Universidad Nacional de Luján

Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años sin título secundario

Ingreso 2015

Resolución de problemas

Presentación

En numerosas carreras que ofrece la Universidad Nacional de Luján (UNLu) está presente la matemática, ya sea como uno de los ejes fundamentales de la carrera o bien como un mero instrumento para alcanzar objetivos específicos, y su estudio depende en gran medida de los contenidos abordados en la secundaria. La enseñanza y el aprendizaje de la matemática en la Escuela Secundaria implica el alcance de objetivos entre los que se destacan: •

Desarrollar habilidades: calcular, inferir, comunicar, medir, estimar, generalizar y deducir.

•

Promover actitudes positivas: colaboración, respeto, investigación, perseverancia y autonomía.

•

Adquirir conocimientos matemáticos: aritmética, álgebra, geometría, estadística y probabilidad.

Esta área del conocimiento requiere además que su estudio se realice en forma reflexiva y no memorística. Por este motivo, si bien el presente material de apoyo aporta nociones matemáticas como herramientas para la resolución de problemas, es además necesaria la reflexión sobre lo realizado, la comparación de distintos procedimientos, los argumentos utilizados y las repuestas obtenidas. La resolución de problemas requiere que el alumno elabore conjeturas, pruebe, se equivoque, recomience a partir del error, proponga soluciones, las discuta y extraiga conclusiones. Además de las capacidades mencionadas anteriormente, se espera que los alumnos comprendan textos matemáticos, construyan conjeturas y opiniones ante una situación problemática, utilicen un lenguaje preciso, dispongan de distintas estrategias para la resolución, justifiquen la validez de sus razonamientos, generalicen conclusiones y analicen críticamente una resolución planteada. Cabe destacar que aunque el material está diseñado para que el alumno trabaje con autonomía, también es conveniente el trabajo grupal y la intervención oportuna del docente, preferentemente en modalidad taller, para lo cual UNLu ofrece un espacio de tres clases de tres horas reloj cada una para el tratamiento del mismo. Se propone trabajar sobre los siguientes contenidos:

• • • •

Números racionales: concepto, operaciones básicas; Porcentaje: relación con los números racionales, cálculos; Perímetro y Área: cálculo de perímetros y áreas de distintas figuras, fórmulas; Lenguaje algebraico: traducción de situaciones problema, relacionadas con los contenidos previos, al lenguaje algebraico y resolución de ecuaciones con una incógnita.

Este material tiene como propósito acompañar a los aspirantes en su preparación al ingreso en el dominio no sólo de los contenidos mencionados sino también en la adquisición de competencias, y está organizado de la siguiente forma:

1

Eje 1: Algunas nociones sobre Números Racionales El módulo contiene definiciones, explicaciones, ejemplos relativos a las operaciones básicas entre números racionales, ejercicios a resolver y problemas de aplicación.

Eje 2: Cálculo de Porcentajes El módulo contiene definiciones, ejemplos relativos al cálculo de porcentajes y su relación con los números racionales y problemas en los que es necesaria la aplicación de porcentajes.

Eje 3: Perímetro y área de algunas figuras planas El módulo contiene definiciones, fórmulas relativas al perímetro y área de algunas figuras planas y problemas donde se deben aplicar diferentes estrategias de resolución.

Acerca del lenguaje algebraico, el material ha sido diagramado de tal forma que esos contenidos se entrelazan con la resolución de las actividades presentadas en los módulos. La resolución de problemas tiene transversalidad en los distintos ejes, ya que poder llevar a cabo exitosamente este proceso será de gran utilidad en el transcurso de cualquier carrera de esta universidad. La importancia de la resolución de problemas reside básicamente en sus aportes a la construcción del conocimiento. Según investigaciones realizadas por numerosos especialistas, la resolución de problemas debe atravesar las siguientes cuatro etapas: 1- Comprender el problema: es la etapa más difícil de llevar a cabo, en la que hay

que

cumplimentar las siguientes cuestiones -

Se debe leer el enunciado despacio.

-

¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos)

-

¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos)

-

Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas.

-

Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.

2- Trazado de un plan: se debe discutir y formalizar los siguientes puntos -

¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?

-

¿Se puede plantear el problema de otra forma?

-

Imaginar un problema parecido pero más sencillo.

-

Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?

-

¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?

3- Llevar a cabo el plan: siempre teniendo en cuenta que el plan debe ser flexible, ya que hay continuas idas y vueltas en su puesta en práctica -

Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.

2

-

¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?

-

Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?

-

Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace.

4- Análisis de la solución obtenida: se deben comprobar tanto los resultados como el procedimiento empleado -

Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.

-

Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible?

-

¿Se puede comprobar la solución?

-

¿Hay algún otro modo de resolver el problema?

-

¿Se puede hallar alguna otra solución?

-

Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado.

-

Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.

-

Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.

Se espera que el material sea amigable en la lectura y sirva como herramienta disparadora para la aprehensión de las capacidades relacionadas con el quehacer matemático, sea cual fuere la carrera de elección del estudiante.

3

Eje 1

Problemas relacionados con algunas nociones sobre Números Racionales

4

¿Qué es una fracción? La idea de fracción se corresponde con la idea de dividir la totalidad de “algo” en partes iguales, por ejemplo media hora, un cuarto de torta, las dos terceras partes de una botella de aceite. Si tenemos una pizza cortada en ocho partes iguales y queremos representar una porción de la misma, podemos escribir:

Partes que tengo Cantidad de partes en que está dividido el entero

Un octavo es igual a 0,125. Es decir que una porción de pizza representa el 0,125 del total de la pizza Una fracción es una expresión que denota una división entre números enteros. ¿Dos números enteros cualquiera, siempre se pueden dividir? Respuesta NO, no se puede dividir por 0 ¿Por qué?

Una fracción está compuesta por dos números que se llaman numerador y denominador a

numerador

b

denominador

b≠0

Una fracción es un cociente entre dos números enteros, en la que el segundo número es distinto de cero. La fracción

tiene como numerador al 3 y como denominador al 4. El 3 significa que se han

considerado 3 partes de un total de 4 partes en que se dividió el entero o el todo.

Volviendo al ejemplo de la pizza, para obtener 9 porciones iguales a la anterior, es decir del mismo tamaño y forma, pero la pizza está dividida en ocho partes iguales, está claro que necesitaremos dos pizzas iguales.

Veamos otros ejemplos gráficos sobre algunas fracciones:

5

Este gráfico representa la fracción

Este gráfico representa la fracción

Debes tener presente que existen distintas posibilidades para representar gráficamente una fracción, es decir, se puede representar con distintos dibujos; lo importante es tener siempre presente el concepto de fracción.

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente entre dos números enteros. Actividades 1- Escribir la fracción que representa a cada gráfico:

2- Decir en cada caso la fracción que falta para llegar al entero: 2/7

2/13

9/11

3- Escribir la fracción que corresponde a cada oración: a. Tres de las doce computadoras de un cibercafé estaban desocupadas b. En un cine estaban ocupadas 67 de las 120 localidades c.

Durante las vacaciones, llovió 3 de los 7 días que estuve en Mar del Plata

4- Si un curso está compuesto por 18 varones y 14 mujeres, entonces ¿cuál es la fracción que representa el número de varones del curso? 5- ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde? 6- ¿Cuántos octavos hay en dos unidades? 7- ¿Qué fracción de un siglo son 40 años? 8- ¿Qué fracción representa la cantidad de consonantes en la palabra “ser”? 9- En una bolsa tenemos 24 caramelos de frutilla, 36 caramelos de naranja y 18 caramelos de limón. a. ¿Qué fracción representan los caramelos de frutilla del total de caramelos? b. ¿Qué fracción representan los caramelos de limón? c.

Si saco 6 caramelos de limón ¿qué fracción representan ahora los caramelos de limón?

6

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan al mismo número. Ejemplo: Renzo y María tienen dos jardines de igual superficie. El jardín de Renzo tiene árboles frutales en las 2/5 partes de su extensión. El de María tiene árboles frutales en las 4/10 partes de su extensión.

Los dos jardines tienen la misma superficie ocupada con árboles frutales. Entonces 2/5 es equivalente a 4/10. Las fracciones son distintas pero representan al mismo número: 0,4.

¿Cómo se opera con fracciones? Veremos las cuatro operaciones básicas entre fracciones: suma, resta, multiplicación y división. Suma y resta

Supongamos que tenemos que sumar

. Gráficamente:

+

.

Entonces

=

Aquí vemos que al tener el mismo denominador, la suma se realiza

sumando los numeradores y dejando inalterado el denominador. Supongamos que ahora tenemos que sumar

. Gráficamente:

+ Aquí el problema radica en que no se pueden sumar medios con tercios de forma inmediata, pero podemos pensar en fracciones equivalentes a es equivalente a

y

y

cuyo denominador sea el mismo. Por ejemplo

es equivalente a : +

Sumar

es equivalente a sumar

.

7

El resultado de la suma es . Está claro que es incómodo hacer gráficos cada vez que se nos presente una suma de fracciones, es por esto que es más conveniente buscar fracciones equivalentes a ellas, del mismo denominador, y luego sumamos los numeradores. Definición de suma: .

±

.

Ejemplos:

± . ≠ 0, .

≠0

. .

.

−

. .

Producto Para efectuar el producto entre dos fracciones ponemos por definición: Definición de producto: .

Ejemplo:

.

.

. ≠ 0, .

≠0

o su equivalente

.

Cociente Para efectuar el cociente entre dos fracciones ponemos por definición: Definición de cociente: :

. ≠ 0, ≠ 0,

≠0

Actividades 1- Efectuar las siguientes operaciones: a.

8

b.

−

c. d.

−

e.

−2

f.

.

g.

.

h.

.

i.

:

j.

:

k.

:

l.

20: 100

−

.5

2- Dado el siguiente gráfico donde A, B,C, D, E y F son fracciones de la figura, contestar:

B A

E C

D

F

a. ¿Qué fracción del cuadrado representan las partes A, B,C, D, E y F? b. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones? i.

A+B+C+D+E+F

v.

A – (E – D)

ii.

A+B

vi.

A.E+D

iii.

A+B–C

vii.

A:B

iv.

C+D–F

viii.

6A–B

9

3- Felipe debe leer un libro en tres días, lee las 2/5 partes el primer día, el segundo día 1/4 parte. ¿Qué fracción le corresponde leer el último día? (Para resolver este problema se propone encontrar fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador, y luego calcular la fracción de páginas que faltan por leer) Si el libro tiene 100 páginas ¿Cuántas páginas faltan por leer?

4- Andrés desea pintar su casa de verde, rojo y amarillo. Necesita dos litros de cada color, al ir a la ferretería se encuentra con que el color rojo solo se encuentra por cuartos de litro, el rojo por medio litro y el amarillo por litro ¿Cuántos tarros de cada color debe comprar?

5- Gladys compró una gaseosa de litro y medio y le sirvió 1/4 litro a cada uno de sus 4 compañeros e igual cantidad para ella. ¿Sobró gaseosa? 6- Armando es plomero y de un caño utilizó las siguientes partes: 1/2 del caño para cambiar una parte del drenaje, 1/8 del caño para realizar un arreglo en la cocina y 1/4 del caño para conectar la llave del baño. ¿Qué fracción del caño utilizó Armando? 7- Don Federico abonó la mitad de su terreno. El primer día que quiso sembrar en dicho terreno sólo pudo hacerlo en la tercera parte de la tierra abonada. ¿Cuál es la parte del total del terreno que quedó sembrada ese día? 8- En una sala de cine con cupo para 160 personas se registra la asistencia del público a una película. La sala se encuentra llena. La gráfica muestra la relación de adultos y menores de edad en la sala.

Si hay 18 niñas por cada 12 niños presentes, ¿Cuántas niñas hay en toda la sala? a) 12 b) 48 c) 60 d) 72

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Eje 2

Problemas relacionados con el cálculo de porcentajes

11

¿A qué se llama porcentaje? Es una forma de expresar una fracción o parte de un entero, tomando como entero al 100%. Es decir que para indicar las x/100 partes de un número se escribe x% de ese número, o sea: x% de A =

.A

En un negocio hacen una rebaja del 10% sobre todos sus productos por liquidación total, a mí me interesa un televisor cuyo precio de lista es $5000. ¿Cuál es el precio que debo pagar con la rebaja? Mentalmente podemos calcular que el 10% de $5000 son $500, por lo tanto voy a pagar $4500 por el televisor, pero ¿cómo expreso la operación? 10% de 5000 =

.5000 = 500

5000 – 500 = 4500

Si el descuento hubiese sido del 15% haríamos 15% de 5000 =

. 5000 = 750

5000 – 750 = 4250

Otros ejemplos de cálculos de porcentajes: 20% de 54 =

32% de 850 =

. 54 =

= 10,80

. 850 =

= 272

Laura contestó correctamente 26 de las 40 preguntas de su examen de inglés, es decir que acertó 26/40 del examen. ¿Qué porcentaje de preguntas contestó correctamente?

= 0,65 =

= 65%

Para saber qué porcentaje representa una fracción, escribimos su expresión decimal y observamos cuántos centésimos hay en ella.

Otros ejemplos del porcentaje que representa una fracción:

1/8 = 0,125 o sea el 12,5 % 2/5 = 0,4

o sea el 40%

1/3 = 0,3333…… o sea el 33,3 %

12

Actividades 1- Indicar qué porcentaje representa cada fracción: a. 3/50 b. 9/20 c.

3/20

d. 12/25 2- Indicar qué porcentaje representa cada expresión decimal: a. 0,03 b. 0,005 c.

1,07

d. 0,018 e. 0,8 f.

2,04

3- Expresar la fracción que corresponde a cada porcentaje: a. 15% b. 22,5% c.

130%

4- En un curso de 35 alumnos, 7 alumnos no aprobaron la evaluación. La misma evaluación se tomó en un curso de 48 alumnos y no aprobaron 9 de ellos. Calcular el porcentaje de aprobados de cada curso 5- Calcular: a.

El 58% de 4800

b.

El 73% de 4400

c.

El 12% de 1700

d.

El 81% de 2315

e.

El 75% de 2200

f.

El 68% de 210

6- Si en una compra de $120, me hacen un descuento del 5% ¿Cuál es el monto final de la compra? 7- Voy a una disquería a comprar cds y me dicen que el precio de cada uno es de $40, a su vez, si compro 10 o más de 10 me hacen un 8% de descuento, y si compro más de 15, me hacen un 12% de descuento a. Si compro 11 cds ¿Cuánto me costarían en total? b. ¿Cuál sería el precio de cada cd si compro 20?

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Ahora veamos cómo calcular los valores porcentuales, es decir qué porcentaje es un número de una cierta cantidad: En el curso hay 50 estudiantes, de ellos 16 son de simpatizantes de River Plate. ¿Qué porcentaje de alumnos del curso son de River Plate? El planteo de la situación es el siguiente: x% de 50 = 16 Para resolver el interrogante podemos plantear la ecuación: . 50 = 16 x.

y luego despejar x.

= 16

=16. =32 Respuesta: el 32% de los alumnos del curso son simpatizantes de River Plate.

Actividades 1- Completar: a. 460 es el ………% de 9200 b. 516 es el ……….% de 600 c.

17 es el …………% de 100

d. 2400 es el ………..% de 8000 e. 1080 es el ……….% de 6000 2- ¿Qué descuento me tendrían que hacer en una compra de $160, para que el monto final sea $120? 3- Observar el siguiente gráfico, que representa el número de hijos menores de 21 años en familias de una ciudad: Cantidad de 45 familias 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

Número de hijos

a. ¿Cuántas familias fueron encuestadas? b. ¿Cuántas familias tienen más de 4 hijos? ¿Qué porcentaje del total de familias representa esta cantidad?

14

4- En la jornada de salud, se le pide a una enfermera que entregue la contabilidad del número de enfermos por padecimiento. Los diferentes especialistas le entregan los siguientes datos:

¿Cuál es el reporte que debe entregar con la cantidad de pacientes correspondiente? 5- Una compañía telefónica hizo entrega a sus clientes de un folleto, para explicar su accionar, conteniendo los siguientes gráficos de gastos telefónicos (en miles de $):

Gastos telefónicos 2009 350 300 Miles de $

250 200 150 100 50 0 Locales

150

Interurbanas

A telefonía celular Tipo de llamada

A internet

120 Locales Interurbanas A telefonía celular

275

300 A internet

a) Observar los gráficos con sus referencias. b) Construir una tabla, con los datos de 2009 y 2010, en la que figuren los gastos en pesos según el tipo de llamada. ¿Hubo aumento en el total de gastos en el año 2010 respecto al 2009? c) Escribir los datos expresados en porcentaje en ambos gráficos. d) Proponer un tipo de representación gráfica que permita mostrar las diferencias, por tipo de llamada, entre 2009 y 2010. e) Indicar qué rubros aumentaron de un año a otro.

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6- Una tablet cuesta $1850. Por pagarla en 6 cuotas se hace un recargo del 12% sobre el precio original. ¿Cuál es el valor de cada cuota? 7- ¿Cuál es el precio de un artículo si sabemos que con un descuento del 8%, cuesta $40,48? 8- a. De los 60 paquetes de pastillas que tiene el quiosquero, dos docenas son de menta, una docena y media es de limón, media docena es de cereza y el resto de miel. ¿Qué porcentaje del total representan los de cada gusto? b- El lunes vendió el 75% de los de menta, el 25% de los de miel y el 50% de los de cereza ¿Cuántos vendió de cada uno de esos gustos?

9- De los alumnos que rindieron un examen la sexta parte no resolvió el problema, la cuarta parte con algunos errores y los 42 alumnos restantes lo hicieron correctamente. ¿Cuántos alumnos rindieron el examen?

Para realizar aumentos de una cierta cantidad S en un x% podemos plantear: S + x% de S = S +

x x S = S (1+ ) 100 100

¿A cuánto hay que vender un artículo que ha costado $60 para ganarle un 40%? 60 + 40% de 60 = 60. (1 +

) = 60.

= 84

Respuesta: Hay que venderlo a $84.

Para realizar descuentos o disminuciones de una cierta cantidad S en un x% podemos plantear: S - x% de S = S -

x x S = S (1) 100 100

Si en una compra de $120, me hacen un 5% de descuento ¿Cuál es el monto final de la compra? 120 - 5% de 120 = 120. (1 -

) = 120.

= 114

Respuesta: El monto final es de $114.

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Supongamos que se nos presenta un problema en el que a una cierta cantidad se la incrementa en un x% y luego se la incrementa en un y%. ¿Cómo se obtiene el monto final? ¿Se obtiene el mismo monto si a la misma cantidad se la incrementa en un (x + y)%? Veamos un ejemplo: El número de turistas que visitaron cierta ciudad durante el mes de junio fue de 2.500. En el mes de julio hubo un 45% más de visitantes, y en agosto, un 20% más que en julio. ¿Cuántos turistas visitaron la ciudad en agosto? 2500 + 45% de 2500 = 2500. (1 +

) = 2500.

= 3625

3625 + 20% de 3625 = 3625. (1 +

) = 3625.

= 4350

Respuesta: En agosto hubo 4350 turistas. Si en el problema anterior incrementamos un 65% a los 2500 turistas ¿el resultado será el mismo? 2500 + 65% de 2500 = 2500. (1 +

) = 2500.

= 4125

Evidentemente, el resultado no es el mismo. ¿A qué se debe esto? En el ejemplo 2500 + 45% de 2500 + 20% de 2500 lo podemos expresar como 2500. (1 +

). (1 +

) = 2500.1,45.1,20 =

2500.1,74 = 3625. Es decir que el porcentaje total

incrementado es 74% y no 65%. Actividades 1- Completar:

80

+15%

-15%

1000

+ 15%

- 8%

250

- 10%

- 20%

35 + 40%

- 20%

17

2- Se tiene un capital de $3 000, se lo aumenta en un 20% y luego a ese resultado se lo disminuye en un 15%. a) ¿Cuánto se obtendrá? b) ¿la suma aumentó, quedó igual o disminuyó? c) ¿En qué porcentaje?

3- En una tienda de ropa, durante el mes de julio se realiza una rebaja de sus artículos del 15%, al finalizar dicho mes se realiza otra rebaja sobre los precios vigentes de un 20%. Completar el cuadro: Artículo

Precio

Descuento en

Precio

original

julio

julio

Pantalón

960

Camisa

480

Chaqueta

850

Remera

190

en

Descuento en

Precio final

agosto

Problemas integradores 1- El gráfico y el cuadro siguiente contienen los porcentajes de pobreza e indigencia entre los años 2000 y 2002.

Porcentaje

Pobreza e indigencia 60 50 40 30 20 10 0

Pobreza Indigencia

2000.

2001.

2002.

Año

a) ¿En qué porcentaje varió la pobreza en el período 2000-2001? ¿y la indigencia? b) ¿En qué porcentaje varió la pobreza en el período 2001-2002? ¿y la indigencia? c) ¿En qué porcentaje variaron la pobreza y la indigencia en todo el período presentado? Relacionar con a) y b).

18

d) ¿Es cierto que en el año 2002 un 78% de la población era pobre o indigente?, ¿por qué?

2- Respecto al Doctorado de la UNLu, con sus dos orientaciones una en Ciencias Aplicadas y otra en Ciencias Humanas, se presenta el siguiente gráfico con datos de cantidad de alumnos, ingresantes y graduados en el período 2002-2005:

Doctorado de la UNLu 30 25 20 15 10 5 0

26 22

22

21

6 2 2002.

7

5

3 3

2

2003.

2004.

0 2005.

Año Alumnos

Ingresantes

Graduados

a) ¿En qué porcentaje varió la cantidad de alumnos en el período 2004-2005? ¿y para los ingresantes? ¿y para los graduados? b) ¿Cuál es la fracción que representa a los graduados en 2002 respecto del total de graduados en el período 2002-2005? c) ¿En qué porcentaje varió la cantidad de graduados en el período 2002-2003?

3- La producción de azúcar, una de las actividades agroindustriales más antiguas del país, se concentra en las provincias del NOA: Tucumán, Salta y Jujuy, donde existen alrededor de 340.000 hectáreas plantadas con caña de azúcar. En la zafra 2010 la producción argentina de azúcar fue de 1.894.068 toneladas.

19

porcentaje de azúcar elaborado

Producción de azúcar del NOA en 2010 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Tucumán

Salta

Jujuy

a) Teniendo en cuenta el gráfico anterior, qué cantidad de toneladas se produjeron en cada provincia. b) Elige otro tipo de gráfico para representar la producción de azúcar en el NOA durante el año 2010. c) Indica el valor de verdad de la siguiente afirmación: la cantidad de azúcar producida durante el año 2010 por la provincia de Jujuy equivale aproximadamente a la cuarta parte de la producida por la provincia de Tucumán, durante el mismo período. Justificar la respuesta.

20

Eje 3

Problemas relacionados con perímetro y área de algunas figuras planas

21

¿Qué es el perímetro? El perímetro (P) de una figura es la longitud del contorno de la figura. Como las figuras que vamos a estudiar tienen ciertas particularidades, construyamos las fórmulas a utilizar para cada una de ellas: Figura

Observaciones Equilátero: tres lados iguales

Gráfico

Fórmula

L

L

P=

L2

P=

L Isósceles: Dos lados iguales Triángulo

(el tercero puede ser igual o

L2

no)

L1

Escaleno: Tres lados distintos

L1

P=

L2 L3 L

Tiene sus cuatro lados Cuadrado

iguales

L

P=

L L

Tiene dos pares de lados Rectángulo

iguales entre sí

H

P=

B Tiene dos pares de lados Paralelogramo

iguales entre sí

H

P=

B Tiene sus cuatro lados Rombo

iguales

iguales entre sí

isósceles

L

L

L

P=

b

Tienen un par de lados Trapecio

L

L

L

P=

B El radio es el segmento que

Circunferencia

une el centro con cualquier

r

P=

punto de la circunferencia

22

Actividades 1- Calcular el perímetro de un triángulo equilátero cuyos lados mides 5 cm. 2- Calcular el perímetro de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4 cm y el otro lado mide 3 cm. 3- Calcular el perímetro de un cuadrado de lado 9 cm. 4- Calcular el perímetro de un rombo de lado 4 cm. 5- Calcular el perímetro de un paralelogramo cuyos lados miden 7 cm y 3 cm. 6- Calcular el perímetro de un rectángulo de base 8 cm y altura 5 cm. 7- Si el perímetro de un rectángulo es de 39 cm y la base mide 15 cm ¿Cuál es la medida de la altura? 8- Si el perímetro de un rombo es de 60 cm ¿Cuánto miden sus lados? 9- Calcular el perímetro de un trapecio isósceles cuya base mayor mide 8cm, la base menor 5 cm y los otros lados miden 3 cm. 10- Calcular el perímetro de una circunferencia de radio 3 cm. 11- Calcular el perímetro de las figuras sombreadas (las medidas están en cm):

12

12

23 21

25 10

20

12

30

10 10

10 10

12- Maxi entrena con su bicicleta en un campo de deportes con las medidas del siguiente gráfico. Su entrenador le dice que tiene que andar 12 km sin parar ¿Cuántas vueltas tiene que dar al campo de entrenamiento?

100 m

140 m

23

¿Qué es el área? El área de una figura es la cantidad de superficie que encierran sus límites. Es decir que es la porción del plano que cubre. Escribamos las fórmulas a utilizar para calcular el área en algunas figuras:

Área del paralelogramo: La altura del paralelogramo es la distancia entre la base y su lado opuesto. Para hallar el área de un paralelogramo se calcula el producto entre su base y su altura. h

Área del paralelogramo =

b Área del triángulo: Se deduce a partir del área del paralelogramo. Se construye un paralelogramo en una hora de papel y se recorta. Se traza una de sus diagonales, el paralelogramo queda dividido en dos triángulos. Al recortar por esa diagonal se nota que los triángulos son idénticos. Por lo tanto el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo. Área del triángulo =

Área el rectángulo: Como el rectángulo es un paralelogramo, para calcular su área aplicamos la misma fórmula que para el paralelogramo.

h

Área del rectángulo =

b Área del cuadrado: Como el cuadrado es un rectángulo que tiene los cuatro lados de la misma medida, su base y su altura son iguales.

L

Área del cuadrado =

L

24

Área del rombo: Al trazar una diagonal del rombo se obtienen dos triángulos iguales. El área del rombo es el doble del área de uno de esos triángulos, cuya base es una de las diagonales y cuya altura es la mitad de la otra diagonal.

d1 d2

Área del rombo =

Área del trapecio: Cualquier trapecio puede descomponerse en dos triángulos cuyas bases son las bases b1 y b2 del trapecio, y cuya altura es la altura del trapecio. Por lo tanto el área del trapecio es la suma de las áreas de los dos triángulos. b1 h

Área del trapecio =

b2

Área del círculo: Para encontrar el área del círculo sugerimos la búsqueda de una fórmula que resuelva este problema en distintos libros o páginas de internet, luego compartiremos en clase los resultados encontrados.

r

Área del círculo =

25

Actividades: 1- Calcular el área de las siguientes figuras:

a)

b)

c) 4 cm 5 cm

3 cm

5 cm

d)

e)

f)

4 cm

2 cm

2 cm 6 cm

g)

3 cm

h)

i)

6 cm

2 cm 12 cm

5 cm 10 cm

8 cm

2- Hallar el área sombreada de cada figura: a)

b)

c)

6 cm 5 cm 3 cm 12 cm 10 cm 6 cm 4 cm

7 cm e)

d) 8 cm

f) 4 cm

4 cm

2 cm

26

g)

h)

2 cm

i)

8 cm

3 cm 8 cm

4 cm

Problemas variados 1- Se necesita embaldosar un patio rectangular de 15 m de largo y 6 m de ancho con baldosas cuadradas de 30 cm por lado. ¿Cuántas baldosas se necesitarán aproximadamente? 2- Se necesita cercar con 4 vueltas de alambre un patio rectangular de 15 m de largo y 3,5 m de ancho. ¿Cuántos metros de alambre se necesitará comprar? 3- Don Juan necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide 30 m. de largo y 20 m. de ancho: ¿cuántos metros de alambre necesita? 4- En una escuela han organizado una campaña de invierno de confección de frazadas a partir de cuadrados de lana de 20 cm por 20 cm. Si desean hacer frazadas que midan 2 metros de largo y 1 metro 60 cm de ancho: ¿cuántos cuadrados de lana se necesitan para una frazada? 5- Determina el perímetro del rectángulo cuya superficie es 15 cm2 y uno de sus lados mide 3 cm. 6- Calcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 32 cm. 7- El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. ¿Cuál es la medida de la base si los lados congruentes miden 9 m. cada uno? 8- Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita 4 m2 para desarrollarse. 9- ¿Qué porcentaje del área del cuadrado es el área del círculo que hay dentro?

20 cm

10- Si a un rectángulo cuya base es 10 cm y su altura es 8 cm le aumentamos en un 10% su base ¿Cuál es el nuevo perímetro? ¿Y el área? 11- Si al mismo rectángulo del ejercicio anterior le disminuimos su altura en un 10% ¿En qué porcentaje disminuye su área?

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12- Federico hizo un plano de su casa:

a) ¿Cuáles son las medidas de la recámara? b) ¿Cuántos m2 ocupa el comedor? c) ¿Cuántos m2 de césped se necesitan para cubrir el patio? d) ¿Cuántos m2 de cerámico se necesitan para cubrir el piso de la casa de Federico?

Bibliografía utilizada para la redacción del material CHORNY, F., KRIMKER, G. y otros. (2003).Pitágoras 8 Matemática. Buenos Aires. Editorial SM. CRUZ, M. (2006). La enseñanza de la Matemática a través de la Resolución de Problemas. Tomo 1. La Habana. Educación Cubana. PIÑEIRO, G., RIGHETTI, G. y otros. (2009). Matemática II. Buenos Aires. Editorial Santillana. PISANO, J. (2009) Logikamente I. Buenos Aires. Editorial Logikamente. PISANO, J. (2009). Logikamente II. Buenos Aires. Editorial Logikamente. NOVELLI, A. Elementos de Matemática. (2006). Buenos Aires. Editorial NLibros. STEWART, J. y otros. (2007). Introducción al cálculo. Buenos Aires. Editorial Thomson Learning. POLYA, G. (1982). Cómo plantear y resolver problemas. 10ma reimpresión. México. Trillas, S. A. POGGIOLI, L. (2001). Estrategias de resolución de problemas. Caracas. Ed. Polar.

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