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CAPITULO 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2. 1. Concepto intuitivo de límite y el concepto de derivada en un punto. Considere la siguiente expresión: n1 , siendo n un número natural, es decir, n=1, 2, 3, 4,.... Observamos que cuando reemplazamos el denominador n por 1, luego por 2, por 3, 4, etc., el valor de la expresión se hace cada ves más pequeño, 1, 12 , 13 , 14 ,... , etc., si n es muy grande, tendremos un valor cercano a cero, pero nunca alcanza el valor cero!. Ud. sospecha que si n fuera “infinito”, entonces sí alcanzaríamos el cero, pero el “infinito” no es un número. Por lo tanto, estaríamos realizando una operación extraña o prohibida, por decir lo menos. Sin embargo, en matemática necesitamos realizar estas operaciones extrañas, y para salvar las apariencias, decimos alegremente que en el límite se alcanza el valor cero, cuando n tiende a infinito. Esto se escribe: (1)

lim 1 n→ ∞ n

=0

y se lee: límite de n1 cuando n tiende a infinito es cero. No siempre necesitamos este “truco” para efectuar operaciones prohibidas. En efecto, piense Ud. en el valor que toma la expresión x2 cuando x se acerca 3, por ejemplo. Claramente, el valor se acerca 9, y escribimos (2)

lim x 2 = 9 . x →3

Desde niños sabemos que no podemos dividir por cero, sin embargo, esta operación prohibida la podemos efectuar en el límite. En efecto, suponga que x(t) es una función de depende del tiempo t y que da cuenta del camino recorrido por un móvil cualquiera. Si ∆t es un intervalo de tiempo y durante ese intervalo el móvil recorrió una distancia ∆x, entonces el cuociente: (3)

∆x ∆t

representa la velocidad promedio del móvil en recorrer ese camino durante ese tiempo. Esta expresión debe recordarle la tasa de cambio entre las variables x y t. Ahora imagine Ud. que el intervalo de tiempo disminuye cada vez más, es decir, ∆t→0. Obviamente que en tal caso ∆x también tiende a cero. Sabemos que ∆t no puede ser cero, sin embargo le permitimos que sea cero en el límite. Pero en este límite ya no tenemos “velocidad promedio”, sino que velocidad instantánea. Escribimos (4)

∆x ∆t → 0 ∆ t

velocidad instantánea = lim

Generalicemos estas ideas para una función x(t) cualquiera, es decir, x será una magnitud que cambia en el tiempo t. Entonces la tasa de cambio de x respecto de t sigue siendo la expresión ∆∆xt , que gráficamente puede ver se en la Figura 19. Note que la recta que pasa por los puntos A, B determina un triángulo rectángulo, recto en C, donde los catetos son ∆x y ∆t respectivamente. Por lo tanto, el cuociente ∆∆xt representa la tangente del ángulo α = ∠BAC.

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x(t) B

∆x

∆x A

C

∆t

α 0

t

∆t

∆x ∆t Ahora imagine Ud. que ∆t→0. Cuando ∆t disminuye, el punto B de la curva se acerca al punto A, viajando sobre la curva, tomando la posición B’, como muestra la Fig. 20. Evidentemente ∆x también disminuye.

Figura 19. Tasa de cambio de x respecto de t:

x x(t) T B

∆x A

α

,, α

∆t

,

T" T

, B , C

, α ∆t

0

t

Figura 20. Acercándonos al concepto de límite.

La recta secante T’ determinada por los puntos A y B, se transforma en otra recta secante T“, que ahora está determinada por A (que no se mueve) y el punto B’ , recta que forma un ángulo α ‘ con el eje del tiempo. En este caso el cuociente ∆∆xt representa la tangente del ángulo α ‘. En el límite el punto B coincide con el punto A, la recta secante se transforma en una recta tangente, recta que forma un ángulo α con el eje t. Por lo tanto, la tangente (trigonométrica) del ángulo α será el límite de ∆∆xt cuando ∆t→0. Escribimos (5)

lim

∆t → 0

∆x = tg α ∆t

α es un ángulo y la tangente de ese ángulo es un número, por lo tanto el límite (5) es un número. Observe atentamente la Fig. 18: el intervalo de tiempo ∆t empieza en algún punto t, que será la abscisa del punto A. Fijado ese instante, entonces el ángulo α está completamente determinado, y así su tangente trigonométrica. Dicho de otro modo, fijado el punto t, conocemos el número tgα. 17 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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EJERCICIOS I.

1. Calcule los siguientes límites (note que salvo el caso l, la variable es x, cosa que no tiene ninguna importancia...): a) lim 2x

b) lim 2x

g) lim x2

h) lim x(2-x)

l) lim t2

m) lim 3x(2x-1)

x →2

x →5

t →2

x →1

x→ −2

i) lim (x2-2x+1) x →0

x →2

e) lim (3x-1)

d) lim 4

x →4

x →2

p) lim (x+3)1984 x→ −4

c) lim 4

x →0

j) lim (x2-3x-18) x →5

n) lim 3(2x-1)(x+1)2 x →2

f) lim (3x-1) x →1/ 3

k) lim ∆x→0 2x+∆x

ñ) lim (x+3) x → −1

o) lim (x+3)9 x→ −2

q) lim (x3+3x2-2x-17). x →1

Cuando se fija un valor para la variable, se acostumbre a distinguirlo con un subíndice, digamos t0 si estamos fijando t; x0 si estamos fijando x, etc. En este caso, podemos notar que ∆t = t0+h, siendo h un número, y así decir que ∆t→0 es lo mismo que decir, h→0. Es claro que ahora ∆x=x(t0+h)-x(t0) Ahora estamos en condiciones definir un importante concepto matemático que será de gran utilidad para comprender mejor algunos fenómenos biológicos. DEFINICIÓN: Se llama derivada de x(t) con respecto a t, en el punto t0 al número (6)

x( t 0 + h) − x( t 0 ) ∆x = lim = tg α ∆t → 0 ∆t h→0 h lim

Observe que cuando “derivamos”, lo hacemos con respecto a la variable independiente, y cuando fijamos un valor de esa variable, la derivada es un número que equivale a la tangente (trigonométrica) del ángulo formado por la recta tangente a la curva en el punto donde su abscisa es justamente el punto fijo. NOTACIÓN: • x( t 0 + h) − x( t 0 ) dx ∆x (7) lim = lim = = x ' ( t 0 ) = x( t 0 ) h→ 0 ∆t →0 ∆t h dt t = t 0 (la última notación es común en biología y medicina). Por otro lado, sabemos que si el ángulo varia de 00 hasta 900, la tangente (trigonométrica) varía del valor 0 hasta el +∞, es decir, el número dado por la derivada puede ser cualquier número positivo o cero. Además, también sabemos que si el ángulo es mayor a 900 y menor que 1800, las tangentes son negativas. Observe la Fig. 20 e imagine rectas tangentes en diferentes puntos: todas ellas forman ángulos menores a 900. Por lo tanto, la derivada en cualquier punto de esa gráfica será positiva. Como la gráfica x(t) es creciente, deducimos que: Función creciente ⇒ derivada positiva

Análogamente, observando la Fig. 21, Función decreciente ⇒ derivada negativa. 18 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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x x(t) B

∆x

A C

α t

0

∆t Figura 21. Función decreciente implica derivada negativa (α > 900).

Observando la Fig.22 deducimos que: antes de llegar al punto A de la curva, la función es creciente y por lo tanto la derivada en cualquier punto será positiva; pero tras A, la función es decreciente y su derivada será negativa. En A hay un máximo, o mejor en el punto t1 la función x(t) tiene un máximo, y claramente allí la derivada será cero, es decir x ‘(t1)=0 x

x(t)

A

B t

0

t1 t2 Figura 22. Derivada nula implica máximos o mínimos

La función es decreciente hasta llegar a B, y a partir de allí, vuelve a ser creciente: en B hay un mínimo, o mejor, en el punto t2 hay un mínimo, y la derivada es cero en t2 , x ‘(t2)=0. Sabemos que la tangente de 900 no existe, luego cuando la recta tangente a la curva sea perpendicular al eje horizontal, no habrá derivada en esos puntos, casos “patológicos” raros en las aplicaciones reales.

2. 2. La función derivada y reglas de derivación.

La derivada en un punto es un número, pero si calculamos la derivada de una cierta función en cada punto, entonces tenemos un conjunto de puntos que conforman una nueva función llamada función derivada. NOTACIÖN: Si y = f(x) es la función, entonces la función derivada se denota por: • dy df (8) = = y ' (x) = f ' (x) = y . dx dx 19 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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Es evidente que si conocemos la función derivada de una función dada, entonces conocemos la tangente (trigonométrica) de todas las rectas tangentes a la curva en cualquier punto. Así, podemos saber si la función dada es creciente, decreciente o si tiene máximos y o mínimos. Parece saludable contar con la función derivada para conocer el comportamiento de la función misma. Como la derivada nos entrega información sobre las tasas de cambio (instantáneas), si la función es constante, entonces su derivada es la función nula. Luego, tenemos la primera regla de la derivación: La derivada de una función constante es cero.

Si la función es una recta, entonces no cambia la tasa entre las variables involucradas. Por lo tanto, tenemos la segunda regla: La derivada de una función lineal es una constante.

Pero podemos precisar más esta propiedad. En efecto, sabemos que si la relación entre las variables, digamos x y t, es una recta de la forma x(t) = mt + b, m, b constantes, entonces la tasa de cambio es m, es decir, (9)

x ‘ (t) = m, m = constante

y como m es la pendiente de la recta, ella coincide con su derivada (y todo encaja perfectamente). En particular, esta recta podría ser la recta identidad x(t) = t , que representa la bisectriz del primer cuadrante del plano (x, t). Sabemos que en tal caso, la pendiente es 1 siempre. Esto implica que La derivada de una variable respecto de ella misma es 1,

es decir dx dt = =1 dx dt

(10) REGLAS DE LA DERIVACIÓN

Aunque no lo hemos dicho, calcular la derivada es una operación y como toda operación matemática que se respete, debe contar con algunas propiedades: i) la derivada del producto de una constante por un función es la constante por la derivada de la función, es decir, d(kf ) df =k dx dx k, constante y f es una función que depende de x. ii)

la derivada de una suma (o diferencia) de funciones es la suma (o diferencia) de las derivadas, es decir d( f ± g) df dg = ± dx dx dx

iii)

la derivada de un producto y de un cuociente , son más complicadas:

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d( fg) dg df d ⎛ f ⎞ gf ' − fg ' ⎜ ⎟= , =f +g ; dx dx dx dx ⎜⎝ g ⎟⎠ g2

ALGUNAS FORMULAS UTILES: 1. Si n es un número, entonces 2. 3. 4. 5. 6.

( )

d n x = nx n−1 dx

d (ln x ) = 1 , x ≠ 0 dx x d x (e ) = e x dx d (sen x ) = cos x dx d (cos x ) = − sen x dx d (tg x ) = sec 2 x . dx

Ejemplos.

1. x(t) = t ⇒ x ‘(t) = 1 ; x(t) = t2 ⇒ x ‘(t) = 2t ; •

2.

y(x) = x3 ⇒ y( x ) =3x2 ;

3. z =

t ⇒ z'=

1

.

2 t

4. Y(x) = 3x4 – 2x2 + π ⇒ Y ‘ (x) = 12x3 – 4x ; 5. x(t) =

4

•

3

3

−1

t 3 = t 4 ⇒ x( t ) = 34 t 4 = 34 t

− 14

.

6. f(x) = 3senx – cosx ⇒ f ‘ (x) = 3cosx + senx ; 7. g(x) = 2lnx + 7ex ⇒

dg 2 = + 7e x dx x

8. h(t) = t –5 – 5t1/5 + 5cost –456 ⇒

dh −4 = −5t − 6 − t 5 − 5 sen t dt

9. x(y) = 3ey - 1y ⇒ x' ( y ) = 3e y + y12 10. f(x) = xsenx + xcosx ⇒ f ‘(t) = xcosx + senx –xsenx + cosx =(x+1)cosx + (1-x)senx •

11. g(z) = z3lnz⇒ g(z) = 3z 2 ln z + z 2 21 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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12. Hallar la pendiente de la tangente a la curva y = x3 en (2,8) y diga si en el punto x = 2 la función es creciente o decreciente. SOL.: La pendiente a la curva en el punto es la derivada de la función calculada en ese punto, es decir; como y ‘(x)= 3x2 entonces y ‘(2) = 12. Por lo tanto, la pendiente de la tangente en x=2 es 12, y como este valor es positivo, la función es creciente en x=2. 2. 3. Derivada de la función compuesta.

Sabemos que la derivada de ex es ex, pero cuál es la derivada de e5x ? . Para responder, debemos decir primero que la función e5x es la compuesta de dos funciones: la exponencial y el producto de la variable independiente por 5. Tratemos de simplificar: si u=u(x) es una función que depende de x, y derivamos respecto de x , entonces: F(x) = eu ⇒ F ‘(x) = eu du dx

(10)

Veamos un ejemplo: si F(x) = e5x entonces F ‘(x) = e5x dxd (5x ) = 5e 5 x

Análogamente, para las otras funciones, es decir: F(x) = un ⇒ F ‘(x) = unn-1 du dx

(11)

Ejemplo; x(t) = (sent)2 = sen2t ⇒ x ‘(t) = 2sent

d(sen t ) dx

= 2sent cost .

Ahora, podemos generalizar las fórmulas dadas anteriormente (12)

d (ln u) = 1 du , u ≠ 0 dx u dx

(12)

d (cos u ) = − sen u du dx dx

(13)

d du (tg u) = sec 2 u dx dx

Ejemplos:

1. x(t) = ln(sent) ⇒ x ‘(t) = 2. h(y) = e sen y ⇒

1 d cos t (sen t ) = sen t dt sen t

dh = e sen y cos y dy

3. f(x) = cos(senx) ⇒ f ‘(x) = -sen(senx)

d (sen x ) = -(cosx)sen(senx). dx

4. y(x) = (3x2 – x + 8)43 ⇒ y ’(x) = 43(3x2 – x +8)42

d (3x 2 − x + 8) = 43(3x2 – x +8)42(6x-1). dx

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5. Z(t) =

tg t ( t − 1) sec 2 t − tg t ⇒ Z ' (t) = ( t − 1) ( t − 1) 2

2. 4. Derivadas de orden superior.

Sabemos que dada un función x(t), podemos obtener su derivada x ‘(t). Esta derivada también es una función, por lo tanto podemos derivar x ‘(t), obteniendo la segunda derivada de x(t), que denotamos por (14)

x " (t) =

d 2 x •• = x( t ) dt 2

•• d2 x se lee: “de dos x a de t dos”. Repetimos que el símbolo x , sólo se usa en biología dt 2 y medicina. En matemática y física, como en otras ciencias, se prefieren los otros símbolos.

La expresión

Así como la primera derivada representa la tasas cambio instantáneas de la función x(t), la segunda derivada también representará las tasas de cambios de estas tasas. Por ejemplo, si x(t) es el camino recorrido por un móvil, sabemos que x ‘(t) representa la velocidad de ese móvil. Por lo tanto, x “(t) representará la aceleración de ese móvil. Puesto que la segunda derivada es una función, podemos volver a derivar x “ , y obtener así, la tercera derivada, que denotamos por (15)

x ‘’’(t) =

d3 x , dt 3

expresión que se lee: “de tres x a de t tres” (note que la simbología con puntos ya no es adecuada) En general, podemos seguir derivando alegremente una función cuantas veces se quiera. Sin embargo, existen funciones en que tal cosa no ocurre, pero como estas funciones no aparecen o rara vez aparecen en las aplicaciones médico-biológicas, no serán consideradas en nuestro estudio. EJERCICIOS II.

1. En los siguientes problemas, s(t) representa la posición de un cuerpo en movimiento, en el 2 y su aceleración a = ddt 2s instante t. Hallar su velocidad v = ds dt

gt 2 + v 0 t + s0 d) s=(2t-3)2. 2 NOTA: En el ejemplo c), como la variable independiente es t, toda otra letra será una constante. a) s = t2 - 4t +2

b) s = 2t3 -5t2 + 8t -9

c) s =

2. Hallar f ’(x0) en los siguientes casos: a) f(x)= (x+3)2 ; x0= -4

b) f(x)=senx ; x0=0

c) f(x)=

3. Hallar y ‘ de las siguientes funciones: 23 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

2 2 − ; x0=2. x2 x

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a) y = x5-¾ x1/4 + ½x-3/2

b) y = 5x3 - x

f) y = (x+x2)(1+x3)

e) y = 4+4/x

c) y = x2(x3-1) g) y =

x + x3 1 + x2

d) y=

x x−4

h) y = π2+3 x 3 -x-1/7

4. Hallar f ‘ , f” , f ‘” , fiv, fv y fvi si a) f = x3-3x2+6x-13

b) f = senx

d) f = ex

c) f = tgt

e) f =

5 . x

5. Hallar la tangente a cada una de las curvas dadas en el punto dado: a) y=x3 en (-1,1)

b) y=2x2+4x-3 en (1,3)

c) y=x3-6x2+5x en el origen

6. Considere la curva y = x2+5x y el punto x=3. Cuál de los siguientes valores es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado?. a) 24

b) 3

c) –5/2

d) 11

e) 8.

7. Un cuerpo se mueve sobre una recta de acuerdo a la expresión s=t3-4t2-3t. Hallar la aceleración cada vez que la velocidad es cero.

8. Hallar las primeras derivadas de las siguientes funciones: a) y(x) = x2sen52x

b) y(x) = tg2x

c) y(t) = sen2(1+3t)

d) z(t) = sen3t

f) y(x) = x2cos8x

g) y(x) = sen(cos2x)

h) y(x) = coskx, k=cte.

i) y(x) = tgx2

j) y(x)= tg22x

k) y(x) =

m) y(x) = sen2x3

n) y (x) = (tgx)(senx) ñ) y = senxcos(tgx)

e) t(x) =

sen x cos2 x

sen x 1 + cos x

l) y(x) =

cos2 x sex

o) y = cos(sen4 t)

2

2x

p) z = e sen2x

ex r) y = 1 + ex

2

q) r = lnt cost

s) y =

e−πx sen x − 1

9. La frecuencia F de la sirena de un carro de bomberos, oída por un observador en reposo, viene dada por la fórmula 132400 F= 331 ± v donde ±v representa la velocidad del carro. Hallar la razón de cambio de F respecto de v cuando: a) el carro de bomberos se acerca a 30 m/s (usar –v), y b) cuando el carro de aleja a30 m/s (usar +v). Este fenómeno se conoce como “efecto Doppler”.

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2. 5. Estudio de la forma de las gráficas de funciones.

Volvamos a relacionar la forma de la curva con los valores de la derivada en algunos puntos. Primeramente, debemos afirmar que las propiedades de la derivada (positiva, negativa, nula, creciente, etc.) son locales, es decir, valen en las vecindades del punto donde se calcula, y por otro lado, la derivada está relacionada con la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto donde la derivada se calcula. Observe atentamente la Fig. 23, saque Ud. mismo las conclusiones. Para ello, notar que los tres casos mostrados merecen los siguientes comentarios: en la primera curva desde la derecha, la recta L toca en un solo punto P a la curva, pero L no es tangente a la curva en C. En el segundo caso, la recta L’ es tangente a la curva en P’ , aunque L’ corte a la curva en otro punto Q. Finalmente, la recta L” es tangente a la curva en P” aun cuando una parte de la recta está a un lado y la restante, al otro lado. x

P L' L

P'

Q

P" L" t

0

Figura 23. Refutación de mitos sobre rectas tangentes

Ahora, esta curva tiene una importante propiedad además: Antes del punto P” la curva se dice que es cóncava y después del punto, se dice que es convexa. El punto de la curva donde cambia la concavidad se llama punto de inflexión. Estas características pueden determinarse con la segunda derivada. En efecto, recordemos que la parábola y = x2 tiene la ramas hacia arriba, es decir, ella siempre es convexa, y la parábola y = -x2 tiene las ramas hacia abajo, es decir, ella es siempre cóncava. Si calculamos la segunda derivada para ambas , resulta: (16)

⎧ y = x 2 ⇒ y ' = 2x ⇒ y " = 2 > 0 ⎨ 2 ⎩y = − x ⇒ y ' = − 2x ⇒ y " = −2 < 0

Por lo tanto podemos dar la siguiente DEFINICIÓN: Una función x(t) es convexa si x ‘(t) > 0, y es cóncava si x ‘(t) < 0. En la abscisa del punto de inflexión, digamos t0 , x “(t0) = 0. 25 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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La Fig. 24 muestra lo afirmado en esta definición x x(t) x "(t1 ) =0 P.I.

cóncava

convexa

t t1 Figura 24. Convexidades y punto de inflexión.

0

De lo afirmado en las Fig. 22 y 24, dada una función cualquiera x(t), podemos hallar los puntos donde se encuentran los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión. Es cierto que si la primera derivada es nula en un punto, allí puede existir un máximo o un mínimo. ¿Cómo decidir?. Muy fácil; con la ayuda de la segunda derivada. En efecto, de la Fig. 24 notamos que el máximo de produce cuando la segunda derivada es negativa; el mínimo se produce cuando la segunda derivada es positiva. Con esta simple reflexión, tenemos un método para decidir cuándo en un punto t0 existe un máximo o un mínimo, si previamente sabemos que allí se anula la primera derivada. NOTA: Algunos autores hablan de cóncava hacia abajo y cóncava hacia arriba en lugar de cóncava y convexa, respectivamente, es decir; x”>0 ⇒ cóncava hacia arriba y x” 0 ⇒ en t 0 hay un mín imo

Ejemplo: Hallar los puntos donde existen los máximos y/o mínimos, y los puntos de inflexión de la t 3 − 3t curva x( t ) = . 3

SOL: Primero buscamos los candidatos a máximos / mínimos, es decir, averiguamos en qué puntos se anula la primera derivada. x ' ( t ) = 13 (3t 2 − 3) = t 2 − 1 Por lo tanto: t2-1 = 0 ⇒ t2 = 1 ⇒ t = ±1, es decir, tenemos dos candidatos t = 1 y t = -1. Para decidir la elección, calculamos la segunda derivada y averiguamos qué signo tiene esta segunda derivada en los puntos 1 y –1. ⎧ x " (1) = 2 > 0 x " ( t ) = 2t ⇒ ⎨ ⎩x " ( −1) = −2 < 0 Luego, en t =1 hay un mínimo y en t = -1 hay un máximo. 26 Prof. Dr. Raúl F Jiménez

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Para hallar el punto de inflexión, debemos averiguar en puntos de anula la segunda derivada: x “(t) = 2t = 0 ⇒ t = 0 Por lo tanto, la abscisa del punto de inflexión es el cero. Para hallar la ordenada, reemplazamos t=0 t 3 − 3t ⇒ x=0. Es decir, el punto de inflexión está en el origen. en la fórmula de la función x( t ) = 3 Un bosquejo bastante aproximado de esta curva representada está dado en la Figura 25. x

x(t) P.I. t

1

-1 0

t1

t 3 − 3t . 3 Terminamos este sección diciendo cuándo un gráfico no tiene derivada, situación poco usual en lo nos interesa. Como la tangente trigonométrica de un ángulo de 900 no existe (es infinito), entonces si la tangente a la curva es perpendicular al aje horizontal, no habrá derivada en ese punto. Algo similar sucede si la curva presenta puntas agudas, como cúspides. Figura 25. Gráfico de la curva x( t ) =

En resumen: Observando atentamente la figura 26, podemos afirmar que

PI

t1

PI

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

Figura 26. Información local entregada por la primera y segunda derivada.

De t1 a t3 la función x(t) es creciente, luego x ‘(t) >0 allí. Desde t1 a t2 es convexa, luego x“(t)>0 allí. En t2 hay un punto de inflexión, luego x “(t2)=0. De t2 a t3 la curva es cóncava, luego x “(t)