UNIDAD

5

EXPRESIÓN ALGEBRAICA  na expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones maU temáticas.

ejemplo Expresión escrita

Expresión algebraica

La suma de dos números menos dos

x+y-2

El triple de un número más cinco

3?x+5

El cuadrado de un número más una unidad

x2 + 1

3 Escribe estos enunciados como expresión algebraica.

a) El doble de un número b. b) El doble de la suma de dos números m y n. c) El cuadrado de un número x más 4 unidades.

ADAPTACIÓN CURRICULAR



d) El producto de tres números a, b y c. e) El doble de un número y más 3 unidades.

4 Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.

a) El doble de un número más dos unidades.

x-5

b) Un número disminuido en cinco unidades.

x 3

c) La tercera parte de un número.

2?x+2

d) El cubo de un número.

x + 10

e) El doble de un número.

2x

f) Un número aumentado en diez unidades.

x3

g) La diferencia de dos números.

x+1

h) El número siguiente a un número entero.

x-y

5 Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico. LENGUAJE USUAL

LENGUAJE ALGEBRAICO

Los años que tenía el año pasado Los años que tendrá dentro de un año La edad que tenía hace 5 años La edad que tendrá dentro de 5 años Los años que faltan para que cumpla 70 años ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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EXPRESAR DE FORMA ALGEBRAICA CIERTAS SITUACIONES 6 Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.

a) n + 1 

" 

b) a + b 

" 

b   2

" 

c)

d) 2 ? (m - n) "  e) x 3 - 1 

" 

f) 2 ? x + 1 

" 

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA  l valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números E y realizar las operaciones que se indican.

ejemplo Halla el valor numérico de la expresión algebraica 3x + 2 para x = 1. Sustituimos x por 1 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones: x = 1  "  3 ? 1 + 2 = 3 + 2 = 5 El valor numérico de 3x + 2, para x = 1, es 5.

7 Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2x + 1 para estos valores: VALOR

x=0

SUSTITUCIÓN

OPERACIÓN

VALOR NUMÉRICO

2?0+1

2?0+1=0+1

1

x=2 x = -1 x = -2

8 Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican. VALORES

x = 1

y=0

x+y

2x - 3y

(x + y)2

1+0=1

2?1-3?0=

(1 + 0)2 = 12 =

x = -1 y = 2 x = 1

y = -2

x = -2 y = 3 x = -1 y = -1

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OBJETIVO 2

DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS

UNIDAD

5

MONOMIOS  n monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números U se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

Monomio

3x

-5ab

-5x 3

3 x 5

Coeficiente

3

-5

-5

3 5

Parte literal

x

ab

x3

x

ADAPTACIÓN CURRICULAR

ejemplo

1 Completa las tablas. MONOMIO

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

MONOMIO

x

1

x

2 2 a b 3

-3xy

-3

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

-2xyz

-5xy 2

-3b 2c

1 2 x y 3

-

5 xyz 2 7

GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.

ejemplo MONOMIO

GRADO

EXPLICACIÓN

-3x

1

El exponente de x es 1 (x 1)

4a 2y

3

La suma de los exponentes de a 2y 1 es 2 + 1 = 3

-5x 2y 3

5

La suma de los exponentes de x 2y 3 es 2 + 3 = 5

2 Calcula el grado de los siguientes monomios.

a) -5x 2 "  Grado =

d) zx 2 "  Grado =

b) 7x 2y "  Grado =

e) -yx "  Grado =

2 5 a b "  Grado = 3

f) -x "  Grado =

c)

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DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS 3 Completa la siguiente tabla: MONOMIO

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

GRADO

-3x

-3

x

1

-2a 3b -2ab xyz 7ab 2c 3 6y 2z

MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

ejemplo 5x; 2x son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (x). 3xy 2; -xy 2 son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (xy 2). x 2y 3; xy 2 no son monomios semejantes. 4 Escribe dos monomios semejantes para cada monomio. MONOMIO

MONOMIOS SEMEJANTES

-5x -ab -2yx 3 -3y 2z 3 2 2 a b 3 5xy

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS •  La suma y resta de monomios solo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. •  Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

ejemplo 2x + x = (2 + 1)x = 3x 2x + y  "  La suma se deja indicada, porque no son monomios semejantes.

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UNIDAD

5

5 Realiza las siguientes operaciones.

a) a + a + a + a =

d) 5x - 3x - x =

b) 2x 2 + x 2 + x 2 =

e) -5x 3 - 3x 3 =

c) 5mn - mn - 4mn =

f) p - 2p + 5p =

6 Completa los huecos con monomios semejantes y calcula.

b)

+

=

c) 2x 3 +

+ 5p +

=

d)

= + 2xy +

=

7 Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula.

a) 7x -

c) 5pq -

= - x 2 =

b)

= - 4x 2y =

d)

ADAPTACIÓN CURRICULAR

a) 2x +

8 Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

6x 2  -  2x 2  +  4x  -  x

"

"

a) 6x 2 + 4x - 2x 2 - x Sumamos y restamos los monomios semejantes y calculamos el resultado:

4x 2  + 3x b) 5x 2 - 2x + 3x 2 - x = c) ab - ab + 7ab + 4ab - 2ab = d) 3ab 3 - 2ab + 5ab 3 - ab + 4ab = e) -10xy - 5xy + 2xy + 4x - 8y + 2y + 2x =

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales.

ejemplo 3x ? 2x = (3 ? 2) ? x ? x = 6x 2                            4x ? (-2x 2) = [4 ? (-2)] ? x ? x 2 = -8x 3

9 Realiza estas multiplicaciones.

a) 4a ? 3a =

c) -2x ? (-5x) =

e) m ? m 2 =

b) 3x 2 ? 3x 2 =

d) 3x 2 ? (-3x 2 ) =

f)

2 3 x ? x2 = 3 5

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DISTINGUIR Y OPERAR CON MONOMIOS 10 Calcula y reduce.

a) 4x ? (2x - 5) = 4x ? 2x - 4x ? 5 = 4 ? 2 ? x ? x - 4 ? 5 ? x = 8x 2 - 20x b) 3 ? (2x + 3x 2) = c) 2a ? (4a 3 - 3a 2) = d) (3 - ab + ab 2) ? 2a = e) 2 ? (x 2 + 3x) - 2x = f) -3x ? (x 3 - 2x + 4) - 12x = g) -x 3 ? (-5x + 4 - 3x 2 - 10x) = 1 h) - x ? (-x 4 + 3x - 2x) + x 2 = 3

DIVISIÓN DE MONOMIOS  l cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes E y cuya parte literal es el cociente de las partes literales.

ejemplo 6x : 2x =

10 x 3 6x 6 x 2 = ? = 3 ? 1 = 3                      10x 3 : (-5x) = - 5 ? x = - 2x 2x 2 x

11 Resuelve estas divisiones de monomios.

a) 8x 3 : 2x =

d) a 4 : a 2 =

b) (-12x 5) : (-12x  4) =

e) (-14y   4) : (-2y   2) =

c) 20m 4 : 15m 3 =

f) (-20z 5) : 4z 4 =

12 Efectúa las siguientes operaciones.

a) (7x 5 : 2x) + x = b) (6x 7 : x 3) - (5x : x) = c) (8a 2b : 4ab) + b 2 = d) 3x (x + 1) - (4x 2 : x) = e) (12a 3b 2 : 3a 2b) - b = f) 3 ? (4xy 2 : 2xy ) - 2y = g) 2x ? [(-2y 2x 3) : (-x 2y)] + x (x - 1) =

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OBJETIVO 3

IDENTIFICAR Y OPERAR CON POLINOMIOS

UNIDAD

NOMBRE:

CURSO:

5

FECHA:

POLINOMIOS Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes. •  Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio. •  Los términos que no tienen parte literal se denominan términos independientes.

ejemplo POLINOMIO

TÉRMINOS

TÉRMINO INDEPENDIENTE

GRADO DEL POLINOMIO

2x 3 - 3x - 1

2x 3;  -3x;  -1

-1

3, que es el grado de 2x 3

-2xy + 9

-2xy;  9

9

2, que es el grado de -2xy

-5x

-5x

No tiene

1, que es el grado de -5x

ADAPTACIÓN CURRICULAR

•  El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

1 Completa esta tabla:

POLINOMIO

TÉRMINOS

TÉRMINO INDEPENDIENTE

GRADO DEL POLINOMIO

-2x 3 + 3x - 5 5ab - 5ax 2b x 3 - 2x 2 - x - 3 6x - 7 5xy - 2y 2 2 a b+1 3 3xy + 5xy 2 2 Escribe un polinomio de grado 3 que tenga un término, otro con dos términos y un tercero

con tres términos.

3 Indica el grado de los siguientes polinomios.

a) -x + 3x 2  "  Grado = 2

b) x y - 3x  "  Grado =

c) 2x 5 - x 4

"  Grado = 3

d) -5x - x - 8  "  Grado =

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IDENTIFICAR Y OPERAR CON POLINOMIOS 4 Halla el valor numérico del polinomio x 2 - 2x + 1 para los valores que se indican. VALOR

VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO

x =0

0  2 - 2 ? 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

x =1 x = -2

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS  ara sumar polinomios se suman los monomios semejantes. Para restarla se suma al primero el polinomio P opuesto del segundo.

ejemplo A (x) = 2x 2 + 5 B(x) = x 3 - 5x 2 - 2x + 3 A(x) + B(x) = (2x 2 + 5) + (x 3 - 5x 2 - 2x + 3) =

x3 - 2x 2 - 2x + 5 + 3   x - 5x 2 - 2x + 3 x 3 - 3x 2 - 2x + 8

= x 3 - 3x 2 - 2x + 8



A(x) - B (x) = (2x 2 + 5) - (x 3 - 5x 2 - 2x + 3) =

= 2x 2 + 5 - x 3 + 5x 2 + 2x - 3 =



= -x 3 + 7x 2 + 2x + 2

x3 - 2x 2 - 2x + 5 + 3 Opuesto " -x + 5x 2 + 2x - 3 -x 3 + 7x 2 + 2x + 2

5 Dados los polinomios A (x) = 6x 2 - 8x + 1 y B (x) = -9x 2 - 2x + 7, calcula.

a) A (x) + B (x)

b)  A (x) - B(x)

c)  B(x) - A(x)

6 Dados los polinomios A (x ) = x 3 - 3x + 2, B (x) = -2x 2 + 7x y C(x) = -x 3 - 2, calcula.

a) A(x) + B (x) + C (x)

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b)  A(x) + B (x) - C (x)

c)  A(x) - B(x) - C (x)

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UNIDAD

5

7 Escribe los siguientes polinomios de forma reducida.

P (x ) = 3x 3 + 2x 2 - 5x 3 + 4x 2 - 7x + 2x 3 Q(x ) = -4x 2 - 5x 3 + 2x 2 - 6x + 2x 2 + 5x 3 - 1 R(x ) = 2x 4 - 6x 3 + 4x + 2x 2 - 3x 3 + 8x - 2 P (x) = 3x 3 + 2x 2 - 5x 3 + 4x 2 - 7x + 2x 3 = 3x 3 - 5x 3 + 2x 3 + 2x 2 + 4x 2 - 7x = 6x 2 - 7x

8 Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula. ADAPTACIÓN CURRICULAR

a)  P(x ) + Q (x)                b)  Q(x) + R(x)                c)  Q (x) - R (x)                d)  P(x) - Q(x)

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS  ara calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada P monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios semejantes.

ejemplo

A(x) = x 3 - 5x 2 - 2x + 1      



B(x) = 2x 2 + 3x

x 3 - 5x 2 - 2x + 1 #                    2x 2 + 3x 3x 4 - 15x 3 - 6x 2 + 3x 2x 5 - 10x 4 - 24x 3 + 2x 2 + 3

A (x) ? B (x)  " 2x 5 - 27x 4 - 19x 3 - 4x 2 + 3x

9 Dados los polinomios A (x ) = -4x 3 + 6x 2 - 8x + 1 y B(x ) = 2x 2 - 7, calcula.

a)  A(x ) ? B (x )              b)  B(x) ? 3x                    c)  A(x) ? x                        d)  B(x) ? (-3x )

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OBJETIVO 2

RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

•  Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente. •  Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente.

ejemplo Resuelve la ecuación x - 4 = 10. Sumamos 4 en ambos miembros 

" x - 4 + 4 = 10 + 4 x = 14

Resuelve la ecuación x + 2x = 4 + 2x + 5. Restamos 2x en ambos miembros  " x + 2x - 2x = 4 + 2x - 2x + 5 x + 2x - 2x = 4 + 5 x + 2x - 2x = 9 Resuelve la ecuación 3x = 12. Dividimos ambos miembros entre 3  Resuelve la ecuación

5x = 10. 4

3x

12

" 3 = 3   "  x = 4 5x

Multiplicamos por 4 ambos miembros 

" 4  ? 4 = 10 ? 4  "  5 x = 40

Dividimos ambos miembros entre 5 

" 5 = 5   "  x = 8

5x

40

1 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x = 15

d) 2x + 6 = 20 + 6 + x

b) x + 6 = 14

e) 2x + 4 = 16

c) -10 = -x + 3

f) -4x - 4 = -20 - x

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UNIDAD

6

2 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2x - 5 = 3

d) -x - 4 = 10

b) x = -15 - 4x

e) 2x + 7 = x + 14

c) x - 10 = 2x - 4

f) 3x + 8 = 12 - x

Resuelve la ecuación 2(x - 4) - (6 + x) = 3x - 4. Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos: 1.º Eliminamos paréntesis.

2x - 8 - 6 - x = 3x - 4

2.º Agrupamos términos.

•  Agrupamos los términos con

- 8 - 6 = 3x - 4 -2x + x

x en el segundo miembro.

•  Agrupamos los términos numéricos



ADAPTACIÓN CURRICULAR

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARéNTESIS

- 8 - 6 + 4 = 3x - 2x + x

en el primer miembro.

3.º Reducimos términos semejantes. 4.º Despejamos x y hallamos la solución.

-10 = 2x - 10 2x = " -5 = x 2 2

3 Resuelve estas ecuaciones.

a) 4 - x = 2x + 3x - 5x

d) 3x + 8 - 5(x + 1) = 2(x + 6) - 7x

b) -10 - x + 3x = 2x + 4x + 2

e) 5(x - 1) - 6x = 3x - 9

c) 2x - 9 = 3x - 17

f) 3(3x + 1) - (x - 1) = 6(x + 10)

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RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO 4 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2(x - 5) = 3(x + 1) - 3

d) 3(x + 2) + 4(2x + 1) = 11x - 2(x + 6)

b) 4(x - 2) + 1 = 5(x + 1) - 3x

e) 5(x - 4) + 30 = 4(x + 6)

c) 3(x - 3) = 5(x - 1) - 6x

f) 5(2 - x) + 3(x + 6) = 10 - 4(6 + 2x)

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES Resuelve la ecuación 

2x - 1 x-3 3x - 7 = + . 3 2 4

Para resolver una ecuación con denominadores es conveniente seguir estos pasos: m.c.m. (3, 2, 4) = 3 ? 22 = 12

1.º  Eliminamos denominadores.

    12 ?



2.º  Eliminamos paréntesis. 3.º  Agrupamos términos. •  Agrupamos los términos con x en el segundo miembro. •  Agrupamos los términos numéricos en el primer miembro. 4.º  Reducimos términos semejantes. 5.º  Despejamos x y hallamos la solución.

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x-3 3x - 7 2x - 1 = 12 ? + 12 ? 2 4 3

4(2x - 1) = 6(x - 3) + 3(3x - 7) 8x - 4 = 6x - 18 + 9x - 21

-4 = 6x - 18 + 9x + 18 + 21 = 6x + 9x - 8x -4

35 = 7x 7x 35 =  " x = 5 7 7

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UNIDAD

6

a)

x-1 12 - 2x x-2 = 4 5 5

f)

x-2 x-3 x-4 + + = 10 2 3 4

b)

3x - 7 2x - 3 x-1 = 12 6 8

g)

x-4 x+3 x-6 x-7 + = 1+ 5 6 3 2

c)

x+4 x-4 3x - 1 = 2+ 3 5 15

h) 2 e

d) 5 -

e)

x-2 x-3 = 4+ 4 2

x x x x + + + = 30 2 3 4 6

x 2x + 5o = +4 3 4

i)

x-3 5 (x + 3) = 26 12

j)

- 7 (x + 3) 3 (x + 5) + =4 4 10

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ADAPTACIÓN CURRICULAR

5 Halla la solución de estas ecuaciones.

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OBJETIVO 3

RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde: •  a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo a fi 0. •  ax 2  "  término cuadrático      bx  "  término lineal      c  "  término independiente •  x es la incógnita.

1 Escribe la expresión general de estas ecuaciones de segundo grado.

a) (x - 1)(x + 4) = 1 " x 2 + 4x - x - 4 = 1 " x 2 + 3x - 4 - 1 = 0 " x 2 + 3x - 5 = 0 b) 2x(3x + 5) = -1 + 4x c) x - 5x 2 + 8 = -3x 2 - x - 3 2 Identifica los coeficientes de las ecuaciones de segundo grado del ejercicio anterior.

a) x 2 + 3x - 5 = 0 " a = 1, b = 3, c = -5

c)

b)

d)

FÓRMULA GENERAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula:

ax 2 + bx + c = 0 " x =

-b !

b 2 - 4ac 2a

x1 =

x2 =

-b +

b 2 - 4ac 2a

-b -

b 2 - 4ac 2a

ejemplo Resuelve la ecuación de segundo grado x 2 + 5x + 6 = 0. - 5 ! 52 - 4 ? 1 ? 6 - 5 ! 25 - 24 -5 ! x= = = 2 ?1 2 2

1

-5 + 1 -4 = =-2 2 2 -5 - 1 -6 x2 = = =-3 2 2 x1 =

Sustituyendo los valores -2 y -3 en la ecuación x 2 + 5x + 6 = 0, se comprueba que la cumplen: (-2)2 + 5 ? (-2) + 6 = 0  "  4 - 10 + 6 = 0  "  10 - 10 = 0  "  0 = 0 (-3)2 + 5 ? (-3) + 6 = 0  "  9 - 15 + 6 = 0  "  15 - 15 = 0  "  0 = 0

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UNIDAD

6

a) x 2 + 4x + 3 = 0

d) 7x 2 + 21x = 28

b) x 2 - 6x + 8 = 0

e) 3x 2 + 6 = -9x

c) 2x 2 - 5x - 7 = 0

f) (2x - 4)(x - 1) = 2

ADAPTACIÓN CURRICULAR

3 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.

4 Resuelve las ecuaciones y comprueba que las soluciones verifican la ecuación.

a) x 2 + 2x - 8 = 0

b) 3x 2 - 6x - 9 = 0

c) 2x 2 - 7x + 3 = 0

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193 11/07/11 13:42

RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ECUACIONES DEL TIPO ax 2 + c = 0 Las ecuaciones de la forma ax 2 + c = 0 se consideran ecuaciones de segundo grado. Son ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde b = 0. Para resolverlas se sigue este proceso: ax 2 + c = 0 " ax 2 = -c " x 2 =

-c " x =! a

•  Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas: x 1 = +

-c a

-c a y x2 =-

-c a

•  Si el radicando es negativo, no hay solución.

ejemplo 2x 2 - 32 = 0 " 2x 2 = 32 " x 2 =

x1 = 4 32 " x 2 = 16 " x = ! 16 " ) x = -4 2 2

3x 2 + 75 = 0 " 3x 2 = -75 " x 2 =

- 75 " x 2 = -25 " x = ! - 25 " No tiene solución 3

5 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 7x 2 - 28 = 0

c) 5x 2 = 45

b) 5x 2 - 180 = 0

d) 18x 2 - 72 = 0

6 Indica por qué no tienen solución estas ecuaciones.

a) x 2 + 4 = 0

d) 3(x 2 + x) = 3x - 12

b) 2x 2 = -18

e)

1 2 3 x + =0 2 4

c) 9x 2 - 5x + 18 = -18 - 5x

f)

x2 + 7 =2 3

194 277995 _ 0174-0203.indd 194

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UNIDAD

6

ECUACIONES DEL TIPO ax 2 + bx = 0 Las ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0 se consideran ecuaciones de segundo grado. Son ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0, donde c = 0. Para resolverlas se sigue este proceso:

Z ]] x1 = 0 -b [ ax 2 + bx = 0  x (ax + b) = 0 " " ] ax + b = 0 " x2 = a \ Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas. Factor común x

ejemplo x1 = 0 x - 12 = 0 " x2 = 12

Z ]] x1 = 0 2x + 5x = 0 " x (2x + 5) = 0 " [ -5 ] 2x + 5 = 0 " 2x = -5 " x2 =  2 \ 2

7 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 5x 2 + 5x = 0

c) 6x 2 = 30x

b) 2x 2 - 8x = 0

d) -5x 2 + 20x = 0

ADAPTACIÓN CURRICULAR

x 2 - 12x = 0 " x (x - 12) = 0 " )

8 Halla la solución de estas ecuaciones.

a) 25x 2 - 100x = 0

d) -4x 2 + 16x = 0

b) 5x - 4x 2 = 0

e) x (x - 3) + 8 = 4(x + 2)

c) x - x 2 = 0

f)

x (x - 1) 2x 2 + 3 = 2 3

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OBJETIVO 4

RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para resolver un problema utilizando ecuaciones de primer grado es conveniente seguir estos pasos: 1.º  Identificamos la incógnita. Es necesario distinguir los datos conocidos y el dato desconocido, es decir, la incógnita. 2.º  Planteamos la ecuación. Hay que expresar las condiciones del enunciado en forma   de ecuación: la correspondencia entre los datos y la incógnita. 3.º  Resolvemos de la ecuación. Se obtiene el valor de la incógnita resolviendo la ecuación. 4.º  Comprobamos e interpretamos la solución. Se debe comprobar si la solución verifica   el enunciado e interpretar la solución en el contexto del problema.

ejemplo Ana tiene 2 € más que Berta, Berta tiene 2 € más que Eva y Eva tiene 2 € más que Luisa. Entre las cuatro amigas tienen 48 €. Calcula la cantidad de dinero que tiene cada una. 1.º Identificamos la incógnita. Tomamos como dato desconocido el dinero que tiene Luisa. 2.º  Planteamos la ecuación. Dinero de Luisa "  x Las restantes cantidades de dinero las escribimos en función de x: Dinero de Eva "  2 € más que Luisa "  x + 2 Dinero de Berta "  2 € más que Eva "  (x + 2) + 2 = x + 4   2 € más que Berta Dinero de Ana " "  (x + 4) + 2 = x + 6 Escribimos la condición de que la suma de las cantidades es 48 €. x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48 3.º  Resolvemos la ecuación. x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48  "  4x + 12 = 48  "  4x = 48 - 12 36 "  4x = 36  "  x = 4 = 9  "  Luisa tiene 9 €.

Eva tiene: 9 + 2 = 11 €          Berta tiene: 9 + 4 = 13 €           Ana tiene: 9 + 6 = 15 €

4.º  Comprobamos e interpretamos la solución. Las cantidades que tienen las amigas: 9, 11, 13 y 15 € cumplen las condiciones del enunciado. 9 + 11 + 13 + 15 = 48

1 La suma de tres números consecutivos es 30. Hállalos.

2 La suma de un número, su doble y su triple es 66. ¿Cuál es el número?

196 277995 _ 0174-0203.indd 196

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IDENTIFICAR LA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD ENTRE DOS MAGNITUDES Razón entre dos números o cantidades a Una razón es el cociente indicado entre dos números, a y b, que se pueden comparar: b 2,5 4 10 ; , ; mientras que en una fracción En una razón, los números pueden ser cualesquiera: 5 3,5 25 2 4 10 los números son enteros: , , 5 3 25

Proporción Si igualamos dos razones, obtenemos una proporción. a c = es una proporción. b d Términos de una proporción

a, d se llaman extremos b, c se llaman medios

Lectura de las proporciones a c = se lee: La proporción b d

a es a b como c es a d

La proporción

3 9 = se lee: 4 12

3 es a 4 como 9   es a 12

Ejemplo N.º DE Sacos Peso (kg)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

Formamos las siguientes razones y observamos que: 1 2 3 4 5 10 = 0,1 = 0,1 = 0,1 = 0,1 = 0,1 = 0,1 10 20 30 40 50 100 Son una serie de razones iguales. Su valor es el mismo: 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = = = = = = = = = = 0,1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 •  Este valor es constante y es el mismo en todas las proporciones. •  Se llama constante de proporcionalidad.

8 Indica los extremos y los medios de estas proporciones. Proporción

Se lee

Extremos

Medios

4 16 = 7 28 1 3 = 8 24 3 6 = 10 20

246 277995 _ 0232-0261.indd 246

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UNIDAD

9 Observa la siguiente tabla de valores.

3

9

18

27

36

45

54

1

3

6

9

12

15

18

8

a) Comprueba si forman una serie de razones iguales. b) Halla el valor de cada proporción. c) ¿Es el mismo en todas las proporciones? ¿Cómo se llama ese valor?

10 Dadas estas series de razones iguales, añade tres razones e indica la constante

de proporcionalidad. a)

3 6 = = 5 10

b)

6 12 = = 15 30

= =

=



=



c)

10 20 = = 8 16

d)

5 15 = = 8 24

= =

= =

11 Un quiosco vende las gominolas solo de una forma: 3 bolsas que cuestan 2 € ADAPTACIÓN CURRICULAR

a) Forma una tabla de proporcionalidad para 6, 9, 12, 15 y 18 bolsas de gominolas. b) Escribe tres parejas de razones iguales. c) Indica la constante de proporcionalidad.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES •  La suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a la constante   de proporcionalidad. a c e a+c+e 1 2 3 4 1+2+3+4 10 = = = =k = = = = = = 0,5 2 b d f b+d+f 4 6 8 2+4+6+8 20 •  En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. (Recuerda el concepto de fracciones equivalentes y los productos cruzados.) a c = b d

F a ? d = b ? c           

1 2 = 2 4

F 1 ? 4 = 2 ? 2           

3 4 = 6 8

F3?8 = 6?4

12 En las siguientes series de razones iguales, comprueba que la suma de los antecedentes dividida

entre la suma de los consecuentes es igual a la constante de proporcionalidad. a)

1 2 3 4 5 = = = = 4 8 12 16 20



Constante de proporcionalidad =

b)

.................

8 16 32 48 80 = = = = 2 24 8 12 20 Constante de proporcionalidad =

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................. 247 11/07/11 13:44

OBJETIVO 2

RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES •  Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:     – Al aumentar una cantidad el doble, el triple..., la otra también aumenta el doble, el triple...     – Al disminuir una cantidad la mitad, la tercera parte..., la otra también disminuye la mitad, la tercera parte... •  La razón entre dos cantidades es siempre la misma y se llama constante de proporcionalidad.

ejemplo Un cupón de lotería cuesta 2 €, dos cupones 4 €, 3 cupones 6 €... •  Distinguimos dos magnitudes: número de cupones y precio.     – Al aumentar el número de cupones, aumenta su precio.     – Al disminuir el número de cupones, también disminuye su precio.     – Son magnitudes directamente proporcionales: N.º de cupones

1

2

3

4

5

6

Precio (€)

2

4

6

8

10

12

•  Observamos las razones de las proporciones: 1 2 3 5 4 6 = = 0,5 = = 0,5 = = 0,5 2 4 6 10 8 12

G

? 2

:2

G

1 2 3 4 5 6 = = = = = = 0,5 2 4 6 8 10 12

    La constante de proporcionalidad es siempre la misma: 0,5. Son series de razones iguales   y forman fracciones equivalentes. •  Multiplicando o dividiendo por el mismo número obtenemos valores equivalentes: :3

? 4

:5

1 " 4                   6 " 2 5 " 1 ? 4 :3 :5 " 8 " 4 " 2 2 12 10

1 Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

a) El peso de unos bombones y el dinero que valen. b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia. c) El número de hojas de un libro y su peso. d) El precio de una tela y los metros comprados. e) La edad de un alumno y su altura. 2 En una fábrica de ladrillos, 5 ladrillos apilados miden 1 metro de altura. Completa la tabla

con los valores correspondientes. a) Indica si son magnitudes directamente proporcionales. b) Forma proporciones y halla la constante de proporcionalidad. c) ¿Qué altura medirían 100 ladrillos? ¿Y 500 ladrillos?

248 277995 _ 0232-0261.indd 248

N.º de ladrillos

5

altura (m)

1

10

15

20

25

30

50

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UNIDAD

8

3 Luisa y Ana tienen que pintar durante el verano la valla de la casa de sus abuelos.

La valla tiene una longitud de 30 metros y su abuelo les ha dicho que por cada 6 metros que pinten les dará 5 €. a) Forma la tabla de valores con las magnitudes correspondientes.

b) Forma proporciones y halla la constante de proporcionalidad. c) Si la valla tuviera 42 metros, ¿cuánto dinero ganarían Luisa y Ana?

ejemplo Tres cajas de latas de refrescos pesan 15 kg. ¿Cuánto pesarán 4 cajas? Si 3 cajas

pesan

" 15 kg

pesarán

4 cajas  x " kg

3"

3x 60 3 15 = " 3 ? x = 4 ? 15 " 3x = 60 " 3 = 3 " x = 20 4 x

Las 4 cajas pesarán 20 kg.

ADAPTACIÓN CURRICULAR

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA •  La regla de tres simple directa nos permite calcular el valor desconocido de una proporción en la que las magnitudes son directamente proporcionales. •  Conocemos tres de los cuatro valores de la proporción, y el término desconocido lo nombramos con la letra x, y o z.

4 Si 4 pasteles cuestan 12 €, ¿cuánto costarán 6 pasteles? ¿Y 15 pasteles?

5 Tres obreros realizan una zanja de 6 metros en un día. Si mantienen el mismo ritmo de trabajo,

¿cuántos metros de zanja abrirán en un día, si se incorporan 5 obreros más?

6 El precio de 12 fotocopias es 0,50 €. ¿Cuánto costará hacer 30 fotocopias?

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RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 7 Un excursionista recorre 10 km en 2,5 horas. Si mantiene el mismo ritmo ¿cuántos kilómetros

recorrerá en 5 horas? ¿Y en 7 horas?

Podemos resolver los problemas mediante la regla de tres directa utilizando el método de reducción a la unidad, es decir, hallando el valor desconocido para el valor 1, y luego multiplicándolo por los restantes valores.

Resuelve los siguientes problemas, utilizando el método de reducción a la unidad. 8 En un túnel de lavado se limpian 10 coches en una hora. ¿En cuánto tiempo se lavarán 25 coches?

¿Y 50 coches? _ bb ` 60   1 coche se lavará en " 10 = 6 minutos b a Después de calcular el tiempo que se tarda en lavar un coche, hallamos el tiempo empleado   para lavar 25 y 50 coches. 25 coches se lavan en: 25 ? 6 = Si 10 coches se lavan en

" 60 minutos

9 Ignacio cobra 120 € por cada 5 días de trabajo. ¿Cuánto cobrará por 15 días?

¿Y por 20 días?

10 Si 3 cafés cuestan 2,70 €, ¿cuánto costarán 5 cafés? ¿Y 10 cafés?

11 Un bono de autobús con diez viajes cuesta 6 €. ¿Cuánto cuesta cada viaje? ¿Y cuánto costarán 3 bonos?

12 Si 4 yogures valen 1,20 €, ¿cuánto cuestan 12 yogures? ¿Y 30 yogures?

250 277995 _ 0232-0261.indd 250

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OBJETIVO 3

RECONOCER MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE:

CURSO:

UNIDAD

8

FECHA:

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES •  Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:     – Al aumentar una el doble, el triple..., la otra disminuye la mitad, la tercera parte...     – Al disminuir una la mitad, la tercera parte..., la otra aumenta el doble, el triple... •  Al multiplicar (o dividir) uno de los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido (o multiplicado) por el mismo número.

ejemplo Un grifo vierte 3 litros de agua cada minuto, tardando 15 minutos en llenar un tonel. Si aumentamos el caudal a 6 litros por minuto, tarda 7,5 minutos en llenarlo. Si lo aumentamos a 9 litros por minuto, lo llenará en 5 minutos. Si lo aumentamos a 12 litros por minuto, tardará 3,75 minutos, etc.

Caudal (¬ /min) Tiempo (min)

3

6

9

12

15

7,5

5

3,75

ADAPTACIÓN CURRICULAR

•  Distinguimos dos magnitudes: caudal de agua (en litros por minuto) y tiempo en llenar el tonel.     – Al aumentar el número de litros por minuto, disminuye el tiempo en que se llenaría el tonel.     – Si disminuye el caudal, aumenta el tiempo.     – Son magnitudes inversamente proporcionales:

•  Vemos que en las razones de las proporciones se invierte el orden de los valores: 3 7,5 = = 0,5 6 15

3 5 = = 0,3 9 15

12 7,5 = =2 6 3,75

•  Al multiplicar (o dividir) uno de los valores, el valor correspondiente queda dividido (o multiplicado) por el mismo número. ? 3

? 4

? 2

F

F

F

3

12

3

9

15

7,5

15

3,75

15

5

:2

F

F

6 F

3

:4

:3

1 Indica si las siguientes magnitudes son o no inversamente proporcionales.

a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia. b) El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla. c) El número de hojas de un libro y su peso. d) El peso de la fruta y el dinero que cuesta. e) La velocidad de un excursionista y la distancia que recorre. f) El número de grifos de un depósito y el tiempo que tarda en llenarse. ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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251 11/07/11 13:44

RECONOCER MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 2 Completa estas tablas de valores inversamente proporcionales.

a)

5

10

60

30

1

2

b)

36

20

c)

4 25

5 d)

4 12

8

6

4

3

3

12

4

6

3

21

1

7

7

6

1 1

Regla de tres simple inversa •  La regla de tres simple inversa nos permite calcular el valor desconocido de una proporción en la que las magnitudes son inversamente proporcionales. •  Conocemos tres de los cuatro valores de la proporción, y el valor desconocido lo nombramos con la letra x, y o z.

ejemplo Diez albañiles tardan 45 días en construir un muro. Si deben terminar la obra en 15 días, ¿cuántos albañiles hacen falta? Las magnitudes son número de albañiles y días de trabajo.  on inversamente proporcionales: si queremos que se realice la obra en menos tiempo, tendremos S que aumentar el número de trabajadores. Lo resolvemos de la siguiente manera: Si 10 albañiles

tardan

" 45 días 10 15 = 3" " 10 ? 45 = x ? 15 " 450 = 15x x 45 x albañiles tardarán 15 días " 450

15x

" 15 = 15 " x = 30 Hacen falta 30 albañiles para terminar la obra en 15 días.

3 En el ejemplo anterior, averigua el número de albañiles necesario para terminar el trabajo si quisiéramos

que lo acabasen en 5 días.

4 Un depósito de agua se llena en 18 horas si un grifo vierte 360 litros de agua cada minuto.

a) ¿Cuánto tardaría en llenarse si vertiera 270 litros por minuto? b) ¿Y si salieran 630 litros por minuto?

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UNIDAD

8

5 Un ganadero tiene 36 vacas y pienso suficiente para alimentarlas durante 24 días.

Si decide comprar 18 vacas más, ¿para cuántos días tendría pienso?

6 Se está construyendo una autopista y hay que realizar un túnel en la montaña.

Podemos resolver los problemas mediante la regla de tres inversa utilizando el método de reducción a la unidad, es decir, hallando el valor desconocido para el valor 1, y luego dividiendo entre los valores correspondientes.

Resuelve los siguientes ejercicios, mediante el método de reducción a la unidad. 7 Tres pintores tardan 2 horas en pintar una valla. Si se incorpora un pintor más,

¿cuánto tiempo tardarán?

ADAPTACIÓN CURRICULAR

Está planificado que dos máquinas realicen la obra en 90 días. Para reducir ese tiempo a la tercera parte, ¿cuántas máquinas harían falta?

8 Si 20 obreros levantan un muro de ladrillos en 6 días, ¿cuántos días tardarían 12 obreros?

9 Un camión tarda 4 horas en recorrer una distancia a una velocidad constante de 65 km/h.

a) ¿Qué velocidad llevará un automóvil que recorre la misma distancia en la mitad de tiempo? b) ¿Y una avioneta que emplease 45 minutos?

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253 11/07/11 13:44

OBJETIVO 4

RESOLVER PROBLEMAS DE PORCENTAJES NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

1 En una clase de 2.º ESO el 60 % de los alumnos son chicas. Si en total hay 30 alumnos, calcula el número

de chicas, de chicos y el porcentaje de estos últimos.

Si 30 alumnos

son



   x alumnos

serán

" el 100 % " el 60 %

3"

30 100 = " 30 ? 60 = 100x x 60



2 Una fábrica produce 1 500 automóviles al mes. El 25 % son furgonetas, el 60 % turismos

y el resto monovolúmenes. Halla las unidades producidas de cada tipo de automóvil.

3 Unas zapatillas que antes costaban 60 € tienen un descuento del 15 %. Calcula cuánto valen ahora.

4 En un instituto de 1 200 alumnos se han publicado los resultados de una encuesta

sobre música moderna: el 30 % de los alumnos prefieren música tecno, el 25 % pop, un 40 % rock, y el resto, música melódica. Calcula los alumnos que prefieren cada modalidad musical y el porcentaje de los que eligen la música melódica.

5 De un colegio con 600 alumnos, el 50 % son de Educación Primaria, el 35 % de ESO

y el 15 % de Bachillerato. Halla el número de alumnos de cada nivel educativo.

6 Un pantano tiene una capacidad total de 5 millones de metros cúbicos de agua.

Actualmente está lleno al 75 % de su capacidad. Calcula los metros cúbicos de agua que contiene.

254 277995 _ 0232-0261.indd 254

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OBJETIVO 1

COMPRENDER EL TEOREMA DE PITÁGORAS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Triángulo rectángulo •  Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°). •  Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos, b y c. El lado mayor se llama hipotenusa, a. •  Ejemplos de triángulos rectángulos son la escuadra y el cartabón.

a

b

c

Cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo A

•  Sobre los lados de un triángulo rectángulo construimos cuadrados,  como se ve en la figura.

•  La suma de las áreas de los cuadrados construidos   sobre los dos catetos es igual al área del cuadrado   construido sobre la hipotenusa.

B

+

C

=

1 Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm.

a) Forma el ángulo recto con ambos catetos y comprueba que mide 90º. b) Mide la longitud del lado mayor: hipotenusa. c) Nombra sus elementos: ángulo recto y lados.

2 Traza una diagonal sobre el siguiente rectángulo e indica.

a) ¿Qué polígonos se han formado?

304 277995 _ 0292-0323.indd 304

b) Nombra sus elementos.

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11/07/11 13:46

UNIDAD

10

Teorema de Pitágoras •  Pitágoras fue un científico de la época griega, que enunció el teorema que lleva su nombre   y que afirma: «En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos».

a

b

a2 = b2 + c2

Despejando       F a = b2 + c2

c

•  Se pueden hallar los valores de los catetos en función de los otros valores: b 2 = a 2 - c 2    Despejando       Fb =

a2 - c 2

c 2 = a 2 - b 2    Despejando       Fc =

a2 - b 2

3 Calcula el valor de la hipotenusa en los siguientes triángulos rectángulos.

a)

b) a

4 cm

a

10 cm

15 cm

8 cm

a)

b) 13 cm

6 cm 10 cm

12 cm

5 Una escalera que mide 6 m se apoya en una pared. Desde la base de la escalera a la pared hay

una distancia de 2 m. Halla la altura marcada en la pared por la escalera. (En la figura, la distancia AC.)

ADAPTACIÓN CURRICULAR

4 Obtén el valor de los catetos que faltan en cada triángulo rectángulo.

6m

A

B

2m

C

6 Pedro y Elisa quieren sujetar con una cuerda un poste de 2 m de altura a una estaca que está

situada a 3,5 m de la base del poste. Calcula la longitud de la cuerda que necesitan.

l

2m

3,5 m ■ MATEMÁTICAS 2.° ESO ■ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ■

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305 11/07/11 13:46

OBJETIVO 2

CONOCER LAS UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE. CALCULAR PERÍMETROs NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Unidades de longitud •  El metro es la unidad principal de longitud. Abreviadamente se escribe m. •  Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del metro son: Unidad principal

Múltiplos del metro

10 000 m  miriámetro mam

1 000 m  kilómetro  km

100 m  10 m  hectómetro  decámetro  hm dam

metro m

Submúltiplos del metro

0,1 m decímetro dm

0,01 m centímetro cm

0,001 m milímetro mm

•  Cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.

: 10

: 10

cm

: 10

mm

F

dm F

F

F

F

: 10

m

F

dam

? 10 F

hm

? 10 F

km

? 10 F

F

F

? 10

F

: 10

? 10

F

mam

? 10

F

? 10

: 10

: 10

1 Expresa cada longitud en la unidad indicada.

a) 34 km = 34 ? 1 000 = .................. m

d) 7 cm = 7 : 10 = .................. dm

b) 348 m = .................. = .................. hm

e) 4,3 hm = .................. = .................. m

c) 0,8 hm = .................. = .................. km

f) 7,5 dm = .................. = .................. cm

2 Ordena, de mayor a menor (>), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro y transforma

todas las medidas en esa unidad.

0,34 km  45 dm  5 m  678 cm  12 m  0,25 km  9,5 dam  5 500 mm  0,01 km  2,83 dam

3 Dibuja con tu regla cuatro segmentos de longitudes 5, 7, 12 y 14 cm, respectivamente.

Nómbralos y completa la tabla. Segmento

306 277995 _ 0292-0323.indd 306

Longitud del segmento (cm)

Equivalencia (m)

Equivalencia (dm)

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UNIDAD

10

4 Completa la siguiente tabla: km

hm

m

dm

cm

5m 2,3 km 153 dm 6,5 hm 2 000 cm

5 Completa esta tabla: Longitud (km)

Longitud (hm)

Longitud (m)

2 850 000 11 200 9 270     913   743 000     680

3 410     336 UNIDADES DE SUPERFICIE

1m

•  El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. Se escribe m2. •  Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.

1m •  Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del metro cuadrado son: Múltiplos del metro cuadrado

1 000 000 m2 kilómetro   cuadrado  km2

10 000 m2 hectómetro  cuadrado  hm2

100 m2 decámetro  cuadrado  dam2

1 m2

Unidad principal

Submúltiplos del metro cuadrado

metro cuadrado m2

0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 decímetro  centímetro  milímetro  cuadrado cuadrado cuadrado dm2 cm2 mm2

ADAPTACIÓN CURRICULAR

  535 000

•  Cada unidad es 100 veces mayor que la inmediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior.

cm2

: 100

mm2

F

F

F

F

: 100

dm2

F

: 100

? 100 F

: 100

m2

dam2

? 100 F

hm2

? 100 F

F

F

km2

? 100

F

? 100

F

? 100

: 100

: 100

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307 11/07/11 13:46

CONOCER LAS UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE. CALCULAR PERÍMETROs 6 Completa las siguientes igualdades.

a) 90 m2 = 950 ? 100 = ............... dm2

d) 54 dm2 = 54 : 100 = ............... m2

b) 43,2 cm2 = ............... = ............... dm2

e) 0,463 km2 = ............... = ............... hm2

c) 0,67 m2 = ............... = ............... cm2

f) 82 dam2 = ............... = ............... m2

7 Si 1 m2 es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado, expresa lo que sería:

a) 1 cm2

c) 1 km2

b) 1 mm2

d) 1 dam2

8 Ordena, de menor a mayor (< ), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro

cuadrado y transforma todas las medidas en esta unidad.

0,024 dm2  32 m2  8 400 dm2  0,75 hm2  0,0024 km2  12 dam2  865 271 mm2  50 m2

Para medir extensiones de campo, fincas, bosques, etc., se utilizan otras unidades: Símbolo

Equivalencia

Equivalencia en m2

Hectárea

ha

1 hm2

10 000 m2

Área

a

1 dam2

100 m2

Centiárea

ca

1 m2

1 m2

Unidades

? 100

? 100 F

F

a

ca

F

F

ha : 100

: 100

9 Expresa las siguientes unidades de superficie en su correspondiente equivalencia.

Expresión (ha)

Equivalencia (a)

Equivalencia (m2)

Un campo de girasoles de 3 hectáreas Un bosque de 250 hectáreas Una finca de 10 hectáreas Un terreno de cultivo de 2,4 hectáreas

308 277995 _ 0292-0323.indd 308

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UNIDAD

10

Perímetro de un polígono El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. Para calcularlo sumamos sus lados. Lo expresamos con la letra P.

ejemplo Halla el perímetro de un campo de fútbol de lados 100 m y 70 m. 100 m

P = 100 + 70 + 100 + 70 = 340 m 70 m

70 m

El perímetro es una medida de longitud. 100 m

10 Calcula el perímetro del tablero de tu pupitre y de una baldosa del suelo de tu aula.

Realiza un dibujo representativo. Baldosa

11 Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares. Realiza un dibujo de cada figura.

a) Pentágono, de 5 cm de lado.

c) Hexágono, de 7 cm de lado.

b) Triángulo equilátero, de 3 cm de lado.

d) Cuadrado, de 10 cm de lado.

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ADAPTACIÓN CURRICULAR

Tablero del pupitre

309 11/07/11 13:46

OBJETIVO 3

CALCULAR EL ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Área de una figura •  El área de una figura es la medida de su superficie, e indica el número de veces que contiene la unidad de superficie. •  El valor del área depende de la unidad de medida que tomemos. •  Lo expresamos con la letra A.

ejemplo Tomando como unidad de superficie un cuadradito

, calcula el área de la siguiente figura:

•  La figura contiene 15

.

  1 cm

G

•  Si cada cuadradito tuviera 1 cm de lado, su área sería 1 cm2.  •  Y el área de la figura sería 15 cm2.

F

•  Su área es: A = 15 unidades de superficie

1 Tomando como unidad de medida un cuadrado, expresa el área de cada figura

a)

c)

b)

d)

Área del rectángulo •  El rectángulo de la figura realizada a escala   tiene 28 cuadrados de 1 cm2 cada uno. •  Son 7 columnas y 4 filas. •  Para hallar el área del rectángulo se multiplica   la longitud de la base por la longitud de la altura. Área rectángulo = base ? altura

Altura = 4 cm

Base = 7 cm

" A = b ? h = 7 cm ? 4 cm = 28 cm2

Área del cuadrado •  El cuadrado de la figura realizada a escala tiene 25 cuadrados de 1 cm2. •  Son 5 columnas y 5 filas. •  Para hallar el área del cuadrado se multiplica la longitud   de un lado por la longitud del otro lado. Área cuadrado = lado ? lado

310 277995 _ 0292-0323.indd 310

" A = l ? l = 5 cm ? 5 cm = 25 cm2

Lado = 5 cm

Lado = 5 cm

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UNIDAD

10

2 Obtén el área de estos rectángulos y realiza un dibujo representativo.

a) Base = 10 cm    Altura = 4 cm

b) Base = 12 cm    Altura = 6 cm

3 Determina el área de los cuadrados y realiza un dibujo representativo.

a) Lado = 4 cm

b) Lado = 8 cm

a) La altura del rectángulo. b) El perímetro del rectángulo.

ADAPTACIÓN CURRICULAR

4 Un rectángulo tiene 36 cm2 de área y 12 cm de base. Calcula.

5 Si un cuadrado tiene 64 cm2 de área, halla.

a) El lado del cuadrado. b) El perímetro del cuadrado.

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OBJETIVO 1

REPRESENTAR PUNTOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

representación de números enteros en La recta numérica •  Sobre una recta r señalamos el origen O, que es el valor cero, 0. •  A la derecha del cero, y equidistantes, colocamos ordenados los números enteros positivos, y a la izquierda, colocamos los números enteros negativos. …

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3

0

Números enteros negativos

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

…

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3 Números enteros positivos

1 Dados los números -2, +2, -5, +5, -8, +8, -10, +10:

a) Represéntalos en la recta numérica. b) ¿Cuál está más cerca y cuál está más lejos del origen?

SISTEMA DE COORDENADAS cartesianAs en el plano •  Para representar puntos en el plano, utilizamos un sistema formado por dos rectas perpendiculares llamado sistema de coordenadas cartesianas.    – En la recta X o eje de abscisas se representan los números enteros de forma horizontal.    – En la recta Y o eje de ordenadas se representan los números enteros de forma vertical.    – El punto donde se cruzan se llama origen y es el valor cero, 0, en cada recta. •  Cada punto en el plano tiene dos referencias numéricas llamadas coordenadas.    – El primer número corresponde a la coordenada x.    – El segundo número corresponde a la coordenada y. Y 6 Eje de ordenadas

F

5 A

4

Punto Coordenadas

3 D

Origen

2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3

C

1

2

3

4

5

6 X

Eje de abscisas

-4 -5

A

(+2, +4)

+2

+4

B

(+3, -5)

+3

-5

C

(-4, -3)

-4

-3

D

(-5, +2)

-5

+2

F

O

Eje Y

F

1

Eje X

B

-6

396

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14:32

UNIDAD

13

2 Completa la tabla y representa los puntos que se indican en un sistema de coordenadas cartesianas. Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

-2 -3 -4

Punto

Coordenadas

A

(-2, -4)

B

(+3, +6)

C

(+5, -3)

D

(-1, +7)

E

(+4, 0)

F

(-4, 0)

Eje x

Eje y

Eje x

Eje y

-5 -6

3 Observa los puntos del sistema de coordenadas cartesianas y completa la tabla. Y 6 5

Punto

Coordenadas

4

A

(+2, -6)

3

D

B

2

G

1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 C

B

1

2

3

6

X

D E F

-3

G

-4

-6

5

H

-2

-5

4

C

A

H

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ADAPTACIÓN CURRICULAR

E

F

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REPRESENTAR PUNTOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 4 Representa los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas: A (0, +3); B (+2, -2);

C (+6, -1); D (-4, -4); E (-5, 0); F (-3, +5).

5 Observa la figura.

a) Indica las coordenadas de los vértices   A, B, C y D.

Y 6

b) Indica las coordenadas de los vértices   de la figura simétrica: Al, Bl, Cl y Dl.

5

A

B

D

C

4 3 2

Punto

Coordenadas

Punto

Coordenadas

1

A

Al

B

Bl

C

Cl

-3

D

Dl

-4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

-2

-5 -6

6 Respecto al ejercicio anterior, dibuja en un sistema de coordenadas cartesianas las figuras simétricas

que se originarían en los otros dos cuadrantes, indicando las coordenadas en el plano de sus vértices.

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14:32

OBJETIVO 2

INTERPRETAR Y REPRESENTAR TABLAS DE VALORES NOMBRE:

UNIDAD

CURSO:

13

FECHA:

TablaS de valores y puntos en el SISTEMA DE COORDENADAS cartesianAS •  Podemos expresar parejas de valores de números mediante pares de valores utilizando tablas horizontales o verticales. Cada par de valores de una tabla representa un punto del plano, y viceversa. •  A cada punto del plano le corresponde un par de valores ordenados: a) La primera fila o columna corresponde al valor numérico del eje horizontal, X. b) La segunda fila o columna corresponde al valor numérico del eje vertical, Y.

ejemplo Forma la tabla y representa los pares de valores. (-2, -3), (2, -5), (-3, 6), (1, 5), (0, -4)

Y 6 5 4

EJE X

EJE Y

-2

-3

2

-5

-3

6

1

5

0

-4

3 2 1 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

2

3

4

5

6 X

-2 -3 -4 -5

1 Forma los pares de valores que se indican en la tabla y represéntalos en un sistema

de coordenadas cartesianas. Pares de valores:  .......................................................................................................

EJE Y

4

7

2

-1

-1

6

4

0

-1

-3

-2

5

Y 6

ADAPTACIÓN CURRICULAR

EJE X

5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

-2 -3

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6 X

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INTERPRETAR Y REPRESENTAR TABLAS DE VALORES 2 Forma la tabla de valores de los siguientes pares ordenados y represéntalos en un sistema

de coordenadas cartesianas. (0, -4), (-5, 5), (2, -2), (-3, 6), (7, 0), (-4, 0), (6, 6)

Mediante una tabla de valores podemos relacionar cantidades de dos magnitudes.

ejemplo Un saco de azúcar pesa 2 kilogramos, 2 sacos de azúcar pesan 4 kilogramos, 3 sacos de azúcar pesan 6 kilogramos... Formamos la tabla de valores con las dos magnitudes. N.º DE Sacos

1

2

3

4

5

6

…

Peso (kg)

2

4

6

8

10

12

…

También podemos reflejar esta información en un sistema de ejes.

Y 13

3 Representa en el sistema de coordenadas

los valores del ejemplo anterior.

12

•  En el eje X se representan los valores de la magnitud número de sacos.

11 10

•  En el eje Y se representan los valores de la magnitud peso, en kg. Peso (kg)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

400

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2

3

4 5 6 N.º de sacos

7

8

9

10 X

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14:32

UNIDAD

13

4 Las alturas, en cm, de un grupo de alumnos son Antonio: 150 cm, Ana: 160 cm, Juan: 170 cm,

María: 140 cm, Pedro: 120 cm, Eva: 130 cm y Elena: 160 cm. Forma una tabla con los pares de valores y represéntalos en un sistema de coordenadas. Inicia los valores de altura en 100 y luego auméntalo de 10 en 10. a) ¿Qué alumno es el más alto? b) ¿Qué alumno es el más bajo? c) ¿Hay alumnos con la misma altura?

Las gráficas nos pueden proporcionar informaciones acerca de las magnitudes y sus valores en el plano.

5 Las temperaturas medias, en °C, de los meses del año han sido: enero: 6 °C, febrero: 8 °C, marzo: 10 °C,

abril: 16 °C, mayo: 18 °C, junio: 22 °C, julio: 30 °C, agosto: 36 °C, septiembre: 26 °C, octubre: 16 °C, noviembre: 12 °C y diciembre: 8 °C. a) Forma una tabla de valores con las magnitudes correspondientes. b) Representa los pares de valores en un sistema de coordenadas cartesianas.

ADAPTACIÓN CURRICULAR

c) Realiza una interpretación de los datos: mes más frío, mes más cálido, meses con igual temperatura,   diferencias de temperatura más acusadas entre meses, etc.

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OBJETIVO 3

INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER caracterÍsticas DE FUNCIoNes NOMBRE:

CURSO:

FECHA:

Variables y gráficas •  En las tablas de valores se relacionan dos magnitudes.Dichas magnitudes   se llaman variables, porque toman distintos valores, es decir, varían. •  En los pares de valores (a, b), (c, d), (e, f ) y (g, h), el segundo valor depende del primero:     – a, c, e, g son la variable independiente; su valor se fija previamente y se designan con la letra x.     – b, d, f, h son la variable dependiente; su valor depende del valor de x y se designan con la letra y. •  Si representamos los valores en un sistema de ejes y unimos sus puntos,   obtenemos una gráfica:     – La variable independiente (x) se sitúa en el eje de abscisas u horizontal.     – La variable dependiente (y) se sitúa en el eje de ordenadas o vertical.

x

y

a

b

c

d

e

f

g

h

ejemplo Un kilo de fresas cuesta 3 €. •  Magnitudes: peso (kg) y precio (€). •  Variable independiente: peso (kg) (se fija previamente). •  Variable dependiente: precio (€) (depende del número de kilos). •  Tabla de valores: Peso (kg) 1 2 3 4 Precio (€)

1 Respecto al ejemplo anterior:

3

6

9

12

5 15

Y

a) Representa los pares de valores   en el sistema de coordenadas.

Precio (€)

b) Une los puntos. ¿Qué obtienes?

O

402

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Peso (kg)

X

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402

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UNIDAD

2 En una tienda 1 metro de tela cuesta 4 €.

13

Y

¿Cuánto costarán 2, 3, 4, 5 y 6 metros de tela? a) Forma la tabla de valores con las magnitudes   que intervienen. b) Indica la variable independiente   y la dependiente. c) Representa los valores en un sistema   de coordenadas y traza la gráfica   correspondiente.

X

O

3 La clasificación de un equipo en un campeonato de fútbol ha sido: JORNADA

1.ª

2.ª

3.ª

4.ª

5.ª

6.ª

7.ª

8.ª

9.ª

10.ª 11.ª 12.ª

clasificación

4.º

5.º

3.º

7.º

8.º

5.º

9.º

10.º

8.º

6.º

4.º

2.º

a) Representa los valores en un sistema de coordenadas. b) ¿Cuál fue la jornada con mejor clasificación? c) ¿Y la jornada con peor clasificación? Y 10.º ADAPTACIÓN CURRICULAR

9.º 8.º Clasificación

7.º 6.º 5.º 4.º 3.º 2.º 1.º 1.ª

2.ª

3.ª

4.ª

5.ª

6.ª 7.ª Jornada

8.ª

9.ª

10.ª

11.ª

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403

12.ª

X

403

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INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER caracterÍsticas DE FUNCIoNes 4 La temperatura media durante el año pasado en un lugar viene determinada por la siguiente

tabla de valores. Enero Febrero Marzo

Mes

4

Temperatura (°C)

8

12

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

18

22

26

32

34

Sep. Octubre Nov. 26

14

10

Dic. 2

a) Representa los valores en un sistema de coordenadas y traza la gráfica correspondiente. b) Indica las variables dependiente e independiente. c) ¿Cuál fue el mes con menor temperatura media? d) ¿Y el mes con mayor temperatura?

Concepto de función •  En los ejercicios anteriores, los valores obtenidos en cada puesto de clasificación del equipo de fútbol y en cada temperatura media están en función de los valores de cada jornada jugada y de cada mes del año. •  El valor de y está en función del valor que toma x. La relación entre dos magnitudes la podemos escribir con una expresión algebraica, es decir, combinando letras, números y signos aritméticos. •  A cada valor de la variable independiente (x) le corresponde un único valor de la variable dependiente (y). •  Así, en la expresión algebraica 3x + 1, cada vez que se asignen valores numéricos a la variable x se obtendrán otros valores numéricos que están en función de ellos: multiplicamos por tres y sumamos uno. Se expresa: y = 3x + 1     En 3x + 1: Valor de x

Valor obtenido

x (valor)

y (valor)

0

3 ? 0 + 1 = 0 + 1 = 1

0

1

1

3 ? 1 + 1 = 3 + 1 = 4

1

4

2

3 ? 2 + 1 = 6 + 1 = 7

2

7

-1

3 ? (-1) + 1 = -3 +1 = -2

-1

-2

-2

3 ? (-2) + 1 = -6 + 1 = -5

-2

-5

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F

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UNIDAD

13

5 Elabora la tabla de valores de cada una de las siguientes funciones.

a) y = x + 2 x

c) y = 2x - 1

y

x

y

x

y

1

3

0

0 1

e) y = 2x + 1

3

-1

-1

-3

2 -2 Ejemplo: x = 1 y = 1 + 2 = 3 b) y = -3x x

y

Ejemplo: x = -1 y = 2 ? (-1) - 1 = -2 - 1 = -3

d) y = 2 - x x

Ejemplo: x = 1 y=2?1+1=2+1=3

f) y = x - 5

y

x

y

6 Representa gráficamente las funciones: calcula los pares de valores mediante una tabla

y une los puntos obtenidos en los sistemas de coordenadas cartesianas. a) y = x - 1 y

0

Y 6 5

1

4

-1

3

2

2 1

2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

ADAPTACIÓN CURRICULAR

x

-2 -3 -4

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INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER caracterÍsticas DE FUNCIoNes b) y = 2x - 2 x

y

Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

1

2

3

4

5

6 X

1

2

3

4

5

6 X

-2 -3 -4

c) y = 2x + 2 x

Y 6

y

5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

d) y = -3x + 5 x

y

Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

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