SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN 10

El Punto y la Recta

UNIDAD I El Punto y la Recta SESIÓN 3 La Recta: Definición, trazas y posiciones notables

JORGE L. CALDERÓN S.

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El Punto y la Recta

1.5 LA RECTA Es el elemento geométrico unidimensional y puede determinarse a través de un segmento de recta, el cual, a su vez, se define como la menor distancia entre dos puntos. El estudio de las proyecciones diédricas de la recta se realiza atendiendo a las distintas posiciones que ésta puede adoptar con respecto al sistema de referencia empleado, es decir, con respecto a los planos coordenados de proyección: Plano Vertical y Plano Horizontal. Las variables objeto de estudio es las proyecciones diédricas son, en definitiva, las concernientes a las características de la recta: tamaño de un segmento (longitud) y ángulos que forma con los planos de proyección (dirección). La clasificación de las distintas posiciones de recta se realiza variando estos ángulos, comenzando por las posiciones notables, que son aquellas situaciones en las que la recta forma con los planos de proyección ángulos notables: cero y noventa grados. Con la finalidad de diferenciarlas de los puntos, las direcciones de recta se nombran usando letras minúsculas, denotando con un superíndice (h o v) cada una de sus proyecciones. Por otra parte, el superíndice “l” será usado en aquellas proyecciones realizadas sobre el plano lateral de proyección. Si un punto del espacio pertenece a una determinada recta, las proyecciones de aquél deben situarse sobre las proyecciones homónimas de ésta.

1.5.1 Trazas de la recta Sea una recta “m” definida por el segmento AB; los puntos pertenecientes a una “m” que se encuentran sobre los planos de proyección se denominan trazas de la “m”. En vista de que existen dos planos principales de proyección, se llamará horizontal (TH) de la recta al punto común entre ella y PH, y traza vertical (TV) de la al punto común entre ella y PV (Fig. 1.8).

recta

recta traza recta

v

TV

v

v

A

TV

A

v

A

m

B

v

m

v

m

v

B

v

v

h

TH

B

TH h

h

A

h

B

m

h

v

0

TV

TH h

TV

0

h

A

h

m

h

B

h

TH

Fig. 1.8: Trazas de una recta.

Evidentemente, la traza vertical es también el punto de intersección de la recta con su proyección vertical, y como este punto se halla en el plano vertical, tendrá su proyección

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horizontal en la línea de tierra. Por otra parte, siendo la traza vertical un punto perteneciente a la recta en el espacio, su proyección vertical deberá encontrarse sobre la proyección vertical de “m”; por lo tanto, la proyección horizontal de la traza vertical corresponde al corte entre la proyección horizontal de “m” con la línea de tierra. Análogamente, el corte de la proyección vertical de la recta “m” con la línea de tierra es la proyección vertical de la traza horizontal (punto de PH, Z = 0); la proyección horizontal de ese punto se encuentra sobre la proyección horizontal de la recta “m”. Nótese cómo los puntos de traza marcan un cambio de región de la recta “m”. En el ejemplo (Fig. 1.8), a la izquierda de TV “m” se encuentra la segunda región; entre TV y TH, la recta está en la primera región y a la derecha de TH, “m” se sitúa en la cuarta región del espacio. Como ya se ha indicado, la recta adopta posiciones notables cuando forma ángulos de cero o noventa grados con respecto a los planos de proyección, vale decir, cuando es paralela o perpendicular a uno de ellos. En el primer caso, un segmento de recta de determinada longitud se proyecta como otro segmento de igual tamaño, en tanto que en el segundo caso, se proyecta como un punto, ya que los rayos proyectantes correspondientes a cada uno de los infinitos puntos de la recta se confunden en uno solo. Se denomina α al ángulo que se forma entre la recta y el plano horizontal y β al formado con el plano vertical. Atendiendo a esta consideración, es posible realizar la siguiente clasificación:

1.5.2 Recta en posición paralela al Plano Horizontal El ángulo formado con el plano horizontal (α) es, obviamente, igual a cero. La intersección de la recta con este plano (TH) es un punto impropio, o lo que es lo mismo, está en el infinito (Fig. 1.9). Dependiendo del valor del ángulo formado por la recta con respecto al plano vertical, se obtienen los siguientes casos: •

Recta de Punta: En esta situación, la recta forma un ángulo con PV β = 90°, por lo que su proyección vertical (av) se reduce a un punto. La proyección horizontal de la recta (ah) es otra recta, la cual es perpendicular a la línea de tierra y se presenta en Verdadero Tamaño, ya que un segmento AB en esta posición se proyecta en AhBh con su misma longitud.

v

TV =TV

v

v

v

b

TV

h

ah

C

a

bh

v

v

E

TV

cv

v

F

v

h

F

h

0 TV

h

TV

E

A h

v

v

D

c h

h

v

bv

A =B =TV =a

D

C

A

C

F

E

v

A =B =TV =TV=a

TV

v

D

bv

C v

c

E

v

v

v

v

v

h

D

h

ch

E h

h

B h

A

F

h

C

bh

ah

h

D

ch

B

h

B

a : R e cta d e P u nta b : R e cta P a ra le la a la Líne a d e T ierra c: R e cta H o rizon ta l

h

F

Fig. 1.9: Recta en posición paralela al Plano Horizontal.

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•

Recta Paralela a la Línea de Tierra: En este caso particular, la recta es paralela a ambos planos de proyección, por lo que β = 0. Se representa en ambas proyecciones como rectas paralelas a la línea de tierra y en Verdadero Tamaño. Ambos puntos de traza (TV y TH) resultan ser puntos impropios.

•

Recta Horizontal: La recta en esta posición, es oblicua con respecto a PV, vale decir, β ≠ 90° y β ≠ 0. Como consecuencia, la proyección vertical (cv) es una recta paralela a la línea de tierra cuya longitud es menor con relación a la magnitud de la recta en el espacio (c), en una proporción igual al coseno del ángulo β. La proyección horizontal (ch) refleja el Verdadero Tamaño y es una recta inclinada con respecto a la línea de tierra; el valor de este ángulo es el mismo valor de β.

1.5.3 Recta en posición paralela al Plano Vertical El ángulo formado con el plano vertical (β) es igual a cero. La intersección de la recta con este plano (TV) es un punto impropio, o lo que es lo mismo, está en el infinito (Fig. 1.10). Dependiendo del valor del ángulo formado por la recta con respecto al plano horizontal, se presentan los siguientes casos: •

Recta de Pié: En esta situación, la recta forma un ángulo con PH α = 90°, por lo que su proyección horizontal (dh) se reduce a un punto. La proyección vertical de la recta (dv) es otra recta, la cual es perpendicular a la línea de tierra y se presenta en Verdadero Tamaño, ya que un segmento GH en esta posición se proyecta en GvHv con su misma longitud. v J

v

J

v

G

v

C ev

v

G

v

dv v

I

b

G

h

h

h

I

h

C

bh

v

v

e

v

v

H

H

TH

d

TH

v

v

D

C

H

ev

J

D

bv

v

D

dv

v

C

bv

0

TH

v

TH I

h

D

h

TH =TH

I

h

eh

h

J

h

C

h

G =H =TH =TH=d

h

h

h

bh

h

D

h

G =H =TH =d h

d: Recta de Pié b: Recta Paralela a la Línea de Tierra e: Recta Frontal

TH

I

h

eh

h

J

Fig. 1.10: Recta en posición paralela al Plano Vertical.

•

Recta Paralela a la Línea de Tierra: Dedo que en esta posición la recta también es paralela a PH, se trató en el numeral 1.5.2.

•

Recta Frontal: La recta en esta posición, es oblicua con respecto a PH, vale decir, α ≠ 90° y α ≠ 0. Como consecuencia, la proyección horizontal (eh) es una recta paralela a la línea de tierra cuya longitud es menor con relación a la magnitud de la recta en el espacio (e), en una proporción igual al coseno del ángulo α. La proyección vertical (ev) refleja el Verdadero Tamaño y es una recta inclinada con respecto a la línea de tierra; el valor de este ángulo de inclinación es el mismo valor de α.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determina las proyecciones diédricas de las rectas dadas. Indique posición de cada recta, ángulos que forma con los planos de proyección, trazas y verdadero tamaño del segmento que la define. a [A(05, 40, 20); B(15, 10, 20)] b [C(30, 25, 40); D(60, 25, 10)] c [E(80, 40, 10); F(80, 40, 40)] d [G(90, 45, 30); H(120, 45, 43)] e [I(150, 40, 10); J(150, 10, 40)] g [K(210, 10, 10); L(210, 45, 45)] 2. Determine las proyecciones diédricas de los segmentos: • • • • • •

AB: frontal; A(20, 10, 05), mide 30mm y forma 45° con el plano horizontal (B a la izquierda y de mayor cota que A). Determine las proyecciones del punto 1(??, ??, 25) perteneciente a la recta definida por AB. CD, de perfil; C(50, 05, 40), mide 35mm y forma 60° con el plano horizontal (D de menor cota y mayor vuela que C). Determine las proyecciones del punto 2(??, 10, ??) para que pertenezca a la recta definida por CD. EF, horizontal; E(125, 05, 30), mide 45mm y forma un ángulo β=60° (F ala izquierda y de mayor vuelo que E). GH, de punta; G(190, 00, 20), mide 30mm (Solución en la I región). IJ, de pié; I(200, 20, 00), mide 45mm (Solución en la I región). KL, paralela a LT; K(220, 20, 10), mide 30mm (L a la derecha de K).

JORGE L. CALDERÓN S.