Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIO ECUACIONES NO LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

Ejercicios:

1) Sea la ecuación   !), donde g satisface | ( !)| ) * ) 1 +,  , -., /0. a) Probar que también se cumple | !8 ) 9 !: )| ; *|8 9 : | +8 , : , -., /0. b) Demostrar que si se cumple la condición en !a), la ecuación   !), tiene a lo mas, una solución en el intervalo -8 , : 0.

Sol:

Se tiene que   !) !=>?/@AB. CA =DEF? GHI?), y que la función g!x) satisface la condición de | ( !)| ) * ) 1 +,  , -., /0. a) Del problema de punto fijo   !) se desprende que: 8  !8 ) :  !: )

Si se restan queda: |8 9 : |  | !8 ) 9 !: )|

Ocuparemos el T.V.M. !Teorema de Valor Medio), el cual está dado por: ( !)



O!PQ )RO!PS ) PQ RPS




|8 9 : || ( !)|  | !8 ) 9 !: )|

Se sabe por el enunciado que | ( !)| ) *, por lo que podemos relacionar la resta entre 2 problemas de punto fijo con el T.V.M., entonces se tendría que: | !8 ) 9 !: )|  | ( !)||8 9 : | ) *|8 9 : |

Por lo tanto | !8 ) 9 !: )| ) *|8 9 : | +8 , : , -., /0. Queda probado.

b) Se desea demostrar que   !) tiene 1 sola solución en -8 , : 0.

Suponiendo que existen en g!x) 2 puntos fijos !o soluciones), entonces: !8 )  8 !: )  : Al ser restados queda:

| !8 ) 9 !: )|  |8 9 : | , ahora aplicamos TVM !|8 9 : || ( !)|  | !8 ) 9 !: )|).


|8 9 : || ( !)|  |8 9 : | que:

, y por el enunciado principal !| ( !)| ) *), se tiene

|8 9 : |  | ( !)||8 9 : | ) *|8 9 : |


|8 9 : | ) *|8 9 : |

Siendo que L está entre -0,10, la ecuación anterior resulta ser una contradicción
 Entonces, se concluye que para g!x) existe un único punto fijo en el intervalo -8 , : 0, siempre y cuando se cumpla la condición de que | ( !)| ) * ) 1 +,  , -., /0.

2) La ecuación 2 Z [ 24 ] [ 61 : 9 16 [ 1  0 tiene dos raíces cerca de 0.1 (0.1213203436; 0.1231056256), encuéntrelas mediante el método de NewtonRaphson.

Sol:

El método de N-R, es el método iterativo que requiere de la función, su derivada y un punto de inicio, la formula está dada por: f(P )

de8  d 9 fh (Pg ) ; n0, 1,2,….

Entonces:

g

G()  2 Z [ 24 ] [ 61 : 9 16 [ 1 Gj()  8 ] [ 72 : [ 122 9 16

Con m  0.1

Al reemplazar los datos, se obtiene: de8  d 9

2d Z [ 24d ] [ 61d : 9 16d [ 1 8d ] [ 72d : [ 122d 9 16

Entonces las iteraciones son: ₁  0.1111328125

₂  0.11664780053787 ₃  0.11936143263559 ₄  0.12064808476922 ₅  0.12117604663885 ₆  0.12131031004941 ₇  0.12132028783201

₈  0.12132034355771


Aproximación a la raíz buscada (0.1213203436)

Ahora buscaremos la otra raíz, tomando como punto de inicio m  0.13 ₁  0.12616290927433 ₂  0.1242900624559

₃  0.12344358909839 ₄  0.12315206375549 ₅  0.123106774549

₆  0.12310562635671 ₇  0.1231056256179


Aproximación a la raíz buscada (0.1231056256)

3) Demuestre que al usar el método de Newton-Raphson, para aproximar el reciproco de un numero S, S>0 se obtiene la formula iterativa ye8  y !2 9 z { y ), |  0,1 … 8 Calcular 8} usando el algoritmo. Sol: El algoritmo de N-R, esta dado por ye8  y 9 El reciproco de un número S, es:   Gj!) 

8 


z

f!P~ ) f h !P~ ) 8 P

8


G!)  z 9  0 P

1 :

Ahora reemplazamos los datos en la ecuación de N-R Q €~ Q €~ S

R

ye8  y 9




ye8  y 9

!{P~ R8) P~

{

P~ S 8

 y 9 !z { y: 9 y )  2y 9 z { y: y { !2 9 z { y ) Entonces: ye8y { !2 9 z { y ) Para calcular 1/17, por el algoritmo encontrado, se considera S17, por lo tanto, la ecuación quedaría: ye8 y { !2 9 17 { y ) Se sabe que 1/17 está entre 0 y 0.1. Por lo que consideraremos como punto de inicio m  0.05 Las iteraciones queda igual a: ₁  0.0575 ₂  0.05879375 ₃  0.058823514335938 ₄  0.058823529411764 El error absoluto de ₃ es: ‚ƒ !₃)  |₄ 9 ₃|  |0.05882352941176490.058823514335938|1.5075826*10R… ‚ƒ !₃)  1.5075826*10R… < ℰ10R} Después de 4 iteraciones se llego a ₄  0.058823529411764 que es una aproximación 8 de con un ‚ƒ < ℰ  10R… . 8}

f !₄  0.058823529411764 ) ‡ 0
₄ es raíz de f!x) con S17

4) Determine el intervalo de convergencia del método de Newton-Raphson cuando se 8 aplica a la función G!)  2P 9 ] Sol: Para aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, se tiene: G!)  2P 9

1 3

Gj!)  2P ln 2 !Derivada implícita) :€g R

Q

ˆ Entonces: de8   d 9 :€g ‰Š : ‹ŒŒŒŒŽ

O!Pg )

( ! ) d

19 1 9

1 !2Pg ln 2 { 2Pg ln 2 9 2P 9 3 { 2P !ln 2): 2:Pg !ln 2):

8

]{:€

Según la propiedad | ( !)| ) * ; 1 Entonces: ‘1 9 -91 ; 1 9

8

]{:€

8

]{:€

‘;1

;1

……… 6 > 2RP >0 /*Ln ln 6 > 9 { ln 2 > ln 0/*-1 9

‰Š ’ ‰Š :

;  ; ln 0


 , [9

‰Š ’ ‰Š :

, ∞]

Por lo tanto el intervalo de convergencia es [9

‰Š ’ ‰Š :

, ∞]

”•Š P

5) Encuentre el punto positivo donde la función G!)  S alcanza su valor mínimo P calculando los ceros de Gj!) con el método de Newton-Raphson. Calcule dicho valor mínimo. Sol:

Se necesita saber la función a la cual se le aplicará el método de N-R, su derivada y el punto de inicio del algoritmo !dentro de un intervalo, para disminuir la cantidad de iteraciones). Entonces: G!)  G ( !) 

G (( !) 

”•Š P PS

8

P S !–—˜ P)S ’ ”•Š P Pš

9

9 Pˆ

: ”•Š P Pˆ

Z

!–—˜ P)S


Función buscada para aplicar el algoritmo : ˜›Š P

[ PS

!–—˜ P)ˆ


Derivada de la función a analizar

Ahora sustituimos los datos en la formula de N-R, la cual en nuestro casi es así:

de8  d 9 de8

G ( !) Gjj!)

1 2 tan d 9  d ] d : (cos d ):  d 9 4 2 sin d 6 tan d 9 ] [  œ d Z d !cos d ): d : !cos d )] œ

El intervalo !para obtener el punto de inicio del algoritmo) lo podemos obtener por medio de un barrido entre 0 y 2 !aplicando el TVI), de sugerencia ž  [0.9; 1]. Al tener el intervalo, elegimos algún punto que esté en su interior, como m  0.9. Las iteraciones son: ₁  0.94775114536635

₂ = 0.94774713352959 ₃ = 0.94774713351695 ₄ = 0.94774713351695 El error absoluto de ₃ es:

‚ƒ (₃) = |₄ 9 ₃| = |0.94774713351695 9 0.94774713351695| ‡ 0

‚ƒ (₃) ‡ 0

Después de 4 iteraciones se llego a ₄ = 0.94774713351695 que es una aproximación a la raíz de G ( (), con un ‚ƒ (₃) ‡ 0. Esta aproximación es el punto mínimo de la ”•Š P función G() = S . P

G ( (₄ = 0.94774713351695) = -1.7250028381586*10R8] ‡ 0

G(₄ = 0.94774713351695) = 1.5494400344836

El valor mínimo de la función es 1.5494400344836.

6) Determinar algoritmos de punto fijo para obtener una solución aproximada de la ecuación !1 [ )ŸAE!)  1.

Sol:

Ordenamos la ecuación G!)  ŸAE!) [ ŸAE!) 9 1  0

Ahora le sumamos  : en ambos lados de la ecuación, quedando: ŸAE!) [ ŸAE!) 9 1 [  :   :

Despejando una de las x, para formar el algoritmo de punto fijo !de8  !d )) de8   ŸAE!d ) [ d ŸAE!d ) 9 1 [ d :


Algoritmo de punto fijo

Evaluamos la función en algunos puntos, para obtener un intervalo que contenga la raíz que buscamos. Por lo que nos queda un intervalo !después del “barrido”), ž  -2.85; 2.90.

Elegimos un punto de inicio, m  2.875

Las iteraciones del algoritmo son: ₁  2.8786243631782

₁₁  2.8809861083846

₂  2.8800553193257

₁₂  2.8809862372817

₄  2.8808418107431

₁₄  2.8809863080559

₃  2.8806194966361 ₅  2.8809293947499 ₆  2.8809638968662 ₇  2.880977487889

₁₃  2.8809862880556 ₁₅  2.8809863159342 ₁₆  2.8809863190376 ₁₇  2.88098632026

₈  2.8809828415741

₁₈  2.8809863207415

₁₀  2.88098578116

₂₀  2.8809863210059

₉  2.8809849504512

₁₉  2.8809863209312

El error absoluto de ₁₉ es:

‚ƒ ! ₁₉)  |₂₀ 9 ₁₉|  |2.8809863210059 9 2.8809863209312|7.47*10R88

‚ƒ ! ₁₉)  7.47*10R88 < ℰ10R8m

Después de 20 iteraciones se llego a ₂₀  2.8809863210059 que es una aproximación a la raíz de G!)  ŸAE!) [ ŸAE!) 9 1, con un ‚ƒ ! ₁₉) < ℰ10R8m

f !₂₀  2.8809863210059)1.697*10R8m ‡ 0
f !₂₀)‡ 0

7) Obtener un algoritmo de punto fijo para calcular log8/] 5 . Sol:

8

8

La ecuación es   log Q 5, que es igual a !])P  5,entonces G!)  !])P 9 5. ˆ

Trabajamos un poco la ecuación, para pasarla a un problema de punto fijo. 1 € ! )P  5 /{   3

1 = 3 { √5 /[x €

€

  3 √5 [  9 1
Problema de punto fijo €g

de8  3 √5 [ d 9 1  !d )
Algoritmo de punto fijo Para aplicar el algoritmo, necesitamos un punto de inicio, este punto se obtiene de un intervalo, el cual responde al TVI. Este intervalo es ž  [91.5; 91.4] !entre más pequeño mejor), y el punto de inicio será m  91.45. Las iteraciones quedan: ₁  -1.4612807817018

₆ = -1.464969925092

₂ = -1.4640531867328

₇ = -1.4649726215252

₃ = -1.4647435586268

₈ = -1.4649732958476

₄ = -1.4649160238965

₉ = -1.4649734644823

₅ = -1.4649591426499

₁₀ = -1.4649735066545

El error absoluto de ₉ es: ‚ƒ (₉) = |₁₀ 9 ₉| = | 9 1.4649735066545 9 91.4649734644823|=4.21722*10R… ‚ƒ (₉) = 4.21722*10R…< ℰ=10R} Después de 10 iteraciones se llego a ₁₀ = -1.4649735066545 que es una aproximación a la raíz de la función, con un ‚ƒ (₉) < ℰ=10R} ‰Š §

f (₁₀ = -1.4649735066545)=-7.72512*10R… ‡ 0
f (₁₀)‡ 0 (La raíz exacta es 9 ‰Š ]) ¨=9

ln 5 = 90.14649735207179 { 108 ln 3

₁₀ = -0.14649735066545*10©ª8 Dígitos Significativos ‚ƒ (₁₀) ) 0.5 { 10©R« | 90.14649735207179 { 108 + 0.14649735066545 { 108 ) 0.5 { 108R« 0.0000000140634 ) 108R« /{ @? 0.5 m.mmmmmmm8Zm’]Z @?   ) 1 9 ¬
¬ ) 8.55088
¬ = 8 (8 dígitos significativos) m.§

8) La ecuación 2 ] [ 4 : 9  9 5 = 0 tiene una raíz cercana a x1. Obtener tres algoritmos iterativos de la forma   !), siendo !) un radical, tales que converjan a la raíz, comenzando con m  1.Encontrar la solución indicando cual es el algoritmo que más rápidamente converge.

Sol:

La función es G!)  2 ] [ 4 : 9  9 50

Tres problemas de punto fijo podrían ser: a) despejando  :
 

√:Pe§R:P ˆ :

ˆ

b) despejando  ]
  ­

 ()

§e:PRZP S :

 ()

c) Aplicamos N-R (es un tipo de problema de punto fijo) 9

(2 ] [ 4 : 9 2 9 5) = () (6 : [ 8 9 2)

Las iteraciones para (a), son: ₁ = 1.1180339887499

₂ = 1.0536819972868 …. ₃₀ = 1.0781625824823 Las iteraciones para (b), son: ₁ = 1.1447142425533 ₂ = 1.0079279312584 ₃ = 1.1385995170201 ₄ = 1.015033461394 ₅ = 1.1330072625887 …Converge muy lentamente Las iteraciones para (c), son: ₁ = 1.08333333333333 ₂ = 1.0781830462682 ₃ = 1.0781625876515 ₄ = 1.0781625873293
Este es el algoritmo que converge más rápidamente a la raíz de f(x).

š

9) Resolver  656112√P  6P usando un algoritmo de punto fijo.

Sol:

Para poder usar un algoritmo de punto fijo, necesitamos pasar la ecuación a algo más trabajable, entonces: š

 656112√P  6P /{ ln !) √P

ln 656112 Z  ln 6P √ { ln 656112   { ln 6 4 G!) 

√P Z

{ ln 656112 9  { ln 6  0

Ahora hacemos un barrido para ver en que intervalo esta la raíz de la función f!x). G!0)  0
x0 es raíz de la función G!3)  0.424531300494 G!3.4)  0.08238673361 G!3.5)  90.006647672497 G!4)  90.469994484382 El intervalo donde se encuentra la raíz de f!x) es ž  -3.4; 3.50, y el punto de inicio será m  3.45. El problema de punto fijo con que se trabajara será: de8  !d )  ₁  3.4712265304214

₇  3.4922489459813

₂  3.4818887200483

₈  3.4924162987635

₃  3.4872320897908

₉  3.4924999781619

₄  3.4899068488881

₁₀  3.4925418186131

₅  3.4912449976811

₁₁  3.4925627390267

₆  3.4919142644745

₁₂  3.4925731992805

  Pg Z

{

‰Š ’§’88: ‰Š ’

El error absoluto de ₁₁ es: ‚ƒ !₁₁)  |₁₂ 9 ₁₁|  |3.4925731992805 9 3.4925627390267|1.04602538*10R§ ‚ƒ !₁₁)  1.04602538*10R§ < ℰ10RZ Después de 12 iteraciones se llego a ₁₂  3.4925731992805 que es una aproximación a la raíz de de la función, con un ‚ƒ !₁₁) < ℰ10RZ f !₁₂  3.4925731992805)9.3711503*10R’ ‡ 0
f !Š® ¯ ) 0

10)

Sol:

Resolver  . 9 √. [    usando un algoritmo de punto fijo.

Al ordenar la ecuación !igualándola a 0), queda expresado de la siguiente forma: G!)   . 9 √. [  9 0 !la idea es obtener la raíz de f!x))

Para poder obtener esa raíz, tomaremos la ecuación inicial, como nuestro problema de punto fijo. El algoritmo de punto fijo queda: de8  ­. 9  . [ d

Y el punto de inicio será: m  √. Las iteraciones quedan: 8  ­. 9  . [ √.

!Cantidad de a: 3)

:  ±. 9 ². [ ­. 9  . [ √.

!Cantidad de a: 5)

µ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ¶ . 9 . [ ±. 9 ². [ ­. 9  . [ √. ]  ´ ´ ´ ³

!Cantidad de a: 7)

……

µ µ µ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ¶ ´ ´ d  ´. 9 ´. [ · … . ´ . 9 . [ ±. 9 ². [ ­. 9  . [ √. ´ ´ ´ ´ ³ ³ ³ -2n[10)

!Cantidad de a:

El error absoluto de d es:

‚ƒ !d )  |d 9 dR8 |  0

Después de n iteraciones se llego a que d es la raíz de de la función G!)   . 9 √. [  9 , con un ‚ƒ !d )  0

G !d ) 0

Recomendación: compruebe con a3 !la raíz es x1), y con a7 !la raíz es x2).

8

º

11) Cuando a>1 y 0