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Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones
Profesor:
MSc. Julio Rito Vargas Avilés.
IVUnidad UnidadIV Dualidad y Análisis de ySensibilidad Análisis de Sensibilidad Dualidad
Estudiantes: FAREM-Carazo
Año Académico: II Semestre 2010
Objetivos: Los participantes al finalizar la unidad serán capaces de: Analizar la importancia del problema Dual y su relación con el Primal. Comprender el principio de solución del Método Simplex Dual. Resolver problemas de Programación Lineal mediante el Simplex Dual. Efectuar Análisis de Sensibilidad a una solución dada de un PPL. Hacer valoraciones cuando los recursos de un PPL cambian, ya
Dualidad y análisis de sensibilidad
Introducción. • La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. • Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Introducción. • El análisis de sensibilidad concierne al estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.
Variaciones que podemos realizar en el modelo general: Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir diferentes tipos de cambios en el modelo original como:
1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, Cij 2. Cambios en los recursos, bi 3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, aij
4. Adición de una nueva variable y Xi 5. Adición de una nueva restricción. aij >= bi
WinQSB
Dualidad y análisis de sensibilidad Teoría de dualidad:
• La teoría de dualidad parte de que asociado a todo problema de PL, existe otro problema lineal llamado Dual. • Las relaciones entre el problema dual y el problema original o (primal) son en extremos útiles en una gran variedad de situaciones. • Uno de los aspectos más importantes de la teoría de dualidad es la interpretación y realización del análisis de sensibilidad.
Dualidad y análisis de sensibilidad Esencia de la teoría de dualidad: Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha. Max
n
Z cjxj j 1
sujeto n
a j 1
ij
a:
x j bi
xj 0
Min W m b y i i i 1
sujeto n
a j 1
ij
a:
yi c j
yi 0
El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el problema primal, pero en diferentes lugares.
Dualidad y análisis de sensibilidad Esencia de la teoría de dualidad: Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y del problema dual. Max
Z cx sujeto Ax b x0
Min W yb a:
sujeto yA c
a:
y0
Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Dualidad y análisis de sensibilidad La Wyndor lass Co. Produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres. Plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a una reducción de las ganancias, la alta gerencia ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen ventas potenciales grandes:
Dualidad y análisis de sensibilidad Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies x 6. El producto 1 requiere capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2, solo necesita trabaja en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la compañía pede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirán por la misma capacidad de producción en la planta 3, no se está claro cual es la mezcla de productos que sería mas rentable.
Dualidad y análisis de sensibilidad Se conoce que el número de horas disponible en la semana para las plantas 1,2 y 3, para los nuevos productos son las siguientes: Planta 1: 4 horas; planta 2: 12 horas y planta 3: 18 horas. Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades totales. En la tabla siguiente se detalla el tiempo requerido en horas en cada planta para producir un lote de cada producto.
Dualidad y análisis de sensibilidad Tiempo de producción por lote en hrs
Tiempo disponible semanal
Planta
Producto 1
Producto 2
(horas)
1
1
0
4
2
0
2
12
3
3
2
18
Ganancia x lote
$3000
$5000
Dualidad y análisis de sensibilidad X1: número de lotes del producto 1 ( puertas de vidrios) X2: número de lotes del producto 2 (ventas corredizas) Z= ganancia semanal total (miles de dólares) al producir puertas y ventas de vidrio. Es un problema típico de mezcla de programación lineal de maximización.
Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.
Max
Z 3 x1 5 x2 sujeta x1 4
a:
Min
W 4 y1 12 y 2 18 y3 sujeta a: y1 3 y3 3
2 x2 12
2 y 2 2 y3 5
3 x1 2 x2 18
y1 0
x1 0
y2 0
x2 0
y3 0
A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y a la derecha el problema dual en forma algebraica.
Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.
Max
Z 3 sujeta 1 0 3
x1 5 x2 a:
0 4 x 1 12 2 x 2 2 18 x1 0 x 0 2
Min
W y1 sujeta
y1
y2
y1
y2
y2
4 y3 12 18
a: 1 y3 0 3
y3 0
0 2 3 2 0
5
0
A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a la derecha el problema dual en forma matricial.
Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
La solución óptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36
Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
Precio sombra
La solución óptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36 Esto es, se debe producir 40 puertas(dos lotes) y 120( 6 lotes) ventanas para una utilidad máxima de U$36,000 .
Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co. El costo reducido identifica el costo que genera incrementar una unidad para cada variable no básica. La columna Déficit o Superávit muestra los valores de las variables de holgura.
La columna precio sombra: esto es, cuanto se estaría dispuesto a pagar por una hora extra para producir mas puertas y/o ventanas.
Problema
primal
Problema
Dual
Interpretación económica del Dual
Dualidad y análisis de sensibilidad
Ejemplo 2: La empresa KZ se dedica a la fabricación de tres producto; A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación. Datos de producción para la compañía (minutos por producto) El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compañía.
Datos de costo e ingreso para la compañía Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día. Considerando la información, se planteó el modelo de programación lineal:
Z 20 x1 35 x2 45 x 3 sujeto a: 2 x1 6 x2 2 x3 480 f ormación
3 x1 2 x2 2 x3 480inspección 2 x1 2 x2 4 x3 480acabado
Dual del Problema Min W= 480Y1 + 480Y2 + 480y3
Sujeto a: 2y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 20 6y1 + 2y2 + 2y3 ≥ 35 2y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 45 y1 ≥ 0
y2 ≥ 0 y3 ≥0
Ejemplo 1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la base actual permanece 2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece? 3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra y por que? 4. ¿Que pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de inspección, cambiaría la función objetivo?
5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50 minutos en el departamento de formado? 6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos de mantenimiento en el departamento de
Dualidad y análisis de sensibilidad 6.
Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%, ¿cómo se afecta la base actual y el objetivo?
7.
Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto, ¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en que departamento y cuanto tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual?
8.
¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del producto A ?
9.
¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A cambiara sus tiempos de fabricación en
10. a.
a1= (2,3,2)
11. b.
a1 = (1,2,2)T
12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3)T, ¿Qué recomendaría?
Solución Inicial del modelo (winqsb)
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad 3. Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en cuatro sabores: chocolate, vainilla, chicle y banano. Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene un déficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche, azúcar y crema . Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidas de sus expendios. Por estas circunstancias, la compañía a decidido seleccionar la cantidad que debe producir de cada sabor para maximizar la ganancia total, dadas las restricciones en las cantidades de ingredientes básicos. 29
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Sujeto a: • La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170 libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes) • Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón de leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema. • Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema. • Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema. • Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema. 30
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Sujeto a:
• La compañía para mantener su mercado cautivo de sabores a decidido también producir al menos 30 galones de helados de cada uno de los cuatro sabores. • Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chicle generan ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9, y $.95 por galón.
220 gls
170 lbs
70 gls 31
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Variables de decisión
X1 = Números de Galones de helados de chocolate
X2 = Números de Galones de helados de vainilla X3 = Números de Galones de helados de plátano X4= Números de Galones de helados de chicle 32
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Función objetivo
Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4 $ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate) + ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla) + ($/galón de plátano) x (Número galones plátano) + ($/galón de chicle) x (Número galones chicle)
33
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Restricción de producción(leche) 0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X1 galones de chocolates 0.5X2 es el total de galones de leche que se requieren para producir X2 galones de vainilla 0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para producir X3 galones de banano
0.4X4 es el total de galones de leche que se requieren para producir X4 galones de chicle
0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 220
34
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Restricción de producción(azúcar) 0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X1 galones de chocolates 0.4X2 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X2 galones de vainilla 0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X3 galones de banano
0.4X4 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X4 galones de chicle
0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 170
35
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Restricción de producción(crema) 0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X1 galones de chocolates 0.15X2 es el total de galones de crema que se requieren para producir X2 galones de vainilla 0.2X3es el total de galones de crema que se requieren para producir X3 galones de banano 0.3X4 es el total de galones de crema que se requieren para producir X4 galones de chicle
0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 70
36
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Compromisos de demanda
X1 galones de chocolate 30 galones X2 galones de vainilla 30 galones X3 galones de Banano 30 galones X4 galones de chicles 30 galones 37
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4 Sujeto a: 0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 220 0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 170 0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 70 X1 30 X2 30 X3 30 X4
30
No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de 38 demanda mayores que cero para todas las variables de decisión.
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Coeficientes del modelo matemático
SIGUE
39
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Solución
SIGUE
40
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES • Suponga que la ganancia por galón de banano es $1.00 ¿cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? -Cambia la ganancia total
Cambia la solución óptima. 41
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad PREGUNTAS ADICIONALES • Suponga que la ganancia por galón de banano es $0.92 ¿cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? -Cambia levemente la ganancia total No cambia la solución óptima Se podría decir que no hay cambios relevantes 42 en la optimización.
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad PREGUNTAS ADICIONALES • Suponga que descubren tres galones de crema agrio que tienen que tirarse ¿cambia la solución óptima y que se puede decir de la ganancia total? Se podría decir que no hay cambios en la optimización ni en la ganancia, eran sobrantes. 43
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
PREGUNTAS ADICIONALES
• Suponga que tienen la oportunidad de comprar 15 libras adicionales de azúcar por un costo total de $15.00¿Deben comprarlas ? explique Con 15 libras de azúcar adicionales
44
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad 4. Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviar de cada distribuidor(tres) a cada proyecto(tres) con el objeto de minimizar los costos totales? Sujeto a: • No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1; 175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. del distribuidor 3. • Enviar 200 tons. al proyecto 1; 100 tons. al proyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3. 45
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad • Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes: • Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C11=$6 • Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8 • Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10 • Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C21 =$7 • Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C22=$11 • Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C23=$11 • Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C31 =$4 • Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C32=$5 • Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C33=$12
46
Costos de Envío Costos de Envío (por tonelada) Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
6
8
10
Distribuidor 2
7
11
11
Distribuidor 3
4
5
12
Cuánto enviar a cada proyecto? Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
X11
X12
X13
Distribuidor 2
X21
X22
X23
Distribuidor 3
X31
X32
X33 47
Formulación de la Función Objetivo Variables de decisión XIJ = Número de toneladas a enviar del distribuidor “I” al proyecto “J”. X11 = Número de toneladas a enviar del distribuidor “1” al proyecto “1”. Función objetivo Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22 + 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33 48
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Restricciones de disponibilidad X11 + X12 + X13 150 X21 + X22 + X23 175 X31 + X32 + X33 275 Restricciones de requerimientos X11 + X21 + X31 = 200 X12 + X22 + X32 = 100 X13 + X23 + X33 = 300 49
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22 + 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33 Sujeto a: X11 + X12 + X13 150 X21 + X22 + X23 175 X31 + X32 + X33 275 X11 + X21 + X31 = 200 X12 + X22 + X32 = 100 X13 + X23 + X33 = 300 X11, X12, X13 .... X33 0
50
INGRESO DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO MATEMATICO EN EL WINDQSB
51
Solución
52
Solución
53
Red de Distribución
54
Cuánto se envió a cada proyecto y de que distribuidor? Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Oferta
Distribuidor 1
0
0
150
150
Distribuidor 2
25
0
150
175
Distribuidor 3
175
100
0
275
Demanda
200
100
300
600
Proyecto 1
Proyecto 2
Proyecto 3
Distribuidor 1
6
8
10
Distribuidor 2
7
11
11
Distribuidor 3
4
5
12
55
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad 5. Mezcla de minerales. ¿Qué porcentaje de la composición del nuevo producto provendrá de cada una de las cuatro minas con el objeto de minimizar su costo. Sujeto a: • El contenido del elemento básico “A” en el nuevo producto no sea menor de 5 lb’s/ton. • El contenido del elemento básico “B” en el nuevo producto no sea menor de 100 lb’s/ton. • El contenido del elemento básico “C” en el nuevo 56 producto no sea menor de 30 lb’s/ton.
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Variables de decisión X1 = porcentaje que provendrá de la mina 1 X2 = porcentaje que provendrá de la mina 2 X3 = porcentaje que provendrá de la mina 3 X4 = porcentaje que provendrá de la mina 4
57
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Función objetivo Min. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4 $ = ($/ton. mina 1) x (% de la mina 1) + ($/ton. mina 2) x (% de la mina 2) + ($/ton. mina 3) x (% de la mina 3) + ($/ton. mina 4) x (% de la mina 4) Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4 58
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Restricción de elemento básico A 10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 5 Restricción de elemento básico B 90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 100
Restricción de elemento básico C 45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 30 59
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4 Sujeto a: 10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 5 90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 100 45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 30 X1 +
X 2 + X3 +
X4 =
1
X1, X2, X3, X4 0 60
INGRESO DE COEFICIENTES EN WINQSB
61
SOLUCIÓN DEL MODELO LINEAL (EN WINQSB)
62
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad 6. Orsini. Fabrica tres tipos de zapatos. ¿Qué cantidad de cada estilo debe fabricar durante el mes con el objeto de maximizar las utilidades? Sujeto a: • No deben asignarse más de 1,200 horas de tiempo de producción. • Todos los costos de producción, de materiales y costos fijos deben cubrirse con el efectivo disponible durante el mes que es de $16,560. • Satisfacer ciertos compromisos de demanda: 63 30 estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3.
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Variables de decisión
X1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que deben fabricarse durante el mes. X2 = Número de pares de zapatos estilo 2 que deben fabricarse durante el mes. X3 = Número de pares de zapatos estilo 3 que deben fabricarse durante el mes. 64
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Función objetivo Max. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 $ = ($/par de zap. estilo 1) x (pares de zap. estilo 1) + ($/par de zap. estilo 2) x (pares de zap. estilo 2) + ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3) Cálculo de C1 (3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par (3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par $48/par 65
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
C1 = $60/par - $48/par = $12/par de zap. estilo 1 de forma similar, C2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2 C3 = $50/par - $28/par = $22/par de zap. estilo 3 Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3
66
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Restricción de producción
3.5X1 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 1 2.5X2 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 2 2.0X3 es el total de horas que se requieren para fabricar el estilo 3 3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3 1,200
67
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Restricción de efectivo Costo fijo = $3,000 Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560 para cubrir los costos variables. 48X1 + 43X2 + 28X3 13,560
Compromisos de demanda X1 pares de zap. estilo 1 30 pares de zap. estilo 1 X2 pares de zap. estilo 2 55 pares de zap. estilo 2 68 X3 pares de zap. estilo 3 32 pares de zap. estilo 3
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3 Sujeto a:
3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3 48X1 + 43X2 + 28X3 X1 X2 X3
1,200 13,560 30 55 32
No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda para todas las variables. 69
Solución
70
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
7. CSL es una cadena de tiendas de servicios para computadoras. La cantidad de horas de tiempo de reparación calificada que CSL requiere durante los cincos meses siguientes es como sigue: Mes 1 (enero) : 6,000 horas Mes 2 (febrero) : 7,000 horas Mes 3 (marzo) : 8,000 horas Mes 4 (abril) : 9,500 horas Mes 5 (mayo) : 11,000 horas A principios de enero 50 técnicos calificados trabajan para CSL. Cada técnico calificado puede trabajar hasta 160 horas por mes. Para cumplir con las demandas en el futuro, es necesario capacitar a nuevos técnicos. Toma un mes capacitar un nuevo técnico. 71
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Durante el mes de capacitación, un técnico experimentado debe supervisar al aprendiz durante 50 horas. Cada técnico experimentado gana U$2,000 al mes (incluso si no trabaja las 160 horas completas). Además durante el mes de entretenimiento, el aprendiz recibe U$1,000. Al final de cada mes, 5% de los técnicos experimentados de CSL abandonan el trabajo para unirse a otra empresa de la competencia. Formule un PL con cuya solución CSL minimiza el costo de mano de obra en el que incurre para cumplir con el servicio de reparación en los cinco meses siguientes: 72
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Solución: -CSL debe determinar la cantidad de técnicos durante el mes t. (t=1,2,3,4,5). Por tanto se define. Xt : cantidad de técnicos capacitados durante un mes t (t=1,2,3,4,5) CSL desea minimizar el costo total de la mano de obra durante los cinco meses siguientes. Obsérvese que: Costo total de mano de obra=costo por pagar a los aprendices + costo por pagar a los técnicos experimentados. Para expresar el costo por pagar a los técnicos experimentados es necesario definir para t=1,2,3,4,5.
Yt : cantidad de técnicos experimentados al inicio del mes t 73
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Solución: Entonces Costo total de mano de obra=(1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4 + 1000x5 ) + (2000y1 + 2000y2 + 2000y3 + 2000y4 + 2000y5 ) Por tanto la función objetivo de CSL es: Min z= 1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4 + 1000x5 + 2000y1 + 2000y2 + 2000y3 + 2000y4 + 2000y5
Cuales son las restricciones de CSL? Nótese que y1 =50, y que para t=1,2,3,4,5 CSL debe tener la certeza de que. Número de horas-técnicos disponibles durante el mes t ≥ 160y1 - 50x1 Entonces: 160y1 - 50x1 ≥6000
160y2 - 50x2 ≥7000
74
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad 160y3 - 50x3 ≥8000 160y4 - 50x4 ≥9500 160y5 - 50x5 ≥11000 Técnicos experimentados al principio del mes t: recordemos que el 5% de los técnicos experimentados al final de mes abandonan la empresa. y1 =50
y2 y3 y4 y5
= y1 + x1 - 0.05 y1=0.95 y1+x1 = =0.95 y2+x2 = 0.95 y3+x3 = 0.95 y4+x4
75
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Min z= 1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4 + 1000x5 + 2000y1 + 2000y2 + 2000y3 + 2000y4 + 2000y5 s.a: 160y1 - 50x1 ≥6000 160y2 - 50x2 ≥7000 160y3 - 50x3 ≥8000 160y4 - 50x4 ≥9500 160y5 - 50x5 ≥11000 y1 =50 y2 = y1 + x1 - 0.05 y1=0.95 y1+x1 y3 = =0.95 y2+x2 y4 = 0.95 y3+x3 76 y5 = 0.95 y4+x4 ; xi ≥0; yi≥0; i=1,2,3,4,5
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
Solución:
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P. Lineal: Análisis de Sensibilidad 8. Una compañía fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la manufactura de cada tipo de muebles se requiere madera y dos tipos de mano de obra calificada: acabado y carpintería. La cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de muebles se proporciona en la siguiente tabla. Recurso
Escritorio
Mesa
Silla
Madera(pie tablón)
8
6
1
Horas de acabado
4
2
1.5
Horas de carpintería
2
1.5
0.
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P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Se cuenta en la actualidad con 48 pie de tablón de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de carpintería. La cantidad de recursos necesarios. Un escritorio se vende a U$60, una mesa en U$30 y una silla en U$20. La compañía sabe que la demanda de escritorios y silla es ilimitada, pero cuando mucho se pueden vender 5 mesas. Puesto que los recursos disponibles ya se compraron, la compañía quiere maximizar el ingreso total. Si se definen las variables de decisión como: X1: cantidad de escritorios fabricados X2: cantidad de mesas fabricados X3: cantidad de sillas fabricados 79
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad Ahora formulamos el modelo matemático del PPL
Max z=60x1 + 30x2 + 20x3 S.a: 8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8 x2 ≤5 x1 ,x2 , x3 ≥ 0
80
Solución
P. Lineal: Análisis de Sensibilidad
81