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CAPITULO I: CÁLCULO DIFERENCIAL 1.1. FUNCIONES SENCILLAS, GRÁFICOS Y PROPIEDADES. 1. 1.1. FUNCIÓN LINEAL Se llama función lineal a toda recta cuya ecuación en el plano (x, t) es de la forma x(t)= mt+b, donde m y b son constantes. El valor de m se llama pendiente y el valor de b se llama coeficiente de posición. Si m=0, entonces la recta es paralela al eje del tiempo (t), que corta el eje x en el punto x=b; si m>0, la recta es creciente como es el caso b) de la Introducción; si m 0, b ≠ 1, ∀ x, y números

ii)

bx : by = bx-y , ∀ b > 0, b ≠ 1, ∀ x, y números

iii)

(b )

iv)

(ab)x = ax bx , ∀ a, b > 0, a, b ≠ 1, ∀ x número

x y

= b x y , ∀ b > 0, b ≠ 1, ∀ x, y números

Curvas importantes en cuyas definiciones aparece la función exponencial: La función “curva de aprendizaje”. Esta función describe la relación entre la eficacia con que un individuo realiza una tarea y la cantidad de instrucción o experiencia que el individuo ha tenido. Esta curva contiene una función exponencial en su definición, y es de amplio uso en Biología. Se define por x(t) = β − α e-kt , α, β, k son constantes positivas. Observe que x(0) = β-α, luego, en general β>α. Además, cuando t crece indefinidamente entonces x(t) se acerca cada vez más al valor β; y como x(t) = β es una recta (paralela al eje del tiempo), entonces esa recta es una asíntota, como puede deducirse de la Fig.9.

x(t)

β

β−α

t

Figura 9. La curva de aprendizaje.

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Este comportamiento asintótico refleja el hecho que finalmente un individuo se aproximará a un máximo de eficiencia y que la instrucción adicional tendrá poco efecto sobre los resultados. Un caso particular se tiene cuando α=β=k=1. El gráfico de x(t)=1-e-t es la Fig. 10. 1

0.5

0

0

2

0

4

t

5

Figura 10. Caso particular de la curva de aprendizaje. La curva logística Estas curvas son modelos bastante precisos del crecimiento de una población cuando los factores ambientales imponen un límite superior al tamaño posible de la población, o en el caso que los índices de natalidad disminuyen cuando la población aumenta, por ejemplo. También describen la propagación de epidemias, casos que estudiaremos más adelante, y como adelantábamos en la Introducción, también aparecen en muchas reacciones químicas y físico-químicas. La curva logística se define por β x( t ) = , donde α,β ,k son constantes positivas. 1 + αe −βkt Observe que cuando el tiempo transcurre indefinidamente, αe-βkt se acerca al cero; luego la población β es asintótica a la recta x(t)=β. Además, x(0)= sería la información (o dato) inicial. El gráfico está 1+ α dado en la Fig. 11.

x(t)

β

β/1+α

*

t

Figura 11. La curva logística.

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Si el valor inicial es mayor que β/2, entonces no aparece el punto de inflexión; la razón es simple, pero se verá más adelante.

1. 6. FUNCIÓN LOGARÍTMICA La función logarítmica de base b se define como la inversa de la función exponencial con base b. Es decir, el logaritmo de base b de un número x es el exponente al cual debe elevarse la base b para obtener el mismo número x. Notación: el logaritmo en base b de x se escribe: logbx. Ahora podemos definir el logaritmo con símbolos: y = logbx ⇔ by =x. Por ejemplo, sabemos que 23 = 8, luego log28=3. Observe que el hecho que una función sea la inversa de otra, significa que la acción que una de ellas realiza sobre un número, la otra función elimina esa acción, es decir: logb(bx)=x , o bien b logb x = x Sabemos que hay dos bases importantes: e y 10. Los logaritmos con base e se llaman logaritmos naturales o neperianos y de denotan por lnx. Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos vulgares o de Briggs, y se denotan por logx. Se tienen las siguientes relaciones, que no deben olvidarse jamás. ln(ex) = x = elnx. Ud. puede deducir que el logaritmo se calcula sólo para números positivos y que, para cualquier base, el logaritmo de 1 siempre es cero, como puede deducirse de la Fig.12. 5

0

5

5

0

5

10

0

x

10

Figura 12. La función logaritmo En la figura 12, trace una recta frente al origen del sistema. La intersección de la curva con esta recta (eje del tiempo) es uno. ¿Porqué?. Las propiedades de la función logaritmo de cualquier base, son:

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logb (t1 t2) = logb (t1) + logb (t2) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t1 , t2 ⎛t logb ⎜⎜ 1 ⎝ t2

⎞ ⎟⎟ = logb ( t 1 ) − logb ( t 2 ) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t1 , t2 ⎠

logb (tn) = n logb (t) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t. Las calculadoras electrónicas de bolsillo tienen incorporado el cálculo de las funciones exponenciales de base e y 10, y los logaritmos en estas mismas bases. Para calcular el logaritmo en otra base b, distinta de e y 10, se debe recurrir a la siguiente fórmula de cambio de base: Supongamos que queremos calcular logb (N), conociendo logax para cualquier x, entonces sea y= logb(N), de modo que by = N (nuestra incógnita sería y). Tomando logaritmo con base a esta última igualdad, resulta loga (by) = loga (N), es decir, yloga (b) = loga (N) por lo tanto, log a N y= log a b Ud. puede usar esta fórmula para a=e o bien para a=10. EJEMPLOS: 1. Se acepta que el crecimiento de una población de bacterias, durante los primeros instantes, tiene un comportamiento exponencial. Es decir, si x0 es el población inicial de bacterias, entonces a tiempo t, el número de bacterias sería: x(t)= x0ekt siendo k>0 la tasa porcentual de crecimiento. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se duplique? SOL: Desconocemos el valor de t en la expresión x(t) = 2x0 = x0ekt. Simplificando x0, queda 2 = ekt Tomando logaritmo natural en ambos lados de esta igualdad, y recordando las propiedades de las funciones exponenciales, resulta ln (2) = kt es decir, ln 2 t= k En particular, si k= 0,4 para un tipo de bacterias y el tiempo se mide en horas, entonces la población se duplica en ln 2 ≈ 1,73 horas. t= 0,4 ¿A cuántos minutos corresponde 0,73 hrs? 2. (Tiempo de vida media de una sustancia radioactiva). En un proceso radioactivo simple, se sabe que el número de átomos que sobreviven en un instante t está dado por:

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x(t) = x0e-kt siendo x0 en número inicial de átomos, y k >0 es la constante de decaimiento. Es decir, x(t) es la cantidad remanente de sustancia. Se define el tiempo de vida media (t½) de la sustancia radioactiva, al instante en queda la mitad de la cantidad inicial. Este valor puede calcularse fácilmente. En efecto, Desconocemos t en la expresión ½x0 = x0e-kt Tomando logaritmo natural, resulta 0,6931 t½ = k 3. (Determinación de edad de fósiles). El carbono 14 (C14) es un isótopo radioactivo del carbono ampliamente usado para fechar fósiles. El dióxido de carbono en el aire contiene C14 así como C12 , que es un isótopo no radioactivo. Los científicos han encontrado que la razón C14/C12 en el aire ha permanecido prácticamente constante. Las plantas vivas absorben dióxido de carbono de la atmósfera, y así la razón C14/C12 en una planta viva es la misma que hay en el aire. Cuando la planta muere, la absorción del dióxido de C12 en la plante permanece, mientras que el C14 decrece y la razón C14/C12 decrece exponencialmente. La razón C14/C12 en un fósil t años después de que estuvo vivo es aproximadamente R(t)=R0e-kt ln 2 y R0 es la razón C14/C12 en la atmósfera. donde k= 5730 Los científicos pueden estimar la edad del fósil comparando R(t) con R0. Veamos un ejemplo: Un arqueólogo ha encontrado un fósil donde la razón C14/C12 es 81 de la razón encontrada en la atmósfera. ¿Cuál es la edad aproximada del fósil? SOL: La edad del fósil es el valor de t para el cual R(t)= 81 R0=R0e-kt. De donde 81 =e-kt. Tomando logaritmo natural, resulta ln(0,125) t= −k ln 2 y como k= 5730 , entonces

t=

5730 ln(0,125) = 17.190 años . − ln( 2)

Ejercicios:

1. Un cultivo de la bacteria Escherichia coli crece en un medio de sales inorgánicas y glucosa. La población inicial es de 106 bacterias por mm3, crece exponencialmente con k = 0,8 y el tiempo se mide en horas. a) Hallar una expresión matemática del comportamiento de esta población b) ¿En qué instante la población se triplica?. 2. Un cultivo de levadura crece a tasa exponencial. La población de este cultivo se duplica al cabo de 3 horas. Hallar la constante de crecimiento k. 3. Un estudiante de Bioingeniería observando el crecimiento de un cierto cultivo de bacterias ha reunido los siguientes datos:

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Número de minutos

0

20

Número de bacterias

6000

9000.

Hallar una expresión matemática que de cuenta del comportamiento en el tiempo de esta bacteria. 4. El radio isótopo I21 con el que se examina el funcionamiento de la glándula tiroides tiene una constante de desintegración k = 0,150. Si se introduce un trazador de 4 unidades de isótopo vía iv, ¿cuál es la vida media de este isótopo? 5. Verifique que la vida media del estroncio 90 es de 28,408 años sabiendo que su constante de decaimiento es k = 0,0244. 6. Si la vida media del radio es de 1690 años. ¿Cuánto tardará una muestra de 50 gramos de radio en reducirse a 5 gramos?. 7. En el agua común se encuentran iones libres de hidrógeno y oxhidrilo. Denotemos por x e y, respectivamente, sus concentraciones en términos de moles por litro. Supongamos que xy = 0-14 en una cierta muestra de agua. La acidez se define por log 1x . a) En esta muestra se encuentra que la acidez es 3,8. Hallar la concentración de iones oxhidrilo b) Si el rango normal de acidez en la sangre es 7,35 – 7,45. ¿Cuál es el posible rango de concentración iones hidrógeno en la sangre?. 1. 7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Cuando decimos que f es una función, estamos diciendo que f representa una relación entre dos variables, digamos x e y; variables que son números reales. Cuando hablamos de funciones trigonométricas, la variable independiente x representa la medida de un ángulo. Es común medir ángulos en grados, pero necesitamos que estos grados correspondan a números reales. Es decir, ¿podemos medir ángulos de modo que el resultado sea un número real? La respuesta es sí: la unidad se llama radián. Para establecer las equivalencias entre ángulos medidos en grados y en radianes, se parte de la igualdad: 360 grados = 2π radianes. 0 Como π ≈ 3,14159, entonces 360 ≈ 6,28318 (un número real) y así, 1800 ≈ 3,14159; 900 ≈ 1,57079 , etc. etc. Por lo tanto, tenemos el siguiente acuerdo: cuando el ángulo de una función trigonométrica se escriba con una letra, por ejemplo x, entenderemos que ese ángulo x está medido en radianes. Las funciones seno y coseno

Las funciones seno de x (senx) y coseno de x (cosx) tienen una muy importante propiedad: ser periódicas. Esto significa que la forma del gráfico se repite continuamente cada cierto intervalo. Esto puede expresar matemáticamente como: Una función f(x) es periódica de período T si f(x+T)= f(x) para todo número real x. En Medicina y en Biología hay numerosas funciones periódicas; aunque deberíamos decir casiperiódicas, dado que la longitud del intervalo T pude cambiar levemente. Piense Ud. en una función que represente la presión arterial, que presentamos en la Fig. 13.

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pressure (mmHg)

145 140 135 130 125 120 115 23

123

223

time (s)

Figura 13. Cinco pulsos de presión arterial tomados a 1 cm de la válvula aórtica con una tasa de muestreo de 100 Hz, en perro anestesiado. El período T será la duración de un ciclo cardíaco.

En la Fig.14, presentamos las gráficos de las funciones seno y coseno; observamos que éstas toman todos los valores entre –1 y 1, ambas son periódicas de período 2π, pero mientras que el seno en 0 es cero, coseno en 0 es 1. Por la periodicidad, sen(2π)=0 y cos(2π)=1, etc... En π/2 el seno es 1 y el coseno es 0. Funciones seno y coseno sen(t)

cos(t)

Figura 14. Las funciones sen(t) y cos(t) i) Cambio de amplitud:

Si estas curvas se multiplican por un número, digamos a, entonces los gráficos, conservando la forma, se estiran o se acortan según a>1 o a0 entonces f(x+c) está desplazada hacia la izquierda, y si c0 la traslación será la izquierda, en caso contrario, a la derecha. Veamos un ejemplo: Trazar un ciclo de la gráfica

de f(x) =

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1 2

sen(2x -

π 4

).

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SOL: Se tiene: a = 21 , b =2 y c= 4π , es decir, la amplitud es 21 , el período es 22π = π y la fase es bc = 8π , y como tiene el signo positivo, el gráfico está desplazado hacia la izquierda. En la Fig.17, mostramos un ciclo de esta sinusoide:

Figura 17. Gráfico de la función f(x) =

1 2

sen(2x -

π 4

).

La función tangente:

Se define la tangente de un ángulo t como el cuociente entre sen(t) y el cos(t), es decir, tg(t)=

sen( t ) , cos( t )

Figura 18, La función tangente

Observe que la tg(t) no está definida en los múltiplos impares de π/2, pues en esos puntos se anula cos(t). Además, observe que para ángulos entre 0 y 900 la tangente es siempre creciente y positiva, y para ángulos entre 900 y 1800 la tangente es negativa y creciente. De este modo la tangente de un ángulo de 900 y de 1800 es cero. Otras funciones trigonométricas, de escaso interés en Biología son: cosecante, secante y cotangente, que son las funciones recíprocas de seno, coseno y tangente.

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