Universidad Nacional del Litoral Escuela Industrial Superior Ingreso a Primer Año 2015

Material de Apoyo Área Matemática

Prof. Dallia, Natalia Prof. Maumary, Carina Prof. Santarrone, María Alejandra Prof. Zanabria, Claudia

AUTORIDADES Rector de la Universidad Nacional del Litoral Abog. Albor Cantard

Decano de la Facultad de Ingeniería Química Dr. Enrique Mammarella

AUTORIDADES DE LA ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR

Director Ing. Mario Luis Alliot

Vicedirector Prof. José Carletti

Secretaria Académica Arq. María Lucila Latorre

Jefa del Área Matemática Prof. María Alejandra Santarrone

Fecha de catalogación: 02/08/2012

Material para ingresantes : área matemática / Natalia Dallia ... [et.al.]. - 1a ed. - Santa Fe : Ediciones UNL, 2012. 90 p. ; 30x21 cm. - (Cátedra. Ingreso) ISBN 978-987-657-797-7 1. Matemática. 2. Enseñanza Universitaria. I. Dallia, Natalia CDD 510.711

INDICE GENERAL INDICE GENERAL.............................................................................................................. 3 HISTORIA DE ESTE MATERIAL ...................................................................................... .5 INTRODUCCIÓN................................................................................................................ .7 PROGRAMA ...................................................................................................................... .9 I - Números racionales no negativos ............................................................................ 11 II - Proporcionalidad entre magnitudes ...................................................................... 23 III - Figuras geométricas en el plano……………………………………………………… 27 IV - Otras figuras planas ................................................................................................. 33 V - Cuerpos poliedros y redondos................................................................................. 47 Para seguir repasando.................................................................................................... 59

Anexo Clasificación de los triángulos y de los cuadriláteros ................................................ 67 Clasificación de los cuerpos.......................................................................................... 68 Fórmulas de perímetros y áreas de figuras planas ..................................................... 69 Fórmulas de áreas de cuerpos y de volúmenes de cuerpos...................................... 70 Tablas de Equivalencias................................................................................................ .71 Imágenes para actividad: Teorema de Pitágoras…………………………………………72

Respuestas a las actividades I – Números racionales no negativos ................................................................................ 73 II- Proporcionalidad entre magnitudes .............................................................................. 75 III - Figuras geométricas en el plano ................................................................................. 76 IV - Otras figuras planas.................................................................................................... 77 V - Cuerpos poliedros y redondos..................................................................................... 78 Para seguir repasando ...................................................................................................... 79

Bibliografía para el alumno ............................................................................................ 83 Bibliografía consultada................................................................................................... 83

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HISTORIA DE ESTE MATERIAL Históricamente la Escuela Industrial Superior ha gozado de prestigio fundado en su nivel académico y en las competencias técnicas desarrolladas por sus egresados, que se ponen de manifiesto en trabajos jerarquizados, carreras universitarias, emprendimientos productivos propios e investigación y desarrollo. Actualmente nuestra escuela ofrece formación técnica con salida laboral en las especialidades “Construcciones”, “Química” y “Mecánico-Eléctrica”. Es importante considerar que el logro de estas competencias requieren de un profundo conocimiento de los saberes matemáticos. Desde que el alumno ingresa a la escuela pretendemos “educar matemáticamente al futuro técnico” para que luego pueda seleccionar y aplicar convenientemente sus propios conocimientos en la resolución de cualquier situación problemática específica de Matemática, de otra disciplina o de la especialidad que elija. La Matemática constituye una actividad de resolución de situaciones problemáticas que pueden estar referidas al mundo natural y social o bien pueden ser internas a la propia Matemática. A los efectos de facilitarle al aspirante su preparación en matemática para el ingreso, desde hace muchos años la escuela le ha ofrecido una guía de problemas, cuya recopilación y selección ha sido realizada por los entonces profesores de matemática de la misma. Periódicamente se ha ido modificando teniendo en cuenta las dificultades detectadas en los alumnos que ingresan. Desde el ingreso 2007, se consideró conveniente agregar conceptos, resúmenes de fórmulas, figuras explicativas y sugerencias, con el propósito de orientar al aspirante en las estrategias de resolución, y además recomendar una bibliografía de consulta para que pueda ampliar o aclarar los conceptos que crea necesarios. En esa producción, participaron todas las profesoras del área matemática de la EIS. Para el material de ingreso, desde el año 2012 el equipo de trabajo, ha incorporado actividades tendientes a reforzar aquellos conceptos que, para los ingresantes de años anteriores, han presentado dificultades en su aprendizaje. Para esto se tuvo en cuenta:



Aportes de los tutores de los cursos de apoyo para los aspirantes a ingresar. Informe de las profesoras coordinadoras de los cursos de apoyo.




Dificultades que se presentan con mayor frecuencia, en la resolución de los ejercicios y problemas de los exámenes de Ingreso.




Debilidades observadas en los alumnos de 1

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año, en lo que se refiere a

conocimientos previos correspondientes a contenidos de la escuela primaria. Con esta obra pretendemos que el ingresante nivele, profundice y jerarquice sus conocimientos matemáticos, de acuerdo con las exigencias requeridas para el desarrollo de las competencias necesarias para alcanzar el nivel académico mencionado inicialmente. Agradecemos a todos aquellos docentes que hicieron sus aportes en las distintas producciones para el ingreso y que hoy se reflejan en este material.

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INTRODUCCIÓN Ésta es solamente una guía de actividades orientadoras que intenta facilitar tu preparación. En ella se plantean distintas secciones diagramadas a partir de los contenidos dados en el programa para ingreso a primer año, correspondiente a la Escuela Industrial Superior. En cada sección encontrarás actividades o juegos para que hagas durante las clases del curso de apoyo. Al realizarlas, se persigue que logres comprender, aprender o simplemente recordar aquellos conceptos claves para la resolución de los ejercicios y problemas que luego tendrás que resolver. Las actividades y juegos se presentan en el texto a continuación de los íconos:

Actividad

¿Jugamos?

En algunos casos, al final de las actividades propuestas, tú mismo tendrás que concluir acerca de lo aprendido, en el texto se te pedirá que completes oraciones para tal fin. En dichos lugares encontrarás el ícono:

Completa

Cuando aparezca el ícono: Ejercicios y problemas

tendrás que poner a prueba tus conocimientos sobre los conceptos de dicha sección. Recuerda: Un problema es un desafío. Resolverlo es un proceso en el que se puede tener éxito o no; pero vale la pena intentarlo; nada se consigue sin esfuerzo. Ante la pregunta: “¿Qué es lo que tengo que hacer frente a un problema que debo resolver?”, he aquí algunas sugerencias:  Lee atentamente el enunciado para comprenderlo. Si hay algún término que no conoces, búscalo en el diccionario. 

Puedes consultar en el anexo algunos conceptos, clasificaciones de figuras planas y

cuerpos, fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes y equivalencias entre unidades. 

Puedes tener en cuenta las recomendaciones que te presentamos, cuando las hubiere.



Señala en el enunciado el o los verbos que indican lo que se pide.



Si la situación lo permite, realiza: 

Una figura de análisis consignando en la misma los datos e incógnita.



Un diagrama o un gráfico.

 Piensa qué relaciones y/o propiedades matemáticas vinculan los datos con lo que se quiere obtener; en caso de no recordarlas o sentirte inseguro en su aplicación, recurre a tus manuales, a tus carpetas o a la bibliografía sugerida.

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Ten en cuenta que no es necesario que te esfuerces en aprender a resolver ecuaciones

complicadas, ya que los problemas que te proponemos los puedes resolver con otras estrategias. 

Realiza tu propio plan de trabajo y resuelve la situación planteada. Debes registrar

paso a paso y de manera ordenada el procedimiento que te permite llegar al resultado y aunque algunos cálculos sean obvios, escríbelos igual.  Verifica si la solución obtenida satisface las condiciones del problema. En caso afirmativo escribe la respuesta en forma completa, consignando las unidades si correspondiere; y en caso negativo vuelve atrás, revisa lo planteado y si no dio resultado, intenta otro camino. 

Para avanzar más seguro, puedes controlar tus resultados con las

respuestas consignadas al final. 

Trata de no usar calculadora. Recuerda que en el examen de ingreso no

se permitirá su uso. Esperamos que puedas resolver lo presentado, valorar tu esfuerzo y tu trabajo, sentir el goce del descubrimiento y el placer de hacer Matemática.

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PROGRAMA DE MATEMÁTICA DE INGRESO A 1 AÑO I: Números racionales no negativos. Adición, sustracción, multiplicación y división de números racionales no negativos. Interpretación gráfica y orden. Expresión decimal y fraccionaria de un número racional no negativo. Potenciación de exponente natural y radicación. Divisibilidad en el conjunto de los números naturales. Divisor común mayor y múltiplo común menor de dos o más números naturales. Conteo. Problemas. II: Proporcionalidad entre magnitudes. Magnitudes directamente proporcionales: propiedades. Regla de tres simple directa. Porcentajes. Escala. Problemas. Unidades de medida de tiempo. Problemas. III: Figuras geométricas en el plano (espacio en dos dimensiones) Plano, semiplano, recta, semirrecta, segmento de recta. Ángulo. Rectas paralelas. Rectas secantes: perpendiculares y oblicuas. Mediatriz de un segmento. Longitud de un segmento: unidad de medida (S.I.M.E.L.A), múltiplos y submúltiplos. Reducciones. Ángulos convexos y cóncavos. Clasificación de los ángulos convexos: agudos, recto, obtusos y llano. Bisectriz de un ángulo. Ángulos consecutivos. Amplitud de un ángulo. Sistema de medición sexagesimal: unidad y submúltiplos. Operaciones. Ángulos complementarios y suplementarios. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Propiedades. Construcciones. Problemas. IV: Otras figuras planas. Polígonos convexos. Elementos. Clasificación según el número de lados. Polígono regular. Triángulos. Clasificación según sus lados y según sus ángulos. Alturas. Suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo. Ángulos exteriores. Teorema de Pitágoras. Cuadriláteros. Clasificación. Paralelogramos: propiedades. Clasificación: rectángulo, rombo y cuadrado. Propiedades de lados, ángulos y diagonales. Trapecios. Clasificación. Propiedades de lados, ángulos y diagonales. Trapezoide. Romboide. Propiedades de lados, ángulos y diagonales. Circunferencia y Círculo. Elementos. Construcciones. Superficie de una figura: concepto. Unidades de medida de superficie (S.I.M.E.L.A): múltiplos y submúltiplos. Reducciones. Cálculo de perímetros y área de figuras. Problemas. V: Cuerpos poliedros y redondos (espacio en tres dimensiones) Poliedros. Elementos. Clasificación: prismas, pirámides y poliedros regulares. Redondos. Elementos. Clasificación: cilindro, cono y esfera. Superficie lateral y total. Cálculo. Volumen de un cuerpo: concepto. Unidades de medida de volumen (S.I.M.E.L.A): múltiplos y submúltiplos. Reducciones. Cálculo de volumen de un cuerpo. Relación entre las unidades de medida de volumen y capacidad. Unidades de medida de capacidad y peso (S.I.M.E.L.A). Problemas.

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I. Números racionales no negativos.

DIVISIBILIDAD Y CONTEO EN EL CONJUNTO DE LOS NATURALES

¿Jugamos?

Juega con un compañero a eliminar “los parientes”

Reglas: 1) El primer jugador tacha en el tablero un número par. 2) A continuación y por turno, cada jugador debe tachar un número pariente (un múltiplo o divisor) del número que ha elegido su compañero y que no haya sido aún tachado. 3) Si un jugador elimina un número que no es pariente y el contrario lo descubre, la jugada no tiene validez y el jugador pierde. 4) Cuando un jugador no encuentra ningún número que suprimir, pierde la partida.

Ejercicios y problemas

1) Tomás quiere vallar una parcela rectangular que mide 52 metros de largo y 40 metros de ancho colocando estacas a igual distancia unas de otras. ¿Cuál será la mayor distancia en metros entre las estacas? ¿Cuántas tendrá que poner? 2) Agustín, Juan y Lito son viajantes de comercio y se encontraron en San Javier el 12 de marzo de este año. Agustín viaja a San Javier cada 24 días, Juan lo hace cada 20 días y Lito cada 30 días. ¿En qué fecha se encontrarán nuevamente en San Javier?

Sugerencia: Repasa los procedimientos posibles para hallar: -Múltiplo común menor (m.c.m) entre dos o más números naturales -Divisor común mayor (d.c.m) entre dos o más números naturales.

3) Dado el número 2 ⋅ 3 ⋅ 7 , ¿cuántos divisores tiene? Enuméralos. 2

4) La empresa Ford fabrica durante este trimestre dos modelos de autos en promoción: Ka y Fiesta. Cada uno de estos modelos viene Standard y full. Todos los autos se presentan en tres colores: blanco, azul y gris. ¿Cuántas opciones tiene un comprador que elige esta promoción? Justifica tu respuesta. 5) Con los dígitos 1, 2, 3 y 9, sin repetirlos, forma todos los números de cuatro cifras que sean múltiplos de 6.

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6) La mamá de Ariel tiene entre 90 y 100 fotos que decidió colocar en un álbum. Si pone 3 por página, le quedan sólo 2 para la última página y si pega 4 por página, también le quedan 2 para la última página. ¿Cuántas fotos tiene? 7) ¿Por qué cifra hay que sustituir m para que el número 3m7m sea divisible por 3 siendo m par? 8) En la cantina de una escuela, se ofrece un menú que incluye un plato principal, una bebida y un postre. Como plato principal, se puede elegir milanesas con papas fritas, arroz con pollo, ravioles con salsa o canelones. Entre los postres, se puede optar por flan, mousse de chocolate o ensalada de frutas. Para beber, se ofrece agua mineral o gaseosa. José, que siempre almuerza en esa cantina, decidió comer los días hábiles una combinación diferente del menú. ¿Después de cuántos días hábiles José tendrá que repetir la elección del menú? 9) ¿Verdadero o Falso? Revisa los criterios de divisibilidad antes de responder. a-10 es divisor de 93410 e-2 es divisor de 980 b-5 divide a 93410 f- 150 es divisible por 6 c- 93410 es divisible por 3 g-927330 es divisible por 4 d-624 es múltiplo de 6 10) ¿Cuál es el menor número natural por el que debes multiplicar 124 para obtener un número cuadrado? Justifica. 11) Durante media hora suenan tres campanas en una iglesia. Una campana suena dando un repique cada 10 segundos, otra, cada 2 segundos y una tercera campana, cada 24 segundos. Si dan el primer golpe simultáneamente, a)¿cuánto tiempo deberá pasar para que vuelvan a coincidir los repiques? b)¿cuántas veces suenan juntas las tres campanas en esa media hora? 12) Luis, Martín y Alejandro descargan un camión que contiene 6535 ladrillos. Si la tarea se realiza cíclicamente comenzando Luis, siguiendo Martín y luego Alejandro; y si cada vez Luis descarga 6 ladrillos, Martín 5 y Alejandro 4, ¿quién descarga los últimos ladrillos del camión?

Para tener en cuenta: Los números cuadrados son aquellos números naturales que resultan de elevar al cuadrado otro número natural. Por ejemplo, son números cuadrados: 2 1=1 2 4=2 2 9=3 2 2 2 16 = 4 = 2 . 2 2 25 = 5 2 2 2 36 = 6 = 2 .3 ...

13) En la ciudad de Santa Fe, Anibal conoció a una chica el fin de semana. Ella le dio su número de teléfono celular, pero él perdió el papel donde lo anotó. Se acuerda que las cifras que conforman dicho número telefónico son: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, pero no se acuerda en qué orden. ¿Cuántos números diferentes deberá marcar si le interesa mucho volver a contactarse con ella?

¿Reflexionamos?

Revisa los ejercicios y problemas que has resuelto hasta el momento. ¿Te animas a escribir qué contenidos del programa has utilizado para resolverlos? Recuerda que el programa se encuentra en la página 9.

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FRACCIONES

Recuerda:

Ejercicios y problemas

La expresión

14) ¿Qué parte de cada figura representa la región pintada? Indica una fracción que la representa.

a es b

una fracción no negativa, si a es un número natural o cero y b es un número natural.

Una fracción no negativa es una forma de expresar un número racional no negativo. Un número racional no negativo es el cociente entre un número natural o cero y otro número natural.

Completa

Observa los gráficos, compáralos, completa los numeradores y denominadores de las fracciones según corresponda.

¿Cuál o cuáles de las fracciones anteriores son equivalentes a

2 ? ¿Por qué? 4

..................................................................................................... ¿Cuál es irreducible? ¿Por qué? ................................................................ Escribe otras tres fracciones equivalentes a las dadas. ............................................................................................... ¿Qué procedimiento realizaste para obtenerlas? ................................................................................

Relaciona las palabras: simplificación, amplificación, fracción equivalente, fracción irreducible, completando el siguiente texto:

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Es posible obtener una ………………………….......a otra fracción dada, mediante los procesos de …………………………….. y …………………… Para obtener la.......................................equivalente a una dada se debe aplicar el proceso de simplificación.

¿Jugamos?

Juega al “Laberinto de Fracciones” y descubre la frase escondida. Sólo puedes transitar por fracciones que estén en su expresión irreducible (los movimientos sólo pueden ser horizontales o verticales).

Ejercicios y problemas

15) Indica tres fracciones que representen la región sombreada.

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¿Reflexionamos?

Un jugador de básquet ha encestado 3 veces de 4 tiros mientras otro logró 5 veces de 6. Un periodista dijo que los dos tuvieron igual rendimiento porque erraron uno del total. a)¿Estás de acuerdo con su opinión? ¿Por qué? b) Suponiendo que ambos jugadores mantienen sus respectivos rendimientos, ¿cuántos tiros encestarán cada uno de 24? c) Expresa mediante fracciones el rendimiento de cada jugador en ambas situaciones.

Conclusión: Las fracciones con igual denominador facilitan su comparación. Basta sólo comparar sus numeradores

Ejercicios y problemas

16) Señala con una cruz los dibujos en los que la parte pintada corresponda a

1 del dibujo. 4

17) Dibuja en cada caso cómo puede ser el entero si:

a)

representa

1 3

b)

representa

3 4

c)

representa

4 5

d)

representa

1 6

Sugerencia:

18) ¿Es lo mismo comer la mitad de un cuarto de torta que un cuarto de la mitad de la torta? Justifica tu respuesta.

19) a) ¿Qué fracción de la semana representan 4 días? b) ¿Qué porcentaje del día constituyen 6 horas? Escuela Industrial Superior

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Para el 19(b) puedes buscar una fracción equivalente de denominador 100. Ejemplo: 18 representa el 36% de 50 porque

18 = 36 = 36% 50 100

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c) ¿Cuántos décimos entran en

1 ? 2

20) Completa con el signo > o