Universidad de Zaragoza Departamento de Inform´ atica e Ingenier´ıa de Sistemas

MEMORIA DE TESIS DOCTORAL

´ EFICIENTE DE FENOMENOS ´ SIMULACION F´ISICOS EN MEDIOS CONTINUOS: ´ A LA LOCOMOCION ´ HUMANA SU APLICACION

Autora: Sandra S. Baldassarri Director: Dr. D. Francisco Jos´ e Ser´ on Arbeloa

Zaragoza 2004

Grupo de Inform´atica Gr´afica Avanzada

´ EFICIENTE DE FENOMENOS ´ SIMULACION ´ FISICOS EN MEDIOS CONTINUOS: ´ A LA LOCOMOCION ´ HUMANA SU APLICACION

Memoria presentada para optar al grado de Doctor en Ingenier´ıa Inform´atica por D˜ na. Sandra S. Baldassarri Departamento de Inform´atica e Ingenier´ıa de Sistemas Universidad de Zaragoza Dirigida por Dr. D. Francisco Jos´ e Ser´ on Arbeloa Departamento de Inform´atica e Ingenier´ıa de Sistemas Universidad de Zaragoza Septiembre 2004

Grupo de Inform´atica Gr´afica Avanzada

Universidad de Zaragoza

Derechos de autor Los derechos de la presente obra pertenecen a D˜ na. Sandra Baldassarri y al Dr. D. Francisco Ser´on Arbeloa del Departamento de Inform´atica e Ingenier´ıa de Sistemas del Centro Polit´ecnico Superior de la Universidad de Zaragoza. Queda prohibida la reproducci´on total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin el permiso escrito de los autores.

El Dr. D. Francisco Jos´e Ser´on Arbeloa Catedr´atico de la Universidad de Zaragoza CERTIFICA Que D˜ na. Sandra S. Baldassarri ha realizado en el Departamento de Inform´atica e Ingenier´ıa de Sistemas de la Universidad de Zaragoza, bajo mi direcci´on, el trabajo: Simulaci´ on Eficiente de Fen´ omenos F´ısicos en Medios Continuos: Su Aplicaci´ on a la Locomoci´ on Humana Que constituye la memoria para aspirar al grado de Doctor en Inform´atica, reuniendo a mi juicio las condiciones necesarias para ser presentada y defendida ante el tribunal correspondiente.

Zaragoza, Septiembre de 2004

Publicaciones directamente relacionadas con la tesis Publicaciones en Revistas Internacionales Software Laboratory for Physical Based Human Body Animation F. Rojas, S. Baldassarri, F. J. Ser´on Lecture Notes in Computer Science 2492: Articulated Motion and Deformable Objects - Springer-Verlag. ISBN 3-540-00149-2. P´aginas 226-240. Ed. Francisco J. Perales, Edwin R. Hancock. Publicado por Springer. 2002. Lugar de publicaci´on: Berlin, Alemania. Modelling objects with changing shapes: A survey S. Baldassarri, D. Guti´errez, F. J. Ser´on Machine GRAPHICS & VISION. Vol. 11, No 4. ISSN 1230-0535. P´aginas 399-430. Published by The Institute of Computer Science - Polish Academic of Science. 2002. Lugar de publicaci´on: Varsovia, Polonia.

Publicaciones en Congresos Internacionales Visualizaci´ on en Tiempo Real de la Locomoci´ on Humana S. Baldassarri, F. J. Ser´on XVI Congreso Internacional de Ingenier´ıa Gr´afica ISBN: 84-95475-39-1. P´aginas 396-405. 2 al 4 de junio de 2004. A Human Locomotion System for the Calculus of Muscle Forces S. Baldassarri, F. Rojas, F. J. Ser´on ICCB’03: International Congress on Computational Bioengineering Dep´osito Legal: Z-2045-2003. P´aginas 351-358. 24 al 26 de septiembre de 2003. Obtenci´ on de los elementos anat´ omicos relacionados con una hernia inguinal para su aplicaci´ on en el campo de la ense˜ nanza en cirug´ıa D. Guti´errez, F. J. Ser´on, S. Baldassarri Ingegraf’99: XI Congreso Internacional de Ingenier´ıa Gr´afica ISBN 84-699-0473-6. Vol. No 1. P´aginas 492-503. 2, 3 y 4 de Junio de 1999.

Reports de Investigaci´ on T´ ecnicas de Modelado de Objetos Org´ anicos y Naturales S. Baldassarri, D. Guti´errez, F. J. Ser´on Research Report No 14-99 Septiembre de 1999. Lugar de publicaci´on: Universidad de Zaragoza, Zaragoza, Espa˜ na.

Aceptado para Publicaci´ on en Congreso Internacional The Light Simulation Lab: An Inmersive Environment for the Visualization of Complex Global Illumination Problems F. J. Ser´on, S. Baldassarri, E. Sobreviela, J. A. Magall´on, D. Guti´errez Aceptado en el Workshop Virtual Reality for Industrial Applications: VIA 2004 a celebrar el 4 y 5 de Noviembre de 2004 en Compeigne, Francia.

Publicaciones parcialmente relacionadas con la tesis Publicaciones en Revistas Internacionales Geometric and Visual Modelling of Complex Stratigraphic Structures F. J. Ser´on, J. J. Torrens, J. A. Magall´on, A. Tur´on, S. Baldassarri Computer & Graphics, Volumen 28, N´ umero 4. P´aginas 585-599. Agosto de 2004. Lugar de publicaci´on: England.

Publicaciones en Congresos Internacionales A VRML Practice Tool for Continuous and Distance Training F. Rojas, S. Baldassarri, J.R. Lamenca, M. Rinc´on, F. Ser´on WBLE 2000: Web-based Learning Environments ISBN: 972-752-035-9. P´aginas 58-60. Junio 2000. Lugar de publicaci´on: Porto, Portugal.

Publicaciones en Congresos Nacionales Entorno de Simulaci´ on de Bajo Coste para M´ aquinas Herramientas CNC F. Rojas, S. Baldassarri, E. Mel´endez, J. Lamenca, M. Rinc´on, J. Larroy, F. Ser´on CEIG 2000: Congreso Espa˜ nol de Inform´atica Gr´afica ISBN: 84-8021-314-0. P´aginas 385-386. Edit.: Publicacions de la Universitat Jaume I. 28 al 30 de junio de 2000. Visualizaci´ on 3D y 4D de algunas magnitudes provenientes de la simulaci´ on num´ erica de la din´ amica de fluidos F. Rojas, S. Baldassarri, J.A. Guti´errez, J. Ferrer. ISBN 84-87867-71. M´etodos Num´ericos en la Ingenier´ıa Vol. 2 - P´aginas 1563-1577. 1996. Ed. M. Doblar´e, J.M. Correas, E. Alarc´on, L. Gavete, M. Pastor, publicado por: Sociedad Espa˜ nola de M´etodos num´ericos en la Ingenier´ıa.

Proyectos de Investigaci´ on CAD para Seguridad Vial basado en Sistemas de Simulaci´ on de la Iluminaci´ on Programa Tecnolog´ıa de la Informaci´on y las Comunicaciones de la Comisi´on Investigadora de Ciencia y Tecnolog´ıa (CICYT) No TIC2001-2392-C03-02 Entidades participantes: Universidad de Girona, Universidad de Zaragoza, Universidad de Granada Duraci´on: 2001 - 2004 Investigador principal: Juan Jos´e Alba L´opez

INEVAI3D: Integraci´ on de escenarios virtuales con agentes inteligentes 3D Programa Tecnolog´ıa de la Informaci´on y las Comunicaciones de la Comisi´on Investigadora de Ciencia y Tecnolog´ıa (CICYT) No TIN2004-07926 Entidades participantes: Universidad de las Islas Baleares, Universidad de Zaragoza, Universidad de Navarra Duraci´on: 2004-2007 Investigador principal: Francisco Perales Dedicaci´on: 16 horas

Simulaci´ on r´ apida de la iluminaci´ on global y sus aplicaciones al c´ alculo inverso de reflectores Programa Tecnolog´ıa de la Informaci´on y las Comunicaciones de la Comisi´on Investigadora de Ciencia y Tecnolog´ıa (CICYT) No TIN2004-07672-C03-03 Entidades participantes Universidad de Girona, Universidad de Zaragoza, Universidad de Granada Duraci´on: 2004-2007 Investigador principal: Francisco Ser´on Arbeloa Dedicaci´on: 16 horas

A Malena.

Agradecimientos

Es dif´ıcil agradecer a todas las personas que me han acompa˜ nado y ayudado durante todos estos a˜ nos para que esta tesis haya podido, por fin, ver la luz. Ante todo quiero mencionar a mi director de tesis, el Dr. Francisco Ser´on. En primer lugar, quiero agradecerle sinceramente el haberme introducido en el mundo de los gr´aficos y de la ense˜ nanza, y por haberme abierto las puertas del GIGA desde el primer momento, sin ´el seguramente hoy no estar´ıa aqu´ı... Su ayuda, sus conocimientos y su gu´ıa a lo largo del desarrollo de esta tesis me ha ayudado, no s´olo a entender muchos conceptos cient´ıficos, sino tambi´en a superar los momentos dif´ıciles (que no fueron pocos). A pesar de nuestros encuentros y desencuentros, siempre ha sacado tiempo de donde no hab´ıa, y s´e que siempre puedo contar con ´el. A todos mis compa˜ neros del GIGA por su constante apoyo y por aguantar mis cambios de humor, en especial en este u ´ltimo tiempo... Realmente es muy dif´ıcil nombrarlos sin olvidarme a nadie, pero quiero hacer una menci´on especial para Guti, Elsa, Juan, Emilio, y en particular, Andr´es, por ser mi soporte t´ecnico en temas relacionados con la tesis. Y, por supuesto, al resto tengo que agradecer su amistad, su buena predisposici´on, y estar “ah´ı” siempre que se los necesita. A Pilar y a Eva, porque sin ellas los veranos y los fines de semana en el CPS hubieran sido mucho menos llevaderos. A la Dra. Bego˜ na Calvo tengo que agradecer el tiempo dedicado a validar los datos de mi sistema de elementos finitos, a encontrar errores y a resolverlos. Porque siempre estuvo dispuesta. A mi familia de Argentina, y en especial a mi madre, por animarme y apoyarme en esta tarea, a pesar de que la decisi´on de hacer la tesis constituy´o el primer paso para quedarme en Espa˜ na. Y a mi familia de Zaragoza, a los que recurr´ı continuamente y que siempre estuvieron dispuestos a ayudarme y cuidar a Malena para que yo pudiera trabajar. A todos mis amigos que me “perdieron” durante este tiempo... Y por supuesto, a “mi” Paco, porque sin ´el no estar´ıamos hoy presentando este trabajo. Su paciencia me ayud´o a superar innumerabales bajones y des´animos... y tambi´en por soportar tantos fines de semana dedicados a la tesis. Y a Malena, mi hija, por el tiempo que no he podido dedicarle y porque me llena la vida de alegr´ıa.

´Indice general

1.Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Area de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Deformaciones musculares durante la locomoci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Limitaciones de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 4 8 9 9

2.Conceptos previos de anatom´ıa y fisiolog´ıa: Modelado del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Anatom´ıa y fisiolog´ıa del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1.El sistema o´seo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2.Los ligamentos y el sistema articular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3.El sistema muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4.Sistema de referencias. Convenciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Modelado del cuerpo humano: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.Modelos Geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.Modelos Anat´omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 15 16 17 17 23 25 26 28 30

3.El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) . . . 35 3.1. Descripci´on del sistema MOBiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Descripci´on e implementaci´on del modelo de cuerpo humano . . . . . . . . . . 39 3.2.1.Definici´on de la estructura esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2.Definici´on de la capa muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.3.Datos antropom´etricos y parametrizaci´on de los modelos . . . . . . . . . 43 3.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.Simulaci´ on del movimiento global de locomoci´ on: Fase esqueletal . 4.1. Movimiento humano y locomoci´on: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.Antecedentes del movimiento y la locomoci´on en Inform´atica Gr´afica 4.1.2.Antecedentes de la locomoci´on en Biomec´anica y Rob´otica . . . . . . . 4.1.3.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Conceptos de locomoci´on humana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.Secuenciaci´on de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

53 56 56 63 67 69 70

ii

Contenidos

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.2.2.Simetr´ıa en el paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.Minimizaci´on del consumo energ´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descripci´on del sistema de movimiento global del esqueleto . . . . . . . . . . . 4.3.1.Par´ametros control de alto nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MOBIL: Implementaci´on del modelo din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2.M´etodo de resoluci´on de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3.Din´amica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4.Din´amica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5.Continuidad entre los sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MOBIL: Implementaci´on del modelo cinem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1.Cinem´atica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2.Cinem´atica de la cadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3.Cinem´atica de la propulsi´on pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4.Cinem´atica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5.Cinem´atica del cuerpo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.6.Proceso de inicio y fin de la locomoci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´alculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones . . . . . . . . . . . . 4.6.1.Determinaci´on de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos 4.6.2.Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL . . . . . . . . . . . Validaci´on de la fase esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1.Comparaci´on de variaciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2.Comparaci´on de valores de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3.Comparaci´on de valores de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 73 75 78 79 82 85 90 91 95 104 107 108 112 115 116 117 120 121 122 124 127 127 128 129 129

5.Simulaci´ on de la deformaci´ on local del m´ usculo: Fase m´ usculoesqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.1. Deformaciones musculares: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.1.1.Modelos geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.1.2.Modelos basados en la f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1.3.Modelos h´ıbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1.4.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.2. Fuerzas y acciones musculares en la locomoci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.2.1.M´etodos experimentales de obtenci´on de fuerzas musculares . . . . . . 149 5.2.2.An´alisis funcional de las acciones musculares durante la locomoci´on 150 5.3. Descripci´on del sistema de deformaci´on local del m´ usculo . . . . . . . . . . . . 153 5.4. Modelo basado en l´ıneas de acci´on: Introducci´on de m´ usculos en el modelo esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.4.1.Distribuci´on de fuerzas musculares en las articulaciones . . . . . . . . . . 154 5.4.2.MOBiL: Implementaci´on del modelo de l´ıneas de acci´on muscular . 157 5.5. Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones locales de los m´ usculos164

Contenidos

iii

5.5.1.Formulaci´on matem´atica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2.Formulaci´on por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.MOBiL: Implementaci´on del sistema de deformaciones . . . . . . . . . . 5.6. Validaci´on de la fase m´ usculo-esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 169 171 179 182

6.Integraci´ on final y visualizaci´ on: Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Sistema de Visualizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1.Detalles de implementaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1.Simulaci´on del movimiento esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.Simulaci´on de las deformaciones musculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.Integraci´on de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.Tiempos de c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191 194 196 197 197 198 206 208 211

7.Conclusiones y Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Objetivos Planteados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Objetivos Alcanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Trabajo en desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1.Apariencia visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2.Movimiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3.Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4.Optimizaciones para Tiempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215 217 217 218 219 221 222 222 222 223

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Ap´endice: Datos y constantes antropom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1. Datos correspondientes al esqueleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Datos correspondientes a los m´ usculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Uniones entre huesos y m´ usculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Ap´endice: Actividad Muscular durante la Locomoci´on . . . . . . . . . . . . . . . C. Ap´endice: Par´ametros de diferenciaci´on del paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Ap´endice: Constantes f´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227 241 241 241 241 245 253 255

1 Introducci´on

1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Area de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deformaciones musculares durante la locomoci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limitaciones de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3 3 4 8 9 9

Introducci´ on

El ser humano se caracteriza por interactuar de forma activa con el entorno, por lo que moverse, hablar o manipular objetos son acciones comunes en nuestra vida. Es natural, entonces, la tendencia que se observa en el mundo cient´ıfico por recrear con verosimilitud las acciones funcionales y de comportamiento del ser humano. Como la Inform´ atica Gr´ afica es la u ´ltima de las disciplinas cient´ıficas que se ha incorporado a la tarea de “replicar” al ser humano, cualquier trabajo de investigaci´ on sobre animaci´ on realista del cuerpo humano est´ a continuamente bordeando las interrelaciones con la Biomec´anica o la Rob´otica. En este cap´ıtulo introductorio se presenta, en primer lugar, el marco en que se desarrolla esta tesis. A continuaci´ on se lleva a cabo una revisi´ on de los trabajos que abordan el problema de la deformaci´ on de los m´ usculos durante la locomoci´ on humana, indicando las diferentes l´ıneas de investigaci´on y los problemas que hoy en d´ıa permanecen abiertos. Este estudio permite definir los objetivos de la tesis y determinar los problemas que se van a abordar en la misma. En u ´ltimo lugar se describe la estructura seguida para el desarrollo de la memoria.

1.1.

Area de desarrollo

Durante a˜ nos, tanto el modelado como la animaci´on de la figura humana han sido objetivos muy importantes en el mundo de la Inform´atica Gr´afica. Los primeros humanos generados por ordenador datan de los a˜ nos ’60 y estaban representados por estructuras constituidas u ´nicamente por segmentos articulados, mientras que el movimiento se simulaba por medio de modelos cinem´aticos. Sin embargo, estos modelos no permit´ıan simular el cuerpo humano ni su movimiento de una manera realista... Por ello, numerosos investigadores se han dedicado a mejorar la apariencia del cuerpo superponiendo superficies y vol´ umenes sobre el esqueleto, y a mejorar la continuidad y la fluidez de los movimientos por medio de modelos din´amicos. Gracias a las investigaciones realizadas en el mundo de los gr´aficos y a los avances tecnol´ogicos, hoy en d´ıa es posible encontrar seres humanos sint´eticos en entornos que van desde los juegos por ordenador hasta la realidad virtual o la realidad aumentada, tanto para aplicaciones l´ udicas, m´edicas, ergon´omicas, educativas o + militares [FDFH89] [BPW93] [KMTM 98] [Bad01].

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Cap´ıtulo 1: Introducci´ on

Sin embargo, la simulaci´on de seres humanos tiene asociados problemas complejos, fundamentalmente debido a la capacidad de cualquier observador para detectar anomal´ıas o irregularidades en algo tan familiar como es el movimiento o el cuerpo de una persona. Y, a pesar de los avances logrados, a´ un hoy en d´ıa los modelos y las animaciones suelen ser computacionalmente muy costosas cuando se pretende simular de manera realista. Por una parte, hay que considerar que es casi imposible de representar la complejidad inherente al cuerpo humano a no ser que se trabaje con modelos simplificados para recrear las formas... y por otro lado, el modelado del movimiento implica considerar un gran n´ umero de articulaciones y grados de libertad (m´as de 200 grados de libertad [Zel82]), pr´acticamente inabordables desde el punto de vista de su resoluci´on num´erica. Asimismo, aunque se consiga recrear perfectamente la forma del cuerpo humano, hay que tener en cuenta que ´esta puede variar durante la animaci´on, ya que los m´ usculos se mueven, se estiran o contraen, y la apariencia externa cambia continuamente. Por ello, para representar la complejidad del cuerpo humano es fundamental abordar la simulaci´on de los m´ usculos y las deformaciones que se producen cuando se realiza un movimiento. La visualizaci´on del comportamiento de los m´ usculos durante una actividad determinada es de particular inter´es en numerosos campos como la medicina, los videojuegos, los entornos de realidad virtual, el an´alisis ergon´omico o, por ejemplo, el alto rendimiento de los atletas. El modelado y la animaci´on de las deformaciones del cuerpo humano requiere entender e integrar conocimientos que provienen de a´reas tan diversas como la anatom´ıa, la fisiolog´ıa, la biomec´anica, la f´ısica, la rob´otica, las matem´aticas y la inform´atica. En esta tesis confluyen dichos conocimientos para lograr la generaci´on y visualizaci´on, en tiempos cercanos al real, de las deformaciones que se producen en los m´ usculos del cuerpo humano durante la animaci´on de un movimiento particular como es la locomoci´on. En el pr´oximo cap´ıtulo se van a repasar los diferentes modelos y sistemas que se han ido proponiendo en el campo de la Inform´atica Gr´afica para tratar la representaci´on y simulaci´on de las deformaciones musculares durante la locomoci´on. No se trata de un recorrido exhaustivo, sino de una breve exposici´on de los trabajos m´as relevantes que incluyen movimientos y deformaciones, dentro de la Inform´atica Gr´afica.

1.2.

Deformaciones musculares durante la locomoci´ on

La simulaci´on de los seres humanos involucra dos a´reas fundamentales: la creaci´on de la forma y de su apariencia, y el movimiento del esqueleto. En este trabajo de investigaci´on estos conceptos est´an altamente relacionados, ya que es necesario “animar” la forma del cuerpo, a partir de los movimientos que se realizan con el esqueleto. De este modo, el problema involucra adem´as del modelado de la forma del cuerpo, la representaci´on y la simulaci´on del movimiento del esqueleto y la animaci´on de las deformaciones que se producen en el cuerpo a partir de dichos movimientos.

Cap´ıtulo 1: Introducci´ on

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A lo largo de esta memoria se hace un an´alisis espec´ıfico de los trabajos relacionados con cada uno de los temas abordados para el desarrollo de esta tesis. En cada cap´ıtulo se realiza un estado del arte de los trabajos m´as relevantes: el modelado del cuerpo humano en la secci´on 2.2, la simulaci´ on del movimiento en Inform´atica Gr´afica en la secci´on 4.1.1, y m´as espec´ıficamente, los trabajos en locomoci´on tanto desde el punto de vista biomec´anico como rob´otico en la secci´on 4.1 ya que sus conceptos y datos experimentales son de especial inter´es, y finalmente, la animaci´ on de las deformaciones musculares en la secci´on 5.1. Por lo tanto, en este apartado no se pretenden abordar todos los estudios realizados. El objetivo es centrar la atenci´on en aquellos trabajos que relacionan directamente las deformaciones musculares con la locomoci´on. Sin embargo, hay que aclarar, en primer lugar, que aunque existen numerosos trabajos que generan animaciones donde se incluye el movimiento del esqueleto y la deformaci´on muscular, las deformaciones se producen a partir de un cambio en las posiciones de los segmentos que forman en el esqueleto, normalmente con datos capturados o por especificaci´on directa del animador. En ning´ un caso se producen deformaciones de manera coordinada con un sistema de locomoci´on. Uno de los primeros e importantes trabajos en el a´rea de la simulaci´on de las deformaciones de los m´ usculos es el modelo presentado por Chen y Zeltzer [CZ92]. En dicho trabajo se utiliza el modelo biomec´anico de acci´on muscular de Zajac-Hill [Zaj89] para simular las fuerzas musculares y visualizar la din´amica de la contracci´on muscular. Estas fuerzas no lineales se aplican a una malla de elementos finitos, a la que luego se le aplica una deformaci´on de forma libre. Sin embargo, el modelo s´olo permite trabajar con los m´ usculos de manera aislada y es una aproximaci´on muy costosa para tiempo real. A pesar que tiene en cuenta los desplazamientos de los segmentos del esqueleto, el m´etodo no puede usarse para generar deformaciones en entornos din´amicos. En el trabajo de Komura [KSK00] se utiliza un modelo m´ usculo-esqueletal + [DLH 90] simplificado donde la acci´on muscular tambi´en se representa por medio del modelo biomec´anico de Zajac-Hill. Los movimientos del esqueleto se calculan por interpolaci´on de curvas B-spline entre cuadros claves, capturados o especificados por el usuario. Posteriormente se aplica una funci´on basada en la din´amica muscular que permite determinar si el movimiento es o no factible, e incluso hacer que el movimiento sea factible balanceando el cuerpo a partir de los valores de fuerza de los m´ usculos [KS97]. Dichos valores se obtienen por din´amica inversa con el paquete comercial SD/FAST. En el trabajo, los movimientos que genera est´an relacionados con las extremidades inferiores, de modo que s´olo se visualizan, por medio de cilindros generalizados, algunos de los m´ usculos asociados a las piernas. En los trabajos de Wilhelms [Wil95] [Wil97] y de Scheepers [SPCM97] se utilizan modelos anat´omicos en los cuales los m´ usculos se representan por medio de un conjunto de elipsoides deformables. Los cambios como la flexi´on o el aumento de la musculatura se simulan deformando los elipsoides de acuerdo a los cambios de

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Cap´ıtulo 1: Introducci´ on

las articulaciones del esqueleto subyacente. En [WV97], sin embargo, se extiende la representaci´on a cilindros deformables discretizados que yacen entre puntos fijos de or´ıgenes e inserciones en huesos espec´ıficos. La animaci´on de la deformaci´on muscular se realiza recalculando la forma del m´ usculo cada vez que mueve la articulaci´on del origen o de la inserci´on. El volumen del m´ usculo se mantiene “aproximadamente” constante, escalando el ancho en funci´on de la longitud de reposo y la longitud despu´es de realizar la deformaci´on. [IMH02] trabaja con modelo 3D reconstruido a partir de datos anat´omicos, del que resultan tres capas: hueso, m´ usculos y tejido blando. Las deformaciones se realizan por medio de un sistema de masa-muelle que se aplica sobre los puntos de masa que forman la superficie de la capa muscular. Para generar el movimiento parte del c´alculo de la fuerza muscular, para luego calcular la fuerza en la articulaci´on y poder deducir la posici´on del m´ usculo. Sin embargo, no se especifica en ning´ un momento donde obtiene los valores de las fuerzas musculares, bastante dif´ıciles de hallar, a´ un en la literatura biomec´anica. El sistema no permite trabajar con varios m´ usculos sino de manera individual, de modo que cada uno genera una fuerza y produce un movimiento espec´ıfico. Asimismo, no se ofrece ninguna informaci´on para saber qu´e m´ usculo est´a asociado a una articulaci´on o c´omo puede producir un movimiento determinado. [NT98] tambi´en se basa en un modelo anat´omico de tres capas formado por esqueleto, m´ usculo y piel [ST95]. La forma de los m´ usculos se define por medio de una superficie impl´ıcita y se utiliza una l´ınea de acci´on para representar la fuerza producida por el m´ usculo en el hueso. La simulaci´on del movimiento se hace desplazando primero la l´ınea de acci´on y deformando despu´es el m´ usculo en base a un sistema de part´ıculas modelado con muelles. La simulaci´on del movimiento se hace aplicando las ecuaciones de movimiento a cada part´ıcula del modelo [TPBF87]. El problema de este m´etodo consiste en que requiere unos par´ametros de deformaci´on (elasticidad y curvatura) que no est´an relacionados con ning´ un concepto f´ısico, y no son intuitivos para el animador. El movimiento global del esqueleto se obtiene por modificaci´on interactiva del valor de una articulaci´on [NT98] o por medio de datos capturados [NT00]. Aunque utiliza primitivas de volumen, el modelado de los m´ usculos no es volum´etrico ya que no hay informaci´on acerca del interior de los m´ usculos. Y, a pesar de que en [NT00] incluye m´as de una l´ınea de acci´on muscular, y de que se trabaja con polil´ıneas, no hay informaci´on acerca de como se restringe la superficie del m´ usculo en el caso de que la l´ınea de acci´on est´e compuesta por varios segmentos. Los resultados pueden ser en tiempo real, dependiendo de la exactitud buscada. Sin embargo, el realismo no es mucho si se trabaja para tiempo real. Aubel y Thalmann se basan en el trabajo citado anteriormente para desarrollar una herramienta interactiva que permite deformar autom´aticamente una capa muscular de manera anat´omicamente correcta [AT01b] [AT01a]. El resultado que se obtiene es una colecci´on de posturas est´aticas, en las que no se incluye ning´ un efecto din´amico

Cap´ıtulo 1: Introducci´ on

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como inercia o gravedad. Los modelos de m´ usculo en los que se basa provienen de [PBP+ 96]. En el trabajo de Dong et al. [DCKY02] los m´ usculos se representan por una l´ınea de acci´on y una superficie que se genera a partir de un perfil de curva extra´ıdo de datos anat´omicos. Sin embargo, en este caso, los m´ usculos se dividen en categor´ıas de acuerdo a su forma estructural y su esquema de deformaci´on. Concretamente, las deformaciones se hacen de acuerdo al movimiento de las inserciones de los m´ usculos en los huesos, reposicionando l´ıneas de acci´on, moviendo los tendones y deformando los perfiles de las curvas que forman el m´ usculo en respuesta al movimiento de los tendones, luego se recalcula la superficie de modo que preserve volumen. Los datos de movimiento se obtiene a partir de captura de movimiento, por medio del software 3DStudio. Los m´ usculos se visualizan de manera individual y presentan una apariencia realista, principalmente porque sobre su superficie se aplican texturas obtenidas a partir de las orientaciones de las fibras de los datos anat´omicos. Sin embargo, los resultados distan mucho de poder visualizarse en tiempo real, aunque esto mejorar´ıa si se incluyeran modelos musculares volum´etricos en lugar de modelos de superficies ya que reducir´ıa el tiempo que se emplea en detecci´on de colisiones. A pesar de que los resultados est´an pensados para la educaci´on en medicina y en biomec´anica, no se obtienen valores f´ısicos ni musculares reales, ni el m´etodo sigue patrones biomec´anicos. En el trabajo de Ng-Thow-Hing y Fiume [NF02] los m´ usculos se representan de forma individual, pero bas´andose en un B-spline s´olido como primitiva b´asica. La formulaci´on matem´atica del B-spline s´olido permite trabajar con m´ ultiples formas de m´ usculos (fusiforme, triangular,...) y diferentes tama˜ nos de inserciones. La forma del m´ usculo se obtiene a partir de extracci´on de curvas de contorno de datos anat´omicos, representando tambi´en la arquitectura de las fibras musculares. La deformaci´on muscular se logra embebiendo una red de tipo masa-muelle-amortiguador en el s´olido B-spline, aunque en la pr´actica la red no coincide exactamente con los puntos de control del B-spline [Ng 01]. Variando las magnitudes de fuerza en la red se obtienen diferentes efectos f´ısicos que permiten realizar animaciones, sin embargo, su trabajo est´a centrado en el modelado realista de los m´ usculos, m´as que en su animaci´on. Por otra parte, en [ZLW03] la forma de los m´ usculos tambi´en se obtiene por extracci´on de curvas de contorno a partir de datos anat´omicos, pero en este caso se representa por medio de una curva axial que define la posici´on y direcci´on del m´ usculo y varias secciones de cruce con puntos de control que permiten definir la forma del m´ usculo. A partir del movimiento de las articulaciones se realiza la deformaci´on del modelo, en base a relaciones puramente geom´etricas entre la curva axial y las secciones de cruce, teniendo en cuenta caracter´ısticas fisiol´ogicas de los m´ usculos. El trabajo se centra en obtener deformaciones musculares en el tiempo real, a costa de no ofrecer im´agenes muy realistas. En el mundo de los gr´aficos existen, por supuesto, muchas m´as investigaciones acerca de las deformaciones musculares, pero no incluyen ning´ un tipo de informaci´on

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Cap´ıtulo 1: Introducci´ on

acerca del movimiento del esqueleto subyacente [ZCK98] [TBNF03] o la deformaci´on producida no est´a directamente relacionada con los movimientos del esqueleto, como por ejemplo en las simulaciones de deformaciones en cirug´ıa virtual [BNC96] [CDA99] [CDA00] [KC ¸ M00]. Como ya se ha comentado, estos trabajos se detallan en la secci´on 5.1.

1.3.

Limitaciones de los modelos

En vista de los modelos previamente estudiados se observa que es com´ un encontrar sistemas que permiten representar la deformaci´on muscular producida a partir de ciertos movimientos, pero no existen referencias que permitan la animaci´on conjunta y coordinada de la simulaci´on de la locomoci´on humana y la deformaci´on muscular que se produce por dicho movimiento. No suele haber retroalimentaci´on ni coordinaci´on en los movimientos y en ning´ un caso se integra la deformaci´on local con la animaci´on de un movimiento complejo y global como la locomoci´on. En su gran mayor´ıa, los trabajos existentes se centran en la realizaci´on de movimientos generales, muy simples, donde la deformaci´on exterior se produce a partir de un desplazamiento espec´ıfico del esqueleto, que generalmente provienen de un movimiento articular simple o de sistemas de captura. A pesar que las t´ecnicas de captura de movimiento ofrecen resultados satisfactorios, est´an restringidas a los movimientos del actor, no hay soluciones generales, y resulta dif´ıcil trabajar con movimientos no capturados. Sin embargo, por medio de la s´ıntesis y la simulaci´on por ordenador es posible generar datos (para cada instante de tiempo) de un movimiento complejo como la locomoci´on. De este modo es posible representar individuos con caracter´ısticas diferentes, como altura, peso o grado de balanceo de la pelvis mientras se mantiene el mismo realismo desde el punto de vista f´ısico. Asimismo, en los trabajos relacionados con el movimiento en Inform´atica Gr´afica se observa que los objetivos perseguidos son, o bien visualizaci´on en tiempo real o bien representar resultados “realistas” o visualmente correctos. Por lo tanto, pr´acticamente no existen referencias en las que se represente la f´ısica del problema. Estos modelos, por tanto, no incluyen par´ametros f´ısicos ni los modelos planteados se utilizan para verificar ning´ un tipo de comportamiento f´ısico. Para abordar estos problemas es conveniente trabajar con entornos de simulaci´on regulados por leyes de comportamiento basadas en la F´ısica y realizar validaciones con estudios realizados en el ´area de biomec´anica. Desde el punto de vista del modelado del cuerpo, en la gran mayor´ıa de los trabajos estudiados, la especificaci´on de los m´ usculos se realiza utilizando modelos de superficies, a´ un en los modelos basados en la anatom´ıa y en aquellos que incluyen varias capas. Para considerar la posibilidad de trabajar con la composici´on interna de los diferentes elementos que forman el cuerpo, es necesario tratar con modelos volum´etricos donde se caracterice no s´olo la superficie sino tambi´en el interior de los objetos.

Cap´ıtulo 1: Introducci´ on

1.4.

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Objetivos de la Tesis

En las secciones anteriores se han presentado diferentes modelos que abordan el problema de la animaci´on de las deformaciones musculares producidas por alg´ un movimiento del cuerpo y se han puesto de manifiesto las limitaciones de dichos modelos. La idea b´asica de esta tesis es proveer de un sistema que permita animar, de manera coordinada, las deformaciones locales de los m´ usculos y el movimiento global del esqueleto, durante el desarrollo de una actividad compleja, como es la locomoci´on. Dentro de este contexto, esta tesis tiene los siguientes objetivos espec´ıficos: Estudio de la problem´atica relacionada con las deformaciones musculares y con el control del movimiento del cuerpo humano, en particular durante la locomoci´on. Desarrollo de un sistema integrado de simulaci´on capaz de generar las deformaciones que se producen en los m´ usculos durante la locomoci´on humana. • Desarrollo e implementaci´on de un m´etodo para animar la locomoci´on humana que permita: ◦ Controlar el movimiento de una forma sencilla e intuitiva, ◦ Generar animaciones en tiempo real de locomociones de individuos de caracter´ısticas antropom´orficas diferentes, ◦ Generar valores de momentos y fuerzas. • Desarrollo e implementaci´on de un sistema de simulaci´on para la deformaci´on de objetos en 3 dimensiones que permita: ◦ Utilizar los datos de fuerzas obtenidos de la locomoci´on, ◦ Realizar deformaciones con apariencia realista, ◦ Trabajar con tiempos de c´alculo aceptables. Desarrollo de una plataforma que permita visualizar y generar animaciones de los resultados de las simulaciones.

1.5.

Estructura de la memoria

El cap´ıtulo 1 presenta el marco de desarrollo de esta tesis y describe brevemente el estado actual de la investigaci´on en las deformaciones que se producen en los m´ usculos durante la locomoci´on humana. Dicho estudio permite establecer las limitaciones de los diferentes modelos y especificar los objetivos concretos que se abordan en este trabajo. El cap´ıtulo 2 se centra en la definici´on del cuerpo humano, describiendo sus caracter´ısticas anat´omicas y fisiol´ogicas. Un estado del arte del modelado del cuerpo humano permite establecer las bases para la elecci´on del modelo a implementar. En el cap´ıtulo 3 se presenta una descripci´on general del sistema desarrollado a lo largo de esta tesis, denominado MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion). El sistema est´a formado por dos fases: la fase esqueletal, que corresponde a la

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Cap´ıtulo 1: Introducci´ on

simulaci´on del movimiento global y la fase m´ usculo-esqueletal, que corresponde a la simulaci´on de la deformaci´on local del m´ usculo. Posteriormente, se describe el modelo de cuerpo humano adoptado para este trabajo, ya que es com´ un a ambas fases, y se establecen las medidas antropom´etricas utilizadas y las t´ecnicas implementadas para la parametrizaci´on de los modelos. El cap´ıtulo 4 se centra en la simulaci´on del movimiento global de locomoci´on. En primer lugar se presentan los trabajos desarrollados en este campo, considerando no s´olo los antecendentes en Inform´atica Gr´afica sino tambi´en en Biomec´anica y Rob´otica. Posteriormente se describe detalladamente el sistema implementado de movimiento global, que se divide, b´asicamente, en dos modelos: un modelo din´amico y un modelo cinem´atico, que permiten realizar el c´alculo de las fuerzas y los momentos netos en las articulaciones. Por u ´ltimo, se validan los sistemas desarrollados con datos obtenidos de la literatura, tanto para el comportamiento del sistema de locomoci´on como para la obtenci´on de los patrones de momentos netos en las articulaciones. En el cap´ıtulo 5 se presentan los trabajos realizados hasta el momento en el ´area de deformaci´on muscular. A continuaci´on se detalla el sistema de c´alculo de deformaciones musculares, que se divide en una fase de c´alculo de l´ıneas de acci´on y una fase de resoluci´on de la deformaci´on por medio de un modelo de elementos finitos. Finalmente se valida el modelo de elementos finitos implementado, comparando sus resultados con los resultados obtenidos por medio de otras aplicaciones de FEM. Tanto el cap´ıtulo 4 como el cap´ıtulo 5 contienen un apartado en el que se establecen todos aquellos conceptos te´oricos necesarios para un mejor entendimiento del cap´ıtulo. El cap´ıtulo 6 describe el sistema de visualizaci´on desarrollado, que integra los m´odulos de MOBiL desarrollados en los cap´ıtulos anteriores. Posteriormente se presentan los resultados obtenidos a lo largo de este trabajo. Y, finalmente, en el cap´ıtulo 7 se presentan las conclusiones y las l´ıneas de trabajo previstas para el futuro. La memoria finaliza con cuatro ap´endices que se dedican a presentar los datos antropom´etricos utilizados a lo largo del trabajo (Ap´endice A), detallar la actividad de los m´ usculos durante la locomoci´on (Ap´endice B), definir los diferentes par´ametros de diferenciaci´on del paso que permiten presentar individualizar las locomociones de los diferentes individuos (Ap´endice C) y definir las constantes f´ısicas utilizadas (Ap´endice D).

Referencias

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Cap´ıtulo 1: Introducci´ on

[SPCM97] [ST95]

[TBNF03]

[TPBF87] [Wil95] [Wil97] [WV97]

[Zaj89] [ZCK98] [Zel82] [ZLW03]

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Conceptos previos de anatom´ıa y fisiolog´ıa: 2 Modelado del cuerpo humano

2. Conceptos previos de anatom´ıa y fisiolog´ıa: Modelado del cuerpo humano 2.1. Anatom´ıa y fisiolog´ıa del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1.El sistema o´seo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2.Los ligamentos y el sistema articular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3.El sistema muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4.Sistema de referencias. Convenciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Modelado del cuerpo humano: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.Modelos Geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.Modelos Anat´omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Conclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Conceptos previos de anatom´ıa y fisiolog´ıa: Modelado del cuerpo humano

Este cap´ıtulo ofrece una descripci´ on de la estructura del cuerpo humano. En primer lugar se presenta la descripci´ on del cuerpo desde el punto de vista anat´omico y fisiol´ogico, considerando tanto el sistema o´seo, como el articular y el muscular, haciendo especial hincapi´e en este u ´ltimo. Posteriormente se presenta la evoluci´ on de las t´ecnicas de modelado del cuerpo humano en el ´area de la Inform´ atica Gr´ afica. Estas t´ecnicas se han clasificado de acuerdo a dos categor´ıas b´ asicas: modelos geom´etricos y modelos anat´omicos, dependiendo si los modelos incluyen representaciones abstractas de los elementos que forman el cuerpo o si se basan en datos anat´omicos, obteniendo representaciones concretas de huesos, m´ usculos y tejidos blandos. Por u ´ltimo se realizan consideraciones acerca del m´etodo de modelado de cuerpo humano m´as adecuado para el desarrollo de este trabajo.

2.1.

Anatom´ıa y fisiolog´ıa del cuerpo humano

El cuerpo humano se caracteriza por ser un sistema muy complejo desde el punto de vista mec´anico, ya que es una estructura complicada con m´as de doscientos huesos, un centenar de articulaciones y m´as de 650 m´ usculos actuando de forma coordinada. Un modelo completo de funcionamiento del cuerpo se deber´ıa representar por medio de un conjunto de elementos r´ıgidos y deformables, con m´as de 200 grados de libertad [Zel82], lo que ser´ıa extremadamente complejo. Adem´as, los m´ usculos cambian su forma debido a contracciones, extensiones o contactos . Tanto los m´ usculos como los huesos, se encuentran recubiertos por las diferentes capas que constituyen la piel, que suavizan visualmente los movimientos y las formas. A continuaci´on se presenta la descripci´on anat´omica y fisiol´ogica de los sistemas ´oseo, articular y muscular. En particular, se fijan una serie de conceptos sobre el funcionamiento de los m´ usculos esquel´eticos, fundamentales en el proceso del movimiento del cuerpo humano. Asimismo se describe el sistema de referencias que se utiliza en anatom´ıa para expresar las relaciones entre las diferentes partes del cuerpo.

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Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

2.1.1.

El sistema o ´seo

El sistema ´oseo del cuerpo humano est´a formado por 208 huesos [NG99]: 26 en la columna vertebral, 8 en el cr´aneo, 14 en la cara, 8 en el o´ıdo, 1 hueso Hioides, 25 en el t´orax, 64 en los miembros superiores, 62 en los miembros inferiores (los m´as importantes se pueden observar en la figura 2.1). El conjunto de huesos y cart´ılagos forma el esqueleto. Las funciones del esqueleto son m´ ultiples: sostiene al organismo y protege a los o´rganos delicados, a la vez que sirve de punto de inserci´on a los tendones de los m´ usculos.

Figura 2.1. Principales huesos del esqueleto humano

Desde el punto de vista del sistema o´seo, el cuerpo humano se suele dividir en cabeza, tronco y extremidades. La cabeza est´a constituida por el cr´aneo y la cara. Los huesos del cr´aneo son 8 y forman una caja resistente para proteger el cerebro. Los huesos de la cara son 14. Entre los huesos del tronco se puede encontrar en primer lugar la clav´ıcula y el om´oplato, que sirven para el apoyo de las extremidades superiores. La columna vertebral es un fuerte pilar que tiene una cierta flexibilidad y est´a formada por una treintena de v´ertebras que cierran por detr´as la caja tor´acica. En la porci´on dorsal de la columna, se articula con las costillas que protegen a los pulmones, formando la caja tor´acica o t´orax. Las costillas de ambos lados se unen en el estern´on. En la pelvis (ilion, isqui´on y pubis) se apoyan las extremidades inferiores. Las extremidades superiores se articulan con el tronco en la uni´on de

Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

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clav´ıcula y om´oplato con el h´ umero, formando la articulaci´on del hombro. El resto de los huesos del brazo son: el c´ ubito y el radio que forman el antebrazo, el carpo, formado por 8 huesecillos de la mu˜ neca, los metacarpianos en la mano y las falanges en los dedos. Las extremidades inferiores se articulan en la uni´on de la pelvis y el f´emur, formando la articulaci´on de la cadera. El resto de los huesos de las piernas son: la r´otula que se encuentra en la rodilla, la tibia y el peron´e, el tarso, formado por 7 huesecillos del tal´on, el metatarso en el pie y las falanges en los dedos. 2.1.2.

Los ligamentos y el sistema articular

Las diferentes partes del esqueleto se conectan entre s´ı por medio de los ligamentos y las articulaciones. Sus funciones principales son las de movilidad y estabilidad. Los ligamentos permiten conectar huesos adyacentes por medio de las articulaciones y est´an compuestos de col´ageno. El ligamento m´as poderoso del cuerpo humano se encuentra en la c´apsula de la articulaci´on de la cadera e impide el giro hacia atr´as de la pierna (soporta valores de fuerza de 3000 N). Las articulaciones est´an formadas por c´apsulas que cubren los extremos de los huesos con cart´ılago y que por su parte exterior est´an recubiertas por poderosos ligamentos. En la capa m´as interna de las c´apsulas existen unas c´elulas que producen un fluido, de nombre l´ıquido sinovial, que es un excelente lubricante. Una fina capa de grasa separa las zonas interna y externa de la articulaci´on. Existen diferentes tipos de articulaciones que normalmente se clasifican atendiendo al modelo mec´anico que las describe, en particular seg´ un el n´ umero de grados de libertad que permite la articulaci´on y si son traslaciones o giros. En general, la uni´on entre dos cuerpos puede tener seis grados de libertad, tres traslaciones y tres giros sobre tres direcciones perpendiculares entre s´ı (roll, pitch, yawn). Sin embargo, muchas de las articulaciones del cuerpo humano no pueden ser comparadas con los tipos representados y se deben utilizar combinaciones de varios tipos para describirlas. La figura 2.2 presenta la representaci´on y localizaci´on de las articulaciones del cuerpo humano. 2.1.3.

El sistema muscular

Los m´ usculos son estructuras activas capaces de transformar la energ´ıa qu´ımica en energ´ıa mec´anica, el´ectrica o t´ermica, dependiendo de la funci´on del m´ usculo. Desde el punto de vista anat´omico, los m´ usculos se clasifican en: Esquel´eticos: Estos m´ usculos, tambi´en llamados voluntarios o estriados, constituyen el 40 % de la masa corporal. Reciben el nombre de estriados por estar formados por c´elulas largas estriadas adheridas al esqueleto o´seo, al que mueven de forma voluntaria. Lisos: Estos m´ usculos est´an formados por c´elulas en forma de huso, cortas y sin estr´ıas. Son m´ usculos involuntarios de contracci´on lenta, que se encuentran

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Figura 2.2. Principales tipos de articulaciones del cuerpo humano

principalmente en el est´omago, el intestino y las paredes de los vasos sangu´ıneos. Constituyen algo menos de un 10 % de la masa corporal. M´ usculo card´ıaco: Este m´ usculo tiene una estructura especial ya que se trata de una variedad de m´ usculo estriado, pero de contracci´on involuntaria. Los m´ usculos esquel´eticos son los responsables del movimiento de las articulaciones, y por lo tanto, de todos los huesos del cuerpo. Los m´ usculos est´an unidos al esqueleto por medio de los tendones, los cuales, al igual que los ligamentos, est´an compuestos de col´ageno. La estructura interna del m´ usculo esquel´etico est´a compuesta por una parte central que se encuentra rodeada por una capa de material conectivo llamada epimysium (ver figura 2.3), unida al hueso por medio del tend´on. El a´ngulo que forman las fibras del m´ usculo con el tend´on se denomina a´ngulo de pennation. Las fibras del m´ usculo, denominadas fasciculi, poseen diferentes longitudes y un di´ametro aproximado de 10 a 100 micras. Est´an compuestas por elementos m´as

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Figura 2.3. Estructura interna del m´ usculo esquel´ etico

peque˜ nos, de 1 a 2 micras de di´ametro, llamadas miofibrilas. Estas miofibrilas est´an compuestas a su vez por elementos llamados sarc´ omeros de 1 a 2 micras de longitud que se repiten formando patrones, que dan la apariencia externa caracter´ıstica de los m´ usculos. Frente a est´ımulos externos los sarc´omeros se contraen a lo largo de su eje, de manera tal que las estructuras que conforman son capaces de ejercer una fuerza total entre los extremos del m´ usculo. A nivel microsc´opico, existen dos prote´ınas contr´actiles que se encuentran en la composici´on de los sarc´omeros, la actina y la miosina, que forman dos tipos de filamentos, unos gruesos de miosina y otros mucho m´as finos de actina que se encadenan en uniones hexagonales. Cuando el m´ usculo se contrae, los filamentos de actina se mueven entre los de miosina y como consecuencia la miofibrilas se acortan y engordan. Aunque la estructura interna de todos los m´ usculos esquel´eticos es similar, existen diferentes tipos de m´ usculos atendiendo a su forma, n´ umero de inserciones y otras caracter´ısticas morfol´ogicas (ver figura 2.4). El cuerpo humano tiene unos 650 m´ usculos de acci´on voluntaria (ver figura 2.5), que son los “motores” fundamentales de todos los movimientos del ser humano. De acuerdo a su participaci´on en la producci´on de un determinado movimiento, se pueden clasificar en: Agonistas o motores: representan aquellos m´ usculos directamente responsables de producir un un movimiento articular. Antagonistas: la contracci´on de estos m´ usculos tiende a producir una acci´on articular exactamente opuesta a alguna acci´on articular determinada de los m´ usculos agonistas. Sinergistas (o motores secundarios): colaboran con la acci´on del agonista en la ejecuci´on de un movimiento, pero son menos efectivos e importantes. Sin embargo, en la pr´actica se habla de fuerzas y movimientos articulares globales (por ejemplo, un momento flexor es igual a la acci´on de los flexores -agonistasmodificada por los sinergistas y antagonistas que act´ uan de estabilizadores).

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Figura 2.4. Tipos de m´ usculos esquel´ eticos de la anatom´ıa humana

Origen e Inserci´ on del m´ usculo. La mayor parte de los m´ usculos se conectan con los huesos en sus dos extremos, y pueden pasar a trav´es de una articulaci´on (m´ usculo monoarticular ), dos articulaciones (m´ usculo biarticular ) o varias articulaciones (m´ usculo poliarticular ). Los puntos en los que el m´ usculo se une al esqueleto se denominan origen e inserci´ on. Por convenci´on, se considera como origen al punto m´as cercano al centro de masas del cuerpo, y debido a que la masa es mayor en el centro, usualmente es tambi´en el menos m´ovil de los dos puntos (ver figura 2.6), mientras que la inserci´on es el punto donde se realiza la acci´on. Sin embargo, esto no es una regla formal, ya que hay m´ usculos que est´an unidos a dos huesos en una articulaci´on, y cada uno de los huesos puede funcionar tanto como punto fijo o como m´ovil en un momento dado [Whi03]. El punto donde el m´ usculo se une a la articulaci´on es particularmente importante, ya que un cent´ımetro de diferencia en la longitud que existe desde el punto de giro de articulaci´on al punto de inserci´on del m´ usculo puede producir un aumento considerable en el momento de la fuerza. Frecuentemente los tendones se apoyan en protuberancias o´seas o tienen huesecillos interpuestos que cambian la direcci´on, aumentando el a´ngulo de inserci´on y con ello el brazo del momento. Activaci´ on y Contracci´ on muscular. Los m´ usculos est´an conectados a la columna vertebral por medio de los nervios. El est´ımulo que produce el sistema nervioso llega al m´ usculo por medio de ramificaciones nerviosas que penetran hasta las fibras musculares, produciendo la contracci´on de las fibras. Para regular la potencia de la contracci´on, se activa un n´ umero variable de fibras. De este modo, las fibras musculares permiten variar la intensidad de la contracci´on dependiendo de la carga contra la que tengan que actuar: cu´antas m´as fibras estimule el sistema nervioso, mayor ser´a la fuerza generada por la contracci´on muscular.

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Figura 2.5. Principales m´ usculos del cuerpo humano

Sin embargo, una contracci´on muscular representa la generaci´on de tensi´on dentro del m´ usculo, pero no implica necesariamente un acortamiento visible del propio m´ usculo o un movimiento articular. Por ello, atendiendo al modo en que se realice la tensi´on en un m´ usculo, las contracciones se clasifican en: Contracci´on isom´etrica o est´atica: el m´ usculo experimenta una tensi´on muscular sin cambio perceptible en la longitud y sin producir movimiento. Contracci´on isot´onica o din´amica: el m´ usculo desarrolla y mantiene una tensi´on constante mientras se acorta o alarga, por lo tanto produce movimiento. • Contracci´on conc´entrica: el m´ usculo, al reducir su longitud, desarrolla una tensi´on suficiente para superar una resistencia o para mover un segmento corporal. • Contracci´on exc´entrica: el m´ usculo se alarga lentamente mientras cede a una resistencia/fuerza externa mayor que la tensi´on/fuerza de contracci´on ejercida por el m´ usculo. Co-contracci´on: representa la contracci´on que ocurre cuando se contraen simult´aneamente los m´ usculos agonistas y antagonistas. Consecuentemente, no hay movimiento articular.

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Figura 2.6. Origen e inserci´ on de un m´ usculo

Fuerza muscular. La fuerza m´axima que puede realizar un m´ usculo est´a relacionada con el ´area de secci´on transversal fisiol´ogica (ASTF) y con la disposici´on de las fibras del m´ usculo. La disposici´on de las fibras dentro del m´ usculo determina la direcci´on de la fuerza, y puede ser: “penniforme” o “paralela” (ver figura 2.7).

Figura 2.7. Orientaci´ on de las fibras musculares: Penniforme y Paralela, donde Lm es la longitud del m´ usculo junto con on, Lm es la longitud del m´ usculo, Lf es la longitud de las fibras y α es el ´ angulo el tend´ on, Lt es la longitud del tend´ de pennation

La orientaci´on paralela o longitudinal se compone de fibras que recorren toda la longitud del m´ usculo, desde el origen a la inserci´on. El a´rea de secci´on transversal fisiol´ogica (ASTF) de un m´ usculo de fibras paralelas se puede estimar a partir de los siguientes datos [Win90]: AST F = m/(Lf · ρ)

(2.1)

donde m es la masa del m´ usculo, Lf es la longitud de las fibras y ρ representa la densidad del m´ usculo.

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Sin embargo, los m´ usculos penniformes poseen fibras oblicuas cortas, de modo que la fuerza s´olo se ejerce a trav´es de una distancia reducida. El a´ngulo que las fibras forman con el tend´on en los m´ usculos penniformes se denomina a´ngulo de pennation. En estos m´ usculos el ASTF se calcula del siguiente modo [Pie95], creciendo a medida que el m´ usculo se acorta: AST F = (m · cos α)/(Lf · ρ)

(2.2)

donde m, Lf y ρ representan los mismos valores que en la ecuaci´on 2.1, y α es el a´ngulo de pennation. 2.1.4.

Sistema de referencias. Convenciones.

Los t´erminos anat´omicos que describen las diferentes partes del cuerpo se basan en una posici´on de referencia, denominada posici´ on anat´omica. Dicha posici´on corresponde a una persona erguida, de pie, con los pies juntos y los brazos a los costados del cuerpo, con las palmas hacia afuera. Sin embargo, para definir de manera inequ´ıvoca la disposici´on de las partes del cuerpo es necesario establecer planos de referencia: plano sagital, plano frontal y plano transversal. En la figura 2.8 se puede observar la posici´on anat´omica, junto con la disposici´on espacial de los planos de referencia.

Figura 2.8. La posici´ on anat´ omica y los planos de referencia del cuerpo humano

La mayor parte de las articulaciones pueden moverse en uno o dos de los tres planos de referencia. Las direcciones de los movimientos de la cadera y la rodilla

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Figura 2.9. Movimientos con respecto a las articulaciones de la cadera y de la rodilla

Figura 2.10. Movimientos b´ asicos del tobillo y los dedos del pie

se muestran en la figura 2.9, mientras que los movimientos del tobillo y el pie se pueden observar en la figura 2.10. Los movimientos b´asicos son los siguientes: Flexi´on y extensi´on: tienen lugar en el plano sagital. En el tobillo estos movimientos reciben el nombre de dorsiflexi´ on y plantaflexi´on, respectivamente. Abducci´on y aducci´on: tienen lugar en el plano frontal. Rotaci´on interna y externa: tienen lugar en el plano transversal. Tambi´en reciben el nombre de rotaci´on medial y lateral, respectivamente. Aunque tambi´en se utilizan los siguientes t´erminos (ver figura 2.11) para describir los movimientos de las articulaciones y de los segmentos del cuerpo [Whi03]: Varus y valgus: describen la desviaci´on angular de una articulaci´on hacia dentro o fuera con respecto al eje central, respectivamente. Pronaci´on y supinaci´on: corresponden a rotaciones del empeine con respecto al eje longitudinal del pie, de manera que la parte de afuera del empeine va casi para arriba.

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Inversi´on y eversi´on: corresponden a rotaciones del tobillo con respecto al tal´on, produciendo movimientos de los dedos del pie hacia el interior y hacia el exterior, respectivamente.

Figura 2.11. Movimientos de la articulaci´ on del tobillo y del pie

2.2.

Modelado del cuerpo humano: Estado del arte

La historia del modelado del cuerpo humano se remonta a finales de los a˜ nos ’60, cuando W. Fetter introduce el primer modelo humano creado por computador [Fet82]. El “primer hombre” estaba compuesto por s´olo 7 segmentos articulados, realizado a partir de tablas de datos antropom´etricos [Doo82]. A partir de ese momento se han buscado t´ecnicas y m´etodos que permitan modelar con ´exito la complejidad de la forma humana, tanto en su modelo de representaci´on interna como en el proceso de construcci´on. El problema radica principalmente en que, como se ha comentado anteriormente, el sistema m´ usculo-esqueletal humano incluye alrededor de 200 huesos y 800 m´ usculos, produciendo m´as de 200 grados de libertad. Estos grados de libertad est´an distribuidos en 4 o 5 niveles de control y en ocasiones se presentan varios unidos en cadenas cinem´aticas cerradas. Por otra parte, el gran n´ umero de diferentes tipos de uniones entre elementos a˜ nade una causa m´as a las dificultades de estructurar y analizar estos sistemas, lo que representa un problema a˜ nadido a la hora de simularlos. Las figuras humanas generadas por ordenador se estructuran, generalmente, a partir de un cuerpo articulado que forma un esqueleto que admite movimiento en sus uniones y que es el soporte de una “piel” superficial que completa su forma humana. Una vez que el modelado y la animaci´on del esqueleto est´an resueltos, se debe

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Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

mejorar su apariencia y el realismo del movimiento, no s´olo el articular, sino tambi´en de las diferentes deformaciones que sufren las formas externas de las partes del cuerpo. Existen t´ecnicas de simulaci´on basadas en la utilizaci´on de diferentes capas: esqueleto, hueso, m´ usculo, tejidos blandos y piel, que permiten alcanzar el grado de realismo deseado. Pero para manipular y animar a un modelo humano generado por computador se debe encontrar la representaci´on apropiada, dependiendo de la finalidad y el tipo de aplicaci´on. En este trabajo las t´ecnicas de modelado del cuerpo humano se clasifican considerando si se basan en modelos geom´etricos o en estudios de la anatom´ıa real del cuerpo [BGS02]. Aunque en la literatura se pueden encontrar diversos tipos de clasificaciones atendiendo a diferentes criterios [TP88] [Ned98] [Sav02]. 2.2.1.

Modelos Geom´ etricos

Los modelos geom´etricos son aquellos que incluyen representaciones abstractas de los diferentes elementos que forman el cuerpo (esqueleto, m´ usculos, piel, . . . ) sin basarse en ning´ un tipo de dato anat´omico. De estos modelos, el m´as popular y usado para la animaci´on del cuerpo humano es el modelo esqueletal, que implica la representaci´on mec´anica del esqueleto humano por medio de segmentos r´ıgidos conectados por articulaciones. Estos modelos tambi´en reciben el nombre de cuerpos articulados y pueden ser m´as o menos complejos, dependiendo del n´ umero de segmentos y articulaciones involucrados. Los esqueletos suelen tener sus elementos jerarquizados en estructuras funcionales (piernas, brazos, tronco, etc) de forma que se pueden representar por medio de estructuras de ´arbol. Esta modelizaci´on facilita el almacenamiento y el movimiento de las diferentes partes del cuerpo. La principal ventaja de este modelo es que el movimiento se puede especificar de manera simple, cambiando las posiciones relativas de los segmentos y animando el modelo del esqueleto como un objeto s´olido. Por contra, este tipo de representaci´on produce simulaciones poco realistas. La falta de volumen hace que la percepci´on de la profundidad sea dif´ıcil y puede causar ambig¨ uedades en las im´agenes. Algunos movimientos, como algunas rotaciones o torsiones son imposibles de representar [MTT90]. Los primeros modelos de esqueleto fueron utilizados para representaciones en danza [Wit70] [SO77] [BWG+ 77]. En [TMTB82] se describe el proceso de modelado y animaci´on del h´eroe de la pel´ıcula Dream Flight, modelado por medio de un esqueleto formado por 32 segmentos y 15 articulaciones (ver figura 2.12). En general, los modelos de esqueleto se utilizan como soporte de la forma exterior (ya sea ´esta de superficies o volum´etrica) y no son visibles aunque, en ocasiones, tambi´en se los utiliza como m´etodo de representaci´on del movimiento [BS79]. En muchos casos el esqueleto se recubre por medio de superficies compuestas de “parches” planos o curvos, simulando la piel. Aunque existen modelos simples que mantienen la informaci´on de la forma de las partes del cuerpo humano mediante el uso de l´ıneas de contorno paralelas (como anillos) cuyo centro se sit´ ua sobre la

Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

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Figura 2.12. El h´ eroe de Dream Flight

l´ınea del esqueleto [CBD+ 93], la representaci´on mediante pol´ıgonos es la m´as com´ un, sobretodo desde la aparici´on de tarjetas con aceleradores gr´aficos por hardware. Jack [BPW93], Marilyn Monroe y Humphrey Bogart [MTT87] [Tha93], o los modelos creados por Fetter [Fet82] son ejemplos de modelos humanos basados en pol´ıgonos. Su apariencia final no es suficientemente realista, pero es adecuada para poder representarlos en tiempo real. Los modelos desarrollados a partir de parches curvos, en cambio, est´an formados por una o m´as funciones param´etricas de dos variables, y mantienen la continuidad entre dos parches adyacentes [Cat75]. Los modelos humanos construidos de este modo se suelen emplear para animaciones que no trabajan en tiempo real, ya que el incremento de realismo en la representaci´on de las diferentes partes del cuerpo necesita mayor cantidad de c´alculo, sobretodo para suavizar y permitir variaciones de forma en las uniones de las articulaciones. Para abordar este problema normalmente se utilizan modelos mixtos, con un modelo de esqueleto para especificar los movimientos y un modelo de superficies para dar sensaci´on de volumen y apariencia realista. En [MTT87] se introduce la primera soluci´on al problema de la deformaci´on en las articulaciones, mediante el uso de operadores de deformaciones locales dependientes de la articulaci´on (JLD). Este tipo de operadores permite combinar informaci´on sobre el tipo de articulaci´on y el ´angulo que forman los segmentos en esa uni´on, para controlar la evoluci´on de la superficie. Esta t´ecnica se utiliza para simular deformaciones del cuerpo humano [MTT91] [MTT92] como tambi´en para el modelado y deformaci´on de una mano [MTLT88]. [Kom88] adopta un modelo con una estructura de esqueleto formada por 14 articulaciones, a la que le agrega cuatro capas independientes que interact´ uan entre ellas. La capa muscular se deforma por medio de transformaciones de los puntos de control de superficies de B`ezier bicu´adrica que representan la piel. Un modelo similar, tambi´en compuesto por cuatro capas, se presenta en [CHP89]. En este caso, la capa muscular se representa de manera abstracta mediante las deformaciones de forma libre (FFD) [SP86], cuyos puntos de control est´an fijos a una malla masa-

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Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

muelle, que a su vez, est´a relacionada con la estructura interna del cuerpo. Una versi´on mejorada de las FFD, denominada DFFD (FFD de Dirichlet) se presenta en [MMT97]. La DFFD no est´a limitada por la restricci´on de la FFD de que los puntos de control deben estar situados inicialmente en una malla c´ ubica regular. Varios autores representan el cuerpo humano aproximando la estructura y la forma del cuerpo por medio de una colecci´on de primitivas de volumen. Estas primitivas pueden ser cilindros [Eva76] [PK75] [GVP91], elipsoides [HE74] o esferas [BOT79]. Estos modelos no producen mejores resultados que los modelos de superficies, y carecen de adecuados mecanismos de control cuando se trabaja un conjunto grande de primitivas durante la animaci´on. Una generalizaci´on de los modelos de esferas, que soluciona gran parte de los problemas de modelado, es considerar el volumen como una funci´on de potencial con un centro y una propiedad asociada que decrece de forma polinomial o exponencial desde el exterior al centro. Tambi´en llamados blobs o metaballs, los modelos de volumen determinados por funciones de potencial se construyen a partir de elementos determinados, m´as por un valor de la funci´on que crea un campo que, por un radio o un tama˜ no. El primer trabajo en este campo se debe a [Bli82] que reemplaza el hasta entonces tradicional modelo de esferas y segmentos por superficies impl´ıcitas. Aunque su objetivo es la visualizaci´on de mol´eculas, construye un modelo humano (Blobby Man) formado por una superficie equipotencial, donde las fuentes puntuales de potencial est´an fijadas a un esqueleto articulado. Utilizando el mismo tipo de fuentes puntuales de potencial que [Bli82], [Hen90] simula la presencia de m´ usculos creando campos de velocidad que deforman un modelo de piel resistente al estiramiento. El modelo de piel est´a implementado como una malla de parches bic´ ubicos. [BS91] trabajan con superficies de potencial a partir de un esqueleto, con las cuales representan formas org´anicas como los m´ usculos y brazos. [Sin95] usa funciones impl´ıcitas y modelos semif´ısicos para simular el efecto de la contracci´on de los m´ usculos, aunque sin llegar a modelar los m´ usculos individuales desde un punto de vista anat´omico. Este tipo de t´ecnicas permite obtener modelos bastante realistas, como en el caso de las bailarinas de Yoshimoto [Yos92] (el cuerpo y la ropa de cada bailarina se dise˜ no con 500 metaballs - mayoritariamente esferas, y algunos elipsoides) y a bajo coste computacional (ver figura 2.13). 2.2.2.

Modelos Anat´ omicos

Los modelos anat´omicos parten del estudio de la anatom´ıa del cuerpo, de manera que obtienen representaciones concretas de los huesos, m´ usculos y tejidos blandos. Para ello es necesario contar con datos anat´omicos, que pueden obtenerse a partir de diferentes tipos de im´agenes m´edicas, como rayos X y tomograf´ıas computerizadas (CT), resonancias magn´eticas (MRI), tomograf´ıas por emisi´on de positrones (PET), ultrasonido (US), etc. Cada una de estas t´ecnicas presenta ventajas e inconvenientes cuando se aplican a la construcci´on de modelos anat´omicos. Por ejemplo, los m´ usculos son m´as visibles en MRI que en CT, mientras que con los huesos ocurre

Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

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Figura 2.13. Bailarina modelada con metaballs

exactamente lo contrario. Algunos de los m´etodos de adquisici´on de los datos anat´omicos con los que trabajan estos modelos est´an descritos en [Web88] [Lap99], aunque muchos investigadores utilizan los datos de la biblioteca biom´edica digital generada mediante el proyecto “Visible Human” [Vis]. El procedimiento para la extracci´on de los datos y la generaci´on de los modelos anat´omicos completos del hombre y de la mujer del “Visible Human” se describe detalladamente en [TSH96] y [Sim96]. El sistema LEMAN desarrollado por [Tur95], presenta un modelo por capas, donde los m´ usculos son superficies impl´ıcitas deformables compuestas por primitivas (esferas, cilindros, ...). Estas primitivas est´an asociadas a una articulaci´on cercana, que es la que controla su evoluci´on. El modelo deformable el´astico de la piel se adhiere luego a la capa muscular mediante t´ecnicas de minimizaci´on de energ´ıa. Shen [ST95] [She96] construye un modelo similar, el sistema Body Builder, que difiere en la generaci´on de la piel: la superficie muscular se muestrea mediante raycasting, y las muestras obtenidas se utilizan como puntos de control de los B-splines c´ ubicos que conforman la piel. En [PBP+ 96] se presenta una versi´on mejorada de este modelo, donde se reemplazan las superficies impl´ıcitas que modelaban los m´ usculos por mallas poligonales basadas en datos anat´omicos. Los m´etodos geom´ etricos basados en la anatom´ıa que se utilizan en [Wil95] [WV97] para modelar y animar animales, podr´ıan aplicarse al modelado del ser humano. En el modelo los huesos, los m´ usculos y la grasa se representan a partir de elipsoides. La piel que recubre el modelo, en cambio, est´a compuesta por tri´angulos, cuyas aristas se rigen por el comportamiento de un muelle con una cierta elongaci´on en reposo y un cierto coeficiente de elasticidad que depende de las a´reas de los

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Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

tri´angulos que comparten cada arista. Este coeficiente, por lo tanto, no es uniforme para todas las aristas. Un enfoque similar se utiliza en [SPCM97] para modelar la musculatura del torso y un brazo de un ser humano, incluyendo adem´as el uso de un lenguaje procedural que permite al modelador especificar la apariencia y comportamiento de cada objeto. Otro modo de modelar el cuerpo humano bas´andose en datos anat´omicos utiliza sistemas masa-muelle. Holton y Alexander [HA95] se basan en el m´etodo que utiliza Miller para modelar serpientes y gusanos [Mil91] para representar los m´ usculos de manera volum´etrica. El principal objetivo de este trabajo es lograr la simulaci´on en tiempo real de tejidos blandos, de modo que se puedan utilizar en simulaci´on quir´ urgica. Cada tejido se construye a partir de numerosas celdas tetra´edricas que se conectan para formar el volumen. Lamentablemente s´olo se trabaja cada m´ usculo de manera aislada. Nedel y Thalmann [Ned98] [NT98] [NT00], junto con el proyecto europeo “A Comprehensive Human Animation Resource Model (CHARM)” [CHA] presentan una versi´on mejorada del sistema Body Builder de Shen [She96], al que se le reemplazan los m´ usculos generados por metaballs por mallas poligonales basadas en datos anat´omicos provenientes del Visible Human Project. La forma del m´ usculo consiste en un modelo de superficies masa-muelle que concuerda con el contorno de los datos m´edicos. Chen y Zeltzer [CZ92] desarrollan un modelo biomec´ anico que simula la geometr´ıa y las propiedades del tejido muscular mediante el m´etodo de elementos finitos (FEM), modelando los m´ usculos como materiales el´asticos, homog´eneos e is´otropos. Los resultados de la simulaci´on por elementos finitos se usan para modificar los puntos de control de una malla dada por una deformaci´on de forma libre (FFD). El principal problema de este m´etodo es la imposibilidad de utilizarlo para animaciones en tiempo real, debido a su alto coste computacional. Zhu, Chen y Kaufman [ZCK98] tambi´en presentan un modelo biomec´anico para simular las deformaciones de los m´ usculos utilizando elementos finitos. El modelo matem´atico incorpora par´ametros fisiol´ogicos y par´ametros mec´anicos para calcular las deformaciones est´aticas y din´amicas del m´ usculo. El m´etodo utiliza una malla de voxels que se construye con m´etodos jer´arquicos, permitiendo tener una aproximaci´on volum´etrica de los datos originales del m´ usculo a diferentes resoluciones. En general, los modelos basados en voxels se utilizan principalmente en el campo m´edico, ya que su capacidad de almacenar valores de diferentes propiedades los hacen ideales para el diagn´ostico m´edico y la visualizaci´on de o´rganos [FLP89].

2.3.

Conclusi´ on

En este cap´ıtulo se ha presentado una descripci´on completa del cuerpo humano y su constituci´on, desde el punto de vista anat´omico y fisiol´ogico. Se ha realizado una clasificaci´on de las t´ecnicas de modelado del cuerpo humano en dos categor´ıas b´asicas: geom´etricas y anat´omicas. De este estudio se deduce que la elecci´on de

Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

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un modelo apropiado para representar el cuerpo humano es un compromiso entre exactitud y eficiencia. Por ello, resulta imprescindible decidir qu´e partes del cuerpo se quieren representar y con qu´e nivel de detalle. En este trabajo se opta por una representaci´on anat´omica basada en dos capas: una capa esqueletal, que permite representar el cuerpo como un conjunto de segmentos r´ıgidos articulados, y una capa muscular, mediante la cual se representa la forma de los m´ usculos. Los m´ usculos se representan por medio de mallas volum´ etricas para permitir trabajar con la composici´on interna de los mismos. El detalle del modelo adoptado se presenta en el siguiente cap´ıtulo, donde se realiza una descripci´on general del sistema desarrollado.

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Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

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Cap´ıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

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El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in 3 Biped Locomotion)

3.El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) . . . 37 3.1. Descripci´on del sistema MOBiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Descripci´on e implementaci´on del modelo de cuerpo humano . . . . . . . . . . 39 3.2.1.Definici´on de la estructura esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2.Definici´on de la capa muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.3.Datos antropom´etricos y parametrizaci´on de los modelos . . . . . . . . . 43 3.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion)

Este cap´ıtulo se ha concebido como ayuda para una mejor navegaci´ on por los cap´ıtulos de esta memoria. Se ha optado por introducir esta breve descripci´ on del sistema desarrollado (denominado sistema MOBiL) porque por su car´ acter modular es aconsejable presentar una visi´ on general antes de ir cap´ıtulo a cap´ıtulo profundizando en cada una de las muchas fases y modelos que lo componen. Asimismo, siguiendo con la misma intenci´on clarificadora, este breve cap´ıtulo se completa con la descripci´ on del modelo de cuerpo humano adoptado, por dos razones: es un elemento com´ un a todo el sistema e ilustra, por su propia estructura esqueletal y muscular, la inherente multidisciplinariedad del trabajo desarrollado. MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) es un sistema complejo que permite animar, de forma realista y con tiempos de c´alculo aceptables para la interacci´on con el animador, el movimiento del cuerpo humano y la deformaci´on volum´etrica local de sus m´ usculos, durante una actividad motora coordinada, como es la locomoci´on. La propuesta de esta tesis es trabajar de forma coordinada seg´ un varios modelos basados en la f´ısica con diferente nivel de simplificaci´on. En primer lugar, se desarrolla una simulaci´on de la locomoci´on que permite obtener datos sobre las fuerzas articulares que intervienen en este proceso. A partir de esos valores se calculan las fuerzas musculares que alimentan al sistema de deformaciones. De este modo, se asegura un movimiento coordinado. M´as detalladamente, la secuencia de trabajo que se sigue es la siguiente: Simulaci´on de la locomoci´on humana. Obtenci´on de los momentos de fuerzas que se generan en cada articulaci´on en cada fase del ciclo de locomoci´on. Estimaci´on de las fuerzas y las deformaciones de los m´ usculos de las extremidades inferiores, considerando agrupaciones de m´ usculos. Deformaci´on de cada grupo muscular por medio de elementos finitos. Integraci´on del sistema de elementos finitos y de la simulaci´on de la locomoci´on. Visualizaci´on de los resultados: la deformaci´on de un grupo muscular insertado en un modelo esqueletal “que camina”. 37

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Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

Alguno de estos procesos ha sido necesario subdividirlos a su vez en nuevos subprocesos para conformar mediante su secuenciaci´on el sistema completo, presentado con mayor detalle a lo largo de los siguientes apartados.

3.1.

Descripci´ on del sistema MOBiL

B´asicamente, el sistema MOBiL se divide en dos fases, seg´ un se observa en la figura 3.1. La fase esqueletal permite obtener el movimiento de segmentos y articulaciones (movimiento global) mientras que en la fase m´ usculo-esqueletal es donde se coordina el movimiento y la deformaci´on local de los m´ usculos (movimiento local).

Figura 3.1. De lo global a lo local. Los diferentes modelos de MOBiL. El sistema permite la coordinaci´ on de un movimiento complejo como es la locomoci´ on con deformaciones locales en los m´ usculos de las piernas

A lo largo de cada fase se trabaja a su vez con varios modelos del cuerpo, de complejidad creciente: modelo din´amico y modelo cinem´atico en la fase esqueletal y

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

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modelo de l´ıneas de acci´on muscular y modelo de elementos finitos en la m´ usculoesqueletal. Cada modelo se ha tratado de simplificar al m´aximo para poder conseguir tiempos de c´alculo cercanos al tiempo real. En cada fase, el primer modelo es de bajo nivel y produce los patrones necesarios para “poner en marcha y gobernar” el segundo. En la fase esqueletal es el patr´on de movimiento de la cadera, que se obtiene a partir de un modelo din´amico muy b´asico, el que permite calcular el movimiento de un modelo cinem´atico del cuerpo humano de 48 segmentos. En la fase m´ usculo-esqueletal, es un patr´on de fuerza muscular, que se obtiene a partir de un modelo simple de l´ıneas de acci´on muscular insertadas en el modelo esqueletal, el que permite calcular las deformaciones del volumen de los m´ usculos que intervienen en la generaci´on del movimiento global de locomoci´on. A lo largo de todas las fases y modelos se utilizan conocimientos de anatom´ıa, fisiolog´ıa y, en especial, de biomec´anica.

3.2.

Descripci´ on e implementaci´ on del modelo de cuerpo humano

La elecci´on de un modelo apropiado para representar el cuerpo humano es un compromiso entre exactitud y eficiencia. Es necesario determinar, entonces, el nivel de detalle requerido en las diferentes partes del cuerpo, considerando, adem´as, que el ser humano est´a muy familiarizado con la representaci´on del cuerpo. En este trabajo se ha adoptado una representaci´on final del cuerpo en base a un modelo m´ usculo - esqueletal compuesto por dos capas: una capa esqueletal, que permite representar el cuerpo como un conjunto de segmentos r´ıgidos articulados, y una capa muscular, que permite representar la forma de los m´ usculos en las distintas partes del cuerpo. La capa esqueletal est´a constituida por segmentos articulados de manera que el an´alisis y el movimiento son tareas que no tienen un coste computacional alto y, sin embargo, permiten obtener resultados aceptables. La capa muscular modela volum´etricamente la forma de los m´ usculos, permitiendo obtener una apariencia realista. A continuaci´on se describen detalladamente ambas capas, se especifican los datos antropom´etricos considerados y las decisiones adoptadas para la parametrizaci´on de los mismos, y finalmente, se comentan los detalles de implementaci´on del modelo. 3.2.1.

Definici´ on de la estructura esqueletal

De igual forma que muchos de los modelos presentes en la literatura, el modelo esqueletal que se propone est´a formado por segmentos r´ıgidos articulados, organizados de manera jer´ arquica por medio de una estructura de a´rbol. La topolog´ıa jer´arquica permite la propagaci´on del movimiento desde de la ra´ız hacia los nodos terminales, de modo que la posici´on de un nodo se define localmente en relaci´on con su nodo “padre” en la jerarqu´ıa.

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Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

El modelo de esqueleto simplificado que se ha propuesto est´a formado por una estructura de 48 segmentos que corresponden a los principales conjuntos esqueletomusculares del ser humano. La figura 3.2 muestra una vista frontal del esqueleto y una vista lateral del pie con los nombres de los diferentes segmentos.

(a) Vista frontal del cuerpo

(b) Vista lateral del pie

Figura 3.2. Detalle de los segmentos del esqueleto

La cadera (l0 ) es el elemento principal y nodo ra´ız. Si ´esta realiza un movimiento de traslaci´on o giro, el cuerpo entero se mueve. El resto de elementos s´olo realizan movimientos de rotaci´on relativos a su segmento “padre”. De la cadera cuelga el tronco superior y ambas piernas. El cuerpo superior est´a constituido por: el conjunto de v´ertebras lumbares, el conjunto de v´ertebras tor´ acicas y el conjunto de v´ertebras cervicales y la cabeza (lcabeza ). Las v´ertebras acicas doce (lv tor1 ... lumbares son siete segmentos (lv lumb1 ... lv lumb7 ) y las tor´ lv tor12 ) y presentan diferentes longitudes. El movimiento de la columna vertebral es muy importante en la apariencia exterior del movimiento. Las v´ertebras cervicales ´ltimo de de los cuales est´an formadas por siete segmentos (lv cerv1 ... lv cerv7 ), el u est´a relacionado con la cabeza. Cada hombro est´a formado por un om´oplato (l15 ) y una clav´ıcula (l20 ) y de cada hombro “cuelga” un brazo formado por los segmentos de brazo (l21 ), antebrazo (l22 ), palma de la mano (l23 ) y dedos de la mano (l24 ). Existe un brazo izquierdo y otro derecho, sim´etricos respecto a la vertical.

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

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En cada pierna existen los segmentos del muslo (l3 ), pantorrilla (l4 ), empeine (l12 ) y dedos del pie (l13 ). Existe una pierna izquierda y otra derecha, sim´etricas respecto a la vertical. Para completar el modelo es necesario incluir informaci´on sobre el tipo de uniones que existen entre los diferentes segmentos. Normalmente corresponden a articulaciones bien conocidas como rodilla, cadera, codo, tobillo o mu˜ neca. Con el fin de simplificar los modelos y facilitar la interpretaci´on de los resultados, generalmente se ignoran las rotaciones longitudinales o las traslaciones de las articulaciones [Win90]. En este trabajo se han restringido los grados de libertad. As´ı, por ejemplo, la rodilla es una uni´on cil´ındrica sin rozamiento, de forma que s´olo se permite el movimiento seg´ un el eje principal, fijando los movimientos de pronaci´on o adducci´on de la cadera. 3.2.2.

Definici´ on de la capa muscular

De la misma forma que con el esqueleto, la representaci´on de los m´ usculos tambi´en se hace de manera simplificada. En la figura 3.3 se presenta una imagen de dos grupos musculares del muslo: los isquiotibiales y el cu´adriceps. Esta imagen se ha reconstruido por segmentaci´on manual de im´agenes de resonancia magn´etica, y en ella se puede observar el grado de complejidad de las geometr´ıa de los m´ usculos.

Figura 3.3. Reconstrucci´ on gr´ afica de los grupos musculares del cu´ adriceps (rojo) y de los isquiotibiales (azul)

En este trabajo se ha optado por representar la capa muscular por medio del modelado volum´etrico de los diferentes m´ usculos o grupos musculares. De este modo, no s´olo se representa la forma exterior de los m´ usculos sino que tambi´en es posible tener informaci´on sobre el interior. La representaci´on de los m´ usculos, en este caso,

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Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

se hace por medio de mallas tridimensionales (ver figura 3.4) mediante las cuales se especifican las caracter´ısticas de la geometr´ıa: nodos, conectividades entre los nodos, elementos, materiales de cada elemento... Dichas mallas se especifican seg´ un el est´andar GID [Gid] y se detallan con m´as profundidad en la secci´on 5.5.3.

Figura 3.4. Malla volum´etrica con 117 nodos y 48 elementos

En el caso particular de la especificaci´on de la capa muscular hay que tener en cuenta que las caracter´ısticas geom´etricas se definen considerando el m´ usculo en posici´on anat´ omica. Su geometr´ıa est´a fuertemente relacionada con la respuesta frente a est´ımulos nerviosos, es decir, que la geometr´ıa var´ıa si el m´ usculo est´a en reposo o si se halla sometido a una contracci´on interna o a una fuerza externa. Por lo tanto, siguiendo la pauta establecida en la mayor parte de los trabajos relacionados con los m´ usculos, en este trabajo se han especificado todos los datos correspondientes a la geometr´ıa del m´ usculo (longitud, longitud de las fibras y del tend´on, masa) considerando que ´este se halla en posici´on anat´omica. Asimismo, es conveniente disponer de algunas medidas de los m´ usculos como el valor de su ASTF (Area de Secci´on Transversal Fisol´ogica) y el valor del ´ angulo de pennation, necesarios para determinar la fuerza m´axima que puede realizar un m´ usculo, aunque la mayor´ıa de los modelos no consideran el a´ngulo de pennation y la longitud de las fibras, debido a que su estructura biomec´anica se comporta igual que una sola fibra, larga [NG99]. Sin embargo, adem´as de los datos mencionados, tambi´en es necesario representar las deformaciones que se producen en la geometr´ıa de los m´ usculos cuando est´an sometidos a una fuerza. Para ello, adem´as de la informaci´on geom´etrica, hay que incorporar las caracter´ısticas que permitan representar el comportamiento del tejido muscular como su densidad, sus par´ametros de elasticidad o su amortiguamiento.

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

43

El modelado de dichas variaciones en la forma se representa, en el sistema MOBiL, por medio de deformaciones realizadas sobre la malla volum´etrica, tal como se describe en la secci´on 5.5.3. 3.2.3.

Datos antropom´ etricos y parametrizaci´ on de los modelos

Los datos antropom´etricos permiten definir las caracter´ısticas de los individuos indicando la relaci´on entre las medidas de las diferentes partes del cuerpo. De este modo, la antropometr´ıa estudia las medidas f´ısicas que permiten caracterizar diferencias como raza, sexo, edad, complexi´on, etc. MOBiL requiere medidas corporales que van desde a´reas, vol´ umenes, masas, hasta momentos de inercia y posiciones. Asimismo requiere informaci´on sobre los centros de rotaci´on de las articulaciones, sobre el origen e inserci´on de los m´ usculos, sobre las l´ıneas de acciones musculares o las dimensiones de los m´ usculos... y todo ello para cualquier individuo de peso, altura, complexi´on y estado f´ısico no predefinidos, tal y como se describe a continuaci´on. Antropometr´ıa. La constituci´on y facultades f´ısicas de cada persona dependen de dos factores: los no modificables (factores gen´eticos predeterminados por la herencia biol´ogica que se agrupan bajo el nombre de biotipo) y los modificables (nivel de entrenamiento, h´abitos y costumbres, estado de salud... que se agrupan bajo el concepto de estado f´ısico). En la clasificaci´on m´as simple y m´as usada, existen 3 biotipos humanos b´asicos, recogidos en la figura 3.5, los cuales son claramente identificables (clasificaci´on planteada en 1921 por el psiquiatra alem´an Ernest Kretschmer en su obra Constituci´ on y car´ acter):

Figura 3.5. Biotipos: de izda. a dcha. Ectom´ orfico, Endom´ orfico y Mesom´ orfico [Med]

a) ECTOMORFICO (llamado tambi´en LONGUILINEO o ASTENICO): aspecto delgado, estatura alta, pan´ıculo adiposo escaso, musculatura poco desarrollada, cara delgada, rasgos agudos, cintura escapular estrecha, t´orax largo, a´ngulo epig´astrico agudo y cintura p´elvica angosta.

44

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

b) ENDOMORFICO (llamado tambi´en BREVILINEO o PICNICO): aspecto grueso, estatura baja, pan´ıculo adiposo grueso, musculatura poco desarrollada, cara redonda, rasgos gruesos, nariz corta, cintura escapular ancha, t´orax corto, ´angulo epig´astrico ancho y cintura p´elvica ancha. c) MESOMORFICO (llamado tambi´en NORMOLINEO o ATLETICO): aspecto robusto, estatura media, adiposidad media, musculatura muy desarrollada, cara angular, mand´ıbula ancha, nariz media, cintura escapular ancha, t´orax amplio, ´angulo epig´astrico medio y cintura p´elvica media. Por otra parte, en la medicina nutricional y deportiva existen un serie de ´ındices fisiol´ogicos que permiten la valoraci´on de la constituci´ on f´ısica de una persona. De todos ellos son de especial utilidad, el ´ındice de masa corporal (IMC), que indica el grado de obesidad, el ´ındice de robustez (IR), que determina el estado f´ısico y el ´area de superficie corporal (ASC), que indica la relaci´on entre superficie de piel y volumen corporal. ´Indice

´Indice de Robustez

F´ ormula

´Indice de Masa Corporal IM C =

M/H 2

o ´Indice de Quetelet

21

Excelente

< 15

Delgadez pronunciada

< 13

15 − 20

Delgadez

13 − 18

20 − 25

Normal

18 − 23

25 − 30

Sobrepeso

23 − 28

30 − 35

ASC = 0, 202

(ASC)

Valoraci´ on

IR = (p − a) − (H − 100 − M ) 11 − 15

(IR)

(IMC)

Hombres

Obesidad moderada 28 − 33

35 − 40

Obesidad grave

33 − 38

> 40

Obesidad m´ orbida

> 38

F´ ormula Du Bois

F´ ormula Mosteller

Tabla 3.1. Siendo p el per´ımetro del t´ orax en inspiraci´ on; a el per´ımetro del abdomen en espiraci´ on; H la altura y M la masa del individuo. (p y a est´ an expresados en cent´ımetros, M en kilogramos, H en metros salvo en IR y en ASC de la F´ ormula de Mosteller, que es en cent´ımetros).

Estos ´ındices morfol´ogicos s´olo representan valores “externos” al individuo y no dan informaci´on, por ejemplo, de como se distribuye internamente el peso. Una t´ecnica complementaria es entonces el an´alisis de la composici´on corporal (en ocasiones denominado valoraci´on de los compartimientos) que estudia estas proporciones “internas” seg´ un dos modelos b´asicos: el modelo de dos compartimientos - grasa y masa libre de grasa; y el modelo de cuatro

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

45

compartimientos: mineral/hueso, prote´ınas, agua y grasa. La informaci´on m´as u ´til que permiten calcular estos m´etodos es la proporci´on que supone la grasa corporal o la masa muscular en el peso de un cuerpo (o en cualquiera de sus extremidades). % Grasa Corporal Valoraci´ on % Grasa Corporal Hombres Mujeres 6 − 14 Delgadez (deportistas) 9 − 22 15 Normal 23 16 − 24 Sobrepeso (sedentarios) 24 − 31 Tabla 3.2. Valores medios de la proporci´ on de grasa corporal en individuos adultos de raza caucasiana

Mediante m´etodos de an´alisis directo se ha logrado establecer que -en promedio- el cuerpo humano est´a formado por un 60 % de agua, 17 % de grasa, 15 % de prote´ınas y 8 % de otros elementos. Estas proporciones var´ıan con el sexo, la edad y la raza. Las mujeres tienen una mayor proporci´on de grasa que los hombres. De igual forma que la raza negra presenta ´ındices de grasa corporal superiores a los de la raza caucasiana. Y de los 20 hasta los 50 a˜ nos el peso aumenta en 10 a 15 %, pero la cantidad de grasa aumenta m´as, debido a una reducci´on leve y progresiva de la masa muscular. Algoritmo de parametrizaci´ on de los modelos. Todos los datos b´asicos utilizados en este trabajo para las medidas de las extremidades inferiores provienen de [Pie95] a partir de una colecci´on de art´ıculos, tal como se detalla en el Ap´endice A de Datos y constantes antropom´etricas. Estos datos se consideran “normalizados” y corresponden a un individuo patr´on que se toma como referencia en la parametrizaci´on del modelo. La parametrizaci´ on llevada a cabo responde a la caracter´ıstica m´as avanzada del sistema MOBiL: la posibilidad de animar cuerpos que difieran en altura, masa e incluso en tipo de complexi´on y estado f´ısico. El modelo esqueletal param´etrico es muy simple. Cada segmento del cuerpo queda determinado a partir de una relaci´on proporcional con respecto a la altura total del individuo (valor ref erencia = longitud segmento/altura individuo). Los datos requeridos para el sistema esqueletal de MOBiL corresponden a los valores dados en la figura 3.6 y se detallan en el apartado A.1 del Ap´endice de Datos y constantes antropom´etricas. Para las extremidades inferiores provienen de [Pie95] y para el resto del cuerpo de diversos trabajos [Win79] [BC89] [Win90]. Las propiedades de masa, centro de masas y radio de giro normalizados de cada uno de los segmentos del cuerpo se obtienen de diferentes investigaciones, recopiladas en [Win90]. Los valores utilizados se expresan directamente de forma proporcional a los datos de masa del individuo. En la tabla 3.3 se detallan los datos normalizados de referencia para los diferentes segmentos.

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Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL Segmento Valor Descripci´ on l0 0.10059 Pelvis l2 0.47 Cuerpo superior l3 0.23882 Muslo l4 0.24706 Pantorrilla l5 0.0858 Proyecci´ on del empeine l6 0.04734 Proyecci´ on de los dedos del pie l7 0.02367 Altura del metatarso al tal´ on l8 0.02959 Proyecci´ on del tal´ on l9 0.03846 Altura del tal´ on l11 0.04853 Tal´ on l12 0.08901 Empeine l13 0.0496 Dedos del pie l15 0.017288553 Hom´ oplato l20 0.1068758 Clav´ıcula l21 0.1900968 Brazo l22 0.1603750 Antebrazo l23 0.0415492 Palma de la mano l24 0.0415492 Dedos de la mano lv lumb1 0.0244348985 Primera v´ ertebra lumbar lv lumb2 0.0209818118 Segunda v´ertebra lumbar lv lumb3 0.0209818118 Tercera v´ertebra lumbar lv lumb4 0.0180135865 Cuarta v´ ertebra lumbar (a) Denominaci´ on de las variables lv lumb5 0.0180135865 Quinta v´ ertebra lumbar utilizadas en MOBiL para los lv tor1 0.0180135865 Primera v´ ertebra tor´ acica segmentos del esqueleto lv tor2 0.0151191023 Segunda v´ertebra tor´ acica lv tor3 0.0151191023 Tercera v´ertebra tor´ acica lv tor4 0.0151191023 Cuarta v´ ertebra tor´ acica lv tor5 0.0151191023 Quinta v´ertebra tor´ acica lv tor6 0.0148302 Sexta v´ ertebra tor´ acica lv tor7 0.0151191023 S´ eptima v´ertebra tor´ acica lv tor8 0.012187691 Octava v´ertebra tor´ acica ertebra tor´ acica lv tor9 0.012187691 Novena v´ lv tor10 0.012187691 D´ ecima v´ ertebra tor´ acica lv tor11 0.012187691 Decimoprimera v´ertebra tor´ acica lv tor12 0.012187691 Decimosegunda v´ertebra tor´ acica lv cerv1 0.012187691 Primera v´ ertebra cervical lv cerv2 0.012187691 Segunda v´ertebra cervical lv cerv3 0.012187691 Tercera v´ertebra cervical lv cerv4 0.012187691 Cuarta v´ ertebra cervical lv cerv5 0.0088859 Quinta v´ ertebra cervical lv cerv6 0.009360109 Sexta v´ ertebra cervical lv cerv7 0.009360109 S´ eptima v´ertebra cervical lcabeza 0.13 Cabeza lal pelvis 0.0512722696 Altura a la pelvis (b) Los valores de los segmentos deben multiplicarse por la altura del individuo Figura 3.6. Valores de referencia normalizados necesarios para calcular las longitudes de los segmentos del cuerpo indicados en las figuras de la izquierda.

Los momentos de inercia se calculan a partir de la altura de un segmento, su masa y su radio de giro, con respecto al centro de masas, [Win90] como: Ii = mi (li × γi )2 donde Ii es el momento de inercia del segmento i segmento, mi es su masa, li su longitud y γi su radio de giro.

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL segmento

i

Pelvis Pierna Cuerpo superior Muslo Pantorrilla

0 1 2 3 4

47

peso del segmento centro de masas radio de giro/ ( % del peso del cuerpo) ( % de la longitud del segmento) ( % de la longitud del segmento) 0.161 0.447 0.326 0.678 0.626 0.496 0.1 0.433 0.323 0.061 0.606 0.416

Tabla 3.3. Valores antropom´ etricos de referencia de los segmentos de las extremidades inferiores necesarios para el an´ alisis din´ amico y cinem´ atico. Los valores de los centros de masa est´ an dados desde el extremo proximal del segmento y el radio de giro est´ a especificado con respecto al centro de masas.

Los datos normalizados utilizados para definir la geometr´ıa del m´ usculo tambi´en provienen de datos tabulados reunidos por [Pie95]. Es necesario que haya correspondencia entre los valores de longitud de m´ usculos y segmentos del esqueleto (especialmente en los puntos de origen e inserci´on y l´ıneas de acci´on). Para ello, previamente a cualquier operaci´on de parametrizaci´on, los datos de referencia de MOBiL (que se detallan en el apartado A.2 del Ap´endice de Datos y constantes antropom´etricas) se han obtenido ajustando los datos normalizados de los m´ usculos en posici´on anat´omica extra´ıdos de Pierrynowski hasta la dimensi´on “normalizadas” de los segmentos de las extremidades inferiores. Los datos del m´ usculo, tanto geom´etricos como fisiol´ogicos, son los siguientes: longitud de m´ usculo, longitud del tend´on y longitud de las fibras, a´ngulo de pennation, masa y ASTF. Del mismo modo se extrae y ajusta la informaci´on geom´etrica de los puntos donde se conectan m´ usculos y huesos por medio de los tendones (tabla 7.8, apartado A.3 del Ap´endice de Datos y constantes antropom´etricas). Estos datos del modelo m´ usculo-esqueletal son la referencia b´asica en el proceso de parametrizaci´on principal de MOBiL. A diferencia de la parametrizaci´on del esqueleto, que es pr´acticamente directa a partir de la altura, para obtener los datos geom´etricos de los m´ usculos de un individuo espec´ıfico se utiliza un algoritmo m´as potente que incluye el biotipo y el estado f´ısico del individuo. El par´ametro de alto nivel denominado biotipo corrige las desviaciones a la hora de precisar conceptos como el exceso de peso. Se han definido tres biotipos: LONGUI, NORMO y BREVI, equivalentes a los de las clasificaciones existentes en la literatura al uso. A cada uno de ellos se le ha hecho corresponder un ´ındice de masa corporal (IMC) b´asico. Este u ´ltimo valor tambi´en puede introducirse como par´ametro en sustituci´on de los anteriores, por lo que MOBiL permite un amplio rango de constituciones f´ısicas. El par´ametro de alto nivel denominado estado f´ısico permite modular el volumen y fuerza de los m´ usculos seg´ un el estado de forma del individuo. Las diferentes ´ ´ posibilidades de estado f´ısico son: ATLETICO, NORMAL y DEBIL, y condicionan los par´ametros de masa que, a su vez, influyen en la deformaci´on muscular. Su acci´on consiste en modificar los valores de referencia de la masa muscular, mediante su multiplicaci´on por un factor, el Factor5. Este factor es conceptualmente similar al

48

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

´Indice de Robustez, y refleja el hecho que con el mismo peso y altura los individuos atl´eticos tienen una mayor masa muscular. En la tabla 3.4 se exponen los valores medios de los par´ametros antropom´etricos. Los valores de referencia del Factor5 se han extrapolado a partir de un an´alisis comparativo de la composici´on corporal de futbolistas e individuos inactivos en el que el porcentaje de grasa corporal medio se diferenciaba en cinco puntos porcentuales y en 3 kilos, la masa muscular en las piernas [LJD+ 01]. El grupo de control consist´ıa en individuos inactivos con una edad media 23 a˜ nos y cuya altura media y peso eran de 1,76 metros y 73 Kg. Sus valores de referencia fueron de un 18 por 100 de grasa corporal y 18 kilogramos de masa muscular en las piernas. BIOTIPO IMC normalizado ESTADO F´ISICO Factor5 normalizado LONGUI

19

DEBIL

0.8

NORMO

24.5

NORMAL

1

30

´ ATLETICO

1.16

CULTURISTA

2

BREVI

Tabla 3.4. Valores medios de los par´ ametros antropom´ etricos de alto nivel de MOBiL

El esquema 3.7 muestra el algoritmo de decisi´on que se sigue para para incluir la complexi´on y estado f´ısico entre los par´ametros del sistema MOBiL y calcular los distintos valores de la geometr´ıa de los m´ usculos y segmentos del cuerpo.

3.3.

Conclusiones

En este cap´ıtulo se ha presentado una breve descripci´on introductoria del sistema MOBiL, sistema que constituye el principal resultado de este trabajo. Tal como se puede entrever se trata de un sistema complejo, creado a partir de diferentes modelos din´amicos y cinem´aticos que se resuelven por fases para simplificar las ecuaciones del movimiento o la deformaci´on. Por ello, se ha considerado necesario facilitar esta primera visi´on global para una mejor comprensi´on de su verdadera dimension y alcance. La enumeraci´on previa de sus m´odulos e interacciones permite navegar con conocimiento de causa a trav´es de los cap´ıtulos, fundamentando de esta manera todo el sistema MOBiL. Por otra parte, es necesario destacar que el modelo m´ usculo-esqueletal desarrollado en este trabajo permite diferentes niveles de complejidad: es extremadamente simple para utilizar la din´amica y se aumenta su complejidad para calcular, por medio de la cinem´atica, el movimiento de un gran n´ umero de segmentos y articulaciones y, por medio de las l´ıneas de acci´on, el movimiento de los m´ usculos. Todas las posiciones y restricciones de m´ usculos, segmentos del cuerpo y articulaciones del modelo global se describen en detalle en este cap´ıtulo por ser un elemento com´ un a todo el sistema MOBiL.

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

49

Otra de las caracter´ısticas m´as destacadas del modelo es que, aunque en su definici´on se ha optado por utilizar datos antropom´etricos correspondientes a hombres de raza blanca, su car´acter param´etrico lo hace f´acilmente extensible a otros segmentos de la poblaci´on y permite la simulaci´on de la locomoci´on en mujeres e individuos de otras razas, edades o complexiones.

50

Cap´ıtulo 3: El sistema MOBiL

Figura 3.7. Algoritmo de decisi´ on para escalar la geometr´ıa del m´ usculo. Lm es la longitud del m´ usculo, Lf es la longitud de las fibras, Lt es la longitud del tend´ on, F actor1 = (altura individuo/altura ref erencia) · datos longitudes y F actor3 = (masa individuo/masa ref erencia) · datos masas

Referencias

[BC89]

Armin Bruderlin and Thomas W. Calvert. Goal-directed, dynamic animation of human walking. Computer Graphics, 23(3):233–242, July 1989. [Gid] Gid: The Personal Pre/PostProcessor. http://gid.cimne.upc.es. [LJD+ 01] J. A. L´ opez, J. Jim´enez, C. Dorado, J. Sanch´ıs, and L. P. Rodr´ıguez. Nuevas perspectivas de investigaci´ on en las ciencias del deporte, chapter Importancia del ejercicio f´ısico para el mantenimiento de la integridad del esqueleto a lo largo de la vida., pages 109–130. Universidad de Extremadura, 2001. [Med] Medicentro. http://www.medicentro.com.co/metodo-star/star-101/1-diagnostico.htm. [NG99] B. M. Nigg and S. K. Grimston. Biomechanics of the Musculo-skeletal System, chapter 2, pages 64–85. John Wiley and Sons, 2 edition, 1999. [Pie95] Michael R. Pierrynowski. Three-Dimensional Analysis of Human Movement, chapter 11: Analytic Representation of Muscle Line of Action and Geometry, pages 215–256. Human Kinetics, 1995. [Win79] David A. Winter. Biomechanics of Human Movement. Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1979. [Win90] David A. Winter. Biomechanics and Motor Control of Human Movement. Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition, 1990.

51

Simulaci´ on del movimiento global de 4 locomoci´on: Fase esqueletal

4.Simulaci´ on del movimiento global de locomoci´ on: Fase esqueletal . 55 4.1. Movimiento humano y locomoci´on: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.1.Antecedentes del movimiento y la locomoci´on en Inform´atica Gr´afica 56 4.1.2.Antecedentes de la locomoci´on en Biomec´anica y Rob´otica . . . . . . . 63 4.1.3.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2. Conceptos de locomoci´on humana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.1.Secuenciaci´on de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.2.Simetr´ıa en el paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.3.Minimizaci´on del consumo energ´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3. Descripci´on del sistema de movimiento global del esqueleto . . . . . . . . . . . 75 4.3.1.Par´ametros control de alto nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3.2.Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4. MOBIL: Implementaci´on del modelo din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4.1.Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4.2.M´etodo de resoluci´on de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.4.3.Din´amica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.4.4.Din´amica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4.5.Continuidad entre los sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.5. MOBIL: Implementaci´on del modelo cinem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5.1.Cinem´atica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.5.2.Cinem´atica de la cadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.5.3.Cinem´atica de la propulsi´on pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5.4.Cinem´atica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.5.5.Cinem´atica del cuerpo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.5.6.Proceso de inicio y fin de la locomoci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6. C´alculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones . . . . . . . . . . . . 121 4.6.1.Determinaci´on de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos 122 4.6.2.Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL . . . . . . . . . . . 124 4.7. Validaci´on de la fase esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.7.1.Comparaci´on de variaciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.7.2.Comparaci´on de valores de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.7.3.Comparaci´on de valores de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 53

54

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

4.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Simulaci´ on del movimiento global de locomoci´ on: Fase esqueletal

En este cap´ıtulo se presenta el trabajo desarrollado en la primera fase del sistema MOBiL con el fin de simular la locomoci´ on humana con un computador (ver figura 4.1).

Figura 4.1. Fase esqueletal del Sistema MOBiL

En ´el se describen, en primer lugar, los modelos computacionales existentes en la Inform´ atica Gr´ afica para el movimiento del cuerpo humano, con especial inter´es en aquellos relacionados con la locomoci´ on. Asimismo, se describen los antecedentes en la locomoci´ on en los campos de la Biomec´anica y la Rob´otica, ya que son de gran importancia los estudios realizados en estas ´areas en el an´ alisis del caminar humano y en la simulaci´ on de la locomoci´on. A continuaci´ on, tras explicar los conceptos b´ asicos sobre la locomoci´on humana, se presenta el funcionamiento general del sistema 55

56

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

propuesto, exponiendo, de manera detallada las dos diferentes partes que componen este sistema h´ıbrido: la fase de c´ alculo din´ amico y la fase de mejora cinem´ atica. En u ´ltimo lugar se presenta el desarrollo del c´ alculo de las fuerzas y momentos de fuerza netos en las articulaciones.

4.1.

Movimiento humano y locomoci´ on: Estado del arte

La tarea de especificar a un ordenador el movimiento de un objeto animado es sorprendentemente dif´ıcil, y esta dificultad es a´ un mayor si lo que se pretende animar es la locomoci´on del cuerpo humano. El problema radica principalmente en que es muy complicado dar realismo a los movimientos por tres motivos: Debido a que el ser humano est´a muy familiarizado con el movimiento humano, puede detectar r´apidamente si ´este no es natural o es poco convincente. En la vida real los mismos movimientos no se hacen siempre de la misma forma. El movimiento del ser humano depende no s´olo del estado f´ısico sino tambi´en del mental... Una persona no se mueve igual si est´a contenta que si est´a deprimida. Sin embargo, este problema ha sido abordado durante a˜ nos desde distintas disciplinas cient´ıficas, debido a la importancia, en multitud de aplicaciones, de sus resultados. Actualmente, el movimiento, y m´as concretamente, la locomoci´on son de los problemas m´as estudiados entre las t´ecnicas de animaci´on del cuerpo humano. Existen dos causas que han producido este hecho: la previa existencia de estudios relacionados provenientes de otras disciplinas cient´ıficas y la evidente aplicaci´on futura de los posibles resultados. A continuaci´on, en primer lugar, se detallan los trabajos relacionados con el movimiento, en el ´area de Inform´atica Gr´afica, para posteriormente presentar los antecedentes de la locomoci´on en las a´reas de biomec´anica y rob´otica. 4.1.1.

Antecedentes del movimiento y la locomoci´ on en Inform´ atica Gr´ afica

Desde el punto de vista de la inform´atica gr´afica se ha investigado mucho en este campo y se han desarrollado numerosas t´ecnicas que para generar animaciones realistas y/o en tiempo real. En la literatura se pueden encontrar numerosas clasificaciones sobre las diferentes t´ecnicas de control del movimiento del cuerpo humano [BS79] [Zel85] [TP88] [MTT96] [CPS99], pero todas tienen en com´ un la dificultad de establecer divisiones claras en un campo en el que se mezclan constantemente m´etodos y sistemas. En las pr´oximas secciones se har´a un resumen de las aproximaciones m´as importantes al problema de la representaci´on del movimiento. Las t´ecnicas se clasifican en las siguientes categor´ıas, atendiendo al modo de especificar el movimiento:

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Modelos Guiados o Descriptivos Modelos Generativos o Basados en la Din´amica Modelos de Comportamiento Modelos Guiados. Estos m´etodos, tambi´en denominados descriptivos, reproducen un movimiento sin conocer las causas, es decir, producen el movimiento de un objeto a partir de cierto n´ umero de par´ametros y describen expl´ıcitamente sus variaciones en el tiempo. En este apartado se incluyen los modelos de animaci´on por cuadros clave, los m´etodos procedurales, la captura de movimiento y la cinem´atica. Cuadros claves: Esta t´ecnica, que toma su nombre de la animaci´on tradicional (key-framing), requiere que el usuario defina im´agenes o posiciones clave para el objeto a animar. El programa se encarga de realizar la interpolaci´on (inbetweening) de las posiciones clave para generar autom´aticamente todas las im´agenes intermedias. La apariencia final del movimiento depende en gran medida del algoritmo de interpolaci´on utilizado. Como la interpolaci´on lineal suele producir efectos no deseados como discontinuidades en la velocidad o distorsiones en la rotaciones [MTT90], se utilizan otros m´etodos de interpolaci´on como los basados en splines [KB84b] [KB84a] [SSW89] o en cuaterniones [Sho85] [BCGH92], con los que se obtiene mayor suavidad en el movimiento. Esta t´ecnica ofrece un buen control sobre la animaci´on, pero es dif´ıcil automatizar las tareas como para asegurar naturalidad en los resultados. M´ etodos procedurales: Estos m´etodos controlan el movimiento de objetos o vol´ umenes en el tiempo mediante el uso de algoritmos o expresiones matem´aticas. Los m´etodos procedurales tienen dos ventajas importantes frente al m´etodo de cuadros clave: es m´as f´acil generar una familia de movimientos similares, y se pueden usar en sistemas en los cuales es muy complejo animar “a mano”, como los sistemas de part´ıculas, la manipulaci´on de superficies impl´ıcitas [Phi97]. Entre estos m´etodos, hay dos que destacan particularmente: aquellos sistemas que se basan en las deformaciones geom´etricas (deformaciones de forma libre [Bar84] [SP86] [CJ91], deformaciones locales dependientes de la articulaci´on [MTLT88] o NURBS [PH94]) y aquellos sistemas que se centran en el uso de guiones (scripts), donde el animador escribe el gui´on por medio de un lenguaje de animaci´on [Rey82] [MTT85] [MMZ85]. Los m´etodos procedurales generan el movimiento de un modo bastante autom´atico pero ofrecen poco control sobre los peque˜ nos detalles. Cinem´ atica: La cinem´atica consiste en la especificaci´on de movimientos, sin tener en cuenta la causa (fuerzas y momentos que causan dicho movimiento). Esta t´ecnica permite realizar animaciones complejas con poco esfuerzo por parte del usuario. As´ı se pueden mover estructuras formadas por cadenas, o por cualquier otro mecanismo que tenga enlazados sus elementos. Mediante la jerarquizaci´on de elementos se definen los enlaces que existen entre los diferentes elementos que forman un objeto.

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La cinem´ atica directa consiste en encontrar las posiciones finales de los diferentes segmentos que forman una figura articulada, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia como una funci´on del tiempo. En el ejemplo del robot mencionado anteriormente, aplicar cinem´atica directa consiste en mover el nodo padre del brazo y todos los hijos se mover´an con ´el. Si se utiliza s´olo cinem´atica directa, es muy complicado imponer restricciones al movimiento. Dichas restricciones se deben resolver utilizando algoritmos de cinem´atica inversa [BMB86]. La cinem´ atica inversa consiste en especificar directamente la posici´on final del u ´ltimo hijo. Las posiciones intermedias del resto de las articulaciones se determinan autom´aticamente. Puesto que la herencia puede ser grande, el problema es complejo. Dos grupos de m´etodos resuelven el problema de la cinem´atica inversa: los m´etodos que utilizan el Jacobiano [GM85] [BTT90] [BHTT94] [CBD+ 93] [BTC94] [MBT96] y las t´ecnicas de programaci´on no lineal [ZB94]. Los m´etodos cinem´aticos presentan dos ventajas importantes: permiten trabajar con par´ametros de alto nivel (como velocidad, longitudes, etc.) y no requieren excesivo tiempo de c´alculo. Por contra, para cada instante de tiempo es necesario tener definidos al menos una docena de par´ametros principales que ser´an los que gobiernen al resto y habr´a que contar con la habilidad del animador para superar los momentos de discontinuidad de movimiento. Adem´as, las secuencias que se obtienen al aplicar estos m´etodos, no suelen ser muy realistas. Captura de movimiento: Estas t´ecnicas se basan en la captura los movimientos realizados por sujetos vivos [MAB92] [BRRP97] o mediante t´ecnicas de rotoscopia (a partir una pel´ıcula o v´ıdeo) [LPV92]. La edici´on, reutilizaci´on y adaptaci´on de los movimientos ya capturados permiten generar el movimiento. Ambas metodolog´ıas hacen un uso intensivo de algoritmos de procesado de im´agenes, como son: filtros multiresoluci´on para personalizar los movimientos, t´ecnicas de interpolaci´on, suavizado y fundido de movimientos [BW95], seguimiento de contornos en m´ ultiples im´agenes [HL96] o “motion warping” [WP95]. Para una visi´on m´as amplia y detallada de las t´ecnicas de captura de movimiento, consultar [AC99], [Gav99] o [MG01]. Modelos Generativos. Estos m´etodos, que tambi´en reciben el nombre de m´ etodos basados en la din´ amica, se utilizan las leyes f´ısicas que gobiernan el mundo real para ofrecer una descripci´on de las causas del movimiento de los objetos. El movimiento se obtiene por medio de las ecuaciones din´amicas de movimiento, que utilizan las propiedades de masa, inercia, fuerzas y momentos de los objetos. Adem´as de trabajar con los objetos r´ıgidos articulados, como el esqueleto del cuerpo humano, el modelado basado en la f´ısica trabaja con otro tipo de objetos: los objetos deformables, que se utilizan para animaciones de ropa, m´ usculos, piel o cabello

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(ver secci´on 5.1) o los modelos de part´ıculas, que se utilizan principalmente para fen´omenos naturales [BRS03], como agua, fuego, gases, ... Los modelos din´ amicos permiten asignar propiedades f´ısicas a los objetos que forman parte de la escena, sobre las que el computador simular´a las leyes f´ısicas que gobiernan el mundo real para producir movimientos realistas. Los objetos pueden reaccionar autom´aticamente a restricciones internas o externas del entorno (colisiones, fuerzas aplicadas, ...). La animaci´on de estos modelos se centra, principalmente, en controlar las fuerzas internas o los momentos de fuerza generados por actuadores, como los motores o los m´ usculos. El problema fundamental de estos m´etodos es que requieren bastante tiempo de c´alculo para resolver las ecuaciones de movimiento de cuerpos articulados complejos y algunos par´ametros, como las fuerzas y los momentos, son dif´ıciles de ajustar ya que no son intuitivos. Dentro de la din´amica, existen dos aproximaciones: La din´ amica directa consiste en calcular un movimiento a partir de fuerzas y momentos de fuerza dados y ciertas condiciones iniciales. El sistema evoluciona de forma aut´onoma, con m´ınimo control. Funciona para sistemas pasivos que no se modifiquen por la acci´on de fuerzas internas. La din´ amica inversa consiste en calcular las fuerzas y momentos de fuerza del sistema a partir de movimientos ya conocidos. Se utiliza para caracterizar los sistemas en los que las fuerzas internas constituyen el principal motor del movimiento, como la acci´on de m´ usculos y tendones. Sin embargo, en estos casos es posible producir movimiento arbitrarios, sin validez f´ısica [KSK00]. Para la obtenci´on de resultados mediante la din´amica se han aplicado varias formulaciones de las ecuaciones del movimiento y diferentes m´etodos num´ericos de resoluci´on, como Newton-Euler [GG94], Lagrange [AGL87] [BC89], Gibbs-Appell [WB85] o D’Alembert [IC87] [ADH89]. Los modelos generativos se centran principalmente en la utilizaci´on de la din´amica (directa e inversa) como algoritmo subyacente. Sin embargo, a m´as alto nivel se requieren t´ ecnicas de control para la especificaci´on del movimiento. Dichas t´ecnicas que se pueden clasificar del siguiente modo [NG95]: Optimizaci´on local Optimizaci´on global Sistemas a medida Los dos primeros m´etodos ofrecen estrategias generales que se pueden aplicar a gran cantidad de movimientos. Los sistemas a medida, en cambio, se desarrollan de forma restringida para un movimiento espec´ıfico como caminar, correr, bucear, realizar artes marciales, ... En [NG95] se realiza una comparativa de la eficiencia de cada uno de estos m´etodos con respecto a las diferentes ´areas de investigaci´on en las que se utilizan. Los criterios que se tienen en cuenta para la comparaci´on son: participaci´on del animador, grados de libertad considerados, robustez, reusabilidad y calidad del movimiento.

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Optimizaci´ on Local: El principal objetivo de la optimizaci´on local es encontrar trayectorias de movimiento que sean o´ptimas respecto a una m´etrica determinada (por ejemplo: m´ınima energ´ıa de control, suavidad de la trayectoria, m´ınima distancia a posiciones predefinidas por cuadros clave). Estos m´etodos son iterativos por naturaleza, parten de par´ametros iniciales que se mejoran en cada iteraci´on hasta que se cumplen los criterios de optimizaci´on. Normalmente el espacio de b´ usqueda se acota por medio de restricciones tales como valores l´ımites en los ´angulos de uni´on, etc. Restricciones espacio-temporales: Estos m´etodos buscan una trayectoria en el espacio de estados que maximice o minimice la m´etrica dada. El objetivo de la m´etrica es proveer una medida cuantitativa para la calidad del movimiento de todas las posibles trayectorias generadas. Los sistemas de animaci´on de [WK88] y [BN88] se basan en el uso de posiciones claves para restringir el movimiento. Estas t´ecnicas se utilizan mucho en problemas biomec´anicos para determinar conjuntos de activaciones musculares considerando m´etricas como la m´ınima tensi´on muscular [Cro78] [PZSL90] [PAH92]. Como normalmente presentan dificultades en la resoluci´on num´erica y son muy costosos computacionalmente, se suele subdividir el espacio de estados en problemas m´as peque˜ nos que convergen m´as r´apidamente [Coh92]. Otra estrategia trata de optimizar las trayectorias sustituyendo los intervalos de tiempo de las trayectorias por representaciones param´etricas construidas a partir de puntos de control de interpolaciones lineales [PAH92], B-Splines [Coh92] o wavelets [LGC94].

Figura 4.2. T´ ecnicas de optimizaci´ on local: Restricciones Espacio-Temporales vs. S´ıntesis de Controladores

S´ıntesis de controladores: Esta estrategia consiste en desarrollar programas de control por medio de un conjunto de reglas que especifican como se generan los movimiento a partir diferentes entradas para los actuadores presentes en el problema. Normalmente, la figura del cuerpo humano tiene actuadores en las articulaciones que permiten representar versiones simplificadas de los m´ usculos [HWBO95]. Un controlador calcula las acciones del actuador en

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el tiempo. Los controladores se suelen generar a partir de b´ usqueda al azar [LvdPF96], aunque tambi´en es posible resolver los par´ametros o´ptimos para una trayectoria utilizando programaci´ on din´ amica para optimizar un conjunto de par´ametros para controlar el movimiento [vdPFV90]. De este modo, se obtiene una familia de soluciones a partir de distintos valores iniciales. La posibilidad de utilizar espacios basados en la s´ıntesis de controladores, que incluyan acciones de sensores y realimentaci´on del sistema suele ser m´as robusta y tolerante a fallos. Optimizaci´ on Global: A diferencia de las t´ecnicas locales, los m´etodos de optimizaci´on global buscan la soluci´on de control sin especificar una condici´on inicial, extendiendo la b´ usqueda al dominio global del espacio de estados en lugar de hacerse en regiones locales De este modo, es posible encontrar varias soluciones, cada una de ellas con caracter´ısticas de movimiento potencialmente diferentes. Las principales estrategias que se siguen en los m´etodos de optimizaci´on global son: generaci´on y prueba, y programaci´on gen´etica. Programaci´on Gen´etica: Los programas de control resultantes de la aplicaci´on de estas t´ecnicas [Koz92] requieren de los siguientes datos: variables y funciones de partida, una m´etrica que mide la idoneidad del individuo, un criterio de terminaci´on, el n´ umero de individuos por generaci´on y el n´ umero m´aximo de generaciones. Se trata de una forma de evoluci´on artificial, en el que sobrevive el individuo que mejor cumple con los requisitos. Los trabajos de [NM93] [Sim94] o [GH95] destacan en este campo. Generaci´on y prueba: Estas t´ecnicas se basan principalmente en el uso de redes de sensores-actuadores (SAN sensor-actuator networks), que constituyen redes no lineales de conexiones ponderadas entre los sensores y los actuadores. Estas redes conectan los sensores a los actuadores para establecer los valores necesarios para que un actuador produzca un movimiento o una postura determinada. Las arquitecturas de este tipo permiten crear movimientos que “reaccionan” al contacto del suelo u otros est´ımulos externos [Bra84]. Tanto en [Bra84] como en [WS90], [vdPF93] o [vdPKF04] se presentan trabajos basados en esta t´ecnica. Sistemas a medida: Existen muchos tipos de movimiento en los que no es evidente que se pueda formular correctamente una m´etrica para optimizarlos. Por ejemplo en el caso de una coreograf´ıa de ballet o en la realizaci´on de artes marciales, es dif´ıcil encontrar una funci´on de energ´ıa o de tiempo a minimizar, o por ejemplo en las tareas que impliquen la interacci´on con elementos externos como por ejemplo en el caso del tenis, donde es necesario tener conocimiento de otro objeto del entorno, como la pelota. Estos movimientos deben ser tratados de forma particular, incorporando el conocimiento emp´ırico adquirido en el proceso de formulaci´on del sistema de control del movimiento. Varias son las estrategias que se han desarrollado en este campo: M´aquinas de estados finitos: Se divide el movimiento en fases y tareas representados por medio de una m´aquina de estados finitos [TM66]. As´ı se

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pueden establecer distintos niveles jer´arquicos, diferentes fases [Zel82] con sus correspondientes modelos din´amicos y cinem´aticos [BC89] o utilizar una ley de control [WH96] para cada fase en la que se divide un movimiento complejo. Su mayor desventaja es que su dise˜ no es completamente manual. Simplificaci´on de modelos f´ısicos: [BC89] desarrolla modelos din´amicos simplificados para cada fase de la locomoci´on humana. Esta misma estrategia se utiliza para simplificar modelos con un alto n´ umero de grados de libertad [vdPF93]. Divisi´on del problema de control: Esta t´ecnica divide el problema de control en problemas aislados m´as sencillos [Bro86], trabajando por niveles de tarea, desde el bajo nivel del movimiento de conjunto de segmentos hasta el comportamiento m´as general de la figura articulada. [RH91] divide las tareas de control del movimiento de sus robots saltadores en controlar, de manera independiente, el salto, la velocidad y de la postura. Desafortunadamente, no todos los movimientos pueden descomponerse f´acilmente en tareas de menor complejidad sin que se produzcan efectos de acoplamiento. Modelos de comportamiento. Los modelos basados en el comportamiento no est´an relacionados u ´nicamente con el movimiento, sino que pretenden cubrir otros como la percepci´on del medio, la reacci´on y la interacci´on con el medio y con otros objetos. Normalmente, el objetivo final de aplicar estas t´ecnicas es obtener actores sint´eticos en entornos virtuales no predecibles. Por ello, s´olo se abordan de manera muy general en este trabajo. En estos sistemas normalmente se distingue entre: el control motor o de bajo nivel que da lugar a los movimientos b´asicos de la figura, que pueden estar basados en leyes f´ısicas o ser simplemente heur´ısticos (descritas en las secciones anteriores) la planificaci´on motora o de alto nivel, que es la conexi´on entre la percepci´on y la acci´on Uno de los primeros sistemas de animaci´on que incorpora caracter´ısticas de comportamiento y autonom´ıa ha sido desarrollado por [Rey87] en base a la subdivisi´on del problema. El sistema de animaci´on obtiene un comportamiento global a partir de la combinaci´on de diferentes comportamientos individuales. En lugar de utilizar un gui´on para cada actor, se define un comportamiento para cada actor, y la interacci´on entre los diferentes actores produce la simulaci´on. El trabajo se centra en bandadas de p´ajaros, donde los comportamientos posibles son: evitar obst´aculos con p´ajaros cercanos, utilizar una velocidad similar a la de los p´ajaros cercanos y no alejarse de los p´ajaros cercanos. “Human Factory” constituye uno de los primeros trabajos en la creaci´on de seres humanos sint´eticos [TMT87], dise˜ nado para reproducir actores sint´eticos de estrellas famosas como Marilyn Monroe o Humphrey Bogart. En dicho trabajo se ofrecen soluciones al modelado del esqueleto y el cuerpo de los actores y se centran en comportamientos simples, como agarrar objetos con la mano o expresar emociones.

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A partir de estas primeras aproximaciones al modelado de comportamiento de finales de los ’80, estas t´ecnicas han evolucionado mucho en los u ´ltimos a˜ nos. Los cambios principales son los siguientes: Se pasa de animaciones basadas en guiones a animaciones en las que no existe un gui´on predefinido Los sistemas actuales son modulares y distribuidos Se emplean t´ecnicas basadas en vida artificial (VA) en lugar de t´ecnicas de inteligencia artificial (IA) Se implementan niveles de especializaci´on: motor, comportamiento y de transici´on entre ambos Los actores sint´eticos tienen a ser aut´onomos, adaptables y con capacidad de aprendizaje Se desarrollan comportamientos complejos a partir de la uni´on de comportamientos m´as simples En la actualidad, los sistemas de animaci´on basados en el comportamiento se pueden clasificar en Sistemas de percepci´ on y acci´ on en los cuales los organismos responden a est´ımulos de su propio entorno local, entre los que destacan los trabajos de [LW89], [HP88] o [WS90] y Sistemas basados en agentes y en vida artificial [BBZ91] [EMTTT98] entre los que destacan los sistemas basados en agentes inteligentes [BY95] [CKH96], los sistemas basados en redes neuronales [Bee90] y los mecanismos de selecci´on de acciones [Mae95] [TT94] [BPW93]. Atendiendo a esta clasificaci´on, en [PCS00] se puede encontrar una descripci´on m´as exhaustiva de estas t´ecnicas. 4.1.2.

Antecedentes de la locomoci´ on en Biomec´ anica y Rob´ otica

Las razones del estudio de la locomoci´on humana han ido cambiando a lo largo de los siglos. Desde las pinturas de la Era Paleol´ıtica, que representaban a hombres y animales en movimiento, motivadas b´asicamente por razones de supervivencia hasta los estudios actuales, donde la investigaci´on se centra en la recuperaci´on de accidentes, disfunciones motoras, creaci´on y adaptaci´on de pr´otesis, estudio del rendimiento de los atletas... La base cient´ıfica que permiti´o la actual comprensi´on de la locomoci´on humana surge a partir del siglo XVII con las aportaciones de numerosos investigadores entre los que podemos citar a Giovani Borelli [Bor79], Luigi Galvani [Gal92], los hermanos Weber [WW36] [Web51], Etienne-Jules Marey [Mar73] [Mar94] (ver figura 4.3), Eadweard Muybridge [Muy87] (ver figura 4.4), ... . En los trabajos de [CGA] [AA00] [Sut01] se ofrece una buena perspectiva de la evoluci´on hist´orica en este campo. Actualmente, la locomoci´on es uno de los problemas m´as estudiados de las t´ecnicas de animaci´on del cuerpo humano. Existen dos causas que han producido este hecho: la previa existencia de estudios relacionados provenientes de otras disciplinas cient´ıficas y la evidente aplicaci´on futura de los posibles resultados.

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Figura 4.3. Experimentos de E. Marey

Figura 4.4. Secuencias fotogr´ aficas de E. Muybridge

La Biomec´ anica es el estudio de los elementos estructurales de los seres vivos desde un punto de vista matem´atico y f´ısico. Los estudios biomec´anicos se remontan a las postrimer´ıas del siglo XIX por lo que tambi´en fueron fuente de inspiraci´on para la Rob´ otica: la otra disciplina cient´ıfica que se utiliza como referencia en la simulaci´on del cuerpo humano. Muchas de las pr´otesis que se emplean en la recuperaci´on cl´ınica de personas con articulaciones y extremidades da˜ nadas provienen directamente de laboratorios de Rob´otica. Antecedentes de la locomoci´ on en la biomec´ anica Las investigaciones en Biomec´ anica est´an dirigidas principalmente al an´alisis de la locomoci´on humana. Son de particular inter´es los estudios en la eficiencia del movimiento natural en humanos y animales [McM84] [Ale84] y la identificaci´on de varios “determinantes del paso” y su papel en la locomoci´on [SSH82] [PB89]. Para ello se han propuesto gran cantidad de modelos din´amicos [McM84] [Tow85] [PB89]. Estas aproximaciones

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generalmente hacen suposiciones que limitan su uso en la animaci´on, como por ejemplo el uso de modelos b´ıpedos simplificados y/o con movimiento s´olo en un plano [VJ69] [McM84] [Tow85] [PB89]. Sin embargo, la Biomec´anica es un recurso u ´til para generar simulaciones realistas ya que ofrece modelos para movimientos espec´ıficos, generalmente basados en datos experimentales obtenidos de laboratorios mediante herramientas especializadas o simplemente mediante percepci´on visual [CPL96] [ANHA96] [Vol97]. Estos modelos tienen por objetivo aplicaciones como diagn´ostico m´edico, tratamiento de problemas de control motor, an´alisis de disfunciones motoras, etc. Las investigaciones realizadas en los laboratorios aportan datos cinem´aticos y din´amicos de la locomoci´on que permiten comparar con otros tabulados y detectar anomal´ıas [CEL] [KCR] [ITB] [RUS] [VDA96]. Aunque en la actualidad se est´an mejorando constantemente los sistemas de capturas de datos, ´estos no est´an libres de errores inherentes a los protocolos o a las tecnolog´ıas aplicadas y hay investigaciones dedicadas al estudio de los errores y desviaciones en las medidas tomadas por los sistemas de rotoscop´ıa [BADQ96]. Aunque es evidente la importancia de los sistemas rotosc´opicos para captar datos cinem´aticos, estas medidas son externas y no informan sobre el comportamiento intr´ınseco de m´ usculos y articulaciones [JH96]. Para salvar este problema, en la literatura se pueden encontrar numerosos de experimentos con cad´averes reales, que al poder ser manipulados y diseccionados, han permitido estudiar de forma individual conjuntos de articulaciones [BH96]. Existen otras t´ecnicas que permiten extraer par´ametros relevantes del funcionamiento de m´ usculos individuales, como la electromiograf´ıa (EMG), que mide la actividad el´ectrica del m´ usculo y est´a directamente relacionada con el gasto energ´etico [Win87] [CKA97]. La medici´on de las reacciones del suelo al soportar la planta del pie se realiza colocando sensores de presi´on en la superficie de contacto y sirve para determinar la fuerza que soporta el pie. Esta t´ecnica se emplea mucho ya que es sencilla y no conlleva un equipamiento costoso. Son numerosos los estudios que se han realizado a partir de estas mediciones pero hay que rese˜ nar los desarrollados por [FG96] [FF97] para comprender la rigidez del sistema m´ usculo-esqueletal. Otros estudios que utilizan la sensorizaci´on de la reacci´on del suelo para estudiar las deformaciones del pie [Ful96], la distribuci´on de las presiones al apoyar el pie [LJC96], o las fuerzas a las que se someten los ligamentos de la rodilla al iniciar [HGdVK95] o al finalizar un salto [ZBD96]. La Biomec´anica se ocupa tambi´en del control del movimiento. Es necesario averiguar que patrones de funcionamiento involuntario permiten que el ser humano se mantenga de pie, camine a la velocidad adecuada, no se precipite al suelo cuando sube escaleras o comienza a correr. Las t´ecnicas empleadas tratan de modelar el comportamiento y establecer protocolos experimentales para su comprobaci´on. As´ı, [CPL95] utiliza un p´endulo invertido multiarticulado como modelo para probar distintos tipos de control (PI, PD, PID) atendiendo a la rigidez activa (m´ usculos)

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y ala pasiva (mec´anica de tendones y ligamentos). En [ZW96a] y [ZW96b] se mide la capacidad de adaptaci´on del sistema reflexivo del ser humano cuando se perturba repetidas veces aplicando momentos de fuerza en el tobillo, bas´andose en un modelo din´amico muy simple. [CC95] deriva una ecuaci´on en diferencias parciales partiendo de desarrollos estoc´asticos que provienen de los observados experimentalmente midiendo el Centro de Presi´on (COP) cuando se est´a de pie. [Van97] desarrolla un trabajo de simulaci´on biomec´anica muy interesante, bas´andose en multiplicadores de Lagrange para optimizar el control. Utiliza modelos muy complejos de las articulaciones y diferencia las contribuciones de elementos pasivos y activos en el ciclo de locomoci´on humana. Su trabajo se aplica a la rehabilitaci´on de pacientes parapl´ejicos y al desarrollo de pr´otesis. Antecedentes de la locomoci´ on en la rob´ otica A diferencia de las investigaciones biomec´anicas que tienen por objetivo el an´alisis de la locomoci´on, las investigaciones en Rob´ otica se centran en la s´ıntesis del movimiento, tanto para generar simulaciones como para implementar robots reales. Los robots industriales son los m´as conocidos y estudiados pero existen tambi´en robots androides, con aplicabilidad en medicina e infograf´ıa. De hecho, la industria del cine ha estado desarrollando modelos futuristas de robots que con el paso del tiempo se van haciendo realidad [Bro91] [HON] [HHHT98] [Wei01] [Lem02]. Normalmente los robots se clasifican dependiendo de la t´ecnica que utilicen para mantener el equilibrio. Los robots que mantienen el equilibrio de manera “est´atica” (o con balanceo est´atico) suelen tener 4 patas o m´as, con al menos 3 en el suelo para ofrecer un buen soporte. Adem´as es necesario que el robot realice movimientos lentos para no perturbar el balanceo. Los robots b´ıpedos o un´ıpedos, en cambio, s´olo pueden mantener la estabilidad de forma “din´amica”, no sufren limitaciones en cuanto a la velocidad, pero son m´as dif´ıciles de controlar. Dentro de los sistemas din´amicos, el control del equilibrio puede realizarse de forma “activa” por medio de actuadores y servomecanismos o de forma “pasiva” desarrollando sistemas autorregulados que caminen sin necesidad de introducir energ´ıa (por ejemplo, sistemas de locomoci´on en pendientes, movidos por la gravedad). Inspirado en los modelos de [MM80], [McG90a] demuestra que algunos sistemas de locomoci´on b´ıpeda sobre terrenos llanos pueden ser similares a la locomoci´on humana y permanecer estables sin ning´ un tipo de control. Estos sistemas minimizan el consumo energ´etico, mientras que los activos inyectan energ´ıa al sistema, pero se pueden controlar mejor. Esta l´ınea de investigaciones sobre sistemas din´ amicos pasivos se continua en numerosos trabajos [McG90b] [FK96] [GRCC96] [GCRC98] [GCR00]. [CGC+ 97] estudia las posibilidades reales de migrar modelos de robots b´ıpedos 2D a 3D mientras que en [CWR01] se construye el primer robot b´ıpedo tridimensional con flexi´on en las rodillas.

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Los sistemas basados en din´ amica activa se estudian en los a˜ nos ’70 utilizando simulaciones por ordenador [VFJ70] [GHM74]. Unos a˜ nos m´as tarde comienzan a implementarse robots b´ıpedos que mantienen el equilibrio de manera din´amica y activa. [MS84] construye la primera m´aquina que camina cuyo balanceo se realiza realmente de forma activa, por medio de tres actuadores (uno en cada pierna para abducci´on y aducci´on de la cadera y otro para separar las piernas hacia adelante y hacia atr´as). [RBC84] presenta un m´etodo que se descompone en tres partes para controlar un robot saltador de una sola pierna. Este trabajo se extiende posteriormente a robots b´ıpedos y cuadr´ upedos que corren (ver figura 4.5) [Rai86b] bas´andose en el concepto de pierna virtual [SU84]. Tambi´en [GFLZ94] basa sus robots b´ıpedos en piernas virtuales que se alargan y acortan de forma complementaria. Algunos autores centran su trabajo en producir movimientos suaves entre los pasos [TIYK85] [FS90] mientras que otros se centran el el desarrollo de algoritmos para pasos asim´etricos [DH94] [DH96].

Figura 4.5. Robot b´ıpedo [Rai86b]

Los sistemas h´ıbridos probablemente se acercan mejor a la realidad de los seres vivos, como [AB97] que mezcla en su simulaci´on de un robot b´ıpedo una fase de din´amica pasiva y otra activa. El resultado final es un robot controlable, con un consumo total de energ´ıa menor que en los sistemas anteriores. 4.1.3.

Reflexiones

Como se ha mencionado previamente, existen varios modelos para especificar el control del movimiento en el campo de la animaci´on por ordenador, en Inform´atica Gr´afica. En el caso particular de la locomoci´ on humana abordada en este trabajo, no se tendr´an en cuenta los modelos de comportamiento ya que ´estos no se refieren s´olo al control del movimiento sino que tambi´en tienen abarcan otros aspectos. De los dos modelos restantes de especificaci´on de movimiento se opta por desarrollar un sistema de control h´ıbrido en base a los m´etodos cinem´aticos de los modelos guiados y en sistemas a medida de los modelos basados en la din´ amica.

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La utilizaci´on de la cinem´ atica es una labor muy tediosa para mover la estructura jer´arquica de un modelo ya que en cada instante de tiempo es necesario tener definidos una serie de par´ametros principales que ser´an los que gobiernen al resto. Una posibilidad consiste en utilizar t´ecnicas de captura, pero este tipo de equipamientos suelen ser costosos. Otra opci´on ser´ıa determinar valores de “cuadros claves” a partir de datos tabulados previamente y generar los cuadros intermedios mediante t´ecnicas de interpolaci´on. Ambos m´etodos trabajan con valores reales, de modo que permiten obtener un movimiento bastante realista... pero presentan un inconveniente: su generalizaci´on. Por un lado, los valores obtenidos por captura para una velocidad de marcha no son directamente extrapolables a una velocidad diferente, es pr´acticamente imposible obtener un control exacto del individuo para que regule con precisi´on velocidades o las longitudes y se debe producir una nueva grabaci´on si elige un individuo con antropometr´ıa diferente. En este sentido, la utilizaci´on de tablas es m´as flexible y permite generar un patr´on b´asico de locomoci´on interpolando de forma ponderada los par´ametros de control de curvas tabuladas y promediadas [BTT90]. Sin embargo, estos sistemas no producen movimientos naturales cuando se interpolan valores no tabulados previamente y no disponen de una caracterizaci´on individual del paso. Los movimientos del sistema tambi´en se pueden regular por medio de la din´ amica, que controla las velocidades y aceleraciones de cada uno de los segmentos que forman el modelo articulado. Para ello es necesario disponer de todos los valores de momentos de inercia y restricciones presentes en el sistema, introducir los valores de las acciones de las fuerzas motoras que normalmente son funci´on del tiempo y posteriormente deducir y resolver las ecuaciones del movimiento. El sistema de ecuaciones resultantes suele ser muy dif´ıcil de resolver y es necesario simplificar mucho el modelo para que la din´amica sea u ´til. En este caso, s´olo la est´etica de los movimientos contemplados en las ecuaciones ser´ıa la adecuada y la apariencia global ser´ıa muy pobre. Adem´as, este m´etodo resulta muy poco intuitivo, ya que el animador debe introducir valores de fuerzas y momentos de fuerzas para definir el movimiento. Sin embargo, aunque provengan de un modelo simple, los patrones b´asicos de movimiento calculados a partir de una simulaci´on din´amica se ajustan mucho mejor al movimiento real. El sistema propuesto parte del trabajo realizado por Bruderlin y Calvert [BC89] en el que se utiliza un sistema din´amico-cinem´atico para lograr una implementaci´on m´as eficiente. El modelo se basa en la din´amica para gobernar los par´ametros b´asicos de la locomoci´on, utilizando un modelo f´ısico simplificado de la estructura jer´arquica, y posteriormente utiliza la cinem´atica para generar el movimiento de las articulaciones y completar los grados de libertad simplificados en la din´amica, obteniendo as´ı una buena apariencia visual del movimiento del cuerpo en su conjunto. Asimismo, para una correcta implementaci´on de un sistema de locomoci´on es necesario utilizar conocimientos biomec´ anicos del an´alisis de la marcha humana. Los trabajos analizados permiten comprender la importancia de la biomec´anica para

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obtener naturalidad en la simulaci´on de la marcha humana. Los resultados obtenidos por medio de estudios experimentales permiten hallar valores num´ericos de las fuerzas y de momentos que servir´an para optimizar los resultados de la simulaci´on. Los antecedentes estudiados en Rob´ otica, por otra parte, servir´an para la generaci´on del movimiento humano. Sus t´ecnicas de control de movimientos complejos y trayectorias en equipos industriales han permitido la evoluci´on de esquemas de trabajo simples y r´apidos. Los trabajos de Raibert [Rai86b] constituyen la base que se tendr´a en cuenta para la simplificaci´on de las ecuaciones din´amicas del movimiento.

4.2.

Conceptos de locomoci´ on humana

La locomoci´on humana normal se ha descrito como una serie de movimientos r´ıtmicos y alternantes de las extremidades y el tronco, que determinan un desplazamiento hacia delante del centro de gravedad [PMP97]. B´asicamente una secuencia de locomoci´on puede dividirse en tres partes: un peque˜ no per´ıodo de aceleraci´on para obtener velocidad, seguido por un per´ıodo r´ıtmico dominante en el cual la velocidad se mantiene casi constante y un corto per´ıodo de desaceleraci´on. Sin embargo, casi toda la investigaci´on realizada en locomoci´on se centra en el per´ıodo r´ıtmico de la marcha. Esta cadencia r´ıtmica permite definir como ciclo de locomoci´ on a toda la actividad que ocurre entre dos contactos consecutivos del tal´on de una misma pierna con el suelo. De este modo, un ciclo est´a compuesto por dos pasos, si el primero se realiza por la pierna izquierda el siguiente por la derecha. La alternancia de estos pasos, que son sim´etricos y tienen cierto desfase, da como resultado la forma de desplazamiento del ser humano. Por lo tanto el estudio del ciclo de locomoci´on humana empieza por estudiar el paso de una sola pierna, que b´asicamente est´a divido en dos fases: fase de apoyo y fase de giro, como se observa en la figura 4.6.

Figura 4.6. Fases del ciclo de locomoci´ on considerando 1 sola pierna

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La fase de apoyo es el per´ıodo de tiempo durante el cual el pie est´a en contacto con el suelo. La fase de giro es el per´ıodo de tiempo en el que el pie no est´a en contacto con el suelo y est´a girando hacia adelante. Sin embargo, tambi´en existe una fase de doble apoyo que corresponde al per´ıodo de tiempo en que ambas piernas est´an en contacto con el suelo, aunque normalmente esta fase se contempla incluida en la fase de apoyo (ver figura 4.7).

Figura 4.7. Fases del ciclo de locomoci´ on

Cuando se camina, la fase de apoyo comprende aproximadamente un 60 % del tiempo total de un paso y la fase de giro el 40 % restante. Esta proporci´on var´ıa seg´ un se incrementa la velocidad caminando. La proporci´on de la fase de apoyo disminuye en la misma forma que la velocidad aumenta. Es importante destacar que al caminar existe una velocidad l´ımite en la que es m´as c´omodo correr que andar, debido a la b´ usqueda de la eficiencia energ´etica del sistema locomotor. Esto implica que, para una velocidad de marcha dada, un hombre incrementa la longitud del paso manteniendo en lo posible una frecuencia de pasos constante, hasta que se alcanza la longitud natural m´axima de paso. A partir de ese instante, para aumentar la velocidad, la frecuencia de pasos debe ser incrementada [IRT81]. En el momento que un aumento de velocidad implica abandonar el paso natural, el subconsciente obliga a comenzar a correr, lo que energ´eticamente es m´as o´ptimo. El ciclo locomotor humano est´a determinado por los siguientes procesos: Secuenciaci´on de fases, Simetr´ıa en el paso y Minimizaci´ on energ´etica, que se detallan a continuaci´on. 4.2.1.

Secuenciaci´ on de fases

A continuaci´on se describen con mayor detalle cada una de estas fases principales: apoyo, giro y doble apoyo, aunque puede encontrarse una descripci´on mucho m´as exhaustiva en [NTH85]. En la fase de apoyo se producen las fuerzas que permiten al cuerpo humano avanzar mientras se mantiene el contacto con el suelo. Comienza cuando el tal´on de la pierna de apoyo toca el suelo y finaliza cuando los dedos del pie dejan de contactar

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con el mismo. Esta fase se puede dividir a su vez en otras tres subfases: contacto, apoyo medio y propulsi´on (ver figura 4.8).

Figura 4.8. Fase de apoyo

Contacto: Esta fase comienza con el contacto del tal´on con el suelo y termina cuando el pie se apoya en toda su longitud. Durante este per´ıodo de tiempo el pie funciona como un adaptador m´ovil a la superficie del suelo y gira, “abri´endose”, alrededor de la articulaci´on del tobillo mientras absorbe el golpe. Esta subfase dura el 15 % del ciclo de locomoci´on. Apoyo medio: Esta fase comienza con todo el pie en contacto con el suelo. El centro de gravedad del cuerpo pasa por encima del pie cuando la tibia y el resto del cuerpo se mueven hacia adelante. La articulaci´on del tobillo “se cierra” y el pie se transforma de un adaptador a una palanca r´ıgida que se encarga de propulsar el cuerpo hacia adelante durante la u ´ltima parte de la fase de apoyo. En el apoyo medio, la pierna sostiene todo el peso corporal durante un 15 % del ciclo, de tal forma que el centro de gravedad se sit´ ua directamente por encima de la articulaci´on del tobillo. Propulsi´on: Esta u ´ltima fase comienza en el momento en que el tal´on comienza a abandonar el contacto con el suelo y termina cuando la punta del dedo lo abandona definitivamente, dando lugar a la fase de giro. El cuerpo se propulsa hacia adelante y su peso se traspasa al pie de la pierna contraria en el momento que apoya su tal´on. Este per´ıodo es posible dividirlo a su vez en: despegue del tal´on, que ocupa un 25 % del ciclo y despegue del empeine, que produce una fuerte aceleraci´on mediante la potente contracci´on de los m´ usculos de la pantorrilla y dura un 5 % del ciclo. En la fase de giro (o fase de balanceo) se puede encontrar tres per´ıodos que discurren durante el 40 % restante del ciclo de locomoci´on humana. La fase de giro comienza en el momento en que los dedos del pie dejan de tocar el suelo y finaliza cuando el tal´on vuelve a contactar con el mismo. En la figura 4.9 se pueden diferenciar los tres per´ıodos en los que se divide la fase de giro y que son comunes a la mayor´ıa de la marcha de diferentes individuos: aceleraci´on, giro medio, deceleraci´on.

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Figura 4.9. Fase de giro

Aceleraci´on: Es el principio de la fase de giro y coincide con una aceleraci´on del movimiento de la pierna para poder dejar el suelo y colocarse por delante del cuerpo en preparaci´on del pr´oximo apoyo del tal´on. Ocupa un 10 % de la fase de giro. Giro medio: Ocurre cuando la pierna pasa frente al cuerpo y debe retraerse lo suficiente para evitar el choque con el suelo. Es el per´ıodo de mayor duraci´on, un 80 % de la fase de giro. Deceleraci´on: Es el u ´ltimo per´ıodo de movimiento de la pierna de giro y se caracteriza por su p´erdida progresiva de velocidad, de forma que se recupera el control de la posici´on del pie justo antes de producirse el apoyo de tal´on. Su duraci´on es de un 10 % de la fase de giro. La fase de doble apoyo es el per´ıodo que se produce de forma simult´anea a las fases anteriormente descritas, cuando ambas piernas est´an al mismo tiempo en el suelo (ver figura 4.7). Esto ocurre entre el despegue del empeine de una pierna y los per´ıodos de apoyo de tal´on y apoyo medio de la otra. Es un par´ametro importante en la caracterizaci´on de la locomoci´on humana porque su tiempo de duraci´on est´a directamente relacionado con la frecuencia de pasos: si la frecuencia de pasos disminuye el tiempo de doble apoyo aumenta, y al rev´es, si se camina m´as r´apido, aumentando la cadencia de pasos, el tiempo de doble apoyo disminuye. A velocidad de marcha normal su duraci´on es de un 10 % del ciclo de locomoci´on mientras que en el caso extremo, corriendo, esta fase desaparece. 4.2.2.

Simetr´ıa en el paso

Es posible deducir, a simple vista, que existe cierta simetr´ıa en el ciclo de locomoci´on. Ya se ha descrito que la locomoci´on humana es un proceso c´ıclico en el que los movimientos de una pierna se repiten, con cierto desfase, con la otra. Aunque esto no es totalmente cierto ya que el ser humano es capaz de modificar la forma de caminar con la granularidad de un paso, es decir, que el siguiente paso se puede dar un poco m´as corto, un poco m´as r´apido, o simplemente decelerar su movimiento hasta detenerse. De cualquier forma, la simetr´ıa dentro del ciclo de locomoci´on se cumple en el momento que se alcanza un ritmo constante de marcha, lo que se produce en la mayor´ıa de las ocasiones.

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En el ciclo de locomoci´on existe, adem´as, otro tipo de simetr´ıa que no es tan evidente y que se produce en el mismo instante en que se apoya el tal´on y comienza la fase de doble apoyo. En ese momento, la disposici´on espacial de ambas piernas permite deducir que existe una relaci´on constante entre el a´ngulo de la cadera de la pierna anterior con el de la pierna posterior. Esta relaci´on ser´ıa de igualdad respecto a una imaginaria l´ınea vertical situada en el centro de gravedad (simetr´ıa) si ambos pies tuvieran un apoyo plantar completo. En ese instante se forma un tri´angulo is´osceles entre ambas piernas completamente extendidas y el suelo, siendo la longitud del paso la base de ese tri´angulo [BC89], tal como se puede observar en la figura 4.10.

Figura 4.10. Simetr´ıa del paso (adaptado de [BC89]), donde PI y PD son la Pierna Izquierda y Derecha, respectivamente.

4.2.3.

Minimizaci´ on del consumo energ´ etico

El ser humano utiliza diferentes estrategias para desplazarse que buscan minimizar su gasto energ´etico. Para una velocidad dada el ser humano incrementa la longitud del paso manteniendo, en lo posible, una frecuencia de pasos constante. Cuando alcanza la longitud natural m´axima, entonces incrementa la frecuencia. Toda variaci´on de estos par´ametros sobre el paso natural implica un mayor gasto energ´etico acompa˜ nado con una ineficiencia que llega a ser m´axima cuando se fuerza el proceso natural. Las leyes de la mec´anica dicen que el m´ınimo gasto de energ´ıa se consigue cuando un cuerpo se mueve en l´ınea recta, sin que el centro de gravedad se desv´ıe. Esta l´ınea recta ser´ıa posible en la marcha normal si las extremidades inferiores terminaran en ruedas. Como esto no ocurre, el centro de gravedad del cuerpo se desv´ıa de una l´ınea recta, pero para conservar la energ´ıa, la desviaci´on o desplazamiento debe quedarse a un nivel o´ptimo. Los factores principales que afectan a la eficiencia mec´anica y al gasto de energ´ıa durante la marcha reciben el nombre de determinantes del paso [Ayy97] y son los siguientes: 1. Rotaci´ on de la pelvis: Durante la marcha, la pelvis rota hacia adelante en el plano horizontal, aproximadamente 4 grados a cada lado de la l´ınea central (ver

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figura 4.11(a)). Esta caracter´ıstica permite un paso ligeramente m´as largo, sin bajar el centro de gravedad y reduciendo, por tanto, el desplazamiento vertical total. Este desplazamiento es m´aximo a mitad del paso y m´ınimo en el apoyo del tal´on. 2. Basculaci´ on de la pelvis: En el plano frontal, la pelvis desciende alternativamente, primero alrededor de una articulaci´on de la cadera y luego de la otra. El desplazamiento desde la horizontal es muy ligero y generalmente no pasa de 5 grados (ver figura 4.11(b)). Esta caracter´ıstica sirve para reducir la elevaci´on del centro de gravedad. 3. Desplazamiento lateral de la pelvis: Para mantener el equilibrio del cuerpo es necesario desviar la pelvis y el tronco hacia la extremidad en la que se apoya el peso del cuerpo (ver figura 4.11(c)). El centro de gravedad tambi´en oscila de un lado a otro. El desplazamiento lateral es m´aximo (aproximadamente 5 cm) cuando el peso del cuerpo se carga completamente sobre la pierna de apoyo y m´ınimo en el per´ıodo de doble apoyo.

(a) Rotaci´ on

(b) Basculaci´ on

(c) Desplaz. lateral

Figura 4.11. Movimientos de la pelvis

4. Flexi´ on de la rodilla en la fase de apoyo: Tambi´en la rodilla contribuye a disminuir el desplazamiento vertical del centro de gravedad al estar en una flexi´on de unos 15 grados en el momento en que el cuerpo pasa por encima de la pierna de apoyo. 5-6. Movimiento de la rodilla, el pie y el tal´ on: Los movimientos producidos de manera conjunta por la rodilla, el pie y el tal´on, acortan o alargan la extremidad para prevenir un cambio abrupto en la posici´on vertical del centro de gravedad. De este modo, se logra la suavidad del movimiento del centro de gravedad (ver figura 4.12). Estos seis mecanismos fundamentales juegan un papel muy importante durante la marcha ya que contribuyen a dar la forma definitiva de la curva sinusoidal producida por el movimiento del centro de masas del cuerpo, en los planos horizontal y vertical, y permiten transiciones suaves de un paso a otro (ver figura 4.13).

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Figura 4.12. Los movimientos de la rodilla, el pie y el tal´ on suavizan el recorrido del centro de masas

Por otra parte, los valores de los determinantes del paso var´ıan de una persona a otra, y constituyen informaci´on importante acerca de las caracter´ısticas individuales de cada forma de caminar de cada persona.

Figura 4.13. Movimiento sinusoidal del centro de masas del cuerpo humano durante la locomoci´ on

4.3.

Descripci´ on del sistema de movimiento global del esqueleto

El sistema de locomoci´on propuesto se basa en un mecanismo de control h´ıbrido din´ amico-cinem´ atico: la din´ amica se utiliza para gobernar los par´ametros b´asicos de la locomoci´on, a partir de un modelo f´ısico simplificado de la estructura jer´arquica, y posteriormente la cinem´ atica se utiliza para generar el movimiento de las articulaciones y completar los grados de libertad simplificados en la din´amica, obteniendo as´ı una apariencia visual muy realista del movimiento del cuerpo en su conjunto. Por otra parte, los datos generados para el movimiento permiten obtener valores de momentos de fuerza netos, necesarios para la fase m´ usculo-esqueletal. La utilizaci´on de este mecanismo de control de movimiento permite generar simulaciones de locomoci´on de individuos de alturas y pesos diferentes que no siguen los mismos patrones b´asicos de movimiento, en los que su diferenciaci´on responde a

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

la f´ısica del problema. Asimismo es posible variar la rigidez del modelo din´amico de partida, por medio de numerosas constantes f´ısicas, que permiten caracterizar cada patr´on b´asico de forma individual e introducir un primer nivel de distinci´on entre individuos con los mismos valores corporales. Por otra parte, existe otro nivel de diferenciaci´on en la fase cinem´atica, ya que todos los segmentos y a´ngulos que no son resultado directo de la simulaci´on tienen l´ımites en su movimiento y ´estos pueden ser variados de forma interactiva, proporcionando una apariencia final mucho m´as realista. Si este nivel de diferenciaci´on se hubiese introducido en el modelo din´amico, el sistema resultar´ıa irresoluble por su complejidad anal´ıtica o num´erica. El esquema global de control utilizado en el sistema se presenta en la figura 4.14, en la que se destacan las diferentes fases, din´amicas y cinem´aticas, que son necesarias para simular cada paso.

Figura 4.14. Descripci´ on general del sistema de movimiento del esqueleto

El sistema calcula con la granularidad de un paso, es decir, se calcula en todo momento del ciclo de locomoci´on. Este hecho lo diferencia de otros sistemas en los que, para conseguir un ahorro en los c´alculos, se asume la simetr´ıa en los dos pasos del ciclo de locomoci´on [BTT90], facilitando la visualizaci´on en tiempo real, pero perdiendo la variaci´on del movimiento de un paso a otro, especialmente necesaria en los per´ıodos de aceleraci´on y deceleraci´on. La inicializaci´on del sistema h´ıbrido din´amico-cinem´atico requiere la introducci´on de par´ametros de alto nivel como los datos antropom´etricos del individuo: altura y

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peso, y los par´ametros de locomoci´on: velocidad, frecuencia de paso o longitud del paso. A partir de dichos par´ametros y teniendo en cuenta conocimiento emp´ırico de la locomoci´on humana (secuenciaci´on de fases, simetr´ıa del paso y minimizaci´on del consumo energ´etico) es posible establecer las “condiciones de contorno” del sistema. El control din´amico presenta la dificultad de tener que conocer a priori las fuerzas que gobiernan el sistema, adem´as de tener que resolver num´ericamente las ecuaciones que se obtienen. Para reducir la complejidad del sistema se ha opta por utilizar un modelo extremadamente simplificado pero eficaz, dividiendo el sistema en subsistemas independientes, uno para cada pierna. En primer lugar, se calcula la din´amica de la pierna de apoyo, que es la fase principal del sistema y se divide a su vez en tres subfases enlazadas, de forma que se repite globalmente el proceso de b´ usqueda de soluciones de las ecuaciones que cumplan con las restricciones establecidas por las condiciones de contorno. Los c´alculos de la din´amica de la pierna de apoyo permiten obtener la posici´on y velocidad de la cadera, permitiendo deducir la cinem´atica de todo el tronco superior, incluyendo v´ertebras, brazos y cabeza. La cinem´atica de la pierna de apoyo se divide en 4 subfases, y permite complementar los c´alculos de dicha pierna obtenidos por medio de la din´amica. Existe un per´ıodo de tiempo en el movimiento de la pierna de apoyo que corresponde a la fase de doble apoyo. Este per´ıodo no es cubierto por la din´amica del sistema porque se considera que en el momento en que se produce el apoyo del tal´on, el peso del cuerpo situado en el centro de gravedad pasa instant´aneamente de una pierna de apoyo a la otra. Al igual que el resto de los segmentos del cuerpo, el movimiento de la fase de doble apoyo se complementa con la cinem´atica (cinem´atica de la propulsi´on pasiva). Posteriormente se comienza con la fase din´amica de la pierna de giro, que tambi´en consta de tres subfases y se complementa a su vez por su propia fase cinem´atica, aunque en este caso los modelos de la din´amica y la cinem´atica coinciden de manera que ambas se han resuelto a la par. La continuidad entre pasos consecutivos se logra aplicando teoremas de conservaci´on de energ´ıa. La u ´ltima “fase” del sistema permite determinar los momentos y fuerzas resultantes entre segmentos del modelo cinem´atico. Las fuerzas y momentos de fuerza netos son fundamentales como entrada para la implementaci´on de la fase m´ usculo-esqueletal de MOBiL. El sistema de locomoci´on implementado est´a fuertemente inspirado en el sistema KLAW, desarrollado por Bruderlin y Calvert [BC89], que es de donde se extraen las ideas b´asicas que rigen el sistema a nivel general. Sin embargo, en cada apartado se har´a menci´on a la procedencia de las ideas y/o m´etodos utilizados. Por otra parte, es necesario resaltar algunas diferencias importantes con dicho trabajo:

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El sistema MOBiL es un sistema de animaci´on coordinada de la forma y del movimiento por lo que a˜ nade la complexi´on y el estado f´ısico como par´ametros de control de alto nivel. En su trabajo no se obtienen valores de momentos de fuerza netos en las articulaciones. Los “momentos” a los que se refiere dicho trabajo son, en realidad, momentos externos ad-hoc aplicados al modelo para favorecer la convergencia. Todos los m´etodos num´ericos de resoluci´on utilizados son diferentes. En nuestro sistema no se utilizan librer´ıas externas sino algoritmos adaptados expresamente, simples y r´apidos. Se han vuelto a deducir todas las ecuaciones de todos los modelos del sistema manteniendo un u ´nico sistema de referencia. En el sistema KLAW existen varias referencias espaciales que dificultan la validaci´on del sistema. El inicio y el fin de la marcha son diferentes. Los c´alculos de los momentos de inercia de KLAW presentaban una desviaci´on, que se ha corregido. De igual forma las “constantes” f´ısicas que se utilizan en el modelo (rigidez y amortiguamiento de los modelos de las piernas) se obtienen de la biomec´anica. Posteriormente se describe, en detalle, la inicializaci´on del sistema, por medio de los par´ametros de alto nivel, y el establecimiento de las condiciones de contorno, por medio de los conceptos de: Secuenciaci´on de fases, Simetr´ıa del paso y Minimizaci´on del consumo energ´etico. Debido a su importancia y extensi´on, tanto los modelos din´amico y cinem´atico, como el c´alculo de los momentos de fuerza netos, se tratan posteriormente en detalle en las secciones 4.4, 4.5 y 4.6, respectivamente. 4.3.1.

Par´ ametros control de alto nivel

Los primeros par´ametros necesarios para configurar el sistema son los datos antropom´etricos del individuo: altura, peso y complexi´on. Las diferencias en altura, en la masa corporal o en el estado f´ısico influyen notablemente en el tipo de locomoci´on de una persona y como esta diferenciaci´on se debe producir de forma apreciable en el sistema sin intervenci´on por parte del animador, se calculan todas las distancias, masas y longitudes de la estructura jer´arquica del modelo “humano” de forma relativa a estos dos par´ametros b´asicos, tal como se describe en el apartado 3.2.3. Posteriormente se especifican los valores que posibilitan la variaci´on de sus prestaciones caminando. Para controlar los patrones b´asicos del movimiento mediante la din´amica se especifican unos pocos par´ametros de alto nivel, cuya principal caracter´ıstica es que son muy intuitivos: velocidad, frecuencia o longitud del paso y est´an altamente relacionados entre s´ı. El ser humano presenta dos estrategias para acelerar su marcha en el mismo per´ıodo de tiempo: ejecuta pasos m´as largos o aumenta su cadencia con pasos

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Figura 4.15. Inclusi´ on de los par´ ametros de control de alto nivel en el sistema de movimiento global

m´as cortos. Por lo tanto, para caracterizar adecuadamente la locomoci´on es necesario especificar las relaciones existentes entre los par´ametros de alto nivel que caracterizan la simulaci´on. Para ello se incorporan algunas consideraciones experimentales provenientes de estudios biomec´anicos de la marcha [IRT81] que se resumen en las siguientes expresiones: v (4.1) lp = fp lp = 0,004 fp h donde lp es la longitud del paso, v es la velocidad del paso, fp es la frecuencia del paso y h es la altura del individuo. La expresi´on 4.1 s´olo es aplicable para el caso de individuos de sexo masculino y mientras que los valores de la frecuencia de paso se mantengan por debajo de un valor m´aximo lp max = 182 pasos/minuto. En el sistema tambi´en se utiliza como referencia la frecuencia natural de paso en la que el gasto energ´etico es m´ınimo, con un valor fp norm = 132 pasos/minuto, que corresponde a la longitud natural del paso con valor lp norm = 0,528 h metros. Con una velocidad v por encima de la natural, el ser humano aumenta la frecuencia de paso manteniendo constante la longitud del paso. Otro l´ımite extra´ıdo de la experimentaci´on es la longitud m´axima de un paso, con valor lp max = 0,6 h metros. En el caso de que se especifique s´olo uno o dos de estos tres par´ametros de alto nivel, un algoritmo de decisi´on completa los par´ametros restantes y verifica la factibilidad del movimiento, bas´andose en las leyes experimentales anteriores. 4.3.2.

Condiciones de contorno

Como ya se ha comentado, el establecimiento de las condiciones de contorno surge a partir de los par´ametros de alto nivel, y teniendo en cuenta conocimiento emp´ırico

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.16. Inclusi´ on de las condiciones de contorno en el sistema de movimiento global

sobre el ciclo de locomoci´on humana. En particular, se consideran la secuenciaci´on entre las distintas fases del ciclo, la simetr´ıa en el paso en el momento del doble apoyo y la b´ usqueda de minimizaci´on del consumo energ´etico. C´ alculo de la secuencia de fases. Para caracterizar adecuadamente la locomoci´on es necesario especificar la temporizaci´on de las fases en las que se divide la simulaci´on. Para ello se parte de la conocida diferenciaci´on en tres fases de la locomoci´on humana: fase de apoyo, fase de giro y fase de doble apoyo (ver secci´on 4.2.1). La figura 4.17 presenta un esquema de los per´ıodos en los que se ha dividido la simulaci´on de la locomoci´on.

Figura 4.17. Diagrama de la temporizaci´ on de las fases de la locomoci´ on

Cuando se camina, la fase de apoyo comprende aproximadamente un 60 % del tiempo total de un paso, y la fase de giro, el 40 % restante. Esta proporci´on var´ıa seg´ un se incrementa la velocidad caminando. La proporci´on de la fase de apoyo disminuye en la misma forma en que la velocidad aumenta.

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Un ciclo de locomoci´on tciclo est´a compuesto por dos pasos, uno con la pierna derecha y otro con la izquierda. Las relaciones entre el tiempo que dura un paso tpaso y los tiempos que duran las fases de apoyo tapoyo , de giro tgiro y de doble apoyo tdobleapoyo se describen a continuaci´on: tciclo = 2 tpaso tpaso = tapoyo − tdobleapoyo tpaso = tgiro + tdobleapoyo Experimentalmente, se comprueba que una persona que camina con una frecuencia de 120 pasos por minuto tiene aproximadamente una duraci´on de paso de 1 segundo (tpaso = 1 seg). En este paso natural la fase de apoyo ocupa 0.62 segundos (tapoyo = 0,62 seg), mientras que si corre a unos 20 kil´ometros por hora, el paso dura 0.6 segundos pero la fase de apoyo solamente ocupa 0.2 segundos. La frecuencia de paso, fp , es el par´ametro que mayor influencia presenta en la temporizaci´on de las fases de la locomoci´on. Existe una relaci´on lineal entre este par´ametro y la duraci´on del ciclo, que se expresa de la siguiente forma: tdobleapoyo = (−0,16 fp + 29,08)

tciclo 100

C´ alculo de la simetr´ıa en el paso. En el ciclo de locomoci´on humana existe una cierta simetr´ıa en el paso en el mismo instante en que se produce el apoyo del tal´on y comienza la fase de doble apoyo. En ese momento, la disposici´on espacial de las piernas corresponde a la de la figura 4.18 en la que el a´ngulo de la cadera de la pierna anterior con el de la pierna posterior es “igual” respecto a una l´ınea vertical imaginaria situada en el centro de gravedad. De esa forma es posible encontrar un tri´angulo is´osceles formado por las piernas y el suelo, cuya la base corresponde a la longitud del paso [BC89]. Este concepto permite deducir una serie de par´ametros geom´etricos necesarios para definir las condiciones de contorno de los problemas din´amicos de control del sistema. Tomando como referencia las variables que se muestran en la ilustraci´on y teniendo en cuenta sus relaciones trigonom´etricas es posible calcular el valor de los par´ametros de alto nivel que van a condicionar, y por lo tanto controlar, la din´amica y cinem´atica del sistema [BC89]. Estos valores son: θ3 des que corresponde al a´ngulo destino de la cadera en la fase de giro, ωdes que corresponde a la longitud destino de la pierna telesc´opica en la fase de apoyo y θ1 des que representa el a´ngulo destino de la cadera en la fase de apoyo. C´ alculo de la minimizaci´ on del consumo energ´ etico. Como se ha comentado anteriormente (ver secci´on 4.2.3), tanto la minimizaci´on del consumo energ´etico como la apariencia realista del movimiento se consiguen principalmente a trav´es de los esfuerzos combinados de los determinantes del paso. Por lo tanto, dichos determinantes han sido considerados en el sistema.

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.18. Par´ ametros incluidos en la simetr´ıa del paso

Los movimientos de la rodilla, el pie y el tal´on suavizan los cambios bruscos que se producen en el desplazamiento vertical del centro de gravedad cuando el tal´on impacta con el suelo. Asimismo, la flexi´on de la rodilla tambi´en ayuda a disminuir el desplazamiento vertical. La inclusi´on de estos movimientos en el sistema se logra incluyendo el concepto de pierna virtual, en el c´alculo din´amico de la fase de apoyo (secci´on 4.4.3). La pierna telesc´opica simula la flexi´on y la extensi´on de la rodilla e influye notablemente en la suavidad del movimiento. Los determinantes del paso relacionados con los movimientos de la cadera tambi´en suavizan el movimiento y producen el movimiento sinusoidal caracter´ıstico. Todos estos movimientos: la rotaci´on p´elvica, que se produce en el plano transversal, la basculaci´on p´elvica, que se produce en el plano coronal, y el desplazamiento lateral de la pelvis, se han incluido en la resoluci´on cinem´atica de la cadera (secci´on 4.5.2).

4.4.

MOBIL: Implementaci´ on del modelo din´ amico

En la figura 4.19 se presenta la secuenciaci´on de esta fase en la estructura general de MOBiL. La din´amica de control es la fase principal del sistema de locomoci´on planteado. Para simular la din´amica de los movimientos de la locomoci´on es necesario obtener un modelo reducido que represente al sistema general y que permita conservar los diferentes aspectos del efecto de la gravedad, masa o altura y que, ante los mismos impulsos externos, se comporte de la misma forma. Una vez encontrado el modelo, se deducen las ecuaciones de movimiento que lo gobiernan. El uso de modelos din´amicos simples para el control de la animaci´on permite introducir de forma directa la interacci´on con elementos del entorno que, normalmente, producen la aparici´on de fuerzas y restricciones externas. En este caso, la interacci´on con el suelo produce una transformaci´on del movimiento rotacional

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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Figura 4.19. Integraci´ on del m´ odulo de c´ alculo din´ amico de la fase esqueletal en MOBiL

de las piernas en movimiento traslacional del cuerpo, debido a la presencia de las fuerzas de rozamiento externas en el pie de apoyo. Es evidente que la aparici´on de nuevas variables en los sistemas hacen que ´estos se vuelvan m´as complejos y que normalmente tengan soluciones indeterminadas por la presencia de restricciones redundantes. En el sistema planteado se restringe el movimiento de alguna de las articulaciones del modelo utilizando conjuntos muelle-amortiguador [WB85]. De este modo se conserva la generalidad del modelo din´amico, pero presenta el inconveniente de introducir c´alculo extra, con el agravante de que los sistemas din´amicos se convierten en sistemas r´ıgidos y se dificulta su convergencia. Asimismo, para la resoluci´on del problema de la aparici´on de restricciones externas, se adopta la estrategia de su conversi´on en restricciones anal´ıticas, reduciendo la dimensi´on del problema mientras sea efectiva la restricci´on. Esta estrategia se usa en el sistema mientras la pierna de apoyo mantiene contacto con el suelo, de forma que s´olo son necesarias tres coordenadas generalizadas para caracterizar todo el movimiento del sistema (ya que las coordenadas x e y del pie se mantienen constantes). La utilizaci´on de esta aproximaci´on implica trabajo extra de caracterizaci´on y derivaci´on de las ecuaciones de movimiento en las fases cuyo n´ umero de coordenadas generalizadas var´ıa y requiere la inicializaci´on de cada fase con los valores apropiados para evitar discontinuidades. La restricci´on del suelo se activa en la fase de apoyo y se desactiva en la fase de giro.

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Para no aumentar el coste computacional, se intenta que el modelo din´amico sea muy sencillo, para lo cual se aplican las siguientes simplificaciones: El modelo din´amico se restringe a dos dimensiones: las englobadas en el plano sagital, que marca la direcci´on de marcha. La cadera es un u ´nico punto. Todos los momentos de fuerza y las velocidades y aceleraciones angulares son perpendiculares al plano del movimiento. Las resoluciones de las fases de apoyo y de giro se separan, lo que simplifica el control y el proceso num´erico de integraci´on. Las ecuaciones de movimiento de las piernas de apoyo y giro se desacoplan al suponer despreciable la acci´on de la masa de la pierna de giro frente al peso total del cuerpo. Las simulaciones de cada pierna, se subdividen a su vez en fases de per´ıodos de tiempo m´as peque˜ nos en donde act´ uan restricciones cinem´aticas que simplifican el n´ umero de ecuaciones de movimiento. Para asegurar la continuidad del movimiento en los procesos de cambio de fase se utilizan diferentes formas de conservaci´on de energ´ıa. La pierna de apoyo es un segmento telesc´opico amortiguado que simula las flexiones de rodilla y tobillo, en la que s´olo se controla la fuerza axial (ver figura 4.20). El centro de masas se supone que permanece fijo en la referencia relativa a la pierna.

Figura 4.20. Modelo din´ amico de las piernas de apoyo y de giro

Todos los segmentos del cuerpo se suponen sim´etricos y de masa constante, con lo que los ejes de rotaci´on son los ejes de inercia y los productos de inercia se anulan. La pierna de giro es un doble segmento articulado. El segmento inferior presenta un momento de inercia que incluye el peso y posici´on del pie.

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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Los elementos actuadores inyectan energ´ıa por separado a cada segmento. Los valores antropom´etricos (masas y longitudes de las partes del esqueleto) son relativos respecto de la masa y altura total del individuo. La parte superior del cuerpo se determina por los c´alculos de la parte inferior y solamente se tienen en cuenta los momentos de inercia que influyen decisivamente en el movimiento. El cuerpo superior se modela como un s´olido r´ıgido articulado en la cadera. La din´amica y la cinem´atica de la parte inferior del cuerpo se ejecutan consecutivamente en cada paso. Los artificios de mejora visual como la superposici´on de un esqueleto cinem´atico (calculado con simples procesos de cinem´atica directa y/o inversa) y la influencia de los par´ametros de diferenciaci´on del paso (Ap´endice C) gu´ıan al modelo y refinan las ecuaciones para conseguir un movimiento de apariencia natural. Aunque ser´ıa posible realizar una simplificaci´on m´as y reducir los c´alculos a la mitad restringi´endolos a un solo paso de los dos que supone un ciclo de locomoci´on, el sistema calcula en todo momento del ciclo ya que el ser humano acelera y decelera con la granularidad de un paso. La validez de las simplificaciones anteriores se comprueba en la bondad de los resultados finales del sistema. 4.4.1.

Ecuaciones de movimiento

El comportamiento din´amico del movimiento de las articulaciones inferiores del ser humano se puede modelar con un sistema multivariable de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, no lineales, fuertemente acopladas y, en ocasiones, con discontinuidades. El control de un sistema de estas caracter´ısticas es extremadamente complejo por lo que es necesario considerar modelos simplificados del comportamiento, de igual forma que se utilizan modelos simplificados del comportamiento din´amico en la mayor´ıa de los robots industriales. En Rob´otica, el c´alculo de las ecuaciones del movimiento de un robot se suele realizar mediante alguno de los dos m´etodos m´as comunes de trabajo: Newton-Euler (N-E) o LagrangeEuler (L-E). La utilizaci´on de uno u otro m´etodo depende del n´ umero de operaciones que son necesarias y de la facilidad que permiten para el dise˜ no posterior de las leyes de control. El m´etodo N-E es m´as eficaz computacionalmente, pero una excesiva simplificaci´on del modelo (eliminar las fuerzas de Coriolis, no consideraci´on de asimetr´ıas en el c´alculo de los momentos de inercia, etc.) produce errores graves, sobretodo, al trabajar con velocidades altas. El m´etodo N-E es un m´etodo de c´alculo num´erico. El m´etodo L-E es un m´etodo anal´ıtico que deduce las ecuaciones de movimiento a partir del c´alculo del Lagrangiano del sistema utilizando coordenadas generalizadas. Con este m´etodo es m´as sencillo identificar las fuerzas de interacci´on y acoplamiento que se presentan en los robots, por lo que es preferible para dise˜ nar las leyes de

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

control. Por esta raz´on, este m´etodo es el que ha sido adoptado en el sistema. Seg´ un este m´etodo, partiendo de la energ´ıa potencial y cin´etica del sistema es posible obtener una expresi´on de las fuerzas generalizadas que act´ uan, seg´ un cada una de las coordenadas generalizadas: − → ∂Tq ∂Uq d ∂Tq )− + Fq = ( dt ∂ q˙ ∂q ∂q

(4.2)

siendo Tq la energ´ıa cin´etica, Uq la energ´ıa potencial, q las coordenadas generalizadas − → y Fq las fuerzas generalizadas. Para la deducci´on de las ecuaciones se parte de las expresiones extra´ıdas del modelo din´amico de las piernas de apoyo y giro. El modelo din´amico de la pierna de apoyo se representa en la figura 4.21:

Figura 4.21. Modelo din´ amico de la pierna de apoyo

  x − → ρto = ; y

  r1 cos θ1 − → ; r1 = r1 sen θ1

  r2 cos θ2 − → r2 = ; r2 sen θ2

  ω cos θ1 − → ω = ω sen θ1

donde − ρ→ to es el vector que apunta al centro de masas del tobillo, ω es la longitud de la pierna telesc´opica, θ1 es el ´angulo entre el suelo y la pierna, θ2 es el ´angulo del cuerpo superior con respecto a la vertical, y los valores r1 y r2 representan la relaci´on entre el centro de masas y la longitud del segmento, de la pierna telesc´opica y del cuerpo superior, respectivamente (valores dados en la tabla 3.3 de la secci´on 3.2.3).

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

87

A partir de los datos anteriores se deduce que: → − → − ρ→ ρ1 = − to + r1 → − → − − → ρ2 = − ρ→ to + ω + r2   → − x˙ − r1 θ˙1 sen θ1 ρ˙1 = y˙ + r1 θ˙1 cos θ1   → − x˙ − ω θ˙1 sen θ1 + ω˙ cos θ1 − r2 θ˙2 sen θ2 ρ˙2 = y˙ + ω θ˙1 cos θ1 + ω˙ cos θ1 + r2 θ˙2 sen θ2 → → donde − ρ1 y − ρ2 son los vectores que apuntan al centro de masas de los segmentos 1 y 2, respectivamente. Si se supone que el punto de apoyo de la pierna es fijo, se pueden eliminar los dos grados de libertad de traslaci´on en X e Y (la ligadura al suelo se considera cinem´atica y el sistema queda reducido a 3 grados de libertad) de manera que se obtiene: x˙ = y˙ = x¨ = y¨ = 0 ρ˙2 = r2 θ˙2 1

1 1

ρ˙22 = ω˙2 + r22 θ˙22 + ω 2 θ˙12 + 2r2 ω˙ θ˙2 sen(θ1 − θ2 ) + 2r2 ω θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 ) A partir de estos datos, es posible deducir las ecuaciones que corresponden al modelo din´amico seg´ un el m´etodo de Lagrange-Euler y obtener las fuerzas generalizadas que act´ uan seg´ un cada una de las coordenadas generalizadas (ecuaci´on 4.2), partiendo de la energ´ıa potencial y cin´etica del sistema. Las expresiones de energ´ıa cin´etica (Ta ) y energ´ıa potencial (Ua ) del modelo simplificado de la pierna de apoyo son: 1 1 1 Ta = m2 ω˙2 + (I1 + m1 r12 + m2 ω2 )θ˙12 + (I2 + m2 r22 )θ˙22 + 2 2 2 2 ˙ +m2 r2 θ2 [ω˙ sin(θ1 − θ2 ) + ω θ˙1 cos(θ1 − θ2 )] (4.3) Ua = m1 g(y + r1 sen θ1 ) + m2 g(y + ω sen θ1 + r2 θ˙2 sen θ2 ) siendo θ1 , θ2 y ω las coordenadas generalizadas del sistema, g la gravedad (constante), mi las masas e Ii los momentos de inercia. Desarrollando esta expresi´on general para cada una de las coordenadas generalizadas, se obtienen las siguientes ecuaciones: ¨ + m2 r2 θ¨2 sen(θ1 − θ2 ) − m2 ω θ˙2 − m2 r2 θ˙2 cos(θ1 − θ2 )+ (4.4) Fω = m2 ω 1

+ m2 g sen θ1 Fθ1 = (I1 + m1 r12 + m2 ω 2 )θ¨1 + 2m2 ω ω˙ θ˙1 + m2 r2 θ¨2 ω cos(θ1 − θ2 )− − m2 r2 θ˙2 sen(θ1 − θ2 ) + (m1 r1 + m2 ω)g cos θ1

(4.5)

Fθ2 = (I2 + m2 r22 )θ¨2 + m2 r2 ω sen(θ1 − θ2 ) + 2m2 r2 ω˙ θ˙1 cos(θ1 − θ2 )+ + m2 r2 ω θ¨1 cos(θ1 − θ2 ) − m2 r2 θ2 ω sen(θ1 − θ2 ) + m2 gr2 cos θ2

(4.6)

2

1

88

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

La fuerza generalizada longitudinal Fω simula la flexi´on y extensi´on de la rodilla y el tal´on, provocando el movimiento sinusoidal caracter´ıstico del centro de masa. El momento de fuerza Fθ2 mantiene erguido el cuerpo superior y genera el suave movimiento caracter´ıstico de la cadera de subir y bajar. Mientras que el momento de fuerza Fθ1 representa las acciones musculares que producen la rotaci´on de la pierna de apoyo y el avance del cuerpo durante el 20 % del ciclo de locomoci´on. En el caso de la pierna de giro se parte de las siguientes expresiones, extra´ıdas del modelo din´amico representado en la figura 4.22:

Figura 4.22. Modelo din´ amico de la pierna de giro

  xca − → ; ρca = yca

  r3 cos θ3 − → r3 = ; r3 sen θ3

  r4 cos θ4 − → r4 = ; r4 sen θ3

  − → l3 cos θ3 l3 = l3 sen θ3

angulo donde − ρ→ ca es el vector que apunta al centro de masas de la cadera, θ3 es el ´ entre el muslo y la vertical, θ4 es el ´angulo formado en la rodilla por el muslo y la pantorrilla, los valores r3 y r4 representan la relaci´on entre el centro de masas y la longitud de los segmentos del muslo y la pantorrilla, respectivamente (valores dados en la tabla 3.3 de la secci´on 3.2.3) y l3 corresponde a la longitud del muslo.

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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A partir de los valores anteriores se deduce que:     xca + r3 cos θ3 xca + l3 cos θ3 + r4 cos(θ3 − θ4 ) → − → − ; ρ4 = ρ3 = yca + r3 sen θ3 yca + l3 sen θ3 + r4 sen(θ3 − θ4 )     → − → − x˙ca − r3 θ˙3 sen θ3 x˙ca − l3 θ˙3 sen θ3 − r4 (θ˙3 − θ˙4 ) sen(θ3 − θ4 ) ; ρ˙4 = ρ˙3 = y˙ca + r3 θ˙3 cos θ3 y˙ca + l3 θ˙3 cos θ3 + r4 (θ˙3 − θ˙4 ) cos(θ3 − θ4 ) ρ˙2 =r2 θ˙2 + x˙2 + y˙2 + 2r3 θ˙3 (y˙ca ) cos θ3 − x˙ca sen θ3 ) 3

3 3

ca

ca

2 + r 2 θ˙2 − 2r θ˙ θ˙ (r + l cos θ )+ ρ˙24 =(l32 + r42 + 2l3 r4 cos θ4 )θ˙32 + x˙2ca + y˙ca 4 3 4 4 3 4 4 4 2l3 θ˙3 (y˙ca cos θ3 − x˙ca sen θ3 ) + 2r4 (θ˙3 − θ˙4 )(y˙ca cos(θ3 − θ4 ) − x˙ca sen(θ3 − θ4 )

→ → ρ4 son los vectores que apuntan al centro de masas de los segmentos 3 donde − ρ3 y − (muslo) y 4 (pantorrilla), respectivamente. De acuerdo a las ecuaciones anteriores, se obtienen las siguientes expresiones de energ´ıa cin´etica (Tg )y de energ´ıa potencial (Ug ) para la pierna de giro: 1 Tg = (m4 l32 + I4 + m4 r42 + 2m4 l3 r4 cos θ4 + I3 m3 r32 )θ˙32 + 2 +m4 r4 (θ˙3 − θ˙4 )(y˙ca cos(θ3 − θ4 ) − x˙ca sin(θ3 − θ4 )) − 1 −(I4 + m4 r4 + m4 l3 r4 cos θ4 )θ˙3 θ˙4 + (I4 + m24 )θ˙42 + 2 ˙ ˙ +(m3 r3 + m4 l3 )θ3 (y˙ca cos θ3 − xca sin θ3 ) Ug = m3 g(yca + r3 sen θ3 ) + m4 g(yca + l3 sen θ3 + r4 sen(θ3 − θ4 ))

(4.7)

siendo θ3 y θ4 las coordenadas generalizadas del sistema, g la gravedad (constante), mi las masas e Ii los momentos de inercia. Desarrollando esta expresi´on general para cada una de las coordenadas generalizadas, se obtienen las siguientes ecuaciones: Fθ3 = (m3 r3 + m4 l3 )(y¨ca cos θ3 − x¨ca sen θ3 ) + m4 g(l3 cos θ3 + r4 cos(θ3 − θ4))+ + (m4 l2 + I4 + m4 r2 + 2m4 l3 r4 cos θ4 + I3 + m3 r2 )θ¨3 + m3 gr3 cos θ3 − (4.8) 3

4

3

− (I4 + + m4 l3 r4 cos θ4 )θ¨4 − m4 r4 (y¨ca cos(θ3 − θ4 ) − x¨ca sen(θ3 − θ4 )) (4.9) Fθ4 = −(I4 + m4 r42 + m4 l3 r4 cos θ4 )θ¨3 + (I4 + m4 r42 )θ¨4 + m4 l3 r4 θ˙32 sen θ4 − − m4 r4 (y¨ca cos(θ3 − θ4 ) − x¨ca sen(θ3 − θ4 )) − m4 gr4 cos(θ3 − θ4 ) m4 r42

Durante la fase din´amica de giro, los valores de las fuerzas generalizadas Fθ3 y Fθ4 dependen de la subfase de c´alculo. usculos del muslo El momento de fuerza Fθ3 corresponde a la interacci´on entre los m´ y la cadera, mientras que Fθ4 representan las acciones producidas en la rodilla por los m´ usculos de la pantorrilla y el muslo. Como se ha podido observar, se plantean dos sistemas de ecuaciones, dependiendo si se trabaja con el modelo din´amico de la pierna de apoyo o la de giro. Sin

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

embargo, es posible expresar el sistema de ecuaciones de forma matricial, de modo → − → − → → gen´erico, como: [A] q¨ = B(− q , q˙ ) donde el vector de coordenadas generalizadas − q → − T es: q = [ω, θ1 , θ2 ] cuando se est´a trabajando con la pierna de apoyo mientras que → − q = [θ3 , θ4 ]T cuando se trabaja con el modelo din´amico de la pierna de giro. El sistema resultante se observa de manera gr´afica en la figura 4.23.

Figura 4.23. Modelo din´ amico de ambas piernas

4.4.2.

M´ etodo de resoluci´ on de ecuaciones

Debido a que es casi imposible encontrar soluciones a los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de 2o orden, m´axime cuando son r´ıgidos y no lineales, se elige para su resoluci´on un m´etodo num´erico recursivo, especificando un valor inicial de la soluci´on, generalmente conocido, e integrando en el tiempo. Frente a la posibilidad de utilizar paquetes de software comerciales para resolver el problema de forma num´erica, se opta por desarrollar el c´odigo del m´etodo num´erico de resoluci´on para tener el control completo del sistema. En primer lugar se implement´o un m´etodo de Euler mixto: impl´ıcito + expl´ıcito [BF85], m´etodo sencillo y r´apido, pero cuya soluci´on era inestable. Por lo tanto, para asegurar la convergencia se adopta un m´etodo de resoluci´on A-estable. Estos m´etodos se caracterizan por tener como a´rea de estabilidad a la mitad del plano complejo [BF85] por lo que son los m´as indicados para buscar la convergencia en los sistemas r´ıgidos. El m´etodo desarrollado es un algoritmo multipaso predictor-corrector, con control adaptativo de paso y preparado para resolver un sistema de n ecuaciones, que

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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en particular, utiliza un algoritmo Adams-Bamsford como predictor y MoultonAdams como corrector. Como todos los m´etodos multipaso, es necesario introducir un n´ umero determinado de pasos con la soluci´on. De hecho, esta operaci´on se repite cada vez que se adapta el paso de integraci´on. El algoritmo que calcula estos primeros valores es un sistema Runge Kutta de o 4 orden. El control adaptativo del paso de integraci´on es una opci´on que agiliza la capacidad de avance temporal de la soluci´on, pero en todo caso tiene un l´ımite m´aximo de paso de integraci´on. Para validar los algoritmos desarrollados para la resoluci´on del sistema din´amico se ha utilizado un test propuesto por Green [Gre91] consistente en un conjunto de dos sistemas de ecuaciones diferenciales de 2o orden. 4.4.3.

Din´ amica de la pierna de apoyo

Figura 4.24. Resoluci´ on de la din´ amica de la pierna de apoyo en el sistema de movimiento global

La resoluci´on de las complejas ecuaciones de movimiento que surgen del modelo din´amico propuesto, se simplifican dividiendo el funcionamiento del modelo en las fases y subfases desarrolladas. De este modo se obtiene un diagrama de estados finitos con modelos din´amicos m´as sencillos y de menor n´ umero de grados de libertad. Los dos estados din´amicos principales son los de la fase de apoyo de una pierna y la fase de giro de la otra. Estos estados, a su vez, se dividen en subfases. El sistema din´amico de la pierna de apoyo es el motor principal en la simulaci´on de la locomoci´on. La fase de apoyo comienza cuando el tal´on del pie, que se encuentra girando libre en el aire, impacta con el suelo y termina en el momento que la punta del dedo se separa del suelo y comienza la fase de giro. Durante este per´ıodo en que la pierna se encuentra apoyada en el suelo, soporta y hace avanzar el centro de gravedad del cuerpo.

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

En esta fase el modelo se basa en la acci´on de una pierna telesc´opica y presenta tres ecuaciones de movimiento correspondientes a tres coordenadas generalizadas: el ´angulo del cuerpo superior, el a´ngulo de inclinaci´on de la pierna con respecto a la vertical y la elongaci´on que experimenta la pierna. La t´ecnica de resoluci´on propuesta consiste en la b´ usqueda recursiva de una u ´nica inc´ognita a lo largo de las ecuaciones que gobiernan cada una de las subfases consecutivas en las que se divide el problema de simulaci´on de la pierna de apoyo. Las fases contempladas coinciden plenamente con las que reflejan los estudios biomec´anicos de la locomoci´on humana: subfase de contacto con el suelo, de apoyo medio y de propulsi´on (ver figura 4.25). Esta u ´ltima se divide a su vez en per´ıodo de propulsi´on activa y propulsi´on pasiva o pregiro.

Figura 4.25. Diagrama de la temporizaci´ on de las subfases del modelo din´ amico de la pierna de apoyo

En la figura 4.26 se puede observar las posiciones relativas de los segmentos de la pierna de apoyo al inicio y final de cada una de las subfases. Mediante la articulaci´on de la cadera la simulaci´on de la din´amica de la pierna de apoyo condiciona el movimiento posterior de la pierna de giro. Una vez obtenidos los patrones din´amicos b´asicos que conforman el movimiento de la cadera, es necesario desarrollar los c´alculos cinem´aticos de la “pierna completa”, la cadera y el cuerpo superior. El modelo de la pierna de apoyo del sistema, concebido como una pierna telesc´opica, se controla a partir de los mismos principios que plantea el trabajo de Raibert [Rai86a], aunque de forma parcial, en alguna de las tres subfases en las que se divide la simulaci´on: contacto, apoyo medio y propulsi´on. En general, la fase de apoyo se ha modelado como un sistema con tres coordenadas generalizadas, de las cuales, dos se extraen de la pierna telesc´opica: ω longitud relativa y θ1 ´angulo absoluto de inclinaci´on con respecto a la vertical. Mientras que la tercera, θ2 , es el ´angulo absoluto de inclinaci´on del cuerpo superior. El m´etodo de resoluci´on propuesto parte de la idea de que el movimiento est´a gobernado de forma directa por estas fuerzas generalizadas y que sus expresiones dependientes del tiempo, por una parte, se completan con modelos biomec´anicos

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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Figura 4.26. Estados en los que se subdivide la fase de apoyo de la simulaci´ on din´ amica

basados en los principios de din´amica pasiva [CWR01] y, por otra, se calculan de forma recursiva hasta cumplir ciertas condiciones impuestas por los par´ametros de alto nivel. La expresi´on de la fuerza generalizada longitudinal Fω debe simular la flexi´on y extensi´on de la rodilla e influencia de forma notoria el movimiento de la cadera. Su objetivo es proporcionar un movimiento sinusoidal caracter´ıstico al centro de gravedad del individuo. Su expresi´on es similar a la sugerida por Raibert y responde a la acci´on de un sistema muelle-amortiguador: Fω = kω (l1 + pa − ω) − υω ω˙ pa (t = tini apoyo ) = 0

(4.10)

donde kω es la constante de rigidez, l1 es la longitud de la pierna, υω es la constante de amortiguamiento y pa es el actuador de posici´on y es un elemento activo de control del valor de la fuerza axial. El valor de pa es igual a 0 en el inicio de la fase de apoyo, y debe ser introducido de forma que si la altura de la cadera yca disminuye pa aumenta y si yca aumenta pa debe ser reducido. El control de la posici´on vertical de la cadera se hace en cada paso de integraci´on. El momento de fuerza Fθ1 representa las acciones conjuntas de los paquetes musculares que producen la rotaci´on de la pierna de apoyo para hacer avanzar el cuerpo hacia adelante. Experimentalmente, la acci´on muscular se extiende desde el mismo instante del apoyo del tobillo hasta que transcurre un 20 % del ciclo de locomoci´on. Fθ1 se simplifica mediante una expresi´on de valor constante que debe ser encontrada de forma recursiva. El valor inicial de Fθ1 se introduce en las ecuaciones de movimiento y se refina en aproximaciones sucesivas seg´ un se cumpla o no el valor

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

de la condici´on final. En este caso es necesario que el valor de θ1 alcance el valor determinado por los par´ametros de alto nivel. Por u ´ltimo, Fθ2 es el momento de fuerza respecto a la articulaci´on de la cadera que mantiene al cuerpo superior erguido y le proporciona un suave balanceo caracter´ıstico hacia atr´as y hacia adelante. Bordoli [Bor98] propone la teor´ıa de que el cuerpo aprovecha la energ´ıa almacenada en las fibras del anillo fibroso de la columna vertebral cuando se estiran o relajan alternativamente siguiendo la torsi´on del cuerpo. La torsi´on de la columna vertebral est´a gobernada por la necesidad de rotar la pelvis para disminuir el gasto de energ´ıa y mantiene erguido al cuerpo. No es de extra˜ nar que tambi´en una expresi´on de un sistema muelle-amortiguador sea la elegida para el momento Fθ2 : Fθ2 = −k2 (θ2 − θ2 des ) − υ2 θ˙2 θ2 des ≈ 0

(4.11)

donde k2 es la constante de rigidez, υ2 es la constante de amortiguamiento y θ2 des es el ´angulo, respecto a la vertical, que presenta la columna vertebral “en reposo” y que normalmente se toma con valor cero. Sin embargo, este es uno de los par´ametros de diferenciaci´on del paso que se puede modificar si se desea variar la apariencia de la locomoci´on. Los datos de las constantes f´ısicas se especifican en el Ap´endice D mientras que los datos de diferenciaci´on del paso se detallan en el Ap´endice C. A continuaci´on se describen, en detalle, las tres subfases en que se divide el modelo din´amico de la pierna de apoyo: contacto, apoyo medio y propulsi´on. Subfase din´ amica de contacto. La subfase de contacto comienza en el mismo instante en que se produce el apoyo del tal´on y termina un per´ıodo de tiempo tapoyo1 despu´es, justo en el mismo instante en que se alcanza el final de la subfase 1 de giro. La duraci´on de tapoyo1 es aproximadamente el 15 % del ciclo de locomoci´on. a11 = 1 b1 = a13 = a31 = 0 ω˙ = 0 ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ω ¨ a11 a12 a13 b1 ω → − → − → − − → ¨ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎣ θ1 = b2 siendo q = θ1 ⎦ [A] q¨ = B( q , q˙ ) ⇒ a21 a22 a23 a31 a32 a33 b3 θ2 θ¨2 ⎡

(4.12)

El sistema de ecuaciones del movimiento previamente calculado se integra hasta que se alcanza el final conocido. Subfase din´ amica de apoyo medio. La duraci´on de esta subfase se desconoce a priori. Comienza a continuaci´on de la subfase anterior y termina si la longitud de la pierna

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telesc´opica es mayor o igual que una longitud determinada, ωdes , calculada a partir del concepto de simetr´ıa en el paso. En este caso se debe aumentar el valor de Fω en cada paso de integraci´on, de forma que se introduce un nuevo actuador de posici´on pa3 : Fω = kω (ωdes + pa3 − ω) − υω ω˙ pa3 (t = tini ap medio ) = l1 + pa − ωdes pa3 = pa3 + pa3 inc Por medio de una longitud de pierna telesc´opica mayor que la longitud normal de la pierna l1 se simula la acci´on de extensi´on del tobillo cuando se va separando progresivamente el tal´on del pie del suelo. Normalmente la condici´on de finalizaci´on de esta subfase se alcanza antes del final de la fase de apoyo. Pero si esto no sucede y, por lo tanto, no “tiene cabida” la subfase de propulsi´on, se debe reiniciar la subfase de contacto (comenzando nuevamente la fase de apoyo) incrementando el valor de pa3 inc , que es una constante f´ısica que permite diferenciar el paso. Subfase din´ amica de propulsi´ on. Esta es la u ´ltima subfase del movimiento de la pierna de apoyo y es en la que se valora el grado de cumplimiento de la condici´on final de control: el valor de la coordenada generalizada θ1 , marcado por los par´ametros de alto nivel. Aunque es posible dividir esta fase en dos per´ıodos caracter´ısticos, propulsi´on activa y pre-giro, s´olo el primero se calcula directamente en la fase din´amica. Subfase din´ amica de propulsi´ on activa: Este u ´ltimo per´ıodo simulado en la din´amica se comporta de nuevo como un p´endulo inverso simple, con la elongaci´on de la pierna telesc´opica bloqueada. Las ecuaciones del movimiento se simplifican de forma similar a la subfase de contacto. Es una fase en la que el gasto energ´etico debe reducirse a la m´ınima expresi´on y su comportamiento corresponde al principio de din´amica pasiva. Subfase de propulsi´ on pasiva o pre-giro: El per´ıodo de pre-giro coincide con la fase de doble apoyo, es decir, es posterior al instante del apoyo del tobillo de la otra pierna. Como se ha optado por mantener el control din´amico en una u ´nica fase se simplifica el comportamiento f´ısico real “transfiriendo instant´aneamente” el peso y control del cuerpo de la pierna en estado de pre-giro a la nueva pierna de apoyo. En este per´ıodo se calculan las trayectorias de los puntos de control con posterioridad, a partir de la cinem´atica. 4.4.4.

Din´ amica de la pierna de giro

Una vez desarrollado el modelo din´amico de la pierna de apoyo es necesario formular y resolver el sistema din´amico de la pierna de giro. La fase de giro es la que se produce mientras la pierna contraria a la que se encuentra apoyada en

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Figura 4.27. Resoluci´ on de la din´ amica de la pierna de giro en el sistema de movimiento global

el suelo, avanza, girando y manteniendo el pie en el aire. La fase de giro comienza cuando la punta de los dedos del pie se despega del suelo y acaba instantes despu´es cuando, el tal´on del mismo pie, contacta en el suelo. A diferencia de la fase de apoyo, en la que la t´ecnica de resoluci´on consiste en una b´ usqueda recursiva de una u ´nica inc´ognita a lo largo de las ecuaciones din´amicas de cada una de las subfases en las que se simplifica el problema, en la fase de giro existen varias b´ usquedas de ceros, una por cada subfase, y cada una de ellas se encuentra gobernada por sus propias condiciones de contorno. En esta fase los modelos articulados de la din´amica y de la cinem´atica coinciden, por lo que los resultados de la simulaci´on din´amica se incorporan directamente al movimiento del esqueleto cinem´atico sin necesidad de c´alculos posteriores. Sin embargo, s´ı son necesarios los c´alculos cinem´aticos de los segmentos que conforman el pie. Dentro de la propia fase de giro se producen tres “estados” reconocibles por contener movimientos caracter´ısticos de las articulaciones y, sobretodo, una temporizaci´on proporcional a la duraci´on total. Dichas subfases se observan en la figura 4.28. La temporizaci´on de estas subfases no es la que normalmente se utiliza en biomec´anica, sino que atiende a consideraciones geom´etricas que se ajustan mejor al sistema de resoluci´on que se propone. En la figura 4.29 se puede observar las posiciones relativas de los segmentos de la pierna de giro al inicio y final de cada una de las subfases elegidas. Los m´etodos propuestos para la resoluci´on de las ecuaciones de movimiento de la fase de la pierna de giro provienen del trabajo de Beckett y Chang [BC68]. En dicho trabajo se presenta un interesante estudio anal´ıtico de los aspectos din´amicos que intervienen en la fase de giro de la locomoci´on humana.

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Figura 4.28. Diagrama de la temporizaci´ on de las subfases del modelo din´ amico de la pierna de giro

Figura 4.29. Estados en los que se subdivide la fase de giro de la simulaci´ on din´ amica

El modelo permite determinar la posici´on de los diferentes segmentos de la pierna de giro, definiendo una serie de restricciones geom´etricas: El pie gira alrededor de la punta del dedo hasta el despegue. A partir de ese instante el a´ngulo del tobillo permanece constante. En el aire, el pie est´a obligado a seguir una curva polinomial definida a partir de par´ametros experimentales, como la altura del individuo. Los momentos de fuerza de la cadera que causan la aceleraci´on y deceleraci´on del movimiento son constantes y s´olo act´ uan en per´ıodos determinados. En el sistema desarrollado, la duraci´on de un paso, tpaso , se obtiene como resultado directo de la inicializaci´on de los par´ametros de alto nivel que gobiernan la simulaci´on: velocidad, longitud o frecuencia de paso. A partir de la relaci´on experimental que existe entre la duraci´on de la fase de doble apoyo tdobleapoyo y la duraci´on de un paso completo, es posible deducir la duraci´on total de la fase de giro, tgiro .

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El modelo din´amico de la fase de giro lo constituyen dos segmentos articulados que corresponden al f´emur y al conjunto tibia-peron´e-pie. Este modelo se supone unido al cuerpo por la articulaci´on de la cadera, y como el movimiento de ´esta se obtiene de la simulaci´on de la pierna de apoyo, se considera la posici´on de la cabeza del f´emur como origen del sistema. Este nexo num´erico entre las ecuaciones del movimiento de ambas piernas permiten desacoplar y simplificar los modelos din´amicos que gobiernan la simulaci´on. Para el caso general ya se ha calculado que → − → − → → [A] q¨ = B(− q , q˙ ) siendo − q = [θ3 , θ4 ]T de forma que esta expresi´on matricial es la que gobierna la simulaci´on. Sin embargo, en vez de resolver la ecuaci´on anterior una u ´nica vez para toda la fase de giro se resuelve por separado en cada una de las subfases, asegurando que los valores de cada iniciaci´on sean los alcanzados en el u ´ltimo paso de la subfase anterior para mantener la continuidad del sistema. Subfase 1 de giro. La duraci´on de la subfase 1 de giro es de exactamente el 50 % del total empleado por la fase de giro y comienza cuando la punta del pie abandona el suelo. Para resolver las ecuaciones de movimiento planteadas ser´ıa necesario conocer los valores de los momentos de fuerza generalizados, que corresponden a las coordenadas definidas por el a´ngulo del f´emur, θ3 y el a´ngulo de la rodilla, θ4 . Introduciendo las coordenadas generalizadas Fθ3 y Fθ4 en el modelo ser´ıa posible encontrar de forma directa las trayectorias y velocidades de cualquier coordenada del modelo. Por desgracia, este es, de nuevo, el mayor inconveniente que produce la utilizaci´on de modelos din´amicos directos: la necesidad de controlar los movimientos a partir de par´ametros muy poco intuitivos, como son las fuerzas y momentos. Adem´as, controlar la marcha de esta forma ser´ıa sumamente complejo ya que ambos momentos de fuerza no estar´ıan desacoplados. Por lo tanto, es necesario introducir una nueva simplificaci´on. El m´etodo de resoluci´on de las ecuaciones es similar al utilizado en la fase de apoyo: como el estado inicial y final de las variables que conforman la soluci´on son conocidos (deducidos a partir de los par´ametros de alto nivel), se inicializan num´ericamente los momentos de las fuerzas generalizadas y se integran las ecuaciones paso a paso hasta el final de la subfase. Si no se alcanzan los valores deseados se aumentan o disminuyen los valores de inicio. Para facilitar este proceso, s´olo se considera como inc´ognita el valor del momento generalizado correspondiente a la interacci´on entre los m´ usculos del f´emur y la cadera (Fθ3 ), y se utiliza la parametrizaci´on del movimiento del tobillo propuesta en [BC68] para actualizar cinem´aticamente, paso a paso, la coordenada generalizada θ4 , por lo que no es necesario considerar su momento de fuerza correspondiente. La acci´on del conjunto muscular hace girar la parte superior de la pierna para avanzar hacia adelante hasta que el a´ngulo de consigna alcance al final de esta fase el valor de θ3 (tgiro1 ) = θ3 des . Este valor est´a definido como un par´ametro de diferenciaci´on del paso (ver Ap´endice C), ya que es el mismo valor m´aximo que se

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necesita al final de toda la fase de giro para obtener un correcto apoyo de tal´on y comenzar un nuevo paso. La acci´on muscular Fθ3 est´a definida mediante la expresi´on exponencial Fθ3 = 2 max , lp max la longitud m´axima del paso, lp la longitud Be−At siendo A = √2 l lp 0,5 tgiro1 p del paso actual y tg el tiempo del periodo de giro que se est´a considerando. La constante B es la inc´ognita del problema iterativo y su valor se disminuye o aumenta dependiendo de la variaci´on de la consigna al final de cada proceso de integraci´on. Si se analiza la variaci´on temporal de la expresi´on anterior se puede comprobar

1 B √ , . que es una funci´on cuyo punto de inflexi´on se encuentra en el punto I A√ e 2 La presencia de A condiciona la pendiente de la curva de forma que si A es muy grande y el valor de la abscisa tiende a cero, Fθ3 es una funci´on exponencial de r´apido decrecimiento. Del mismo modo, es posible comprobar que: para longitudes de paso m´as peque˜ nas la acci´on de Fθ3 decrece m´as r´apido: “Si lp1 ≤ lp2 entonces A 1√2 ≤ A 1√2 ”. 1 2 1 Experimentalmente el paso m´as natural se consigue cuando A√ ≤ 0,5 tgiro1 . El 2 punto de inflexi´on nunca debe ocurrir demasiado tarde. Por otra parte, se ha mencionado que en esta subfase del problema se ha optado por simplificar el modelo din´amico mediante la utilizaci´on de una restricci´on cinem´atica para el movimiento del tobillo. Esto permite que en la expresi´on general del modelo din´amico de la fase de giro se pueda particularizar algunos de sus componentes:      b1 (θ3 , θ˙3 , θ4 , θ˙4 , Fθ3 ) a11 (θ4 ) a12 (θ4 ) θ¨3 (4.13) = a21 (θ4 ) a22 θ¨4 b2 (θ3 , θ˙3 , θ4 , Fθ4 ) a22 = 1;

a21 = a12 = 0;

b2 = 0

(4.14)

pero hace necesario que en cada paso se calcule el “nuevo” valor de la coordenada generalizada θ4 . De Beckett y Chang se extrae la asunci´on experimental de que la trayectoria del tobillo es una curva polinomial que debe cumplir las siguientes condiciones (v´ease la figura 4.30): Condici´on de paso por tres puntos: (xo , yo ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) con x1 = dist D · x1 , yo = yto (t = x1 ), y1 = (l5 + l6 ) · ωmin /l1 y y2 = yto (t = x2 ), siendo dist D uno de los par´ametros de diferenciaci´on del paso que marca la distancia horizontal en la que la altura del tobillo es m´axima, yto la altura del tobillo en distintos instantes, l1 la longitud de la pierna y wmin la longitud menor que alcanza el segmento telesc´opico en la simulaci´on din´amica de la pierna de apoyo (normalmente coincide con la m´axima flexi´on de rodilla, ya que experimentalmente se comprueba que cuanto m´as r´apido anda una persona, mayor es la flexi´on de la rodilla de la pierna de apoyo y m´as baja la trayectoria que sigue el tobillo de la pierna de giro).

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Figura 4.30. Descripci´ on de la trayectoria polinomial del tobillo

Condici´on de continuidad: f  (x1 ) = f  (x2 ) = 0, es decir, es necesario que el polinomio presente un m´aximo y un m´ınimo en los puntos de control x1 y x2 . De todos los par´ametros anteriores el u ´nico que se desconoce a priori es x2 . Para su c´alculo se asume que el final de la subfase 1 de giro coincide aproximadamente con la alineaci´on vertical de la punta del dedo del pie y la rodilla (tal y como se observa en la figura 4.30). Los valores de los a´ngulos θ3 , θ5 y θ6 en x2 (las referencias geom´etricas para los ´angulos mencionados est´an representadas en la figura 4.31) est´an predefinidos por ser par´ametros de diferenciaci´on del paso (ver Ap´endice C), por lo tanto, es posible deducir la longitud del par´ametro x2 .

Figura 4.31. Referencias geom´etricas de la pierna de giro

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x2 = xca + l3 sen θ3 − l4 sen α y2 = yca − l3 cos θ3 − l4 cos α dy pie = y2 − l12 cos β − l13 cos γ 12 sen θ5 +l13 sen(θ5 −θ6 ) , θ3 = θ3 des , θ5 = giro1 tobillo, θ6 = siendo α = arctan l4l+l 12 cos θ5 +l13 cos(θ5 −θ6 ) giro1 meta y siendo dy pie > 0 el valor de la altura de la punta del dedo del pie en x2 , que siempre debe ser positivo, ya que el pie no debe penetrar en el suelo. Los valores de θ3 des , giro1 tobillo y giro1 meta son par´ametros de diferenciaci´on del paso (ver Ap´endice C). Una vez hallados todos los valores que definen los puntos de la curva polinomial se debe deducir su expresi´on. Como se deben cumplir cinco condiciones, se desarrollan los c´alculos para obtener la expresi´on de un polinomio de Hermite de 4o grado (se disminuye en uno el orden del polinomio por no tener condicionado el inicio de la curva por su derivada [BF85]): H4 (x) = A0 x4 + A1 x3 + A2 x2 + A3 x1 + A4 . Las condiciones que se deben cumplir son:

H4 (xo ) = yo H4 (x1 ) = y1 y H˙ 4 (x1 ) = 0 H4 (x2 ) = y2 y H˙ 4 (x2 ) = 0

por lo que se obtienen 5 ecuaciones con 5 inc´ognitas que, en forma matricial, se representa del siguiente modo: ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 4 3 2 A0 y1 c c c c1 ⎢ d4 d3 d2 d 1 ⎥ ⎢ A1 ⎥ ⎢ y2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 2 ⎢ 4c 3c 2c 1 0 ⎥ ⎢ A2 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 2 ⎣ 4d 3d 2d 1 0 ⎦ ⎣ A3 ⎦ ⎣ 0 ⎦ A4 0 0 0 01 yo De donde se obtienen los siguientes valores para los coeficientes del polinomio: A0 A1 A2 A3

2 (c b2 − c b1 + b1 (d − c) − c b3 (d − c)2 ) = 2 (d3 + 2c3 − 3d c2 ) − 3 (d − c)2 (c + d) 

3 1 b = − 3 (c + d) A0 2 d−c b1 = − − 3 c2 A0 − 2 c A1 c = b1 − c (c2 A0 + c A1 + A2 )

siendo b1 = (y1 − yo )/c, b2 = (y2 − yo )/d y b3 = (d b1 − c b2 )/d c. Una vez calculada la expresi´on de la funci´on polin´omica que fija la trayectoria del tobillo es necesario calcular en cada paso de integraci´on su intersecci´on con

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la circunferencia de valores posibles del la posici´on del tobillo. Esta funci´on se presenta con el centro en la posici´on de la rodilla y un radio de l4 (longitud de tibia - peron´e). La posici´on del tobillo obtenida como resultado de la b´ usqueda debe cumplir ambas condiciones: pertenecer al polinomio y pertenecer al c´ırculo de radio l4 , y determinar´a el valor actualizado de la coordenada generalizada θ4 . Por lo tanto, al sistema de 2 ecuaciones con 2 inc´ognitas obtenido por el c´ırculo, para el cual se utiliza el m´etodo num´erico de Newton-Raphson, se suma el sistema de 5 ecuaciones con 5 inc´ognitas del polinomio. Para optimizar el n´ umero de c´alculos involucrados en el sistema global (en cada paso es necesario evaluar la funci´on polin´omica de 7o orden y de su derivada de 6o orden) se ha implementado a su vez el m´etodo de Horner para eficiencia num´erica. La ecuaci´on del c´ırculo se puede deducir del siguiente modo: x = xca + l3 sen θ3 − l4 sen α ⇒ (a1 − x)2 = l42 sen2 α ⇒ (a1 − x)2 + (a2 − y)2 = l42 y = yca + l3 cos θ3 − l4 cos α ⇒ (a2 − y)2 = l42 cos2 α siendo a1 = xca + l3 sen θ3 y a2 = yca − l3 cos θ3 . Por lo tanto, el sistema resultante se puede expresar como: (a1 − x)2 + (a2 − y)2 = l42 y = A4 + x (A3 + x (A2 + x (A1 + x A0 ))) Determinando as´ı el polinomio P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

8 i=0

Pi x8−i = 0 tal que:

= A20 = 2 A1 A0 = A21 + 2 A2 A0 = 2 (A3 A0 + A2 A1 ) = A22 + 2 (A4 A0 + A3 A1 ) = 2 (A3 A2 + A4 A1 − a2 A1 ) = A23 + 2 (A4 A2 − a2 A2 ) + 1 = 2 (A4 A3 − a2 A3 − a1 ) = A24 + a22 + a21 − 2 a2 A4 − l4

De esta forma es posible ir integrando, paso a paso, la ecuaci´on de movimiento, incluyendo en cada instante de c´alculo la actualizaci´on cinem´atica de la coordenada usqueda θ4 . Como se puede dar el caso de encontrar dos posibles soluciones en cada b´ de la soluci´on, se deben restringir las posibilidades tomando como v´alido el cero cuya posici´on est´e determinada por una abscisa menor. Tomando la soluci´on encontrada en el paso anterior como valor de inicio para el m´etodo de Newton-Raphson, se asegura una r´apida convergencia al “cero v´alido”.

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Mediante el desarrollo anal´ıtico previo, despejando las expresiones “a mano”, se ha pretendido simplificar al m´aximo la carga del procesador para resolver la din´amica de la subfase 1 de giro. Finalmente, en esta subfase de giro 1, hay un par de consideraciones a tener en cuenta. Por un lado, para evitar un comienzo brusco de la fase de giro se parte de los valores de las coordenadas generalizadas de la fase de apoyo anterior, transform´andolos para asegurar una transici´on suave. En particular las velocidades se calculan de la siguiente forma: tf inalf asedeapoyo = tiniciof asedegiro = t0 θ3 (t0 ) − θ3 (t0 − Δt) θ˙3 = Δt (t ) − θ θ 4 0 4 (t0 − Δt) θ˙4 = Δt Por otra parte, tambi´en es posible que la constante B se inicialice con un valor muy grande de modo que θ3 resulte exagerado y no se encuentre nunca un cero en la ecuaci´on polin´omica anterior (es decir, que no exista una posici´on del tobillo que se ajuste a la curva que restringe su movimiento). En este caso es necesario reiniciar completamente la fase de giro, disminuyendo considerablemente el primer valor de B. En la fase posterior de c´alculos cinem´aticos se completa el movimiento del pie, aunque en la pr´actica se hace al mismo tiempo que avanza la simulaci´on din´amica, sobre todo porque se comprueba en cada paso que la punta del pie no intersecte con el suelo (lev dedo es un par´ametro de diferenciaci´on del paso que determina la altura m´ınima que debe existir entre el dedo del pie y el suelo). Si esto ocurre es necesario reiniciar los c´alculos y corregir el valor de la consigna del a´ngulo de la cadera θ3 des . Subfase 2 de giro. La duraci´on de la subfase 2 de giro corresponde al 35 % del total empleado en la fase de giro. Comienza en el u ´ltimo instante de la subfase 1 de giro, es decir, en el momento en que la punta del pie se encuentra en la misma vertical que la rodilla. En esta fase, la pantorrilla gira r´apidamente hacia adelante. La inc´ognita de esta subfase es el valor del momento generalizado correspondiente a la interacci´on entre los m´ usculos del f´emur y la tibia-peron´e (Fθ4 ). La acci´on del conjunto muscular hace girar a la parte superior de la pierna para avanzar hacia adelante hasta que alcance el a´ngulo de consigna al final de esta fase cuyo valor es de θ4 (tgiro2 ) = θ4 des , siendo θ4 des un par´ametro de diferenciaci´on del paso. La acci´on muscular Fθ4 est´a definida mediante la expresi´on exponencial Fθ4 = 2 max . B2 e−(A2 t) siendo A2 = √2 lplp 0,5 tgiro2 De forma similar a la subfase anterior, el valor de la constante B2 se disminuye o aumenta seg´ un se comprueba la variaci´on de la consigna al final de cada proceso de integraci´on.

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La otra ecuaci´on del movimiento incluye el momento generalizado de fuerza Fθ3 cuya acci´on se asimila a la de un conjunto muelle-amortiguador que mantiene a la cadera en una posici´on adecuada y cuya expresi´on es: Fθ3 = k3 (θ3 giro2 − θ3 ) − υ4 θ˙3 siendo el valor por defecto de θ3 giro2 = θ3 des . Del mismo modo, si en alg´ un instante la punta del pie penetra en el suelo, el valor de θ3 giro2 debe aumentarse de manera que la cadera se extienda m´as, pero comenzando de nuevo los c´alculos. Este problema surge con valores muy peque˜ nos de las constantes k3 y υ3 (ver Ap´endice D), por un balanceo de la cadera muy acentuado (f bal pelvis es un par´ametro de diferenciaci´on del paso) o por longitudes de paso lp demasiado cortas. Este m´etodo de inducir una extensi´on m´as acentuada de la cadera para aumentar la altura de la punta del pie podr´ıa ser transformado para introducir un mecanismo para sobrepasar obst´aculos peque˜ nos o apoyar el pie en un escal´on. En la fase posterior de c´alculos cinem´aticos se completa el movimiento del pie mediante interpolaci´on de θ5 y θ6 entre valores predefinidos como par´ametros de diferenciaci´on del paso, giro1 tobillo, giro1 meta, θ5 des , θ6 des , teniendo en cuenta que los dos u ´ltimos par´ametros son los valores que alcanzan las articulaciones del tobillo y del empeine al final de la fase de giro. Subfase 3 de giro. La duraci´on de la subfase 2 de giro es el 15 % final del total empleado por la fase de giro. En esta fase, la rodilla est´a “bloqueada” por lo que se asimila a un movimiento de p´endulo simple, cuya expresi´on y m´etodo de resoluci´on coinciden con los de la subfase 1 de giro. El valor inicial de la u ´nica coordenada generalizada, θ3 (en realidad podr´ıamos llamarla θ34 ya que θ4 tiene un valor fijo por estar bloqueada) que determina el movimiento angular de la pierna “pendular” se obtiene a partir de la fase anterior, para asegurar la continuidad en las trayectorias. Como los modelos din´amicos son diferentes el valor se calcula gracias a que, en la transici´on, se conserva la energ´ıa cin´etica del sistema. En el apartado siguiente se analiza este y otros problemas de continuidad del movimiento entre los subsistemas din´amicos. 4.4.5.

Continuidad entre los sistemas din´ amicos

Para que el proceso de c´alculo pueda desarrollarse en tiempo real, los modelos din´amicos se construyen segmentando el problema en diferentes fases cuyo n´ umero de ecuaciones del movimiento es menor. Por lo tanto, es necesario asegurar la continuidad del movimiento entre fases, en particular entre aquellas cuyos modelos din´amicos son netamente diferentes. En particular, son dos las transiciones que deben ser tratadas de forma especial: el choque inel´astico del tal´on del pie de la pierna de

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giro cuando comienza la fase de doble apoyo (apoyo del tal´on) y el final de recorrido de la articulaci´on de la rodilla cuando la pierna de giro se extiende totalmente para facilitar la orientaci´on y longitud del paso siguiente (conservaci´on del momento angular de la cadera en la extensi´on de la rodilla). Apoyo del tal´ on. La separaci´on del modelo din´amico en dos fases: pierna de apoyo y pierna de giro, es la simplificaci´on m´as evidente entre las aplicadas para mantener el nivel b´asico de control lo m´as sencillo posible. Para que el modelo se comporte de forma correcta se debe encontrar un m´etodo de c´alculo que asegure la continuidad en el punto de uni´on de los sistemas de ecuaciones de ambas fases, m´axime considerando que el n´ umero de coordenadas generalizadas, sus referencias y condiciones externas son diferentes. La transici´on de la fase de apoyo a la de giro es suave ya que es un movimiento coordinado y progresivo. Los valores de velocidades de la pierna cinem´atica superpuesta se introducen, con un cambio simple de referencia, como valor inicial en la fase de giro. Sin embargo, la transici´on entre el movimiento de la pierna de giro a la posici´on de apoyo es “traum´atica” ya que se produce con el choque del tal´on con el suelo y debe ser estudiada con detenimiento. En la realidad, todas las colisiones entre cuerpos son no conservativas, pero se conf´ıa a la estructura el´astica de los m´ usculos y tendones la posibilidad de almacenar y devolver m´as tarde la energ´ıa cin´etica de la pierna en el choque. De este modo, es posible aplicar varios teoremas de conservaci´on de la energ´ıa en el instante del apoyo del tal´on en el suelo, logrando la transici´on entre la din´amica de la fase de giro y la de la fase de apoyo. El momento angular del cuerpo superior respecto a la cadera toma los siguientes valores (ver la figura 4.20 correspondiente al modelo din´amico de ambas piernas): → − → − → − (4.15) L 2 cad = I2 θ˙2 + r2 × m2 ρ˙2 Los momentos angulares son perpendiculares al plano sagital y su sentido depende de las referencias angulares tomadas. En particular, si se desarrolla la expresi´on general anterior: → − L 2 cad =(I2 θ˙2 + m2 r2 (y˙ cos θ2 − x˙ sen θ2 ) + m2 r2 ω θ˙1 cos(θ1 − θ2 ) + m2 r22 θ˙2 + → − + m2 r2 ω˙ sen(θ1 − θ2 )) i z En el instante del choque del tal´on con el suelo se conserva el momento angular del cuerpo superior respecto a la cadera. Si denominamos L− 2 cad al momento antes + del choque y L2 cad al momento de despu´es del choque se verifica: + L− 2 cad = L2 cad (I2 + m2 r22 )θ˙2− + m2 r2 (y˙ − cos θ2 − x˙ − sen θ2 ) + m2 r2ω θ˙1− cos(θ1 − θ2 ) = = (I + m r )θ˙+ + m r ω θ˙+ cos(θ − θ ) + m r ω˙+ sen(θ − θ ) 2

2 2

2

2 2

1

1

2

2 2

1

2

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ya que y˙ + = x˙ + = ω˙ − = 0. Por otra parte, tambi´en se conserva el momento angular de todo el sistema respecto al tobillo: → − → − → − → − → − L sis to = I1,to θ˙ 1 + r1 × m1 ρ˙ 1 + I2,to θ˙ 2 + ρ˙ × m2 ρ˙ 2 → − −−−→ → − → − → = L2 cad + I1,to θ˙ 1 + r1 × m1 ρ˙ 1 + − ω × m2 ρ˙ 2 → → → con − ρ =− ω +− r . 2

Desarrollando las multiplicaciones vectoriales por separado: → − → − r1 × m1 ρ˙ 1 = (m1 r1 (y˙ cos θ1 − x˙ sen θ1 ) + m1 r12 θ˙1 ) iz → − → − ω × m2 ρ˙ 2 = (m2 ω(y˙ cos θ1 − x˙ sen θ1 ) + m2 ω 2 θ˙1 + m2 r2 ωθ2 cos(θ1 − θ2)) iz Por lo que la expresi´on general queda como: − → L sis to = L2 cad +(I1,to +m1 r12 +m2 ω 2 )θ˙1 +m2 r2 ω cos(θ1 −θ2)+(m1 r1 +m2 ω)(y˙ cos θ1 −x˙ sen θ1 ) + Si denominamos L− es del sis to al momento antes del choque y Lsis to al de despu´ choque se verifica: + L− sis to = Lsis to

(Isis to + m1 r12 + m2 ω)θ˙1− + m2 r2 ω θ˙2− cos(θ1 − θ2) + (m1 r1 + m2 ω)(y˙ − cos θ1 − x˙ − sen θ1 ) = = (I + m r2 + m ω)θ˙+ + m r ω θ˙+ cos(θ − θ2) sis to

1 1

2

1

2 2

2

1

+ ya que y˙ + = x˙ + = ω˙ − = 0 y L− 2 cad = L2 cad . La tercera y u ´ltima ecuaci´on de conservaci´on de energ´ıa provienen del teorema de conservaci´on de la cantidad de movimiento del cuerpo superior en la direcci´on paralela al eje de la pierna de apoyo: + −  = ρ˙ − Freaccion  Δt = m2 (ρ˙ + 2 − ρ˙ 2 ) ⇒ ρ˙ 2 2

si suponemos Δt ≈ 0

y desarrollando la expresi´on: ρ˙ 2  = ρ˙ 2y sen θ1 + ρ˙ 2x cos θ1 = (x˙ sen θ1 + y˙ cos θ1 ) + ω˙ + r2 θ˙2 sen(θ1 − θ2 ) − + ρ˙ + = ρ˙ − ⇒ (x˙ − sen θ1 + y˙ − cos θ1 ) + r2 θ˙2 sen(θ1 − θ2 ) = ω˙ + + r2 θ˙2 sen(θ1 − θ2 ) 2

2

Antes del instante del apoyo del tal´on la velocidad lineal del tobillo “din´amico” es: ˙ x˙ − = x˙ − ca + ω θ1 cos θ1 y˙ − = y˙ − + ω θ˙1 sen θ1 ca

− − y θ˙1 , θ˙2 se conocen de la fase anterior obteniendo tres ecuaciones y tres inc´ognitas + + θ˙1 , θ˙2 , ω˙ + por lo que es sencillo extraer los valores iniciales de las coordenadas generalizadas de la fase de apoyo.

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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Extensi´ on de la rodilla. Los modelos din´amicos, entre los dos u ´ltimos per´ıodos de tiempo en que se ha dividido la fase de giro, son diferentes, por lo que es necesario inicializar adecuadamente el valor de la coordenada generalizada θ3 para asegurar la continuidad de los movimientos. Tal y como se ha visto en el apartado anterior es correcto acudir a la elasticidad de m´ usculos y tendones para afirmar que en el cambio brusco de movimiento de la rodilla (que se produce para asegurar que la pierna alcanza la orientaci´on y longitud adecuada en el apoyo de tal´on) se conserva + el momento angular respecto a la articulaci´on de la cadera, es decir L− 3 cad = L3 cad → − → − → − → − → − → − → − ˙ ˙ ˙ L− 3 cad = I3 θ 3 + r3 × m3 ρ˙ 3 + I4 ( θ 3 − θ 4 ) + r 34 × m4 ρ˙ 4 → − m3 r3 + m4 (r4 + l3 ) − → θ˙ 34 + − L+ = I r→ 34 34 × m1 ρ˙ 34 con I34 ≈ I1 y r34 = 3 cad m3 + m4 Por lo que se deduce que: → − → − (I3 + I4 + m4 (r4 + l3 )2 + m3 r32 ) θ˙3 − − (I4 + m4 r42 + m4 l3 ) θ˙4 − + m3 r3 + − + m4 (r4 + l3 )(x˙ − ca cos θ3 + y˙ ca sen θ3 ) = → − 2 + ) θ˙ + ˙+ = (I1 + m1 r34 34 + m1 r34 (x ca cos θ3 + y˙ ca sen θ3 ) → − de donde se puede extraer el valor de θ˙ + 34 que inicializa la subfase 3 de giro.

4.5.

MOBIL: Implementaci´ on del modelo cinem´ atico

En la figura 4.32 se presenta la secuenciaci´on de esta fase en la estructura general de MOBiL. Una vez obtenidos los patrones b´asicos del movimiento de marcha a partir de la simulaci´on de la din´amica del modelo propuesto del aparato locomotor humano es necesario mejorar la apariencia final de la animaci´on incorporando el “esqueleto cinem´atico”, formado por 48 segmentos articulados. Para ello, se ha optado por ajustar las fases y subfases del modelo b´asico y desarrollar una nueva temporizaci´on de los movimientos, espec´ıfica para el modelo cinem´atico, mucho m´as cercana a los principios experimentales biomec´anicos. El modelo cinem´atico propuesto, v´alido para ambas fases del ciclo de locomoci´on, se puede observar en la figura 4.33. La forma de calcular los movimientos del modelo cinem´atico superpuesto var´ıa dependiendo de la fase del movimiento en que se encuentre la estructura jer´arquica que representan. Cuando se dispone de suficientes valores de referencia calculados en la din´amica, se utiliza la cinem´atica directa debido al bajo coste computacional. Sin embargo, en ocasiones, se utiliza la cinem´atica inversa para cumplir restricciones que no han sido tenidas en cuenta en el modelo din´amico, como por ejemplo para evitar la intersecci´on de los dedos del pie con el suelo.

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.32. Integraci´ on del m´ odulo de c´ alculo cinem´ atico de la fase esqueletal en MOBiL

Figura 4.33. Modelo cinem´ atico v´ alido para la pierna de apoyo y de giro

4.5.1.

Cinem´ atica de la pierna de apoyo

Como resultado del sistema din´amico se han obtenido las variaciones temporales, a lo largo de un paso, de la longitud de la pierna telesc´opica y de las orientaciones del cuerpo superior y de la pierna de apoyo. Sin embargo, a la hora de reconstruir

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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Figura 4.34. Resoluci´ on de la cinem´ atica de la pierna de apoyo en el sistema de movimiento global

todo el movimiento de la pierna, estos valores no son suficientes, especialmente para obtener las orientaciones de los segmentos que forman las articulaciones de la rodilla, el tobillo y el empeine. Por lo tanto, resulta imprescindible superponer a estas trayectorias b´asicas nuevos c´alculos de velocidades, orientaciones y posiciones, de naturaleza m´as simple por estar basados en la cinem´atica. Por otra parte, la utilizaci´on de un modelo cinem´atico superpuesto ayuda a reflejar los objetivos funcionales que poseen las articulaciones de la rodilla y el tobillo en la locomoci´on del ser humano: Absorber el choque din´amico del apoyo de tal´on de forma que no repercuta en la cadera y tronco Suavizar la transici´on entre los estados de giro y de apoyo Conservar la mayor altura posible del centro de masas corporal en el apoyo del tal´on, como mejora energ´etica frente a la locomoci´on b´ıpeda con extremidades r´ıgidas La cinem´atica de la pierna de apoyo se divide en tres subfases (figura 4.35): contacto o normal (que a su vez se subdivide en: rotaci´on del pie y apoyo plano), despegue del tal´on y despegue del empeine. Los c´alculos cinem´aticos destinados a encontrar la trayectoria de la articulaci´on cadera - pierna (xca , yca ) son comunes a todas las subfases. Por construcci´on del modelo, se conoce la posici´on fija del “tobillo din´amico”, que es origen del segmento de la pierna telesc´opica. De la fase din´amica es posible extraer el valor de la

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.35. Diagrama de la temporizaci´ on de las subfases del modelo cinem´ atico de la pierna de apoyo

orientaci´on y elongaci´on en cada instante (ω, θ1 ), por lo que se deduce que:     x − ω cos θ1 − → → ρto = ;x = y = 0 ;ω = ω sen θ1 y     x ω cos θ1 − → − → → − ρca = ρto + ω ⇒ + ω sen θ1 y Estos c´alculos son necesarios en muchas de las consideraciones cinem´aticas que se presentan a continuaci´on. La figura 4.36 representa las diferentes subfases cinem´aticas de la pierna de apoyo.

Figura 4.36. Subfases del modelo cinem´ atico de la pierna de apoyo

Subfase de contacto o normal. La subfase de contacto empieza con el apoyo del tal´on y termina de forma condicional. En ella se pueden diferenciar dos per´ıodos: el giro

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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del pie sobre el tal´on hasta que alcanza una posici´on horizontal y el apoyo plano sobre el suelo. El primer per´ıodo (t0 ⇒ t1 ) acaba en el momento en que la pierna telesc´opica (en la fase din´amica) pasa por la vertical, o lo que es lo mismo en el instante en que θ1 = 0. En t0 y t1 se conoce la posici´on del tobillo cinem´atico es (en t1 coincide con el tobillo din´amico) por lo que el m´etodo de resoluci´on empleado es la interpolaci´on simple entre ambos valores siguiendo el arco de centro en el punto de apoyo del tal´on y radio la distancia l11 . De esta forma se calcula la posici´on del tobillo cinem´atico. Una vez conocidas las posiciones de dos puntos de la cadena cinem´atica, la cadera y el tobillo, y de las longitudes de todos los segmentos se calculan, de forma inmediata y por cinem´atica inversa, los valores de los a´ngulos θ3 y θ4 (ver figura 4.33). El a´ngulo θ6 es cero durante todo el per´ıodo y θ5 se interpola entre sus valores conocidos (en t0 proviene de los c´alculos de simetr´ıa en el paso y en t1 es el valor normal). El segundo per´ıodo, que corresponde al tiempo en que el pie plano est´a apoyado en el suelo (t1 ⇒ t2 ) comienza a continuaci´on del anterior y termina cuando se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: ω0 ≤ π2 siendo ω0 = π − θ5 ⇒ θ5 ≤ ω ≥ l1

π 2

Normalmente, el final de esta subfase est´a determinado por la primera condici´on, sin embargo, es posible que para longitudes de paso peque˜ nas prevalezca la segunda (en este caso su objetivo ser´ıa evitar la no posibilidad de superponer los segmentos del f´emur y la tibia con el pie plano en el suelo). De la misma forma que antes, para calcular los valores de θ3 , θ4 , θ5 , θ6 se deben resolver dos cadenas cinem´aticas inversas cuyos extremos en ambos casos son conocidos (las posiciones de la cadera y el tobillo y la cadera y la punta del pie). Subfase de despegue del tal´ on. El final del apoyo medio se produce cuando se comienza la fase de doble apoyo. Esta subfase (t2 ⇒ t3 ) se caracteriza por la progresiva elevaci´on del tal´on mientras se mantiene el empeine pegado al suelo. El algoritmo de c´alculo cinem´atico normal busca la posici´on del tobillo como intersecci´on entre un arco de circunferencia (con el centro en la articulaci´on del empeine y radio l12 ) y el segmento de la pierna din´amica, de modo que el tobillo recorre la pierna. Si no existe soluci´on al sistema de ecuaciones anteriores o el segmento calculado cadera - tobillo es mayor que (l3 +l4 ), lo cual puede deberse a una excesiva elongaci´on de la pierna telesc´opica, se debe utilizar un segundo m´etodo de c´alculo: buscar la posici´on del tobillo como intersecci´on entre dos arcos de circunferencia: uno con el centro en la articulaci´on del empeine y radio l12 y otro con centro en la articulaci´on de la cadera (tambi´en conocida) y radio (l3 + l4 ). De esta forma el tobillo ya no se encuentra sobre la pierna din´amica. En este caso incluso podr´ıa suceder un fuerte decremento del ´angulo θ6 (que se deber´ıa incrementar constantemente), por lo que, como nuevo elemento corrector,

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

se activa θ6min lapso , que es un par´ametro de diferenciaci´on de paso que garantiza el m´ınimo incremento de θ6 . Subfase de despegue del empeine. El final de la fase de apoyo din´amica marca el final del movimiento del despegue del empeine. Esta subfase (t3 ⇒ t4 ) se caracteriza por la progresiva elevaci´on del empeine mientras se mantiene la punta del pie en el suelo. Estudios biomec´anicos indican que existe una correlaci´on entre este per´ıodo y la fase de doble apoyo, lo cual refuerza la idea de que es este momento cuando se cambia el soporte del peso corporal al cambiar de pierna. La duraci´on de este per´ıodo coincide por lo tanto con parte del per´ıodo de doble apoyo. El algoritmo de c´alculo cinem´atico se reduce a una interpolaci´on lineal del ´angulo de la rodilla y del tobillo. Seg´ un los mismos estudios biomec´anicos anteriores, existe una flexi´on constante de la rodilla desde el inicio de la fase de doble apoyo hasta 10 % (durf lex rodilla) de la duraci´on del ciclo despu´es de iniciada la fase de giro. Esta flexi´on es casi independiente de la velocidad de marcha y llega hasta los 63o (amax rodilla) [IRT81]. El valor final del a´ngulo del tobillo est´a determinado por el par´ametro de diferenciaci´on del paso denominado apoyof in tobillo. Otro par´ametro de diferenciaci´on del paso que se tiene en cuenta en esta fase es θ6min lapso , que determina el incremento m´ınimo del a´ngulo del empeine en per´ıodo de interpolaci´on. Una vez conocidos dos puntos de la cadena cinem´atica (articulaci´on de la cadera y punta del pie) y dos de sus ´angulos (θ4 y θ5 ) el resto se encuentran perfectamente determinados y se calculan por cinem´atica inversa. En el movimiento cinem´atico de esta subfase hay que tener en cuenta el origen de los datos que la gobiernan: en los per´ıodos anteriores el dato de la posici´on de la cadera se pod´ıa calcular r´apidamente a partir de las coordenadas generalizadas de la din´amica, pero en este caso, la din´amica de control ya gobierna la otra pierna, es decir, la que acaba de comenzar la subfase normal y la posici´on de la cadera s´olo puede ser calculada a partir de ella (incluyendo el complejo movimiento del segmento de la cadera). 4.5.2.

Cinem´ atica de la cadera

En el modelo din´amico la acci´on del cuerpo superior s´olo se recoge mediante el c´alculo del a´ngulo θ2 . Todo el cuerpo se representa como un segmento balanceado para mantener el equilibrio y no caer. Sin embargo, la acci´on de elementos tan importantes como la cadera condiciona la din´amica de la pierna de giro e incluso hace variar algunos de los par´ametros de alto nivel. El movimiento de la cadera es el movimiento de la pelvis, hueso de geometr´ıa compleja que entre otras misiones sirve de engarce de la columna vertebral con las piernas. Igual de compleja que su morfolog´ıa son las trayectorias (normalmente curvas sinusoidales, que minimizan el consumo energ´etico) de los extremos de la pelvis. Por lo tanto, para poder mostrar cada movimiento de forma aislada se

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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Figura 4.37. Resoluci´ on de la cinem´ atica de la cadera en el sistema de movimiento global

considera el plano en el que se produce: coronal, sagital y transversal, seg´ un el sistema de referencias anat´omico de la figura 4.38.

Figura 4.38. Planos de referencia del cuerpo humano

En todos los casos, la cinem´atica est´a gobernada por la simple interpolaci´on hasta alcanzar valores predeterminados como par´ametros de diferenciaci´on del paso (ver Ap´endice C). La variaci´on de estos par´ametros puede producir efectos apreciables en la simulaci´on. En la figura 4.39 se presentan los tres movimientos que se han incluido en la cinem´atica de la cadera y que se corresponden con los que aparecen en la locomoci´on real. El movimiento m´as importante de la cadera es la rotaci´ on p´elvica que discurre en el plano transversal y que entre otras cosas hace que la longitud del paso se

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.39. Movimientos de la cadera durante la locomoci´ on

incremente lp . La rotaci´on p´elvica m´axima se produce en cada apoyo de tal´on y no existe rotaci´on en la subfase de apoyo medio. La expresi´on que rige la rotaci´on p´elvica es: angulorot pelvis = rmax pelvis

lp lp max

donde lp es la longitud del paso, lp max la longitud m´axima y rmax pelvis el valor angular m´aximo de rotaci´on p´elvica. De este modo, la longitud del paso actual queda determinada por: lp act = lp − l0 sen(angulorot pelvis ) donde l0 es la anchura de la pelvis. En el plano sagital la cadera produce un movimiento leve, casi imperceptible visualmente. Por lo tanto, se ha optado por no incluirlo en este trabajo. De cualquier forma, en este plano es donde se observa el efecto de la coordenada generalizada θ2 de la fase din´amica de la pierna de apoyo, por lo que la aportaci´on de un nuevo movimiento de la cadera pr´acticamente no producir´ıa cambios en el movimiento final de la locomoci´on. En el plano coronal o frontal se produce el llamado balanceo p´elvico que consiste en una rotaci´on en torno al eje X que produce que una cadera est´e m´as levantada que otra. Normalmente la cadera de la pierna de giro est´a a una altura menor que la cadera de la pierna de apoyo. La diferencia m´axima de alturas se produce en el

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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comienzo de la fase de giro, es decir, en ese instante la cadera de la pierna de giro est´a en el punto m´as bajo de su trayectoria. En el apoyo de tal´on ambas caderas se igualan en altura, lo cual es imprescindible para que el concepto de simetr´ıa en el paso siga siendo v´alido. El algoritmo utilizado para producir el balanceo p´elvico es: Se extrae el valor m´ınimo de la altura de la cadera de la fase din´amica de apoyo (justo despu´es del apoyo del tal´on). Se calcula la diferencia del valor anterior con la altura de la cadera de la pierna de apoyo en el instante que marca el final de la fase de doble apoyo. Ese es el valor que marca el a´ngulo m´aximo de balanceo p´elvico. Un par´ametro de diferenciaci´on del paso (f bal pelvis) multiplica el valor anterior para exagerar o reducir el balanceo. Se interpola linealmente entre los valores anteriores para extraer la trayectoria coronal de las caderas. Por otra parte, existe un u ´ltimo movimiento caracter´ıstico de la pelvis: el desplazamiento lateral. Se produce en el plano coronal y su objetivo es transferir parte del peso del cuerpo hacia la pierna que se encuentra en cada momento en estado de apoyo. Asimismo, acercando el peso a la pierna de apoyo, es m´as f´acil contrarrestar el movimiento del cuerpo superior. De igual forma que en la rotaci´on p´elvica, los puntos de inflexi´on del desplazamiento lateral se encuentran en la subfase de apoyo medio, en donde es m´aximo, y en el apoyo del tal´on donde toma el valor cero (necesario para que la simetr´ıa de paso siga siendo v´alida). El valor del desplazamiento lateral m´aximo se deduce a partir de la siguiente expresi´on: dlat max = −0,00017241 · fp +

1 dlat pies + 0,001344 6

donde fp es la frecuencia del paso y dlat pies es la distancia entre pies que pondera el desplazamiento lateral (este valor se determina seg´ un un par´ametro de diferenciaci´on del paso f anch paso, que es un factor proporcional a la anchura de la cadera l0 ). La dependencia del par´ametro de alto nivel f p asegura la concordancia con los estudios experimentales que indican que con un mayor n´ umero de pasos por minuto el desplazamiento lateral se disminuye y, por lo tanto, el gasto energ´etico es mayor. 4.5.3.

Cinem´ atica de la propulsi´ on pasiva

El per´ıodo de propulsi´on pasiva corresponde a la u ´ltima fase de la din´amica de la pierna de apoyo. Sin embargo, como se ha optado por mantener el control din´amico en una u ´nica fase se simplifica el comportamiento f´ısico real y el peso y el control del cuerpo se transfieren instant´ aneamente de la pierna en estado de propulsi´on a la nueva pierna de apoyo. Este per´ıodo coincide con la fase de doble apoyo, es decir, es posterior al instante del apoyo del tobillo de la otra pierna y en ´el se calculan las trayectorias de los puntos de control a partir de la cinem´atica de la cadera.

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.40. Resoluci´ on de la cinem´ atica de la propulsi´ on pasiva en el sistema de movimiento global

Figura 4.41. Resoluci´ on de la cinem´ atica de la pierna de giro en el sistema de movimiento global

4.5.4.

Cinem´ atica de la pierna de giro

El modelo cinem´atico de la pierna de giro, a diferencia del de apoyo, coincide con parte de las referencias y coordenadas del modelo din´amico, por lo que se utilizan directamente sus expresiones. En particular las curvas temporales de los valores de los a´ngulos θ3 y θ4 provienen de la din´amica de giro y s´olo es necesario un cambio de origen de la referencia angular. Adem´as, tal y como se resuelven las ecuaciones del movimiento a lo largo de las diferentes subfases de la din´amica de la pierna de giro, se introducen restricciones cinem´aticas en los restantes a´ngulos del modelo, por lo que cinem´atica y din´amica se han resuelto a la par (figura 4.42).

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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Figura 4.42. Diagrama de la temporizaci´ on de las subfases del modelo cinem´ atico de la pierna de giro

La cinem´atica de la pierna de giro se reduce a completar el movimiento del pie en las diferentes subfases mediante la interpolaci´on lineal de θ5 y θ6 entre valores predefinidos como par´ametros de diferenciaci´on del paso. 4.5.5.

Cinem´ atica del cuerpo superior

Figura 4.43. Resoluci´ on de la cinem´ atica del cuerpo en el sistema de movimiento global

La aportaci´on din´amica del cuerpo superior se restringe a un s´olido r´ıgido que se mueve hacia adelante y hacia atr´as para “balancear” las cargas y mantener un equilibrio “din´amico”. El movimiento compensatorio de la columna vertebral y de los brazos, no se considera significativo para la din´amica del sistema, por lo que no se considera en el modelo simplificado de θ2 de la pierna de apoyo. Sin embargo, la apariencia visual de una animaci´on del cuerpo humano es altamente dependiente del movimiento del tronco, brazos y cabeza (ver figura 4.44). En este sistema dichas tareas se conf´ıan a la cinem´atica.

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.44. Visualizaci´ on de la cinem´ atica del cuerpo completo

El modelo cinem´atico del cuerpo superior recoge los principales conjuntos esqueleto-musculares del ser humano mediante una estructura jer´arquica de 39 segmentos que corresponden a todos los elementos que se encuentran por encima de la cadera. Como el cuerpo superior forma una sola estructura jer´arquica, cualquier movimiento en una v´ertebra lumbar, por muy peque˜ no que sea, afecta a todos los elementos que se encuentran por debajo en la cadena cinem´atica, como la cabeza o los brazos. Para su perfecta caracterizaci´on cinem´atica los elementos pueden ser a su vez agrupados en tronco, extremidades superiores y cabeza. Tronco y cabeza. La columna vertebral es el elemento cinem´atico con un n´ umero mayor de articulaciones y segmentos. Su morfolog´ıa y funcionalidad se ha representado en la din´amica por la coordenada generalizada θ2 y el momento generalizado de fuerza Fθ2 . La articulaci´on de la columna con la pelvis mantiene al cuerpo superior erguido y le proporciona un suave balanceo caracter´ıstico hacia atr´as y hacia adelante. La torsi´on de la columna vertebral se ha simulado de manera que la pelvis rote para disminuir el gasto de energ´ıa. Como ya se ha se˜ nalado, el modelo del cuerpo superior consta de: conjunto de v´ertebras lumbares, conjunto de v´ertebras tor´acicas del que “cuelgan” ambos hombros y el conjunto de v´ertebras cervicales, en el que se articula la cabeza. Las v´ertebras lumbares son siete segmentos (lv lumb1 . . . lv lumb7 ), las tor´acicas doce (lv tor1 . . . lv tor12 ) y presentan diferentes longitudes, y finalmente, las v´ertebras cervicales tambi´en est´an formadas por siete segmentos (lv cerv1 . . . lv cerv7 ). Si la pelvis realiza un movimiento de giro, el cuerpo entero se mover´ıa sino fuera por la acci´on compensatoria de todas las v´ertebras. En general, cada v´ertebra s´olo puede realizar movimientos de rotaci´on relativos a su segmento anterior. En el plano sagital, las v´ertebras lumbares compensan de forma proporcional el movimiento angular de θ2 para que no se transmita al resto del cuerpo.

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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En el plano transversal, las v´ertebras lumbares y las 7 primeras tor´acicas compensan proporcionalmente la rotaci´on p´elvica (la u ´ltima v´ertebra es el “punto de inflexi´on” y permanece casi en reposo). A partir de la v´ertebra tor´acica n´ umero 8 hasta la 12, estas v´ertebras giran en sentido contrario para compensar la rotaci´on de los hombros, que es menor y proporcional a la rotaci´on p´elvica. Por u ´ltimo, las v´ertebras cervicales compensan totalmente este u ´ltimo movimiento para que la cabeza no experimente ning´ un giro y se mantenga siempre orientada seg´ un el sentido de la marcha. En el plano coronal, de nuevo son las v´ertebras lumbares las que compensan de forma proporcional el movimiento en este plano de la pelvis. Extremidades superiores. El movimiento del tronco y los brazos est´a relacionados con el movimiento de la cadera y las extremidades inferiores. En la formulaci´on de las ecuaciones del movimiento se desprecia la acci´on din´amica de los brazos, pero su inclusi´on en la fase cinem´atica es vital para completar una animaci´on de apariencia realista. Nuevamente, se interpolan de forma directa los valores de aquellos par´ametros de diferenciaci´on del paso que hacen referencia al movimiento de los segmentos que constituyen las extremidades superiores: dos hombros que cuelgan de la u ´ltima v´ertebra tor´acica, cada uno formado por un om´oplato (l15 ) y una clav´ıcula (l20 ) y de cada uno, se articula un brazo formado por los segmentos de brazo (l21 ), antebrazo (l22 ), palma de la mano (l23 ) y dedos de la mano (l24 ). En el plano transversal los hombros (las clav´ıculas) giran en sentido contrario y de forma proporcional a la pelvis (un 60 % seg´ un el valor de f rot hombro, que es uno de los par´ametros de diferenciaci´on del paso). En el plano sagital, los brazos giran de forma proporcional al a´ngulo que presenta la articulaci´on de la cadera de la pierna opuesta. El factor que gobierna la proporci´on es un par´ametro de diferenciaci´on del paso, f rot brazo, que normalmente toma el valor del 80 %. Como par´ametro de referencia se toma la coordenada generalizada θ1 , cuyo movimiento, extra´ıdo de la din´amica, es m´as adecuado que el que experimenta despu´es de “pasar” por la cinem´atica. Al movimiento anterior del brazo hay que sumarle un nuevo giro, el del antebrazo, ya que es posible observar que se produce una flexi´on del codo durante los instantes finales del giro del brazo. Existen dos par´ametros de diferenciaci´on del paso que marcan el m´aximo y el m´ınimo de la flexi´on del codo: rmax codo, cuyo valor normal es de 35o , y rmin codo, cuyo valor es 0. La flexi´on del codo comienza al final de la subfase 1 de giro (despu´es del m´aximo ´angulo de la pierna opuesta y, por lo tanto, del brazo) y termina en el apoyo del tal´on. En todos los casos los valores intermedios se interpolan de forma lineal desde los valores conocidos de los extremos.

120

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

4.5.6.

Proceso de inicio y fin de la locomoci´ on

El sistema desarrollado, en su funcionamiento normal, es capaz de calcular las posiciones de cada paso, incluso asumiendo cambios de aceleraci´on en la marcha, es decir, incrementando o decrementando los par´ametros de un paso. Sin embargo, no contempla los casos extremos de variaci´on de aceleraci´on que corresponden al inicio y al fin de la locomoci´on. Para contemplar estos dos casos, se han incorporado modificaciones realizadas a medida, provenientes de observaciones experimentales. Asimismo se ha mantenido un compromiso entre la salvaguarda de las caracter´ısticas din´amicas del sistema y la verosimilitud de la apariencia de ambas acciones, aunque ambas simulaciones tienen cierto car´acter de arbitrariedad que deber´a ser refinado en trabajos posteriores. Simulaci´ on del inicio de la locomoci´ on. El inicio de la locomoci´on corresponde al movimiento de pasar del reposo (equiestaci´on) a dar el primer paso y se caracteriza por levantar, suavemente y desde el suelo, la pierna de giro, mientras la pierna de apoyo impulsa el cuerpo hacia delante. Para poder aprovechar la caracterizaci´on din´amica de la subfase 1 de la pierna de giro es necesario modificar algunos de los par´ametros que la gobiernan. El movimiento de la pierna de giro es el que sirve como elemento de control de la puesta en marcha de la locomoci´on, y la acci´on principal de la din´amica de esta nueva subfase es “elevar y sustentar” al pie, en contraposici´on a su funcionamiento normal, en la que se “arrastra” el pie para llevarlo por delante del centro de masas del cuerpo, y lo proyecta hacia adelante para que en fases posteriores finalice en la posici´on adecuada al volver al suelo. Sin embargo, a pesar de que se modifican las condiciones de contorno, se sigue el mismo principio de trabajo que se utiliza en la formulaci´on general: bloquear cinem´aticamente el a´ngulo de la rodilla en cada instante del calculo din´amico hasta que la cadera alcance la orientaci´on deseada. La diferencia en el modelado funcional consiste en no utilizar una curva polinomial para restringir la trayectoria del tobillo, limit´andose a mantener el movimiento ascendente de la punta del pie en una recta vertical. Sin embargo, puede ocurrir una excepci´on si el a´ngulo de la cadera no ha conseguido alcanzar la orientaci´on debida en el momento en que la rodilla y la punta del pie est´an alineadas verticalmente. En ese caso es necesario que la punta del pie mantenga la posici´on inferior respecto de la rodilla hasta el final de esta subfase “especial”, lo que se consigue incrementando de forma autom´atica el a´ngulo de la cadera, θ3 y haciendo que la punta del pie se mantenga en todo momento en la misma vertical que la rodilla. De esta manera, se permite la inicializaci´on normal de la subfase 2 de la pierna de giro. Simulaci´ on del final de la locomoci´ on. El final de la locomoci´on corresponde al proceso de detenerse por completo disminuyendo el tiempo y recorrido del u ´ltimo paso. Este per´ıodo se caracteriza por la bajada de la pierna de giro hasta que el pie est´a paralelo al de la otra pierna y en contacto con el suelo. Para la simulaci´on del u ´ltimo paso

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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de la marcha tambi´en es necesario ajustar la temporizaci´on de las fases din´amicas de la pierna de giro. Como en este caso la distancia que recorre el pie de giro hasta reposar paralelamente al lado del otro pie es sensiblemente inferior, las subfases de propulsi´on de la pierna de apoyo se reducen exactamente a la mitad de su tiempo caracter´ıstico y la subfase 1 de la pierna de giro se extiende hasta el final del per´ıodo de tiempo de giro. La subfase 1 de giro se debe modificar para ser dividida en dos: En un primer momento la orientaci´on final del a´ngulo de la cadera es la necesaria para que la rodilla se encuentre en la vertical con la punta del pie y a la misma altura que el pie de apoyo. Una vez alcanzado el final del per´ıodo de tiempo de giro de la subfase 1, el pie se hace descender en l´ınea recta hasta el suelo al final del per´ıodo de giro, bloqueando cinem´aticamente el ´angulo de la rodilla y teniendo cero como valor final del ´angulo de la cadera.

4.6.

C´ alculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones

Figura 4.45. C´ alculo de momentos netos en el sistema de movimiento global

En las articulaciones de un sistema m´ usculo-esqueletal est´an activas tres tipos de fuerzas: las fuerzas en tendones y m´ usculos, las fuerzas de contacto y las fuerzas de los ligamentos. Por conveniencia, las fuerzas de los ligamentos y las de contacto frecuentemente se combinan en las fases de modelado y c´alculo para formar las fuerza y momentos de fuerza netos o resultantes. Las fuerzas y los momentos de fuerza netos en las articulaciones son expresiones “simplificadoras” que reflejan el comportamiento global de las complejas interacciones entre huesos, ligamentos y m´ usculos. Estos valores se obtienen

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Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

normalmente mediante din´amica inversa a partir de los datos provenientes de la rotoscop´ıa (desplazamiento, orientaci´on, velocidad y aceleraci´on) de cada una de las partes del cuerpo analizadas en los laboratorios de estudio del paso. En cambio, en el sistema MOBiL estos mismos datos se obtienen directamente a partir del modelo cinem´atico anteriormente presentado. Las fuerzas y momentos de fuerza netos son una v´ıa de entrada para la implementaci´on del modelo m´ usculo-esqueletal del sistema MOBiL. Estos patrones son necesarios para calcular los valores de fuerza de los m´ usculos que “atraviesan” una articulaci´on. En este apartado se presenta, como la u ´ltima “fase” del sistema de locomoci´on, en primer lugar, el fundamento te´orico de la determinaci´on de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos y, posteriormente, el m´etodo propuesto para su obtenci´on. 4.6.1.

Determinaci´ on de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos

En general, las fuerzas que act´ uan sobre un modelo de segmentos r´ıgidos interconectados (como es el propuesto en la fase din´amica previa) son las siguientes [Win90]: Fuerzas de gravedad: act´ ua empujando hacia abajo el centro de masas de cada segmento y es igual a la magnitud de la masa por la aceleraci´on debido a la gravedad (normalmente 9.8 m/s2 ). Fuerzas externas o de reacci´on del suelo: se miden por medio de transductores y se representan como vectores que act´ uan en un punto, normalmente en el “centro de presi´on”. Fuerzas de m´ usculos y ligamentos: El efecto neto de la actividad muscular en una articulaci´on se calcula en t´erminos de los momentos netos de los m´ usculos, los cuales incluyen las fuerzas ejercidas por los m´ usculos antagonistas, los efectos de fricci´on en las articulaciones o la fricci´on dentro del m´ usculo. Los momentos generados por las estructuras pasivas, como los ligamentos, se tienen que sumar o restar de los momentos generados por los m´ usculos. Sin embargo, la contribuci´on de los tejidos pasivos es imposible de determinar cuando el m´ usculo est´a activo. Debido a la complejidad que presenta la resoluci´on de estos modelos interconectados si se consideran a la vez todos los segmentos que componen el cuerpo humano, se suelen utilizar los denominados “Diagramas de Cuerpo Libre” (FreeBody Diagrams) para sistematizar los c´alculos [BF50]. El modelo articulado original se divide en partes, seg´ un los segmentos que lo componen (ver figura 4.46). Normalmente la separaci´on en segmentos se hace en las articulaciones de forma que en el diagrama de cuerpo libre resultante se puedan ver las fuerzas que act´ uan en cada articulaci´on. Este procedimiento permite trabajar con cada segmento y calcular todas las fuerzas de reacci´on en las articulaciones, desconocidas, ya que, de acuerdo

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

123

Figura 4.46. Relaci´ on entre el modelo de segmentos interconectados y el diagrama de cuerpo libre

a la 3a ley de Newton, existe una fuerza igual y opuesta en cada articulaci´on del modelo. La determinaci´on de las fuerzas y los momentos entre los segmentos bas´andose en datos cinem´aticos requieren las soluci´on del problema din´amico inverso [CB81], tal como se observa en la figura 4.47. La derivaci´on de las ecuaciones de movimiento pueden basarse en formulas Newtonianas o Lagrangianas [And95].

Figura 4.47. Relaci´ on entre la cinem´ atica, la cin´etica y los datos antropom´etricos y las fuerzas, momentos, energ´ıas y potencias usadas como soluci´ on inversa de un modelo de segmentos interconectados

La soluci´on m´as simplificada es aquella que asume que los efectos cinem´aticos son despreciables, permitiendo an´alisis “casi-est´atico”. El equilibrio est´atico es la condici´on en la cual un cuerpo est´a en reposo y las fuerzas y momentos internos y

124

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

externos se encuentran balanceados. Es necesario mantener equilibrio de rotaci´on y traslaci´on para cada segmento del cuerpo. Por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio est´atico para cada segmento del cuerpo son:  F =0  M =0 Sin embargo, para situaciones din´amicas, el cuerpo puede modelarse por un n´ umero de segmentos r´ıgidos, en movimiento, interconectados en las articulaciones. Si se conocen las historias de desplazamientos, las propiedades de masa de los segmentos, y las fuerzas externas aplicadas, entonces es posible determinar los momentos y las fuerzas entre segmentos que act´ uan en la extremidad, aplicando las ecuaciones de movimiento del sistema seg´ un la 2a ley de Newton. Este es el caso del presente trabajo. 4.6.2.

Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL

Por las propias caracter´ısticas del sistema de simulaci´on propuesto, hasta este momento, no hab´ıa existido la necesidad de calcular los valores de fuerza y momentos de fuerza netos que se producen en las articulaciones, ni los valores de fuerzas y momentos de reacci´on que se producen en el contacto del pie con el suelo. Sin embargo, estos valores son importantes para validar el comportamiento f´ısico del sistema. Conceptualmente el m´etodo utilizado es equivalente a la utilizaci´on de din´amica inversa en los laboratorios del paso, salvo que en este caso los datos cinem´aticos provienen de la simulaci´on en vez de hacerlo desde un sistema de rotoscop´ıa. Las resultantes intersegmentales de fuerzas y momentos se determinan mediante din´amica inversa bas´andose en estos valores, en los valores de masa e inercia de los segmentos del cuerpo y en las fuerzas externas. Adem´as se incorporan directamente algunos valores de fuerzas extra´ıdos de la fase din´amica de MOBiL (como el modelo din´amico es extremadamente simple no contempla, por ejemplo, las articulaciones de la rodilla y el tobillo en la pierna de apoyo). Para ilustrar el m´etodo se aplica en primer lugar al modelo din´amico de la pierna de apoyo. En la figura 4.48 se puede observar los FBD (Free Body Diagram) del cuerpo superior y de la pierna telesc´opica. A partir de cada uno de los diagramas FBD de los diferentes segmentos se plantean las ecuaciones de la 2a ley de Newton de la din´amica de s´olidos r´ıgidos, en este caso en un u ´nico plano, el de avance de la locomoci´on (ver ecuaci´on 4.16). − → → αi (4.16) Mi =Ii − − → → ai Fi =mi −

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

125

Figura 4.48. Free Body Diagram del cuerpo superior y de la pierna telesc´ opica

− → → donde Mi es el momento de fuerza, Ii el momento de inercia, − αi la aceleraci´on → − → − angular, Fi es la fuerza, mi la masa y ai es la aceleraci´on, para cada segmento i. Si se desarrolla el sistema de ecuaciones anterior (ecuaci´on 4.16) para el cuerpo superior (i = 2), con las mismas variables espaciales que las utilizadas en el modelo din´amico (ver figura 4.20), se plantean las tres siguientes ecuaciones: Mca + Fcay r2 sen θ2 + Fcax r2 cos θ2 = I2 θ¨2 Fcay − m2 g = a2y m2 Fcax = m2 a2x

(4.17)

donde Mca es el momento neto de la cadera y Fca es la fuerza neta sobre la articulaci´on. En este caso se tienen como inc´ognitas Fcax , Fcay y Mcay con lo que, al disponer de un n´ umero igual de ecuaciones, ´estas se pueden resolver de forma directa. Para el segmento i = 1 que corresponde a la pierna de apoyo telesc´opica, se tiene: Msuelo − Mca + Fsueloy r1 sen θ1 + Fsuelox r1 cos θ1 + + Fcax (ω − r1 ) cos θ1 + Fcay (ω − r1 ) sen θ1 = I1 θ¨1 Fsueloy − m1 g − Fcay = a1y m1 Fsuelox − Fcax = m1 a1x

(4.18)

donde Msuelo es el momento neto que produce el suelo, como reacci´on al momento neto que produce el pie, de la misma forma que Fsuelo es la fuerza neta de reacci´on. Introduciendo el valor de las variables de la cadera cuya soluci´on ya se conoce, umero de ecuaciones, quedan tres inc´ognitas: Msuelo , Fsuelox y Fsueloy para el mismo n´ de forma que su resoluci´on es directa.

126

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Es importante resaltar que, aunque en el modelo din´amico se obtienen directamente los valores de Fθ1 , Fθ2 , Fω a lo largo del tiempo, en este caso no se deben incluir ya que corresponden a Fuerzas y Momentos de Fuerza “externos y aislados” aplicados a cada segmento. De hecho, su acci´on se encuentra presente en los valores de aceleraci´on, lineal y angular, que experimentan ambos segmentos y, desde ese punto de vista, est´an incluidos en la expresi´on de los momentos de fuerza y fuerza netos que se pretenden obtener. Como resumen, se puede afirmar que se han sustituido las expresiones “ad hoc” (pero muy funcionales) correspondientes a Fuerzas y Momentos de Fuerza externos aplicadas a cada segmento por separado unmente aceptadas en Biomec´anica que responden (Fθ1 , Fθ2 , Fω ) por expresiones com´ a la interacci´on neta entre segmentos y con el suelo (Fca , Fsuelo , Mca y Msuelo ). El mismo m´etodo, pero con mayor complejidad se plantea para calcular todas las fuerzas y momentos de los segmentos y articulaciones del modelo esqueletal susceptibles de ser utilizados en el c´alculo posterior de los valores de fuerza muscular. En la figura 4.49 se puede observar los FBD del cuerpo superior y de los segmentos correspondientes al f´emur, al conjunto tibia-peron´e y al pie.

Figura 4.49. Free Body Diagram de la pierna de apoyo

El modelo de segmentos articulados que se utiliza es equivalente al de la fase cinem´atica y los momentos netos de las articulaciones se trabajan por separado, seg´ un las diferentes fases del ciclo de locomoci´on planteadas en el sistema de simulaci´on anteriormente expuesto. El momento y fuerza resultante entre segmentos se puede considerar que act´ ua en el extremo proximal y distal de cada segmento del cuerpo. Estos momentos y fuerzas

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

127

son los efectos cin´eticos netos que los segmentos consecutivos tienen entre ellos. Es necesario se˜ nalar que estas resultantes entre segmentos son cantidades cin´eticas conceptuales que no necesariamente est´an f´ısicamente presentes en una estructura anat´omica simple. En cambio, las fuerzas y momentos resultantes representan el vector suma de todas las fuerzas en la estructura anat´omica y el vector suma de todos los momentos producidos por esas fuerzas. En este caso, el valor resultante de los momentos y fuerzas netos de la cadera son exactamente iguales al modelo m´as simple de la pierna telesc´opica, previamente calculado. Las fuerzas y los momentos de fuerzas netos en las articulaciones de la rodilla y el tobillo se calculan de forma similar. Por u ´ltimo, el problema de calcular las fuerzas que act´ uan realmente dentro de las articulaciones se puede pensar como un problema de distribuci´on. Dicho problema es el punto de arranque de la fase m´ usculo-esqueletal que se detalla en el siguiente cap´ıtulo (secci´on 5).

4.7.

Validaci´ on de la fase esqueletal

La validaci´on de la fase esquletal del sistema MOBiL se establece verificando sus resultados por comparaci´on con datos experimentales. Para verificar el conjunto de resultados se han realizado comparativas de los principales indicadores durante un ciclo de locomoci´on. Los indicadores corresponden a funciones temporales que representan el comportamiento de las principales articulaciones seg´ un valores de geometr´ıa, fuerza o momento de fuerza. Todas estas funciones elegidas como referencia se corresponden a patrones de funcionamiento com´ unmente utilizados (y aceptados) en la Biomec´anica En todos los casos de los pr´oximos apartados, las gr´aficas se corresponden a los resultados de MOBiL simulando a una persona de 80 kg de masa y 1.80 m de altura y de complexi´on normal, caminando con una velocidad, longitud y cadencia de paso natural, en este caso, a 5 km/h, 0,77 m de paso y 107,6 pasos/minuto. 4.7.1.

Comparaci´ on de variaciones angulares

En primer lugar se presentan comparativas de los patrones de variaci´on angulares de las principales articulaciones que intervienen durante un ciclo de locomoci´on. Las figuras 4.50, 4.51 y 4.52 presentan comparativas con datos experimentales [Win87] de los patrones temporales de los a´ngulos de las articulaciones de la cadera, rodilla y tobillo, respectivamente. Se puede observar una clara similitud entre los l´ımites superior e inferior, los intervalos de crecimiento y las pendientes, por lo que se considera que la geometr´ıa y el movimiento del sistema simulado est´an muy cercanos a la realidad.

128

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.50. Comparaci´ on entre los valores angulares de la cadera obtenidos de la simulaci´ on y de datos experimentales

Figura 4.51. Comparaci´ on entre los valores angulares de la rodilla obtenidos de la simulaci´ on y de datos experimentales

Figura 4.52. Comparaci´ on entre los valores angulares del tobillo obtenidos de la simulaci´ on y de datos experimentales

4.7.2.

Comparaci´ on de valores de fuerzas

Con la vista puesta en la fase siguiente, es importante validar los resultados de fuerza neta de las articulaciones seg´ un datos experimentales. Una de las magnitudes importantes en Biomec´anica es la fuerza de soporte, que es producida por el suelo sobre el pie durante la fase de apoyo. La fuerza de reacci´on vertical del suelo se mide rutinariamente en los laboratorios del paso y su forma para un paso normal es muy conocida. Se puede observar en la figura 4.53 que este patr´on de fuerza presenta dos m´aximos cuya magnitud es cercana al valor del peso del cuerpo (en este caso el valor es de 80 kg x 9, 8 m/s2 = 800 Newtons). La gr´afica experimental [Whi03]

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

129

est´a normalizada respecto al peso del cuerpo y aunque corresponde a una mujer de 55 kg caminando a una velocidad de 1,7 m/s y a 136 pasos/minuto, es un patr´on com´ un en la locomoci´on humana.

Figura 4.53. Comparaci´ on entre los valores de fuerza de reacci´ on del suelo obtenidos de la simulaci´ on frente a datos experimentales

4.7.3.

Comparaci´ on de valores de momentos

Por u ´ltimo, es necesario verificar los momentos de fuerza netos de las articulaciones seg´ un datos experimentales. En este caso se presenta el momento de fuerza neto de la cadera durante la fase de apoyo. A pesar del amplio rango de valores que presenta de este patr´on (depende del sexo, par´ametros de locomoci´on y antropometr´ıa del individuo) se puede observar en la figura 4.53 que ambas gr´aficas presentan el mismo orden de magnitud y una clara similitud entre los intervalos de crecimiento y las pendientes, por lo que se considera que la din´amica subyacente del sistema simulado se comporta de forma adecuada, muy cercana a los datos reales. La gr´afica experimental [Whi03] est´a normalizada respecto a la masa del cuerpo y corresponde a la misma locomoci´on de la gr´afica anterior.

4.8.

Conclusiones

En este cap´ıtulo se ha presentado la implementaci´on del primer m´odulo del sistema MOBiL. Dicho m´odulo no s´olo permite animar los diferentes segmentos y articulaciones de un modelo de cuerpo humano caminando, sino tambi´en calcular sus valores cinem´aticos y din´amicos sin necesidad de utilizar los complejos dispositivos de los laboratorios especializados en el an´alisis del movimiento [BRS03]. La comparativa entre los datos obtenidos en los laboratorios por medio del equipamiento m´edico y los datos obtenidos por el sistema de software se puede observar en la Tabla 4.1.

130

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

Figura 4.54. Comparaci´ on entre los valores de Momento de fuerza neto en la articulaci´ on de la cadera, obtenidos de la simulaci´ on frente a datos experimentales Datos Experimentales

Datos en MOBiL

Fuerzas de Reacci´ on del Suelo

SI

SI

Actividad Muscular (EMG)

SI

Patrones de Fuerzas

SI

Tabla de medidas param´etricas

Medidas Antropom´etricas

Tablas Estad´ısticas Captura de datos cinem´ aticos

SI

NO

Modelado del esqueleto

SI

SI, tres niveles:

C´ alculos en 3D

SI

pierna de apoyo y cuerpo din´ amico Din´ amica en 2D Visualizaci´ on Cinem´ atica 3D M´ etodo de Resoluci´ on

Ecuaciones Din´ amica Inversa

Ecuaciones Din´ amica Directa Root Finding

Fuerzas de Reacci´ on de las Articulaciones

SI

Articulaci´ on de la cadera

Todas las articulaciones

Articulaci´ on del tobillo (ambas en la fase de apoyo)

Momentos de fuerza en las articulaciones

SI

Cadera (ambas fases)

en todas las articulaciones

Rodilla (fase de giro) HAT (Cabeza, Brazos, Tronco) en fase de apoyo

Diferencias f´ısicas entre los individuos

NO

SI

Tabla 4.1. Comparaci´ on entre la obtenci´ on experimental de datos y la obtenci´ on de datos en MOBiL

Dichos datos cinem´aticos y din´amicos se han validado en las figuras 4.50, 4.51, 4.52, 4.53 y 4.54, y se observa un alto grado de correspondencia con los datos obtenidos de manera experimental.

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131

132

Cap´ıtulo 4: Simulaci´ on de la fase esqueletal

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[BS79] [BTC94] [BTT90] [BW95]

[BY95]

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134

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[LPV92]

[LvdPF96]

[LW89] [MAB92] [Mae95] [Mar73] [Mar94] [MBT96]

[McG90a] [McG90b] [McM84] [MG01] [MM80] [MMZ85] [MS84] [MTLT88]

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[SU84] [Sut01] [TIYK85] [TM66] [TMT87] [Tow85] [TP88] [TT94]

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[Web51] [Wei01] [WH96] [Whi03] [Win87] [Win90] [WK88] [WP95]

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Simulaci´ on de la deformaci´ on local del 5 m´usculo: Fase m´usculo-esqueletal

5.Simulaci´ on de la deformaci´ on local del m´ usculo: Fase m´ usculoesqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.1. Deformaciones musculares: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.1.1.Modelos geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.1.2.Modelos basados en la f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.1.3.Modelos h´ıbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1.4.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.2. Fuerzas y acciones musculares en la locomoci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.2.1.M´etodos experimentales de obtenci´on de fuerzas musculares . . . . . . 149 5.2.2.An´alisis funcional de las acciones musculares durante la locomoci´on 150 5.3. Descripci´on del sistema de deformaci´on local del m´ usculo . . . . . . . . . . . . 153 5.4. Modelo basado en l´ıneas de acci´on: Introducci´on de m´ usculos en el modelo esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.4.1.Distribuci´on de fuerzas musculares en las articulaciones . . . . . . . . . . 154 5.4.2.MOBiL: Implementaci´on del modelo de l´ıneas de acci´on muscular . 157 5.5. Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones locales de los m´ usculos164 5.5.1.Formulaci´on matem´atica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.5.2.Formulaci´on por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.5.3.MOBiL: Implementaci´on del sistema de deformaciones . . . . . . . . . . 171 5.6. Validaci´on de la fase m´ usculo-esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

137

Simulaci´ on de la deformaci´ on local del m´ usculo: Fase m´ usculo-esqueletal

En el cap´ıtulo anterior se han estudiado y simulado los movimientos diferentes partes del cuerpo durante cada una de las fases del ciclo locomoci´on humana. En el marco de este movimiento global del cuerpo circunscribe el trabajo que se desarrolla en este cap´ıtulo: la simulaci´on las deformaciones locales de los m´ usculos (ver figura 5.1).

de de se de

Figura 5.1. Fase m´ usculo-esqueletal del Sistema MOBiL

Para abordar este tema, en primer lugar se presenta un estado del arte de las t´ecnicas que permiten simular objetos deformables, centrado en los trabajos relacionados con los o´rganos y los m´ usculos. De entre todos ellos, el sistema MOBiL utiliza el m´etodo de elementos finitos (FEM) por ser la t´ecnica de modelado que mejor responde a los objetivos generales de este trabajo: verosimilitud en el movimiento y en la forma. Este m´etodo basado en la f´ısica requiere del c´ alculo previo del patr´ on de fuerza muscular. Esta 139

140

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

necesidad es la que gobierna los siguientes apartados de este cap´ıtulo: el estudio de la actividad funcional de los m´ usculos durante la locomoci´ on y la formulaci´ on un modelo, denominado de l´ıneas de acci´ on muscular, que es el modelo de bajo nivel necesario para condicionar adecuadamente el modelo FEM final. La u ´ltima parte del cap´ıtulo se reserva a la formulaci´ on matem´ atica del modelo FEM, utilizado para representar el m´ usculo y sus deformaciones, el m´etodo de resoluci´ on seleccionado para este problema y la descripci´ on del modelo desarrollado. Este cap´ıtulo finaliza con la conclusi´on de que el encadenamiento de los dos modelos m´ usculo-esqueletales permite que el sistema MOBiL simule deformaci´on local muscular en coordinaci´ on con el movimiento global del cuerpo durante la locomoci´ on.

5.1.

Deformaciones musculares: Estado del arte

En el mundo de la Inform´atica Gr´afica, los objetos “no r´ıgidos” han sido estudiados por m´as de dos d´ecadas [GM97] [BGS02] en gran variedad de aplicaciones. Estas aplicaciones abarcan a´reas muy diversas, desde el dise˜ no asistido por ordenador [GP89] [Far90], donde los objetos “deformables” se utilizan para crear y editar curvas, superficies y s´olidos, hasta el dise˜ no de ropa [Wei86] [NG96], donde se utilizan para simular pliegues y arrugas en los tejidos, o el an´alisis de im´agenes [MT96], donde se utilizan para segmentar im´agenes y hallar aquellas curvas (o superficies curvas) que se adec´ uan a un determinado contorno. En el ´area de la animaci´on por ordenador, los modelos deformables se han considerado especialmente en la simulaci´on del movimiento de la ropa [KG90] [MTY91] [Rob98] [TWZC99], las expresiones faciales [Wat87] [MTPT88] [Rob98] [WKMMT99] y en la representaci´on y movimiento tanto de animales [Wil95] [Wil97] [Ng 01] como de seres humanos [CHP89] [Tur95]. Finalmente, los sistemas de entrenamiento y simulaci´on en cirug´ıa virtual utilizan estos modelos para representar el comportamiento f´ısico de los diferentes tejidos, m´ usculos y ´organos [BNC96] [CDA99] [CDA00] [KC ¸ M00]. Las t´ecnicas que se utilizan para el modelado de las deformaciones de los objetos var´ıan desde los m´etodos puramente geom´etricos, donde se ajustan manualmente puntos de control o par´ametros para editar y manipular la forma, a m´etodos basados en la mec´anica de medios continuos, en la que se consideran los efectos de las propiedades de los materiales, las fuerzas externas y las restricciones de entorno sobre la deformaci´on de los objetos. Debido a la gran profusi´on de investigaciones en las diferentes aplicaciones, la clasificaci´on de las t´ecnicas utilizadas en los modelos deformables se realiza considerando s´olo el a´rea que es objeto de estudio en este trabajo: el modelado de las deformaciones producidas en los o´rganos y, m´as espec´ıficamente, en los m´ usculos. Desde este punto de vista, las t´ecnicas matem´aticas y computacionales utilizadas para modelar los objetos deformables se suelen agrupar de acuerdo a la siguiente clasificaci´on:

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

141

Modelos geom´etricos Modelos basados en la f´ısica Modelos h´ıbridos 5.1.1.

Modelos geom´ etricos

Los modelos geom´etricos se centran en la apariencia de la deformaci´on y se basan en representar la forma del objeto por medio de ecuaciones geom´etricas. Al no basarse en ning´ un principio f´ısico, el resultado final suele depender de la habilidad del dise˜ nador. Sin embargo, una de las ventajas que presentan los modelos geom´etricos es su eficiencia computacional. Deformaciones de Forma Libre. Las Deformaciones de Forma Libre (Free Form Deformations - FFD) son un m´etodo general que permite deformar objetos modificando la forma del espacio en el que se encuentra embebido dicho objeto [SP86], en lugar de ajustar puntos de control individuales. Esta t´ecnica se puede aplicar a diferentes representaciones gr´aficas incluyendo planos, cu´adricas o parches param´etricos, tanto de manera local como global [Bar84]. El uso de las FFD permite conseguir un buen resultado cuando se realizan deformaciones de objetos en 3 dimensiones y se animan utilizando t´ecnicas de interpolaci´on de las posiciones de los puntos de control. Sin embargo, no es posible realizar determinadas acciones como mezclas (blending) o particiones (filleting). Asimismo, la creaci´on de contornos curvos arbitrarios suele ser una tarea dif´ıcil. Para superar las limitaciones de las FFD b´asicas se proponen varias ampliaciones [Coq90] [CJ91] [HHK92]. En el trabajo de Kalra et al. [KMTT92] se desarrolla un m´etodo de Deformaciones de Forma Libre “Racionales” (RFFD) para simular la acci´on de los m´ usculos de la cara en las expresiones faciales. La ventaja de las FFD Racionales es que proveen un mayor grado de libertad a la hora de manipular las deformaciones utilizando y modificando pesos en los puntos de control. Cuando dichos pesos son iguales a la unidad, las deformaciones son equivalentes a las obtenidas por medio de FFD b´asicas. En un trabajo m´as reciente se presenta un m´etodo multi-capa para el modelado de deformaciones, en el que utilizan Deformaciones de Forma Libre de Dirichlet (DFFD) para representar la capa intermedia entre el esqueleto y la piel en la simulaci´on del movimiento de las manos [MMT97]. Esta t´ecnica combina las FFD tradicionales con las t´ecnicas de interpolaci´on de datos dispersos basadas en la triangulaci´on de Delaunay y los diagramas de Dirichlet/Voronoi. Superficies Impl´ıcitas. En muchos casos, los modelos geom´etricos suelen utilizar superficies impl´ıcitas como “primitivas de construcci´on” que permiten modelar y animar formas complejas. Las formas finales se construyen por composici´on de primitivas y las superficies resultantes cambian de forma a medida que las

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primitivas se mueven y deforman. La principal ventaja de este m´etodo es que se basa en algoritmos simples y los resultados visuales que se obtienen suelen ser buenos. Algunas superficies impl´ıcitas como los “blobs” [Bli82], las “superficies de convoluci´on” [BS91] o los “objetos blandos” [WMW86] han recibido gran atenci´on en el campo de la Inform´atica Gr´afica. En el caso del modelado de la musculatura humana es com´ un utilizar superficies impl´ıcitas definidas por elipsoides, ya que ´estos aproximan relativamente bien la apariencia de los m´ usculos fusiformes [SPCM97] [Wil97]. En [Wil95] se modelan y animan animales utilizando huesos y m´ usculos individuales, tejidos blandos y piel. En ese caso, los m´ usculos est´an representados como una combinaci´on de tres elipsoides (dos tendones y un m´ usculo entre ellos). A pesar de su simplicidad, los elipsoides no permiten representar muchas de las formas de los m´ usculos. Por ello, posteriormente, los mismos autores [WV97] extienden su trabajo a un modelo basado en la anatom´ıa donde los m´ usculos se representan por medio de cilindros deformables discretizados que yacen entre puntos fijos de or´ıgenes e inserciones en huesos espec´ıficos (ver figura 5.2). Considerando tambi´en un modelo basado en la anatom´ıa, en [SPCM97] los m´ usculos se representan por medio de un conjunto de elipsoides posicionados a lo largo de dos curvas Spline. En este trabajo la flexi´on y el aumento de la musculatura se simula relacionando los grados de libertad de cada elipsoide con los grados de libertad de las articulaciones del esqueleto subyacente.

Figura 5.2. Representaci´ on muscular por medio de un cilindro generalizado [WV97]

[Tur95] desarrolla un sistema para construir y animar caracteres tridimensionales bas´andose en un modelo de capas de superficies el´asticas. Los m´ usculos se modelan por medio de superficies impl´ıcitas deformables (cuyas primitivas son esferas, cilindros y superelipses) en las cuales no puede penetrar la piel. La deformaci´on de los m´ usculos se simula considerando par´ametros de deformaci´on global relacionados con los valores que toman los a´ngulos de las articulaciones involucradas. Tambi´en Shen [She96] implementa un modelo multi-capa similar para la representaci´on de huesos, m´ usculos y tejidos blandos. En este caso utiliza esferoides y metaballs elipsoidales [ST95] para el dise˜ no interactivo de cuerpos humanos y la simulaci´on de su movimiento.

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

5.1.2.

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Modelos basados en la f´ısica

Los modelos basados en la f´ısica se basan en principios f´ısicos para obtener apariencia realista en fen´omenos f´ısicos complejos que son imposibles de modelar mediate t´ecnicas puramente geom´etricas. La simulaci´on por medio de estos modelos incluye la discretizaci´on geom´etrica y temporal de las relaciones que describen el fen´omeno f´ısico (ver figura 5.3).

Figura 5.3. Pasos de los modelos basados en la f´ısica

Modelos masa-muelle. Los modelos masa-muelle se caracterizan por representar los objetos como una malla o colecci´on de puntos de masa interconectados mediante muelles y amortiguadores. En la mayor parte de las aplicaciones los muelles suelen estar sujetos a fuerzas lineales, aunque tambi´en es posible trabajar con muelles no lineales para representar tejidos cuyo comportamiento es inel´astico. El movimiento de cada punto de masa de la malla est´a gobernado por la 2a Ley de Newton y la animaci´on se logra integrando, en el tiempo, las ecuaciones diferenciales del movimiento asociado a cada part´ıcula elemental del sistema. Los modelos masa-muelle se han utilizado en numerosos trabajos relacionados con la animaci´on facial. Platt y Badler [PB81] desarrollan uno de los primeros trabajos en este a´rea utilizando una versi´on est´atica de los sistemas masa-muelle. Las acciones musculares se representan aplicando una fuerza a una regi´on particular de nodos, provocando as´ı un desplazamiento en los nodos adyacentes. Este trabajo se extiende en [Wat87], donde el desplazamiento de los nodos en respuesta a las fuerzas musculares se realiza dentro de “zonas de influencia” parametrizadas. En [TW90] se aplican sistemas masa-muelle din´amicos para la animaci´on facial. Para ello se trabaja sobre una cara gen´erica representada por una malla de 3 capas en la que se consideran la dermis, una capa de tejido blando subcut´aneo y la capa muscular. En trabajos posteriores estos autores generan los modelos faciales a partir de datos provenientes im´agenes m´edicas [WT91] [Wat92] [TW93]. Holton y Alexander simulan deformaciones viscoel´asticas por medio de una “estructura celular blanda” compuesta por un conjunto de puntos de masa y

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conectores [HA95]. El sistema se utiliza para aplicaciones de cirug´ıa virtual en tiempo real y en ´el se prioriza la minimizaci´on del tiempo de c´alculo. Tambi´en en el ´area de la medicina, pero en este caso para su aplicaci´on en la ense˜ nanza, se utiliza un modelo masa-muelle para simular los movimientos de la respiraci´on humana [PBP96] [PBP97]. La superficie del objeto se define por una malla triangular y la evoluci´on de un objeto depende de las fuerzas (internas y externas) que inducen el movimiento actuando sobre los puntos de masa. El m´etodo presentado permite controlar el volumen de los objetos durante su evoluci´on. El sistema de simulaci´on para entrenamiento quir´ urgico KISMET, desarrollado en [KKKN96] permite simular las deformaciones que sufren o´rganos y m´ usculos utilizando un modelo masa-muelle. A pesar de que, en principio, usan modelos de superficies, introducen comportamiento volum´etrico agregando nodos vecinos interiores que conectan con los nodos del lado opuesto del objeto. M´as recientemente, [BMG99] desarrolla un sistema que permite, de forma interactiva, realizar cortes en un tejido blando para la simulaci´on quir´ urgica. El modelo masa-muelle que simula la f´ısica del sistema incluye la detecci´on de colisiones entre el escalpelo virtual y el tejido. Medios continuos. M´ etodo de Elementos Finitos. El m´etodo de los elementos finitos (FEM) trata a los objetos deformables como un medio continuo, dividiendo al objeto en un conjunto de elementos y aproximando la ecuaci´on de equilibrio o movimiento sobre cada elemento. Los objetos se deforman en funci´on de las fuerzas que act´ uan sobre ´el y de las propiedades de los materiales que lo forman. Adem´as, para los problemas de animaci´on es necesario considerar el movimiento del objeto, por lo cual hay que incluir en el modelo los efectos de las fuerzas inerciales del cuerpo y la disipaci´on de la energ´ıa a trav´es de las fuerzas de amortiguamiento, dependientes de la velocidad. De este modo, se obtiene una ecuaci´on diferencial de segundo orden para el desplazamiento de los nodos y el sistema din´amico se resuelve por medio de integraci´on num´erica. ¨ + C U˙ + KU = F MU donde M , C y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del objeto, respectivamente, F es el vector de fuerzas aplicadas y U es el vector de desplazamientos. La principal desventaja de este m´etodo es su alto requerimiento computacional. Por ello, generalmente se asume que el objeto est´a sujeto a peque˜ nas deformaciones, evitando la reevaluaci´on de los vectores de fuerza y las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento a medida que el objeto se deforma. [GTT89] aplica el FEM para modelar la interacci´on entre un objeto deformable y el tejido blando que la mano de un ser humano. Dicha interacci´on se anima por medio de una formulaci´on din´amica, con elementos en 3D. En [PRZ92] se utiliza este m´etodo para modelar la piel en un sistema de cirug´ıa pl´astica facial. Las superficies del cr´aneo y la piel se extraen de im´agenes CT, y s´olo

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se visualizan dichas superficies, reduciendo considerablemente el n´ umero de nodos a tratar. El sistema resuelve las ecuaciones de equilibrio del problema el´astico lineal utilizando un m´etodo est´atico basado en desplazamientos. En [KGPG96] tambi´en se desarrolla un m´etodo de elementos finitos para modelar el tejido facial considerando s´olo caso est´atico. A pesar de que el art´ıculo explica la teor´ıa para el desarrollo del caso no lineal, s´olo se presentan resultados de la implementaci´on lineal. En los trabajos presentados por Bro-Nielsen y Cotin [BNC96] se aplican elementos finitos para modelar las deformaciones del tejido humano durante simulaciones quir´ urgicas. Para obtener resultados en tiempo real utiliza la t´ecnica de “condensaci´on”, que comprime las matrices del sistema volum´etrico reduci´endolo a un sistema de superficies. Sin embargo es dif´ıcil obtener una alta calidad de imagen a la resoluci´on que trabajan. Los m´etodos utilizados por estos autores en diversos trabajos [BN96] [CDA99] mejoran la velocidad pero a costa de un pre-procesamiento considerable y reduciendo la flexibilidad de aquellos objetos cuya forma o topolog´ıa cambian significativamente. Para simular las deformaciones musculares en [ZCK98] se presenta un modelo basado en voxels que permite, por medio de elementos finitos, la resoluci´on est´atica y din´amica del sistema. La malla de voxels se construye de manera jer´arquica, permitiendo aproximaciones volum´etricas del m´ usculo a diferentes resoluciones. Sin embargo, cuando es necesario obtener formas suaves el n´ umero de voxels se incrementa y los requerimientos computacionales se convierten en prohibitivos. Los datos de los m´ usculos se obtienen del Visible Human Project [Vis]. K¨ uhnapfel et al. extienden el trabajo realizado en el simulador quir´ urgico KISMET, para que permita realizar simulaciones de cortes, suturas, aplicaci´on de clips, irrigaci´on del ´area de operaci´on, etc. Las deformaciones en este caso se modelan por medio de un sistema de elementos finitos optimizado, usando condensaci´on [KC ¸ M00]. La visualizaci´on en tiempo real de los vol´ umenes se logra en base a texturas. Modelos continuos aproximados. A pesar de que los modelos aproximados tambi´en son continuos, no se basan estrictamente en las leyes f´ısicas como los m´etodos de elementos finitos descritos anteriormente. Estos modelos se denominan aproximados porque ciertas cantidades f´ısicas, particularmente la energ´ıa de deformaci´on, se formulan para conseguir algoritmos eficientes o para lograr efectos determinados. Uno de los m´etodos basado en la f´ısica m´as conocidos en animaci´on por computador para la simulaci´on de deformaciones fue propuesto en 1987 por Terzopoulos et al. [TPBF87]. En su trabajo, plantea el uso de un modelo continuo para la energ´ıa potencial debida a la deformaci´on del objeto. Este modelo se basa en el c´alculo de formas fundamentales que representan la deformaci´on de un objeto y que se calculan en cada punto aproximando por diferencias finitas, t´ecnica ampliamente utilizada en la discretizaci´on de modelos continuos. A diferencia del

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modelo masa-muelle, este m´etodo se utiliza para calcular las fuerzas internas. En trabajos posteriores, se generaliza la t´ecnica anterior para simular el comportamiento de modelos inel´asticos como la viscoelasticidad, la plasticidad y la fractura [TF88b] [TF88a]. Esto se logra utilizando modelos m´as elaborados para las fuerzas internas que resultan de la deformaci´on, dependiendo del comportamiento del material que se est´e tratando. El modelo es fundamentalmente din´amico y contempla la aplicaci´on de fuerzas, restricciones y detecci´on de obst´aculos. Las simulaciones se realizan por resoluci´on num´erica de las ecuaciones diferenciales subyacentes, pero s´olo se obtiene tiempo real para objetos muy simples. En [DDCB01] se aplica el modelo de aproximaci´on de medios continuos de [TPBF87], pero utilizando resoluci´on adaptativa de espacio y tiempo [DDBC99] para conseguir tiempo real. Este modelo permite la animaci´on de objetos deformables viscoel´asticos en aplicaciones de simulaci´on quir´ urgica, como la laparoscopia del h´ıgado. Otro m´etodo desarrollado en el a´rea de los modelos continuos aproximados son los “snakes”, introducidos para resolver problemas de visi´on por ordenador y an´alisis de imagen [KWT88]. Los snakes son curvas deformables que responden a las fuerzas internas del sistema y minimizan una funci´on de energ´ıa interna. Para su resoluci´on num´erica se discretizan en un conjunto de puntos a lo largo de la curva parametrizada. La deformaci´on se simula utilizando t´ecnicas de integraci´on que minimizan la energ´ıa total. Las derivadas en la ecuaci´on de la energ´ıa se calculan utilizando diferencias finitas. En [CC93] se extiende el trabajo de [KWT88] a 3 dimensiones, utilizando una superficie deformable cil´ındrica para segmentar im´agenes m´edicas del coraz´on obtenidas por resonancia magn´etica. En el art´ıculo, se presentan dos modos de resolver el problema de minimizaci´on de la superficie en 3D, defini´endola como series de curvas planares en 2D. Sin embargo, finalmente se elige el modelo de resoluci´on de elementos finitos sobre el de diferencias finitas debido a su estabilidad y velocidad de convergencia. Bas´andose en los mismos conceptos, [Whi94] introduce los modelos deformables volum´etricos, denominados active blobs en el trabajo, para su utilizaci´on en segmentaci´on y visualizaci´on de una cabeza humana con un tumor, a partir de datos provenientes de MRI y ultrasonido. Tambi´en en los trabajos de [BN94] [BN95] se generalizan los snakes 2D a modelos volum´etricos, pero en este caso el objetivo no es s´olo segmentar y modelar, sino tambi´en simular las deformaciones en operaciones virtuales. En [BN95] se propone un m´etodo para modelar tejido humano por medio de cubos activos o modelos s´olidos activos en 3D. Mediante estos cubos activos se modela la estructura y forma del objeto mientras que para cuantificar la forma de referencia con su deformaci´on se utiliza un tensor m´etrico. Este m´etodo se utiliza para la simulaci´on quir´ urgica craneofacial.

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

5.1.3.

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Modelos h´ıbridos

Sin embargo, algunos autores apuestan por modelos h´ıbridos que permitan incorporar ventajas de diferentes t´ecnicas. A continuaci´on se exponen algunos trabajos basados en t´ecnicas h´ıbridas. En [CZ92] se propone un m´etodo para simular la geometr´ıa y las propiedades del tejido muscular por medio de elementos finitos, modelando los m´ usculos como materiales homog´eneos, lineales e is´otropos. Para simplificar el an´alisis de elementos finitos, el m´etodo se aplica sobre una caja prism´atica que incluye al objeto y la deformaci´on resultante se proyecta en el m´ usculo siguiendo el principio de las FFD. Para mostrar el resultado de la simulaci´on utiliza un modelo anat´omico del biceps humano, donde se observa que la activaci´on del m´ usculo produce un acortamiento del biceps (ver figura 5.4). Lamentablemente, en el modelo s´olo es posible trabajar con un solo m´ usculo, de manera aislada. Y debido a las limitaciones computacionales en esos momentos, se utilizan muy pocos elementos para la simulaci´on.

Figura 5.4. Deformaci´ on de los biceps [CZ92]

[CDA00] presentan tres m´etodos para modelar tejidos blandos bas´andose en elasticidad lineal. El primer m´etodo se basa en FEM cuasi-est´atico con deformaciones precalculadas pero no permite realizar cambios de topolog´ıa en las mallas. El segundo modelo, denominado “tensor-masa”, se basa en la teor´ıa de medios continuos pero permite simular la din´amica de los tejidos blandos de manera similar a los modelos masa-muelle, considerando la fuerza el´astica aplicada a un nodo y permitiendo representar cortes y cambios en la topolog´ıa de las mallas. Finalmente se propone un modelo h´ıbrido que combina las dos t´ecnicas anteriores para su utilizaci´on en la simulaci´on quir´ urgica. En el modelo se definen dos tipos de estructuras anat´omicas diferentes. Aquellas estructuras sujetas al procedimiento quir´ urgico y, por lo tanto, sujetas a cambios en su topolog´ıa se modelan por medio del “tensor-masa”, mientras que aquellas que s´olo se visualizan o deforman se modelan por medio del primer m´etodo. M´as recientemente, en [TBNF03] se presenta un m´etodo denominado “M´etodo de Vol´ umenes Finitos” (FVM) que utiliza la t´ecnica de elementos finitos, pero bas´andose en un entorno geom´etrico en lugar de variacional. El FVM permite

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integrar las ecuaciones de movimiento de forma geom´etrica, compitiendo en simplicidad con los modelos masa-muelle. Pero a diferencia de ´estos, permite incorporar un modelo constitutivo arbitrario. De hecho, para simular los tejidos contr´actiles de los m´ usculos se utiliza un modelo constitutivo hiperel´astico, transversalmente is´otropo y casi incompresible. 5.1.4.

Reflexiones

En base al estudio presentado sobre los distintos m´etodos de representar las deformaciones de los m´ usculos, se infiere que para realizar simulaciones que permitan obtener calidad, hay que utilizar m´etodos basados en la f´ısica. De ´estos, se ha optado por el m´etodo de Elementos Finitos ya que permiten modelar perfectamente las deformaciones locales, la distribuci´on de fuerzas internas a las que est´a sometido un m´ usculo, y su movimiento, adem´as, de permitir representar el interior de los objetos mediante el mallado volum´etrico de los m´ usculos. A pesar de que este m´etodo presenta algunas desventajas como su elevado coste computacional cuando se trabajan sistemas no lineales y grandes deformaciones, o que es necesario mallar los m´ usculos cuyas geometr´ıas no son sencillas, es posible realizar ciertas “simplificaciones” que permitan evitar la re-evaluaci´on de las matrices y que reduzcan los tiempos de c´alculo. Por lo tanto, el m´etodo de elementos finitos es la t´ecnica de modelado que mejor responde a los objetivos generales de esta tesis: realismo en el movimiento y en la forma, y es la que se opta por implementar como modelo b´asico de c´alculo de deformaciones musculares del sistema MOBiL.

5.2.

Fuerzas y acciones musculares en la locomoci´ on

En las dos ultimas d´ecadas, se han desarrollados numerosas t´ecnicas experimentales y anal´ıticas para medir y estimar las fuerzas a las que est´an sometidas las estructuras biol´ogicas. Estas fuerzas pueden ser internas, como las fuerzas resultantes de la actividad muscular o la fuerza generada por el estiramiento de tejidos blandos, o pueden ser externas, como las fuerzas de reacci´on del suelo, fuerzas generadas por otras personas o cuerpos, etc. El conocimiento de la magnitud y el tipo de cargas o fuerzas a las que est´an sometidas las articulaciones y los m´ usculos es de gran importancia para prevenci´on de da˜ nos durante las diferentes actividades y, particularmente, en los deportes. Asimismo, el c´alculo de las fuerzas de las articulaciones y de los m´ usculos internos ofrece informaci´on importante a la hora de dise˜ nar implantes, en cirug´ıa o en programas de rehabilitaci´on. Algunas de las fuerzas se pueden medir por medio de t´ ecnicas experimentales, pero como hay determinados datos imposibles de hallar por medio de estas t´ecnicas, es necesario estimar el resto de las fuerzas, como las que se producen en los m´ usculos y las articulaciones.

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A continuaci´on, en primer lugar, se describen los valores de fuerzas que es posible obtener sobre la locomoci´on humana con determinados m´etodos experimentales, y posteriormente, se presenta el estudio de la actividad funcional de los m´ usculos durante la locomoci´on. 5.2.1.

M´ etodos experimentales de obtenci´ on de fuerzas musculares

Existen varios m´etodos que permiten medir las fuerzas experimentadas por las estructuras biol´ogicas. Estos m´etodos se pueden clasificar seg´ un se midan: (1) las fuerzas externas directamente, (2) las fuerzas internas a partir de se˜ nales de electromiograf´ıa, o (3) las fuerzas internas directamente. Medici´ on de fuerzas externas. La forma m´as simple de obtener las fuerzas que ejerce un cuerpo es por medio de mediciones externas, registrando las fuerzas que se producen en puntos de contacto entre el cuerpo y el entorno. Entre los dispositivos m´as comunes se encuentran las plataformas de fuerza, que permiten medir las fuerzas de reacci´on del suelo (Ground Reaction Forces - GRF ) cuando una persona permanece de pie, camina o corre sobre la plataforma [Whi03]. Estos dispositivos proveen medidas cuantificadas de la fuerza resultante de reacci´on del suelo y del momento resultante en una articulaci´on dada. Lamentablemente, se ha demostrado que estas medidas no se puede utilizar directamente para el an´alisis de los momentos de fuerzas en las articulaciones [Win90]. Sin embargo, como la trayectoria del centro de masas est´a determinado por la historia de la fuerza resultante de reacci´on del suelo, ´este es un indicador importante en los estudios de patolog´ıas de la locomoci´on [AP03]. Otras medidas cuantitativas como el centro de presi´on o la distribuci´on de la presi´on que ejerce la planta de pie en contacto con el suelo, se pueden obtener mediante plataformas de presi´ on [AB76] [Arc90] o zapatos de presi´ on [HM95]. La ventaja de estos dispositivos es que permiten trabajar con la totalidad del a´rea de contacto del pie. Las plataformas de vidrio (glass plates) permiten obtener informaci´on sobre las fuerzas ejercidas por el cuerpo, con la ayuda de espejos o con una c´amara de v´ıdeo que permite grabar el reflejo de un haz de luz cuando el pie se apoya en el vidrio [Whi03]. Lamentablemente, los datos obtenidos por cualquiera de los dispositivos citados previamente proveen muy poca informaci´on acerca de los mecanismos internos del cuerpo. En cambio, los dinam´ ometros isocin´ eticos [TE01] permiten medir momentos musculares, trabajo, potencia y la velocidad y la resistencia en un movimiento, detectando contracciones conc´entricas y exc´entricas del m´ usculo. Pero, desafortunadamente estos dispositivos son muy grandes, y tienen una desventaja importante: para tomar medidas es necesario que la persona est´e ubicada de una manera espec´ıfica dentro de la m´aquina, en una posici´on est´atica. Por lo tanto, es

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Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

imposible registrar informaci´on acerca de determinados movimientos como caminar, correr, saltar, etc. Predicci´ on de fuerzas a partir de electromiograf´ıa. La electromiograf´ıa (EMG) es una t´ecnica que permite medir y grabar las se˜ nales el´ectricas asociadas a una contracci´on muscular [Hof84], insertando electrodos directamente en el m´ usculo o ubicando dichos electrodos en la superficie de la piel, sobre el m´ usculo. Los electrodos recogen las diferencias de potencial el´ectrico del m´ usculo y despu´es pasan por un amplificador para poder visualizarlas en la pantalla de un osciloscopio. El tama˜ no, la forma de la onda y el n´ umero de fases otorgan informaci´on sobre la capacidad del m´ usculo de responder al est´ımulo nervioso. De este modo, es posible saber si un m´ usculo est´a activo y la duraci´on de dicha actividad [Kom73]. Sin embargo, existen muchas variables que pueden influir en la se˜ nal en un momento dado: la velocidad de acortamiento o estiramiento del m´ usculo, la fatiga, la actividad refleja, etc. [Win90]. Asimismo, se ha comprobado que, desafortunadamente, la relaci´on entre las se˜ nales EMG y la fuerza muscular es extremadamente compleja [KBHZ98]. La simplicidad y el bajo coste del EMG motivan el uso de este tipo de m´etodos. Sin embargo, el m´etodo no es tan simple cuando se trata de obtener valores de m´ usculos internos. Y, por otra parte, se ha comprobado que la relaci´on entre las se˜ nales EMG y la fuerza muscular es extremadamente compleja [KBHZ98] ya que puede estar altamente influenciada por el entorno donde se ha puesto la aguja. Todos los m´etodos se suelen combinar con los m´etodos de captura de datos cinem´aticos, como goni´ometros, aceler´ometros, c´amaras sincronizadas de v´ıdeo, fluoroscop´ıa [KKM+ 03], . . . para lograr un an´alisis completo de la actividad muscular durante determinados movimientos del cuerpo humano. Medici´ on directa de las fuerzas internas. La mejor manera de obtener las fuerzas producidas por los m´ usculos o ejercidas en los huesos, es incorporando un transductor directamente a la estructura anat´omica. Esta t´ecnica permite obtener las fuerzas implantando el transductor quir´ urgicamente, ya sea en los huesos, para identificar movimientos del sistema esqueletal, como en los tendones, para comprobar la fuerza que ejerce un m´ usculo determinado. Sin embargo, esta t´ecnica s´olo tiene aplicaci´on en experimentos con animales, y a´ un as´ı, s´olo en casos limitados [Win90]. De hecho, no hay sensores comerciales con estas caracter´ısticas, tanto por los impedimentos “´eticos” como debido a la dificultad t´ecnica de desarrollar sistemas fiables y exactos. En el futuro, la microtecnolog´ıa probablemente superar´a estos obst´aculos, pero por el momento obtener informaci´on por este m´etodo es pr´acticamente inviable [TE01]. 5.2.2.

An´ alisis funcional de las acciones musculares durante la locomoci´ on

Durante la locomoci´on humana intervienen gran parte de los m´ usculos esquel´eticos, los cuales constituyen aproximadamente el 40 % del peso total del

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

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cuerpo de una persona. Pero no s´olo los m´ usculos de las piernas est´an activos... La columna vertebral est´a especialmente desarrollada para servir como soporte a la parte superior del cuerpo, permitir la movilidad y proteger a la espina dorsal. Para mantener la postura erecta de la columna, los m´ usculos posturales est´an contra´ıdos permanentemente durante la locomoci´on. El centro de gravedad de la parte superior del cuerpo humano se encuentra delante de la columna vertebral, por lo que tambi´en los m´ usculos de la espalda est´an activos, para evitar la inclinaci´on de cabeza y hombros. El peso del tronco y de las extremidades superiores se concentra en un punto un poco por delante de la articulaci´on de la cadera, por lo que los m´ usculos de las nalgas suelen estar activos, dependiendo del momento del ciclo de locomoci´on. Los m´ usculos que m´as participaci´on tienen en este proceso pertenecen a la pelvis y a las extremidades inferiores, y se pueden observar en la figura 5.5.

(a) Vista Anterior

(b) Vista Posterior

Figura 5.5. M´ usculos de la pierna

El an´alisis completo de la actuaci´on de los m´ usculos durante las diferentes fases de la locomoci´on humana se detalla en el Ap´endice B. Las fases se corresponden con las fases cinem´aticas previamente descritas en el cap´ıtulo 4. A modo de resumen, se presenta de manera gr´afica la actividad de los principales grupos musculares que intervienen en la locomoci´on, atendiendo a las diferentes zonas en las que act´ uan. En la figura 5.6 se presentan los grupos que act´ uan en la parte inferior de la pierna: grupo pretibial y grupo tr´ıceps sural. El grupo pretibial est´a formado por: m´ usculo tibial anterior, extensor largo del dedo gordo, extensor largo de los dedos y tercer per´oneo. El grupo tr´ıceps sural est´a formado por el gastrocnemio, el s´oleo y el delgado plantar.

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Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Figura 5.6. Actividad muscular en la parte inferior de la pierna

En la figura 5.7 se presentan los grupos que act´ uan en la parte superior de la pierna, y corresponden al muslo: grupo de los isquiotibiales y grupo cu´adriceps. El grupo isquiotibial est´a formado por el biceps femoral corto, el biceps femoral largo, el semimembranoso y el semitendinoso. Mientras que el grupo cu´adriceps est´a formado por el recto anterior, el vasto medio, el vasto lateral y el vasto intermedio.

Figura 5.7. Actividad muscular en la parte superior de la pierna (muslo)

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

5.3.

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Descripci´ on del sistema de deformaci´ on local del m´ usculo

Es objetivo de este trabajo conseguir coordinaci´on del movimiento general del cuerpo con el cambio local de forma de los m´ usculos, de forma que se obtenga una animaci´on global, donde la forma y el movimiento se asemeje a la forma y movimiento del cuerpo humano durante la locomoci´on. La actividad muscular en la locomoci´on es un fen´omeno bastante estudiado, y aunque existen modelos adecuados para describir tanto la magnitud como la l´ınea de acci´on de cada uno de los m´ usculos, casi no es posible encontrar sistemas que a´ unen movimiento global con deformaci´on local. Para conseguirlo, en MOBiL se ha introducido actividad muscular en el modelo esqueletal desarrollado previamente, constituyendo as´ı la fase m´ usculo-esqueletal del sistema. Las condiciones de partida de esta fase son los momentos de fuerza netos de las articulaciones principales (cadera, rodilla y tobillo) calculados al final del cap´ıtulo anterior. A partir de dichos datos, se encadenan dos modelos de trabajo: un primer modelo, denominado de l´ıneas de acci´ on muscular que se engarza con el modelo de Elementos Finitos final. El primero es un modelo de bajo nivel necesario para condicionar adecuadamente al segundo. A nivel global la secuencia de trabajo que se sigue en la fase m´ usculo-esqueletal del sistema MOBiL es la siguiente: Definici´on de la geometr´ıa del modelo m´ usculo-esqueletal. C´alculo de las fuerzas musculares utilizando de forma anal´ıtica un modelo basado en l´ıneas de acci´on musculares, como paso previo a la distribuci´on de fuerzas entre los m´ usculos de una misma articulaci´on. Estos valores de fuerza son los que se utilizan como valores de entrada en un modelo de elementos finitos (FEM) muscular. Simulaci´on individual de la deformaci´on volum´etrica mediante FEM de los principales m´ usculos de las extremidades. inferiores que se encuentran activos durante la locomoci´on humana. Integraci´on del modelo FEM en el movimiento esqueletal mediante las l´ıneas de acci´on muscular previamente definidas. De esta forma la deformaci´on muscular tiene una apariencia realista y est´a coordinada con el movimiento de las piernas. En estos dos modelos m´ usculo-esqueletales del sistema MOBiL se utilizan de grupos musculares para aunar la acci´on similar de varios m´ usculos individuales. Es una simplificaci´on ampliamente aceptada en la literatura que beneficia a la representaci´on final del movimiento ya que permite modelar a un conjunto de m´ usculos como un u ´nico objeto, aunque presente una forma compleja. La agrupaci´on de varios m´ usculos no aumenta la complejidad del modelo, ya que s´olo aumenta la cantidad de puntos de inserci´on de los m´ usculos en los huesos, pero incluso algunos m´ usculos individuales presentan varios or´ıgenes o varias inserciones.

154

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

5.4.

Modelo basado en l´ıneas de acci´ on: Introducci´ on de m´ usculos en el modelo esqueletal

Muchos investigadores asumen que para cuantificar mec´anicamente la fuerza producida sobre un hueso, es posible representar los m´ usculos por medio de l´ıneas que unan el origen con la inserci´on [SA73] [CJA78] [BCW+ 82]. Esta opci´on, aunque en algunos casos es una simplificaci´on excesiva, facilita la descripci´on anal´ıtica del modelo. Un ejemplo de esta inexactitud, se produce en los casos en que un m´ usculo se une a un hueso por medio de una superficie. Aunque la superficie sea reducida, no es lo mismo trabajar con un a´rea de superficie que unir el m´ usculo al hueso por medio de puntos. Los cambios en la direcci´on de la acci´on muscular se representan o bien por medio de segmentos lineales a trozos, con restricciones intermedias en los a´ngulos de las articulaciones [DLH+ 90], o utilizando secciones rectas y curvil´ıneas para modelar los m´ usculos [FP78] [PM83]. Otra aproximaci´on se basa en el uso de curvas centroides, que se construyen interpolando una curva a trav´es de los centroides estimados en varias secciones transversales del m´ usculo [JD75]. [Pie95] representa cada m´ usculo con una l´ınea o curva 3D que conecta el centroide de su a´rea de origen con el centroide de su ´area de inserci´on. A pesar que la curva centroide visualmente parece seguir mejor la forma del m´ usculo, la aproximaci´on por segmentos lineales suele ser aceptable para el modelado f´ısico [Ng 01]. Los modelos de l´ıneas de acci´on muscular se suelen utilizar para facilitar la resoluci´on de uno de los problemas m´as complicados de la Biomec´anica, la distribuci´on de las fuerzas musculares en las articulaciones. 5.4.1.

Distribuci´ on de fuerzas musculares en las articulaciones

Como se ha comentado en el cap´ıtulo anterior, las t´ecnicas experimentales presentan dificultades para obtener datos acerca de las fuerzas de m´ usculos y articulaciones, por lo que es necesario trabajar con m´etodos matem´aticos que permitan calcular las fuerzas indirectamente a partir de los datos cinem´aticos, las fuerzas externas y los datos antropom´etricos disponibles. Siguiendo el esquema que se exhibe en 5.8 [AKC95] se observa que es posible calcular la fuerza muscular a partir de los datos calculados de las fuerzas y momentos resultantes entre los segmentos. El c´alculo se basa en el concepto de equilibrio, planteando las siguientes ecuaciones:  Fm + Fj Fl =  Ml = Mm + Mj donde Fl y Ml corresponden, respectivamente, a la fuerza y al momento resultantes calculados entre segmentos, Fm es la fuerza muscular, Fj la fuerza restringida en la articulaci´on y Mj el momento restringido en la articulaci´on.

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

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Figura 5.8. Determinaci´ on anal´ıtica de las fuerzas musculares y articulares, adaptado de [AKC95]

La divisi´on de estas fuerzas y momentos resultantes generalmente recibe el nombre del problema de distribuci´ on de las fuerzas [ACK91]. Desafortunadamente, el n´ umero de variables desconocidas de las fuerzas musculares y las fuerzas y momentos articulares, usualmente excede el n´ umero de ecuaciones disponibles. Esto sucede, en primer lugar, debido a la naturaleza redundante de las estructuras anat´omicas: existen m´ ultiples m´ usculos que pueden ejecutar funciones sin´ergicas. Matem´aticamente, esto produce un problema indeterminado que no tiene una soluci´on u ´nica ya que el n´ umero de m´ usculos, ligamentos y regiones de contacto articular que transmiten las fuerzas generalmente excede el n´ umero m´ınimo de ecuaciones. La diferencia entre el n´ umero de variables desconocidas y el n´ umero de ecuaciones representa el grado de redundancia, el cual puede reducirse introduciendo ecuaciones restringidas o bien reduciendo el n´ umero de variables desconocidas. M´ etodo de reducci´ on: El objetivo del m´etodo de reducci´on es disminuir el grado de redundancia hasta que el n´ umero de fuerzas desconocidas (inc´ognitas) sea igual al n´ umero de ecuaciones. Para ello, es posible: 1) reducir el n´ umero de ecuaciones agrupando m´ usculos con funciones similares o utilizando datos electromiogr´aficos para eliminar m´ usculos inactivos, o 2) incrementar el n´ umero de ecuaciones, asumiendo una fuerza de distribuci´on entre m´ usculos en base a consideraciones anat´omicas, como el a´rea de secci´on transversal (ASTF) o en base a medidas cuantitativas de EMG. El m´etodo de reducci´on se ha utilizado para resolver el problema de la distribuci´on de fuerzas desde los a˜ nos ’60. [Pau67] describe la predicci´on de

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Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

las fuerzas de los m´ usculos con respecto a la cadera, combinando los m´ usculos en grupos funcionales, y considerando u ´nicamente m´ usculos agonistas. [Mor70] aplica este m´etodo para el estudio de la articulaci´on de la rodilla y obtiene como resultado que la fuerza m´axima que se ejerce en la articulaci´on durante la locomoci´on se encuentra entre 2 y 4 veces el peso del cuerpo. A partir de estos trabajos, esta t´ecnica ha sido ampliamente utilizada debido a su simplicidad y a su capacidad de ofrecer datos cuantitativos [AKC95]. Sin embargo, las simplificaciones anat´omicas que conlleva este m´etodo pueden inducir a errores en el comportamiento mec´anico global. M´ etodos de optimizaci´ on: Un m´etodo alternativo para resolver el problema de distribuci´on consiste en hallar una soluci´on o´ptima, formulando una funci´on objetivo con respecto al sistema de ecuaciones y utilizando una t´ecnica de optimizaci´on matem´atica. La funci´on objetivo provee la base para la comparaci´on de soluciones candidatas, mientras que la “mejor” soluci´on se obtiene mediante un algoritmo de optimizaci´on. La aproximaci´on por optimizaci´on se basa en calcular las fuerzas musculares de acuerdo a propiedades mec´anicas, energ´eticas y fisiol´ogicas durante las actividades motoras, mientras que el control neurol´ogico de la acci´on de los m´ usculos se gobierna por ciertos criterios fisiol´ogicos que garantizan acciones “eficientes”. La funci´on objetivo corresponde a esos criterios fisiol´ogicos. La formulaci´on de este m´etodo se puede describir del siguiente modo: Minimizar (5.1) J = f (x1 , x2 , ..., xn ) sujeto a gj (x1 , ..., xn ) = 0

(j = 1, ..., m)

(5.2)

y 0 ≤ x i ≤ Ui

(i = 1, ..., n)

(5.3)

donde J es el criterio de optimizaci´on, g representa las ecuaciones de movimiento y restricciones de igualdad, mientras que xi corresponde a las variables independientes, que son las inc´ognitas de las fuerzas de m´ usculos y articulaciones. Estas u ´ltimas variables tambi´en pueden estar sujetas a restricciones de desigualdad. La optimizaci´on est´atica es uno de los m´etodos que m´as se han utilizado en biomec´anica para la estimaci´on de fuerzas musculares durante la locomoci´on debido, principalmente a su rapidez [SA75] [Cro78] [PBD97]. En la optimizaci´on din´amica la funci´on objetivo es dependiente del tiempo, y el problema se puede formular independientemente de los datos experimentales, pero el m´etodo demanda un alto coste computacional [YMS95] [AZPW95] [AP01]. Las propiedades mec´anicas del m´ usculo se pueden caracterizar por medio de modelos din´amicos del funcionamiento muscular. Entre los trabajos en esta l´ınea destacan, por ser los m´as conocidos, los de Hill y Zajac [Fun93] [CZ92]. Hill

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

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postula que la fuerza ejercida por el m´ usculo se decrementa en la medida en que la velocidad de acortamiento crece. Su modelo se basa en un sistema de muelles y amortiguadores, cuyas constantes dependen de par´ametros morfol´ogicos y por un patr´on b´asico de descripci´on de fuerza frente al tiempo que incluye la diferencia entre comportamientos experimentales del m´ usculo en estado pasivo y bajo est´ımulo. Zajac refina el modelo anterior, proponiendo un modelo complejo de la actuaci´on conjunta de un elemento compuesto de m´ usculo y tend´on, en el que se tiene en cuenta el efecto del ´angulo de pennation. Estos modelos se pueden aplicar a todos los m´ usculos aunque est´an especialmente concebidos para los m´ usculos esquel´eticos. 5.4.2.

MOBiL: Implementaci´ on del modelo de l´ıneas de acci´ on muscular

En la figura 5.9 se presenta la secuenciaci´on de esta fase en la estructura general de MOBiL.

Figura 5.9. Integraci´ on del m´ odulo de l´ıneas de acci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal en MOBiL

En MOBiL el modelo m´ usculo-esqueletal basado en l´ıneas de acci´on musculares es extremadamente simple y se utiliza en dos instantes de la secuencia de trabajo: antes del c´alculo por FEM para obtener de forma anal´ıtica las ecuaciones del problema din´amico y calcular los valores de fuerza que inicializan este m´etodo; y despu´es del c´alculo por FEM, para integrar de los resultados de deformaci´on en el movimiento global de locomoci´on. Algunas de las simplificaciones que caracterizan al modelo de l´ıneas de acci´on muscular son:

158

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Ser bidimensional, ya que la locomoci´on y los movimientos musculares de contracci´on est´an restringidos al plano sagital. Estar formado u ´nicamente por cuatro segmentos (cadera, f´emur, tibia y pie) y tres articulaciones (cadera, rodilla y tobillo). Utilizar el m´etodo de reducci´on por agrupamiento de m´ usculos que desarrollan la misma acci´on como m´etodo de distribuci´on de fuerzas en las articulaciones. Configurar cada agrupamiento muscular como un u ´nico m´ usculo con varias l´ıneas de acci´on e inserciones. Si alguna de las l´ıneas de acci´on es biarticular, en el modelo se conserva. Presentar l´ıneas de acci´on rectas cuya direcci´on se marca en cada instante por los puntos origen y de inserci´on, aunque en el caso del cu´adriceps se incluye una l´ınea de acci´on “especial” para simular el tend´on rotuliano y el conjunto r´otula-ligamentos de la rodilla [Pie95]. Mantener invariables los puntos de inserci´on y origen respecto a los segmentos del cuerpo al que se fijan. Para obtener el modelo de l´ıneas de acci´on muscular se sigue la siguiente secuencia de acciones: Definici´on de la geometr´ıa del modelo m´ usculo-esqueletal a partir de valores antropom´etricos de m´ usculos y segmentos. Uni´on de los m´ usculos con la misma actividad y efecto en “grupos musculares”. Aproximaci´on de cada grupo muscular por una u ´nica recta que represente la l´ınea de acci´on muscular y cuyos extremos se calculan en los centroides de los puntos origen e inserci´on de cada uno de los m´ usculos. Distribuci´on de fuerzas entre los grupos musculares de una misma articulaci´on, introduciendo los periodos de activaci´on muscular y compensando las fuerzas de los grupos musculares antagonistas. C´alculo de la fuerza de cada m´ usculo mediante el c´alculo de su par y la contribuci´on al momento de fuerza neto de la articulaci´on. Definici´ on de la geometr´ıa del modelo m´ usculo-esqueletal. Aunque, ya se ha descrito previamente las caracter´ısticas de la capa muscular del modelo del cuerpo humano propuesto en MOBiL, es conveniente recordar que se ha hecho extrapolando los valores tabulados de las dimensiones y las coordenadas relativas de segmentos, puntos de origen y puntos de inserci´on muscular a la altura y masa corporal de nuestro sistema. Una vez redimensionados todos los m´ usculos, se han escogido s´olo aquellos que tiene especial importancia en el movimiento de la locomoci´on en el plano de marcha (ver gr´afica 5.10). Todos ellos se han unido en diferentes grupos seg´ un su periodo de actividad y los efectos que producen en la locomoci´on. El estudio desarrollado en la secci´on 5.2.2 permite formar grupos musculares, tal como se hace en numerosos trabajos de la literatura [Pau67] [Mor70] [FN80] [Whi03] [ZNK02] [ZNK03].

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

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Figura 5.10. Modelo de l´ıneas de acci´ on muscular de una pierna

Los grupos considerados son los correspondientes a la parte anterior y posterior del muslo y a la parte posterior de la pantorrilla. La descripci´on de estos grupos se detalla a continuaci´on: Grupo Cu´adriceps (parte anterior del muslo): recto anterior, vasto medio, vasto lateral y vasto intermedio. Grupo Isquiotibiales (parte posterior del muslo): biceps femoral corto, biceps femoral largo, semimembranoso y semitendinoso. Grupo Tr´ıceps Sural (parte posterior de la pantorrilla): gastrocnemio, s´oleo y delgado plantar. El volumen y dimensi´on final de cada grupo muscular se obtiene mediante la uni´on de todos los m´ usculos que lo componen. Su funcionamiento conjunto se aproxima mediante una u ´nica l´ınea recta de acci´on muscular, cuyos extremos se calculan de la siguiente forma: el punto de origen es el centroide de todos los puntos origen de los m´ usculos que forman el grupo, ponderando el c´alculo de sus coordenadas seg´ un la secci´on fisiol´ogica de cada grupo de fibras. Es decir el sistema supone que la fuerza resultante de todas las fibras unidas est´a repartida de forma proporcional a su “capacidad de contracci´on”. El punto de inserci´on com´ un se calcula de igual forma. En la figura 5.11 se presenta el modelo de l´ıneas de acci´on de la cadera en el que se pueden observar los puntos origen de dos grupos musculares antagonistas: los isquiotibiales y los cu´adriceps.

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Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Figura 5.11. Diagrama de fuerzas musculares en la articulaci´ on de la cadera

Para ilustrar el funcionamiento del sistema MOBiL se han escogido los isquiotibiales en primer lugar por ser uno de los grupos musculares que producen cambios visibles en la anatom´ıa durante la marcha. Distribuci´ on de Fuerzas. Una vez elegido un grupo muscular, se debe resolver el problema de la distribuci´on de fuerzas en la articulaci´on que atraviesa. El propio hecho de agrupar los m´ usculos ya es una primera simplificaci´on por reducci´on, ya que la distribuci´on seg´ un fuerzas de m´ usculos individuales es una tarea muy complicada debido a la redundancia. En este caso el grupo muscular de referencia elegido para obtener la fuerza (los isquiotibiales) es un grupo biarticular. Por lo tanto, de las dos posibles articulaciones que atraviesa, se ha elegido para trabajar la cadera frente a la rodilla. En primer lugar es necesario analizar el resto de fuerzas que act´ uan en esa articulaci´on. Durante la misma fase de la locomoci´on hay al menos un grupo muscular, los gl´ uteos, que ayudan a evitar la flexi´on de la cadera, tal y como hacen los isquiotibiales. Y existe al menos otro grupo muscular antagonista, los cu´adriceps, que desarrollan la actividad contraria. Por lo tanto, suponiendo que no hay ni fuerzas en los ligamentos ni fuerzas de contacto entre la pelvis y el f´emur, seg´ un la ecuaci´on 5.1 se tienen dos ecuaciones pero tres inc´ognitas, por lo que se debe seguir avanzando en la resoluci´on del problema de distribuci´on de fuerzas. Para resolver la indeterminaci´on que se produce se recurre de nuevo al conocimiento sobre la biomec´anica de la locomoci´on y se introducen periodos de activaci´on muscular provenientes de EMG. En la gr´afica 5.12 se observa que, durante la fase de apoyo, la acci´on de los gl´ uteos y los cu´adriceps se produce casi en el mismo periodo de

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

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tiempo y presenta un m´aximo en el momento en que desaparece la actividad de los isquiotibiales (denominados hamstrings en la figura). La actividad en el comienzo de la fase es por contra, m´axima para los isquiotibiales y mucho menor para los otros grupos. Se delimitan entonces tres periodos de tiempo en los que se diferencian distintas distribuciones de fuerza: Un primer periodo, que va desde el apoyo de talon (IC) hasta el comienzo del apoyo medio (OT) en el que act´ uan los tres grupos musculares, aunque dos en crecimiento y otro en disminuci´on. Un segundo periodo, que transcurre aproximadamente durante todo el apoyo medio (Midstance), en el que s´olo dos grupos musculares est´an activos, por lo que es factible resolver las ecuaciones directamente. Y un u ´ltimo periodo, desde el final del apoyo medio (HR) hasta el final de la fase de apoyo en el que son otras las fuerzas (no s´olo musculares) las que dan soporte al movimiento.

Figura 5.12. Diagrama de actividad de los principales grupos musculares en la marcha

162

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Es en el primer periodo de tiempo en el que es necesario resolver la indeterminaci´on, para lo que se ha planteado el siguiente m´etodo, basado otra vez en datos experimentales: En el instante inicial de tiempo se calcula la fuerza muscular del isquiotibial a partir del par y del momento de fuerza neto de la cadera como si fuera el u ´nico grupo activo -fuerza resultante global- (los otros dos grupos se compensar´ıan entre s´ı). No se utiliza la ecuaci´on de la fuerza neta porque la aportaci´on de las fuerzas “hueso a hueso” en esta fase es importante y desconocida. Como los isquiotibiales son el grupo muscular que acorta mas r´apidamente su actividad se ha optado por construir una curva decreciente cuyo m´aximo es el valor inicial obtenido en el punto anterior y el m´ınimo es el cero que se produce en el instante inicial del apoyo medio, transcurridos un diez por ciento del ciclo aproximadamente. Una vez conocida esta fuerza el resto se calculan directamente a partir de las ecuaciones de equilibrio 5.1. Estimaci´ on de las fuerzas a partir de los momentos. La forma m´as simple de la ecuaci´on de equilibrio que domina el c´alculo de la fuerza muscular es la que se muestra a continuaci´on 5.4 y corresponde a una u ´nica acci´on muscular en el plano de marcha. Fmusc = M/d sin(α)

(5.4)

donde M es el m´odulo del momento resultante de la articulaci´on (direcci´on perpendicular al plano de marcha), Fmusc es el m´odulo de la fuerza muscular, d el brazo del par, que se mide desde el punto de giro de la articulaci´on hasta el punto en el que se produce la fuerza y α es el ´angulo formado entre la direcci´on del brazo y la direcci´on de la fuerza. Como ejemplo, en la gr´afica 5.13 se puede observar la fuerza resultante global en la articulaci´on de la cadera a partir de los isquiotibiales y el patr´on de fuerza muscular final obtenido con una variaci´on m´as simplificada del m´etodo anterior en la que se elimina completamente la acci´on de los cu´adriceps. Al observar la magnitud y la forma de las fuerza musculares que intervienen en cada articulaci´on, es posible corroborar que la magnitud es considerablemente grande (entre 500 y 2000 Newtons), lo que es natural por las peque˜ nas distancias del brazo del par (10 cm como m´aximo). Si estas fuerzas se introdujeran directamente en el modelo FEM, ser´ıa necesario encontrar un material de “tejido muscular” que se comporte el´asticamente de manera tal que produzca, con esas fuerzas, deformaciones longitudinales de, como mucho, un 15 % de la longitud de reposo [DASM96]. Atendiendo a este requisito estos materiales deber´ıan poseer un valor de m´odulo de Young muy elevados, en los que las ondas el´asticas se comportan de forma inadecuada, para el tama˜ no del m´ usculo. Sin embargo, se dispone del

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

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Figura 5.13. Estimaci´ on de las fuerzas musculares a partir del momento de fuerza neto de la cadera

comportamiento macrosc´opico final de cada m´ usculo, que debe estar perfectamente acompasado a las diferentes frecuencias de paso de locomoci´on. De este modo, es posible definir un tipo de material muscular con un comportamiento lineal “similar” a la no linealidad del tejido muscular y que presenta velocidades de propagaci´on adecuadas. Una vez fijado el tipo de material (y por tanto, una menor magnitud en las fuerzas musculares que se alejan de los valores hallados) se vuelve al modelo de l´ıneas de acci´on muscular y se establece una aproximaci´on el´astica del m´ usculo. La fuerza se plantea simulando un muelle de tejido muscular, de secci´on similar a la superficie de aplicaci´on del esfuerzo tensor en la malla de c´alculo por FEM que representa al m´ usculo. Por la expresi´on de la fuerza de un muelle: Fm = −K(Lm − Lo )

(5.5)

siendo Lm la longitud del muelle muscular en cualquier instante, Lo la longitud del usculo. muelle en reposo, K la constante de rigidez y Fm la fuerza en el m´ Por la ley de Hooke: σ = E (5.6) siendo σ el esfuerzo, E el m´odulo de Young del material y la elongaci´on. Sustituyendo la expresi´on 5.5 en la ecuaci´on 5.6, y considerando que se cumple que σ = Fm /s y = (Lm − Lo )/Lo siendo s la secci´on del muelle muscular, es posible deducir: (5.7) K = E s/Lo La constante de rigidez K, por tanto, se calcula a partir del m´odulo de Young que se va a utilizar para definir el material del m´ usculo en el modelo FEM, lo que asegura una continuidad de la f´ısica del problema. Una vez obtenida la constante K (que es espec´ıfica para cada grupo muscular) s´olo es necesario introducir los valores de Lm obtenidos a partir del modelo de l´ıneas de acci´on muscular para obtener el patr´on de fuerza seg´ un 5.5. El sentido de aplicaci´on de las fuerzas se ajusta para condicionar adecuadamente el problema FEM.

164

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Es importante rese˜ nar que esta aproximaci´on da respuesta a la necesidad de introducir en el m´etodo FEM no s´olo las fuerzas musculares propiamente dichas si no las fuerzas que “act´ uan” sobre el m´ usculo y que no provienen de su actividad motora, pero que s´ı intervienen en el movimiento y elongaci´on del m´ usculo. Utilizando las l´ıneas de acci´on como referencia es posible aproximar la fuerza en cada m´ usculo a partir del resultado final que produce durante todo el ciclo. En este punto, aunque la magnitud de las fuerzas es mucho menor, la fenomenolog´ıa del problema se mantiene.

5.5.

Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones locales de los m´ usculos

El modelo m´ usculo-esqueletal para la subfase de Elementos Finitos sustituye las l´ıneas de acci´on por modelos volum´etricos de los grupos musculares escogidos anteriormente, y calcula sus deformaciones locales introduciendo los valores de fuerza obtenidos en la subfase anterior como par´ametros de entrada del problema din´amico directo. La subfase de Elementos Finitos (FEM) presenta las siguientes simplificaciones: La longitud total de cada grupo muscular se reparte entre la longitud del m´ usculo y la longitud de los tendones que, en cada extremo, los insertan en los segmentos esqueletales. Para cada grupo muscular la proporci´on de la longitud de tend´on que se reparte a cada uno de los lados del m´ usculo es un par´ametro de diferenciaci´on. Las longitudes de los m´ usculos se consideran de acuerdo a la posici´on anat´omica. El volumen de cada grupo muscular proviene de calcular de forma proporcional la secci´on a partir de un nuevo par´ametro de alto nivel, la complexi´on y de la relaci´on peso/altura. Las complexiones incorporadas son tres: atl´etica, normal y d´ebil, tal y como se detalla en el apartado 3.2.3. Los FEM se utilizan para calcular las deformaciones del m´ usculo, sin incluir la parte de los tendones. Los tendones se simulan como sistemas “muelleamortiguador” sin masa. Existen superficies de transici´on entre tend´on y m´ usculo, aunque la inserci´on del tend´on en el segmento sea puntual. Se distribuye la fuerza transmitida por el tend´on entre los nodos de la superficie. Las fibras musculares se consideran homog´eneas y con un ´angulo de pennation de 0o . Las deformaciones provenientes del c´alculo FEM se producen en una referencia geom´etrica local que se orienta y traslada adecuadamente en el momento de la visualizaci´on. La fuerza realizada sobre el m´ usculo se simula considerando la secuenciaci´on de las fases de la locomoci´on.

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

165

Las fuerzas musculares se consideran externas al material, aunque en la realidad las fuerzas de contracci´on son fuerzas internas que comprimen o estiran el material muscular. 5.5.1.

Formulaci´ on matem´ atica del modelo

Para la representaci´on de los m´ usculos del cuerpo humano no es suficiente con el planteamiento de los s´olidos r´ıgidos, ya que los m´ usculos est´an claramente sometidos a deformaciones. Es necesario, entonces, plantear un modelo matem´atico que permita representar esta caracter´ıstica “deformable” de los mismos. Al igual que otros tejidos vivos, los m´ usculos presentan una estructura no lineal, anis´otropa y viscoel´astica [MWMTT98]. Los modelos que se requieren para simular estos comportamientos demandan un coste computacional muy elevado y riesgo de inestabilidad num´erica. Por ello, se ha optado por considerar el m´ usculo como un medio continuo el´astico, heterog´eneo, is´otropo y lineal. A continuaci´on, se efectuar´a una breve introducci´on a la Teor´ıa de la Elasticidad para pasar luego a describir el planteamiento general del problema el´astico y, finalmente, su formulaci´on variacional. Teor´ıa de la Elasticidad. La Teor´ıa de la Elasticidad se basa en un modelo matem´atico de un medio el´astico, dotado de las propiedades de continuidad e isotrop´ıa. Cuando una fuerza externa act´ ua sobre un s´olido el´astico, var´ıan las posiciones relativas de las part´ıculas que lo componen. Este efecto recibe el nombre de deformaci´ on. Sea Ω ⊂ n , (n=2,3) y r = (x1 , . . . , xn ) un vector posici´on que define un punto del objeto Ω. Al efectuar una deformaci´on sobre Ω, cada punto r sufre una transformaci´on a una nueva posici´on r = (x1 , . . . , xn ). El vector resultante de dicha deformaci´on se denota por u = r − r (ver figura 5.14) y la distorsi´on sufrida en el medio se representa utilizando el tensor de deformaciones.

Figura 5.14. Relaci´ on vectorial de una deformaci´ on

La teor´ıa de la mec´anica de los medios continuos establece que las derivadas de los desplazamientos son peque˜ nas comparadas con la unidad, por lo que los tensores de

166

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

deformaciones finitas se reducen a tensores de deformaciones infinitesimales [Mas77], cuyas componentes son: 

1 1 ∂ui ∂uj = (ui,j + uj,i ) + i, j = 1, 2, 3 (5.8) εij (u) = 2 ∂xj ∂xi 2 Como se puede deducir de la ecuaci´on anterior, el tensor de deformaciones es sim´etrico en cada punto, es decir que: εij = εji . Por otra parte hay que tener en cuenta que en el objeto Ω act´ uan ciertas fuerzas. La fuerza por unidad de a´rea que act´ ua a trav´es de una superficie recibe el nombre de tensi´ on. La magnitud y la direcci´on del vector tensi´on dependen de la orientaci´on del elemento de superficie a trav´es del cual act´ uan las fuerzas de contacto T (n), donde T es el vector tensi´on en un punto interior del continuo y n denota el vector unitario normal al elemento de superficie que contiene a dicho punto. Para evaluar la tensi´on sobre un plano arbitrario que pasa por un punto del cuerpo deformado, es suficiente con conocer la tensi´on sobre tres planos mutuamente perpendiculares que pasen por dicho punto. Este resultado permite expresar: Ti = σji nj

i, j = 1, 2, 3

(5.9)

El estado de tensi´on de cualquier punto del medio est´a completamente caracterizado por la especificaci´on de las nueve componentes σji que definen el tensor de tensiones. Si se da el equilibrio entre fuerzas de volumen y fuerzas de superficie, el teorema de la divergencia de Gauss permite demostrar la simetr´ıa del tensor de tensiones σji = σij [Mas77] de modo que 5.9 puede expresarse como: Ti = σij nj

i, j = 1, 2, 3

(5.10)

Bajo las condiciones dadas de peque˜ nos desplazamientos y peque˜ nas deformaciones, las componentes de tensi´on y deformaci´on en un s´olido el´astico ideal est´an relacionadas a trav´es de la Ley de Hooke generalizada, cuya expresi´on es: σij = Cijkm εkm

(5.11)

donde Cijkm es un tensor de cuarto orden conocido como tensor de las constantes el´asticas [Mas77]. En el caso de los medios is´otropos (tienen las mismas propiedades el´asticas en cualquier punto en todas las direcciones) el tensor de las constantes el´asticas se simplifica de manera tal que sus componentes cumplen con la siguiente expresi´on [Sok56]: (5.12) Cijkm = λδij δkm + μ(δik δjm + δim δjk ) donde δij es la δ de Kronecker y λ y μ son dos constantes, conocidas como “coeficientes de Lam´e” y necesarias para especificar el comportamiento el´astico de un medio is´otropo lineal.

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

167

Dependiendo del campo de aplicaci´on de la teor´ıa de la elasticidad se suelen usar diferentes par´ametros para especificar el comportamiento el´astico de los medios. Por ejemplo, en biomec´anica, es com´ un utilizar el m´odulo de Young, E, y el coeficiente de Poisson, ν, mientras que en geof´ısicas se suelen usar las velocidades de propagaci´on de las ondas (Vp y Vs ). Sabiendo cualquier par de par´ametros, es posible obtener el resto por medio de las siguientes relaciones: μ(3λ + 2μ) λ+μ νE λ= (1 + ν)(1 − 2ν)

E=

λ 2(λ + μ) E μ= 2(1 + ν) ν=

 Vp =

λ + 2μ ρ

λ = ρ(Vp2 − 2Vs2 )

 Vs =

μ ρ

(5.13)

(5.14)

μ = ρVs2

donde ρ es la densidad del material. De acuerdo con 5.12, la relaci´on dada por la Ley de Hooke generalizada 5.11 adopta la forma: n  εkk + 2μεij , i, j = 1, . . . , n (5.15) σ = λδij k=1

Planteamiento general del problema el´ astico. El problema el´astico general puede formularse como un sistema de ecuaciones diferenciales que se debe cumplir en el interior de un cierto dominio, unido a una serie de condiciones sobre el contorno de dicho dominio. Matem´aticamente, esto se puede expresar del siguiente modo: “Sea un medio continuo, lineal, el´astico, no homog´eneo e is´otropo con dominio Ω y contorno Γ , donde Ω es una regi´on conexa y acotada en n (n = 2, 3), y Γ es C 1 continua a trozos. Consideramos la partici´on de la frontera Γ = Γ0 ∪ Γ1 de tal modo que Γ0 representa la parte de la superficie donde no se aplican fuerzas y Γ1 representa la parte de la superficie donde se aplican fuerzas, y adem´as se cumple que dichas particiones son disjuntas, es decir, Γ0 ∩ Γ1 = ”. El problema consiste en hallar una funci´on desplazamiento que satisfaga las ecuaciones cl´asicas de la mec´anica de s´olidos deformables, que son las siguientes: 1. Ecuaciones de variaci´on de cantidad de movimiento (ecuaciones de equilibrio en el caso est´atico). 2. Ecuaciones cinem´aticas, correspondientes a las relaciones entre desplazamientos y deformaciones. 3. Ecuaciones constitutivas o de comportamiento, que relacionan las tensiones con las deformaciones en el interior del domino.

168

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

4. Condiciones de contorno: especificar los desplazamientos en el contorno (condici´on de Dirichlet) y las tensiones en el contorno (condici´on de Neumann). El planteamiento general del “problema el´ astico est´ atico” consiste en hallar una funci´on desplazamiento u = (u1 , . . . , un ) que satisfaga el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales: 1. 2. 3. 4.

en Ω σij,j + fi = 0 1 εij = (ui,j + uj,i ) 2 σij = λδij εkk + 2μεij  en Γ0 ui = gi σij nj = hi en Γ1

(5.16)

donde fi son las fuerzas interiores del cuerpo, gi son los desplazamientos en el contorno Γ0 , nj son las componentes del vector normal en un punto de la superficie del dominio y hi son las fuerzas exteriores aplicadas a la frontera Γ1 . En el caso del “problema el´ astico din´ amico” se sustituyen las ecuaciones de equilibrio por las ecuaciones de movimiento, teniendo en cuenta la variable tiempo t ∈ (0, T ): 1. 2. 3. 4.

u en Ω × (0, T ) σij,j + fi = ρ¨ 1 εij = (ui,j + uj,i ) 2 σij = λδij εkk + 2μεij  en Γ0 × (0, T ) ui = gi en Γ1 × (0, T ) σij nj = hi

(5.17)

donde fi son las fuerzas interiores del cuerpo, ρ es la densidad del medio, u¨ = ∂ 2 ui /∂t2 , gi son los desplazamientos en el contorno Γ0 , nj son las componentes del vector normal en un punto de la superficie del dominio y hi son las fuerzas exteriores aplicadas a la frontera Γ1 . Adem´as, es necesario especificar las condiciones iniciales, para t = 0, de posici´on y de velocidad: ui (·, 0) = u0i ui,t (·, 0) = u˙ 0i

i = 1, . . . , n i = 1, . . . , n

en Ω en Ω

(5.18)

Formulaci´ on Variacional del problema. Las ecuaciones 5.17 y 5.18 modelan la evoluci´on en el tiempo de los desplazamientos en un medio lineal, el´astico, no homog´eneo e is´otropo, sujeto a un campo de fuerzas y con condiciones de contorno de Neumann y Dirichlet. Asumiendo que la soluci´on u es suficientemente regular, es posible derivar una formulaci´on variacional de las ecuaciones anteriormente citadas utilizando los m´etodos cl´asicos, tal como se desarrolla en [SB86].

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

169

La formulaci´on variacional del problema consiste en hallar, dados f , g, h, u0 , u˙ 0 , una funci´on de desplazamientos u ∈ S tal que ∀w ∈ W se satisfacen las siguientes ecuaciones: d2 (w, ρu)0,Ω + a(w, u) = (w, h)0,Γ + (w, f )0,Ω dt2 u(0) = u0 u(0) ˙ = u˙ 0

(5.19)

donde (w, ρu)0,Ω =

3  

ρui wi dΩ

(5.20)

σij (u)εij (w)dΩ

(5.21)

i=1

a(w, u) =

3   i=1 j=1

(w, h)0,Γ =

3  

hi wi dΓh

(5.22)

fi wi dΩ

(5.23)

i=1

(w, f )0,Ω =

3   i=1

5.5.2.

Formulaci´ on por Elementos Finitos

El M´etodo de los Elementos Finitos (MEF) es una t´ecnica general de discretizaci´on de problemas de medios continuos que permite construir soluciones aproximadas de problemas de valores iniciales y/o de contorno, planteados a trav´es de una formulaci´on de tipo integral. Debido a la generalidad del m´etodo, se ha utilizado con ´exito para resolver gran cantidad de problemas f´ısicos en ´areas tan variadas como qu´ımica, mec´anica de s´olidos, mec´anica de fluidos, aerodin´amica, etc. Como el objetivo de este trabajo es aplicar esta t´ecnica de discretizaci´on a la formulaci´on variacional del s´olido el´astico lineal is´otropo, s´olo se describir´a el m´etodo de forma sucinta. Sin embargo, se puede hallar una descripci´on rigurosa de los aspectos matem´aticos en [BW76], [DT81] o [ZT89], entre otros. Dado un medio continuo linealmente el´astico e is´otropo, que ocupa una regi´on  del espacio 3 , se divide en un conjunto de subdominios Ωi cuya reuni´on es Ω igual al dominio inicial. En principio, el n´ umero de puntos de contacto entre un subdominio Ωi y cualquiera de sus vecinos es infinito. Sin embargo, el MEF discretiza cada subdominio suponiendo que la conexi´on entre ellos viene dada por un n´ umero discreto de puntos que reciben el nombre de “nodos de contorno”. Los subdominios discretizados Ωi se denotan como Ki y reciben el nombre de “elementos finitos”. Para obtener una discretizaci´on correcta con elementos finitos se deben satisfacer las siguientes condiciones:

170

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

 = n Ki donde n es el n´ umero total de elementos. Ω i=1 Ki es cerrado y no vac´ıo (Ki0 ). Ki0 ∩ Kj0 = . ∂Ki es el contorno de Ki , continuo y Lipschitz. El m´etodo aproxima la dependencia espacial del espacio funcional S de dimensi´on umero de nodos. La infinita, con un subespacio S h de dimensi´on finita η, igual al n´ base del espacio S h est´a compuesta por funciones → Ni : Ω

i = 1, 2, . . . , η

η = n´ umero total de nodos

que se caracterizan por tener una funci´on base Ni (r) compuesta s´olo por los elementos a los que pertenece el nodo i. Las funciones Ni (r) verifican, adem´as, Ni (r j ) = δij . Si u(r, t) ∈ S es la soluci´on buscada, el m´etodo MEF provee una soluci´on aproximada uh (r, t) ∈ S h dada por: uhi (r, t)

=

η 

Nj (r)aij (t) i = 1, 2, 3

j=1

lo que significa que la funci´on uhi (r, t) es una combinaci´on lineal “adecuada” para los desplazamientos en los nodos aij en el tiempo t. El m´etodo de elementos finitos, por tanto, permite pasar de un dominio continuo y un espacio de dimensi´on infinita S, a un dominio discreto (η nodos) y un espacio de dimensi´on finita S h . El par´ametro h se refiere a la longitud caracter´ıstica asociada  al tama˜ no de la discretizaci´on del dominio Ω. La t´ecnica de discretizaci´on por elementos finitos, normalmente denotada por medio de la formulaci´on de Garlekin, reduce el problema elastodin´amico determinado por las ecuaciones dadas en 5.19, a lo siguiente [Hug87]: Dados f , g, h, u0 , u˙0 , hay que hallar una funci´on v h (r, t) = uh (r, t) − g h (r, t) con v h , uh , g h ∈ S h tal que ∀wh ∈ V h se satisfacen las siguientes ecuaciones: d2 d2 h h h h h h (w , ρv ) + a(w , v ) = (w , f ) + (w , h) − (wh , ρg h ) − a(wh , g h ) Γ dt2 dt2 (5.24) v h (0) = u0 − g h (0) v˙ h (0) = u˙ 0 − g˙ h (0) donde vih (r, t) =



Nj (r)dij (t)

(5.25)

j∈η−ηgi



wih (r) =

Nj (r)cij

(5.26)

Nj (r)gij (t)

(5.27)

j∈η−ηgi

gih (r, t) =



j∈ηgi

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

171

siendo ηgi el n´ umero de nodos con condici´on de Dirichlet. De las ecuaciones dadas en 5.19 se puede derivar el siguiente sistema de ecuaciones ordinarias de segundo orden y lineal, en el que se ha a˜ nadido el t´ermino correspondiente a la amortiguaci´on del movimiento: ¨ + C d(t) ˙ M d(t) + Kd(t) = f (t) ∀t ∈ (0, T )

(5.28)

d(0) = d0 ˙ d(0) = d˙0

(5.29)

donde la matriz M est´a determinada por la distribuci´on de la densidad en el dominio, la matriz C est´a determinada por la atenuaci´on, la matriz K est´a determinada por las propiedades el´asticas del medio, las componentes del vector f est´an determinadas por las fuerzas aplicadas al objeto y por las condiciones de contorno y d es el vector de desplazamientos. Tanto M , como C y K son matrices esp´ ureas, sim´etricas y definidas positivas. En [SSK89] se demuestra c´omo se obtienen estas matrices en la pr´actica. Es posible demostrar que el problema semidiscreto 5.24 admite una soluci´on u ´nica ´nico uh = v h + g h [RT83]. v h y, por lo tanto, un u 5.5.3.

MOBiL: Implementaci´ on del sistema de deformaciones

En la figura 5.15 se presenta la secuenciaci´on de esta fase en la estructura general de MOBiL. De acuerdo a la formulaci´on matem´atica desarrollada en la secciones previas, se ha implementado un sistema basado en elementos finitos que permite simular la deformaci´on de un objeto, al hallar los desplazamientos producidos en sus nodos. La aplicaci´on ha sido desarrollada sobre sistema operativo Unix y sobre una estructura de programaci´on imperativa implementada en C. La especificaci´on de los par´ametros de control y los datos de entrada para el desarrollo del programa se realiza mediante l´ınea de comandos. La descripci´on general de la aplicaci´on basada en el m´etodo de elementos finitos se presenta en la figura 5.16. Como se puede observar, la aplicaci´on se divide b´asicamente en dos bloques principales. En el primer bloque se realiza el procesamiento de los datos de entrada para obtener las matrices y vectores que forman el sistema de ecuaciones. El segundo bloque recibe el sistema de ecuaciones resultante de los c´alculos previos y lo resuelve. De este modo, la aplicaci´on genera como salida los ficheros con los datos correspondientes a los desplazamientos en los nodos. En la bibliograf´ıa [BW76] [DT81] [Kar87] [ZT89] es posible hallar una descripci´on detallada de la implementaci´on cl´asica de un sistema MEF, por lo tanto, en esta memoria s´olo se desarrollan aquellos aspectos que involucran alg´ un tipo de decisi´on en la implementaci´on.

172

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Figura 5.15. Integraci´ on del m´ odulo de elementos finitos de la fase m´ usculo-esqueletal en MOBiL

Figura 5.16. Esquema de la aplicaci´ on basada en el m´etodo de Elementos Finitos

Sin embargo, antes de poder utilizar el m´etodo de elementos finitos es necesario en primer lugar discretizar el dominio, es decir, que hay que particionar el objeto utilizando un conjunto de elementos adecuados de manera que se obtenga una malla. Mallado del objeto. Cuando se discretiza el dominio es necesario definir el tipo de elementos que formar´an la “malla”, como as´ı tambi´en su n´ umero y tama˜ no. Existe gran diversidad de elementos posibles [DT81] [Coo87], y la determinaci´on del elemento a utilizar en un caso concreto no es una tarea simple. A pesar de

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

173

ello es posible hallar algunas ideas generales respecto a la discretizaci´on a utilizar [DV98]. En general, los elementos de tipo paralelep´ıpedo son menos flexibles cuando se pretende reproducir contornos complicados, sin embargo en este trabajo se ha optado por implementar dichos elementos ya que presentan varias ventajas con respecto a los elementos tetra´edricos: por un lado se mejora la convergencia para el mismo n´ umero de grados de libertad [DV98] y, por otro, se obtienen resultados m´as realistas al conservar major la propagaci´on de las tensiones [MMP99]. En las figuras 5.17 y 5.18 se pueden observar los elementos implementados para 2 y 3 dimensiones, respectivamente.

Figura 5.17. Elementos de 2 dimensiones

Figura 5.18. Elementos de 3 dimensiones

Es interesante notar que mediante el tipo de elementos finitos elegido se pueden definir mallados uniformes (mallados que poseen todos los elementos finitos id´enticos en longitud) y mallados que difieran en longitud en los elementos finitos que se sit´ uan en la frontera del objeto (uniformes en el interior y con elementos finitos de diferente dimensi´on en sus fronteras). Asimismo, es posible representar agujeros y objetos huecos en el mallado. Aunque no existe un m´etodo general para determinar la malla m´as adecuada al problema que se pretende resolver, es necesario tener en cuenta el tama˜ no m´aximo de cada elemento finito para que el sistema propague correctamente las tensiones provocadas por la acci´on de las fuerzas externas [Por03]. Para ello es necesario expresar la fuerza exterior f en t´erminos de la componente espacial y temporal: f (x, y, t) = fe(x, y) · ft(t) donde fe es la componente espacial y ft es la componente temporal. A continuaci´on se halla la transformada de Fourier

174

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

de ft : F (ω) y se define el intervalo de frecuencias [ωm , ωM ] donde la funci´on F (ω) es mayor que un cierto umbral. Las frecuencias menor ωm y mayor ωM est´an asociadas respectivamente a los periodos mayor y menor, definidos como TM = ω2πm y Tm = ω2πM . El valor de la longitud de onda fundamental λf transmitida por la fuerza ft est´a directamente relacionada con el periodo menor Tm y con la menor velocidad de propagaci´on de la onda vm = m´ın{Vp , Vs }, donde Vp y Vs son las velocidades de transmisi´on transversal y longitudinal de una   onda en un material con coeficientes de Lam´e λ y μ tal que Vp = μ/ρ y Vs = (λ + 2μ)/ρ, donde ρ es la densidad del material. De este modo, el valor de la longitud de onda fundamental λf est´a dado por: λf = vm · Tm El tama˜ no de los elementos finitos que forman la malla, x, se deben escoger de manera que se verifique: x ≤

vm · Tm 2π vm λf = = · 10 10 ωM 10

Aunque la generaci´on de las mallas puede hacerse con numerosos paquetes de software [Gar03], en esta tesis se ha utilizado el programa GiD [Gid] para la generaci´on de mallas uniformes y de dominios simples, y el programa CUBIT [Cub] para mallados y dominos m´as complejos (ver figura 5.19).

(a) Malla de 48 elementos

(b) Malla de 2560 elementos

Figura 5.19. Mallas con diferentes formas y n´ umero de elementos

En todos los casos, la estructura final del fichero que contiene la malla del objeto sigue las especificaciones del formato GiD [Gid].

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

175

Consideraciones sobre los datos de entrada. En primer lugar, el programa debe leer los datos que representan el objeto, teniendo en cuenta los nodos que forman los elementos, las conectividades entre dichos nodos y el tipo de elementos elegido. Todos estos datos est´an dados en el fichero que constituye la malla del objeto. Sin embargo, tambi´en es necesario determinar el m´etodo de integraci´ on espacial de las funciones de aproximaci´on sobre los nodos de los elementos. Entre las numerosas t´ecnicas que existen para realizar la integraci´on num´erica se ha optado por implementar el m´etodo de Newton-Cotes (integraci´on en los nodos) y el m´etodo de cuadratura de GaussLegendre [Kar87]. Para los casos de m´as de una dimensi´on se utiliza el m´etodo del “producto” [DT81], en el que s´olo se tiene en cuenta el grado de los polinomios en una dimensi´on. Los objetos pueden estar formados por diferentes materiales, por lo tanto, es necesario especificar las propiedades de los materiales incluyendo la informaci´on correspondiente a los coeficientes de elasticidad y la densidad de cada uno de ellos. Para mayor versatilidad, el programa permite que las propiedades el´asticas se especifiquen por medio de los coeficientes de Lam´e, por medio de las velocidades de propagaci´on de las ondas (ver ecuaci´on 5.14) o por medio del m´odulo de Young y el coeficiente de Poisson (ver ecuaci´on 5.13). Ciertos nodos de los objetos pueden estar fijos o sujetos a restricciones en alguno de sus grados de libertad. Este hecho se especifica por medio de un fichero con informaci´on sobre las condiciones del contorno. Asimismo, es posible especificar si el objeto est´a sometido a fuerzas internas o externas, ya sean volum´etricas, superficiales o nodales. M´ odulo de Procesamiento. Como se ha comentado previamente, el m´odulo de procesamiento parte de los datos de entrada del problema para generar el sistema de ecuaciones dado en 5.28. La implementaci´on de este m´odulo implica realizar las siguientes acciones b´asicas: 1. Calcular las matrices elementales: A partir de las ecuaciones constitutivas y las propiedades especificadas por medio de los par´ametros de entrada, es posible obtener los valores de las matrices para cada elemento Ke , Me , Ce y el vector de fuerzas Fe . Estas matrices elementales se constituyen teniendo en cuenta la configuraci´on topol´ogica de los elementos. 2. Obtener las matrices globales a partir de las elementales: El ensamblaje de las matrices elementales en las globales determina a aportaci´on de cada nodo en las matrices generales K, M , C y F . 3. Incluir las restricciones de contorno en el sistema: En el sistema de ecuaciones formado por las matrices globales es necesario considerar las restricciones en el contorno. Para ello, se eliminan las ecuaciones correspondientes a grados de libertad conocidos y se introducen nuevas ecuaciones que incorporen estos valores conocidos.

176

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

M´ odulo de resoluci´ on. Las t´ecnicas que permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales son numerosas, y var´ıan considerablemente seg´ un se desee obtener la soluci´on del sistema de ecuaciones de equilibrio (caso est´atico) o la soluci´on del sistema de ecuaciones de movimiento (caso din´amico). Soluci´ on del sistema est´ atico En el caso est´atico los m´etodos buscan la soluci´on del sistema de ecuaciones dado por: Kd = f (5.30) donde K es la matriz de rigidez, d es el vector desplazamiento y f es el vector de fuerzas del sistema. Estos m´etodos se clasifican b´asicamente en dos grupos: de soluci´on directa y de soluci´on iterativa. Las t´ ecnicas de soluci´ on directa consisten en un conjunto de pasos sistem´aticos, de manera que el n´ umero pasos y operaciones est´a predeterminado. Estos m´etodos han sido ampliamente usados con resultados satisfactorios, sin embargo s´olo son adecuados para sistemas con pocas ecuaciones. La exactitud de los resultados depende en gran medida del n´ umero de ecuaciones y del condicionamiento de las ecuaciones (well-conditioned o ill-conditioned ) [GHR87]. Las t´ecnicas directas m´as conocidas se basan en eliminaci´on de Gauss: Factorizaci´on de Cholesky (o descomposici´on LU ), Condensaci´on Est´atica, Subestructuras y Soluci´on Frontal. Los m´ etodos iterativos, por otra parte, son eficientes para grandes sistemas de ecuaciones y la exactitud del m´etodo depende del n´ umero de iteraciones. Cuando este n´ umero no es excesivamente alto, el tiempo para obtener la soluci´on es considerablemente menor que el que se requiere en las t´ecnicas directas [Coo87]. Entre los m´etodos iterativos m´as usados se encuentran: Gauss-Seidel [BW76], sobrerelajaci´on o los m´etodos de Jacobi (semi-iterativo, gradiente conjugado) [SSK89]. En la implementaci´on desarrollada se opta por el m´etodo de Gradiente Conjugado debido a su simplicidad [Ueb97]. Asimismo este m´etodo permite implementar la t´ecnica de precondicionamiento de las matrices, lo que acelera considerablemente la convergencia del gradiente conjugado. amico En el caso din´amico el objetivo es obtener los Soluci´ on del sistema din´ desplazamientos que se producen en los nodos para cada instante de tiempo, resolviendo el sistema de ecuaciones dado por: ¨ + C d(t) ˙ M d(t) + Kd(t) = f (t) d(0) = d0 ˙ d(0) = d˙0

(5.31)

donde M , C y K son las matrices globales, f representa el vector de fuerzas y d es el vector de desplazamientos.

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

177

Los m´etodos cl´asicos de resoluci´on para sistemas din´amicos lineales se pueden dividir, b´asicamente, en dos grupos: m´etodos de superposici´on [BW76] y m´etodos de integraci´on directa [GHR87]. Los m´ etodos basados en el principio de superposici´ on s´olo se pueden utilizar para obtener la respuesta de sistemas lineales o linealizados, mientras que las t´ecnicas de integraci´on directa tienen la ventaja de su absoluta generalidad. Aunque de momento en esta tesis se trabaja con sistemas lineales, no se descarta la posible inclusi´on de sistemas no lineales en el futuro, por lo tanto se ha considerado conveniente implementar los algoritmos de integraci´on directa. Los m´ etodos de integraci´ on directa se basan en una discretizaci´on temporal del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden obtenido en 5.31. Para ello se establece una partici´on del intervalo temporal (0, T ) en n intervalos iguales, de modo que tn = nt con 0 ≤ n ≤ N y t = T /N . Este esquema establece una soluci´on aproximada en los tiempos 0, t, 2t, ..., T . Sin embargo, hay que tener en cuenta que el paso de tiempo elegido y usado en el proceso es de gran importancia. Su tama˜ no est´a relacionado no s´olo con el contenido de frecuencia de la excitaci´on, sino tambi´en con la discretizaci´on espacial de modo que sea consistente con la velocidad de propagaci´on de la onda en la malla de elementos finitos [GHR87]. Cl´asicamente, entre las t´ecnicas de integraci´on directa es posible distinguir dos grandes grupos: los algoritmos de extrapolaci´on o expl´ıcitos y los de iteraci´on o impl´ıcitos. La diferencia entre ellos radica en que, en los algoritmos del primer grupo, los valores de desplazamiento, velocidad y aceleraci´on en el instante ti +t se aproximan u ´nicamente en funci´on de los valores conocidos en ti , mientras que en los del segundo grupo, estos valores dependen tambi´en del desplazamiento desconocido en ti + t, por lo que se hace necesario un proceso iterativo para encontrar la soluci´on. Con esta base existen varios m´etodos de integraci´on directa: los m´etodos de tipo Newmark, m´etodo de Houboult y el m´etodo de Wilson-θ. De los mismos, s´olo se describen aquellos que han sido implementados en esta tesis: los m´etodos de tipo Newmark, que incluyen el m´etodo de las Diferencias Centrales (perteneciente a los m´etodos de extrapolaci´on o expl´ıcitos) y el m´etodo general (perteneciente a los m´etodos de integraci´on o impl´ıcitos). En ambos casos se plantea la aproximaci´on del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias 5.28 por medio del siguiente esquema de diferencias finitas [SSKB90], en el que las aceleraciones y velocidades se aproximan en t´erminos de los desplazamientos: ¨ n+1 + C d˙ n+1 + Kdn+1 = f n+1 Md  t2  ˙ ¨ ¨ (1 − 2β)dn + 2β dn+1 dn+1 = dn + tdn + 2   ¨ + γd ¨ n+1 d˙ n+1 = d˙ n + t (1 − γ)d donde los par´ametros β y γ definen la familia de algoritmos.

(5.32) (5.33) (5.34)

178

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

A continuaci´on se describe brevemente la implementaci´on de ambos m´etodos, que aunque se basan en los mismos principios son considerablemente diferentes entre s´ı. El esquema de las Diferencias Centrales se obtiene asignando los coeficientes β = 0 y γ = 12 . Sustituyendo los valores de β y γ en las ecuaciones 5.33 y 5.34, se obtiene la siguiente expresi´on, que representa la aproximaci´on t´ıpica de las diferencias centrales: 1 (dn+1 − dn−1 ) d˙ n = 2t ¨ n = 1 (dn−1 − 2dn + dn+1 ) d t2

(5.35) (5.36)

Para obtener una soluci´on aproximada al desplazamiento dn+1 en el tiempo t+t, ¨ n de las ecuaciones anteriores (5.35 y 5.36) en hay que sustituir los valores de d˙ n y d la ecuaci´on 5.28, especificada en un valor de t. ¨ n + C d˙ n + Kdn = f n Md

(5.37)

De este modo, se obtiene:



  1 1 2 1 1 M+ M dn − M− C dn+1 = f n − K − C dn−1 t2 2t t2 t2 2t (5.38) En este m´etodo, el c´alculo de dn+1 involucra dn y dn−1 , por lo que se requiere un procedimiento especial para comenzar. Es necesario calcular el valor de d−1 a partir de las ecuaciones 5.35 y 5.36 particularizadas en el instante inicial, de forma que: t2 ¨ d0 d−1 = d0 − td˙ 0 + 2

(5.39)

lo que exige conocer d¨0 . Este valor se puede calcular de la ecuaci´on 5.37 en el tiempo t = 0, aunque tambi´en es posible que est´e predeterminado. La soluci´on aproximada del desplazamiento dn+1 involucra resolver un sistema de ecuaciones algebraicas sim´etrico y esp´ ureo que recibe el nombre de M´etodo de las Diferencias Centrales Impl´ıcito (DCI). Sin embargo, cuando las matrices de masa y de atenuaci´on son diagonales, dn+1 se puede obtener “expl´ıcitamente” por una divisi´on simple y se lo denomina M´etodo de las Diferencias Centrales Expl´ıcito (DCE). El m´etodo de las Diferencias Centrales es condicionalmente estable. La estabilidad se garantiza exigiendo que el paso de tiempo t sea menor que un valor cr´ıtico tcr . Para obtener una soluci´on v´alida es necesario que se cumpla: x t ≤ tcr =  3(Vp2 + Vs2 ) t ≤ tcr =

x Vp

para DCI

(5.40)

para DCE

(5.41)

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

179

donde x es el tama˜ no de los elementos finitos, y Vp y Vs son las velocidades de transmisi´on transversal y longitudinal de la onda. El m´etodo de Newmark generalizado es un m´etodo impl´ıcito que consiste en evaluar la ecuaci´on de movimiento 5.32 con las aproximaciones de desplazamiento y velocidad dadas en 5.33 y 5.34, respectivamente, o dejando a dn+1 como inc´ognita b´asica: γ γ−β ˙ γ − 2β ¨ (dn+1 − dn ) − dn − tdn βt β 2β 1 1 ˙ 1 − 2β ¨ dn − dn = (dn+1 − dn ) − 2 βt βt 2β

d˙ n+1 =

(5.42)

¨ n+1 d

(5.43)

siendo β y γ los par´ametros que determinan la exactitud y la estabilidad del esquema. La elecci´on de diferentes valores para β y γ permiten obtener diferentes tipos de esquemas de Newmark. Para γ = 12 el m´etodo es de primer orden mientras que para γ = 12 el m´etodo es de segundo orden. Si se cumple que 2β ≥ γ ≥ 12 el m´etodo es incondicionalmente estable, en cambio cuando γ ≥ 12 y β < γ2 el m´etodo es condicionalmente estable. Los m´etodos m´as conocidos y utilizados de esta familia son:

5.6.

M´ etodo

Par´ ametros

Tipo

Estabilidad

Diferencias centrales

β=0

Expl´ıcito

Condicional

Aceleraci´ on media

β = 1/4

γ = 1/2

Impl´ıcito

Incondicional

Aceleraci´ on lineal

β = 1/6

γ = 1/2

Impl´ıcito

Condicional

γ = 1/2

Validaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Observar la evoluci´on de las deformaciones a lo largo de toda la simulaci´on ayuda a comprobar la existencia de suavidad en los movimientos y que no haya discontinuidades, sin embargo es muy complicado realizar una verificaci´on exacta de los desplazamientos obtenidos por el m´etodo de elementos finitos si s´olo se efect´ ua una comprobaci´on visual. Por lo tanto, para comprobar la exactitud num´erica del sistema de deformaciones implementado, se han comparado los resultados obtenidos con el resultado de aplicar los mismos problemas en diferentes sistemas de elementos finitos. En el caso de la verificaci´on de los problemas est´aticos se ha comparado con los resultados obtenidos en el software MYDAS [Cal94] desarrollado por el grupo GEMM (Grupo de Estructuras y Modelado de Materiales) de la Universidad de Zaragoza. En el caso de los problemas din´amicos se ha optado por utilizar Abaqus [ABA] debido a su reconocida especializaci´on en estas a´reas de trabajo. En todos los casos el mallado se ha realizado con I-DEAS [Law01].

180

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Como normalmente las mallas est´an formadas por gran cantidad de nodos, y para cada uno de ellos existe una deformaci´on por cada iteraci´on, se produce una gran cantidad de datos a comprobar. De cara a una mejor y m´as r´apida interpretaci´on de los datos, se ha optado por visualizar la evoluci´on de la deformaci´on en el tiempo de alguno de los nodos m´as significativos. Comparaciones de objetos de 2 dimensiones En esta secci´on se comprobar´a la validez del modelo para efectuar simulaciones de deformaciones en 2D. Para ello se utilizar´an objetos compuestos por materiales con diferentes par´ametros de elasticidad y densidad, a los cuales se les aplican distintas fuerzas. Para comprobar los resultados de las deformaciones obtenidas en el sistema se realizan diferentes simulaciones con el mismo objeto y las mismas condiciones de contorno. En todos los casos los nodos correspondientes al lado inferior se establecen como fijos en ambas direcciones (x, y) con el fin de simular el apoyo en una superficie. Para la verificaci´on del caso din´amico en 2D se ha elegido una placa cuadrada de dimensiones: 500 x 500 mts, representado por una malla formada por elementos cuadr´aticos cuadrangulares de 50 x 50 mts de lado. La resoluci´on del sistema se realiza con m´etodo de Newmark de Aceleraci´on media (Newmark con β = 14 y γ = 12 ). En el primer experimento las caracter´ısticas del material a deformar son las correspondientes al acero: Densidad: 7820 kg/m3 M´odulo de Young: 2.068e11 Pa Coeficiente de Poisson: 0.29 En la primera simulaci´on se aplica en el lado superior una fuerza externa F de 100 N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y) = (0, 100). Dicha fuerza se aplica en los 10 elementos que forman dicha cara de manera constante durante 1 segundo (con dt = 0,001) La evoluci´on de los desplazamientos a lo largo del tiempo producidos en el nodo central superior por la aplicaci´on de dicha fuerza en el objeto se puede observar en la figura 5.20. La figura de la izquierda muestra obtenidos por el sistema desarrollado mientras que en el lado derecho se observan los desplazamientos obtenidos con Abaqus para el mismo nodo. En el segundo experimento las caracter´ısticas del material a deformar son las correspondientes a una goma dura: Densidad: 11000 kg/m3 M´odulo de Young: 2.3e9 Pa Coeficiente de Poisson: 0.40 Al igual que en el caso anterior, se aplica en el lado superior una fuerza externa F de 100 N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y) = (0, 100). Dicha fuerza se aplica

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

181

Figura 5.20. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulaci´ on obtenidos con el sistema desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)

en los 10 elementos que forman dicha cara de manera constante durante 1 segundo (con dt = 0,001) Sin embargo, el comportamiento de este material difiere considerablemente del caso del acero, tal como se puede observar en la figura 5.21, que refleja los resultados obtenidos por el sistema desarrollado y los resultados obtenidos utilizando Abaqus.

Figura 5.21. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulaci´ on obtenidos con el sistema desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)

Para comprobar el comportamiento del sistema con otras condiciones de carga, se realiza una segunda simulaci´on con este material. En este caso se aplica, tambi´en en el lado superior, una fuerza externa de 10000 N, hacia arriba y en sentido vertical F (x, y) = (0, 10000). Dicha fuerza se aplica en los 10 elementos que forman dicha cara de manera constante durante 0.5 segundos y a partir de ese instante la fuerza decae de manera lineal hasta hacerse 0 en t = 1 segundo (dt = 0,001). En este caso, la comparaci´on de los resultados obtenidos mediante el sistema desarrollado y los obtenidos por Abaqus se pueden observar en la figura 5.22.

182

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Figura 5.22. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulaci´ on obtenidos con el sistema desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)

Comparaciones de objetos de 3 dimensiones En esta secci´on se comprobar´a la validez del modelo para efectuar simulaciones de deformaciones en 3D. Al igual que para el caso en 2D, se utilizar´an objetos compuestos por materiales con diferentes par´ametros de elasticidad y densidad, a los cuales se les aplican distintas fuerzas. Para la verificaci´on del caso din´amico en 3D se ha elegido una placa de dimensiones: 500 x 500 x 50 mts, representado por una malla formada por elementos trilineales hexa´edricos de 50x50x50 mts de lado. Al igual que en el caso de 2D, en los objetos 3D los nodos correspondientes a la superficie inferior permanecen fijos en todas las direcciones (x, y, z) con el fin de simular el apoyo en una superficie. Para la primera simulaci´on en 3D el objeto se modela considerando las propiedades del acero, descritas anteriormente y aplicando una fuerza externa F sobre la cara superior es de 10000 N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y, z) = (0, 10000, 0), de forma constante durante 1 segundo (con dt = 0,001). La evoluci´on de los desplazamientos a lo largo del tiempo producidos en un nodo central superior se puede observar en la figura 5.23. La figura de la izquierda muestra obtenidos por el sistema desarrollado mientras que en el lado derecho se observan los desplazamientos obtenidos con Abaqus para el mismo nodo. Para comprobar el comportamiento del sistema con otras condiciones de carga, se realiza una segunda simulaci´on con este material. En este caso se aplica una fuerza externa de 10000 N, hacia arriba y en sentido vertical F (x, y, z) = (0, 10000, 0) en la superficie superior pero de manera constante s´olo durante los primeros 0.5 segundos y a partir de ese instante la fuerza decae de manera lineal hasta hacerse 0 en t = 1 segundo (dt = 0,001). En este caso, la comparaci´on de los resultados obtenidos mediante el sistema desarrollado y los obtenidos por Abaqus se pueden observar en la figura 5.24.

5.7.

Conclusiones

En este cap´ıtulo se han presentado y clasificado las diferentes t´ecnicas que existen hoy en d´ıa para simular las deformaciones de los tejidos blandos, en especial de

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

183

Figura 5.23. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulaci´ on obtenidos con el sistema desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)

Figura 5.24. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulaci´ on obtenidos con el sistema desarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)

o´rganos y m´ usculos, se˜ nalando las ventajas y los problemas m´as importantes de los diferentes modelos. El m´etodo de los elementos finitos (FEM) permite realizar simulaciones con una mayor precisi´on por estar basado en la f´ısica. Es por ello que es el m´etodo que se ha implementado en MOBiL a pesar de que presenta un alto requerimiento computacional para sistemas no lineales y grandes deformaciones, como ser´ıa el caso de la simulaci´on de los m´ usculos. Dado que lo que se pretende es plantear un m´etodo heur´ıstico, razonablemente basado en la F´ısica y que simule la mayor parte de los fen´omenos t´ıpicos de los medios continuos, se ha supuesto que se linealiza el m´ usculo y se evita la re-evaluaci´on de los vectores de fuerza y las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento a medida que el objeto se deforma. De este modo, se pierde exactitud pero no fenomenolog´ıa. Ser´ıa algo an´alogo a lo que representa la utilizaci´on de t´ecnicas basadas en la Radiosidad frente a la utilizaci´on de las t´ecnicas basadas en la Radiancia en el entorno de la problem´atica de la soluci´on del problema de la iluminaci´on global.

184

Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

Por otra parte, hay que recalcar que la utilizaci´on de un modelo de acci´on muscular para “condicionar” el problema e “integrar” los resultados de las deformaciones musculares del modelo calculado por FEM en el movimiento global de locomoci´on es un m´etodo que asegura una adecuada transici´on entre fases y mantiene la validez f´ısica en la simulaci´on global del fen´omeno.

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Cap´ıtulo 5: Simulaci´ on de la fase m´ usculo-esqueletal

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6 Integraci´on final y visualizaci´on: Resultados

6.Integraci´ on final y visualizaci´ on: Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Sistema de Visualizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1.Detalles de implementaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1.Simulaci´on del movimiento esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.Simulaci´on de las deformaciones musculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.Integraci´on de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.Tiempos de c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

193 194 196 197 197 198 206 208 211

Integraci´ on final y visualizaci´ on: Resultados

En este cap´ıtulo se describe, en primer lugar, el sistema de visualizaci´ on desarrollado para integrar los m´ odulos implementados en los cap´ıtulos anteriores: el sistema de animaci´ on del esqueleto y el sistema de simulaci´on de las deformaciones musculares (ver figura 6.1).

Figura 6.1. Sistema de Visualizaci´ on. Integraci´ on de los resultados de los m´ odulos previos.

A continuaci´ on, se presentan los resultados experimentales obtenidos por ambos m´odulos, utiliz´andolos tanto de manera individual como de forma coordinada, y por u ´ltimo, se detallan los tiempos de c´alculo empleados en ambos m´etodos. A trav´es de los resultados se verifica la validez de los modelos implementados, ya sea de forma visual o contrastando los resultados obtenidos con resultados de la literatura.

193

194

Cap´ıtulo 6: Resultados

6.1.

Sistema de Visualizaci´ on

La herramienta de visualizaci´on desarrollada permite presentar, de manera visual, los resultados de los m´odulos del sistema MOBiL expuestos en los cap´ıtulos anteriores (ver figura 6.1). El sistema permite visualizar y trabajar con los datos que provienen del sistema de locomoci´on del ser humano y con los datos que proceden de la simulaci´on de la deformaci´on de un objeto, tanto de manera individual como de forma conjunta e integrada. Para ello, la aplicaci´on requiere informaci´on acerca del movimiento del esqueleto como de los desplazamientos de los nodos que componen la malla del m´ usculo, para cada instante de tiempo. Por lo tanto, el sistema recibe como entradas: Procedente del sistema de locomoci´on: un fichero con informaci´on acerca de los segmentos del esqueleto, su centro de masas y la variaci´on de los a´ngulos, para cada instante de tiempo. Procedente del sistema de deformaciones musculares: un fichero con informaci´on de la deformaci´on muscular, que a su vez contiene referencias a los ficheros de: malla del m´ usculo, desplazamientos de la malla para cada instante de tiempo, especificaci´on de los materiales y fuerzas de entrada. El interfaz de la aplicaci´on se presenta en la figura 6.2.

Figura 6.2. Interfaz del sistema de visualizaci´ on

A partir de los datos de entrada, el sistema de visualizaci´on permite obtener las siguientes salidas: Visualizaci´on integrada del sistema m´ usculo-esqueletal, presentando de manera conjunta la locomoci´on de un ser humano virtual junto con la deformaci´on del m´ usculo a medida que camina.

Cap´ıtulo 6: Resultados

195

De forma espec´ıfica para la locomoci´on, las salidas son: las siguientes salidas: • Visualizaci´on en tiempo real del ser virtual caminando, representado el cuerpo como esqueleto, como modelo en jaula de alambre o como modelo de superficies (ver figura 6.3). • Representaci´on de los a´ngulos formados por cada articulaci´on. • Fichero con la informaci´on de la geometr´ıa [Bei] y de los movimientos del cuerpo, en formato H-Anim de VRML [H-A]. • Ficheros con las coordenadas GL (uno para cada instante de tiempo). De forma espec´ıfica para los objetos deformables, las salidas son: • Visualizaci´on en tiempo real de las deformaciones que se producen en el objeto, representado al objeto como una malla en jaula de alambre o un modelo de superficies o por medio de superficies NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) (ver figura 6.3). • Visualizaci´on de un objeto deformable, ya sea 2D o 3D, en modo est´atico, superponiendo el objeto en su estado inicial y el objeto despu´es de haber sido deformado. • Representaci´on gr´afica de la evoluci´on de los desplazamientos de los diferentes nodos de la malla. • Representaci´on gr´afica de las fuerzas de entrada para cada nodo de la malla. • Fichero con el objeto en formato VTK [SMAL00]. Para ambos casos, es posible generar: • Im´agenes est´aticas en formato .TGA • Secuencias de v´ıdeo de las animaciones, en formato .AVI, con o sin compresi´on.

Figura 6.3. Visualizaci´ on en jaula de alambre y por supeficies

196

Cap´ıtulo 6: Resultados

6.1.1.

Detalles de implementaci´ on

La herramienta de visualizaci´on est´a implementada en C++ con est´andares y librer´ıas externas conocidas, como OpenGL [NDW93], optimizadas para el uso de aceleradores gr´aficos, y la especificaci´on H-Anim de VRML [H-A]. El interfaz, en cambio, se ha generado con GTK/GTK++ [GTK], de manera que fuera independiente de la plataforma y pudiera correr tanto sobre Windows y como sobre Unix. El modelo humano requerido para la visualizaci´on final, debe permitir el movimiento de los segmentos que forman el cuerpo en tiempo real, pero adem´as debe poseer una cierta apariencia realista. Por ello, se ha optado por implementar el modelo de acuerdo a un est´andar que permita optar por la representaci´on del cuerpo como un conjunto de segmentos articulados como un modelo en jaula de alambre o como un modelo de superficies y, que, por otra parte, permita la animaci´on en tiempo real del modelo. Para obtener estas posibilidades de representaci´on se ha seleccionado el est´andar H-Anim de VRML [H-A] para especificar el cuerpo humano, cuya estructura general se puede observar en la figura 6.4 (a).

(a) Especificaci´ on H-Anim 1.1

(b) Implementaci´ on en MOBiL

Figura 6.4. Representaci´ on de las articulaciones y segmentos del cuerpo

El modelo humano construido en este trabajo se basa en la geometr´ıa del modelo de cuerpo implementado por Beitler [Bei] y en el modelo esqueletal jer´arquico de 48

Cap´ıtulo 6: Resultados

197

segmentos desarrollado para el sistema de locomoci´on (ver secci´on 3.2, figura 3.2). La estructura final de almacenamiento del cuerpo humano se puede observar en la figura 6.4 (b). Como se puede observar comparando ambas figuras, los u ´nicos datos que no se han implementado corresponden al detalle de la cabeza (ojos, cejas,...) y a los segmentos y articulaciones de las manos, es decir, que son aquellos que no est´an involucrados ni se modifican en el proceso de locomoci´on.

6.2.

Resultados

En este apartado se presentan los resultados experimentales obtenidos por los diferentes m´odulos del sistema MOBiL. En primer lugar se presentan las salidas gr´aficas correspondientes al m´odulo de simulaci´on del movimiento global y a continuaci´on se describen los resultados obtenidos mediante el sistema de deformaciones. Posteriormente se presentan im´agenes obtenidas por el m´odulo de visualizaci´on correspondientes a la animaci´on conjunta e integrada del sistema MOBiL. En u ´ltimo lugar se detalla la informaci´on referente a los tiempos de c´alculo empleados para las simulaciones. 6.2.1.

Simulaci´ on del movimiento esqueletal

El sistema de movimiento global se basa en un modelo esqueletal y permite obtener simulaciones de locomociones de individuos con diferentes caracter´ısticas antropom´etricas y diferentes “maneras” de caminar. En este apartado se presentan secuencias de locomociones generadas realizando modificaciones sobre los distintos par´ametros. En la parte superior de la figura 6.5 se observa la simulaci´on de una locomoci´on compuesta por 4 pasos consecutivos, para una persona de 80 kg, 1.80 m de altura y andando a una velocidad de 5 km/h. En la parte inferior de la figura se presentan los cambios en los valores angulares de la cadera, rodilla y tal´on durante esta locomoci´on. El primer paso constituye el comienzo a partir de la posici´on de reposo, produciendo una aceleraci´on, y el u ´ltimo paso finaliza la locomoci´on por medio de una deceleraci´on, como puede observarse claramente en los extremos de la curva de las trayectorias de los a´ngulos descritos por las articulaciones. La cadencia r´ıtmica de la locomoci´on tambi´en es clara. La variaci´ on de los datos antropom´ etricos como el peso, la altura o la complexi´on, producen modificaciones en la manera de caminar. En la figura 6.6 se presenta la diferencia en las locomociones correspondientes a 3 individuos con diferentes pesos: 65 kg, 80 kg y 120 kg, caminando a la misma velocidad (5 km/h). Aunque las locomociones son similares, es interesante resaltar las diferentes aproximaciones que se producen en los apoyos del tal´on. La influencia de la fuerza de gravedad, y por lo tanto del peso, es un factor determinante en la apariencia en los instantes de cambio de fase.

198

Cap´ıtulo 6: Resultados

Figura 6.5. Cambios angulares en los valores de la cadera, rodilla y tobillo durante 3 ciclos de locomoci´ on

La variaci´ on de los par´ ametros de diferenciaci´ on del paso permiten obtener locomociones con diferentes caracter´ısticas. En la figura 6.7 se presenta el resultado de acentuar el par´ametro de balanceo p´elvico, que se produce en el plano coronal. De la misma forma es posible introducir otros cambios en la apariencia de la locomoci´on, modificando alguno de los par´ametros detallados en el Ap´endice C. 6.2.2.

Simulaci´ on de las deformaciones musculares

El sistema de simulaci´on de las deformaciones de MOBiL permite trabajar con un modelo m´ usculo-esqueletal, a partir de las fuerzas generadas en la fase esqueletal. De este modo, es posible producir la deformaci´on local de los m´ usculos durante la locomoci´on. Sin embargo, para poder aplicar este m´odulo previamente hay que definir: Caracter´ısticas del material a utilizar. Tama˜ no de mallado. Condiciones de contorno. M´etodo de Resoluci´on. Paso de integraci´on para el m´etodo de resoluci´on. El material considerado para el modelado del m´ usculo tienen las siguientes propiedades:

Cap´ıtulo 6: Resultados

199

Figura 6.6. Paso Natural a 5 km/h con: 65 kg (arriba), 80 kg (centro) y 120 kg (abajo)

Figura 6.7. Balanceo P´ elvico

Densidad: 1000 kg/m3 M´odulo de Young: 1.06667e+4 Pa Coeficiente de Poisson: 0.3333

200

Cap´ıtulo 6: Resultados

En la literatura, los datos de las caracter´ısticas de los materiales que se emplean para definir los m´ usculos var´ıa en un rango de varios o´rdenes de magnitud para los valores del M´odulo de Young, y comprenden 1.0e+2 Pa [CZ92] hasta 3.02e+8 Pa [WZZ99]. En este trabajo se trabaja con valores que se encuentran en un punto intermedio, de 1.0e4 Pa, y se asemejan a los utilizados por [ZM99] en un trabajo espec´ıfico sobre las propiedades el´asticas de los tejidos de las extremidades inferiores. El tama˜ no de la malla del m´ usculo est´a determinado por el algoritmo de parametrizaci´on dado, considerando en este caso a un un hombre de 1.80 m de altura y 80 kg de peso. De este modo, resulta un tama˜ no de m´ usculo de 30 cm de alto, cuyo ancho var´ıa y en la parte m´as angosta corresponde a 3 cm mientras que en la parte m´as ancha corresponde a 6 cm. La definici´on del tama˜ no de los elementos de la malla (x) se ha realizado seg´ un el procedimiento definido en el apartado de Mallado del objeto de la secci´on 5.5.3. Sin embargo, en este experimento se ha tomado un valor de x conservativo, x = 0,015. De este modo, la malla est´a formada por 320 elementos trilineales hexa´edricos (525 nodos). La malla est´a fija en su superficie superior, simulando as´ı su uni´on al hueso por medio de los tendones. La restricci´on de movimiento en x, y y z para los nodos de dicha superficie constituyen las condiciones de contorno del problema. El paso de integraci´on utilizado para la resoluci´on se determina a partir de los datos del material y el tama˜ no de la malla, seg´ un se ha detallado en el apartado Soluci´on del sistema din´amico en la secci´on 5.5.3, resultando t = 0,01. Y el m´etodo de resoluci´on utilizado para realizar las deformaciones es el M´etodo de Newmark de Aceleraci´on Media. Teniendo en cuenta las definiciones realizadas previamente, a continuaci´on se presentan los resultados de las deformaciones producidas en 3 grupos musculares distintos: isquiotibiales, cu´adriceps y tr´ıceps sural. En todos los casos el tiempo de simulaci´on es de 1.12 segundos correspondiente a un ciclo de locomoci´on. Las fuerzas de entrada para el sistema de deformaciones provienen del sistema de locomoci´on, y son las que figuran bajo el nombre de Entrada, en el lado izquierdo de las figuras. En el lado derecho de las figuras, bajo el r´otulo de Salida se presenta el desplazamiento producido en la malla despu´es del c´alculo por FEM. Ambos gr´aficos reflejan la informaci´on correspondiente a un nodo de la malla. En la parte central de las figuras se presenta la malla deformada para un instante de tiempo (marcado en las gr´aficas de entrada y de salida). Resultados para el grupo muscular: Isquiotibiales A continuaci´on se presentan las deformaciones producidas en el grupo muscular Isquiotibiales. Los desplazamientos obtenidos corresponden a tres instantes de tiempo, particularmente significativos y se muestran en las figuras 6.8, 6.9 y 6.10. Resultados para el grupo muscular: Cu´ adriceps Las figuras 6.11, 6.12 y 6.13 presentan las deformaciones producidas sobre el grupo muscular Cu´adriceps.

Cap´ıtulo 6: Resultados

201

Figura 6.8. Deformaci´ on del grupo muscular isquiotibiales en el instante A

Figura 6.9. Deformaci´ on del grupo muscular isquiotibiales en el instante B

Figura 6.10. Deformaci´ on del grupo muscular isquiotibiales en el instante C

202

Cap´ıtulo 6: Resultados

Figura 6.11. Deformaci´ on del grupo muscular cu´ adriceps en el instante A

Figura 6.12. Deformaci´ on del grupo muscular cu´ adriceps en el instante B

Figura 6.13. Deformaci´ on del grupo muscular cu´ adriceps en el instante C

Resultados para el grupo muscular: Tr´ıceps Sural Las figuras 6.14, 6.15 y 6.16 presentan las deformaciones producidas sobre el grupo muscular Tr´ıceps Sural.

Cap´ıtulo 6: Resultados

203

Figura 6.14. Deformaci´ on del grupo muscular tr´ıceps sural en el instante A

Figura 6.15. Deformaci´ on del grupo muscular tr´ıceps sural en el instante B

Validaci´ on de los resultados Los resultados hallados en la literatura biomec´anica comprueban que los valores de desplazamientos obtenidos por la aplicaci´on del m´etodo elementos finitos durante la locomoci´on se corresponden con los obtenidos por m´etodos experimentales [JJVH90] [DASM96] [ABD01]. En la figura 6.17 se presenta la comparaci´on entre las variaciones en longitud producidas en el grupo muscular isquiotibiales obtenidas por el sistema desarrollado y las publicadas por Delp at al. [DASM96], donde la zona en gris se corresponde con los datos para la locomoci´on normal. Para que dicha comparaci´on fuese posible, se han convertido los datos del sistema a la m´etrica utilizada por Delp at al. Varios ciclos de locomoci´ on A pesar de que los datos anteriores se han dado para un solo ciclo de locomoci´on, en la figura 6.18 es posible observar la cadencia c´ıclica de la locomoci´on, y por lo tanto, de las deformaciones, durante 3 ciclos de locomoci´on para el grupo muscular de los isquiotibiales.

204

Cap´ıtulo 6: Resultados

Figura 6.16. Deformaci´ on del grupo muscular tr´ıceps sural en el instante C

Figura 6.17. Comparaci´ on correspondiente a la longitud del grupo muscular isquiotibiales. A la izquierda, los resultados obtenidos por el sistema desarrollado. A la derecha, los resultados obtenidos por [DASM96], donde la zona en gris se corresponde con los datos correspondientes a la locomoci´ on normal.

Figura 6.18. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales durante varios ciclos de locomoci´ on

Cap´ıtulo 6: Resultados

205

Diferencias en la frecuencia de paso La variaci´on en la frecuencia de paso para varios ciclos de locomoci´on se puede observar en las siguientes figuras. En ambos casos se presentan las gr´aficas correspondientes al grupo muscular de los isquiotibiales, para una persona de 80 kg de peso y de 1.80 m de altura. En la figura 6.19 la frecuencia de paso es fp = 107,6 pasos/minuto, mientras que en la figura 6.20 se observa el incremento de dicha frecuencia, que en este caso corresponde a fp = 144,3 pasos/minuto.

Figura 6.19. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales para una persona caminando a fp = 107,6 pasos/minuto

Figura 6.20. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales para una persona caminando a fp = 144,3 pasos/minuto

Utilizaci´ on de NURBS Para mejorar el aspecto visual de los m´ usculos sin incrementar los tiempos de c´alculo, es posible utilizar los nodos de la malla del m´ usculo como puntos de control de una superficie NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline), que se puede visualizar por medio de la librer´ıa OpenGL [NDW93]. La diferencia de utilizar la visualizaci´on directa de la malla o visualizaci´on por medio de superficies NURBS se puede observar en la figura 6.21 con la malla en estado de reposo, y en la figura 6.22 con la malla deformada.

206

Cap´ıtulo 6: Resultados

(a) En jaula de alambre

(b) Con superficies NURBS

Figura 6.21. Visualizaci´ on del m´ usculo en reposo

(a) En jaula de alambre

(b) Con superficies NURBS

Figura 6.22. Visualizaci´ on del m´ usculo contra´ıdo

6.2.3.

Integraci´ on de las simulaciones

El m´odulo de visualizaci´on permite obtener una animaci´on conjunta e integrada de los resultados obtenidos previamente. De este modo, es posible observar los cambios que se producen en la forma de los m´ usculos de las extremidades inferiores mientras la persona camina. La visualizaci´on conjunta de ambas simulaciones se puede observar en la figura 6.23 (a), en la que el cuerpo se representa por medio de un esqueleto y en la figura 6.23 (b), en la que el cuerpo se representa en jaula de alambre. En ambos casos el m´ usculo se representa por medio de una superficie NURBS. En la figura 6.24 se presenta una secuencia de locomoci´on en la que es posible apreciar la diferencia de visualizaci´on entre el cuerpo representado por un esqueleto o en jaula de alambre. El m´ usculo est´a representado por medio de una malla de 525 nodos.

Cap´ıtulo 6: Resultados

207

(a) Esqueleto humano con m´ usculo

(b) Cuerpo humano con m´ usculo

Figura 6.23. Visualizaci´ on integrada

Figura 6.24. Secuencia de locomoci´ on

Los datos utilizados para estas simulaciones corresponden a un hombre de 80 kg de peso y 1.80 kg, de complexi´on normal, caminando a una velocidad de 5 km/h.

208

Cap´ıtulo 6: Resultados

6.2.4.

Tiempos de c´ alculo

A continuaci´on se presentan la informaci´on relacionada con los tiempos de c´alculo empleados en la simulaciones del movimiento global y en las simulaciones de las deformaciones. Tiempos de c´ alculo para la simulaci´ on del movimiento. El m´odulo de simulaci´ on del movimiento de locomoci´on del sistema MOBiL es capaz de efectuar los c´alculos en tiempo real sobre un computador Athlon con XP a 1800 MHz, con 384 MB de memoria RAM. En la tabla 6.1 se presentan los tiempos de CPU extra´ıdos del c´alculo de una serie de secuencias de locomoci´on, variando el n´ umero de pasos. En todos los casos las locomociones se generan para una persona caminando a paso natural (5 km/h). N´ umero de Pasos Tiempo Simulado N´ umero de Cuadros Tiempo de CPU 3 pasos

1.27 segundos

30

130 mseg

4 pasos

1.84 segundos

44

240 mseg

5 pasos

2.4 segundos

58

290 mseg

10 pasos

5.2 segundos

128

520 mseg

20 pasos

10.76 segundos

267

1020 mseg

Tabla 6.1. Tiempos de c´ alculo en un Athlon XP a 1800 MHz

La posibilidad del sistema de variar la cantidad de cuadros por segundo que se generar, modifica los tiempos de c´alculo tal y como se refleja en en la tabla 6.2. N´ umero de Cuadros Tiempo de CPU 25 fps

58

290 mseg

50 fps

117

300 mseg

100 fps

229

320 mseg

Tabla 6.2. Tiempos de c´ alculo variando el n´ umero de cuadros por segundo (fps) para una simulaci´ on de 5 pasos a 5 km/h

Si se atiende a la distribuci´on del tiempo de c´alculo entre las diferentes fases del sistema, es posible observar que es la fase de giro es la que presenta un tiempo de c´alculo superior, a pesar de tener un menor tiempo real de simulaci´on (ver tabla 6.3). En caso de necesitar optimizar alguna de las fases desarrolladas, ´esta deber´ıa ser la primera en la que centrar la atenci´on. Tiempos de c´ alculo para la simulaci´ on de las deformaciones Para determinar la posibilidad de simular las deformaciones musculares en tiempo real, se han

Cap´ıtulo 6: Resultados

209 Tiempo de CPU Din´ amica de la pierna de apoyo

20 mseg

Cinem´ atica de la pierna de apoyo y el cuerpo superior

0.1 mseg

Din´ amica/Cinem´ atica de la pierna de giro

25 mseg

Tabla 6.3. Tiempos de c´ alculo de las fases del sistema de locomoci´ on durante 1 paso

realizado diferentes pruebas para obtener los tiempos de c´alculos que surgen de la utilizaci´on de diferentes par´ametros. En las mallas utilizadas en las simulaciones de las deformaciones presentadas previamente se han utilizado valores conservativos de x y t. Sin embargo, tras realizar un an´alisis de dichos valores para el problema planteado, es posible llegar a un l´ımite para el cual la precisi´on de los resultados es comparable, considerando x = 0,037 y t = 0,01. Los datos de entrada y salida para x = 0,015 y para x = 0,037 pueden observarse en las figuras 6.25 y 6.26, respectivamente. La comparaci´on de las gr´aficas refleja que no hay una diferencia apreciable en los resultados.

Figura 6.25. Gr´ aficas de fuerzas y desplazamientos con una malla con x = 0,015 (525 nodos)

Los valores de referencia usados como patr´on de comparaci´on de los tiempos de c´alculo son los que se observan en la tabla 6.4. La variaci´on del n´ umero de nodos de las mallas influye considerablemente en los tiempo de c´alculos que se emplean para la simulaci´on de las deformaciones musculares. En la figura 6.27 se observan las mallas del grupo muscular “isquiotibial” con 45, 117, 525 y 3321 nodos, respectivamente. La comparativa de tiempos que surge de variar los n´ umeros de nodos de las mallas se muestra en la figura 6.28. Los c´alculos se han realizado considerando un paso de integraci´on de t = 0,01, en el ordenador mencionado previamente.

210

Cap´ıtulo 6: Resultados

Figura 6.26. Gr´ aficas de fuerzas y desplazamientos con una malla con x = 0,037 (81 nodos) Tiempo Simulado

1 segundo

Paso de Integraci´ on t

0.01 segundos

N´ umero de nodos

81

CPU

UltraSPRACII 480 MHz

Tiempo de C´ alculo

3.4 segundos

Tabla 6.4. Valores de referencia utilizados para las pruebas

Figura 6.27. Mallas con diferentes n´ umeros de nodos

Para el mismo n´ umero de nodos, en este caso 81 nodos, el tiempo de c´alculo var´ıa considerablemente dependiendo de los pasos de integraci´on elegidos. La figura 6.29 refleja el resultado, en segundos de trabajar con t = 0,05, t = 0,01, t = 0,004 y t = 0,001. La figura 6.30 muestra la comparativa entre los tiempos de c´alculo obtenidos con diferentes procesadores para procesar una malla de 81 nodos, con t = 0,01. Los procesadores considerados son: UltraSPRACII a 480 MHz, Pentium III a 800 MHz y Pentium IV a 2800 MHz.

Cap´ıtulo 6: Resultados

211

Figura 6.28. Comparativa de los c´ alculos con mallas con diferentes n´ umeros de nodos

Figura 6.29. Comparativa entre diferentes pasos de integraci´ on

6.3.

Conclusiones

Es este cap´ıtulo se ha realizado una descripci´on del sistema de visualizaci´on desarrollado, detallando sus caracter´ısticas principales. La elecci´on del est´andar HAnim como modelo de alto nivel para la visualizaci´on permite una gran flexibilidad y la posibilidad de integraci´on en otros sistemas, incluyendo entornos virtuales. Asimismo, en este cap´ıtulo se han puesto de manifiesto los resultados que se han ido obteniendo de aplicar los m´etodos de presentados en los cap´ıtulos 4 y 5. Se han mostrado algunos ejemplos de resultados de los m´odulos, de manera individual y de forma conjunta. Los resultados del sistema de locomoci´on, validados previamente en el cap´ıtulo 4, permiten observar el efecto de la variaci´on de algunas de las caracter´ısticas antropom´etricas y de los par´ametros de diferenciaci´on del paso.

212

Cap´ıtulo 6: Resultados

Figura 6.30. Comparativa con diferentes CPUs

A continuaci´on se han presentado los resultados de las deformaciones producidas durante el ciclo de locomoci´on, atendiendo a los diferentes grupos musculares. Se han mostrado las diferencias en las distintas partes del ciclo para cada grupo muscular, y se ha demostrado el comportamiento c´ıclico de las deformaciones, resultantes de la cadencia c´ıclica de la locomoci´on. Posteriormente se ha presentado la integraci´on de ambos trabajos, incorporando los resultados del movimiento de los segmentos del esqueleto y el m´ usculo, junto con sus deformaciones, en un ser virtual. Finalmente se ha presentado una comparativa sobre los tiempos de c´alculo que se obtienen con el sistema MOBiL. El m´odulo de locomoci´on claramente obtiene salidas en tiempo real, mientras que para las deformaciones, el tiempo de c´alculo var´ıa considerablemente dependiendo del n´ umero de nodos de la malla, en el paso de integraci´on y en la CPU utilizada. De dicha comparativa, se deduce que utilizando una CPU m´as potente, es posible obtener las deformaciones en tiempo real.

Referencias

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213

7 Conclusiones y Trabajos Futuros

7.Conclusiones y Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Objetivos Planteados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Objetivos Alcanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Trabajo en desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1.Apariencia visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2.Movimiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3.Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4.Optimizaciones para Tiempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215

217 217 217 218 219 221 222 222 222 223

Conclusiones y Trabajos Futuros

7.1.

Objetivos Planteados Los objetivos planteados en este trabajo de tesis han sido:

1. Estudio de la problem´atica relacionada con las deformaciones musculares y con el control del movimiento del cuerpo humano, en particular durante la locomoci´on. 2. Desarrollo de un sistema integrado de simulaci´on capaz de generar las deformaciones que se producen en los m´ usculos durante la locomoci´on humana. a) Desarrollo e implementaci´on de un m´etodo para animar la locomoci´on humana que permita: Controlar el movimiento de una forma sencilla e intuitiva, Generar animaciones en tiempo real de locomociones de individuos de caracter´ısticas antropom´orficas diferentes, Generar valores de momentos y fuerzas. b) Desarrollo e implementaci´on de un sistema de simulaci´on para la deformaci´on de objetos en 3 dimensiones que permita: Utilizar los datos de fuerzas obtenidos de la locomoci´on, Realizar deformaciones con apariencia realista, Trabajar con tiempos de c´alculo aceptables. 3. Desarrollo de una plataforma que permita visualizar y generar animaciones de los resultados de las simulaciones.

7.2.

Objetivos Alcanzados

En esta memoria se ha realizado, en el cap´ıtulo 1, un an´alisis de todos aquellos trabajos que tratan las deformaciones musculares producidas durante la locomoci´on (objetivo 1). Sin embargo, para abordar esta problem´atica ha sido necesario profundizar de forma detallada en las investigaciones realizadas en las a´reas de modelado del cuerpo humano, movimiento del cuerpo y simulaci´on de deformaciones musculares. El estudio de cada uno de estos temas se ha presentado en las secciones 2.2, 4.1, y 5.1, respectivamente. Se ha desarrollado un sistema que permite simular las deformaciones musculares durante la locomoci´on humana (objetivo 2). En el cap´ıtulo 3 se ha presentado una descripci´on global del sistema, que consta de dos m´odulos que funcionan de manera coordinada. 217

218

Cap´ıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros

El primer m´odulo, presentado en el cap´ıtulo 4, consiste en un sistema de locomoci´on (objetivo 2.a) que permite obtener animaciones en tiempo real de personas con diferentes caracter´ısticas antropom´etricas y diferentes modos de locomoci´on. Dicho sistema se ha utilizado para obtener los datos de las fuerzas que act´ uan sobre los m´ usculos, permitiendo as´ı la integraci´on con las deformaciones musculares. En el cap´ıtulo 5 se ha presentado el segundo m´odulo, encargado de realizar las deformaciones musculares (objetivo 2.b) considerando las l´ıneas de acci´on de los m´ usculos y calculando la evoluci´on de los desplazamientos en el tiempo utilizando el m´etodo de elementos finitos. Los tiempos de c´alculo obtenidos con las CPU’s utilizadas son “cercanos al tiempo real”, y si se migra el sistema a computadores con CPU’s m´as potentes, se obtendr´ıa tiempo real, al menos para mallas con el m´ınimo nivel de complejidad (cap´ıtulo 7). En el cap´ıtulo 6 se ha descrito la implementaci´on del sistema de visualizaci´on que permite integrar ambos m´odulos, y que ofrece la posibilidad de generar im´agenes y animaciones (objetivo 3).

7.3.

Conclusiones Generales

La aportaci´on principal de este trabajo de investigaci´on consiste en el desarrollo de un sistema que permite la simulaci´ on coordinada del movimiento de un modelo esqueletal complejo y de la deformaci´on muscular que se produce, con tiempos de c´alculo aceptables para la interacci´on con el animador. La utilizaci´on de este sistema, denominado MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion), permite simular locomociones y deformaciones musculares en base a par´ametros de control de alto nivel en lugar de depender de datos capturados o de la interacci´on con el usuario. De este modo, es posible definir animaciones de diferentes personas caminando, con s´olo modificar su velocidad, frecuencia o longitud de paso, y el peso, altura o complexi´on del individuo. Para ello, el sistema se ha basado en un encadenamiento de modelos de pierna con complejidad creciente, de forma que los resultados obtenidos utilizando uno sirvan como entrada al siguiente, progresando desde lo global a lo local, y desde el esqueleto hasta los m´ usculos. La animaci´on global del movimiento de locomoci´on se realiza en base a 48 segmentos articulados que se mueven de forma coordinada durante varios ciclos de locomoci´on, incluidos los movimientos de inicio y fin de la marcha. La animaci´on local de la forma se realiza utilizando elementos finitos para simular las deformaciones de los m´ usculos de las piernas cuando ´estas se mueven. La utilizaci´on de FEM permite trabajar con mallas volum´etricas en las que es posible incluir informaci´on de la composici´on interna de los objetos. En cuanto a los tiempos de c´alculo, hay que rese˜ nar que la resoluci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden y la utilizaci´on de elementos finitos

Cap´ıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros

219

presentan un elevado coste computacional. Aunque para MOBiL se ha optado por la implementaci´on directa de algoritmos de c´alculo num´erico frente a la utilizaci´on de librer´ıas externas (posiblemente mejor optimizadas y mas r´apidas) las simplificaciones escogidas y el m´ınimo nivel de complejidad de las mallas implementadas permiten mantener el tiempo de c´alculo en el mismo orden de magnitud que el tiempo de simulaci´on (1 segundo real de simulaci´on necesita de 3 segundos de c´alculos). Sin embargo, tambi´en hay que decir que si se migra el sistema a computadores con CPU’s m´as potentes, es evidente que permitir´ıa obtener resultados en tiempo real, al menos para mallas peque˜ nas, pero suficientes. A lo largo del desarrollo de la memoria se han ido presentando tanto reflexiones como conclusiones referentes a cada tema en concreto.

7.4.

Trabajo en desarrollo

En este apartado se presentan los resultados obtenidos de integrar los seres humanos virtuales generados con MOBiL en un entorno inmersivo. En primer lugar se describe la inclusi´on en un software comercial, PERFORMER, que podr´ıa dar lugar a la utilizaci´on en juegos. Posteriormente se describen los casos de incluir los humanos virtuales en software desarrollado dentro del Laboratorio de Simulaci´on de la Luz del grupo GIGA, en un entorno Cave-Like System (CLS). En el entorno CLS las im´agenes que se proyectan en las pantallas se generan con PCs diferentes, los cuales est´an sincronizados por otro ordenador. En la figura 7.4 se puede ver un esquema general del sistema.

Left projec

Right projec

Right projec

Left projec

Client

Client

Client

Right projec

Client Left projec

Client

Screen PC Right projec

Projector

Client

Server

Figura 7.1. Esquema del CLS

La inclusi´on de caracteres humanos en movimiento es fundamental en simulaci´on de la conducci´on para aumentar la sensaci´on de inmersi´on dentro del entorno.

220

Cap´ıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros

Para este tipo de aplicaciones la iluminaci´on de la escena es no-realista y se generan im´agenes con apariencia de videojuego. En este sentido, se ha elegido trabajar con la librer´ıa comercial PERFORMER debido a su versatibilidad y a su disposici´on para varias plataformas. Para lograr la simulaci´on se han incluido en PERFORMER los ficheros que contienen las coordenadas del humano para cada paso de tiempo. Esta t´ecnica se aplica actualmente en el desarrollo de un simulador de conducci´on denominado SIMPRAC, que se utiliza para analizar la reacci´on de un conductor inexperto en situaciones inesperadas, de manera que se puedan prevenir accidentes de tr´afico. Los resultados obtenidos se observan en la figura 7.2.

Figura 7.2. Vista de una calle con seres virtuales

Para los estudios de seguridad en la conducci´on, es necesario que la escena se “vea” tal como la ver´ıa un observador en una situaci´on real, por lo tanto es necesario un sistema de simulaci´on precisa, con un mecanismo que permita realizar la reproducci´on de tono que se produce en el ojo. Asimismo, es necesario incluir personajes en movimiento dentro de las escenas, ya que pueden afectar a la percepci´on del conductor. Para simular este tipo de escenas se trabaja con un sistema de simulaci´on de la iluminaci´on, ALEPH [MS00], en el que se incluyen los seres virtuales, exportados de MOBiL en formato VRML, que incluye la geometr´ıa y las especificaciones de movimiento del modelo del cuerpo. En la figura 7.3 se observa un ejemplo de diferentes niveles de visibilidad de un peat´on, en condiciones extremas de iluminaci´on, a la entrada y salida de un t´ unel. Por ejemplo la claridad exterior puede hacer que un peat´on se torne invisible para el conductor debido al deslumbramiento. Esta simulaci´on requiere un paso de mapeo de tono, que se realiza con SEKER [GAS04] una vez que se obtienen los resultados de ALEPH.

Cap´ıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros

221

Figura 7.3. Dos ejemplos de im´ agenes con diferentes niveles de visibilidad

Por u ´ltimo, los humanos virtuales se han incluido en una representaci´on virtual del Teatro/Auditorium Telde, construido recientemente en Gran Canaria (Islas Canarias). La inclusi´on de los seres humanos permite realizar estudios de usabilidad y ergonom´ıa del espacio, y observar el efecto de aumentar la cantidad de gente caminando en la recepci´on del teatro. Para ello se ha trabajado con el software SICARA3D [MSSG04]. La figura 7.4 (a) se muestra, una visualizaci´on del interior del auditorium con seres virtuales, mientras en la figura 7.4 (b) se puede ver la interacci´on con el modelo en tiempo real dentro del sistema CLS.

(a) Seres Virtuales en el Auditorio Telde

(b) Vista Inmersiva

Figura 7.4. El auditorio Telde

7.5.

Trabajos futuros

A continuaci´on se proponen algunas l´ıneas de posible trabajo futuro. La primera secci´on se centra en la l´ınea de la Apariencia visual, la segunda se focaliza en el

222

Cap´ıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros

Movimiento global, la tercera est´a relacionada con las Deformaciones y, por u ´ltimo, la cuarta secci´on est´a orientada al Tiempo real. 7.5.1.

Apariencia visual

La mejora de la apariencia visual de los m´ usculos se puede lograr incorporarndo texturas directamente sobre las mallas o sobre las superficies NURBS. Dichas texturas se pueden obtener a partir de im´agenes m´edicas [DCKY02], ya sea por medio de t´ecnicas de visi´on o simplemente mediante captura de la imagen, teniendo en cuenta la direcci´on de las fibras [Ng 01]. Asimismo, ser´ıa conveniente estudiar la t´ecnica presentada en [JP02] permite visualizar texturas para la simulaci´on de deformaciones empleando tarjetas gr´aficas de bajo coste. Por otra parte, para obtener mayor precisi´on a la hora de representar los m´ usculos gran parte de los trabajos incoporan reconstrucciones en 3D extra´ıdas de im´agenes m´edicas. Los datos de Tomograf´ıas Computadas y Resonancias Magn´eticas se pueden obtener del Visible Human [Ack98], y la reconstrucci´on del los m´ usculos puede realizarse trabajando con t´ecnicas de modelado geom´etrico [GSB99] o bien utilizando las herramientas desarrolladas en el grupo GIGA permitir´ıan realizar tanto la segmentaci´on de las im´agenes [PS03] como la generaci´on de la malla [PSS03] que forma el m´ usculo. 7.5.2.

Movimiento global

Los movimientos planteados en este trabajo se podr´ıan extender para incluir otro tipo de locomociones. Desde menor a mayor complejidad, podr´ıan incluirse los siguientes movimientos: subir y bajar escaleras [CH99], caminar en terrenos que no sean planos [CH99] [LL00], correr [BC96] o saltar [FG96]. Concretamente, dentro del sistema de locomoci´on actualmente desarrollado, ser´ıa interesante poder representar la locomoci´on de personas de diferentes edades, desde ni˜ nos hasta ancianos. La manera de caminar cambia mucho dependiendo de la edad, ya no s´olo por la velocidad del paso, sino tambi´en por la p´erdida de masa muscular [NMRC03], que es especialmente mayor en los m´ usculos de las extremidades inferiores (de los 20 a los 70 a˜ nos la masa muscular decrece en un 25 % [JHWR00]). El art´ıculo de [LBT03] ser´ıa un buen punto de comienzo para trabajar con locomociones de personas de edad avanzada. En el sistema desarrollado se ha trabajado con datos antropom´etricos correspondientes a hombres de raza blanca, pero dado el modelo param´etrico utilizado, es f´acilmente extensible a otros segmentos de la poblaci´on y permite la simulaci´on de la locomoci´on en mujeres e individuos de otras razas, edades o complexiones. 7.5.3.

Deformaciones

El sistema de deformaciones podr´ıa extenderse para la inclusi´on de otro tipo de comportamiento de los materiales, como la viscoleasticidad o no linealidad. Sin

Cap´ıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros

223

embargo, esto implicar´ıa cambios considerables en el m´etodo de elementos finitos. Por ello, el comportamiento muscular podr´ıa simularse utilizando el modelo de Zajac-Hill [Zaj89], tal como se plantea en los art´ıculos de [CZ92] o en [KS97]. Actualmente se han implementado las l´ıneas de acci´on como la uni´on entre el origen y la inserci´on del m´ usculo, excepto en el caso del cuadr´ıceps, donde se ha considerado la inclusi´on de la r´otula. Sin embargo, la acci´on de las fuerzas no suele ir en l´ınea recta, por lo tanto ser´ıa posible utilizar polilineas [NT00] para simular la acci´on muscular. 7.5.4.

Optimizaciones para Tiempo Real

Actualmente es posible visualizar en tiempo real, la deformaci´on de los m´ usculos de una persona durante la locomoci´on gracias a un modelo m´ usculo-esqueletal. Con mallas formadas por 32 elementos finitos, con CPUs de u ´ltima generaci´on y con un paso de integraci´on temporal de 0.01 segundos, es posible simular las deformaciones producidas en los m´ usculos durante el movimiento de locomoci´on. Uno de los objetivos que ser´ıa deseable alcanzar se centra en la simulaci´on en tiempo real de un modelo m´ usculo-esqueletal “completo” de las extremidades inferiores durante la locomoci´on. La opci´on m´as simple consiste en calcular los diferentes m´ usculos en paralelo en diferentes procesadores de modo que se pueda conseguir la visualizaci´on del comportamiento de varios m´ usculos en simult´aneo. Sin embargo, si se pretende trabajar con mayor nivel de detalle es necesario trabajar con t´ecnicas de paralelismo. Para ello, se prev´e trabajar con un cluster Beowulf desarrollado en el grupo GIGA [SGMB03]. El sistema tiene 5 nodos id´enticos, a los cuales no es posible acceder directamente, y un nodo especial que act´ ua como frontend del sistema. Los nodos son PIII dual a 1 GHz con 1 GB de memoria DIMM. El sistema se basa en Linux como sistema operativo, y en el software Bproc [Hen02]. Para ejecutar el c´odigo de elementos finitos desarrollado en un sistema con las caracter´ısticas mencionadas, habr´ıa que realizar algunas modificaciones: Usar la librer´ıa est´andar MPI [WSG+ 98] para la comunicaci´on entre los diferentes procesos. Cambiar el m´etodo de almacenar los datos en las matrices, pasando de un almacenamiento por filas a un almacenamiento diagonal [SSB00] [SS00]. Otra posibilidad para resolver los conflictos entre calidad y velocidad consistir´ıa en utilizar t´ecnicas multiresoluci´on similares a las planteadas en los trabajos desarrollados en [CPD+ 96] y en [ZCK98].

Referencias

[Ack98] [BC96] [CH99] [CPD+ 96] [CZ92]

[DCKY02]

[FG96] [GAS04]

[GSB99]

[Hen02] [JHWR00] [JP02]

[KS97] [LBT03]

[LL00] [MS00]

[MSSG04] [Ng 01] [NMRC03] [NT00] [PS03]

[PSS03]

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Cap´ıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros

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A.

Ap´ endice: Datos y constantes antropom´ etricas Los datos utilizados en este trabajo para las medidas de los segmentos y los m´ usculos de las extremidades inferiores del esqueleto provienen de una recopilaci´on realizada por Pierrynowski [Pie95] a partir de una colecci´on de art´ıculos. Estos datos corresponden a un individuo de referencia de 1.70 m y 70 kg, masculino y caucasiano, y siguen el sistemas de coordenadas est´andar propuesto por el grupo CAMARC, levemente modificado [Pie95]. Dicho sistema es ortogonal, siguiendo la regla de la mano derecha, y se considera que con un individuo en posici´on anat´omica, F = Forward va de posterior a anterior, O=Outward va de derecha a izquierda y U=Upward va de inferior a superior. La figura 7.5 ilustra el sistema de referencia FOU para el h´ umero derecho.

Figura 7.5. Sistema de referencias FOU: Forward, Outward, Upward

A.1.

Datos correspondientes al esqueleto Las medidas correspondientes a los segmentos de las extremidades inferiores se pueden observar en la figura 7.6 [Pie95]. Los datos correspondientes a los segmentos del resto del cuerpo se basan principalmente en los datos param´etricos, proporcionales a la altura del individuo, provenientes de trabajos de varios autores [Win79] [BC89] [Win90].

A.2.

Datos correspondientes a los m´ usculos Los datos requeridos para los m´ usculos son los siguientes: longitudes de m´ usculo (Lm ), tend´on (Lt ) y fibras (Lf ), a´ngulo de pennation (α), masa (mass) y ASTF (pCSA). Los valores utilizados se expresan en la figura 7.7.

A.3.

Uniones entre huesos y m´ usculos La informaci´on relativa a los puntos de origen e inserci´on de los diferentes m´ usculos en los huesos se extraen tambi´en de la misma fuente y se reflejan en la tabla de la figura 7.8.

242

Ap´ endice A: Datos y constantes antropom´ etricas

Figura 7.6. Referencias de los segmentos del esqueleto siguiendo el sistema FOU

Ap´ endice A: Datos y constantes antropom´etricas

Figura 7.7. Datos de los m´ usculos de las extremidades inferiores

Figura 7.8. Referencias de los or´ıgenes e inserci´ on de los m´ usculos de las extremidades inferiores

243

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244

B.

Ap´ endice: Actividad Muscular durante la Locomoci´ on A continuaci´on se explica detalladamente la actuaci´on de los m´ usculos en las diferentes fases del ciclo de locomoci´on. Las fases se corresponden con las fases cinem´aticas previamente descritas en el cap´ıtulo 4 (ver figura 7.9).

Figura 7.9. Diagrama de la temporizaci´ on de las subfases del ciclo de locomoci´ on

La Fase de Apoyo estaba formada por las subfases de Contacto, Despegue del tal´on y Despegue del Empeine. Sin embargo, de cara al an´alisis de la actividad muscular es conveniente subdividir en dos partes la fase de Contacto: Contacto del tal´on y Apoyo medio. La Fase de Giro est´a formada por las Subfases 1, 2 y 3 de Giro. Los datos para la descripci´on de la actividad muscular durante las distintas fases y subfases de la locomoci´on humana se han extra´ıdo de diferentes trabajos, entre los que hay que mencionar los siguientes: [Kap70] [PVB84] [FN93] [PMP97] [Ayy97] [Hum02] [Whi03]. Fase de Apoyo: Contacto - Contacto del tal´ on con el suelo. Durante esta acci´on el miembro inferior se alarga al m´aximo y la pelvis est´a en el lado del contacto en aducci´on horizontal, con respecto al miembro en carga. La rodilla est´a en extensi´on completa o casi completa. El tobillo se halla en posici´on neutra. Estas posiciones articulares tienen como objetivo dar al miembro inferior la m´axima longitud. M´ usculos que act´ uan sobre el tobillo: Los tres dorsiflexores primarios del tobillo, extensor com´ un de los dedos, extensor propio del primer dedo y tibial anterior, est´an activos. Estos m´ usculos, que componen el grupo pretibial, producen una contracci´on exc´entrica para amortiguar el choque contra el suelo cuando las fuerzas externas (gravedad e inercia), llevan el pie a la flexi´on plantar. M´ usculos que act´ uan sobre la rodilla: Para compensar la inestabilidad que se produce en la rodilla al impactar el tal´on contra el suelo, el cu´adriceps produce una contracci´on exc´entrica. La articulaci´on de la rodilla se mueve de una extensi´on completa a una posici´on de 15 o 20o de flexi´on.

246

Ap´ endice B: Actividad Muscular

Figura 7.10. Contacto: Contacto del tal´ on con el suelo

M´ usculos que act´ uan sobre la cadera: La acci´on del gl´ uteo mayor y de los isquiotibiales resisten el movimiento de las fuerzas que tienden a flexionar la cadera despu´es del contacto del tal´on. Los erectores de la columna tambi´en est´an activos para resistir la tendencia del tronco de realizar una flexi´on hacia adelante. El gl´ uteo menor y mediano tambi´en participan en esta acci´on, aunque son m´ usculos abductores y su funci´on principal es la estabilizaci´on lateral de la cadera. Fase de Apoyo: Contacto - Apoyo medio. Una vez que toda la suela plantar toma contacto con el suelo el sujeto se halla en equilibrio monopodal. La longitud m´axima del miembro inferior, alcanzada durante la fase precedente, es ahora una desventaja ya que somete al centro de gravedad a una aceleraci´on vertical importante; por esta un el sujeto y la rapidez del raz´on la rodilla se flexiona ligeramente, de 15 a 25o seg´ desplazamiento.

Figura 7.11. Contacto: Apoyo medio

M´ usculos que act´ uan sobre el tobillo: La tibia empieza a rotar hacia adelante sobre el pie fijo, los dorsiflexores est´an esencialmente inactivos, pero los m´ usculos

Ap´ endice B: Actividad Muscular

247

de la pantorrilla (gastronemios, s´oleo, tibial posterior, flexor largo de los dedos y peroneo lateral largo) demuestran un aumento gradual de su actividad. El s´oleo act´ ua como estabilizador de la rodilla en extensi´on, junto con los dos flexores que act´ uan sobre los dedos, y ayudados de manera inconstante por los gastronemios. La actividad de estos m´ usculos sirve para controlar la velocidad con que la tibia rota sobre el pie fijo. El m´ usculo peroneo contribuye a mantener la estabilidad lateral de la pelvis. M´ usculos que act´ uan sobre la rodilla: Cuando la planta del pie est´a apoyada en el suelo, s´olo est´a activa la parte anterior del muslo. La naturaleza de la actividad del cu´adriceps cambia de una contracci´on exc´entrica (alargamiento) a una contracci´on conc´entrica (acortamiento). Como resultado de esta contracci´on y de una aceleraci´on hacia adelante del centro de gravedad, producido por el despegue del miembro opuesto, se extiende el muslo en la pierna y la rodilla flexionada se mueve en la direcci´on de la extensi´on. Los cu´adriceps resisten la flexi´on de la rodilla hasta que el centro de gravedad pasan sobre la base del pie de apoyo. Posteriormente la actividad de los cu´adriceps es pr´acticamente nula. M´ usculos que act´ uan sobre la cadera: En esta fase el gl´ uteo mayor contin´ ua su acci´on de contracci´on y los m´ usculos abductores contin´ uan estabilizando la ca´ıda de la pelvis en el plano frontal. Fase de Apoyo: Despegue del tal´ on. Esta etapa se caracteriza por una intensa actividad de los m´ usculos llamados “flexores plantares” que act´ uan sobre el tobillo. Durante el despegue del tal´on los dedos permanecen en contacto con el suelo y el tobillo se halla colocado en posici´on alta. Este hecho somete al centro de gravedad a una aceleraci´on vertical importante, lo que provoca que la rodilla se doble en ese mismo instante.

Figura 7.12. Despegue del tal´ on

M´ usculos que act´ uan sobre el tobillo: La actividad muscular m´as importante es en la parte posterior de la pierna, en la cual todos los m´ usculos est´an activos,

248

Ap´ endice B: Actividad Muscular

tanto los flexores de los dedos de los pies como el tr´ıceps sural (gastronemios, s´oleo y delgado plantar). El tr´ıceps sural, en contracci´on exc´entrica, es el responsable de “elevar” la parte posterior del pie, mientras que otros m´ usculos son accesorios de esta acci´on tractora. El tibial posterior y los peroneos est´an en contracci´on y contin´ uan con su acci´on estabilizadora. M´ usculos que act´ uan sobre la rodilla: Cuando la reacci´on del suelo pasa por delante de la rodilla se genera un momento de fuerza en extensi´on y no se necesita ninguna reacci´on de los m´ usculos extensores de la rodilla para controlar su estabilidad. Los gastronemios, adem´as de su acci´on en el tobillo, ayudan a evitar la hiperextensi´on de la rodilla. M´ usculos que act´ uan sobre la cadera: El tensor de la fascia lata est´a activo para prevenir la ca´ıda de la pelvis. El iliopsoas y los aductores, inactivos hasta el momento, resisten la tendencia del movimiento hacia adelante del cuerpo para hiperextender la cadera y produce flexi´on de la misma. El movimiento hacia adelante del f´emur inicia la flexi´on de la rodilla, mientras que la rodilla es llevada hacia adelante y el pie est´a todav´ıa en contacto con el suelo. Fase de Apoyo: Despegue del empeine. Durante este fase, el tobillo se mueve de su posici´on de dorsiflexi´on a 20o de flexi´on plantar. A medida que la flexi´on plantar aumenta, el peso sobre la pierna va disminuyendo. La flexi´on de la rodilla pas r´apidamente para lograr los 35o de flexi´on al final de este per´ıodo.

Figura 7.13. Despegue Empeine

M´ usculos que act´ uan sobre el tobillo: Al final de esta fase la fuerza vertical disminuye y los plantaflexores est´an inactivos. M´ usculos que act´ uan sobre la rodilla: La tensi´on pasiva en los flexores plantares facilitan la flexi´on de la pierna, que decrece hasta cero prepar´andose para el despegue de los dedos del pie. La contracci´on exc´entrica del cu´adriceps ayuda a prevenir una elevaci´on excesiva del tal´on y contribuye a la aceleraci´on hacia adelante de la pierna El recto anterior y el vasto medio act´ uan conjuntamente para frenar la amplitud de la flexi´on de la rodilla.

Ap´ endice B: Actividad Muscular

249

M´ usculos que act´ uan sobre la cadera: La cadera se flexiona a una posici´on neutral iniciada por el recto anterior, el sartorio y el aductor largo. El aductor largo es el encargado de llevar la pierna hacia la l´ınea media. Fase de Giro: Subfase 1 de giro. El per´ıodo de elevaci´on de los dedos del pie es muy breve y se caracteriza porque el peso del cuerpo se carga en la pierna contraria para poder despegar los dedos del pie. Para ello se realiza una flexi´on r´apida e importante de la rodilla, que puede alcanzar unos 50o , pero sin actividad de los flexores de rodilla. Por otra parte, los aductores est´an muy activos debido a su acci´on como flexores de la cadera.

Figura 7.14. Subfase 1 de Giro. Despegue de los dedos del pie

M´ usculos que act´ uan sobre el tobillo: Los m´ usculos del compartimiento posterior (tr´ıceps sural) contin´ uan brevemente su acci´on de mantenimiento del a´ngulo del tobillo, y luego cesa su actividad. Los peroneos ejercen una acci´on de estabilizaci´on lateral, mientras que los m´ usculos tibiales anteriores, junto con el extensor com´ un de los dedos y el extensor propio del primer dedo del pie, permiten que el pie se desprenda del suelo para dar el paso. M´ usculos que act´ uan sobre la rodilla: El momento de flexi´on de la cadera, asistido por el biceps femoris corto, el sartorio y el gracilis crea una r´apida flexi´on de la rodilla, que permite que el pie se despegue. El sartorio, junto con el gracilis y el iliaco contribuyen tanto a la flexi´on de la rodilla como a la de la cadera. M´ usculos que act´ uan sobre la cadera: En este estadio s´olo est´an activos los m´ usculos aductores, que act´ uan como flexores de la cadera. Los gl´ uteos est´an inactivos, debido a que se acaba de transferir el peso del cuerpo a la pierna contraria. Fase de Giro: Subfase 2 de giro o Giro medio. En este estadio, el miembro inferior alcanza su longitud m´ınima. Las articulaciones de la cadera y la rodilla est´an en

250

Ap´ endice B: Actividad Muscular

flexi´on y la articulaci´on del tobillo se moviliza para llevar al pie a dorsiflexi´on. El peso total del cuerpo lo soporta la pierna contraria.

Figura 7.15. Subfase 2 de Giro o Giro Medio

M´ usculos que act´ uan sobre el tobillo: Los m´ usculos tibial anterior, extensor com´ un de los dedos y extensor del dedo gordo del pie (grupo pretibial) se contraen y act´ uan como elevadores del antepi´e. M´ usculos que act´ uan sobre la rodilla: Durante este periodo el recto anterior y el crural contin´ uan la acci´on iniciada anteriormente: frenar la amplitud de la flexi´on de la rodilla. A ´estos se a˜ nade el m´ usculo sartorio que tiene una doble acci´on de flexor de cadera y rodilla. Al final de la etapa se incorpora a la acci´on el recto interno, que tambi´en sirve como flexor de la rodilla. El b´ıceps crural interviene para controlar la posici´on del pie, conforme se acerca al suelo. M´ usculos que act´ uan sobre la cadera: Durante la u ´ltima parte de este intervalo, los m´ usculos extensores de la cadera, principalmente los isquiotibiales est´an activados para controlar el movimiento de la extremidad hacia adelante. En el compartimiento interno est´an activos el recto interno, mencionado por su actuaci´on en la rodilla, y el aductor mayor. Para controlar la actividad del aductor mayor, y evitar as´ı una aducci´on demasiado pronunciada, en este per´ıodo tambi´en est´a activo el tensor de la fascia lata. Fase de Giro: Subfase 3 de giro. El miembro inferior oscilante pasa a gran velocidad, mientras que el miembro opuesto est´an en carga, y el esqueleto se coloca en posici´on de mayor longitud posible para alcanzar el suelo antes que el cuerpo. M´ usculos que act´ uan sobre el tobillo: El tibial anterior, el extensor com´ un y el extensor del dedo gordo del pie contin´ uan en contracci´on para mantener el pie en dorsiflexi´on y para preparar la amortiguaci´on del choque durante el contacto del tal´on con el suelo. M´ usculos que act´ uan sobre la rodilla: El b´ıceps crural contin´ ua la actividad iniciada en la fase precedente, y se le incorporan los m´ usculos semimembranoso

Ap´ endice B: Actividad Muscular

251

Figura 7.16. Subfase 3 de Giro. Final de la fase de giro.

y semitendinoso. Estos tres m´ usculos (isquiotibiales) frenan la oscilaci´on anterior de la pierna. La actividad m´as intensa se produce justamente antes de la toma de contacto del tal´on. El segundo pico corresponde a una estabilizaci´on de la rodilla. El m´ usculo sartorio ejerce una tracci´on simult´anea sobre la pierna y el muslo, asumiendo su papel de ligamento activo y protector de la integridad de la rodilla. Los cu´adriceps se contraen para extender la rodilla en preparaci´on para el contacto inicial. M´ usculos que act´ uan sobre la cadera: El m´ usculo iliaco act´ ua como flexor de cadera, equilibrando su contracci´on con la frenadora de los isquiotibiales que, hacia el final de la trayectoria, despu´es de desacelerar en´ergicamente la pierna, se oponen a una flexi´on de cadera demasiado pronunciada. El recto interno se manifiesta de nuevo, y el aductor mayor entra en acci´on hacia el final del movimiento de oscilaci´on y su actividad s´olo cesa en el momento del contacto tal´on-suelo.

Referencias

[Ayy97]

Edmond Ayyappa. Normal human locomotion, part 2: Motion, ground reaction force and muscle activity. Journal of Prosthetics and Orthotics, 9(2):42–57, 1997. [FN93] Deanna J. Fish and Jean-Paul Nielsen. Clinical assessment of human gait. Journal of Prosthetics and Orthotics, 5(2):39–48, 1993. [Hum02] Ellen Cook Humphrey. Kinesiology 2002: Gait Part II. http://www.smpp.nwu.edu/ jim/kinesiology/EllenGaitSlides2002.pdf, 2002. [Kap70] I. A. Kapandji. Cuadernos de Fisiolog´ıa Articular. Toray - Masson S. A., Barcelona, 1970. [PMP97] I. Proubasta, J. Gil Mur, and J. A. Planell. Fundamentos de Biomec´ anica y Biomateriales. Ediciones Ergon, Madrid, 1997. [PVB84] F. Plas, E. Viel, and Y. Blanc. La Marcha Humana: Cinesiolog´ıa, Din´ amica, Biomec´ anica y Patomec´ anica. Masson, 1984. [Whi03] Michael W. Whittle. Gait Analysis: an introduction. Butterworth-Heinemann, Edinburgh, 3rd edition, 2003.

252

C.

Ap´ endice: Par´ ametros de diferenciaci´ on del paso A lo largo del trabajo se han introducido una serie de par´ametros que controlan el movimiento de alguno de los segmentos del cuerpos y una serie de variables que, de forma param´etrica, configuran el movimiento de las articulaciones. Estas variables pueden estar restringidas en sus l´ımites inferior y/o superior. La restricci´on puede corresponder a valores extra´ıdos de medidas antropom´etricas, experimentales o est´eticas. En todos los casos, los valores de estas restricciones pueden ser cambiados para obtener modos de locomoci´on individualizados. En la tabla 7.1 se pude encontrar el nombre, la definici´on y el valor por defecto de los par´ametros de diferenciaci´on del paso implementados en el sistema, mientras que en la tabla 7.2 se especifican los datos correspondientes a las restricciones articulares del modelo. Nombre

Valor Definici´ on

frot brazo

80 % En el plano sagital, proporci´ on entre el ´ angulo girado por cada brazo y el ´ angulo de la articulaci´ on de la cadera opuesta

frot hombro

60 % En el plano transversal, proporci´ on entre el ´ angulo girado por cada hombro y el ´ angulo de la pelvis, en sentido contrario

fbal pelvis

100 % En el plano coronal, factor de proporci´ on del ´ angulo m´ aximo de balanceo p´elvico

fanch paso

90 % Proporci´ on respecto a la longitud de la pelvis l0 de la anchura del paso. El 100 % significa que las caderas y pies se encuentran alineaos. Interviene en el c´ alculo del desplazamiento lateral m´ aximo dlat max junto con la frecuencia de paso

θ2

0o

des

En el plano sagital, valor angular respecto a la columna vertebral. Permite modificar la apariencia de la locomoci´ on inclinando la columna hacia atr´ as o adelante

durflex rodilla

10 % En la subfase de despegue del empeine, es la proporci´ on respecto del tiempo de duraci´ on de un ciclo de locomoci´ on, en la que la articulaci´ on de la rodilla alcanza el valor de amax rodilla

dist D

30 % Proporci´ on, sobre la distancia horizontal recorrida por el tobillo de la pierna de giro en la subfase 1 en que la altura del tobillo es m´ axima

lev tobillo inicio

Altura m´ axima del tobillo en el paso inicial, partiendo del reposo

Tabla 7.1. Descripci´ on de los par´ ametros de diferenciaci´ on del paso y sus valores por defecto

254

Ap´ endice C: Par´ ametros de diferenciaci´ on del paso Nombre

Valor

rmax codo

35o

M´ axima flexi´ on del codo

rmin codo

0o

M´ınima flexi´ on del codo

rmax pelvis

13o

En el plano transversal, valor angular m´ aximo de la rotaci´ on p´ elvica

tranmax fp fp fp

40 p/m L´ımite superior del incremento de la frecuencia de paso que puede producirse entre dos pasos consecutivos para que su apariencia sea normal

max

180 p/m L´ımite superior del incremento de la frecuencia de paso que puede producirse en un paso para que su apariencia sea normal

norm

132 p/m Valor de la frecuencia de paso natural. L´ımite superior de la frecuencia del paso para poder utilizar la f´ ormula de normalizaci´ on del paso. Proporci´ on sobre la altura total del individuo

lp lp

Definici´ on

max

norm

60 %

L´ımite superior de la longitud de paso que puede producirse en un paso para que su apariencia sea normal. Proporci´ on sobre la altura total del individuo

58.2 % Longitud de paso natural. L´ımite superior de la longitud del paso para poder utilizar la f´ ormula de normalizaci´ on del paso. Proporci´ on sobre la altura total del individuo

tranmax v

2km/h L´ımite superior del incremento de la velocidad caminando que puede producirse entre dos pasos consecutivos para que su apariencia sea normal

decmax v

4km/h L´ımite inferior del incremento de la velocidad caminando que puede producirse entre dos pasos consecutivos para que su apariencia sea normal

lev dedo

0.009m Altura m´ınima que debe existir entre el dedo del pie y el suelo en la fase de giro. Con esta distancia se previene en la cinem´ atica el choque del pie con el suelo

giro1 metac

0o

Valor angular de la articulaci´ on del empeine al final de la subfase 1 de giro

giro1 tobillo

80o

Valor angular de la articulaci´ on del tobillo al final de la subfase 1 de giro

4o

Valor angular que debe ser alcanzado por la articulaci´ on de la rodilla al final de la subfase 2 de giro

65o

Valor angular de la articulaci´ on de la rodilla al final de un tiempo determinado posterior al inicio de la subfase cinem´ atica de despegue del tobillo. Proviene de medidas experimentales

des

90o

Valor angular de la articulaci´ on del tobillo al final de la fase de giro

des

0o

Valor angular de la articulaci´ on del empeine al final de la fase de giro

θ4 min apoyo

0o

Valor angular m´ınimo de la articulaci´ on de la rodilla en la fase de apoyo

apoyofin tobillo

50o

Valor angular de la articulaci´ on del tobillo al final de la fase de apoyo

θ6 min lapso

2o

Incremento m´ınimo del ´ angulo del empeine durante la subfase de despegue del empeine

θ4

des

amax rodilla θ5 θ6

Tabla 7.2. Descripci´ on de las restricciones cinem´ aticas de las articulaciones y sus valores por defecto

D.

Ap´ endice: Constantes f´ısicas Los datos que se presentan son valores medios extra´ıdos de medidas experimentales de la rigidez de ciertas articulaciones de nuestro modelo. Es necesario recordar que se utilizan expresiones propias de comportamientos de elementos pasivos (muelles y amortiguadores) como expresi´on temporal de la acci´on de los elementos motores que impulsan al sistema. Variar la rigidez de los muelles y elementos de fricci´on permite modificar la din´amica b´asica del sistema y obtener diferentes caracterizaciones en los mecanismos de locomoci´on. Nombre Valor Definici´ on kw

11500 Rigidez del muelle longitudinal de la pierna de apoyo

υw

600 Constante amortiguadora lineal de la pierna de apoyo

k2

1800 Rigidez del muelle de torsi´ on del cuerpo superior

υ2

200 Constante amortiguadora de torsi´ on del cuerpo superior

k3

5000 Rigidez del muelle de torsi´ on de la pierna de giro

υ3

400 Constante amortiguadora de torsi´ on de la pierna de giro

pa1 inc 0.05 Incremento del valor del elemento activo de control de la fuerza axial de la pierna de apoyo en la subfase din´ amica de contacto pa3 inc 0.05 Incremento del valor del elemento activo de control de la fuerza axial de la pierna de apoyo en la subfase din´ amica de apoyo medio Tabla 7.3. Descripci´ on y valores por defecto de las constantes f´ısicas del sistema