Unidad 2: Variación directamente proporcional y funciones lineales. Presentación. En esta unidad aprenderás el significado de variación entre dos magnitudes, variable dependiente e independiente, razón de cambio entre dos variables relacionadas, representación tabular de la variación directamente proporcional entre dos magnitudes, el patrón gráfico de una variación directamente proporcional, interpretación de los puntos del patrón gráfico como estados de la variación no registrados en una representación tabular, el punto en el origen y la inclinación del gráfico como indicadores esenciales de una variación directamente proporcional. Asimismo, denotarás la expresión = como representación de una variación directamente proporcional, el parámetro como la rapidez de variación o razón de cambio, el parámetro como indicador de la inclinación del gráfico de la variación, como una constante en una variación directamente proporcional. Por otro lado, aprenderás el concepto de función lineal, representación analítica de una función lineal, identificación de los elementos definitorios de una función lineal empleando las representaciones gráfica y analítica como condición inicial y rapidez de variación.

Asignatura Unidad

Matemáticas 1 Unidad 2. Variación directamente proporcional y funciones lineales.

Al finalizar, el alumno: Propósito de la Modelará y analizará situaciones que involucren la variación entre dos cantidades en los casos en que la razón de sus unidad incrementos sean proporcionales; utilizando los registros tabular, gráfico y algebraico, con la finalidad de que se inicie en el estudio de la variación, la idea de relación funcional, sus conceptos asociados y, continúe la comprensión del lenguaje algebraico como la representación de la generalidad.

94

Tema 1

Variación directamente proporcional

Sub-tema 1

Problemas de aplicación para iniciar la unidad.

Aprendizajes

Con estos problemas se pretende que adquieras los conceptos mínimos, como son variación entre dos variables, variable dependiente e independiente, razón de cambio y constante de proporcionalidad.

Planeación Fase planeación

Referencias

de Inicio, intermedio, fin Se te enviará por correo el archivo sobre la actividad que se tratará en la sesión, para que lo trabajes en clase, en equipos de cuatro y consensuen las respuestas solicitadas.  Posteriormente, a manera de tarea extra clase, realizarás actividades prácticas y responderás a las preguntas que se hacen.  Finalmente resolverás ejercicios que garanticen la comprensión de procedimientos y conceptos Miller, Charles D., Heeren, Vern E., Hornsby, John. (2013). Matemática: razonamiento y aplicaciones. (12ª. ed.) México: Pearson. Addison Wesley. 

A continuación se proponen actividades para el logro del aprendizaje de la temática Variación directamente proporcional Objetivo (s) de Se espera que al término de la actividad de aprendizaje, la actividad: adquieras la habilidad para reconocer una relación de variación directamente proporcional, determines la expresión o modelo algebraico de una variación directamente proporcional y resuelvas problemas verbales sobre variación directamente proporcional. Duración de la Tres sesiones de dos horas en el salón de clase. actividad Cuatro horas de trabajo extra clase 95

Recursos y herramientas

 

Pizarrón blanco, plumines y borrador Archivo electrónico

Evaluación



Examen

Desarrollo de la actividad Actividad Objetivo (s) actividad:

de

la Al término de la actividad, deberás ser capaz de: 



Utilizar un registro tabular y un modelo algebraico, para representar una variación directamente proporcional. Resolver problemas

Introducción:



Antecedentes: ¿Qué es razón?

La razón entre dos cantidades es el resultado de compararlas. Dos cantidades pueden compararse de manera aritmética, hallando en cuánto excede una a la otra; es decir, restando una cantidad de la otra.

Por ejemplo: Si la edad de Don Pancho es de 60 años y su hijo Rodolfo tiene 15 años. La comparación aritmética es: 60 – 15 = 45 significa que Don Pancho es 45 años más grande que su hijo.

Asimismo, dos cantidades pueden compararse de manera geométrica, hallando cuántas veces contiene una a la otra; es decir, dividiéndolas entre sí.

Por ejemplo, si se hace la comparación geométrica con los datos del ejemplo anterior;

=

significa que Don Pancho tiene 4 veces la edad de su hijo

Rodolfo. Por otro lado, si se hiciera la comparación como 96

=

significa que la

edad de Rodolfo es la cuarta parte de la edad de su padre.

En este tema, es de interés para nuestro estudio, la comparación o razón geométrica. 

¿Qué es una proporción?

Cuando dos cantidades están en la misma razón geométrica que otras dos, se dice que el primer par está en la misma proporción que el otro par

Por ejemplo:

60 y 15 están en la misma proporción que 20 y 5 porque

=

( ésta última se obtuvo dividiendo entre 3 las dos primeras

que se comparan)

60 y 15 están en la misma proporción que 240 y 60 porque =

( ésta última se obtuvo multiplicando por 4 las dos primeras

que se comparan)



Propiedad fundamental de las proporciones geométricas. En toda proporción

=

entonces

a*d=b*c

En la proporción, a y d son llamados extremos de la proporción. Son llamados medios de la proporción b y c.

La propiedad fundamental de las proporciones establece que: “el producto de los extremos es igual al producto de los medios”. 97

Verificando las proporciones anteriores: =

entonces

(60)(5) = (15)(20) 300 = 300

ambos productos dan 300, lo que comprueba la propiedad.

De igual manera,

=

entonces (

)(

)= (

)(

)

Ambos productos dan como resultado: __________

Variación directamente proporcional.

Recordemos que cantidad constante, es la que tiene un valor fijo y determinado y cantidad variable es la que puede tomar diversos valores; es aquella que varía.

Por ejemplo:

Si un metro de tela cuesta $20.00, el costo de una pieza de tela dependerá del número de metros que se quiera comprar. Si la pieza de tela que quiero comprar es de 4 metros, el costo será de 4 x $20.00 = $80.00

En este ejemplo, el costo de 1 metro de tela que es $20.00 no varía, por lo que esa cantidad es constante. Por otro lado, el número de metros de la pieza de tela que quiero comprar y su correspondiente costo, toman diversos valores, son cantidades variables.

Además, ¿de qué depende el costo de una pieza de tela? Del número de metros que se quiera comprar. Entonces, el costo de la pieza de tela es la variable dependiente. Y el número de metros es la variable independiente.

98

Definición: 

Cuando dos variables relacionadas tienen una variación tal que si una aumenta la otra aumenta en la misma proporción o si una disminuye la otra disminuye en la misma proporción, se dice que la variación entre ellas es directamente proporcional.

La constante de proporcionalidad.

Siguiendo con el ejemplo de la pieza de tela.

Si quisiera comprar 5 m, 9 m, 14 m de tela; el costo sería de $20.00 * 5 = $100.00, $20.00 * 9 = $180.00, $20.00 * 14 = $280.00, respectivamente.

Encontramos que: $100.00/5 = $20.00, $180.00/9 = $20.00, $280.00/14 = $20.00

Lo que nos hace ver que la relación entre las dos variables es directamente proporcional

Ahora, vamos a expresar la situación anterior en términos generales:

Si denotamos con la letra Y al costo de la pieza, con X el número de metros. Entonces, se tendría una expresión como la siguiente:

Y = $20.00 * X

y si despejamos resulta que

…….. (expresión 1)

=$

.

99

Por lo tanto, Y/X es la razón entre las variables y se observa que $20.00 es constante, a ésta cantidad se le llama la constante de proporcionalidad.

Por lo general, a la constante de proporcionalidad se le denota con una k, por lo que la expresión 1, resulta:

Y=k*X

Que es la expresión que denota una variación directamente proporcional y se lee como: “ Y varía directa y proporcionalmente como X”

Ejemplos:

1. La circunferencia C de un círculo de radio r está dada por C = 2r. Se observa que se parece a la expresión Y = k * X. Aquí, C varía directamente como el radio r , y el valor de 2 es la constante de proporcionalidad.

2. El área A de un círculo de radio r está dada por A =  r2. Se observa que A varía directamente como el cuadrado de r, y  es la constante de proporcionalidad. 3. El volumen V de un cubo de lado “a” está dado por V = a3. En este caso, V varía directamente con el cubo del lado a, y la constante de proporcionalidad es 1.

Actividades de aprendizaje Instrucciones:

De manera individual, analiza el problema y contesta lo que se pide. En equipos 100

de 4 alumnos discutan el problema y lleguen a un consenso. De manera grupal discutan la solución del problema.

Situación problemática: Una pipa reparte agua a domicilio y cobra a cada consumidor cierta cantidad de dinero por cada litro suministrado. Completa la siguiente tabla: Litros (L)

250

Costo ($)

900

1500

600

2000

2250

3000 3300

a) ¿Qué criterio usaste para llenar la tabla? _______________________________________________________________ b) ¿Cuál es el costo por litro ___________________________________________________

de

agua?

c) Toma un par de razones y comprueba la propiedad fundamental de las proporciones _____________________________________________ d) ¿Qué valor encontraste para la constante de proporcionalidad? ________________________________ e) ¿Cuál es la variable dependiente? __________________ variable independiente?_____________________________

¿Cuál es la

f) Escribe una expresión o modelo matemático para relacionar la variación proporcional directa entre las dos variables. _________________________

Actividad de refuerzo

La siguiente tabla muestra algunos datos que relacionan el salario devengado y el tiempo en horas laboradas, de un trabajador. 101

Tiempo

40

(Hr) Salario ($)

90

385

660

130

1430

a) Completa la tabla b) ¿Qué procedimiento usaste para llenar la tabla? ___________________________________________________________ c) Si el salario aumenta, ¿qué pasa con el tiempo, aumenta o disminuye? _____________________________________________________________ d) Si el tiempo disminuye, ¿qué pasa con el salario, aumenta o disminuye?___________________________________________________ e) ¿Cuál es el salario del trabajador, por hora trabajada? ______________________________________________________________ f) Comprueba la propiedad fundamental de las proporciones, tomando un par de razones. _______________________________________________ g) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad? _____________________________________ h) ¿Cuál es la variable dependiente? __________________ variable independiente?_____________________________

¿Cuál es la

i) Escribe una expresión o modelo matemático para relacionar la variación proporcional directa entre las dos variables. _________________________

Problema para trabajo extra clase

1. Un tractor, en un camino se mueve a una velocidad constante de 20 km/h. Calcular la distancia que recorre en 20 minutos, 45 minutos, 55 minutos, 1 hr y 10 minutos, 1 hr y 25 minutos, 1 hr y 50 minutos, 2 hr y 15 minutos. Llena la tabla siguiente:

102

Tiempo (t) Distancia (d) Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? _____________________ b) ¿Cuál es la variable dependiente? _______________ ¿Cuál es la variable independiente? ______________________ c) Comprueba la propiedad fundamental de las proporciones. ____________________________________________________ d) Escribe la expresión o modelo matemático que relaciona las dos variables. _____________________________________

Generalización En general, se dice que la variable Y es directamente proporcional a la variable X si: Y=k*X

donde K es una constante, llamada constante de proporcionalidad directa.

Ejemplo 1: Si Y es directamente proporcional a X, y Y = 8 cuando X = 4 ¿cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?

Solución:

Como Y es directamente proporcional a X, entonces Y = k * X

Sustituyendo los valores dados en la expresión Y = k * X, se tiene:

8 = k * 4,

despejando

8/4=k

Por tanto, k = 2 es el valor de la constante de proporcionalidad

103

Resultando la expresión matemática:

Y=2X

Ejemplo 2: La distancia que un objeto recorre al caer, a partir del reposo, es directamente proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. Si un objeto cae 78.48 metros en 4 segundos, ¿cuánto habrá caído al final de 6 segundos? Solución: Si D es la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido. De acuerdo al enunciado dado, es posible escribir la expresión o modelo matemático: 2

D=k*t 2

Despejando k,

k = D / t y sustituyendo los valores iniciales de D= 78.48 m y

t= 4 seg, se tiene: 2

k = 78.48m/ (4 seg)

2

por lo que

k = 4.905 m/ seg

Ahora que ya conocemos la constante de proporcionalidad, se tiene que: 2

D = 4.905 t Ahora respondamos la pregunta cuando

t = 6 segundos: 2

Sustituimos los valores en la expresión: D = 4.905 t 2

2

D = (4.905 m/s )(6seg)

Haciendo operaciones

D = 176.58 m es la distancia recorrida en 6 segundos.

Ejercicio de refuerzo.

Tres personas realizaron un trabajo por el cual cobraron $ 5,737.50. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno, si Hugo trabajó 12 días; Paco trabajó 18 días y Luis trabajó 15 días?

¿Cuáles son las variables? __________________________________________________ 104

¿Cuál es la variable dependiente? ___________________________________ y la variable independiente _______________________________

Escriba la expresión o modelo matemático _______________________________

que relaciona las variables:

¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad? ______________________________________

¿Cuánto cobra cada persona? Paco= _________________

Hugo = ______________ Luis = __________________

Problemas extra clase:

1. El perímetro de un cuadrado varía directamente con su lado. Escriba la ecuación o modelo matemático. 2. El área de un círculo varía directamente como el cuadrado del radio. Escriba la ecuación o modelo matemático. 3. Encuentre la constante de proporcionalidad, cuando s varía directamente como el cuadrado de t, cuando s = 50, t = 10 4. Encuentra la constante de proporcionalidad, cuando y varía directamente como x, cuando y = 15, x = 1/3 5. Encuentra la constante de proporcionalidad, cuando d varía directamente con t, si d = 183, t = 3 105

6. Hugo, Paco y Luis se asocian para iniciar un negocio. Hugo invierte $3,876.00; Paco invierte $ 4,578.00 y Luis invierte $ 2,955.00. Asimismo, quedan de acuerdo en que las utilidades (o las pérdidas) serán repartidas en forma directamente proporcional al capital invertido. ¿Cuánto recibe cada uno si la utilidad generada en el primer año de trabajo fue de $ 28522.50? 7. Según la Ley de Hooke, la fuerza F requerida para mantener estirado un resorte que aumenta x unidades a su longitud, es directamente proporcional a x. Si se necesita una fuerza de 20 kg para que se estire 3 cm. ¿cuál es su estiramiento si se usan 72 kg? 8. El costo C de producir x número de artículos, varía directamente como x. Si cuesta $560.00 producir 70 artículos. ¿Cuál es el costo C cuando se desea producir 400 artículos? 9. Si una pelota rueda por un plano inclinado, la distancia recorrida varía directamente como el cuadrado del tiempo. Si la pelota recorre 12 cm en 2 segundos. ¿qué distancia recorrerá en 3 seg? 10. Se necesita una fuerza de 2.4 kg para estirar un resorte 1.8 cm más de su longitud natural. Aplicando la Ley de Hooke, determinar la fuerza necesaria para que el resorte estire 3 cm más de su longitud natural. 11. El volumen V de una esfera varía directamente como el cubo de su radio r. Si V = 288 cm3, cuando r = 6 cm. Encuentre V, cuando r = 2 cm. 12. La presión en un punto de un líquido es directamente proporcional a la distancia de la superficie del líquido al punto. La presión a una profundidad de 2 pies en un tanque de aceite es de 118 lb/pie2. Determina la presión a una profundidad de 5 pies. 13. El periodo de un péndulo simple, es decir, el tiempo requerido para una oscilación completa, varía directamente con la raíz cuadrada de su longitud. Si el periodo de un péndulo de 60 cm. de longitud es de 1.5 segundos. Determina el periodo de un péndulo de 90 cm.

106

14. Un motociclista acróbata ha efectuado un salto de 150 pies. Su velocidad a la salida de la rampa era de 70 millas/hora. Se sabe que el alcance de un proyectil es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. Si el motociclista puede alcanzar una velocidad de salida de la rampa de 80 millas/hora y mantener el equilibrio adecuado, calcule el alcance posible de tal salto. 15. La policía puede estimar, algunas veces, la velocidad V a la que viajaba un automóvil antes de frenar a partir de la longitud L de las marcas de las llantas sobre el pavimento. Suponga que en una superficie seca la longitud L = 15 m. cuando V = 60 km/h. Suponiendo que la velocidad es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de las marcas, estimar la velocidad, si la longitud de las marcas es de 45 m. 16. El peso umbral W de una persona se define como aquel peso no saludable a partir del cual la mortalidad aumenta significativamente. Para hombres de edad media, este peso es directamente proporcional a la tercera potencia de la estatura. Para un hombre de 1.80 m. de altura, el peso umbral W es de alrededor de 82 kg. Calcular el peso umbral para un individuo de 1.72 m. de altura. 17. La fuerza requerida para mantener comprimido un resorte de metal, reduciendo su longitud natural, es directamente proporcional al cambio de dicha longitud. Si hacen falta 235 kg. para mantener comprimido el resorte, disminuyendo su longitud natural de 18 cm. a 15 cm. ¿qué fuerza se necesita para comprimirlo hasta reducirlo a una longitud de 12 cm?

18. Para un cuerpo que cae libremente a partir del reposo y solo bajo la influencia de la gravedad, el número de metros S que el cuerpo cae es directamente proporcional al cuadrado del tiempo t, medido en segundos. Un cuerpo cae desde una altura de 176.40 m y llega al suelo en 6 segundos. ¿qué cantidad de metros recorrió durante los primeros 3 segundos? 19. La presión P ejercida por cierto líquido en un punto dado varía directamente con la profundidad D del punto, bajo la superficie del líquido. La presión ejercida a una profundidad de 15 m. es de 50 kg. por centímetro cuadrado. ¿qué presión ejerce ese líquido a una profundidad de 25 m.? 107

Tabla y gráfica de una variación directamente proporcional Objetivo (s) de la actividad El alumno al terminar esta actividad, será capaz de graficar una variación directamente proporcional mediante los datos de una tabla, podrá interpretar la información que brinda la gráfica.

Para iniciar esta temática, veamos unos ejemplos.

Ejemplo 1.

Supongamos que un auto va a una velocidad de 80 km por hora y que mantiene esa velocidad constante a lo largo de una autopista. ¿Qué distancia ha recorrido en 20 min, 50 min, 1 hr y 10 min, 1 hr y 15 min, 1 hr y 40 min, 2 hr y 30 min?

Solución.

Conviene escribir el tiempo en función de minutos, para tener mejor claridad y anotar en una tabla esa información. En esta situación problemática, intervienen dos variables: Tiempo (T) y Distancia (D)

Contesta lo que se pide.

a) ¿Cuál es la variable dependiente? _______________ ¿Cuál es la variable independiente? ______________________ b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad? 108

________________________ c) ¿Cuál es la expresión o modelo matemático que involucra las dos variables? _____________________________ d) ¿Con la información anterior es posible llenar la tabla? ______ Llena los datos faltantes de la tabla:

Tiempo (T) Distancia (D)

20 min

50 min

60 min

70 min

75 min

100 min

150 min

80

Con la información obtenida en la tabla, grafica las parejas de puntos en el plano cartesiano siguiente, considerando en el eje X la variable Tiempo (T) y en el eje Y la variable Distancia (D).

109

La información que brinda la gráfica es muy valiosa, ya que al utilizarla se puede determinar en cualquier momento de tiempo la distancia recorrida y viceversa. Por ejemplo, utilizando la gráfica contesta lo siguiente: a) b) c) d) e) f) g)

Distancia recorrida en 30 min: ________ Tiempo que lleva el vehículo en recorrer 40 km: _______ Distancia recorrida en 80 min: __________ Tiempo que lleva el vehículo en recorrer 140 km: _________ Distancia que ha recorrido el vehículo en 5 min: _________ Tiempo que lleva el auto en recorrer 130 km: _____________ Distancia que ha recorrido el auto en 1hr y media: _________

Ejemplo 2. La siguiente gráfica representa el costo de diferentes cantidades de azúcar. En el eje X se representa la cantidad de azúcar en kilos y en el eje Y se representa el costo en pesos.

Contesta lo siguiente: 110

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

¿Cuál es el costo de 3 kg de azúcar? ___________________ Si pago $90.00, ¿cuántos kilos de azúcar me dan? __________ ¿Cuál es el costo de 3.5 kg de azúcar? Si pago $22.50, ¿Cuántos kilos de azúcar recibo? _______________ Si pago $95.00, ¿Cuántos kilo s de azúcar me dan? _____________ ¿Cuánto pago por 4.5 k de azúcar? ___________________ ¿Cuáles son las variables que intervienen en el ejemplo? __________ ¿Cuál es la variable dependiente? ______________________ ¿Cuál es la variable independiente? ___________________ Escribe la expresión o modelo matemático que representa la variación directamente proporcional ______________________________ k) ¿Cuánto pago por 3.750 kg de azúcar? _________________ l) Pagué $32.50, ¿Cuántos kilos de azúcar me dan? _____________

Cierre de la actividad.

Evaluación Objetivo (s) de la actividad Evaluar los conocimientos adquiridos en la temática

Instrucciones. Resuelve los siguientes ejercicios y contesta lo que se pide.

1. Dada la siguiente información, determina si los datos son parte de una variación directamente proporcional y explica tu respuesta. Piezas (núm.) Costo ($)

4

15

23

36

42

50

28

105

161

242

294

350

111

Respuesta: ___________________________________________________

____________________________________________________________

2. Llena la tabla siguiente y contesta lo que se pide. Suponiendo que el peso de una persona es directamente proporcional a su estatura, se tiene la siguiente información.

Peso

70.125

(kg) Estatura (m)

1.60

75.650

1.72

79.475

1.82

1.87

1.93

a)

¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad? ________________________ b) Escribe la expresión o modelo matemático que relaciona las dos variables. ____________________________________ c) ¿Cuál es la variable dependiente? _______________ ¿Cuál es la variable independiente? ______________________ d) Comprueba la propiedad fundamental de las proporciones. ____________________________________________________ 3. El importe del impuesto sobre venta de un auto nuevo es directamente proporcional al precio de venta del auto. Si un auto cuyo costo es de $165,000.00 paga $6,600.00 de impuesto. a) ¿Cuál es el precio de venta de un auto nuevo que tiene un impuesto sobre venta de $8,560.00? b) ¿Cuál es el impuesto sobre venta de un auto nuevo cuyo costo es de $194,500? 112

4. Se asocian tres personas para un negocio e invierten $5,000.00, $7,500.00 y $9,000.00 cada uno. Al cabo de un año han ganado $6,450.00 en ganancia. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno, si hacen un reparto directamente proporcional al capital invertido?

5. Bajo ciertas condiciones, el tiempo t de exposición que se necesita para hacer una ampliación de un negativo varía directamente con el área A de la ampliación. Si toma 12 segundos hacer una ampliación de 3.75 cm x 5.50 cm. a)¿cuánto tiempo tomará hacer una ampliación de 15 cm x 22 cm.? b)¿Cuánto tiempo tardará hacer una ampliación de 26.25 cm x 38.5 cm?

6. Llena la siguiente tabla, considerando que Y varia directamente con X. Determina la expresión o modelo matemático que relaciona ambas variables y realiza la gráfica correspondiente. x y

2

5

8

16

19.2

41.6

Tema 2: Función lineal. Presentación. En este tema comprenderás el significado de razón de cambio estudiada en el tema de variación directamente proporcional, la cual te permitirá ver la relación entre dos cantidades que están cambiando y la relacionarás con la pendiente de una recta, comprenderás el significado de la intersección de la gráfica con el eje y (estado inicial), podrás a partir de un problema dado crear el modelo que lo resuelve, podrás representar dicho modelo en una tabla de valores y podrás representarlos en el plano cartesiano para visualizar la gráfica que lo representa, podrás pasar de cualquiera de las representación a las otras. 113