UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS

ESPECTRO EN FRECUENCIA BINARIO PARA ALMACENAMIENTO DE INFORMACIÓN Juan Gerardo Pérez Martínez y José Alberto Pedroza Castrejón

Tesis de Licenciatura presentada a la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica de acuerdo a los requerimientos de la Universidad para obtener el título de

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

Directores de tesis: Dra. Ma. Auxiliadora Araiza Esquivel y Dra. Claudia Sifuentes Gallardo

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Zacatecas, Zac., 28 de Abril de 2008

APROBACIÓN DE TEMA DE TESIS DE LICENCIATURA

Juan Gerardo Pérez Martínez y José Alberto Pedroza Castrejón PRESENTE De acuerdo a su solicitud de tema de Tesis de Licenciatura del Programa de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, con fecha 01 de febrero de 2008, se acuerda asignarle el tema titulado: ESPECTRO EN FRECUENCIA BINARIO PARA ALMACENAMIENTO DE INFORMACIÓN Se nombran revisores de Tesis a los profesores Dra. Ma. Auxiliadora Araiza Esquivel y Dra. Claudia Sifuentes Gallardo, notificándole a usted que dispone de un plazo máximo de seis meses, a partir de la presente fecha, para la conclusión del documento final debidamente revisado.

Atentamente Zacatecas, Zac., 07 de febrero de 2008

ii Ing. José Antonio Álvarez Pérez Director de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica

AUTORIZACIÓN DE IMPRESIÓN DE TESIS DE LICENCIATURA

Juan Gerardo Pérez Martínez y José Alberto Pedroza Castrejón PRESENTE La Dirección de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica le notifica a usted que la Comisión Revisora de su documento de Tesis de Licenciatura, integrada por los profesores Dra. Ma. Auxiliadora Araiza Esquivel y Dra. Claudia Sifuentes Gallardo, ha concluido la revisión del mismo y ha dado la aprobación para su respectiva presentación.

Por lo anterior, se le autoriza a usted la impresión definitiva de su documento de Tesis para la respectiva defensa en el Examen Profesional, a presentarse el 28 de Abril de 2008

Atentamente Zacatecas, Zac., 12 de Marzo de 2008

Ing. José Antonio Álvarez Pérez Director de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica

APROBACIÓN DE EXAMEN PROFESIONAL

Se aprueba por unanimidad el Examen Profesional de Juan Gerardo Pérez Martínez y José Alberto Pedroza Castrejón presentado el 28 de Abril de 2008 para obtener el título de:

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

Jurado: Presidente: Dra. Ma. Auxiliadora Araiza Esquivel

Primer vocal:

Dra. Claudia Sifuentes Gallardo

Segundo vocal: Dr. Gerardo Miramontes de León

Tercer vocal: M. en C. Ernesto García Domínguez

Cuarto vocal: Dr. Efrén González

RESUMEN

En este trabajo se presenta como el espectro en frecuencia de una señal bidimensional puede representarse por medio de un patrón de frecuencia binario empleando una técnica holográfica.

La Holografía, hoy en día juega un papel relevante en el campo de las comunicaciones ópticas, prueba de ello son los interconectores ópticos fabricados empleando algún método holográfico y el almacenamiento óptico de la información donde ha alcanzado su mayor desarrollo.

El patrón binario obtenido al emplear la holografía digital se calcula numéricamente en una PC, el cual almacena y codifica información. Posteriormente se recupera la información de dos formas, una óptica y otra digital.

vi

Dedicatoria

A nuestras familias,

especialmente

a nuestros padres.

vii

Agradecimientos Agradecemos la valiosa colaboración de la Dra. Ma. Auxiliadora Araiza Esquivel, de igual forma a la Dra. Claudia Sifuentes Gallardo, docentes del Área de Comunicaciones y Electrónica de la Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica, por el apoyo total para la elaboración de la presente tesis.

De igual forma al Dr. Efrén González, Dr. Gerardo Miramontes de León y el M. en C. Ernesto García Domínguez, investigadores del Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales, por sus valiosos comentarios y sugerencias para la realización del presente trabajo.

Además agradecemos al Dr. Geminiano Martínez Ponce investigador del laboratorio de Holografía del Centro de Investigaciones en Óptica, A.C. y al Dr. Salvador Guel Sandoval investigador del Instituto de Investigaciones en Comunicaciones Ópticas, de la Universidad Autónoma de San Luís Potosí, por permitir la utilización del equipo de laboratorio para la verificación de pruebas experimentales.

A todos nuestros maestros y compañeros con los que convivimos a lo largo de la carrera.

A la Universidad Autónoma de Zacatecas por brindarnos la oportunidad estudiar una carrera.

viii

Contenido General Pag. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Lista de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

1

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 1.2

1 6 7 7 8 8 8

1.3 1.4 1.5 2

Antecedentes históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hologramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Hologramas Ópticos de Fourier . . . . . . . . . . 1.2.2 Hologramas Generados por Computadora (HGC´s) OBJETIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ANTECEDENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

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. . . . . . .

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. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Binarización del espectro en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1 2.2 2.3 2.4

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Justificación del proceso de binarización . . . . . . . . . . . . . . . Técnica de binarización espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Características de la señal y el espectro en frecuencia binario

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

10 11 12 13 14

3

Resultados y desarrollo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4

Conclusiones y trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Apéndices Apéndice A: Apéndice B:

Análisis matemático de una celda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Algoritmo para la generación de un patrón binario. . . . . . . . . . . 28

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ix

Lista de figuras Figura

Pag.

1.1

El Faro era utilizado en la antiguedad para guiar a los barcos. . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Telefono óptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Pieza de museo en hologramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Hologramas de Seguridad en tarjetas de crédito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5

Imágenes de La Guerra de las Galaxias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6

Construcción de un Holograma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.7

Proceso para grabar y reconstruir un holograma óptico de Fourier. . . . . . . . . .

7

2.1

El rectángulo con ancho W dν y posición lateral P dν codifican la amplitud y la fase, respectivamente, del espectro en frecuencias de la señal calculada. . . . . . . 10

2.2

Ondas cosenoidal y rectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3

Histograma de la amplitud del espectro en frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4

Espectro en frecuencia binario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1

Dibujo del cual se obtuvo su espectro en frecuencia binario. . . . . . . . . . . . . 17

3.2

Proceso para generar un patrón binario por computadora. . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3

Patrón de frecuencia binario u holograma generado por computadora. . . . . . . . 18

3.4

Reducción fotográfica del patrón de frecuencia generado. . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5

Sistema óptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6

Sistema óptico para la reconstrucción de la Señal original. . . . . . . . . . . . . . 21

x

Figura

Pag.

3.7

Recuperación de la imagen a la que se le saco el holograma generado por computadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.8

Señal en base a letreros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.9

Recuperación de la señal que contiene letras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.10 Figura con la cual se generó el holograma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.11 Recuperación de la figura por medio de la computadora. . . . . . . . . . . . . . . 23 3.12 Fragmento del plano de salida de la Figura 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 A.1

Función rect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

xi

Nomenclatura α, φ, ϕ

Ángulos

π

3.1416

δx

Ancho del pixel

δν

Ancho de la celda

∆ν

Ancho de banda

∆x

Tamaño del objeto

∆xH i

Tamaño del holograma √ −1

l

Contador

A

Amplitud

M

Número de rectángulos, número de objetos

N

Número de pixeles, número de celdas

W

Ancho del rectángulo

P

Posición del rectángulo dentro de la celda

X, Y

Dirección X e Y

(νx , νy )

Coordenadas en el espacio en frecuencias

(x, y)

Coordenadas espaciales o en el tiempo

(x0 , y 0 )

Espacio de recuperación

(m, n) = m,n

Coordenadas discretas en el dominio de la frecuencia

F{}

Transformada de Fourier de {}

sinc(πx)

sen(πx) πx

rect(x)

Función rectángulo

e2πixνx

Onda plana

u(x, y)

Señal bidimensional

h(x0 , y 0 )

Señal recuperada

U (m, n)

Transformada de Fourier discreta de u

H(νx , νy )

Espectro en frecuencias

H(m, n)

Espectro en frecuencia discreto

xii

Definiciones Detour

Cambio de fase de 2π

HGC’s

Hologramas generados por computadora

Señal

información discreta de N × N pixeles

TF

Transformada de Fourier

TFD

Transformada de Fourier discreta

TFI

Transformada de Fourier inversa

Capítulo 1

Introducción 1.1

Antecedentes históricos

A través de la historia, la necesidad del hombre de comunicarse lo ha llevado a desarrollar sistemas de comunicaciones cada vez más eficientes. Los primeros sistemas que utilizaron las civilizaciones antiguas, como los Egipcios, Griegos y Romanos eran ópticos, debido a que utilizaban superficies que reflejaban la luz del sol y así podían transmitir información.Figura 1.1

Figura 1.1 El Faro era utilizado en la antiguedad para guiar a los barcos.

Para 1790 el francés Claude Chappe inventó el telégrafo óptico y en 1880 Graham Bell desarrolló el fotófono o teléfono óptico. Figura 1.2 Debido a que con estos aparatos no era posible transmitir información a grandes distancias se dejaron en el olvido, de tal forma que para principios del siglo XX los sistemas de comunicaciones ópticos eran obsoletos e incapaces de competir con las comunicaciones eléctricas.

2

Figura 1.2 Telefono óptico.

A mediados del siglo XX se incrementa drásticamente la demanda en los sistemas de comunicaciones, no solo para transmitir información por medio de la fibra óptica, sino también para almacenarla [1]. La investigación en el campo de las tecnologías ópticas está en continuo avance. La necesidad de guardar cada vez mayor cantidad de datos, requiere del desarrollo de nuevos sistemas de almacenamiento que mejoren la perdurabilidad de la información que se almacena, manteniendo la misma calidad a la hora de recuperarla. En 1947 el físico británico de origen húngaro Dennis Gabor tratando de mejorar la óptica de los microscopios electrónicos, desarrolló la holografía. En un holograma se puede grabar en su totalidad la información que contiene un frente de onda (esto es amplitud y fase), en cada punto y después recuperar la información grabada integramente. Los primeros hologramas se registraban con mucho ruido debido a que no se contaba con fuentes coherentes [2]. En 1956, Leith consiguió registrar dos imágenes de un objeto, una real y una virtual que al mezclarlas entre sí se obtiene una imagen tridimensional. A partir de la invención del láser en 1960, la holografía tuvo un crecimiento impresionante, debido a que el láser permite propagar ondas a la misma frecuencia y sin distorsión, aparece la holografía moderna. Con el láser fue posible producir hologramas de eventos de alta velocidad de objetos animados, con lo cual aparece la fotografía holográfica pulsada. En 1968, Benton inventó la transmisión holográfica mediante luz blanca, lo cual permitió la producción masiva de hologramas [3, 4]. Se establecía así un nuevo sistema de registro que podía empezar a competir con otros medios de registro de información como el microfilm. En la actualidad los hologramas se utilizan como elemento de registro de información en varias áreas tales como: la publicidad y el comercio debido a que resultan ser un medio muy atractivo

3 para acaparar la atención del consumidor de un producto, además de autentificar su calidad o bien identificar la marca del producto. En la exhibición de piezas de archivo, objetos de museo valiosos y frágiles favorece su conservación, reduciendo el deterioro de documentos originales; la divulgación de obras y materiales relacionados con su contenido, la holografía se encargaría de enseñar el contexto histórico de los documentos u objetos exhibidos sin que sufran daño alguno, ver Figura 1.3.

Figura 1.3 Pieza de museo en hologramas.

En bancos, comercio y gobierno, los hologramas son utilizados como dispositivos de seguridad debido a su dificultad para ser falsificados, ya que requieren equipos especiales y grandes conocimientos, por lo cual es prácticamente imposible duplicarlos o falsificarlos [5]. Figura 1.4 En medicina, por medio de técnicas holográficas es posible mostrar el interior del cuerpo de una persona viva en tres dimensiones empleando rayos X, en el que el observador puede ver desde todas las direcciones el cuerpo girando alrededor de él [6]. Herramienta didáctica y de marketing en bibliotecas, archivos y centros de documentación, como en la de innovador soporte documental, el desarrollo de la holografía en este campo será vital. La holografía como sistema de almacenamiento y recuperación de documentos, será una

4

Figura 1.4 Hologramas de Seguridad en tarjetas de crédito.

verdadera revolución tecnológica con las llamadas memorias holográficas. La sucesión del DVD por parte del formato HVD o disco versátil holográfico que guarda y recupera información con la ayuda de 2 láseres, uno rojo y otro verde. Frente a los discos y videodiscos ópticos, los hologramas presentan las siguientes ventajas: • Técnica de grabación y lectura. Permiten almacenar gran cantidad de información sobre una misma unidad de volumen, con modificar simplemente para ello el ángulo de grabación de uno de los láseres. • La capacidad de grabación es de Terabytes/cm3 . • La velocidad de transferencia es superior a 1000 bytes por segundo, lo que significa encontrar un dato elegido al azar en menos de 10 microsegundos [6]. En el cine o televisión, algunas películas muestra la utilización de hologramas. Una de las escenas más cercanas que nos puede venir a la mente, es la película "La guerra de las galaxias" donde se muestra una pequeña imagen holográfica proyectándose en una superficie para transmitir un mensaje, Figura 1.5. Hoy en día, se está desarrollando una nueva tecnología para comunicaciones que permitirá a las personas interactuar dentro de un entorno simulado, incluso si hay miles de kilómetros de distancia, la tele-inmersión.

5

Figura 1.5 Imágenes de La Guerra de las Galaxias.

Combinando cámaras y la telefonía en Internet, la videoconferencia nos ha traído el intercambio en tiempo real de más información que nunca, sin tener que traer físicamente a cada persona a una habitación común. La tele-inmersión lleva la videoconferencia al siguiente nivel, crear un entorno central y simulado que permitirá a todo el mundo juntarse en una habitación virtual, y nadie tendrá que abandonar su localización física para hacerlo. Las aplicaciones para los entornos holográficos de esta tecnología son ilimitadas. Se puede imaginar un video juego libre de joysticks, donde el operador se hace directamente participante del juego, interactuando con otros jugadores. En vez de viajar miles de kilómetros cada cierto tiempo para ver a algún familiar que está lejos, simplemente se les puede llamar y reunirse con ellos en una sala virtual, todas las veces que quiera. Con el desarrollo de esta tecnología, se prevé que incluso se pueda tocar a las demás personas, por medio de sensores tan reales como el propio contacto físico. Las posibilidades en la educación serán impresionantes, pudiendo dar cursos y formación a distancia y en entornos casi reales.

6

1.2

Hologramas

En forma general un holograma se fabrica de la siguiente manera: Una placa que contiene emulsión fotográfica es iluminada simultáneamente por dos haces luminosos proviniendo de una misma fuente luminosa coherente (láser), la una en forma directa, la otra pasando por un objeto al que ilumina y que luego lo difracta. Las dos trayectorias de haces forman ondas estacionarias de interferencia sobre la placa emulsionada registrando un patrón microscópico que contiene toda la información tridimensional del objeto. Posteriormente en el proceso de reconstrucción cuando se ilumina la placa así grabada, se obtiene una imagen flotante en el espacio que puede ser inspeccionada a su alrededor desde todos los ángulos posibles. Una característica particular de los hologramas es que a partir de un fragmento de éste, es posible reproducir la imagen total del objeto. El Todo esta entonces presente en el fragmento [8].

Figura 1.6 Construcción de un Holograma.

Debido al auge que experimentó la holografía surgieron varias técnicas para la fabricación de hologramas, así como el material utilizado, pero todos con el mismo principio básico. Todo lo anterior se debe de tomar en cuenta según la aplicación que se le va a dar. A continuación se mencionan algunas técnicas holográficas.

7

1.2.1

Hologramas Ópticos de Fourier

Este tipo de hologramas están basados en la Transformada de Fourier (TF). Para grabar estos hologramas se hace incidir un frente de onda monocromático y plano en un objeto bidimensional (transparencia), y en un orificio que se comporta como una fuente puntual(haz de referencia), generándose frentes de ondas esféricas , que contienen información de la imagen, éstas ondas cambian lateralmente una distancia x0 del eje óptico y este cambio se relaciona con el orden de difracción, en el cual se obtiene el primer mínimo sobre el eje óptico. La información que se graba en el holograma es la interferencia de la transformada de Fourier del haz objeto y del ha de referencia. El haz de referencia se encuentra en el mismo plano que el objeto, con este tipo de hologramas se prefieren objetos planos (binarios), ver Figura 1.7 [9].

Figura 1.7 Proceso para grabar y reconstruir un holograma óptico de Fourier.

1.2.2

Hologramas Generados por Computadora (HGC´s)

A partir de la década de los 60´s y con la ayuda de los avances de la computación digital, surgió una nueva alternativa para generar hologramas, la que en un principio se conoció como holografía digital y posteriormente se le denominó Hologramas Generardos por Computadora (HGC´s). Su característica principal radica en que el proceso de grabación del elemento difractivo se lleva a cabo sintéticamente con la ayuda de una computadora. El paso de reconstrucción permanece igual al de la holografía óptica tradicional. Una de las principales aplicaciones de este tipo de hologramas es en las comunicaciones ópticas Este tipo de hologramas registran la

8 amplitud y la fase del frente de onda, mediante celdas que contienen una ranura que va cambiando su tamaño horizontal, de acuerdo con la amplitud y variando la posición del rectángulo dentro de la celda dependiendo de la fase. Enseguida se imprime el holograma y se reduce fotográficamente. El negativo que se obtiene de esta forma se le conoce como holograma. Al iluminar holograma con un haz láser, se reconstruye la imagen que fue almacenada de forma codificada en el holograma [10].

1.3

OBJETIVO

Mostrar que el espectro en frecuencia de cualquier señal bidimensional se puede representar como un patrón de frecuencia binario con el que se puede almacenar, procesar y recuperar información.

1.4

JUSTIFICACIÓN

Se busca implementar el método de HGCs por celdas, como herramienta en el procesamiento de señales en forma digital que a su vez sea útil para utilizarlas en las comunicaciones. Por esto como primer paso se demostrará que un patrón de interferencia de un HGC es el espectro en frecuencia binario de una señal bidimensional.

1.5

ANTECEDENTES

Las comunicaciones ópticas tienen gran importancia debido aque la transmisión por fibras ópticas ha permitido el acceso a grandes cantidades de información a gran velocidad. Pero no se debe olvidar que las comunicaciones ópticas también abarca el almacenamiento, el procesamiento y la recuperación de la información. Con la invención de los hologramas se demostró que estos son una herramienta perfecta para almacenar grnades volumenes de infromación.

9 Una de las técnicas holográficas que se están desarrollando en la actualidad son los Hologramas Generados por Computadora aplicados en las comunicaciones

Capítulo 2

Binarización del espectro en frecuencia 2.1

Introducción

Como se sabe, por medio de la transformada de Fourier (TF) se pasa una señal del dominio del tiempo al dominio en frecuencias, en donde el espectro en frecuencias es procesado en frecuencias, es procesado para filtrar ruido, codificar y/o comprimir la señal, etc.

En este capítulo se verá como representar el espectro en frecuencia de una señal en un patrón binario, por medio de una técnica holográfica. Esté patrón se puede representar por celdas que registran la amplitud y fase por separado del espectro en frecuencias, mediante una ranura que varia en tamaño y cambia de posición [11]. Ver Figura 2.1. El espectro en frecuencia binario se representa de tal forma que queda codificada la señal.

Figura 2.1 El rectángulo con ancho W dν y posición lateral P dν codifican la amplitud y la fase, respectivamente, del espectro en frecuencias de la señal calculada.

11 La información contenida en el patrón binario puede ser recuperada de dos formas: por un sistema óptico o calculando numéricamente la señal original. Para generar este tipo de patrones cuyo espectros en frecuencia es binaria se pueden utilizar cualquier tipo de señal bidimensional [14, 15, 17, 18].

2.2

Transformada de Fourier

Es sabido que a la distancia focal de una lente convexa se obtiene la TF bidimensional, hecho del que se vale la holografía para fabricar un holograma óptico. Para más información al respecto ver referencias [19, 18]. Los Hologramas Generado por Computadora (HGC’s), utilizan en su proceso de fabricación de un holograma la TF llevada a cabo por una computadora, calculada numéricamente por medio de un computadora, y en el proceso de reconstrucción se utiliza una lente para recuperar la señal.

Analíticamente, la TF de una función continua e integrable de una variable real X esta definida como sigue: Z

f (x)e−i2πxν dx,

F {f (x)} = F (ν) =

(2.1)

∞

cuya transformada de Fourier Inversa (TFI) a la función anterior, se tiene:

F

−1

Z

∞

{F (ν)} = f (x) =

F (ν)ei2πxν dν,

(2.2)

−∞

recuperando la función original. En algunas ocasiones es conveniente expresar La TF en su forma compleja:

F (ν) = Re(ν) + iIm(ν), o en forma exponencial:

F (ν) = |F (ν)|eiϕ(ν) , donde

(2.3)

12

|F (ν)| =

p

[Re(ν)]2 + [Im(ν)]2 ,

(2.4)

y la fase esta dada por: 

Im(ν) ϕ(ν) = arct Re(ν)

 .

(2.5)

En el espacio bidimensional la TF es: ∞

Z Z

f (x, y)ei2π(xνx +yνy ) dxdy ,

F {f (x, y)} = F (νx , νy ) =

(2.6)

−∞

cuya TFI bidimensional es:

F

−1

Z Z

∞

{F (νx , νy )} = f (x, y) =

F (νx , νy )ei2π(xνx +yνy ) dνx dνy .

(2.7)

∞

La TF es de gran importancia y muy utilizada en áreas tales como comunicaciones, procesamiento de voz e imágenes, control, entre otras. Una vez obtenida la señal en el dominio de las frecuencias se puede procesar la señal para diferentes aplicaciones.

2.3

Justificación del proceso de binarización

El proceso de binarización de esta técnica se justifica de la siguiente manera. La intensidad del espectro en frecuencia I = A2 puede ser visto como una onda cosenoidal con valores continuos de amplitud (en escala de grises). Para binarizarlos se necesitan valores discretos. De aquí la necesidad de remplazar la onda cosenoidal por una onda rectángular. Ver Figura 2.2 Esto significa que la intensidad I registrada es cero o uno, clara u opaca. El tamaño del rectángulo es proporcional a la amplitud de la onda cosenoidal, y la posición del mismo representa el máximo de la cosenoidal para una de las crestas.

13

Figura 2.2 Ondas cosenoidal y rectangular.

De aquí se justifica que la posición lateral del rectángulo (Figura 2.1) es proporcional a la fase de la onda que emerge de cada celda del patrón. Esto puede evidenciar el por que el tamaño del rectángulo es responsable de la amplitud.

2.4

Técnica de binarización espectral

La transmitancia del patrón H de la celda de la Figura 2.1 es: N X N X



νx − `δν − P δν H(νx , νy ) = rect W δν k=1 `=1   νy − kδν ∗ rect δν



En el plano (x0 , y 0 ), la información recuperada es:

h(x0 , y 0 ) = F−1 {H(νx , νy )} Z N Z N 0 0 = H(νx , νy )e2πi[x νx +y νy ] dνx dνy k=1 `=1 X = Wmn δνsinc(πWmn x0 δν)exp[2πix0 (m + Pmn )δν], mn

donde la función sinc esta definida como:

sinc(πx) =

sen(πx) , πx

(2.8)

14 siendo la amplitud compleja de h(x0 , y 0 ) la transformada de Fourier inversa (TFI), la cual se pide sea igual a la señal original u(x, y), cuya transformada de Fourier es:

u(x, y) =

RR

U (νx , νy )e−2πix0 νx e2πi(xνx +yνy ) dνx dνy ,

(2.9)

donde U = Aeiϕ . Igualando h y u y haciendo algunas aproximaciones se llega a los siguientes parámetros libres: sen(πWmn ) = Amn ,

(2.10)

ϕmn = 2πPmn . Obteniéndose un total de 2N 2 parámetros libres. Para más detalles sobre el desarrollo matemático ver el Apéndice A.

2.4.1

Características de la señal y el espectro en frecuencia binario

La señal a binarizar debe ser bidimensional, de tamaño ∆x×∆y, dividido en N ×N pixeles, donde las dimensiones del pixel se definen como ( δx = δy). δx es el mínimo elemento de la señal que determina la resolución del mismo, este es inversamente proporcional al ancho de banda ∆ν = 1/δx = 1/δy del espectro en frecuencia espaciales de U (νx , νy ), el cual es cero fuera del ancho de banda definido como [10]: | νx | ≤ ∆ν/2,

(2.11)

| νy | ≤ ∆ν/2. El espectro de frecuencias espaciales esta dado por la transformada de Fourier (TF) de la señal H(νx , νy ). De aquí que el despliegue del espectro en frecuencia de H esta confinado dentro de los límites del tamaño del patrón ∆ν. De forma resumida se tiene que: 2

N =



∆x δx



∆y δy



,

(2.12)

es el número de elementos de resolución en dos dimensiones de la señal. Por otro lado el tamaño del espectro en frecuencia binario ∆ν esta relacionado con la resolución de la señal dx

15 por ∆ν = 1/δx. La resolución en el espacio en frecuencia de δν que depende del tamaño de la señal ∆x por δν = 1/∆x, teniéndose entonces que el número de elementos de resolución en el espacio en frecuencia para dos dimensiónes es: 

N0

2

=



∆ν δν



∆ν δν



.

(2.13)

Relacionando el tamaño y resolución de la señal, con la señal en frecuencias se llega a: N

=

∆x δx

=

∆ν δν

= N 0,

N 2 = (N 0 )2 .

(2.14)

lo cual significa que los elementos de resolución en el espacio en frecuencia al menos deben ser iguales al número de elementos de la señal en el dominio del tiempo o espacio.

Se pide que en el espacio en frecuencia el patrón tenga una transmitancia de amplitud binaria 1 ó 0, y que el ancho de los rectángulos esté relacionado con la amplitud, la cual varia entre [0, 1], obteniéndose el máximo valor de amplitud en el centro del espectro, es decir en H(0, 0) la amplitud es igual a 1. Los valores de la amplitud decrecen a medida que se alejan del centro del patrón. En la Figura 2.3 se puede ver el histograma de la amplitud con valores muy pequeños. La Figura 2.4 muestra un ejemplo de un holograma, .

16

Figura 2.3 Histograma de la amplitud del espectro en frecuencias.

Figura 2.4 Espectro en frecuencia binario.

Capítulo 3

Resultados y desarrollo experimental El procedimiento que se siguió para generar un patrón en frecuencia binario es el siguiente: se calcula la Tranformada Discreta de Fourier Bidimensional de la señal deseada. Ver Figura 3.1.

Figura 3.1 Dibujo del cual se obtuvo su espectro en frecuencia binario.

Mediante un algoritmo ya implementado en la computadora (Apéndice B) se grafica por medio de celdas el espectro en frecuencia calculado, ver Figura 3.2.

Figura 3.2 Proceso para generar un patrón binario por computadora.

18 Una vez efectuado lo anterior, el patrón de frecuencia discreto generado se reduce fotográficamente hasta el tamaño de 35 mm. de tal forma que pueda ser utilizado como un dispositivo óptico, Figura 3.3.

Figura 3.3 Patrón de frecuencia binario u holograma generado por computadora.

Este procedimiento se realizó con una cámara fotográfica, variando el tiempo de exposición de la película de 0.5, 1, 2 y 3 segundos, igualmente se varió la distancia de la cámara fotográfica al patrón impreso en 0.5, 0.6, 0.7, y 0.8 metros, Figura 3.4.

19

Figura 3.4 Reducción fotográfica del patrón de frecuencia generado.

Se reveló la película fotográfica. El tipo de película que se utilizó fue de 35 mm de alta resolución en blanco y negro. Al dispositivo así obtenido, se le llama holograma.

Cuando el holograma es iluminado con un frente de onda plano coherente, se recupera la señal original, es decir, se reconstruye la imagen. Para evitar que se introduzca ruido en la reconstrucción, el holograma (negativo de la película) se cubre con cinta negra o se coloca en un marco para diapositivas, de tal forma que solo quede visible el holograma.

20

Figura 3.5 Sistema óptico.

A continuación la transparencia se colocó en un sistema óptico como el que se muestra en la Figura 3.5, en donde, se utiliza el haz abierto de un láser He-Ne que emite a 632 nm, para iluminar el holograma.

La luz que incide sobre el holograma se hace pasar por una lente, la cual saca la transformada inversa de Fourier y con esto se reconstruye en el plano de salida la imagen de la señal original. La Figura 3.6 muestra el sistema implementado para la recuperación de la misma y como se puede ver en la Figura 3.7 se recupera la imagen original (ver Figura 3.1) [31].

21

Figura 3.6 Sistema óptico para la reconstrucción de la Señal original.

La Figura 3.8 muestras otro tipo de información a la que se le generó su patrón binario y en la Figura 3.9 se puede ver la información recuperada.

Se generó el holograma por computadora como en la primera parte del proceso experimental que se explicó anteriormente. Ahora la parte de reconstrucción se realizó totalmente por medio de un algoritmo y los resultados se muestran a continuación. Ver Figuras 3.10 -3.12.

Para la reconstrucción de esta figura no se requirió implementar ningún arreglo óptico en el laboratorio. Se utilizó un programa en Matlab para reconstruirla ver Figura 3.11.

22

Figura 3.7 Recuperación de la imagen a la que se le saco el holograma generado por computadora.

Figura 3.8 Señal en base a letreros.

Figura 3.9 Recuperación de la señal que contiene letras.

23

Figura 3.10 Figura con la cual se generó el holograma.

Figura 3.11 Recuperación de la figura por medio de la computadora.

Figura 3.12 Fragmento del plano de salida de la Figura 3.11

Capítulo 4

Conclusiones y trabajo futuro En este trabajo se concluye que es posible representar el espectro en frecuencia de cualquier señal bidimensional, por medio de un patrón binario, empleando un método holográfico para generar hologramas por computadora. En el algoritmo que se emplea para quenerar el patrón binario, se utiliza la transformada de Fourier. El proceso para recuperar la señal es por medio de la transformada inversa de Fourier la cual se puede llevar a cabo de dos maneras: ópticamente,implementando un sistema en el laboratorio ó por computadora calculando númericamente la TFI. Con lo anterior se concluye además que el patrón binario que se obtuvo representa la transformada de Fourier de la señal.

25

Apéndice A: Análisis matemático de una celda. El objetivo es calcular númericamente un patrón que represente o simule el espectro en frecuencia de forma binaria, del cual se pueda mediante un proceso inverso recuperar la señal original. Así que se desea que: h(x0 , y 0 ) ' constU (x, y),

(A.1)

en donde h(x0 , y 0 ) sea igual a la señal original esto es igual a constU (x, y). La función de rectángulo esta dada por rect(x) y se representa gráficamente como se muestra en la Figura A.1, donde se cuenta con una amplitud máxima de −0.5 a 0.5

Figura A.1 Función rect.

  1 |x| ≤ 1 , 2 rect(x) =  0 otro caso,

(A.2)

para un rectángulo desplazado B unidades, se tiene que:  rect

X −B A

 ,

(A.3)

donde X es el centro del rectángulo y B el desplazamiento, A el ancho del mismo. Como en una celda tipo I se tiene las dimensiones como se muestran en la Figura 2.1. Por lo tanto la información de la amplitud de transmitancia de un holograma esta dada por la Ecuación (A.4):

H(νx , νy ) =

ncell X ncell X k=1 l=1

 rect

νx − ιδν W δν



 rect

νy − kδν δν

 ,

(A.4)

26 donde νx es el eje en las horizontal y νy es el eje vertical, δν la altura de la celda, W δν el ancho del rectángulo y P δν el desplazamiento. Aplicando la Transformada de Fourier Inversa (TFI), se tiene la Ecuación (A.5). 0

0

Z Z

−1

h(x , y ) = F H(νx , νy =

0

Z Z XX

0

h(x , y ) =

h(x0 , y 0 ) =

 rect

νx − ιδν W δν

νx =lδν +P δnu + W2δν

XXZ

H(νx , νy )e2πi[(x+x0 )νx +νy ] dνx dνy



 rect

(1)ei2π(x+x0 )νx dνx

νx =lδν +P δν − W2δν



νy − kδν δν

e2πi[(x+x0 )νx +νy ] dνx dνy

νy =Kδy −

Z

νy =Kδy −

δy 2

δy 2

(1)ei2π(y)νy dνy

(A.5)

(A.6)

(A.7)

Se multiplica por uno en la Ecuación (A.7) porque se tiene una fuente puntual en el caso del haz de referencia. 0

0

h(x , y ) =

XXZ

νx

νx

du e i2π(x + x0 ) u

para simplificar se define a u como: u = i2π(x + x0 )νx ,

Z

dν dνx

νy

eu·

νy

du· i2π(y)

(A.8)

= i2π(x + x0 ).

y dνx =

du i2π(x+x0 )

u· = 2πiyνy du· = 2πiydνy du· 2πiy

= dνy

0

0

h(x , y ) =

XX

XX

1 ei2π(x+x0 )νx 2π(x + x0 )



1 2πiyνy e 2πiy



h i W W 1 ei2π(x+x0 )(`+P )δν + 2 δν − ei2π(x+x0 [(`+P )δν − 2 δν ]) 2πi(x + x0 )

(A.9)

(A.10)

27

h(x0 , y 0 ) =

XX

i h W W 1 ei2π(x+x0 )(`+P )δν ei2π(x+x0 ) 2 δν − ei2π(x+x0 [(`+P )δν ]) e2πi(x+x0 ) 2 δν 2πi(x + x0 ) (A.11) 

h(x0 , y 0 ) =



W ei2π(x+x0 )(`+P )δν  i2π(x+x0 ) W δν  2 − e−i2π(x+x0 ) 2 δ}ν  e| {z π(x + x0 )

(A.12)

W ei2π(x+x0 )(`+P )δν sen(2π(x + x0 ) δν ) π(x + x0 ) 2

(A.13)

Sen(2π(x+x0 ) W δ ) 2 ν

h(x0 , y 0 ) = Como sinc(x) =

sen(x) : x

h(x0 , y 0 ) =

XX k

W δν ei2π(x+x0 )(`+P )δν Sinc(π(x + x0 )W δν )

(A.14)

`

por lo tanto: h(x0 , y 0 ) ' CT E [U (x, y)]

(A.15) angulo

i2π(x+x0 )(`+P )δν

W δν e |{z}

Intensidad

z}|{ sinc(π(x + x0 )W δν ) = Ak` e θ k` i

(A.16)

28

Apéndice B: Algoritmo para la generación de un patrón binario. clc

[X, m] = imread(’figuras’,’bmp’);

X=double(X); X = X * 1/2; X= floor(X);

disp(’ Se aplica el Factor de Fase ’);

X = flipud(X); [mx,nx] = size(X); r = rand(mx,nx); X.*exp(i*pi*(2*r-1)); disp(’ Tamaño de la matriz N=M ’); ncell = mx;

disp(’ Transformada de Fourier’);

X = fft2(X); for k = 1 : ncell; for l = 1 : ncell X(k,l) = X(k,l).*exp(i*pi*(k+l));

end end X = fftshift(X);

clear r m mx nx xmax ymax D

29 disp(’ Amplitud y fase’);

ampX = abs(X); faseradX = angle(X);

disp(’ Normalización [0,1]’);

valmaxX = max(ampX); valmaxX = max(valmaxX); ampnX = ampX./valmaxX;

clear ampX valmaxX X

disp(’ Obtener Wx ’);

WX = asin(ampnX)/pi; posfaseX = faseradX/(2*pi);

clear ampnX k l faseradX

disp(’ GRAFICA ’);

N=ncell; dx = 8.0/N; dy=dx;

fid = fopen(’FIG.ps’,’w’); fprintf(fid,’/Time-Roman findfont \ n’); fprintf(fid,’75 scalefont setfont \ n’); fprintf(fid,’20 720 moveto \ n’);

30 fprintf(fid,’(7 FIGURAS)show \ n’); fprintf(fid,’20 660 moveto \n’); fprintf(fid,’(256X256 PIXEL) show\n’); fprintf(fid,’50 620 moveto\n’);

for k = 1:ncell for l = 1:ncell x0 = dx * k +.1; y0 = dy * l+.25; offsety = dy*(0.5 * (1-WX(k,l)) + posfaseX(k,l)); widthX = dy * WX(k,l); fprintf(fid,’newpath\n’); fprintf(fid,’%.2f %.2f %.2f %.2f rectfill\n’,72*(x0+offsety),72*(y0+.75*dy),widthX*72,dy*72); end end

fprintf(fid,’showpage\n’); fclose(fid);

31

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