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UNIVERSIDAD DE SONORA División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas
Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Administración, Contaduría e Informática Administrativa. Fascículo III: Cálculo de Probabilidades y Variables Aleatorias
Dr. Francisco Javier Tapia Moreno
Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa, Economía, Negocio y Comercio Internacionales y Finanzas. Tema III. Probabilidad
Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno.
Octubre de 2012
Prólogo. Este es el tercer folleto correspondiente al Tema III de Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Negocios y Comercio Internacionales, Administración, Contaduría e Informática Administrativa que se ofrecen en la Universidad de Sonora. Los temas presentados aquí son congruentes con el programa vigente de la materia de Estadística I del área económico- administrativo. En este tercer tema del programa, denominado Probabilidad, el alumno percibirá de manera intuitiva el concepto de la probabilidad. Conocerá y utilizará los conceptos básicos de probabilidad así como sus diferentes enfoques. Usará el análisis combinatorio para resolver problemas sencillos de probabilidad. Calculará probabilidades para diferentes eventos. Conocerá las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas más comunes y observará su comportamiento gráfico cuando varían sus parámetros y cuando el valor de la variable crece. Aprenderá a calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta y usará este concepto para tomar decisiones. Calculará la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta. Nuestro propósito al elaborar este tercer folleto, es dotar al alumno de las herramientas necesarias, apegada al programa vigente, para que el alumno por sí mismo, recopile, organice, represente de manera gráfica, analice e interprete la información recabada ya sea por medio de una muestra o de un censo, utilice la probabilidad como un instrumento esencial en el análisis de la variabilidad, la cual desempeña un papel muy importante en el campo de los negocios, especialmente en la toma de decisiones. Este trabajo se sitúa en el marco de un esfuerzo colectivo realizado por el Departamento de Matemáticas por dotar al alumno del material didáctico necesario para que éste optimice su proceso de enseñanza/aprendizaje/formación de las matemáticas.
Hermosillo, Sonora, México.
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Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa, Economía, Negocio y Comercio Internacionales y Finanzas. Tema III. Probabilidad
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Contenido. Pag.
Tema III. Probabilidad
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3.1. Introducción a la probabilidad
04
3.2. Experimentos aleatorios y deterministas
04
3.3. Conceptos básicos involucrados en experimentos aleatorios
05
Ejercicios 1
07
3.4. Operaciones con sucesos.
07
3.4.1. Unión
07
3.4.2. Intersección
08
3.4.3. Diferencia
08
3.4.4. Complemento
09
3.5. Probabilidad condicional
11
3.5.1. Sucesos dependientes e independientes
12
Ejercicios 2
13
3.6. Diferentes enfoques de probabilidad
14
Ejercicios 3
17
3.7. Combinatoria y cálculo de probabilidades
17
3.7.1. Técnicas de conteo
17
3.7.2. Principios fundamentales del análisis combinatorio
18
3.7.2.1. Principio multiplicativo
18
3.7.2.2. Principio aditivo
18
3.7.3. Combinaciones
19
3.7.4. Permutaciones
19
3.7.5. Ordenaciones
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Ejercicios 4
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3.8. Distribuciones de probabilidad
21
3.8.1. Distribuciones discretas de probabilidad
21
3.8.2. Valor esperado de variables aleatorias discretas
25
Ejercicios 5
27
3.8.3. Distribuciones discretas más comunes
27
3.8.3. 1. Distribución uniforme discreta
28
3.8.3. 2. Distribución Bernoulli
28
3.8.3. 3. Distribución Binomial
28
3.8.3.4. Distribución Geométrica
29
3.8.3. 5. Distribución Binomial Negativa
31
3.8.3. 6. Distribución hipergeométrica
31
3.8.3. 7. Distribución de Poisson
32
Ejercicios 6
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3.9. Ejercicio práctico donde se aplica parte de la teoría de probabilidad
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Tema III
Probabilidad 3.1. Introducción a la probabilidad La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el propósito de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Dicha teoría, es la base de la inferencia estadística y un instrumento esencial en el análisis de la variabilidad que desempeña un papel muy importante en el campo de los negocios, especialmente en la toma de decisiones y en la investigación en diversas disciplinas tales como la medicina, biología, física, ciencias sociales y muchas otras. Los fenómenos aleatorios se ven afectados por la incertidumbre y expresiones tales como: “hoy existen muchas posibilidades que nuestra empresa realice una gran venta” o, “es muy poco probable que en esta empresa ocurra un accidente en el área de producción” o “probablemente el mes que tengamos que incrementar la producción”. Es en este tipo de situaciones donde la teoría de probabilidades puede resultar una gran herramienta para modelar y abordar casos donde se tenga algún tipo de incertidumbre. Por otra parte, cuando se aplican los métodos estadísticos a la recolección de datos, análisis e interpretación de los mismos, la teoría de probabilidades proporciona una base para valorar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas en las inferencias o pronósticos realizados Debido al importante papel que juega la probabilidad en la estadística, en este tercer folleto estudiamos los conceptos y principios básicos de la teoría de probabilidades. Para introducirnos a los aspectos técnicos de la misma, empezamos mencionando los conceptos de variable aleatoria, espacio de muestra, resultado y evento, los resultados matemáticos de la teoría de probabilidad, los principios matemáticos básicos que sustentan los cálculos más complejos y la importante idea de independencia estadística. Finalizamos describiendo algunas técnicas que se pueden utilizar para combinar los principios matemáticos básicos en la solución de problemas más complicados.
3.2. Experimentos aleatorios y deterministas Existen dos tipos de experimentos: Los experimentos o fenómenos aleatorios son aquellos que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. Los experimentos deterministas son aquellos en donde podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Es decir, este tipo de experimentos siempre tiene el mismo resultado.
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La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios y deterministas. Por ejemplo, (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios y Ejemplo 3.1. Si calentamos agua sabemos de antemano que ésta hervirá a los 100 cien grados centígrados. Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Ambos casos se trata de una experiencia determinista. Por otro lado, si lanzamos un dado o una moneda sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. En ambos casos se trata de una experiencia aleatoria.
3.3. Conceptos básicos involucrados en experimentos aleatorios Dado que objetivo de estudio de la estadística es explicar el comportamiento de un fenómeno aleatorio, para lo cual hace uso de herramientas, entre las cuales se encuentra la probabilidad. El concepto de probabilidad es de suma importancia. En esta sección estudiaremos los conceptos básicos relacionados con el concepto de probabilidad y la forma de trabajarla.
Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. Suceso elemental es cualquiera de los posibles resultados simples del experimento aleatorio. Experimento compuesto. si está formado por varios experimentos simples.
Dentro de los sucesos cabe destacar: a) El suceso seguro que es aquel que ocurre siempre, es el propio espacio de muestra, b) El suceso imposible que es aquel que no ocurre nunca y se indica por Ø, y c) El suceso elemental que es el suceso indivisible.
Ejemplo 3.2. Sea el experimento “observar a un cliente y ver si realiza una compra o no”. Los sucesos elementales son: {S} y {N}.
Espacio de muestra es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, el cual lo designaremos por E.
Ejemplo 3. 3. Se observa a los clientes que llegan a un centro comercial y se registra si éstos han realizado una compra o no. En este caso, El experimento aleatorio es: “observación de un cliente elegido al azar”. El suceso aleatorio es: “realización de una compra” El espacio de muestra es: E = {Si realiza la compra, No realiza la compra} = {S, N}
Ejemplo 3.4. Para el ejemplo 3.1 se tiene que: S
yN
.
Ejemplo 3.5. Dos clientes llegan a un centro comercial y se observa si éstos han realizado una compra (S) o no (N). El espacio de muestra para este experimento es E = {SS, SN, NS, NN} entonces se tiene que: SS
,
SN
,
NS
,
NN
.
Ejemplo 3.6. El espacio de muestra del estado civil de las personas es: E = {Soltero, Casado, Viudo, Divorciado, Concubinato} Departamento de Matemáticas
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Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo: C = {Casado, Concubinato};
S = {Soltero, Divorciado};
V = {Viudo}.
Todos estos subconjuntos del espacio de muestra E, los llamamos sucesos. Así, C, S y V son sucesos del experimento: “Estado civil de las persona”. Ejemplo 3.7. El espacio de muestra asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: E = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} Algunos subconjuntos de E son:
{Obtener múltiplo de 5}; M = {5,10,15} {Obtener número primo}; P = {2,3,5,7,11,13,17} {Obtener número mayor o igual que 12}; D = {12,13,14,15,16,17,18}
Los subconjuntos M, P y D son sucesos del experimento: “lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos”.
Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S y si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n. Ejemplo 3.8. Los sucesos elementales de E en el caso del experimento de “estado civil de las personas” son: {Soltero}, {Casado}, {Viudo}, {Divorciado}, {Concubinato}. Ejemplo 3.9. Consideremos los siguientes sucesos {1,2}, {2, 4, 6}, {3, 5}. {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} son los sucesos individuales o elementales del experimento. Ejemplo 3.10. En el experimento “estado civil de las personas” existen 25 = 32 sucesos diferentes. Ejemplo 3.11. En el experimento “sexo de una persona” hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø, {Mujer}, {Hombre}, {Mujer, Hombre}. Es decir, E = {Ø, {M}, {H}, {M, H}} Para introducirnos en el tema y visualizar los conceptos más fácilmente, vamos a considerar experiencias aleatorias sencillas que se dan en la vida diaria y también usaremos ejemplos ilustrativos tal como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas, etc.
Ejemplo 3.12. A una reunión llegan Carmina (C), Mercedes (M), Sergio (S), y Luis (L). Se eligen dos personas al azar sin importar el orden. El espacio de muestra de este experimento es: E = {(C, M), (C, S), (C, L), (M, S), (M, L), (S, L)} Ejemplo 3.13. En relación al sexo de las personas que llegan al centro comercial, el espacio de muestra es: E = {Femenino, Masculino} = {F, M} Departamento de Matemáticas
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Variable aleatoria es una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales en un espacio de muestra. Clasificación de las variables aleatorias. Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas. Se le llaman discretas si toman un número finito o infinito numerable de valores (numerable significa que los valores asignados se pueden enumerar en secuencia, de manera que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente), y se llaman continuas si dado un intervalo (a, b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos entre a y b.
Ejemplo 3.14. Las variables del ejemplo 3.4 y del ejemplo 3.4 son discretas ya que ambas variables toman un número finito de valores (0 y 1 para la primera y 0,1 y 2 para la segunda). Para más ejemplos, ver la sección de distribuciones discretas de probabilidad más adelante. La variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor es posible entre, 0 y 2.75 metros.
Ejercicios 1 Ejercicio 3.1. Se observa un semáforo y se anota la luz que despide. Defina el experimento aleatorio, los sucesos aleatorios y el espacio de muestra del experimento y especifique el tipo de variable aleatoria que es. Ejercicio 3.2. Se observa el tiempo que impera en un día determinado. Defina el experimento aleatorio, los sucesos aleatorios y el espacio de muestra del experimento y especifique el tipo de variable aleatoria que es. Ejercicio 3.3. Describe el espacio de muestra asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Selección aleatoria de tres personas del grupo siguiente: María, Carlos, Carolina, Julia, José y Ricardo b) Seleccionar dos personas aleatoriamente en el ejercicio anterior que sean hombre y mujer. c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. Ejercicio 3.4. Escriba todos los sucesos del experimento “Actitud del cliente” considerando como espacio de muestra E = {Escepticismo, Aceptación, Indiferencia, Objeción} ¿Cuántos hay? Ejercicio 3.5. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso “el hijo mayor es mujer”, y B el suceso “los dos hijos pequeños son varones”. ¿Cuáles son los elementos de A y B?
3.4. Operaciones con sucesos En esta sección estudiaremos las operaciones con sucesos. Estas operaciones son útiles para obtener información adicional a la recopilada en un muestreo o censo.
3.4.1. Unión
Dados dos sucesos, A y B, definimos la Unión de A y B indicada por A B como el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. Gráficamente tenemos
Ejemplo 3.15. En un centro comercial colocan en promoción 315 pantalones cortos para hombre y 220 pantalones cortos para mujer. Si A = {pantalones cortos en promoción para hombre} y Si B = {pantalones cortos en promoción para mujer} entonces el suceso A B = {pantalones cortos en promoción de hombre o de mujer}; el nuevo suceso A B tendrá 315 + 220 = 535 pantalones cortos en promoción. Departamento de Matemáticas
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3.4.2. Intersección
Dados dos sucesos, A y B, definimos la Intersección de A y B denotada por A B como el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Gráficamente se tiene
Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando A B (A y B son disjuntos o ajenos). Gráficamente se tiene A
B
Se dice que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. De manera análoga, decimos que: a) El suceso A B se verifica cuando se experimenta uno de los dos o ambos sucesos. b) El suceso A B se cumple cuando se verifican simultáneamente A y B. c) El suceso A c , contrario de A, se verifica cuando no se experimenta A. d) Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.
Ejemplo 3.16. Una empresa ha clasificado a sus empleados en dos grupos: 1) trabajadores que tienen más de 10 años de antigüedad en la empresa, 2) empleados que ganan más de 3 salarios mínimos al mes. Si A = {Los empleados con más de 10 años de antigüedad en la empresa} y B = {Los trabajadores que ganan más de 3 salarios mínimos al mes} entonces, A B = {trabajadores con más de 10 años de antigüedad en la empresa y que ganan más de tres salarios mínimos por mes}
3.4.3. Diferencia
Dados dos sucesos, A y B, definimos la diferencia de A y B indicada por A B como el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Gráficamente se tiene:
Ejemplo 3.17. En el ejemplo anterior, A B = {trabajadores con más de 10 años de antigüedad en la empresa y que ganan tres o menos salarios mínimos por mes}, y B A = {trabajadores que ganan más de tres salarios mínimos al mes y con 10 o menos años de labor en la empresa}.
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Ejemplo 3.18. De acuerdo a una investigación realizada en esta ciudad acerca de mujeres mayores de 20 años, se ha comprobado que entre otras cosas, el 75% están casadas, de éstas el 38 % trabaja fuera del hogar. De las solteras, el 74 % trabajan fuera del hogar: a. Calcula el porcentaje de mujeres mayores de 20 años que trabaja fuera del hogar. b. Si se selecciona al azar una mujer mayor de 20 años, ¿cuál es la probabilidad que sea soltera y se dedique al hogar? Usamos las operaciones con sucesos y los pasos siguientes para resolver este tipo de problemas. Paso 1. Definimos el espacio de muestra y cada uno de los sucesos dados en el contexto del problema: E = {Mujeres mayores de 20 años de esta ciudad}; C = {Mujeres casadas} y T = {Mujeres que trabajan fuera del hogar} Paso 2. Escribimos la información del problema usando simbología matemática y construimos un diagrama de Venn para la situación particular. P(C) = 0.75; P(C∩T) = (0.75)*(0.38) = 0.285 debido a que el 38% del 75% es el 28.5%. P(Cc∩T) = (0.25)(0.74) = 0.185, puesto que el 25% de las mujeres no están casadas y de éstas, el 74% trabaja fuera del hogar. Preguntas: Calcular: a)
(T)
b)
Paso 3. Aplicamos las fórmulas de lógica de conjuntos como sigue: Respuesta a) c Por lo tanto, el 47% de las mujeres trabaja fuera del hogar. c Respuesta b)
c
c
c
c
E
pero,
c c
c
.
Es decir, sólo el 6.5% de las mujeres es soltera y trabaja dentro del hogar.
3.4.4. Complemento Dados un suceso, A, se define el Suceso contrario o complemento de A indicado por A c , como Ac E A . Gráficamente se observa:
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Ejemplo 3.19. En relación a los conjuntos dados en el ejercicio anterior, A c = {trabajadores con 10 o menos c años de antigüedad en la empresa y B = {empleados que ganan tres o menos salarios mínimos por mes} Ejemplo 3.20. En relación al ejercicio de los pantalones puestos en promoción, A B ya que en la promoción no se colocaron pantalones unisex. Ejemplo 3.21. Si al realizar una venta a un cliente se registra la forma de pago realizado por este, y se ha verificado, entre otros, los sucesos {M}, {M, V, C} o E, donde M = efectivo, V = vales de despensa y C = tarjeta de crédito, Ejemplo 3.22. En el experimento E = "observar a un cliente", consideramos los sucesos: A = {El cliente realizó una compra} B = {El cliente es hombre} C = {El monto de la compra del cliente es mayor que $500}
D = {el cliente es mujer} F = {el cliente tiene crédito en la empresa} G = {el cliente ha presentado morosidad en sus pagos}.
A y Dc son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales. C está contenido en A. Luego C A = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (compra mayor de $500) ocurre el suceso A, puesto que el cliente ha realizado una compra. B y D son incompatibles, ya que B D y complementarios, al cumplirse B D E . A B {el cliente es hombre o realizó una compra o ambas cosas}. A G {El cliente realizó una compra y ha presentado morosidad en sus pagos} C D C D c {Clientes hombres cuyo monto de la compra es mayor que $500} B D B ya que B y D son incompatibles puesto que B D .
Ejemplo 3.23. En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos: A = Sacar un número par .
B = {1, 2, 3, 5} = obtener un 1, 2, 3 ó 5 ". C = {4, 6} = {obtener un 4 ó un 6".
D = {2, 4, 6} = {Obtener un 2, 4 ó 6}. F = {1,3} = {obtener un 1 ó un 3}. G = {obtener un múltiplo de 3}.
A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales. C está contenido en A. Luego C A = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par. B y C son incompatibles, ya que B C y complementarios, al cumplirse B C E . A B sacar un número par {1, 2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E. A G {2, 4, 6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos sacar un número par y obtener un múltiplode tres es sacar un 6 .
B D B D {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = obtener un número impar A C y F son incompatibles puesto que C F .
Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las siguientes propiedades:
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Propiedad Unión 1. Conmutativa A B B A A ( B C) ( A B) A 2. Asociativa 3. Idempotente A A A A ( B A) A 4. Simplificación A ( B C) ( A B) ( A C) 5. Distributiva A A 6. Elemento neutro 7. Absorción A E E
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Intersección A B B A A( B C ) ( A B) C A A A A ( B A) A A ( B C) ( A B) ( A C)
A
A E A
A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole. En el álgebra Booleana se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan: 1) El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios: A Bc Ac B c 2) El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios: A Bc Ac B c
3.5. Probabilidad condicional En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad será en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Por ejemplo, si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera. Si realizamos el mismo proceso sin remplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar. La definición siguiente nos indica cómo calcular estas probabilidades. Dados dos sucesos A y B tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, indicada por P(B/A), a la probabilidad de B tomando a A como espacio de muestra, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. P( B / A )
P( B A ) P( A )
De esta igualdad se deduce que: P( B A ) = P( B/A ) P( A ) La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C: P( A B C ) = P( A ) P( B/A ) P( C/A B ) O bien por la fórmula equivalente P( A B C ) = P( A/ (B C) ) P( B/C ) P( C/A ) Estas dos fórmulas admiten una generalización para un número cualquiera de sucesos. Departamento de Matemáticas
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Ejemplo 3.24. Una compañía de artículos de belleza coloca un anuncio de una nueva crema para la cara en una televisora local. La compañía cree que el anuncio será visto por un 36% de los televidentes y que el 3% de los clientes que vean el anuncio comprarán la crema anunciada. . Calcule la probabilidad de que el televidente vea el anuncio y compre la crema. Respuesta: Definimos primero los eventos: E= {Clientes que compran crema para la cara}; V = {Televidentes que ven el anuncio}
C = {clientes que compran la crema anunciada};
Los datos que ofrece el enunciado del problema son: ;
Es decir, la posibilidad de que un cliente vea el anuncio y compre la crema es de un 1.08%. Ejemplo.3.25 Consideremos el experimento de {lanzar un dado al aire}. Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar: Definimos los sucesos A = {sacar 3} y B = {1, 3, 5}; entonces, puesto que si sabemos que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.
3.5.1. Sucesos dependientes e independientes El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí. Formalmente decimos que: Dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A ) y que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A )
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P( B ) ó P( A/B )
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P( A )
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Como consecuencia inmediata de la definición se tiene: 1. Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P( A
B ) = P( A ) · P( B )
2. Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez: a) b) c) d)
P( A P( A P( B P( A
B ) = P( A ) · P( B ) C ) = P( A ) · P( C ) C ) = P( B ) · P( C ) B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )
Ejercicios 2 Ejercicio. 3.6. En una colonia de esta ciudad, un 40% de la población realiza sus compras en la tienda Ley más cercana, 25% de la población realiza compras en la tienda Wal Mart más próxima y el 15 % realiza sus compras en ambas tiendas. Se selecciona al azar a una persona, a. ¿Cuál es la probabilidad de que no compre en ninguna de las dos tiendas mencionadas? b. Si realiza sus compras en la tienda Ley más cercana ¿cuál es la probabilidad de que no compre en la tienda Wal Mart más próxima? Ejercicio.3.7. Realizamos un experimento que consiste en entrevistar a una persona seleccionada aleatoriamente sobre la calidad en el transporte urbano de Hermosillo. Consideremos los sucesos siguientes: S = {la persona es mujer} y O = {La persona opina que el transporte urbano es deficiente}, B = {La persona opina que el transporte urbano es eficiente}. a) Calcula los eventos i) S O ; ii) S O ; iii) O S ; iv) S c B ; v) O B y vi) O B b) Los eventos O y B ¿son compatibles o incompatibles? c) Define los eventos opuestos a S, O y B Ejercicio 3.8. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A ={ salir un número primo} y B = { salir un número cuadrado}. Responda a las siguientes cuestiones: a. Calcula los sucesos A B y A B b. Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles? c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B. Ejercicio 3.9. Se sortea un viaje a China entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe ya que es casado, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? Ejercicio 3.10. En una empresa, el 40% de los empleados gana tres o más salarios mínimos al mes y el 50% de los mismos tiene 10 o más años de antigüedad. Además, la probabilidad de ganar tres o más salarios mínimos al mes teniendo diez o más años de antigüedad en la empresa, es 0.8. a) Probar que la mitad de los empleados de la empresa ganan menos de tres salarios mínimos y tienen menos de 10 años de antigüedad en la empresa. b) Calcula el porcentaje de empleados que ganan 3 o más salarios mínimos y tienen diez años o más de antigüedad en la empresa. Ejercicio 3.11. Se lanzan dos dados: a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres? Departamento de Matemáticas
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Ejercicio 3.12. El 6% de los coches de una fábrica tienen defecto en el motor, el 8% tienen defecto en la carrocería, y el 2% tienen ambos defectos. a) ¿Son independientes los sucesos “tener defecto en el motor” y “tener defecto en la carrocería”?. b) Calcula la probabilidad de que un coche tenga al menos un defecto. c) Calcula la probabilidad de que un coche no tenga ningún defecto. Ejercicio.3.13. En la fabricación de un cierto artículo, se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una probabilidad 0.09 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0.045. Se supone la independencia entre ambos tipos de defectos. ¿Cuál es la probabilidad que: a. Un artículo no tenga ambos tipos de defectos? b. Un articulo sea defectuoso? Ejercicio 3.14. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P (B)= 0.6; P( )=0.58. a. ¿Son independientes A y B? b. Si M
A, ¿cuál es el valor de P(
/
)?
3.6. Diferentes enfoques de probabilidad Para definir la probabilidad y determinar valores de probabilidad, se han desarrollado 3 enfoques conceptuales: 1) El enfoque clásico de probabilidad. 2) El enfoque de frecuencias relativas y 3) El enfoque subjetivo de probabilidad.
Enfoque clásico de la probabilidad (a priori). Este enfoque permite determinar valores de probabilidad antes de ser observado el experimento por lo que se le denomina enfoque a priori. Este enfoque es aplicado cuando todos los resultados son igualmente probables (equiprobables) y no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Si queremos conocer la probabilidad de un evento A, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento. Es decir,
Ejemplo.3.26. El jefe del Departamento de Policía, asignará una patrulla para que realice rondines durante la noche en 5 colonias del sector poniente de Hermosillo. Las 5 colonias son elegidas aleatoriamente cada día. Suponga que el poniente de Hermosillo lo componen 35 colonias entre las que se encuentra la colonia Nuevo Sahuaro. Si definimos el evento A = {Asignación de una patrulla para que realice rondines en la colonia Nuevo Sahuaro el día de hoy} entonces, podemos calcular la probabilidad de que en la colonia mencionada, se realice un rondín el día de hoy, como sigue: Número de casos favorables en donde sale elegida la colonia Nuevo Sahuaro: ( ) Número de casos posibles = ( ) P(A) =
Ejemplo 3.27. Un lote de artículos contiene 13 artículos no defectuosos, 3 con defectos secundarios y 4 con defectos considerables. Se toma al azar un artículo. Determine la probabilidad que el artículo: Departamento de Matemáticas
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a) no tenga defectos. b) no tenga defectos considerables. Del mismo lote se extraen 2 artículos al azar. Determine la probabilidad que: c) ambos sean no defectuosos, si se extrae uno después del otro d) ambos tengan defectos considerables Respuestas: Para resolver a) y b), aplicamos la definición de Laplace como sigue: a) b)
P(No tenga defectos) =
P(No tenga defectos considerables) =
Para los casos c) y d) aplicamos la definición de Laplace y el hecho de que la extracción es consecutiva. c) Realizamos la primera extracción:
P(No tenga defectos) =
Realizamos la segunda extracción: P(No tenga defectos) = Ahora, calculamos la probabilidad de que ambos eventos se lleven a cabo de la manera siguiente: P(El primero no tenga defectos y el segundo no tenga defectos) . d) Realizamos la primera extracción: P(Tenga defectos considerables) = Realizamos la segunda extracción: P(Tenga defectos considerables) = Ahora, calculamos la probabilidad de que ambos eventos se lleven a cabo de la manera siguiente: P(El primero tenga defectos considerables y el segundo tenga defectos considerables) . Ejemplo 3.28. Consideremos el experimento {lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado }. El espacio de muestra es E = {1, X, 2}. Las probabilidades de cada uno de los sucesos son: 1. P(Ø) = 0 2. P({1}) = 1/3 P({X}) = 1/3 P({2}) = 1/3 3. P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3 4. P({1,X,2}) = P(E) = 1.
Enfoque de frecuencias relativas (a posteriori o empírico). Este enfoque afirma que la probabilidad de un suceso, es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso, a medida que crece el número de veces que se realiza el experimento. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernoulli. Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos. No implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades. A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.
La frecuencia relativa del suceso A, indicada por f r ( A ) se obtiene mediante la fórmula: Departamento de Matemáticas
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Este enfoque tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras (muestreos), si bien el valor al que se aproximan, a medida que el número de realizaciones aumenta, se mantiene estable.
Ejemplo 3.29. Se realiza un experimento en una empresa donde hay 720 trabajadores. El experimento consiste en seleccionar aleatoriamente a un trabajador y preguntarle su sexo. Se sabe que en la empresa hay 230 mujeres y 490 hombres. Si definimos el evento M = {La persona seleccionada es mujer} entonces,
230
f (M ) 0.3194444 r 720
Ejemplo 3.30. Antes de incluir la cobertura para personas diabéticas en pólizas de seguros médicos para adultos con empleo, una compañía de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa enfermedad, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en estadística recopila datos para 15,000 personas que se encuentran en las categorías de edad apropiadas y encuentra que 200 de ellos han experimentado síntomas de diabetes. La probabilidad de ocurrencia es:
Enfoque subjetivo de probabilidad (personalista). Este enfoque se diferencia de los dos anteriores, debido a que tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos y este enfoque señala que la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta. Este enfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o no esa única vez. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.
Ejemplo 3.31. a) Existe la probabilidad del 90% de que las ventas mejoren el año próximo. b) Hay una alta probabilidad del 20% de que hoy llueva. c) Existe una probabilidad del 80% de sacarme un 100 en el examen de estadística I. Ejemplo 3.32. A causa de los impuestos y de otros posibles usos de sus fondos, un inversionista ha determinado que la compra de terrenos sólo se justifica si existe al menos una probabilidad de 0.90 de que los terrenos estimen su valor en un 50% o más en los cuatro años siguientes. Al evaluar cierto terreno, este inversionista estudia los cambios de precio en el área en los años recientes, considera los niveles de precios vigentes, estudia la situación imperante y probablemente futura de proyectos de desarrollo urbano y consulta las estadísticas sobre el desarrollo económico del área geográfica en general. Con base en este recuento, concluye que existe una probabilidad de alrededor de 0.75 de que efectivamente ocurra la requerida apreciación de valor. Puesto que este valor de probabilidad es inferior a la probabilidad mínima requerida de 0.90, el inversionista determina que la compra de terrenos en este momento, no se justifica.
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Ejercicios 3 Ejercicio 3.15. Se escogen al azar 5 artículos eléctricos entre un total de 20, de las cuales 8 son defectuosos. Calcule la probabilidad que: a) ninguna sea defectuosa b) una exactamente sea defectuosa c) por los menos una sea defectuosa. Ejercicio 3.16. En una empresa hay 10 profesionistas: 3 administradores, 5 ingenieros y 2 contadores. Se eligen 3 profesionistas al azar: a) Hallar la probabilidad de que los tres tengan profesión distinta. b) Hallar la probabilidad de que los tres tengan la misma profesión. Ejercicio 3.17. Dos personas piensan acudir a un buen restaurant de la localidad, sabiendo que sólo hay 10 restaurantes en la localidad considerados como buenos, calcula la probabilidad de que las dos personas no piensen asistir al mismo restaurant. Ejercicio 3.18. El departamento de caballeros de un centro comercial tiene 2 empleados hombres y 3 mujeres, y el departamento de zapatería del mismo centro comercial tiene 4 hombres y 3 mujeres. a) Si se elige al azar uno de los dos departamentos y se selecciona un empleado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de un hombre? b) Si se elige al azar uno de los dos departamentos y se selecciona dos empleado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se trate dos mujeres? Ejercicio 3.19. En una empresa hay 24 trabajadores, de los cuales 14 de los empleados son hermosillenses. De entre los hermosillenses, 7 son hombres, mientras que de los foráneos, sólo 2 son hombres. a) ¿Qué porcentaje de empleados foráneos son mujeres? b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la empresa sea mujer. c) Fernando trabaja en dicha empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hermosillense? Ejercicio 3.20. En el ayuntamiento de Hermosillo hay cinco regidores del partido PRI, cuatro del PAN y uno del PRD, si se eligen al azar y sucesivamente 3 regidores, a) ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean del partido PRI? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los regidores pertenezcan a partidos distintos? Ejercicio 3.21. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes: a. Que las dos cifras sean iguales. b. Que su suma sea 11. c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13. Ejercicio 3.22. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que: a. La suma de los números aparecidos sea menor que 8. b. La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.
3.7. Combinatoria y cálculo de probabilidades El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido de manera conjunta con el desarrollo de probabilidad. Con frecuencia se nos presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede realizare. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se requiere del sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que la formalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas. En esta sección estudiaremos algunas técnicas de conteo y calcularemos probabilidades usando estas técnicas.
3.7.1. Técnicas de conteo Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de Departamento de Matemáticas
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objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Al conjunto de técnicas de conteo se le denomina análisis combinatorio y nos permite resolver muchos problemas prácticos. El estudio y comprensión de este tema es muy útil para entender y resolver problemas sobre el cálculo de probabilidades ya que en él tenemos una manera práctica y abreviada de contar las operaciones o actividades que se presentan y que son designadas como eventos o sucesos. Con las técnicas de conteo y con el análisis combinatorio se pueden calcular por ejemplo, cuántos números telefónicos de un número determinado de dígitos, cuántas placas de autos se pueden hacer utilizando una combinación dada de letras y números. Por otro lado,
3.7.2. Principios fundamentales del análisis combinatorio En la mayoría de los problemas del análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. Por ejemplo podemos calcular, 1) las diferentes maneras que una persona se puede vestir, utilizando un número determinado de prendas de vestir, 2) las distintas maneras en que 8 personas pueden ocupar la plaza de 5 empleos disponibles, 3) las formas posibles en que pueden seleccionarse 10 personas de un total de 37 candidatos y 4) cuántas palabras de 5 letras que contengan 4 vocales y 2 consonantes. 3.7.2.1. Principio multiplicativo Si un evento o suceso A puede ocurrir, de m maneras diferentes y otro suceso, de manera independiente al primero, puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es . Ejemplo 3.33. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 4 premios a un conjunto de 85 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio? Solución: 1) Existen 85 personas que pueden recibir el primer premio. 2) Una vez que el primer premio ha sido entregado, existen 84 personas que pueden recibir el segundo, 3) una vez entregados los dos primeros premio, existen 83 personas que pueden recibir el tercer premio y 4) una vez entregados los 3 primeros premios existen 82 personas que pueden recibir el último premio. Por lo tanto, existen maneras distintas de entregar los premios. Ejemplo 3.34. ¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de tres letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considere 26 letras del alfabeto). Solución: 1) Con las letras se pueden formar placas y 2) con los dígitos se pueden formar placas. Por lo tanto, el número de placas que cumplen simultáneamente con ambos requerimientos son 3.7.2.2. Principio aditivo Si un evento A puede realizarse de m maneras distintas y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes y si , (es decir, no es posible que ambos eventos se realicen juntos), entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras distintas. Ejemplo 3.35. Un tipo de detergente se vende en 6 tiendas de Ley y en 4 tiendas Soriana. ¿De cuántas formas se puede adquirir el detergente? Solución: Se cuentan con 6 formas de la tienda Ley más 8 formas de la tienda Soriana. Por lo tanto, existen14 formas distintas de adquirir el detergente. Ejemplo 3.36. Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados? Departamento de Matemáticas
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Solución: Se tienen 3 formas con los botes, 2 formas con las lanchas y 1 forma con el deslizador. Por lo tanto, existen 6 formas distintas de cruzar el rio.
3.7.3. Combinaciones Una combinación, es un arreglo de objetos en donde no nos interesa el lugar, orden o posición que ocupan los objetos del arreglo. Existen dos tipos de combinaciones, con repetición y sin repetición, por requerimientos del programa de la materia y fines prácticos del desarrollo del tema de probabilidad, en este curso sólo veremos las combinaciones sin repetición. Las combinaciones de n objetos tomados en grupos de k objetos, se calculan mediante la fórmula siguiente: ( ) donde la expresión ( ) representa las combinaciones de n objetos, tomados en grupos de k objetos", n ! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos los números que van desde "n" hasta 1. Por ejemplo, 5! = = 120. Por definición, 0! = 1. Ejemplo 3.37. ( ) son las combinaciones de 15 elementos agrupándolos en grupos de 8 elementos. Existen (
)
Es decir, podríamos formar 6,435 grupos diferentes de 8 objetos, a partir de 15 de éstos. 3.7.4. Permutaciones Una permutación es todo arreglo de objetos en donde nos interesa el orden, lugar o posición que ocupa cada uno de los objetos que constituyen dicho arreglo. Para calcular el número de permutaciones se aplica la fórmula siguiente: donde La expresión representa las permutaciones de "n" objetos, tomando todos los objetos a la vez. Los conjuntos de objetos se diferenciaran únicamente por el orden de los objetos. Al igual que en las combinaciones, existen dos tipos de permutaciones con repetición y sin repetición y con fines prácticos sólo estudiaremos las permutaciones sin repetición. Ejemplo 3.38. Calcular las permutaciones de 5 objetos tomados todos a la vez. Solución.
permutaciones.
Es decir, tendríamos 120 formas diferentes de agrupar 5 objetos.
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3.7.5. Ordenaciones Las ordenaciones son aquellas formas de agrupar n objetos de un conjunto, tomando grupos de r objetos a la vez y teniendo en cuenta el orden en que se colocan. Para calcular el número de variaciones se aplica la fórmula siguiente:
La expresión representa las ordenaciones de "n" objetos, formando grupos de "r" objetos elegidos a la vez. En este caso, un subgrupo se diferenciará del resto, ya sea por los objetos que lo forman o por el orden de dichos objetos. También existen dos tipos de ordenaciones, con repetición y sin repetición y por causas explicadas antes, sólo estudiaremos las ordenaciones sin repetición.
Ejemplo 3.39. Calcular las ordenaciones posibles de 6 objetos tomando grupos de 3 objetos a la vez. ordenaciones Por lo tanto, se pueden formar 120 grupos diferentes de 3 objetos, a partir de los 6 objetos.
Ejercicios 4 Ejercicio 3.23. a) ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de una empresa, sabiendo que hay 12 posibles candidatos? b) Si Hugo, Paco y Luis pertenecen al grupo ¿Qué probabilidad hay de que al menos dos de ellos sean seleccionados? Ejercicio 3.24. a) Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas palabras de cinco letras se pueden hacer que empiecen por vocal? b) calcula la probabilidad de que al elegir una palabra al azar, ésta empiece con una vocal. Ejercicio 3.25. a) ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una mezcla dada contenga los colores rojo y azul? Problema 3.26. a) ¿Cuántos números de cinco cifras distintas mayores de 65,350 se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuál es la probabilidad de que un número seleccionado al azar sea también mayor que 70,000? Ejercicio 3.27. A una reunión asisten 10 personas 6 hombres y 4 mujeres, se intercambian saludos entre todos. a) ¿Cuántos saludos se han intercambiado? b) Si se seleccionan al azar dos personas de las 10 posibles para que se saluden, ¿Cuál es la probabilidad de que sean dos mujeres? Ejercicio 3.28. Con las cifras 1, 3 y 4, a) ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente uno de estos números, éste sea impar? Ejercicio 3.29. a) ¿De cuántas formas pueden colocarse 12 solicitantes de empleo en 12 puestos disponibles, teniendo en cuenta que el mensajero (office boy) y el encargado de la limpieza no pueden ocupar otra posición distinta a la que les corresponden? b) Si existen dos puestos de capturista, ¿Cuál es la probabilidad de que a un solicitante seleccionado al azar le toque el puesto de capturista? Ejercicio 3.30. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, a) ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos queden separados? Ejercicio 3.31. De un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres se formará un comité de 5 personas a) De cuántas formas distintas pueden formarse estos comités? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por puras mujeres? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por 2 hombres y 3 mujeres?
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3.8. Distribuciones de probabilidad Toda variable aleatoria posee una distribución de probabilidad que describe su comportamiento. Si la variable es discreta, su distribución de probabilidad especifica todos los valores posibles de la variable junto con la probabilidad de que cada uno ocurra. En el caso de una variable continua, la distribución de probabilidad permite determinar las probabilidades correspondientes con subintervalos de valores. Una forma usual de describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es mediante la denominada función de densidad, en tanto que lo que se conoce como función de distribución representa las probabilidades acumuladas. Una de las preocupaciones de los investigadores actuales es construir modelos de distribuciones de probabilidad que puedan representar el comportamiento de diferentes fenómenos aleatorios que aparecen en el mundo real. Por ejemplo, un gerente de una aerolínea podría estar interesado en modelar el número de pasajeros que no se presenta a tomar el vuelo, con el propósito de fijar las políticas de la empresa en lo relativo a este aspecto. En este caso, el número de pasajeros que no se presentan son aleatorios, varían de un vuelo a otro, como de un día a otro en el mismo vuelo. El número de pasajeros que no toman el vuelo es una variable numérica, y hablar del número promedio de pasajeros que no se presentan o del número estimado de pasajeros que no se presentarán en un vuelo específico en un día determinado tiene un sentido muy claro. La pretensión de modelar lo observable ha constituido siempre una necesidad básica para el investigador empírico, dado que a través de esas construcciones teóricas, los modelos, puede experimentar sobre aquello que la realidad no le permite. Por otra parte, un modelo resulta extremadamente útil para un investigador, siempre y cuando corresponda con la realidad que pretende representar o predecir, de manera que resalte las propiedades más importantes del mundo que nos rodea, aunque sea a costa de la simplificación que implica todo modelo. En la práctica, existen distribuciones discretas de probabilidad tales como la binomial, la hipergeométrica y la de Poisson las cuales estudiaremos en esta sección y distribuciones continuas tales como la normal, la F y la Ji cuadrado.
3.8.1. Distribuciones discretas de probabilidad. Para definir el concepto de una distribución discreta de probabilidad nos basaremos en el siguiente problema: Suponga que se lanzan dos dados sobre una mesa y nuestro objetivo es obtener la probabilidad de que la suma de los puntos en los dados. Si suponemos que todos los resultados observados al tirar los dados son equiprobables (tienen la misma posibilidad de salir) entonces, el espacio de muestra del experimento, con 36 resultados posibles es el que se muestra en la Tabla 3.1. TABLA 3.1. ESPACIO DE MUESTRA DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.
D a d o
1
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
D a d o 3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
2 4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
5 (1, 5) (2,5) (3, 5) (4, 5) (5,5) (6, 5)
6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
Una vez determinado el espacio de muestra, podemos calcular la probabilidad para cada uno de los casos posibles. Por ejemplo, X = 7 se interpretará como el evento de que se observó el resultado 7 al tirar los dos dados, esto es el evento (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ocurrió. Por lo tanto, P(X = 7) = P( (1, 6 16 . Todas las probabilidades posibles se muestran en la Tabla 3.2. 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ) = 36
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TABLA 3.2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA SUMA OBSERVADA EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.
Resultado Probabilidad
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
Hemos encontrado la distribución de probabilidad de los valores posibles de la suma en el lanzamiento dos dados. Si D1 representa el resultado observado en el dado 1 y D2 el resultado que se obtiene en el dado 2, podemos expresar el valor que nos interesa así: X = D1 + D2. Antes de lanzar los dados, no se sabe qué valores se observarán para D1 y D2, por lo tanto tampoco se sabe el valor para X. El valor que X tomará puede variar de tirada en tirada sujeto a la distribución especificada en la Tabla 3.2. Así X es una variable, que asume un número finito de valores sujeto a una distribución de probabilidad. Este es un ejemplo que complementa el concepto de una variable aleatoria discreta visto en el ejercicio 3.14. Otros ejemplos son las variables D1 y D2. En general, si S es un espacio de muestra con una medida de probabilidad P, se define una variable aleatoria como una función que asigna un número real a cada uno de los elementos de S. Es decir, X es una función cuyo dominio es el espacio de muestra S y su rango es el conjunto de los números reales. En el caso del lanzamiento de dos dados, la variable X puede asumir un valor de entre un conjunto finito de valores posibles. Como se dijo antes, cualquier variable que pueda tomar un número finito de valores decimos que es una variable aleatoria discreta. También son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un número muy grande o infinito de valores que potencialmente podrían ser contados, tal como el número de latas de atún producidas por la empresa Guaymex, el número de clientes que han comprado en las tiendas Soriana desde su apertura, el número de estrellas en el firmamento, el número de hojas en los árboles, el número de granos de arena en Bahía de Kino etc. En la Tabla 3.2 observamos que a cada valor posible de X, le asignamos un número correspondiente a su probabilidad. De esta forma podemos definir otra función: f ( x ) P( X x ), para cada número x en el campo de valores de la variable X. Esta función se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable X. Para el ejemplo que estamos tratando de la suma en el lanzamiento de dos dados, los valores de esta función están dados en la Tabla 3.2, la cual podemos rescribir utilizando los conceptos estudiados. TABLA 3.3. FUNCION DE PROBABILIDAD DE LA SUMA OBSERVADA EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.
x f ( x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
Podemos observar las siguientes propiedades: f ( x ) nunca adquiere un valor menor que cero. Esto se debe a que f ( x ) representa una probabilidad, la cual nunca puede ser negativa. De igual manera f ( x ) nunca puede ser mayor que 1. Si sumamos todos los valores que puede tomar f ( x ) obtenemos 1, debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria tome uno de los valores establecidos. Por definición, la función de probabilidad tiene las siguientes características:
f ( x ) 0 para todo valor x en el dominio. 2. f ( x ) 1 donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio de f. 1.
x
Los valores de la función de probabilidad, para el caso sumar los resultados al lanzar dos dados, se pueden representar en una gráfica como la que se presenta en la Figura 3.1.
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0.18 0.16
P( X = x)
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Valor observado de la variable x Figura 3.1. Histograma de probabilidad de x.
La probabilidad de observar un valor particular de la variable aleatoria, por ejemplo X = 4 está dado por la altura 3 121 0.083 . De manera similar, en lugar de asociar la altura de de la barra sobre el 4, es decir P( X 4 ) 36 la barra con la probabilidad, podemos ver que el área de la barra sobre el 4 es
3 36
1
3 36
121 0.083 , ya que la
3 121 0.083 y su ancho es 1. Utilizar el área de las barras para representar la altura de la barra es de 36 probabilidad es muy útil para extender la noción de probabilidad a otras variables.
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P( X 5 ). Vemos que P(X 5 ).= P(X = 2 ó X = 3 ó X = 4 ó X =5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5), ya que los eventos donde X = 1 362 363 364 10 2, X = 3, X = 4 y X = 5 son disjuntos o ajenos, se tiene que P(X 5 ).= 36 36 , que se obtiene sumando las áreas de las barras que están sobre el 5 y a su izquierda. Se debe ser muy cuidadoso con las 5 6 1 desigualdades ya que P(X 5 ).= 10 36 18 , mientras que P( X < 5 ) = 36 6 . Si extendemos la idea de probabilidades acumulativas, podemos definir otra función partiendo de la distribución de probabilidad. Si X es una variable aleatoria discreta, definimos la función de distribución de X o función acumulativa de X de la manera siguiente: F(x) = P(X x ) =
f ( t ) para x tx
La Tabla 3.4 presenta la función de distribución acumulativa del resultado observado al tirar dos dados. TABLA 3.4. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DEL TOTAL OBSERVADO AL TIRAR DOS DADOS.
x F( x )
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 36
3 36
6 36
10 36
15 36
21 36
26 36
30 36
33 36
35 36
36 36
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De la Tabla 3.4 podemos deducir algunas propiedades. Por ejemplo, observamos que F(4) F(5), es decir si el valor en que se evalúa la función es mayor, el valor de la función también será mayor. A pesar de que el valor de la función de la distribución acumulativa para x = 5.7 no está incluida entre los valores en la tabla, podemos utilizar la definición para obtenerlo F(x) = P(X x ), así F(5.7) = P(X 5.7 ). Cuando escribimos esta última probabilidad nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de observar que el total de puntos de dos dados es menor o igual que 5.7? Por la naturaleza del experimento, vemos que no es posible observar valores distintos a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, por esta razón los resultados que pueden observarse 5 y que son menores o iguales a 5.7 son 2, 3, 4, 5, se tiene que, F(5.7) = P(X 5.7) = F(5) = 10 36 18 . Esto demuestra que la propiedad que habíamos visto antes, en la que establecimos que si a y b son dos números reales con a b entonces F(a) F(b) no siempre es cierta. La que si es cierta es que si tenemos dos números reales a y b, tal que a b entonces F(a) F(b). Por la definición de probabilidad y por esta propiedad, vemos que el valor más grande que puede tener F(x) es 1 y el valor más pequeño de esta función es 0. Hagamos un resumen de las propiedades encontradas. 1. F(-) = 0 2. F() = 1 3. Si a y b son números reales a b, entonces F(a) F(b). Esto significa, en el lenguaje matemático, que F es una función no decreciente. 4. F(x) es una función continua por la derecha: si a es un número real, entonces lim F ( x ) F ( a ) . x a
La gráfica de F(x) parece una escalera y se muestra en la Figura 3.2. Podemos ver el motivo por el cual esta gráfica debe ser de esta manera si examinamos los valores de la función de distribución en un intervalo tal como 15 [6, 7]. Vemos que F(6) = 15 36 si escogemos un número x mayor que 6, pero menor que 7, tenemos que F(x) = 36 . Sin embargo, al evaluar la función en x = 7 vemos que F(7) = en ese punto.
21 36
127 , por esta razón la gráfica muestra un salto
1.2
F(X) = P(X≤x)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
Valor observado de la variable X.
Figura 3.2. Gráfica de la función de distribución acumulativa del total de puntos al tirar dos dados.
También podemos notar que el tamaño del salto en x = 6 nos dice la probabilidad de X = 7. Para valores de x 21 entre 6 y 7 (sin incluir el 7) tenemos que F(x) = 15 36 , como habíamos visto y luego F(7) = 36 , así el tamaño del
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salto en X = 6 es
21 36
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15 36
6 36
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16 . Este último valor es la probabilidad de que el total de puntos en dos dados, X 1 6
sea igual a 7, es decir, P(X = 7) =
.
6 21 1 15 Visto de otra manera, P(X = 7) = P(X 7) P(X 7). Esto es igual a P(X 7) P(X 6) = 36 36 36 6 . En general, el tamaño del salto de la función de distribución en un valor particular, nos da la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a ese valor.
3.8.2. Valor esperado de variables aleatorias discretas. Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad f ( x ), entonces el valor esperado de X es
E( X ) x f ( x ). Ilustremos esta fórmula mediante dos ejemplos. x
Ejemplo 3.40. Si X es el número de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras, obtenemos el valor esperado de la variable aleatoria Y X 2 . La función de probabilidad de X es f ( x )
Y X 2 es entonces f ( y )
1 6
1 6
si x 1, 2, 3, 4, 5, 6. La función de probabilidad de
si y 1, 4, 9, 16, 25, 36, así
E( Y ) Px 1 4 Px 2 9 Px 3 16 Px 4 25Px 5 36 Px 6. 1 1 1 1 1 E( Y ) 1 6 1 6 4 6 9 6 16 6 25 6 36 2
2
1 P( X 1) 2 P( X 2 ) 3 P( X 3 ) 2
2
2
4 P( X 4 ) 5 P( X 5 ) 6 P( X 6 )
x
2
P( X x ).
x
X es
Ejemplo 41. Si
una variable aleatoria que tiene función de probabilidad
x 2, - 1, 0, 1, 2, 3 y Y X 2 . La función de probabilidad de Y es f ( y )
2 6
f ( x)
1 6
si y 1, 4 y f ( y )
y 0, 9. Entonces E( Y ) 2 1 2 4 1 0 1 9. Esta ecuación la podemos rescribir como: 6 6 6 6
si 1 6
si
2 1 2 4 1 0 1 9. E( Y ) 6 6 6 6 1 P( Y 1) 4 P( Y 4 ) 0 P( Y 0 ) 9 P( Y 1) 2
2
2
2
1 P( X 1 ó X 1) 2 P( X 2 ó X 2 ) 0 P( X 0 ) 3 P( X 3 ). 2
2
2
1 P( X 1 ) ( 1) P( X 1 ) 2 P( X 2 ) (-2 ) 2
2
P( X 2 )
2
+ 0 P( X 0 ) 3 P( X 3 ).
x
2
P( X x ).
x
A través de estos ejemplos, e visualiza que no es necesario calcular la función de probabilidad de Y , sólo se 2 tiene que usar la función de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la función Y g( X ) X . Departamento de Matemáticas
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Esto es cierto aún en el caso en que la función no es uno a uno. Esto conduce al teorema siguiente cuya prueba se omite. Nota. Todas las demostraciones de los teoremas se omitirán, por no estar dentro de los intereses de este texto. Teorema 3.1. Si X es una v. a. discreta y f ( x ) es su función de linealidad, Y g( X ) es una función a valores reales, es decir, Y es una variable aleatoria, entonces su valor esperado es E( Y ) E( g ( x )) g ( x ) f ( x ). x
En particular se puede utilizar este teorema en el caso especial en que la función g ( X ) es lineal, es decir Y g( X ) aX b, donde a, b . Así se obtiene E( Y ) E( aX b ) ( ax b ) P( X x ) ax P( X x ) b P( X x ) x x x a xP( X x ) b P( X x ) aE( X ) b. x x
Este resultado nos lleva al siguiente teorema. Teorema 3.2. Si a y b son constantes reales y g( X ) aX b es una función a valores reales, entonces E( aX b ) aE( X ) b. Corolario 3.1. Si a es una constante real, entonces E( aX ) aE( X ). Corolario 3.2. Si b es una constante real, entonces E( b ) b. Teorema 3.3. Si c1 , c2 , , cn son constantes reales, y g1 ( X ), g 2 ( X ), , g n ( X ), son funciones reales de X, entonces
n n E ci g i ( X ) ci E( g i ( X )) i 1 i 1 Existen casos especiales de la función g ( X ) las cuales requieren más atención. En nuestro caso, nos interesa el r r comportamiento de E( g( X )) cuando g( X ) X para r = 0, 1, 2, 3,... . La expresión E( X ) se conoce como el errésimo momento de X alrededor del origen de la variable aleatoria X. Se tiene que
E( X r ) x r f ( x ). x
El primer momento E( X ) se conoce como la media (poblacional) de la variable aleatoria X y se indica usualmente por la letra griega ( se lee mu ), E( X ). Otros momentos nos permiten describir la forma de la distribución de X. El errésimo momento de X alrededor de la media es
E ( X ) r ( x ) r f ( x ), para r = 0, 1, 2, ... x
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El segundo momento alrededor de la media es de gran interés en estadística y se conoce como la varianza (poblacional) de la variable X. La varianza se denota a menudo mediante la letra griega (sigma minúscula) elevada al cuadrado: 2 E X E( X )) 2 E ( X ) 2 . Su raíz cuadrada positiva, , se conoce como la desviación estándar (poblacional) de X.
Frecuentemente es más fácil calcular la varianza a partir del primer y segundo momento alrededor del origen.
Teorema 3.4. Var ( X ) 2 E( X 2 ) E( X ) E X 2 2 . 2
Teorema 3.5. Si X es una variable aleatoria con varianza 2 , entonces
Var ( aX b ) a 2 Var ( X ) a 2 2 . La varianza es un valor muy útil para estudiar la distribución de una variable aleatoria. En particular, nos ofrece información sobre la probabilidad de observar valores extremos de X. Esta relación se establece en el siguiente teorema. Teorema 3.6. (Teorema de Chebyshev). Si X es una variable aleatoria con varianza 2 y media , entonces para cualquier constante positiva k, se tiene que
P X k 1
1 . k2
Ejercicios 5. Ejercicio 3.36. Dé 6 ejemplos de variables aleatorias discretas. Indique cuáles pueden tomar un número finito de valores distintos y cuáles un número infinito de valores. Ejercicio 3.33. Dé 3 ejemplos de variables aleatorias que no sean discretas. Ejercicio 3.34. Examine la tabla 3.3 y usa la definición de f(x) para deducir algunas propiedades de esta función. Ejercicio 3.35. Verifica que la función es una función de probabilidad para x = 1, 2, 3, 4, 5. Indique su dominio y su campo de valores. Ejercicio 3.36. Considera el lanzamiento de 4 monedas al aire. Defina la variable aleatoria Y como el número de sellos observados. Construya la función de probabilidad de Y. Ejercicio 3.37. Considera el lanzamiento de dos dados al aire. Defina la variable aleatoria X como la diferencia de los puntos observados en los dados. Construya la función de probabilidad de X. Ejercicio 3.38. Encuentre las siguientes probabilidades: P( X = 11 ), P( X < 5 ), P( X 6 ), P(X = 4.5 y P(X = 7.3) para el ejemplo anterior. Ejercicio 3.39. Calcule la función de distribución acumulativa de la suma de los puntos de dos dados. Ejercicio 3.40. Use las propiedades de la función de probabilidad para encontrar algunas propiedades de la función de distribución acumulativa. Ejercicio 3.41. ¿Esta propiedad es siempre cierta? Examine que sucede con x = 5, x = 6 y con Ejercicio 3.42. Utilice la función de distribución para encontrar P(X = 9.8).
3.8.3. Distribuciones discretas más comunes En el estudio de las variables aleatorias, por lo general nos interesan las probabilidades de que puedan tomar diversos valores posibles, es decir, sus distribuciones de probabilidad, en esta sección se mencionan las más importantes. Departamento de Matemáticas
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3.8.3.1. Distribución uniforme discreta. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta si su función de probabilidad está dada por f ( x k ) f x
1 k
para x x1 , x 2 , , x k , ( xi x j , si i j ). Donde,
k
E ( X ) xi i 1
1 k
k
y 2 ( xi ) 2 i 1
1 k
Las aplicaciones de las variables aleatorias distribuidas uniformemente se encuentran en el desarrollo de las loterías y otras formas de juegos de azar; en la generación de números aleatorios para experimentos de ingeniería o de simulación y en la evaluación de “probabilidades previas” de una persona en relación con el resultado de algún evento futuro para la toma de decisiones. Ejemplo 3.42. La probabilidad de que en el lanzamiento de un dado legal aparezca un 5 es
1 6
y , es la misma
que la probabilidad de obtener un 3, o un 7, o un 2, etc.
3.8.3.2. Distribución Bernoulli A esta distribución también se le conoce como binomial punto. Si una variable aleatoria discreta X sólo tiene dos valores posibles, como sucede por ejemplo en experimentos en los que sólo existen dos resultados posibles, fracaso o éxito, se le asigna 0 a fracaso y 1 a éxito; si le llamamos p a la probabilidad de éxito, la probabilidad de fracaso es 1- p, que generalmente se le llama q, por lo que la densidad de X es: f ( x) q, x 0 p, x 1
= 0 de otro modo. Esta función se puede resumir de la manera siguiente: f ( x) p x (1 - p)1 - x para
x 0, 1
Cualquier variable aleatoria discreta X, cuya densidad se ajuste a esta patrón, se dirá que se distribuye Bernoulli, con parámetro p, denotándose esto por: X ~ Ber(p) Ejemplo 3.43. La probabilidad de que un presunto cliente elegido aleatoriamente realice una compra es 0.20. Por lo tanto, la probabilidad de que el cliente elegido no realice la compra será de 1 – 0.20 = 0.80.
3.8.3.3. Distribución Binomial. La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, aplicable cada vez que suponga que un proceso de muestreo conforma un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli es un proceso de muestreo en el cual: Departamento de Matemáticas
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i) ii) iii)
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Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. Estos resultados obtenidos se denominan éxito y fracaso. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. La probabilidad de éxito, designada por p, permanece constante de ensayo a ensayo. Es decir, el proceso es estacionario
En una distribución Binomial, se realizan n repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli. La variable X representa el número de éxitos obtenidos en las n repeticiones. Nos preguntamos sobre la probabilidad de obtener x éxitos en las n repeticiones, así, la función de probabilidad es: x nx P( X x ) f ( x k ) C nx p ( 1 p ) , x 1, 2, , n.
np y np( 1 p ). 2
Ejemplo 3.44. Suponga que un lote de 300 fusibles eléctricos contiene 5% defectuosos. Determine la probabilidad de que se pueda encontrar al menos un fusible defectuoso en una muestra de cinco fusibles. Solución. Es pertinente suponer que X, número de fusibles defectuosos observados, tenga aproximadamente una distribución binomial debido a que el lote es grande. Así 5 0
P(al menos uno defectuoso) = 1 p(0) 1 q 5 1 0.955 1 0.774 0.226
obsérvese que existe una probabilidad bastante grande de obtener al menos uno defectuoso, aunque la muestra sea relativamente pequeña.
3.8.3.4. Distribución Geométrica. Se efectúan tantas repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli como sean necesarias para obtener el primer éxito. Si la probabilidad de éxito es p, la de fracaso es 1 - p, entonces la función de probabilidad de X, el número de repeticiones hasta observar el primer éxito es:
P( X x ) f ( x p ) p( 1 p ) x1 , Su valor esperado es E ( X )
x 1, 2, 3,
1 p 1 y su varianza es igual a 2 V (Y ) 2 . p p
Una variable aleatoria geométrica no tiene memoria, es decir: P( X n m X n ) P( X m ) : Utilizando la definición de probabilidad condicional obtenemos:
P( X n m X n ) P( X n m, X n / P( X n ) P( X n m / P n ). Ahora obtenemos el denominador: Departamento de Matemáticas
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n
P( X n ) 1 P( X n ) 1 p( 1 p ) x 1 x 1
1 (1 p ) n 1 p ( 1 p ) 1 p 1 x 0 p n 1
x
(1 p ) n Así tenemos que
P( X n m ) p( 1 p ) n m1 P( X n ) (1 p ) n
P( X n m, X n / P( X n )
p( 1 p ) m1 P( X m ).
Ejemplo 3.45. Suponga que la probabilidad de que un motor falle durante cualquier periodo de una hora es p 0.02 . a) Encuentre la probabilidad de que dicho motor funcione bien durante 2 horas. b) Halle la media y la desviación estándar de Y. Solución. a) Sea X el número de intervalos de una hora hasta la primera falla, entonces P(de funcionar bien por dos horas) = P X 3
px y 3
Como
px 1, y 1
P(de funcionar bien por dos horas) = 1
px y 3
= 1 p qp 1 0.02 0.980.02 0.9604 b) Se tiene que la media = E ( X )
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1 p 1 y su varianza es igual a 2 V ( X ) 2 . Así que p p
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1 50 , esto significa que se tendrá que esperar muchas horas hasta que ocurra la primera falla. 0.02 1 0.02 Por oto lado, 2 V ( X ) 2,450 , entonces la desviación estándar de Y es 2,450 49.497 . 0.022 E( X )
3.8.3.5. Distribución Binomial Negativa En esta distribución se hacen tantas repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli como sean necesarias para obtener k éxitos. Si la probabilidad de éxito es p, la de fracaso es 1 - p y la función de probabilidad de Y, el número de repeticiones necesarias hasta observar k éxitos es: P( X x) f ( x p, k )
La media de X es E ( X )
C
x 1 k 1
p k (1 p) x k ,
x k , k 1, k 2,
k 1 p k y la varianza es 2 V (Y ) . p p2
Ejemplo 3.46. Un estudio geológico indica que un pozo exploratorio, perforado en una región particular, debería manar petróleo con una probabilidad de 0.20. a) Encuentre la probabilidad de que el tercer encuentro de petróleo ocurra en el quinto pozo que se perfora. b) Halle la media y la desviación estándar. Solución. a) Sea Y el número de la prueba en la cual ocurre el tercer descubrimiento de petróleo, suponiendo perforaciones independientes con una probabilidad de 0.2 de encontrar petróleo en cualquier paso. Entonces es razonable suponer que Y tiene una distribución binomial negativa con p 0.2 . Así 4 PY 5 p5 0.23 0.82 0.0307 2
b) Como la media de Y es E (Y )
k p
y la varianza es 2 V (Y )
k 1 p p2
, se tiene que
k 3 15 . Esto indica que se espera perforar 15 pozos antes de que emane petróleo de alguno de p 0.2
ellos y 2
31 0.2 12 por lo que 12 3.464 . 0.2
3.8.3.6. Distribución hipergeométrica. En esta distribución se tiene una población finita de N elementos de los cuales k son de un tipo (digamos éxitos) y N - k son fracasos. Seleccionamos n elementos sin remplazo de la población de N. Nos interesa la probabilidad de obtener x éxitos entre los n elementos seleccionados. La función de probabilidad de Y, el número de éxitos obtenidos entre los n elementos seleccionados está dada por:
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P( X x) f x
k
N k
x
n x
C C n, N , k ) C N
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, para x 0, 1, 2, , n; x k , n x N k .
n
La media de X, o valor esperado es: E ( X )
nk y la varianza de X es N
2
nk ( N k )( N n ) . N 2 ( N 1)
Ejemplo 3.47. Un problema importante que enfrentan los jefes de personal y otras personas encargadas de la selección de los mejores de un conjunto finito de elementos se describe mediante la situación siguiente. Se seleccionan 10 personas para un trabajo de un grupo de 20 ingenieros con doctorado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de los 10 ingenieros seleccionados incluya a los cinco mejores del grupo de 20? b) Encuentre la media y la varianza para el grupo de los 20 ingenieros. Solución. a) Para este ejemplo N 20, n 10 y k 5 , es decir, hay solamente cinco en el conjunto de los 5 mejores ingenieros y nosotros buscamos la probabilidad de que X 5 , siendo X el número de los mejores entre los 10 seleccionados. Entonces 5 15 5 5 15 10 10 21 P5 0.162 5 10 20 1,292 20 10
b) Dado que la media de Y es E ( X )
E (Y )
105 2.5 20
nk nk ( N k )( N n) y la varianza 2 , entonces N N 2 ( N 1)
esto significa que en el grupo seleccionado de 10 ingenieros, se espera que 2 o 3 de ellos
sean de los mejores. Como 2
105(20 5)( 20 10) 7,500 0.9868, entonces 2 20 (20 1)
7,600
0.9868 0.9934
3.8.3.7. Distribución de Poisson. En esta distribución se observan eventos a través del tiempo o espacio con las siguientes propiedades; la probabilidad de observar un evento en una unidad de tiempo o espacio t es t para algún 0 . La probabilidad de observar dos o más eventos simultáneamente es muy pequeña. A los procesos que ocurren en un espectro continuo de tiempo y espacio se le denomina proceso de Poisson; es similar al proceso de Bernoulli visto en la sección 3.2.3 excepto que los eventos suceden en un espectro continuo en vez de ocurrir en ensayos u observaciones fijas. Un ejemplo de tal proceso es la llegada de personas a la cola de una ventanilla bancaria. Tal como en el proceso de Bernoulli, se supone que los eventos son independientes y que el proceso es estacionario. Sea X la variable aleatoria que nos dice el número de eventos observados en un intervalo de tiempo o de espacio de longitud t, entonces su función de probabilidad viene dada por:
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f ( x , t)
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( t ) x e t , x = 0, 1, 2, ... x!
0
La media de X es E(X) t y su varianza es 2 t . En el caso particular cuando el periodo de tiempo y espacio es t 1 (digamos 1 mes, una semana, un metro, un kilómetro, etc) se tiene que f (x )
( ) x e , x!
0
x = 0, 1, 2, ...
La media de X es E(X) y su varianza es 2 .
Ejemplo 3.48. El promedio mensual de accidentes en una fábrica resulta ser igual a 3. Durante el mes pasado hubo 6 accidentes. ¿Consideraría este número demasiado alto (muy poco probable si es todavía 3) e indicador de un aumento en la media ? Solución. El número de accidentes X tendría posiblemente una distribución de probabilidad de Poisson con 3 . La probabilidad de que X sea de 6 es
P( X 6)
x 6
Así,
3x e3 1 P( X 6) 1 x!
5
x 0
3x e3 x!
P( X 6) 1 0.0498 0.1498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008 1 0.916 0.084
Además, se tiene que 3 , 2 3 y 3 1.73 . Una regla empírica indica que hay que esperar que Y tome valores en el intervalo 2 con una alta probabilidad. Obsérvese que 2 3 21.73 6.46 . El número de accidentes observado X = 6, no se encuentra a más de 2 de , pero está cerca de la frontera. Por lo tanto, el resultado observado no es muy improbable, pero puede tener la suficiente improbabilidad para justificar una investigación.
Ejercicios 6. Ejercicio 3.43. El número de productos empaquetados por un trabajador en una hora oscilan entre 10 a 18 unidades y se piensa que están distribuidos uniformemente. ¿Cuál es la probabilidad de que se empaqueten entre 12 y 15 productos en una hora determinada? Ejercicio 3.44. Muchos jefes se dan cuenta de que algunas personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio: agencias investigadoras de antecedentes. Una revista nacional, notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses, encontró que el 35% de los antecedentes Departamento de Matemáticas
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examinados habían sido alterados. Supóngase que usted ha contratado la semana pasada a cinco nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya falsificado la información en su solicitud de trabajo es 0.35. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada? Ejercicio 3.45. Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene un entrenamiento avanzado de programación computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes. a) Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación en la quinta entrevista. b) ¿Cuál es el número esperado de aspirantes que hay que entrevistar para encontrar el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación? Ejercicio 3.46. Se aplican análisis a los obreros de una empresa que fabrica material aislante, a fin de detectar la existencia de asbesto en sus pulmones. La fábrica tiene que mandar tres obreros, con indicaciones positivas de asbesto, a un centro médico para realizar más pruebas. Si el 40% de los trabajadores tienen indicaciones positivas de asbesto en los pulmones, a) Encuentre la probabilidad de que se tengan que examinar a diez operarios para encontrar “tres” positivos. b) Si cada prueba cuesta 200 pesos, obtenga el valor esperado y la varianza del costo total de la realización de las pruebas necesarias para localizar tres empleados “positivos”. Ejercicio 3.47. Un producto industrial particular se embarca en lotes de 50. La prueba para determinar si el artículo es defectuoso es costosa y por lo tanto el productor selecciona una muestra de su producción en lugar de usar un plan de inspección al 100%. Un proyecto de muestreo elaborado para minimizar el número de artículos defectuosos surtidos a los consumidores exige un muestreo de 10 artículos de cada lote y el rechazo del lote si se encuentra más de dos artículos defectuosos. (En el caso de ser rechazados el lote, se prueba cada artículo de éste). Si un lote contiene 6 artículos defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de que sea rechazado? ¿Cuál es el número esperado de defectuosos en la muestra de tamaño 10? ¿Cuál es la varianza del número de defectuosos en la muestra de tamaño 10? Ejercicio 3.48. En un almacén particular, los clientes llegan al mostrador de caja de acuerdo a una distribución de Poisson con un promedio de 7 por hora. En una hora determinada, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) no lleguen más de tres clientes? b) Lleguen al menos dos clientes? c) Lleguen exactamente 5 clientes?
3.9. Ejercicio práctico resuelto donde se aplica parte de la teoría de probabilidad. Basándote en este ejercicio resuelto, podrás calcular probabilidades adicionales a las obtenidas en el levantamiento de tu encuesta. Recuerda que debes de obtener información adicional como la de este ejercicio, con las preguntas claves (al menos 2 de ellas), que responden a la pregunta realizada en la sección 3 del planteamiento del problema de tu proyecto y con los objetivos del mismo. La información que obtengas debes añadirla a una nueva sección de tu proyecto que se titulará Cálculo de probabilidades e inferencias que será colocada antes de la conclusión. 1. Se realizó una encuesta a 20 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniéndose lo resultados que se muestran en la Tabla 3.5. TABLA 3.5. PREFERENCIA DE LOS ENCUESTADOS ACERCA DE LOS PRODUCTOS A Y B Encuestado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Respuesta A B A,B A B N A A A,B N A,B N B A A,B A N N N
20 B
Podemos analizar la información obtenida en el levantamiento de la encuesta como sigue: a) Definimos primero es espacio de muestra y los eventos: Departamento de Matemáticas
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E = {Personas entrevistadas}, A = {Personas entrevistadas que consumen el producto A}, B = {Personas entrevistadas que consumen el producto B} b) Usamos la simbología de la teoría de conjuntos y de la probabilidad clásica para señalar los resultados obtenidos en forma de frecuencias relativas. Esto es, ;
;
= 0.20 y
. c) Obtenemos las probabilidades adicionales (nueva información), usando fórmulas de la teoría de conjuntos y los resultados obtenidos tales como: la probabilidad de que un encuestado 1) No prefiera el producto A que se indica por . 2) No prefiera el producto B indicado por . 3) Sólo prefiera el producto A que se simboliza por , 4) Sólo prefiera el producto B que se indica por 5) prefiera al menos uno de los dos productos que se denota por 6) prefiera sólo uno de los dos productos. De la manera siguiente: Para resolver 1) se tiene que:
Es decir, hay un 50% de posibilidades que un encuestado no prefiera el producto A.
Para resolver 2) tenemos que:
Esto es, hay un 60% de posibilidades que un encuestado no prefiera el producto B.
Para resolver 3) se tiene que: , Esto significa que existe un 30% de posibilidades de que un encuestado prefiera únicamente el producto B. Para resolver 4) tenemos que: y Esto quiere decir que existe un 20% de posibilidades de que un encuestado prefiera únicamente el producto A. Para resolver 5) se tiene que: . Es decir, existe un 70% de posibilidades de que un encuestado prefiera alguno de los dos productos. Para resolver 6) tenemos que:
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Es decir, se tiene un 50% de posibilidades de que un encuestado prefiera sólo uno de los dos productos.
Aun podemos obtener más información la tal como: a) La probabilidad de que un entrevistado prefiera el producto B dado que ya prefirió el producto A. b) La probabilidad de que un entrevistado prefiera el producto A dado que ya prefirió el producto B. c) La probabilidad de que un entrevistado prefiera el producto B dado que no prefirió el producto A. d) La probabilidad de que un entrevistado prefiera el producto A dado que no prefirió el producto B. e) La probabilidad de que un entrevistado no prefiera el producto A dado que no prefirió el producto B. f) La probabilidad de que un entrevistado no prefiera el producto B dado que no prefirió el producto A. la cual podemos calcular mediante la información dada por el problema, y la información obtenida en cálculos anteriores. Para resolver b) se tiene que . Es decir, hay un 50% de posibilidades que un encuestado prefiera el producto A dado que ya prefirió el producto B. Para resolver c) se tiene que . Esto significa que hay un 40% de posibilidades que un encuestado prefiera el producto B dado que ya prefirió el producto A. Para resolver d) se tiene que . Esto es, hay un 60% de posibilidades que un encuestado prefiera el producto B dado que no prefirió el producto A. Para resolver e) tenemos que . Esto significa que existe un 60% de posibilidades de que un encuestado no prefiera el producto B dado que no prefirió el producto A. Por último, para resolver f) se tiene que . Esto quiere decir que hay un 50% de posibilidades de que un encuestado no prefiera el producto A dado que no prefirió el producto B. Departamento de Matemáticas
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Además de la información obtenida arriba, si definimos la variable aleatoria de la manera siguiente, AB , A ,B ,N podemos construir la distribución de probabilidad de los resultados de la Tabla 3.5, es la que aparece en la tabla 3.6
TABLA 3.6. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE LA PREFERENCIA DE LOS CLIENTES.
Variable X
Probabilidad P(x)
0 1 2 Total
1
La gráfica de la función de distribución de probabilidad se muestra en la Figura 3.3.
Probabilidad
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
1 Preferencia de los artículos
2
Figura 3.3. Función de probabilidad de la preferencia de los clientes.
Si elegimos un cliente al azar, el valor esperado acerca de la preferencia de los dos artículos es artículos. Esto significa que se espera que el cliente elegido prefiera uno de los dos productos.
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