Universidad de Ja´ en Departamento de Matem´ aticas Ingenier´ıa T´ ecnica en Inform´ atica de Gesti´ on.

Algebra I I Relaci´ on de problemas 3. Espacios vectoriales. 1.-Estudiar si los siguientes conjuntos forman o no espacio vectorial sobre el conjunto umeros racionales. √ √ de los n´ a) Z[ √5] = {a + b √5 : a, b ∈ Z} b) Q[ 5] = {a + b 5 : a, b ∈ Q} 2.-Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores de M2 (R) son linealmente independientes   o linealmente   dependientes:  2 −1 0 −3 4 1 a) , ,  4 0   1 5   7 −5    1 −1 −1 0 1 1 0 1 b) , , , 0 6 3 1 −1 2 1 0 3.-Estudiar si los siguientes vectores de P2 (R) son base: p(x) = x2 + x + 1, q(x) = 2x + 1, r(x) = x2 + 1 Calcular las coordenadas del polinomio 5x2 + 3x + 2 4.-El mismo ejercicio 3 para K = Z2 5.-Los vectores e1 , e2 , e3 y x vienen dados por sus coordenadas en cierta base. Comprobar que {e1 , e2 , e3 } es una base y hallar las coordenadas del vector x en dicha base. e1 ≡ (1, 1, 1), e2 ≡ (1, 1, 2), e3 ≡ (1, 2, 3), x ≡ (6, 9, 14) Dar tambi´en las ecuaciones de cambio de base. 6.-En R3 se consideran las bases B1 = {(1, 0, 1), (−1, 1, 1), (1, −1, 0)} y B2 = {(2, 1, 1), (1, 1, 1), (1, −1, 1)} 1

Calcular la matriz de cambio de base de B2 a B1 . Calcular las coordenadas en la base B1 del vector cuyas coordenadas en la base B2 son (3, −2, 2). 7.-Deterninar si los siguientes conjuntos de M2 (R) son subespacios vectoriales:   a b a) H = {A ∈ M2 (R) : A = } −b c   a 1+a b) H = {A ∈ M2 (R) : A = } 0  0 −b a c) H = {A ∈ M2 (R) : A = } a b   0 b d) H = {A ∈ M2 (R) : A = } a 0 8.-Se consideran los siguientes subespacios de R4 siguientes: V1 = {(x, y, z, t) : x + y + z = 0} V2 = L({(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)}) V3 = {(x, y, z, t) : x = λ + µ, y = λ + γ, z = γ + δ, t = λ + δ} ¿Pertenece el vector (1, 0, 1, −2) a dichos subespacios? En caso afirmativo calcular las coordenadas de este vector con respecto a alguna base de dichos subespacios. (La elecci´on de la base es arbitraria). 9.-En el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 3 se consideran los subespacios F0 = {p(x) : p(0) = 0} F1 = {p(x) : p(1) = 0} F−1 = {p(x) : p(−1) = 0} Escribir unas ecuaciones cartesianas y una base de cada uno de ellos. 10.-Sea {Ui : i = 1, ....., n} familia de subespacios vectoriales de V . Demostrar que a) L(Ui ) = Ui para todo i = 1, ..., n b) Si Ui = L(Si ) para todo i = 1, ..., n, entonces L(U1 ∪ .... ∪ Un ) = L(S1 ∪ .... ∪ Sn ) 11.- En M2 (R) consideramos los conjuntos   a b V1 = { : a, b ∈ R} a−b a+b y 2

 V2 = {

a b c d

 : a + b + c + d = 0 y 2a − c − d = 0}

Demostrar que ambos son subespacios vectoriales y calcular bases de V1 ∩ V2 y V1 + V2 . 12.-Sea R3 [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coefiicientes en R y consideremos en ´el la base can´onica. Dados los subespacios U = L({x2  + 2x, −x2 + x, x2 + x}) x2 + x3 = 0 W ≡ 2x2 − x3 = 0 y  x1    x2 V ≡ x3    x4

=0 = −β =0 =α+β

Calcular: a) U ∩ W b) U + W c) ¿Son U y W subespacios suplementarios? d) Una base de W ∩ V. e) Unas ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de U + V. 13.-En R3 se consideran los subespacios: U = L({(2, 0, −1), (1, 2, 0), (0, 4, 1)}) y  W ≡

x =0 y+z =0

Calcular bases de los espacios R3 /U, R3 /W, R3 /(U ∩ W ), y R3 /(U + W ) . Hallar las coordenadas de (−1, 2, 1) + U en la base obtenida para R3 /U. 14.-Sea R2 [x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coefiicientes en R y consideremos en ´el la base can´onica. Dados los subespacios 3

2 2 2 U = L({x  + 1, 2x , x − 1}) x1 + x2 = 0 W ≡ 2x1 − x3 = 0

Se pide: a) Comprobar si R2 [x] = U ⊕ W. b) Calcular R2 [x]/U y R2 [x]/W , dando bases y dimensiones. c) Calcular las coordenadas de la clase del vector (1, 1, 1) en cada uno de los espacios cocientes para las bases anteriores. 15.-Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes en Z5 . Se pide: A) Demostrar que el polinomio x3 y sus tres primeras derivadas forman una base de V . B) Sea W el subespacio generado por los vectores 1 + 3x + 5x2 , −1 + 2x2 , 3 + 3x + x2 Calcular dimensi´on, base, ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas de W . C) Sea U el subespacio generado por los vectores 1 + x2 y 1 − x2 .Calcular dimensi´on, base, ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas de U . ¿Pertenecen los polinomios 1 + x y 1 + 5x2 a U ?. D) Calcular dimensi´on, base, ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas de U + W y U ∩W . 16.-Consideremos en R3 los subespacios  ax + y + z = 0 U≡ W = L((−1, 1, 0), (−a, 0, 1)) x + ay + z = 0 donde a ∈ R. Se pide: i) Estudiar, seg´ un los valores de a, dimensi´on, base, ecuaciones param´etricas y cartesianas de U . ii) Calcular base, dimensi´on, ecuaciones param´etricas y cartesianas de W . iii) Estudiar para qu´e valores de a, U y W son suplementarios. iv) Calcular una base de R3 /W y las coordenadas en ella del vector (1, 0, 0) + W. 17.-Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en R. Consideremos U y W los conjuntos formados por las matrices sim´etricas y antisim´etricas, respectivamente. Demostrar que ambos son subespacios vectoriales.Calcular base, ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas para U y W . ¿Son subespacios suplementarios?. 18.-Sea V = M2 (C) y consideremos en los subconjuntos 4

 U ={

a b −b a



 : a, b ∈ C} y W = {

a b b −a

 : a, b ∈ C}

i) Demostrar que U o W son subespacios vectoriales. ii) Calcular base, dimensi´on, ecuaciones param´etricas y cartesianas de U, W, U ∩ W, U + W . iii) ¿Son U y W son subespacios suplementarios?. una base de M2 (C)/U y las coordenadas en ella del vector  iv) Calcular  1 i + U. i 0

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