Universidad de Guanajuato Divisi´on de Ciencias e Ingenier´ıas

Estudio sobre Transformaciones de Lorentz y Deformaciones Simpl´ ecticas Tesis que presenta Ra´ ul Antonio Cuesta Ramos Para obtener el grado de Licenciado en F´ısica

Asesores: Dr. Oscar Miguel Sabido Moreno, Dr. Walberto Guzm´an Ram´ırez

Agradecimientos: A mis padres Ra´ ul y Mercedes. A mis asesores Miguel y Walberto. A mis sinodales Ram´on y Julio. A mis todos amigos, novia y administrativos del DCI.

´Indice general 1. Introducci´ on.

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2. Mec´ anica No-Conmutativa. 2.1. Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana. . . 2.1.1. Variedad Simpl´ectica. . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Geometr´ıa y Mec´anica Hamiltoniana. . . . . . 2.1.3. Teorema de Darboux. . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Mec´anica Cl´asica No-Conmutativa. . . . . . . . . . . . 2.3. Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante. 2.3.1. Part´ıcula Cl´asica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Part´ıcula Cu´antica. . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Electrodin´ amica. 3.1. Electrodin´amica Cl´asica Can´onica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Ecuaciones de movimiento para una carga puntual en presencia de un campo el´ectrico y magn´etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Electrodin´amica Cl´asica No-can´onica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Electroest´atica: Las propiedades diel´ectricas del vac´ıo determinan la geometr´ıa euclideana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Magnetoest´atica: El campo magn´etico determina la estructura simpl´ectica del espacio fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Electrodin´amica Relativista Can´onica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Transformaciones de Lorentz y cuadrivectores. . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Fuerza de Lorentz y ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Formalismo Hamiltoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Electrodin´amica Relativista No-can´onica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Ecuaciones de Maxwell: Las propiedades constitutivas del vac´ıo determinan la geometr´ıa conforme del espacio-tiempo. . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Fuerza de Lorentz: El campo electromagn´etico determina la estructura simpl´ectica en el espacio fase del espacio-tiempo. . . . . . . . . . . . . . 3

9 11 11 12 16 18 19 19 22 33 33 33 39 40 41 42 45 46 48 50 51 51 55

´INDICE GENERAL

´INDICE GENERAL

4. Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ ecticas. 4.1. Transformaciones Can´onicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Generadores infinitesimales de grupos de un par´ametro. 4.1.2. Teorema de Noether Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . 4.2. Transformaciones de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Transformaciones de Lorentz no deformadas. . . . . . . 4.2.2. Transformaciones de Lorentz deformadas. . . . . . . . .

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5. Conclusiones.

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A. Dualidad de Hodge. A.1. Formas Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Elemento de Volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Dual de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on. La idea de una no-conmutatividad en el espacio-tiempo no es nueva, el primer art´ıculo escrito en esta materia fue publicado por Snyder en 1947 [1], sin embargo la primer propuesta de una no-conmutatividad en las coordenadas se le atribuye a Heisenberg a finales de 1930. Heisenberg esperaba que la no-conmutatividad suavizar´ıa las singularidades t´ıpicas de corta distancia de las teor´ıas cu´anticas de campo, cuando se extend´ıan las relaciones de incertidumbre al sector de las coordenadas. Aparentemente Heisenberg le sugiri´o esta idea a Peierles qui´en trabajaba con la fenomenolog´ıa del estudio de sistemas electr´onicos en un campo externo [2]. Desde los inicios la no-conmutatividad se vi´o en problemas con la invariancia de Lorentz, Heisenberg y otros se encontraron con esta dificultad al tratar de cambiar al espacio-tiempo por una ret´ıcula fundamental, la cual arreglara las divergencias que se produc´ıan en la nueva Teor´ıa Cu´antica de Campos, Snyder ya desde sus primeros art´ıculos en 1947 sobre no-conmutatividad [1] comenta que para formular una teor´ıa invariante ante transformaciones de Lorentz, no es necesario asumir que el espacio-tiempo es un continuo sin embargo, para ese tiempo se hab´ıa terminado el programa de renormalizaci´on y por la tanto su idea fue m´as bien ignorada. Tiempo despu´es von Neumann introdujo el t´ermino ’geometr´ıa no-conmutativa’ para referirse en general a la geometr´ıa en la que el ´algebra de funciones es reemplazada por un ´algebra no-conmutativa. Las motivaciones iniciales que condujeron a la reaparici´on del estudio de espacios noconmutativos son los resultados de teor´ıa de cuerdas, a principios del 2000, donde aparece en teor´ıas de D-branas [3, 4]. A partir de aqu´ı la cuesti´on de la simetr´ıa de Lorentz, en lo que se llam´o teor´ıa cu´antica de campos no-conmutativa, ha sido debatida seriamente [5, 6, 7, 8, 9]. Adem´as ahora es ampliamente aceptado que el espacio-tiempo a escalas de longitud del orden de la escala de Planck (10−33 cm) ya no se puede describir a trav´es de f´ısica conocida (por ejemplo en [10] se estudia la violaci´on de la invariancia de Lorentz en teor´ıa de campos y se propone una escala del par´ametro no-conmutativo de 10 T eV −2 ). En [11] se us´o la conjetura del aro, la 5

Introducci´on.

cual nos da el criterio para la formaci´on de un hoyo negro en relatividad general y tambi´en las relaciones de incertidumbre en mec´anica cu´antica del operador de posici´on a diferentes tiempos para encontrar que ning´ un aparato sujeto a las leyes de la mec´anica cu´antica, la gravedad y causalidad puede excluir la cuantizaci´on de la posici´on en distancias menores a la l´ongitud de Planck. Entonces, relatividad general y mec´anica cu´antica nos brindan una longitud m´ınima en la naturaleza, la cual podr´ıa ser abordada mediante una mec´anica no-conmutativa. Otra motivaci´on para estudiar no-conmutatividad es la necesidad de ampliar el Modelo Est´andar de part´ıculas para acoplar gravedad y el hecho de que en la naturaleza aparecen efectos relacionados con no-conmutatividad como en problema de Landau (que tiene importancia en F´ısica de Estado S´olido). En Teor´ıa Cu´antica de Campos No-conmutativa es usual el producto estrella (Weyl-Moyal):   i ij Θ ∂i ∂j f (x)g(y)|x=y , (f ∗ g) = exp 2 en esta teor´ıa se han encontrado resultados interesantes, como por ejemplo, la relaci´on entre las divergencias infrarrojas y ultravioletas. En materia condensada uno de los sistemas noconmutativos m´as estudiados es el efecto Hall cu´antico, donde la no-conmutatividad se presenta en el sector de los momentos. Otra faceta interesante que se ha estudiado es la mec´anica cl´asica no-conmutativa a trav´es de una estructura simpl´ectica deformada. Por ejemplo, en [12] se estudia el oscilador arm´onico y el problema de Kepler, obteniendo ecuaciones de movimiento que corresponden a un oscilador en presencia de un campo magn´etico constante y para el problema de Kepler un termino extra que tiene la forma de una fuerza de Coriolis. Siguiendo un poco este esp´ıritu cl´asico no-conmutativo en [13, 14] se introduce la deformaci´on simpl´ectica, proporcionando una teor´ıa efectiva como alternativa para obtener la gravedad cu´antica. En este punto es donde nos preguntamos si [13, 14] corresponden al menos a una teor´ıa covariante de Lorentz ´o si al menos es posible construir una relatividad no-conmutativa. Para tal motivo, se organiz´o el presente trabajo como sigue. En el Cap´ıtulo 2 se estudiar´an las herramientas b´asicas para trabajar en deformaciones simpl´ecticas y se resolver´a el problema cl´asico y cu´antico (problema de Landau) de una part´ıcula cargada en un campo magn´etico constante, de forma tanto can´onica como no-can´onica. En el Cap´ıtulo 3 se construir´a la Electrodin´amica en la notaci´on cl´asica y relativista en la forma can´onica usual, para finalmente comparar la formulaci´on de la misma teor´ıa pero en el formalismo de variedades simpl´ecticas y geometr´ıa diferencial modificando la estructura simpl´ectica en el sector de los momentos; esta u ´ltima formulaci´on se puede encontrar en [15]. En el Cap´ıtulo 4 repasaremos los grupos de un par´ametro de difeomorfismos en el formalismo simpl´ectico [16, 17],

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Introducci´on.

las transformaciones can´onicas y estudiaremos las transformaciones de Lorentz en espacios noconmutativos. Finalmente dejaremos el Cap´ıtulo 5 para algunas conclusiones, perspectivas y discusiones.

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Cap´ıtulo 2

Mec´ anica No-Conmutativa. Los cambios te´oricos que se han presentado en la mec´anica cl´asica de Newton del siglo XVII han abarcado un gran espectro en la f´ısica actual. Contamos con un modelo est´andar de part´ıculas basado en una teor´ıa cu´antica de campos, un modelo est´andar de la cosmolog´ıa basado en la relatividad general de Einstein, una mec´anica estad´ıstica para sistemas de muchas part´ıculas, etc. Cada teor´ıa requiere de distintos formalismos, sin embargo, el principio de m´ınima acci´on es algo com´ un entre ellas. En base a este principio, a trav´es de la mec´anica Hamiltoniana, es como entendemos la conexi´on m´as directa entre la mec´anica cl´asica y la mec´anica cu´antica. Aunado a este principio debemos asegurarnos de la existencia de una funci´on llamada de Lagrange ´o Lagrangiano L, que normalmente se define como la diferencia entre la energ´ıa cin´etica y potencial de un sistema de part´ıculas. Normalmente el Lagrangiano es una funci´ on que depende de las posiciones y las velocidades de cada part´ıcula y algunas veces del tiempo. Considerar la evoluci´on de un sistema de n grados de libertad como una secuencia de estados de equilibro (d’Alembert) bajo la acci´on de todas las fuerzas (efectivas, provenientes de constricciones e inerciales), es considerar el principio de m´ınima acci´on sobre la acci´on Z S = L(q, q, ˙ t)dt, el cu´al puede ser visto axiom´aticamente: El estado de un sistema est´a completamente determinado al especificar sus coordenadas y velocidades. La evoluci´on est´a completamente determinada al dar la funci´on L(q, q, ˙ t) definida en el conjunto de estados. 9

Mec´anica No-Conmutativa.

A lo largo de todas las curvas cerradas qi = qi (t) que unen a los puntos A y B, el camino R para el cual la integral de acci´on S [q] = L(q, q, ˙ t)dt toma el m´ınimo valor, representar´ aa la evoluci´on del sistema. Estos axiomas nos llevar´an a las ecuaciones de Euler-Lagrange ∂L d ∂L − = 0, dt ∂ q˙i ∂qi las cuales al ser resueltas, obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema. La ventaja de esta formulaci´on de la mec´anica cl´asica sobre la Newtoniana, es que con esta nueva formulaci´on podemos encontrar de manera muy sencilla cantidades conservadas y simetr´ıas del sistema, adem´as de que podemos incorporar electromagnetismo por medio del acoplamiento m´ınimo. Si el Lagrangiano es regular; esto es, el determinante Hessiano de la matriz  2  ∂ L l≡ ∂ q˙i ∂ q˙j no es cero, entonces las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir en su forma normal q¨i =

n X

(l−1 )ijFj ,

j=1


P en donde Fj = ∂L/∂qi − nk=1 ∂ 2 L/∂ q˙i ∂ q˙k q˙k − ∂ 2 L/∂ q˙i ∂t Otra formulaci´on es la Hamiltoniana, a la cual se llega con la transformaci´on de Legendre introduciendo n nuevas variables ∂L pi = , ∂vi estas son variables conjugadas de las q’s, o su interpretaci´on din´amica para algunos casos t´ıpicos es de momentos conjugados de las q’s. Por medio de esta transformaci´on construimos una nueva funci´on llamada Hamiltoniana como sigue: H(q, p, t) =

X i

vi

∂L − L. ∂vi

Con esta nueva funci´on podemos calcular las ecuaciones de Hamilton, que son las equivalentes a las ecuaciones de Lagrange. Estas ecuaciones se encuentran por medio de la variaci´on de la acci´on Z S = (pi q˙i − H(q, p)) dt, 10

Mec´anica No-Conmutativa.

2.1 Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana.

en donde sumamos sobre indices repetidos, y est´an dadas por q˙i =

∂H , ∂pi

p˙i = −

∂H . ∂q i

Podemos definir tambi´en los par´entesis de Poisson como {f, g} =

∂f ∂g ∂f ∂g − , i ∂q ∂pi ∂pi ∂q i

donde sumamos sobre indices repetidos. Con estos corchetes podemos escribir las ecuaciones de Hamilton como  q˙i = q i , H , p˙i = {pi , H} Es esta formulaci´on Hamiltoniana la que es un caso part´ıcular de la mec´anica cl´asica noconmutativa que deseamos construir.

2.1.

Variedades Simpl´ ecticas y Mec´ anica Hamiltoniana.

En esta secci´on estudiaremos las herramientas necesarias para formular una mec´anica cl´asica no-conmutativa en base a las deformaciones simpl´ecticas.

2.1.1.

Variedad Simpl´ ectica.

Definici´ on 1 Una variedad simpl´ectica es un par (M, ω), donde M es una variedad 2ndimensional dotada de una 2-forma ω simpl´ectica. Una 2-forma simpl´ectica se define como: 1. Cerrada: dω = 0. 2. No degenerada: Si ω (X, Y ) = 0 ∀Y ∈ Tp M ⇒ X = 0 ∀p ∈ M. En coordenadas tenemos que X = X i ∂i , Y = Y i ∂i y ωij (p) = ωp (∂i , ∂j ); la primer condici´ on mencionada arriba ser´a: 1 ∂ωij k dω = dx ∧ dxi ∧ dxj = 0, (2.1) 2 ∂xk mientras que la segunda ser´a: ω (X, Y ) = X i Y j ωij ⇒ X i = 0, i

i

⇒ X ωij = 0 ⇒ X = 0.

(2.2) (2.3)

En otras palabras, ω define un isomorfismo i : Tp M → Ω1 (M) dado por iX ω = α y de ´algebra lineal tenemos que si la dimensi´on del espacio vectorial de dominio es igual a la 11

Mec´anica No-Conmutativa.

2.1 Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana.

dimensi´on del espacio vectorial imagen y si Ker (i) = {0} entonces Im (i) = Ω1 (M) y esto implica que i es invertible y por lo tanto: det (ωij (p)) 6= 0

(2.4)

y la matriz ωij es no singular. Notemos que la dimensi´on de la variedad simpl´ectica est´a determinada por esta u ´ltima propiedad como sigue: ya que ωij es una matriz antisim´etrica
det (ω) = det ω T = det (−ω) = (−1)n det (ω) ,

(2.5)

por lo que, si n es impar, entonces el determinante es cero y por lo tanto la variedad dejar´ıa de ser simpl´ectica.

2.1.2.

Geometr´ıa y Mec´ anica Hamiltoniana.

Definici´ on 2 Un campo vectorial X en una variedad simpl´ectica (M, ω) es llamado localmente Hamiltoniano si LX ω = 0, (2.6) d´ onde LX es la derivada de Lie a lo largo del flujo generado por X. Lo que nos sugiere esta definici´on es que la 2-forma simpl´ectica es invariante ante el flujo generado por X. La identidad de Cartan nos dice que LX ω = d (iX ω) + iX (dω) y por lo tanto, usando la propiedad 1 de la definici´on 1, vemos que d (iX ω) = 0.

(2.7)

Y as´ı, un campo vectorial localmente Hamiltoniano en M es el que satisface que la 1-forma α = iX ω sea cerrada. Si adem´as α es exacta, i.e., existe una funci´on H en M tal que α = iX ω = −dH,

(2.8)

entonces el campo vectorial es llamado globalmente Hamiltoniano y la funci´on H es llamada funci´on Hamiltoniana correspondiente a X. Esta u ´ltima condici´on nos la prove´e el lema de Poincar´e el cual establece que si dα = 0 ⇒ α es localmente exacta, i.e., hay una vecindad U alrededor de cada punto en el cual α = dβ, por lo que, de aqu´ı en adelante vamos a considerar que el lema se cumple. Este lema nos permite ver cada una de las definiciones de forma inversa; cualquier funci´on en una variedad simpl´ectica M, f : M → R define un campo vectorial 12

Mec´anica No-Conmutativa.

2.1 Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana.

Hamiltoniano Xf definido por iXf ω = df . El signo en la ecuaci´on (2.8) es tomado solo por conveniencia. En coordenadas locales, para un campo vectorial X = X i ∂i , una 2-forma simpl´ectica dω = 1 ∂H i j i on H tal que dH = ∂x i dx , tenemos 2 ωij dx ∧ dx y una funci´ iX ω = ωij X i dxj ,

(2.9)

el campo vectorial ser´a Hamiltoniano si se cumple (2.8), que en coordenadas ser´a ωij X i dxj = −

∂H i dx , ∂xi

(2.10)

y ya que det (ωij (p)) 6= 0, la relaci´on anterior se puede escribir para determinar las componentes del campo vectorial, i.e, ∂H X i = ω ij j , (2.11) ∂x en donde ω ij est´a determinada por ω ij ωjk = ωij ω jk = δki .

(2.12)

Adem´as, de la definici´on de un campo vectorial vemos que sus componentes coinciden con las derivadas respecto un par´ametro t de las coordenadas locales, y as´ı las ecuaciones (2.11) se transforman en dxi ∂H = ω ij j , (2.13) dt ∂x que como podemos observar son muy similares a aquellas obtenidas para la mec´anica Hamiltoniana. Otra definici´on importante es la de los corchetes de Poisson. Definici´ on 3 Dada la estructura simpl´ectica (M, ω) y dos funciones diferenciales en M f y g, se define el par´entesis de Poisson {f, g} como
d {f, g} (p) = f φtg (p) . dt t=0

(2.14)

Donde φtg denota el flujo Hamiltoniano correspondiente al campo vectorial Hamiltoniano Xg , definido por iXg ω = dg.

13

Mec´anica No-Conmutativa.

2.1 Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana.

Trabajando un poco esta definici´on, encontramos que
d {f, g} (p) = f φtg (p) dt t=0 = Xg (f )

(2.15) (2.16)

= LXg f

(2.17)

= iXg df

(2.18)

= iXg iXf ω

(2.19)

= ω (Xg , Xf ) .

(2.20)

En coordenadas, la ecuaci´on (2.20) no es m´as que {f, g} (p) = Xfi Xgj ωij = ω ij

∂f ∂g . ∂xi ∂xj

(2.21)

Algunas propiedades de esta definici´on son las siguientes: Bilineal {αf + βg, h} = α {f, h} + β {g, h} {f, αg + βh} = α {f, g} + β {f, h} ,

∀f, g, h ∈ C ∞ (M) ,

∀α, β ∈ R,

(2.22)

antisim´etrica {f, g} = − {g, f }

∀f, g ∈ C ∞ (M) ,

(2.23)

satisface la idenditad de Jacobi {{f, g} , h} + {{g, h} , f } + {{h, f } , g} = 0

∀f, g, h ∈ C ∞ (M) .

(2.24)

Con estas tres propiedades el par´entesis de Poisson dota a C ∞ (M) con una estructura de ´algebra de Lie. Adem´as, el par´entesis de Poisson satisface la identidad de Leibniz {f, gh} = {f, g} h + g {f, h} .

(2.25)

Usando la ecuaci´on (2.21) para dos coordenadas locales tenemos 

xi , xj = ω ij .

(2.26)

Si ahora aplicamos la definici´on del par´entesis a una coordenada y una funci´on diferenciable en M encontramos  i
d (2.27) x , f (p) = xi φtf (p) , dt t=0 14

Mec´anica No-Conmutativa.

2.1 Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana.

que es muy similar a las ecuaciones de movimiento de la mec´anica Hamiltoniana cl´asica. Para construir una variedad simpl´ectica, primero ocupamos de una variedad 2n-dimansional y despu´es verificar si podemos construir una 2-forma simpl´ectica en ella. Por esto, un ejemplo natural de variedad simpl´ectica es el haz cotangente. Un punto en T ∗ M es una 1-forma sobre el espacio tangente a M en alg´ un punto de M; si q i es una elecci´on de n coordenadas locales para puntos en M, entonces, tal forma est´a dada por sus n componentes pi y as´ı q i y pi forman una colecci´on de coordenadas locales en T ∗ M. Esta discuci´on nos motiva a enunciar el siguiente teorema. Teorema 1 El haz cotangente T ∗ M tiene una estructura natural simpl´ectica. En coordenadas locales, esta estructura est´ a dada por la formula ωc = dpi ∧ dq i .

(2.28)

Demostraci´ on: Sea ξ ∈ T (T ∗ M) un vector tangente al haz cotangente en el punto p ∈ Tq∗ M. El push-foreward f∗ : T (T ∗ M) → T M de la proyecci´on natural f : T ∗ M → M, toma a ξ y lo lleva a un vector f∗ ξ tangente a M en a. Definimos una 1-forma α en T ∗ M como α (ξ) = p (f∗ ξ). En las coordenadas locales descritas antes, esta forma es α = pi dq i , si tomamos una carta alrededor de α, ´esta nos dice que localmente la 2-forma ωc ≡ dα es no degenarada, ya que tiene la forma can´onica   0 −I . (2.29) ωc = I 0  A las formas diferenciales α = pi dq i y ωc = dα se les conoce como 1-forma diferencial can´onica y estructura simpl´ectica can´onica respectivamente. Adem´as la base d´onde estas formas diferenciales tienen esa forma es llamada base can´onica y con ella podemos escribir 1 ωc = ωµν dxµ ∧ dxν , 2

µ, ν = 1 · · · 2n,

(2.30)

donde q i = xi y pi = xi+n . Si ahora utilizamos (2.29) en las ecuaciones (2.13) obtenemos las ecuaciones de Hamilton dq i ∂H = , dt ∂pi dpi ∂H =− i, dt ∂q 15

(2.31a) (2.31b)

Mec´anica No-Conmutativa.

2.1 Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana.

y de igual forma al usar (2.29) en (2.26), encontramos las relaciones usuales de conmutaci´ on de las coordenadas para la mec´anica cl´asica 

q i , q j = {pi , pj } = 0,



q i , pj = δ i j .

(2.32)

Debido a las ecuaciones (2.31) y (2.32) es que consideramos al haz cotangente T ∗ M como el espacio fase f´ısico. Entonces, el Hamiltoniano es una funci´on definida en C ∞ (T ∗ M).

2.1.3.

Teorema de Darboux.

Ante cualquier cambio de coordenadas, en general, la 2-forma ωc puede llegar a depender de las coordenadas y dejar de ser constante. Aqu´ı es donde entra la importancia del teorema de Daroux, el cual establece que para cualquier variedad simpl´ectica, siempre podemos escoger coordenadas locales tales que la 2-forma ωc siempre sea can´onica. Teorema 2 Si ω es una estructura simpl´ectica en la variedad simpl´ectica M, entonces alrede

dor de cada punto, existen coordenadas x1 , . . . , xn , . . . , x2n = q 1 , . . . , q n , p1 , . . . , pn , llamdas can´ onicas, en las cuales ω tiene la forma ω = dpi ∧ dq i . La demostraci´on del teorema viene elaborada en dos partes y es escencialmente la que se encuentra en [19] Demostraci´ on: Las dos partes de la demostraci´on son: a) Mostrar que en un espacio vectorial simpl´ectico V , ω solo puede tener rango 2n y adem´ as ω se puede escribir en una base conveniente tal que tenga la forma (2.29): El rango de ω no es mas que la dimensi´on de la imagen de ω : V → V ∗ , que env´ıa a v ∈ V a la 1-forma diferencial α(w) = ω (v, ·) (w) = ω (v, w) y ya que ω es no degenerada, entonces el rango de ω es igual a 2n. Ahora supongamos que ω est´a dada por 1 ω = ωµν dy µ ∧ dy ν 2 en la base dy µ . Podemos asumir (arreglando la base si es necesario) que ω1n+1 6= 0, entonces   ω 2 − · · · − ωn+1,n dy n − · · · − ωn+1,2n dy 2n ω = dy 1 − ωn+1,2 dy ω1,n+1 ω1,n+1 1,n+1 (2.33) µ ∧ (ω1µ dy ) + A1 , 16

Mec´anica No-Conmutativa.

2.1 Variedades Simpl´ecticas y Mec´anica Hamiltoniana.

d´onde A1 no contiene expresiones que envuelvan a dx1 ´o dxn+1 . Ahora podemos definir   ω ωn+1,2 n − · · · − ωn+1,2n dy 2n , dy 2 − · · · − ωn+1,n dy dx1 = − dy 1 − ω1,n+1 ω1,n+1 1,n+1 (2.34) dxn+1 = ω1µ dy µ , con lo que ω se escribe como ω = dxn+1 ∧ dx1 + A1 . Si A1 = 0, entonces la demostraci´on est´a completa. De otra manera continuamos el proceso hasta obtener el resultado deseado b) Probar que para cada p ∈ M hay un sistema de coordenadas local alrededor de p en el cual ω es constante: Para esta demostraci´on usaremos la siguiente identidad   d ft∗ α = fs∗ (Lv α) . dt t=s

(2.35)

Donde α es cualquier forma y ft el flujo local del campo vectorial v. Consideremos un sistema de coordenadas alrededor de p ∈ M; denotaremos con α la expresi´on para una forma en dichas coordenandas. Denotaremos tambi´en como ω1 la 2-forma que en estas coordenadas es constante y tal que ω1 = ω (p). Sea ω t = ω + t (ω 1 − ω), ωt es no degenerada en alguna vecindad del origen ∀ t ∈ [0, 1]. Usando el lema de Pincar´e, podemos definir ω 1 − ω = dα para alguna 1-forma α en la vecindad. Asumamos que ω (p) = 0. Sea vt el campo vectorial definido por ivt ωt = −α, y sea ft su flujo en el punto p. Por su definici´on, el campo vectorial es dependiente del tiempo, etnonces dωt d ∗ (ft ωt ) = ft∗ (Lvt ωt ) + ft∗ dt dt = ft∗ divt ωt + ft∗ (ω1 − ω) = ft∗ (−dα) + ft∗ (dα) = 0, entonces f1∗ ω 1 = f0∗ ω = ω, y de esta manera el mapeo f1 es el cambio de coordenadas que transforma ω en la forma constante ω 1 .  Retomando las ecuaciones (2.13), las ecuaciones de Hamilton en la forma no can´onica vienen dadas a trav´es de una estructura simpl´ectica no can´onica Ω como ˆ dy µ ∂H = Ωµν ν , dt ∂y 17

(2.36)

Mec´anica No-Conmutativa.

2.2 Mec´anica Cl´asica No-Conmutativa.

en una base y µ . El teorema de Darboux nos asegura que existe una transformaci´on S tal que, si la base can´onica de las 1-formas es dxµ , entonces dxµ = S µ ν dy ν ,

(2.37)

con lo que la estructura simpl´ectica (2.30) se puede escribir como 1 1 1 ωc = ωµν dxµ ∧ dxν = ωµν S µ α dy α ∧ S µ β dy β = Ωαβ dy α ∧ dy β , 2 2 2 de d´onde deducimos que S T ωc S = Ω

(2.38)

(2.39)

Adem´as, de la ecuaci´on (2.36) tenemos que

y usando (2.39) obtenemos

ˆ dxα ∂H S˜µ α = Ωµν S α ν α , dt ∂x

(2.40)

dxµ ∂H = ωcµν ν dt ∂x

(2.41)

ˆ (y µ (x)) = H (xµ ). solo si H En la pr´actica construimos la transformaci´on S de acuerdo a la demostraci´on del teorema de Darboux, esto es, de forma similar a como se hace en el proceso de diagonalizaci´on de Gramm-Schmidt. Esto ser´a ejemplificado al final del cap´ıtulo 2, donde se escribir´an las ecuaciones de Maxwell con el formalismo de geometr´ıa diferencial y obtendremos las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula cargada en un campo electromagn´etico, haciendo uso de una deformaci´on en la estructura simpl´ectica, obteniendo adem´as una mec´anica cl´asica no conmutativa.

2.2.

Mec´ anica Cl´ asica No-Conmutativa.

Con la motivaci´on de la mec´anica cu´antica donde aparecen operadores que no conmutan entre s´ı y en particular problemas donde las coordenadas y/o los momentos no conmutan, utilizamos la regla de Dirac para pasar de la mec´anica cu´antica a la mec´anica cl´asica, i.e., cambiando las relaciones de conmutaci´on fundamentales por 1 [ , ] → { , }. i} La justificaci´on para estudiar estos espacios fase no-conmutativos cl´asicos proviene de la misma mec´anica cu´antica, ya que se ha mostrado ([18]) que la cuantizaci´on a la Dirac es equivalente a una deformaci´on }-estrella del ´algebra del espacio fase conmutativo. 18

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

Entonces entendemos por mec´anica cl´asica no-conmutativa, a una mec´anica descrita por el flujo del campo vectorial Hamiltoniano X, i.e., LX = 0 a trav´es de una estructura simpl´ectica ω que no es can´onica y que nos proporciona, en su forma m´as general, los corchetes de Poisson: 

2.3.

q i , q j = Θij ,



q i , pj = δ i j ,

{pi , pj } = Bij .

Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´ etico Constante.

El problema cl´asico no-conmutativo por excelencia, es el efecto Hall y en su parte cu´antica el problema de Landau. Por medio del efecto Hall (se da en una placa delgada con cargas libres en presencia de un campo magn´etico perpendicular a uno el´ectico) se puede encontrar una estimaci´on del n´ umero de part´ıculas libres cargadas en alg´ un material; mientras que Landau encontr´o que los electrones en presencia de un campo magn´etico constante se agrupan en niveles de energ´ıa discretos en una direcci´on y continuos en la direcci´on perpendicular al campo magn´etico. En este cap´ıtulo estudiamos dichos problemas sin concentrarnos en el efecto Hall y mostramos que el formalismo de Dirac tambi´en nos brinda una no-conmutatividad en los momentos.

2.3.1.

Part´ıcula Cl´ asica.

En esta secci´on trabajaremos el caso de una part´ıcula cargada sujeta a una fuerza magn´etica. Para esto suponemos un campo magn´etico dirigido hacia el eje z positivo y una carga q lo suficientemente peque˜ na de tal forma que no influya en el campo magn´etico. Caso Can´ onico En principio, debemos comenzar con el Hamiltoniano de una part´ıcula libre con acopla~ miento m´ınimo del campo magn´etico, a trav´es de su potencial vectorial A: H=

2 1  ~ , p~ − q A 2m

(2.42)

~ tendremos que usar alguna norma. Debido a que en el Hamiltoniano aparece el potencial A, Para describir un campo magn´etico B constante en la direcci´on z, dos normas son: la sim´etrica, donde tomamos Ax = − (1/2) By, Ay = (1/2) Bx y Az = 0; y la norma de Landau, donde tomamos Ax = −By, Ay = Az = 0. ~ (norma de Landau ´o norma sim´etrica) nos proporcioUna buena elecci´on del campo A nar´a un campo magn´etico constante en direcci´on del eje z. El resultado de trabajar con dicho

19

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

Hamiltoniano y las relaciones de conmutaci´on usuales 

xi , xj = 0,



xi , pj = δ i j ,

{pi , pj } = 0

(2.43)

ser´a la fuerza de Lorentz   ~ . F~ = q ~v × B

(2.44)

Entonces, las ecuaciones de movimiento deben ser     d~ p ~ = q p~ × B ~ . = q ~v × B dt m

(2.45)

La fuerza magn´etica no hace trabajo sobre la part´ıcula, entonces, la energ´ıa debe ser constante y por lo tanto tambi´en el momento. Adem´as, de la ecuaci´on (2.44), vemos que no hay una componente de la fuerza paralela al campo magn´etico, y la componente del momento a lo largo de esa direcci´on debe permanecer constante. Entonces sin perder generalidad podemos ~ Ahora, la ecuaci´on (2.45) considerar el movimiento solamente en el plano perpendicular a B. nos dice que el vector p~ de magnitud constante est´a haciendo un movimiento de precesi´ on alrededor de la direcci´on del campo magn´etico con una frecuencia ωB =

qB , m

(2.46)

que es llamada frecuencia del ciclotr´on. El vector de velocidad tambi´en deber´a ser constante y deber´a rotar con la misma frecuencia. Entonces la part´ıcula deber´a moverse uniformemente en una ´orbita circular en el plano con velocidad angular ωB . Ya que la fuerza centrifuga es igual a mv 2 /r, se sigue que la magnitud del momento lineal en el plano debe ser igual a p = mrωB .

(2.47)

Combinando (2.47) y (2.46) llegamos a la relaci´on entre el radio del c´ırculo y el momento: r=

p . qB

(2.48)

Notemos que la frecuencia asociada al movimiento circular no depende de la velocidad de la part´ıcula. Por consiguiente, las part´ıculas con velocidades menores tardar´an el mismo tiempo en completar el c´ırculo m´as peque˜ no que las part´ıculas m´as veloces en completar c´ırculos m´ as grandes.

20

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

Caso No-can´ onico. La diferencia con el caso can´onico es que si utilizamos el formalismo Hamiltoniano, no tene~ Proponemos ahora que el campo magn´etico mos que escoger una forma espec´ıfica del campo A. deforma a la estructura simpl´ectica, en este caso estaremos trabajando con un campo magn´etico dirigido hacia el eje z positivo. Entonces, la estructura simpl´ectica deformada ser´a   0 eB 0 −1 0 0 −eB 0 0 0 −1 0     0 0 0 0 0 −1  . (ωe,B )µν =  (2.49)  1 0 0 0 0 0    0 1 0 0 0 0 0

0

1

0

0

0

la cual nos brinda los corchetes de Poisson  i j  i x ,x = 0 x , pj = δ i j {px , py } = eB {px , pz } = 0 {py , pz } = 0.

(2.50)

Tomaremos el Hamiltoniano de la part´ıcula libre H=


1 p2x + p2y + p2z 2m

(2.51)

y como vimos antes, las ecuaciones de movimiento ser´an dxi dt dpx dt dpy dt dpz dt

=

pi , m

(2.52a)

= ω B py ,

(2.52b)

= −ωB px ,

(2.52c)

= 0,

(2.52d)

en donde ωB = eB/m, es la frecuencia del ciclotr´on. Trabajando un poco estas ecuaciones obtenemos px = A cos (ωB t) + B sen (ωB t)

(2.53a)

py = −A sen (ωB t) + B cos (ωB t)

(2.53b)

pz = k,

(2.53c)

donde A, B y k son constantes de integraci´on. Con condiciones iniciales px (0) = px0 , py (0) = py0 y pz (0) = pz0 , encontramos A = px0 , B = py0 y k = pz0 Adem´as utilizando (2.52a), 21

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

obtenemos 1 [px0 sen (ωB t) − py0 sen (ωB t)] + x0 , eB 1 [px0 cos (ωB t) + py0 sen (ωB t)] + y0 , y = − eB pz0 z = t + z0 . m

x =

(2.54a) (2.54b) (2.54c)

Podemos observar que el movimiento descrito son ´orbitas circulares en el plano perpendicular y que la frecuencia es (2.46). Calculando la magnitud del momento proyectado en el plano, observamos que es la constante p2x + p2y = p2x0 + p2y0 = p.

(2.55)

mientras que el radio del c´ırculo en el plano es r=

p

x2 + y 2 =

p . eB

(2.56)

Para concluir, vimos que con una mec´anica cl´asica no conmutativa a nivel de los momentos, v´ıa deformaci´on de la estructura simpl´ectica, obtenemos las ecuaciones correctas para el problema del movimiento de una carga en un campo magn´etico constante.

2.3.2.

Part´ıcula Cu´ antica.

En esta secci´on resolveremos el problema de Landau, que consiste en la cuantizaci´on de una part´ıcula en un campo magn´etico constante, el cual nos llevar´a a los llamados niveles de Landau, obteniendo de manera muy natural (a trav´es de una teor´ıa de constricciones de segunda clase) una mec´anica cu´antica no-conmutativa. Usaremos unidades donde c = 1. Caso Can´ onico. En este punto podemos agregar esp´ın a la part´ıcula, este se agrega acopl´adandolo al campo magn´etico usando el operador µ ˆ = (µ/s) sˆ de momento magn´etico intr´ınseco, donde sˆ es el operador de esp´ın. En este caso trabajaremos con la norma de Landau y no incluiremos esp´ın. El Hamiltoniano que usaremos es el de part´ıcula libre con acoplamiento m´ınimo (reemplazamos el momento por ~ p~ − eA): 2 1  ~ H= p~ − eA , (2.57) 2m

22

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

entonces cambiando las variables por operadores tenemos la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo es  
1 1 2 2 2 (2.58) (ˆ px + eB yˆ) + pˆ + pˆz ψ = Eψ, 2m 2m y donde usamos el acoplamiento m´ınimo y pˆi = mˆ vi + eAˆi . Este Hamiltoniano no contiene x ˆ ni zˆ expl´ıcitamente, y por lo tanto los operadores pˆx y pˆz ˆ i.e. podemos diagonalizarlos simult´aneamente y conmutan con H, pˆi ψ (x, y, z) = pi ψ (x, y, z)

con

i = x, z,

(2.59)

usando separaci´on de variables obtenemos ψ = e(i/})(px x+pz z) χ (y) .

(2.60)

Los valores propios px y pz toman todos los valores reales desde −∞ hasta +∞. Del acoplamiento m´ınimo vemos que dado Az = 0, entonces la componente z del momento generalizado es igual al momento ordinario (cin´etico) mvz . Por lo tanto la velocidad de la part´ıcula en la direcci´on z (del campo) puede tomar cualquier valor; as´ı podemos decir que el movimiento a lo largo del campo ”no est´a cuantizado”. Introduciendo (2.60) en (2.59) y definiendo px y0 ≡ − (2.61) eB |e|B ωB ≡ (2.62) m encontramos la ecuaci´on   2
}2 00 mωB p2z 2 − χ + y − y0 χ = E − χ. (2.63) 2m 2 2m Esta no es m´as que la ecuaci´on del oscilador arm´onico cu´antico, por lo que el lado derecho ser´a la energ´ıa de este oscilador en particular, por lo que   1 p2 E = n+ }ωB + z , (2.64) 2 2m El primer t´ermino de valores de energ´ıa discretos corresponde al movimiento en el plano perpendicular al campo y se llaman niveles de Landau. Las funciones propias estar´an dadas por  n   ! 1 y − y0 2 1 2 d χn (y) = y − y0 − x0 exp − , (2.65) √ n+1/2 dy 2 x0 π 1/4 2n n!xo p donde x0 = }/mωB . Observemos que la funci´on de onda est´a localizado en la direcci´on y en funciones Gaussianas, pero no en la direcci´on x. Y ya que la energ´ıa no contiene a la cantidad px , los niveles de energ´ıa son degenerados continuamente. 23

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

Movimiento de ciclotr´ on. Como ya vimos, cl´asicamente encontramos el centro del movimiento de ciclotr´on xo y y0 . En el caso cu´antico existe su an´alogo. Consideremos el Hamiltoniano en el plano perpendicular al campo i 1 h H= (−i}∂x + eAx )2 + (−i}∂y + eAy )2 , (2.66) 2m el momento covariante (can´onico) pj = −i}∂j + eAj

j = x, y,

(2.67)

y definimos las coordenadas gu´ıas del centro (el vector que apunta desde el observador hasta el centro del movimiento de ciclotr´on;) X ≡x+

1 py , eB

Y ≡y−

1 px . eB

(2.68)

Este conjunto de variables cumplen las siguientes reglas de conmutaci´on: [X, Y ] = −il2

y

[px , py ] = i

}2 l2

(2.69)

donde l es una longitud natural de esta teor´ıa, llamada longitud magn´etica y definida como r } l= (2.70) eB Construyendo los operadores l a ≡ √ (px + ipy ) , 2}

l a† ≡ √ (px − ipy ) , 2}

(2.71)

con su relaci´on de conmutaci´on h

i a, a† = 1,

(2.72)

el Hamiltoniano (2.66) es  H=

1 a a+ 2 †

 }ωB .

(2.73)

Las coordenadas de la part´ıcula cargada ~x = (x, y) est´an descompuestas en las coordenadas ~ = (X, Y ) y las coordenadas relativas R ~ = ~x − X ~ = (Rx , Ry ) gu´ıa del centro X ~ = 1 (−py , px ) . R eB

(2.74)

~ Con las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para X i}

dX = [X, H] = 0, dt 24

i}

dY = [Y, H] = 0, dt

(2.75)

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

~ describen el movemos que el electr´on no se mueve en toda la muestra. Las coordenadas R ~ vimiento alrededor de las coordenadas gu´ıa del centro; y el Hamiltoniano en terminos de R es 1 2 }ωB 2 (2.76) H= p = 2 R 2m 2l entonces hR2 i = (1 + 2n) l2 (2.77) en el n-´esimo nivel de Landau. Las ecuaciones de movimiento para p~ ser´an i}

dpx = i}ωB py , dt

i}

dpy = i}ωB px . dt

(2.78)

~ hace movimiento de ciclotr´on As´ı que R p hRx i = − (1 + 2n)l sen (ωB t) ,

hRy i =

p (1 + 2n)l cos (ωB t) ,

(2.79)

para el nivel m´as bajo de Landau (n = 0), l es el radio del ciclotr´on. Para un campo alrededor de 10 Teslas, este radio es del orden de 10 nm. Si tomamos la norma de Landau y nos restringimos al nivel m´as bajo de Landau, la variable ~ con [X, Y ] = −il2 . Adem´as la funci´on de onda din´amica esta dada solo por la gu´ıa del centro X (como vimos antes) en funci´on de ~k = p~/} es   1 1 Skx (~x) = √ e−ikx x exp − 2 (y − y0k )2 (2.80) 2l π 1/2 l con y0k = kx l2 . La probabilidad de encontrar el electr´on en y tiene un pico en y0k = kx l2 . estos estados son bandas etiquetadas por el n´ umero de onda kx , que se ubica en y = kx l2 y tiene ancho ∆y = l2 ∆kx . Aqu´ı, ∆kx = 2π/Lx , porque con condiciones peri´odicas de frontera Skx (x + Lx) = Skx (x) en una placa cuadrada de lados Lx y Ly , tenemos que kx = 2πnx /Lx . El ´area de cada 2 2 banda es ∆S = Lx × ∆x = Lx 2πl Lx = 2πl . Entonces, la posici´on de un electr´on no puede ser localizada en un ´area menor a ∆S. Esto es porque est´a confinado al nivel m´as bajo de Landau, donde X y Y no conmutan. En este caso, encontramos operadores no-conmutativos de posici´on para el centro del movimiento de ciclotr´on de cada part´ıcula, cuya consecuencia en el nivel m´as bajo de Landau, fu´e la no localidad de una part´ıcula en un ´area determinada por la longitud magn´etica l.

25

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

L´ımite de campo fuerte. En este l´ımite encontraremos que las coordenadas de la part´ıcula no conmutan a trav´es de la teor´ıa de constricciones de Dirac. En este l´ımite consideramos B → ∞, i.e., el r´egimen de energ´ıa B  m ´o m → 0. Nuestro hamiltoniano puede contener un potencial V debido a las impuresas del material, por lo que lo escribimos como 1 2 π + V, (2.81) H= 2m ~ En este l´ımite tenemos que ~π = 0, por lo donde ~π es el momento cin´etico ~π = p~ − eA. que tendremos que imponer esta igualdad como una constricci´on. Adem´as el Hamiltoniano se reduce a H0 = V . Como πx y πy no conmutan, entonces tendremos que tomar a ~π como una constricci´on de segunda clase. As´ı que el nuevo Hamiltoniano ser´a H 0 = V + u1 πx + u2 πy ,

(2.82)

con u1 y u2 por determinar. Aplicando la condici´on de consistencia con los corchetes de Poisson {φj , H 0 } ≈ 0, con φj = πj , tenemos ∂V + u2 eB ≈ 0 ∂x ∂V {φ2 , H0 } + u1 {φ2 , φ1 } + u2 {φ2 , φ2 } = − − u1 eB ≈ 0. ∂y {φ1 , H0 } + u1 {φ1 , φ1 } + u2 {φ1 , φ2 } = −

(2.83) (2.84)

Despejando ~u 1 ∂V 1 ∂V , u2 = . (2.85) eB ∂y eB ∂x Estas no son constricciones secundarias, sino que son condiciones que fijan a ui . Esto indica que no hay grados de libertad no-f´ısicos. La matriz de constricciones es   0 1 (2.86) M = eB −1 0 u1 = −

cuya inversa es
1 0 −11 0 . eB As´ı que los corchetes de Dirac se definen como: M −1 =

−1 {f, g}DB = {f, g} + Mab {f, φa } {φb , g} .

(2.87)

(2.88)

Usando esta definici´on encontramos 1 eB 1 = . 2

{x, y}DB = − {x, px }DB = {y, py }DB 26

(2.89) (2.90)

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

Para proseguir con un an´alisis ya sea cl´asico o cu´antico, tendr´ıamos que utilizar estas nuevas relaciones de conmutaci´on y encontrar las nuevas ecuaciones de movimiento, as´ı como el comportamiento de la funci´on de onda en el espacio fase reductivo, m → 0, limite que se proyecta en el nivel de Landau m´as bajo. Peierls en [2] observ´o que cuando una impureza en el sistema de electrones es descrita por V , uno puede obtener a trav´es de perturbaciones a primer orden en m en la energ´ıa, el nivel de Landau m´as bajo, considerando a V como funci´on de las coordenas (x, y) que no conmutan. Caso No-Can´ onico. Para desarrollar la cuantizaci´on en una visi´on no-conmutativa, promovemos el Hamiltoniano (2.51) a el operador Herm´ıtico en alg´ un espacio de Hilbert
ˆ = 1 pˆ2x + pˆ2y + pˆ2z . H 2m

(2.91)

Adem´as, usando la regla de Dirac para obtener relaciones cu´anticas a partir de relaciones cl´asicas, en (2.50), obtenemos el ´algebra de Heisenberg no-conmutativa  i j  i  x ˆ ,x ˆ =0 x ˆ , pˆj = i}δ i j (2.92) [ˆ px , pˆy ] = i}eB [ˆ px , pˆz ] = 0 [ˆ py , pˆz ] = 0. al igual que en el caso can´onico, pˆz conmuta con el Hamiltoniano y por lo tanto lo podemos reemplazar por su valor propio pz . Escribiremos ahora el Hamiltoniano en una forma m´ as familiar a trav´es de operadores de creaci´on y aniquilaci´on. Entonces definimos a† = A (pˆx − ipˆy ) ,

a = A (pˆx + ipˆy ) ,

(2.93)

donde A ser´a una constante de normalizaci´on. Para encontrar A, operamos el conmutador de a† y a h i a, a† = 2iA2 [px , py ] = 2A2 }eB. (2.94) Para que este conmutador sea 1, necesitamos que 1 . 2}eB

(2.95)


1  1 ˆ − p2z − }eB , pˆ2x + pˆ2y + i [ˆ px , pˆy ] = 2mH 2}eB 2}eB

(2.96)

A= √ Adem´as observamos que a† a =

27

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

entonces, definiendo ωB = eB/m tenemos   1 p2 † ˆ + z . H = }ωB a a + 2 2m

(2.97)

Definimos tambi´en el operador n´ umero N = a† a,

(2.98)

cuyas relaciones de conmutaci´on con a y a† son las usuales h i [N, a] = −a, N, a† = a† . Con esto, la ecuaci´on de Schr¨odinger ser´a     p2z 1 † | n, pz i = E + | n, pz i, }ωB a a + 2 2m que no es m´as que la ecuaci´on del oscilador arm´onico cu´antico, con energ´ıa   p2z 1 E− = }ωB n + 2m 2

(2.99)

(2.100)

(2.101)

y entonces, la energ´ıa del sistema ser´a  En = }ωB

1 n+ 2

 +

p2z , 2m

(2.102)

con n = 0, . . . , ∞. Los estadeos |ni est´an dados por " |ni =


n # a† √ |0i n!

(2.103)

y a|ni = a † |ni = con

√ √

n|n − 1i

(2.104a)

n + 1|n + 1i

(2.104b)

a|0i = 0.

Adem´as podemos escribir a los operadores a y a† en t´erminos de los operadores pˆx y pˆy como sigue r r   m}ωB  † m}ωB  † pˆx = a +a , pˆy = i a −a (2.105) 2 2 28

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

En este punto debemos observar que el conjunto {|px , py , pz i} no forma una base ortonormal como en el caso can´onico ya que no podemos diagonalizar simult´aneamente los operadores px y py . Sin embargo, una pregunta interesante es: ¿existe un casimir en el ´algebra central de los operadores pˆi tal que determine por completo la base que buscamos? Adem´as, en el espacio de posiciones, la representaci´on del momento en la direcci´on x y y tendr´a que cambiar y no es u ´nica. Para encontrar una buena representaci´on proponemos el anzats ∂ ∂ + Aˆ (x, y, z) , px = −i} (2.106) pˆy = −i} ∂y ∂x donde Aˆ es una funci´on, que depende de los operadores posici´on, por determinar. Usaremos ahora las reglas de conmutaci´on (2.92),     ∂ ∂ ˆ ˆ [ˆ y , pˆy ] ψ = yˆ −i} + A ψ − −i} + A yˆψ ∂y ∂y ∂yψ ∂ψ + yAψ + i} − Ayψ = −i}y ∂y ∂y = i}ψ.

(2.107a) (2.107b) (2.107c)

Este conmutador no nos da informaci´on acerca de A, pero observamos que con A arbitraria se mantiene. Probemos el conmutador de px con py [ˆ px , pˆy ] ψ = −i}

∂A , ∂x

(2.108)

por otro lado [ˆ px , pˆy ] ψ = i}eBψ, entonces ∂A = −eB ∂x

(2.109)

A = −eBx + f (y, z) .

(2.110)

y por lo tanto Si continuamos conmutando pˆy con pˆz y con ´el mismo, encontraremos que f (y, z) = 0. Y por lo tanto la representaci´on de los momentos que cierra el a´lgebra (2.92) es pˆx = −i}

∂ ∂ ∂ , pˆy = −i} − eB x ˆ, pˆz = −i} . ∂x ∂y ∂z

(2.111)

Notemos que esta representaci´on podr´ıa estar relacionada con la transformaci´on de Darboux (3.71). Retomando el c´alculo del oscilador arm´onico para determinar sus estados en el espacio de coordenadas, empezaremos con el estado cero: h~x|a|0i = 0, 29

(2.112)

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

y usando la relaci´on (2.105) obtenemos

entonces

h~x| (ˆ px + iˆ py ) |0i = 0

(2.113)

  ∂ ∂ −i} +} − ieBx ψ0 (x, y, z) = 0 ∂x ∂y

(2.114)

donde ψ0 = h~x|0i. Usando separaci´on de variables ψ0 (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z) ,

(2.115)

donde Z (z) = e(i/})(pz z) , debemos distinguir tres casos: i. La constante mayor que cero: k 2 . La ecuaci´on diferencial para Y ser´a: ∂Y k2 = Y. ∂y }

(2.116)

i eB ∂X = − k2 X − xX. ∂x } }

(2.117)

Mientras que para X tenemos:

Sus soluciones son X = K1 e−k Y

4 /(2eB})

k2 y/}

= K2 e

√

e−(

√ √ 2 eBx/( 2})+ik2 / 2eB})

,

,

(2.118a) (2.118b)

Z = K3 e(i/})(pz z) .

(2.118c)

con una sola constante para normalizar. ii. La constante menor que cero: −k 2 . Este caso es igual al anterior pero cambiando cada k 2 por −k 2 iii. La constante igual a cero: k 2 = 0. En este caso las soluciones son: 2

X = K1 e−(eB/2})x ,

(2.119a)

Y

(2.119b)

= K2 , (i/})(pz z)

Z = K3 e 30

.

(2.119c)

Mec´anica No-Conmutativa.

2.3 Part´ıcula Cargada en un Campo Magn´etico Constante.

Para encontrar estados m´as altos se usar´a la ecuaci´on (2.103), y se resolver´a la ecuaci´on "
n #  n a† 1 ∂ ∂ ψn (x, y, z) = h~x| √ −i} −} + ieBx ψ0 . (2.120) |0i = √ ∂x ∂y n! n! Observemos que en las coordenadas x la part´ıcula se encontrar´a localizada por bandas Gaussianas, mientras seguiremos teniendo una degeneraci´on continua debido a que px no se encuentra en la energ´ıa. En este caso, podemos seguir interpretando a los momentos como generadores de traslaciones, solo que modificamos el postulado de la conmutaci´on de traslaciones por uno no conmutativo. Obviamente, la funci´on de onda depender´a de la representaci´ on de los operadores pˆi en el espacio de coordenadas, entonces, hemos pasado de el problema de escoger una norma al problema de representar a los momentos en el espacio de coordenadas. Esta representaci´on es b´asicamente una transformaci´on de Darboux. Para concluir resumiremos los principales resultados de este cap´ıtulo. Primero abordamos las herramientas necesarias para lo que denominamos deformaci´on simpl´ectica y definimos lo que ser´a una mec´anica cl´asica no-conmutativa. En el siguiente cap´ıtulo utilizaremos estas deformaciones para formular una teor´ıa electromagn´etica correcta a trav´es de un formalismo Hamiltoniano. En el cap´ıtulo 4 veremos que la mec´anica cl´asica no-conmutativa formulada como lo hicimos, solo es una simetr´ıa particular generada por el Hamiltoniano. Adem´as resolvimos exitosamente el problema de Landau utlizando las deformaciones simpl´ecticas. Cambiamos el problema de escoger una norma para el potencial vectorial magn´etico por el problema de escoger una transformaci´on de Darboux adecuada que nos de una representaci´on correcta de las relaciones de conmutaci´on fundamentales pero no-conmutativas (2.92).

31

32

Cap´ıtulo 3

Electrodin´ amica. Con el motivo de comparar y ejercitar el formalismo simpl´ectico, en este cap´ıtulo se presenta la formulaci´on cl´asica (can´onica) de la teor´ıa electromagn´etica y la formulaci´on no can´onica a trav´es del lenguaje de geometr´ıa diferencial y las deformaciones simpl´ecticas. Comparar dichos formalismos nos permitir´a entender m´as a fondo en qu´e sentido se estar´a introduciendo posible nueva f´ısica. Mostraremos tambi´en que la importancia de introducir el operador ∗ (dual de Hodge) y una estructura simpl´ectica deformada, radica en que a trav´es del operador ∗ fijamos la geometr´ıa del espacio (Euclidiano o Conforme) con las ecuaciones constitutivas (respuesta del vac´ıo a la presencia del campo electromagn´etico), mientras que la estructura simpl´ectica es deformada por la presencia del campo electromagn´etico para darnos las ecuaciones de movimiento correctas (fuerza de Lorentz).

3.1. 3.1.1.

Electrodin´ amica Cl´ asica Can´ onica. Ecuaciones de Maxwell.

Conservaci´ on de la carga. La corriente en un alambre es la carga por unidad de tiempo pasando por un punto dado. Dada esta definici´on, cargas negativas movi´endose a la izquierda equivalen como positivas movi´endose a la derecha. Una linea cargada λ viajando a una velocidad v, constituye una corriente I = λv,

(3.1)

dado que un segmento de longitud v∆t con carga λv∆t pasa por un punto en un tiempo ∆t. 33

Electrodin´amica.

3.1 Electrodin´amica Cl´asica Can´onica.

La corriente como vector es I~ = λ~v .

(3.2)

La fuerza magn´etica en un segmento de alambre es: Z  Z  Z     ~ dq = ~ λdl = ~ dl F~mag = ~v × B ~v × B I~ × B

(3.3)

Cuando el flujo de una carga est´a distribuido a lo largo de una regi´on tridimensional, la ~ Si consideremos un ”tubo”de secci´ describimos con la densidad de corriente volum´etrica J. on transversal infinitesimal da⊥ paralelo al flujo, entonces dI~ , J~ = da⊥

(3.4)

adem´as, si la densidad de carga volum´etrica (m´ovil) es ρ y la velocidad ~v , entonces J~ = ρ~v

(3.5)

La fuerza en este caso es Z  Z    ~ dτ. ~ J~ × B ~v × B ρdτ =

(3.6)

De acuerdo a (3.4), la corriente atravesando una superficie S es Z Z I= Jda⊥ = J~ · d~a,

(3.7)

F~mag =

S

S

y en particular, la carga total por unidad de tiempo que deja el volumen V es I Z   J~ · d~a = ∇ · J~ dτ. S

(3.8)

V

Ya que la carga se conserva, lo que fluya a trav´es de la superficie hacia afuera debe de haber venido de dentro y por lo tanto Z  Z Z  d ∂ρ ~ ∇ · J dτ = − ρdτ = − dτ (3.9) dt V ∂t V ∂ρ ⇒ ∇ · J~ + = 0 ., (3.10) ∂t que no es m´as que la ley de conservaci´on de la carga.

34

Electrodin´amica.

3.1 Electrodin´amica Cl´asica Can´onica.

Ley de Gauss. En la notaci´on vectorial, el vector de desplazamiento el´ectrico est´a definido en terminos del momento dipolar por unidad de volumen como ~ + P~ , ~ = 0 E D

(3.11)

~ no proviene de un potencial, ni tiene su propia ley de Gauss, sino que debemos notar que D proviene de una densidad de carga volum´etrica producido en materiales diel´ectricos sumado al campo el´ectrico externo. Adem´as de esto, muchos materiales presentan una proporcionalidad ~ as´ı que con campos el´ectricos no muy fuertes tendremos entre P~ y E, ~ P~ = 0 χe E,

(3.12)

donde χe es la suceptibilidad el´ectrica del medio y donde se usa 0 para conservar a χe como una cantidad adimensional. Adem´as χe depende de la estructura microsc´opica del medio. Concluimos que para este tipo de medios obtenemos la relaci´on ~ = 0 E ~ + P~ = 0 (1 + χe ) E, ~ D

(3.13)

~ = E, ~ D

(3.14)

en donde  es la permitividad del material. La ley de Gauss ser´a entonces ~ = ρf , ∇·D

(3.15)

donde ρf es la densidad de carga libre en el material, que bien pueden ser electrones en un conductor o iones embebidos en un material diel´ectrico. Ley de Faraday. La fuerza magn´etica en una carga Q moviendose con velocidad ~v dentro de un campo ~ es magn´etico B   ~ , F~m = Q ~v × B (3.16) notemos que esta fuerza no hace trabajo: si Q se mueve d~l = ~v dt, el trabajo hecho ser´a   ~ · ~v dt = 0. dWm ≡ F~m · d~l = Q ~v × B (3.17) Las fuerzas magn´eticas pueden alterar la direcci´on de una part´ıcula, pero no pueden acelerala o frenarla. 35

Electrodin´amica.

3.1 Electrodin´amica Cl´asica Can´onica.

En este mismo contexto, la ley de Faraday nos dice que un cambio en el campo magn´etico induce un campo el´ectrico. Es este campo el´ectrico inducido el que produce una fuerza electromotriz en un experimento donde se mueve un magneto manteniendo un circuito cerrado de alambre fijo. Como resultado obtendremos una corriente fluyendo en el alambre. De hecho, si la fuerza electromotriz es igual a la raz´on de cambio del flujo, entonces I ~ · d~l = − dφ , (3.18) ε= E dt ~ por el d´onde ε es el trabajo hecho por una fuente, por unidad de carga y φ es el flujo de B R ~ · d~a. Y as´ı encontramos la ley de Faraday circuito φ = B I Z d ~ ~ ~ · d~a. E · dl = − B (3.19) dt o usando el teorema de Stokes en su forma diferencial ~ ~ + ∂B = 0 ∇×E ∂t

(3.20)

No existencia de monopolos magn´ eticos ~ Una forma relaOtra ley fundamental la obtenemos al aplicar la divergencia al campo B. tivamente sencilla de encontrar este resultado, es atrav´es de la ley de Biot-Savart: ~ (~r) = µ0 B 4π

Z

  ~r − r~0 J~ r~0 × dx0 dy 0 dz 0 , 0 3 ~ |~r − r |

(3.21)

  ´o usando la identidad ∇ × ψ J~ = ∇ψ × ~a + ψ∇ × ~a obtenemos ~ (~r) = µ0 ∇ × B 4π

  Z J~ r~0 |~r − r~0 |

dx0 dy 0 dz 0 ,

(3.22)

en donde J~ es la densidad de corriente; y as´ı f´acilmente encontramos ~ = 0, ∇·B y nos dice que no existen monopolos magn´eticos.

36

(3.23)

Electrodin´amica.

3.1 Electrodin´amica Cl´asica Can´onica.

Ley de Amp` ere-Maxwell. La ley de Amp`ere se encuentra tomando el rotacional de la ley de Biot-Savart (3.21). ~ = ~r − r~0 y R ˆ ser´a un vector unitario apuntando en direcci´ Utilizaremos la siguiente notaci´on R on ~ de R. El rotacional ser´a aplicado sobre las variables ~r por lo que ! !   R ˆ ˆ ˆ R R ∇ × J~ × 2 = J~ ∇ · 2 − J~ · ∇ , (3.24) R R R2 para evaluar el segundo t´ermino, observemos por ejemplo la componente x:     x − x0 0 ~ · ∇0 x − x = J − J~ · ∇ R3 R3   x − x0 ~ x − x0  0 ~ = ∇0 · J − ∇ ·J , R3 R3 cuando la corriente es constante ∇0 J~ = 0; con este resultado en la integral tendremos   Z I (x − x0 ) ~ (x − x0 ) ~ 0 0 ∇ · J dτ = J · d~a0 , 3 3 R R V S

(3.25a) (3.25b)

(3.26)

el puntoesenciales que en la superficie la corriente es cero y por lo tanto (3.26) es cero. Entonces ˆ usando ∇ · RR2 = 4πδ 3 (~r − ~r0 ) tenemos la ley de Amp`ere ~ = µ0 J~ (~r) . ∇×B

(3.27)

Alguna materiales en presencia de campos magn´eticos se magnetizan y por tal motivo ~ =momento dipolar magn´etico por unidad de volumen. Al definimos la magnetizaci´on como M igual que en el caso de materiales diel´ectricos, la corriente total ser´a de la forma J~ = J~b + J~f ,

(3.28)

~ son corrientes ligadas en el material. Entonces en donde J~f son corrientes libres y J~b = ∇ × M la ley de Amp`ere ser´a ~ = J~f ∇×H (3.29) en donde

~ −M ~ ~ = 1B H (3.30) µ0 En materiales diamagn´eticos y paramagn´eticos, la magnetizaci´on se sostiene por el campo. Muchas sustancias presentan magnetizaciones proporcionales al campo por lo que ~ = χm H, ~ M 37

(3.31)

Electrodin´amica.

3.1 Electrodin´amica Cl´asica Can´onica.

χm se llama susceptibilidad magn´etica. Con esto tendremos ~ = µ0 (1 + χm ) H, ~ B ~ = µH, ~ B

(3.32) (3.33)

µ = µ0 (1 + χm ) es la permeabilidad del material. Esta ley tiene un problema al aplicarle la divergencia: el lado derecho es id´enticamente cero, mientras el izquierdo en general no lo es. Al aplicar la ley de conservaci´on de carga con la ley de Gauss tenemos !   ~ ∂ ∂ E ∂ρ ~ = −∇ · 0 =− 0 ∇ · E , (3.34) ∇ · J~ = − ∂t ∂t ∂t este termino fue agregado por Maxwell y arregla el problem. Y as´ı la ecuaci´on de Amp`ereMaxwell en el vac´ıo es ~ ~ = µ0 J~ + µ0 0 ∂ E ∇×B (3.35) ∂t Con un material y en el caso est´atico tenemos que cualquier cambio en la polarizaci´ on el´ectrica conlleva un flujo de cargas J~p que debe ser incluido en la corriente total. en un pedazo de material la polarizaci´on induce densidades de carga σb = P y −σb . Si P se incrementa un poco, la carga en las orillas tambi´en se incrementar´a, dandonos una corriente de red dI = ∂σb ∂P ∂t da⊥ = ∂t da⊥ , entonces ∂ P~ J~p = , (3.36) ∂t revisando la conservaci´on de la carga tenemos  ∂  ∂ρb ∇ · P~ = − ∂t ∂t ⇒ ρ = ρf + ρb = ρf − ∇ · P~

∇ · J~p =

~ ~ + ∂P y J~ = J~f + J~b + J~p = J~f + ∇ × M ∂t

(3.37) (3.38) (3.39)

con todo esto obtenemos la ley de Amp`ere-Maxwell en alg´ un medio ~ = J~f + ∇×H

38

~ ∂D ∂t

(3.40)

Electrodin´amica.

3.1.2.

3.1 Electrodin´amica Cl´asica Can´onica.

Ecuaciones de movimiento para una carga puntual en presencia de un campo el´ ectrico y magn´ etico.

Las ecuaciones de movimiento para una carga puntual Q en presencia de un campo electomagn´etico est´an dadas por la fuerza de Lorentz   ~ + ~v × B ~ , F~ = Q E (3.41) estas pueden ser encontradas utilizando el Hamiltoniano H=

2 1  ~ + Qφ (~q) , p~ − QA 2m

(3.42)

~ y donde se hace uso del acoplamiento m´ınimo, cambiando el momento conjugado por p~ − QA donde la relaci´on entre el momento can´onico p~ y el momento cin´etico m~v est´a dada por ~ = m~q˙ + QA, ~ p~ = m~v + QA

(3.43)

el primer t´ermino de (3.42) es la energ´ıa cin´etica m~q˙/2 y el segundo t´ermino es la energ´ıa ~ Obviamente no existe energ´ıa potencial que provenga potencial que surge del campo el´ectrico E. del campo magn´etico, ya que este u ´ltimo nunca hace trabajo en la carga puntual a lo largo de su movimiento. Mostremos que este Hamiltoniano nos llevan a la fuerza de Lorentz (3.41). Si usamos indices i = 1, 2, 4 y la convenci´on de Einstein, las ecuaciones de Hamilton ser´an q˙i =

∂H 1 = (pi − QAi ) ∂pi m

(3.44)

y p˙i = −

∂H Q = (pj − QAj ) ∂i Aj − Q∂i φ, ∂qi m

(3.45)

usando

~ ~˙ = ∂ A + q˙j ∂j Ai A ∂t y combinando las ecuaciones (3.44) y (3.45) obtenemos   ∂Ai + Q (q˙j (∂i Aj − ∂j Ai )) m¨ qi = Q −∂i φ − ∂t    ~ m¨ q i = Q Ei + ∇ × B i

que es la fuerza de Lorentz (3.41).

39

(3.46) (3.47)

Electrodin´amica.

3.2.

3.2 Electrodin´amica Cl´asica No-can´onica.

Electrodin´ amica Cl´ asica No-can´ onica.

Desde la aparici´on de la no-conmutatividad en los resultados de teor´ıa de cuerdas, donde aparece en teor´ıas de D-branas [3], [4], se han elaborado trabajos en muchos t´opicos noconmutativos que van desde mec´anica cl´asica [21], hasta teor´ıas de norma y relatividad general [22]. En esta secci´on construiremos las ecuaciones de Maxwell en un formalismo de geometr´ıa diferencial, a trav´es de las formas diferenciales, las cuales nos dan de forma natural un formalismo Hamiltoniano que a su vez quedar´a deformado v´ıa la estructura simpl´ectica resultando en una no-conmutatividad en los momentos. Cadenas y formas diferenciales. Antes de adentrarnos al electromagnetismo con coordenadas no-can´onicas, es favorable entender los procesos de integraci´on que ocurren en las siguientes secciones. Consideremos el significado de las integrales de linea y superficie: Z Z I1 = Fx dx + Fy dy + Fz dz = F~ · d~r C ZC Z ~ · dS. ~ I2 = (Gx dy ∧ dz + Gy dz ∧ dx + Gz dx ∧ dy) = G S

S

Estas son una integral de linea y una integral de superficie respectivamente, que dan como ~ son el dual de la linea y de la superficie. Llamaremos resultado un n´ umero. Por tal motivo, F~ y G, a la linea y a la superficie ”cadenas”, y los objetos que ser´an integrados sobre las cadenas ser´ an ”formas diferenciales”. A las lineas las llamaremos 1-cadenas, ya que tienen dimensi´on 1; a una superficie la llamaremos 2-cadena, etc. y denotaremos al gen´erico de cadena como Cn , con dimensi´on n. La frontera de una n-cadena es una (n − 1)-cadena. Y definimos el operador frontera ∂, el cual mapea Cn a Cn−1 ∂ Cn → Cn−1 ´o ∂Cn = Cn−1 Algunas cadenas no tienen frontera: como el caso de la esfera ´o el caso de una l´ınea cerrada en forma de c´ırculo. Estas cadenas son llamadas ¸ciclos se denotan por Zn , y por lo tanto 2

∂Zn = 0. Otras cadenas que son frontera de otras cadenas de mayor dimensi´on y son denotadas por Bn : Bn = ∂Cn+1 . 40

Electrodin´amica.

3.2 Electrodin´amica Cl´asica No-can´onica.

Por ejemplo, una linea cerrada B1 es la frontera de un ´area. Es claro tambi´en que las Bn ’s no tienen frontera (ya que son cerradas): ∂Bn = 0. Combinando estas u ´ltimas dos ecuaciones obtenemos el an´alogo de la derivada exterior aplicada sobre ella misa, para cadenas: ∂ 2 = 0. Como se mencion´o arriba, las formas diferenciales son los duales de las cadenas y por tal motivo, una 1-froma es algo que debe ser integrado sobre una linea; una 3-forma es algo que debe ser integrado sobre un volumen, etc. Sabemos tambi´en que la derivada exterior de una n-forma nos dar´a como resultado una (n+1)-forma, este elemento nos llevar´a directo al conocido teorema de Stokes, el cual dice que si ω es una p-forma y C una (p+1)-cadena, entonces Z Z ω= dω ∂C

3.2.1.

C

Electroest´ atica: Las propiedades diel´ ectricas del vac´ıo determinan la geometr´ıa euclideana.

Para definir nuestras cantidades en el lenguaje de geometr´ıa diferencial debemos estudiar un poco los objetos importantes en electroest´atica. El primer objeto es el campo el´ectrico E, el cual asigna diferencias de voltaje a caminos por medio de una integraci´ on de camino y por lo cu´ al lo definiremos como una 1-forma diferencial en el espacio tridimensional . El segundo objeto es el desplazamiento el´ectrico D, el cual, al ser integrado en una superficie cerrada nos devuelve el valor de la carga libre total contenida en una regi´ on, por lo cual se definir´ a como una 2-forma. Adem´as D debe satisfacer la ley de Gauss dD = ρdx ∧ dy ∧ dz

1 ∂Dµν α dx ∧ dxµ ∧ dxν , α 2 ∂x   D23 D31 D12 = + + dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 , ∂x1 ∂x2 ∂x3

dD =

(3.48)

(3.49a) (3.49b)

que no es m´as que la divergencia de D; y la 3-forma ρdx ∧ dy ∧ dz es la densidad de carga en cualquier regi´on 3-dimensional. Las dos ecuaciones fundamentales en electroest´atica son: la que relaciona a D y E que es determinada por el medio y la segunda nos dice que E es cerrada dE = 0, lo cual nos va a 41

Electrodin´amica.

3.2 Electrodin´amica Cl´asica No-can´onica.

permitir escribir localmente a E como E = −dφ. Ya que E es una 1-forma y D una 2-forma, y en vista de que E = −dφ, no podemos usar a la derivada exterior ni el operador iX para relacionar a ambas formas, la u ´nica forma de relacionarlas es postulando que hay un sistema de coordenadas preferencial (Euclidiano) y que el operador ∗ tenga la forma ∗dx = dy ∧ dz,

∗dy = −dx ∧ dz,

∗dz = dx ∧ dy.

(3.50)

tal que D =  ∗ E, Dado el operador ∗ podemos fijar la en este caso ser´an dx ∧ ∗dx dy ∧ ∗dy dz ∧ ∗dz

(3.51)

m´etrica usando las ecuaciones (A.16d) y (A.18), que = dx ∧ (dy ∧ dz) , = dy ∧ (−dx ∧ dz) , = dz ∧ (dx ∧ dy) ,

(3.52)

y los productos cruzados dx ∧ ∗dy, dy ∧ ∗dz, etc. igual a cero; con estas relaciones, encontramos un sistema de seis ecuaciones con seis inc´ognitas, donde estas u ´ltimas son las componente del µν µν tensor m´etrico g . Resolviendo, es f´acil encontrar que g = diag (1, 1, 1). Debemos enfatizar que no es el campo el´ectrico por si mismo, o el desplazamiento el´ectrico los que determinan la geometr´ıa euclidea, sino la respuesta del vac´ıo a la presencia del campo; la relaci´on entre E y D es la que determina la estructura euclidea, y a su vez es esta estructura la que determina las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula libre en el espacio. Las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula con masa m y sin carga son determinadas por el Hamiltoniano Hm en T ∗ R3 con: 1 ||p||2 , (3.53) Hm = 2m mientras que las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula cargada est´an dadas por el Hamiltoniano modificado 1 Hm,e,φ = ||p||2 + eφ (q) . (3.54) 2m

3.2.2.

Magnetoest´ atica: El campo magn´ etico determina la estructura simpl´ ectica del espacio fase.

En la secci´on pasada definimos al campo el´ectrico como una 1-forma, y ahora solo nos queda definir al flujo magn´etico B como la 2-forma B = Bx dy ∧ dz − By dx ∧ dz + Bz dx ∧ dy

42

(3.55)

Electrodin´amica.

3.2 Electrodin´amica Cl´asica No-can´onica.

y entonces la ley de Faraday es: d dt

Z

Z B=−

E.

(3.56)

γ

S

y (3.23) ser´a dB = 0.

(3.57)

Esto implica que la 2-forma B es cerrada y usando el lema de Poincar´e, podemos escribir adem´as a B como la 2-forma exacta B = dA. Lo que equivale en notaci´on vectoral al rotacional ~ de un potencial A. Para una part´ıcula de prueba en presencia de B las ecuaciones de movimiento se describen como sigue. B es una 2-forma en R3 y usando la proyecci´on natural π : T ∗ R3 → R3 , que asigna a cada punto del espacio fase el punto correspondiente en el espacio de configuraciones, podemos considerar a B como bien definido en T ∗ R3 . Y escribimos B = Bx dqy ∧ dqz − By dqx ∧ dqz + Bz dqx ∧ dqy ,

(3.58)

donde qi = xi ◦ π. Las ecuaciones (3.57) y (3.58) nos permiten escribir una estructura simpl´ectica no can´onica como ωe,B = ω + eB, (3.59) la cual est´a definida en T ∗ R3 y donde ω es la estructura simpl´ectica can´onica. Con esto, estamos proponiendo que el campo magn´etico modifica al haz cotangente y es a lo que llamaremos una deformaci´on simpl´ectica, adem´as, como veremos m´as adelante, esta deformaci´on nos lleva naturalmente a una teor´ıa cl´asica no-conmutativa. Para probar que esta 2-forma es no degenerada, debemos encontrar el determinante de la matriz   0 eBz −eBy −1 0 0 −eBz 0 eBx 0 −1 0      eBy −eBx 0 0 0 −1  (3.60) (ωe,B )µν =   1 0 0 0 0 0    0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 el cual es 1, por lo que es no degenerada. La cerradura de (3.59) no se debe a que B sea una 2-forma constante, sino que (3.57) es quien le proporcian esta propiedad. Tomando ahora el Hamiltoniano para una part´ıcula libre He =

1 ||p||2 , 2m

43

(3.61)

Electrodin´amica.

3.2 Electrodin´amica Cl´asica No-can´onica.

y la inversa de (3.60) (ωe,B )µν = las ecuaciones de Hamilton son Resolviendo para xi = q i y xi+n dq i dt dpi dt



 0 I , −I eB

dxµ µν ∂He = ωe,B . dt ∂xν = pi , con i = 1, 2, 3 y n = 3 obtenemos ∂He i,j+n ∂He , + ωe,B ∂q j ∂pj i+n,j ∂He i+n,j+n ∂He = ωe,B + ωe,B , j ∂q ∂pj ij = ωe,B

(3.62)

(3.63)

(3.64a) (3.64b)

y simplificando encontramos q˙i = p˙i =

1 pi , m e Bij pj , m

(3.65a) (3.65b)

combinando estas ecuaciones obtenemos p˙i = eBij q˙j ,

(3.66)


p˙1 = e Bz q˙2 − By q˙3 ,
p˙2 = e Bx q˙3 − Bz q˙1 ,
p˙3 = e By q˙1 − Bx q˙2 ,

(3.67a)

y en componentes ser´a

(3.67b) (3.67c)

que no es m´as que las componentes de la fuerza de Lorentz (3.16). Como vimos, la presencia del campo magn´etico B modifica la estructura simpl´ectica del espacio fase y con las ecuaciones de Hamilton obtenemos las ecuaciones de movimiento correctas. Adem´ as, el campo magn´etico no debe ser necesariamente constante, ya que la ecuaci´ on de no monopolos magn´eticos nos brinda las condiciones para poder incorporar al campo magn´etico en la estructura simpl´ectica. Si en vez del Hamiltoniano (3.61) tomamos el Hamiltoniano (3.54), encontraremos la fuerza de Lorentz con campo el´ectrico y magn´etico
∂φ p˙1 = −e 1 + e Bz q˙2 − By q˙3 , (3.68a) ∂q
∂φ p˙2 = −e 2 + e Bx q˙3 − Bz q˙1 , (3.68b) ∂q
∂φ p˙3 = −e 3 + e By q˙1 − Bx q˙2 , (3.68c) ∂q 44

Electrodin´amica.

3.3 Electrodin´amica Relativista Can´onica.

Como se hab´ıa prometido, nos encontramos ante una mec´anica cl´asica no-conmutativa: tomando (2.26) encontramos 

q i , q j = 0,



q i , pj = δ i j ,

{pi , pj } = eBij .

(3.69)

Es de esta manera como haremos posible una mec´anica cl´asica no-conmutatividad. En este caso, el efecto producido por trabajar con momentos que no conmutan se traduce en las ecuaciones de movimiento correctas para una part´ıcula cargada en presencia de un campo magn´etico. Recordando el teorema de Darboux y la transformaci´on (2.37), podemos construir la matriz   1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0    0 0 1 0 0 0 µ  . S ν = (3.70)  0 −B B 1 0 0 z y   0 0 −Bx 0 1 0 0

0

0

0 0 1

Esta matriz nos prove´e del cambio de coordenadas q 0i = q i

(3.71a)

p01 = p1 − Bz q 2 + By q 3 ,

(3.71b)

p02 = p2 + Bx q 3 ,

(3.71c)

p03

(3.71d)

= p3 .

Si el Hamiltoniano de la part´ıcula libre lo escribimos en t´erminos de las coordenadas primadas y usamos (3.63), es f´acil mostrar que las ecuaciones de movimiento correspondientes son las de la part´ıcula libre, como se esperaba. Hay que notar que esta transformaci´on de la que nos provee el teorema de Darboux no es u ´nica. La transformaci´on de Darboux es la manera natural que tenemos en ir de un problema can´onica a un problema no can´onico, que tiene como consecuencia trabajar en espacios noconmutativos.

3.3.

Electrodin´ amica Relativista Can´ onica.

Por electrodin´amica relativista nos referimos a la formulaci´on de la teor´ıa electromagn´etica en el lenguaje de la relatividad especial. Mucho se ha dicho sobre la invariancia de Lorentz en teor´ıas no-conmutativas; Snyder en sus primeros art´ıculos sobre no-conmutatividad [1], ya comenta que para formular una teor´ıa invariante ante transformaciones de Lorentz, 45

Electrodin´amica.

3.3 Electrodin´amica Relativista Can´onica.

no es necesario asumir que el espacio-tiempo es un continuo; en [10] se estudia la violaci´ on de la invariancia de Lorentz en teor´ıa de campos y se propone una escala del par´ametro noconmutativo de 10T eV −2 . Para acercarnos a una respuesta sobre la violaci´on de la simetr´ıa de Lorentz en espacios no-conmutativos, debemos primero estudiar un ejemplo donde se incorpore la no-conmutatividad y la relatividad especial. En las pr´oximas secciones utilizaremos los indices griegos para denotar coordenadas espaciotemporales (xµ = (ct, ~x)) e indices latinos para coordenadas espaciales. En todo momento se usar´a la convenci´on de Einstein a menos que se afirme lo contrario.

3.3.1.

Transformaciones de Lorentz y cuadrivectores.

La formulaci´on de las ecuaciones de Maxwell y la din´amica de part´ıculas en presencia de campos electromag´eticos se basa en el an´alisis tensorial de una variedad pseudo-riemanniana con elemento de linea o m´etica invariante ds2 = c2 dt2 − |d~x|2 .

(3.72)

ds2 = dxµ ηµν dxν ,

(3.73)

´o

donde ηµν es el tensor m´etrico que usamos   +1 −1 ηµν =  0

para subir y bajar ´ındices y est´a dada por si µ = ν = 0 si µ = ν = 1, 2, 3 si µ 6= ν

(3.74)

La invariancia de este elemento de linea es el que nos produce las transformaciones de Lorentz. Si los sistemas de coordenadas x0µ y xµ son incerciales entre si, estas transformaciones son del tipo x0µ = Λµ ν xν , (3.75) restringidas por las condiciones Λα γ Λβ δ ηαβ = ηγδ

(3.76)

la matriz Λµ ν contiene rotaciones espaciales y ’boosts’ o rotaciones espacio-temporales, las cuales cambian a la coordenada temporal dependiendo de la velocidad relativa de los observadores. Supongamos que un observador O ve una part´ıcula en reposo, y un segundo observador O0 la ve en movimiento con velocidad ~v . De (3.75) tenemos que dx0µ = Λµ ν dxν 46

(3.77)

Electrodin´amica.

3.3 Electrodin´amica Relativista Can´onica.

o, dado que d~x = 0, dx0i = Λi 0 cdt,

(3.78a)

dt0 = Λ0 0 dt.

(3.78b)

Dividiendo dx0 entre dt0 encontramos la velocidad ~v , as´ı que vi Λi 0 = Λ0 0 . c Si en la ecuaci´on (3.76) tomamos γ = δ = 0 obtenemos
2 X i
2 1 = Λα 0 Λβ 0 ηαβ = Λ0 0 − Λ0 .

(3.79)

(3.80)

i

Resolviendo (3.79) y (3.80) Λ

0

 0

= γ=

|~v |2 1− 2 c

−1/2 ,

(3.81a)

vi = γβi . (3.81b) c Si los ejes x y x0 de dos observadores est´an alineados y el observador primado solo lleva velocidad v = vx relativa al primer observador, tenemos que las transformaciones de Lorentz se reducen a  ct0 = γ (ct − βx)    x0 = γ (x − βct) (3.82) y0 = y    z0 = z Λi 0 = γ

Llamaremos cuadrivectores a cualquier cantidad que se transforme bajo transformaciones de Lorentz de igual forma que lo hacen las componentes del cuadrivector posici´on xµ , i.e., un cuadrivector Aµ es una cantidad que se transforma como Aµ = Λµ ν Aν .

(3.83)

El producto escalar de dos de estos cuadrivectores descrito por ~·B ~ Aµ Bµ = Aµ B ν ηµν = A0 B0 − A

(3.84)

es invariante ante transformaciones de Lorentz. En un sistema coordenado O0 donde el sistema est´a instant´aneamente en reposo, los incrementos espacio temporales son dt0 = dτ , d~x0 = 0. Entonces el elemento de linea invariante es ds = cdτ y tiene la forma
1/2 dt dτ = dt 1 − β 2 = . (3.85) γ (t) 47

Electrodin´amica.

3.3 Electrodin´amica Relativista Can´onica.

El tiempo τ es llamado tiempo propio de la part´ıcula o del sistema. La velocidad ordinaria est´a definida como la derivada temporal de las coordenadas ~x (t). Ya que el tiempo propio es un invariante de Lorentz, entonces podemos construir un cuadrivector de velocidad uµ llamado cuadrivelocidad, diferenciando a la cuadriposici´on respecto τ . Usando (3.85) tenemos u0 ≡ ~u ≡

dx0 = γc dτ d~x = γ~v , dτ

(3.86) (3.87)

si utilizamos una masa invariante m y la multiplicamos por la cuadrivelocidad, obtendremos el cuadrimomento. Si consideramos ahora el operador de derivada parcial respecto xµ vemos que su regla de transformaci´on es ∂ ∂xν ∂ = ∂x0µ ∂x0µ ∂xν es la misma que la de un cuadrivector; por tal motivo definimos el cuadrivector derivada   ∂ ∂ ∂α ≡ = , ∇ , (3.88) ∂xα ∂x0   ∂ ∂ α ∂ ≡ , −∇ . (3.89) = ∂xα ∂x0

3.3.2.

Fuerza de Lorentz y ecuaciones de Maxwell

Consideremos primero la fuerza de Lorentz para una part´ıcula de carga q,   ~ v d~ p ~ + ×B ~ . =q E dt c

(3.90)

Sabemos que p~ se transforma como la parte espacial de un cadrivector pµ = m (u0 , ~u) = (E/c, m~u) . Si usamos el tiempo propio en vez de t, la ecuaci´on (3.90) se puede escribir como  d~ p q ~ ~ . = u0 E + c~u × B dτ c

(3.91)

(3.92)

El lado izquierdo de esta ecuaci´on es la parte espacial de un cuadrivector. Su componente temporal correspondiente es la velocidad de cambio de la energ´ıa de la part´ıcula dp0 q ~ = ~u · E. dτ c 48

(3.93)

Electrodin´amica.

3.3 Electrodin´amica Relativista Can´onica.

Hasta donde sabemos la carga es un escalar de Lorentz que se conserva absolutamente. Esta invariancia experimental de la carga el´ectrica y el requerimiento de covariancia de la fuerza de Lorentz (3.92) y (3.93) determinan las propiedades de las transformaciones de Lorentz del campo electromagn´etico. Por ejemplo el requerimiento de que (3.93) sea la componente tem~ son las partes espacio-temporales poral de un cuadrivector establece que las componentes de E ~ u E·~ 0β µν de un tensor de rango 2 F , i.e., c = F uβ . Usando la ecuaci´on (3.92) determinamos las dem´as componentes de F µν   0 −Ex /c −Ey /c −Ez /c Ex /c 0 −Bz By  , F µν =  (3.94) Ey /c Bz 0 −Bx  Ez /c −By Bx 0 que como vemos es un tensor antisim´etrico de rango 2. Entonces la forma covariante de la fuerza de Lorentz es dpµ = qF µν uν . (3.95) dτ Consideremos un n´ umero grande de cargas elementales δq en reposo en un elemento de 3 volumen peque˜ no d x en el marco K. Estas cargas son representadas por una densidad de carga ρ. La carga total δq = ρd3 x dentro del volumen peque˜ no es un invariante experimental; entonces 0 3 0 3 es cierto que ρ d x = ρd x. Pero el elemento de volumen 4-dimensional d4 x = dx0 d3 x es un invariante de Lorentz. Entonces la igualdad ρ0 d3 x0 = ρd3 x implica que cρ se transforma como una componente temporal. Con esto y el operador (3.88) podemos construir el cuadrivector   j µ = cρ, J~ , (3.96) y la ecuaci´on de continuidad (ley de conservaci´on de la carga) ∂µ j µ = 0.

(3.97)

Definiendo el cuadrivector de potencial   ~ Aα = φ/c, A

(3.98)

podemos escribir f´acilmente la condici´on de Lorentz para la familia de normas de Lorentz como ∂µ Aµ = 0,

(3.99)

esta condici´on nos lleva a un par de ecuaciones de onda para los potenciales que se escriben en forma tensorial como ∂ν ∂ ν Aµ = µ0 j µ (3.100) 49

Electrodin´amica.

3.3 Electrodin´amica Relativista Can´onica.

Para relacionar al tensor de esfuerzos (3.94) con el cuadrivector de potencial (3.98) usamos las relaciones de los campos en t´erminos de los potenciales ~ = −∇φ − ∂0 A, ~ E ~ = ∇ × A. ~ B

(3.101) (3.102)

Escribiendo cada componente podemos concluir que F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .

(3.103)

Las ecuaciones homog´eneas de Maxwell quedar´an escritas como αβγδ F γδ = 0,

(3.104)

en donde αβγδ es el pseudotensor completamente antisim´etrico de Levi-Cibita. Las ecuaciones restantes quedar´an escritas como ∂α F αβ = µ0 j β . (3.105) Si queremos escribir las ecuaciones de para un necesitamos distinguir    material  Maxwell µν µν ~ H ~ , donde Gµν se obtiene de ~ B ~ y G = D, entre dos tensores de esfuerzos, F = E, ~ →D ~ yB ~ →H ~ en (3.94) y en la ecuaci´on (3.105) cambiaremos F µν por Gµν . cambiar E

3.3.3.

Formalismo Hamiltoniano.

Al igual que en el caso cl´asico, se har´a uso del acoplamiento m´ınimo. Para una part´ıcula libre el Hamiltoniano viene dado por Hlibre =

p 1 µ p p µ − c p µ pµ , m

(3.106)

el segundo t´ermino se incluye ya que en el l´ımite no relativista v  c debemos recuperar el Hamiltoniano de part´ıcula libre cl´asico (energ´ıa cin´etica). Manipulando un poco el segundo t´ermino tenemos r p p v2 1 c pµ pµ = mc2 uµ uµ = mc2 1 − 2 ≈ mc2 − mv 2 (3.107) c 2 y por lo tanto el Hamiltoniano se reduce al no relativista. La diferencia entre el formalismo cl´asico y este es que en este caso el acoplamiento m´ınimo se har´a sobre el cuadrimomento, obteniendo entonces el Hamiltoniano p 1 H= (pα − qAα ) (pα − qAα ) − c (pα − qAα ) (pα − qAα ) (3.108) m 50

Electrodin´amica.

3.4 Electrodin´amica Relativista No-can´onica.

El tiempo que usaremos en las ecuaciones de Hamilton ser´a el propio. Con esto obtenemos dxα 1 α = (p − qAα ) , (3.109) dτ m dpα q = (pβ − qAβ ) ∂ α Aβ (3.110) dτ m donde se us´o la constricci´on (pα − qAα ) (pα − qAα ) = m2 c2 despu´es de diferenciar. F´acilmente se puede mostrar que este par de ecuaciones es equivalente a la ecuaci´on de la fuerza de Lorentz (3.95). Hay que notar que el momento que aparece en (3.95) es el momento cin´etico y no el momento can´onico que usamos en esta secci´on. Toda teor´ıa relativista Hamiltoniana tiene problemas de interpretaci´on. En este caso en particular nuestro Hamiltoniano es un escalar de Lorentz y no una cantidad de tipo energ´ıa, adem´as, si usamos la norma del momento cin´etico en el Hamiltoniano nos lleva a H = 0. Este tipo de teor´ıas con constricciones fue abordado por Dirac [25], sin embargo, abordar dicha teor´ıa sobrepasa al presente trabajo.

3.4.

Electrodin´ amica Relativista No-can´ onica.

En esta secci´on se construir´an las ecuaciones de Maxwell y se mostrar´a que una mec´anica relativista no-conmutativa nos lleva a las ecuaciones de movimiento correctas para una part´ıcula en presencia de un campo electromagn´etico.

3.4.1.

Ecuaciones de Maxwell: Las propiedades constitutivas del vac´ıo determinan la geometr´ıa conforme del espacio-tiempo.

Consideremos un intervalo [a, b] en el tiempo y el cilindro tri-dimensional S × [a, b] cuya frontera es el cilindro bi-dimensional γ × [a, b] + S × {b} − S × {a}. Si integramos la ley de inducci´on de Faraday (3.56) con respecto t desde a hasta b obtenemos la ecuaci´on Z Z Z d B+ E ∧ dt = 0, (3.111) dt S γ×[a,b] la primer integral no es m´as que la integral de las tapas del cilindro y dado que ambas tienen orientaci´on distinta, entonces se dividir´a en dos con signo opuesto: Z Z Z B− B+ E ∧ dt = 0. (3.112) S×{b}

S×{a}

γ×[a,b]

Definimos F = B + E ∧ dt como una 2-forma en el espacio 4-dimensional. Sea C = S × [a, b] y ∂C = S × {b} − S × {a} + γ × [a, b]. Ahora podemos escribir la ley de Faraday como Z F = 0, (3.113) ∂C

51

Electrodin´amica.

3.4 Electrodin´amica Relativista No-can´onica.

ya que B es una 2-forma que solo contiene diferenciales espaciales y por lo tanto, debe ser cero cuando se restringe a el lado γ × [a, b] del cilindro, mientras que E ∧ dt debe ser cero en las tapas. Si restringimos el cilindro C a las coordenadas espaciales en un tiempo constante, donde ∂C ser´a la superficie en la cual dt=0, esta ley de Faraday ser´a Z Z B=0 (3.114) F = ∂C

∂C

R

ya que dB = 0. Entonces concluimos que ∂C F = 0 para todos los cubos tridimensionales cuyos lados son paralelos a cualesquiera de los cuatro ejes coordenados. Esto es suficiente para implicar que dF = 0. La forma completa de F ser´a entonces F = Bx dy ∧ dz − By dx ∧ dz + Bz dx ∧ dy + Ex dx ∧ dt + Ey dy ∧ dt + Ez dz ∧ dt,

(3.115)

y la ecuaci´on dF = 0

(3.116)

es equivalente a las ecuaciones de Maxwell homog´eneas. La ley de Amp`ere dice que el flujo de corriente el´ectrica a trav´es de una superficie S cuya ~ y gracias a Maxwell, podemos escribir el frontera es γ es igual a la integral de linea de H, ~ flujo de corriente el´ectrica como la suma de dos t´erminos ∂ D/∂t + J~f . Dada esta definici´ on, tomaremos a H como una 1-forma lineal H = Hx dx + Hy dy + Hz dz,

(3.117)

mientras que la densidad de corriente ser´a la 2-forma J = Jx dy ∧ dz + Jy dz ∧ dx + Jz dx ∧ dy.

(3.118)

Entonces la ley de Amp`ere dice Z  S

∂D +J ∂t



Z =

H

(3.119)

γ

Consideremos el mismo cilindro C como en la ley de Faraday y definimos G = D − H ∧ dt. Integrando la ley de Amp`ere de a a b respecto t obtenemos Z Z G=− J ∧ dt ∂C

C

52

(3.120)

(3.121)

Electrodin´amica.

3.4 Electrodin´amica Relativista No-can´onica.

Cuando consideramos una regi´on 3-dimensional R a tiempo constante, entonces dt = 0 en ∂R y la integral de G sobre ∂R es igual a la integral de D. En este caso particular, la integral del lado derecho de (3.121) no es cero, sino que debe ser igual a la carga total encerrada en R, entonces Z Z ρdx ∧ dy ∧ dz. (3.122) G= R

∂R

Definiendo a al 3-forma j = ρdx ∧ dy ∧ dz − J ∧ dt

(3.123)

vemos que Z

Z G=

∂C

j

(3.124)

C

para cualquier cubo tridimensional cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Entonces las ecuaciones inhomog´eneas de Maxwell son dG = j,

(3.125)

adem´as al tomar la derivada exterior de (3.125), obtenemos la ecuaci´on de continuidad dj = 0. En el vac´ıo tenemos las relaciones constitutivas D = 0 ∗ E y B = µ0 ∗ H.

(3.126)

Las unidades de 0 son carga2 carga carga · longitud × = , ´area energ´ıa energ´ıa · longitud y las de mu0 son energ´ıa · tiempo tiempo · longitud energ´ıa · tiempo2 × = . carga carga2 · longitud carga · longitud2 Entonces la teor´ıa electromagn´etica tiene una velocidad fundamental, ya que 1/0 µ0 = c2 . Para poder tener una relaci´on constitutiva entre F y G, tenemos que definir el operador ∗ reemplazando dt por cdt como sigue ∗ (dx ∧ dy) ∗ (dx ∧ dz) ∗ (dy ∧ dz) ∗ (dx ∧ cdt) ∗ (dy ∧ cdt) ∗ (dz ∧ cdt) 53

= −cdz ∧ dt, = cdy ∧ dt, = −cdx ∧ dt, = dy ∧ dz, = −dx ∧ dz, = dx ∧ dy.

(3.127)

Electrodin´amica.

3.4 Electrodin´amica Relativista No-can´onica.

Estas definiciones respetan las relaciones (3.126) y adem´as ∗F = −c (Bx dx ∧ dt + By dy ∧ dt + Bz dz ∧ dt) + (1/c) (Ex dy ∧ dz + Ey dz ∧ dx + Ez dx ∧ dy) . Entonces las ecuaciones constitutivas que relacionan a G con F son r 0 G= ∗ F. µ0

(3.128)

(3.129)

Las ecuaciones de Maxwell (3.116) y (3.125) son invariantes para cualquier transformaci´ on en el espacio-tiempo. Al igual que en el caso cl´asico no-can´onico, una vez que conocemos como act´ ua el operador ∗ y las relaciones constitutivas, podemos fijar la m´etrica. La diferencia en este caso, como vimos en el teorema 4, es que la m´etrica no queda completamente determinada, sino que queda determinada hasta un factor escalar multiplicativo. Esta m´etricas tiene por determinar 10 par´ametros. Entonces 1 ω ∧ ∗λ = ωµν g µα g νβ λαβ 2

(3.130)

son 21 ecuaciones para determinar los diez par´ametros: g 11 g 22 − g 12 g 12 = 1, g 11 g 33 − g 13 g 13 = 1, g 22 g 33 − g 23 g 23 = 1, g 11 g 23 = g 13 g 12 , g 12 g 33 g 12 g 23 = g 13 g 22 , g 11 g 03 g 11 g 02 = g 01 g 12 , g 12 g 03 g 12 g 02 = g 01 g 22 , g 13 g 03 g 13 g 02 = g 01 g 23 , g 12 g 03

g 11 g 00 − g 01 g 01 = −1, g 22 g 00 − g 02 g 02 = −1, g 33 g 00 − g 03 g 03 = −1, = g 13 g 23 , g 22 g 03 = g 02 g 23 , = g 01 g 03 , g 23 g 03 = g 02 g 33 , = g 01 g 23 , g 12 g 00 = g 01 g 02 , = g 01 g 33 , g 13 g 00 = g 01 g 03 , = g 02 g 13 , g 23 g 00 = g 02 g 03 .

Notemos que varias de ellas son equivalentes. Si tomamos la octava y la d´ecima obtenemos la primera. Tambi´en son ecuaciones cuadr´aticas por lo que tendr´an m´as de una soluci´on. Las soluciones son g 00 = ±1, g 11 = g 22 = g 33 = ∓1, (3.131) con las dem´as componentes igual a cero, i.e., una m´etrica Minkowskiana. Otra vez, al igual que en el caso cl´asico, debemos enfatizar que es la respuesta del vac´ıo a la presencia del campo electromagn´etico la que determina la m´etrica Minkowskiana, sin embargo, en el teorema 4 del ap´endice A se establece que esta m´etrica no es u ´nica y que est´a determinada hasta un factor multiplicativo.

54

Electrodin´amica.

3.4.2.

3.4 Electrodin´amica Relativista No-can´onica.

Fuerza de Lorentz: El campo electromagn´ etico determina la estructura simpl´ ectica en el espacio fase del espacio-tiempo.

Sea M una variedad 4-dimensional que describe nuestro espacio-tiempo y T ∗ M denotar´a su haz cotangente y ω su estructura simpl´ectica. Consideremos tambi´en un campo electromagn´etico F el cual tendremos que proyectar hacia T ∗ M al igual que se hizo en el caso cl´asico. Las ecuaciones (3.116) nos permite escribir una estructura simpl´ectica no-can´onica ωe,F = ω + eF,

(3.132)

 0 eEx eEy eEz −1 0 0 0 −eEx 0 −eBz eBy 0 −1 0 0   −eEy eBz 0 −eBx 0 0 −1 0    −eEz −eBy eBx 0 0 0 0 −1 .  (ωe,F )µν  0 0 0 0 0 0 0   1   0 1 0 0 0 0 0 0    0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

(3.133)

que en forma matricial es 

Utilizaremos la convenci´on c = 1. Sea H una funci´on en T ∗ M y supongamos que las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula libre sin cargas est´an descritas v´ıa la estructura simpl´ectica can´onica ω, entonces las ecuaciones de Hamilton que describen el movimiento de una part´ıcula de carga e en presencia de un campo electromagn´etico externo F son las correspondientes a la estructura simpl´ectica ωe,F . Esto solo es posible si consideramos a la carga e suficientemente peque˜ na de tal forma que la influencia de la part´ıcula en el campo sea despreciable. Tomando ahora el espacio de Minkowski con la m´etrica usual, el Hamiltoniano ser´a
1 1 2 H (p, q) = ||p||2 = p0 − p21 − p22 − p23 . 2 2

(3.134)

La inversa de (3.132) viene dada por µν

(ωe,F )

 =

0 I −I eF

 ,

(3.135)

y las ecuaciones de Hamilton son dxµ ∂H = (ωe,F )µν , dt ∂xν

55

(3.136)

Electrodin´amica.

3.4 Electrodin´amica Relativista No-can´onica.

entonces dq i dt dpi dt

∂H ∂H + ω i,j+4 = pi j ∂q ∂pj ∂H ∂H = Fij pj = ω i+4,j j + ω i+4,j+4 ∂q ∂pj

= ω ij

(3.137a) (3.137b)

trabajando un poco estas ecuaciones obtenemos dq j dpi = eFij . dt dt

(3.138)

En componentes obtenemos  dq 1 dq 2 dq 3 e Ex + Ey + Ez dt dt dt   0 2 dq dq dq 3 e −Ex − Bz + By dt dt dt   0 1 dq dq dq 3 e −Ey + Bz − Bx dt dt dt   0 1 dq dq dq 2 e −Ez − By + Bx . dt dt dt 

p˙0 = p˙1 = p˙2 = p˙3 =

(3.139a) (3.139b) (3.139c) (3.139d)

Estas son las componentes de la fuerza de Lorentz. La interpretaci´on que daremos a p0 vendr´a de la constricci´on H = (1/2) m2 . En el caso cl´asico se introdujo a la masa como un par´ametro en el Hamiltoniano. Aqu´ı T ∗ M es 8-dimensional y la masa se introdujo considerando la varidad 7-dimensional H = (1/2) m2 . El campo vectorial χH es tangente a esta subvariedad, donde χH denota al campo vectorial hamiltoniano asociado a H por la forma ωe,F . Sea ωe,F,m la restricci´on de ωe,F en la subvariedad H = (1/2) m2 . Entonces ωe,F,m es una 2-forma cerrada de rango 6 en una variedad 7-dimensional y entonces tiene una foliaci´on nula 1-dimensional expandida por χH . Las proyecciones sobre M de las curvas integrales de esta foliaci´on nula son las lineas de mundo de las part´ıculas de masa m. De igual forma que en el caso cl´asico, obtenemos una mec´anica relativista no conmutativa en el sector de los momentos: 

q i , q j = 0,



q i , pj = δ i j ,

{pi , pj } = eFij .

(3.140)

Otra vez, el par´ametro no-conmutativo Fij no necesita ser constante ya que son las mismas ecuaciones de Maxwell homog´eneas las que nos permiten incorporar a Fij a la estructura simpl´ectica. 56

Electrodin´amica.

3.4 Electrodin´amica Relativista No-can´onica.

Weyl en [23] aborda este mismo problema modificando el momento can´onico y haciendo referencias al Lagrangiano del sistema. En [24] se modifica la 1-forma diferencial can´onica agregando un t´ermino de energ´ıa constante a su parte temporal y se comenta que la violaci´ on de la covariancia de Lorentz se rescata al considerar solo transformaciones de Lorentz que no involucren al tiempo. En resumen, en el lenguaje de variedades simpl´ecticas es necesaria la deformaci´on de la estructura simpl´ectica y la introducci´on de un operador * (dual de Hodge) para poder reescribir las ecuaciones de Maxwell y mediante una mec´anica cl´asica no-conmutativa encontrar las ecuaciones de movimiento correctas. Notemos que en esta formulaci´on la noci´on de un Lagrangiano a sido eliminada. Adem´as, en una visi´on un tanto an´aloga a la relatividad general, propusimos que la respuesta del vac´ıo a la presencia de un campo electromagn´etico dicta la geometr´ıa del espacio-tiempo a trav´es del operador estrella y el campo electromagn´etico modifica a la estructura simpl´ectica, i.e., modifica al espacio fase.

57

58

Cap´ıtulo 4

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ ecticas. En este cap´ıtulo trataremos de responder una pregunta b´asica en el estudio de las teor´ıas no-conmutativas: ¿son las teor´ıas no-conmutativas compatibles con las transformaciones de Lorentz? En recientes fechas se han publicado varios art´ıculos donde se proponen transformaciones para tratar de arreglar la invariancia de Lorentz de las teor´ıas no-conmutativas [5, 6, 7, 8, 9], sin embargo, ninguno hace referencia a las transformadas de Darboux, ni mencionan que dichas transformaciones no son u ´nicas. Para adentrarnos a las simetr´ıas, comenzaremos estudiando transformaciones can´onicas y terminaremos mostrando algunas transformaciones de Lorentz no-conmutativas.

4.1. 4.1.1.

Transformaciones Can´ onicas. Generadores infinitesimales de grupos de un par´ ametro.

Supongamos un sistema din´amico en T ∗ M con una funci´on Hamiltoniana local H (x, t), tal que las ecuaciones de movimiento son ωµν x˙ ν = ∂H/∂xµ . Sea y µ (x, t) una transformaci´on local de coordenadas invertible en T ∗ M. Si existe una funci´on K (y, t) tal que ωµν y˙ ν = ∂K/∂y µ , entonces, la transformaci´on y µ se llamar´a localmente canonoide respecto H. Algunas transformaciones son localmente canonoides respecto todos los Hamiltonianos: estas forman la importante clase de transformaciones can´onicas (TC). Dos propiedades importantes de estas u ´ltimas son que preservan el par´entesis de Poisson y a la estructura simpl´ectica.

59

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas.

4.1 Transformaciones Can´onicas.

Un ejemplo de un grupo de un par´ametro de TC es el movimiento f´ısico en s´ı, generado por el Hamiltoniano H ∈ C ∞ (M) con el par´ametro t. Este es el grupo din´amico ϕ∆ generado por el campo vectorial din´amico ∆. Cada punto ξ ∈ T ∗ M es movido a lo largo de la din´amica de ∆, llegando en el tiempo t al punto ξ(t) ∈ T ∗ M. Para este fin, escribiremos ξ(t) = ϕ∆ t ξ, donde ∆ ∆ ∗ ϕt ∈ ϕ es un elemento del grupo. Variando t, cada ξ(t) ∈ T M barre una curva integral de ∆, como si los puntos de T ∗ M fluyeran a lo largo de la trayectoria. De la ecuaci´on iXg ω = dg sabemos que ω asigna a un u ´nico campo vectorial Hamiltoniano ∞ Xg ≡ G con cada variable din´amica g ∈ C (M). Entonces, cada g en T ∗ M nos lleva a un grupo de un par´ametro ϕG , de forma m´as gr´afica: g → G y G → ϕG ≡ ϕg . La funci´on g es llamada generador infinitesimal del grupo ϕg . ϕg0 es el mapo identidad. Consideremos f ∈ C ∞ (M), la ecuaci´on LG f = {f, g} = iG df = iXf iG ω = ω(G, Xf ) = ω(Xg , Xf )

(4.1)

nos muestra que la derivada de Lie de f respecto G nos da la variaci´on de f a lo largo de las curvas integrales (flujo) de G y por lo tanto las curvas bajo la acci´on de ϕg . Como ejemplo, cambiemos f por una de las coordenadas locales ξ µ y cambiemos t por , entonces (4.1) se convierte en LG ξ µ =

dξ µ = {ξ µ , g} = ω µν ∂ν g, d

(4.2)

que es un conjunto de ecuaciones diferenciales para las curvas integrales ξ µ () de G. Consideremos a g independiente de  y empezamos escribiendo ξ() = ϕg ξ0 (en lo que sigue se entiende que ξ es una de las coordenadas) y lo insertamos en (4.2) dξ dϕg = ξ0 = {ξ, g} = {ϕg ξ0 , g} LG (ϕg ξ0 ) , d d

(4.3)

esto se puede abreviar utilizando el operador dϕg = LG ◦ ϕg = {•, g} ◦ ϕg , d

(4.4)

usaremos esta ecuaci´on para obrtener una serie de potencias. En  = 0 la TC es la identidad (ϕg0 = I). A primer orden escribimos ϕg ≈ I + φ1 , y entonces al menor orden en  dϕg ≈ φ1 ≈ LG ◦ (I + φ1 ) ≈ LG ≡ {•, g} , d

(4.5)

ϕg ≈ I +  {•, g} .

(4.6)

entonces

60

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz. A segundo orden: ϕg ≈ I + φ1 + 12 2 φ2 y tomando la derivada   1 2 dϕg ≈ φ1 + φ2 ≈ LG I + φ1 +  φ2 ≈ LG + LG φ1 , d 2

(4.7)

entonces φ2 = LG φ1 , as´ı que 1 ϕg ≈ I +  {•, g} + 2 {{•, g} , g} . 2

(4.8)

Si continuamos, encontramos ϕg

∞ X 1 (LG )n ≡ exp (LG ) ≡ exp ( {•, g}) , = n!

(4.9)

n=0

esto ser´a cierto siempre que g no sea funci´on de  y la serie converja. Cuando se aplica a la din´amica Hamiltoniana ∆ con H independiente de t, la ecuaci´on (4.9) nos da una soluci´on formal de las ecuaciones de Hamilton ξ(t) = exp (tL∆ ) ξ0 ≡ exp (t {•, H}) ξ0 ,

(4.10)

donde H debe estar escrita como funci´on de ξ0 al igual que los Parentesis de Poisson.

4.1.2.

Teorema de Noether Hamiltoniano

Una consecuencia inmediata de (4.1) es el teorema de Noether. Supongamos que H es invariante bajo el grupo generado infinitesimalmente por g. (4.1) implica {H, g} = 0,

(4.11)

as´ı que g debe ser una constante del movimiento. Lo contrario tambi´en es cierto. Si dg/dt ≡ {g, H} = 0, entonces (4.1) muestra que H es invariante bajo ϕg . Con esto enunciamos Teorema 3 g es una constante del movimiento si y solo si H es invariante bajo el grupo de transformaciones generadas infinitesimalmente por g.

4.2. 4.2.1.

Transformaciones de Lorentz. Transformaciones de Lorentz no deformadas.

Las transformaciones de Lorentz son aquellas que dejan invariante el elemento de l´ınea ds2 . Escogiendo dos marcos de referencia inerciales O0 y O, tenemos que ηµν = ηαβ 61

∂x0α ∂x0β , ∂xµ ∂xν

(4.12)

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

trabajando un poco esta igualdad encontraremos que dichas transformaciones son x0µ = Λµ ν xν .

(4.13)

Nos interesa estudiar transformaciones infinitesimales de Lorentz; para esto tendremos que trabajar cerca de la identidad, por lo que escribiremos Λµ ν = δ µ ν + ω µ ν ,

(4.14)

donde ω µ ν es infinitesimal. Entonces (4.13) ser´a x0µ = xµ + ω µ ν xν ,

(4.15)

adem´as de (4.12) vemos que
ηµν = ηµν + ωνµ + ωµν + O ω 2 , lo que implica la antisimetr´ıa de ω. Si derivamos (4.15) respecto del tiempo propio y lo multiplicamos por la masa, encontraremos las transformaciones de Lorentz para el momento p0µ = pµ + ω µ ν pν .

(4.16)

Las ecuaciones (4.15) y (4.16) est´an escritas en el lenguaje de una variedad pseudo-Riemanniana, donde los indices griegos van de 0 a 3. En el lenguaje de variedades simpl´ecticas tenemos

que las coordenadas son xµ = xi , xi+4 = q i , pj , donde los indices griegos corren de 0 a 7 y los latinos de 0 a 3, sin embargo, debido a la forma en que est´an escritas las ecuaciones de Hamilton en este u ´ltimo lenguaje podemos mantener la notaci´on de las variedades pseudo-Riemannianas. Notemos entonces que las coordenadas xµ contienen a la posici´on de
forma contravariante y al momento de forma covariante. Entonces xµ = ηˆµν xν = qi , pj =

ηik q k , η jk pk = q 0 , −q 1 , −q 2 , q 3 , p0 , −p1 , −p2 , −p3 . Utilizaremos la ecuaci´on (4.2) para encontrar los generadores del grupo de Lorentz. Cambiaremos  por ωij y g por M ij . En las ecuaciones (4.15) y (4.16) tendremos que considerar la antisimetr´ıa de ωij , entonces  1  ik η ωkl q l − η ik ωlk q l , (4.17a) q 0i = q i + 2  1  jk η ωij pk − η jk ωji pk . (4.17b) p0i = pi + 2 Usaremos tambi´en (4.10) a primer orden y cambiaremos t → ωab y H → M ab y obtendremos n o 1 q 0i = q i − ωab q i , M ab , (4.18a) 2 n o 1 (4.18b) p0i = pi − ωab pi , M ab . 2 62

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

El factor 1/2 se introduce para no contar dos veces. Comparando (4.17) y (4.18) obtenemos n o q i , M ab = η ib q a − η ia q b , (4.19a) n o   pi , M ab = η ak δ b i − η bk δ a i pk . (4.19b) A partir de aqu´ı hay dos formas de proceder: i)Usando el par´entesis de Poisson como la derivada del generador respecto xµ ∂M ab ∂pi ∂M ab ∂q i

= η ib q a − η ia q b ,

(4.20a)

  = − η ak δ b i − η bk δ a i pk .

(4.20b)


e integrando (4.20a) obtenemos M ab = q a pb − q b pa + f ab (q), donde f ab es un tensor antisim´etrico que s´olo depende de las posiciones; si integramos (4.20b) encontraremos el mismo generador pero esta vez contendr´a un tensor antisim´etrico que depende s´olo de los momentos. Introduciendo el resultado de (4.20a) en (4.20b) encontramos que f ab = 0 y viceversa;   ii)Usando las relaciones q i , pb = η ib y q i , q a = 0 en (4.19a) encontramos o o n o n n (4.21) q i , M ab = q i , pb q a − q i , pa q b , encontraremos una relaci´on similar para (4.19b). Entonces los generadores que producen las transformaciones de Lorentz en una representaci´on en el haz cotangente son
(4.22) M ij = q i pj − q j pi . Estos generadores cierran el ´algebra de Lorentz como sigue n o M ij , M lm = η il M jm + η im M lj + η jm M il + η jl M mi

(4.23)

Adem´as podemos identificar las rotaciones y los boost como sigue: Los indices latinos en may´ usculas correran de 1 a 3, entonces los generadores de rotaciones espaciales son J1 = M23 ,

J2 = M31 ,

J3 = M12 ,

(4.24a)

JI = 12 IJK MJK

(4.24b)

KI = MI0

(4.25)

y los generadores de boost son

63

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

La relaci´on (4.23) con estos u ´ltimos operadores es   

JI, JK I

J

I

J

J ,K

K ,K

= IKL J L ,



K ,

(4.26b)

IJK

K

(4.26c)

= 



= 

K

(4.26a)

IJK

J .

Observemos que (4.26a) forma el ´algebra de rotaciones por s´ı sola generando el subgrupo de rotaciones del grupo de Lorentz, mientras que (4.26c) muestra que los boost no generan ning´ un grupo por s´ı solos. Para encontrar representaciones irreducible normalmente se escriben los generadores J y K como: A = B =

1 (J + K) , 2 1 (J − K) . 2

(4.27) (4.28)

Observemos que sus relaciones de conmutaci´on son AI , A J = IJK AK ,  i J B ,B = IJK B K ,  I J A ,B = 0. 

(4.29) (4.30) (4.31)

Esto sugiere fuertemente que el grupo de Lorentz es isomorfo a SU (2)A ⊗ SU (2)B , por lo que solo tenemos que encontrar las representaciones irreducibles de SU (2). Estas representaciones irreducibles nos llevar´an a las ecuaciones de movimiento de part´ıculas libres, caracterizadas por su masa y su esp´ın. Este tratamiento del grupo de Lorentz se puede encontrar en varios textos especializados en Teor´ıa de Grupos; en especial en [26] Weinberg encuentra las representaci´ones unitarias generales e irreducibles del grupo de Lorentz homog´eneo.

4.2.2.

Transformaciones de Lorentz deformadas.

Recordemos que en el contexto de no-conmutatividad que estamos trabajando, modificaremos la estructura simpl´ectica can´onica y por lo tanto los par´entesis de Poisson; observemos entonces que las ecuaciones (4.20) ya no ser´an las mismas, encontrando as´ı, tal vez, nuevos generadores de un grupo de Lorentz deformado correspondiente a un espacio no-conmutativo. En este esp´ıritu, deseamos conservar las ecuaciones de Lorentz fijas, modificar la estructura simpl´ectica y encontrar nuevos generadores que posiblemente conformen un ´algebra. 64

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

No-conmutatividad en los momentos. Como primer ejercicio usaremos la estructura simpl´ectica (3.133), la cual nos da una noconmutatividad en el sector de los momentos  i j  i q , q = 0, q , pj = δ i j , {pi , pj } = Fij . (4.32) Recordemos que estos corchetes corresponden al caso de la deformaci´on de la estructura simpl´ectica debida al campo electromagn´etico, en donde la matriz de la estructura simpl´ectica es   0 I µν Ω = . (4.33) −I eF En este caso a diferencia del caso donde obtuvimos las ecuaciones de movimiento, tomaremos a Fij como constante. Notemos que en este caso, en (4.19a) no hay problemas para encontrar a M ab , sin embargo, el lado derecho de (4.19b) es imposible escribirlo en t´erminos de corchetes {pi , •}, ya que los momentos no conmutan y entonces esta manera no nos brinda un camino para encontrar una representaci´on de los generadores del grupo de Lorentz. Buscamos ahora en el an´alogo de las ecuaciones (4.20) y encontramos ∂M ab ∂pi ∂M ab ∂q i

= η ib q a − η ia q b , =



 ∂M ab η bk δ a i − η ak δ b i pk + Fil , ∂pl

sustituyendo (4.34a) en (4.34b) tenemos las ecuaciones diferenciales    ∂M ab  bk a lb a la b ak b η q − η q p + F − η δ = η δ i i k il ∂q i

(4.34a) (4.34b)

(4.35)

Este parece un sistema de ecuaciones parciales de primer orden muy sencillo de resolver, sin embargo, no tiene soluci´on, como lo mostraremos a continuaci´on.
Integramos la ecuaci´on (4.34a), obteniendo M ab = q a pb − q b pa + f ab (q), donde f ab es un tensor antisim´etrico que s´olo depende de las posiciones, introduciendo esta M ab en (4.35), obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales ∂f ab = Fi b q a − Fi a q b , ∂q i

(4.36)

vemos que no podemos integrar en esta notaci´on debido a la dependencia en las coordenadas, entonces podemos escribir esta ecuaci´on como ∂fab = (Fib η0a − Fia η0b ) q 0 + (Fib ηLa − Fia ηLb ) q L , ∂q i 65

(4.37)

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

donde L 6= 0. Utilizando i = 0 obtenemos fab =



2 1 0 q1, q2, q3 . (F0b η0a − F0a η0b ) q 0 + (F0b ηLa − F0a ηLb ) q L q 0 + gab 2

(4.38)

0 Utilizamos (4.37) con i = A 6= 0, encontramos las ecuaciones diferenciales para gab 0 ∂gab = (FAb η0a − FAa η0b + F0a ηAb − F0b ηAa ) q 0 + (FAb ηLa − FAa ηLb ) q L . ∂q A

(4.39)

0 no depende de q 0 , sin embargo el lado derecho contiene El problema con esta ecuaci´on es que gab 0 . Entonces podemos concluir que g 0 = 0. Si conservamos un t´ermino con q 0 ,i.e., la funci´on gab ab la soluci´on f ab (ecuaci´on (4.38)) y la derivamos respecto q A , veremos que no es consistente con la ecuaci´on (4.37), lo que implica que f ab = 0, pero si esto pasa, la soluci´on para que tenemos para M ab es inconsistente. 0 podemos introducir condiciones sobre las constantes Por otro lado, para poder resolver gab Fij . Entonces la primer condici´on ser´a:

FAb η0a − FAa η0b = F0a ηAb − F0b ηAa ,

∀A = 1, 2, 3; a, b = 0, 1, 2, 3

(4.40)

Tomemos primero el caso cuando a = 0: FAb = FA0 η0b ,

(4.41)

si tomamos b = 0, encontramos FA0 = FA0 , i.e., FA) sigue siendo arbitrario; si tomamos b = C encontramos que FAC = 0, en t´erminos de campo el´ectrico y magn´etico del problema que se resolvi´o antes, esto nos dice que para poder continuar con el c´alculo de los generador de transformaciones de Lorentz necesitamos que no haya campo magn´etico actuando. Si ahora tomamos el caso donde a = 1 y FAC = 0, tenemos que F01 ηAb = F0b ηA1 ,

(4.42)

si b = 0 encontraremos una relaci´on trivial (0 = 0), si b=A encontramos que −F01 = F0A ηA1 , con A 6= 1 encontramos que F01 = 0. Si seguimos con a = 2 y a = 3, encontramos F02 = F03 = 0. Esto implica que las condiciones para encontrar generadores no-conmutativos manteniendo las transformaciones de Lorentz son que el par´ametro no-conmutativo sea cero. Sin embargo, es bastante conocido el caso de relatividad no-conmutativa o mec´anica cl´asica no conmutativa en espacios de dimensi´on dos. Esto lo encontramos en la ecuaci´on (4.42), si usamos b = A tenemos que −F01 = F0A ηA1 , sin sumar sobre A, esto es distinto de cero solo si A=1, si continuamos con A = 2 y A = 3 encontraremos que F01 = 0. 66

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

Entonces en el caso de dimensi´on dos, tenemos que resolver la ecuaci´on (4.39) sin el t´ermino que involucra a q 0 , entonces 0 gab =


2 1 (F1b η1a − F1a η1b ) q 1 . 2

(4.43)

Entonces en dimensi´on 2, los “generadores” son M ab = q a pb − q b pa +

 
2 
2 i 1 h b a F0 δ 0 − F0 a δ 0 b q 0 + F1 b δ 1 a − F1 a δ 1 b q 1 . 2

(4.44)

Definimos Aba = F0 b δ0 a − F0 a δ0 b ,

(4.45)

B ba = F1 b δ1 a − F1 a δ1 b ,

(4.46)

y

como dos tensores antisim´etricos constantes. Entonces el corchete entre “generadores” es n o M ab , M cd = η ac Mcbd + η ad Mccb + η bd Mcac + η bc Mcda     +Aba η 0d q c − η 0c q d + B ba η 1d q c − η 1c q d ,

(4.47)

en donde Mcab es el generador del caso can´onico, adem´as observemos que en este caso, los generadores no forman un ´algebra de Lie. No conmutatividad en las posiciones. La no-conmutatividad en el sector de las posiciones es de gran inter´es en Relatividad General debido a que es una alternativa para una Relatividad General Cu´antica, sin embargo, muchas de estas versiones de Relatividad General No-Conmutativa son altamente no lineales. En particular para aliviar este proble se han realizado teor´ıas efectivas, como modelos en donde la deformaci´on se realiza sobre las variables del minisuperespacio; como por ejemplo en [27] se estudia un modelo cosmol´ogico cu´antico no-conmutativo de la m´etrica Kantowski-Sachs a trav´es del producto moyal; en [13] se estudia el modelo cl´asico y cu´antico cosmol´ogico noconmutativo con una m´etrica FRW acoplado a un campo escalar, a trav´es de una deformaci´ on de la estructura simpl´ectica, al igual que en este trabajo; en [14] se obtiene las ecuaciones de Friedmann no-conmutativas en el minisuperespacio, as´ı como la ecuaci´on de Klein-Gordon no-conmutativa para un campo escalar (inflat´on).

67

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

Dada la importancia de la no-conmutatividad en el sector de las posiciones, trabajaremos aqu´ı con la deformaci´on que nos proporciona tal no-conmutatividad. La estructura simpl´ectica que proponemos es   0 θ1 θ2 θ3 1 0 0 0 −θ1 0 θ4 θ5 0 1 0 0   −θ2 −θ4 0 θ6 0 0 1 0     −θ3 −θ5 −θ6 0 0 0 0 1 Θ I µν = Ω = . (4.48)  −1 0 0 0 0 0 0 0 −I 0    0 −1 0 0 0 0 0 0    0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 Si seguimos los pasos del calculo del caso de no-conmutatividad en los momentos, encontraremos otra vez que solo en dimensi´on 2, podemos encontrar “generadores” manteniendo las transformaciones de Lorentz. Sin embargo, nos estamos preguntando si es posible construir en principio una relatividad especial no-conmutativa, tal que sea consistente con la simetr´ıa de Lorentz. Para esto debemos observar desde un principio que los corchetes de Poisson, no son covariantes de Lorentz  i j  i q , q = Θij , q , pj = δ i j , {qi , qj } = 0, (4.49) ya que el par´ametro Θij es constante. Para aliviar lo pasado en [28] se formula una teor´ıa de relatividad general con coordenadas can´onicas, donde se menciona primero que el corchete noconmutativo entre coordenadas viola expl´ıcitamente la covariancia de coordenadas generales, se introduce despu´es una transformaci´on sobre las coordenadas no can´onicas de modo que estas nuevas coordenadas preserven tal covariancia. Adem´as en [29] el autor encuentra una transformaci´on a coordenadas can´onicas, la cu´al lo llevan a una transformaci´on de Lorentz generalizada en t´erminos de las coordendas no-conmutativas tal que el corchete entre posiciones quede invariante ante tal transformaci´on. Muchos art´ıculos usan esta transformaci´on, de forma que recobran la invariancia ante transformaciones de Lorentz, pero ninguno hace referencia a que esta transformaci´on proviene del teorema de Darboux y sobre todo, que no es u ´nica. En lo que sigue construiremos las transformaciones de Lorentez no-conmutativas para una de las transformaciones de Darboux. Debemos enfatizar que esta transformaci´on no corresponde a las transformaciones can´onicas, ya que estas u ´ltimas son las que dejan invariante a la estructura simpl´ectica Ω, mientras que las primeras nos llevan de una estructura no can´onica a una can´onica y vice versa.
Denotaremos con xµ = Qi , pj a las coordenadas can´onicas, mientras que las no can´onicas
las denotaremos por y µ = q i , pj . La estructura simpl´ectica la podemos escribir en coordenadas 68

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

como

1 1 Ω = Ωc + Θil dpi ∧ dpl = dpi ∧ dq i + Θil dpi ∧ dpl , 2 2 factorizando dpi tenemos   1 im i Ω = dpi ∧ dq + Θ dpm , 2

(4.50)

(4.51)

con esto podemos definir nuestra transformaci´on definiendo 1 dQi = dq i + Θim dpm , 2

(4.52)

dxµ = S µ ν dy ν ,

(4.53)

o en forma matricial donde S µ ν es la matriz 

Sµν

1 0  0  0 = 0  0  0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 2 θ1 2 θ2 1 1 0 0 − 2 θ1 2 θ4 1 1 0 0 − 2 θ2 − 2 θ4 1 − 12 θ3 − 12 θ5 − 12 θ6 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1  2 θ3 1  2 θ5  1  2 θ6 

0 0 0 0 1

 .     

(4.54)

Es f´acil comprobar que la matriz  1 0  0  0 = 0  0  0 0

H µν

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

 0 θ1 θ2 θ3 0 0 θ4 θ5   0 0 0 θ6   0 0 0 0 , 1 0 0 0  0 1 0 0  0 0 1 0 0 0 0 1

(4.55)

tambi´en es una transformaci´on de Darboux que cambia las coordenadas como sigue: Q0 = q 0 + θ1 p1 + θ2 p2 + θ3 p3 ,

(4.56a)

Q1 = q 1 + θ4 p2 + θ5 p3 ,

(4.56b)

2

Q

3

Q

2

(4.56c)

3

(4.56d)

= q + θ 6 p3 , = q . 69

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

Dado el resultado encontrado en la secci´on de la no-conmutatividad en los momentos, en este punto consideraremos como fundamentales a las transformaciones de Lorentz generadas por M ij = Qi pj − Qj pi ,

(4.57)

estos generadores forman un ´algebra a trav´es de los corchetes de Poisson can´onicos. Por tal motivo, dejaremos fijos los generadores y trataremos de encontrar nuevas transformaciones de Lorentz que dejen invariante un elemento de l´ınea no-conmutativo. Notemos que siempre que trabajemos con coordenadas can´onicas, si se da el caso, deberemos acompa˜ narlas de la estructura simpl´ectica can´onica, mientras que para encontrar el an´alogo no-conmutativo, trabajamos sobre las coordenadas conmutativas y multiplicamos a las coordenadas la matriz correspondiente a la transformada de Darboux. Como ejemplo tomemos el caso de un boost infinitesimal en la direcci´on x, i.e. M 01 6= 0 y los dem´as generadores igual a cero, tomemos tambi´en la transformaci´on de Darboux (4.54). Si hacemos la transformaci´on a primer orden en ω01 tendremos 
Q0i = Qi − ω01 Qi , M 01 = Qi − ω01 Q0 η i1 − Q1 η i0 , (4.58) usamos (4.52) y encontramos 1 1 Q0i = q 0i + Θim p0m = q i + Θim pm 2 2    1 1 1m i0 0 0m i1 1 −ω01 q + Θ η − q + Θ η pm . 2 2

(4.59)


0 Entonces usando la transformaci´on infinitesimal en los momentos p0m = pm −ω01 p0 δm 1 − p1 δm encontramos 1 1 (4.60) q 0i = q i − ωm i q m + ωl i Θlm pm − Θim ωm n pn , 2 2 los momentos se mantendr´an como en el caso can´onico y las posiciones ser´an
1 q 00 = q 0 − ω1 0 q 1 + ω1 0 Θ1m pm − Θ01 p0 , (4.61a) 2
1 q 01 = q 1 − ω0 1 q 0 + ω0 1 Θ0m pm − Θ10 p1 , (4.61b) 2
1 q 02 = q 2 − ω0 1 Θ20 p1 − Θ21 p0 , (4.61c) 2
1 q 03 = q 3 − ω0 1 Θ30 p1 − Θ31 p0 . (4.61d) 2 Si calculamos repetidamente el corchete con coordenadas can´onicas encontramos las transformaciones de Lorentz usuales e incluyendo la transformada de Darboux encontramos las transformaciones de Lorentz no-conmutativas. 70

Invariancia de Lorentz en Deformaciones Simpl´ecticas. 4.2 Transformaciones de Lorentz.

Siguiendo a [29], podemos definir un elemento de l´ınea invariante no-conmutativo ante estas transformaciones, a trav´es del elemento de l´ınea invariante ds2 = dQi dQi ,

(4.62)

introducimos la transformaci´on (4.52) en (4.62) y encontramos 1 ds2nc = q i qi + Θi m q i pm + Θim Θi α pm pα , 4

(4.63)

el cu´al es invariante ante las transformaciones (4.60) a primer orden en ωij , solo si asumimos que el cuadrado de los par´ametros no-conmutativos son del orden de ωij , i.e. Θ2 ∼ ω Existe una forma de ver estas transformaciones de forma matricial. Por ejemplo, en el caso can´onico definimos la matriz  i  Λj 0 µ L ν= , (4.64) 0 Λj k
como una transformaci´on de Lorentz sobre las coordenadas del espacio fase xµ = Qi , pj . Entonces las coordenadas primadas ser´an x0µ = Lµ ν xν .

(4.65)

Si adem´as usamos la transformaci´on (4.53) tendremos S µ ν y 0ν = Lµ ν S ν ρ y ρ .

(4.66)

Debemos tener cuidado con esta multiplicaci´on, ya que es importante recordar que el vector y µ contiene a un cuadrivector contravariante (Qi ) y a un cuadrivector covariante (pj ) y que la matriz Lµ ν no es una transformaci´on usual de Lorentz. Adem´as si S˜α µ es la inversa de la matriz S µ ν tendremos que las coordenadas no can´onicas se transforman como y 0α = S˜α µ Lµ ν S ν ρ y ρ .

(4.67)

Para finalizar observemos que encontramos transformaciones de Lorentz no-conmutativas dejando los generadores del ´algebra de Lorentz fijos y un elemento de linea invariante ante estas transformaciones, con el cual tal vez se pueda escribir una relatividad especial no-conmutativa.

71

72

Cap´ıtulo 5

Conclusiones. En este trabajo se estudiaron b´asicamente tres cosas: mec´anica cl´asica no-conmutativa, electromagnetismo no-can´onico y transformaciones de Lorentz en un espacio no-conmutativo. En el Cap´ıtulo 2 formulamos lo que entendemos por Mec´anica Cl´asica No-conmutativa y demostramos el Teorema de Darboux, el cual nos brinda un puente entre las los sistemas can´onicos y los no-can´onicos. Al trabajar el problema cl´asico de una part´ıcula cargada en presencia de un campo magn´etico constante, mostramos que en el caso no-can´onico en contraste con el can´onico no tenemos que escoger una norma para escribir el Hamiltoniano, ya que en el caso no-can´onico se usa el Hamiltoniano de una part´ıcula libre y se postula que el campo magn´etico modifica el espacio fase del sistema; en este punto se encontr´o que las ecuaciones que describen la fuerza de Lorentz y las propiedades del sistema can´onico se pueden encontrar a trav´es de una mec´anica cl´asica no-conmutativa, donde la no-conmutatividad est´a en el sector de los momentos, tambi´en a trav´es de este problema se ejemplific´o el uso de las deformaciones simpl´ecticas. En el problema cu´antico no-conmutativo de la part´ıcula cargada en presencia de un campo magn´etico constante, encontramos que el equivalente a la norma del potencial vectorial magn´etico es la transformaci´on de Darboux al momento de escoger una representaci´on para los momentos en el espacio de coordenadas; la forma de escoger esta representaci´on, al igual que al escoger una norma, modifica los estados encontrados. En el Cap´ıtulo 3 reescribimos las ecuaciones de Maxwell a trav´es de un lenguaje m´as formal, incorporando las deformaciones simpl´ecticas para encontrar la fuerza de Lorentz a trav´es del formalismo Hamiltoniano. Cabe enfatizar que las relaciones constitutivas encontradas son las que determinan la geometr´ıa del espacio: en el caso cl´asico determinan la geometr´ıa euclidiana y en el caso relativista la geometr´ıa conforme. De hecho las ecuaciones (3.116) y (3.125) son las ecuaciones de Maxwell generales, escritas para cualquier m´etrica. En el Cap´ıtulo 4 encontramos una representaci´on de los generadores del ´algebra de Lorentz 73

Conclusiones.

en una variedad simpl´ectica con estructura simpl´ectica can´onica. Al introducir la deformaci´ on simpl´ectica en el sector de los momentos nos preguntamos si bajo este formalismo est´a permitido mantener las transformaciones de Lorentz usuales y encontrar nuevos generadores que cerraran un ´algebra de Lorentz deformada a trav´es de una estructura simpl´ectica deformada. Cuando usamos 3+1 dimensiones, la respuesta es que es inconsistente hablar de transformaciones usuales de Lorentz con generadores deformados, para hacer consistente al sistema de ecuaciones por resolver, se pueden introducir condiciones sobre el par´ametro no-conmutativo, estas condiciones nos dicen que en dimensi´on 3+1 el par´ametro no-conmutativo es cero y que en dimensi´on 1+1 el par´ametro es arbitrario (en dimensi´on 1+1 solo hay un par´ametro no-canmutativo), sin embargo, en dimensi´on 1+1 el par´ametro que encontramos no cierra un ´algebra de Lie a trav´es de los corchetes de Poisson no-can´onicos. Despu´es nos preguntamos si era posible mantener los generadores del ´algebra y encontrar nuevas transformaciones de Lorentz a trav´es de una deformaci´on de la estructura simpl´ectica en el sector de las posiciones. En este punto las transformaciones de Darboux fueron esenciales, pues no solo se encontraron nuevas transformaciones, sino que se encontr´o un elemento de linea invariante ante estas nuevas transformaciones. Adem´as, se observ´o que cualquier ecuaci´ on covariante escrita en su forma can´onica, se puede reescribir como su an´alogo no-conmutativo mediante la transformaci´on de Darboux quedando de forma covariante ante las nuevas transformaciones de Lorentz. A´ un queda por discutir que pasa si deformamos la estructura simpl´ectica y encontramos nuevas transformaciones de Lorentz y nuevos generadores del ´algebra de Lorentz. A simple vista parecer´ıa que tendr´ıamos que ampliar el grupo de Lorentz, pero esa afirmaci´on queda por confirmar. En el futuro se tratar´a de construir una Relatividad Especial No-conmutativa tratando de encontrar un significado para los t´erminos adicionales que se encuentren en dicha teor´ıa.

74

Ap´ endice A

Dualidad de Hodge. En este ap´endice definiremos y trabajaremos con el operador llamado dual de Hodge, el cual tiene su uso en la construcci´on de la electrodin´amica cl´asica y relativista en espacios planos, pues a trav´es de ´el conectaremos a las propiedades del vac´ıo con la geometr´ıa del espacio-tiempo. Empezaremos repasando r´apidamente a las formas diferenciales, los elementos de volumen y finalmente definimos el dual de Hodge.

A.1.

Formas Diferenciales.

Una p-forma es el equivalente matem´atico de un campo tensorial antisim´etrico viviendo en una variedad M. Consideremos un parche de M parametrizado por n coordenadas reales xi . Una p-forma se puede escribir como B(x) = Bi1 ...ip dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ,

(A.1)

donde la suma es tomada con i1 < · · · < ip (la definici´on del producto cu˜ na ∧ ser ver´a mas i abajo). Adem´as, los dx son llamados vectores cotangentes en el punto x. Formalmente un vector cotangente es un mapeo lineal del espacio vectorial tangente en el punto x a los n´ umero i reales. El vector cotangente dx es el mapeo lineal espec´ıfico que mapea al vector tangente unitario en la direcci´on xi a 1, y todos los vectores tangentes en las otras coordenadas a cero. De esto u ´ltimo vemos que el mapeo lineal general del espacio vectorial tangente al punto x a R puede ser escrito como A(x) = Ai (x)dxi . (A.2) En otras palabras, el espacio de todas las 1-formas es precisamente el espacio vectorial de todos los campos vectoriales cotangentes. Notemos que para cada punto x, los valores posibles de una 1-forma hacen un espacio vectorial n-dimensional con coordenadas Ai (x). 75

Dualidad de Hodge.

A.1 Formas Diferenciales.

Por supuesto, la notaci´on usando dxi sugiere una relaci´on con las integrales. Supongamos que tenemos una curva cerrada unidimensional γ dentro de M y mostremos que una 1-forma A(x) en M puede ser naturalmente integrada a lo largo de γ. Parametrizamos a γ con t, as´ı que sus coordenadas estar´an dadas por xi (t). Al tiempo t, la velocidad dx(t)/dt es un vector tangente a M en el punto x(t). Uno puede insertar este vector tangente en el mapeo lineal A(x) para obtener un n´ umero real. Por definici´on, al insertar el vector tangente dx(t)/dt i en el mapeo lineal dx obtenemos la componente dxi (t)/dt. Si hacemos esto para todas las t, podemos integrar sobre t:  Z  dxi dt. (A.3) Ai (x(t)) dt Es claro que esta expresi´on es independiente de la parametrizaci´on. Adem´as, por la forma en que se transforman los vectores tangentes, podemos deducir la forma en que se transforman los mapeos lineales dxi , y de esto la forma en que se transforman los coeficientes Ai (x). Conociendo esto, podemos observar que (A.3) tambi´en es invariante ante cambios de coordenadas en M. Entonces una 1-forma puede ser integrada sin ambig¨ uedades sobre una curva en M. Esta integral la escribiremos como: Z Z Ai (x)dxi .

A= γ

(A.4)

γ

De forma similar, quisi´eramos definir una 2-forma como algo que pueda ser integrado de manera natural sobre una superficie 2-dimensional en M. En un punto espec´ıfico x, el plano tangente a dicha superficie es generada por el par de vectores tangentes (v 1 , v 2 ). As´ı que para generalizar la construcci´on de una 1-forma, deber´ıamos tener un mapeo bilineal que lleve al par de vectores a R. El mapeo mas general de esta forma es Bij (x)dxi ⊗ dxj ,

(A.5)

donde el producto tensorial de dos vectores cotangentes act´ ua en un par de vectores como sigue (donde seguimos tomando la suma con i < j): dxi ⊗ dxj (v 1 , v 2 ) = dxi (v 1 )dxj (v 2 ).

(A.6)

En el lado derecho de (A.6), est´a expresada la multiplicaci´on ordinaria de dos n´ umeros. El mapeo bilineal (A.5) es m´as general que lo que necesitamos para una buena integraci´ on. La raz´on es que nos gustar´ıa que la integral cambiara de signo si cambiamos la orientaci´ on 1 2 simplemente intercambiando v y v , as´ı que necesitamos que nuestro mapeo bilineal sea antisim´etrico ante este intercambio. Esto se hace definiendo una 2-forma como:
B = Bij (x)dxi ∧ dxj = Bij (x) dxi ⊗ dxj − dxj ⊗ dxi . (A.7) 76

Dualidad de Hodge.

A.2 Elemento de Volumen.

Y ahora es claro por qu´e una dos forma corresponde a un campo tensorial antisim´etrico. Si ahora parametrizamos una superficie Σ en M con dos coordenadas t1 y t2 y razonando exactamente como en el caso de la 1-froma, podemos mostrar que la integraci´on de una 2-forma en una superficie est´a bien definida y es independiente de la parametrizaci´on de Σ y M. Para p-formas de mayor grado, la construcci´on se realiza exactamente de la misma manera. Adem´as podemos usar el producto cu˜ na para multiplicar una p-forma arbitraria con una qforma arbitraria como sigue: (1)

(2)

B (1) ∧ B (2) = B[i1 ...ip Bip+1 ...ip+q ] dxi1 ∧ · · · ∧ dxip+q

(A.8)

Adem´as existe una noci´on natural de tomar derivadas de p-formas. Ya que tomar una derivada respecto xi de un tensor antisim´etrico adiere un indice covariante m´as, naturalmente podemos construir una derivada que sea un mapeo de p-formas a (p+1)-formas. Esta derivada d es llamada la derivada exterior y est´a definida como: ∂Bi1 ...ip j dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip . ∂xj Dadas las propiedades antisim´etricas del producto cu˜ na, tenemos que dB ≡

d2 = 0.

A.2.

(A.9)

(A.10)

Elemento de Volumen.

Definici´ on 4 Sobre una variedad diferenciable M de dimensi´ on m dotada con una m´etrica g, definimos el elemento de volumen invariante como p ΩM = |g|dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxm , (A.11) donde g = det (gµν ) y xµ son las coordenadas locales en una carta (U, φ). Si y µ son las coordenadas de otra carta (V, ψ) con U ∩ V 6= 0, el volumen ser´a: s  µ λ ∂x ∂x ΩM = |det gµν |dy 1 ∧ · · · ∧ dy m , ν ∂y ∂y κ   ∂x p ∂y 1 ∂y m = det |g| λ1 · · · λm dxλ1 ∧ · · · ∧ dxλm , ∂y ∂x ∂x p λ ···λ ∂y 1 ∂y m = |det (M ) | |g| 1 m λ1 · · · λm dx1 ∧ · · · ∧ dxm , ∂x  ∂x  p 1 ˜ = |det (M ) | |g|det M dx ∧ · · · ∧ dxm , p = ± |g|dx1 ∧ · · · ∧ dxm , 77

(A.12a) (A.12b) (A.12c) (A.12d) (A.12e)

Dualidad de Hodge.

A.3 Dual de Hodge.


˜ es la inversa de la matriz M . Si x y y definen la en donde se us´o dy λ = ∂y λ /∂xµ dxµ y M µ ν misma orientaci´on, entonces det (∂x /∂y ) es estrictamente positivo. Adem´as debemos notar que µ1 ...µm = g µ1 ν1 · · · g µm νm ν1 ...νm = gµ1 ...µm . (A.13)

A.3.

Dual de Hodge.

En geometr´ıa diferencial el operador de derivada exterior d es un mapeo de las r−formas con las (r + 1) −formas, de igual manera el operador iX con un campo vectorial X fijo define un mapeo de las r−formas con las (r − 1) −formas. El siguiente mapeo que definiremos nos ayudar´a a obtener un producto interno en el espacio de las p−formas, y por tal motivo, su nombre: Definici´ on 5 El operador ∗ (estrella) de Hodge es un mapeo lineal ∗ : Ωr (M) → Ωm−r (M) y se define como sigue: p |g| µ1 ...µr µ νr+1 µ (A.14)  ∧ · · · ∧ dxνm , ∗ (dx1 ∧ · · · ∧ dxr ) = νr+1 ...νm dx (m − r)! y en general para una r−forma ω: p |g| ∗ω = ωµ ...µ µ1 ...µr νr+1 ...νm dxνr+1 ∧ · · · ∧ dxνm , r! (m − r)! 1 r

(A.15)

en donde m es la dimensi´ on de M. Con esta definici´on estamos listos para construir un producto interno en el espacio de las r−formas. Sean ω, η ∈ Ωr (M) y calculando el producto cu˜ na de ambas r−formas encontramos que p |g| 1 ω ∧ ∗η = ωµ1 ...µr r! r! (m − r)! ν1 ...νr µ1  ∧ · · · ∧ dxµm ην1 ...νr , (A.16a) µr+1 ...µm dx p |g| 1 ωµ ...µ η ν1 ...νr = r! r! (m − r)! 1 r ν1 ...νr µr+1 ...µm µ1 ...µm dx1 ∧ · · · ∧ dxm , (A.16b) p 1 = ωµ ...µ η µ1 ...µr |g|dx1 ∧ · · · ∧ dxm , (A.16c) r! 1 r = hω, ηiΩM , (A.16d)

78

Dualidad de Hodge.

A.3 Dual de Hodge.

donde subimos y bajamos indices con la metrica gµν , usamos la relaci´on η ν1 ...νr ν1 ...νr µr+1 ...µm µ1 ...µm = r! (m − r)!η µ1 ...µr

(A.17)

y 1 ωµ ...µ η µ1 ...µr . (A.18) r! 1 r Si ahora queremos construir un producto interno sobre toda la variedad, vemos que ω ∧ ∗η es una m−forma y por tanto su integral sobre M est´a bien definida. Entonces podemos tomar el producto interno como Z Z hω, ηi =

(ω, η) =

ω ∧ ∗η =

hω, ηiΩM .

(A.19)

M

Otra faceta interesante del dual de Hodge es que podemos determinar la m´etrica a trav´es del producto h , i. Si conocemos como opera ∗ sobre una r−forma sin conocer la m´etrica, la relaci´on ω ∧ ∗η = hω, ηiΩM nos dar´a un conjunto de ecuaciones para determinar la m´etrica despu´es de acomodar el elemento de volumen y despu´es de usar la relaci´on hω, ηi =

1 ωµ ...µ g µ1 ν1 · · · g µr νr ην1 ...νr . r! 1 r

En una variedad Minkoiskiana de dimensi´on cuatro con signatura −2 es f´acil mostrar que si dos m´etricas est´an relacionadas conformemente, entonces tienen el mismo dual de Hodge: Dadas g y gˆ tal que gˆµν = Θgµν , tenemos que gˆ = µνλρ gˆ0µ gˆ1ν gˆ2λ gˆ3ρ = µνλρ Θ4 g0µ g1ν g2λ g3ρ , 1 entonces Θ = |ˆ g /g| 4 , adem´as para 2−formas tenemos p p |ˆ g| |g| ρτ µ ν ˆ∗F = ˆ Fρτ dx ∧ dx = Fρτ Θ2 µν ρτ dxµ ∧ dxν = ∗F. 2 µν 2Θ2 Si ahora nos preguntamos por la condici´on necesaria, i.e., ¿si dos operadores duales correspondientes a m´etricas distintas son iguales, entonces las m´etricas son iguales?, encontraremos en el siguiente teorema que la respuesta es: casi. Teorema 4 Sean gµν y gˆµν (reales, no degeneradas) m´etricas de signatura arbitraria en una variedad de dimensi´ on cuatro, tal que para todo F ∈ Ω2 (M) ∗F ≡ ˆ∗F =⇒ gˆµν = ±Θgµν , esto es, las m´etricas son conformes. La demostraci´on se puede encontrar en [20]. 79

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