UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA

SIMULACION BIDIMENSIONAL DE LA CONVECCION NATURAL EN CAVIDADES CUADRADAS CON PAREDES HORIZONTALES PERFECTAMENTE CONDUCTORAS A ALTO NUMERO DE RAYLEIGH

SERGIO EDUARDO COURTIN VEGA

2006

UNIVERSIDAD DE CHILE ´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEMATICAS ´ DEPARTAMENTO DE INGENIER´IA MECANICA

´ BIDIMENSIONAL DE LA CONVECCION ´ NATURAL EN CAVIDADES SIMULACION CUADRADAS CON PAREDES HORIZONTALES PERFECTAMENTE ´ CONDUCTORAS A ALTO NUMERO DE RAYLEIGH

SERGIO EDUARDO COURTIN VEGA

COMISION EXAMINADORA

CALIFICACIONES NOTA (No )

PROFESOR GU´IA ´ L. FREDERICK GONZALEZ ´ SR. RAMON

(Letras)

FIRMA

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SR. CARLOS GHERARDELLI DEZEREGA :

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PROFESOR CO-GUIA

PROFESOR INTEGRANTE ´ SR. JUAN CARLOS ELICER CORTES

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NOTA FINAL

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MEMORIA PARA OPTAR AL T´ ITULO DE ´ INGENIERO CIVIL MECANICO SANTIAGO DE CHILE OCTUBRE 2006

Resumen En la presente memoria se describe la din´amica del flujo y la transferencia de calor de un fluido contenido en un espacio cerrado cuadrado con temperaturas diferentes en las dos paredes verticales. Se considera la condici´on de borde t´ermica de paredes horizontales perfectamente conductoras. Este caso se acerca m´as a la realidad f´ısica que el de una cavidad con paredes horizontales adiab´aticas, cuando el fluido confinado es aire. A pesar de esto, la condici´ on de borde propuesta ha sido menos usada que la adiab´atica en estudios de simulaci´on num´erica. El problema se estudia por medio de la resoluci´on directa de las ecuaciones de Navier -Stokes, continuidad y energ´ıa, para un amplio rango de n´ umeros de Rayleigh (entre 104 y 1010 ). Para la resoluci´on se usa un c´odigo basado en el m´etodo SIMPLER, el cual entrega soluciones suficientemente precisas a altos n´ umeros de Rayleigh, como revelan las diversas validaciones efectuadas. Esta condici´ on genera inestabilidades de flujo a n´ umeros de Rayleigh levemente superiores a 106 . Por esta a raz´on, en esos casos se generan reg´ımenes dependientes del tiempo, para los cuales se estudia la din´amica del flujo y la transferencia de calor, tanto en el r´egimen transiente inicial como en el estado final estad´ısticamente permanente. Mientras el r´egimen final en el caso Ra=106 es permanente, para Ra=107 es peri´odico, como lo revelan las curvas de evoluci´ on de n´ umero de Nusselt. A n´ umeros de Rayleigh superiores el r´egimen es totalmente aperi´ odico. Se obtienen y correlacionan los promedios temporales de los n´ umeros de Nusselt en las paredes verticales y en el plano medio vertical de la cavidad. Este u ´ltimo es netamente superior a los n´ umeros de Nusselt de pared, representando el calor total movido por la cavidad con la condici´on de borde usada. Para los dos n´ umeros de Rayleigh m´ as altos se realiza un an´alisis de las frecuencias de oscilaci´on importantes en los n´ umeros de Nusselt y en la temperatura local.

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Nomenclatura Q: Flujo de calor. U : Velocidad en el eje x. V : Velocidad en el eje y. N u: N´ umero de Nusselt. P r: N´ umero de Prandtl. Ra: N´ umero de Rayleigh. S: Raz´on de aspecto. TH : Temperatura pared caliente. TC : Temperatura pared fr´ıa. g: Aceleraci´ on de gravedad. Θ: Temperatura adimensional. H: Altura de la cavidad. L: Largo de la cavidad. β: Coeficiente de expansi´ on t´ermica del aire. α: Difusividad t´ermica. ρ: Densidad.

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Agradecimientos Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mi profesor gu´ıa don Ram´on Frederick G. por todo el apoyo y tiempo que me dedic´ o durante la realizaci´on de este trabajo y al Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica por darme una gran formaci´ on. A mi familia que me esper´ o pacientemente, en especial a mi t´ıa Eliana Courtin Lyon, quien me acogi´o en su hogar durante estos largo a˜ nos de estudio y a mis padres que siempre me apoyaron en mis locas ideas. A mis compa˜ neros mec´ anicos, Rodrigo, Cristi´an (siii pohhhh), Natalia, Armando, Ricardo, Canek, Pablo, David, Mugui Mugui y Sandro con quienes pasamos largas noches de estudio y fundamos la familia mec´ anica (Leo, te debo un pendrive), a mis amigos del Centro de Estudiantes de Ingenier´ıa, Daniela, Andr´es, Milenko, Pancho y Marcelo, con quienes formamos la directiva CEI m´as desastrosa de todos los tiempos. A mis amigos, Paco, Olat´ın, Mauro, Camila y Vale, quienes hicieron m´as llevadero mi tiempo en la universidad. A todos los que me apoyaron con una raya y me permitieron estar en el CEIMEC y luego en el CEI. A los profesores Roberto Corval´ an P., Ram´on Frederick G. y Rodrigo Pascual J. por confiar en mi y apoyarme en mi doctorado. A t´ıo Willy por alimentarme sanamente y a precios m´odicos durante esas largas noches de estudio. A Pepe (Guille) y Jeanette, por soportar mi mal genio. A Soledad, Raquel, Gladys y Ricardo, por su gran disposici´ on. Finalmente agradezco a todos los que hicieron de ´estos los mejores a˜ nos de mi vida.

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A Natalia, sin ella todo habr´ıa sido imposible

´Indice general 1. Introducci´ on y Objetivos

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1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2. Motivaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.4. Resultados Esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. An´ alisis Bibliogr´ afico

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3. Metodolog´ıa

9

3.1. Formulaci´ on del Problema de Convecci´on Natural Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2. Metodolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Resultados y Discusi´ on

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4.2. Validaci´ on para Ra=10 , Caso Adiab´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.3. Simulaci´ on del Problema con Paredes Conductoras a Altos N´ umeros de Rayleigh . . . . . . .

21

4.4. Descripci´ on de los Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.5. Descripci´ on del Per´ıodo Transiente Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.6. Detalles de los Casos Corridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

4.1. Validaci´ on para Ra=10 , Caso Adiab´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

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22

7

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31

4.6.3. Ra=108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.6.1. Ra=10 4.6.2. Ra=10

9

4.6.4. Ra=10

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41

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4.7. Resumen de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10

4.6.5. Ra=10

5. Conclusiones

63

v

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on y Objetivos 1.1.

Introducci´ on

Desde mediados de los a˜ nos 60 han estado en estudio los problemas de convecci´on natural en recintos cerrados (cavidades). El problema m´ as b´ asico de ´estos es el de convecci´on natural bidimensional de un fluido confinado en un recinto rectangular vertical, con dos paredes verticales a temperaturas impuestas distintas (diferencialmente calentadas, DC) y las dos paredes horizontales adiab´aticas. En ese problema el gradiente de temperatura es perpendicular a la direcci´ on de la gravedad. Como el aire tiene una conductividad t´ermica muy baja, cualquier material de las paredes ser´a altamente conductivo respecto a este fluido. En consecuencia, la condici´on adiab´atica es muy dif´ıcil de cumplir si el fluido es aire. Una condici´ on m´ as realista es la de paredes perfectamente conductoras. Esta condici´on implica un perfil lineal de temperatura en las paredes horizontales, que va desde la temperatura de la pared caliente hasta la de la fr´ıa. El problema de convecci´ on en una cavidad cuadrada con paredes horizontales perfectamente conductoras ha sido menos tratado que el de paredes adiab´aticas. Existen sin embargo algunos datos experimentales y de simulaciones num´ericas [3], [4] que pueden usarse para validar soluciones. Para ambos tipos de condiciones de borde t´ermicas, la imposici´on de temperaturas diferentes (TH > TC ) a dos paredes verticales (fuentes t´ermicas, o paredes activas) causa una fuerza de empuje por diferencia de densidades: Cerca de la pared caliente la temperatura del fluido es cercana a TC , y es mayor que la temperatura media del fluido T0 = (TH + TC )/2, por lo tanto la densidad del fluido cerca de esta pared es inferior a la del resto de la cavidad. Por lo tanto se genera un flujo ascendente en la vecindad de la pared caliente, al mismo tiempo que esta pared cede calor al fluido que asciende.

1

´ Y OBJETIVOS CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

2

Figura 1.1: Esquema del problema a estudiar

La fuerza de empuje negativa que experimenta el fluido cerca de la pared fr´ıa causa su descenso frente a ´esta. Por inercia se desarrollan velocidades horizontales de flujo hacia la pared fr´ıa en el borde superior y hacia la pared caliente en el inferior, que generan una circulaci´on cerrada. Si las paredes horizontales son adiab´ aticas tienen una condici´on de flujo impuesto nulo, por lo tanto su temperatura es dependiente y no entrega fuerzas de empuje al fluido. Mediante la circulaci´on cerrada, el calor cedido por la pared caliente al fluido es entregado por ´este a la pared fr´ıa. En el caso de paredes conductoras, hay tambi´en flujos de calor a trav´es de las paredes horizontales. El flujo de calor en direcci´ on horizontal variar´a con la distancia a la pared caliente. Las caracter´ısticas del flujo y de la distribuci´on de temperatura que resultan de esta situaci´on dependen principalmente de las propiedades f´ısicas del fluido, de la diferencia de temperatura entre las paredes que generan empuje (∆ T = TH + TC ), y de las dimensiones (altura H y ancho L) del recinto. Estos efectos se resumen en tres grupos adimensionales independientes:

´ Y OBJETIVOS CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

3

N´ umero de Rayleigh, (par´ ametro de r´egimen):

Ra =

gβ∆T L3 να

(1.1)

ν α

(1.2)

N´ umero de Prandtl, (par´ ametro del fluido):

Pr = Raz´on de aspecto:

H (1.3) L A ´estos se agrega el grupo adimensional dependiente, llamado n´ umero de Nusselt, que representa la transS=

ferencia de calor entre las paredes caliente y fr´ıa, en t´erminos adimensionales. El n´ umero de Nusselt local en cualquier punto de la cavidad es: Nu =

qL ∆T k

(1.4)

El flujo local de calor en direcci´ on horizontal es: ∂T ∂x Al evaluar el flujo de calor en las paredes se considera que la velocidad es nula: q = ρcuT − k

(1.5)

∂T ∂x

(1.6)

q = −k

1.2.

Motivaci´ on

El problema descrito tiene una gran cantidad de aplicaciones que se dan en diversos ´ambitos. Flujos en c´amaras frigor´ıficas, en espacios habitables, (donde las ventanas y los dispositivos de calefacci´on son las fuentes t´ermicas), colectores solares planos y sistemas de enfriamiento de componentes electr´onicos son las aplicaciones m´ as nombradas. Estas aplicaciones exigen considerar fluidos de diferentes n´ umero de Prandtl y espacios de diferente raz´ on de aspecto (S>1 ´o S