26/04/2015

ASIGNATURA: Robótica UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID TEMA: Cinemática Diferencial Profesor: Miguel Hernando Gutiérrez & Cecilia García Cena E.U.I.T. Industrial

Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática Área: Ingeniería de Sistemas y Automática Departamento de Electrónica Automática e Informática Industrial Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial

Robótica Tema 6. Modelo Cinemático Diferencial

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Resumen En este tema se desarrolla el modelo cinemático diferencial del robot que permite, entre otras cosas, encontrar la relación entre las velocidades articulares y la velocidad (lineal y angular) del extremo operativo del robot. Esta transformación se logra a través de la denominada Matriz Jacobiana del robot. Esta matriz permite además obtener conclusiones sobre el espacio i de d trabajo t b j reall del d l robot b t y de d las l posiciones i i singulares i l del mismo.

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Objetivos 1. Conocer los métodos matemáticos para la obtención del modelo cinemático diferencial.

2. Adquirir destreza en la obtención de dicho modelo.

3. Conocer las configuraciones singulares del robot y calcularlas.

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Contenido 6.1 6.2 63 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Justificación Definición del Espacio de Trabajo Definición y Calculo del Jacobiano Definición de Configuraciones Singulares La Jacobiana y las fuerzas estáticas Cinemática diferencial inversa Manipulabilidad. Elipsoides de velocidad y fuerza

Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: 1852332212 [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN 0201543613

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6.1 Justificación En robótica es de interés encontrar la relación a entre las coordenadas articulares y la posición espacial del extremo operativo (modelo cinemático directo) y además: o La relación entre las velocidades articulares y las velocidades del extremo operativo, esto es:

⎡v⎤ ⎢ω ⎥ ⇔ q&i ⎣ ⎦ o La relación entre las fuerzas aplicadas por el extremo operativo del robot en el entorno con los pares o torques articulares, es decir:

⎡f⎤ ⎢ n ⎥ ⇔ τi ⎣ ⎦ Estas dos relaciones están basadas en un operador lineal matricial denominado Jacobiano del Robot

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6.1 Justificación La Matriz Jacobiana se utiliza con varios objetivos: 1. Definir la relación entre las velocidades articulares y las velocidades alcanzables en el espacio de trabajo del robot. 2. Definir la relación entre pares y fuerzas. 3. Estudiar las configuraciones singulares. 4. Definir métodos numéricos para el cálculo de la cinemática inversa. 5. Estudiar las propiedades de manipulabilidad del robot.

Previo al cálculo numérico de la matriz Jacobiana, debemos definir varios conceptos. 6

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Contenido 6.1 6.2 6.3 63 6.4 6.5 6.6 6.7

Justificación Definición del Espacio de Trabajo Definición y Calculo del Jacobiano Definición de Configuraciones Singulares La Jacobiana y las fuerzas estáticas Cinemática diferencial inversa Manipulabilidad. Elipsoides de velocidad y fuerza

Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: 1852332212 [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN 0201543613

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6.2 Definición de Espacio de Trabajo El Espacio de Trabajo del robot se define como la región descrita por el origen del sistema de referencia del efector final cuando todas las articulaciones del robot realizan todos los posibles movimientos. Suele distinguirse entre • Espacio de Trabajo Alcanzable • Espacio de Trabajo Diestro Se define como Espacio de Trabajo Diestro al volumen que el origen del sistema de referencia del efector final genera cuando realiza diferentes orientaciones En otras palabras, orientaciones. palabras en cada punto del espacio de trabajo diestro, el efector final puede orientarse arbitrariamente. Se define como Espacio de Trabajo Alcanzable es el volumen de espacio que puede alcanzar el robot en por lo menos una orientación.

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6.2 Definición de Espacio de Trabajo El espacio de trabajo se caracteriza por la geometría manipulador y los límites mecánicos de las articulaciones. El espacio de trabajo del robot sin considerar la muñeca viene dado por el fabricante. Para un manipulador de n-DOF, el espacio de trabajo alcanzable es el lugar geométrico de los puntos que se pueden lograr a través de la solución de la cinemática directa del robot.

pe = pe ( q )

qi _ min ≤ qi ≤ qi _ max

Este volumen es finito, cerrado y conectado, y además como,

pe ( q ) es una función continua, el volumen descrito es una superficie planar, esférica, cilíndrica o toroidal dependiendo de si la junta es de revolución o prismática. 9

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Contenido 6.1 6.2 63 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Justificación Definición del Espacio de Trabajo Definición y Calculo del Jacobiano Definición de Configuraciones Singulares La Jacobiana y las fuerzas estáticas Cinemática diferencial inversa Manipulabilidad. Elipsoides de velocidad y fuerza

Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: 1852332212 [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN 0201543613

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano La cinemática diferencial relaciona las velocidades articulares con la velocidad angular y lineal del extremo operativo o efector final. Esta relación está dada por una matriz, denominada Matriz Jacobiana Geométrica, que depende exclusivamente de la configuración del robot. Si el cálculo de la matriz Jacobina se realiza a través de la diferenciación del modelo cinemático directo, se le denomina Matriz Jacobiana Analítica

6.3.1 Jacobiana Analítica Si partimos de las ecuaciones del modelo cinemático directo:

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano El cálculo se obtiene por derivación directa de estas ecuaciones. Notese que la orinetación podría darse tanto con los términos de la matriz de orientación, como por cuaternios, o una terna de angulos de Euler (lo más habitual).

6.3.2 Jacobiana Geométrica Sea T la ecuación del modelo cinemático directo:

⎡ R ( q ) p ( q )⎤ T=⎢ ⎥ 1 ⎦ ⎣ 0 12

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Jacobiana Geométrica (cont) La velocidad lineal

y angular

del extremo final viene dada por por:

O bien:

J=

∂f r ( q ) ∂q

∈ℜ6×n

Jacobiana geométrica 13

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Jacobiana Geométrica (cont) Por lo tanto tanto, la velocidad lineal viene dada por por:

⎡n x ox a x ⎢ n ⎡oR ap ⎤ y T ⎢ 0y 1y ⎥ T=⎢ = ⎢ n z ⎣o z a z ⎦ ⎢ 0 ⎣

px ⎤ p y ⎥⎥ pz ⎥ ⎥ 1⎦

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Jacobiana Geométrica (cont) El cálculo de la velocidad angular no es tan directo directo. Para obtener la relación de la velocidad angular (ωx, ωy, ωz) con las velocidades articulares, se considerará la submatriz (3 X 3) de rotación R

⎡n x ox a x px ⎤ ⎢ n o⎡ Ra p ⎤p ⎥ y T=⎢ T = ⎢y y ⎥ y ⎥ ⎢ n z oz 0 a z 1 pz ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ 0 1⎦ ⎣

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Jacobiana Geométrica (cont) Si d R es una matrizde Siendo t i d giro i ortonormal t l se cumple l que:

Derivando la expresión anterior:

Se define

Ω

como:

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Jacobiana Geométrica (cont) Si parametrizamos la matriz Ω , anti simétrica, de la siguiente forma:

⎡ 0 ⎢ Ω = ⎢ ωz ⎢ −ωy ⎣

−ωz 0 ωx

ωy ⎤ ⎥ −ωx ⎥ 0 ⎥⎦

Se observa que es una representacion matricial del producto vectorial de un vector velocidad angular por otro vector. Por lo tanto, para obtener las velocidades angulares (ωx, ω y, ω z) a partir de las velocidades articulares (q1,q2,….,qn) , debe calcularse la derivada de R tal como se ha indicado, y por identificación obtener la velocidad angular en base a la matriz Ω.

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Ejemplo: Cálculo de la Matriz Jacobiana del robot SCARA

⎡c124 ⎢s T = 0 A 4 = ⎢ 124 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

s124 −c124 0 0

0 l3c12 + l2 c1 ⎤ 0 l3s12 + l2s1 ⎥⎥ −1 −l4 + q 3 + l1 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Ejemplo: Cálculo de la Matriz Jacobiana del robot SCARA

⎡c124 ⎢s T = 0 A 4 = ⎢ 124 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

s124 −c124 0 0

0 l3 c12 + l 2 c1 ⎤ 0 l3s12 + l 2 s1 ⎥⎥ −1 −l4 + q 3 + l1 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦

⎡− ( l3s12 + l2 s1 ) −l3s12 ⎢ l3c12 J P = ⎢ l3 c12 + l2 c1 ⎢⎣ 0 0

0 0⎤ ⎥ 0 0⎥ 1 0 ⎥⎦

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Ejemplo: Cálculo de la Matriz Jacobiana del robot SCARA

⎡c124 ⎢s 0 T = A 4 = ⎢ 124 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

s124 −c124 0 0

⎡c124 R = ⎢⎢ s124 ⎢⎣ 0

0 l3 c12 + l 2 c1 ⎤ 0 l3s12 + l 2 s1 ⎥⎥ −1 −l4 + q 3 + l1 ⎥ ⎥ 0 1 ⎦

s124 −c124 0

0⎤ 0 ⎥⎥ −1⎥⎦

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Ejemplo: Cálculo de la Matriz Jacobiana del robot SCARA ⎡c124 R = ⎢⎢ s124 ⎢⎣ 0

s124 −c124 0

0⎤ 0 ⎥⎥ −1⎥⎦

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Ejemplo: Cálculo de la Matriz Jacobiana del robot SCARA

⎡ 0 ⎢ Ω = ⎢ ωz ⎢ −ωy ⎣

−ωz 0 ωx

ωy ⎤ ⎡ 0 −1 0 ⎤ ⎥ −ωx ⎥ = ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦

⎡0 0 0 0 ⎤ J 0 = ⎢⎢0 0 0 0 ⎥⎥ ⎢⎣1 1 0 1 ⎥⎦

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.2 Ejemplo: Cálculo de la Matriz Jacobiana del robot SCARA

⎡ ( l3s12 + l2s1 ) −l3s12 ⎡− ⎢ J P = ⎢ l3c12 + l2 c1 l3 c12 ⎢⎣ 0 0

0 0⎤ ⎥ 0 0⎥ 1 0 ⎥⎦

⎡0 0 0 0 ⎤ J 0 = ⎢⎢ 0 0 0 0 ⎥⎥ ⎢⎣1 1 0 1 ⎥⎦

⎡ − ( l3s12 + l2 s1 ) −l3s12 ⎢ l3c12 ⎢ l3c12 + l2 c1 ⎢ 0 0 J=⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ 1 1 ⎣⎢

0 0 1 0 0 0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎦⎥

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.3 Computo geométrico del Jacobiano Observando la jacobiana se puede ver que cada articulación contribuye de forma independiente al movimiento del extremo. Considerando solo su posición:

Si la articulación i es prismática entonces (dado D-H):

Si la articulación i es angular entonces :

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.3 Computo geométrico del Jacobiano

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.3 Computo geométrico del Jacobiano En cuanto a la velocidad angular, solo las angulares aportarán:

Siendo

cero para las prismáticas y

para las angulares

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6.3 Definición y Cálculo del Jacobiano 6.3.3 Computo geométrico del Jacobiano Resumiendo, teniendo las matrices A p para un q determinado, una forma de calcular la Jacobiana geométrica es:

Donde cada columna i se puede calcular como: Si es prismática:

Si es rotacional:

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Contenido 6.1 6.2 63 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Justificación Definición del Espacio de Trabajo Definición y Calculo del Jacobiano Definición de Configuraciones Singulares La Jacobiana y las fuerzas estáticas Cinemática diferencial inversa Manipulabilidad. Elipsoides de velocidad y fuerza

Bibliografía [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: 1852332212 [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN 0201543613

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6.4 Singularidades La matriz Jacobiana define un mapeo lineal entre velocidad de extremo operativo del robot y las velocidades articulares

En aquellos valores de q donde se cumple que:

rang ( J ) < n

det ( J ) = 0

Se dice que es una configuración cinemática singular

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6.4 Singularidades Determinar las configuraciones singulares es de gran interés debido a:

1) Las singularidades representan configuraciones en las que la movilidad de la estructura se reduce, es decir, no es posible imponer un movimiento arbitrario al efector final. 2) Cuando el robot está en una configuración singular, la cinemática inversa tiene infinitas soluciones. 3) EEn las l proximidades i id d de d una configuración fi ió singular, i l velocidades l id d muy bajas b j del d l extremo operativo se traducen en velocidades articulares demasiado elevadas.

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6.4 Singularidades 6.4.1 Clasificación de las Singularidades Singularidades de Contorno Son aquellas en la que el robot adopta o bien una postura totalmente extendida o bien totalmente retraída. Estas singularidades no son “peligrosas” ya que son evitables no llevando el manipulador a los extremos de su espacio de trabajo alcanzable. Singularidades Internas Se producen en el interior del espacio de trabajo accesible y son generalmente causada por la alineación de dos o más ejes de movimiento, o bien por la consecución de determinadas configuraciones del efector final. A diferencia de las de contorno, estas singularidades constituyen un problema grave, ya que pueden ser encontradas en cualquier lugar del espacio de trabajo accesible.

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6.4 Singularidades Singularidades de contorno

Si Singularidad l id d iinterna t

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6.4 Singularidades Singularidad debida all alineamiento de li i t d los ejes 4 y 6

Singularidad de Contorno

La junta esférica pierde movilidad debido al alineamiento con el eje 1.

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6.4 Singularidades 6.4.1 Desacoplo de Singularidades Debido a la alta complejidad de cálculo que requiere el cómputo de las singularidades, se divide el problema en dos: 1. Hallar las singularidades del brazo robótico. 2. Hallar las singularidades del extremo operativo

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6.4 Singularidades 6.4.1 Desacoplo de Singularidades p j q p Debido a la alta complejidad de cálculo q que requiere el cómputo de las singularidades, se divide el problema en dos: 1. Hallar las singularidades del brazo robótico. 2. Hallar las singularidades del extremo operativo Si se escoge como origen del sistema de referencia del efector final el centro de rotación de la muñeca (ejes 4, 5 y 6), la matriz Jacobiana resulta ser triangular inferior, es decir:

⎡J J = ⎢ 11 ⎣ J 21

0 ⎤ J 22 ⎥⎦

⇒

det ( J ) = J11J 22

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6.4 Singularidades 6.4.1 Desacoplo de Singularidades

⎡J J = ⎢ 11 ⎣ J 21

0 ⎤ J 22 ⎥⎦

det ( J11 ) det ( J 22 )

⇒

d t ( J ) = J11J 22 det

Singularidades del brazo robótico

Singularidades del extremo operativo

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6.4 Singularidades 6.4.2 Ejemplo. Singularidad del robot Scara Para calcular las singularidades de un Scara utilizamos la Jacobiana vinculada a la velocidad lineal del robot prescindiendo del cuarto grado de libertad:

⎡−( l(3ls312s12+ l+2sl12)s1 )−l3s−12l3s120 00⎤⎤ ⎡− ⎢⎢ ⎥⎥ l2 cl12 c1 l3c12l3 c120 00⎥ J PP ==⎢ l3lc312c12+ + ⎢ ⎥ ⎢⎣⎢ 00 0 0 1 01⎥⎦⎥ ⎣ ⎦

⎡⎣ l3c12 ( l3s12 + l2s1 ) + l3s12 ( l3c12 + l2 c1 ) ⎤⎦ J = − ⎡− J =0

⇒

l3c12 ( l3s12 + l2s1 ) = l3s12 ( l3c12 + l2 c1 ) ⎧0 q2 = ⎨ ⎩π

∀

q1

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6.4 Singularidades La Figura muestra el resultado de intentar realizar con un robot tipo SCARA, una trayectoria en línea recta a velocidad constante que pasa por una configuración singular.

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Contenido 6.1 Justificación 6.2 Definición del Espacio de Trabajo 6.3 6 3 Definición y Calculo del Jacobiano 6.4 Definición de Configuraciones Singulares 6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas 6.6 Cinemática diferencial inversa 6.7 Manipulabilidad. Elipsoides de velocidad y fuerza

Bibliografía g [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: 1852332212 [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN 0201543613

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6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas • Por consideraciones estáticas, pares y fuerzas en el extremo deben equilibrarse con los pares y fuerzas articulares. •Sea el vector de fuerzas y pares realizado por el extremo y los pares y fuerzas realizados por cada articulación :

•Considerando el trabajo virtual realizado visto por consideraciones del extremo debe ser igual g al trabajo j visto por p el movimiento articular,, se cumple: p

• Expresado en términos de potencia instantánea entregada:

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6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas • Que expresado en términos de la jacobiana:

• Que nos dice que la traspuesta de la Jacobiana establece la relación entre los pares y fuerzas del extremo con los pares y fuerzas articulares

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Contenido 6.1 Justificación 6.2 Definición del Espacio de Trabajo 6 3 Definición y Calculo del Jacobiano 6.3 6.4 Definición de Configuraciones Singulares 6.5 La Jacobiana y las fuerzas estáticas 6.6 Cinemática diferencial inversa 6.7 Manipulabilidad. Elipsoides de velocidad y fuerza

Bibliografía g [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: 1852332212 [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN 0201543613

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6.5 Cinemática Diferencial Inversa • Se basa en el cálculo de la inversa de la matriz Jacobiana. • Permite calcular las velocidades articulares a partir de la velocidad del extremo operativo. • La solución a este problema permite transformar las especificaciones de movimiento asignado al efector final en el espacio operacional, en los movimientos espaciales articulares que permiten la ejecución del movimiento deseado: Si rang ( J ) = n

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6.6 Cinemática Diferencial Inversa Si la matriz Jacobina no tiene inversa , por lo que el cálculo debe realizarse a través de las matrices pseudo-inversas Propiedades de las pseudo-inversas:

J †JJ † = J † JJ † J = J

( JJ ) = JJ (J J) = J J (J ) = J (J ) = (J ) † T

†

T

†

†

† †

† T

T †

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6.6 Cinemática Diferencial Inversa Si la matriz Jacobiana inversa por la izquierda, nos dará los valores de q que minimizan por mínimos cuadrados la solución La pseudoinversa por la izquierda se define como: Siendo n el número de gdl, y m el espacio de trabajo. La cual cumple que:

Por tanto:

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6.6 Cinemática Diferencial Inversa Si se usa la matriz Jacobiana inversa por la derecha. Es un caso de redundancia, y el menor desplazamiento en q de los infinitos posibles valores de q que minimizan por mínimos cuadrados la solución es lo que se obtiene: bi La pseudoinversa por la derecha se define como: Siendo n el número de gdl, y m el espacio de trabajo. La cual cumple que: Se puede demostrar que:

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Contenido 6.1 Justificación 6.2 Definición del Espacio de Trabajo 6.3 6 3 Definición y Calculo del Jacobiano 6.4 Singularidades 6.5 Cinemática Diferencial Inversa 6.6 Cinemática diferencial inversa 6.7 Manipulabilidad. Elipsoides de velocidad y fuerza

Bibliografía g [1] Modelling and Control of Robot Manipulator. Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. ISBN: 1852332212 [2] Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Jhon Craig. Addison Wesley. ISBN 0201543613

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6.7 Manipulabilidad Considere que el vector de velocidad articular cumple con:

9 Esta ecuación describe los puntos de una esfera en el espacio de las velocidades articulares. 9 Sería muy útil poder describir los puntos de velocidad cartesiana alcanzable por el manipulador cuando las velocidades articulares son puntos de dicha esfera.

v T ( J †T J † ) v = 1

pero J † = J T ( JJ T )

−1

Entonces:

v T ( JJ T ) v = 1 −1

Elipsoide

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6.7 Manipulabilidad El elipsoide de manipulabilidad es una medida de cuán lejos estamos de una singularidad y cuánta amplitud de movimiento es posible realizar desde una postura. Gran amplitud de movimiento Baja amplitud de movimiento

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6.7 Manipulabilidad El radio mayor y menor del elipsoide de manipulabilidad está determinado por el mayor y menor autovalor de la matriz J·J T respectivamente, dado que viene −1 determinado por la inversa de los autovalores, pero λi ( A ) = 1 / λi ( A) Si λ1 es el mayor autovalor y λn el menor, se define el número de condición del elipsoide a la relación siguiente: v1

k=

λ1 λn

λ1

λ2

v2

Cuando más próximo sea este valor a la unidad, más isotrópico es el elipsoide, esto es:

Elipsoide ISOTROPICO

Elipsoide NO ISOTROPICO

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6.7 Manipulabilidad Se define la manipulabilidad de un robot como:

m ( q ) = det ( J ( q ) J T ( q ) )

Algunas particularidades ….. 9 m(q) es conocido como índice de Yoshikawa. 9m(q) está dada por el producto de los valores singulares de la matriz J. 9m(q) toma valores cercanos a cero cuando el robot se aproxima a una singularidad. l 9m(q) es maximizado en configuraciones isotrópicas. 9 m(q) es una medida del volumen del elipsoide

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6.7 Manipulabilidad Elipsoide de Manipulabilidad de Fuerzas:

τ

Considere ahora que los pares articulares están dados por: Se define una esfera en el espacio articular del siguiente modo:

τT τ = 1 Por otro lado sabemos que:

τ = JTF

Sustituyendo,

(J F)

O bien:

F T ( JJ T ) F = 1

T

T

JTF = 1

Elispoide de manipulabilidad de fuerzas

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6.7 Manipulabilidad Los ejes principales del elipsoide de manipulabilidad de fuerzas están dados por los autovalores y autovectores de la matriz:

( JJ )

T −1

Los autovectores de

( JJ )

T −1

son los mismos que los de

( JJ ) T

Sin embargo los autovalores son recíprocos, es decir:

λif =

1

λvi

Por lo tanto el eje mayor del elipsoide de velocidad será el eje menor del elipsoide de fuerza:

ASIGNATURA: Robótica TEMA: Cinemática Diferencial Profesor: Miguel Hernando & Cecilia García Cena

6.7 Manipulabilidad

Elipsoide de Fuerza

Elipsoide de Velocidad Esto se conoce como relación dual fuerza / velocidad • Es posible aplicar los mayores esfuerzos en la misma dirección que su velocidad es menor • Es posible obtener la mayor velocidad en la dirección en la que sólo se pueden aplicar las más pequeñas fuerzas.

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26/04/2015

ASIGNATURA: Robótica TEMA: Cinemática Diferencia Profesor: Miguel Hernando Gutiérrez & Cecilia García Cena

6.7 Manipulabilidad Encuentre el elipsoide de manipulabilidad de velocidad para el robot de 2 DoF en la siguiente posición: ⎛0⎞ λ2 v 2 q=⎜π⎟ ⎝4⎠

⎡ −l s − l s J ( q ) = ⎢ 1 1 2 12 ⎣ l1c1 + l2 c12

⎡ − 12 J (q ) = ⎢ 1 ⎢⎣1 + 2 J (q ) J (q )

T

−

1 2 1 2

⎤ ⎥ ⎥⎦

⎡ 1− λ =⎢ ⎢⎣ −1 + 12

Ejes principales:

λ1 v1

−l 2 s12 ⎤ l 2 c12 ⎥⎦

⎤ ⎥ 2 + 2 − λ ⎥⎦ −1 +

1 2

⎛ - 0.3029 ⎞ ⎟⎟ ⎝ - 0.1568 ⎠

λ1 v1 = ⎜⎜

⎛ - 0.9530 ⎞

⎟⎟ λ2 v2 = ⎜⎜ ⎝ 1.8411 ⎠ 55

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