UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA TALLER DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES. 1. Se extraen sin reposición cuatro fichas de una urna que contiene 6 rojas y ocho blancas. Si X, es la variable que denota el número de fichas rojas extraídas. Construya en una tabla su distribución de probabilidad y representar gráficamente. 2. El jefe de bomberos de un pequeño departamento de voluntarios recopiló datos sobre el número de falsas alarmas que recibieron diariamente en los últimos 360 días. La siguiente tabla presenta una distribución de frecuencias que muestra los resultados. # de falsas alarmas 0 1 2 3 4 5 6 7 Frecuencias. 28 20 80 16 77 24 75 40 a. Construya la distribución de probabilidades para este estudio. b. Dibuje un histograma de la distribución. c. Qué probabilidad hay de que un día determinado haya menos de tres falsas alarmas?. 3. consideremos un experimento que consiste en lanzar cuatro monedas y sea Y, la variable aleatoria que muestra el número de sellos observados. Encuentre la distribución de probabilidad para Y, Haga su representación gráfica. 4. Un vendedor calcula que cada entrevista con un cliente lleva a una venta con probabilidad 0,2. Cierto día entrevista a tres clientes, calcule la distribución de probabilidades del número X de clientes que firman un contrato de ventas. Grafique. 5. Un equipo electrónico contiene seis transistores, dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan dos transistores al azar, se sacan del equipo y se inspeccionan. Sea X, el número de transistores defectuosos observados. Encuentre la distribución de probabilidad de X y grafíquelo. 6. El director de obras públicas de una ciudad ha verificado los registros del municipio para averiguar el número de nevadas que han caído en los últimos 12 años; la tabla siguiente contiene una distribución de frecuencias que resume los resultados. Número de nevados 0 1 2 3 4 5 6 7 Frecuencia 5 1 3 10 8 14 10 9 a. Construya la distribución de frecuencias para este estudio. b. Dibuje esta distribución. c. Qué probabilidad hay de que caigan más de tres nevadas en un año determinado?. De que caigan menos de tres?. 7. Si X, es la variable aleatoria que da el número de chicos en familia con cuatro hijos. Construya una tabla que muestre la distribución de probabilidad. Grafique. 8. El número de clientes que solicitan en una tienda cierto artículo diariamente, tiene un comportamiento probabilístico que se expresa en la siguiente tabla. X 5 4 3 2 1 0 Px  X i  1,000 0,9222 0,6630 0,3174 0,0870 0,0102 En la tienda quedan sólo tres artículos y no se aceptarán más. La tabla dada representa una función de probabilidad o función de distribución. 9. Un llavero contiene 4 llaves de una oficina que son idéntica solo de apariencia. Sólo una abre la puerta de la oficina. Suponiendo que se selecciona una al azar y se prueba. Si esta última no es la llave que corresponde, se selecciona una de las tres que quedan, si esta no es la llave se selecciona una de las dos restantes. Sea X, el número de llaves

que se tiene que probar encuentre la llave que abre la puerta (x = 1,2,3,4). Haga una distribución de probabilidad para X. DISTRIBUCION BINOMIAL: Px  Xi   n Cx pX qn  x

p :prob de éxito, q : prob de fracaso

1. Se ha comprobado que 9 de cada 10, de las familias estado unidenses, tienen por lo menos un televisor. Si se seleccionan aleatoriamente 4 residencias, construya la distribución de probabilidad en que la variable aleatoria X; sea el número de residencias que tengan por lo menos un televisor. Determinar la probabilidad de encontrar una residencia que tenga: a. Exactamente dos televisores. b. Al menos 2 televisores. c. 2 o 3 televisores. 2. Una encuesta en una ciudad particular mostró que 8 de 10 autos, tienen seguro de responsabilidad civil. Si seis autos en esta ciudad se ven involucrados en un accidente, cuál es la probabilidad de que: a. No más de cuatros tengan seguro?. b. Exactamente 3 o 4 tengan seguro?. c. Por lo menos 4 tengan seguros?. 3. Si el 32 % de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que: a. No más de tres sean defectuosos. b. Más de 3 sean defectuosos. c. Ninguno sea defectuoso. d. Todos sean defectuosos. 4. Una empresa que lleva a cabo encuestas entre consumidores por correo, descubrió que 60 de cada 100 familias que reciben un cuestionario lo devuelven. En una encuesta a 20 familias, qué probabilidad hay de que exactamente 13 lo devuelvan? De que lo tomen 16 familias?. 5. Un proceso de manufactura produce piezas defectuosas en forma aleatoria y a una tasa de 0,1. En una muestra de 08 piezas; qué probabilidad hay de que se produzcan: a. 4 o 5 defectuosos?. b. A lo más 5 defectuosos?. c. Por lo menos 5 defectuosos? d. Menos de 2 defectuosos? 6. En un día normal; en un hospital el 30 % de los recién nacidos son varones. En un día particular nacen 6 niños. Qué probabilidad existe de que: a. Cuatro o más niños sean varones?. b. Máximo tres niños sean varones?. c. A lo más tres niños sean varones. 7. El 20 % de los artículos producidos mediante cierto proceso son defectuosos. Si se toma al azar una muestra de 12 artículos, cuál es la probabilidad de que contenga: a. Ninguno defectuoso?. b. Por lo menos 2 no sean defectuoso?. c. A lo más 3 sean defectuosos?. 8. Se sabe que el 40 % de los alumnos de una universidad pierden el primer semestre. Si se toma al azar un grupo de 8 estudiantes. Cuál es la probabilidad de que:

a. Máximo 3 aprueben?. b. Ninguno apruebe?. c. A lo más 4 aprueben?. d. Mínimo 6 aprueben?. 9. Si el 30 % de los estudiantes de la UDES, asisten a clases el día viernes; en una encuesta a 8 estudiantes; cuál es la probabilidad de qué: a. Por lo menos 4 asistan a clases?. b. Exactamente 3 no asistan a clases?. c. Menos de tres asistan a clases?. 10. Se sabe que en una empresa productora de empaques; de 2000 empaques, 800 de ellos son defectuosos. Si se toma una muestra de 6 empaques; cuál es la probabilidad de qué: a. Por lo menos 3 empaques no sean defectuosos?. b. Tres o cuatro sean defectuosos?. c. Mínimo 4 empaques sean defectuosos?. d. Todos sean defectuoso?. DISTRIBUCION DE POISSON.

pX  Xi  

e  x x!

e  2,7182

1. De la producción de envases metálicos de una fábrica se sabe que el 2 % son defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 250 envases: a. Más de 3 sean defectuosos?. b. Tres o cuatro sean defectuosos?. c. Todos no sean defectuosos?. d. Más de cinco pero menos de ocho sean defectuosos?. 2. Si 2 de cada 1000 bombillos fabricados por una empresa son defectuosos. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 2000 bombillos: a. Ninguno sea defectuoso. b. Menos de 2 sean defectuosos. c. Más de tres sean defectuosos. d. Exactamente 2 o 3 sean defectuosos. 3. Si la probabilidad de que un paciente no se recupere de una operación particular es de 0,1. Cuál es la probabilidad de qué: a. Exactamente dos de los siguientes 50 pacientes sometidos no se recuperen?. b. Menos de cuatro pacientes de los 50 sometidos, no se recuperen?. c. 6 o 7 pacientes no se recuperen?. 4. Si la probabilidad de que una persona adquiera la enfermedad como consecuencia de una vacuna contra la misma es 0,0002. Cuál es la probabilidad de que de 20000 vacunados: a. Ninguna la adquiera?. b. Exactamente 4 o 5 la adquieran?. c. Más de 4 la adquieran?. d. Menos de tres la adquieran?. 5. Una compañía de seguros considera que alrededor de cada 10000 personas a una le ocurre cierto tipo de accidentes cada año. La empresa tiene 20000 asegurados contra estos tipos de accidentes. Cuál es la probabilidad de qué: a. Máximo 2 personas sufran accidentes?

b. No más de cuatro personas sufran accidentes?: c. Más de 4 personas, pero menos de 8 sufran accidentes?. 6. Se sabe que en promedio una de cada 2000 casas en cierta zona de Bogotá, se incendian durante el año. Hay 10000 casas en dicha zona. Cuál es la probabilidad de qué: a. Más de 3 casas se incendien?. b. 5 o 6 casas se incendien?. c. Más de 5 pero menos de 8 casas se incendien?. d. Menos de 11 casas se incendien? 7. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa al vacunarse es 0,001 y se inyectan 2000 individuos. Determinar la probabilidad de que sufran reacciones: a. Exactamente 3 personas. b. Más de 2 personas. c. Al menos 4 personas. d. Ninguna persona. DISTRIBUCIÓN NORMAL. Valores tipificado s en Z ,

Z 

xi  



1. Determinar el área bajo la curva normal, dado los siguientes valores de z según el caso: a. Entre –0,25 y 1,35. b. Entre 0,57 y 2,24. c. A la derecha de 0,75. d. A la derecha de –2,46. e. A la izquierda de 1,34. f. A la derecha de –1,29. g. Entre –1,75 y –1,21. h. A la derecha de 2,31 y a la izquierda de –1,45. i. Entre 0 y 2,43. j. Ente –1,39 y 0. k. Entre -0,5 y 2,53. l. A la derecha de Z = -1,34. 2. Encuentre el valor de Z, si el área bajo una curva estándar: a. A la derecha es 0,3510. b. Entre 0 y Z , con Z mayor que cero , es 0,4838. c. A la izquierda es 0,1234. d. Entre –z y z, con z mayor que cero, es 0,9500. 3. Supóngase que los diámetros de los tornillos fabricados por una cierta empresa, están distribuidos normalmente con media 0,25 y desviación estándar 0,02. Un tornillo se considera defectuoso si su diámetro es menor a 0,20 o mayor a 0,28. a. Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un tornillo aleatoriamente de la producción de un día de dicha fábrica, este no sea defectuoso?. b. Cuál debe ser el valor de  , para que la probabilidad de, que el diámetro de los tornillos se encuentren entre 0,22 y 0,28 sea el 0,9596?. 4. Dos estudiantes fueron informados de que habían recibido referencias tipificadas de 0,8 y -0,4 respectivamente, en un examen de estadística. Si sus puntuaciones fueron

90 y 66 respectivamente, hallar la media y desviación típica de las puntuaciones del examen. 5. El gerente de producción de una fábrica de bombillos estima que la vida útil del producto está distribuido normalmente con media 5000 horas. Si además, el gerente estima que hay una probabilidad del 60 % de que las bombillas duren menos de 5586 horas: a. Cuál es la desviación estándar? b. Si un día producen 20000 unidades; cuántas esperamos duren más de 4200 horas?. 6. fardos de tabaco son empaquetados en cajas plásticas, la longitud de los fardos están normalmente distribuidos con media de 5 pulgadas y desviación estándar de 0,04 pulgadas. La longitud interna de las cajas está normalmente distribuida con media 5,1 y desviación estándar 0,03 pulgadas. Qué proporción de veces de la caja será demasiada pequeña?. 7. Si una asignatura se califica de 0 a 100 puntos y al final del curso se observa que las calificaciones están distribuidas normalmente con media 72 y una desviación estándar de 10. a. Si el porcentaje mínimo para aprobar es 60, Cuál debe ser el porcentaje de fracasos?. b. Si el 80 % de los estudiantes de esta asignatura deben ser aprobados, cuál debe ser el puntaje mínimo aprobatorio?. 8. Un conjunto de 30000 observaciones, tienen una distribución normal con media de 480. Si 4000 de ellos están comprendidos entre 470 y 490. Cuál es la desviación estándar, y cuántas observaciones caen entre 460 y 500?. 9. Los estudiantes de cierta universidad tienen cociente intelectual promedio de 110 y varianza 256 al suponer la distribución normal, halle la proporción de estudiantes con cociente intelectual: a. Menor de 100. b. Mayor de 130. c. Menor o igual a 98. d. Entre 95 y 125. 10. Suponga que en una ciudad el peso medio de los hombres es 150 libras, la desviación típica es de 20 libras, y los pesos se distribuyen normalmente. a. Cuál es la probabilidad de que un hombre de la ciudad seleccionado aleatoriamente tenga: menos de 100 libras; más de 180 libras. b. Cuál es el peso para que el 90 % de la población sea menor que dicho peso?. 11. la vida útil de cierta marca de batería para automóvil se admite con distribución normal , con media 38 meses y desviación estándar 2 meses. Si la compañía no desea remplazar más del 5 % de las baterías, ¿Qué tiempo de garantía debe ofrecer ?. 12. Las piezas de pan de centeno distribuidas en las tiendas locales por cierta pastelería tienen una longitud promedio de 30 cms, y una desviación estándar de 2 cms. Al suponer que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿ qué porcentaje de las piezas son: a. De más de 31,7 cms de longitud ?. b. Entre 29,3 y 33,5 cms de longitud ?. c. De una longitud menor que 25,5 cms?.

“CUALQUIER COSA QUE UN HOMBRE IMAGINE, OTRO LA PUEDE HACER REALIDAD. EL INVENTAR ES UN TALENTO DE LA JUVENTAD ASI COMO EL JUZGARLO ES DE LA VEJEZ ” JONATTAN SWIFT. GERMAN ISAAC SOSA MONTENEGRO

Noviembre 08 de 2012.