Universidad Icesi Departamento de Matem´ aticas y Estad´ıstica Soluci´ on del primer examen parcial del curso C´ alculo de una variable Grupos: Uno y Cinco Per´ıodo: Inicial del a˜ no 2001 Prof: Rub´ en D. Nieto C. PUNTO 1. a. Encuentre la funci´ on F sabiendo que F (0) = 1 y que el gr´ afico de F 0 , su derivada, es la recta de la siguiente figura:

b. Se muestra la gr´afica de una funci´ on f . Trace la gr´ afica de la antiderivada F sabiendo que F (0) = 0 y que F (2) = 8/3. 2

2

1 1

1

2

SOLUCION: a. Como la recta que aparece en la figura tiene pendiente m = 2/1 = 2 y pasa por el origen, su ecuaci´on debe ser y = 2x, por tanto, llamando f a la funci´ on que constituye dicha recta, podemos escribir: f (x) = 2x Por la regla de la potencia para que f sea la derivada de una funci´ on F se requiere que F sea de la forma: F (x) = x2 + c

(donde c es una constante)

(1)

De que la funci´ on F debe cumplir F (0) = 1, como se establece en la hip´otesis, se desprende entonces: 1 = F (0) = 02 + c = 0 + c = c

∴

c=1 De lo cual se concluye que la f´ormula (1) para la antiderivada F se transforma en: F (x) = x2 + 1 b. Los datos m´ as destacados que muestra la gr´ afica de la funci´ on f con implicaciones importantes en el comportamiento de la antiderivada F se pueden resumir en la siguiente tabla: F (x)

&

%

&

f (x)

−

+

−

Intervalo

−∞, 0




1




0, 2


2, +∞

En ella se muestra que:


Como la derivada f es negativa en el intervalo −∞, 0 , la antiderivada F es decreciente en dicho intervalo.
Como la derivada f es positiva en el intervalo 0, 2 , la antiderivada F es creciente en dicho intervalo. Como la derivada f es negativa en el intervalo (2, +∞), la antiderivada F es decreciente en dicho intervalo.

Toda esta informaci´ on sobre el comportamiento de la antiderivada F junto con los puntos de F suministrados: F (0) = 0 y F (2) = 8/3 = 3 − 1/3, nos permite bosquejar un gr´ afico aproximado de la funci´ on F , ´este es:

3 2 1 1

-1

2

3

-2 -3

PUNTO 2. Respecto de la siguiente curva: x = 3 t2 ,

y = 2 + 5 t,

0≤t≤2

a. Grafique la curva usando ecuaciones param´etricas para situar los puntos. Indique con una flecha la direcci´ on en que se traza la curva al aumentar t. b. Elimine el par´ ametro para hallar una ecuaci´ on cartesiana de la curva. SOLUCION:

  a. Para dibujar once puntos de la curva, ordenados de acuerdo al crecimiento del par´ ametro t, dividimos el segmento 0, 2 , de recorrido de t, en diez partes iguales para construir la siguiente tabla cuyos sucesivos valores de x y y permiten situar dichos puntos. Para dibujar la curva se unen estos puntos, dos a dos, con l´ıneas que formen un trazo sin esquinas. t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

0

0.12

0.48

1.08

1.92

3

4.32

5.88

7.68

9.72

12

y

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

12 10 8 6 4 2 2

4

2

6

8

10 12

b.

Despejando el par´ ametro t de la segunda ecuaci´on que define la curva, se sigue: y = 2 + 5t

∴

5t = y − 2

∴

t=

y−2 5

Introduciendo este valor del par´ ametro t en la primera de dichas ecuaciones se obtiene: 2  2 y−2 3 2 y−2 ∴ x=3 ∴ x= x = 3t 5 25 En la ecuaci´on para y que define la curva, cuando el par´ ametro t valor 0 la y vale y = 2 + 5 × 0 = 2 + 0 = 2 y cuando el par´ ametro t vale 2 la y vale y = 2 + 5 × 2 = 2 + 10 = 12. Entonces, la respuesta a esta parte del punto es: x=

2 3 y−2 , 25

2 ≤ y ≤ 12

PUNTO 3. ¿Para qu´e valor de la constante a la funci´ on f es continua sobre el intervalo (−∞, ∞)? ( 3ax + 1 cuando x ≤ 3 f (x) = 2x2 + ax − 5 cuando x > 3 SOLUCION: Como los trozos que definen la funci´ on son ambos funciones continuas porque se trata de polinomios los cuales son continuos en todas partes, el u ´nico punto de posible discontinuidad es donde se unen dichos trozos, o sea en x = 3. Entonces, para asegurarnos de que no haya discontinuidad en ning´ un punto, como lo exige el ejercicio, debemos garantizar la continuidad en el punto x = 3, lo cual requiere que se cumpla: lim f (x) = lim f (x)

x→3−

(1)

x→3+

Calculemos el l´ımite por la izquierda:


lim− f (x) = lim− 3ax + 1 = 3a × 3 + 1 = 9a + 1

x→3

x→3

∴

lim f (x) = 9a + 1

x→3−

(2)

Calculemos el l´ımite por la derecha:


lim f (x) = lim+ 2x2 + ax − 5 = 2 × 32 + a × 3 − 5 = 18 + 3a − 5

x→3+

x→3

∴

lim f (x) = 3a + 13

x→3−

(3)

Entonces, de (2) y (3) por (1) se concluye: 9a + 1 = 3a + 13

∴

6a = 12

∴

a=

12 6

∴

a=2

PUNTO 4. Si f (x) = 3x2 − 5x + 1, utilizando la definici´ on de derivada encuentre f 0 (2) y use este resultado para hallar la 2 ecuaci´on de la recta tangente a la par´abola y = 3x − 5x + 1, en el punto (2, 3). SOLUCION: a. Empleando la definici´ on de derivada se obtiene:
2

3 2 + h − 5 2 + h + 1 − 3 × 22 − 5 × 2 + 1 f (2 + h) − f (2) = lim f (2) = lim h→0 h→0 h h
3 4 + 4h + h2 − 10 − 5h + 1 − 12 + 10 − 1 12 + 12h + 3h2 − 5h − 12 = lim = lim h→0 h→0 h h

h 7 + 3h 7h + 3h2 = lim = lim 7 + 3h = 7 + 3 × 0 = 7 + 0 = 7 = lim h→0 h→0 h→0 h h 0

3

Entonces, la respuesta a esta parte del punto es: f 0 (2) = 7 b. Como la derivada de la funci´on f (x) evaluada en el punto x = 2 es la pendiente m de la tangente a la curva de f en el punto (2, 3), utilizando la forma punto-pendiente de la ecuaci´on de la tangente, se tiene: y − y0 = m x − x0




∴

y − 3 = 7(x − 2) = 7x − 14

∴

7x − y − 11 = 0

PUNTO 5. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones: a. f (x) =

√ x xe

b. y =

x2 + 4x + 3 √ 3 x

SOLUCION: a. Para facilitar el c´alculo de la derivada expresemos la funci´on f (x) de la siguiente manera: f (x) = x1/2 ex Como se trata del producto de las funciones x1/2 y ex , debemos emplear la regla del producto que a la letra dice: la derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera por la segunda m´ as la derivada de la segunda por la primera, el resultado es: √ 1 1 ex f (x) = x1/2−1 ex + ex x1/2 = x−1/2 ex + ex x1/2 = √ + ex x = ex 2 2 2 x 0



 √ 1 √ + x 2 x

∴


ex f 0 (x) = √ 1 + 2x 2 x b. Para facilitar el c´alculo de la derivada expresemos la funci´on y de la siguiente manera: y=

x2 + 4x + 3 x1/3

Como se trata del cociente de las funciones x2 + 4x + 3 y x1/3 , debemos emplear la regla del cociente que a la letra dice: la derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador dividido todo por el cuadrado del denominador, el resultado de la aplicaci´on de dicha regla es:


1 x2 + 4x + 3 2x + 4 x1/3 − 2x + 4 x1/3 − x1/3−1 x2 + 4x + 3 dy 3 3x2/3 = =
2 dx x2/3 x1/3

3x 2x + 4 − x2 + 4x + 3 6x2 + 12x − x2 − 4x − 3 5x2 + 8x − 3 = = = 4/3 1+1/3 3x 3x 3x x1/3 Entonces, la respuesta a esta parte del punto es: 5x2 + 8x − 3 dy √ = dx 3x 3 x 4

PUNTO 6. Respecto de la siguiente curva: y=

cos x , 2 + sen x

0 ≤ x ≤ 2π

encuentre los puntos en los cuales la tangente a la curva es horizontal. SOLUCION: Despu´es de aplicar la regla del cociente para calcular la derivada de la ecuaci´on dada y la identidad trigonom´ etrica fundamental para simplificarla, se obtiene:

− sen x 2 + sen x − cos x cos x −2 sen x − sen2 x + cos2 x −2 sen x − sen2 x − cos2 x dy = = = ∴
2
2
2 dx 2 + sen x 2 + sen x 2 + sen x −2 sen x − 1 dy =
2 dx 2 + sen x Como se trata de encontrar los puntos (x, y) de la curva donde la tangente es horizontal, la pendiente de tales tangentes debe ser nula, lo cual significa que la derivada en tales puntos debe ser nula, por tanto: 0=

−2 sen x − 1 dy =
2 dx 2 + sen x

∴

0 = −2 sen x − 1

∴

2 sen x = −1

∴

sen x = −

1 2

(1)

Para resolver esta u ´ltima ecuaci´ on trigonom´etrica podemos utilizar el tri´ angulo de apoyo que aparece a la derecha de la siguiente figura en la que aparece tambi´en la curva de la funci´on seno sobre el intervalo [0, 2π] como lo requiere el punto. 1 0.5

α α

π

α x1

x2

2π

α

2

√ 3

-0.5

1

-1

π En el tri´ angulo de apoyo o tri´ angulo notable de la derecha de la figura conocemos que el ´angulo α vale 30 grados o sea 6 1 π afica de la funci´ on seno, que aparece a la izquierda en la y, como se aprecia en dicho tri´angulo, sen α = sen = . De la gr´ 6 2 figura, se desprende que en el intervalo [0, 2π] las soluciones de la ecuaci´on (1) son: 6π + π 7π π = = ≈ 3.66519 6 6 6 Los correspondiente valores de y son entonces: √ 3 √ − 3 cos x1 cos 7π/6 2 =− = ≈ −0.57735, = y1 = 2 + sen x1 2 + sen 7π/6 3 1 2− 2 Entonces, la respuesta a este punto es: x1 = π + α = π +

x2 = 2π − α = 2π −

√

cos x2 cos 11π/6 y2 = = = 2 + sen x2 2 + sen 11π/6

Los puntos de la curva dada donde la tangente es horizontal son P1 =

5

12π − π 11π π = = ≈ 5.75959 6 6 6 3 √ 3 2 = ≈ 0.57735 3 1 2− 2

√ ! 3 7π ,− y P2 = 6 3

√ ! 3 11π , 6 3