Álgebra y Geometría Analítica

Unidad Temática V: Sistemas de Ecuaciones Lineales

ÍNDICE 1.Objetivos de la Cátedra..........................................................................................................................................24. 2. Saberes previos para la resolución de los ejercicios propuestos.........................................................................24. 3 Actividades Prácticas y Teóricas...........................................................................................................................25 4. Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Análisis de un sistema de ecuaciones lineales ( Métodos de resolución)....................................................... ..25 . 4.1.- Método de Gauss (Revisión Del Seminario Universitario) (Actividad 1)......................................................25 4.2.- Método de la matriz inversa (Actividad. 2)....................................................................................................25 4.3.- Método de Cramer. (Actividad. 3)................................................................................................................26 4.4.- Análisis de la compatibilidad de un sistema. Teorema de Roché – Frobenius: enunciado y demostración. Método de Gauss-Jordan (Actividad 4)...........................................................................................28 5.- Sistemas homogéneos (Actividades 5 y 6)..........................................................................................................30 6.- Sistemas con parámetro (Actividad 7)............................................................................................................. ..32 7.Miscelaneos: Seleccione Ud. el método más conveniente (Actividades 8-9-10-11-12-13-14 y 15)................. .33 8.- Problemas de aplicación. 81 Análisis de redes (Actividad. 16).................................................................................................................. ..37 8.2Problemas varios (Actividad 17)......................................................................................................................38 8.3Circuitos eléctricos. Leyes de Kirchhoff. (Actividad.18)..................................................................................40 8.4 Balanceo de ecuaciones químicas. (Actividad 19)..........................................................................................42 9.- Sistemas de inecuaciones 9.1- Programación lineal (Actividad.20)..............................................................................................................43 10.- Para buscar en Internet (Actividad 21)............................................................................................................46 11. ¿Qué sabe Ud. de los utilitarios más comunes que a diario usa en su PC?(Actividad 22).............................46 12. Autoevaluación..................................................................................................................................................46 13.Glosario...............................................................................................................................................................48 14. Bibliografia........................................................................................................................................................48 15.Respuestas a las actividades propuestas............................................................................................................49

23

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

1.- Objetivos de la Cátedra Esperamos que el alumno: •

Adquiera habilidad en la utilización de los algoritmos necesarios para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales, para poder resolver ejercicios concretos de otras áreas, pudiendo seleccionar el método adecuado al sistema de ecuaciones a resolver.

•

Aplique en su resolución los conocimientos adquiridos en el estudio de vectores, matrices y determinantes.

•

Interprete geométricamente sistemas asociados a problemas derivados de los temas de Geometría Analítica tratados en la Unidad Temática: Rectas en R2 y planos y rectas en R3.

•

Sea competente para trasladar un diálogo coloquial o el contenido de un problema a un sistema de ecuaciones lineales que lo modele y resuelva.

2.- Saberes previos para la resolución de los ejercicios propuestos Observación: A continuación se enumeran los contenidos que son necesarios dominar, previamente, para poder comprender y trabajar de modo apropiado con la presente guía.

24

•

Operaciones en reales

•

Concepto y operaciones con vectores

•

Geometría analítica (rectas y planos) como instancia de aplicación

•

Concepto de matriz.

•

Operaciones básicas con matrices.

•

Concepto de determinantes.

•

Cálculo de determinantes.

•

Conocimientos básicos de manejo de PC.

Álgebra y Geometría Analítica

3.-Actividades Prácticas y Teóricas 4.- Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Análisis de un sistema de ecuaciones lineales ( Métodos de resolución). 4.1.- Método de Gauss (Revisión Del Seminario Universitario)

Actividad 1 Resolver los siguientes sistemas empleando el método de triangulación de Gauss. Aplicar el procedimiento aprendido en el Seminario Universitario. Saberes previos a aplicar: •

Operaciones en reales

•

Mecanismos de cálculo aprendidos en el Seminario

⎧4 x + 2 y = 3 a) ⎨ ⎩12x + 6 y = 2

⎧4 + 3y = 3x b) ⎨ ⎩x − 8 = 2 y

⎧x + y + z = 2 ⎪ c) ⎨x − 2 y − z = 1 ⎪2 x − 3 y + 2 z = 4 ⎩

⎧5x + y + z = 0 ⎪ d) ⎨x − y − z = 0 ⎪3x − y + 3z = 0 ⎩

4.2.- Método de la matriz inversa.

Actividad 2 Saberes previos a aplicar: •

Operaciones en reales

•

Concepto de matriz.

•

Operaciones básicas con matrices.

•

Matriz inversa

2.1 Mediante el Método de inversión de matrices, resolver los sistemas de la Actividad 1

Sea A . X = B ( * ) un sistema de ecuaciones lineales donde: A∈ Rnxn, X ∈ Rnx1 y B ∈ Rnx1. Si A es una matriz no singular entonces existe A–1 , tal que multiplicando a izquierda en ambos miembros de (*) por la inversa sucede que: A–1 . A . X = A–1 . B Donde por definición de matriz inversa: A–1 . A = I y I . X = X, entonces: X = A–1 B

2.2 Completar cada uno de los siguientes enunciados:

25

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

a) Si existe A–1, el sistema de ecuaciones lineales cuadrado: A.X = B se clasifica según su conjunto solución como.............................................................. b) Si A ≠ 0 entonces existe.........................y obtenemos la solución del sistema de ecuaciones lineales cuadrado A.X = B por medio de la operación matricial.............................................. c) Si el sistema de ecuaciones lineales cuadrado A.X = B es compatible determinado entonces la matriz A es...................................................................... d) Si el rango de la matriz Anxn es n entonces el determinante de A es....................................y existe........................ Luego, el sistema de ecuaciones lineales cuadrado A.X = B es................................................................................. 2.3 Empleando el método matricial, determinar el valor de k

v = (2 ; 2 ; 5)

sea

combinación

lineal

del

para que el vector:

conjunto

de

vectores:

A = { ( 1;1;1 ); ( 2 ; 2 ; k ); ( 2 ; k ;1 ) } 4.3.- Método de Cramer. Actividad 3 Saberes previos: •

Operaciones en reales

•

Concepto de determinante.

•

Operaciones básicas con determinantes.

Introducción teórica: Definición del Método de Cramer Si A . X = B es un sistema de ecuaciones lineales donde A ∈ Rnxn y el determinante de la matriz de coeficientes A es distinto de cero entonces el valor de la incógnita xk se obtiene como resultado de dividir al determinante asociado a la incógnita xk por el determinante asociado a la matriz de coeficientes A del sistema. Δx k En símbolos: x k = Δ donde: Δx k : se denomina determinante asociado a la incógnita xk y que se obtiene por reemplazar en el determinante asociado a la matriz A la columna de los coeficientes de la incógnita xk por la columna de términos independientes del sistema de ecuaciones. Δ : se denomina determinante del sistema de ecuaciones y es el determinante asociado a la matriz de coeficientes A del sistema de ecuaciones.

26

Álgebra y Geometría Analítica

Demostración del Método de Cramer Sea A . X = B un sistema de ecuaciones lineales cuadrado, tal que el determinante de la matriz de coeficientes A no es nulo. Δx k D(A1 A 2 L B L A n ) Demostraremos que: x k = = Δ D(A1 A 2 L A k L A n ) donde: k = 1, 2, 3, ..., n Ak son las columnas de la matriz de coeficientes A del sistema de ecuaciones lineales B es la columna de términos independientes del sistema de ecuaciones lineales Entonces: n ⎛ ⎞ L B L A n ) = D⎜⎜ A 1 A 2 L ∑ x k . A k L A n ⎟⎟ k =1 ⎝ ⎠ En consecuencia, como la columna k del determinante es una suma de n términos, este determinante puede descomponerse en la suma de n determinantes, resultando:

D(A 1

A2

⎛ D⎜⎜ A 1 ⎝

A2

L

n

∑ xk . Ak

k =1

= D(A 1 + D(A1

A2 A2

⎞ L A n ⎟⎟ = ⎠

L x 1 . A 1 L A n ) + D(A 1 L xk . Ak

A2

L A n ) + L + D(A 1

L x2 . A2

L A n )+L+

A 2 L xn . An

L An )

En esta suma, tenemos términos que son determinantes donde una de las columnas es múltiplo de otra columna y por lo tanto, valen cero. En consecuencia, la igualdad anterior se reduce a la siguiente: D(A 1 A 2 L B L A n ) = D(A 1 A 2 L x k . A k L A n ) Luego, en el determinante del segundo miembro de la igualdad, la columna k es múltiplo del escalar: xk y por propiedad podemos extraerlo como factor del determinante, resultando que: D(A 1 A 2 L B L A n ) = x k . D(A1 A 2 L A k L A n ) Por lo tanto, como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales no es nulo: D(A 1 A 2 L A k L A n ) ≠ 0 , obtenemos lo que queríamos demostrar: xk =

D(A 1 A 2 L B L A n ) Δx k = D(A 1 A 2 L A k L A n ) Δ

.

3.1 Aplicando el Método de Cramer, resolver los siguientes ejercicios: a) Hallar el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 2)

1) ⎧2 x + 3y = 5( x + y) − 3 ⎪ ⎨x − 6 y + 4 ⎪⎩ 3 = 2

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ . x 1 + ⎜1⎟ . x 2 + ⎜ 0 ⎟ . x 3 = ⎜ 7 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜1⎟ ⎜ 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

27

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

b) Hallar el punto de encuentro entre los planos: π → 2 x − y + z = 0 , β → 3x − 2 y − z = 2

y

α → 5x + 5 y − 2z = 6

c) Hallar el punto de encuentro entre la recta: r →

x + 4 y −1 z = = 2 3 5

y el plano: α → x − y − z − 2 = 0 . Nota: observe cuántas ecuaciones integran inicialmente el sistema que debe resolver. ¿Es posible reducirlas? ¿Es posible encontrar un modelo que permita aplicar de manera directa el método propuesto? Justifique sus respuestas.

d) Encontrar, si existen, los valores de k (número real) para que los siguientes sistemas de ecuaciones sean compatibles determinados:

1)

⎛ k k −1 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 k + 1 4 ⎟ .⎜ y ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜k 0 k ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎝

⎧k x + k 2 y = 0 ⎪ 2) ⎨k 3 y + 4z = 5 ⎪- k x + k z = −2 ⎩

e) Suponga que tiene que obtener la ecuación de la recta que queda determinada por intersección de los siguientes planos: ⎧2 x − 3 y + 3 z = 4 L: ⎨ ⎩x + 2 y − z = 3 ¿Es posible resolver el sistema de ecuaciones precedente aplicando el Método de Cramer? Si así fuera, ¿qué hipótesis tiene que aplicar? Intente calcularlo. 4.4.- Análisis de la compatibilidad de un sistema. Teorema de Roché – Frobenius: enunciado y demostración. Método de Gauss - Jordan

Actividad 4 Saberes previos:

28

•

Operaciones en reales

•

Conceptos de álgebra vectorial

•

Concepto de matriz.

•

Operaciones básicas con matrices

•

Rango de una matriz.

Álgebra y Geometría Analítica

4.1 Demostrar el Teorema de Rouché-Frobenius.

Sea A . X = B un sistema de ecuaciones lineales donde:

A ∈K

4.2 Empleando el Método de Gauss – Jordan y el Teorema de

nxm

, X ∈K

(

mx1

Y sea A´ = A M B

)

y B ∈K

nx1

la matriz de

Rouche – Frobenius, resolver, clasificar y definir el

coeficientes del sistema ampliada con la

conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones

columna de términos independientes,

lineales:

•

entonces: ρ(A) = ρ(A´) = m ⇒ A.X = B es compatible determinado

⎧x + 2 y − 3z = 9 ⎪ a) ⎨2x − y + z = 0 ⎪4 x − y + z = 4 ⎩

⎛1 ⎜ b) ⎜ 1 ⎜2 ⎝

⎧x + 2 y + 3z − t = −3 ⎪x − z − 2t = −3 ⎪ c) ⎨ ⎪2x + y + 3z + 3t = 7 ⎪⎩− x + y − 3z + 3t = 4

⎧x + y + z = 1 ⎪3x + 2 y + 2z = 0 ⎪⎪ d) ⎨x − y − 2z = 2 ⎪4x + 3y + 3z = 1 ⎪ ⎪⎩5x + 2 y + z = 3

2 −1 0

1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛−1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎟ .⎜ y ⎟ = ⎜ 2 ⎟ − 1 ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

•

ρ(A) = ρ(A´) < m ⇒ A.X = B es compatible indeterminado

•

ρ(A) ≠ ρ(A´) ⇒ A.X = B es incompatible

⎧x + 2 y − 3z = 5 ⎪ e) ⎨3x − y + 2z = 1 ⎪5x + 3y − 4z = 11 ⎩

⎧x + y + z + t + w = 1 ⎪2 x − y − z + 2 t − w = 2 ⎪ f) ⎨ ⎪5x + 2 y + 2z + 5t + 2w = 5 ⎪⎩4x + y + z + 4t + w = 4

⎧4 x − 2 y + 6 z = 0 g) ⎨ ⎩2 x − 3 y − z = 2

⎧x + y + 2z − t = 3 ⎪2 x + z + t = 0 ⎪ h) ⎨ ⎪3x − y + 3z + 3t = 1 ⎪⎩− 2 y + 3t = −2

⎧3x − 2 y + 3z = 3 ⎪2 x − 3 y − z = 2 ⎪ i) ⎨ ⎪5x − 5y + 2z = 5 ⎪⎩10x − 10 y + 4z = 0

⎧x + y + z = 1 ⎪3x + 2 y + 2z = 0 ⎪ j) ⎨ ⎪ x − y − 2z = 2 ⎪⎩6x + 5 y + 5z = 0

k)

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ x + ⎜ 1 ⎟ y + ⎜ − 1⎟ z = ⎜ 11 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 20 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛x⎞ ⎜ ⎟ 1 3 − 1⎞ ⎜ y ⎟ ⎛ 5 ⎞ ⎛1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ l) ⎜ 1 1 − 1 − 1 2 ⎟ .⎜ z ⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜12 12 − 4 − 4 12 ⎟ ⎜ t ⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜w⎟ ⎝ ⎠

Interpretar geométricamente los sistemas de ecuaciones lineales de los ítems: (a), (b), (d), (e), (g), (j) y (k).

29

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

4.2 Resolver el sistema de la Actividad 3.1, ítem e, por el método de Gauss-Jordan. ¿Encuentra

alguna ventaja en calcular la recta por ese método comparándolo con la resolución por Regla de Cramer? 4.3 Resolver los ejercicios propuestos en la Actividad 3.1, ítem d, por el método de Gauss-

Jordan. Analice qué rol juega el uso del Teorema de Roché-Frobenius para determinar la solución de los problemas planteados.

5.- Sistemas homogéneos

Un

sistema de ecuaciones lineales

Anxm. Xmx1 = Bnx1, donde la matriz

Actividad 5

columna de términos independientes es

Saberes previos:

la matriz columna nula B = 0 ∈ Knx1 se denomina homogéneo.

•

Operaciones en reales

•

Conceptos de álgebra vectorial

•

Concepto de matriz.

•

Operaciones básicas con matrices

•

Rango de una matriz.

•

Operaciones con determinantes

•

Manejo de los conceptos sobre sistemas de ecuaciones aprendidos

Como X = 0 verifica: A . 0 = 0, los sistemas

de

homogéneos

ecuaciones son

compatibles. Si consideramos la matriz

ampliada : A´ = el

vector

( A M 0 ) es claro que

columna

ecuaciones lineales homogéneos aplicando el método de resolución y clasificación más conveniente en cada caso.

⎧x − 2 y + z = 0 ⎪ a) ⎨− y + z = 0 ⎪x − 2 y − 2z = 0 ⎩

⎧2 x − 2 y + z + t = 0 ⎪3x − y + z + t = 0 ⎪ b) ⎨ ⎪x − 2 y − 2z − t = 0 ⎪⎩x + y + z + t = 0

⎧x + 2 y + 3z = 0 ⎪3x − 2 y − 3z = 0 ⎪ c) ⎨ ⎪ x + y + 2z = 0 ⎪⎩5x + y + 2z = 0

⎧4x + 2 y + 3z = 0 ⎪ d) ⎨x + 2 y − 5z = 0 ⎪6x + 6 y − 7z = 0 ⎩

30

de

términos

independientes es combinación lineal de los vectores columna de la matriz de coeficientes A y en consecuencia:

ρ (A) = ρ (A´ ) .

Obtener el conjunto solución de los siguientes sistemas de

lineales siempre

Pero

siendo

compatibles sucederá que pueden ser determinados o indeterminados.

Álgebra y Geometría Analítica

⎧ x − 3y + 2z + 2 t = 0 ⎪ e) ⎨x + 2 y − 5z − 6t = 0 ⎪6x + y + z + 3t = 0 ⎩

⎧7 x − 3y + 5z = 0 f) ⎨ ⎩x + y − z = 0

Interpretar geométricamente los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos de los ítems: (a), (c), (d) y (f). g) Determinar para qué valores de k el sistema de ecuaciones lineales homogéneo es compatible determinado. ¿Para qué valores de k resulta compatible indeterminado? ⎧x + (k + 1) y + z = 0 ⎪ ⎨x + y + (k + 1) z = 0 ⎪(k + 1) x + y + z = 0 ⎩

Actividad 6 Saberes previos: •

Operaciones en reales

•

Conceptos de álgebra vectorial

•

Concepto de matriz.

•

Operaciones básicas con matrices

•

Rango de una matriz.

•

Operaciones con determinantes

•

Manejo de los conceptos sobre sistemas de ecuaciones aprendidos

Completar las siguientes proposiciones: a)

Si A nxn ≠ 0 entonces Anxn.Xnx1 = 0nx1 es..............................................................................

b)

Si ρ (A nxn ) = n entonces Anxn.Xnx1 = 0nx1 es..........................................................................

c)

Si

el

sistema

de

ecuaciones

Anxn.Xnx1

=

0nx1

es

compatible

determinado

entonces..................................., ........................................y................................................. d)

Si A nxn = 0 entonces Anxn.Xnx1 = 0nx1 es...............................................................................

e)

Sea Anxn.Xnx1 = 0nx1 tal que: ρ (A) < n entonces............................................................

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

31

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

6. Sistemas con parámetros Actividad 7 Saberes previos (a partir de esta Actividad y en adelante): •

Operaciones en reales

•

Conceptos de álgebra vectorial

•

Concepto de matriz.

•

Operaciones básicas con matrices

•

Rango de una matriz.

•

Operaciones con determinantes

•

Manejo de los conceptos sobre sistemas de ecuaciones aprendidos

Determinar el valor de los parámetros, si existen, para que los siguientes sistemas de ecuaciones lineales sean: (i)

Compatibles determinados

(ii)

Compatibles indeterminados

(iii)

Incompatibles

Se denominan sistemas de ecuaciones lineales paramétricos a los sistemas de ecuaciones lineales en los cuales algún coeficiente o término independiente es indeterminado y se lo denomina parámetro, ya que los posibles valores que puede adoptar genera que el sistema de ecuaciones varié su clasificación según el conjunto solución que presente.

⎧x + y − z = 2 ⎪ a) ⎨x + 2 y + z = 3 ⎪x + y + a 2 − 5 z = a ⎩

⎧x + y + z = 2 ⎪ b) ⎨x + 3y + 2z = 5 ⎪2x + 3y + a 2 −1 z = a +1 ⎩

⎧x + 2 y + z = a 2 ⎪ c) ⎨x + y + 3z = a ⎪3x + 4 y + 7 z = 8 ⎩

⎧x + 2 y + z = a 2 ⎪ d) ⎨x + y + 3z = a ⎪3x + 4 y + 8z = 8 ⎩

⎧x + 2 y = 1 e) ⎨ ⎩2 x + 2 a y = b

⎧( 5 − a ) x − 2 y − z = 1 ⎪ f) ⎨− 2x + ( 2 − a ) y − 2z = 2 ⎪− x − 2 y + ( 5 − a ) z = b ⎩

⎛ 1 2 − 3⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎟ .⎜ y ⎟ = ⎜ b ⎟ g) ⎜ 2 3 ⎜ 5 9 − 6⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ c ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −1 h) ⎜⎜ ⎝ 0

(

)

(

2 2 a −1

)

⎛x⎞ 3 ⎞⎜ ⎟ ⎛ b ⎞ ⎟ .⎜ y ⎟ = ⎜ ⎟ a − 1 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎝ a + b ⎟⎠ ⎝z⎠

Interpretar geométricamente el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales del ítem (h) cuando a = 1 y b = –1

32

Álgebra y Geometría Analítica

7. Misceláneos: seleccione Ud. el método que considere más conveniente… Actividad 8 Para qué valor o valores de c son linealmente dependientes los vectores del conjunto: S = { (− 1; 0 ; − 1); (2 ;1; 2); (1;1; c 2 − 4) }

Actividad 9 Proponga un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que se corresponda en cada caso con la situación gráfica de R3 que se muestra: a) 6

4

2

-2

0 0

0 2

2 4

4 66

b) 5

0

-5 -5

-5 0

0 5

5

Actividad 10 Utilice sistemas de ecuaciones lineales para: a) Calcular las constantes a, b y c tales que los polinomios: p( x ) = a x 2 + 3x 2 + 2a x − 2c x + 10x + 6c y q( x ) = −2b x 2 − 3b x + 9 + a − 4b sean iguales

33

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

b) Determinar las constantes A y B tales que:

A B 1 = + x − 3x + 2 x − 1 x − 2 2

Actividad 11 Utilice sistemas de ecuaciones lineales para: a) Encontrar una función cuadrática que pase por los puntos del plano: P(1;0), Q(–1;6) y R(2;0) b) Determinar una función cúbica que pase por los puntos del plano: P(1;1), Q(–1;5), R(0;1) y S(–2;7) c) Obtener la ecuación del plano que pasa por los puntos P(1;1;–1), Q(2;1;2) y R(1;3;–5) del espacio R3. d) Hallar la ecuación de la circunferencia: (x − α ) + (y − β ) = r 2 con centro en el punto: 2

2

C(α;β) y radio: r que pasa por los puntos del plano: P(2;8), Q(–3;3) y R(–2;0).

Actividad 12 Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si la proposición es verdadera, demostrarla. Si es falsa, demostrar o brindar un contraejemplo.

⎧a 1 x + b1 y = c1 a) Si x = x0 e y = y0 es una solución del sistema de ecuaciones lineales: ⎨ ⎩a 2 x + b 2 y = c 2 también es solución x = kx0 e y = ky0 para cualquier k constante. b) Si x = x0, y = y0 y x = x1, y = y1 son dos soluciones del sistema de ecuaciones lineales: ⎧a1 x + b1 y = 0 ⎨ ⎩a 2 x + b 2 y = 0

entonces también lo es x = x0 + x1 , y = y0 + y1

⎧a 1 x + b1 y = c1 entonces es un c) Si a 1 b 2 − a 2 b1 ≠ 0 en el sistema de ecuaciones lineales: ⎨ ⎩a 2 x + b 2 y = c 2 sistema compatible determinado.

⎧a 1 x + b1 y = 0 entonces es un d) Si a 1 b 2 − a 2 b1 = 0 en el sistema de ecuaciones lineales: ⎨ ⎩a 2 x + b 2 y = 0 sistema compatible indeterminado.

34

Álgebra y Geometría Analítica

e) Todo sistema de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones es compatible indeterminado. f) Siempre un sistema de ecuaciones lineales cuadrado es compatible determinado. g) Algunos sistemas de ecuaciones lineales con más ecuaciones que incógnitas son compatibles indeterminados. h) Si v1, v2 y v3 son los vectores columna de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales: A3x3 .X3x1 = B3x1 entonces el sistema será compatible determinado si el vector columna que definen los términos independientes del sistema es combinación lineal de los vectores: v1, v2 y v3. i) Si X = X1 y X = X2 son dos soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo: A .X = 0 entonces X = X1 – X2 es una solución. j) Si X = X1 y X = X2 son dos soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo: A . X = 0 entonces X = αX1 + β X2 es una solución para α y β escalares. ⎛4 1⎞ ⎛ x ⎞ ⎛x⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = λ ⎜⎜ ⎟⎟ k) No existe valor real para λ tal que el sistema de ecuaciones lineales: ⎜⎜ ⎝ 0 2⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ y⎠ sea compatible indeterminado. ⎛3 1 5⎞ l) Los puntos del espacio R3: P(3;0;1), Q(3;0;1) y R ⎜ ; ; ⎟ están alineados. ⎝2 2 2⎠

m) Tres planos del espacio R3 siempre se intersectan en un punto o en una recta. ⎧b x + a y = c ⎪ n) El sistema de ecuaciones lineales: ⎨c x + a z = b es compatible determinado si: a . b . c ≠ 0 ⎪c y + b z = a ⎩ o) Si Anxn .Xnx1 = 0nx1 es un sistema lineal compatible determinado entonces el sistema lineal A(n+1)xn .Xnx1 = 0(n+1)x1 también es compatible determinado.

35

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

p) Si ρ(Pnxn) = n y ρ(Qnxn) = n entonces el sistema lineal: (P+Q).Xnx1 = B nx1 es compatible determinado. q) Si ρ(Pnxn) = n y ρ(Qnxn) = n entonces el sistema lineal: (P.Q).X nx1 = B nx1 es compatible determinado. r) Si

Pnxn = 0 y

Q nxn = 0 entonces el sistema lineal: (P+Q).X nx1 = 0 nx1 es compatible

indeterminado. s) Si Anxn

es involutiva entonces el sistema lineal (Anxn)2 .Xnx1 = Bnx1 es compatible

determinado. t) Si Anxn

es idempotente entonces el sistema lineal (Anxn)10 .Xnx1 = Bnx1 es compatible

determinado o indeterminado. u) Si

Anxn

es

ortogonal

entonces el conjunto solución del

sistema lineal

[Anxn.(Anxn)t].Xnx1 = Bnx1 es S = { Bnx1}.

Actividad 13 a) Considerando las matrices: ⎛ 12 12 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 14 14 12 ⎟ ⎜1 1 1⎟ ⎝3 3 3⎠ t t ⎪⎧ X . A = X Resolver el sistema lineal: ⎨ t ⎪⎩ B . X = 1

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜x2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ B=⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠

⎛1 0 2⎞ ⎛ 4 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) Considerando las matrices: P = ⎜ 3 1 0 ⎟ y Q = ⎜ 2 3 1 ⎟ , resolver el sistema lineal: ⎜0 2 2⎟ ⎜ 0 5 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧2 R + S = P ⎨ ⎩R − S = Q

36

Álgebra y Geometría Analítica

Actividad 14 Observación: Para desarrollar cuando se explique la Unidad Temática de Números Complejos.

Hallar en C el conjunto solución de los siguientes sistemas lineales: ⎧i x + y − z = 0 a) ⎨ ⎩i y + z = 0 b)

⎧(1 + i ) x − y + i z = i ⎪ ⎨x + (1 + i ) y + z = i ⎪i x + y − z = i ⎩

Actividad 15

¿Es posible armar un único determinante con la siguiente estructura:

a 0 a a

a c − 2c b c 0 0 c a c 2c − 6

sabiendo que los elementos de la diagonal principal suman 0, los elementos de la primera fila suman –1 y los de la segunda y tercera fila suman lo mismo?. En caso afirmativo, calcular cuánto vale el determinante enunciado e indicar si puede obtenerse ese resultado aplicando propiedades de los determinantes.

8.- Problemas de aplicación. En los siguientes ejercicios se estudiarán algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales a situaciones problemáticas de la ingeniería o de la vida real… ¡Acepte el desafío de resolverlas…!

8.1 Análisis de redes. Actividad 16 Muchas situaciones prácticas dan origen a las redes: redes de transporte, redes de comunicaciones, redes económicas,, por nombrar sólo algunas. De particular interés son los flujos posibles a través de las redes. Por ejemplo, el flujo de vehículos a través de una red de calles, el flujo de información a través de una red de comunicaciones y servicios que fluyen a través de una red económica.

37

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

Una red puede componerse de un número finito de nodos o vértices conectados por medio de una serie de líneas que se denominan ramas o arcos y cada una de estas ramas está vinculada con un flujo que representa la cantidad de algún producto que puede fluir a lo largo de esa rama en una dirección indicada, esto es por ejemplo la cantidad de autos que se desplazan en una red de calles de un solo sentido. La regla fundamental que rige el flujo a través de una red se denomina: conservación del flujo y dice: “En cada nodo, el flujo que entra es igual al flujo que sale” 5

A

B

En la figura se muestra una red simplificada de tuberías de agua y el flujo que se indica

10

10

F1 F4

en cada rama es medido en litros por minuto 20

D

F3

F2

30

C

5

Construir el modelo matemático que expresa los flujos posibles a través de la red de tuberías de la figura. Determinar los valores de flujo máximo y mínimo en cada rama.

8.2 Problemas varios Actividad 17 Establecer y resolver un sistema de ecuaciones adecuado para cada uno de los siguientes problemas. a) Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes, y cuando tengas la edad que yo tengo nuestras edades sumaran 72 años. b) Existen dos campos cuya área total es de 1800 yardas cuadradas. Un campo produce granos a razón de

2 3

de bushel por yarda cuadrada; el otro campo produce granos a razón de

1 2

bushel por yarda cuadrada. Si la cosecha total es de 1100 bushels. ¿Cuál es el tamaño de cada campo? 1

1

El problema citado en el ítem (c) de la actividad 11 fue hallado en una tablilla de arcilla de los babilonios que data aproximadamente del año 300 a.C.

38

Álgebra y Geometría Analítica

Nota: le pueden llamar la atención algunas de las unidades de medida que se mencionan en el problema. Tal vez haya escuchado alguna vez o leído sobre la yarda, medida inglesa aún muy utilizada en los países de esa habla. ¿A cuántos metros equivale? ¿Y el bushell? ¿Qué tipo de unidad es? Investigue… En muchos casos se puede encontrar con problemas (y con libros de texto especializados) donde se utilizan unidades de medición diferentes a las que habitualmente usa (pies, pulgadas, yardas, brazas, millas, galones, barriles, onzas, libras, nudos, atmósferas,...) A pesar de que no encuadran en los sistemas de unidades MKS y CGS de uso internacional, hay actividades profesionales donde estas unidades son moneda corriente, y usted va a tener que acostumbrarse a manejarse con ellas. Tómese el trabajo de averiguar sobre las mismas. Va a ampliar sus conocimientos…

c) Tres hombres poseen una sola pila de dinero, y sus aportaciones son

1 2

,

1 3

y

1 6

. Cada uno

toma algo de dinero de la pila, hasta que no queda nada. A continuación el primer hombre regresa

1 2

de lo que tomó, el segundo

1 3

y el tercero

1 6

. Cuando el total que regresaron se

divide por igual entre ellos, se descubre que cada hombre posee lo que le corresponde por su aportación. ¿Cuánto dinero había en la pila original, y cuánto dinero tomó cada uno? d) Un cuadrado mágico de tamaño n es una matriz de n x n cuyos elementos consisten en todos los números naturales entre 1 y n2, en tal forma que las sumas de los elementos de cada columna, renglón o diagonal son iguales. Se puede demostrar que la suma de los elementos de cualquier columna, renglón o diagonal de un cuadrado mágico de tamaño n n ( n 2 + 1) es: . 2

(figura 1),

Se pide: (1) Demostrar que no existen cuadrados mágicos de tamaño 2

(2) Determinar el cuadrado mágico de tamaño 3 cuyo primer renglón es el

vector: (8;1;6) (figura 2).

Figura 1

a

b

8

1

6

c

d

a

b

c

d

e

f

Figura 2

39

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

8.3 Circuitos eléctricos. Leyes de Kirchhoff Actividad 18 Las redes o circuitos eléctricos 2 son un tipo especializado de red que proporciona información acerca de fuentes de alimentación, tales como las baterías, y los dispositivos energizados por estas fuentes, tales como las lámparas eléctricas o los motores. Para determinar las intensidades de las corrientes que fluyen en un circuito eléctrico se emplean tres leyes fundamentales: Ley de Ohm: La intensidad de la fuerza E necesaria para conducir una corriente I a través de un resistor con una resistencia R es: E = R.I (Fuerza = Resistencia x corriente) Leyes de Kirchhoff: 1°) Ley de la corriente (aplicable en los nodos): La suma de las corrientes que fluyen hacia cualquier nodo es igual a la suma de las corrientes que fluyen hacia fuera de este nodo. 2°) Ley del voltaje (aplicable en los circuitos): La suma de las caídas de voltaje (diferencia de potencial) en cualquier circuito es igual al voltaje total del circuito (proporcionado por las baterías o fuentes). Unidades de medida: La diferencia de potencial se mide en Volts, la resistencia en ohms y la corriente en amperios Por ejemplo:

I1

Determinar las corrientes I1, I2 e I3 del circuito

8 voltios

I1

eléctrico que se muestra en la siguiente figura: C

Este circuito tiene dos baterías o fuentes señaladas 2 ohms mediante el símbolo: A

y cuatro resistencias indicadas con el símbolo:

2 ohms

I2

I2

B

1 ohms

4 ohms

Figura 1

D I3

16 voltios

I3

La corriente I1 fluye a través de la rama superior: BCA, la corriente I2 fluye a través de la rama media o central AB y la corriente I3 fluye a través de la rama inferior BDA. En el nodo A, la ley de la corriente nos da: I1 + I3 = I2 o de manera equivalente: I1 – I2 + I3 = 0 (1) (observar que obtenemos la misma ecuación si consideramos el nodo B). Luego, aplicamos la ley del voltaje a cada circuito: CABC y DABD. Para el circuito CABC, las caídas de voltaje en los resistores son: 2I1 , I2 y 2I1 . De este modo, tenemos la ecuación: 4I1 + I2 = 8 (2).

De

manera semejante, para el circuito DABD, obtenemos

que: I2 + 4I3 = 16 (3) (Nótese que existe en realidad

un

tercer circuito, CADBC, si “vamos en contra de la corriente”.

En este

caso, debemos tratar los voltajes y resistencias en las trayectorias “inversas” como negativos, obteniendo que:

2

Adaptación de “Circuitos (redes) eléctricas”, Álgebra Lineal, Una introducción moderna, Poole, D., Thomson, México,2004.pp.106.

40

Álgebra y Geometría Analítica

2I1 +2I1 – 4I3 = 8 – 16

4I1 – 4I3 = – 8, ecuación que es precisamente la diferencia de las ecuaciones de

o

voltaje de los otros dos circuitos. Por tal motivo, esta ecuación puede omitirse, ya que no contribuye con nueva información. Por otro lado, incluirla tampoco perjudica la resolución del problema planteado). Retomando el problema planteado, las ecuaciones (1), (2) y (3) definen un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que modela al circuito de la figura 1 y cuyo conjunto solución serán los valores de las corrientes presentes en el circuito:

⎧I 1 − I 2 + I 3 = 0 ⎪ ⎨4I 1 + I 2 = 8 ⎪I + 4I = 16 3 ⎩ 2

Aplicando el Método de Gauss-Jordan, comprobar que: I1 =1 amperio, I2 = 4 amperios y I3 = 3 amperios

Observación: en algunos circuitos, las corrientes tienen valores fraccionarios o incluso son negativos. Un valor negativo simplemente significa que la corriente de la rama correspondiente fluye en la dirección opuesta a la que se muestra en el diagrama del circuito.

Teniendo en cuenta los conceptos desarrollados previamente, resolver: a) El circuito de la figura 2 tiene una sola fuente de poder A y cinco resistores. Encontrar las corrientes I, I1, I2, I3, I4 e I5 (éste es un ejemplo de lo que se conoce en Ingeniería Eléctrica como un circuito de puente de Wheatstone). b) El circuito de la figura 3, contiene dos fuentes de poder: C y D, y tres resistores. Encontrar las corrientes I1, I2 e I3. 2 ohms

1 ohms

I1

C

I4

I3

B 1 ohms

I2

I5 E

I1

C

I2

2 ohms

I1

8 voltios

I2

A

B

D 2 ohms

1 ohm

4 ohms

1 ohm

D A

I

10 voltios

Figura 2

I

I3

10 voltios

I3

Figura 3

41

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

8.4 Balance de ecuaciones químicas Actividad 19 Cuando se presenta una reacción química, ciertas moléculas (los reactivos) se combinan para formar nuevas moléculas (los productos). Una ecuación algebraica balanceada es una ecuación algebraica que proporciona los números relativos de reactivos y productos en la reacción y tiene el mismo número de átomos de cada tipo tanto del lado izquierdo como derecho de la ecuación. La ecuación por lo general se escribe con los reactivos a la izquierda, los productos a la derecha y una flecha entre ellos para mostrar la dirección de la reacción. Por ejemplo, para la reacción en la cual el gas hidrógeno (H2) y el oxígeno (O2) se combinan para formar agua (H2O), una ecuación química balanceada es: 2H2 + O2 → 2H2O la cual indica que dos moléculas de hidrógeno se combinan con una molécula de oxígeno para formar dos moléculas de agua. Observar que la ecuación está balanceada puesto que hay cuatro átomos de hidrógeno y dos átomos de oxígeno en cada lado. También advertir que nunca habrá una ecuación balanceada única de una reacción, puesto que cualquier múltiplo entero positivo de una ecuación balanceada también estará balanceada.

Teniendo en cuenta el texto previo y el ítem (a) que se expone a continuación, resolver: a) La combustión de amoniaco (NH3) en oxígeno (O) produce nitrógeno (N2) y agua (H2O). Para encontrar la ecuación química balanceada, designamos los números de moléculas de amoniaco, oxígeno, nitrógeno y agua mediante las variables: w, x, y, z, respectivamente, entonces la ecuación que buscamos es de la forma: w NH3 + x O2 → y N2 + z H2O. Comparando los números de átomos de nitrógeno, hidrógeno y oxígeno en los reactantes y

⎧w = 2 y ⎪ productos, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎨3w = 2 z . ⎪2 x = z ⎩ Determinar los valores enteros más pequeños de los números w, x, y, z, de manera tal que la ecuación química este balanceada. b) Balancear la ecuación química de la reacción: CO2 + H2O →

C6H12O6 + O2 (Esta

reacción tiene lugar cuando una planta verde convierte el bióxido de carbono y el agua en glucosa y oxígeno durante la fotosíntesis).

42

Álgebra y Geometría Analítica

c) Balancear la ecuación química de la reacción: C4H10 + O2 → CO2 + H2O (Esta reacción ocurre cuando el butano, C4H10, se quema en presencia de oxígeno para formar bióxido de carbono y agua).

9. Sistemas de inecuaciones 9.1 Programación lineal (Optativos) Actividad 20 Saberes previos: •

Operaciones en reales

•

Ecuaciones e inecuaciones

•

Conceptos de álgebra vectorial

•

Concepto de matriz.

•

Operaciones básicas con matrices

•

Rango de una matriz.

•

Manejo de los conceptos sobre sistemas de ecuaciones aprendidos

•

Programación lineal

Resolver los siguientes ejercicios de programación lineal: a) Determinar los valores de x e y que maximizan la función objetivo Z= 3x + 2 y sujeto a las restricciones: ⎧2 x − 3 y ≤ 6 ⎪ ⎨x + y ≤ 4 ⎪ x ≥ 0, y ≥ 0 ⎩ b) Determinar los valores de x e y que minimicen la función objetivo: Z = 3x – 2y sujeto a las

George Bernard Dantzig trabajó como asesor matemático en la Fuerza Aérea de Estados Unidos en el año 1946, es allí donde encontró los problemas que lo llevaron a sus descubrimientos. La Fuerza Aérea de Estados Unidos necesitaba una forma más rápida de calcular el tiempo de

restricciones:

duración de las etapas de un programa de

⎧− 3 x + 2 y ≤ 6 ⎪5 x + 4 y ≥ 20 ⎪ ⎨ ⎪8 x + 3 y ≤ 24 ⎪⎩ x ≥ 0, y ≥ 0

despliegue, entrenamiento y suministro logístico. El análisis de estas situaciones permitieron a Dantzig describir el modelo matemático de Programación Lineal que no sólo sirve para fines militares sino que es aplicable en otros ámbitos, como por ejemplo: la economía y la industria.

Resolver los siguientes problemas:

43

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

c) Un fabricante de productos fotográficos prepara cada día dos tipos de reveladores de película: Fino y Extrafino, utilizando como materia prima las soluciones A y B. Supongamos que cada cuarto de Fino contiene 2 kilos de solución A y 1 kilo de solución B, mientras que cada cuarto de Extrafino contiene 1 kilo de solución A y 2 kilos de solución B.

Supongamos

también que la ganancia por cada cuarto de Fino es de 8 centavos y que ésta es de 10 centavos por cada cuarto de Extrafino. Si la fabrica dispone a diario de 50 kilos de solución A y 70 kilos de solución B, ¿cuántos cuartos de Fino y cuántos cuartos de Extrafino debe producir para maximizar su ganancia (suponiendo que la fabrica puede vender todo lo que produce)? d) Un fabricante de cierto producto químico tiene dos plantas en las que lo elabora. La planta X puede entregar como máximo 30 toneladas por semana y la planta Y rinde como máximo 40 toneladas en el mismo lapso. El fabricante quiere producir un total de al menos 50 toneladas por semana. Además, se mide la cantidad de partículas suspendidas semanalmente en la atmósfera de una población cercana, como consecuencia del proceso industrial, y se determina que es de 20 gramos por cada tonelada del producto fabricado por la planta X y 30 gramos por cada tonelada elaborada en la planta Y. ¿Cuántas toneladas deben fabricarse semanalmente en cada planta para minimizar la cantidad total de partículas suspendidas en la atmósfera? e) Un nutricionista planea un menú que incluye los alimentos A y B como partes principales. Supongamos que cada kilo del alimento A contiene: 2 unidades de proteína, 1 unidad de hierro y 1 unidad de tiamina; cada kilo del alimento B contiene: 1 unidad de proteína, 1 unidad de hierro y 3 unidades de tiamina.

Supongamos que cada kilo del alimento A cuesta 30 centavos,

mientras que cada kilo de B cuesta 40. el nutricionista quiere que la comida proporcione al menos 12 unidades de proteínas, al menos 9 unidades de hierro y al menos 15 unidades de tiamina. ¿Cuántos kilos de cada uno de los alimentos debe emplear para minimizar el costo de la comida? f) El analista financiero de una empresa analizando las condiciones de producción que se muestran en la Tabla C, expuso en un informe que resulta imposible determinar los valores de producción que minimicen los costos, asumiendo que la empresa dispone de un máximo de 900 unidades monetarias de mano de obra y como mínimo de 12.000 unidades monetarias de materia prima. Explique cuál sería el motivo que justifica la afirmación del analista financiero.

44

Álgebra y Geometría Analítica

g) ------

Mano de Obra

Materia Prima

Costo

Acero Calidad A

1

4

30

Acero Calidad B

1

4

50

Total

900

12000

-----

h) Una fundidora produce dos clases de acero: regular y especial. Una tonelada de acero regular necesita 2 horas en el horno a hogar abierto y 5 horas en el foso de recalentamiento; una tonelada de acero especial necesita 2 horas en el horno a hogar abierto y 3 horas en el foso de recalentamiento.

El horno a hogar abierto está disponible 8 horas al día y el foso de

recalentamiento 15 horas. La ganancia en una tonelada de acero regular es de 120 dólares y es de 100 en una tonelada de acero especial.

Determine cuántas toneladas de cada clase de

acero deben fabricarse para maximizar la ganancia. i) Un pequeño grupo electrógeno utiliza dos clases de combustible para producir electricidad: con bajo contenido de azufre (B) y con alto contenido de azufre (A). Por cada hora de uso, cada galón de B emite 3 unidades de bióxido de azufre, genera 4 kilovatios y cuesta 60 centavos, mientras que cada galón de A emite 5 unidades de bióxido de azufre, genera 4 kilovatios y cuesta 50 centavos. La oficina de protección ambiental insiste en que la máxima cantidad de bióxido de azufre que puede emitirse por hora es de 15 unidades. Suponga que al menos deben generarse 16 kilovatios por hora. ¿Cuántos galones de B y cuántos galones de A deben quemarse por hora para minimizar el costo del combustible utilizado? Nota: En consonancia con lo mencionado más arriba, investigue qué unidad de medida es el galón y a qué equivale… ¿En qué países se usa?

Un nuevo desafío...

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Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

j) Determinar los valores de x , y y

z que maximizan la función objetivo:

⎧x + y + z ≤ 3 W = 40 x + 80 y + 60 z sujeta a las siguientes restricciones: ⎨ ⎩ x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 k) Determinar el mínimo valor de la función W = 24 x + 5 y + 21z sujeta a las siguientes

⎧8 x + 8 y ≤ 2 ⎪ restricciones: ⎨ z ≤ 3 ⎪ x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 1 ⎩

10. Para buscar en Internet... Actividad 21 a) Encuentre en la web y desarrolle por lo menos tres problemas que se resuelvan a través de sistemas de ecuaciones lineales. b) Busque algún link que lo relacione con desarrollos sobre sistemas de ecuaciones lineales. Descríbalo con sus propias palabras.

11. ¿Qué sabe Ud. de los utilitarios más comunes que a diario usa en su PC? Actividad 22 ¿Se anima a modelar en una planilla de cálculo Excel la solución del sistema de ecuaciones de la Actividad 1, Item a.2)? Piense que el día de mañana, va a ser uno de los mecanismos que va a utilizar para resolver problemas vinculados con su actividad profesional.

12. Autoevaluación Si ha encarado y resuelto los ejercicios de esta guía, la solución del siguiente le tiene que resultar sencilla. Propóngase integrar todos los conocimientos adquiridos en dar respuesta a las preguntas que siguen y a la situación problemática que se plantea.

Dado el siguiente enunciado hallar: a.- El sistema de ecuaciones representativo de la situación planteada.

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Álgebra y Geometría Analítica

b.- Seleccione el método de resolución que Ud cree que es el más adecuado. Justifique su opción. c.- Resuelva el problema planteado e interprete el resultado. d.- Verifique la respuesta obtenida (¡Acostúmbrese siempre a confirmar los resultados!) e.- Resuelva por otro método el problema y compare las diferencias que ha obtenido en los dos procedimientos empleados “Una fábrica produce piletas de patio de PVC de tres clases: tipo I de 2 bocas, una de entrada y otra de salida, tipo T de 3 bocas, dos de entrada y una de salida y tipo X de 4 bocas, tres de entrada y una de salida. El número total de piezas existentes en stock en la fábrica en un determinado momento es de 500. El número total de bocas es de 1340. Hay una correspondencia biunívoca entre las piezas tipo I y las del tipo T y X ¿Cuántas piletas de patio de cada tipo hay en stock? Nota: averigüe que es una pileta de patio. Seguramente las conoce por otro nombre más común pero que no representa al elemento en sí sino a su cobertura. En su casa, seguro va a encontrar por lo menos una en la cocina y otra en el baño. Y si tiene patio, por supuesto que también.

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13. Glosario Sistema Lineal Compatible Determinado: Un sistema lineal es compatible determinado cuando sólo existe una n-upla que satisface las ecuaciones del sistema. Sistema Lineal Compatible Indeterminado: Un sistema lineal es compatible indeterminado cuando existen infinitas n-uplas que satisfacen las ecuaciones del sistema. Sistema Lineal Incompatible: Un sistema lineal es incompatible cuando no existe una n-upla que satisface las ecuaciones del sistema. Sistema Lineal Cuadrado: Se denominan sistemas lineales cuadrados a los sistemas lineales que tienen la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas. Sistema Lineal Rectangular: Se denominan sistemas lineales rectangulares a los sistemas lineales que tienen la distinta cantidad de ecuaciones que de incógnitas. Método de inversión matricial: Se denomina de esta manera al método que nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados: A.X = B ⇒ A ≠ 0 ⇒ X = A −1 B Método de Cramer: Recibe este nombre uno de los métodos que permiten obtener el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales cuadrado compatible determinado. Este método consiste en obtener el valor de las incógnitas efectuando la división entre el determinante asociado a la incógnita y el determinante del sistema de ecuaciones. Teorema de Cramer: El teorema de Cramer enuncia la condición que debe satisfacer un sistema de ecuaciones lineales cuadrado para ser compatible determinado. Este teorema enuncia que: un sistema de ecuaciones lineales cuadrado es compatible determinado si el determinante asociado a la matriz de coeficientes del sistema no es nulo. Teorema de Rouchè-Frobenius: Este teorema enuncia la condición que debe satisfacer un sistema de ecuaciones lineales para ser compatible determinado: “Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado si el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada (coeficientes y términos independientes) son iguales”. Através de sus corolarios es posible determinar si siendo compatible es determinado o indeterminado y la negación del teorema enuncia la condición para que un sistema de ecuaciones lineales sea incompatible. Sistema Lineal Homogéneo: Si los términos independientes de un sistema lineal son todos nulos el sistema lineal se llama homogéneo.

14.Bibliografía • Kozak, Ana; Pastorelli, Sonia; Vardanega, Pedro; “Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal”, Editorial Mc Graw Hill, 1° Edición, Buenos Aires, 2007 • Rojo, A. “Álgebra I”. Editorial El Ateneo. Doceava edición. Editorial El Ateneo. Argentina, 1985. • Nakos, G., Joyner, D.. “Álgebra Lineal con aplicaciones”. Editorial Thomson Editores. México, 1999.

• Anton, H.. “Introducción al Álgebra Lineal”. Editorial Limusa. Segunda Edición. México, 2000. • Kolman, B., “Álgebra Lineal con aplicaciones y MATLAB”, Prentice Hall, Pearson Educación, 6º Edición, México, 1999.

•

Poole, D., “Álgebra Lineal. Una introducción moderna”. Editorial Thomson Editores. México, 2004

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Álgebra y Geometría Analítica

15. Respuestas a las actividades propuestas Actividad 1 16 ⎛ x ⎞ ⎛ − 3 ⎞⎟ b) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 20 ⎝ y ⎠ ⎜⎝ − 3 ⎟⎠

a) S.I

3 ⎛ x ⎞ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎜ ⎟ c) ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛x⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d) ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜z ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Actividad 2

a) No se puede aplicar el método de resolución por matriz inversa porque la matriz 2.1 coeficientes es singular. 3 ⎛ x ⎞ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎛x⎞ ⎛ 0 ⎞ 16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ x ⎞ ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ ⎜ ⎟ b) ⎜⎜ ⎟⎟ = c) ⎜ y ⎟ = 0 d) ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ 20 ⎜ ⎟ ⎝ y⎠ ⎝− 3 ⎠ ⎜ z ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜z ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

de

2.2

a) Si existe A–1, el sistema de ecuaciones lineales cuadrado: A.X = B se clasifica según su conjunto solución como compatible determinado b) Si A ≠ 0 entonces existe la inversa de A y obtenemos la solución del sistema de ecuaciones lineales cuadrado A.X = B por medio de la operación matricial X = A –1.B c) Si el sistema de ecuaciones lineales cuadrado A.X = B es compatible determinado entonces la matriz A es no singular, es decir, existe A–1 d) Si el rango de la matriz Anxn es n entonces el determinante de A es distinto de cero y existe la matriz inversa de A. Luego, el sistema de ecuaciones lineales cuadrado A.X=B es compatible determinado 2.3 k ≠ 2

Actividad 3 66 ⎞ ⎛ 57 a) 1) ⎜ ; − ⎟ 13 13 ⎝ ⎠

b) d)

11 ⎞ ⎛ 1 2) ⎜ − ; 9 ; − ⎟ 2 4⎠ ⎝

⎛4 2 6⎞ ⎜ ; ;− ⎟ ⎝7 7 7⎠

1) k ∉ { − 5 ; 0 ;1 }

⎛ 19 5 35 ⎞ c) ⎜ − ; − ; − ⎟ 2 6 ⎠ ⎝ 3 2) k ∉ { − 2 ; 0 ; 2 }

Actividad 4 4.1 Consulte la demostración del teorema con su profesor......☺ 4.2 a) SCD: S = {(2;5;1)} b) SCD: S = {(1;–1 ;0)} c) SCD: S = {(1; –1 ;0 ; 2)} d) SCD: S = {(–2;10; –7)}

⎧⎛ ⎩⎝

11z ⎞ z ⎫ ;z ⎟/ z ∈ R ⎬ ;2 + 7 7 ⎠ ⎭

e)

SCI : S = ⎨ ⎜ 1 −

f)

SCI : S = { (1 − t ; − w − z ; z ; t ; w ) / z, t , w ∈ R }

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Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

g) h) i)

⎧ ⎛ 1 5z ⎫ ⎞ SCI : S = ⎨ ⎜ − − ; − 1 − 2z ; z ⎟ / z ∈ R ⎬ 2 2 ⎠ ⎩⎝ ⎭ ⎧⎛ 2 t 3t 4 ⎞ SCI : S = ⎨ ⎜ − − ; 1 + ; ; t ⎟ / t ∈ R 2 3 ⎠ ⎩⎝ 3 2 SI: S = ∅ j) SI: S = ∅

⎫ ⎬ ⎭ k) SI: S = ∅

l) SI: S = ∅

Interpretación geométrica

(a) y (b) se corresponden con tres planos que inciden en un punto del espacio. El sistema lineal del ítem (d) representa a cinco planos concurrentes en un punto del espacio. 1 ⎧ ⎪x = 1 − 7 λ ⎪ 11 ⎪ (e) son tres planos del haz de planos cuya arista es la recta: ⎨ y = 2 + λ con λ ∈ R 7 ⎪ ⎪z = λ ⎪ ⎩ 1 5 ⎧ ⎪x = − 2 − 2 λ ⎪ con λ ∈ R (g) son dos planos del haz de planos cuya arista es la recta: ⎨ y = −1 − 2 λ ⎪z = λ ⎪ ⎩ (j) y (k) en ambos casos son planos que no se intersecan.

Actividad 5

a)

SCD: S = {(0;0;0)}

b) SCD: S = {(0;0;0;0)} c)

SCD: S = {(0;0;0)}

d)

SCI : S = ⎨ ⎜ −

e)

SCI : S = ⎨ ⎜ −

f)

SCI : S = ⎨ ⎜ −

⎧ ⎛ 8 23 ⎫ ⎞ z ; z ; z ⎟/ z∈R ⎬ ⎠ ⎩⎝ 3 6 ⎭ 107 25 ⎧ ⎛ 17 ⎫ ⎞ t ; t ⎟/ t ∈ R ⎬ t;− t; − 78 78 78 ⎠ ⎩⎝ ⎭

6 ⎧⎛ 1 ⎫ ⎞ z ; z ; z ⎟ / z∈R ⎬ 5 5 ⎠ ⎩⎝ ⎭

Interpretación geométrica

El caso (a) se corresponde con tres planos que pasan por el origen de coordenadas, en el caso (b) se tienen cuatro planos que inciden en el origen de coordenadas.

50

Álgebra y Geometría Analítica

En el sistema lineal del ítem (d) los tres planos presentes pertenecen al haz de planos cuya arista es la recta que 8 ⎧ ⎪x = − 3 λ ⎪ 23 ⎪ con λ ∈ R pasa por el origen de coordenadas: ⎨ y = λ 6 ⎪ ⎪z = λ ⎪ ⎩ 1 ⎧ ⎪x = − 5 λ ⎪ 6 ⎪ El sistema lineal del ítem (f) es la recta: ⎨ y = λ con λ ∈ R, que pasa por el origen de coordenadas. 5 ⎪ ⎪z = λ ⎪ ⎩

g) SCD k ∈ R − {0;1} ; SCI k ∈ {0;1}

Actividad 6

a)

Si A nxn ≠ 0 entonces Anxn.Xnx1 = 0nx1 es un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado

b) Si ρ (A nxn ) = n entonces Anxn.Xnx1 = 0nx1 es un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado c)

Si el sistema de ecuaciones Anxn.Xnx1 = 0nx1 es compatible determinado entonces el rango de A es n, el determinante de A no es nulo y A es una matriz no singular

d) Si A nxn = 0 entonces Anxn.Xnx1 = 0nx1 es un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado e)

Sea Anxn.Xnx1 = 0nx1 tal que: ρ (A) < n entonces es un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado

Actividad 7

a) SCD:

a ≠ 2 , SCI: a = 2, SI: a = –2

b) SCD:

a ≠

c)

7 , SCI: no existe valor para a, SI: a = 2

7 2

SCD: no existe valor para a, SCI: a = –4 o a = 2, SI: a ∈ R –{–4 ; 2}

d) SCD: a ∈ R, SCI: no existe valor para a, SI: no existe valor para a e)

SCD: a ≠ 2, SCI: a = b = 2, SI: a = 2 y b ≠ 2

f)

SCD: a ≠ 0 y a ≠ 6, SCI: (a = 0 y b = –5) ó (a = 6 y b = 1), SI: (a = 0 y b ≠ –5) ó (a = 6 y b ≠ 1)

g) SCD: no existen valores para a, b y c, SCI: 3a + b – c = 0, SI: 3a + b – c ≠ 0 h) SCD: no existe valor para a, SCI: (a = 1 y b = –1) ó (a ∈ R –{1}y b ∈ R), SI: a = 1 y b ≠ –1 Consulte con su profesor la interpretación geométrica del ítem (h) de la actividad 5 siendo a = 1 y b = –1......☺

Actividad 8 c =

5

51

Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

Actividad 9 Consulte la respuesta de la actividad con su profesor......☺

Actividad 10

a) a = 1, b = –2 y c = 3

b) A = –1 y B = 1

Actividad 11

a)

f ( x ) = x2 − x + 2

b)

3 2 f (x ) = x + 2 x − 3x + 1

c)

Plano: − 3 d x + d y + 1 d z + d = 0 , 2 2

En particular si d = 1 la ecuación del plano es: − 3 x + y + 1 z + 1 = 0 . (Cualquier valor real de d produce una 2 2 ecuación múltiplo de la enunciada para d = 1 que representa el mismo plano......☺) d) La circunferencia tiene centro en el punto: (2;3) y su radio es 25, entonces la ecuación es:

(x − 2 )2 + (y − 3)2 = 25 Actividad 12

a)

F

b) F

c)

V

d) V

e)

F

f)

F

g) V

h) F

i)

V

j)

V

k) F

l)

m) F

n) V

o) F

p) F

q) V

r)

s)

t)

F

V

u) V Consulte con su profesor la justificación en cada caso....☺

Actividad 13

a) Xt =

(114 ; 114 ; 113 )

⎛ 53 0 ⎜ b) R = ⎜ 53 43 ⎜0 7 3 ⎝

2 3 1 3 2 3

⎞ ⎛ − 73 ⎟ ⎜ ⎟ , S = ⎜ − 13 ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝

0 − 53 − 83

Actividad 14

a) x = (–1– i) z , y = i z

b) x = 1 + i , y = 0 , z = –1

Actividad 15 a= 1 ; b = 2 ; c = 3 ; el determinante vale 0.

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⎞ ⎟ − ⎟ ⎟ ⎠ 2 3 2 3 2 3

V F

Álgebra y Geometría Analítica

Actividad 16 ⎧F1 + F4 = 15 ⎧F1 = 15 − t ⎪ ⎪ ⎪F1 − F2 = 10 ⎪F2 = 5 − t Modelo: ⎨ empleando el método de Gauss-Jordan se obtiene: ⎨ F + F + 5 = 30 3 ⎪ 2 ⎪F3 = 20 + t ⎪⎩F3 − F4 = 20 ⎪⎩F4 = t

estas ecuaciones

describen todos los flujos posibles y nos permiten analizar la red. Los valores de flujo máximo y mínimo en cada rama son: 10 ≤ F1 ≤ 15 ,

0 ≤ F2 ≤ 5 , 20 ≤ F3 ≤ 25

y 0 ≤ F4 ≤ 5

Actividad 17

a) Yo tengo 32 y tu tienes 24......☺ b) 1200 y 600 yardas cuadradas c) Este problema es conocido como: “El problema de Fibonacci”. El mismo queda representado por el sistema de ecuaciones: Donde x, y, y z es la cantidad de dinero que los hombres ⎧x + y + z + w = 0 tomaron de la pila, y w la cantidad de dinero original de la ⎪2 x + 1 y + 1 z − 1 w = 0 ⎪3 9 18 2 pila. El sistema lineal es compatible indeterminado, no se ⎨1 7 1 1 sabe si Fibonacci determinó el conjunto solución − + + = x y z w 0 9 18 3 ⎪6 completo. Pero si calculó la solución particular: ⎪ 1 x + 1 y + 16 z − 1 w = 0 w = 47, x = 33, y= 13 y z = 1. ¿Cuál sería otra solución 9 18 6 ⎩6 particular de éste problema? ......☺ d) La suma de las columnas, los renglones y las diagonales del cuadrado mágico de tamaño 2 debe ser 5. Planteando el sistema lineal se descubre que las incógnitas no pueden tomar valores naturales, en consecuencia no es posible armar un cuadrado mágico de este tamaño. En el caso del cuadrado mágico de tamaño 3, una solución es la matriz de orden 3x3:

⎛8 1 6⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ 3 5 7 ⎟⎟ ⎝ 4 9 2⎠

Este cuadrado mágico fue citado en un antiguo libro chino: “Nueve capítulos del arte matemático”. ¿Puede usted determinar otro cuadrado basada en éste? ......☺

Actividad 18

a)

Corresponde aplicar la 1° Ley de Kirchhoff en los nodos: B, C, D y E. Luego la 2° Ley en los circuitos: ABEDA, BCEB y CDEC. Obtendrá un sistema lineal de siete ecuaciones con seis incógnitas. La solución del circuito es: I = 7, I1 = 3, I2 = 4 , I3 = –1, I4 = 4 e I5 = 3 (en amperios). Comentario: El significado del valor negativo aquí es que la corriente a través de la rama CE está fluyendo en la dirección opuesta a la indicada en el diagrama. Además, como en él hay una sola fuente de poder, la única batería de 10 voltios envía 7 amperios a través del circuito, si sustituimos esos valores en la Ley de Ohm: E = RI, tendremos que R =

10 7

. Así, el circuito se comporta como si hubiera un solo resistor de

10 7

ohm. Este

valor se llama resistencia efectiva del circuito. b) I1 = 3, I2 = 5, I3 = 2 (en amperios) Actividad 19

a)

4 NH3 + 3 O2 → 2 N2 + 6 H2O

b) Consulte la respuesta de este ítem con su profesor......☺ c)

2 C4H10 + 13 O2 → 8 CO2 + 10 H2O

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Guía de Actividades Prácticas y Teóricas

Actividad 20

= 185 , y = 52 , Máximo:

58 5

a)

x

c)

Cuartos Fino: 10 ; Cuartos Extrafino: 30 ;

b)

x

= 65 , y =

24 5

, Mínimo: –6

d) X = 30, Y = 20, Mínimo: 1200

Máximo: 380 e)

A = 6, B = 3, Mínimo: 300

f)

Consultar la respuesta con su profesor....☺

g) Acero regular: 1,5 ; Acero especial: 2,5 ;

h)

B = 2,5 ; A = 1,5 ; Mínimo: 225

j)

(0;0;1), Mínimo: 21

Máximo: 430 i)

(0;3;0), Máximo: 240

Actividad 21 Consulte con su profesor los resultados obtenidos de la búsqueda ....☺ Actividad 22 Consulte con su profesor ....☺ Autoevaluación Debería hacerla sin dificultades El sistema de ecuaciones que resulta del planteo del problema es muy sencillo. Pero si le surgen dudas, consulte con su profesor… ☺

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