Unidad 3 Expresiones algebraicas Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: • Realizará las operaciones algebraicas básicas en los polinomios. • Utilizará los productos notables o especiales. • Realizará la factorización de polinomios. • Realizará las operaciones algebraicas básicas en las fracciones algebraicas. • Descompondrá fracciones algebraicas en fracciones parciales. • Aplicará el teorema del binomio en el desarrollo de binomios elevados a la n-esima potencia.

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Introducción

U

na vez estudiadas las propiedades de los distintos conjuntos de números con cierta profundidad nos dedicaremos a estudiar propiedades más generales de todos los números. Para esto, necesitamos usar otra notación; una notación que nos ayude a representar un número, cualquiera que sea. En este capítulo aprenderemos a usar la notación algebraica, como manera de representar cualquier número, y manipularemos expresiones algebraicas con operaciones como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Estudiaremos los métodos para factorizar expresiones algebraicas mediante el uso de los productos notables y utilizaremos la división sintética y las fracciones parciales para dividirlas. También conoceremos qué son y cómo encontrar los radicales y, por último, abordaremos el teorema del binomio.

3.1. Conceptos básicos Un auto de carreras de F1 alcanza velocidades de 350 km/h, esto significa que en: • una hora recorre 350 km • dos horas recorre 700 km • tres horas recorre 1050 km • n horas recorre 350n km La última expresión es una expresión variable; podemos calcular el número de kilómetros recorridos por el auto en función de la variable tiempo. Una expresión matemática que consta de un número o un producto (o cociente) de un número con una variable elevado a un exponente (o con varias variables) se llama término.



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Ejemplos de términos son 7, 5xy y 6x4y3. A la parte numérica de un término se le llama coeficiente. Así, 5x tiene como coeficiente 5. Toda variable elevada a la potencia cero es igual a la unidad, esto es, x =1 0

Si dos términos tienen las mismas variables y éstas los mismos exponentes, entonces los términos se dice que son semejantes. Los términos que son semejantes pueden agruparse en uno solo, sumando los coeficientes de cada uno de ellos. Por ejemplo, los términos semejantes 3x y 4x se pueden agrupar en el término 7x. Otro ejemplo, el término 6x2y se puede sumar con 8x2y pero no con 3x2, porque le falta la variable y al término 3x2 ni con 7xy, ya que la x no tiene el mismo exponente en los dos términos. A los términos 2xy5 y 25x se les conoce con el nombre de monomios. Un monomio es un término formado por un número o la multiplicación de un número y una o más variables, y se representa por M(x). Por ejemplo M(x)=3x o M(x)=–5xy3 son monomios. Cuando un monomio está formado únicamente por un número se le conoce con el nombre de constante. Es una constante el monomio: M(x)=6 El procedimiento para agrupar varios monomios en una sola expresión algebraica es igual a la de los términos; sólo se puede hacer con monomios cuyos términos son semejantes. Para multiplicar dos monomios, primero multiplicamos los coeficientes de ambos términos y después las variables que tengan. Por ejemplo: (6x)(4y)=(6.4)(x)(y)=24xy Si los dos monomios tienen variables en común, entonces estas variables se multiplican siguiendo la ley de los exponentes: xnxm=xn+m



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Si un término se eleva a una potencia, entonces se deben tener presentes: (xn)m=xnm y (xy)n=xnyn Por ejemplo, el producto de los términos 4x2y y 3xy3 es: (4x2y)(3xy3)=12x3y4 Ahora la suma de monomios trae la siguiente definición: Cuando se suman varios monomios no semejantes se tiene un polinomio. Los polinomios se representan por P(x). Un ejemplo de polinomio es 3xy2+2x+4y+5 Cuando se tienen varios términos que forman un polinomio, existe una manera convencional para escribirlos, para esto, necesitamos el concepto de grado. Se conoce como grado de un monomio a la suma de los exponentes de cada variable que tenga el monomio. Las constantes tienen grado cero. Como ejemplo, la expresión 4xy2 tiene grado 3, porque sumando los exponentes se tiene: 1+2=3. También los monomios tienen grado respecto a una variable, y éste es igual al exponente de la variable en el monomio. Así, en el monomio 4xy2 el grado respecto a x es 1 y el grado respecto a y es 2. Nótese que la suma de los grados en todas las variables de un monomio es igual al grado del monomio. De esta manera, cuando se tienen los términos de un polinomio, por convención, se escriben primero los de mayor grado. Cuando se tienen términos de igual grado en las variables se escriben en orden alfabético, si tenemos las variables x, y y z, el orden será primero en x, luego en y, y por último en z. Por ejemplo, el polinomio resultante de sumar los términos 4x2, –3y2, z2, –5xy, 3yz, –x, y, –z y 8 se escribiría como: 4x2–5xy–3y2+3yz+ z2–x+y–z+8



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Existen polinomios que tienen nombres especiales; si el polinomio tiene dos términos, como x2+2, se le conoce como binomio; si tiene tres términos, es un trinomio, como 3x2+4x+5. El grado del polinomio es el mayor de los grados de los términos que lo forman. Así, el grado del polinomio 6x2y+3x+y+2 es 3, porque el término de mayor grado es 6x2y, que tiene grado 3. Cuando se sustituye un número, α, en la variable de un polinomio P(x) obtenemos el valor numérico del polinomio P(α). Por ejemplo, sea P(x)=x2+4x–5. Para x=2 obtenemos: P(2)=22+4(2)–5=7 y para x=3 obtenemos: P(3)=32+4(3)–5=16

3.2. Suma y producto de expresiones algebraicas Los polinomios son anillo, en tanto cumplen sus 11 propiedades respecto a la suma y a la multiplicación que ahora se definen. Para sumar dos polinomios se deben sumar los términos semejantes de cada polinomio. Por ejemplo, para sumar los polinomios: 4x3+5x2y+9xy+8 y 6x3–3x2y+8xy2+12 Al realizar la suma: (4x3+5x2y+9xy+8)+(6x3–3x2y+8xy2+12) primero agrupamos los términos semejantes: (4x3+6x3)+(5x2y –3x2y )+8xy2+9xy+(8+12), después sumamos cada uno de los paréntesis: =10x3+2x2y+8xy2+9xy +20 que es la suma de los polinomios. Y para el producto de dos polinomios se multiplican todos los términos del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio. Por ejemplo, si multiplicamos los polinomios: (x+y) y (3x–4y) 8

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se tiene: (x+y)(3x–4y)=x(3x–4y)+y(3x–4y) realizamos los productos: x(3x–4y)+y(3x–4y)=(x)(3x)+(x)(–4y)+(y)(3x)+(y)(–4y)= 3x2–4xy+3xy–4y2 y sumando los términos semejantes: 3x2–4xy+3xy–4y2=3x2+(–4xy+3xy)–4y2=3x2–xy–4y2 por lo tanto: (x+y)(3x–4y)=3x2–xy–4y2 En el siguiente ejemplo multipliquemos los polinomios (2x–y+3) y (–x+y–2): (2x–y+3)(–x+y–2), distribuimos el segundo entre los términos del primero: –x(2x–y+3)+y(2x–y+3)–2(2x–y+3) desarrollando las multiplicaciones: (–2x2+xy–3x)+(2xy–y2+3y)+(–4x+2y–6) Agrupando los términos semejantes: –2x2+(xy+2xy)–y2+(–3x–4x)+(3y+2y)–6 finalmente, sumándolos se obtiene el polinomio: –2x2+3xy–y2–7x+5y–6 que es el resultado de la multiplicación. Realicemos un ejercicio más elaborado: multipliquemos los polinomios 7x y+5xy+4x+23 y 6x4+3x2y+5y+8: 3

(7x3y+5xy+4x+23)(6x4+3x2y+5y+8). Distribuyamos los términos del primer polinomio en el segundo: 7x3y(6x4+3x2y+5y+8)+5xy(6x4+3x2y+5y+8)+ 4x(6x4+3x2y+5y+8)+23(6x4+3x2y+5y+8) 

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Haciendo las multiplicaciones se llega a: (42x7y+21x5y2+35x3y2+56x3y)+(30x5y+15x3y2+25xy2+40xy)+ (24x5+12x3+20xy+32x)+(138x4+69x2y+125y+184), y agrupando los términos semejantes se tiene: 42x7y+21x5y2+30x5y+24x5+(35x3y2+15x3y2)+138x4+56x3y+ 12x3+69x2y+25xy2+(40xy+20xy)+32x+125y+184 y sumando los términos semejantes se obtiene el polinomio producto: 42x7y+21x5y2+30x5y+24x5+138x4+50x3y2+68x3y+69x2y+25xy2+ 60xy+32x+115y+184 que es el resultado de la multiplicación. Como ejercicios de aplicación de las operaciones suma y producto entre polinomios, a continuación mostraremos que se cumplan algunas propiedades de anillo en los polinomios. • Conmutatividad de la suma para los polinomios 4x2+3x+8 y 3x2+5. Como: (4x2+3x+8)+(3x2+5)=(4x2+3x2)+(3x)+(5+8)=7x2+3x+13 y (3x2+5)+ (4x2+3x+8)=( 3x2+4x2)+(3x)+(8+5)= 7x2+3x+13 tienen el mismo resultado 7x2+3x+13, entonces: (4x2+3x+8)+(3x2+5)= (3x2+5)+ (4x2+3x+8) • Conmutatividad en la multiplicación con los términos 6xy y 3x2. Como (6xy)(3x2)=18x3y y (3x2)(6xy)=18x3y tienen el mismo resultado 18x3y, entonces: (6xy)(3x2)= (3x2)(6xy)

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• Neutro aditivo. El polinomio neutro aditivo es el 0. Tomemos el polinomio 5x3y+5x+6 y sumémosle 0. 5x3y+5x+6+0=5x3y+5x+6 de lo que el anillo de los polinomios tiene al término cero como el neutro aditivo. • La multiplicación se distribuye en la suma. Usemos los términos 3x2y, 5xy y 2xy mostremos que el monomio: 3x2y se distribuye entre la suma: (5xy +2xy) Es decir, mostremos que: (3x2y)(5xy+2xy)=(3x2y)(5xy)+(3x2y)(2xy) En el primer miembro de la ecuación se tiene: 3x2y(5xy+2xy)=(3x2y)(7xy)=21x3y2 y en el segundo miembro se llega a: (3x2y)(5xy)+(3x2y)(2xy)=15x3y2+6x3y2=21x3y2 como los dos resultado son iguales, la propiedad se cumple. • La propiedad distributiva de los polinomios nos va a ser muy útil cuando multipliquemos dos polinomios entre sí. Por ejemplo, multipliquemos los polinomios 2x3y+3xy+5 y 3x2+y+1: (2x3y+3xy+5)(3x2+y+1). Primero distribuyamos el primer polinomio entre los términos del segundo: (2x3y+3xy+5)(3x2)+(2x3y+3xy+5)y+(2x3y+3xy+5)1 Ahora distribuyamos los términos 3x2, y y 1 entre los términos del primer polinomio: (2x3y)(3x2)+(3xy)(3x2)+(5)(3x2)+(2x3y)(y)+(3xy)(y)+(5)(y)+ (2x3y)(1)+(3xy)(1)+(5)(1), 101

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realicemos las operaciones y agrupemos los términos que se pueden sumar: (6x5y)+(9x3y+2x3y)+(2x3y2)+(15x3)+(3xy2)+(3xy)+(5y)+(5), de lo que el resultado queda como: 6x5y+11x3y+2x3y2+15x3+3xy2+3xy+5y+5

Ejercicio 1 1. De los siguientes términos, identifica si son semejantes, y en caso de serlo, súmalos: a) 6xy3 y –4xy3 b) 7x7y3z y –2x7y3z2 c) –3xy4 y 4xy4 2. Verifica que se cumpla la propiedad conmutativa para la suma usando los polinomios 2x3+5x+6 y 4x3+x2+7.

3. ¿Cuál será el elemento neutro bajo la multiplicación? Verifícalo usando el polinomio 2x5+3x4+5x+7.

4. ¿Cuál será el inverso aditivo de un polinomio? Encuentra el inverso aditivo para el polinomio 3x4+6x2–8x+9.

5. Multiplica los polinomios: a) 2x3+5x2+3x+6 y 3x2+x+2 b) 3x2+2x+3 y 5x2+4x+6 c) 4x3+2x+5 y 6x7+5x+2 102

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3.3. Productos notables o especiales Hay productos de polinomios que aparecen constantemente en las matemáticas, por lo que si no se quieren multiplicar los polinomios todas las veces que nos encontremos con ellos, sería bueno que se recordara sólo su resultado. A estos productos se les conoce como productos notables. Los productos notables son multiplicaciones de polinomios de uso frecuente que se pueden verificar mediante la realización de operaciones. Primero deduciremos algunos productos notables y luego se proporcionará una lista con otros más. El primer producto notable que calcularemos es el cuadrado de un binomio: (x+y)2 =(x+y)(x+y) =x(x+y)+y(x+y) =x2+xy+yx+y2 =x2+2xy+y2 Obsérvese que el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. El siguiente producto que mostraremos es el cubo de un binomio: (x+y)3 =(x+y)(x+y)2 =x(x+y)2+y(x+y)2 =x(x2+2xy+y2)+y(x2+2xy+y2) =x3+2x2y+xy2+xy2+2xy2+y3 =x3+3x2y+3xy2+y3 Nótese que el cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. 103

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El producto de (x+y)(x–y), conocido como binomio conjugado, es: ( x + y)( x − y) = x( x + y) − y( x − y) = x 2 + xy − yx − y 2 = x 2 − y2 Otros productos notables importantes son: • (x+y)(x2–xy+y2)=x3+y3 • (x–y)(x2+xy+y2)=x3–y3 • (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd • (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

Ejercicio 2 1. Haciendo todas las operaciones demuestra que se cumplen los cuatro productos notables anteriores.

2. Calcula los siguientes polinomios usando productos notables: a) b) c) d)

(3x–y)3 (3x2–2y)(3x2+2y) (2x–y)(4x2+2xy+y2) (y–1)(y2+y+1)

3.4. Factorización Cuando estudiamos a los números denotamos con el nombre de factor de un número b a todos aquellos que al multiplicarlos por otro factor se obtiene como producto b. De igual manera, para los polinomios se puede definir sus factores de la siguiente manera: 104

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Se denominan factores de un polinomio P(x) a los polinomios Q1(x), Q2(x)...Qn(x) que multiplicados tienen como producto P(x). P(x)= Q1(x)Q2(x)...Qn(x) Por ejemplo, los factores de (x2+6x+8) son (x+2) y (x+4), ya que (x+2)(x+4)=x2+6x+8 Si se suman los grados de los polinomios factores se obtiene el grado del polinomio producto. En el ejemplo anterior, los polinomios factores (x+2) y (x+4) son de primer grado y el polinomio producto (x2+6x+8) es de segundo grado. Véase que los productos notables también se pueden entender como descomposición de factores. En efecto, si se leen de izquierda a derecha dan el resultado de un producto, mas si se leen de derecha a izquierda son la descomposición en factores. Para la descomposición en factores, las herramientas más útiles son la propiedad distributiva de los polinomios y los productos notables. Ilustremos el método de factorizar polinomios mediante algunos ejemplos. Como primer ejemplo, busquemos los factores de 4x2+9y2–z2+12xy. Primero, agrupamos los términos que tienen a las variables x y y: (4x2+12xy+9y2)–z2 que también se puede escribir, utilizando el producto notable del binomio al cuadrado, de la siguiente manera: (2x+3y)2–z2 Ahora se emplea el binomio conjugado para obtener: (2x+3y+z)(2x+3y–z), que es la descomposición en factores de 4x2–9y2–z2+12xy. En un segundo ejemplo encontremos los factores de: x2+4y2+8z2–4xy–9zx+18zy. Primero, notemos que como se cuenta con los cuadrados de x y y, y con el producto xy, entonces los agrupamos por si se pudiera utilizar el binomio al 10

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cuadrado. Además agrupamos los términos que tienen a la variable z para después factorizarla. Entonces acomodamos los términos de la siguiente manera: (x2–4xy+4y2)+(–9zx+18zy)+(8z2) y utilizando el binomio al cuadrado en el primer paréntesis además de la ley distributiva en el segundo, se llega a: (x–2y)2–9z(x–2y)+8z2 Descomponiendo el término [–9z(x–2y)] en [–z(x–2y)–8z(x–2y)] para después aplicar la propiedad distributiva entre los términos [(x–2y)2] y [–z(x–2y)] y entre los términos [–8z(x–2y)] y [8z2] se tiene: (x–2y)2+[–z(x–2y)–8z(x–2y)]+8z2 Agrupando los términos para aplicar la propiedad distributiva: [(x–2y)2–z(x–2y)]+[–8z(x–2y)+8z2] Aplicando la propiedad distributiva: (x–2y)[(x–2y)–z]–8z[(x–2y)–z] Como el término [(x–2y)–z] se tiene en ambos sumandos, entonces se puede aplicar la propiedad distributiva: (x–2y–z)(x–2y–8z), que son los factores de x2+4y2+8z2–4xy–9zx+18zy Un tercer ejercicio es conocer los factores de: x4–16y4+x3–8y3+2x3y–8xy3 Notemos que, en el polinomio, hay una diferencia de cubos (x3–8y3), dos términos a los que se puede factorizar una y, (2x3y–16y4), y dos a los que se les puede factorizar una x, (x4–8xy3), agrupándolos se tiene: (x3–8y3)+(2x3y–16y4)+(x4–8xy3) Ahora, utilizando la propiedad distributiva en los términos que se puede factorizar una x y en los términos que se puede factorizar una y, tenemos: x(x3–8y3)+2y(x3–8y3)+(x3–8y3)

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Como se tiene tres veces el término (x3–8y3) se puede usar la propiedad distributiva: (x3–8y3)(x+2y+1), que usando la diferencia de cubos se puede escribir como: (x–2y)(x2+2xy+4y2)(x+2y+1) y ya se tienen los factores de x4–16y4+x3–8y3+2x3y–8xy3. En un cuarto ejemplo, obtengamos los factores de x2+y2–4z2+2xy+3xz+3yz. Observemos que los términos (x2+y2+2xy) forman un binomio al cuadrado, y que en los términos (3xz+3yz) se puede factorizar (3z), por lo que agrupando para estos fines: (x2+y2+2xy)–4z2+(3xz+3yz) y haciendo las operaciones antes descritas: (x+y)2–4z2+3z(x+y) para factorizar (4z) en [–4z2+3z(x+y)] es necesario escribir a [3z(x+y)] como [4z(x+y)–z(x+y)], entonces: (x+y)2–4z2+[4z(x+y)–z(x+y)] Agrupamos los términos para hacer la factorización: (x+y)2–z(x+y)+[–4z2+4z(x+y)] Hacemos la factorización de (x+y) en los primeros dos términos y de (4z) en los demás: (x+y)[x+y–z]+[4z(x+y–z)] y factorizamos el término [x+y–z] de los dos sumandos: (x+y–z)(x+y+4z), que son los factores buscados. Como último ejemplo, encontremos los factores de x7–2x6+x4–2x3. Nótese que de todos los términos se puede factorizar una x3, de lo que: x3(x4–2x3+x–2) 10

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Ahora, de los términos (–2x3) y (–2) factoricemos (–2) y de los términos (x +x), x, se tiene: 4

x3[x(x3+1)–2(x3+1)] y factorizando (x3+1) se llega a: x3(x3+1)(x–2), pero (x3+1) es una suma de cubos, entonces se puede escribir como: x3(x–2)(x+1)(x2–x+1) que son los factores buscados.

Ejercicio 3 1. Descompón en factores los siguientes polinomios: a) b) c) d) e)

x3y2–x3–xy2+x x4+64 x2+y2–z2+2xy x3–8y3+x2–4y2+2x2y–4y2x x9–y9

3.5. Suma y resta de fracciones algebraicas Así como en los números reales existen los números fraccionarios, en los polinomios existen las fracciones algebraicas. Una fracción algebraica es aquella que se puede escribir como cociente de dos polinomios P(x)/Q(x), donde la única restricción es que Q(x) no sea cero. Por ejemplo

x +3 x2 + 4 x + 5 y son fracciones algebraicas. xy − 4 xy3 + 5 y 2 108

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Ahora definamos la suma y la resta de fracciones algebraicas de la siguiente manera: Sean P(x), Q(x), R(x) y S(x) polinomios, con Q(x) y S(x) distintos de cero, se define la suma (y por ende la resta) de P(x)/Q(x) y R(x)/S(x) como: P( x) R( x) P( x)S( x) + R( x) Q( x) + = Q( x) S( x) Q( x)S( x)

Ahora bien, si en vez de sumar se resta, cambia el signo más (+) por menos (–). Si los denominadores de las fracciones a sumar son iguales, entonces la fórmula se simplifica: P( x) R( x) P( x) + R( x) + = Q ( x) Q ( x) Q ( x)

−6 4 y se tiene: x −3 x −3 4 + (−6) −6 −2 4 + = = x −3 x −3 x −3 x −3

Por ejemplo, si se quiere sumar

Como ejemplo de cuando los denominadores son distintos tenemos la suma de los términos

3x −5 y 2 : 2x − 6 x +1 3 x( x 2 + 1) − 5(2 x − 6) 3x −5 = + 2 2x − 6 x +1 (2 x − 6)( x 2 + 1)

Haciendo las multiplicaciones se obtiene:

3 x 3 + 3 x − 10 x + 30 2 x3 + 2 x − 6 x 2 − 6

y, finalmente, sumando los términos semejantes se obtiene el resultado:

3 x 3 − 7 x + 30 2 x3 − 6 x 2 + 2 x − 6 10

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Otro ejemplo, realicemos la suma entre las fracciones 3 6 y − y2 x x5 + x3 y

x 4 y2 + 4 x 3 y 3 x 7 + y3

x 4 y 2 + 4 x 3 6 y3 − y 2 x ( x 4 y 2 + 4 x 3 )( x 5 + x 3 y) + (6 y3 − y 2 x)(3 x 7 + y3 ) + 5 = 3 x 7 + y3 x + x3 y (3 x 7 + y3 )( x 5 + x 3 y) Haciendo las multiplicaciones de los polinomios: x 4 y 2 + 4 x 3 6 y3 − y 2 x + 5 = 3 x 7 + y3 x + x3 y

( x 9 y 2 + 4 x 8 + x 7 y3 + 4 x 6 y) + (−3 x 8 y 2 + 18 x 7 y3 − xy5 + 6 y 6 ) 3 x12 + 3 x10 y + x 5 y3 + x 3 y 4

y por último, haciendo la suma de polinomios:

x 4 y 2 + 4 x 3 6 y3 − y 2 x + 5 = 3 x 7 + y3 x + x3 y

x 9 y 2 − 3 x 8 y 2 + 4 x 8 + 19 x 7 y3 + 4 x 6 y − xy5 + 6 y 6 3 x12 + 3 x10 y + x 5 y3 + x 3 y 4

3.6. Multiplicación y división de expresiones algebraicas. Simplificación, fracciones parciales y división de fracciones algebraicas. División sintética El producto y el cociente de expresiones algebraicas se define de la siguiente manera: Sean P(x), Q(x), R(x) y S(x) polinomios, con Q(x) y S(x) distintos de cero, el producto de P(x)/Q(x) y R(x)/S(x) es: P( x) R( x) P( x) R( x) ⋅ = Q( x) S( x) Q( x)S( x)

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Y el cociente de P(x)/Q(x) entre R(x)/S(x) es: P( x) R( x) P( x)S( x) ÷ = Q( x) S( x) R( x) Q( x) Cuando se tiene expresiones del tipo P(x)/Q(x) con P(x) y Q(x) polinomios, muchas veces los polinomios P(x) y Q(x) tienen factores en común, esto es, algunos de los factores de P(x) coinciden con los factores de Q(x). Cuando esto sucede la fracción P(x)/Q(x) se puede simplificar, es decir, transformar en otra fracción equivalente cuyo numerador y denominador no tengan factores comunes distintos de ±1. Por ejemplo, la fracción

x 2 + x − 2 y − 2 xy se puede simplificar debido x 2 + x + y + xy

a que los factores del numerador son (x–2y)(x+1) y los del denominador son (x+y)(x+1), que comparten el factor (x+1), de lo que la fracción equivalente es:

x − 2 y x +1 x 2 + x − 2 y − 2 xy x−2y = = 2 x + y x +1 x+ y x + x + y + xy

b b

ga f ga f

La simplificación también se tiene en los números racionales cuando decimos que 2/4 es lo mismo que 1/2. ¿Se puede dividir un polinomio entre otro al igual que en los números racionales? Sí, sólo que es necesario que el polinomio del numerador tenga grado mayor que el del denominador. La división de polinomios se realiza de la misma manera como dividimos números.

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El método lo ilustraremos mediante algunos ejemplos. Dividamos 8x2+11x+7 entre 2x+3: 4x −

1 2 2 2 x + 3 8 x + 11 x + 7

−8 x 2 − 12 x −x +7 3 x+ 2 17 2

Al dividir x3+10 entre x–2 se tiene:

x2 + 2x + 4 x − 2 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 10 − x3 + 2 x2 2x2 + 0x −2 x 2 + 4 x 4 x + 10 −4 x + 8 18

Si el divisor es un binomio de la forma (x–a), entonces existe un método abreviado para encontrar el cociente y el residuo de la división. Este método se llama división sintética. Ilustremos la manera en que se realiza la división sintética usando un ejemplo, dividamos (x2–6x+5) entre (x–3). • Primero los coeficientes se escriben en un renglón y al final del mismo se escribe el número que integra el divisor, con signo contrario, en una | . 3 1 –6 5 | • Se traza una línea por debajo de los coeficientes dejando un renglón de espacio y se baja el primer coeficiente debajo de la línea: 112

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1

–6

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5

3 |

1 • Se multiplica el primer coeficiente que se bajó por el número dentro de las dos líneas de la extrema derecha (3), y el resultado se escribe debajo del segundo coeficiente y se suman. El resultado de esta suma se escribe debajo de la línea dibujada: 3 1 –6 5 | 1

3 –3

• Ahora el resultado de esta suma se multiplica por el número dentro de las dos líneas de la extrema derecha (3) y el resultado se coloca debajo del siguiente coeficiente y se suman: 3 1 –6 5 | 1

3 –3

–9 –4

• Esta última suma da el residuo de la división (–4) y los números anteriores son los coeficientes del polinomio cociente, (x–3), cuyo grado será menor en 1 que el grado del dividendo. De lo que el cociente es el polinomio (x–3) y el residuo es –4. Otro ejemplo, dividamos (2x4–5x3+6x2–4x–105) entre (x+2). • Primero escribamos los coeficientes y las líneas necesarias: –2 2 –5 6 –4 –105 |

• Comencemos con las operaciones necesarias. Se escribe el primer coeficiente debajo de la línea: –2 2 –5 6 –4 –105 | 2 113

Álgebra

superior

• Después se multiplica el primer coeficiente (2) por el número de la extrema derecha (–2) y se escribe debajo del segundo coeficiente. La suma del segundo coeficiente con el producto obtenido se escribe debajo de la línea: –2 2 –5 6 –4 –105 | 2

–4 –9

• Se multiplica el número recién obtenido por el número de la extrema derecha, –2, y se escribe debajo del tercer coeficiente. Se suman y el resultado es: –2 2 –5 6 –4 –105 | 2

–4 –9

18 24

• Desarrollando las operaciones dos veces más se obtiene: –2 2 –5 6 –4 –105 | –4 18 –48 104 2 –9 24 –52 –1 • De lo que el residuo es –1 y el cociente es 2x3–9x2+24x–52. Nótese que el cociente es de grado 3, ya que el dividendo era de grado 4. Cuando faltan términos consecutivos en potencias de x, entonces en la división sintética se colocan ceros en los lugares donde estos términos debieran ir. Por ejemplo, el ejercicio resuelto 4b. Si el grado del polinomio en el numerador es menor que el grado del denominador, entonces la fracción algebraica se puede escribir como una suma de fracciones más simples cuyos denominadores son de la forma (ax2+bx+c)n, siendo n un entero positivo. A este método de obtener fracciones más simples se le conoce como fracciones parciales. Siempre que nos encontremos con un polinomio de grado n en el denominador de las fracciones parciales, propondremos un polinomio de grado n–1 en el numerador de dicha fracción. 114

expresiones

algebraicas

Ilustremos el método de fracciones parciales aplicándolo a unos ejemplos. En el primer ejemplo obtendremos las fracciones más simples con que se 1 . Primero, se obtienen los factores del denominador, x −4 en este caso los factores son (x–2) y (x+2), los cuales son de grado 1. Ahora buscamos polinomios de grado cero A y B tales que:

puede representar

2

A B 1 = + x −4 x−2 x+2 Los denominadores de las fracciones más simples son los factores del denominador del polinomio en cuestión. Para encontrar A y B se suman las dos fracciones simples y se obtiene: A( x + 2) + B( x − 2) 1 = 2 x −4 x2 − 4 Como los dos denominadores son iguales, y las dos fracciones también son iguales, entonces: 2

1=A(x+2)+B(x–2), es decir, 1=(A+B)x+(2A–2B) se igualan los coeficientes de potencias idénticas de x y se resuelven, así: A+B=0 y 2A–2B=1 de lo que: A=1/4 y B=–1/4 Entonces, las fracciones parciales son: 1 1 1 = − 2 x − 4 4( x − 2) 4( x + 2) En el segundo ejemplo, encontremos las fracciones parciales de

x + x2 + x + 2 . Los factores del polinomio x4+3x2+2 son (x2+1) y (x2+2) de x4 + 3x2 + 2 lo que buscamos las siguientes fracciones: 3

11

Álgebra

superior

x 3 + x 2 + x + 2 Ax + B Cx + D + 2 = 2 x4 + 3x2 + 2 x +1 x +2 Nótese que los denominadores son de grado 2 y los numeradores son polinomios de primer grado. Haciendo las operaciones encontramos que:

Ax + B Cx + D ( Ax + B)( x 2 + 2) + (Cx + D)( x 2 + 1) x 3 + x 2 + x + 2 = 4 = + 2 x2 + 1 x +2 x4 + 3x2 + 2 x + 3x2 + 2

de lo que:

x 3 + x 2 + x + 2 = ( A + C) x 3 + ( B + D) x 2 + (2 A + C) x + (2 B + D)

por lo tanto A+C=1, B+D=1, 2A+C=1 y 2B+D=2. Si se resta la primera ecuación a la tercera se obtiene que –A=0, de lo que A=0. Por la primera ecuación se tiene que C=1. Si se resta la segunda a la cuarta se tiene que B=1, ahora usando la segunda ecuación se tiene que D=0. Entonces,

x3 + x 2 + x + 2 1 x = 2 + 2 4 2 x + 3x + 2 x +1 x + 2

3x + 5 . x − x2 − x + 1 Los factores del denominador son (x+1) y (x–1)2. Como uno de los factores del denominador está al cuadrado, (x–1)2, entonces, las fracciones que se proponen para este factor son dos, una para (x–1) y otra para (x –1)2. Si el factor fuese al cubo, entonces tendría tres fracciones parciales, etc. Ahora como (x–1)2 es un polinomio de grado 2, entonces su numerador es de grado uno. Luego las fracciones parciales que buscamos son:

En un tercer ejemplo, encontremos las fracciones parciales de

3

3x + 5 A B Cx + D = + + 2 x − x − x + 1 x + 1 x − 1 ( x − 1)2 3

Haciendo las operaciones tenemos:

A B Cx + D x 2 ( A + B + C) + x(C − 2 A + D) + ( A − B + D) = = + + x + 1 x − 1 ( x − 1)2 x3 − x 2 − x + 1 11

expresiones

algebraicas

3x + 5 x − x2 − x + 1 3

De lo que se tienen las siguientes ecuaciones: • A+B+C=0 • C–2A+D=3 • A–B+D=5 Ahora, tenemos tres ecuaciones y cuatro incógnitas, lo cual no se puede resolver de manera unívoca, por lo que hacemos que una de las constantes valga cero. La constante que se escoge es el coeficiente del término de mayor grado, en este caso C. Con C=0 se tiene: • A+B=0 • D–2A=3 • A–B+D=5 cuya solución es A=1/2, B=–1/2 y D=4. Para obtener la solución primero se suma la primera y la tercera, obteniendo 2A+D=5. Luego se suman las ecuaciones D–2A=3 y 2A+D=5, y se obtiene D=4. Luego, sustituyendo este valor en las otras ecuaciones se obtienen los valores para A y B. Por lo que las fracciones parciales quedan como: 3x + 5 1 1 4 = − + 2 x − x − x + 1 2( x + 1) 2( x − 1) ( x − 1)2 3

Ejercicio 4 1. Encuentra las fracciones parciales de: a)

x x 2 − 3 x − 18

11

Álgebra

b) c)

superior

x3 + x 2 + x + 3 x4 + 4 x2 + 3

x3 + 3 x 2 + 2 x + 5 x 4 + x3 − x − 1

2. Divide los siguientes polinomios a) 6x2+x–2 entre 2x+1 b) x5+3x3+3x+9 entre x–3

3.7. Exponentes fraccionarios. Radicales La noción de exponente, estudiada al principio de esta unidad, se puede extender a los racionales y se define así:

x 1/ n =

n

x

Los exponentes fraccionarios tienen las siguientes propiedades:

x n/ m =

n

xy = m n

m

xn

e x jd y i n

x =

n

nm

x

Si n es un entero positivo donde a y b son tales que an=b, entonces se dice que a es la raíz enésima de b. A la raíz enésima de b se le llama radical y la representamos: n b Por ejemplo, la raíz cuarta de 16 es 2, 16 = 2 , ya que 24=16. La raíz 3 cúbica de –27 es –3, −27 = −3 , ya que (–3)3=27. 4

118

expresiones

algebraicas

Los radicales se pueden sumar únicamente si contienen la misma base y el mismo exponente. Por ejemplo, 2 2 y 5 2 se pueden sumar: 2 2 +5 2

2 se tiene:

aplicando la factorización de

2 (2 + 5)

que es igual a: Por lo tanto:

2 (7) 2 2 + 5 2 = 2 (7)

2 2 −5 2 también se aplica la factorización de 2 : 2 (2 − 5)

para la resta:

que es igual a: por lo que: Pero ninguno de los radicales anteriores se puede sumar con 2 o con 3, ya que no tienen el mismo radical y por tanto éste no se podría factorizar. Usando los radicales se pueden resolver operaciones como 8–2/3. 8 −2 / 3 =

1 8

2 /3

=

1 3

82

=

1 3

64

=

1 4

También los radicales se pueden simplificar, como por ejemplo: 3

27 3 = 8 2

Los radicales se pueden aplicar a los términos de una o más variables por ejemplo: 4 4 4 81 x 8 = 81 x 8 = 3 x 2 Donde se utilizaron las propiedades de los exponentes racionales. 11

Álgebra

superior

3.8. Teorema del binomio Supongamos que se quiere saber de manera rápida y sencilla el resultado de: (x+y)n para cualquier n, ¿existirá un método para obtener este resultado? La respuesta es sí, y se le conoce como teorema del binomio. Sea el binomio (x+y). La potenciación del binomio (x+y) tiene como resultado: (x+y)0=1 (x+y)1=x+y (x+y)2=x2+2xy+y2 (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3 (x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4 (x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5 Si observamos detenidamente los desarrollos podemos enunciar las siguientes regularidades: Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio. 1. El exponente de x en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero, disminuye uno. 2. El exponente de y en el primer término del desarrollo es cero, y en cada término posterior a éste aumenta uno. 3. El coeficiente del primer término del desarrollo es uno y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de x en el primer término del desarrollo. 4. El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de x y dividiendo este producto por el exponente de y más 1. 5. El último término del desarrollo es y elevado al exponente del binomio.

120

expresiones

algebraicas

Los enunciados anteriores constituyen la ley del binomio de Newton, o teorema del binomio, que se cumple para cualquier exponente entero y positivo. Esta ley general se representa por medio de la siguiente fórmula: ( x + y)n = x n + nx n −1 y +

n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3 x y + x y +...+ y n 1⋅2 1⋅ 2 ⋅3

La cual nos permite elevar un binomio a cualquier potencia fácilmente. Por ejemplo, si elevamos (x–2)3 se tiene: ( x − 2)3 = x 3 + 3 x 3−1 (−2) +

3(3 − 1) 3− 2 3(3 − 1)(3 − 2) 3−3 x (−2)2 + x (−2)3 = 1⋅2 1⋅ 2 ⋅3

x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8

Otro ejemplo, (x+2y)5 es igual a:

5(5 − 1) 5− 2 5(5 − 1)(5 − 2) 5−3 x (2 y)2 + x (2 y)3 + 1⋅2 1⋅ 2 ⋅3 5(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3) 5− 4 5(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4) 5−5 x (2 y)4 + x (2 y)5 = 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4 ⋅5

b x + 2 yg

5

= x 5 + 5 x 5−1 (2 y) +

x 5 + 10 x 4 y + 40 x 3 y 2 + 80 x 2 y3 + 80 xy 4 + 32 y5

Los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar utilizando el triángulo de Pascal:

121

Álgebra

superior

El modo de formar el triángulo es el siguiente: • En la primera fila horizontal se pone 1. • En la segunda fila se pone 1 y 1. • Desde la tercera fila en adelante se empieza por 1 y cada número posterior al 1 se obtiene sumando, de la fila anterior, los dos números que lo flanquean. Por ejemplo, el 36 de la última fila se formó sumando 8 más 28 que son los dos números que están sobre el 36 de la fila anterior. • Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los números que se hallan en la fila horizontal en que después del 1 está el exponente del binomio. Así, los coeficientes del desarrollo de (x+y)4 son los números que están en la fila horizontal en que después del 1 está el 4, o sea, 1, 4, 6, 4, 1. En un primer ejemplo encontremos (x–2)3, calculado antes con la fórmula general, utilizando el triángulo de Pascal. Los coeficientes para el desarrollo al cubo de un binomio se obtienen en la fila que después del 1 está el 3, y son: 1, 3, 3, 1. Ahora sustituyendo estos números en el desarrollo del binomio se tiene: (x–2)3=(1)x3+(3)x2(–2)+(3)x(–2)2+1(–2)3 que es igual a: x3–6x2+12x–8 y coincide con el resultado calculado con anterioridad. Como un segundo ejemplo, desarrollamos el binomio (x3–2y2)6 usando el triángulo de Pascal, primero tenemos que obtener los coeficientes al desarrollo (x+y)6. Para esto observamos en la fila horizontal que después del 1 está el 6. Los números con los que nos encontramos son 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Ahora sustituimos estos números en el desarrollo del binomio y se tiene:

dx

3

− 2 y2

i

6

= (1)( x 3 )6 + (6)( x 3 )6 −1 (−2 y) + (15)( x 3 )6 − 2 (−2 y)2 +

(20)( x 3 )6 −3 (−2 y)3 + (15)( x 3 )6 − 4 (−2 y)4 + (6)( x 3 )6 −5 (−2 y)5 + (1)( x 3 )6 − 6 (−2 y)6 = x18 − 12 x 15 y + 60 x 12 y 2 − 160 x 9 y3 + 240 x 6 y 4 − 192 x 3 y5 + 64 y 6

Considerando los términos del desarrollo: 122

expresiones

( x + y)n = x n + nx n −1 y +

algebraicas

n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3 x y + x y +... 1⋅2 1⋅ 2 ⋅3

observamos que cumple con: • El numerador del coeficiente de un término cualquiera es un producto que empieza por el exponente del binomio; cada factor posterior a éste es 1 menos que el anterior y hay tantos factores como términos preceden al término de que se trate. • El denominador del coeficiente de un término cualquiera es una factorial de igual número de factores que el numerador. • El exponente de x en un término cualquiera es el exponente del binomio disminuido en el número de términos que preceden a dicho término. • El exponente de y en un término cualquiera es igual al número de términos que lo preceden. De acuerdo con las observaciones anteriores, vamos a hallar el término que ocupa el lugar r en el desarrollo de (x+y)n. Al término r lo preceden r–1 términos. Entonces: 1. El numerador del coeficiente del término r es n(n–1)(n–2) hasta que haya r–1 factores. 2. El denominador es una factorial 1.2.3... que tiene r–1 factores. 3. El exponente de x es el exponente del binomio n menos r–1, es decir, n–(r–1). 4. El exponente de y es r–1. 5. Por tanto tendremos que el término que se encuentra en el lugar r es: tr =

n(n − 1)(n − 2)... hasta r − 1 factores n −( r −1) r −1 x y (1)(2)(3)... ( r − 1)

A esta fórmula se le conoce como término general. La fórmula del término general que establecimos nos permite hallar directamente un término cualquiera del desarrollo de un binomio sin hallar los términos anteriores. Por ejemplo, encontremos el 5º término del desarrollo de (3x+y)7. Con r=5 tenemos: 123

Álgebra

t5 =

superior

(7)(6)(5)(4) (7)(5) (3 x)7 −(5−1) y(5−1) = (3 x)3 y 4 = 945 x 3 y 4 . (1)(2)(3)(4) 1

Ejercicio 5 1. Encuentra el valor de los siguientes radicales: a)

5

32 x 10

b) (625)3/4 c) (225/9)–1/2 d) [(121)(256)]1/2 2. Encuentra las siguientes potenciaciones: a) (2x+y3)5 por binomio de Newton. b) (3/4–x)8 por triángulo de Pascal. c) (1+y)12 por binomio de Newton. 3. Encuentra los coeficientes correspondientes al desarrollo del binomio (x+y)15 con el triángulo de Pascal.

4. Encuentra los siguientes términos: a) El término 6º de (x+2)8 b) El término 3º de (x–3y)12 c) El término 4º de (x2+y)6

En la siguiente unidad del libro continuaremos nuestro estudio de los polinomios y sus propiedades. 124

expresiones

algebraicas

Problemas resueltos 1. Verificar la propiedad conmutativa para la multiplicación usando los polinomios 2x4+3x–1 y 4x3–2x2+3. Respuesta (2x4+3x–1)(4x3–2x2+3)=(2x4)(4x3–2x2+3)+(3x)(4x3–2x2+3)–1(4x3–2x2+3) =(8x7–4x6+6x4)+(12x4–6x3+9x)+(–4x3+2x2–3) =8x7–4x6+18x4–10x3+2x2+9x–3 =(8x7+12x4–4x3)–(4x6+6x3–2x2)+(6x4+9x–3) =(4x3)(2x4+3x–1)–(2x2)(2x4+3x–1)+(3)(2x4+3x–1) =(4x3–2x2+3)(2x4+3x–1) 2. Por medio de operaciones demuestra que se cumplen los siguientes productos notables: a) (x–y)2=x2–2xy+y2 b) (x–y)(x3+x2y+xy2+y3)=x4–y4 Respuestas a) (x–y)2=(x–y)(x-y) = x(x–y)–y(x–y) = x2–xy–yx+y2 = x2–2xy+y2 b) (x–y)(x3+x2y+xy2+y3)= x(x3+x2y+xy2+y3)–y(x3+x2y+xy2+y3) =(x4+x3y+x2y2+xy3)+(–x3y–x2y2–xy3–y4) =x4+(x3y –x3y)+(x2y2–x2y2)+(xy3–xy3)–y4 =x4–y4 3. Encuentra la descomposición en factores de los polinomios: a) 9x4–24x2y+16y2 b) x3+3x2–5xy+2y2–y3 12

Álgebra

superior

Respuestas a) ¡Este polinomio es un trinomio cuadrado perfecto! Es igual a (3x2–4y)2 b) x3+3x2–5xy+2y2–y3=(x3–y3)+(3x2–5xy+2y2) =(x–y)(x2+xy+y2)+(x–y)(3x–2y) =(x–y)(x2+xy+y2+3x–2y) 4. Encuentra las siguientes divisiones: a) 12x4–2x3+4x–2 entre 4x–2 b) x6+3x5–x3+5x2+4 entre x–1 Respuestas a)

3 x3 + x 2 +

1 5 x+ 2 4 4 3 2 4 x − 2 12 x − 2 x + 0 x + 4 x − 2 −12 x 4 + 6 x 3

4 x3 + 0 x 2

−4 x 3 + 2 x 2

2 x2 + 4 x

−2 x 2 + x 5x − 2 5 −5 x + 2 1 2

12

expresiones

algebraicas

b) 1

3 1 4

1

0 4 4

–1 4 3

5 3 8

0 8 8

1 |

4 8 12

El polinomio cociente es: x5+4x4+4x3+3x2+8x+8 y el residuo es 12. 5. Encuentra las potenciaciones:

F x + 2I GH 3 y JK a) d x + yi b) 4

6

Respuestas

F x 2 I F x I F x I F 2 I 4 ⋅ 3 FG x IJ F 2 I a) G + J = 1G J + 4G J G J + H 3 y K H 3 K H 3 K H y K 1 ⋅ 2 H 3 K GH y JK 4 ⋅3⋅ 2 F xI F 2I 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 F 2 I + J G G J 1 ⋅ 2 ⋅ 3 H 3 K H yK 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 GH y JK 4

4

1

b)

3

2

3

x 4 8 x 3 8 x 2 32 x 1 16 + + + + 4 81 27 y 3 y 2 3 y3 y

d

x+

i = dx i 6

1/ 2 6

+

4

=

y

2

d i d y i + 16⋅⋅25 d x i d y i

+ 6 x1/ 2

5

1/ 2

1/ 2 4

6 ⋅ 5 ⋅ 4 1/ 2 3 1/ 2 3 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 1/ 2 2 1/ 2 4 + x y x y + 1⋅ 2 ⋅3 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1/ 2 1 1/ 2 5 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 1/ 2 6 + x y y = 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4 ⋅5 1 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ 4 ⋅5⋅ 6

d id i d id i

d id i d i

1/ 2 2

+

x 3 + 6 x 5/ 2 y1 / 2 + 15 x 2 y + 20 x 3 / 2 y3 / 2 + 15 xy 2 + 6 x 1 / 2 y5/ 2 + y3

12

Álgebra

superior

Problemas propuestos 1. Verifica la propiedad distributiva para el producto de polinomios usando el polinomio 7x5+11x4+3x2+1 y la suma de polinomios [(x7+x3+2x–4)+(3x4– 2x3–5)]. 2. Calcula los siguientes polinomios usando productos notables: a) (x2y–y2)3 b) (z–x)(x2+xz+z2) c) (x–1)3(x+1)3 3. Obtén las fracciones parciales de: 2 a) 4 x + 13 x − 9 x3 + 2 x 2 − 3 x

b)

x 2 − x − 21 2 x3 − x 2 + 8 x − 4

4. Encuentra el valor de los radicales: a) (–27)2/3

FG x IJ H 4K 6

b)

−3 / 2

5. Encuentra los términos: a) 8º de (4–2x2)9 b) 5º de (1+y)7

128

expresiones

algebraicas

Autoevaluación 1. La propiedad de los polinomios que nos permite afirmar que (9x +3x+4)(4x7+3x4+2)= (4x7+3x4+2) (9x2+3x+4) es la: 2

a) b) c) d)

Transitividad de la suma. Conmutatividad de la multiplicación. Asociatividad de la suma. Cerradura de la multiplicación.

2. El inverso aditivo de 2x2–3x+1 es: a) –2x2+3x–1 b)

1 2 x − 3x + 1 2

−1 2 x − 3x + 1 d) –2x2–3x–1

c)

2

3. El producto (4x+6)(3x4+11x2+3x–1) es: a) b) c) d)

12x5+18x4+44x3+78x2+22x+6 30x4110x2+30x–10 30x4110x2–30x+10 12x5+18x4+44x3+78x2+14x–6

4. El polinomio x3–y3 es igual a: a) b) c) d)

x3+3x2y+3xy2+y3 (x+y)(x2+xy+y2) x3–3x2y+3xy2–y3 (x–y)(x2+xy+y2) 12

Álgebra

superior

5. Los factores de 8z4–27z7 son: a) b) c) d)

z(2z–3z2)(4z2–6z3+9z4) z(2z+3z2)(4z2–6z3+9z4) z4(2–3z)(4+6z+9z2) z4(2+3z)(4+6z+9z2)

6. Las fracciones parciales de a) b) c) d)

x 2 − x − 21 son: 2 x3 − x 2 + 8 x − 4

3x 1 −5 + + 2 2x −1 2x −1 x + 4

−5 3x 1 + 2 + x − 4 x − 4 2x −1 2

−5 3x 1 + 2 + x + 4 x + 4 2x −1 2

3x 1 −5 + + 2 2x −1 2x −1 x − 4

7. El residuo de dividir x4+8x3+x–6 entre x+3 es: a) b) c) d)

–144 –132 –48 –36

8. El valor de (1–2x)5 es: a) b) c) d)

1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5 1–5x+10x2–10x3+5x4–x5 1+5x+10x2+10x3+5x4+x5 1–10x+40x2–80x3+80x4–32x5

130

expresiones

9. El noveno término de a)

495 18 x 6

b)

495 16 x 4

c) − d) −

algebraicas

FG x − 1 IJ H 2 xK

12

495 16 x 4 495 18 x 6

10. El valor de (–64/8)2/3 es: a) b) c) d)

4 –4 2 –2

131

es:

Álgebra

superior

Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. a) Sí son semejantes y la suma es: 6xy3+(–4xy3)=2xy3 b) Los términos 7x7y3z y –2x7y3z2 no son semejantes, porque el exponente de z en uno de ellos es 1 y mientras que en el otro es 2.0 c) Sí son semejantes y la suma es: –3xy4+4xy4=xy4 2. (2x3+5x+6)+(4x3+x2+7)=6x3+x2+5x+13= (4x3+x2+7)+ (2x3+5x+6). 3. El elemento neutro será el 1. Por ejemplo: (2x5+3x4+5x+7)1=2x5+3x4+5x+7 4. El inverso aditivo de un polinomio se encuentra cambiando el signo a todos los monomios que lo integran. El inverso aditivo de 3x4+6x2–8x+9 es –3x4–6x2+8x–9, ya que 3x4+6x2–8x+9–3x4–6x2+8x–9=3x4–3x4+6x2–6x2+8x–8x+9–9=0 5. a) (2x3+5x2+3x+6)(3x2+x+2)= (3x2) (2x3+5x2+3x+6)+x(2x3+5x2+3x+6)+ 2(2x3+5x2+3x+6)= (6x5+15x4+9x3+18x2)+(2x4+5x3+3x2+6x)+(4x3+10x2+6x+12) Agrupando: 6x5+(15x4+2x4)+(9x3+5x3+4x3)+(18x2+3x2+10x2)+(6x+6x)+12= 6x5+17x4+18x3+31x2+12x+12 b) (3x2+2x+3)(5x2+4x+6)= (5x2)(3x2+2x+3)+(4x)(3x2+2x+3)+6(3x2+2x+3)= (15x4+10x3+15x2)+(12x3+8x2+12x)+(18x2+12x+18) Agrupando: 15x4+(10x3+12x3)+(15x2+8x2+18x2)+(12x+12x)+18= 15x4+22x3+41x2+24x+18 132

expresiones

algebraicas

c) (4x3+2x+5)(6x7+5x+2)= (6x7)(4x3+2x+5)+(5x)(4x3+2x+5)+2(4x3+2x+5)= (24x10+12x8+30x7)+(20x4+10x2+25x)+(8x3+4x+10) Agrupando: 24x10+12x8+30x7+20x4+8x3+10x2+(25x+4x)+10= 24x10+12x8+30x7+20x4+8x3+10x2+29x+10 Ejercicio 2 1. (x+y)(x2–xy+y2)=x(x2–xy+y2)+y(x2–xy+y2)= (x3–x2y+xy2)+(x2y–xy2+y3)= x3+(x2y –x2y)+(xy2–xy2)+y3=x3+y3 (x–y)(x2+xy+y2)= x(x2+xy+y2)–y(x2+xy+y2)= (x3+x2y+xy2)+(–x2y–xy2–y3)= x3+(x2y –x2y)+(xy2–xy2)–y3=x3–y3 (ax+b)(cx+d)=cx(ax+b)+d(ax+b)= (acx2+bcx)+(adx+bd)= acx2+(adx+bcx)+bd= acx2+(ad+bc)x+bd (x+y+z)2=(x+y+z)(x+y+z)= x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z) = (x2+xy+xz)+(xy+y2+yz)+(xz+yz+z2)= x2+(xy+xy)+(xz+xz)+y2+(yz +yz)+z2= x2+2xy+2xz+y2+2yz+ z2= x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz 2. a) Usando el cubo de un binomio: (3x–y)3=(3x)3+3(3x)2(–y)+3(3x)(–y)2+(–y)3=27x3–27x2y+9xy2–y3

133

Álgebra

superior

b) Usando el binomio conjugado: (3x2–2y)(3x2+2y)=(3x2)2–(2y)2=9x4–4y2 c) Usando el binomio al cuadrado y luego el binomio conjugado: (2x–y)(4x2+2xy+y2)=(2x–y)(2x+y)2= (2x–y)(2x+y)(2x+y)=[(2x)2–(y)2](2x+y)= (4x2–y2)(2x+y)=(2x)(4x2–y2)+y(4x2–y2)=8x3+4x2y–2xy2+–y3 d) Usando diferencia de cubos: (y–1)(y2+y+1)=(y)3–(1)3=y3–1 Ejercicio 3 1. a) Factorizando y2 a los términos x3y2 y –xy2, se tiene: y2(x3–x)– x3+x Factorizando –1 a los dos últimos términos: y2(x3–x)– 1(x3–x) Ahora factorizando (x3–x) tenemos: (y2–1)(x3–x), que son los factores de x3y2–x3–xy2+x. b) Sumando y restando 16x2 se completa el binomio al cuadrado: x4+64= x4+64+16x2–16x2=(x2+8)2–16x2 Ahora 16x2 se puede escribir como (4x)2, por lo que (x2+8)2–(4x)2 Y ahora tenemos una diferencia de cuadrados que es igual al binomio conjugado: (x2+8–4x)(x2+8+4x), que son los factores buscados. c) Los términos se pueden escribir como un binomio al cuadrado y como una variable al cuadrado de la siguiente manera: (x+y)(x+y)–(z)(z) Sumándole un cero de la forma z(x+y)–z(x+y) se tiene: (x+y)(x+y)–(z)(z)+z(x+y)–z(x+y) 134

expresiones

algebraicas

Ahora, factorizando (x+y) a los términos (x+y)(x+y) y z(x+y), y factorizando –z a los restantes se tiene: (x+y)(x+y+z)–z(x+y+z). Factorizando (x+y+z) a los dos términos anteriores se llega a: (x+y+z)(x+y–z), que son los factores de x2+y2–z2+2xy. d) Se tiene una diferencia de cubos, x3–8y3, y una diferencia de cuadrados, x2–4y2, que se pueden escribir como (x–2y)[x2+2xy+(2y)2] y (x+2y)(x–2y). Si nos fijamos, las dos factorizaciones tienen el binomio (x–2y); tratemos de factorizarlo de los dos términos restantes: 2x2y y –4y2x. Factorizando (2yx) de los términos 2x2y y –4y2x, se tiene: 2x2y–4y2x=(2xy)(x–2y). Por lo que: x3–8y3+x2–4y2+2x2y–4y2x= (x–2y)[x2+2xy+(2y)2]+(x+2y)(x–2y)+(2xy)(x–2y) Factorizando (x–2y) se llega a: (x–2y)[x2+2xy+(2y)2+(x+2y)+(2xy)], que sumando los términos semejantes se puede escribir como: (x–2y)[x2+4xy+(2y)2+(x+2y)] y agrupando el binomio al cuadrado se tiene: (x–2y)[(x+2y)2+(x+2y)]. Factorizando (x+2y) se llega a (x–2y)(x+2y)(x+2y+1), que son los factores buscados. e) x9–y9 se puede escribir como (x3)3–(y3)3, que es una diferencia de cubos. Por lo que x9–y9=(x3–y3)(x6+x3y3+y6). Desarrollando la diferencia de cubos se llega a: (x–y)(x2+xy+y2)(x6+x3y3+y6), que son los factores de x9–y9. Ejercicio 4 1. a)

x x A B Ax − 6 A + Bx + 3 B = = + = ( x + 3)( x − 6) x − 3 x − 18 ( x + 3)( x − 6) x + 3 x − 6 2

Por tanto se llega al sistema de ecuaciones: 13

Álgebra

superior

A+B=1 y –6A+3B=0 Multiplicando la primera ecuación por 6 y sumándole la segunda se tiene: 9B=6 Por tanto: B=2/3 Usando la primera ecuación para despejar a A se obtiene A=1/3, por tanto las fracciones parciales que se buscaban son: x 1 2 = + 2 x − 3 x − 18 3( x + 3) 3( x − 6)

b)

x3 + x 2 + x + 3 x3 + x 2 + x + 3 Ax + B Cx + D = + 2 = 2 = 4 2 2 2 ( x + 3)( x + 1) x + 4x + 3 x +3 x +1

Ax 3 + Ax + Bx 2 + B + Cx 3 + 3Cx + Dx 2 + 3 D ( x 2 + 3)( x 2 + 1)

por lo que se obtiene el sistema de ecuaciones: A+C=1, B+D=1, A+3C=1 y B+3D=3. Restando la primera a la tercera y la segunda a la cuarta se tiene: 2C=0 y 2D=2, de lo que: C=0 y D=1. Ahora, de la primera se tiene que A=1 y de la segunda se infiere que B=0. Por lo que las fracciones parciales que se buscaban son: x3 + x 2 + x + 3 x 1 = 2 + 2 4 2 x + 4x + 3 x +3 x +1 c)

x3 + 3 x 2 + 2 x + 5 x3 + 3 x 2 + 2 x + 5 = = x 4 + x3 − x − 1 x + 1 x − 1 ( x 2 + x + 1)

a

fa

f

A B Cx + D + + 2 = ( x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1)

Ax 3 − A + Bx 3 + 2 Bx 2 + 2 Bx + B + Cx 3 − Cx + Dx 2 − D x + 1 x − 1 ( x 2 + x + 1)

a

fa

f

13

expresiones

algebraicas

por lo que se llega al sistema de ecuaciones: A+B+C=1, 2B+D=3, –C+2B=2 y B–A–D=5. Sumando la segunda y la cuarta tenemos: 3B=8 o B=8/3. Usando la segunda ecuación se llega a: D=–7/3. Y despejando a C de la tercera ecuación obtenemos C=10/3. Ahora, con ayuda de la primera ecuación, se obtiene A=–5. Por lo que las fracciones parciales que se buscaban son: x3 + 3 x 2 + 2 x + 5 5 8 10 x − 7 =− + + 4 3 x + 1 3( x − 1) 3( x 2 + x + 1) x + x − x −1

a

f

3x − 1 2 x + 1 6 x2 + x − 2

2. a)

−6 x 2 − 3 x −2 x − 2 +2 x + 1 −1

b) 1

1

0

3

0

3

9

3

9

36

108

333

3

12

36

111

342

3 |

El polinomio cociente es x4+3x3+12x2+36x+111 y el residuo es 342. Ejercicio 5 1. a)

5

32 x 10 = 5 2 5 x 10 = 2 5

b g

b) 625

5

3/ 4

=

e

4

625

5

x 10 = 2 x 2

j =e 5 j 3

4

4

3

13

= 53 = 125

Álgebra

−1 / 2

FG IJ H K

c) 225 9

1 = 225 9

= 2

a121fb256g a11f a14f

1/ 2

d)

2 2

2

2

1 2

225 2

=

superior

2 2

9

225

=

3 15

9

= 2 121 256 = 121

a fb g

256 =

2

2

= (11)(14) = 154

2. a) Usando el binomio de Newton: 5 5⋅ 4 5 4 2 x + y3 = 2 x + 5 2 x y3 + 2x 1⋅2

i a f a fd i

d

5⋅ 4 ⋅3 2x 1⋅ 2 ⋅3

a f dy i

3 3

2

+

5⋅ 4 ⋅3 ⋅ 2 2x 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4

a f dy i

a f dy i 1

3 4

+

3

3 2

+

5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 3 y 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4 ⋅5

d i

5

32 x 5 + 80 x 4 y3 + 80 x 3 y 6 + 40 x 2 y 9 + 10 xy12 + y15

=

b) Usando el triángulo de Pascal:

FG 3 − xIJ = a1fFG 3 IJ + a8fFG 3 IJ a− xf + a28fFG 3 IJ a− xf + b56gFG 3 IJ a− xf + H 4 K H 4K H 4K H 4K H 4K a70fFGH 34 IJK a− xf + b56gFGH 34 IJK a− xf + a28fFGH 34 IJK a− xf + a8fFGH 34 IJK a− xf + a1fa− xf 8

4

8

4

7

3

6

1

2

5

6

5

2

1

7

3

8

=

6561 2187 x 5103 x 2 1701 x 3 2835 x 4 189 x 5 63 x 6 − + − + − + − 6 x7 + x8 65536 2048 1024 128 128 8 4 c) Usando el binomio de Newton: 12 ⋅ 11 10 2 12 ⋅ 11 ⋅ 10 9 3 12 12 1 + y = 1 + 12(1)11 ( y) + (1) ( y) + (1) ( y) + 1⋅2 1⋅ 2 ⋅3 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 8 4 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 7 5 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 6 6 (1) ( y) + (1) ( y) + (1) ( y) + 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4 ⋅5 1 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ 4 ⋅5⋅ 6 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 5 7 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 4 8 (1) ( y) + (1) ( y) + 1 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ 4 ⋅5⋅ 6 ⋅7 1 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ 4 ⋅5⋅ 6 ⋅7 ⋅8

b

g af

138

expresiones

algebraicas

12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 3 9 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 2 10 (1) ( y) + (1) ( y) + 1 ⋅ 2 ⋅3 ⋅ 4 ⋅5⋅ 6 ⋅7 ⋅8 ⋅ 9 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1 11 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 12 (1) ( y) + ( y) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 11 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 11 ⋅ 12

= 1 + 12 y + 66 y 2 + 220 y3 + 495 y 4 + 792 y5 + 924 y 6 + 792 y7 + 495 y8 + 220 y 9 + 66 y10 + 12 y11 + y12

3. La fila tiene los coeficientes 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10 y 1. 4. a) t 6 = b) t3 = c) t3 =

8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 8−(6 −1) (6 −1) x 2 = 1792 x 3 1⋅ 2 ⋅3⋅ 4 ⋅5 12 ⋅ 11 12 −(3−1) x −3 y 1 x2

(3 −1)

= 594 x 10 y 2

(3 −1)

= 594 x 10 y 2

b g

12 ⋅ 11 12 −(3−1) x −3 y 1 x2

b g

Respuestas a los problemas propuestos 2. a) x6y3–3x4y4+3x2y5–y6 b) z3–x3 c) y6–3y4+3y2–1 3. a) b)

3 2 −1 + + x x +3 x −1

−5 3x 1 + 2 + x + 4 x + 4 2x −1 2

13

Álgebra

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4. a) 9 b)

8 x9

5. a) –442368x14 b) 35y4

Respuestas a la autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

b) a) d) d) b) c) a) d) b) a)

140