UNIDAD 8 Características eléctricas de los materiales 8.1 CUESTIONES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Un conductor de cobre puro puede endurecerse mediante: a) Envejecimiento. b) Acritud mas envejecimiento. c) Transformación martensítica. d) Acritud. 2. Una conductividad eléctrica de 106 IACS corresponde a un conductor de: a) Cobre puro OFHC. b) Plata. c) Cobre aleado. d) Oro. 3. El aumento de la resistividad con la temperatura de los metales y aleaciones se debe a: a) El aumento de la velocidad de deriva. b) El aumento del tamaño de estos átomos. c) La diminución de la movilidad de los electrones. d) La disminución de la movilidad de los huecos. 4. En un semiconductor extrínseco de tipo p la conducción a bajas temperaturas se debe al movimiento de: a) Los electrones activados térmicamente. b) Los huecos. c) Los electrones y huecos. d) No hay conducción neta a bajas temperaturas. 5. En los semiconductores extrínsecos, la brecha o nivel prohibido de energía, Ed, necesaria para activar térmicamente la conducción de tipo extrínseco, es: a) Inferior a Eg. b) Superior a Eg. c) Igual a Eg. d) Depende de la concentración de dopante. 6. En un semiconductor intrínseco la conductividad está controlada por: a) La movilidad y la temperatura. b) La temperatura y la concentración de dopante. c) La temperatura, movilidad y la brecha o nivel prohibido, Eg. d) La concentración de dopante. 143

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7. ¿Cual de los siguientes elementos permite obtener semiconductores de silicio tipo n, donadores?: a) Fósforo, P. b) Aluminio, Al. c) Boro, B. d) Germanio, Ge. 8. En un semiconductor tipo n la conducción a alta temperatura se debe a: a) Electrones donadores. b) Electrones donadores y electrones activados térmicamente. c) Electrones donadores, huecos y electrones activados térmicamente. d) Huecos y electrones activados térmicamente. 9. ¿Que le pasa a la resistividad eléctrica de un conductor eléctrico cuando aumenta la temperatura? a) Aumenta. b) Disminuye. c) Se mantiene constante. d) Es independe de la temperatura. 10. ¿En que supuesto tenemos los menores valores de conductividad dentro de un material?. a) Cuando esta envejecido. b) Cuando es templado o solubilizado. c) Cuando esta sobreenvejecido. d) Cuando esta mecanizado. 11. Una aleación presenta el grano muy fino y en consecuencia tendremos: a) Alta resistencia y resistividad. b) Excelente conductividad. c) Un grano alargado/estirado. d) Un envejecimiento correcto. 12. La utilización de un puente de Weastone suministra datos básicos para el: a) Cálculo de la resistencia eléctrica. b) Cálculo de la resistencia mecánica. c) Cálculo de la resistividad eléctrica. d) Cálculo del aislamiento eléctrico. 13. El diseño y cálculo de componentes eléctricos conductores debe controlar parámetros como: a) Conductividad eléctrica del material y factor geométrico del conductor. b) La intensidad de corriente. c) La temperatura. d) La diferencia de potencial. 14. Los electrones se ordenan en los sólidos cristalinos metálicos en: a) Orbitales atómicos de baja energía. b) Bandas continuas de energía. c) Orbitales atómicos separados. d) Bandas de estados de energía muy próximos. 15. El campo eléctrico acelera los electrones de un metal que están situados en: a) La banda de valencia. b) La banda de conducción. 144

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

c) Fuera del átomo. d) Es independiente de la banda en la que estén situados. 16. La correlación entre resistencia eléctrica y temperatura para los metales indica: a) La resistividad disminuye con la temperatura. b) La conductividad aumenta con la temperatura. c) La resistividad es creciente a mayores temperaturas. d) La resistividad permanece constante con la temperatura. 17. El contenido de impurezas en los sólidos metálicos implica: a) Aumento de la conductividad, por el efecto benéfico que éstas tienen sobre la estructura cristalina. b) Disminución de la conductividad, al distorsionar la red cristalina e introducir defectos cristalinos. c) Disminución de la conductividad si la impureza es más resistiva. d) Muy ligero aumento de la conductividad. 18. La adición de aleantes, solubles por solución sólida en un metal, nos permite obtener: a) Aleaciones más conductoras respecto del metal puro. b) Aleaciones mejoradas en resistencia mecánica y eléctrica. c) Aleaciones con peores propiedades mecánicas y eléctricas. d) Aleaciones mejoradas en características resistentes pero de menor conductividad. 19. Las aleaciones que endurecen por precipitación de segundas fases muestran: a) Conductividad independiente del estado de tratamiento térmico. b) Mayores conductividades y características resistentes en la etapa de temple. c) Mejor conductividad pero peor comportamiento mecánico tras el temple. d) Alta resistencia mecánica y buena conductividad en la etapa de maduración (envejecimiento). 20. La estructura electrónica de los semiconductores está formada por: a) Dos bandas de energía con algunos estados superpuestos. b) Dos bandas de energía, con electrones conductores en la de conducción. c) Bandas de valencia y conducción, separadas por un intervalo prohibido de energía. d) Bandas de valencia y conducción coincidentes. 21. En los semiconductores, los agentes activos de conducción son: a) Los electrones de la banda de valencia. b) Los huecos de la banda de valencia. c) Los electrones de la banda de conducción. d) Electrones y huecos. 22. Un semiconductor que contiene elementos químicos con la capa electrónica de valencia diferente a la de los del semiconductor se denomina: a) Extrínseco. b) Intrínseco. c) Débilmente extrínseco. d) No recibe ningún nombre especial. 23. Los parámetros que inciden en la conductividad de un semiconductor intrínseco son: a) Temperatura, movilidad y diferencia energética entre bandas. b) Temperatura y movilidad. c) Concentración de portadores de carga libre. 145

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d) Energía prohibida y concentración de portadores de carga libre. 24. La concentración de portadores de carga, en los semiconductores extrínsecos: a) Disminuye en el rango de bajas temperaturas por actuar la agitación térmica de la red cristalina. b) Disminuye a altas temperaturas al disminuir la movilidad. c) Aumenta en el rango de bajas temperaturas por actuar los dopantes como promotores del mecanismo conductor. d) Ninguna es correcta ya que la concentración de portadores de carga es independiente de la temperatura en los extrínsecos. 25. A temperaturas superiores a la crítica, un semiconductor dopado cambia: a) Poco ya que la conductividad ya no es función de la temperatura. b) De mecanismo conductor, tomando el intrínseco una mayor importancia. c) Su comportamiento conductor a extrínseco. d) Al aumentar la movilidad de los portadores de carga. 26. La naturaleza del dopante incide en: a) Aumento de la energía de la banda prohibida, disminuyendo la población de portadores de carga libre. b) Disminución de la energía de la banda de energía prohibida, aumentando la concentración de portadores libres. c) El valor de la energía de ionización y por tanto en una mayor aptitud para suministrar portadores de carga libre. d) El mecanismo de conducción, intrínseco o extrínseco. 27. La diferencia entre la estructura electrónica de un metal y un semiconductor radica en: a) La diferencia de población electrónica en la banda de conducción. b) La inexistencia de una banda de energía prohibida en el metal separando las bandas de valencia y conducción. c) Un mayor valor de la energía prohibida en el semiconductor que en el metal. d) La inexistencia de banda de valencia en los metales. 8.2 CUESTIONES DE HETEROEVALUACIÓN 1. Diferencias fundamentales entre un conductor y un semiconductor. 2. Diagrama esquemático de bandas de energía para un conductor, un aislante y un semiconductor. 3. Diferencias entre un semiconductor p y otro n. 4. Indica los mecanismos de conducción en los semiconductores en función de la temperatura. 5. Interés tecnológico del dopado de materiales semiconductores. 6. Justifica el efecto de la temperatura y de la acritud sobre la conductividad. 7. Etapas del envejecimiento: Evolución de la resistencia mecánica y de la conductividad eléctrica en cada una de ellas.

146

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

8. Como se encuentran y distribuyen las bandas en: a) Material conductor. b) Material semiconductor. c) Material aislante. 9. Etapas del recocido contra acritud. Evolución de la resistencia mecánica y de la conductividad eléctrica en cada una de las etapas. 10. ¿Qué tipos de endurecimiento se aplican a los conductores de cobre? Señala los mecanismos posibles y sus limitaciones. 11. Diseña una experiencia para determinar la resistividad eléctrica de metales. 12. Indica los parámetros que definen el comportamiento conductor en metales. 13. Calcula la resistencia eléctrica de una película conductora, de dimensiones: L0 = 20 mm, a = 4 mm, b = 20 µm, elaboradas en (a) Ag (ρ 1'63 µΩcm), (b) Al (2'67 µΩcm), (c) Fe (9'95 µΩcm) y (d) grafito (1.150 µΩcm). 14. Indica que dimensiones debería de tener una película resistiva de 1 KΩ, depositada sobre un sustrato no conductor de sección circular de diámetro 6 mm, en los siguientes materiales: (a) Au (2'2 µΩcm), (b) Pt (10'6 µΩcm), (c) Fe-Ni-Cr (135 µΩcm) y (d) carbón (3.875 µΩcm). 15. Diseña una experiencia para determinar la resistividad eléctrica de semiconductores. 16. Indica que factores de diseño y cálculo son necesarios para la obtención de elementos conductores y resistores semiconductores. 17. Calcula la resistencia eléctrica a 300 K de una película semiconductora de Si extrínseco n, de dimensiones L0 = 20 µm, a = 4 µm, b = 0'05 µm. Hipótesis simplificadoras: (1) considerar a esas temperaturas la total ionización de impurezas y (2) ni es 1'5 1010 port/cm3. Otros datos se incluyen en la tabla mostrada a continuación. Conc. (at/cm3)

Movil. n (cm2/Vs)

Movil. p (cm2/Vs)

0

1.350

500

12

1.430

517

16

1.250

406

20

110

58

10 10 10

18. ¿Cambiarían los resultados de los cálculos anteriores si el material seleccionado fuera Si-p, manteniendo el resto de parámetros constante? 19. ¿Explica las principales diferencias en los mecanismos de conducción del Ge dopado con Sb y el Ge dopado con Al?

147

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8.3 PROBLEMAS Y EJERCICIOS PRACTICOS PROPUESTOS Problema 8.1 Calcular la resistividad de un substrato de silicio dopado con 1018 at./cm3 de elemento dopante. Problema 8.2 Calcular la resistividad de un sustrato de GaAs dopado con 1018 at./cm3 de elemento dopante tipo aceptor, a temperatura ambiente. Problema 8.3 Calcular la resistividad a 350 K de un semiconductor Si-n dopado con 1016 at./cm3. Problema 8.4 Calcular, a la temperatura 0°C, para un semiconductor intrinseco de GaAs. a) La densidad de estados energéticos. b) La energía de la banda prohibida. c) La población de portadores de carga libre. d) La movilidad de los portadores e) La conductividad y resistividad. Problema 8.5 Calcular los límites de estabilidad térmica en la conductividad de un semiconductor GaP dopado con 1016 at/cm3. Ed = 0,03 eV. Eg = 1,8 eV. K = 8,63´10-5. Problema 8.6 Una aleación de Cu-5%Zn presenta la siguiente tabla de características eléctrico - mecánicas dependiendo del grado de deformación de la misma.

1 2 3 4 5 6 a) b) c) d)

LE (MPa) 165 195 259 291 320 356

RM (MPa) 235 267 328 355 376 395

Ig 0,702 0,730 0,790 0,820 0,851 0,901

A% 20,2 15,4 12,3 8,5 2,9 1,0

Cond. (%) 56,5 53,1 46,8 43,4 40,5 35,7

Calcular: Índice intrínseco de endurecimiento para una aleación de RM = 300 MPa. Resistividad de la aleación con el mismo endurecimiento. Deformación máxima que puede suministrarse al conductor de diámetro inicial 1 mm. Diámetro final de dicho conductor al proporcionarle la máxima deformación posible.

Problema 8.7 Un sustrato semiconductor de Si de 1 mm2 de sección, se utiliza para diseñar una resistencia. La concentración de dopado-p es de 5´1016 at/cm3. Se pide: a) Calcular la resistencia eléctrica para las dimensiones a= 100 µm, l= 500 µm, e= 0,1 µm. b) La densidad de corriente que circula para una tensión de 5 V. c) Concentración de dopante para R= 100 Ω. d) ¿Cuál debe ser la anchura del contacto, considerando constantes las otras dimensiones, 148

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para que circule una corriente de 1 mA con una tensión de 5 V, con el nivel de dopado inicial. Problema 8.8 Calcular para la misma aleación anterior: a) El índice de endurecimiento intrínseco para una resistividad de 4,3 µΩ×cm. b) Características mecánicas en ese estado. c) Resultado final de trefilar 1000 m de hilo de diámetro 0,5 mm, para obtener esas condiciones eléctricas. Problema 8.9 Se dispone de tres materiales para fabricar una resistencia por arrollamiento cuyos requisitos son: un diámetro de 0,1 mm y una longitud del hilo de 150 mm. A B C

Material Ni1Cu Ni-30Cr-2Si Fe-22Cr-6Al

ρ (µΩ×cm) 80 120 145

Seleccionar el material en orden creciente de resistividad del dispositivo. Problema 8.10 Se desea diseñar la pista de un potenciómetro cuya resistencia varía entre 5 y 35 Ω. El ancho de pista es de 2 mm y su diámetro al centro de la pista es de 5 mm. Se elige como material un sinterizado de C-CrSi2 que tiene una resistividad eléctrica ρ de 1800 µΩ×cm. Determinar: a) ¿Qué dimensiones son necesarias para tener la Rmin = 5 Ω? b) ¿Dónde debe situarse el cursor para obtener Rmax = 35 Ω? Problema 8.11 Una mezcla sinterizada de Ni y SiO2 posee una resistividad de 2500 Ω×cm. Se pide: a) ¿Qué longitud debería tener para diseñar una resistencia de 16 MW, con un espesor máximo de 1 mm y un diámetro de 5 mm? b) Si las mínimas dimensiones técnicamente posibles son 0,1 cm de radio y 0,5 cm de longitud, ¿cuál sería el valor de la resistencia?

l

D

e

Problema 8.12 Para fabricar una resistencia por arrollamiento de 25 Ω, se dispone de alambres, de las dimensiones y precios recogidos en la tabla siguiente, de aleación Ni-30Cr-2Si cuya resistividad eléctrica es de 120 µΩ·cm. ¿Cual será la dimensión del alambre y la longitud del mismo que nos permita obtener la resistencia indicada al menor costo?. Considerar la densidad de la aleación = 8.4 g/cm3 Diámetro del alambre (mm) 0.10 0.15 0.20

Costo (pts/g) 1858 323 122

149

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Problema 8.13 A temperatura ambiente, la conductividad eléctrica y la movilidad electrónica para el aluminio son respectivamente 3.8 · 107 (Ω · cm)-1 y 0.0012 m2/V · s. Calcular: a) El número de electrones libres por m3 de aluminio a temperatura ambiente. b) El número de electrones libres por átomo de aluminio. El aluminio cristaliza en el sistema C.C.C., con un parámetro de red de 0.405 nm y tiene un peso atómico de 27. La relación entre la movilidad y conductividad eléctricas es: σ = n · e · µ. Problema 8.14 Un hilo de cobre de pureza comercial debe conducir 10 A de corriente con un máximo de caida de voltaje de 0,4 V/m, calcular: a) ¿Cuál debe ser el diámetro mínimo si la conductividad eléctrica del cobre puro comercial es de 5.85 · 107 (Ω · m)-1? b) La mínima conductividad admisible en este conductor si las pérdidas máximas a lo largo del hilo conductor es de 4 W/m. Problema 8.15 Si la conductividad intrínseca de un semiconductor InSb es de 2 · 104 (Ω · m)-1 a temperatura ambiente, y de 4.6 (Ω · m)-1 a 125°C, determinar su intervalo prohibido sabiendo que responde a una ley logarítmica del tipo: ln σ

= C−

Eg

2kT donde k es la constante de Boltzmann = 8.62 · 10 eV/K. -5

Problema 8.17 Se desea diseñar una resistencia de 25 Ω, por arrollamiento de un alambre de 0,08 mm, de una aleación Fe-22Cr-6Al que tienen una resistividad de 145 µΩ · cm.

10000

Movilidad electrónica, µ (cm2/V·s)

Problema 8.16 Un semiconductor de GaAs, se dopa para obtener una conductividad de 4,34 (Ω·cm)-1, a 300 K, expresada por la ecuación σ = N e µ. Calcular el orden de dopado, así como el tipo de semiconductor obtenido (N o P). e = 1,6 · 10-19 C.

GaAs 5000

µs

2000 1000 500

µp 200 100

a) ¿Cuál debe ser su longitud?

1014

1015

1016

1017

1018

1019

Concentración de impurezas

(cm-3)

Si en su lugar se hubiese escogido una aleación Ni-1Cu con una resistividad de 80 µΩ · cm, b) ¿Cuál debería ser su diámetro máximo para utilizar la misma longitud de alambre?

150

1020

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

Problema 8.18 Se dispone de tres materiales, cuyas características se recogen en la tabla siguiente, para fabricar una resistencia de 35 Ω, por arrollamiento de un hilo de 0,15 mm de diámetro. ¿Con cual de los materiales podría realizarse la resistencia más económica? Material Ni 1Cu Ni-30Cr-2Si Fe-22Cr-6Al

Dendidad (g/cm3) 8.1 8.4 7.7

ρ (µ µΩ · cm) 80 120 145

Coste (pts/g) 283 323 452

SOLUCION A LAS CUESTIONES DE AUTOEVALUACION: 1 - d, 2 - b, 3 - c, 4 - b, 5 - a, 6 - c, 7 - a, 8 - c, 9 - a, 10 - b, 11 – a, 12 – c, 13 – a, 14 – d, 15 – b, 16 – c, 17 – b, 18 – d, 19 – d, 20 – c, 21 – d, 22 – a, 23 – a, 24 – c, 25 – b, 26 – c, 27 – b. 151

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8.4 PROBLEMAS Y EJERCICIOS PRACTICOS RESUELTOS Solución al problema 8.1 El Silicio es un semiconductor intrínseco. Partiendo del modelo clásico la conductividad total será la suma de las contribuciones individuales de cada tipo de portador de carga libre, según la expresión: σ = µn N D e + µ p N a e

en la que, al estar todas las impurezas ionizadas a temperatura ambiente, se cumple: Na e µp ≈ 0 dado que: N d = 1018 → µ n = 300 cm2 / V ⋅ s y e = 1,6 ⋅ 10 -19 C correspondientes a la densidad de elementos donantes según la figura 8.30. La conductividad resultará: σ = 300 ⋅ 1018 ⋅ 1.6 ⋅ 10 -19 = 48 ( Ω ⋅ cm )-1 Por lo que la resistividad tendrá un valor de: ρ =

1 = 0.021 Ω ⋅ cm ≡ 21 mΩ ⋅ cm σ

Solución al problema 8.2 De manera similar al ejercicio anterior y considerando, al ser el elemento dopante de tipo aceptor, que: N D e µn ≈ 0 con lo que: σ = µp Na e

y por tanto, la resistividad se definirá como: ρ =

1 1 = µp Na e σ

De la figura 10.24 del texto, obtendremos, para la concentración de dopante Na = 1018 at/cm3, el valor de la movilidad µp ≈ 190 cm2/V×s, con lo que: ρ =

1 1 -19 = 190 10 1.6 10 30.4 18

ρ = 0.033 Ω ⋅ cm = 33 mΩ ⋅ cm

152

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

Solución al problema 8.3 Al estar dopado el silicio con un elemento donador, la conductividad a temperatura ambiente, vendrá dada por: σ = µn N D e

Para temperaturas diferentes, se cumple la expresión siguiente:  T0 µ(T) = µ0   T

C

Por lo que para la temperatura de 350 K, y considerando el exponente térmico C para el silicio, según la tabla 10.4, de 2.6, la movilidad será:  300  µ (350) = µ (300) ⋅    350 

2.6

obteniéndose µ para la temperatura de 300 K de la figura 10.25 del texto, con un valor aproximado de 1300 cm2/V×s, con lo que:  300  µ n = 1300    350 

2.6

= 870 cm2 / V ⋅ s

con lo que la conductividad a esta temperatura será: σ = 870 1016 1.6 10 -19 = 1.39 ( Ω ⋅ cm)

−1

o bien 1.39 S / cm

y la resistividad: ρ =

1 = 0.72 Ω ⋅ cm = 720 mΩ ⋅ cm σ

Solución al problema 8.4 a) La densidad de estados energéticos en la banda de conducción y valencia es un parámetro dependiente de la temperatura según las expresiones: C N c = α ( mrn T ) C N p = α ( mrp T )

donde: α = 5 1015, C = 1.5 y mrn y mrp adquieren los valores, según la tabla 10.5 de mrn = 0.07 y mrp = 0.09 respectivamente, con lo que siendo T = 273 K, tendremos: N c = 4.18 1017 est / cm3 N p = 6.09 1017 est / cm3

b) La energía de la banda prohibitiva se expresa en su dependencia con la temperatura como: E g (T) = E g (0) -

a T2 T+ b 153

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cuyos valores según la tabla 10.3 son: Eg(0) = 1,52 eV a 0 K a= 5,4´10-4 eVK-1 b= 204 K y por tanto, Eg = 1,44 eV c) La población de portadores de carga libre viene dada por la expresión

ni = N c N v

e

 − Eg    2 ⋅ K ⋅ T

siendo K = 8,63´10-5 eVK-1   − 1,44   −5  2 ⋅ 8,63x10 ⋅ 273

= 5,05 x 1017 ⋅ 5,34 x 10-14 = 2,7 ⋅ 104 port/ cm3 d ni = 4,18 x 1017 ⋅ 6,09 x 1017 e ) La movilidad se expresa con la temperatura según:  T0  µ (T) = µ 0    T

donde T = 300 K y para el GaAs µ0 (n) = 8500 con C = 1 µ0 (p) = 420 con C = 2,1 con lo que µn = 7735 cm2/v×s µp = 345 cm2/v×s siendo µT = Σµi = 8080 cm2/v×s e) La conductividad vendrá expresada por: σ = e N c N v ( µ n + µ p) e

 − Eg    2 ⋅ K ⋅ T

= e ⋅ ni ⋅ ( µ n + µ p)

donde e es la carga del electrón e igual a 1,6 · 10-19 C, y por tanto: σ = 1,6 x 10-19 ⋅ 2,7 x 104 ⋅ 8080 = 3,49 x 10 −11 (Ω ⋅ cm ) -1 y la resistividad será: ρ=

1 1 = = 2,9 x 1010 Ω ⋅ cm σ 3,49 x 10-11

Solución al problema 8.5 La estabilidad térmica tiene lugar entre la temperatura TS, temperatura de ionización, y TCR, temperatura crítica, dadas por las expresiones:

154

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

Ed N K ⋅ ln C ND

=

TS

Eg

=

TCR

2 ⋅ K ⋅ ln

N C ⋅ NV N D2

donde NV = 9,50 · 1025 at/cm3 NC = 6,06 · 1016 at/cm3 ND = 1016 at/cm3 y por tanto: TS

0,03

=

8,63x10 − 5 ⋅ ln

6,06x10

2 ⋅ 8,63x10 −5 ⋅ ln

=

− 80 o C

1016

1,8

=

TCR

= 193 K

16

6,06x10

16

⋅ 9 ,5x10

25

=

= 148 o C

421 K

10 32

Solución al problema 8.6 a) En la figura se representa la correlación lineal entre el índice de endurecimiento (Ig) y la resistencia máxima (RM), cuya función de ajuste simplificada es: I g = 0,42 + 1,16 x 10-3 RM luego para RM = 300 MPa, tendremos: I g = 0,42 + 1,16 x 10-3 ⋅ 300 = 0.77 60

0,95

0,9

y = 0,0012x + 0,4195 R2 = 0,9684

50 Cond. (%)

Ig

0,85

0,8

45

0,75

40

0,7

35

0,65 200

y = -104,56x + 129,54 R2 = 0,9985

55

30

250

300 RM (MPa)

350

400

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

Ig

155

Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales

b) En la figura se representa la correlación entre la conductividad, s(%), e Ig, de la que podemos obtener su recta de ajuste que es σ (%) = 129,6 - 104,6 I g y calcular con esta su conductividad relativa para Ig = 0,77 obteniendo σ = 49,1 %. En términos de conductividad relativa, tenemos que: σ ρ

=

( % IACS)

=

1,724 ⋅ 100 ρ

1,724 ⋅ 100 = 49 ,1

1 y = -0,0099x + 0,8988 R2 = 0,9646

0,95

3,51 µΩ ⋅ cm

0,9

Ig

0,85

c) Para el índice de endurecimiento puede obtenerse la gráfica para correlacionar Ig en función del alargamiento proporcional a rotura A(%) tal y como muestra la figura cuya función de ajuste es una recta de expresión:

0,8 0,75 0,7 0,65 0

5

10

15

20

25

A%

I g = 0.8988 − 0.99 x 10-2 A % por lo que para Ig = 0,77, A% valdrá: A% =

0,8988 - 0,77 = 13.01 % 0,99 x 10-2

d) El volumen del material permanecerá constante, por lo que:  l0   ∅20 ⋅ l0   V0 = V f → l = ∅ 2f ⋅ l f  2  ∅f  = π   l f   2  

 ∅0  V0 = π    2 

Vf

2

por lo que despejando el diámetro final de la pieza tendremos: l0 ∅ 02 ⋅ lf

∅f =

suponiendo una longitud inicial del conductor de 1 m, su longitud final será, sabiendo que el alargamiento es un 13 %: lf

=

A %  l0  1 +   100  ∅f =

156

12 ⋅

= 1 + 0,13 = 1,13 m

1 1,13

= 0,94 mm

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

Solución al problema 8.7 a) La resistividad se expresa por: 1 1 = σ e ⋅ µ ⋅ Nb

ρ=

A temperatura ambiente, el silicio se encuentra totalmente ionizado y la velocidad del dopante será µp = 500 cm2/V×s 1

ρ=

1,6 x 10-19 ⋅ 500 ⋅ 5 x 1016

= 0,25 Ω ⋅ cm

Y por tanto, la resistencia eléctrica será: R= ρ

l 500 x 10-4 = 0,25 = 125000 Ω = 125 k Ω S 0,1x 10-4 ⋅ 100 x 10-4

b) Para 5 V de potencial, la intensidad que circula será: I=

V 5 = = 4 x 10-5 A = 40 µ A R 125000

y la densidad de corriente será: J=

4 x 105 I = 400 A/ cm2 = 4 MA/ m2 = S 0,1x 10-4 ⋅ 100 x 10-4

c) Para una resistencia de 100 Ω, la resistividad resultante par la misma geometría del contacto será: ρ= R

0,1x 10-4 ⋅ 100 x 10-4 S = 100 = 2 x 10-4 Ω ⋅ cm -4 l 500 x 10

y despejando la concentración de dopante: Nd =

1 1 = = 6,3 x 1019 at/ cm3 -19 e ⋅ µp ⋅ ρ 1,6 x 10 ⋅ 500 ⋅ 2 x 10-4

d) La resistencia eléctrica vendrá dada por: R=

V 5 = = 5 x 103 Ω -3 I 10

0,1 µm

500 µm 500 µm

1 mm

100 µm

y por tanto, teniendo en cuenta una longitud de contacto máxima de 500 mm, la sección del contacto será:

1 mm 157

Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales

finalmente la anchura del contacto la obtenemos como: S= a⋅e → a =

S 2500 = = 2500 µ m e 0,1

Solución al problema 8.8 a) De la expresión de la conductividad relativa se obtiene, para ρ = 4,3 mΩ×cm, que: σ

=

1,724 ⋅ 100 → σ ρx

=

40,1 %

cuya función de correlación se obtuvo en el ejercicio anterior: σ (%) = 129,6 - 104,6 I g

400

y por tanto, para el valor de s obtenido será:

300 LE (MPa)

40,1 = 129,6 - 104,6 I g → I g = 0,86 b) Las características mecánicas las obtenemos igualmente de las rectas de ajuste obtenidas en el ejercicio anterior, calculándolas para Ig = 0,86. Así, la carga de rotura será:

y = 1,1577x - 113,07 R2 = 0,9893

350

250

200

150

100 200

0,86 = 0,42 + 1,16x10-3 RM

250

300

350

400

RM (MPa)

RM = 375,6 MPa el límite elástico será, para RM = 375,6 MPa: LE = -113,07 + 1,158 · 375,6 LE = 321,9 MPa y el alargamiento será, cuando se alcanza Ig = 0,86: 0,86 = 0,8988 - 0,0099 A % → A = 3,92 % c) En el trefilado se obtendrá una longitud del hilo, según el alargamiento obtenido en el apartado anterior: A % 3,92     = 1000 ⋅  1 +  = 1000 ⋅ 1,0392 = 1039,2 m l f = l0  1 +   100  100  y con el criterio de volumen constante podemos calcular el diámetro final como: ∅f =

l0 ∅ 20 ⋅ lf

=

0,5 2 ⋅

1000 = 0,49 mm 1039,2

Solución al problema 8.9 La resistencia viene expresada en función de la resistividad del material como: l R= ρ S 158

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

siendo l 15,0 = = 1,91x 105 cm-1 2 S π ⋅ (0,005) cuyos valores será: a) para la aleación A:

R = 80×1,91 · 105 = 1,53 · 107 µΩ = 15,3 Ω

b) para la aleación B:

R = 120×1,91 · 105 = 2,30 · 107 µΩ = 23,0 Ω

c) para la aleación C:

R = 80×1,91 · 105 = 1,53 · 107 µΩ = 28,0 Ω

Solución al problema 8.10 a) La resistencia viene expresada por: R= ρ

l S

donde: l R = S ρ siendo la superficie: ⋅e

S =

y l función del radio, siendo su expresión: l =

2 π ⋅α 360

a  ⋅ r +  2 

Cumpliéndose la restricción que Rmin se da para un ángulo, α, de 45º, con lo que la longitud de la pista será: 2 π ⋅ 45  0,2  = 0,275 cm l = ⋅ 0,25 + 360  2 

Rmin

r O

45° a

Rmáx

y por tanto: ρ l l R min → e = ⋅ = ρ a R min a⋅e de forma que: e =

0,275 1800 ⋅ = 4,95 x 10-4 cm = 4,95 µ m 6 0,2 5 x 10

b) Con la geometría de la pista para conseguir Rmax = 35 Ω, debemos situar el cursor en el ángulo obtenido por la expresión:

159

Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales

R max = ρ

2 π ⋅α 360

a  ⋅ r +  a ⋅e 2 R max  → α = 2π  a a⋅e ρ ⋅ r +  360  2

resultando un ángulo de: a ⋅e 35 x 106 0,2 ⋅ 4,95 x 10-4 R max α = = = 315 o 2π  a ρ 1800 2 π ⋅ [0,25 + 0,1] ⋅ r +  360 360  2 Solución al problema 8.11 a) De la expresión de la resistencia: l= R

2π ⋅ 0,25 x 10-4 S = 16x10 6 = 1 cm ρ 2500

b) En este caso será: R= ρ

l 0,5 = 19,89 x 106 Ω = 19,89 M Ω ≈ 20 MΩ = 2500 -4 S 2 π ⋅ 0,1 ⋅ 10

Solución al problema 8.12 Considerando la relación entre la resistencia y resistividad eléctrica: R = ρ

l S

podemos obtener la longitud necesaria que nos permite obtener la resistencia adecuada. Si consideramos la expresión de la densidad, obtendremos la masa, al disponer ya del volumen como dato, considerando: m=ρ·V En la tabla siguiente se recogen los resultados obtenidos después de aplicar el razonamiento anterior. ∅ (mm) 0.10 0.15 0.20

Longitud (cm) 16.36 36.81 65.45

Volumen (cm3) 1.28 · 10-3 6.50 · 10-3 0.0206

Peso (g) 0.0100 0.0546 0.1727

Costo Ud. 19.97 17.64 21.07

La resistencia más económica la obtendremos con el alambre de 0.15 mm de diámetro y una longitud de 36.81 cm. Solución al problema 8.13 a)

σ=n·e·µ 3,8 · 107 (Ω m)-1 = n · 1,6 · 10-19 · 0,0012 m2/V · s

160

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

n = 1,98 · 1029/m3 b) El volumen de la celdilla será Vceldilla = a3 = (0,405 · 10-9 m)3 = 6,643 · 10-29 m3 por lo que por celdilla tendremos los siguientes electrones libres: 6,643 · 10-29 m3 x 1,98 · 1029 e-/m3 = 13,15 ey al ser una celdilla C.C.C., que tiene 4 átomos por celdilla, e- libres / átomo Al = 13,15 / 4 = 3,29 Solución al problema 8.14 a) Considerando la expresión de la resistencia eléctrica: =

R

V I

= ρ

l S

de donde la sección del conductor será: S =

10 A 0,4 V ⋅ 5,85 ⋅ 10 7

= 4,27 ⋅ 10 −7 m 2

= 42,7 mm 2

por lo que el diámetro del conductor será: =

d

4S π

= 7,37 mm

c) las pérdidas vienen expresadas por el producto de V · I, que para una intensidad de 10 A y pérdidas máximas de 4W/m, nos limitan a una máxima caída de potencial de 0,4 V/m, coincidente con la del apartado anterior, por lo que la mínima conductividad será: σ = 5,85 · 107 (Ω·m)-1 Solución al problema 8.15 Sustituyendo los valores en la ecuación, tendremos el sistema de ecuaciones: ln 2 ⋅ 10 4 ln 4.6 ⋅ 10 4

= C−

Eg 2 ⋅ 8.62 ⋅ 10 − 5 ⋅ 298

= C−

Eg 2 ⋅ 8.62 ⋅ 10 −5 ⋅ 398

que resulta, 9.903 = C −

Eg 0.0514

10.736 = C − y operando,

Eg 0.0686 C = 13.225 Eg = 0.17 eV 161

Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales

Solución al problema 8.16 La conductividad viene expresada por la ecuación: σ=Neµ el producto N µ tendrá un valor de σ/e = 2,72 · 1019 (C·Ω·cm)-1 = 2,72 · 1019 Ω/(v·s·Ω·cm) = 2,72 · 1019 (v·s·cm)-1

Movilidad electrónica, µ (cm2/V·s)

Tanteando en la gráfica, obtenemos que para un orden de dopado de 1017 cm-3, la movilidad electrónica será 272 cm2/v·s, para dopado tipo P. Nunca puede obtenerse la conductividad deseada empleando un dopante tipo N. 10000

GaAs 5000

µs

2000 1000 500

µp 200 100 1014

1015

1016

1017

1018

1019

1020

Concentración de impurezas (cm-3) Solución al problema 8.17 a) La sección del conductor será: S = π 4 ⋅ d 2 = 5,02 ⋅10 −3 mm 2

y considerando la expresión de la resistencia: R = ρ⋅

l s

tendremos: l=

R ⋅ s 25Ω ⋅ 5,02 ⋅10 −5 cm = = 8,66 cm ρ 145 ⋅10 − 6 Ω ⋅ cm

b) Para utilizar la misma longitud de conductor, su diámetro deberá ser: d=

162

4⋅ρ⋅l = π⋅R

4 ⋅ 80 ⋅10 −6 Ω ⋅ cm ⋅ 8,66cm = 5,9 ⋅10 −3 cm ≈ 0,06 mm π ⋅ 25Ω

Unidad 8 – Características eléctricas de los materiales

Solución al problema 8.18 La resistencia vendrá expresada por: R=ρ

l S

de donde l =

R⋅S ρ

y con las dimensiones geométricas, la masa del conductor vendrá dada por: m=ρ·l·S con lo que los resultados obtenidos se recogen en la tabla siguiente Material

ρ (µ µΩ · cm)

Longitud (cm)

Dendidad (g/cm3)

Ni 1Cu

80

77.3

8.1

0.111

31.31

Ni-30Cr-2Si

120

51.5

8.4

0.077

24.69

Fe-22Cr-6Al

145

42.7

7.7

0.058

26.26

Masa (g) Precio (pts)

Tal como se observa en la tabla, la resistencia más económica sería la realizada con hilo de Ni30Cr-2Si

163