Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

UNIVERSIDAD DE CUENCA

MONOGRAFIA DE CURSO DE GRADUACION DE INGENIERIA CIVIL

Tuberías de presión, y comparación de criterios de diseño entre el método racional (DARCY-WEISBACH), y el método empírico (HAZEN-WILLIAMS).

REALIZADO POR:

PAUL ROMEO LOPEZ AVILES

PROFESOR TUTOR: ING. PATRICIO CORDERO ORTIZ

CUENCA, JULIO 2006

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A Dios y a mis padres, mi real fuente de inspiración, y la compañía segura en estos años de estudio. GRACIAS Monografía de Graduación

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CONTENIDO CAPITULO 1:

Sistema de tuberías a presión

Pagina

1.1. Introducción. 1.2. Objetivo. 1.3. Generalidades. 1.4. Características de una tubería. 1.4.1. Criterio para la selección de una tubería. 1.4.2. Velocidades típicas en tuberías. 1.5. Introducción a los métodos de cálculo. 1.5.1. Densidad absoluta. 1.5.2. Viscosidad 1.5.3. Flujo laminar y turbulento 1.5.4. Número de Reynolds.

3 4 5 5 6 10 10 12 13 15 16

CAPITULO 2: Método Racional (DARCY-WEISBACH) para el diseño de un sistema de tuberías. 2.1. Introducción 2.1.1. Ecuación de Chèzy 2.1.2. Pérdidas de energía en flujo turbulento en tuberías. 2.1.3. Línea piezométrica. Definición y uso. 2.2. Determinación de la Ecuación de Darcy-Weisbach. 2.3. Diagrama de Moody. 2.4. Pérdidas locales en tuberías.

18 19 19 21 22 28 30

CAPITULO 3: Método Empírico (HAZEN-WILLIAMS) para el diseño de un sistema de tuberías. 3.1. Introducción. 3.2. Ecuación de Hazen-Williams. 3.3. Coeficiente C de Hazen-Williams.

33 33 35

CAPITULO 4: Experiencia realizada bajo condiciones particulares en el Laboratorio de Hidráulica de La Universidad de Cuenca. Materiales. Teoría. Procedimiento. Lecturas y cálculos.

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CAPITULO 5: Conclusiones, comparación y recomendaciones finales sobre el uso de cada método. 5.1. Hazen-Williams 5.2. Darcy Weisbach 5.3. Relación entre el coeficiente “C” de H-W y el “f” de D-W 5.3. Conclusiones

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Bibliografía

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Tuberías de presión, y comparación de criterios de diseño entre el método racional (DARCY-WEISBACH), y el método empírico (HAZEN-WILLIAMS). CAPITULO 1:

SISTEMAS DE TUBERIAS A PRESION.

1.1. INTRODUCCION. Dentro de la Hidráulica, se entiende por tubería, a cualquier conducto cerrado que transporte líquidos (generalmente agua), gracias a la gravedad o al bombeo, siendo generalmente estas tuberías de sección circular. Cuando los conductos que transportan agua no tienen totalmente llena su sección de liquido (no trabajan llenos) se clasifican totalmente como conductos abiertos, que son las alcantarillas y canales y los que poseen toda su sección llena son conocidos como conductos a presión. Generalmente los “conductos abiertos” son utilizados para el transporte de aguas pluviales y aguas de drenaje sanitario, el caso de “conducciones a presión”, tiene como objetivo el transporte de agua potable o cruda desde una fuente u obra de captación a una posterior planta de tratamiento, para distribución domiciliaria, para transporte de diversos tipos de líquidos para objetivos diversos, transporte de aguas para riego, etc. Este trabajo trata sobre la evaluación de las tuberías, sus propiedades, clases, criterios de diseño y criterios de selección, para el caso de tuberías a presión. Dentro del estudio y tomando en cuenta a los “Acueductos” como obras importantes dentro de la Hidráulica, se debe tomar muy en cuenta que las tuberías constituyen el componente indispensable en las obras de acueductos a presión ya que serán las encargadas de conducir el agua entre la obra de toma, la reserva final, y la posterior distribución. Por lo general, constituyen no menos del 60% del costo total de la obra, por lo que es muy importante su estudio profundo si se quiere hacer un buen proyecto. Es indispensable una adecuada selección de las mismas y el correspondiente dimensionamiento de acuerdo a los caudales a transportar, la topografía de la traza elegida y a las solicitaciones (internas y externas) que deberán soportar (presión de trabajo, sobrepresión por transitorios, cargas por el relleno de la zanja y por el tránsito, etc.).

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1.2. OBJETIVO. Primeramente se realizara un sumario de definiciones básicas sobre la teoría de las conducciones a presión. Luego pasaremos al principal objetivo del presente trabajo, que es describir y analizar las ecuaciones más utilizadas para determinar las perdidas por fricción que suceden en un sistema de conducción a presión, (Hazen-Williams, y Darcy-Weisbach, realizándose posteriormente una práctica de medición de valores de perdidas por fricción en el banco de pruebas de tuberías a presión el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Cuenca, bajo características de régimen permanente, diámetro constante y flujo turbulento, a fin de conseguir gracias a los resultados, una comparación estadística con los valores que deberían regir en las formulas estudiadas (DarcyWeisbach, y Hazen-Williams) aplicadas al mismo sistema y bajo las mismas condiciones y una vez halladas las relaciones, expresar el criterio del estudiante sobre las ecuaciones estudiadas, así como recomendaciones sobre el uso y limitaciones de cada una de ellas.

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1.3. GENERALIDADES. Las tuberías, tienen como lo dijimos anteriormente, el trabajo de conducir un líquido desde un punto a otro, sorteando los problemas presentes en el trayecto, manteniendo el líquido contenido con las propiedades deseadas para su destino. Generalmente las tuberías son parte de un proyecto mas grande, llamado “acueducto”, que incluye además del sistema de tuberías, a un complejo conjunto de estructuras, obras de toma, válvulas, estaciones de bombeo, dispositivos anti-ariete, cisternas etc., pero el caso de este estudio va a estar únicamente encaminado al análisis de la tubería de conducción Las tuberías pueden ser de distintos materiales, siendo los más comunes: - Poliéster Reforzado con Fibra de Vidrio (PRFV) - Policloruro de Vinilo (PVC) - Hormigones Armados y Pretensados o Postesados, con alma de acero o sin ella. - Fundición Dúctil - Acero - Poliéster de Alta Densidad (PEAD). Dentro de estos materiales, que los fabricantes ponen a disposición del diseñador, estos se dividen en dos grandes grupos: las tuberías de comportamiento rígido y las flexibles. En apretada síntesis, se recuerda que aquellas tuberías que se comportan como flexibles una vez instalada en la zanja, están caracterizadas por una elevadísima resistencia a la tracción, lo que las hace sumamente resistentes a las solicitaciones debidas a la presión interna, requiriendo para ello pequeños espesores. Pero justamente esta propiedad es la que implica una baja resistencia a las cargas externas o de “aplastamiento”, puesto que frente a las mismas la tubería tiende a ovalizarse con facilidad, dando lugar a reacciones laterales que deben ser resistidas por los prismas laterales de la zanja con el correspondiente material compactado. Por otra parte, dos características distintivas y destacables de las tuberías plásticas en general son, su inercia química al ataque corrosivo de los suelos y que posibilitan un gran atenuamiento para las ondas positivas por Golpe de Ariete, debida a la baja celeridad de transmisión de las ondas de sobrepresión y depresión, que presentan como consecuencia de su elasticidad. El caso particular del PRFV, presenta una gama tal de producción, que permite la adopción del diámetro prácticamente exacto que el cálculo hidráulico requiere. Dentro de las tuberías plásticas, las tuberías de PVC por lo general constituyen una alternativa de muy buena resistencia muy económica, siempre y cuando se trabaje en el rango de diámetros entre 63 y 500 mm. debido a razones de resistencia del material del relleno en relación a su poco espesor y elasticidad. Una característica importante a tener en cuenta es que, para un diámetro nominal dado, el diámetro real de cálculo hidráulico de estas tuberías (PVC) es menor cuanto mayor es la resistencia de las mismas. Esto se debe a que, debido al proceso de fabricación, el incremento de espesor de las paredes de la tubería, que se hace para aumentar su resistencia, se realiza hacia adentro y no hacia afuera como en el resto de los materiales del mercado. Por lo tanto, para las tuberías de PVC, el

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diámetro real dependerá de la “clase”. Además, su bajo peso y consecuente facilidad de transporte y manipulación en obra constituyen una importante propiedad a ser evaluada en los análisis de costos. Las tuberías con comportamiento rígido frente al suelo de apoyo, permiten un diseño de zanjas menos exigente, puesto que no deben evitar la ovalización en base a un compactado muy especial de los prismas laterales, Si bien la celeridad de la onda de sobrepresiones es del orden de los 1000 m por segundo y, por lo tanto sus magnitudes son mayores y más expuestas a las sobrepresiones, no presentan peligro de aplastamiento por depresiones sumadas a la acción de las cargas externas. Obviamente, su resistencia elevada al aplastamiento les dará ventaja relativa en el rango de las bajas presiones, cuando se hace importante la acción de las cargas externas. Como puede observarse con algunas de las ventajas y desventajas relativas (a veces contradictorias) enunciadas, la selección del material requiere de un cuidadoso estudio, y un correcto manejo de los criterios, ajenos a lo hidráulico, como son: lo estructural, geotécnico, económico, la facilidad de transporte, de instalación y la experiencia en obra.

1.4. CARACTERISTICAS DE UNA TUBERIA. 1.4.1 CRITERIO PARA LA SELECCION DE UNA TUBERIA. En general nos encontramos con el hecho de que en el mercado compite un determinado número de tuberías de distintos materiales y, por otra parte, no han sido convenientemente difundidas las reglas precisas que posibilitan la selección más adecuada a los requerimientos de cada proyecto en particular, la que queda supeditada a criterios o simpatías de los proyectistas, muchas veces sin fundamentos en criterios ingenieriles. Como hemos indicado anteriormente, existen varios criterios, que se deben tomar en cuenta para la elección de un adecuado tipo de material que constituya una tubería, si bien es cierto que estos criterios son tan amplios, que merecerían un estudio bastante exhaustivo, también es cierto, que el principal criterio que se debe tomar en cuenta para un correcto diseño de la conducción es la de presión interna, debido a que el orden de presiones que pueden presentarse en el interior de una tubería son muchos mayores en comparación con las presiones que pueden manifestarse externamente hacia el sistema, mucho mas todavía si tomamos en cuenta la gran cantidad de fenómenos que típicamente pueden suceder en un sistema, es por ello que los fenómenos sucedidos por la sobrepresión interna, variable entre valores positivos y negativos, del régimen impermanente (transitorios o “Golpe de Ariete”), no va a ser estudiada en este trabajo, sino únicamente las perdidas que por rozamiento sufre el flujo en condiciones de régimen permanente. El criterio básico de selección de una tubería o llamado el criterio de “La presión interna” encuentra su fundamento en la solicitación debida a la presión interna debida al escurrimiento permanente en una conducción “a presión”, la que lleva a la expresión de Mariotte (o de las calderas) válida para materiales de las tuberías homogéneos. La misma relaciona el espesor con la tensión de tracción en las paredes de la tubería, lo que es fácilmente deducible del esquema de la Figura 1.

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Ley de "Mariotte" (Boiler)

Figura 1 Criterio Tradicional de Selección de Tuberías En la figura 1 se aprecia una tubería a presión, seccionada por un plano horizontal que contiene al eje, lo que permite el tratamiento como “cuerpo libre” y poner así de manifiesto las solicitaciones actuantes. El análisis a realizar se fundamenta en la simplificación de que, la distribución de tensiones que tendrá lugar en los espesores de la tubería, como respuesta a la solicitación debida a la presión interna, será uniforme. Éste concepto implica considerar “tuberías de pared delgada”, es decir de relativamente poco espesor frente al diámetro En la figura se aprecia que la resultante de la presión distribuida en el diámetro deberá ser equilibrada por los correspondientes esfuerzos de tracción, distribuidos uniformemente a su vez en el espesor de la tubería y configurando las dos fuerzas equilibrantes “T”. En efecto, considerando una longitud unitaria de conducción (L =1 m) se tiene que: p * D = 2T 2T = 2 * σ * e e=

p*D 2 *σ

En la que: - e es el espesor de la tubería de material homogéneo

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- p es la presión actuante en el plano horizontal que contiene al eje - σ es la tensión de trabajo del material correspondiente a la solicitación Los fabricantes de tuberías de materiales homogéneos adoptan valores de rotura para T la presión interna y para la tensión de tracción, lo que posibilita la determinación del espesor, considerando previamente los correspondientes “Coeficientes de Seguridad”. Como a cada espesor le corresponde una solicitación admisible, ofrecen al mercado una serie estandarizada de tuberías aptas para resistir, en condiciones de régimen permanente, una determinada serie de presiones fijadas de antemano. Éstas presiones definen las denominadas “Clases” de las tuberías. Este concepto de clase es el que se ha utilizado durante muchos años para la selección de tuberías, e incluso muchos organismos y proyectistas siguen usando actualmente, a pesar de lo insuficiente y simplificante que significa su adopción como único parámetro de selección. Las tendencias modernas de selección de tuberías, tienden a buscar criterios más integradores de fenómenos posibles para la selección de una tubería adecuada, dando como resultado soluciones mucho mas acertadas, teniendo en cuenta fenómenos que no envuelvan únicamente al flujo permanente y a la presión interna, como son las solicitaciones derivadas de factores externos a la tubería, tales como: la carga del material de relleno de la zanja sobre la tubería y la carga dinámica de Tránsito Vehicular (en caso de que exista por encima de la zanja), teniendo en cuenta que las reacciones que originan en el suelo de apoyo y los laterales del caño, las deflexiones resultantes y su correlación con las cargas y reacciones en el material de la tubería, la esencia del “Cálculo Estructural de Tuberías”, que es una tendencia moderna, para la selección de tuberías aparte del criterio de presión interna Sin embargo, para el presente trabajo se tomara como hipótesis de trabajo, al criterio primeramente mencionado, es decir, al que únicamente trabaja con la consideración de la presión en el interior de la sección, y que trabaja con un flujo permanente, tomando en cuenta las posibles omisiones que este criterio pueda tener, procedemos a describirlo como: “Criterio tradicional para selección de tuberías”. Si bien es cierto este es el único criterio sencillo que suele utilizar actualmente para la preselección en el diseño de un sistema de tuberías, debemos saber que el diseñador deberá calcular, la máxima presiona la cual estará sujeta la tubería en las diferentes abscisas de su desarrollo. Esta máxima presión deberá considerar no solamente la carga bajo régimen permanente sino las condiciones que se producen en las operaciones propias de una tubería tales como: llenado, vaciado, arranque y parada de bombas, apertura y cerrado de válvulas, acumulación de aire y vaciado del mismo, posibles roturas de la tubería por causas no deseadas, etc. Una vez determinada esta presión máxima, el diseñador sabrá elegir par los distintos tramos el material y espesor adecuados, el uso de dispositivos especiales reductores de presión (válvulas, tanques, etc.). Cuando se construye una conducción a presión, la comprobación de la bondad de la obra realizada se concreta a través de las denominadas “Pruebas Hidráulicas”. Las mismas consisten en probar un tramo de longitud preestablecida (del orden de los 300m como máximo), con la tubería enterrada, excepto en las uniones (donde son más probables las pérdidas) y a presiones también prefijadas en función de la clase, durante un tiempo también predeterminado. En las aplicaciones sanitarias se puede buscar la adopción de presiones de prueba hidráulica de 1,5 veces la clase de la tubería obtenida en el cálculo para régimen permanente del tramo en la prueba. Todo esto si no se ha realizado una evaluación a fondo de las posibles sobrepresiones por “golpe de ariete”, en el diseño del sistema, de manera de envolver con este factor de seguridad, los posibles extremos de presión que se puedan presentar durante el funcionamiento.

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A continuación, incluimos términos usados repetidamente en el proceso de selección de una tubería en función de su resistencia a la presión interna Presión de trabajo, es la máxima presión – estática para instalaciones “a gravedad” o dinámica para “impulsiones”- que habrá de soportar la tubería en condiciones de funcionamiento normal (régimen permanente) o critico (transitorios) De los conceptos anteriores surge el concepto de “Clase de una tubería”, como la presión máxima que un tipo de tubería puede soportar bajo condiciones de servicio”. Obviamente debe cumplirse que la Clase escogida debe ser igual o superior a la Presión de Trabajo, donde, en el caso de no evaluar directamente los fenómenos de régimen impermanente, se procede a “mayorar su valor multiplicado por el “coeficiente de seguridad” (estipulados por normas para los distintos materiales) brinda las presiones de rotura mínima que los materiales deberán superar en los ensayos prefijados, también por normas, para cada material en particular. La Presión Máxima Admisible, es la correspondiente a la “Presión de prueba en zanja” (en instalaciones medias de la Ingeniería Sanitaria, 1.5 la clase), la que, al ser una presión alcanzada para probar la bondad de la obra, garantiza que los transitorios hasta ese valor serán soportados por la tubería sin necesidad de dispositivos especiales anti-ariete. De todo lo expuesto previamente, se deduce que el concepto de “Clase” de una tubería está restringido a las conducciones a presión y está fundamentado en la “Presión Interna”, en régimen permanente o estático como caso particular. En general, los fabricantes ofertan series de tuberías discriminadas por diámetro y clases, siendo éstas acotadas por un número entero, que representa el máximo de las presiones admisibles en atmósferas, o en otras unidades que puede resistir en condiciones de trabajo en régimen permanente o estático. Cada fabricante se caracteriza por la serie de diámetros y clases, por ejemplo el PVC, en clases 4; 6 y 10, el Fibrocemento en clases 3; 5; 7,5; 10; 12; 14 y 18, el PRFV en clases 2,5; 3; 6; 10 y 16, etc. Siendo las siguientes las conversiones más comúnmente usadas: Clase 10 = 10 Atm = 1 Mpa = 100 mH2 = 10,197 kgf/cm2 “Tuberías Estándar”, constituyen las series que publican en sus catálogos los fabricantes, discriminadas en diámetro y clases. “Tuberías Especiales”, son las que se fabrican para solicitaciones especiales y no están consideradas en los catálogos. Es oportuno destacar que algunos fabricantes producen solo tuberías especiales y otros lo hacen a pedido, a partir de determinado diámetro y/o clase. Las limitaciones de referencia directamente vienen determinadas por la conveniencia de la fabricación de cierto pedido especial (cantidad, diámetro, etc.) En efecto, a medida que el diámetro crece, los precios crecen en importancia, por lo que las condiciones de competencia en esos diámetros, los que además generalmente implican obras de relevancia, llevan a dimensionar de acuerdo a la necesidades. Como ejemplo gráfico, es evidente que

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si la necesidad implica una presión máxima de trabajo de 5.2 atm, resulta poco competitivo saltar en la selección a la clase superior, que podría ser de 7 (depende del material de que se trate), puesto que quedaría en clara desventaja con el concursante que propone su tubería expresamente para clase 5.2. También, en diámetros poco importantes, determinados fabricantes ofrecen tuberías con espesores a medida (a pesar de que ofrecen catálogos con espesores estandarizados) cuando la dimensión de la provisión lo justifica. Como estudiaremos mas adelante, existen condiciones que van a aportar esfuerzos de presión dentro de una tubería, el criterio de selección de la tubería para estos casos, que son los de presión dinámica y estática, van a entregar diferentes solicitaciones a una tubería, siendo el mas importante el de presiones estáticas, por no haber perdidas que por movimiento del fluido adquiere el sistema, es decir, cuando la tubería se encuentre sin movimiento de fluido en su sección, la presión inicial, se mantiene, gracias a su energía de presión y de posición. 1.4.2. VELOCIDADES TIPICAS EN TUBERIAS. Los principales problemas en las tuberías debido a velocidades bajas son la acumulación de sedimentos y la formación de biopelículas. Para evitar sedimentaciones en las tuberías, la velocidad mínima es comúnmente fijada entre 0.25 y 0.4 m/s dependiendo de la calidad del agua. La velocidad mínima no debe ser menor de 0.6 m/s en el caso de aguas con materiales en suspensión (sólidos, materia orgánica, minerales o metales pesados, etc.,) para evitar el deposito en el fondo de la tubería. La velocidad máxima generalmente depende de los siguientes factores: • • • • • • • •

Economía. Buen funcionamiento del sistema. (resistencia, caudal constante, evitar cambios de sección por alteraciones por biopelículas o depósitos, etc.) Posibilidad de aparición de efectos dinámicos nocivos (sobrepresiones perjudiciales, ya que los transitorios dependen de la velocidad del flujo). Limitación de las pérdidas de energía. Desgaste de las tuberías y piezas accesorias (erosión). Control de la corrosión. Ruidos. Necesidad de desprendimiento de biopelículas.

La mayoría de las normas para el diseño de redes internas limitan la velocidad máxima a valores entre 2.0 y 2.5 m/s y los argumentos para ello han sido entre otros: • Excesivo golpe de ariete debido al cierre brusco de una válvula o por la suspensión de las bombas. • Abrasión de las tuberías lo cual es mas una creencia que una realidad, pues las velocidades disminuyen desde un valor máximo en el centro del tubo a un mínimo en la frontera sólida. • Problemas por cavitación, pero éste problemas se presenta para velocidades muy altas y mayores de 10 m/s.

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1.5. INTRODUCCION A LOS METODOS DE CÁLCULO. Los conductos a presión, son los sistemas más frecuentes dentro de las obras de ingeniería, agronomía, química, etc. y existen multiplicidad de formulas para el calculo de adecuadas tuberías de conducción. Desde la presentación de la fórmula de Chèzy en 1775, que representa la primera tentativa para explicar de forma algebraica la resistencia a lo largo de un conducto forzado, así mismo, fueron innumerables las expresiones propuestas para el mismo propósito posteriormente. Existen tantas formulas para calcular tuberías, que realmente no se ha podido uniformizar el uso de una sobre otra, pudiéndonos imaginar los criterios que pueden tener los ingenieros del mundo sobre el diseño, muy particular para cada caso. ORDEN

AÑO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

1775 1779 1791 1800 1804 1825 1828 1845 1851 1854 1855 1857 1867 1868 1877 1877 1878 1883 1887 1890 1903 1903*

* Verificada en 1920

AUTOR

Chèzy Dubuat Woltmann Coulomb Prony D’Aubuisson Tadini Weisbach Saint Venant Hagen Leslie Darcy Ganguillet-Kutter Bresse Fanning Hamilton Smith Colombo Reynolds Stearns-Brusch Manning Christen Hazen-Williams

PAIS

Francia Francia Alemania Francia Francia Francia Italia Alemania Francia Alemania Francia Francia Suiza Francia Estados Unidos Estados Unidos Francia Inglaterra Estados Unidos Irlanda Estados Unidos Estados unidos

Como es evidente, una formula como estas no debe ser adoptada simplemente por razones de simpatía por su país de origen, o por haber sido empleada alguna vez con “buenos resultados. Como dijimos anteriormente, rara vez las tuberías llegan a ser ensayadas luego de su puesta en servicio bajo condiciones criticas, para hallar sus características hidráulicas; con todo eso, los resultados de su funcionamiento son invariablemente clasificados como buenos. Como los resultados obtenidos con el empleo de formulas diferentes llegan a variar hasta en un 100% o más, debemos citar a Fanning, que dice en su tratado: “graves errores pueden provenir

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del uso poco racional e inconveniente de las fórmulas, el conocimiento completo del origen de una fórmula es esencial para su segura aplicación.”. Es por esto que en el presente trabajos e intentará llegar a un conocimiento lo más completo posible sobre los rangos de utilización de las ecuaciones de Hazen-Williams y Darcy-Weisbach. 1.5.1. DENSIDAD RELATIVA Se la define como la relación entre la masa específica o peso específico del líquido en análisis, con respecto a la del agua en condiciones normales de presión, temperatura y medida a nivel del mar. En símbolos:

ρ=

γ liq Wliq mliq * g = = γ H 2O WH 2O m H 2O * g

De donde: γ => Peso especifico (peso por unidad de volumen) W => Peso m => Masa g => Aceleración de la gravedad (debe ser la misma para ambos líquidos) 1.5.2. VISCOSIDAD Es la propiedad más distintiva de los fluidos. La “viscosidad” se define como la propiedad del fluido mediante la cual éste ofrece resistencia al esfuerzo cortante. La viscosidad está relacionada en forma inversa con la capacidad de “fluir” es decir que los estratos líquidos resbalen entre sí, generando una resistencia pequeña fundada en la lejanía de las moléculas que hacen pequeñas las fuerzas de cohesión. En el dibujo de la figura 3 se aprecia el significado de “fluir”. Representa el volcado de un líquido, el que se produce por el fácil resbalamiento entre los distintos estratos.

vel oci dad es en las cap as

LIQUIDO

RECIPIENTE

La viscosidad es además una propiedad que obliga a que los fluidos y gases se amolden dentro del recipiente que les contiene, ya que debido a la falta de fuerzas de cohesión entre sus Monografía de Graduación

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moléculas, les resulta imposible mantener una forma por si solos. Desde el punto de vista de los esfuerzos de compresión, los líquidos se comportan en forma similar a los sólidos, es decir, las fuerzas de repulsión molecular son importantes y resisten el acercamiento. En cambio, en el sentido del esfuerzo cortante, el estado líquido implica bajas resistencias que implican la posibilidad de fluir. Cuando más resistente es un fluido a la capacidad de fluir, se dice que es más viscoso. Por lo tanto, la viscosidad de un fluido es la propiedad inversa de la fluidez, y se la define como sigue.

Figura 3 En la figura 3, se esquematizan los “estratos de un fluido”, los que se han maximizado, ya que se encuentran en realidad a una distancia ΔZ, que es muy pequeña. Observemos que el estrato superior posee una velocidad V+ΔV, diferente al la velocidad V del estrato inferior. Por lo tanto se presentaran permanentemente deformaciones entre los estratos, es decir, el uno resbala sobre el otro. Observamos entonces que entre los estratos se produce un esfuerzo resistente de corte “τ “, que resulta proporcional a cuán intensa es la variación de ΔV en ΔZ; así:

τ≈

ΔV ΔZ

(1.1)

La constante de proporcionalidad que transforma a la anterior en una igualdad se define como “viscosidad dinámica μ”, y por ser así definida constituye una propiedad específica de cada sustancia en particular. La igualdad, que constituye la expresión de Newton, queda:

τ =μ

ΔV ΔZ

(1.2)

En el caso de los gases la viscosidad se incrementa junto con la temperatura, en los líquidos la viscosidad crece al disminuir la temperatura, lo que encuentra su explicación en el aumento de cohesión que tiene lugar entre las moléculas al enfriarse una sustancia y acercarse las mismas por efectos de la tendencia a la solidificación, donde evidentemente al tender al sólido, es más dificultoso posibilitar el resbalamiento entre estratos contiguos, mientras que los gases con fuerzas cohesivas menores, deben su resistencia al esfuerzo cortante a la transferencia de momentum molecular. Cuando se considera la viscosidad dinámica de la sustancia fluida, relativa a su masa específica, es decir el cociente entre μ y ρ, se obtiene la denominada “viscosidad cinemática ν”. La que debe su nombre al hecho que sus dimensiones son de la cinemática, es decir, no aparecen fuerzas o masas.

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υ=

μ ρ

(1.3)

1.5.3. FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO Cuando sucede el movimiento de un liquido dentro de un conducto, si esta velocidad del liquido es lo suficientemente baja, el flujo se va a realizar en forma ordenada, aun bajo condiciones irregulares de la conducción, pues habrá predominio de las fuerzas viscosas sobre la inercia, aquí podemos observar en general el pararalelismo de los filamentos que componen la corriente y el retorno a esta situación, aun después de ocurrida cualquier perturbación de régimen de velocidades (debida a causas externas al fluido que escurre). Si por el contrario las fuerzas de inercia predominan sobre las viscosas, el flujo se desarrollará en una forma completamente desordenada, en las que las trayectorias de las partículas, desviadas por cualquier irregularidad, se entrecruzan dando lugar a la formación de innumerables remolinos. Este flujo recibe el nombre de “turbulento”. La velocidad varía en magnitud y dirección durante el tiempo sin seguir una ley, para cada punto de la corriente de forma aleatoria. De la misma manera, la presión varía aleatoriamente por la corriente. Cuando mantenemos invariables ciertas condiciones externas (carga hidráulica, disposición de los contornos sólidos, etc.), las variaciones de presión y velocidad dentro del flujo se mantendrán alrededor de un valor promedio “valor medio temporal de cada localidad”. Existirá pues, en este caso, una permanencia de los valores medios temporales, en lugar de una permanencia absoluta. A velocidades bajas el flujo es laminar. Cuando la velocidad se incrementa, esta llega a un valor donde el flujo se “desordena”, convirtiéndose en turbulento. La velocidad a la cual se produce este cambio se denomina “velocidad límite alta”, y su valor depende las precauciones que se tomen para eliminar las fuentes iniciales del disturbio. Cuando se disminuye la velocidad en la corriente, esta llega a un punto donde el flujo se vuelve laminar, esta velocidad tiene más importancia y esta más bien definida, que se llama “velocidad límite baja”, ya que siempre existe una turbulencia inicial, de modo que el flujo resulta laminar bajo los límites fijados por ella. A continuación podemos observar en la figura 4, el campo de velocidades de uno u otro régimen o flujo, si en un punto de un campo de corriente se hiciera una medida del valor de una variable de campo (por ejemplo de la componente de la velocidad en dirección X) se obtendría que en flujo laminar, ésta presenta un valor bien definido, que es constante en el tiempo si las condiciones de contorno del flujo son estacionarias o presenta una ordenada variación temporal si las condiciones de contorno varían en el tiempo. En el régimen turbulento en cambio las variables de flujo presentan una variación temporal, aún cuando las condiciones de contorno del flujo sean estacionarias, muy rápida y aleatoria en un amplio rango de frecuencias (se han medido rangos entre 0 y 10000 Hz).

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Figura 4. flujos laminar y turbulento Para los casos del flujo turbulento donde la variación de velocidades en el tiempo es marcada, conviene trabajar con los valores medios o promedios en el tiempo y en partes fluctuantes, donde: _

u = u + u´ Por lo tanto la velocidad media, que en el caso de flujo turbulento va a ser la que se mantendrá para los cálculos vienen dada como la velocidad promediada en un tiempo To, que es el periodo de tiempo promedio dentro del cual evaluar un problema.

_

∫

u =

t

t + To

udt

El valor de la velocidad límite, depende de la densidad y la viscosidad del líquido y de la dimensión geométrica relacionada con el flujo de mayor importancia, es decir, el diámetro para tuberías circulares. 1.5.4. NUMERO DE REYNOLDS

Osborne Reynolds, en 1881, realizó experiencias que le permitieron definir, a través del número que lleva su nombre, una relación entre las fuerzas de inercia y la viscosidad de un fluido que escurre de cierta forma. Las experiencias consistieron en hacer escurrir un caudal de agua variable a voluntad a través de un tubo cilíndrico horizontal de vidrio transparente. Mediante la inyección de un colorante a través de una aguja inyectora, colocada en el abocinamiento de entrada del tubo, podía observar el filamento de tinta que circulaba por el tubo Observó que, para pequeños gastos (y, consecuentemente, bajas velocidades) con el mismo líquido y el mismo tubo (viscosidad y diámetro del tubo constantes), el cambio de régimen se producía a velocidades tanto más altas cuanto más altas fueran las viscosidades dinámicas de los fluidos empleados. Esto le permitió a Reynolds definir el número adimensional que incluye todos los factores determinantes en la variación del flujo turbulento o laminar, que gobierna el proceso, y que para tubos cilíndricos se expresa:

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Re =

ρVD VD = μ υ

(1.4)

Donde: V => Velocidad del fluido D => Diámetro de la tubería ρ => Densidad absoluta μ => Viscosidad dinámica υ => Viscosidad cinemática TABLA 1: Viscosidades cinemáticas del agua en función de la temperatura

TEMPERATURA

viscosidad cinemática (υ x10^- 6)

ºC

ºF

m2/s

ft2/s

0 2 4 6 8 10 12 14 15 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200 250 300

32 35,6 39,2 42,8 46,4 50 53,6 57,2 60 60,8 64,4 68 71,6 75,2 78,8 82,4 86 89,6 93,2 96,8 100,4 104 113 122 131 140 149 158 167 176 185 194 203 212 302 392 482 572

1,792 1,683 0,574 1,477 1,393 1,308 1,242 1,175 1,113 1,114 1,061 1,007 0,963 0,919 0,878 0,841 0,804 0,774 0,743 0,714 0,688 0,661 0,605 0,556 0,513 0,477 0,445 0,415 0,39 0,367 0,347 0,328 0,311 0,296 0,203 0,157 0,136 0,125

19,29 18,12 16,94 15,9 14,99 14,08 13,36 12,64 12,2 11,99 11,42 10,84 10,36 9,89 9,45 9,06 8,66 8,33 8 7,69 7,4 7,12 6,51 5,98 5,53 5,13 4,79 4,47 4,2 3,95 3,73 3,53 3,35 3,19 2,18 1,69 1,47 1,34

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Si el número de Reynolds, que carece de dimensiones y es producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido es menor de 2000, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son más elevados de 4000, suele ser turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos. Existen autores, que manejan distintos rangos para el número de Reynolds, pero como generalidad, podemos decir que bajo 2000, el flujo será laminar, y sobre 2000, se da el transición a flujo turbulento que claramente aparece desde que el número de Reynolds llega a 4000

F. laminar

Nro. de Reynolds

< 2000

F. turbulento

>4000 FIGURA 5

El limite superior para el número de Reynolds, es muy variado, por ejemplo, el caso del agua, en que μ es pequeña, “en el agua a 20 º C, es prácticamente 0,01 stokes (1 stoke = 1 cm2/s) “, predominan, por lo tanto los efectos de inercia debidos a la masa específica y los movimientos se hacen fácilmente “turbulentos” por lo que, en los problemas prácticos, suele superarse el límite de 200000.

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CAPITULO 2: METODO RACIONAL (DARCY-WEISBACH) PARA EL DISEÑO DE UN SISTEMA DE TUBERIAS

2.1. INTRODUCCION. Monografía de Graduación

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2.1.1. ECUACIÓN DE CHÈZY

Como se mencionó en el capitulo 1, desde el siglo pasado existen teorías científicas que relacionan las variables que controlan el flujo en las tuberías, todas ellas resultando en determinadas formulas, Sin embargo, cabe recordar que los conceptos fundamentales dentro del estudio del flujo en tuberías fueron formulados por primera vez por el investigador francés Chèzy en 1775, que expresa:

V =

4Q =C πD 2

DS

(2.1.1)

La cual expresa que el caudal “Q” de una tubería es proporcional al área A de la sección transversal del tubo y a un factor de fricción “C”. “D” y “S”, que son los términos bajo el radical son el diámetro del tubo y la pendiente de la línea de energía, respectivamente. Es decir, “S” es la relación entre la perdida de energía hf y la longitud de la tubería. 2

hf ⎡ 8Q ⎤ −5 S= = D L ⎢⎣ C.π ⎥⎦

(2.1.2)

2

⎡ 8 ⎤ L hf = ⎢ *Q2 5 ⎥ ⎣ C.π ⎦ D

(2.1.3)

El valor práctico de la ecuación (2.1.3), se encuentra limitado por el posible valor de la constante C, que no se conoce, ya que se ha demostrado que debido a la edad de la tubería, el material puede llegar a comportarse muy diferente en torno a su rugosidad, cuando el sistema es nuevo y cuando es viejo, pudiendo llegarse a coeficientes en tubos usados del orden de 2 a 1, versus el C de los tubos nuevos; llegándose a problema de criterio sobre cuando se considera nuevo o viejo a un tubo. Los problemas desaparecieron, al reformular la anterior ecuación, hasta llegar a una nueva presentación, llamada la “presentación norteamericana”, más conocida como la ecuación de DarcyWeisbach. 2.1.2 PERDIDAS DE ENERGIA EN FLUJO TURBULENTO EN TUBERIAS

Si tenemos un flujo permanente, uniforme, incompresible teóricamente y con turbulencia, en un tubo de sección constante, se presentan esfuerzos cortantes en las paredes del conducto, que varían aproximadamente en proporción a la velocidad promedio.

τ0 = λ

ρ

2

V

2

(2.1.4)

Donde λ es un factor adimensional. En la figura 5, podemos apreciar un volumen de control, extraído de una tubería de presión de diámetro constante, llena de agua estudiada entre los puntos 1 y 2 de control. La energía puede ser suministrada por la caída de energía potencial, al igual que por la caída de la presión p1 - p2. En una tubería con flujo vertical hacia abajo, la magnitud de p2 podría aumentar a medida de que avance el flujo, pero la caída de energía potencial (de posición) z1 - z2, Monografía de Graduación

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tendría que ser mayor que (p1-p2)/γ, con el fin de suministrar la energía necesaria para vencer el esfuerzo cortante de la pared del tubo, opuesta al sentido del movimiento. Esta obvia reducción de energía disponible, puede relacionarse con las pérdidas que el sistema ha presentado durante el trayecto por los dos puntos de control, pudiendo llegar a la siguiente relación:

V 12 p2 V 22 z1 + + = z2 + + + perdidas γ 2g γ 2g p1

(2.1.5)

1− 2

Donde obtenemos:

perdidas

1− 2

=

p1 − p 2

γ

+ z1 − z 2

(2.1.6)

Por la segunda ley de Newton tenemos:

ΣFt = 0 > ( p1 − p 2) * A + γ * A * Lsen α − τ 0 * L * P

(2.1.7)

1

2

L

p1A

V 0*L*P

A*Lse n

p2A

z1

z2 A*L REFERENCIA

FIGURA 5

Donde P, es el perímetro mojado del conducto y Lsenα = z1 - z2, tenemos entonces:

p1 − p 2

γ

+ z1 − z 2 =

τ0*L*P γ *A

(2.1.8)

Tenemos finalmente:

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Pérdidas1− 2 ==

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τ0* L* P L *V 2 =λ γ *A R * 2g

(2.1.9)

En donde se ha sustituido a R = A/P, que es llamado radio hidráulico, que por facilidad de determinación, en tuberías circulares es R=D/4, las unidades de estas perdidas están dadas en Fuerza-Longitud por unidad de Fuerza, que termina traduciéndose en metros de columna de agua. Simplificando la ecuación anterior llegamos a la expresión de Chèzy, que anotamos anteriormente, definiendo a S como las perdidas por unidad de peso por unidad de longitud del canal. S=

hf λ * V 2 = L R * 2g

(2.1.10)

2.1.3. LINEA PIEZOMÉTRICA. DEFINICION Y USO.

Al estudiar el flujo del agua dentro de una tubería, y de un liquido cualquiera, con las propiedades, de densidad, viscosidad, etc. que estos poseen, y habiendo visto anteriormente, que es imposible lograr que no se produzcan perdidas en el trayecto del liquido, estas irreversibilidades se expresan en términos de “perdida de altura de carga”, o en general como caída de la línea piezométrica. La línea piezométrica es una línea imaginaria, que indica la carga hidráulica que el sistema posee, es decir, es una línea colocada un valor pi/γ, por encima del centro del punto “i” de una conducción, situada esta a su vez a una altura zi de un nivel de referencia escogido, esta línea va a expresar la cantidad de presión que el sistema posee en el punto “i” correspondiente de la conducción. La línea piezométrica, es la línea en encierra a la energía de posición que tiene el flujo en ese momento, más la energía de presión que tiene el sistema, no debe confundirse con la “línea de energía” que implica además a la energía cinética que por movimiento posee el sistema. Cuando el diámetro es constante y el régimen permanente, las dos líneas tienen la misma pendiente, estando la piezométrica siempre una altura V2/2g, debajo de la línea de energía. Comúnmente los términos Z + p/γ, son mucho mayores que V2/2g, razón por la cual, las líneas de energía y piezométrica llegan a confundirse, porque para las velocidades normales de trabajo en tuberías, la carga producida por la velocidad es del orden de pocos centímetros, versus los muchos metros generados por la energía potencial. Sin embargo, en la figura 6, podemos observar un criterio de las dos líneas, habiéndolas graficado, con una exageración del parámetro V2/2g

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línea de

2

V /2g línea pie

DJ1-2

zom étric

energía

a

DJ*1-2 2

V /2g

p1/

H

p1/

D const.

Q z2 z1 REFERENCIA FIGURA 6

Podemos observar que ΔJ* varia linealmente, entonces podríamos definir como perdida unitaria de energía a aquella que se obtenga al dividir ΔJ* en cada caso, por su correspondiente longitud de tubería. 2.2. DETERMINACION DE LA ECUACION DE DARCY-WEISBACH

Como ya hemos indicado, la selección de una tubería viene íntimamente relacionada con la presión a la cual esta va a estar sometida, durante el flujo del líquido dentro de ella. Esta presión, que ha sido expresada en función de una “carga” de “n” metros de agua entre el eje de la tubería y la línea piezométrica, que a su vez sufre una variación lineal gracias a la existencia de perdidas de carga llamadas generalmente como perdidas por fricción, y perdidas súbitas llamadas perdidas por accesorios (las cuales no vamos a estudiar), es el criterio básico que el diseñador del acueducto debe tomar para la correcta elección del tipo, diámetro y clase de tubería. Esta pérdida de carga (por fricción) que de forma continua sucede a lo largo del acueducto está en función de: -

Densidad y viscosidad del liquido (ρ, μ) Diámetro de la tubería (D) Rugosidad absoluta del material de la tubería, es decir el tamaño de las asperezas de la pared interior, llamada altura de rugosidad (ε) Longitud del acueducto (L) Aceleración de la gravedad (g) y La velocidad del flujo (V)

Escribiremos la perdida de carga en función de las variables señaladas y las potencias incógnitas de cada una de ellas.

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hf = (kρx)*(μy)*(Dz)*(εr)*(Ls)*( gm)*(Vn)

(2.2.1)

Como estudiamos anteriormente, el esfuerzo cortante “τ” entre dos láminas fluidas adyacentes es directamente proporcional a la viscosidad dinámica y a la velocidad relativa de la una capa respecto a la otra en inversamente proporcional a la distancia entre las dos capas. Así, de la ecuación (1.2), extraemos:

τ =μ

ΔV ΔZ

De donde:

μ =τ

ΔZ ΔV

Colocado en forma de diferenciales, y llamando a la infinitesima distancia ΔZ entre capas como dy, tenemos:

μ =τ

dy dV

(2.2.2)

Remplazando las magnitudes de la ecuación (2.2.1), por sus correspondientes dimensiones tenemos:

⎛M ⎞ L = ⎜ 3 ⎟ ⎝ L ⎠

X

Y

m

⎛ L ⎞ ⎛ M ⎞ Z r s ⎛ L ⎞ ⎜ ⎟ (L) (L) (L) ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ LT ⎠ ⎝T ⎠ ⎝T ⎠

n

(2.2.3)

( M 0 )( L1 )( T 0 ) = ( M x+y )( L -3x - y + z +r + s + m + n )( T - y - 2m - n )

(2.2.4)

La homogeneidad dimensional exige que iguales magnitudes deban tener iguales exponentes en ambos miembros de la igualdad. Esto hace posible plantear las siguientes tres ecuaciones: 0=x+y

(a)

1 = -3x - y + z + r + s + m + n

(b)

0 = -y - 2m - n

(c)

Esto permite escribir tres de los siete exponentes incógnitos en función de los otros cuatro, así escribimos: De (a): x = -y De (b): n = -y - 2m De (c): z=1-y-r-s+m Remplazando lo anterior en (2.2.1):

hf = (kρ-y)*(μy)*(D1-y-r-s+m)*(εr)*(Ls)*(gm)*(V-y-2m)

(2.2.5)

Reuniendo los factores con igual exponente:

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y

r

s

m

⎛ μ ⎞ ⎛ ε ⎞ ⎛ L ⎞ ⎛ gD ⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ D hf = K ⎜⎜ VD ρ ⎝ ⎠ ⎝ D⎠ ⎝ D⎠ ⎝V ⎠

(2.2.6)

Por observación y experimentación se ha observado que para todos los casos la perdida de carga es linealmente proporcional con la longitud de la tubería e inversamente proporcional con la gravedad, por lo tanto s = 1 y m = -1. y

r

2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ε ⎞ LV hf = 2 K ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Re ⎠ ⎝ D ⎠ 2 gD

(2.2.7)

Llamamos “f” a un factor adimensional, que no puede medirse experimentalmente y que resulta de (2.2.7) ⎛ε ⎞ 2K ⎜ ⎟ ⎝D⎠ f = Re y

r

(2.2.8)

Sustituimos en (2.2.7) y obtenemos:

LV 2 hf = f 2 gD

(2.2.9)

Esta ecuación fue deducida experimentalmente por Henry Darcy, ingeniero francés del siglo XIX y por Julius Weisbach, científico e ingeniero alemán de la misma época. Weisbach propuso el uso del coeficiente adimensional f y Darcy llevó a cabo numerosos experimentos con flujo de agua. Esta ecuación tiene fundamentación física y proporciona una base racional para el análisis y cálculo de las pérdidas por fricción ocurridas durante el movimiento de los fluidos en tuberías. Es la llamada ecuación de Darcy-Weisbach, para calcular perdidas en el flujo de conductos a presión. Debido a que el factor “f” es adimensional, y que debe seleccionarse de tal manera que la ecuación (2.2.9), arroje resultados correctos de perdida de carga para cada caso particular en la conducción, debe analizarse minuciosamente los factores que dentro de él intervienen, que son: la velocidad V, el diámetro D, la densidad ρ, la viscosidad μ y de ciertas características de rugosidad de la pared interior de la tubería ε. El valor de ε, que esta medido en m, se define como el diámetro de los granos de arena uniforme equivalente en lo que a rugosidad se refiere, a la de un determinado material. Este valor se toma de manera experimental y su valor es particular de cada tipo de material con el que se confeccione la conducción. Podemos ver en la tabla con los materiales mas usados sus correspondientes valores de rugosidad absoluta.

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* TABLA 2: Rugosidades absolutas de ciertos materiales utilizados para fabricación de tuberías

MATERIAL PVC Madera cepillada Hierro galvanizado Tuberia estirada FIBROCEMENTO

ε (en m.) 1,50E-05 1,8E-4 - 9E-4 1,50E-04 1,50E-06 2,50E-05

ε inferior HORMIGON Encofrado de madera superficie lisa con juntas bien terminadas Encofrado de madera, juntas imperfectas, hormigón pobre Hormigón centrifugado en tubos Encofrado metálico nuevo, juntas bien terminadas Encofrado metálico, terminacion perfecta de juntas paredes perfectamente lisas

ε superior

1,80E-04

4,00E-04

6,00E-04

3,00E-03

1,50E-04

5,00E-04

6,00E-05

1,80E-04

1,50E-05

6,00E-05

* Hidráulica aplicada a las conducciones (Luis Pérez Farras), Mecánica de fluidos (Streeter), Acueductos, Teoría y Diseño (Freddy Corcho).

Estos experimentos fueron realizados por Nikuradse, donde el utilizó tres tamaños de tuberías, a las cuales pegó granos de arena de determinados diámetros, constantes en cada caso, de tal manera que en los tres casos se mantenía los mismos valores de ε/D para cada tubería y se demostró que para un valor de ε/D, la curva de f versus Re se conecta suavemente sin importar el diámetro real de la tubería. Dentro del objetivo de este trabajo, está, gracias a la obtención de las perdidas el hallar en el laboratorio, un valor de rugosidad estándar a ser tomado para cada tipo de tubería del banco de ensayos Debido a la gran complejidad de las superficies rugosas naturales que se tiene, se han realizado experimentaciones en tuberías con rugosidad artificial, donde Moody ha construido una grafica basada en la ecuación de Colebrook-White, apropiada para determinar los factores de fricción en tuberías comerciales limpias, analizaremos lo sucedido con la fricción para los casos que nos ocupan. a) Flujo Laminar: Para el flujo laminar el exponente “y” de la ecuación (2.2.8) es la unidad y el exponente “r” en la misma ecuación es nulo, por lo tanto el coeficiente f se obtiene de la siguiente forma: De la ecuación de Hagen- Poiseuille tenemos:

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V =

Δpr02 8μL

(2.2.9)

Podemos transformar Δp = γhf, y resolviendo para hf, nos queda: 64 L V 2 V 8μL 64μ L V = = V = ρD D 2 g ρDV μ D 2 g γ * r02

hf = f

(2.2.10)

L V 2 64 L V 2 = D 2 g Re D 2 g

(2.2.11)

Por lo tanto: f =

64 Re

(2.2.12)

b) Flujo turbulento: Los experimentos realizados sobre tuberías lisas en flujos turbulentos fue Blasius, presento resultados en base a una formula empírica que es valida hasta valores de Re =100000, la formula es: f =

0.316 Re1 / 4

(2.2.13)

Para cualquier Re>100000, puede utilizarse la ecuación de Karman-Prandtl, que es la llamada ecuación racional. 1 = 2 * log Re f

f − 0.8

(2.2.14)

c) Valor de f para contornos lisos: La ecuación (2.2.12), la cual se representa en la grafica como una línea recta con pendiente -1 en una gráfica log-log, puede utilizarse en la solución de problemas con flujo laminar en tuberías. Esta se aplica a todas las rugosidades debido a que la perdida de carga en flujo laminar, es independiente de la rugosidad de la pared, el numero de Reynolds crítico es alrededor de 2000, y la zona donde el flujo puede ser laminar o turbulento va de 2000 a 4000. Si analizamos las inmediaciones de los contornos, debe complementarse los conceptos de viscosidad estudiados con el principio de NEWTON-MEYER, que establece que no existe resbalamiento entre contorno y fluido en movimiento, ya que experimentalmente se ha demostrado que los estratos de fluido en contacto con el contorno de la tubería presentan velocidad nula, y sucesivamente con los estratos mas cercanos al centro de la tubería se producirán los desplazamientos relativos, dando lugar así a la resistencia debida a la viscosidad.

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Dentro de este espacio, caracterizado por un flujo laminar (aunque se tengan altos valores de Re), se tiene que necesariamente hacer una transición de velocidad nula a la pared, hasta un punto donde la velocidad tiende a variar muy poco hasta hallar su velocidad máxima en el centro, esto se produce en un espesor de altura δ’, que define una capa llamada “subcapa laminar”, que no es más que una película laminar en la pared de la tubería que disminuye su espesor δ’ a medida que Re aumente, esta película tiende a cubrir las imperfecciones del material, produciendo que la tubería se comporte como una tubería lisa. Ver Figura 7. En general la ecuación racional que se utiliza para hallar cualquier valor de f para estos casos es la ecuación de Karman-Prandtl (2.2.14). Tomando en cuenta que todo material presenta siempre algún grado de rugosidad, la validez de la ecuación (2.2.14), se da siempre y cuando la subcapa laminar emerja claramente sobre ε de manera que ε < δ`/4.

ε < δ`/4

ε FIGURA 7

d) Valor de f para contornos rugosos Como dijimos anteriormente, cuando ε tiende a elevarse considerablemente dentro o hasta δ`, la llamada subcapa laminar, tiende a hacerse delgada o simplemente no formarse, al mismo tiempo para Re importantes las pequeñas proyecciones de la rugosidad sobresalen a la película laminar, y cada una causa una “turbulencia extra” que incrementa las perdidas de carga, por eso en la ecuación que domine este comportamiento será importante el valor de ε. La expresión en el flujo turbulento de transición en tuberías rugosas dada por Colebrook es la siguiente: ⎛ ε 2.51 = −2 * log⎜ + ⎜ f ⎝ 3,71D Re f

1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(2.2.15)

La expresión correspondiente dada para tuberías rugosas por Karman-Prandtl para flujo turbulento pleno es:

ε 1 = 1.14 − 2 * log D f

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(2.2.16)

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2.3. DIAGRAMA DE MOODY

En la figura 8, se esquematiza la configuración que va adquiriendo el diagrama de Moody, al representar gráficamente las ecuaciones (2.2.12), (2.2.13), (2.2.14), (2.2.15), (2.2.16). Este grafico esta realizado con 3 parámetros, es decir f(Re, f, ε/D), donde se puede jugar con las variables para buscar una solución a la incógnita que se tenga en el problema, este grafico fue el resultado de la graficación de la Ecuación (2.2.15), que al ser implícita, antiguamente causaba dificultades en su resolución, pero por el valor histórico que tiene la tabla, en todos los textos actuales se la incluye. Dentro de esta tabla cabe recordar1o siguiente: -

El gráfico es valido para cualquier fluido incompresible.

-

El diagrama debe ser usado siempre y cuando las aproximaciones puedan ser lo mas exactas posibles.

-

Para cálculo de redes de agua, su uso se vuelve demasiado complejo y confuso.

-

Método muy recomendado para conducciones e impulsiones.

-

Se debe anotar que existen muchos programas computacionales en los que se ha volcado todos los conceptos del gráfico que estudiamos (EPANET, WATERCAD, etc.), lo que indica que en la actualidad el tiempo que se invierte en su uso directo es innecesario.

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2.4. PERDIDAS LOCALIZADAS EN TUBERIAS. Cuando se tiene la conducción, por distintos motivos suelen aparecer dispositivos, presentándose en puntos fijos del conducto por cambios de forma, dimensiones de la sección recta, dirección del flujo o por presencia de controles. En estos casos ocurre una alteración al flujo normal de los filetes líquidos, debido al efecto de separación o turbulencias inducidas en el movimiento al presentarse obstáculos o cambios bruscos en la tubería, produciendo mezcla de las partículas y fricción entre ellas. Son usualmente las llamadas pérdidas locales en una conducción que suelen ser de bajo nivel, aunque existen, ciertas estructuras que tienen la consigna de lograr pérdidas importantes.

Los tipos más comunes de accesorios que producen estas “perdidas adicionales”, a la pérdida por fricción, son de varios tipos, y colocados en la conducción por distintas razones, estos causan las llamadas perdidas localizadas, debido a que la perdida de carga hidráulica, que su existencia representa, se forma únicamente en las inmediaciones de los mismos. En términos generales, las perdidas locales se evalúan experimentalmente para cada accesorio, son función directa de la energía cinética de la conducción, con la expresión:

V2 J i = Ki 2g

(2.4.1)

En la que: Ji => Perdida de carga localizada (en m.) Ki => Coeficiente en función de cada accesorio Para lograr una evaluación cuantitativa de las perdidas que ocasionan estos accesorios, se introduce el concepto de “longitud equivalente”, que consiste en traducir a perdida por fricción en términos de incrementar la longitud de la tubería, la perdida de carga que ocasiona el accesorio. Al tomar la ecuación (2.2.9), y adicionar el término “Le”, de forma que Le resulte como la suma total de las longitudes equivalentes que representan todos los accesorios colocados en la longitud “L” de la conducción, tenemos:

( L + Le)V 2 hf = f 2 gD

(2.4.2)

A continuación colocamos los accesorios mas comúnmente utilizados en la instalación de acueductos a presión, y su correspondiente longitud equivalente en función de su número de diámetros.

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* TABLA 3: Longitudes equivalentes para perdidas localizadas en conducciones a presión.

* Hidráulica aplicada a las conducciones (Luís Pérez Farras)

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CAPITULO 3: METODO EMPIRICO (HAZEN-WILLIAMS) PARA EL DISEÑO DE UN SISTEMA DE TUBERIAS

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3.1. INTRODUCCIÓN. A lo largo de los años, se han realizado una gran cantidad de experimentos con el fin de evaluar las perdidas por fricción que ocurren a lo lago de una tubería, como se vio en el capitulo (1.5), se han elaborado una gran cantidad de expresiones que han sido deducidas por autores a través de los años. Ya en la edad media se fabricaban tubos para el suministro de agua. Esta se llevaba por gravedad desde las fuentes en la montaña hasta las fortalezas y palacios cercanos. Cuando se empezó la industria de la manufactura del acero y del hierro y posteriormente se invento las bombas, hace alrededor de 150 años. La fabricación y uso de tuberías se volvió una práctica muy común. La cantidad de Energía requerida para impulsar el caudal indujo a la recopilación de datos experimentales y de campo, sobre el comportamiento del flujo de agua en las tuberías, las distintas reacciones que dentro se producen y los fenómenos que alteran los efectos deseados en una conducción. A todo esto siguió un natural desarrollo científico para elaborar formulas de diseño. Uno de las formas de elaborar expresiones fue la experimentación., trazando graficas y desarrollando ecuaciones empíricas. Una de estas y se podría decir que la más importante en la actualidad dentro de lo que a experimentaciones empíricas se refiere fue propuesta por Gardner S. Williams, profesor de Hidráulica en La Universidad de Michigan y de Allen Hazen, investigador e Ingeniero Civil y Sanitario, en 1903, quienes realizaron un cuidadoso examen estadístico de datos obtenidos en las múltiples observaciones realizadas por mas de 30 investigadores como: Darcy, Forbes, Bazin, etc. sobre los flujos en tuberías de diversos materiales y diámetros, con agua a 15ºC a presión del nivel del mar, por lo que la ecuación resulto ser justa para estos parámetros de ensayo, donde llegaron a deducir una ecuación empírica, que fue revisada en 1920 por varios autores.

3.2. ECUACION DE HAZEN-WILLIAMS Sabemos que la ecuación de Darcy-Weisbach que expresa las perdidas por fricción que tiene una tubería, estaba en función de las siguientes variables: • • • • • •

Densidad y viscosidad del liquido (ρ, μ) Diámetro de la tubería (D) Rugosidad absoluta del material de la tubería, es decir el tamaño de las asperezas de la pared interior, llamada altura de rugosidad (ε) Longitud del acueducto (L) Aceleración de la gravedad (g) y La velocidad del flujo (V) A saber, si despreciamos las propiedades del fluido (ρ, μ), podemos deducir, que como las variables antes mencionadas son dependientes una de la otra, que las formulas empíricas que evalúan pérdidas en tuberías, se basan en la forma general:

hf RQ n = m L D Monografía de Graduación

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(3.1.1)

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Donde hf/L es la perdida unitaria (carga de presión por unidad de longitud), es decir, la pendiente de la línea de energía, Q es el caudal y D es el diámetro interno de la tubería, el coeficiente de resistencia “R”, es una función únicamente basada en la rugosidad del material de la tubería, lastimosamente, la ecuación que resulta de aquí es únicamente valida para la viscosidad del liquido con que se realizo las mediciones y pruebas, para un limitado rango de números de Reynolds y ciertos diámetros. La fórmula propuesta por Hazen y Williams, para condiciones de temperatura de 15º C y a presión de nivel del mar, posee esta forma:

R=

4.727 Cn

R=

10.666 Cn

Para unidades USC

(3.2.2)

Para unidades SI

(3.2.3)

Y donde: n=1.852 m= 4.8704 Donde la ecuación (3.1.1), se transforma en:

hf 10,666Q1.852 = L C 1.852 D 4.8704

Para unidades SI

(3.2.4)

hf 4,727Q1.852 = L C 1.852 D 4.8704

Para unidades USC

(3.2.5)

Desarrollando la expresión tenemos: Q

1.852

= ( A *V )

1.852

⎛ π * D2 ⎞ = ⎜⎜ * V ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠

1.852

=

8,331 * D 3.704 * V 1.852 = 0,639 D 3.704 * V 1.852 13,032

Sustituyendo en (3.2.4) e introduciendo el término “S” (pérdida de energía por longitud unitaria de tubería), tenemos:

hf 6,815 D 3.704V 1.852 S= = = 6,815 D −1.166V 1.852 C −1.852 1.852 4.8704 L C D

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Despejamos la velocidad V de la expresión:

1 .852

V 1 .852 = 1 .852

S 6 ,815 D

−1 .166

C −1 .852

Nos queda la ecuación expresada por Hazen y Williams, que generalmente se la encuentra expresada en función de la velocidad.

V = 0,3547 * C * D 0.63 * S 0.54

(3.2.6)

Generalmente en muchos textos, se presenta la ecuación de HazenWilliams de la forma descrita en la ecuación (3.2.6), pero realmente la utilidad de la formula, se basa en hallar las perdidas por fricción de la sección buscada, en base al caudal de circulación, y en base a diámetros establecidos, que mantengan una velocidad de circulación adecuada, incluimos ahora, un desarrollo de la ecuación (3.2.4):

S = 10,666 * Q1.852 * C −1.852 * D −4.87

(3.2.7)

Donde: S => Perdida de carga en (m/m) Q => Caudal en (m3/s) D => Diámetro en (m) C => Coeficiente que depende de las paredes del tubo En el Sistema Ingles, la formula de Hazen-Williams se escribe como:

Q = 0 , 285 * C * D

2 . 63

*S

0 . 54

(3.2.8)

En donde se usara Q en galones por minuto y D en pulgadas.

3.3. COEFICIENTE “C” DE HAZEN-WILLIAMS. Como indicamos anteriormente, las experiencias exhaustivas realizadas por Gardner S. Williams y Allen Hazen se basaron en hallar un coeficiente, tal que, pueda expresar la rugosidad relativa de un material para condiciones normales de presión y temperatura, bajo flujo turbulento y en régimen permanente, que es el caso que nos ocupa, dentro una expresión que pueda deducir las perdidas locales que suceden en tuberías de diámetro determinado y de gasto determinado también. Dentro de sus observaciones, podemos observar en las siguientes tablas, podemos apreciar, que tomando los datos y las mediciones realizadas por varios autores, en diferentes condiciones y con distintos materiales, se realizaron cálculos estadísticos, para definir e valor numérico del coeficiente C, para cada caso. Monografía de Graduación

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Los estudios totales de Hazen y Williams, resumidos en su obra “Hydraulic Tables”, encierran múltiples observaciones, tablas desarrolladas para deducir cualquiera de los factores, para varios tipos de tuberías, con varios recubrimientos, de una gran cantidad de diámetros y materiales, y con variaciones debidas a la edad de los conductos, que algunos inclusive no son utilizados, que convenientemente deberían ser estudiados por el diseñador, si es que se quiere utilizar la expresión de los autores. A continuación, ponemos a consideración los coeficientes C que se deben tomar para ciertos materiales comunes en la fabricación de tuberías. * Tabla 4. Coeficientes C a tomar, para los materiales más utilizados. TIPO DE TUBERIA C Asbesto cemento 140 Latón 130-140 Ladrillo para alcantarillas 100 Hierro colado Nuevo, sin revestir 130 Viejo, sin revestir 40-120 Revestido de cemento 130-150 Revestido de esmalte 140-150 bituminoso Cubierto con alquitrán 115-135 De hormigón o revestido de hormigón Cimbras de acero 140 Cimbras de madera 120 Centrifugado 135 Cobre 130-140 Manguera de incendio (caucho) 135 Hierro galvanizado 120 Vidrio 140 plomo 130-140 Plástico 140-150 Acero revestido de alquitrán 145-150 Nuevo, sin revestir 140-150 Remachado 110 Estaño 130 Arcilla vítrea 100-140 Tubos antiguos en malas condiciones 60-80 * Acueductos, Teoría y Diseño (Freddy Corcho, José I. Duque)

Como podemos apreciar en las investigaciones realizadas por Hazen y Williams, la continua corrección y los nuevos ensayos con los materiales que a lo largo del siglo XX se descubrían, fueron reformulando las tablas y ensayos para cada material, por ellos realizados, y descritos en su obra. A continuación en la tabla 5, podemos apreciar, las observaciones realizadas a experimentos de varios autores, y el coeficiente C que Hazen y Williams utilizaron para llegar a resultados satisfactorios. * Tabla 5. Ensayos y coeficientes C particulares para distintos autores, materiales y diámetros

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EXPERIMENTADOR

Darcy ´´ Williams, Hubell, Fenkell Iben ´´ Williams, Hubell, Fenkell Lampe Darcy Williams, Hubell, Fenkell Kuichling Stearns Gale Fenkell

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Rango de Diámetro Numero de Rangos de "C" de velocidades in observaciones in/s Hazen-Williams TUBERIA NUEVA DE HIERRO MOLDEADO 3.22 8 0.36 a 5.15 119.5 a 120 5.39 8 0.35 ´´ 7.48 132.1 ´´ 125.8

120 129

12 12 12

30 4 4

1 1.6 1.6

´´ ´´ ´´

5 3.1 3.1

139.3 107 106

´´ ´´ ´´

148.5 121.5 117

144 114 111

16.02 16.48 19.68

20 4 9

1 1.6 1.4

´´ ´´ ´´

5 3.1 3.7

146 129 112

´´ ´´ ´´

145.8 133 117.8

146 131 115

138

142

140

141

142

105

´´ 129 ´´ 112.3 ´´

110

107

130 124 100 110 144

a ´´ ´´ ´´ ´´

134 114 86 103 141

132 119 93 107 142

131 118 124 141 119 123 121 122 107 130 126

a ´´ ´´ ´´ ´´ ´´ ´´ ´´ ´´ ´´ ´´

125 116 143 144 124 136 118 98 110 88 91

128 119 133 142 121 129 119 110 108 109 104

´´ ´´

108 100

111 97

118 144

122 146

108 121 116 98.5

105 119 114 92

29.96 36 48 48 60

Darcy ´´ Bracket Darcy FitzGerald

1.43 3.16 6 9.63 48

Darcy Giltner and Ketchum Darcy ´´ H. Smith Jr. Darcy H. Smith Jr. Herschel Kuichling Herschel ´´ Marx, Wing and Hoskins ´´

1.05 3 3.25 7.72 10.93 11.22 12.67 36 38 42 47.4

30 1.25 ´´ 2.9 2 4.2 3 2.6 ´´ 6.2 1 3.5 5 0.73 ´´ 1.1 TUBERIA LISA DE HIERRO MOLDEADO 7 0.4 a 37 7 0.6 ´´ 5 6 0.95 ´´ 2.46 7 0.9 ´´ 8.44 21 2 ´´ 5 TUBERIA REMACHADA 7 0.3 a 2.79 222 0.18 ´´ 2.33 7 0.58 ´´ 6.14 10 0.59 ´´ 10.01 5 4.7 ´´ 10 7 1.3 ´´ 10.52 4 4.6 ´´ 10.1 8 0.56 ´´ 5.7 10 3.71 ´´ 3.91 24 0.96 ´´ 4.99 51 2.04 ´´ 6.06

72.24 72.24

142

29 1.57 ´´ 3.8 117 39 1.12 ´´ 4.8 87 TUBERIA DE CONCRETO Fannig 20 11 1.49 4.04 127 Bazin 31.5 10 2.78 6.6 148 TUBERIA NUEVA DE ACERO GALVANIZADO Saph and Schoder 1.042 7 2.8 10.04 99 ´´ 0.626 7 2.46 12.78 117.5 ´´ 0.486 8 1.67 10.88 111 ´´ 0.35 9 1.86 10.76 88 TUBERIA LISA DE MATERIAL VITREO H. Smith, Jr. 0.75 2 1.4 2.65 128 ´´ 0.92 2 1.95 2.94 131 Darcy 1.95 5 0.5 6.92 119 * Hydraulic Tables, (Gradner S. Williams, Allen Hazen)

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Valor medio de "C"

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133 135 125

130 133 122

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CAPITULO 4: Experiencia realizada bajo condiciones particulares en el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Cuenca

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Perdidas por rozamiento en tuberías a presión y determinación de coeficientes para formulas empíricas y racionales Este ensayo trata sobre la medición de las perdidas de carga por acción del rozamiento entre pared y fluido, de 4 tipos diferentes de tuberías (material, diámetro, rugosidad, etc.) bajo distintos caudales, cuando el agua es bombeada a través de estas secciones. Con los resultados obtenidos, se intenta deducir los coeficientes que a usarse en las dos formulas utilizadas para evaluar numéricamente estas perdidas, (Hazen-Williams) y (Darcy-Weisbach), para finalmente, comparar los resultados obtenidos, con los valores que se suele disponer, todo esto con el fin de hallar el método de evaluación más adecuado para ser utilizado.

MATERIALES: • • • • • • • • •

Tanque de agua (50lts) Bomba Tuberías de presión. Agua 15 ºC Manómetro diferencial Calibrador Cronómetro Mangueras de admisión y de expulsión Válvulas reguladoras de caudal

TEORIA: línea de e

2

V /2g línea pie

DJ1-2

zométric

a

nergía

DJ*1-2 2

V /2g

p1/

H

p1/

D const.

Q z2 z1 REFERENCIA

Al estudiar el flujo del agua dentro de una tubería de sección continua, y de un liquido cualquiera, con las propiedades, de densidad, viscosidad, etc. que estos poseen, y habiendo visto anteriormente, que es imposible lograr que no se produzcan perdidas en el trayecto del liquido, estas irreversibilidades se expresan en términos de “perdida de altura de carga”, o en general como caída de la línea piezométrica, estas perdidas llamadas también “perdidas por fricción” se traducen como la diferencia entre un punto y

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otro de una tubería, de la presión dentro de la sección, aplicando la ley de la conservación de la energía tenemos:

V 12 p2 V 22 z1 + + = z2 + + + perdidas γ 2g γ 2g p1

1− 2

Donde Z1 y Z2 representan la posición de cada punto a evaluar, con respecto a una referencia, los términos Vi2/2g, la energía cinética del sistema en cada punto entregando una altura de carga adicional al sistema, y los términos pi/γ, la presión estática del fluido traducido también en una altura en m. Nuestro trabajo radica en evaluar las perdidas sucedidas entre dos distintos puntos de la conducción, para poder conocer la pendiente que tendrá la línea piezométrica a lo largo de la conducción, estos datos pueden fácilmente ser medidos en un laboratorio, al conectar en esos puntos un manómetro diferencial que entregara la diferencia de presión entre dos puntos, en términos de “diferencia de altura de carga”. En la actualidad existen dos formulas muy difundidas que ayudan a evaluar numéricamente esas perdidas, en general estas dos formulas y otras tienen la forma general:

⎡Qm ⎤ hf = k⎢ n ⎥ S= L ⎣D ⎦ En este caso, el diámetro es una constante ya que es un dato muy acertado con el que se cuenta. En nuestro ensayo, el caudal ha variado para cada caso, entregándonos un valor de la perdida unitaria S, o de la perdida total hf, para cada tubería, por tanto se trabajará con estas variables de la forma S=f(Q), para hallar, los coeficientes “k” que toman tanto Hazen-Williams y Darcy-Weisbach, para llegar a empatar resultados entre mediciones reales y cálculos numéricos.

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PROCEDIMIENTO: a) Se tiene el siguiente montaje:

Esquema del sistema de tuberías

Esquema del funcionamiento del tanque

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Detalle de Vavulas y obturadores

Detalle de las tuberías

Tubería 1 Descripción: Espesor Dext = DInt s/rug= Temperatura del agua = V. cinemática ( ν ) Volumen Inicial del deposito Longitud de evaluación

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Tubería 2

PVC lisa 0,00195 m 0,0269 m 0,023 m 16 ºC 1,13E-06

Descripción: PVC con rugosidad artificial Espesor Dext = DInt s/rug= Temperatura del agua =

(m2/s)

V. cinemática ( ν ) Volumen Inicial del deposito Longitud de evaluación

0,5 lts

2,003 m

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0,00225 m 0,0262 m 0,0217 m 16 ºC 1,13E-06 (m2/s) 0,5 lts

Indicadas

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Tubería 3 Descripción: Espesor Dext = DInt s/rug= Temperatura = V. cinemática ( ν ) Volumen Inicial del deposito Longitud de evaluación

Tubería 4

PVC lisa 0,0021 m 0,0214 m 0,0172 m 16 ºC

Descripción: Espesor Dext = DInt s/rug= Temperatura =

1,13E-06 (m2/s)

V. cinemática ( ν ) Volumen Inicial del deposito Longitud de evaluación

0,5 lts

2,003 m

Metal lisa 0,00165 m 0,0093 m 0,006 m 16 ºC 1,13E-06 (m2/s) 0,5 lts

2,003 m

b) Procedemos a limpiar el tanque donde se almacena el agua, el tanque puede encontrarse con oxido, por lo que se debe vigilar la calidad del agua. El sistema es cerrado, se tiene un tanque cisterna con agua, la cual es tomada por la bomba y enviada al sistema por la dirección que se desee, y luego de pasar por el sistema de tuberías, el liquido llena el tanque graduado gracias a la tubería de salida del sistema, luego se vacia el tanque graduado en el tanque cisterna nombrado al principio

El tanque de 50 lts, se encuentra graduado, es por ello que se puede determinar el caudal que esta circulando por el sistema, al cronometrar el tiempo que se necesita para llenar un volumen determinado. Por lo que para empezar cada toma de datos, el tanque debe estar vacío Las válvulas de paso de las tuberías 1, 2 y 3, no tienen exactamente la función de regular caudales, es por ello que se ha tratado de variar el flujo, al cerrarlas en cierta medida. Cuando se quiere evaluar una tubería, se cierran completamente las otras válvulas, solo dejando abierta la válvula de la tubería a evaluar en la medida de lo deseado y la válvula de la tubería de salida, para que se llene el tanque graduado. c) Se colocan las mangueras de los manómetros en los obturadores colocados a cierta distancia uno de otro de la tubería a evaluar; se abre totalmente estos obturadores manteniendo cerrados todos los otros. En todos los casos se trabajó con los obturadores extremos, es decir a 2,003m uno del otro (para las tuberías 1,3 y 4) y , con excepción de la tubería 2, que para la toma de dos datos, utilizo el obturador del medio, por lo que la distancia de evaluación en esos 2 datos es de 1 m y 0,999m de la longitud entre los obturadores extremos que es de 1,999m para el resto de tomas. d) Se abre la válvula de la tubería de salida, para las evaluaciones de cualquiera de las 3 primeras tuberías, para que el flujo vacíe en el tanque. En el caso de la tubería 4, al no tener una válvula de cierre, se le mantiene siempre abierto el obturador final que conecta a una manguera hacia el tanque, mientras se cierra la válvula de la tubería de salida, buscando que el flujo vaya solo por la tubería 4 a llenar el tanque. El ingreso a esta tubería se da con la apertura de cualquiera de las válvulas de cierre de las tres primeras tuberías, cuidando siempre que no salga agua por la tubería de salida. e) Una vez preparado el sistema, se deja salir el aire del manómetro para igualar niveles, se cierra las llaves superiores del mismo. f) Se pone a funcionar la bomba, se toma el tiempo que demora el tanque en reunir cierto volumen, mientras tanto se toma las dos lecturas del manómetro

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g) Se evalúa el caudal que paso por la tubería, se relaciona la diferencia de carga que presento el manómetro a los términos que se necesitan, se repiten estos procesos para el mayor numero posible de caudales. h) Se procesan los datos obtenidos.

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LECTURAS Y CALCULOS

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TUBERIA 1 0,023 m Seccion Interna: D=

Volu men Nro Inicia l (l)

1 2 3 4 5 6 7 8

Volumen

0,0004154756284915 m2

Tiempo de

Caudal

Velocidad

ΔV (m3) Final (l)

10 9 10 8 8 9 10 9

20 20 15 18 16 15 18 19

llenado (s)

0,01 0,011 0,005 0,01 0,008 0,006 0,008 0,01

5,7 6,5 3,5 6,3 7,6 6,3 6,5 13,8

Valores medios

(m3/s)

(m/s)

0,0017544 0,0016923 0,0014286 0,0015873 0,0010526 0,0009524 0,0012308 0,0007246 0,0013029

4,2225966 4,0731816 3,4384001 3,8204445 2,5335579 2,2922667 2,9623139 1,744116 3,1358597

DARCY-WEISB Lectura Lectura Diferen Perdida por de carga de carga cia de friccion en (2) en (1) carga (mmHg) (mmHg) (mHg) (mH2O)

310 305 288 305 267 259 275 248

0 0,0001

0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 Monografía de Graduación

5

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158 163 188 178 212 214 199 220

0,152 0,142 0,1 0,127 0,055 0,045 0,076 0,028

1,9077368 1,7822278 1,25509 1,5939643 0,6902995 0,5647905 0,9538684 0,3514252

f

ε/D

Re

85947 82905 69985 77761 51568 46657 60295 35500 63827

0,024 0,0241 0,0238 0,0245 0,0242 0,0241 0,0244 0,0259

0,0079 0,0117 0,008 0,0238 0,0339 0,0074 0,0067 0,0106

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0,001754 0,001692 0,001429 0,001587 0,001053 0,000952 0,001231 0,000725

hf (mH2O)

#¡REF! #¡REF! #¡REF! #¡REF! #¡REF! #¡REF! #¡REF! #¡REF!

1,9077368 1,7822278 1,25509 1,5939643 0,6902995 0,5647905 0,9538684 0,3514252

Perdida de carga (mH2O)

Q (m3/s)

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Tuberia 1 2,5 2 1,5 Dato tomado 1 0,5 0 0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

Cadual (m3/s)

Podemos observar que se trata de una dispersion no lineal, que conviene linealizarse con (Q^n) n= 2 hf (mH2O)

Perida de carga (mH2O)

Q^n (m3/s) 3,08E-06 2,86E-06 2,04E-06 2,52E-06 1,11E-06 9,07E-07 1,51E-06 5,25E-07

Tuberia 1

1,9077368 1,7822278 1,25509 1,5939643 0,6902995 0,5647905 0,9538684 0,3514252

2,5 2 1,5 linealizacion 1 0,5 0 0

5E-07

1E-06 1,5E-06 2E-06 2,5E-06 3E-06 3,5E-06

Q^n (m3/s)

Observamos que la grafica se linealizo con Q^2, luego a partir del grafo Q^2 - hf, determinaremos los valores estadísticos de A y B Monografía de Graduación

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N=

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8

Σ x 2 Σ y − Σ x Σ xy A = N Σ x 2 − (Σ x ) 2

B =

N Σ xy − Σ x Σ y N Σ x 2 − (Σ x ) 2

La función se escribe de la y = A + Bx

forma:

x Q^2 2,326E-06 5,883E-07 2,239E-06 1,354E-07 1,129E-07 9,661E-07 1,757E-06 1,404E-06 9,528E-06

y xy x^2 y^2 hf hf*Q^2 Q^4 hf^2 2,1713 5E-06 5E-12 4,7145684 0,6401 4E-07 3E-13 0,4097228 2,0207 5E-06 5E-12 4,0832079 0,2008 3E-08 2E-14 0,0403264 0,1757 2E-08 1E-14 0,0308749 0,9037 9E-07 9E-13 0,8166101 1,5563 3E-06 3E-12 2,4221058 1,2676 2E-06 2E-12 1,6069135 8,9362 2E-05 2E-11 14,12433

Evaluamos el coeficiente de correlacion, que es un indicador de la reprentatividad de la funcion obtenida con respecto a los datos experimentales obtenidos, aceptaremos como representativa a una funcion donde su coeficiente rsea mayor o igual a 0,900, caso contrario debe linealizarse la grafica nuevamente y repetir el proceso r =

[NΣx

N Σ xy − Σ xΣ y 2

][

− (Σ x ) 2 N Σ y 2 − (Σy ) 2

Aplicando las ecuaciones anteriores llegamos a los siguientes resultados: A= B= r=

617800,2 0,0135 0,999718

De donde la ecuación queda:

y = 0,0135 + 617800, 2 x 2 Monografía de Graduación

7

Universidad de Cuenca

]

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

Debido a que la recta liealizada pasa cerca del origen, por lo tanto A se vuelve 0 La funcion corregida sera:

y = 617800 x 2 En los terminos del problema analizado en nuestro caso tenemos:

hf = 617800

Q

2

Para Darcy-Weisbach:

hf =

8f *L Q2 2 5 gπ D

de donde:

617800 =

8f *L gπ 2 D 5

Por lo tanto, el valor de f a utilizar en la ecuación de Darcy-Weisbach es: f=

0,0239

Aplicando la ecuacion de Colebrook para el caudal medio tenemos:

⎛ ε 2 . 51 = − 2 * log ⎜ + ⎜ 3,51 D f Re f ⎝

1

1 = 2 * log Re f Monografía de Graduación

f − 0 .8 8

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Re100000 Universidad de Cuenca

Conocemos:

L = 2,003 m D = 0,023 m g = 9,78 m/s² π = 3,141592654

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

_

Nro

Re

ε

1 2 3 4 5 6 7 8

85947 82905 69985 77761 51568 46657 60295 35500

3,25E-05 3,19E-04 2,90E-05 3,09E-05 2,24E-05 1,97E-05 2,60E-05 1,09E-05

ε=

Monografía de Graduación

Media : x = 2,53 E − 5 Desviacion _ es tan dar : xσ n = 6,864 E − 6 Valor _ min imo = 1,09 E − 5 1er _ cuartil : Q1 = 2,105 E − 5 3er = cuartil : Q 3 = 3 .095 E - 5 _

Media − desviacion : x − xσ n = 1,844 E − 5 _

Media + desviacion : x + xσ n = 3, 2164 E − 5 Valor _ max imo = 3 .25 E − 5 Se debe buscar y confiar en los resultados obtenidos manejando caudales que arrojen rugosidades entre el primer y tercer cuartil obtenido

6,13E-05 m

9

Universidad de Cuenca

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

TUBERIA 2 D = 0,0217 m 0,00036983614121 m2

Seccion Interna: Volumnen Volumen Nro

1 2 4 5 6 7 8 9

inicial (l) final (l) 7 17 7 17 7 17 7 17 4 7 8 16 10 17 8 15

1,393847 1,412683 1,902413 2,869315 0,188264 4,342611 3,087521 Monografía de Graduación

1,229988

Tiempo de Caudal Velocida Lectura Lectura Distancia Diferencia Perdida Perdida de unitaria de carga carga ΔV (m3) por Re entre (1) y de carga de carga en (1) en (2) friccion S (mmHg llenado (s) (m3/s) d (m/s) (mmHg) (mHg) (mH2O) (mH2O/m) (2) ) 0,01 12,9 0,00078 2,09605 342 120 1,999 0,222 2,7863 1,3938468 40252 0,01 12,2 0,00082 2,21631 345 120 1,999 0,225 2,823953 1,4126826 42561 0,01 11 0,00091 2,45809 381 78 1,999 0,303 3,802923 1,9024126 47204 0,01 9,1 0,0011 2,97132 465 8 1,999 0,457 5,735761 2,8693153 57060 0,003 11,1 0,00027 0,73078 249 219 2 0,03 0,376527 0,1882635 14034 0,008 6 0,00133 3,6052 402 56 1 0,346 4,342611 4,3426114 69233 0,007 6,2 0,00113 3,05279 353 107 1 0,246 3,087521 3,0875214 58624 0,007 9,9 0,00071 1,91185 282 184 1 0,098 1,229988 1,2299882 36714 Valores medios 0,00088 2,3803 45710,2 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 10

0,0008

Universidad de Cuenca

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

0,000775 0,00082 0,000909 0,001099 0,00027 0,001333 0,001129

S (mH2O/m) 1,3938468 1,4126826 1,9024126 2,8693153 0,1882635 4,3426114 3,0875214

0,001 0,0011 0,0012

Tuberia 2 Perdida unitaria (mH2O/m)

Q (m3/s)

0,000707 1,2299882

5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Dato

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

Caudal (m3/s)

Podemos observar que se trata de una dispersion no lineal, que conviene linealizarse con (Q^n) n= 2 S

(m3/s) 6,01E-07 6,72E-07 8,26E-07 1,21E-06 7,3E-08 1,78E-06 1,27E-06 5E-07

(mH2O/m) 1,3938468 1,4126826 1,9024126 2,8693153 0,1882635 4,3426114 3,0875214 1,2299882

S (mH2O/m) 11 0 0

Perdida Unitaria (mH2O/m)

Q^n

Q (m3/s) Monografía de Graduación

Tuberia 2 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2

linealizacion

1,5 1 0,5 0 0

0,0000005

0,000001

Q^n (m3/s)

0,0001 0,0002

Universidad de Cuenca

0,0000015

0,000002

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

N=

8

realizamos las mismas operaciones estadisticas descritas en el estudio de la tuberia 1, llegando a los siguientes resultados: A= B= r=

2,46E+06 -0,08523 0,99796

De modo que la ecuación queda:

y = − 0 , 08523 + 2 , 4645 E 6 x 2 Debido a que la recta liealizada pasa cerca del origen, por lo tanto A se vuelve 0 La funcion corregida sera:

y = 2 , 4645 E 6 x 2 En los terminos de nuestro problema tenemos:

S = 2 , 4645 E 6 Q 2 Para Darcy-Weisbach:

S =

Monografía de Graduación

8 f gπ 2D

5

Q

12

2

De donde:

2,4645E 6 =

Universidad de Cuenca

8f gπ 2 D 5

Si conocemos:

D = 0,0217 m g = 9,78 m/s² π = 3,141592654

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

Por lo tanto, el valor de f a utilizar en la ecuación de Darcy-Weisbach es: f=

0,143

Aplicando la ecuacion de Colebrook para el caudal medio tenemos:

⎛ ε 1 2 .51 = − 2 * log ⎜ 0 .27 + ⎜ D Re f f ⎝ Nro 1 2 3 4 5 6 7 8

ε 3,83E-03 3,84E-03 3,84E-03 3,84E-03 3,81E-03 3,84E-03 3,84E-03 3,83E-03

Re 40252 42561 47204 57060 14034 69233 58624 36714

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Qmed = 0,0007134 m3/s Re = 37043,788

Donde:

_

Media : x = 33 ,8328 E − 3 Desviacion _ es tan dar : x σ n = 9 ,162 E − 6 Valor _ min imo = 3 ,809 E − 3 1er _ cuartil : Q 1 = 3 ,8334 E − 3 3 er = cuartil : Q 3 = 3 ,8382 E - 3 _

Media − desviacion : x − x σ n = 3 ,8237 E − 3 _

Media + desviacion : x + x σ n = 3 ,842 E − 3 Valor _ max imo = 3 ,8393 E − 3 Se debe buscar y confiar en los resultados obtenidos manejando caudales que arrojen rugosidades entre el primer y tercer cuartil obtenido

Monografía de Graduación

13

Universidad de Cuenca

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

Para Hazen Williams:

Realizaremos la linealización de la grafica, de la misma manera con Q^n Entonces tomamos, los datos experimentales, y realizamos el mismo proceso anterior

n = 1,852

Tuberia 2 Perida unitaria de carga (mH2O/m)

Q^n (m3/s)S (mH2O/m) 1,73E-06 1,3938468 1,92E-06 1,4126826 2,33E-06 1,9024126 3,31E-06 2,8693153 2,46E-07 0,1882635 4,74E-06 4,3426114 3,48E-06 3,0875214 1,46E-06 1,2299882 Realizando los calculos estadisticos tenemos:

A= B= r =

4,5 4 3,5 3 2,5

Linealizacion

2 1,5 1 0,5 0 0

0,000001

0,000002

0,000003

0,000004

Q^n (m3/s)

9,39E+05 -0,205358 0,99619

Donde la ecuacion queda:

Monografía de Graduación

5

14

y = − 0 .20536 + 938695 ,92 x 1,852

Universidad de Cuenca

0,000005

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

Debido a que la recta liealizada pasa cerca del origen, por lo tanto A se vuelve 0 La funcion corregida sera:

y = 938696 x 1,852 Recordando nuestros terminos, la ecuacion queda:

S = 938696Q 1,852 Recordamos lo que dice Hazen-Williams:

S =

10 , 666 Q C 1 . 852 D 4 . 87

1 . 852

de donde:

10 , 666 C 1 . 852 D 4 . 87

= 938696

Conocemos: D = 0,0217 m

Hallamos el coeficiente C, que se debe usar para evaluar esta tuberia bajo la formula de Hazen-Williams C=

Monografía de Graduación

50,65

15

Universidad de Cuenca

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

TUBERIA 3 D = 0,0172 m Seccion Interna:

Tiempo

Volumnen Volumen

Caudal

ΔV (m3) de llenado

Nro

1 2 3 4 5 6 7

0,000232352192 m2

inicial (l) 8 8 8 5 8 10 8

Monografía de Graduación

Final (l) 18 18 16 9 18 20 18

(s) 0,01 10,8 0,01 14,5 0,008 14,1 0,004 9,7 0,01 7 0,01 7,9 0,01 10,1 Valores medios 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 16

(m3/s) 0,000926 0,00069 0,000567 0,000412 0,001429 0,001266 0,00099 0,000897

Velocidad

DARCY Lectura Lectura de Diferencia de carga

carga en

en (1)

(2)

(m/s) (mmHg) (mmHg) 3,9850105 308 155 2,9681457 276 190 2,4418788 262 205 1,7747676 251 216 6,1483019 401 55 5,4478624 372 86 4,2611993 309 150 3,8610238

Universidad de Cuenca

de carga (mHg) 0,153 0,086 0,057 0,035 0,346 0,286 0,159

Perdida de carga (mH2O) 1,920288 1,079377 0,715401 0,439282 4,342611 3,589557 1,995593

f Re

60657 45179 37168 27014 93585 82923 64861 58770

0,0203 0,0206 0,0202 0,0234 0,0193 0,0203 0,0185

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

hf (mH2O) 1,9202877 1,0793774 0,7154013 0,4392815 4,3426114 3,5895574 1,9955931

Tuberia 3 5 Perdida de carga (mH2O)

Q (m3/s) 0,0009259 0,0006897 0,0005674 0,0004124 0,0014286 0,0012658 0,0009901

4,5 4 3,5 3 2,5

Dato

2 1,5 1 0,5 0 0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

0,0016

Q (m3/s)

Podemos observar que se trata de una dispersion no lineal, que conviene linealizarse con (Q^n) n= 2

Monografía de Graduación

hf (mH2O) 1,9202877 1,0793774 0,7154013 0,4392815 4,3426114 3,5895574 1,9955931

17

Perdida de carga (mH2O)

Q^n (m3/s) 8,573E-07 4,756E-07 3,219E-07 1,7E-07 2,041E-06 1,602E-06 9,803E-07

Tuberia 3 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Dato

0

0,0000005

0,000001

Universidad de Cuenca

0,0000015

0,000002

0,0000025

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

Observamos que la grafica se linealizo con Q^2, luego a partir del grafo Q^2 - hf, determinaremos los valores estadísticos de A y B N=

7

realizamos las mismas operaciones estadisticas descritas en el estudio de la tuberia 1, llegando a los siguientes resultados: A= B= r=

2,12E+06 0,0498004 0,998568

De donde la ecuación queda:

y = 0,0498 + 2,12 E 6 x 2 Debido a que la recta liealizada pasa cerca del origen, por lo tanto A se vuelve 0 La funcion corregida sera:

y = 2 ,1219 E 6 x 2 En los terminos del problema analizado en nuestro caso tenemos:

hf = 2 ,1219 E 6 Q

2

Para Darcy-Weisbach:

8f *L hf = Q2 2 5 gπ D

Monografía de Graduación

18

de donde:

2,1219 E 6 =

Universidad de Cuenca

8f *L gπ 2 D 5

Conocemos:

L = 2,003 m D = 0,0172 m g = 9,78 m/s²

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

Por lo tanto, el valor de f a utilizar en la ecuación de Darcy-Weisbach es: 0,01927

f=

Aplicando la ecuacion de Colebrook para el caudal medio tenemos:

⎛ 1 2 . 51 ε = − 2 * log ⎜ 0 . 27 + ⎜ D Re f f ⎝ ε=

Monografía de Graduación

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Donde:

Qmed = 0,000689 m3/s Re = 45154,77

0,0004173 m

Nro

Re

ε

1 2 3 4 5 6 7

60657 45179 37168 27014 93585 82923 64861

N/D N/D N/D N/D 4,59E-06 2,59E-06 N/D

19

Durante la determinacion de la rugosidad absoluta de la tuberia con la ecuación de Colebrook, se noto que esta ecuación, y por lo tanto las condiciones de tuberia rugosa se aplican para numeros de Reynolds mayores a 72400, por lo que con caudales muy bajos las tuberia tiende a comportarse como lisa, ya que se sale del dominio y rango de la formula

Universidad de Cuenca

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

Para Hazen Williams:

n=

hf (mH2O) 1,9202877 1,0793774 0,7154013 0,4392815 4,3426114 3,5895574 1,9955931

Tuberia 3 5 4,5 Perdida de carga (mH2O)

Q^n (m3/s) 2,41E-06 1,397E-06 9,731E-07 5,389E-07 5,381E-06 4,301E-06 2,729E-06

Realizaremos la linealización de la grafica, de la misma manera con Q^n Entonces tomamos, los datos experimentales, y realizamos el mismo proceso anterior

4 3,5 3 2,5

Dato

2 1,5 1 0,5

1,852

0 0

0,000001

0,000002

0,000003

0,000004

0,000005

0,000006

Q^n (m3/s)

Realizando los calculos estadisticos tenemos: A= B= r =

8,21E+05 -0,075666 0,9981693

Donde la ecuacion queda:

Monografía de Graduación

20

y = − 0,0757 + 821325 ,78 x 1,852 Universidad de Cuenca

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

Debido a que la recta liealizada pasa cerca del origen, por lo tanto A se vuelve 0 La funcion corregida sera:

y = 821326 x 1, 852 Recordando nuestros terminos, la ecuacion queda:

hf = 821326 Q 1 , 852 Recordamos lo que dice Hazen-Williams:

hf =

10 , 666 L Q C 1 . 852 D 4 . 87

1 . 852

de donde:

10 , 666 L = 821326 C 1 . 852 D 4 . 87

Conocemos: L = 2,003 m D = 0,0172 m

Hallamos el coeficiente C, que se debe usar para evaluar esta tuberia bajo la formula de Hazen-Williams

C=

Monografía de Graduación

145,838

21

Universidad de Cuenca

Tuberías a presión Hazen-Williams & Darcy-Weisbach

Paúl López Avilés

TUBERIA 4

Nro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Diametro interior= 0,006 m Seccion Interna: 0,000028274333 m2 DARCY-W Volumen inicial del tanque: 0,5 lts Tiempo Velocid Lectura de Lectura Diferencia Perdida Volumen de f ΔV (m3) Caudal (m3/s) ad carga en (1) de carga de carga local Re llenado en (2) Final (l) (m/s) (mHg) (mmHg) (mH2O) () ( H ) 4 0,0035 62,5 0,000056 1,9806 284 111 0,173 2,171306 10516 0,032432 3 0,0025 30,8 8,11688E-05 2,8708 378 16 0,362 4,543426 15243 0,032302 3 0,0025 35,6 7,02247E-05 2,4837 331 63 0,268 3,363641 13188 0,031949 3 0,0025 46,6 5,36481E-05 1,8974 275 117 0,158 1,983042 10075 0,032274 3 0,0025 49,6 5,04032E-05 1,7826 266 128 0,138 1,732024 9465 0,031935 3 0,0025 52,4 4,77099E-05 1,6874 265 130 0,135 1,694372 8960 0,034867 3 0,0025 43,1 5,80046E-05 2,0515 289 101 0,188 2,359569 10893 0,03285 4 0,0035 56,4 6,20567E-05 2,1948 301 93 0,208 2,610587 11654 0,031753 5 0,0045 83,2 5,40865E-05 1,9129 276 116 0,16 2,008144 10157 0,032154 5 0,0045 59,9 7,51252E-05 2,657 347 47 0,3 3,76527 14108 0,03125 5 0,0045 70,2 6,41026E-05 2,2672 310 85 0,225 2,823953 12038 5 0,0045 66,5 6,76692E-05 2,3933 316 78 0,238 2,987114 12708 5 0,0045 75 0,00006 2,1221 297 97 0,2 2,51018 11268 5 0,0045 90 0,00005 1,7684 266 129 0,137 1,719473 9390 5 0,0045 105,5 4,2654E-05 1,5086 262 132 0,13 1,631617 8010 5,53116E-05 1,9562 0 0 10387 Valores medios

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0,000056 8,11688E-05 7,02247E-05 5,36481E-05 5,04032E-05 4,77099E-05 5,80046E-05 6,20567E-05 5,40865E-05 7,51252E-05 6,41026E-05 6,76692E-05 0,00006 0,00005 4,2654E-05

hf (mH2O) 8,00E-06 2,1713057 4,5434258 3,3636412 1,9830422 1,7320242 1,6943715 2,3595692 2,6105872 2,008144 3,76527 2,8239525 2,9871142 2,51018 1,7194733 1,631617

1,20E-05 1,60E-05 2,00E-05 2,40E-05 2,80E-05 3,20E-05 3,60E-05 4,00E-05 4,40E-05 4,80E-05

Tuberia 4

5 4,5

Perdida de carga (mH2O)

Q (m3/s)

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4 3,5 3 2,5 Dato

2 1,5 1 0,5 0 0

0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0,00006 0,00007 0,00008 0,00009

Q (m3/s)

Podemos observar que se trata de una dispersion no lineal, que conviene linealizarse con (Q^n) 3,136E-09 6,58838E-09 4,93151E-09 2,87812E-09 2,54049E-09 2,27624E-09 3,36454E-09 3,85104E-09 2,92535E-09 5,6438E-09 4,10914E-09 4,57912E-09 3,6E-09 2,5E-09 1,81937E-09

Monografía de Graduación

hf (mH2O)

Tuberia 4

2,1713057 4,5434258 3,3636412 1,9830422 1,7320242 1,6943715 2,3595692 2,6105872 2,008144 3,76527 2,8239525 2,9871142 2,51018 1,7194733 1,631617

Perdida de carga (mH2O)

Q^n (m3/s)

5 4 3 Dato 2 1 0 0

1E-09

2E-09

3E-09

4E-09

Q^n (m3/s)

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5E-09

6E-09

7E-09

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n= 2 Observamos que la grafica se linealizo con Q^2, luego a partir del grafo Q^2 - hf, determinaremos los valores estadísticos de A y B, para: N=

15

Realizamos las mismas operaciones estadisticas descritas en el estudio de la tuberia 1, llegando a los siguientes resultados: A= B= r=

6,36E+08 0,2050991 0,99316987

De donde la ecuación queda:

y = 0,2050991+ 6,3613E8 x 2 Debido a que la recta liealizada pasa cerca del origen, por lo tanto A se vuelve 0 La funcion corregida sera:

y = 6 , 36 E 8 x

2

En los terminos del problema analizado en nuestro caso tenemos:

hf = 6 ,36 E 8 Q 2 Para Darcy-Weisbach:

hf =

8f *L Q2 2 5 gπ D

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de donde:

24

6 ,36 E 8 =

8f *L gπ 2 D 5

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Conocemos:

L = 2,003 m D = 0,006 m g = 9,78 m/s²

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Por lo tanto, el valor de f a utilizar en la ecuación de Darcy-Weisbach es: f=

0,0298

Al observar los ensayos realizados y los resultados obtenidos, podemos deducir

que esta tuberia se encuentra definida como lisa, por los tantu su fugosidad relativa (ε/D), su numero de Reynolds, y su facto de frincción (f), que le impiden entrar en el dominio y rango que Colebrook ha definido en su ecuación, y obsevando el diagrama de Moody, podemos confirmar esta hipotesis

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25

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Realizaremos la linealización de la grafica, de la misma manera con Q^n Entonces tomamos, los datos experimentales, y realizamos el mismo proceso anterior

Para Hazen Williams:

1,3355E-08 2,65576E-08 2,03095E-08 1,23349E-08 1,09889E-08 9,92621E-09 1,42539E-08 1,61527E-08 1,25222E-08 2,3012E-08 1,71527E-08 1,8962E-08 1,51753E-08 1,08266E-08 8,06652E-09

hf (mH2O) 2,1713057 4,5434258 3,3636412 1,9830422 1,7320242 1,6943715 2,3595692 2,6105872 2,008144 3,76527 2,8239525 2,9871142 2,51018 1,7194733 1,631617

Tuberia 4 5 4,5 4 Perdida de carga (mH2O)

Q^n (m3/s)

3,5 3 2,5

Dato

2 1,5 1 0,5

n=

0

1,852

0

0,000000005

0,00000001

0,000000015

Q^n (m3/s)

Realizando los calculos estadisticos tenemos: A= 1,64E+08 B= 0,0173495 r = 0,99195 De donde la ecuación queda:

y = 0,01735 + 1,6395E8 x1,852 Monografía de Graduación

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0,00000002

0,000000025

0,00000003

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Debido a que la recta liealizada pasa cerca del origen, por lo tanto A se vuelve 0 La funcion corregida sera:

y = 1 , 64 E 8 x

2

En los terminos del problema analizado en nuestro caso tenemos:

hf = 1 , 64 E 8 Q 1 , 852 Recordamos lo que dice Hazen-Williams:

hf =

10 , 666 L Q C 1 . 852 D 4 . 87

1 . 852

de donde:

10,666 * 2,003 = 1,64 E 8 1.852 4.87 C D

Conocemos:

Hallamos el coeficiente C, que se debe usar para evaluar esta tuberia bajo la formula de Hazen-Williams

C=

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133,223

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L = 2,003 m D = 0,006m

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CAPITULO 5: Conclusiones, comparación y recomendaciones finales sobre el uso de cada método

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5.1. HAZEN WIILIAMS. Como hemos podido apreciar, durante el estudio y la experimentación realizada con la formula de Hazen-Williams, podemos llegar a soluciones bastante acertadas, si se escoge un correcto coeficiente C. Para el adecuado manejo del método y la correcta selección de un coeficiente, deben ponerse atención a ciertos aspectos: 1. El coeficiente C, que esta basado en la rugosidad del material es el único criterio que vincula el flujo con el ambiente real. 2. El coeficiente C expresa la rugosidad de una tubería nueva únicamente, los arrastres de material y el depósito de capas en las paredes de la tubería cambian sustancialmente el comportamiento entre pared y fluido, por ello el valor de C, solo sirve mientras las propiedades de la tubería se mantengan intactas. Si bien es cierto Hazen y Williams, incluyeron en su obra una cantidad importante de tablas con coeficientes para tuberías usadas, los materiales con los que se trabajaba en esa época son obsoletos en la actualidad, teniéndose ahora materiales nuevos, que son probados solo por los fabricantes. También es muy importante es la composición del agua que circula por las tuberías, ya que los materiales arrastrados o suspendidos en ella, determinan directamente el desgaste de la tubería, tanto por ataque físico o químico y determina también el tipo de depósitos que se producen en las paredes de la misma. 3. Cuando se realizo el experimento, siempre se trabajo con un solo tipo de líquido y a condiciones determinadas, es decir, este método descarta cualquier posible cambio que en el fluido se realice, si no es agua a 15 ºC y no se está a nivel del mar realmente no serviría este criterio de diseño, ya que como sabemos, el comportamiento de un flujo viene determinado por su número de Reynolds, que a su vez depende íntimamente de la viscosidad del liquido, que crece a medida de que la temperatura disminuye, debido al aumento de la cohesión que tiene lugar entre las moléculas antes de tender a la solidificación, y es por ello que cuando la temperatura sube el agua tiende a comportarse mas “fluida”. 4. Sin embargo, si el constructor posee cierta experiencia en el manejo y aplicación de esta formula, y realmente no se cuentan con experimentación como para evaluar las características climáticas, la duración del material, etc., se puede admitir una solución con este método, debemos decir sin embargo, que si las condiciones del ambiente son extremas los resultados no necesariamente pueden resultar adecuados, y si en cambio las condiciones ambientales están alrededor de las condiciones de la prueba de ensayo, los resultados pueden tender a sobredimensionar las perdidas, en relación a la formula empírica.

5.2. DARCY-WEISBACH. Al trabajar con el método racional de Darcy-Weisbach y luego de observar los resultados que obtienen con este método, si se maneja con cuidado las variables, se posee una experimentación de factores en el campo, se tienen claros los conceptos que envuelven a la variable f, así como un completo dominio de los rangos de utilización de cada formula, la distinción del tipo de flujo, y una correcta tabla sobre rugosidades relativas, se obtienen los mejores resultados posibles, debido a la

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buena fundamentación que ofrece esta fórmula, y porque intenta no dejar cabos sueltos en torno a parámetros que afectan el flujo en una tubería. Sin embargo, sus adecuados resultados vienen acompañados de problemas durante el cálculo, es por ello que debemos tomar en cuenta lo siguiente: 1. Este método, no trabaja en base al material con el cual esta hecha la tubería, simplemente usa la rugosidad relativa en relación al diámetro, bajo el criterio de la capa limite, para evaluar el coeficiente f de cada tubería, por lo que podrían darse los mismos problemas que con H-W debido a envejecimiento de la tubería. Debe tenerse cuidado entonces con evaluar los parámetros de los que depende f. 2. Muchas veces no se cuenta con los datos necesarios como para utilizar esa formula, o a veces también, las conducciones pasan por lugares con comportamientos climáticos y de presión diversos y de difícil acceso a monitoreo, por lo que se hace casi imposible contar con todos los datos. 3. Debido a la diversa composición del agua, no es fiable muchas veces, confiar en que la viscosidad va a ser la ofrecida en esas temperaturas y condiciones de diseño. 4. debe tenerse atención con los valores de la aceleración de la gravedad, y como este valor es función de la altitud, pueden darse problemas si es que la conducción pasa por cambios considerables de altitud. 5. El sistema es bastante exacto cuando se trata de diseñar conducciones o impulsiones, sin embargo en el calculo de redes de agua, ya que la gran cantidad de determinaciones, hace complejo el uso de las formulas o del diagrama de Moody. 6. Por ultimo, se debe reconocer, que este metido, al ser mucho mas expeditivo, produce valores de perdida menos exagerados que H-W, por lo que los diseños bajo este criterio son más económicos, eso si dentro de rangos de presión y temperatura normales, esta virtud se disipa si es que queremos entrar en cálculos con extremos de temperatura y altitud, donde los resultados entre una temperaturas y/o altitudes extremas de un mismo diseño, resultar en soluciones bastante diferentes.

5.3. RELACION ENTRE EL COEFICIENTE “f” DE DARCY-WEISBACH Y EL COEFICIENTE “C” DE HAZEN-WILLIAMS De la ecuación 3.2.6 tenemos:

V = 0,3547 * C * D 0.63 * S 0.54

(5.1)

Sabiendo que R=D/4 (radio hidraulico) la ecuación 5.1 nos queda:

V = 0,8494 * C * R 0.63 * S 0.54

(5.2)

Tenemos que S=hf/L, y R=D/4

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h 0,54 =

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4 0,63 * L0,64 * V = 4 0,63 * L0,64 * V * 0,8494 −1 * D −0,63 * C −1 0 , 63 0,8494 * D * C

Despejamos h:

h=4

1,165

h=

* L *V

1,85

* 0,8494

−1,85

*D

−1,166

*C

−1,85

41,165 L V 1,85 2 g = * * * 0,84941,85 D1,166 C 1,85 2 g

2 g 41,165 L V2 1 2 g 41,165 * * * = 0,84941,85 D * D 0,15 * D 0,015 V 0,15 C 1,85 * 2 g 0,84941,85

2 ⎤ D −0.015 ⎛ L ⎞ ⎛V ⎞ ⎡ * ⎜ ⎟ * ⎜⎜ ⎟⎟ * ⎢ 0,15 0,15 1,85 ⎥ ⎝ D ⎠ ⎝ 2 g ⎠ ⎣V * D * C ⎦

Incluimos el Número de Reynolds (ecuación 1.4), multiplicando la ecuación anterior por (ν 0,15/ ν 0,15) 2 ⎤ υ 0,15 2 g 41,165 ⎛ L ⎞ ⎛ V 2 ⎞ ⎡ 133,2 D −0.015 ⎛ L ⎞ ⎛V ⎞ 1 *⎜ ⎟*⎜ ⎟* ⎢ = h= *⎜ ⎟ *⎜ ⎟ * ⎥* 0,84941,85 ⎝ D ⎠ ⎜⎝ 2 g ⎟⎠ ⎣V 0,15 * D 0,15 * C 1,85 ⎦ υ 0,15 C 1,85 *υ 0,15 ⎝ D ⎠ ⎜⎝ 2 g ⎟⎠ Re

Donde finalmente la ecuación queda:

h=

2 2 133,2 ⎛ L ⎞ ⎛V ⎞ ⎛ L ⎞ ⎛V ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ * * f * * = ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ C 1,85 *υ 0,15 * Re 0,15 ⎝ D ⎠ ⎜⎝ 2 g ⎟⎠ ⎝ D ⎠ ⎝ 2g ⎠

El factor “f”,en función del coeficiente “C”, resulta: f =

C

1,85

133,2 * υ 0,15 * Re 0,15

(5.3)

Llegamos a la conclusión, que el factor de fricción f depende de la viscosidad del liquido, el Numero de Reynolds y el coeficiente de rugosidad C, anotamos a continuación los resultados de aplicar esta relación a las experiencias realizadas, teniendo en cuenta que la evaluación tanto del factor f, y del coeficiente C en la practica del laboratorio, se evaluaron sin esta relación, sino realizando un análisis estadístico a los ensayos obtenidos en la experiencia. Para comparar los resultados, se tomo el Numero de Reynolds medio de los ensayos, aplicado a una viscosidad de 1,13E-6 m2/s, que corresponde a la temperatura de 15 ºC que presenta el agua en el laboratorio, y tomando como variable a determinar el valor de f, donde se observa una minima variación, entre los datos obtenidos en el ensayo, con los resultados obtenidos aplicando la formula (5.3).

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TUBERIA 1 f= f=

TUBERIA 2

0,0239 ENSAYO 0,0244 Ec. 5.2 C = 129,35 Re = 63827,23

f= f=

TUBERIA 3 f= f=

TUBERIA 4

0,01927 ENSAYO 0,0198 Ec. 5.2 C = 145,838 Re = 58770

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0,143 ENSAYO 0,1459 Ec. 5.2 C = 50,65 Re =45710

f= f=

7

0,0298 ENSAYO 0,03 Ec. 5.2 C = 133,223 Re = 10837

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5.4. CONCLUSIONES Para terminar, podemos concluir, en que ambos métodos han servido para llegar a solucionar problemas en tuberías de presión, por distintos caminos y para distintos usos. El método de HazenWilliams no necesariamente representa una lotería, al ignorar factores importantes en el flujo, sino que gracias a la experimentación, a la actualización de los coeficientes C y experiencia en su uso, esta formula ha pulido las consideraciones y particularidades que afectan su funcionamiento llegando a tenerse soluciones bastante aceptables, siempre y cuando no se invadan extremos de situaciones que difieran demasiado con las condiciones tomadas para la experiencia. Por otra parte, gracias a la teoría de la hidrodinámica moderna utilizada en las ecuaciones racionales como la de Darcy-Weisbach, se logra observar un criterio de calculo mas afinado en lo conceptual, además de eso no se excluyen factores que pueden ser determinantes a la hora de diseñar un acueducto, es por ello que esta formula a pesar de exigir mas datos y trabajo de deducción, ofrece también resultados más satisfactorios si se cuida siempre que los factores ε, sean tomados con responsabilidad, ya que podría caerse en la misma objeción que se le reprocha a Hazen-Williams, que es “ la confiabilidad del coeficiente escogido”. Finalmente podemos decir que la selección del método de cálculo (fórmulas empíricas o racionales) está íntimamente relacionada con la experiencia del proyectista y sus preferencias, así como también la adecuación al grado de aproximación buscado, la importancia de la obra, el lugar, altitud, temperaturas, etc. lo importante es realizar una correcta elección de los modelos sin escatimar en gastos ni en tiempo de estudio, con el fin de llevar a la construcción y funcionamiento el mejor diseño posible, teniendo siempre en cuenta que por mas esfuerzos que se realicen siempre todos los diseños se basan en simulaciones de un mundo que todavía nos es imposible entender completamente.

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BIBLIOGRAFIA •

ACUEDUCTOS TEORIA Y DISEÑO (Freddy Hernán Corcho-José Ignacio Duque, colección Universidad de Medellín, 1993)

•

APUNTES DE LA MATERIA DE HIDRÁULICA (Ing. Patricio Cordero O.)

•

FUNDAMENTOS, ANÁLISIS Y DISCUSIÓN SOBRE EL CONCEPTO DE ¨CLASE¨ DE UNA TUBERÍA (Luis Pérez Farrás, PF, Soluciones para la Ingeniería, 1999)

•

HIDRAULICA APLICADA A LAS CONDUCCIONES (Luís Pérez Farrás, PF, Soluciones para la Ingeniería, s/a)

•

PROBLEMAS DE HIDRAULICA EN PLANTAS DE TRATAMIENTO DE AGUA POTABLE Y DESAGUE (Ernesto Maisch Guevara, SEDAPAL Servicio de Agua Potable y Alcantarillado de Lima, 1987)

•

MECANICA DE FLUIDOS (Víctor L. Streeter, E. Benjamín Wylie, Novena Edición Mc Graw-Hill, 2000)

•

MECANICA DE FLUIDOS Venezuela)

•

DIAGRAMA DE MOODY (Escola Superior D’agricultura de Barcelona, ESAB) http://mie.esab.upc.es/df/fluids/moody

•

CONFERENCIA “HIDRAÚLICA DE TUBERIAS PARCIALMENTE LLENAS” (Universidad de Cuenca y Universidad de los Andes, CIACUA: Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados, 2001).

•

ELEMENTOS DE LA MECANICA DE LOS FLUIDOS (Jhon K. Vennard, Tercera Edición, CECSA Editorial)

•

HYDRAULIC TABLES (Gardner S. Williams - Allen Hazen, Tercera Edición, Nhon Wiley and Sons, Chapman & Hall, Limited, 1942)

•

LABORATORIO DE FISICA (Alberto Santiago Avecillas Jara, Edición propia, 1996)

•

MECANICA DE FLUIDOS (R. Giles, Editorial Schaum)

Monografía de Graduación

(Jesús Enrique Meléndez Rangel, U.N.A. Portuguesa

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