Introducción a la dinámica de la atmósfera 2010

UNIDAD 8: Ondas en la atmósfera Definición. Elementos de una onda. Características de una onda. Descripción matemática. Propagación de ondas y clasificación. Velocidades en ondas. Velocidad de fase en una onda longitudinal. Ondas estacionarias. Energía en una onda.

1. Definición Si se suelta una piedra en un estanque tranquilo (Figura 1) se observan ondas que se alejan en círculos concéntricos cada vez más grandes. Si existen hojas flotando en el agua se observará que se mecen al pasar las crestas y valles de las ondas que se alejan. No son arrastradas sino que VIBRAN con respecto a ciertas posiciones fijas de equilibrio. El MOVIMIENTO ONDULATORIO es una perturbación vibratoria que se dispersa a través de un medio. Este experimento se puede repetir si colgamos una cuerda para que adopte una posición vertical (Figura 1) y le imprimimos bruscamente un tirón lateral por el extremo inferior: veremos como la perturbación o impulso subirá por la cuerda, desplazando horizontalmente los elementos de la cuerda, pero desplazando la onda en la dirección vertical.

Figura1 En general, al definir las características de una onda, se tiende a pensar en algo flexible o que tolera una deformación. El término suele ser entendido intuitivamente como el transporte de perturbaciones en el espacio, donde no se considera al espacio como un todo sino como un medio en el que pueden producirse y propagarse las perturbaciones a través de él. En una onda, la energía de una vibración se va alejando de la fuente en forma de una perturbación que se propaga en el medio circundante. Sin embargo, esta

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noción es problemática en casos de ondas que por ejemplo se transmiten en el vacío, ya que en ese caso no hay medio de deformación. Por tales razones, la teoría de ondas se conforma como una rama de la física que se ocupa de las propiedades de los fenómenos ondulatorios independientemente de cuál sea su origen. Una peculiaridad de estos fenómenos ondulatorios es que a pesar de que el estudio de sus características no depende del tipo de onda en cuestión, los distintos orígenes físicos que provocan su aparición les confieren propiedades muy particulares que las distinguen de unos fenómenos a otros. Por ejemplo, las ondas de sonido se diferencian de las ondas electromagnéticas en que las ondas sonoras están relacionadas con aspectos mecánicos mientras que las ondas electromagnéticas no. Conceptos tales como masa, cantidad de movimiento, inercia o elasticidad son conceptos importantes para describir procesos de ondas sonoras, a diferencia de las ópticas, donde estas no tienen relevancia. Por lo tanto, las diferencias en el origen o naturaleza de las ondas producen ciertas propiedades que caracterizan cada onda, manifestando distintos efectos en el medio en que se propagan. Otras propiedades, sin embargo, pueden ser generalizadas a todas las ondas. Por ejemplo, teniendo en cuenta el origen mecánico de las ondas sonoras, estas pueden propagarse en el espacio-tiempo si y solo si el medio no es infinitamente rígido ni infinitamente flexible. Si todas las partes que constituyen un medio estuvieran rígidamente ligadas podrían vibrar como un todo sin retraso en la transmisión de la vibración y, por lo tanto, sin movimiento ondulatorio (o un movimiento de onda infinitamente rápido). Por otro lado, si todas las partes fueran independientes, no podría haber ninguna transmisión de la vibración y de nuevo, no habría movimiento ondulatorio (o sería infinitamente lento). Aunque lo dicho anteriormente no tiene sentido para ondas que no requieren de un medio, sí muestra una característica relevante a todas las ondas independientemente de su origen: para una misma onda, la fase de una vibración (que es el estado de perturbación en que se encuentra una determinada parte del medio) es diferente para puntos adyacentes en el espacio, ya que la vibración llega a estos en tiempos distintos. Se aconseja ver el siguiente applet conectándose a internet http://www.enciga.org/taylor/descargas/ondas.htm, cliquear sobre el archivo red.jar. Se desplegará una ventana con una red de resortes. Cliquee sobre la ventana abierta para que comience la perturbación. Es necesario tener instalado JAVA de Sun Microsystems, que es un software libre. 2. Elementos de una Onda Si ponemos a vibrar una cuerda horizontal desde un extremo para arriba y para abajo con un movimiento armónico simple, se formará una serie o “tren de ondas” que avanzará a lo largo de la cuerda. Cada partícula vibrará con movimiento armónico

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simple. (Figura 2). Notemos el espacio de p a d. Incluye una cresta completa y un valle completo – una onda completa-. Las partículas p y d son las crestas de las ondas. Están en las mismas condiciones de vibración o sea en la misma fase. La distancia entre ellas es la longitud de onda. Una longitud de onda es la mínima distancia entre partículas que se encuentran en la misma condición de vibración o fase.

Figura 2 Consideremos las fases de diferentes puntos de un tren de ondas. En la figura 2 cuando la primera onda llega a “a”, la fase de a es cero y se está desplazando hacia arriba. En ese instante la fase de b es 30°, la fase de c es 60° y la de d es 90°. La fase de m es 360°. Notemos que las partículas a y m se encuentran en las mismas condiciones de vibración. La distancia entre a y m es una longitud de onda. Las partículas que se encuentran separadas por una longitud de onda tienen una diferencia de fase de 360°. Supongamos que la velocidad a la que se desplaza las ondas a lo largo de la cuerda, es de 2 m/s y que la vibración que se impone con la mano es cada 1 segundo. Entonces, cada onda habrá avanzado 2 m cuando comience la siguiente de modo que esta distancia será la longitud de onda. Si se pone a vibrar la soga dos veces por segundo, la longitud de onda será la mitad de la anterior. Si en un segundo salen 10 ondas, cada una avanzará 2/10 m antes de que salga la siguiente. En general, si f es la frecuencia de ondas (se producen f ondas en la unidad de tiempo) la velocidad con la que la onda se desplaza a lo largo de la soga es vp, la longitud de onda () será

 = vp /f ó vp = f En resumen, las ondas pueden caracterizarse por:    

Cresta: es el punto más alto de la onda. Valle: Es el punto más bajo de una onda. Longitud de onda (): Distancia que hay entre dos máximos consecutivos de dicho tamaño y por lo tanto sus unidades son m o km. Período (T): El periodo es el tiempo que tarda la onda de ir de un punto de máxima amplitud al siguiente o en realizar un ciclo completo.

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

Frecuencia: Número de veces que es repetida dicha vibración. En otras palabras, es una simple repetición de valores por un período determinado o cuantos períodos hay en la unidad de tiempo. Su unidad es Hz (Hertz). f 



El número de onda angular (k): representa la cantidad de longitudes de onda que hay en la distancia 2 (radianes).

k 

1 T

2



Frecuencia angular (ω): representa la frecuencia en radianes por segundo. Está relacionada con la frecuencia por

  2 f  

2 T

Amplitud: La amplitud (y) es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Nótese que pueden existir ondas cuya amplitud sea variable, es decir, crezca o decrezca con el paso del tiempo.

3. Propagación de ondas y clasificación

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3.1 Clasificación según el medio en el que se propagan: Según el medio en el que se propagan se clasifican en ondas mecánicas y ondas electromagnéticas. Las primeras necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. Como en el caso de la soga cuyo extremo se sacude, la soga no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella. La velocidad puede ser afectada por algunas características del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad. Las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío o sea que no necesitan de un medio de propagación. 3.2 Clasificación en función de su propagación o frente de onda Se denomina frente de onda a una línea que une puntos que tienen la misma fase. Se clasifican en unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales. Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los resortes o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos. Si la dirección de propagación está en la dirección x, puede ocurrir que todos los puntos del cuerpo o medio que estamos estudiando que tienen igual x, o sea todos los puntos que están en planos perpendiculares a x, tienen la misma deformación en un instante dado. En ese caso se denomina onda plana. 



Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella. Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.

3.3 Clasificación en función de la dirección de propagación Se clasifican en ondas longitudinales o transversales.

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Siguiendo el ejemplo de las ondas unidimensionales, en un instante dado cada punto del eje x tendrá una deformación, que podrá tener cualquier orientación en el espacio con tal de que sea una función continua en x y en t. Se denominan ondas longitudinales a aquellas en que la deformación ocurre en la misma dirección de propagación de la onda (ejemplo: las ondas de sonido). Mientras que las ondas transversales son aquellas en las que la dirección de la deformación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda (ejemplo las ondas de gravedad o las electromagnéticas). En la siguiente página web podrá encontrar dos applets para diferenciar ondas transversales y ondas longitudinales http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html . Observe que puede cambiar la amplitud de la onda y la velocidad con la que se desplaza o velocidad de fase. Produzca cambios en estas variables y comience la ejecución de applet nuevamente (clickeando el botón “Empieza”.)

3.4 Clasificación en función de su periodicidad Se clasifican en periódicas o no periódicas. Las periódicas son aquellas en las que el ciclo se repite con el tiempo, por ejemplo una onda sinusoidal. Las no periódicas son aquellas en las que el ciclo se produce una vez o varias veces pero cambia y se amortigua con el tiempo hasta que desaparece. A estas ondas se las denomina pulsos. 4. Velocidades de ondas

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Hay dos velocidades diferentes asociadas a las ondas. La primera es la velocidad de fase, la cual indica la velocidad con la que la onda se propaga en su dirección de propagación, y está dada por:

vp 

 k

f

La velocidad anterior describe la velocidad de una onda con longitud de onda  (en ondas electromagnéticas se denomina ondas monocromáticas). Pero lo más común es encontrar una mezcla de ondas o grupo de ondas de frecuencias compuestas: por ejemplo la luz blanca está compuesta por un espectro continuo de longitudes de ondas visibles que tienen longitudes desde los 0.3m a 0.7m. Examinando el comportamiento de ese grupo de ondas es que podemos comprender la velocidad de grupo. Supongamos que consideramos dos ondas de igual amplitud (A) pero con frecuencias angulares 1 y 2 y números de onda k1 y k2. La posición de desplazamiento para un punto dado de la onda en un punto x del espacio y para un tiempo t estará expresado como: y1  A cos(1t  k1 x) y2  A cos(2t  k2 x)

La superposición de estas ondas dará como resultado para cada x y t: y  y1  y2  A cos(1t  k1 x)  A cos(2t  k2 x)     2  t  k1  k2  x   1  2  t  k1  k2  x  2 A cos  1    cos   2 2 2 2    

Tarea: demostrar la igualdad. Se recomienda partir de la expresión de la derecha para llegar a la de la izquierda. Esta superposición representa una onda de frecuencia {(1 + 2)/2} que va a ser muy cercana a la onda que tiene frecuencia más alta, con amplitud 2A y que va a estar modulada por una onda más lenta de frecuencia {(1 - 2)/2} y número de onda {(k1 k2)/2} (Figura 3).

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Figura 3 La velocidad de la onda superpuesta es {(1 - 2)/ (k1 - k2)/} y se denomina velocidad de grupo. O sea que: la velocidad de grupo, expresa la velocidad con la que las variaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan por el espacio. Esta es la velocidad con la cual la información puede ser transmitida por la onda. Está dada por:

vg 

   k k

Entrando al siguiente applet podrá ver la velocidad de fase de una de las ondas (la de mayor frecuencia) siguiendo al punto rojo. Se podrá observar la velocidad de grupo de las ondas siguiendo a los puntos verdes, que se ubican en el nodo (donde la suma de las ondas prácticamente se anulan) de la envolvente. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Wave_group.gif Velocidad de fase en una onda longitudinal Depende de la elasticidad del medio y de su densidad: En líquidos: v p 

 donde  es el módulo de compresibilidad del fluido y  es su 

densidad. Se puede observar, que por su definición esta velocidad es dependiente de la temperatura del fluido. En gases: v p 

p  donde  = cp/cv, con cp coeficiente de calor específico a presión

constante del gas y cv el coeficiente de calor específico a volumen constante del gas.

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Para gases diatómicos  = 1.4. p es la presión del gas. Esta velocidad también estará muy influenciada por la temperatura del gas.

5. Ondas estacionarias La composición de dos ondas de la misma frecuencia y amplitud que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario, da lugar a una onda estacionaria. Las ondas estacionarias se pueden generar en distintos cuerpos vibrantes como en cuerdas y columnas de aire. Recibe el nombre de nodo todo punto de la onda estacionaria tal que el desplazamiento o elongación de la partícula es constantemente nulo. Se llama vientre o antinodo un punto de la onda estacionaria en el que la elongación de la partícula en vibración es máxima. La distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos es igual a la media longitud de onda. Visualice el siguiente applet para ver como una onda estacionaria se forma con ondas de igual longitud de onda y amplitud propagándose en direcciones contrarias. Verifique la posición de nodos y antinodos http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/Standing_wave_2.gif

6. Energía en una onda La propagación de una onda no implica transporte de materia: supongamos el caso de una onda elástica que se produce por deformación en un cuerpo o fluido, o sea el caso de una onda que se propaga a través de un medio. Los puntos del cuerpo o del fluido se desplazan solo muy poco de su posición inicial (un diferencial de desplazamiento). Lo que llega a cada punto es una “señal” dada por las tensiones de deformación. Sin embargo, una onda sí representa transporte de energía. El trabajo que realizan las fuerzas exteriores durante el movimiento inicial se reparte en forma de energía elástica en todo el cuerpo o fluido, produciendo una deformación (por ejemplo la aplicación de una

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fuerza en un resorte). Las ondas transportan energía sin transporte de materia, realizando trabajo a distancia. El medio es el que permite ese transporte. Rescatemos que las ondas son un fenómeno físico que transporta energía a través de un medio o en el vacío, sin transportar materia. Supongamos el ejemplo de la cuerda a la que se le aplica una vibración cada 1 segundo. La vibración aplicada es energía entregada a la cuerda, ya que se realiza un trabajo (Fuerza) para entregarle energía cinética. Esta energía viaja a través de la cuerda y se puede obtener la energía aplicada en el extremo opuesto de la cuerda. En el caso del océano, cuando las ondas llegan a la costa transfieren esa energía su energía cinética a la superficie produciendo permanentemente daño a la costa. La cantidad de energía que transporta una onda depende de su amplitud. Si la onda transporta mucha energía, su amplitud será grande, mientras que el transporte de cantidades pequeñas de energía lo producen ondas con amplitudes pequeñas. E  A2

Bibliografía sugerida: Blackwood O.H, Kelly W.C, Raymond M.B. 1975. Física General. Compañía Editorial Continental, México. (B. Luis Federico Leloir) Pain H.J. 2005. The physics of vibrations and waves. John Wiley & Sons, Ltd. (B. Luis Federico Leloir) Roederer J.G. (1986) Mecánica elemental: complementos para su enseñanza y studio. Edudeba. (B. Luis Federico Leloir)