UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA CENTRO UNIVERSITARIO DE MÉRIDA Departamento de Expresión Gráfica

ÁREA TEMÁTICA nº 1

Conceptos Altimétricos Generales en Obra

Tema 3.- Mediciones en Obra

JOSÉ RAMÓN FIGUEIRA GONZÁLEZ Mérida, Febrero de 2004

Asignatura: TOPOGRAFÍA DE OBRAS Área Temática nº 1: CONCEPTOS ALTIMÉTRICOS GENERALES EN OBRA

Tema nº 3: Mediciones en Obra

A.

Índice: 1.- Introducción 2.- Tipo de mediciones 2.1.-

Mediciones lineales

2.2.-

Mediciones superficiales

2.3.-

Mediciones volumétricas

2.3.1.-

Descomposición en figuras geométricas

2.3.2.-

Cubicación entre curvas de nivel

2.3.3.-

Fórmula del prismatoide

2.3.4.-

Fórmula de la sección media o áreas extremas

2.3.5.-

Fórmula de la altura media

2.3.6.-

Fórmula de la altura media generalizada

2.3.7.-

Cubicación mediante cuadrícula o malla

2.3.8.-

Perfiles transversales

2.3.8.1.-

Corrección por curvatura

3.- Calculo automático a partir de MDT

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Tema nº 3: Mediciones en Obra

Tema 2.- MEDICIONES EN OBRA 1.-

Introducción

Dentro del documento nº 4 – PRESUPUESTO - de cualquier proyecto, nos encontramos que el capitulo primero, corresponde al estado de dimensiones o mediciones de la obra. La confección o comprobación de cualquier presupuesto, pasa por una medición correcta de todas y cada una de las unidades de obra que van a formar del proyecto. Medir es determinar cual es la longitud, superficie o volumen de una determinada obra a ejecutar. Las características fundamentales que se deben guardar a la hora de realizar una medición son: 1. Orden. Además de la utilización de impresos adecuados, es importante, dividir la obra en capítulos que agrupen partidas semejantes, con numeración y denominación asociada a la partida que corresponda. 2. Claridad. Cuando redactamos los epígrafes de cada partida, debemos ser concisos pero concretos. La medición no puede ser solo una sucesión de números, que pasado un cierto tiempo, ni nosotros mismos seamos capaces de saber a dónde pertenecen. 3. Exactitud. La exactitud de una medición es fundamental al repercutir directamente sobre el valor final del proyecto. Una medición incorrecta desde el punto de vista del proyecto, desvirtúa el coste real de una obra, con respecto al presupuesto adjudicado. Algunos ejemplos de estadillos pueden ser los siguientes: Impreso de medición Orden

Designación Partes Iguales Longitud

Dimensiones Latitud

Altura

Resultados Auxiliar

Parciales

Total

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Impreso de medición por perfiles

Nº Perfil

Area m

Distancia entre perfiles Desmonte

2

Terraplén

Volumen m Desmonte

3

Terraplén

A la hora de medir nos encontramos con dos clases o tipos de mediciones: a) Medición de proyecto La primera sale de ir midiendo sobre los planos de proyecto, de ahí la importancia de la escala apropiada de los mismos, siempre que estos no estén acotados. Es importante además del orden, marcar con colores las partes que se van ejecutando para que de un simple vistazo ver si se ha omitido alguna partida sobre la que se estamos trabajando. b) Medición de obra La segunda sale de ir midiendo directamente la obra realmente ejecutada en campo. Si la obra se ejecuta con arreglo a lo proyectado, las discrepancias deben ser mínimas, siempre que este estudio sea correcto. Pero como consecuencia de esta incertidumbre, se hace necesario esta segunda fase, que únicamente desaparecería con planos y pliegos de condiciones muy completos, muy elaborados y por supuesto sin contradicciones. El criterio de medida o forma de medir cada unidad de obra, vendrá determinada en el Pliego de Condiciones Particulares, o bien se atenderá a alguna de las siguientes formas: 1. Por norma oficial. Según indica el pliego. 2. Por forma gremial. Según se hace en cada oficio. 3. De forma contractual. Según indica el contrato establecido entre las partes. La unanimidad el criterio de medida es algo a tener en cuenta, porque muchas veces la no coincidencia del resultado final de la medición de una determinada partida, entre el subcontratista y contratista por ejemplo, es debido a que alguna de las partes no tiene claro el criterio a seguir y se incurre por tanto en discrepancias casi insalvables.

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Algunos ejemplos de diferentes formas de medir podrían ser; la medición del movimiento de tierras, su cálculo puede hacerse midiendo sobre camión o midiendo sobre perfil. En el caso de paramentos; un criterio podría ser medir a cinta corrida, descontando los huecos que sean de un determinado tamaño, o sin descontar huecos. Otro elemento a tener presente, es la unidad de medida, la cual se fija normalmente en función de las características de cada partida, siendo estas el m3, m2, m, Kg., t, ud, ... Hay partidas, que como consecuencia de su dificultad a la hora de medirlas, y por tanto de valorarlas por sus especiales características, se establece la partida alzada, (P.A.), la cual engloba a la totalidad de la ejecución de la misma. Un ejemplo sería la ud. de fosa séptica, en la cual hay varias partidas, como excavación, hormigonado,… Los precios informativos (P.I.), se utilizan cuando la partida proyectada no se encuentra perfectamente definida por falta de planos o descripciones, y por tanto se indica que se valorará en su día. En el cuadro siguiente podemos ver algunos ejemplos de diferentes partidas con sus unidades de medida.

Partida

Unidad

Partida

Unidad

Bordillo. Señalización horizontal. Pilotes.

m

Señalización Puertas.

vertical.

ud.

Encofrado. Desbroce. Tabiquería. Revestimientos, Base y sub-base del firme.

m2

Movimiento de tierras. Hormigones. Escolleras.

m3

Armadura de acero.

kg.

Aglomerado.

t

2.-

Tipo de mediciones Las mediciones las vamos a dividir en lineales (pintura de la carretera), superficiales (betún en paramentos) y volumétricas (movimiento de tierras).

2.1.-

Mediciones lineales

Dentro del pliego de condiciones particulares de cada proyecto, vendrá indicado que unidades de obra se medirán como elementos lineales, (m, metro lineal ) para la confección del cuadro de mediciones del presupuesto de la obra. Podemos poner como ejemplos típicos los tubos, barandillas, pintura de las carreteras, raíles, etc.

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Para la realización de la medición lineal, la instrumentación usual es la cinta métrica, bien de plástico o metálica, así como la rueda de medir, para mediciones largas, en superficies lisas, aunque ya se empieza a extender el uso de metros con tecnología de medición láser, con precisión milimétrica y rango de medida entre 0,30 m y 100 m, en función de las circunstancias. Figura nº 1. Cinta métrica

Figura nº 2. Rueda de medir y metro láser.

Es importante tener en cuenta, que las medidas lineales que se deben realizar en una obra deben ser distancias geométricas (naturales) y no reducidas (horizontales), ya que el material puesto en obra, sigue normalmente la línea del terreno y no la horizontal, caso típico de la pintura de una carretera. La longitud de la línea blanca del eje, tiene un valor mayor que la diferencia entre los Pks. de la zona medida, siendo estas discrepancias variables en función de la pendiente. Un caso especial de mediciones lineales en obra, es la medición de la ferralla, es decir todo el hierro que forma parte de cualquier estructura de hormigón armado.

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2.2.-

Mediciones superficiales

El cálculo de la superficie juega un papel fundamental en las mediciones en ingeniería civil, tanto para el cálculo de ciertas unidades de obras cuya medición viene establecida en m2, como para la determinación de volúmenes. Antes de proceder a desarrollar todos los posibles procesos, debemos tener en consideración cual va a ser el método de obtención de los datos, bien sean, analíticos o gráficos. A la hora de determinar una superficie, el primer paso consiste en diferenciar si la figura está limitada o no por rectas. En el primer caso, en el cual la figura no se encuentra limitada por rectas, las fórmulas más usadas son: a) La regla del trapecio, mediante la cual el área se divide en trapecios, suponiendo los límites como líneas rectas, y altura de los trapecios iguales.

hn − 1 + hn   h1 + h 2 h 2 + h3 Area = d  + + ... + =d 2 2  2  h1 d

h2 d

1

 h1 + hn  + h 2 + ... + hn − 1    2 

d

d 2

3

d

hn d n

b) La regla de Simpson, se basa en la suposición de que la figura irregular, limitada por dos ordenadas, se encuentra limitada por arcos de parábola, y por tanto la superficie entre 1 y 3, será:

Ap =

d ( h1 + 4h2 + h3) 6

At = ∑ Ap

El área total, corresponderá a la suma de las sucesivas parejas de superficies. Como consecuencia de esto, es conveniente dividir en un número de superficies pares u ordenadas impares, y si esto no es posible, la primera o la última superficie debe ser tratada como un trapecio. Para la obtención del valor de la superficie, la regla de Simpson es más exacta que la regla del trapecio.

En el segundo caso, en el cual la figura se encuentra limitada por rectas, podremos utilizar fórmulas geométricas conocidas.

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a) Descomposición en figuras geométricas planas, triángulos y rectángulos. El proceso más utilizado es descomponer la figura en triángulos. Adolece de los errores propios de la generación de los triángulos, si se realiza gráficamente el proceso.

4 2 1

3 5

8

7

6

b) Mediante poligonal cerrada. El área se calcula a partir de las coordenadas de los puntos del contorno, utilizando la formula de Gauss.

2 3

1 6

5

4

y1

x1

2S = ( x2 − x1 )( y 2 + y1 ) + ... + ( x4 − x3 )( y 4 + y3 ) − ( x4 − x5 )( y5 + y 4 ) + ... + ( x6 − x1 )( y1 + y 6

S=

1 ∑ (xn + 1 − xn ) * ( yn + 1 + yn ) 2

Siendo n+1 el punto inicio y cierre de polígono.

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c) Mediante el perímetro. El cálculo vendrá determinado en función de la utilización del planímetro, mediante medición directa. Aunque los planímetros actuales, son digitales, la precisión en la medida, vendrá en función de: 1. La escala del plano. 2. Las características del instrumento. 3. La pericia del operador. Fórmula de Heron: Esta formula se emplea para la determinación de la superficie de un triángulo, a partir de conoce los lados.

S=

2.3.-

p ( p − a ) ( p − b) ( p − c )

p=

a+b+c 2

Mediciones volumétricas

Los volúmenes de las diversas unidades de una obra, los podemos determinar por varios procesos, descomposición de figuras geométricas, secciones transversales, … La elección de un proceso u otro, será misión del técnico, y vendrá determinada en función de las característica geométricas del elemento a cubicar.

2.3.1.- Descomposición en figuras geométricas Es método consiste en descomponer la figura volumétrica que queremos medir, en figuras geométricas simples, cubos, cilindros, prismas, …, de tal forma que el cálculo de su volumen sea una tarea sencilla. La principal dificultad es que no es fácil, a partir de estas figuras, componer de forma completa la figura deseada, salvo en el caso de elementos creados por el hombre. Un caso típico sería la medición de una obra de fábrica, como la que aparece en el dibujo.

El valor del volumen de hormigón en zapatas, será:

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Volumen = Longitud x Latitud x Altura V = 7.0 ∗ 6.5 ∗1.2 = 54.6 ⋅ m 3

A

1

120

195

PLANTA R= 1443

38 R= 450

120 38

650

76

650

76 195

DEFINICION GEOMETRICA DE PILA. SECCION 2-2 2

ESCALA 1/15. COTAS EN CM.

2

252,5

195

2

252,5

265 6

2

120

265

2.5

5 120

120

700

650

DETALLE "A" ESCALA 1/2.5 COTAS EN CM.

SECCION 1-1

1

ESCALA 1/25 COTAS EN CM.

ZAPATA Y PILA. Geometria ESCALA 1/25 COTAS EN CM. 2-FRONT

2.3.2.- Cubicación entre curvas de nivel Este método, tiene por objetivo ir midiendo la superficie que encierra cada curva de nivel de un determinado levantamiento, y obtener el volumen parcial entre curvas consecutivas, mediante la realización de la semisuma de superficies multiplicada por el valor de la equidistancia, entre ambas superficies, y siendo el volumen total, la sumatoria de los volúmenes parciales.

 Ss + Si  Vp =   *E  2 

Vt =

∑Vpi

Siendo: Vp = volumen entre curvas.

Vt = Volumen total

Ss = Superficie curva superior. Si = Superficie curva inferior. E = Equidistancia.

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La exactitud del resultado final de este proceso, depende del método de captura de los datos y el método de cálculo de la superficie.

Planta Si

Ss

Plano Cota Superior Equidistancia

Sección Plano Cota Inferior

En función de la procedencia de los datos, hay que tener en cuenta las posibles causas error: 1. A partir de una cartografía impresa. a) Existencia de una escala adecuada. b) Errores en la digitalización. c) Errores del planímetro. 2.

A partir de un MDT. generado a en función de los puntos de relleno del levantamiento. a) Errores propios de la elección de los puntos nodales del modelo.

2.3.3.- Fórmula del prismatoide Esta fórmula, establece que el volumen de un sólido limitado por dos caras planas y

V =

d ( As + 4 Am + Ai ) 6

paralelas de forma cualquiera, equidistantes una distancia d, es: El problema que se plantea, para la elección de este método de cálculo, es la determinación de la sección media, labor que se hace harto difícil en la mayor parte de los casos.

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As

Am

d

Ai

2.3.4.- Fórmula de la sección media o áreas extremas Este método proporciona un volumen correcto, siempre que el área de la sección transversal, situada a la mitad de la distancia d, sea igual a la media de las dos secciones extremas.

  A1 + An Volumen = d  + A2 + ... + An − 1    2

 A1 + A2  V =d   2 

Los valores obtenidos a la hora de la aplicación de esta fórmula, no son exactos, al realizar un promedio, dando siempre unos valores mayores de los reales. Por consiguiente hay que saber cuando se puede utilizar, aunque debemos indicar, que es la fórmula empleada usualmente en el cálculo de volúmenes. 2.3.5.- Fórmula de la altura media Esta fórmula se basa en el cálculo del volumen de un prisma, de base cuadrada, rectangular o triangular, y altura de aristas variable. Como se puede apreciar en el dibujo, la figura más adecuada sería el prisma de base triangular, al poder ajustar mejor el plano del terreno, al plano definido por el prisma. Los prismas de base cuadrada o rectangular, deben usarse solamente cuando su tamaño sea pequeño y no falsee la forma del terreno. Por tanto, todo pasa por llevar las figuras antes citadas a bases triangulares, aunque surge el problema a la hora de la descomposición del rectángulo en triángulos, ya que tiene dos posibles soluciones, ( abd o abc ) teniendo en cuenta que el más adecuado será aquel, que como resultado, su cara superior se asemeje más al plano definido por el terreno.

V = Sb *  h1+h32+h3  







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hi

D

C

Sb

B

A

Cuando la base nos es triangular y se aplica esta fórmula, esta se denomina fórmula de la altura media generalizada. 2.3.6.- Fórmula de la altura media generalizada Esta fórmula es aplicable cuando el terreno no tiene grandes cambios de pendiente, y tenemos gran número de puntos tomados. Se calcula la diferencia de altura de cada punto con el plano de excavación, se promedian todas las diferencias, y se multiplica por la superficie, obteniendo el volumen de excavación. La mayor o menor exactitud en la determinación del volumen, dependerá de: a) Uniformidad del terreno. b) Reparto equitativo de los puntos tomados. c) Adecuada distribución, si existen zonas de cambios brusco de nivel. Un caso típico, podría ser la determinación del volumen de excavación de una zapata de un puente, cuyo valor vendrá determinado por la expresión.  V = S *   

Siendo

∑h n

i

   

S = superficie de la base hi = el incremento de altura de cada punto de relleno. hi = Z terreno – Z excavación

n = nº de puntos de relleno. Puntos de relleno

hi

Plano excavación

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2.3.7.- Mediante cuadrícula o malla Este método consiste en introducir el terreno objeto del estudio dentro de una malla ortogonal, obteniéndose el volumen de tierras a partir del cálculo de cada cuadrado o rectángulo mediante la fórmula de la altura media generalizada. Este proceso puede realizarse: a) Sobre plano. Al superponer la malla, la determinación de la cota de cada punto de la malla, se hace mediante interpolación por las curvas de nivel. b) Directamente en campo. En este segundo caso, se hace necesario materializar físicamente en el terreno la cuadrícula o malla, e ir tomando altura de cada punto de la cuadrícula, en un único periodo o por campañas. Este proceso suele hacerse en canteras, zonas de extracción o acopios de materiales, para el control exacto de los mismos a lo largo del tiempo. Es evidente que la precisión a la hora de la determinación del volumen, vendrá determinada en gran parte por el tamaño de la malla, aunque como es lógico, el técnico será el encargado en último caso de la elección del ancho de malla, al entrar en juego otros elementos muy importantes, como pueden ser, las características del material (roca, tierra,…), la sinuosidad del terreno y como no el coste del material.

98

97

96

95

94

l l

2.3.8.- Perfiles transversales Este método, consiste en ir dando sucesivos cortes verticales a la obra a medir, con una secuencia entre ellos establecida. Con la superficie de cada corte y con el valor de la secuencia,

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obtenemos el volumen, aplicando la fórmula de la sección media, siempre y cuando las dos secciones se encuentren o bien en desmonte o bien en terraplén.

 T1 + T 2  Vterraplén =  *d  2 

 D1 + D2  Vdesmonte =   *d  2 

Siendo: T = superficie de terraplén D = superficie de desmonte d = valor de la secuencia entre perfiles

Un primer problema surge cuando un perfil se encuentra en desmonte y el otro en terraplén, como aparece en el dibujo. P2 Desmonte

CR2

Linea de Paso I

Rasante

CR1

Terraplén P1

En función de lo que vemos en el dibujo, las fórmulas a emplear serian: a) Fórmula de la sección media con valores 0.

T + 0 Vterraplén =  *d  2 

 D+0 Vdesmonte =  *d  2 

Esta fórmula es muy aproximada y por consiguiente conduce a mucho error, como veremos en el estudio comparativo de resultados posterior.

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b) Fórmula de la sección media, determinando la línea de paso.

T + 0 Vterraplén =   * d1  2 

 D +0 Vdesmonte =  *d2  2 

Se hace necesario determinar la distancia a la línea de paso, labor lenta y no siempre necesaria. Vistas estas dos primeras posibilidades, se hace necesario plantear una formulación intermedia, para no tener que calcular todos los puntos de paso a lo largo del perfil longitudinal. c) Fórmulas aproximadas. Para ello, se hace necesario establecer relaciones aproximadas, según el dibujo adjunto: Por semejanza de triángulos.

CR1 CR 2 = d1 d2 Por relación aproximada entre la cota roja y la superficie del perfil.

CR1 CR 2 = T D

SECCIÓN LONGITUDINAL

Terreno

CR 2

I Rasante

CR 1

Desmonte

Terraplén

d1

d2

P1 d

P2

Igualando las expresiones anteriores tenemos

T D = d1 d 2 Siendo la distancia entre perfiles d, tenemos que:

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d = d1 + d 2 ⇒ d1 = d − d 2 = d − d1

D d ⇒ d1 = D T 1+ T

Con esta expresión obtenemos el valor de d1, y de igual forma obtenemos el valor de d2

d2 =

d 1+

T D

Sustituyendo este valor en las fórmulas de la sección media para la línea de paso, tenemos:

T + 0 Vterraplén =   * d1  2  d d d T2 T  T  =  * Vterraplén =   * = * 2 D +T  2  1+ D  2  D + T T T De igual forma se hace para el cálculo del desmonte y obtenemos las dos ecuaciones, para el terraplén y el desmonte:

Vterraplén =

d T2 * 2 D +T

Vdesmonte =

d D2 * 2 D +T

Haciendo un estudio comparativo entre las tres formas posibles a emplear para calcular los volúmenes, entre perfiles de tránsito tenemos: Perfil

Desmonte m2

100 120

Caso

Terraplén m2 73,88

46,73

Desmonte m3

Terraplén m3

Valor 0

467,25

738,82

Línea de paso

199,77

422,96

F. aproximada

181,05

452,55

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Rasante I Terreno Terraplén

Desmonte

d2 = 11.45 m

d1= 8.55 m P100

P120 d = 20 m

Por consiguiente, para realizar una cubicación precisa, sería necesario utilizar el segundo proceso, determinando todos los puntos de paso, y en su defecto, el tercer proceso. El primer proceso, como se puede apreciar, duplica el valor de la medición, con lo cual, la está falseando, y sin embargo, por su fácil formulación informática, es el método más usual de encontrase en los programas de cálculos de carreteras (p.ej. ClipIII ). Un segundo problema aparece cuando dentro de un mismo perfil, nos encontramos con una parte del mismo en desmonte y la otra en terraplén, pudiéndonos encontrar con tres circunstancias: 1. Un perfil en desmonte o terraplén completo y el otro una parte en terraplén y otra en desmonte. 2. Ambos perfiles tengan una parte en desmonte y otra en terraplén hacia el mismo lado. 3. Igual que en el caso anterior pero cruzados.

El cálculo del volumen, lo podemos hacer mediante la realización de dos procesos: a) Trazado de ejes paralelos. Se trazan paralelas al eje longitudinal por los puntos de paso, en cada perfil, y las superficies enfrentadas por estas paralelas, serán las que utilizaremos para la cubicación.

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b) Trazado de la línea de paso. Se traza la línea de paso entre perfiles, a partir de los puntos de paso de cada perfil. CASO 1 Perfil 1

Eje

D1

T1 Linea de Paso Perfil 2

Ejes Paralelos

T2

T´2

Para este primer caso si aplicamos el método de ejes paralelos, tendríamos

Vt1 =

T 1 + T ´2 d 2

Vt2 =

Vd =

T 22 d D1 + T 2 2

Vterraplén = Vt1 + Vt2

D12 d D1 + T 2 2

En el caso de la línea de paso aplicaríamos:

Vt =

T 1 + (T 2 + T ´2) d 2

Vd =

0 + D1 d 2

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CASO 2

Perfil 1

Eje

D´1

D1

T1 Linea de Paso Perfil 2 Ejes Paralelos D2

T´2

T2

Para este segundo caso, si aplicamos el método de ejes paralelos, tendríamos

T1 + T 2 Vt1 = d 2

Vt2

T ´22 d D´1 + T ´2 2

Vterraplén = Vt1 + Vt2

D1 + D 2 Vd1 = d 2

D´12 d Vd 2 = D´1 + T ´2 2

Vdesmonte = Vd1 + Vd 2

En el caso de la línea de paso aplicaríamos:

Vt =

T 1 + (T 2 + T ´2) d 2

Vd =

( D1 + D´1) + D 2 d 2

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CASO 3

Perfil 1

Eje

D´1

D1

T1

Linea de Paso

Ejes Paralelos

Perfil 2

T2

D´2

D2

En el tercer caso, si aplicamos el método de ejes paralelos, tendríamos

D12 d Vd1 = D1 + T 2 2

D´1 + D 2 Vd 2 = d 2

Vd 3 =

D´2 2 d D´2 + T 1 2

Vdesmonte = Vd1 + Vd 2 + Vd3

T 22 d Vt1 = D1 + T 2 2

Vt 2 =

T 12 d D´2 + T 1 2

Vterraplén = Vt1 + Vt2

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En el caso de la línea de paso aplicaríamos:

( D1 + D´1) 2 d Vd1 = ( D1 + D´1) + T 2 2

Vt1 =

T 22 d ( D1 + D´1) + T 2 2

Vdesmonte1 = Vd1 + Vd 2

Vd 2 =

( D 2 + D´2) 2 d ( D 2 + D´2) + T 1 2

Vt2 =

T 12 d ( D 2 + D´2) + T 1 2

Vterraplén1 = Vt1 + Vt2

Con todo lo expuesto debemos decir que la forma de cubicar, mediante perfiles, es la más utilizada en todas las obras de tipo lineal, aunque también es utilizada para obras de tipo puntual, aunque para este segundo caso, es necesario tener en cuanta ciertas consideraciones, las cuales, nos pueden conducir a la determinación de los volúmenes finales de una forma fiables. 1. Los errores por la no utilización de una formulación adecuada en la zona de transito, pueden ser considerados despreciables en grandes obras lineales, pero no así en puntuales. 2. La utilización de un valor de “d” constante, sólo se puede aplicar en obras lineales, al establecer que tienden a compensarse a lo largo de la misma. 3. La determinación del volumen entre perfiles en curva, aparece un error entre el lado interior y el exterior, necesario de corregir. Corrección por curvatura. 4. Cuanto menor sea la distancia entre perfiles, d, aumenta la precisión de la medición y también el coste económico del trabajo, en función de la forma de captura. Por todo lo expuesto, el proceso a seguir a la hora determinar el volumen de una obra mediante perfiles, no consiste sólo en la elección de una formulación adecuada, sino también de una serie de criterios (coste económico, tiempo…), que nos pueden llevar a establecer el proceso de una forma más adecuada, en función del objetivo final que se persigue. No hay que olvidar el criterio del técnico a la hora de poder intercalar perfiles entre los definidos secuencialmente. 2.3.8.1.-

Corrección por curvatura

A la hora de formular el algoritmo para el cálculo propio del volumen entre perfiles casi todas las aplicaciones suelen utilizar la formulación de la sección media, aunque algunas aplicaciones propias de obras lineales aplican correcciones para mejora el resultado final de la cubicación, como la corrección por curvatura.

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Tema nº 3: Mediciones en Obra

La corrección por curvatura se aplica como consecuencia de que la fórmula anteriormente expuesta de la sección media es aplicable a perfiles paralelos, y en los tramos curvos esto no se cumple. El teorema de Pappus y Guldinus, dice que el volumen de un sólido engendrado por una superficie plana que gira alrededor de un eje contenido en el plano de su superficie, es igual al producto del área de esa superficie por el recorrido descrito por el centro de gravedad de la superficie durante el giro. Es evidente que el teorema es imposible aplicarlo al no haber dos superficies iguales, y por consiguiente el centro de gravedad se encuentra en sitios distintos. Pero como lo que estamos haciendo es mejorar la precisión de cálculo, J. Carciente, desarrolla una formulación aproximada para resolver el problema.

Cc = −

L ( S1e1 + S 2 e 2 ) 2R

e=

1 (X d + X i ) 3

L = es la distancia entre perfiles R = radio de la curva S = superficie de los perfiles e = son las distancias en horizontal de los centros de gravedad. X = son las distancias al eje de los puntos extremos de cada perfil. En el cuadro siguiente podemos apreciar el volumen entre dos perfiles, y la diferencia si consideramos la corrección por curvatura, obteniendo un aumento de volumen entorno a 2.5 %. Medición sin corrección por curvatura P.K.

Area

4100

125.27 m2

4120

195.92 m2

Volumen 3212 m3

Medición con corrección por curvatura

3.-

4100

127.61 m2

4120

200.64 m2

3282 m3

Cálculo automático a partir de MDT Los procesos de cubicación de tierras, están en la actualidad totalmente automatizados, a partir de la programación de los algoritmos anteriormente estudiados. Ahora bien, cada aplicación en función de para que parte de la ingeniería esté planteada, presenta una única solución de cálculo, caso típico de los programas de diseño de carreteras, o varias, las aplicaciones propias de topografía. Por tanto, estas aplicaciones tienen grandes ventajas, como puede ser la rapidez de cálculo, pero también tienen inconvenientes, y es que no dan soluciones a todos los problemas. Es evidente que cuanto mejor sea el conocimiento del técnico de los algoritmos que utiliza la aplicación para el cálculo, se encontrará en disposición para decidir si es adecuada o no su utilización. Página nº 22

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La filosofía actual de las aplicaciones existentes en el mercado, se basan en cálculo de volúmenes a partir de la generación de modelos digitales del terreno o bien a partir de perfiles transversales aislados. La primera forma de trabajo es propia de los programas de topografía, y la segunda propia de los programas de diseño de obras lineales. Los algoritmos más utilizados en las aplicaciones topográficas son: 1. Diferencia de mallas. Consiste en generar una malla rectangular y superponerla sobre dos MDT., uno previo a la excavación (1) y otro posterior, calculando la cota media de cada celda, a partir de sus cuatro vértices.

V = ∑ (Area de la celda * hmedia ) M.D.T. (1)

Malla Resultado

M.D.T. (2)

Figura nº 3. Malla generado con el programa MDT-TCP

2. Diferencia de MDT.

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Tema nº 3: Mediciones en Obra

Se generan dos modelos digitales como en el caos anterior, y el que más puntos tenga, se proyecta su malla de triángulos sobre el otro formándose un conjunto de prismoides triangulares, obteniendo el valor de la altura, a partir de la cota media inferior y la superior.

M.D.T.1 hmedia1

M.D.T.2

V = ∑ area del triángulo * (

hmedia1 + hmedia 2 ) 2

hmedia2

3. Perfiles Transversales En función de cómo tengamos estructurada la información del terreno, podemos seguir varios caminos, como podemos ver en el cuadro adjunto.

Cálculo de volúmenes a partir de Perfiles T l

MDT Perfiles Transversales

Secuencia deseada

Perfiles transversales Perfiles Aislados

MDT (Modelo de Banda) Secuencia deseada

Si disponemos de un MDT, definimos un eje, y se le indica al programa que realice cortes perpendiculares a ese eje previamente definido, con una secuencia de corte y ancho de banda determinado . Si disponemos de perfiles del terreno, podemos seguir dos caminos, o bien tratarlos directamente como perfiles aislados, cuya secuencia viene prefijada por los datos facilitados, o bien generar un MDT, a partir de los perfiles, (modelo de banda) y entonces estamos ya en el caso anterior.

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Figura nº 4. Planta con los cortes de los perfiles transversales generado con el programa MDT-TCP

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