- ---'-~--,--,~ ;:::

Unidadesde medida, de losángulos ,

Reactivación Traza una circunferencia de 5 cm de radio en una hoja de cuadrícula. Necesitasmarcar el centro. Después corta 10 hilos de material no elástico del mismo tamaño que el radio, es decir, de 5 cm.

Ahorarespondelassiguientespreguntas: ¿Cuántoshilos necesitasparacubrir porcompletoel largode la circunferencia?

¿Quérelación tendrá el radio con el total de la circunferencia?

lIS c::

~

~

Pegauno de los hilos en la circunferencia. ¿Quémagnitud tiene el ángulo subtendido?

JS @

Comenta tus observaciones con algunos compañeros y encuentren una relación entre la longitud del radio y el ángulo medido. Escríbanlaen una hoja de papel rotafolio y péguenla en un lugar visible.

Conversión

de ángulos en grados a radianes y viceversa

Como recordarás, en bloques anteriores aprendiste que las unidades para medir losángulosen el sistema sexagesimaleran los grados. Sin embargo, existe otra unidad muchomás práctica que permite medir los ángulos, el radián, la cual se basa enla longitud de arco obtenida en una circunferencia de radio 1 o la unidad. Enconsecuenciapodemos definir un radián como ervalor del ángulo cuya medida de su arco es igual al radio de una circunferencia cuyo radio vale 1.

e

~ara

Investiga

cuál es la relaCIÓnque existe entre el sistema (entesimal y el sexagesirnal.

Consideremos una circunferencia cuyo radio es igual a 1 cm. Ahora recordemos lafórmulapara encontrar el valor de la longitud de la circunferencia: C = 2nr Sir = 1 sustituyendo en la fórmula: C = 2n(1) C = 2n{adianes Comouna circunferencia completa vale 360°: 360° = 2n radianes Despejandoa n: n radianes =

360° 2

nradianes = 180°

DCL>safío ¿A cuantos radianesequivale un minutoy un segundo?

EnfLincióndel resultado anterior podemos definir que, en radianes, la longitud delarcode la semicircunferencia que comprende un ángulo de 180°, en cualquiercircunferencia, es igual a n radianes, por lo que: 1 radián

= 1 rad = 180° n = 57.29583°;que equivale a 57° 17'45"

Ejemplos: Convertirlos siguientes ángulos a radianes o viceversa:

a) 2.2 n radianes a grados . Pararesolverel problemasolamentedeberemoscambiar el valor de n por 180°: 14 (180°) = (3)(180°) = 540° 4 4 = 135°

b) Convertir 128° a radianes: Siusamos la relación n

! ~ ~

a @

= 180° la resoluciónqueda: ~-~ 180 - 128

Resolviendola proporción:

128 Jt x

I ..

a la mano 32 Jt

=180 =45

Comopuedes observar,se deja indicado el valor de ny no se multiplica.

Podemosdecir que el valor de n esequivalentea 1800.

e) Convertir 45° 30'25" a radianes

palabras en el

tJempQ

Convertimosel valordel ánguloa decimalesparalo cual utilizamosel valordel radiáncomo57.29583°. ~

Minuta significa extracto o borrador que se hace de algún tema. Esun escrito que se elabora con relación a un asun-

45°

+ ~~ + 3~~o

portafolio

c=J I

. ..N

e

l..

0.069 = 45.5069°

1 rad x 57.29583° - 45.5069

es importante dejar constancia de lo dicho y acordado.

E V', 1

+ 0.5 ~

Aplicando la relación:

to para tenerlo presente, por ejemplo, una reunión de la cual

.1 E.,"

= 45

, -

x-

.

(45.5069°)

1

rad = 0.7942 rad

57.29583°

Formenequiposdetresintegrantes.Vana necesitarun planisferiotamaño doblecartay una regla.

la minuta.

'"

Investiguen cómoestándistribuidoslosmeridianosy paralelosenel mundo. Escojancincociudadesimportantesde América,cincode Europa,cincode Asiay dosdeOceanía. Busquensulocalizaciónutilizandolosgrados. Una vez que los hayan localizado elaboren una minuta que describa el procedimiento que siguieron. Contesten las siguientes preguntas: En nuestro país, ¿cuántosmeridianos se involucran? ¿Quérelación tendrá el clima con las coordenadas de un país o región?

Para

~

.saber México tiene seis horas menos con respecto al meridiano de Greenwich. Es decir, si en Inglaterra son las doce del día en nuestro país son las seis de la mañana.

¿Conqué referencia se manejan las coordenadas terrestres?

De los paísesque escogiste,¿cuál te gustaría visitar y por qué?

.

r Conviertelossiguientesvaloresde gradosa radianesy viceversa: 1. 25°a radianes.

6. 19:rrradianesa grados. 2

2.

5:rrradianes a grados. 3

7. 23°25'12"a radianes.

~ JI

3.

7:rr radianes a grados. 6

8. 12.85radianesa grados.

@

4. 125° a radianes.

9. 1256°12"á radianes.

5. 2054° a radianes.

10.2.:rr radianes a grados. 8

"' e

~

...1

r.." ,',':'

E

.

--. - " -

Problemas de aplicación 1, Unabicicleta tiene ocho rayos, ¿cuál es.la equivalencia de su ángulo central en radianes? Sidividimos la circunferencia entre ocho tenemos:

e

¿Sabías Ue?

,/"

360 = 450

8

La ma,;,oríade los telefonos

q

celulares incluyen un menú en el que puedessaberlas horas en distintos países,

y su medida en radianes es: Jt 180 -

x

45

Al resolverla proporción queda: x = (45)(Jt) 180 Reduciendotenemos:

x=~

4

Resuelvelos siguientes problemas: t

La tapa de un envasede refrescogira 4.8 vueltas para cerrar completamente. Expresael ángulo al que gira la tapa en unidades sexagesimalesy radianes. .

2. Undiscodeacetatode losaños80'sgiraba33 ~ rpm, esdecir,daba33 ~ vueltasen un minuto. Expresaen radianesel ángulo que recorrió el discoen un segundo.

3. El abanico de una señoraabre ~ de rotación completa.Expresael ánguloen raéJianes. 4. Paraponera tiempo el motor de un automóvil severificanlasmarcasde tiempoqueestánen la poleadel motor.Normalmenteel motorseajusta adelantando15gradosel tiempo.¿Cuálessuequivalenciaen radianes?

logros Evaluaciónsumativa Conviertelassiguientesmedidasde gradosa radianesy viceversa: 1. 3450a radianes. 2.

12Jt radianes a grados. 5

3.

6. 15Jt radianesa grados.

13 . 7. 17° 30' 25" a radianes.

15Jt radianes a grados. 8 4. 256° a radianes.

9. 40°40" a radianes.

5. 1256° a radianes.

10.2.56 radianesa grados.

8. 12.8563radianesa grados.

Cierre de secuencia Realiza un dibujo con relojes en los que se señale la hora en cada una de las ciudades o países que escogisteen la actividad anterior. Considera que en la Ciudad de México son las tres de la tarde (15:00 hrs).

~

~.: '.:.

Descripción de lasfunciones trigo nométricasdirectasy recíprocas de ángulosagudos

~

---

e

)

.-/

Reactivación Encuentra

las dimensiones faltantes en los lados de los siguientes triángulos aplicando el teorema

de Pitágoras.

3k4

6k 8

Triángulo 1

Triángulo 2

9k

12 Triángulo 3

15k20 Triángulo 4

Ahora, trabajando por binas, observen las características de los triángulos. ¿Presentan los triángulos congruencia o semejanza? Anoten la relación que existe entre cada cateto con la hipotenusa para cada triángulo. Triángulo 1

Triángulo 3

Triángulo 2

Triángulo 4

Comparen los resultados con sus compañeros y lleguen a una conclusión.

~---

.~- -~--~.

Funciones trigonométricas Cuando caminaspor alguna calle y descubresque te cuestatrabajo subir, debidoaqueestatiene cierta inclinación, o cuando quieres alcanzar una ventana queestáa cierta altura y necesitas saber a qué distancia debes colocar una escalera paralograrlo, estásaplicando de manera empírica la trigonometría, ya queestásutilizando implícitamente triángulos. e Unniñosabeque si la resbaladilla tiene una inclinación muy grande, la velocidadconla que llega al piso es mayor. Asimismo habrás observado que cuando unrayode luz incide en un espejo,el ángulo con que se refteja esel mismo que conelqueincide. Pero si el rayo incide sobre el agua de una alberca una parte sereftejay la otra "penetra en el agua", cambiando de dirección. Latrigonometríapermitepredecir cuál será la magnitud en el cambio de dirección.

a la mano Losladosqueformanelángulo recto en un triángulo rectángulo sellamancatetosy el que une estosdossedenominahipotenusa.

Cateto

Cateto

Laastronomíautiliza la trigonometría para medir las distancias que separan a lasestrellas.La geografía la usa para medir distancias entre diferentes puntos geográficos. También se usa en la física, en la química y en casitodas las ramas delaingeniería,sobretodo en el análisis de fenómenos periódicos, como sucede enlaacústicao en la representación de la corriente alterna. Podemos definir a la trigonometría como la rama de lasmatemáticasque estudia la relación entrelos ladosy ángulosde lostriángulos, suspropiedadesy aplicaciones.

Reúnanse en parejas.Paraestaactividadesnecesarioque consiganhojascuadriculadastamaño carta, lápicesde colores,una reglay un transportador. Guarden sus respuestas.

Tracenun triángulo rectángulo de color rojo cuyos catetos midan 12 y 9 cm respectivamente. Determinen el valor de susdos ángulos agudos.

- - .-

Ahora, dibujen un triángulo de color azul cuyos catetos midan 8 y 6 cm. Determinen las magnitudes de sus ángulos. Por último, tracen un triángulo de color verde cuyos catetos midan 3 y 4 cm. Contestenlas siguientes preguntas en su cuaderno: 1. ¿Cuántomiden las hipotenusas de los tres triángulos? 2. ¿Cuánto mide el ángulo que se forma entre el cateto de 12 cm y la hipotenusa? 3. ¿Cuánto mide el ángulo que se forf"!:1aentre el cateto de 8 cm y la

hipotenusa?

.

4. Por último, indiquen cuánto mide el ángulo que se genera entre el cateto de 4 cm y la hipotenusa.

,

5. Ahora,dividan la longitud de los catetosde cadatriángulo entre el valor de la longitud su hipotenusa.¿Quérelaciónexisteentre ellos?

,1

I

Justifiquen sus respuestas,coméntenlas en el salón y encuentren la relación entre los catetos.

palabras en el

tiempo Trigonometría proviene dellatín trigonometrio, que significa medición de 105triángulos.

r Despuésdecomentartus observaciones de laactividadanteriorcontuscompa.

¡

I

ñeros,habrásconcluidoqueal obtenerla relaciónentreloscatetosy la hipote. nusade lostriángulosrectángulos,seconsiderael mismoángulo.

I

A este tipo de relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo se lesdeno~ mina relaciones trigonométricas. Observael siguiente triángulo:

a

~

b En la figura anterior, como se habíavistoanteriormente,los ladosa y b sellaman catetos y el lado ese denominada hipo tenusa. Utilizando el ángulo A como referencia, diferenciemos los catetos.

palabras en el

tiempo

a

seno tiene su origen en el vocablo sinus el cual sigLa palabra

nifica bahía. Este nombre fue asignado por error por Roberto de Chester al traducir mal el vocablo jb del libro "Álgebra" del árabe AI-Khorezmi.

b El cateto a se llama cateto opuesto al ángulo A, ya que está enfrente de él. El cateto b se llama cateto adyacenteal ángulo A porque forma, junto con la hipoten usa, el ángulo A. Ahora utilizaremos como referencia el ángulo 8.

!

a Cateto adyacente

:!!

~ JI @

b Cateto opuesto Elcateto a seríael cateto adyacenteal ángulo 8 y el cateto b seria el cateto opuesto al ángulo 8, con las mismas consideraciones anteriores.

Para

rk

Enlossiguientestriángulosindicacuálesel catetoopuesto,cuálesel cateto adyacente y cuálesla hipotenusa,en relaciónconel ángulomarcado. a)

b)

c) e

x

mano

Sedenomina función a la rela-

~

a

q

z e)

d)

a la

ción o correspondencia entre dos variables (por ejemplo, x: y), de tal manera que a cada valor de x le corresponde exactamente un solo valor de y. Estose escribeasí: y = F(x),y se lee: y es una función de x. De esta manera, seobtienen pares ordenados (x,y).

y z f)

h)

g)

a

x

Funciones

o relaciones trigonométricas

Ahoradefiniremos las relaciones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo,en función de un ángulo determinado, a partir de las razones o cocientes entre sus lados.

cosenoA = cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente

Para el siguiente triángulo las relaciones quedarían:

senA = !!-. c cosA = ..t c

Q

tan A = a

7i

b

"

.saber Thomas Frick fue el que introdujo el uso de las palabras tangente y secante.Tangente viene del latín tangenes,que toca. En general se usaen contextos matemáticos, pero también' socialmente: salirse por la tangente equivale a valerse de una mentira o evasiva para escaparse hábilmente de un apuro.

senoA = cateto opuesto hipotenusa

tangenteA =

Para

~:: Como recordarás,en los triángulos de la actividad anterior, para un mismoán. gulo de 37°, la relación entre los catetos opuestos y la hipotenusasiempre 5 la misma.

~

a la mano La representación "sen 37°" se lee "seno de 37 grados".

9 6 3~S

~ 12

4

8

Si utilizamos las fórmulas de las relaciones trigonométricas para los triángulos rectángulos anteriores, se obtiene las siguientes expresiones: 9 sen 37° = 15 = 0.6 12 cos 37° = 15 = 0.8

9 tan 37° = 12 = 0.75

6 sen 37° = 10 = 0.6 8 cos 37° = 10 = 0.8 6 tan 37° = ""8 = 0.75

3 sen 37° = 5" = 0.6

4 cos 37° = 5" = 0.8

tan 3]0 =

i=

0.75

Observa cómo el valor fue el mismo en todos los casospara el mismo ángulo. De lo anterior se concluye que el valor de las relaciones trigonométricas,sise mantiene el mismo ángulo, es el mismo sin importar el tamaño del triángulo. Ahora observa cómo encontrar la expresión de las funciones trigonométricasen el siguiente triángulo:

y

z Como podrás observar, el cateto opuesto esy, el cateto adyacente esz y la hi. potenusa esx. f!$

e :DI

'1 ~

Aplicando las fórmulas de las funciones trigonométricas queda: cat Op senA = senA = -Y h x ctady cosA = cosA = -z h x cat Op Y tan A =tan A =catady z

1. En los siguientes triángulos encuentra seno, coseno y tangente del ángulo que se indica. a)

""

b)

c)

e

x

a

q

L

z

e)

d)

y

e

b

z

;t

Para

.saber Si tu calculadora no tiene la te-

f)

h)

g)

cla o ' " necesitasconvertir los x

y

minutos y segundos a forma decimal, como ya lo aprendiste en temas anteriores.

a

x

2. Encuentra los valores de las tres funciones trigonométricas para los siguientes ángulos expresados en radianes: JtT-

L 5Jt4

~""-----

--

--

-~

-,

Obtención de valores de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo con la calculadora Dependiendo de la calculadora que tengas, puedes obtener los valoresdelas funciones trigonométricas para cualquier ángulo que tecleesen ella. Enalgunos modelos,seingresaprimerola funcióny después el ángulo. En otras másanti. guas es al contrario, se teclea el ángulo primero y luego la función. Esnecesario que la calculadora se encuentre en modo DEG.Apóyate en tu profesor parael manejo de tu calculadora.

ParaDradicar

coneXiones

Encuentrael valorde:

Investiga en Internet cómo se manejan

los ángulos

nes trigonométricas bola,

cuando

a) sen25° =

y las funcioen la caram-

se juegan

b) cos37° =

al billar.

c) tan 58°25' = d) cos125° = e) tan 315° 20' 25" =

f) sen0° =

Resolución de triángulos rectángulos Cuando estudiamos el teorema de Pitágorasteníamos los datos de dos ladosy una incógnita. Sin embargo,existenproblemas en los que es necesarioresolverun triángulo en el que sólo seconoceun lado y un ángulo.

Ejemplos: Veamosa continuacióncómoresolverlossiguientestriángulosrectángulos:

(;)Hipotenusa.

nusa que

Proviene del latín hypote-

a su vez proviene del griego hypo-

x

teinousa y significa fuertemente sujeta.

Identifiquemos primero todos los lados del triángulo:

! ~ ~ JI @

cateto opuesto = x, cateto adyacente = 8, e hipotenusa = y

Determinemos ahora la longitud del cateto x. Debido a que su posición con respecto al ángulo de 70° lo define como cateto opuesto, y el valor numéricode los ladosestádefinido comoel catetoadyacente, utilizaremos tan 70° porque es la relación trigonométrica que incluyeel cateto opuesto y el cateto adyacente.

~------T'

tan 70° = co ea x 2.7474 = 8" (2.7474)(8)= x = 21.98 Paraencontrar la longitud de la hipotenusa utilizaremos coseno,porque se relacionancon el cateto adyacente.

¿pabías Ue? q

Resolviendo:

~n número,irra-

cos 70° = ca

(lonal esun numero no fraccionario, pues no es posible representarlo como el cocientededosnúmeros

h

0.3420 = J!...

y

y=~0.3420 = 23.39

enteros, es decir,

{l, {3, -./6.

~.Por ejemplo:

Observacómo se resuelveel siguiente rectángulo:

x

y ~

Identifica los datos: Catetoopuesto = x

Para cateto adyacente = y

hipotenusa = 10

Paraencontrarla longitud del lado x utilizaremosla función seno,debido a queel valor numéricoque setiene esla hipotenusay lo relacionaremosconel catetoopuesto.

.saber La trigonometría se relacionó directamente con la astronomía, hasta que el matemático persa Nasir ed Din la consideró como una ciencia independiente.

sen 53° 10' = co h

cos 53°10' = ea

h

x 0.8003 = 10

,

x = (0.8003)(10)= 8.003

0.5994= io y = (0.5994)(10) = 5.994

j Ángulode elevacióny ángulo de depresión

objeto

~

~

Ángulo de elevación es el que se forma O entrela líneavisualde un observadory un objetocuandoésteseencuentraarriba de lahorizontal.Siestáabajode la horizontal sellamaángulo de depresión.

objeto

Para radicar

y~

22°

x~12

x

9

x

9~

Y

x

y

y

y

y

18

4

y x

DQ)safío ¿Cuálesel valorde ese00, see 900 y col 900?

12

x

y

Aplicaciones de las funciones trigonométricas A continuación veremos algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas en la resolución de problemas, aquí utilizarás los conceptos que has aprendido hasta el momento.

Ejemplos:

1. En un triángulose sabe que la función senoes iguala demás funciones.

3 w Sabemos que sen A = S' Recordando que sen A = T/'

t, encuentra

las

1 I

I

Deducimos que: cateto opuesto = 3; hipotenusa = 5 Eldato que nos falta para encontrar el valor de las funciones que nos piden es el cateto adyacente.

.L

Paracalcularlo utilizaremos el teorema de Pitágoras.

~

~

Catetoopuesto = (5)2- (3)2= 25 - 9 = Resolviendo: cosA =~. tan A = l 5' 4

[16=

4

2. Si en cierto triángulo la tan A = 2, encontrar el valor de seno y coseno.

.,¡¡,. '1

t"~

~ ~~

-

a la mano Dosángulos son complementarios cuando sumados dan 900.

Sabemosque tan A = co, ca entonces si lo comparamos con los datos del problema tenemos que: cateto opuesto = 2; cateto adyacente = 1 Ahora aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la hipotenusa.

h =~(2)2 = (1)2=

F+1 =~

Como el resultado es un número irracional no se obtiene la raíz.

Para Al obtener las funciones que hacen falta tenemos: 2 senA =

{5

3 Y cosA =

{5

3. Una escalera está recargada sobre una barda de 1.8 m de alto con una inclinación de 57°. ¿Quélongitud tiene la escalera?

~

.saber La división entre O no está de. finida. Sin embargo, podemos decir que 1