5(1)+ 6) = –55

negativo

2

(3(2)–8)(5(2)+ 6) = –32

negativo

3

(3(3)–8)(5(3)+ 6) = 21

positivo

ÁLGEBRA

Por lo tanto, el mínimo valor que puede tomar x es 3 y esto implica que el mínimo valor que puede tomar el volumen es 3[ 3(3)–8] [ 5(3)+ 6] = 63 m3. 8. Escribe una expresión factorizada que represente el perímetro del siguiente cuadrilátero. ab

8c

Perímetro = 8b+ ac+ 8c+ ab = 8b+ 8c+ ac+ ab = 8(b+ c)+ a(c+ b) 8b

ac

= (b+ c)(8+ a)

9. Basándote en la figura, demuestra que (a+ b) 2 + (a–b) 2 = 2(a2+ b2).

L a figura es un cuadrado de lado a+ b. L a región 1 es un cuadrado de lado a–b. L a región 2 y la región 4 son cuadrados de lado a. L a región 3 y la región 5 son cuadrados de lado b. Por lo tanto, (a+ b) 2 + (a–b) 2 representa geométricamente el área del cuadrado mayor más el área de la región 1. Po r o t r a p ar t e, 2 ( a 2 + b2 ) r ep r esen t a 1 + = geométricamente el área de la región 2 más el área de (a– b)2 la región 4 más el área de la región 3 más el área de la (a+b)2 3 región 5. 2 a2 b2 a Como en un rompecabezas, coloquemos las + 2 + 4 regiones 2, 3, 4 y 5 dentro del cuadrado mayor. Observa 5 que cuando las regiones 2 y 4 se colocan en la esquina b2 superior izquierda e inferior derecha respectivamente, se traslapan en la región 1. Por tal motivo, su área se debe considerar dos veces. 1 1 Por lo tanto, la factorización de (a+ b) 2 + (a–b) 2 es: 2(a2+ b2).

83

Unidad 2

Ejercicios propuestos 1. El área de un rectángulo es 1 261 m2. Si las medidas de sus dimensiones son números primos, ¿cuánto mide de ancho y cuánto de largo?

2. Determina todos los rectángulos que satisfacen las siguientes condiciones: el área está dada por la expresión 8b2 y la medida de cada uno de sus lados se puede expresar como un monomio con coeficientes enteros (existen 6 posibilidades).

3. Sofía tiene 160 estampas en su colección de escudos y desea acomodarlas de tal manera que su arreglo contenga por lo menos 5 filas y que cada fila tenga el mismo número de estampas. Determina 9 formas distintas de lograrlo.

4. Encuentra el M CD (máximo común divisor) de: a) 36a3b2 , 6b4c , 42a2b2 b) 3x6y2 , 12y4z2 , 6x3y2 c) 18a5(c + b) 2 , 60(c + b) 4a3, 42a2(b + c) 2 5. Escribe una expresión factorizada que represente el perímetro del siguiente cuadrilátero.

axc 2 25xyc 2 25ayc 2

x 2c 2

6. Factoriza (en factores primos) cada una de las siguientes expresiones: a)18 x3 y4 12 xy2 42 x3 y5 z 6 xy3

84

ÁLGEBRA

b) ( 2 x 3)( x 5)( 4 x 8) ( 2 x 3)( 2 x 4)( x 1) c) (5 x 3)4 ( 2 x 1) 2 12 d) 729 x

64 y6

e) ( 2 xy 3 yz)2 f ) 9( 2 ab 4 ac)2 2 g) 48 a

8( 2 xy 3 yz) 16 30 a( 2 ab 4 ac) 25 a2

52 ab 30 b2

7. Encuentra todas las raíces racionales de: 4 a) 2 x

b) x 6

x3

2x 1

6 x4

12 x 2

8

8. L a medida del perímetro de un rectángulo es: 2ab+ 4c+ 4abc+ 2; encuentra una expresión factorizada que represente su área.

9. A una fotografía cuadrada de lado a cm se le ha quitado un cuadrado de área b cm2 en cada esquina; escribe una expresión factorizada que represente el área de la superficie resultante.

10. L a medida del volumen de un prisma rectangular es (a3b3c – 63c2 + 7a2b2 – 9abc3)u3. ¿Cuáles son sus dimensiones?

85

Unidad 2

Autoevaluación 1. Encuentra el máximo común divisor de 36x4 ( x y2 )2 , 10( x y2 )3 x3 , 21x2 ( y2 a) x(x+ y) 2 b) x2(x + y2) 2 c) (x+ y2) 2 d) x2 y2 e) x2(x+ y2) 2. Factoriza (en factores primos) cada una de las siguientes expresiones: i. 18 a3 b3 c4

12 abc2

42 a4 b3 c5

6 abc3

ii. (x–3)(2 x+ 5)(6 x–12)–(x–3)(3x–6)(x+ 12) iii. (x+ 1) 6–(x+ 1) 2 iv. x18–64 y12 v. 25(2x–6 xy) 2+ 60 x2(1–3y)+ 9x2 a) i. abc2(3a2b2c2+ 2–7a2bc3) ii. 3(x–3)(x–2)(3x–2) iii. (x+ 1)(x2+ 2x+ 2)(x+ 2)x iv. (x3+ 2y2) (x3–2y2) v. x(13–30y) 2 b) i. 6abc2(2–7a2bc3) ii. (x–3)(x–2)(3x–2) iii. (x+ 1) 2(2+ x2) iv. N o es factorizable. v. x(13–y) c) i. 6 abc2(3a2b2c2+ 2 –7a3b2c3 –c) ii. 3(x2–5x+ 6)(3x–2) iii. (x+ 1) 2(x2+ 2 x+ 2)(x+ 2) x iv. ( x3+ 2y2)(x3–2y2)(x12+ 4x 6 y4 + 16y8) v. x2(13–30y) 2

86

x)2 .

ÁLGEBRA

d) i. (3a2b2+ 2–7a2)ab2c ii. 3(x–3)(x–2) iii. (x+ 1) 2(x 2 + 2x+ 2)(x+ 2)x iv. (x3+ 2y2) (x12+ 4 x2y4+ 16y8) v. (13–30 y) 2 e) i. abc(18a2 + 12c2–6 a b) ii. 3(x–3)(3x2–8x+ 4) iii. (x+ 1) 2(x2+ 2x+ 2)(x2+ 2x) iv. (x3+ y2) (x3–2y2)(x12+ 4 x2 y4+ 16 y8) v. x2(13+ 30y) 2 3. El área de un rectángulo está dada por 5x2 –17xy+ 14y2 unidades cuadradas. D etermina sus dimensiones si se sabe que éstas son binomios con coeficientes enteros. a) (5x–7y) y (x–2y) unidades. b) (5x–7y) y (x–y) unidades. c) (5x–y) y (x–2y) unidades. d) (5x–7y) y (x+ 2y) unidades. e) (5x+ 7y) y (x–2y) unidades. 4. Encuentra todas las raíces reales diferentes de p(x)= 2 x3–15x2+ 36 x–27 ( factorizar por agrupación). 3 2 3 b) 3 y – 2 3 c) –3 y – 2 3 d) 3 y 2 3 e) 2 y 2

a) –3 y

5. Si el volumen de un prisma rectangular es 40 x4–116x3+ 84x2, sus posibles dimensiones son: a) 4x2, (5x–7) y (2 x–3) unidades. b) 4, (5x2–7x) y (2 x–3) unidades. c) 4, (5x3–7x) y (2 x–3) unidades. d) 4, (5x3–7x2) y (2x3–3x2) unidades. e) 40 x 4 –4 x2(29 x–21) unidades.

87

Unidad 2

Respuestas a los ejercicios h = 8t–5t 2= t(8–5t)

h

0.25

(0.25)(8–5(0.25))

metros 1.69

3. b (2a b+ c + 2ab c)

0.5

(0.5)(8–5(0.5))

2.8

4. Ver la tabla de la derecha.

0.75

(0.75)(8–5(0.75))

3.19

1 1.5

(1)(8–5(1)) (1.5)(8–5(1.5))

3 0.75

2

(2)(8–5(2))

–4

Ej.1

t 3

2

2

1. z (5x y – 10xy + 7) 3

2

2

2. –15(x – y)z[ (x–y)z –4z + 8(x – y) ] 2

2

4

2

Ej.2

1. (a+ 7) (a –7) 2. (xy2 + z)(xy2 – z) 3. (4w4x+ 3w2)(4w4x–3w2) 4. (5w+ (x–y2))(5w–(x–y2)) 5. 95 = 144 – 49 = 122–72 = (12–7)(12+ 7) 6. (2x–4)(2 x+ 22)

Ej.3

1. (a–3)(a2+ 3a+ 9) 2. (x2y – z) (x4 y2 + x2 yz+ z2) 3. [ –2x+ (x–y)] [ 4x2–(–2x)(x–y)+ (x–y) 2] 4. 520= 8+ 512= 23+ 83= (2+ 8)(4–16 + 64)= (10)(52)= (23)(5)(13) 5. 279= 343–64= 73–43 = (7–4)(49+ 28+ 16)= (3)(3)(31)

Ej.4

1. (3x + 2) 2 2. (xy – 4) 2 3. (5x – w2) 2 4. (2c3+ 3ab2) 2 5. El área factorizada es (13 – 4a) 2, por lo tanto, el mínimo valor que puede tener el lado del cuadrado es 1 m, lo que implica que el perímetro mínimo es 4 m.

88

ÁLGEBRA

Ej. 5

1. (x – 4)(x – 8) 2. (x + 9)(x – 15) 3. (x+ 6)(x–7) 4. (x–3)(x–6) 5. El área factorizada es (x+ 11)(x–3), como x es entero positivo lo menos que puede medir el área es 15 u2. 6. (x+ 12) y (x+ 5) unidades.

Ej. 6

1. (3x – 2)(2x – 3) 2. (7x – 4)( 5x + 8) 3. (2 x–3)(3x+ 5) 4. (2a–7) y (5a+ 3) unidades. 5. 3 x+ 5y unidades.

Ej. 7

1. [ (a+ 2)–3b] [ (a+ 2)+ 3b] 2. (2a – c)(b + 2d) 3. [ 4b+ (a+ c)] [ 4b–(a+ c)] = (4b –a –c)(4b + a + c) 4. (2b–c)(3ab+ 2c) 5. (2n+ 5) 2 unidades.

Ej. 8

1. (2z2 – y)(4 z2 + y) 2. (7x–1)(5x+ 2) 3. (6x – 5) (2x – 3) 4. (3x –5y) y (2 x+ y) unidades. 5. N o, porque su factorización no es un binomio al cuadrado.

89

Unidad 2

Ej. 9 5 3 , . 2 2 3 2 3 2 2. L as raíces racionales son: , , , . 2 3 2 3 1 3 3. L as raíces racionales son: –5, , . 2 2 4. L as raíces racionales son: 1, –1, 3, –3.

1. L as raíces racionales son: 1, –1,

5. 2.5 segundos después de ser lanzada.

Ejercicios propuestos

1. 13 m de ancho y 97 m de largo, o viceversa. 2. L as dimensiones de los rectángulos son los factores de los siguientes productos: 2

(1)(8b ); 2(4b2); (8)(b2); (4)(2b2); (8b)(b); (2b)(4b). 3. Cinco filas con 32 estampas cada una. 8 filas con 20 estampas cada una. 10 filas con 16 estampas cada una. 16 filas con 10 estampas cada una. 20 filas con 8 estampas cada una. 32 filas con 5 estampas cada una. 40 filas con 4 estampas cada una. 80 filas con 2 estampas cada una. 160 filas con 1 estampa cada una. 4. a) 6 b2 b) 3y2 c) 6a2(b + c) 2 5. (a + x)(25y + x)c2 6. a) 2xy2(4x2y2 + 6 – 24x2y3z – 3y). b) 2(2 x + 3)(x – 2)(x + 9). c) [ 25x2 – 28x + 10] [ 25x2 – 32x + 8]. d) (3x2 –2y)(3x2+ 2y)(81x8+ 36x4y2+ 16y4). e) (2xy – 3yz – 4) 2. f) a2(6b – 12 c + 5) 2. g) 2(2a + 3b)(12a – 5b).

90

ÁLGEBRA

7. 1 a) L as raíces racionales son: 1 y . 2 b) N o tiene raíces racionales. De hecho, ninguna es real.

8. 2(1 + 2c)(ab + 1) 9. (a – 2b)(a – 2b) 10. L as dimensiones son: (ab – 3c), (ab + 3c) y (7 + abc) unidades.

Autoevaluación

1. b) 2. c) 3. a) 4. d) 5. a)

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