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Universidad Rey Juan Carlos Escuela Superior de Ciencias Experimentales y Tecnolog´ıa
4
2
0
–2
–4 –2 –1 0 y
1 22
1
–1
0
–2
x
Fundamentos Matem´ aticos de la Ingenier´ıa Ultano Kindel´an Marco Antonio Fontelos
´Indice general Presentaci´ on
16
1.
19
2.
Sistemas de ecuaciones lineales. El m´ etodo de Gauss. Matrices 1.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2.
Resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales: eliminaci´on gaussiana
24
1.3.
Sistemas homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.4.
Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.4.1.
Vectores de n componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.4.2.
Dependencia e independencia lineal
. . . . . . . . . . . . .
34
1.4.3.
Rango de un sistema de vectores . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.5.
Rango de una matriz. Teorema de Rouch´e . . . . . . . . . . . . . .
36
1.6.
Operaciones entre matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.7.
C´alculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.8.
Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.9.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Determinantes
49
2.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.2.
Desarrollo de un determinante a partir de los elementos de una l´ınea
49
2.3.
C´alculo de un determinante mediante operaciones elementales en las filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.4.
Propiedades del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.5.
Aplicaciones del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3
´INDICE GENERAL
4
3.
4.
5.
2.5.1.
Obtenci´on de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . .
54
2.5.2.
C´alculo del rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.5.3.
Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.6.
Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.7.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Espacios vectoriales
61
3.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.2.
Definici´on de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.3.
Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.4.
Bases y dimensi´on de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . .
65
3.4.1.
Sistema generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.4.2.
Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.4.3.
Espacios vectoriales de dimensi´on finita . . . . . . . . . . .
68
3.5.
Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.6.
Ecuaciones param´etricas y ecuaciones impl´ıcitas de un subespacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.7.
Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.8.
Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.9.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Aplicaciones lineales
83
4.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2.
Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.3.
N´ ucleo, imagen y rango de una aplicaci´on lineal . . . . . . . . . . .
87
4.4.
Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.5.
Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.6.
Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.7.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Espacio eucl´ıdeo 5.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103 103
´INDICE GENERAL
6.
7.
5.2.
Bases ortogonales y ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
5.3.
Proyecci´on ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
5.4.
M´etodo de ortonormalizaci´on de Gram - Schmidt . . . . . . . . . .
111
5.5.
Producto vectorial y producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
5.6.
Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
5.7.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
Diagonalizaci´ on de endomorfismos
121
6.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
6.2.
Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
6.3.
Diagonalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.4.
Propiedades de los valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
6.5.
Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
6.6.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
El espacio af´ın eucl´ıdeo
131
7.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
7.2.
Representaci´on de rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
7.2.1.
Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
7.2.2.
Planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
Posiciones relativas de rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
7.3.1.
Paralelismo y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
7.3.2.
Posiciones relativas de dos planos . . . . . . . . . . . . . . .
136
7.3.3.
Posici´on relativa de dos rectas
. . . . . . . . . . . . . . . .
136 138
7.4.
7.3.4. Posici´on relativa de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . ´ Angulos y distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.
Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
7.6.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
7.3.
8.
5
M´ etodos num´ ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales 8.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
145 145
´INDICE GENERAL
6
8.2.
Algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . .
147
8.2.1.
Algoritmo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
8.2.2.
Algoritmo de Gauss con pivote parcial . . . . . . . . . . . .
148
8.2.3.
N´ umero de operaciones del m´etodo de Gauss . . . . . . . .
150
8.2.4.
Algoritmo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
8.2.5.
N´ umero de operaciones del m´etodo de Gauss-Jordan . . . .
152
El m´etodo LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
8.3.1.
Factorizaci´on LU de una matriz cuadrada . . . . . . . . . .
154
8.3.2.
Aplicaci´on de la factorizaci´on LU a la resoluci´on de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Algoritmo del m´etodo LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
8.4.
Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
8.5.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
8.3.
8.3.3.
9.
L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
163
9.1.
Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
9.2.
Concepto de funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
9.3.
L´ımites de funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . .
166
9.4.
Continuidad de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . .
173
9.5.
Definici´on de funci´on derivable y propiedades b´asicas . . . . . . . .
174
9.6.
Tabla de derivadas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . .
178
9.7.
Derivaci´on de funciones definidas impl´ıcitamente y param´etricamente 180
9.8.
Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
9.9.
Reglas de L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
9.10. F´ormula de Taylor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
9.11. Extremos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
9.12. Estudio global de la gr´afica de una funci´on . . . . . . . . . . . . . .
187
9.13. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
9.14. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
´INDICE GENERAL
7
10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables 10.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n
10.2. Bolas, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en lR
197 197
. . . . . . . .
198
10.3. L´ımites de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . .
199
10.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
10.5. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . .
202
10.6. Diferenciabilidad y diferencial de una funci´on de varias variables . .
203
10.7. Condiciones suficientes de diferenciabilidad y continuidad . . . . . .
207
10.8. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
10.9. Derivadas direccionales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . .
210
10.10. F´ormula de Taylor y extremos de funciones de n variables . . . . .
211
10.11. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
10.12. Diferencial de una funci´on compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
10.13. Algunas aplicaciones a la ingenier´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
10.14. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
10.15. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
11. Integraci´ on de funciones de una variable
233
11.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
11.2. Primitivas (o antiderivadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
11.3. Integral de Riemann de funciones de una variable . . . . . . . . . .
234
11.4. El teorema fundamental del c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
11.5. Repaso de reglas b´asicas de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . .
238
11.5.1. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
11.5.2. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239
11.5.3. Integraci´on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
11.6. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
11.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
12. Integraci´ on de funciones de varias variables 12.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245 245
´INDICE GENERAL
8
12.2. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
12.2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
2
12.2.2. Rect´angulos en lR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
12.2.3. Integral doble sobre un rect´angulo . . . . . . . . . . . . . .
246
12.2.4. Integral doble sobre un dominio no rectangular . . . . . . .
248
12.2.5. Algunas propiedades de la integral doble . . . . . . . . . . .
251
12.2.6. Cambio de variables en la integral doble . . . . . . . . . . .
252
12.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
12.3.1. Paralelep´ıpedos y particiones de paralelep´ıpedos en lR3 . . .
253
12.3.2. Integral triple de Riemann sobre un paralelep´ıpedo . . . . .
254 3
12.3.3. Integral triple de Riemann sobre un dominio cualquiera de lR 255 12.3.4. Propiedades de la integral triple de Riemann . . . . . . . .
256
12.3.5. Cambio de variables en la integral triple . . . . . . . . . . .
257
12.4. Aplicaciones de las integrales triples y dobles . . . . . . . . . . . . .
258
12.4.1. Valor medio de una funci´on en un dominio . . . . . . . . .
258
12.4.2. Centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
12.4.3. Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
12.5. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
12.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
13. C´ alculo vectorial
263
13.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
13.2. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
13.3. Gradiente, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
13.4. Integral curvil´ınea. Circulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 13.5. Integrales de superficie. Area de una superficie . . . . . . . . . . . .
266 269
13.6. Flujo de un campo vectorial. Teoremas integrales del an´alisis vectorial 270 13.7. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
13.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias 14.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275 275
´INDICE GENERAL
9
14.2. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
14.2.1. Tipos de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
14.2.2. Orden y grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
14.2.3. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
277
14.2.4. Soluciones de una EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
14.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden . . . . . . . . .
279
14.3.1. Distintas expresiones de las ecuaciones de primer orden . .
279
14.3.2. Resoluci´on de diferentes tipos de ecuaciones de primer orden
280
14.4. Resoluci´on de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
14.4.1. Ecuaci´on lineal homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
14.4.2. Ecuaci´on lineal no-homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
14.4.3. Ecuaciones lineales homog´eneas de coeficientes constantes .
290
14.4.4. C´alculo de una soluci´on particular de la ecuaci´on no-homog´enea 292 14.5. Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . .
294
14.5.1. Aplicaciones a la cin´etica qu´ımica . . . . . . . . . . . . . .
294
14.5.2. Aplicaciones a las desintegraciones nucleares . . . . . . . .
295
14.5.3. Aplicaciones a la ecolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
14.5.4. Problemas de mec´anica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
14.5.5. Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
14.5.6. Aplicaciones m´as avanzadas de las ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
14.6. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
14.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
15. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
309
15.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
15.2. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
15.3. Sistemas lineales homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
15.4. Sistemas lineales no homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
15.5. Sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . .
314
15.5.1. Soluci´on en el caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
´INDICE GENERAL
10
15.5.2. Soluci´on en el caso n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
15.6. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
15.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
16. T´ ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´ erico
319
16.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
16.2. Interpolaci´on de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
16.3. Acotaci´on del error de interpolaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321
16.4. F´ormula de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322
16.5. Derivaci´on num´erica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
16.6. F´ormulas de derivaci´on num´erica de tipo interpolatorio . . . . . . .
325
16.7. Integraci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326
16.8. F´ormulas de integraci´on num´erica de tipo interpolatorio . . . . . .
327
16.9. F´ormulas m´as usuales de integraci´on num´erica . . . . . . . . . . . .
328
16.9.1. F´ormulas construidas sobre un soporte de un punto . . . .
328
16.9.2. F´ormulas construidas sobre un soporte de dos puntos . . .
329
16.10. F´ormulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
16.10.1. F´ormulas de Newton-Cotes cerradas . . . . . . . . . . . . .
331
16.10.2. F´ormulas de Newton-Cotes abiertas . . . . . . . . . . . . .
332
16.11. F´ormulas de integraci´on num´erica de tipo interpolatorio compuestas
332
16.12. Resoluci´on num´erica de problemas de valor inicial para EDOs . . .
333
16.12.1. El m´etodo de Euler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
16.12.2. Regla del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
16.12.3. M´etodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
16.13. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
16.14. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
336
17. M´ etodos num´ ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones no lineales
349
17.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
17.2. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
17.3. Caso de una u ´nica ecuaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352
´INDICE GENERAL
11
17.3.1. M´etodos de aproximaciones sucesivas (o del punto de fijo) .
352
17.3.2. M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353
17.3.3. Aplicaci´on a ecuaciones polin´omicas . . . . . . . . . . . . .
355
17.4. Aplicaci´on a sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . .
356
17.4.1. M´etodo de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . .
356
17.4.2. El m´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
17.5. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
358
17.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
358
A. N´ umeros complejos
361
A.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
361
A.2. Representaci´on de n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
A.3. Distintas formas de expresar las operaciones elementales . . . . . .
365
A.3.1. Suma de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365
A.3.2. Producto de complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
A.3.3. Inverso de un n´ umero complejo no nulo . . . . . . . . . . .
367
A.3.4. Cociente de dos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
367
A.3.5. Conjugado de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . . . .
368
A.4. Potenciaci´on de n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
368
A.5. Radicaci´on compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369
A.6. Referencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370
A.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370
B. Ex´ amenes propuestos en la URJC con sus soluciones
375
B.1.
Prueba de control de noviembre de 1999 . . . . . . . . . . . . . . .
375
B.2.
Examen parcial de febrero de 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
B.3.
Prueba de control de abril de 2000
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
B.4.
Examen final de la convocatoria de junio de 2000 . . . . . . . . . .
392
B.5.
Examen final de la convocatoria de septiembre de 2000 . . . . . . .
406
B.6.
Prueba de control de diciembre de 2000 . . . . . . . . . . . . . . . .
418
B.7.
Examen parcial de febrero de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422
B.8.
Prueba de control de marzo de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
429
´INDICE GENERAL
12
B.9.
Examen final de la convocatoria de junio de 2001 . . . . . . . . . .
434
B.10. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2001 . . . . . . .
446
Bibliograf´ıa
457
´ Indice Alfab´ etico
463
´Indice de figuras 1.1. Las ecuaciones de los tres planos del dibujo constituyen un sistema compatible determinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2. Las ecuaciones de los tres planos del dibujo constituyen un sistema compatible indeterminado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.3. Las ecuaciones de los tres planos del dibujo constituyen un sistema incompatible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.1. Ejemplo de aplicaci´on lineal: rotaci´on de 30o . . . . . . . . . . . . . .
86
4.2. Ejemplo de aplicaci´on lineal: cizalla sobre el eje y. . . . . . . . . . .
87
4.3. A la izquierda nube aleatoria de puntos. A la derecha plano formado por los puntos cuyos vectores de posici´on pertenecen al n´ ucleo de g.
89
4.4. Recta formada por los puntos cuyos vectores de posici´on constituyen la imagen de g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
9.1. L´ımite oscilante de la funci´on sen( x1 ) en x = 0. . . . . . . . . . . . .
167
9.2. L´ımites laterales coincidentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
9.3. La funci´on signo(x), l´ımites laterales no coincidentes en x = 0. . . .
170
0
0
9.4. Funci´ on continua en todos los puntos del intervalo [−4 5, 4 5] salvo en x = −40 25 y x = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
9.5. Dibujo de una funci´on, g, su tangente, g(1)+g 0 (1)x ´o g(1)+dg(1; x), y su diferencial, dg(1; ·), en x0 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
9.6. La funci´on f (x) = |x| y su derivada en el intervalo [−4, 4]. . . . . . .
176
9.7. La funci´on sen(x) y sus tres primeros polinomios de Taylor: p1 (x), p3 (x) y p5 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
9.8. La funci´on ex y sus cuatro primeros polinomios de Taylor: p0 (x), p1 (x), p2 (x) y p3 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
13
´INDICE DE FIGURAS
14
9.9. Gr´afica de la funci´on f (x) =
2x2 −8 x2 −16 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
9.10. Interpretaci´on geom´etrica del resultado del problema 8. . . . . . . .
191
10.1. Dibujo de la funci´on f (x, y) = −x2 − y 2 + 8 y su plano tangente en (0, 1/2, 31/4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
10.2. Geometr´ıa de un m´ınimo relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
10.3. Geometr´ıa de un m´aximo relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
10.4. Geometr´ıa de un punto de ensilladura. . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
11.1. Aproximaciones cada vez m´as finas a la integral de Riemann mediante sumas superiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
11.2. Aproximaciones cada vez m´as finas a la integral de Riemann mediante sumas inferiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
12.1. Regi´on de integraci´on(sombreada) correspondiente al ejemplo 12.2. .
250
13.1. Curva C en el ejemplo 13.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
13.2. Superficie S en el ejemplo 13.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
14.1. Comparaci´on entre la ley de crecimiento exponencial y la ley log´ıstica. 297 14.2. Evoluci´on de cuatro is´otopos de la 2a cadena radiactiva. . . . . . . .
299
14.3. Evoluci´on de las poblaciones de presas(conejos) y depredadores(zorros). 300 16.1. Polinomios de base de Lagrange de grado 1. . . . . . . . . . . . . . .
320
16.2. Polinomios de base de Lagrange de grado 2. . . . . . . . . . . . . . .
321
16.3. La funci´on sen(x) y los polinomios de Lagrange de grados 1, 2 y 3. .
322
16.4. F´ormula del punto medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
16.5. F´ormula del trapecio.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
16.6. F´ormula de Simpson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
17.1. Representaci´on gr´afica del m´etodo de punto fijo. . . . . . . . . . . .
353
17.2. Representaci´on gr´afica del m´etodo de Newton-Raphson. . . . . . . .
355
√ √ A.1. Rep. geom´etrica de los complejos 1 + 3i y −1 − 3i. . . . . . . . . √ √ A.2. Rep. geom´etrica de los complejos 3 − i y − 3 + i. . . . . . . . . .
363 365
´INDICE DE FIGURAS
√ A.3. Rep. geom´etrica √ del producto de los complejos 2 + i ≈ ( 5)0,46365 y −1 + 3i ≈ ( 10)1,89255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Rep. geom´etrica del complejo z = 1,2 + 0,9i y de sus primeras 6 potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ A.5. Rep. geom´etrica del complejo v = 3/2 + (1/2)i y de sus primeras once potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
367 369 369
A.6. Rep. geom´etrica del complejo z = 8 + 0i y sus tres ra´ıces c´ ubicas. . .
370
A.7. Rep. geom´etrica de los complejos 2 + 3i, −4, −3 − 2i y −5i. . . . . .
371
A.8. Ra´ıces cuadradas de −i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ A.9. Las cuatro ra´ıces de orden 4 de −8 + 8 3i. . . . . . . . . . . . . . .
372 373
B.1. Representaci´on gr´afica de la soluci´on del problema 1. . . . . . . . . .
376
B.2. Representaci´on gr´afica de la soluci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
B.3. Secci´on transversal del poste met´alico. . . . . . . . . . . . . . . . . .
415
16
´INDICE DE FIGURAS
Presentaci´ on Esta publicaci´on docente es el resultado de tres a˜ nos de preparaci´on e impartici´on de las asignaturas de Fundamentos Matem´aticos de la Ingenier´ıa en la titulaci´on de Ingenier´ıa T´ecnica Industrial (especialidad qu´ımica industrial) y de Fundamentos Matem´aticos para el estudio del Medio Ambiente en la titulaci´on de Ciencias Ambientales, ambas impartidas en la Universidad Rey Juan Carlos (URJC) de Madrid. En los planes de estudios de las dos titulaciones se concede gran importancia a las matem´aticas; basta con observar lo ambiciosos que resultan los descriptores del Bolet´ın Oficial del Estado correspondientes a las asignaturas de ambas titulaciones: ´ Algebra Lineal, C´alculo Infinitesimal, C´alculo Num´erico, Ecuaciones Diferenciales y Geometr´ıa. Sin embargo el n´ umero de cr´editos reservado para su impartici´on es muy reducido: 12 cr´editos en la titulaci´on de Ciencias Ambientales y 15 en la titulaci´on de Ingenier´ıa T´ecnica Industrial. Es realmente dif´ıcil conseguir en dicho tiempo alcanzar unos objetivos que abarquen los cinco descriptores antes mencionados. Por consiguiente, el m´erito, a nuestro juicio, de esta publicaci´on, estriba en haber condensado en un n´ umero relativamente reducido de p´aginas la explicaci´on de una materia que por su complejidad y extensi´on aparece publicada, cuando menos, en cuatro libros distintos (si exceptuamos los grandes manuales de “matem´aticas para ingenieros”, de extensi´on muy superior a nuestro trabajo). El libro puede considerarse como un gui´ on de la asignatura en el que aparecen enun´ ciados aquellos conceptos b´asicos de Algebra Lineal y C´alculo Infinitesimal que, a nuestro juicio, son u ´tiles tanto para el adecuado seguimiento del resto de asignaturas de una titulaci´on cient´ıfico-t´ecnica, como para el ejercicio profesional de un cient´ıfico o un ingeniero. Tambi´en incluimos en los u ´ltimos cap´ıtulos algunas nociones b´asicas que permitir´an al lector introducirse en el estudio del C´alculo Num´erico y las Ecuaciones Diferenciales. Los 17 cap´ıtulos en los que se ha dividido el libro se pueden agrupar en cuatro blo´ ques fundamentales: Algebra Lineal, C´alculo Infinitesimal, Ecuaciones Diferenciales ´ y C´alculo Num´erico. Los primeros ocho cap´ıtulos tratan temas de Algebra Lineal; conviene se˜ nalar que el u ´ltimo de ellos se dedica al estudio de m´etodos directos para
17
18
Presentaci´ on
resolver sistemas lineales de ecuaciones, y que, por lo tanto, tambi´en se podr´ıa haber incluido en el bloque de C´alculo Num´erico. Los cap´ıtulos 9 a 13 abarcan temas de An´alisis de una y varias variables, incluyendo una breve introducci´on a la teor´ıa de campos. En el cap´ıtulo 14 se introducen las ecuaciones diferenciales ordinarias, y en el 15 los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Finalmente, los dos u ´ltimos cap´ıtulos se dedican al C´alculo Num´erico: en el cap´ıtulo 16 se introducen la interpolaci´ on, la diferenciaci´on num´erica y la integraci´ on num´erica, mientras que en el cap´ıtulo 17 se explican los m´etodos m´as sencillos de resoluci´on de sistemas no lineales. Los autores somos conscientes de que para aprender matem´aticas es fundamental, tanto para entender los conceptos como para asentarlos, la resoluci´on de problemas; por ello hemos incluido al final de cada cap´ıtulo un apartado de ejercicios propuestos a los que se adjunta su soluci´on. Adem´as hemos a˜ nadido, como ap´endice, los ex´amenes resueltos realizados en los u ´ltimos tres cursos acad´emicos en la URJC. Para aquellos estudiantes que necesiten una descripci´on m´as detallada de los conceptos matem´aticos explicados en el libro o para aquellos que deseen profundizar m´as en el estudio de las materias consideradas, se ha incluido al final de cada cap´ıtulo una breve rese˜ na bibliogr´afica. Tambi´en hemos a˜ nadido un ap´endice con un breve repaso de los n´ umeros complejos. Esperamos con todo ello haber conseguido elaborar una publicaci´on que sirva de ayuda a aquellos futuros cient´ıficos o ingenieros que abordan por primera vez el estudio riguroso de las matem´aticas. Como se ha indicado al comienzo de esta presentaci´on, este libro nace de los apuntes que en su momento preparamos para la impartici´on de las asignaturas antes mencionadas. Por ello no queremos terminar este pr´ologo sin agradecer a los profesores Carlos Conde, Emanuele Schiavi, Christian Vanhille e Ignacio Villanueva la ayuda prestada en la elaboraci´on de dichos apuntes, ayuda que en ning´ un caso les hace part´ıcipes de los errores que pudiera contener el libro.
Ultano Kindel´an y Marco Antonio Fontelos Madrid, octubre de 2001
Cap´ıtulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales. El m´ etodo de Gauss. Matrices 1.1.
Introducci´ on
En el mundo real muy pocas veces nos encontramos con problemas tan sencillos que dependan de una sola variable. Por ejemplo el beneficio de una empresa manufacturera depende claramente del coste de los materiales, pero tambi´en depende de los costes laborales, costes de transporte y de la producci´on total de la planta. El beneficio es por tanto una funci´on de varias variables. El ´algebra lineal estudia las funciones de varias variables m´as simples: las funciones lineales. Un ejemplo de funci´on lineal es la ecuaci´on de una recta. En el plano xy se puede representar una recta mediante la ecuaci´on a1 x + a2 y = b. En la expresi´on anterior se dice que b es una funci´on lineal de x e y. Inversamente, si se conocen b, a1 y a2 , se puede resolver la ecuaci´on obteniendo los infinitos puntos (pares (x, y)) que pertenecen a la recta. Una ecuaci´on como la anterior se llama ecuaci´ on lineal en las variables x e y. De forma general se dice que una ecuaci´on con n variables x1 , x2 , . . . , xn , es lineal si se puede expresar de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b 19
20
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
en donde a1 , a2 , . . . , an son escalares (reales o complejos) constantes. El concepto de linealidad se estudiar´a con precisi´on cuando se estudien los espacios vectoriales y las aplicaciones lineales; por ahora nos limitaremos a describir las caracter´ısticas de una ecuaci´on lineal. Una ecuaci´on lineal: no incluye productos entre variables, todas las variables aparecen siempre elevadas a 1, las variables no aparecen nunca como argumentos de funciones trigonom´etricas, logar´ıtmicas o exponenciales. Ejemplo 1.1. Las siguientes ecuaciones son lineales: x + 3y = 7
x1 − 3x2 − 3x3 + x4 = 7,
y = 12 x + 3z + 1
x1 + x2 + . . . + xn = 1,
mientras que las siguientes son no lineales: x + 3y 2 = 7 y−sen(x) = 0
3x + 2y − z + xz = 4, √ x1 + 2x2 + x3 = 1.
Definici´ on 1.1. Un Sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas x1 , x2 , . . . , xn es todo conjunto de relaciones del tipo: Ecuaci´ on primera a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 Ecuaci´ on segunda a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 (S) .. . Ecuaci´ on m-´ esima am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Los aij (coeficientes) y los bi (t´erminos independientes) son escalares dados (elementos de un cuerpo cualquiera, por ejemplo lR ´o C ). Se dice que los escalares α1 , α2 , . . . , αn constituyen una soluci´on de (S) si al tomar x1 = α1 , x1 = α2 , . . . , xn = αn se satisfacen las m ecuaciones. Resolver (S) es hallar todas sus soluciones. Se dice que un sistema es compatible si tiene alguna soluci´on y que es incompatible si carece de ellas; cuando es compatible se dice que es determinado si tiene una u ´nica soluci´on e indeterminado si tiene m´as de una.
1.1. Introducci´ on
21
Ejemplo 1.2. Como ya se ha comentado, un ejemplo de ecuaci´on lineal es la ecuaci´on de una recta en el plano. Si se estudian las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas se estar´a estudiando el conjunto de puntos que pertenecen a la vez a las dos rectas. 1.
Si el sistema es incompatible las dos rectas son paralelas (no existe ning´ un punto que pertenezca a la vez a las dos rectas).
2.
Si el sistema es compatible se pueden distinguir dos casos: a) si es determinado las dos rectas se cortan (existe un solo punto que verifica las dos ecuaciones), b) si es indeterminado las dos rectas son coincidentes (existen infinitos puntos que verifican las dos ecuaciones).
3 2 1 0 –1 –2 –3 –3
–3 –2
–2 –1
–1 y
0
0 1
1 2
x
2 3
3
Figura 1.1: Las ecuaciones de los tres planos del dibujo constituyen un sistema compatible determinado. Ejemplo 1.3. La ecuaci´on de un plano en el espacio es una ecuaci´on lineal con tres inc´ognitas. Si se estudian las soluciones de un sistema formado por tres ecuaciones y tres inc´ognitas, se estar´a estudiando el conjunto de puntos del espacio que pertenecen a la vez a los tres planos. En las figuras 1.1, 1.2 y 1.3 se muestran tres posibles posiciones relativas de los planos. En 1.1 al ser el sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas compatible determinado, existe un solo punto que verifica las tres ecuaciones y por lo tanto los tres planos se cortan en un punto. En 1.2 el sistema es compatible indeterminado, existen infinitos puntos que verifican las ecuaciones de los tres planos y los tres planos se cortan en una recta. Finalmente en 1.3 el sistema es incompatible y no existe ning´ un punto que verifique las ecuaciones de los tres planos a la vez. Existen otros casos posibles: planos paralelos (sistema incompatible) y planos coincidentes (sistema compatible indeterminado). En cualquier caso la discusi´on del tipo de soluci´on de un sistema lineal para el caso general de m ecuaciones y n inc´ognitas se abordar´a m´as adelante.
22
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
3 2 1 0 –1 –2 3 2
–3
1
–3
–2
0
–1
0 x
1
y
–1 –2
2
3
Figura 1.2: Las ecuaciones de los tres planos del dibujo constituyen un sistema compatible indeterminado.
3 2 1 0 –1 –2 –3 –3 –2 –1 x
0 1 2 3 –3
–1
–2
2
1
0
3
y
Figura 1.3: Las ecuaciones de los tres planos del dibujo constituyen un sistema incompatible.
Signo sumatorio, ´ındices mudos e ´ındices libres. Para escribir de forma breve una suma como P1 + P2 + . . . + Pn se recurre a la letra P griega que recibe el nombre de signo sumatorio: P1 + P2 + . . . + Pn =
n P
j=1
Pj
j se puede sustituir por otra letra cualquiera sin que por ello var´ıe el resultado n P j=1
Pj =
n P
i=1
Pi =
n P k=1
Pk
1.1. Introducci´ on
23
As´ı por ejemplo las m ecuaciones del sistema (S) se pueden escribir de la forma, n P j=1 n P j=1
.. . n P
j=1
a2j xj = b2
amj xj = bm
a1j xj = b1
(S)
El sistema (S) se puede representar de una forma aun m´as concisa recurriendo a otro ´ındice que variar´a de 1 a m. Se puede poner: n P j=1
aij xj = bi
(i = 1, . . . , m)
(S)
i recibe el nombre de ´ındice libre (no se ve afectado por el sumatorio). j recibe el nombre de ´ındice mudo (se ve afectado por el sumatorio).
Expresi´ on matricial de un sistema lineal de ecuaciones. Definici´ on 1.2. Se denomina matriz A de dimensi´ on m × n a una tabla rectangular de mn escalares que reciben el nombre de elementos de la matriz. a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= . = (aij )i=1,...,m = (aij )m×n .. .. .. j=1,...,n . . am1
am2
...
amn
esima de la matriz A. Definici´ on 1.3. El juego ai1 , ai2 , . . . , ain se denomina fila i-´ Definici´ on 1.4. El juego a1j , a2j , . . . , amj se denomina columna j-´ esima de la matriz A. Definici´ on 1.5. Dado un sistema de ecuaciones lineales (S) se llama matriz de coeficientes, matriz ampliada y matriz (o vector) de t´erminos independientes a las siguientes matrices: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= . ←−MATRIZ DE COEFICIENTES .. .. .. . . am1 am2 . . . amn
24
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
Ab = b=
a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
am1 am2
b1 b2 .. .
... ...
a1n a2n .. .
b1 b2 .. .
...
amn
bm
←−MATRIZ AMPLIADA
´ INDEPENDIENTES ←−VECTOR DE TERMINOS
bm
1.2.
Resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales: eliminaci´ on gaussiana
El m´etodo m´as simple para resolver un sistema lineal de ecuaciones es reemplazar el sistema dado por otro que tenga la misma soluci´on pero sea m´as f´acil de resolver. Definici´ on 1.6. Dos sistemas de ecuaciones (con las mismas inc´ ognitas) se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones: si toda soluci´ on de cada uno de ellos es tambi´en soluci´ on del otro. Definici´ on 1.7. Operaciones elementales realizadas sobre un sistema de ecuaciones lineales. 1.
Intercambiar dos ecuaciones del sistema.
2.
Multiplicar una de las ecuaciones por un escalar no nulo.
3.
A˜ nadir a una ecuaci´ on un m´ ultiplo de otra.
Definici´ on 1.8. Operaciones elementales realizadas sobre las filas de una matriz. 1.
Intercambiar dos filas de la matriz
2.
Multiplicar una de las filas de la matriz por un escalar no nulo.
3.
A˜ nadir a una fila de la matriz un m´ ultiplo de otra.
Proposici´ on 1.1. Un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a cualquiera que resulte de realizar en ´el operaciones elementales. Proposici´ on 1.2. Un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a cualquiera que resulte de realizar operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada del sistema.
1.2. Resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales: eliminaci´ on gaussiana
25
Ejemplo 1.4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + 2z = 9 2x + 4y − 3z = 1 3x + 6y − 5z = 0 Soluci´ on: Se va a resolver el sistema anterior utilizando las dos u ´ltimas proposiciones enunciadas. En la columna de la izquierda se van a realizar operaciones elementales sobre las ecuaciones del sistema y en la columna de la derecha se van a realizar operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada.
x + y + 2z = 9 2x + 4y − 3z = 1 3x + 6y − 5z = 0
1 2 3
1 4 6
9 1 0
2 -3 -5
(F2)-2(F1) (F3)-3(F1)
↓
x + y + 2z = 9 2y − 7z = −17 3y − 11z = −27
1 0 0
1 2 3
9 -17 -27
2 -7 -11
3 (F3)- 2 (F2)
↓
x + y + 2z = 9 2y − 7z = −17 − 12 z = − 32
1 0 0
1 2 0
9 -17 - 23
2 -7 - 12
(F2)-14(F3) (F1)+4(F3)
↓ x+y =3 2y = 4 − 12 z = − 23
1 0 0
1 2 0
0 0 - 12
3 4 - 32
1 (F1)- 2 (F2)
↓ x=1 2y = 4 − 12 z = − 23
1 0 0
0 2 0
0 0 - 12
1 4 - 32
(A)
26
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices 1 2 (F2) -2(F3)
↓
x=1 y=2 z=3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 3
Una vez que se ha obtenido el sistema (A) se puede elegir otro camino para resolver el sistema inicial: x + y + 2z = 9 → x = 9 − 8 = 1 2y − 7z = −17 → 2y − 21 = −17 → y = 2 →↑ PROCESO DE REMONTE − 12 z = − 32 → z = 3 →↑ El ejemplo anterior sugiere dos m´etodos para resolver sistemas de ecuaciones mediante operaciones elementales. A continuaci´on vamos a generalizar estos dos procedimientos de forma que sean v´alidos para resolver cualquier tipo de sistema. Definici´ on 1.9. Una fila de una matriz se dice que es una fila nula si todos los elementos que la forman son ceros. Definici´ on 1.10. El primer elemento no nulo por la izquierda de una fila de una matriz se denomina cabecera de la fila correspondiente. Definici´ on 1.11. Se dir´ a que una matriz es una matriz escalonada si se verifican las siguientes propiedades: 1.
si existen filas nulas est´ an agrupadas al final de la matriz,
2.
en cualesquiera dos filas sucesivas no nulas la cabecera de fila de la fila inferior aparece m´ as a la derecha que la cabecera de la fila superior.
Nota 1.1. De la definici´on anterior de deduce que en una matriz escalonada se verifica que por debajo de cada cabecera de fila u ´nicamente hay ceros.
& 0 0 0 0 0
* 0 0 0 0 0
* & 0 0 0 0
* * & 0 0 0
* * * 0 0 0
* * * & 0 0
* * * * & 0
* * * * * 0
0=elementos nulos &=cabeceras de fila (6= 0) *=elementos cualesquiera
MATRIZ ESCALONADA
1.2. Resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales: eliminaci´ on gaussiana
27
Definici´ on 1.12. Se dir´ a que una matriz es una matriz escalonada reducida si se verifican, adem´ as de las propiedades 1 y 2, las siguientes propiedades: 3. Todas las cabeceras de fila son iguales a uno. 4. Cada columna que contenga una de las cabeceras de fila tiene el resto de los elementos nulos.
1 0 0 0 0 0
* 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
* * * 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
* * * * * 0
0=elementos nulos 1=elementos unidad *=elementos cualesquiera
MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA Definici´ on 1.13. Un sistema de ecuaciones se dice que es un sistema escalonado (respectivamente escalonado reducido) si su matriz de coeficientes es escalonada (respectivamente escalonada reducida). Ejemplo 1.5. Matrices escalonadas
3 0 0
1 2 1 − 27 0 2
9 −17 2
,
3
1 1 0 1 0 0
0 10 0 0 0 0 0 0
2 − 27 , 1
−2 0 1 0 5 3 0 0 0 0 0 0
Ejemplo 1.6. Matrices escalonadas reducidas
1 0 0 1 0 0
0 0 1
1 2 , 3
1 0 0 1 0 0
0 0 , 1
0 1 0 0 0 0 0 0
−2 0 0 0
0 1 1 3 0 0 0 0
Proposici´ on 1.3. Sea (S) el siguiente sistema de ecuaciones lineales n X
aij xj = bi (i = 1, . . . , m)
i=1
Siempre es posible transformar (S) en un sistema escalonado, (E), e incluso en un sistema escalonado reducido, (E’).
28
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
Nota 1.2. Para cada sistema de ecuaciones lineales (S) existe un u ´nico sistema escalonado reducido equivalente. Se puede proceder de dos maneras para resolver el sistema (S): 1.
Hallando un sistema escalonado, (E), equivalente a (S). Una vez obtenido E se despeja la inc´ognita de cabecera de su u ´ltima ecuaci´on y, avanzando de abajo arriba, se sustituye el valor hallado para cada inc´ognita en la ecuaci´on anterior, ´ de la que se despeja una nueva inc´ognita. → METODO DE GAUSS.
2.
Hallando el sistema escalonado reducido, (E’), equivalente a (S). Una vez obtenido (E’) se despeja directamente, para cada una de las ecuaciones, la inc´ognita ´ que est´e en su cabecera. → METODO DE GAUSS-JORDAN.
Ya s´olo queda, pues, explicar c´omo se obtiene un sistema escalonado reducido a partir de un sistema cualquiera. Para ello bastar´a explicar c´omo se obtiene una matriz escalonada reducida a partir de una matriz cualquiera. Definici´ on 1.14. Se dice que el elemento aij 6= 0 de una matriz A se utiliza como pivote hacia abajo (o hacia arriba) si en las filas de A se realizan aquellas operaciones elementales que convierten en 0 a los dem´ as elementos de la columna j que est´ an por debajo (o por arriba) del aij . Todo elemento no nulo de A puede utilizarse como pivote. Proceso para obtener una matriz escalonada reducida a partir de una matriz cualquiera A 1.
Obtenci´ on de una matriz escalonada a) Intercambiando 2 filas de A, si fuera preciso se obtendr´ıa en el lugar (1,1) un elemento no nulo. b) Utiliz´ andolo como pivote se transforman en cero todos los elementos situado por debajo de ´el. c) Si todos los elementos que quedan por debajo del (1,2) son nulos se deja a la 2 columna sin modificar. d ) Si alguno de ellos fuese no nulo, intercambiando dos filas si fuera preciso, se lleva al lugar (2,2) y luego se utiliza como pivote para anular todos los elementos que est´an situados por debajo de ´el. e) Se pasa ahora a la tercera columna con la que se procede de manera an´aloga y se reitera el proceso hasta llegar a la u ´ltima columna.
2.
Obtenci´ on de una matriz escalonada reducida a partir de una matriz escalonada
1.2. Resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales: eliminaci´ on gaussiana
29
a) Nos fijamos en las cabeceras de cada una de las filas no nulas y denotamos como (1,1), (2,i2 ), . . . , (r, ir ) los lugares que ocupan las cabeceras de cada fila. Utilizando como pivote el elemento (i, ir ) se anulan los elementos de la columna ir situados por encima. b) Se hace lo mismo con el elemento (r − 1, ir−1 ) y as´ı hasta llegar al elemento (2, i2 ). c) Se divide cada fila i no nula por su cabecera de fila. Ejemplo 1.7. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
x1 + x5 = 800 −x1 + x2 − x4 = −400 −x2 + x3 = −600 −x3 + x7 = 1200 x4 + x6 − x7 = 0 −x5 − x6 = −1000
Soluci´ on: Se va a utilizar el m´etodo de Gauss - Jordan para resolverlo,
1 0 −1 1 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 −1 0 0
0 −1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 −1 −1 0
800 -400 -600 1200 0 -1000
(F2)+(F1)
↓
1 0 0 0 0 0
0 1 −1 0 0 0
0 0 1 −1 0 0
0 −1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 −1 −1 0
(F3)+(F2)
↓
800 400 -600 1200 0 -1000
30
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 −1 0 0
0 1 −1 1 −1 1 0 0 1 0 0 −1
0 0 0 0 1 −1
0 0 0 1 −1 0
800 400 -200 1200 0 -1000
(F4)+(F3)
↓
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 −1 −1 −1 1 0
1 1 1 1 0 −1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 −1 −1 0
800 400 -200 1000 0 -1000
(F5)+(F4)
↓
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 −1 −1 −1 0 0
1 1 1 1 1 −1
0 0 0 0 1 −1
0 0 0 1 0 0
800 400 -200 1000 1000 -1000
(F6)+(F5)
↓
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 −1 −1 −1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
800 400 -200 -1000 1000 0
Ya se ha obtenido una matriz de coeficientes escalonada. A partir de aqu´ı se podr´ıa resolver el sistema por el m´etodo de Gauss realizando el correspondiente proceso de remonte. Sin embargo en este caso, como se ha dicho en el enunciado se emplea el m´etodo de Gauss - Jordan por lo que se continuar´a realizando operaciones elementales hasta obtener una matriz de coeficientes escalonada reducida.
1.2. Resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales: eliminaci´ on gaussiana
31
(-1)(F4) (F4)+(F5) (F3)-(F5) (F2)-(F5) (F1)-(F5)
↓
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 −1 −1 1 0 0
0 0 0 0 1 0
−1 −1 −1 1 1 0
0 0 0 −1 0 0
-200 -600 -1200 0 1000 0
(F3)+(F4) (F2)+(F4)
↓
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
−1 0 0 −1 0 −1 1 −1 1 0 0 0
-200 -600 -1200 0 1000 0
Por lo tanto la soluci´on es x1 = −200 + x6 ; x2 = −600 + x7 ; x3 = −1200 + x7 ; x4 = x7 − x6 y x5 = 1000 − x6 . Es por lo tanto un sistema compatible indeterminado. Proposici´ on 1.4. Sea (E) un sistema escalonado de m ecuaciones con n inc´ ognitas, r el n´ umero de filas no nulas de la matriz de coeficientes de (E) y s el n´ umero de filas no nulas de su matriz ampliada. Respecto a la existencia y unicidad de soluciones de (E) se puede afirmar lo siguiente: 1.
El sistema (E) es compatible Ssi r = s.
2.
Si el sistema (E) es compatible, entonces: a)
el sistema es compatible determinado si r = n,
b)
el sistema es compatible indeterminado si r < n. Obs´ervese que r nunca puede ser mayor que n.
ognitas Corolario 1.1. Sea (E) un sistema escalonado de m ecuaciones con n inc´ y r el n´ umero de filas no nulas de la matriz de coeficientes de (E). El sistema es compatible Ssi sus u ´ltimos m − r t´erminos independientes son todos nulos.
32
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
Corolario 1.2. Sea (S) un sistema de m ecuaciones y n inc´ ognitas. Si m < n entonces el sistema bien es incompatible, bien tiene infinitas soluciones.
1.3.
Sistemas homog´ eneos
Definici´ on 1.15. Un sistema de ecuaciones se dice homog´ eneo si tiene nulos todos sus t´erminos independientes: n P j=1
aij xj = 0 (i = 1, . . . , m)
(H)
Proposici´ on 1.5. Todo sistema de ecuaciones lineales homog´eneo (H) tiene, al menos, la soluci´ on x1 = x2 = . . . = xn = 0, llamada soluci´ on trivial o nula, por lo que siempre es compatible. Ser´ a compatible indeterminado si tiene alguna soluci´ on no nula. Proposici´ on 1.6. Si α = (α1 , . . . , αn ) y β = (β 1 , . . . β n ) son soluciones del sistema homog´eneo (H), entonces λα + µβ (λ y µ son dos escalares cualesquiera) tambi´en es una soluci´ on del sistema (H). Proposici´ on 1.7. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene m´ as de una soluci´ on entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Proposici´ on 1.8. Sea (H) un sistema homog´eneo de m ecuaciones con n inc´ ognitas. Si m es menor que n, entonces (H) tiene alguna soluci´ on no nula y por tanto tiene infinitas soluciones.
1.4. 1.4.1.
Rango de un conjunto de vectores Vectores de n componentes
Definici´ on 1.16. Dados un n´ umero natural n (fijo) y un cuerpo lK (Por ejemplo lK = lR ´ o lK = C) a cuyos elementos llamaremos escalares, se llaman vectores de n componentes del cuerpo lK a las sucesiones o sistemas ordenados de n escalares de lK. Se representan del siguiente modo: u = (u1 , u2 , . . . , un ) ½ u1 , u2 , . . . , un ∈ lK donde ui recibe el nombre de componente i- ´esima de u Definici´ on 1.17. Operaciones entre vectores:
1.4. Rango de un conjunto de vectores
1.
33
Suma u = (u1 , u2 , . . . , un ) → u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn ) v = (v1 , v2 , . . . , vn )
2.
Producto por escalar u = (u1 , u2 , . . . , un ) λ es un escalar
¾ → λu = (λu1 , λu2 , . . . , λun )
Observaciones 1.
Un vector de n componentes no es un conjunto de n escalares. Si las n componentes de un vector se colocan en distinto orden, ya no encarnan el mismo vector; este pasa a ser otro.
2.
Notaci´on: los vectores se escribir´an en negrita.
3.
Vectores fila y vectores columna. Si las componentes de un vector se escriben una detr´as de otra se dice que el vector aparece como vector fila. Si se escriben una debajo de otra se dir´a que aparece como vector columna.
Proposici´ on 1.9. (Propiedades de las operaciones entre vectores). Si u, v y w son vectores de n componentes y si λ y µ son escalares, entonces: 1.
(u + v) + w = u + (v + w)
2.
u+v =v+u
3.
u + 0 = u, donde 0 = (0, 0, . . . , 0) se llama vector nulo.
4.
Para cada u, existe un vector −u tal que u + (−u) = 0; Si u = (u1 , u2 , . . . , un ), entonces −u = (−u1 , −u2 , . . . , −un ) Al vector −u se le llama opuesto de u.
5.
λ(u + v) =λu+λv
6.
(λ + µ)u = λu + µu
7.
λ(µu) = (λµ)u
8.
1u = u
9.
0u = 0 y λ0 = 0
10.
λu = 0 ⇒ [λ = 0 ´ o u = 0]
11.
(−λ)u =λ(−u) = −(λu)
34
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
1.4.2.
Dependencia e independencia lineal
Definici´ on 1.18. Se dice que un vector v es una combinaci´ on lineal de los vectores u1 , u2 , . . . un o que v depende linealmente de ellos si para algunos escalares λ1 , λ2 , . . . , λn , se verifica: v = λ1 u1 + λ2 u2 + . . . + λn un Nota 1.3. La dependencia lineal es transitiva: si v depende linealmente de unos vectores y estos a su vez dependen linealmente de otros, entonces v tambi´en depende linealmente de estos u ´ltimos. Definici´ on 1.19. Se dice que un sistema (o conjunto) de vectores S = {v1 , v2 , . . . , vn } es un sistema ligado o linealmente dependiente si se verifica una de las siguientes condiciones equivalentes entre s´ı: 1.
Alguno de los vectores de S depende linealmente de los dem´ as.
2.
Para algunos escalares λ1 , λ2 , . . . , λn no todos nulos λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn = 0.
Nota 1.4. Si a1 , a2 , . . . , ap son p vectores de n componentes y si p > n entonces S = {a1 , a2 , . . . , ap } es un sistema ligado. Definici´ on 1.20. Se dice que un sistema (o conjunto) de vectores S = {v1 , v2 , . . . , vp } es un sistema libre o linealmente independiente si se verifica una de las siguientes condiciones equivalentes entre s´ı: 1.
El sistema S no es linealmente dependiente, es decir, ninguno de los vectores de S depende linealmente de los dem´ as.
2.
La u ´nica combinaci´ on lineal de vectores de S que es nula es la que tiene todos sus coeficientes nulos; esto es: λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λp vp = 0 ⇒λ1 = λ2 = . . . = λp = 0 (λ1 , λ2 , . . . , λp escalares).
1.4.3.
Rango de un sistema de vectores
Proposici´ on 1.10. Para cualquiera que sea el conjunto S = {v1 , v2 , . . . , vp } de p vectores, no todos nulos, se verifica que: 1.
Hay alg´ un sistema, S0 , de vectores de S t.q.
1.4. Rango de un conjunto de vectores
a) b) 2.
35
S0 es linealmente independiente. Todos los dem´ as vectores de S dependen linealmente de S0 .
Todos los sistemas S0 de vectores de S que satisfacen los requerimientos (a) y (b) tienen el mismo n´ umero de vectores.
Definici´ on 1.21. El n´ umero de vectores de S0 recibe el nombre de rango del conjunto S. Nota 1.5. Para hallar el rango de un sistema de vectores habr´a que ir desechando aquellos vectores que resulten ser combinaci´on lineal de los que van quedando, hasta que formen un sistema linealmente independiente: el n´ umero de vectores de este u ´ltimo es el rango buscado. Proposici´ on 1.11. El rango de un conjunto de vectores no se altera si se realizan en el operaciones elementales. Se entiende por operaciones elementales realizadas sobre un conjunto de vectores las siguientes: 1.
cambiar de posici´ on dos vectores,
2.
multiplicar un vector por un escalar,
3.
sumarle a un vector otro vector del conjunto multiplicado por un escalar.
Nota 1.6. Si las componentes de cada uno de los vectores de un conjunto S de p vectores de n componentes {v1 , v2 , . . . , vp } se denotan por vi = (vi1 , vi2 , . . . vin ), realizar operaciones elementales sobre el conjunto S es equivalente a realizar operaciones elementales sobre las filas de una matriz de dimensi´on p×n cuyo t´ermino general es vij (la fila i-´ esima de la matriz coincide con las componentes del vector vi i = 1, . . . , p). Proposici´ on 1.12. Sea S = {a1 , a2 , . . . , ap } un conjunto formado por vectores de n componentes a1 = (a11 , a12 , . . . , a1n ) a2 = (a21 , a22 , . . . , a2n ) .. . ap = (ap1 , ap2 , . . . , apn ) y sea A una matriz cuya fila i-´ esima est´ a formada por las n componentes del vector ai , a11 . . . a1n .. A = ... . ap1 . . . apn p×n Si A0 es una matriz escalonada equivalente a A (que siempre es posible hallar), el rango de S coincide con el n´ umero de filas no nulas de A0 .
36
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
1.5.
Rango de una matriz. Teorema de Rouch´ e
Teorema 1.3. (del rango) Para cualquier matriz A = (aij ) de m filas y n columnas se verifica que el rango del conjunto de sus m vectores filas (que se llama rango de las filas de A) es igual al rango del conjunto de sus n vectores columna (que se llama rango de las columnas de A). A cualquiera de estos dos rangos, iguales entre s´ı, se le llama rango de la matriz A, y se denota por rg(A). Proposici´ on 1.13. Para cualquier matriz A = (aij ) de m filas y n columnas se verifica: 1.
el rango de A no se altera si se realizan operaciones elementales en sus filas o en sus columnas,
2.
el rango de A es igual al n´ umero de filas no nulas de una matriz escalonada, E, equivalente a A.
Teorema 1.4. (de Rouch´ e) Consid´erese el sistema de ecuaciones n P i=1
aij xj = bi (i = 1, . . . , m)
(S)
Si A = (aij )m×n es la matriz de coeficientes de (S) y Ab = ( aij | bi )m×(n+1) es la matriz ampliada de (S), entonces: 1.
si rg( A ) 6= rg( Ab ) el sistema es incompatible.
2.
Si rg( A ) = rg( Ab ), entonces:
1.6.
a)
si rg( A ) = n el sistema (S) es compatible determinado.
b)
Si rg( A ) < n el sistema (S) es compatible indeterminado.
Operaciones entre matrices
Nota 1.7. En cuanto a la notaci´on de las matrices se seguir´a empleando la utilizada hasta ahora: may´ usculas para designar las matrices y min´ usculas para designar los coeficientes o elementos de las matrices, A = (aij )m×n . Definici´ on 1.22. Se dice que dos matrices A = (aij )m×n y B = (bij )r×s son iguales si tienen la misma dimensi´ on (m = r y n = s) y adem´ as sus elementos son iguales (aij = bij ; i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n).
1.6. Operaciones entre matrices
37
Definici´ on 1.23. Si A = (aij )m×n y B = (bij )m×n son dos matrices de la misma dimensi´ on entonces la matriz suma C = A + B es una matriz de la misma dimensi´ on que A y B cuyos elementos verifican: cij = aij + bij (i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n). No se puede sumar matrices de distinta dimensi´ on. Definici´ on 1.24. Si A es una matriz y λ es un escalar, entonces el producto λA es otra matriz obtenida multiplicando todos los elementos de A por el escalar λ : λA = (λaij )m×n . Propiedades de la suma de matrices y del producto de matriz por escalar Para cualesquiera que sean las matrices A, B y C de la misma dimensi´on y para cualesquiera escalares λ y µ, se verifica: 1.
A + (B + C) = (A + B) + C
2.
A+B =B+A
3.
A+0=A
4.
A + (−A) = 0
5.
(λ + µ)A = λA + µA
6.
λ(A + B) = λA + λB
7.
λ(µA) = (λµ)A
8.
1A = A
Nota 1.8. (0)m×n representa la matriz nula de dimensi´on m × n, y es aquella cuyos elementos son todos iguales al escalar nulo. −A = (−aij )m×n se llama matriz opuesta de A y es aquella de tama˜ no m×n cuyos elementos son los escalares opuestos de los respectivos elementos de A. Definici´ on 1.25. Dadas dos matrices A = (aij )m×n y B = (bij )r×s , si n = r se define la matriz producto de A por B y se representa por AB a la siguiente matriz de dimensi´ on (m × s) : C = AB en donde cij =
n P
aik bkj
k=1
Si n 6= r el producto de matrices no est´ a definido.
38
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
Propiedades de la multiplicaci´ on de matrices Para tres matrices cualesquiera A, B y C de dimensiones respectivas m × n, n × r y r × s se verifica 1.
A(BC) = (AB)C
2.
A(B + C) = AB + AC
3.
(A + B)C = AC + BC
4.
AIn = A, en donde In = (δ ij )n×n con δ ij =
½
0 si i 6= j 1 si i = j
recibe el nombre de
matriz unidad. Nota 1.9. El producto de matrices no es conmutativo. Nota 1.10. Las matrices no son regulares o simplificables: AB = AC no implica B = C. Nota 1.11. Puede ser AB = (0) sin que sean A = (0) ´o B = (0). Nota 1.12. Un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar como un producto de n P matrices por ejemplo: aik xk = bi (i = 1, . . . , m) se puede poner como Ax = b con k=1
A = (aij )m×n ; x = (xk )k=1,...,n y b = (bi )i=1,...,m . Definici´ on 1.26. Dada una matriz A de dimensi´ on m × n se dice que A es una matriz cuadrada de dimensi´ on n si m = n. Si A es cuadrada y para i > j aij = 0, se dice que A es triangular superior; si A es cuadrada y para i < j es aij = 0, se dice que A es triangular inferior, si A es cuadrada y para i 6= j es aij = 0 se dice que A es diagonal. Si m = 1 se dice que es una matriz fila, si n = 1 se dice que es una matriz columna. Si A es cuadrada y para cualesquiera i y j es aij = aji se dice que A es una matriz sim´ etrica. Si A es cuadrada y para cualesquiera i y j es aij = −aji se dice que A es una matriz antisim´ etrica. Definici´ on 1.27. Si A es una matriz cuadrada, la suma de los elementos de su diagonal recibe el nombre de traza de A y se representa por tr(A) : si la dimensi´ on n P de A es n, tr(A) = aii . i=1
on m × n se llama traspuesta de Definici´ on 1.28. Dada una matriz A de dimensi´ la matriz A y se representa por At a la matriz de dimensi´ on n × m que tiene por elemento del lugar (ij) al elemento del lugar (ji) de A (las filas de A pasan a ser las columnas de At y las columnas de A pasan a ser las filas de At ): A = (aij )m×n ⇒ At = (atij )n×m con atij = aji (i = 1, . . . n; j = 1, . . . , m).
1.6. Operaciones entre matrices
39
Propiedades de la matriz traspuesta 1.
(At )t = A
2.
(A + B)t = At + B t (A y B de la misma dimensi´on)
3.
(λA)t = λAt
4.
(AB)t = B t At (A y B matrices multiplicables)
5.
(A1 A2 · · · Ap )t = Atp Atp−1 · · · At1 (A1 A2 · · · Ap matrices multiplicables)
Nota 1.13. Si A es una matriz cuadrada A = At ⇐⇒ A es sim´etrica, A = −At ⇐⇒ A es antisim´etrica. Para cualquier matriz cuadrada M , M +M t es sim´etrica y M −M t es antisim´etrica. Definici´ on 1.29. Si A es una matriz cuadrada de dimensi´ on n y se puede encontrar otra matriz cuadrada B tal que AB = BA = In (matriz unidad), se dice que A es una matriz inversible. B se denomina matriz inversa de A y se representa por A−1 . Propiedades de la matriz inversa 1.
Si A tiene inversa entonces s´olo tiene una inversa: AB = BA = In y AC = CA = In ⇒ B = C.
2.
Si A y B tienen inversa entonces el producto AB tambi´en tiene inversa: (AB)−1 = B −1 A−1 Se puede generalizar el resultado anterior: −1 −1 (A1 A2 · · · Ap )−1 = A−1 p Ap−1 · · · A1 .
3.
Si A tiene inversa entonces su traspuesta tambi´en tiene inversa que vale: (At )−1 = (A−1 )t .
Nota 1.14. Las matrices inversibles son simplificables (o regulares): AB = AC ⇒ B = C. Nota 1.15. Dado el sistema de ecuaciones Ax = b, si la matriz A es inversible la soluci´on de S ser´a u ´nica e igual a x =A−1 b. Potencias de una matriz
40
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
A0 = In
An =AA · · · A} | {z n veces −1 −1 −1 A−n = (A−1 )n A | A {z· · · A }
(A−1 )−1 = A
n veces
1.7.
Ar As = Ar+s
(Ar )s = Ars
(An )−1 = (A−1 )n
(kA)−1 = k1 A−1
C´ alculo de la inversa de una matriz
No todas las matrices cuadradas tienen inversa, ¿qu´e condiciones debe cumplir una matriz cuadrada A de dimensi´on n para ser inversible? En lo que sigue se va a determinar cuales son esas condiciones; durante el proceso, adem´as, se desarrollar´a un m´etodo sencillo para calcular A−1 . Si la matriz B es la inversa de la matriz A (B = A−1 ) se verifica AB = In . La ecuaci´on AB = In se puede expresar como: A(b1 , b2 , . . . , bn ) = (e1 , e2 , . . . , en ),
(1.1)
donde (b1 , b2 , . . . , bn ) y (e1 , e2 , . . . , en ) representan las columnas de B e In respectivamente: bi =
b1i b2i .. . bni
0 .. . y ei = 1 ←el 1 est´a en la posici´on i . .. 0
De (1.1) se deduce que si A tiene inversa se debe poder resolver los siguientes n sistemas de ecuaciones (cada uno de ellos con n ecuaciones y n inc´ognitas) A
x1 x2 .. . xn
=
1 0 .. . 0
A
x1 x2 .. . xn
=
0 1 .. . 0
...
A
x1 x2 .. . xn
=
0 0 .. .
1 (1.2)
1.8. Referencias bibliogr´ aficas
41
En particular si A es inversible la k-´ esima columna de A−1 se obtendr´a resolviendo el sistema Ax = ek , k = 1, 2, . . . , n. Proposici´ on 1.14. Una matriz cuadrada, A, de dimensi´ on n es inversible si y solamente si el rango de A es n. Demostraci´ on. Si el rango de A es n, los n sistemas anteriores tienen soluci´on u ´nica (las n columnas de A−1 ) y por lo tanto A tiene inversa. Si A tiene inversa ´esta tiene que ser u ´nica como se ha demostrado anteriormente y por lo tanto los n sistemas anteriores deben ser compatibles determinados y para ello el rango de A debe ser igual a n. ¤ Se ha obtenido, adem´as, un m´etodo para calcular A−1 : la resoluci´on de los n sistemas que aparecen en (1.2). Se pueden resolver todos a la vez convirtiendo, mediante operaciones elementales en sus filas, la matriz ampliada A(e1 ,...,en ) en una matriz escalonada reducida, In(b1 ,...,bn ) .
A(e1 ,...,en )
a11 .. = (A |In ) = . am1
...
a1n .. .
1 .. .
...
amn
0
... .. . ...
0 .. . 1
⇓
In(b1 ,...,bn )
1 .. = (In |B ) = . 0
... .. . ...
0 .. .
b11 .. .
1
bm1
b1n .. . . . . bmn
...
Por lo tanto cada una de las columnas de B coincide con la soluci´on de uno de los sistemas de (1.2) y en consecuencia B = A−1 . Definici´ on 1.30. Una matriz cuadrada de dimensi´ on n se dice que es no singular si es inversible (si tiene rango n). Por el contrario se dir´ a que es singular si no es inversible (si el rango es menor que n).
1.8.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 1 de [1], los cap´ıtulos 1, 2 y 3 de [2], el 1 y el 2 de [10], los cap´ıtulos 1, 2, 3 y 4 del [11] y los cap´ıtulos 1, 2 y 3 de [12]. Para profundizar m´as en la materia ver [19].
42
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
Para estudiar m´etodos (num´ericos) m´as eficientes de resoluci´on de sistemas lineales consultar [60], [65], [69], [61] y [63].
1.9. 1.
Ejercicios
Resuelve el sistema de ecuaciones x1 + 3x2 − 5x3 + x4 = 4 2x1 + 5x2 − 2x3 + 4x4 = 6 Soluci´ on: x2 = 2 + 8x3 + 2x4 y x1 = −2 − 19x3 − 7x4
2.
Un departamento de pesca y caza de un determinado pa´ıs proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de una unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1, cuatro del 2 y cinco del 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es dos unidades de alimento 1, una unidad del alimento 2 y cinco unidades del 3. Cada semana se proporcionan al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 del 3. Si se supone que los peces se comen todo el alimento, ¿cu´antos peces de cada especie pueden coexistir en el lago? Soluci´ on: x1 = 40000 − 5x3 ; x2 = x3 − 5000 y 5000 ≤ x3 ≤ 8000. La condici´on sobre x3 se obtiene imponiendo que x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 y x3 ≥ 0 ya que el n´ umero de peces tiene que ser siempre positivo. Obs´ervese que el n´ umero de soluciones es finito (los 3001 enteros pertenecientes al intervalo [5000, 8000] ) debido a que los peces no se pueden dividir.
3.
Sup´ongase que las demandas externas en un sistema econ´omico con tres industrias son 10, 25 y 20 respectivamente. Adem´as se sabe que a11 = 0,2, a12 = 0,5, a13 = 0,15, a21 = 0,4, a22 = 0,1, a23 = 0,3, a31 = 0,25, a32 = 0,5 y a33 = 0,15 en donde aij representa el n´ umero de unidades de producci´on de la industria i que se necesitan para producir una unidad de la industria j (aij xj representa las unidades de xi necesarias para producir xj unidades de la industria j). Por u ´ltimo se supondr´a que la oferta es igual a la demanda. Se pide plantear el sistema de ecuaciones lineales que determina la producci´on de cada industria. (La producci´on de cada industria, xi , menos lo que se consume 3 P de dicha industria en las tres industrias del sistema econ´omico, aij xj , tiene j=1
que ser igual a la demanda externa de la industria i). Soluci´ on:
1.9. Ejercicios
43
0,8x1 − 0,5x2 − 0,15x3 = 10 −0,4x1 + 0,9x2 − 0,3x3 = 25 −0,25x1 − 0,5x2 + 0,85x3 = 20 4.
Dadas las matrices µ ¶ µ 2 3 1 0 (a) , (b) 4 1 0 2 1 2 −1 −2 (d) 0 2 −2 −3 0 0 0 1
0 0
2 1
3 4
¶
1 3 , (c) 0 1 0 0
2 4 1
1 2 , 1
Se pide, para cada una de ellas, 1) si no es una matriz escalonada transformarla, mediante operaciones elementales en sus filas, en una que si lo sea, 2) si la matriz es escalonada transformarla, mediante operaciones elementales en sus filas, en una matriz escalonada reducida. Soluci´ on:
µ
(a) No es una matriz escalonada, µ (b) No es una matriz escalonada,
2 0
3 −5
2 0 0 0
1 −2 1 2
4 3
¶ ¶
1 0 0 5 (c) La matriz s´ı es escalonada, 0 1 0 −2 0 0 1 1 1 0 1 0 (d) La matriz s´ı es escalonada, 0 1 −1 0 0 0 0 1 5.
Resolver los siguientes sistemas lineales de ecuaciones 2x2 + x3 = −2 2x1 + 3x2 + x3 − x4 + x5 = 4 −x1 + x2 + 7x4 − x5 = 2 (b) (a) 3x1 + 5x2 − 5x3 = 1 3x1 + 2x2 − x3 + x5 = 1 2x + 4x − 2x = 2 1 2 3 x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −1 2x1 + x2 + 2x4 + x5 = 7 (c) 3x2 + x3 − x4 = 2 5x1 + 3x2 − x3 − x4 = 12 Soluci´ on: a) {x2 = −2, x1 = 7, x3 = 2} 36 5 5 10 6 3 13 9 b) {x5 = − 10 7 x1 + 7 x4 − 7 , x3 = 7 x1 + 7 x4 + 7 , x2 = − 7 x1 − 7 x4 + 7 , x1 = x1 , x4 = x4 }
44
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
c) {x1 = x1 , x5 = − 77 5 x1 + 6.
154 5 , x2
= 65 x1 − 75 , x4 =
61 10 x1
−
56 5 , x3
= 52 x1 − 5}
Estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de los siguientes sistemas. Si el sistema es compatible indicar si es determinado o indeterminado. 3x1 + 2x2 = 3 2x1 + x2 + x3 = 6 x2 − x3 = 1 (a) (b) 3x1 − 2x2 + 3x3 = 4 x1 + x3 = 0 x1 + 4x2 − x3 = 0 ½ 2x1 + x2 + x3 = 6 2x1 + x2 + 3x3 = 1 (c) (d) 3x1 − 2x2 + 3x3 = 7 4x1 + 2x2 + 2x3 = 2 x1 + 3x2 + 2x3 = 0 2x1 − x3 = 0 x1 + 2x2 = 5 (e) x1 − 3x2 = −5 (f) 3x1 − x2 − x3 = 0 3x1 + x2 = 5 x1 − x2 = 0 Soluci´ on: a) Compatible determinado. b) Incompatible. c) Compatible indeterminado (infinitas soluciones). d ) Compatible determinado. e) Compatible determinado. f ) Compatible indeterminado (infinitas soluciones).
7.
Hallar el rango de la siguiente matriz de n´ umeros complejos 1 i 3i 3 1 1 + 2i 4 + i , A= 2+i −1 + i 1 + i 1 + i −1 + i Soluci´ on: Una matriz escalonada equivalente a A es: 1 i 3i 3 0 2 − 2i 4 − 4i −2 − 2i 0 0 0 0 y por lo tanto rg(A)=2.
8.
Sup´ongase que A, B, C, D y E son cinco matrices con las siguientes dimensiones: A4×5 , B4×5 , C5×2 , D4×2 , E5×4 . Se pide determinar cu´ales de las siguientes expresiones matriciales est´an definidas. Para aquellas que est´en definidas dar la dimensi´ on de la matriz resultante (a) BA (b) AC + D (c) AE + B (d) AB + B (e) E(A + B) (f) E(AC) (g) E t A (h) (At + E)D Soluci´ on:
1.9. Ejercicios
45
a) Indefinida b) Definida, 4 × 2 c) Indefinida d ) Indefinida e) Definida, 5 × 5 f ) Definida, 5 × 2 g) Indefinida h) Definida, 5 × 2 9.
Consid´erense 3 A = −1 1 1 D = −1 3
las matrices µ ¶ 0 4 −1 2 B= 0 2 1 5 2 6 1 3 0 1 E = −1 1 2 2 4 4 1 3
µ C=
1 4 3 1
2 5
¶
Se pide calcular las siguientes expresiones: (a) D + E (e) 2B − C (i) tr(D) Soluci´ on: 7 (a) −2 7 µ −7 (d) −21 −39 9 (g) −33 (j) -25 10.
(b) D − E (f) 4E − 2D (j) tr(D − 3E) 5 3 7
6 1 3
−28 −7 −21 −6 −12
(c) 5A (g) −3(D + 2E) (k) 4tr(7B)
−14 −35
¶
−24 −15 −30
−5 (b) 0 −1
4 −1 1
(d) −7C (h) A − A (l) tr(A)
−1 −1 1
(e) Indefinido
0 (h) 0 0 (k) 168
0 0 0
A=
2 1
2 2 D= 1 1
3 4
(l) Indefinido
¶
1 0 −1 3
µ B= 3 0 1 1
6 4 −1 2
15 0 (c) −5 10 5 5 22 −6 8 4 6 (f) −2 10 0 4 (i) 5
Consid´erense las matrices µ
1 2 1 4
2 3 E= 1 1
¶
2 4 C= 8 3 µ U=
1 3
1 0 −1 2 ¶ ¡ ,V = 2
4
¢
46
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
Se pide calcular las siguientes expresiones: (a) AB y BA (e) V (BU ) (i) C(BU )
(b) AU y V A (f) BU (j) (AB)U y A(BU )
(c) DC (g) CA (k) (BA)U y B(AU )
(d) U V y V U (h) CB
Soluci´ on:
µ (a)
5 5
16 18
¶
µ y
4 6
11 19
¶
µ (b)
11 13
¶ y
¡
8 22
¢
µ
¶ 2 4 (d) y 14 6 12 5 10 8 12 (g) 15 20 µ 8 ¶ 17 µ ¶ 53 53 (j) y 59 59
(e) 66 (h) µ (k)
3 4 7 5 37 63
8 8 12 14 ¶
50 16 (c) 3 µ 28 7 (f) 13 27 28 (i) 43 47
11 10 −2 ¶4
11.
Sea M = AB el producto de las matrices A y B. Compru´ebese que si A tiene una fila nula, entonces tambi´en M tiene una fila nula y que si B tiene una columna nula, entonces M tambi´en tiene una columna nula.
12.
Dadas las siguientes matrices,
1 6 2 5 F = −2 3 7 12 −4 3 1 0 J = 1 −1 2 1 1 1 2 −1 4 0 5 G = −1 19 −7 3
µ B=
−1 6 2 −12
¶
3 2 1 2 E= 0 2 0 0 −1 1 −3 0 3 −12 −2 H= −2 10 2 −1 6 1
µ C= µ A= −2 −6 5 3
µ D=
0 1
1 0
2 3
1 2
a a b b
¶
¶
¶
se pide determinar para cada una de ellas (a) s´ı es inversible o no, (b) en el caso de que sea inversible determinar su inversa. Soluci´ on:
1.9. Ejercicios
47
La matriz F es singular µ ¶ 0 1 −1 C = 1 0 1/3 −1/3 −1/3 0 1/2 1 E −1 = 0 0 −1 La matriz G es singular
La matriz B es singular 3/8 1/8 −1/4 3/4 J −1 = −1/8 −3/8 −1/4 1/4 1/2 µ ¶ 2 −1 A−1 = −3 2 0 1 0 2 1 −1 −2 2 H −1 = 0 1 3 −3 −2 2 3 −2
La matriz D es singular 13.
Discutir (en funci´on de α) y resolver cuando sea compatible el siguiente sistema de ecuaciones: αx + y + z = 1 x + αy + z = α x + y + αz = α2 Soluci´ on: α = −2 → sistema incompatible. α = 1 → sistema admite infinitas soluciones (comp. det.): x = 1 − y − z, y y z variables libres. 1 (α + 1) , z = α 6= −2 y α 6= 1, el sistema tiene soluci´on u ´nica x = − α+2 (α+1)2 α+2 , y
=
1 α+2 .
48
Cap´ıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo de Gauss. Matrices
Cap´ıtulo 2
Determinantes 2.1.
Introducci´ on
El inter´es de este tema estriba en el hecho de que tradicionalmente muchos resultados matem´aticos se expresan en t´erminos de determinantes y es importante entender la notaci´on, el significado, y las reglas de c´alculo asociadas a estos objetos matem´aticos. Ejemplos de contextos en los que aparecen son: el jacobiano de un cambio de variables (se ver´ a en el tema de integraci´on en varias variables), el c´alculo del ´area de un paralelogramo, la definici´on de producto vectorial (tema de espacio eucl´ıdeo), la definici´on de operador rotacional (tema de c´alculo vectorial), etc.. A menudo, para demostrar resultados te´oricos, las soluciones de sistemas lineales se escriben en t´erminos de determinantes.
2.2.
Desarrollo de un determinante a partir de los elementos de una l´ınea
Definici´ on 2.1. Sea A = (aij ) i=1,2 . El determinante de A se define como j=1,2
¯ ¯ a det(A) = |A| = ¯¯ 11 a21
¯ a12 ¯¯ = a11 a22 − a12 a21 a22 ¯
Definici´ on 2.2. Sea A = (aij )n×n una matriz cuadrada de dimensi´ on n y sea Mr,s la matriz que se obtiene al eliminar la fila r y la columna s de la matriz A (Mr,s es una submatriz de A). El real det(Mr,s ) recibe el nombre de menor del elemento ars de A. 49
50
Cap´ıtulo 2. Determinantes
Definici´ on 2.3. El escalar Aij = (−1)i+j det(Mi,j ) recibe el nombre de adjunto del elemento aij de A. Definici´ on 2.4. Sea A una matriz cuadrada de dimensi´ on n. El determinante de A se define como: det(A) = a11 A11 + . . . + an1 An1 =
n X
ai1 Ai1
i=1
en donde Ai1 es el adjunto del elemento ai1 . Nota 2.1. Los determinantes u ´nicamente se definen sobre matrices cuadradas. Nota 2.2. Consid´erese la naturaleza recursiva de la definici´on: si A es 3 × 3 entonces el determinante de A es det(A) = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 y los adjuntos A11 , A21 y A31 se pueden evaluar a partir de la definici´on 2.1. De forma similar la expresi´on de un determinante de una matriz de dimensi´on 4 es igual a la suma de cuatro determinantes de orden 3 multiplicados cada uno de ellos por un escalar. Nota 2.3. El desarrollo de un determinante de orden n tiene n! sumandos, cada uno de ellos siendo un producto de n factores. Cada uno de estos n! sumandos es de la forma ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) en donde σ(1), σ(2), . . . , σ(n) representa una de las n! permutaciones de 1, 2, . . . , n y ε(σ) el signo de la correspondiente permutaci´on (positivo si el n´ umero de intercambios de dos elementos necesarios para ordenar la permutaci´on es par y negativo si es impar). Siguiendo esta notaci´on el determinante de una matriz A, cuadrada de dimensi´on n, se puede expresar como X det(A) = ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) σ∈Σn
En donde Σn representa el conjunto de las n! permutaciones de 1, 2, . . . , n. Nota 2.4. En el sumando a1σ(1) . . . anσ(n) aparece un representante y s´olo uno de todas las filas y columnas de la matriz. Ejemplo 2.1. Calcular el determinante de la matriz 1 −1 −3 2 2 2 2 −3 A= 0 3 −1 −2 2 1 0 1
Soluci´ on: det(A) = 1A11 + 2A21 + 0A31 + 2A41 = −15 − 36 + 0 − 12 = −63 , ya que
2.2. Desarrollo de un determinante a partir de los elementos de una l´ınea
A11
¯ ¯ 2 ¯ = ¯¯ 3 ¯ 1
2 −1 0
−3 −2 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 ¯ −1 ¯ ¯ 0 ¯
A21 = µ ¯ ¯ −1 = − −1 ¯¯ 0
A41 = µ ¯ ¯ − −1 ¯¯
=
2 −1
¯ ¯ ¯ 2 −2 ¯¯ − 3 ¯¯ 1 ¯ 0
¯ ¯ ¯ 2 −3 ¯¯ + 1 ¯¯ 1 ¯ −1
¯ ¯ ¯ −1 −3 2 ¯¯ ¯ − ¯¯ 3 −1 −2 ¯¯ ¯ 1 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −3 2 ¯ −2 ¯¯ ¯ + 1 ¯ −3 ¯ − 3 ¯ ¯ −1 ¯ ¯ 0 1 1 ¯ ¯ −1 ¯ − ¯¯ 2 ¯ 3 ¯ ¯ ¯ −3 ¯¯ − 2 ¯¯ −2 ¯
−3 2 −1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
2 −3 −2
¯ ¯ ¯ −3 −3 2 ¯¯ + 3 ¯¯ −1 −2 ¯ 2
51
¯ −3 ¯¯ = −15 −2 ¯
¯¶ 2 ¯¯ = −2 ¯
−18
¯¶ 2 ¯¯ = −6 −3 ¯
Nota 2.5. El determinante se puede calcular a partir de los elementos de cualquier l´ınea (fila o columna) det(A) =
n X
ai1 Ai1 =
i=1
n X
a1i A1i
n n X X = aki Aki = aik Aik ,
i=1
i=1
Ejemplo 2.2. Calcular el determinante 3 1 T = 2 1 Soluci´ on: ¯ ¯ 2 ¯ det(T ) = 3 ¯¯ 3 ¯ 4
0 2 5
0 0 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=3·2·¯ 2 0 ¯ ¯ 5 1 ¯
k = 1, . . . , n
i=1
de la matriz 0 0 0 2 0 0 3 2 0 4 5 1
¯ ¯ ¯ = 3 · 2 · 2 · 1 = 12. ¯
Obs´ervese que para calcular el determinante de la matriz anterior ha bastado con multiplicar los elementos de su diagonal. Esto es siempre as´ı para cualquier matriz triangular inferior como enuncia el siguiente teorema. Teorema 2.1. Sea T = (tij ) una matriz triangular inferior de dimensi´ on n, entonces: det(T ) = t11 t22 . . . tnn =
n Y
i=1
tii
52
Cap´ıtulo 2. Determinantes
Demostraci´ on. (por inducci´on) ¯ ¯ ¯ t 0 ¯¯ k = 2, cierto ya que ¯¯ 11 = t11 t22 , t21 t22 ¯ k = n − 1 se supone cierto (hip´ otesis de inducci´ on), k = n, det(T ) =
t11 t21 .. .
0 t22 .. .
... ... .. .
0 0 .. .
tn1
tn2
...
tnn
¯ ¯ t22 ¯ ¯ . = t11 ¯ .. ¯ ¯ tn2
... .. . ...
0 .. . tnn
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = t11 t22 . . . tnn .¤ ¯ ¯
Nota 2.6. Si T es una matriz triangular superior sucede lo mismo.
2.3.
C´ alculo de un determinante mediante operaciones elementales en las filas
Teorema 2.2. Si una matriz A tiene una fila o una columna de ceros entonces det(A) = 0. Demostraci´ on. Basta desarrollar el determinante a partir de la fila o columna nula. on n, Teorema 2.3. Sea A una matriz cuadrada de dimensi´ 1.
si A0 es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por el escalar λ entonces det(A0 ) = λ det(A).
2.
si A0 es la matriz que se obtiene al intercambiar dos filas de A entonces det(A0 ) = − det(A).
3.
si A0 es la matriz que se obtiene al a˜ nadir un m´ ultiplo de una fila de A a otra fila de A entonces det(A0 ) = det(A).
Nota 2.7. El teorema anterior tambi´en es v´alido si las operaciones se realizan sobre las columnas. El teorema 2.3 permite desarrollar un m´etodo alternativo para calcular el determinante de una matriz: Mediante las transformaciones elementales descritas en el teorema 2.3 se transforma la matriz dada, A, en una matriz escalonada E.
2.4. Propiedades del determinante
53
Una matriz escalonada cuadrada es siempre triangular superior por lo que el determinante de E se calcula multiplicando los elementos de su diagonal. Se obtiene el determinante de A a partir del determinante de E utilizando el teorema 2.3 Ejemplo 2.3. Calcular el determinante de la matriz 1 2 0 2 −1 2 3 1 A= −3 2 −1 0 2 −3 −2 1 Soluci´ on:¯ ¯ 1 ¯ ¯ −1 det(A) = ¯¯ ¯ −3 ¯ 2 ¯ ¯ 1 2 0 ¯ ¯ 3 1 ¯ 0 4 = 4¯ 0 0 −7 ¯ ¯ 0 0 13
2 2 2 −3 2 3 0 9
0 3 −1 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 4 ¯ ¯ ¯
2 1 0 1 1 0 0 0
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 4 0 0
1 0 0 0
2 4 8 −7
0 3 −1 −2
¯ 0 2 ¯¯ 3 3 ¯¯ = −7 0 ¯¯ 0 9 ¯
1 4
2 3 6 −3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 4 ¯ ¯ ¯
1 0 0 0
2 4 8 −28
0 3 −1 −8
2 3 6 −12
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
· 4 · (−7) · (9) = −63.
La siguiente proposici´on tambi´en resulta u ´til para el c´alculo del determinante. Proposici´ on 2.1. Si A es una matriz cuadrada de dimensi´ on n entonces det(A) = det(At )
2.4.
Propiedades del determinante
Proposici´ on 2.2. El rango de una matriz cuadrada de dimensi´ on n, A, es igual a n Ssi det(A) 6= 0 rg(A) = n ⇔ det(A) 6= 0 Corolario 2.4. Una matriz es inversible Ssi det(A) 6= 0. Corolario 2.5. Los vectores fila o columna de una matriz son linealmente dependientes Ssi det(A) = 0. Proposici´ on 2.3. Sea A una matriz cuadrada de dimensi´ on n y k un escalar cualquiera. det(kA) = k n det(A).
54
Cap´ıtulo 2. Determinantes
¯ ¯ ka11 ¯ por ejemplo: ¯¯ ka21 ¯ ka31
ka12 ka22 ka32
ka13 ka23 ka33
¯ ¯ ¯ ¯ a11 ¯ ¯ ¯ = k 3 ¯ a21 ¯ ¯ ¯ ¯ a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Proposici´ on 2.4. Si A y B son dos matrices cuadradas det(AB) = det(A) det(B). Proposici´ on 2.5. Si A es una matriz cuadrada inversible det(A−1 ) =
1 det(A) .
Nota 2.8. En general det(A + B) 6= det A + det B.
2.5. 2.5.1.
Aplicaciones del determinante Obtenci´ on de la inversa de una matriz
Dada un matriz cuadrada de dimensi´on n, A, conocer el valor de det(A) permite determinar no s´olo la existencia de inversa de A, sino que, adem´as, en caso de que exista A−1 es posible obtener su expresi´on en funci´on de det(A). Para ello es necesario seguir los siguientes pasos: Se calculan los adjuntos de todos y cada uno de los elementos aij de A (i, j = 1, . . . , n) y se construye la matriz adjunta de A que se denota por Adj(A). A11 A21 . . . An1 A12 A22 . . . An2 (1) Adj(A) = . .. . . .. .. . . . A1n
A2n
...
Ann
Se obtiene la inversa de A dividiendo la matriz adjunta de A por el determinante de A. 1 A−1 = Adj(A) det(A) Ejemplo 2.4. Hallar la inversa de
3 A= 1 2 1 Cada
2 6 −4
−1 3 0
elemento de A se sustituye por su adjunto y se traspone la matriz resultante.
2.5. Aplicaciones del determinante
Soluci´ on: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯ 2 −1 ¯ ¯ −4 0 ¯ ¯ −4 0 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 3 ¯ ¯ 3 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Adj(A) = −¯ 2 0 ¯ ¯ 2 0 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 1 6 ¯¯ 2 ¯¯ ¯ − ¯¯ ¯ 2 −4 ¯ 2 ¯−4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −1 ¯ ¯ 3 −1 ¯ ¯ + 4¯ ¯ = 64 det(A) = 2 ¯¯ ¯ 1 6 3 ¯ 3 ¯ 12 1 1 6 Adj(A) = A−1 = det(A) 64 −16
2.5.2.
55
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯¯
2 −1 6 3 3 −1 3 ¯1 ¯ 3 2 ¯ ¯ 1 6
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
12 4 = 6 2 −16 16
3 4 12 16 3 2 −10 = 32 16 −16 − 14
1 16 1 32 1 4
3 16 5 − 32 1 4
12 −10 −16
C´ alculo del rango de una matriz
Teorema 2.6. Sea A una matriz de dimensi´ on m × n. Se verifica que rg(A) = r ≤ m´ın(m, n) Ssi existe al menos una submatriz Ar de A de orden r ×r tal que det(Ar ) 6= 0 y todos los menores de orden r + 1 son nulos. Nota 2.9. Del teorema anterior se concluye que para determinar el rango de una matriz puede recurrirse a los menores: buscando uno que sea no nulo y tal que todos los de mayor orden sean nulos, el orden del menor no nulo es el rango de la matriz. Sin embargo el encontrar un menor que cumpla las condiciones anteriores puede ser muy laborioso. Esta b´ usqueda se puede simplificar si se procede met´odicamente: Se toma una submatriz de A, A2 , de orden 2 tal que el menor correspondiente sea no nulo (det(A2 ) 6= 0) y se orla con una fila fija i y con sucesivas columnas. Si todos los menores de orden tres que as´ı se obtienen son nulos se puede prescindir de la fila i, pues es combinaci´on lineal de las de A2 . Se repite el proceso con otras filas hasta: * descubrir que todos los menores de orden 3 as´ı obtenidos son nulos, en cuyo caso el rango de A es 2. * o encontrar un menor de orden 3 no nulo (p.e. det(A3 ) 6= 0) en cuyo caso el rango de A ser´a ≥ 3. A partir de aqu´ı habr´a que orlar a A3 con una fila y con sucesivas columnas siguiendo el mismo proceso que con A2 , lo que lleva bien a que el rango es 3 (si todos los menores de orden 4 son nulos), bien a que el rango es mayor o igual que 4 (cuando se encuentre un menor de orden 4 no nulo). Siguiendo as´ı se llega a un menor no nulo del mayor tama˜ no posible; este tama˜ no es el rango buscado.
56
Cap´ıtulo 2. Determinantes
Ejemplo 2.5. Determinar el rango de la matriz
1 −1 A= 3 3 on: ¯ ¯Soluci´ ¯ 1 4 ¯¯ ¯ ¯ −1 −1 ¯ 6= 0 ⇒ rg(A) ≥ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 4 4 2 ¯¯ ¯ ¯ ¯ = 0, ¯ −1 −1 ¯ −1 −1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ 3 4 4 −2 ¯ primeras. ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 4 4 2 ¯¯ ¯ ¯ ¯ −1 −1 1 ¯ = 0, ¯ −1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 12 ¯ 3 12 6 ¯ primeras. Por lo tanto todos los rango de A es 2.
3 0 1
4 2 3 −1 1 0 4 −2 1 12 6 9
¯ ¯ ¯ ¯ = 0 ⇒ la fila 3 4 ¯ ¯
−2
1 es c.l. de las dos
¯ 3 ¯¯ 0 ¯¯ = 0 ⇒ la fila 3 12 6 9 es c.l. de las dos 9 ¯ menores de orden 3 de la matriz A son nulos y el
Nota 2.10. En cualquier caso el m´etodo que se acaba de describir para la determinaci´ on del rango de una matriz es mucho m´as lento que el m´etodo, descrito en el tema anterior, de obtener una matriz escalonada mediante operaciones elementales en las filas de la matriz. Esta diferencia en la eficacia de ambos m´etodos va aumentando con la dimensi´on de la matriz A.
2.5.3.
Regla de Cramer
Consideremos el sistema lineal n X
aij xj = bi (i = 1, 2, ..., n)
(2.1)
j=1
o, en forma matricial Ax = b .
(2.2)
La soluci´on se puede escribir como x = A−1 b =
Adj(A) b. det(A)
(2.3)
2.6. Referencias bibliogr´ aficas
Como se tiene que
obtenemos, por tanto, la ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ xi =
57
Pn bi Ai1 Pi=1 n i=1 Pn bi Ai2 i=1 bi Ai3 Adj(A)b = .. Pn . i=1 bi Ain
(2.4)
f´ormula (llamada regla de Cramer): a11 a21 .. .
... ... .. .
a1,i−1 a2,i−1 .. .
an1
... an,i−1
b1 b2 .. .
a1,i+1 a2,i+1 .. .
... ... .. .
a1n a2n .. .
bn an,i+1 det(A)
...
ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
(2.5)
es decir, xi es el cociente entre el determinante de la matriz A con la columna i−´esima sustituida por b y el determinante de A.
2.6.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones mas detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 2 de [1], el 4 de [2], el 3 de [10], el 7 del [11] y el 12 de [12]. Para profundizar m´as en el tema, estudiando los determinantes como un caso particular de forma multilineal alternada y por lo tanto introduci´endose en el ´algebra tensorial, ver [5], [18] y [35].
2.7. 1.
Ejercicios
Dada la matriz A=
−x 1 1 0 4 −3 0 3x 1 1
3 −1 4 1 x 2 −2 0 −2x , 7 −3 2 x x 1
hallar el coeficiente del t´ermino x5 que aparece en el c´alculo del valor del determinante de A. Soluci´ on: 6
58
2.
Cap´ıtulo 2. Determinantes
Dada la matriz
1 3 A= 1 0
2 −1 −2 −3
0 5 3 0
1 2 , 4 −1
se pide: a) Calcular los menores complementarios |M21 | , |M22 | , |M23 | y |M24 |. b) Hallar los cofactores o adjuntos A21 , A22 , A23 y A24 . c) Determinar el valor de det(A). Soluci´ on: a) 3, -3, 13, 9 b) -3, -3, -13, 9 c) -53 3.
Hallar lumna ¯ ¯ ¯ ¯ (a) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (d) ¯¯ ¯ ¯
el valor de los siguientes determinantes desarrollando por una fila o co2 0 0 0
0 0 −1 0
¯ 0 0 ¯¯ 3 0 ¯¯ 0 0 ¯¯ 0 4 ¯
1 0 1 0
−1 −3 4 5
2 5 0 −6
4 6 3 7
Soluci´ on: a) 24 b) 80 c) 0 d ) -260 e) -200 4.
Sabiendo que ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ a21 a22 a23 ¯ ¯ a31 a32 a33
¯ ¯ ¯ ¯=3 ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ (b) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (e) ¯¯ ¯ ¯ ¯
2 −3 1 4 0 −2 0 0 3 7 −1 2 4 1 −3 8 2 0 0 1 0 3 −1 2 2 4 3 1 7 −1 0 2 4 6 2 5
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 −2 3 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ 3 ¯ ¯ 4 (c) ¯¯ ¯ −1 ¯ 6
−1 3 0 2
2 1 2 5
1 −2 3 2
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
2.7. Ejercicios
59
calcular: ¯ ¯ ¯ a11 a13 a12 ¯ ¯ ¯ (a) ¯¯ a21 a23 a22 ¯¯ ¯ ¯ ¯ a31 a33 a32 ¯ a11 − 2a13 a12 a13 ¯ (c) ¯¯ a21 − 2a23 a22 a23 ¯ a31 − 2a23 a32 a33
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯¯ ¯ (b) ¯¯ −a21 −a22 −a23 ¯¯ ¯ ¯ ¯ 2a31 2a32 2a33 ¯ a31 a32 ¯ (d) ¯¯ 2a21 − 4a11 2a22 − 4a12 ¯ a11 a12
a33 2a23 − 4a13 a13
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Soluci´ on: a) -3 b) -6 c) 3 d ) -6 5.
Demostrar que si una matriz cuadrada, A, de dimensi´on n es antisim´etrica, entonces |A| = (−1)n |A| ¿Cu´al es el valor de |A| si n es impar? Soluci´ on: Si n es impar |A| = 0.
6.
Calcular el valor del siguiente determinante, ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ x x 1 2 ¯ 2 2 ¯ x x 2 1 ¯ ¯ .. .. ¯ . ¯ n−1. n−1 ¯ x x 1 2 Soluci´ on:
Q
1 x3 x23 .. .
... ...
x3n−1
...
¯ 1 ¯¯ xn ¯¯ x2n ¯¯ .. ¯ . ¯¯ xn−1 ¯ n
(xk − xj )
1≤j son: x1 = λ x2 = λ x3 = µ
Ecuaciones impl´ıcitas Definici´ on 3.8. Si en el sistema (1) se eliminan los par´ ametros t1 , . . . , tp se obtiene un sistema homog´eneo de n − p ecuaciones que reciben el nombre de ecuaciones impl´ıcitas de W. © ª El sistema (1) es un sistema compatible determinado por ser u1 , . . . , up una base de W, y por ello habr´a u ´nicamente p ecuaciones linealmente independientes. Para eliminar los p par´ametros ti (i = 1, . . . , p) ´estos se despejan en funci´on de las xi
74
Cap´ıtulo 3. Espacios vectoriales
(i = 1, . . . , n) utilizando las ecuaciones linealmente independientes y se sustituyen en las n − p restantes, obteni´endose un sistema homog´eneo de n − p ecuaciones que son las ecuaciones impl´ıcitas de W. Nota 3.16. Para obtener las ecuaciones param´etricas y por lo tanto una base a partir de las ecuaciones impl´ıcitas basta con resolver el sistema homog´eneo. Las inc´ognitas libres ser´an los par´ametros. Ejemplo 3.10. En lR6 determinar unas ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas del s.e.v. D E S = (1, 1, 0, 1, 0, 1)t{ei } , (0, 2, 0, 2, 0, 1)t{ei } , (0, 0, 0, 1, 0, 1)t{ei } referido a la base {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } . Soluci´ on: para obtener unas ecuaciones param´etricas de S se busca en primer lugar una base de S. Como (1, 1, 0, 1, 0, 1)t{ei } , (0, 2, 0, 2, 0, 1)t{ei } y (0, 0, 0, 1, 0, 1)t{ei } constituyen un sistema generador de S y adem´as son linealmente independientes forman tambi´en una base de S. Una vez obtenida una base, las ecuaciones param´etricas se obtienen imponiendo que cualquier vector del subespacio S se puede expresar como combinaci´on lineal de los tres vectores de la base: x1 1 1 1 x2 1 1 1 x3 = α 0 + β 0 + γ 0 x4 1 1 1 x5 0 0 0 x6 1 1 1 La ecuaci´on vectorial anterior da lugar a seis ecuaciones escalares que constituyen unas ecuaciones param´etricas de S: x1 = α x2 = α + 2β x3 = 0 S= , x4 = α + 2β + γ x5 = 0 x6 = α + β + γ Si se despeja α de la primera ecuaci´on, β de la segunda, γ de la cuarta y se introducen sus expresiones en funci´on de x1 , x2 y x4 en las restantes tres ecuaciones se obtienen unas ecuaciones impl´ıcitas de S: 1 2 x1 − 12 x2 + x4 − x6 = 0 x3 = 0 S= x5 = 0
3.7. Suma de subespacios
75
Proposici´ on 3.6. Sea W un subespacio vectorial de un espacio vectorial, V , de dimensi´ on n. Si el n´ umero de ecuaciones impl´ıcitas linealmente independientes es r, la dimensi´ on de W es n − r. Nota 3.17. (Casos extremos) 1.
r = n, n ecuaciones linealmente independientes → El sistema homog´eneo u ´nicamente admite la soluci´on nula, W = {0} .
2.
r = 1, 1 ecuaci´on linealmente independiente → dim W = n − 1.
3.7.
Suma de subespacios
Definici´ on 3.9. Sean U1 y U2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Se denomina suma de U1 y U2 al conjunto U1 + U2 = {u1 + u2 u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 } Proposici´ on 3.7. El conjunto definido en la anterior definici´ on es un s.e.v. de V, es m´ as, se trata del menor de todos los s.e.v. de V que contiene a U1 y U2 . Ejemplo 3.11. En el e.v. lR4 se consideran los subespacios U1 = {(α, β, 0, 0) α, β ∈ lR} y U2 = {(0, λ, µ, 0) λ, µ ∈ lR}. Entonces: U1 + U2 = {(x, y, z, 0) x, y, z ∈ lR} Definici´ on 3.10. Sean U1 y U2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Se dice que U1 + U2 es una suma directa de subespacios vectoriales y se escribe U1 ⊕ U2 si cualquier vector de dicha suma de subespacios puede expresarse de una u ´nica forma como suma de vectores de U1 y U2 . Definici´ on 3.11. Si U1 + U2 es una suma directa (U1 + U2 = U1 ⊕ U2 ) se dice que U1 y U2 son subespacios independientes. Proposici´ on 3.8. Los s.e.v. U1 y U2 son independientes Ssi. su intersecci´ on es nula. Proposici´ on 3.9. La suma U1 + U2 es directa Ssi ∀u1 ∈ U1 y ∀u2 ∈ U2 , u1 + u2 = 0 ⇒ u1 = u2 = 0 Definici´ on 3.12. En un espacio vectorial V, dos subespacios U1 y U2 se dicen suplementarios en V si cualquier vector v ∈V se puede expresar de forma u ´nica como suma de un vector de U1 m´ as un vector de U2 .
76
Cap´ıtulo 3. Espacios vectoriales
Nota 3.18. Seg´ un la definici´on de suma directa se verifica: µ ¶ U1 + U2 = V U1 y U2 son suplementarios en V ⇔ U1 ⊕ U2 = V ⇔ U1 ∩ U2 = {0} on finita se verifica: Proposici´ on 3.10. En un espacio vectorial V de dimensi´ 1. 2. 3. 4.
µ ¶ U1 y U2 son suplementarios en V B = B1 ∪ B2 B1 es una base de U1 ⇒ . es una base de V B2 es una base de U2 U1 y U2 son suplementarios en V ⇒ dim U1 + dim U2 = dim V . U1 y U2 son B = {e1 , . . . , es , es+1 , . . . , en } base de V ⇒ suplementarios . U1 = he1 , . . . , es i U2 = hes+1 , . . . , en i en V Todos los s.e.v. de V tienen alg´ un s.e.v. suplementario en V .
Proposici´ on 3.11. Si U1 y U2 son dos s.e.v. de un e.v., V, de dimensi´ on finita, se verifica: dim U1 + dim U2 = dim(U1 + U2 ) + dim(U1 ∩ U2 )
3.8.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar los cap´ıtulos 3 y 4 de [1], el cap´ıtulo 5 de [2], el 4 de [10], el 5 del [11] y el 4 de [12]. Para profundizar m´as en el tema ver [19] y [9].
3.9.
Ejercicios
1.
Comprobar que el conjunto C(lR, lR), de las funciones continuas de lR en lR, es un espacio vectorial real respecto de las operaciones usuales (suma de funciones y producto de escalar por funci´on).
2.
Se consideran las siguientes funciones de C(lR, lR) : {sen(x), 1, x, x2 , . . . , xn }, estudiar si la primera de ellas es una combinaci´on lineal de las dem´as. Soluci´ on: No es una combinaci´on lineal.
3.
Indicar si los siguientes subconjuntos son o no subespacios vectoriales de los espacios vectoriales que se indican en cada apartado:
3.9. Ejercicios
77
a) W1 = {(x, y, z) ∈ lR3 x = z} de lR3 b) W2 = {(x, y, z, t) ∈ lR4 x = 1} de lR4 c) W3 = {(x, y) ∈ lR2 x ≥ 0 e y ≥ 0} de lR2 d ) W4 = {(x, y, z) ∈ lR3 x = z, 2x + z = 0} de lR3 e) W5 = {(x, y) ∈ lR2 x = 0 ´o y = 0} de lR2 f ) W6 = {(x, y) ∈ lR2 ex + y = 0} de lR2 Soluci´ on: a) Si b) No c) No d ) Si e) No f ) No 4.
Escribir el vector u = (1, 3)t ∈ lR2 como combinaci´on lineal de los vectores de lR2 a) (1, 1)t , (1, 0)t b) (3, 1)t , (−1, 1)t , (2, 3)t Nota: se supondr´a que todos los vectores que aparecen en el enunciado est´an referidos a la misma base de lR2 Soluci´ on: a) u = 3(1, 1)t − 2(1, 0)t b) u = (1 − 54 α)(3, 1)t + (2 − 74 α)(−1, 1)t + α(2, 3)t (Existen infinitas opciones)
5.
Escribir, si es posible, el vector u = (1, −1, 4)t ∈ lR3 como combinaci´on lineal de los siguientes vectores de lR3 . a) (1, 1, 2)t , (0, 0, 1)t b) (2, −2, 0)t , (−1, 1, 2)t c) (1, 0, 1)t , (0, 1, 1)t , (1, 1, 0)t Nota: se supondr´a que todos los vectores que aparecen en el enunciado est´an referidos a la misma base de lR3 . Soluci´ on:
78
Cap´ıtulo 3. Espacios vectoriales
a) No es posible expresar u como combinaci´on lineal de (1, 1, 2)t y (0, 0, 1)t b) u = 23 (2, −2, 0)t + 2(−1, 1, 2)t c) u = 3(1, 0, 1)t + (0, 1, 1)t − 2(1, 1, 0)t 6.
Consid´erese el e.v. V = M2,2 (lR), de las matrices cuadradas de tama˜ no 2 × 2, y sea S = {M1 , M2 , M3 , M4 } el sistema formado por las matrices: ¶ ¶ ¶ ¶ µ µ µ µ 0 0 0 1 1 1 1 0 M1 = M2 = M3 = M2 = 0 1 0 1 0 0 1 0 Se pide: a) comprobar que S es una base de V, b) hallar las coordenadas x1 , x2 , x3 , x4 en la base S de una matriz gen´erica, M, de V. µ ¶ a b M= c d Soluci´ on: (b) x1 = a − b − c + d, x2 = −a + b + c, x3 = a − c, x4 = c
7.
Estudiar si son base de lR3 los siguientes conjuntos de vectores (todos ellos referidos a la base can´onica de lR3 ): a) B1 = {(1, 2, 3)t , (0, 0, 1)t , (−1, 1, 0)t } b) B2 = {(1, 1, 1)t , (2, 0, 1)t , (4, 2, 3)t } c) B3 = {(1, 0, 0)t , (0, 1, 0)t , (0, 0, 1)t } d ) B4 = {(3, −1, 0)t , (0, 1, 2)t } e) B5 = {(1, 1, 1)t , (0, 0, 1)t , (0, −1, 0)t , (3, 0, 1)t } Soluci´ on: a) B1 es una base de lR3 b) B2 no es una base de lR3 c) B3 es una base de lR3 d ) B4 no es una base de lR3 e) B5 no es una base de lR3
8.
En el e.v. de los polinomios de grado menor o igual que 4, se consideran los polinomios: p1 (x) = 3 − 2x + x2 + 4x3 + x4
3.9. Ejercicios
79
p2 (x) = 4 − x + x2 + 6x3 − 2x4 p3 (x) = 7 − 8x + 3x2 + ax3 + bx4 hallar a y b para que el subespacio que engendran p1 , p2 y p3 sea de dimensi´on 2. Hallar una base de este subespacio y determinar las coordenadas en ella de los tres polinomios dados. Soluci´ on: a = 8, b = 9. Base del s.e.v.: B = {p1 , p2 }. Coordenadas de los tres polinomios en la base B : p1 = (1, 0)tB , p2 = (0, 1)tB , p3 = (5, −2)tB 9.
Dados los vectores a1 = (1, 2, 0, 0)t , a2 = (1, 2, 3, 4)t y a3 = (3, 6, 0, 0)t de lR4 , se pide: a) determinar una base del subespacio vectorial ha1 , a2 , a3 i e indicar cual es su dimensi´on, b) hallar unas ecuaciones param´etricas de ha1 , a2 , a3 i , c) determinar unas ecuaciones impl´ıcitas de ha1 , a2 , a3 i . Nota: los tres vectores del enunciado est´an referidos a la base can´onica de lR4 . Soluci´ on: a) Base de ha1 , a2 , a3 i = {(1, 2, 0, 0)t , (0, 0, 3, 4)t } x1 = α x2 = 2α 4 t b) ha1 , a2 , a3 i = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ lR , ∀α, β ∈ lR x3 = 3β x4 = 4β © ª c) ha1 , a2 , a3 i = (x1 , x2 , x3 , x4 )t ∈ lR4 2x1 − x2 = 0, 4x3 − 3x4 = 0
10.
Sea W = pide:
©
(x, y, z)t ∈ lR3 x + y + z = 0
ª
y sea v = (2, −1, −1)t{ei } ∈ W. Se
a) comprobar que BW = {(−1, 0, 1)t{ei } , (−1, 3, −2)t{ei } } es una base de W, b) hallar las coordenadas de v respecto de BW , c) hallar las coordenadas de v respecto de la base B de lR3 dada por B = {(1, 1, 0)t{ei } , (0, 1, 1)t{ei } , (2, 0, 1)t{ei } }. Soluci´ on: a) v = − 53 (−1, 0, 1)t{ei } − b) v = ( 23 , − 53 , 32 )tB
1 3
(−1, 3, −2)t{ei } = (− 53 , − 13 )tBW
80
Cap´ıtulo 3. Espacios vectoriales
11.
Consid´erense los conjuntos de polinomios S = {p1 , p2 , p3 } y T = {q1 , q2 , q3 }, donde: p1 (x) = 1 + 2x + 5x2 + 3x3 + 2x4 p2 (x) = 3 + x + 5x2 − 6x3 + 6x4 p3 (x) = 1 + x + 3x2 + 2x4 q1 (x) = 2 + x + 4x2 − 3x3 + 4x4 q2 (x) = 3 + x + 3x2 − 2x3 + 2x4 q3 (x) = 9 + 2x + 3x2 − x3 − 2x4 Si U y V son los subespacios de P4 engendrados por S y T respectivamente, hallar la dimensi´on y una base de los subespacios U + V y U ∩ V . Nota 1: la uni´on de una base de U con una base de V forma un sistema generador de U + V, por lo tanto para hallar una base de U + V basta con extraer de la uni´on anterior aquellos vectores linealmente independientes. Nota 2: un vector que pertenezca a U ∩V debe verificar, a la vez, las ecuaciones impl´ıcitas de U y de V, por lo tanto para hallar las ecuaciones impl´ıcitas de U ∩V basta con agrupar las de U y V y eliminar aquellas que sean combinaci´on lineal del resto. Soluci´ on: la dimensi´on de U + V es 3 y una base de U + V es, por ejemplo, {r1 (x) = p1 (x), r2 (x) = −5x2 − 10x3 − 15x4 , r3 (x) = −2x3 + 4x4 − 4x5 }. La dimensi´ on de U ∩ V es 1 y una base de U ∩ V es, por ejemplo, {q1 }.
12.
Dados los subespacios vectoriales de lR4 . W1 = {(x, y, z, t) ∈ lR4 2x = y, 2z = t} W2 = {(x, y, z, t) ∈ lR4 x + y + z + t = 0} W3 = {(x, y, z, t) ∈ lR4 x = y = z = t} Se pide: a) calcular los subespacios vectoriales W1 + W2 , W1 + W3 , W2 + W3 , b) calcular los subespacios vectoriales W1 ∩ W2 , W1 ∩ W3 , W2 ∩ W3 , c) ¿son suplementarios los subespacios W1 y W2 ? ¿Y los subespacios W2 y W3 ? Soluci´ on: © ª a) W1 +W2 = lR4 ; W1 +W3 = (x, y, z, t) ∈ lR4 y = 2x − 2z + t ; W2 +W3 = lR4 b) W1 ∩ W2 = {(x, y, z, t) ∈ lR4 2x = y, 2z = t, x + y + z + t = 0}; W1 ∩ W3 = {0} ; W2 ∩ W3 = {0} c) W1 y W2 no son subespacios suplementarios. W2 y W3 si son subespacios suplementarios.
3.9. Ejercicios
13.
81
La red cristalina del titanio tiene estructura hexagonal. Los vectores 2,6 0 0 u1 = −1,5 , u2 = 3 , u3 = 0 0 0 4,8 forman una base para la celda unitaria, en donde las coordenadas de los tres vectores est´an referidas a la base can´onica de lR3 y representan distancias en ˚ A (1˚ A = 10−8 cm). En aleaciones de titanio puede haber algunos ´atomos adicionales en la celda unitaria en los sitios octa´edricos y tetra´edricos (as´ı llamados por los objetos geom´etricos que forman los ´atomos en esos lugares). Una de las posiciones octa´edricas es 1/2 a0 = 1/4 , 1/6 respecto de la base de la red. Se pide determinar las coordenadas de este sitio relativas a la base can´onica de lR3 . Soluci´ on: a0 = (10 3, 0, 00 8)t{ei } .
14.
Siguiendo con la red cristalina del titanio y sabiendo que una de las posiciones tetra´edricas es 1/2 at = 1/2 , 1/3 respecto de la base de la red. Se pide determinar las coordenadas de este sitio relativas a la base can´onica de lR3 . Soluci´ on: at = (10 3, 00 75, 10 6)t{ei } .
82
Cap´ıtulo 3. Espacios vectoriales
Cap´ıtulo 4
Aplicaciones lineales 4.1.
Introducci´ on
Cuando se define un espacio que engloba objetos matem´aticos de una determinada naturaleza, es porque interesa realizar alg´ un tipo de operaci´on con ellos. En el caso de los espacios vectoriales, las operaciones habituales (rotaciones, reflexiones, etc.) son expresables como aplicaciones lineales y entran dentro del dominio de la geometr´ıa. En la mec´anica de medios continuos o en el estudio de fen´omenos de transporte se vuelven muy u ´tiles los conceptos de aplicaci´on lineal, matriz de rotaci´on, matriz de dilataci´on, etc. cuando, por ejemplo, se discute la derivaci´on de los tensores de esfuerzos en las relaciones constitutivas. Adem´as, muchas operaciones como la derivaci´on o la integraci´on son, de hecho, aplicaciones lineales en espacios de funciones. Esto permite abordar cuestiones cl´asicas de c´alculo desde una perspectiva geom´etrica.
4.2.
Definiciones y propiedades
Definici´ on 4.1. Sean dos conjuntos A y B, y un subconjunto del producto cartesiano de A y B, G ⊂ A × B, que goza de la siguiente propiedad: ∀x ∈ A
∃!y ∈ B (x, y) ∈ G
Se dice entonces que G determina una aplicaci´ on, f, de A en B o una funci´ on f definida en A y que toma valores en B. ´nico elemento de B para el que Nota 4.1. Para cada x ∈ A se denota por f (x) al u se verifica que (x, f (x)) ∈ G, se dice que f (x) es la imagen de x (y que x es el 83
84
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
antecedente de f (x)) f : A→B x → y = f (x) Nota 4.2. Se dice que A es el conjunto origen de f y B es su conjunto de llegada. Nota 4.3. Al conjunto de todas las aplicaciones que se pueden definir entre A y B se le denota por F(A,B). on Definici´ on 4.2. Dados dos lK−espacios vectoriales V y W se dice que una aplicaci´ f de V en W es un homomorfismo o aplicaci´ on lineal si ∀u, v ∈V y ∀λ, µ ∈ lK ½ f (u + v) =f (u) + f (v) f (λu+µv) =λf (u) + µf (v) o, lo que es lo mismo, f (λu) = λf (u) Definici´ on 4.3. Una aplicaci´ on lineal, f : V → W, recibe el nombre de endomorfismo si V = W. Ejemplo 4.1. Se muestran a continuaci´on algunos ejemplos de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales: 1.
La aplicaci´on f : lR3 → lR2 definida mediante f ((x, y, z)t ) = (2x − y + 4z, −3x + 5y + 6z)t es una aplicaci´on lineal de lR3 en lR2 .
2.
Generalizando el ejemplo anterior, la aplicaci´on f:
lRn
→
lRm
x = (x1 , . . . xn )t
→
f ((x1 , . . . xn )t ) = (
n P i=1
a1i xi , . . .
n P i=1
ami xi )t
es una aplicaci´on lineal de lRn en lRm . Si se tiene en cuenta que y = f ((x1 , . . . xn )t ) es un vector de m componentes, la aplicaci´on f tambi´en se puede expresar como y = f (x), igualdad que implica: y1 = y2 = .. .
n P i=1 n P i=1
ym =
a1i xi a2i xi
n P i=1
y1 ⇔ ... = ym
a11 .. . am1
... .. . ...
a1n x1 .. .. . . amn xn
ami xi
en donde (y1 , . . . , ym ) son las componentes de y en una base de lRm y (x1 , . . . , xn ) son las componentes de x en una base de lRn .
4.2. Definiciones y propiedades
85
Definici´ on 4.4. Sean V y W dos lK− espacios vectoriales de dimensi´ on finita, {ei }i=1...n y {ui }i=1...m dos bases de V y W , respectivamente, y (xi )i=1...n e (yi )i=1...m las coordenadas en dichas bases de dos vectores, x ∈V e y ∈W. Si f : V → W es una aplicaci´ on lineal entonces f admite la siguiente ecuaci´ on matricial respecto a las bases anteriores: y1 a11 . . . a1n x1 .. .. .. . . .. . = . . ⇔ y =Ax . . ym
am1
...
amn
xn
Se dice que A = (aij )m×n es la matriz de la aplicaci´ on lineal f respecto de las bases {ei } de V y {ui } de W. Nota 4.4. Es f´acil comprobar que: f (ej ) =
m X
aij ui
j = 1, . . . , n ,
i=1
dicho de otro modo: Las columnas de A son las coordenadas de las im´ agenes de los vectores de la base {ei } respecto de la base {ui }. Ejemplo 4.2. Casos particulares de matrices de aplicaciones lineales. 1.
En el ejemplo 1 anterior la matriz de la aplicaci´on lineal es: µ ¶ 2 −1 4 A= −3 5 6 por lo tanto la aplicaci´on lineal se puede expresar como: ( µ ¶ µ ¶ x a = (u, v)t{ui } u 2 −1 4 y ⇔ a =f (b), con = b = (x, y, z)t{ei } v −3 5 6 z Siendo las im´agenes de los vectores de la base {e1 , e2 , e3 } f (e1 ) = f (e2 ) = f (e3 ) =
2.
2u1 − 3u2 −u1 + 5u2 4u1 + 6u2
La matriz de la aplicaci´on lineal T : lR2 v = (x, y)t
→ →
lR2 T ((x, y)t ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)t
86
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
es:
µ
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
¶
Geom´etricamente, T (v) es el vector resultante de rotar v un ´angulo θ en sentido positivo. En la figura 4.1 se observa el resultado de aplicar la aplicaci´on T con α = π/6 a los vectores de posici´on de los puntos del contorno de la letra M. 10
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2 y
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x
Figura 4.1: Ejemplo de aplicaci´on lineal: rotaci´on de 30o . 3.
La matriz de la aplicaci´on lineal S : lR2 v = (x, y)t es:
→ lR2 → S((x, y)t ) = (x, −2x + y)t µ
1 0 −2 1
¶
Geom´etricamente, S(v) es el vector cuya coordenada x permanece igual a la de v y su coordenada y es igual a la coordenada y de v m´as la x de v multiplicada por −2. En la figura 4.2 se observa el resultado de aplicar la aplicaci´on S a los vectores de posici´on de los puntos del contorno de la letra M: se produce una cizalla sobre el eje y de factor -2. 4.
Sup´ongase una aplicaci´on lineal, f, definida entre lRn y lRm . Dado un vector b ∈ lRm , hallar su antecedente por f (encontrar x t.q. f (x) = b) es equivalente a resolver el sistema Ax = b, donde A es la matriz asociada a f en ciertas bases de lRn y lRm . El sistema Ax = b es un sistema lineal de ecuaciones por estar asociado a una aplicaci´on lineal. Obs´ervese que si f (x1 ) = b1 y f (x2 ) = b2 , f (λx1 + µx2 ) = λf (x1 ) + µf (x2 ) = λb1 + µb2 : una combinaci´ on lineal de soluciones de un sistema lineal obtenidas con dos t´erminos independientes distintos es tambi´en soluci´ on del sistema, si como t´ermino independiente aparece la misma combinaci´ on lineal de cada uno de los dos t´erminos independientes anteriores → Principio de superposici´ on.
4.3. N´ ucleo, imagen y rango de una aplicaci´ on lineal
87
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x
Figura 4.2: Ejemplo de aplicaci´on lineal: cizalla sobre el eje y. Proposici´ on 4.1. Sea f : V → W una aplicaci´ on lineal entre dos lK-espacios vectoriales se verifica: 1.
f(
p P
i=1
λi u i ) =
p P i=1
λi f (ui )
∀ui ∈ V, ∀λi ∈ lK,
i = 1, . . . , p.
En particular f (0) = 0 y f (−u) = − f (u) ∀u ∈V . 2.
Si {u1 , . . . , up } es un sistema dependiente de vectores de V, entonces {f (u1 ), . . . , f (up )} es un sistema dependiente de vectores de W.
3.
Si adem´ as g : W → U es otra aplicaci´ on lineal (siendo U otro lK-espacio vectorial), la composici´ on g ◦ f : V → U tambi´en es una aplicaci´ on lineal.
4.3.
N´ ucleo, imagen y rango de una aplicaci´ on lineal
Proposici´ on 4.2. Si f : V → W es una aplicaci´ on lineal entre lK- espacios vectoriales entonces: 1.
El conjunto imagen f (V ) es un s.e.v. de W que se llama imagen de la aplicaci´ on lineal f y se denota por Im(f ).
2.
Si {u1 , . . . , up } es un sistema generador de V, entonces {f (u1 ), . . . , f (up )} es un sistema generador de f (V ) = Im(f ). Se llama rango de f a rg(f ) = dim(Im(f )) =rg({f (u1 ), . . . , f (up )}).
3.
El conjunto f −1 (0) = {u ∈V f (u) = 0} es un s.e.v. que se llama n´ ucleo de la aplicaci´ on lineal f y se denotar´ a por ker(f ).
4.
Si el espacio V tiene dimensi´ on finita, se verifica dim(ker(f )) + dim(Im(f )) = dim(V ).
88
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
Ejemplo 4.3. Para aclarar los conceptos introducidos en la proposici´on 4.2 vamos a calcular la imagen y el n´ ucleo de algunas aplicaciones lineales: 1.
Sean V y W los siguientes lR− espacios vectoriales: V = {funciones polin´omicas de grado ≤ 3} = P3 , W = F(lR, lR) = {funciones de lR en lR}. Consid´erese la aplicaci´on lineal f : V → W definida por f (p(x)) = p0 (x) o, lo que es lo mismo, f (a + bx + cx2 + dx3 ) = b + 2cx + 3dx2 . La imagen de f es P2 (Im(f ) = P2 ) y el n´ ucleo de f es P0 (ker(f ) = P0 ). Es f´acil comprobar que se verifica la parte 4) de la proposici´on anterior: dim(V ) = dim(P3 ) = 4 =dim(Im(f )) + dim(ker(f )). | {z } | {z } 3
2.
3
1
4
Sea f : lR → lR la aplicaci´on lineal definida por f (v) = f ((x, y, z)t ) = (x + z, y − z, x + y, x − y + 2z)t = w w1 x+z 1 0 1 x w2 1 −1 y−z 0 y = w3 = 1 0 x+y 1 z 1 −1 2 x − y + 2z w4 e1 = (1, 0, 0)t , e2 = (0, 1, 0)t y e3 = (0, 0, 1)t forman un sistema generador de lR3 y por lo tanto f (e1 ) = (1, 0, 1, 1)t , f (e2 ) = (0, 1, 1, −1)t y f (e3 ) = (1, −1, 0, 2)t constituyen un sistema generador de Im(f ). Im(f ) =< (1, 0, 1, 1)t , (0, 1, 1, −1)t , (1, −1, 0, 2)t > = < (1, 0, 1, 1)t , (0, 1, 1, −1)t > = {w ∈lR4 w = (α, β, α + β, α − β); α, β ∈ lR}. En cuanto al n´ ucleo de f : ker(f ) =
x+z y−z x+y x − y + 2z
=0 ½ =0 x+z =0 ⇔ , =0 y−z =0 =0
© ª con lo que ker(f ) = v ∈lR3 v = ( − λ, λ, λ)t , λ ∈ lR y por lo tanto dim(V ) = 3 =dim(Im(f )) + dim(ker(f )) . | {z } | {z } 2
3.
1
Sea g : lR3 → lR2 la aplicaci´on lineal definida por g(v) = g((x, y, z)t ) = (−4x + 7y + 8z, −40x + 70y + 80z)t = w µ ¶ µ ¶ µ ¶ x w1 −4x + 7y + 8z −4 7 8 y = = w2 −40x + 70y + 80z −40 70 80 z
4.3. N´ ucleo, imagen y rango de una aplicaci´ on lineal
89
e1 = (1, 0, 0)t , e2 = (0, 1, 0)t y e3 = (0, 0, 1)t forman un sistema generador de lR3 y por lo tanto g(e1 ) = (−4, −40)t , g(e2 ) = (7, 70)t y g(e3 ) = (8, 80)t constituyen un sistema generador de Im(g). Im(g) =< (−4, −40)t , (7, 70)t , (8, 80)t > = < (−4, −40)t > = {w ∈lR2 w = (α, 10α); α ∈ lR}. En cuanto al n´ ucleo de g : ½ © −4x + 7y + 8z = 0 ker(g) = ⇔ −4x + 7y + 8z = 0 , −40x + 70y + 80z = 0 ª © con lo que ker(g) = v ∈lR3 v = ( 47 λ + 2µ, λ, µ)t , λ, µ ∈ lR y por lo tanto dim(V ) = 3 =dim(Im(g)) + dim(ker(g)) | {z } | {z } 1
2
En la figura 4.4 se representa gr´aficamente el resultado de aplicar la aplicaci´on lineal g a una nube aleatoria de puntos de lR3 representada en la parte de la izquierda de la figura 4.3; como se aprecia en al figura, se obtiene un conjunto de puntos situados en la recta y = 10x (la escala de la x no coincide con la de la y) cuyos vectores de posici´on constituyen un subespacio de dimensi´on 1 de lR2 : la imagen de g calculada anteriormente. En la parte derecha de la figura 4.3 aparecen los puntos cuyos vectores de posici´on constituyen el n´ ucleo de g (subespacio de dimensi´on 2), puntos que pertenecen al plano −4x + 7y + 8z = 0. Obs´ervese que los dos dibujos de la figura 4.3 representan puntos de lR3 y, por lo tanto, se trata de dibujos tridimensionales, mientras que el dibujo de la figura 4.4 representa puntos de lR2 por lo que es un dibujo bidimensional.
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10 8 6 4 2 –2
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–6
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–8
–10
10
Figura 4.3: A la izquierda nube aleatoria de puntos. A la derecha plano formado por los puntos cuyos vectores de posici´on pertenecen al n´ ucleo de g. Nota 4.5. En el ejemplo 2, la aplicaci´on lineal f quedaba definida de forma un´ıvoca expresando el valor de las componentes (referidas a una cierta base de lR4 ) de un vector cualquiera de Im(f ) en funci´on de las componentes de su antecedente por f
90
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
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50
100
150
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–1000
Figura 4.4: Recta formada por los puntos cuyos vectores de posici´on constituyen la imagen de g. (expresadas en una cierta base de lR3 ) : w1 w2 w3 w4
= x+z DE ESTA FORMA SE = y−z → DETERMINAN LAS FILAS = x+y DE LA MATRIZ A = x − y + 2z
La aplicaci´on f tambi´en queda definida de forma un´ıvoca si se especifican las im´agenes de una base cualquiera de lR3 , f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), expresadas en una cierta base de lR4 . En el ejemplo anterior: f (e1 ) = f (e2 ) = f (e3 ) = Resumiendo:
u1 + u3 + u4 DE ESTA FORMA SE u2 + u3 − u4 → DETERMINAN LAS COLUMNAS u1 − u2 + 2u4 DE LA MATRIZ A
w1 1 w2 0 w3 = 1 w4 1
0 1 1 −1
→ 1a comp. de 1 v1 −1 → 2a comp. de v2 0 → 3a comp. de v3 2 → 4a comp. de
f (v) f (v) f (v) f (v)
f (e1 ) f (e2 ) f (e3 )
ucleo y de la imagen de una aplicaci´on lineal Ejemplo 4.4. Hallar una base del n´ f : lR4 → lR3 , conociendo las im´agenes por f de una base de lR4 : f (e1 ) = (1, −1, 2)t , f (e2 ) = (2, 1, 1)t , f (e3 ) = (4, −1, 5)t , f (e4 ) = (−1, −5, 4)t . Soluci´ on: en el enunciado se dan las columnas de la matriz A de la aplicaci´on lineal: x1 w1 1 2 4 −1 w2 = −1 1 −1 −5 x2 x3 w3 2 1 5 4 x4
4.4. Isomorfismos
91
y tambi´en un sistema generador de Im(f ); ® Im(f ) = (1, −1, 2)t , (2, 1, 1)t , (4, −1, 5)t , (−1, −5, 4)t Eliminando los vectores linealmente dependientes se obtiene una base de Im(f ) : 1 −1 2 1 −1 2 2 1 1 3 −3 0 ⇒ 4 −1 5 ∼ 0 0 0 −1 −5 4 0 0 0 Base de Im(f ) = {(1, −1, 2)t , (0, 3, −3)t } . Las ecuaciones impl´ıcitas del n´ ucleo son: x1 + 2x2 + 4x3 − x4 = 0 −x1 + x2 − x3 − 5x4 = 0 ker(f ) = 2x1 + x2 + 5x3 + 4x4 = 0 A partir de las cuales se puede obtener la siguiente base de ker(f ): Base de ker(f ) = {(−2, −1, 1, 0)t , (−3, 2, 0, 1)t }
4.4.
Isomorfismos
Definici´ on 4.5. Una aplicaci´ on f : A → B entre dos conjuntos A y B se dice que es inyectiva si f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 o, lo que es lo mismo, x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ A. Proposici´ on 4.3. Sea f : V → W una aplicaci´ on lineal entre lK− espacios vectoriales. Se verifica: 1.
La aplicaci´ on lineal f es inyectiva Ssi. ker(f ) = {0} .
2.
Si V tiene dimensi´ on finita, entonces f es inyectiva Ssi. dim(f (V )) = dim(V ).
3.
Si B = {e1 , . . ., en } es una base de V entonces f es inyectiva Ssi. f (B) = {f (e1 ), . . . f (en )} es una base de f (V ), o, lo que es lo mismo, f (B) es un sistema independiente de vectores.
92
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
Definici´ on 4.6. Se dice que una aplicaci´ on f : A → B es sobreyectiva si f (A) = B, o, lo que es lo mismo, si todo elemento de B es imagen de alg´ un elemento de A. Definici´ on 4.7. Se dice que una aplicaci´ on f : A → B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Definici´ on 4.8. Se llama isomorfismo a una aplicaci´ on f : V → W entre lKespacios vectoriales que sea lineal y biyectiva. Si f : V → W es un isomorfismo, los dos espacios se dicen isomorfos. Nota 4.6. Si V = W, f se llama automorfismo. Proposici´ on 4.4. Los isomorfismos verifican las siguientes propiedades: 1.
La composici´ on de dos isomorfismos es tambi´en un isomorfismo.
2.
Una aplicaci´ on lineal f : V → W es un isomorfismo Ssi. Im(f ) = W y ker(f ) = {0} .
3.
Si V tiene dimensi´ on finita, una aplicaci´ on lineal f : V → W es un isomorfismo Ssi. dim(V ) = dim(f (V )) = dim(W ).
4.
Si V tiene dimensi´ on finita, una aplicaci´ on lineal f : V → V es un automorfismo Ssi. es inyectiva o Ssi. es sobreyectiva.
5.
Si f : V → W es un isomorfismo, entonces f −1 : W → V tambi´en es un isomorfismo.
6.
Entre dos lK− espacios vectoriales de dimensi´ on finita se puede establecer un isomorfismo Ssi. tienen la misma dimensi´ on.
Ejemplo 4.5. Algunos espacios isomorfos. El espacio vectorial de lRn+1 es isomorfo a Pn f:
lRn+1 → Pn (a0 , . . . , an ) → a0 + a1 x + . . . + an xn
El espacio vectorial lR4 es isomorfo a M2 (lR) f:
lR4
→ M ¶ µ 2 (lR) a1 a2 (a1 , a2 , a3 , a4 ) → a3 a4
El espacio vectorial P3 es isomorfo al espacio vectorial de las matrices M2 (lR) f : P3
→ 2
3
a0 + a1 x + a2 x + a3 x
M µ 2 (lR) ¶ a0 a1 → a2 a3
4.5. Cambio de base
93
Nota 4.7. El conjunto de todas las aplicaciones lineales que se pueden definir entre dos lK- espacios vectoriales V y W tiene estructura de espacio vectorial respecto a la l.c.i. suma de aplicaciones (f + g)(x) = f (x) + g(x) y la l.c.e. producto de escalar por aplicaci´on: (λf )(x) = λf (x) Este espacio vectorial se representa por L(V, W ) Nota 4.8. Dadas dos bases, B de V y B 0 de W, se puede definir un isomorfismo entre Mm,n (lK) y L(V, W ) de forma que a cada aplicaci´on lineal se le asigne su matriz asociada referida a B y B 0 .
4.5.
Cambio de base
Teorema 4.1. Sea f : V → W una aplicaci´ on lineal entre dos lK− espacios vectoriales cuya matriz asociada con respecto a las bases B = {e1 , . . . , en } y B = {u1 , . . . , um } de V y W respectivamente es A = (aij )m×n . Si B 0 = {e01 , . . . , e0n } 0 y B = {u01 , . . . , u0m } son dos nuevas bases de V y W respectivamente y se denota por A0 = (a0ij )m×n la matriz asociada a f respecto a estas dos nuevas bases se verifica: A0 = Q−1 AP donde: 0
Q =
(u01 , . . . , u0m ){ui } es la matriz de cambio de base de B a B
P
(e01 , . . . , e0n ){ei } es la matriz de cambio de base de B 0 a B
=
Ejemplo 4.6. Sea f : lR3 → lR2 la aplicaci´on lineal que respecto de las bases can´onicas {e1 , e2 , e3 } de lR3 y {e1 , e2 } de lR2 tiene por ecuaciones µ ¶ µ ¶ x1 y1 3 0 −2 x2 = y2 −1 4 5 x3 ¿Cu´al es la expresi´on de f respecto de las bases {u1 , u2 , u3 } de lR3 y {w1 , w2 } de lR2 , cuyas expresiones en funci´on de las bases can´onicas son: u1 = e1 + 3e2 , u2 = e1 + 2e3 , u3 = 4e2 − 2e3 , w1 = 2e1 + e2 y w2 = 4e1 + 3e2 ?
94
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
Soluci´ on:
µ
y10 y20
¶
µ =
− 35 2 19 2
− 39 2 19 2
−6 4
¶
x01 x02 x03
Corolario 4.2. Si f : V → V es un endomorfismo definido sobre un lK−espacio vectorial V, A es la matriz del endomorfismo en la base B, A0 es la matriz del endomorfismo en otra base B 0 y P es la matriz de cambio de base de B 0 a B, se verifica que: A0 = P −1 AP Nota 4.9. Si A0 = P −1 AP se dice que las matrices A0 y A son semejantes (matrices asociadas a un mismo endomorfismo en bases distintas son semejantes).
4.6.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 7 de [1], el 6 de [2], el 4 de [10], los cap´ıtulos 9 y 10 de [11] y el cap´ıtulo 5 de [12]. Para profundizar m´as en el tema ver [19] y [9].
4.7. 1.
Ejercicios
Indicar si las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales o no a) f : lR2 → lR3 , f (x) = (x1 − x2 , x1 + x2 , 5x1 )t b) f : lR3 → lR2 , f (x) = (x1 , x1 + x2 + x3 )t t
c) f : lR3 → lR2 , f (x) = (1, 1)
d ) f : P2 → P1 , f (a0 + a1 x + a2 x2 ) = 2a0 + a1 + (a2 − a1 )x e) f : lR2 → lR2 , f (x) = (x21 + x22 , x2 )t f ) f : Mn,n (lK) → Mn,n (lK), f (A) = A + At Soluci´ on: a) Lineal b) Lineal c) No lineal d ) Lineal
4.7. Ejercicios
95
e) No lineal f ) Lineal 2.
Un fabricante produce 3 art´ıculos diferentes, cada uno de los cuales requiere para su elaboraci´on de dos materias primas. Los tres productos se denotan por p1 , p2 y p3 , y las dos materias primas por M1 y M2 . En la tabla que se indica a continuaci´on se representa el n´ umero de unidades de cada materia prima que se requiere para elaborar una unidad de cada producto. p1 1 3
M1 M2
p2 2 1
p3 1 2
Se pide: a) Determinar la ley que asocia a cada vector de producci´on (p1 , p2 , p3 ) el vector de materias primas (M1 , M2 ) que le corresponde para que dicha producci´on sea posible. b) La ley determinada en el apartado anterior, ¿es una aplicaci´on lineal? Soluci´ on: µ a)
M1 M2
¶
µ ¶ p1 p1 + 2p2 + p3 p2 = =f 3p1 + p2 + 2p3 p3
b) S´ı es una aplicaci´on lineal. 3.
Se considera el subconjunto M de matrices cuadradas 2 × 2 definido de la forma siguiente: ½µ M=
a b c 0
¶
¾ con a, b, c ∈ lR
y la aplicaci´on M → M definida por: µµ f
a b c 0
¶¶
µ =
a−b b−a c 0
¶
Se pide: a) demostrar que M es un espacio vectorial y dar una base de ´el, b) demostrar que f es lineal y calcular la matriz asociada a f en la base encontrada en el apartado anterior. Soluci´ on:
96
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
a) Una base de M puede ser: ½ µ ¶ µ 1 0 0 e1 = , e2 = 0 0 0
1 0
¶
1 b) La matriz de f en la base anterior es −1 0 4.
µ , e3 =
0 0 1 0
¶¾
−1 0 1 0 0 1
Se considera la aplicaci´on de lR3 en lR2 , f : lR3 → lR2 , que hace corresponder a los vectores (1, 0, 1)t , (0, 1, 1)t , (1, 1, 0)t los vectores (1, 0)t , (0, 2)t , (1, 1)t respectivamente. Las coordenadas de los vectores se refieren a las bases can´onicas de lR3 y lR2 . Se pide: a) matriz asociada a f en las bases can´onicas de lR3 y lR2 , © ª b) subespacio imagen de V = x ∈ lR3 / 5x1 − 3x2 − x3 = 0 , c) Unas ecuaciones param´etricas de f (V ) en la base B = {(1, 1)t , (2, 0)t } de lR2 . Soluci´ on: µ 1 a) − 12
0
0
3 2
1 2
ª b) f (V ) = x ∈ lR2 / 2x1 − x2 = 0 ½ Á ¾ y1 = 2α c) f (V ) = y ∈ lR2 , α ∈ lR en donde y1 e y2 son las coordey2 = − 12 α nadas de un vector de lR2 en la base B.
5.
©
¶
Se define un homomorfismo f : V → W entre dos k−e.v. de dimensiones 3 y 4 respectivamente de manera que f (e1 − e3 ) = u1 , f (e2 − e3 ) = u1 − u2 y f (2e3 ) =2u1 +2u3 , donde B = {e1 , e2 , e3 } es una base de V y B 0 = {u1 , u2 , u3 , u4 } es una base de W. Se pide: a) matriz asociada a f en las bases B y B 0 , b) ecuaciones impl´ıcitas de Im(f ), c) n´ ucleo de f. Soluci´ on: 2 2 1 0 −1 0 a) 1 1 1 0 0 0
4.7. Ejercicios
97
b) Im(f ) = {x ∈ W / x4 = 0} c) ker(f ) = {0} 6.
Estudiar si las aplicaciones: a) f : lR3 → lR3 definida por f ((x1 , x2 , x3 )t ) = (x3 , x1 + x2 , −x3 )t b) f : lR3 → lR2 definida por f ((x1 , x2 , x3 )t ) = (x1 + x2 , 0)t son aplicaciones lineales. En caso afirmativo calcular su n´ ucleo y su imagen. Estudiar su inyectividad. Soluci´ on: t t a) f es una aplicaci´on lineal. Im(f ) = h(0, 1, 0) , (1, 0, −1)t i ⇒Base , (0, 1, 0), x3 = 0 x1 + x2 = 0 ⇒ de Im(f ) = {(0, 1, 0)t , (1, 0, −1)t }. ker(f ) = x ∈ lR3 −x3 = 0 Base de ker(f ) = {(−1, 1, 0)t } . No es inyectiva puesto que ker(f ) 6= {0} t t t b) f es una aplicaci´on lineal. Im(f © ) = h(1, 0) , (1, 0) ª , (0, 0) i ⇒ Base de Im(f ) = {(1, 0)t } . ker(f ) = x ∈ lR3 /x1 + x2 = 0 ⇒ Base de ker(f ) = {(−1, 1, 0)t , (0, 0, 1)t } . f no es inyectivo.
7.
Indicar si son falsas o verdaderas las siguientes proposiciones: a) Si g : V → W es una aplicaci´on lineal, en ocasiones es posible encontrar tres vectores diferentes v1 ∈ V, v2 ∈ V y w ∈ W tales que g(v1 ) = g(v2 ) = w. b) Suponiendo cierta la proposici´on anterior, si g(v1 ) = g(v2 ) = w, entonces v1 − v2 ∈ ker(g). c) Si g es una aplicaci´on lineal de V en W , entonces la imagen de g es W. d ) Si v1 , v2 , . . . , vn es una base de lRn y w1 , w2 , . . . , wn es una base de Pn−1 , entonces existen dos aplicaciones lineales f : lRn → Pn−1 y g : Pn−1 → lRn tales que f (vi ) = wi y g(wi ) = vi para i = 1, . . . , n. µ ¶ µ ¶ 0 0 2 2 )= , entonces f e) Si f : lR → lR es una aplicaci´on lineal y f ( 0 0 es la aplicaci´on nula. f ) Existe una aplicaci´on lineal f de lR5 en lR5 con dim ker(f ) = dim Im(f ). g) Se 2,2 (lK) con dim Im(f ) = 4. Si f (A) = µ supone ¶ que f : M2,2 (lK) µ → M¶ 0 0 0 0 , entonces A = . 0 0 0 0 Soluci´ on: a) V
98
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
b) V c) F d) V e) F f) F g) V 8.
Se define una aplicaci´on lineal f : V → W entre dos lK−e.v. de dimensi´on 3 de manera que f (e1 ) = u1 − u2 , f (e2 ) = u2 y f (e3 ) = u1 , donde B = {e1 , e2 , e3 } es una base de V y B ∗ = {u1 , u2 , u3 } es una base de W. Se pide: a) matriz asociada a f en las bases B y B ∗ , b) dimensi´on de Im(f ), c) base de ker(f ), d ) calcular unas ecuaciones impl´ıcitas de f (S) si , x1 = α x2 = α , α, β ∈ lK , S= x∈V x3 = α + β e) dada una nueva base de V, B 0 = {e01 , e02 , e03 } en donde e1 = e01 , e2 = e01 +e02 y e3 = e01 + e03 , calcular la nueva matriz asociada a f en las bases B 0 y B ∗ , f ) si en W se realiza el cambio de coordenadas: x01 = x1 + x2 − x3 , x02 = x1 − x2 y x03 = x3 calcular la nueva matriz asociada a f en las bases B y B ♣ (en donde B ♣ es la base respecto a la cual las coordenadas de x son (x01 , x02 , x03 )t ), g) obtener la matriz de f cuando se realizan los dos cambios. Soluci´ on: 1 a) −1 0
0 1 0
1 0 0
b) dim(Im(f )) = 2
n o t c) Base de ker(f ) = (1, 1, −1) ½ Á ¾ x2 = 0 d ) f (S) = x ∈ W x3 = 0 1 −1 0 2 1 e) −1 0 0 0
4.7. Ejercicios
0 f) 2 0 0 g) 2 0 9.
99
1 1 −1 1 0 0 1 1 −3 −1 0 0
En lR3 se considera la base {e1 , e2 , e3 } . Clasificar (indicar si es inyectivo, sobreyectivo, ambas cosas a la vez (biyectivo) o ni sobreyectivo ni inyectivo) el endomorfismo f : lR3 → lR3 dado por f (e1 ) = ae1 +e2 +e3 , f (e2 ) = e1 +e2 +e3 , f (e3 ) = e1 + be2 + e3 seg´ un los valores de a y b. Soluci´ on: a) Si a 6= 1 y b 6= 1 el endomorfismo f es biyectivo (es un automorfismo). dim(Im(f )) = 3, dim(ker(f )) = 0. b) Si a = 1 y b 6= 1 el endomorfismo f no es ni inyectivo ni sobreyectivo. dim(Im(f )) = 2, dim(ker(f )) = 1. c) Si a 6= 1 y b = 1 el endomorfismo f no es ni inyectivo ni sobreyectivo. dim(Im(f )) = 2, dim(ker(f )) = 1. d ) Si a = 1 y b = 1 el endomorfismo f no es ni inyectivo ni sobreyectivo. dim(Im(f )) = 1, dim(ker(f )) = 2.
10.
Dado el endomorfismo del espacio vectorial lR4 definido de la siguiente forma: el n´ ucleo del endomorfismo es el subespacio vectorial de ecuaciones impl´ıcitas: ½ Á ¾ x+y+z =0 (x, y, z, t)t ∈ lR4 , t=0 los vectores (1, 1, 1, 0)t y (0, 0, 0, 1)t se transforman en si mismos. Se pide: a) matriz del endomorfismo en la base can´onica de lR4 , b) dado el subespacio de ecuaciones impl´ıcitas: , x+y+z−t=0 t=0 V = (x, y, z, t)t ∈ lR4 x − y + 2t = 0 hallar unas ecuaciones param´etricas de su imagen, c) matriz del endomorfismo en la base: © ª B = (1, 1, 1, 1)t , (0, 1, 1, 1)t , (0, 0, 1, 1)t , (0, 0, 0, 1)t .
100
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
Soluci´ on: 1/3 1/3 1/3 0 1/3 1/3 1/3 0 a) 1/3 1/3 1/3 0 0 0 0 1 , b) f (V ) = (x, y, z, t)t ∈ lR4 1 2/3 1/3 0 0 0 0 0 c) 0 0 0 0 0 1/3 2/3 1 11.
x=0 y=0 z=0 t=0
Sea h : lRn → lRn una aplicaci´on lineal definida por la relaci´on h((x1 , . . . , xn )t ) = (a1 x1 , . . . , an xn )t con a1 , . . . , an ∈ IR. a) ¿Bajo que condiciones admite h una aplicaci´on inversa? b) Suponiendo que se satisfagan las condiciones del apartado (a) encontrar la expresi´on de h−1 . Soluci´ on: a) La aplicaci´on h tendr´a inversa si es biyectiva, para lo que es necesario que ai 6= 0 (i = 1, . . . , n). b) h−1 ((x1 , . . . , xn )t ) = ( a11 x1 , . . . , a1n xn )t .
12.
Determinar si las siguientes aplicaciones lineales de M2,2 (lK) en M2,2 (lK) son isomorfismos. Si lo son, determinar el isomorfismo inverso µµ ¶¶ µ ¶ a b a 0 a) f = c d 0 a µµ ¶¶ µ ¶ a b a c b) g = c d b d µµ ¶¶ µ ¶ a b d −b c) h = c d −c a Soluci´ on: a) f no es un isomorfismo.
4.7. Ejercicios
101
µµ b) g es un isomorfismo. g
−1
µµ c) h es un isomorfismo. h−1 13.
a b c d a b c d
¶¶
µ =
¶¶
µ =
a c b d
¶
d −b −c a
¶
Consid´erese la reacci´on qu´ımica PbN6 + CrMn2 O8 → Pb3 O4 + Cr2 O3 + MnO2 + NO Para cada uno de los dos reactivos de la izquierda y los cuatro productos de la derecha se pide construir un vector de lR5 que enumere el n´ umero de “´atomos por mol´ecula” de plomo (Pb), de nitr´ogeno (N), de cromo (Cr), de manganeso (Mn) y de ox´ıgeno (O). Por ejemplo el vector para el permanganato de cromo (CrMn2 O8 ) ser´a t (0, 0, 1, 2, 8) Una vez construidos los seis vectores se pide: a) Llamando x1 , . . . , x6 al n´ umero de mol´eculas de cada tipo que aparecen en la reacci´on, escribir una ecuaci´on vectorial que estas variables deban satisfacer para ajustar la reacci´on. b) Pasando todas las inc´ognitas a la izquierda, reescribir la ecuaci´on vectorial del apartado (a) en la forma Ax = 0. ¿Qu´e relaci´on hay entre la soluci´on de la ecuaci´on vectorial y el n´ ucleo de la aplicaci´on lineal definida entre lR6 5 y lR y cuya matriz referida a las bases can´onicas respectivas es A? c) Resolver la ecuaci´on vectorial (se aconseja utilizar Maple). Hay una infinidad de soluciones, seleccionar las que tengan m´as sentido qu´ımico (se aconseja utilizar un formato racional o aritm´eticamente exacto).
102
Cap´ıtulo 4. Aplicaciones lineales
Cap´ıtulo 5
Espacio eucl´ıdeo 5.1.
Introducci´ on
Una gran variedad de propiedades geom´etricas se basan en la posibilidad de medir segmentos y los ´angulos entre ellos. La estructura de espacio vectorial que se ha estudiado hasta ahora no permite calcular longitudes de segmento, distancias entre los mismos o los ´angulos que forman. Para poder realizar estas operaciones es necesario introducir una “m´etrica” en el espacio vectorial. Esta m´etrica se introduce definiendo una aplicaci´on que recibe el nombre de producto escalar. Todo espacio vectorial sobre el que se ha definido un producto escalar recibe el nombre de espacio eucl´ıdeo y del estudio de sus principales propiedades y aplicaciones se va a ocupar este cap´ıtulo. Definici´ on 5.1. Dados dos vectores x e y de un lR-espacio vectorial, E, toda aplicaci´ on · : E × E → lR (x, y) → x · y que verifique: 1.
x·y =y·x
∀x, y ∈E
2.
x·x>0
3.
(λx+µy) · z =λ(x · z)+µ(y · z) ∀x, y, z ∈E, ∀λ, µ ∈ lR
∀x ∈E (x 6= 0)
(simetr´ıa), (positividad), (bilinealidad1 );
1 Al verificarse la propiedad de simetr´ ıa, la linealidad con respecto a un factor implica la linealidad con respecto al otro y por lo tanto la bilinealidad.
103
104
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
recibe el nombre de producto escalar. Proposici´ on 5.1. ∀x ∈E, x · 0 = 0 · x = 0. Definici´ on 5.2. Un lR-espacio vectorial sobre el que se ha definido un producto escalar recibe el nombre de espacio eucl´ıdeo. Ejemplo 5.1. Algunos casos particulares de espacio eucl´ıdeo son los siguientes: 1.
En lR3 se puede definir el siguiente producto escalar: x · y =x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 donde (x1 , x2 , x3 )t e (y1 , y2 , y3 )t son las componentes de los vectores x e y en la base can´onica de lR3 . lR3 con este producto escalar es un espacio eucl´ıdeo.
2.
lRn con el siguiente producto escalar tambi´en es un espacio eucl´ıdeo, x·y =
n X
xi yi = x1 y1 + . . . + xn yn
i=1
donde (x1 , . . . , xn )t e (y1 , . . . , yn )t son las componentes de los vectores x e y en la base can´onica de lRn . 3.
lR3 con el siguiente producto escalar2 tambi´en es un espacio eucl´ıdeo, x · y =x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 + x1 y2 + x1 y3 + x2 y1 + 2x2 y3 + x3 y1 + 2x3 y2 = 1 1 1 y1 (x1 , x2 , x3 ) 1 2 2 y2 = xt Gy 1 2 3 y3 donde (x1 , x2 , x3 )t e (y1 , . . . , yn )t son las componentes de los vectores x e y en la base can´onica de lR3 . G es la matriz asociada al producto escalar en la base can´onica (ver la siguiente definici´on). Existe una base de lR3 en la que la expresi´ on de este producto escalar es igual a la del ejemplo 1 (existe una base de lR3 en la que la matriz asociada a este producto escalar es la matriz unidad).
4.
P3 (x) con el siguiente producto escalar tambi´en es un espacio eucl´ıdeo, p(x) · q(x) = p0 q0 + p1 q1 + p2 q2 + p3 q3 donde (p0 , p1 , p2 , p3 )t y (p0 , p1 , p2 , p3 )t son las coordenadas de p(x) y q(x) en la base {1, x, x2 , x3 } de P3 (x).
2 As´ ı como en los dos primeros ejemplos era sencillo demostrar que efectivamente se trataba de productos escalares, en este tercer ejemplo la comprobaci´ on es un poco m´ as dif´ıcil, sobre todo en lo que respecta a la demostraci´ on de la positividad del producto escalar. Remitimos al lector interesado en demostrarla a la siguiente definici´ on y a las notas 5.1 y 5.2
5.1. Introducci´ on
105
Definici´ on 5.3. Sea E un espacio eucl´ıdeo de dimensi´ on finita. Si dim(E) = n, {e1 , . . . en } es una base de E y se conocen los n2 productos escalares ei · ej (i, j = 1, . . . , n), entonces el producto escalar de dos vectores x, y ∈E se puede expresar como: x·y =
n X
gij xi yj = xt Gy donde G = (gij ) y gij = ei · ej (i, j = 1, . . . , n)
i,j=1
siendo (x1 , . . . , xn )t e (y1 , . . . , yn )t las coordenadas de x e y en la base {ei } y G la matriz de Gram del producto escalar en la base dada (o, simplemente, matriz del producto escalar en la base dada). Nota 5.1. La matriz G es una matriz sim´etrica (ei · ej = ej · ei ) y definida positiva (xt Gx >0 ∀x 6= 0). Nota 5.2. Una matriz G, sim´etrica y cuadrada de dimensi´on n, es definida positiva si y solamente si g11 . . . g1i .. . . .. |Gi | > 0, i = 1, . . . , n; con Gi = . . . gi1
...
gii
Ejemplo 5.2. Casos particulares de matrices de Gram. 1.
En el caso 1 1 I3 = 0 0
del ejemplo 5.1 la matriz de Gram del producto escalar es: 0 0 1 0 0 y1 1 0 , por lo tanto x · y = (x1 , x2 , x3 ) 0 1 0 y2 0 1 0 0 1 y3
Los productos escalares de los vectores de la base ser´an ¾ e1 · e1 = 1, e2 · e2 = 1, e3 · e3 = 1 , es decir: ei · ej = δ ji , (i, j = 1, 2, 3). e1 · e2 = 0, e1 · e3 = 0, e2 · e3 = 0 2.
La matriz de Gram del producto escalar x · y =x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 definido sobre lR2 es: µ ¶ 1 1 e · e = 1, e1 · e2 = 1 G= . 1 1 1 2 e2 · e1 = 1, e2 · e2 = 2
3.
En el caso 3 del ejemplo 1 1 G= 1 2 1 2
5.1 la matriz de Gram del producto escalar es: 1 e · e = 1, e1 · e2 = 1, e1 · e3 = 1 2 . 1 1 e2 · e2 = 2, e2 · e3 = 2, e3 · e3 = 3 3
106
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
Proposici´ on 5.2. (Cambio de base) Dado un espacio eucl´ıdeo E de dimensi´ on n, si la expresi´ on del producto escalar del espacio eucl´ıdeo en una cierta base {e1 , . . . en } de E es y1 x · y = (x1 , . . . , xn )G ... yn y su expresi´ on respecto a otra base, {u1 , . . . un }, es:
y10 x · y = (x01 , . . . , x0n )G0 ... yn0
entonces
G0 = P t GP
en donde P = (u1 . . . un ){ei } es la matriz de cambio de base de {ui } a {ei }. Nota 5.3. Dadas dos matrices A, B ∈ Mn (lR), se dice que A y B son congruentes si existe una matriz Q ∈ Mn (lR) (Q inversible) tal que A = Qt BQ. Proposici´ on 5.3. Si A ∈ Mn (lR) es una matriz sim´etrica definida positiva, entonces la matriz In es congruente con A (∃P ∈ Mn (lR) (P inversible) tal que In = P t AP ). Proposici´ on 5.4. Sea E un espacio eucl´ıdeo y x · y el producto escalar definido sobre E. Existe una base de E en la que la expresi´ on del producto escalar es: y1 n X x · y = (x1 , . . . , xn )In ... = xi yi i=1 yn Definici´ on 5.4. Sea E un espacio eucl´ıdeo. Se llama norma eucl´ √ ıdea de un vector x ∈E y se representa por kxk al siguiente n´ umero real: kxk = x · x. Ejemplo 5.3. Casos particulares de normas eucl´ıdeas. 1.
La norma eucl´ıdea de un vector del espacio que aparece en el caso particular 1 del ejemplo 5.1 ser´a: p kxk = (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2
2.
La norma eucl´ıdea de un vector del espacio que aparece en el caso particular 2 del ejemplo 5.1 de espacio eucl´ıdeo ser´a: v u n uX kxk = t (xi )2 i=1
5.1. Introducci´ on
3.
107
Dado el espacio eucl´ıdeo formado por el espacio vectorial lR3 y el producto escalar 3 3 x · y =x1 y1 + 2x2 y2 + 2x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 + x1 y3 + x3 y1 + 2x2 y3 + 2x3 y2 2 2 la norma eucl´ıdea de un vector de dicho espacio ser´a: p kxk = (x1 )2 + 2(x2 )2 + 2(x3 )2 + 2x1 x2 + 3x1 x3 + 4x2 x3
Definici´ on 5.5. Sea E un espacio eucl´ıdeo. Se dice que x ∈ E es un vector unitario si kxk = 1. 2
ormula del paralelogramo) ∀x, y ∈E se verifica kx + yk +kx − yk Proposici´ on 5.5. (F´ 2 2 = 2 kxk + 2 kyk . Proposici´ on 5.6. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Dados x, y ∈E (E es un espacio eucl´ıdeo), se verifica: |x · y| ≤ kxk kyk Proposici´ on 5.7. Sea E un espacio eucl´ıdeo. La aplicaci´ on norma eucl´ıdea (k·k : E → lR) verifica las siguientes propiedades: 1.
kxk ≥ 0 ∀x ∈E
2.
kxk = 0 Ssi. x = 0
3.
kλxk = |λ| kxk ∀x ∈E, ∀λ ∈ lR
4.
kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈E (desigualdad triangular)
Definici´ on 5.6. Dados dos vectores x e y de un espacio eucl´ıdeo E, se define la distancia entre x e y como d(x, y) = kx − yk Proposici´ on 5.8. La distancia entre dos vectores de un espacio eucl´ıdeo verifica las cuatro propiedades siguientes: 1.
d(x, y) ≥0, ∀x, y ∈E
2.
d(x, x) =0, ∀x ∈E
3.
d(x, y) =d(y, x), ∀x, y ∈E
4.
d(x, y) ≤d(x, z)+d(z, y), ∀x, y, z ∈E
2
108
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
Definici´ on 5.7. Dados x, y ∈E, el escalar que forman los vectores x e y, cos(x, y) =
x·y kxkkyk
representa el coseno del ´ angulo
x·y kxk kyk
Nota 5.4. Obs´ervese que debido a la desigualdad de Schwarz se asegura que cos(x, y) ∈ [−1, 1]. Ejemplo 5.4. En el espacio eucl´ıdeo formado por lR3 y el producto escalar y1 2 −2 0 ¡ ¢ 3 1 y2 x · y = x1 x2 x3 −2 0 1 2 y3 calcular kak , kbk , el ´angulo que forman a y b y la distancia entre a y b, siendo t a = (1, 2, 1) y b = (1, 1, 0)t . Soluci´ on:
kak
v u u¡ u = t 1
kbk
=
a·b
=
cos(a, b)
=
d(a, b)
5.2.
=
2 −2 0 1 √ 2 1 −2 3 1 2 = 12, 0 1 2 1 v u u¡ 2 −2 0 1 ¢ u t 1 1 0 −2 3 1 1 = 1 0 1 2 0 2 −2 0 1 1 ¡ ¢ ¡ ¢ 1 2 1 −2 3 1 1 = −2 5 4 1 0 1 2 0 0 √ a·b 3 3 1 =√ = ⇒ angulo(a, b) = π radianes kak kbk 2 6 12 v u u¡ 2 −2 0 ° ° ¢ u 3 1 ka − bk = °(0, 1, 1)t ° = t 0 1 1 −2 0 1 2 ¢
=3
0 √ 1 = 7 1
Bases ortogonales y ortonormales
Definici´ on 5.8. Sea E un espacio eucl´ıdeo. Se dice que dos vectores de E, x e y, son ortogonales si x·y =0
5.2. Bases ortogonales y ortonormales
109
Proposici´ on 5.9. (Teorema de Pit´ agoras) Si x e y son dos vectores ortogonales de un espacio eucl´ıdeo entonces: 2
2
2
kx + yk = kxk + kyk
Definici´ on 5.9. Sea E un espacio eucl´ıdeo de dimensi´ on n y {ai } una base de E. Si ai · aj = 0 (i, j = 1, . . . , n; i 6= j) se dice que {a1 , . . . , an } es una base ortogonal de E. Nota 5.5. La matriz del producto escalar en esta base ser´a diagonal (con todos los elementos de la diagonal mayores que cero). Definici´ on 5.10. Se dice que una base de un espacio eucl´ıdeo de dimensi´ on n es ortonormal si verifica las dos propiedades siguientes: 1.
{ai } es ortogonal,
2.
kai k = 1, i = 1, . . . , n.
Nota 5.6. Las dos propiedades que caracterizan una base ortonormal se pueden resumir en una sola: ai · aj = δ ij , i, j = 1, . . . , n. Nota 5.7. Si {ai } es una base ortonormal de un espacio eucl´ıdeo E, la expresi´on del producto escalar en dicha base ser´a: 1 0 ... 0 y1 0 1 . . . 0 y2 x · y = (x1 , x2 . . . , xn ) . . . . . . ... .. .. .. 0 0
...
1
yn
y la norma de un vector x ∈ E, v u n uX kxk = t x2 i
i=1
Nota 5.8. Si {ai } es una base ortonormal de un espacio eucl´ıdeo E y u es un vector de E, entonces u = (u · a1 )a1 +(u · a2 )a2 +. . .+(u · an )an . Dicho de otro modo: la coordenada j-´esima de u en la base {ai } se obtiene multiplicando escalarmente u por aj (uj = u · aj ). Nota 5.9. Si {ai } es una base ortogonal de un espacio eucl´ıdeo entonces ½ ¾ a1 a2 an , ,..., ka1 k ka2 k kan k es una base ortonormal del mismo espacio eucl´ıdeo.
110
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
Nota 5.10. La definici´on de base ortogonal y base ortonormal se puede generalizar a un conjunto cualquiera de vectores: 1.
{x1 , . . . , xp } ⊂ E es un conjunto ortogonal si xi ·xj = 0 para i 6= j i, j = 1, . . . , p.
2.
{x1 , . . . , xp } ⊂ E es un conjunto ortonormal si xi · xj = δ ji , i, j = 1, . . . , p.
Proposici´ on 5.10. (Teorema de Pit´ agoras generalizado) Si E es un espacio eucl´ıdeo y {x1 , . . . , xp } un conjunto ortogonal de E, se verifica: 2
2
2
2
kx1 + x2 + . . . + xp k = kx1 k + kx2 k + . . . + kxp k
Proposici´ on 5.11. En un espacio eucl´ıdeo todo conjunto ortogonal formado por vectores no nulos es un conjunto linealmente independiente.
5.3.
Proyecci´ on ortogonal
Definici´ on 5.11. Sea W un subespacio vectorial de un espacio eucl´ıdeo E. Se dice que un vector x ∈ E es ortogonal a W si x es ortogonal a todos los vectores de W. Nota 5.11. Para comprobar que un vector x de un espacio eucl´ıdeo es ortogonal a un subespacio, W, de dicho espacio eucl´ıdeo, basta con comprobar que es ortogonal a todos los vectores de una base cualquiera de W . Si {a1 , . . . , ap } es una base de W entonces: x ortogonal a W ⇔ x · ai = 0, i = 1, . . . p Definici´ on 5.12. Dado un espacio eucl´ıdeo E y dos subespacios de E, V y W , se dice que V y W son ortogonales si todos los vectores de V son ortogonales a W (o, lo que es lo mismo, todos los vectores de W son ortogonales a V ). Nota 5.12. Para comprobar que dos subespacios vectoriales de un espacio eucl´ıdeo son ortogonales basta con comprobar que los vectores de dos bases cualesquiera de cada uno de ellos son ortogonales entre s´ı. Si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio eucl´ıdeo, {a1 , . . . , ap } es una base de W y {u1 , . . . , uq } es una base de V entonces: V es ortogonal a W ⇔ ai · uj = 0, i = 1, . . . , p; j = 1, . . . , q Definici´ on 5.13. Sea W un subespacio vectorial de un espacio eucl´ıdeo E. Se denomina subespacio ortogonal a W y se representa por W ⊥ al conjunto formado por todos los vectores de E ortogonales a W. Este conjunto, como su nombre indica, es un subespacio vectorial de E. Nota 5.13. W ⊥ es el mayor de los subespacios que son ortogonales a W , en el sentido de que cualquier otro subespacio de E que sea ortogonal a W est´a incluido en W ⊥ .
5.4. M´etodo de ortonormalizaci´ on de Gram - Schmidt
111
Nota 5.14. Si se conoce una base de W, {a1 , . . . , ap }, se obtienen unas ecuaciones impl´ıcitas de W ⊥ obligando a que los productos escalares de los vectores de W ⊥ por cada uno de los p vectores de la base {ai } sea cero: W ⊥ = {x ∈E x · ai = 0, i = 1, . . . , p} Teorema 5.1. (Teorema de la proyecci´ on) Si W es un s.e.v. de dimensi´ on finita de un espacio eucl´ıdeo E, entonces cualquier vector v de E se puede expresar de forma u ´nica como v = w1 + w2 en donde w1 ∈ W y w2 ∈ W ⊥ . Definici´ on 5.14. En el teorema anterior w1 recibe el nombre de proyecci´ on ortogonal de v sobre W y se representa por Pr |W v . Definici´ on 5.15. En el teorema anterior w2 recibe el nombre de complemento ortogonal de v respecto a W. Nota 5.15. dim(W ) + dim(W ⊥ ) = dim(E). Nota 5.16. Si {c1 , . . . , cp } es una base ortonormal de W la proyecci´on ortogonal de un vector v ∈ E sobre W se puede calcular de la siguiente forma: p X (v · ci )ci Pr |W v = (v · c1 )c1 + . . . + (v · cp )cp = i=1
5.4.
M´ etodo de ortonormalizaci´ on de Gram - Schmidt
Sea E un espacio eucl´ıdeo y {x1 , . . . , xp } un sistema linealmente independiente de E. El m´etodo de Gram - Schmidt obtiene a partir de {x1 , . . . , xp } un sistema ortonormal {y1 , . . . , yp } tal que hx1 , . . . , xp i = hy1 , . . . , yp i . En particular si {x1 , . . . , xp } fuese una base de E se habr´ıa obtenido una nueva base, {y1 , . . . yp }, ortonormal de E. Se comenzar´a aplicando el m´etodo a un caso particular y a continuaci´on se extender´a a un caso general. Ejemplo introductorio
112
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
Sup´ongase el espacio eucl´ıdeo formado por el espacio vectorial lR3 y el producto escalar x·y
= 2x1 y1 + 3x2 y2 + 2x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y3 + x3 y2 2 1 0 y1 = (x1 , x2 , x3 ) 1 3 1 y2 = xt Gy 0 1 2 y3
referido a la base {e1 , e2 , e3 }. Determ´ınese una base ortonormal del espacio eucl´ıdeo anterior. Se parte de una base cualquiera de lR3 , por ejemplo (la m´as sencilla) {e1 , e2 , e3 } y se realizan los siguientes pasos: 1.
Se divide uno de los vectores de la base, por ejemplo e1 , por su norma, obteni´endose un vector unitario que ser´a el primer vector de la nueva base: c1 = e1 √1 (1, 0, 0)t {ei } . ke1 k = 2
2.
Se proyecta uno de los vectores de la base {e1 , e2 , e3 } distinto a e1 , por ejemplo e2 , sobre el subespacio generado por c1 . El complemento ortogonal de e2 , que se llamar´a z2 , ser´a ortogonal a c1 y si se divide por su norma se obtendr´a el segundo vector de la nueva base: q ¯ z2 = e2 − Pr ¯hc1 i e2 = e2 − (e2 · c1 )c1 = (− 21 , 1, 0)t{ei } ; kz2 k = 52 c2 =
3.
z2 kz2 k
=
√ √2 (− 1 , 1, 0)t {ei } . 2 5
Se proyecta el vector restante de la base {e1 , e2 , e3 }, e3 , sobre el subespacio generado por c1 y c2 . El complemento ortogonal de e3 , que se llamar´a z3 , ser´a ortogonal a c1 y c2 y si se divide por su norma se obtendr´a el tercer vector de la nueva base: ¯ z3 = e3 − Pr ¯hc1 ,c2 i e3 = e3 − (e3 · c1 )c1 − (e3 · c2 )c2 = ( 15 , − 52 , 1)t{ei } ; q kz3 k = 85 c3 =
z3 kz3 k
=
√ √5 ( 1 , − 2 , 1)t {ei } . 5 8 5
{c1 , c2 , c3 } ser´a la base ortonormal pedida. Descripci´on del m´etodo de Gram - Schmidt para un caso general Sea E un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on n y {x1 , . . . , xp } un conjunto de p vectores linealmente independientes de E (p ≤ n). Se obtiene un conjunto ortonormal de vectores {y1 , . . . , yp } tal que hx1 , . . . , xp i = hy1 , . . . , yp i del siguiente modo:
5.5. Producto vectorial y producto mixto
113
x1 kx1 k
1.
y1 =
2.
De esta forma se asegura que y1 es unitario y que hy1 i = hx1 i. ¯ y2 = kzz22 k ; z2 = x2 − Pr ¯hy1 i x2 = x2 − (x2 · y1 )y1 De esta forma se asegura que: z2 6= 0 debido a que x2 ∈ / hx1 i = hy1 i. {y1 , y2 } es ortonormal debido a que z2 es ortogonal a y1 y la norma de y2 es uno. {y1 , y2 } es linealmente independiente debido a que todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. hy1 , y2 i = hx1 , x2 i debido a que y1 es combinaci´on lineal de x1 e y2 lo es de x1 y x2 . .. .
k+1. Sup´ongase calculados y1 , . . . , yk (k ≤ p − 1) tal que {y1 , . . . , yk } sea un sistema ortonormal y que hx1 , . . . , xk i = hy1 , . . . , yk i. Para construir el siguiente vector se har´a: k ¯ P yk+1 = kzzk+1 ; zk+1 = xk+1 − Pr ¯hy1 ,...,yk i xk+1 = xk+1 − (xk+1 · yi )yi k+1 k i=1
De esta forma se asegura que: zk+1 6= 0 debido a que xk+1 ∈ / hx1 , . . . , xk i = hy1 , . . . , yk i. zk+1 es ortogonal a {y1 , . . . , yk } ya que zk+1 · yj = 0, j = 1, . . . , k. {y1 , . . . , yk+1 } es un sistema ortonormal por ser zk+1 ortogonal a {y1 , . . . , yk } y por ser yk+1 unitario. hx1 , . . . , xk+1 i = hy1 , . . . , yk+1 i debido a que yk+1 es combinaci´on lineal de {y1 , . . . , yk , xk+1 } y por lo tanto de {x1 , . . . , xk+1 }.
5.5.
Producto vectorial y producto mixto
Definici´ on 5.16. Sea E un espacio eucl´ıdeo de dimensi´ on 3 y {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal de E. Dados dos vectores u =u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 y v =v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 , el producto vectorial de ambos es otro vector de E definido del siguiente modo: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u2 u3 ¯ ¯ u1 u3 ¯ ¯ u1 u2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯e w = u × v =¯ e − e + v2 v3 ¯ 1 ¯ v1 v3 ¯ 2 ¯ v1 v2 ¯ 3 = (u2 v3 − u3 v2 )e1 + (u3 v1 − u1 v3 )e2 + (u1 v2 − u2 v1 )e3 X = ²(σ)uσ(1) vσ(2) eσ(3) σ∈Σ3
114
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
Nota 5.17. El producto vectorial es una ley de composici´on interna en E ×:
E×E (u, v)
→ E → w =u×v
Definici´ on 5.17. Sea E un espacio eucl´ıdeo de dimensi´ on 3 y {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal de E. Dados tres vectores de E, x =x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y =y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 y z =z1 e1 + z2 e2 + z3 e3 , el producto mixto x, y y z es el siguiente real: [x, y, z]
= x · (y × z) =x1 (y2 z3 − y3 z2 ) − x2 (y1 z3 − y3 z1 ) + x3 (y1 z2 − y2 z1 ) ¯ ¯ ¯ x1 x2 x3 ¯ ¯ ¯ = ¯¯ y1 y2 y3 ¯¯ ¯ z1 z2 z3 ¯
Nota 5.18. El producto mixto es una aplicaci´on de E × E × E en lR : [., ., .] :
E×E×E → (u, v, w) →
lR [u, v, w] = u · (v × w)
Ejemplo 5.5. 1.
Calcular el producto vectorial de u =(1, 2, 1)t y v =(1, 1, 2)t (referidos a una base ortonormal {ei }).
2.
Calcular el producto mixto de los vectores w = (1, 0, 2)t{ei } , u =(1, 2, 1)t{ei } y v =(1, 1, 2)t{ei } .
Soluci´ on: 1. u×v
¯ ¯ 2 = ¯¯ 1
¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ ¯ e − 1 ¯ ¯ 1 2
¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ ¯ e + 2 ¯ ¯ 1 2
¯ 2 ¯¯ e 1 ¯ 3
= (4 − 1)e1 − (2 − 1)e2 + (1 − 2)e3 = (3, −1, −1)t{ei } 2. ¯ ¯ 1 ¯ [w, u, v] = w · (u × v) = ¯¯ 1 ¯ 1
0 2 1
Propiedades del producto vectorial y del producto mixto
2 1 2
¯ ¯ ¯ ¯=1 ¯ ¯
5.6. Referencias bibliogr´ aficas
115
1.
[u, v, w] = u · (v × w) =0 si y solamente si {u, v, w} es un sistema linealmente dependiente (en particular el producto mixto ser´a nulo si dos de los vectores son iguales).
2.
u × v = −v × u (el producto vectorial es antisim´etrico).
3.
u × (v + w) = u × v + u × w; (v + w) × u = v × u + w × u.
4.
ku × vk = kuk kvk sen θ. Siendo θ el ´angulo que forman u y v.
5.
u × v es ortogonal a u y a v.
6.
u × v = 0 si y solamente si u y v son linealmente dependientes.
Nota 5.19. La norma del producto vectorial de dos vectores de E representa el ´area del paralelogramo que se construir´ıa colocando ambos vectores con un mismo origen y trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro vector. Nota 5.20. El valor absoluto del producto mixto de tres vectores de lR3 representa el volumen del paralelep´ıpedo que se construir´ıa colocando los vectores con un mismo origen y trazando el resto de las aristas mediante paralelas a dichos vectores. Nota 5.21. Se ha dado una definici´on particular de producto mixto y producto vectorial que u ´nicamente es v´alida para espacios eucl´ıdeos de dimensi´on 3 y bases de referencia ortonormales. Las definiciones m´as generales de producto mixto y producto vectorial se salen de los objetivos del presente curso.
5.6.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar los cap´ıtulos 5 y 8 de [1], los cap´ıtulos 4 y 5 de [5], el cap´ıtulo 8 de [2], el 6 de [10], el 6 del [11] y el cap´ıtulo 8 de [12]. Para profundizar m´as en el tema ver [9] y [15].
5.7. 1.
Ejercicios
Dados dos polinomios pertenecientes a P2 , p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 y q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 , se define el producto escalar de p por q como: p(x) · q(x) = p · q =2a0 b0 + 4a1 b1 + 4a2 b2 − 2a0 b1 − 2a1 b0 + 2a2 b1 + 2a1 b2 Se pide:
116
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
a) Si f (x) = 1 + x + x2 y g(x) = x2 hallar f (x) · g(x). b) Determinar kf (x)k y kg(x)k. c) Hallar el ´angulo que forman los polinomios f (x) y g(x). Soluci´ on: a) f (x) · g(x) = 6 √ b) kf (x)k = 10 y kg(x)k = 2 dg) = c) cos(f,
√3 10
d ) d(f (x), g(x)) = 2.
√
2
Consid´erese el espacio eucl´ıdeo formado por el espacio vectorial lR3 y el producto escalar x · y = 2x1 y1 + 9x2 y2 + 5x3 y3 − 4x1 y2 − 4x2 y1 + 2x1 y3 + 2x3 y1 − 5x2 y3 − 5x3 y2 expresado en una cierta base {e1 , e2 , e3 } . Se pide: a) determinar una base ortonormal del espacio eucl´ıdeo. b) determinar las coordenadas del vector x = e1 + e2 en la base ortonormal hallada en el apartado anterior. Soluci´ on: a) Base ortonormal: {u1 = u3 = √12 (1, 1, 1)t{ei } }3 √ b) x = − 2u1 + u2
3.
√1 (1, 0, 0)t {ei } , u2 2
= (2, 1, 0)t{ei } ,
Consid´erese el espacio eucl´ıdeo formado por el espacio vectorial E de dimensi´on 3 y el producto escalar x · y = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 2x3 y3 − 2x1 y2 − 2x2 y1 + x2 y3 + x3 y2{ei } . Se pide: a) hallar una base ortonormal del subespacio ortogonal a F , en donde F es el subespacio generado por el vector (1, 1, −1)t , b) calcular la proyecci´on ortogonal del vector x = (2, 1, 2)t sobre el subespacio ortogonal a F, c) hallar una base ortonormal de E, {c1 , c2 , c3 }, en la que c1 y c2 son vectores de la base ortonormal del ortogonal a F. Repetir el apartado b) expresando los vectores y el producto escalar en la base {c1 , c2 , c3 } . Comprobar que el resultado obtenido es el mismo. Soluci´ on:
3 Existen
infinitas bases ortonormales, por lo tanto esta no es la u ´ nica soluci´ on correcta
5.7. Ejercicios
117
D E a) F ⊥ = b1 = (1, 0, 0)t{ei } , b2 = (0, 1, 0)t{ei } , n o Base ortonormal de F ⊥ : c1 = √12 (1, 0, 0)t{ei } , c2 = (1, 1, 0)t{ei } , b) Pr |F ⊥ x =(4, 3, 0)t{ei } c) Base ortonormal de E : {c1 , c2 , c3 } con c3 = (−1, −1, 1)t{ei } , √ Pr |F ⊥ x = ( 2, 3, 0)t{ci } =(4, 3, 0)t{ei } 4.
Sea B = {v1 , v2 , v3 } una base de un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on 3 que verifica: v1 · v2 = 0, v1 · v1 = 1, v2 · v2 = 1, v3 · v3 = 2 ⊥
y adem´as 2v2 − v3 ∈ hv1 , v3 i . Se pide: a) obtener la matriz del producto escalar respecto de la base B, b) aplicar el m´etodo de Gram-Schmidt para calcular a partir de B una base ortonormal. ¿Qu´e matriz tiene asociada el producto escalar en dicha base?, c) calcular el ´angulo formado por los vectores v2 y v3 , as´ı como el que forman v1 − v2 y v1 + v2 , d ) ¿cu´ales son las coordenadas de un vector w respecto de la base ortonormal calculada si respecto de la base B son w = (1, 3, −1)t ? Calcular la norma respecto de las dos bases. ¿Qu´e relaci´on hay entre los dos valores obtenidos?, raz´onese la respuesta. Soluci´ on:
1 a) G = 0 0
0 1 1
0 1 2
b) Base ortonormal: {c1 = v1 , c2 = v2 , c3 = −v2 + v3 }. ´ formado por los vectores v2 y v3 = π4 , ´angulo que forman v1 − v2 c) Angulo y v1 + v2 = π2 . √ d ) w = (1, 2, −1)t{ci } . Independientemente de la base elegida kwk = 6. 5.
En un espacio vectorial V y respecto de una cierta base {u1 , u2 , u3 } se define el producto escalar de los vectores x = x1 u1 +x2 u2 +x3 u3 e y = y1 u1 +y2 u2 +y3 u3 mediante: x · y = x1 y1 + 2x2 y2 + 2x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 − x1 y3 − x3 y1 − x3 y2 − x2 y3 . Hallar un vector a ∈V que forme ´angulos iguales con los vectores de la base dada.
118
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
Soluci´ on: Todos los vectores que pertenecen al subespacio o n √ √ a ∈ V a1 = −3λ + 3 2λ, a2 = 3λ − 2 2λ, a3 = λ verifican que forman ´angulos iguales con los vectores de la base dada. 6.
En un espacio vectorial V de dimensi´on 3 se considera una cierta base {e1 , e2 , e3 } . Hallar la matriz de Gram de un producto escalar definido en V del que se sabe que: √ √ ke1 k = 2 y ke2 k = 3, el subespacio U = {x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ∈ V x1 + x2 + x3 = 0} es ortogonal al subespacio generado por e1 , la proyecci´on ortogonal de e1 + e2 + e3 sobre el subespacio generado por e2 es 3e2 . Nota: P´ongase la soluci´on en funci´on de cuantos par´ametros se necesite. Soluci´ on:
2 2 G= 2 3 2 4 7.
2 4 para α > 6 α
En lR4 se considera el producto escalar cuya matriz asociada en la base can´onica es:
1 1 A= 1 0
1 2 −1 0
1 −1 9 −6
0 0 −6 10
Se pide: a) encontrar la proyecci´on ortogonal del vector u = (4, −1, 0, − 23 )t{ei } sobre el subespacio V1 = hv1 , v2 i donde v1 = (2, 1, 0, 0)t{ei } y v2 = (1, 0, −1, 0)t{ei } , b) obtener una base del subespacio ortogonal a V1 , V1⊥ , as´ı como la proyecci´on ortogonal de u sobre V1⊥ . Soluci´ on: a) Pr |V1 u =(1, 1, 1, 0)t{ei } .
5.7. Ejercicios
119
n o b) Base de V1⊥ = v3 = (−4, 3, 0, 1)t{ei } , v4 = (−1, 0, 3, 4)t{ei } , ¯ ¯ 290 7 106 t Pr ¯V1⊥ u =( 389 153 , − 153 , − 153 , − 153 ){ei } . 8.
Hallar el ´area de la figura ABCDE, donde A=(-2,0,0), B=(-1,-2,0), C=(2,1,0); D=(0,1,0), E=(-1,3,0), suponiendo que las coordenadas de los puntos est´an expresadas en metros. Soluci´ on: 8 m2
9.
Hallar el volumen del prisma determinado por los vectores: a = (1, 2, −1)t , b = (0, 1, 2)t y c = (1, 2, −3)t referidos a una base ortonormal. Soluci´ on: 2u3 (u = unidades en las que se han medido las coordenadas de los vectores).
10.
Demostrar las siguientes propiedades del producto vectorial: a) (a × b) · c = a · (b × c) = b · (c × a). b) a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c.
120
Cap´ıtulo 5. Espacio eucl´ıdeo
Cap´ıtulo 6
Diagonalizaci´ on de endomorfismos 6.1.
Introducci´ on
Los contenidos de este tema tienen aplicaciones a la resoluci´on de sistemas de ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias. Lo que trataremos de hacer es hallar alguna base respecto de la cual la matriz asociada a un endomorfismo tiene una forma particularmente sencilla: la diagonal. Si logramos este objetivo (veremos cu´ales son las condiciones que se tienen que dar para que tal cosa se pueda hacer), entonces es muy f´acil visualizar una aplicaci´on lineal en dicha base como una serie de dilataciones o contracciones a lo largo de las direcciones marcadas por los vectores de la misma. Ejemplo introductorio. Un endomorfismo f tiene, en una base {e1 , e2 } de un espacio vectorial de dimensi´on 2, la matriz asociada µ ¶ 6 −2 A= 6 −1 Se quiere determinar cu´al es la matriz de este endomorfismo en la base {e01 , e02 }, siendo e01 = e1 + 2e2 y e02 = 2e1 + 3e2 . µ ¶µ ¶µ ¶ µ ¶ −3 2 6 −2 1 2 2 0 A0 = = 2 −1 6 −1 2 3 0 3 Se observa que la expresi´on de f en la base {e01 , e02 } es mucho m´as sencilla que en la base {e1 , e2 }. 121
122
Cap´ıtulo 6. Diagonalizaci´ on de endomorfismos
Dado un endomorfismo, f, del que se conoce su matriz asociada en una cierta base, cabe, por lo tanto, preguntarse: ¿es siempre posible encontrar un cambio de base de manera que la matriz asociada a f en la nueva base sea diagonal? Otra forma equivalente de plantear la misma pregunta: dada una matriz cuadrada A, ¿es siempre posible encontrar una matriz diagonal semejante?. La respuesta a la pregunta anterior es negativa. El objetivo de este cap´ıtulo es estudiar las condiciones que debe cumplir una matriz para ser diagonalizable y c´omo se pueden diagonalizar aquellas que lo son.
6.2.
Valores y vectores propios
Definici´ on 6.1. Sea f : V → V un endomorfismo definido sobre el lK−espacio vectorial V. Se dice que el escalar λ ∈ lK es un valor propio (o autovalor) de f si existe alg´ un vector no nulo de V (x ∈ V ) tal que f (x) =λx. Definici´ on 6.2. Si λ es un valor propio de un endomorfismo f : V → V, los vectores x ∈ V tales que f (x) = λx (x 6= 0) se llaman vectores propios o autovectores de f asociados a λ. Proposici´ on 6.1. Dado el endomorfismo f : V → V, el conjunto de los vectores propios de f asociados al valor propio λ constituye un s.e.v. de V y se representar´ a por Vλ Vλ = {x ∈V f (x) =λx} . Vλ recibe el nombre de subespacio propio asociado al valor propio λ. Proposici´ on 6.2. Dado el endomorfismo f : V → V, el subespacio propio asociado al valor propio λ coincide con el n´ ucleo de la aplicaci´ on f − λI Vλ = ker(f − λI) Corolario 6.1. f − λI es un endomorfismo no inyectivo, si y solamente si λ es un valor propio de f. Ejemplo 6.1. C´alculo de vectores y valores propios de algunos endomorfismos definidos sobre lR2 . 1.
Homotecia de raz´on k: h((x1 , x2 )t ) = (kx1 , kx2 )t µ ¶ µ ¶µ ¶ y1 k 0 x1 y =h(x) ⇔ = y2 0 k x2 ∀x ∈ lR2 h(x) =kx. Todos los vectores de lR2 son vectores propios asociados al u ´nico valor propio k,
6.2. Valores y vectores propios
2.
123
Giro de ´angulo α: g((x1 , x2 )t ) = (x1 cos α − x2 sen α, x1 sen α + x2 cos α)t . α 6= 0 y α 6= π µ ¶ µ ¶µ ¶ y1 cos α − sen α x1 y =g(x) ⇔ = y2 sen α cos α x2 No existe ning´ un valor propio perteneciente a lR ⇒ no existe ning´ un vector propio perteneciente a lR2 .
3.
Simetr´ıa con respecto al origen: s0 ((x1 , x2 )t ) = (−x1 , −x2 )t µ ¶ µ ¶µ ¶ x1 y1 −1 0 y =s0 (x) ⇔ = y2 0 −1 x2 ∀x ∈ lR2 s0 (x) = − x. Todos los vectores de lR2 son vectores propios asociados al u ´nico valor propio −1.
4.
Simetr´ıa con respecto a la recta x1 = x2 : sr ((x1 , x2 )t ) = (x2 , x1 )t µ ¶ µ ¶µ ¶ y1 0 1 x1 y =sr (x) ⇔ = y2 1 0 x2 Existen dos subespacios propios: V1 = {x ∈ lR2 /x = (α, α), α ∈ lR}, subespacio propio asociado al valor propio 1 y V−1 = {x ∈ lR2 /x = (−α, α), α ∈ lR}, subespacio propio asociado al valor propio −1.
Ejemplo 6.2. ¿C´omo se transforman, seg´ un los endomorfismos anteriores, los vectores de los subespacios W1 = {x ∈lR2 x1 = x2 } y W1 = {x ∈lR2 x1 = 2x2 }? Soluci´ on: 1.
h(W1 ) = W1 y h(W2 ) = W2
2.
g(W1 ) 6= W1 y g(W2 ) 6= W2
3.
s0 (W1 ) = W1 y s0 (W2 ) = W2
4.
sr (W1 ) = W1 y sr (W2 ) 6= W2
Definici´ on 6.3. Sea A ∈ Mn (lK). Se dice que λ ∈ lK es un valor propio de A si existe x ∈lKn (x 6= 0) tal que Ax =λx. Definici´ on 6.4. Si λ es un valor propio de A ∈ Mn (lK), los vectores x ∈lKn (x 6= 0) tales que Ax =λx se llaman vectores propios de A asociados a λ. Definici´ on 6.5. Todos los vectores propios de A ∈ Mn (lK) asociados a λ forman un s.e.v. de lKn que recibe el nombre de subespacio propio de A asociado a λ.
124
Cap´ıtulo 6. Diagonalizaci´ on de endomorfismos
Proposici´ on 6.3. Sea f : V → V un endomorfismo definido sobre el lK-espacio vectorial V. Si dim(V ) = n y A ∈ Mn (lK) es la matriz asociada a f en una base, {ei }, de V entonces: 1.
El escalar λ ∈ lK es un valor propio de f ⇔ El escalar λ ∈ lK es un valor propio de A.
2.
Si λ es un valor propio de f (o de A) y se denota por (x1 , . . . , xn )t{ei } a las componentes de un vector v en la base {ei } entonces: v es un vector propio de f asociado a λ ⇔ (x1 , . . . , xn )t es un vector propio de A asociado a λ.
Nota 6.1. Si λ es un valor propio del endomorfismo f , v un vector propio de f asociado a λ y A1 , A2 , . . . , Ap p matrices asociadas a f en p bases distintas ({e1i }, {e2i } , . . . , {epi }), λ es un valor propio de todas ellas. Sin embargo, si las componentes de v en la base {e1i } son (x1 , . . . , xn )t , el vector de lKn (x1 , . . . , xn )t es un vector propio (asociado a λ) de la matriz A1 pero no tiene por qu´ e serlo del resto de las matrices. Proposici´ on 6.4. Sea A ∈ Mn (lK). Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1.
λ ∈ lK es un valor propio de A.
2.
El sistema homog´eneo (A − λI)x = 0 es compatible indeterminado.
3.
|A − λI| = 0.
Definici´ on 6.6. Dada una matriz cuadrada, de orden n, se denomina polinomio caracter´ıstico de A al polinomio de orden n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ pn (λ) = |A − λI| = ¯ ¯ ¯ ¯
(a11 − λ) a21 .. .
a12 (a22 − λ) .. .
... ... .. .
an1
an2
...
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (ann − λ) ¯
a1n a2n .. .
on pn (λ) = 0 se la llama ecuaci´ on caracter´ıstica de Definici´ on 6.7. A la ecuaci´ A. Nota 6.2. De la u ´ltima proposici´on se deduce que los valores propios de una matriz se obtienen hallando las ra´ıces de un polinomio (el polinomio caracter´ıstico) de grado igual a la dimensi´on de la matriz. El teorema fundamental del ´algebra establece que un polinomio de grado n con coeficientes y variables complejas tiene n ra´ıces en el
6.3. Diagonalizaci´ on
125
cuerpo de los complejos: pn (x) = a(x − r1 )(x − r2 ) . . . (x − rn )1
r1 , r2 , . . . , rn ∈ C
Del teorema fundamental del ´algebra se deducen dos propiedades inmediatas 1.
Una matriz A ∈ Mn (C) no puede tener m´as de n valores propios.
2.
Una matriz A ∈ Mn (C) tiene siempre, por lo menos, un valor propio.
Definici´ on 6.8. El n´ umero de veces que el factor (λ − ri ) aparece en la factorizaci´ on de pn (λ) recibe el nombre de multiplicidad algebraica de la ra´ız ri y en lo sucesivo se designar´ a por mi . Proposici´ on 6.5. Dadas dos matrices semejantes, sus polinomios caracter´ısticos coinciden. Proposici´ on 6.6. Sea f : V → V un endomorfismo definido sobre un lK-espacio vectorial V de dimensi´ on n. La dimensi´ on del subespacio propio, Vλ , de f asociado a λ es: dim(Vλ ) = n − rg(A − λI) Definici´ on 6.9. Se llama multiplicidad geom´ etrica del valor propio λ a la dimensi´ on de Vλ . En lo sucesivo la multiplicidad geom´etrica del valor propio λi se designar´ a por si .
6.3.
Diagonalizaci´ on
El problema de la diagonalizaci´on consiste en dado un endomorfismo f : V → V definido sobre un e.v., V, de dimensi´on n, encontrar una base de V tal que la matriz asociada a f en dicha base sea diagonal; o, enunciado en forma equivalente, dada una matriz A ∈ Mn (lK), encontrar una matriz P tal que P −1 AP sea una matriz diagonal. Definici´ on 6.10. Un endomorfismo f : V → V se dice que es diagonalizable si existe una base de V en la cual la matriz asociada a f es una matriz diagonal. Definici´ on 6.11. Una matriz A ∈ Mn (lK) es diagonalizable por semejanza si existe una matriz inversible, P, tal que P −1 AP es una matriz diagonal. p P
1 las
i=1
ra´ıces no tienen por qu´ e ser distintas, se pueden repetir. Sin embargo, se debe verificar
mi = n, donde mi es el n´ umero de veces que se repite la ra´ız ri y p es el n´ umero de ra´ıces
distintas.
126
Cap´ıtulo 6. Diagonalizaci´ on de endomorfismos
Teorema 6.2. A ∈ Mn (lK) es diagonalizable por semejanza Ssi. A tiene n vectores propios linealmente independientes. Nota 6.3. Un enunciado equivalente del teorema anterior ser´ıa: un endomorfismo f es diagonalizable Ssi. existe una base del espacio vectorial sobre el que est´a definido f formada por vectores propios. Del Teorema anterior se deduce el siguiente procedimiento para diagonalizar un endomorfismo f : V → V diagonalizable (o para diagonalizar por semejanza una matriz cuadrada diagonalizable por semejanza). 1.
Encontrar todos los valores propios del endomorfismo.
2.
Hallar las bases de los s.e.v. propios asociados a los valores propios anteriores.
3.
Unir las bases obtenidas en la etapa anterior para formar una base de V (siempre es posible si el endomorfismo es diagonalizable).
4.
Expresar f en la base formada por los vectores propios mediante el correspondiente cambio de base. La matriz de f en esta nueva base ser´a una matriz diagonal cuyos elementos no nulos ser´an los valores propios del endomorfismo. λ1 0 ... 0 0 λ2 . . . 0 A0 = P −1 AP = . P =(p1 , . . . , pn ) .. . . .. ; | {z } .. . . . 0
0
. . . λn
v. prop. L.I.
Proposici´ on 6.7. Los subespacios propios son linealmente independientes (Vλi ∩ Vλj = {0} si i 6= j). Proposici´ on 6.8. Sea f : V → V un endomorfismo definido sobre un lK-espacio vectorial de dimensi´ on n. Sup´ ongase que f tiene p valores propios (p ≤ n) λi (i = 1, . . . p), siendo sus multiplicidades algebraicas respectivas mi (i = 1, . . . , p) y sus multiplicidades geom´etricas si (i = 1, . . . , p). El endomorfismo f es diagonalizable Ssi. se verifican las dos propiedades siguientes: p P
1.
i=1
2.
mi = n (siempre es cierto si lK = C, pero puede no serlo si lK = lR).
mi = si ,
6.4.
i = 1, . . . , p.
Propiedades de los valores propios
Proposici´ on 6.9. Sea A ∈ Mn (lK) una matriz cuyos valores propios son los escalares λ1 , . . . , λn ∈ lK. Se verifica:
6.5. Referencias bibliogr´ aficas
1.
Los valores propios de At coinciden con los de A.
2.
det(A) =
n Q i=1
127
λi .
3.
Los valores propios de la matriz αA son αλi (i = 1, . . . , n), (α ∈ lK).
4.
Si A es no singular, entonces los valores propios de A−1 son
5.
∀k ∈ lN, los autovalores de Ak son λki , i = 1, . . . , n.
6.5.
1 λi
(i = 1, . . . , n).
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 6 de [1], el 9 de [2], el 5 de [10], el 8 del [11] y el cap´ıtulo 7 de [12]. Para profundizar m´as en el tema ver [19], [9], [13], [63], [67] y [66]. Las u ´ltimas referencias est´an indicadas para estudiar m´etodos num´ericos de c´alculo de valores propios.
6.6. 1.
Ejercicios
Calcular los autovalores (valores propios) y subespacios propios de las matrices A y B. ¿Son diagonalizables por semejanza? 1 2 0 a) A = −1 3 1 0 1 1 5 0 −4 0 b) B = 0 3 2 0 −1 Soluci´ on: a) λ1 = 1 (simple, m1 = 1); λ2 = 2 (doble, m2 = 2). © ª V1 = x ∈ lR3 / x = (α, 0, α)t , α ∈ lR , © ª V2 = x ∈ lR3 / x = (2α, α, α)t , α ∈ lR . La matriz A no es diagonalizable por semejanza. b) λ1 = 1 (simple, m1 = 1); λ2 = 3 (doble, m2 = 2). © ª V1 = x ∈ lR3 / x = (α, 0, α)t , α ∈ lR , © ª V2 = x ∈ lR3 / x = (2α, β, α)t , α, β ∈ lR . La matriz B si es diagonalizable por semejanza.
128
2.
Cap´ıtulo 6. Diagonalizaci´ on de endomorfismos
Hallar los valores propios y los subespacios propios de la matriz
1 A= 1 1
−1 −1 −1 0 , A ∈ M3,3 (C) 0 −1
Indicar si A es diagonalizable por semejanza. En caso de serlo hallar la matriz diagonal semejante a A. Soluci´ on: Autovalores: λ1 = −1, λ2 = i, λ3 = −i. Base de V1 = {(0, 1, −1)t } , Base de Vi = {(1 + i, 1, 1)t } , Base de V−i = {(1 − i, 1, 1)t } . La matriz es diagonalizable por semejanza. La matriz diagonal semejante es: −1 0 0 0 D= 0 i 0 0 −i
3.
Dada una matriz A ∈ Mn,n (lK), se dice que A es una matriz ortogonal si At = A−1 . Demostrar que si λ es un autovalor de una matriz ortogonal entonces tambi´en lo es λ1 .
4.
Consid´erese la siguiente matriz cuadrada y sim´etrica : µ A=
a b b d
¶ .
Se pide: a) demostrar que los valores propios de A son siempre reales si a, b y d son reales, b) demostrar que la matriz A es diagonalizable por semejanza para cualesquiera a, b y d (reales). 5.
Consid´erese la siguiente matriz cuadrada: µ A=
a b −b a
¶ a, b ∈ lR b 6= 0
Se pide demostrar que la matriz A no tiene valores propios reales. 6.
Un endomorfismo idempotente es aqu´el que verifica: f ◦ f = f (una matriz idempotente es una matriz cuadrada que verifica: AA = A2 = A). Hallar los posibles valores propios de un endomorfismo idempotente. Soluci´ on: los u ´nicos valores propios posibles son λ = 0 y λ = 1.
6.6. Ejercicios
7.
129
Dos empresas fabricantes de autom´oviles (A y B) controlan el mercado de un pa´ıs reparti´endoselo al 60 % y 40 % respectivamente. Este a˜ no en el mercado se mueven 5 billones de pesetas. Si los compradores de la marca A son cada a˜ no fieles en un 30 % y se cambian cada a˜ no a la otra marca un 70 % y en el caso de la marca B, son fieles el 40 % y optan por la otra marca un 60 %. ¿C´omo se repartir´ an el mercado al cabo de 10 a˜ nos, suponiendo que su volumen permanezca constante? Si se quiere estudiar el reparto del mercado en a˜ nos sucesivos se observa que la variaci´on es muy peque˜ na, pr´acticamente despreciable (el reparto del mercado permanece cuasi-constante al cabo de un cierto n´ umero de a˜ nos). ¿C´omo se justificar´ıa este comportamiento desde el punto de vista de la diagonalizaci´on de endomorfismos? Soluci´ on: Ventas de la marca A : 2.307.696.396.000 Pesetas. Ventas de la marca B : 2.692.303.604.000 Pesetas. Pista: expresar el vector de repartici´on inicial ( (0,6, 0,4)t ) en funci´on de una base de vectores propios del endomorfismo que transforma el reparto del mercado de un a˜ no dado al del a˜ no siguiente.
8.
Sea f : lR3 → lR3 un endomorfismo y A su matriz asociada. Se sabe que una base del n´ ucleo del endomorfismo cuya matriz asociada es A − I esta constituida por los vectores (1, 1, 0)t y (1, 0, 1)t y que en el endomorfismo dado por A la imagen del vector (0, 2, 1)t es el vector (1, 1, 0)t . Se pide: a) valores propios y subespacios propios de f, b) si f es diagonalizable, determinar una base respecto a la cual la matriz asociada a f sea diagonal, determinar tambi´en la expresi´on del endomorfismo diagonalizado, c) clasificar el endomorfismo, d ) obtener los subespacios propios de An , e) determinar la matriz del endomorfismo en la base original (la base can´onica de lR3 ). Nota: se supondr´a que todos los vectores que aparecen en el enunciado est´an expresados en la base can´onica de lR3 . Soluci´ on: a) Valores © propios: λ1 = 1 (doble), λ2 =ª0. V1 = ½(x, y, z)t ∈ lR3 /Áx − y − z = 0 ¾, x+y =0 V0 = (x, y, z)t ∈ lR3 x+z =0
130
Cap´ıtulo 6. Diagonalizaci´ on de endomorfismos
y1 1 0 0 x1 b) f es diagonalizable. f (x) = y2 = 0 1 0 x2 , expresi´on y3 0 0 0 x3 de f en la base {(1, 1, 0)t , (1, 0, 1)t , (1, −1, −1)t }, base formada por vectores propios. c) El endomorfismo no es inyectivo y en consecuencia tampoco es sobreyectivo. d ) Los subespacios propios de An son los mismos que los de A. 2 1 1 e) P =
3 1 3 1 3
3 2 3 − 31
3
− 13 2 3
Cap´ıtulo 7
El espacio af´ın eucl´ıdeo 7.1.
Introducci´ on
En este cap´ıtulo se van a tratar algunos problemas b´asicos de geometr´ıa anal´ıtica como representaci´on de rectas y planos, estudio de las posiciones relativas de rectas y planos, c´alculo de la distancia de un punto a un plano o una recta, etc.. Para poder abordar estos problemas es necesario introducir el concepto de espacio geom´etrico (espacio af´ın eucl´ıdeo de dimensi´on 3) que se representar´a en lo que sigue por A3 . En esta introducci´on se define el concepto de espacio af´ın eucl´ıdeo de dimensi´on n y se enumeran algunas de las propiedades de sus elementos b´asicos: puntos, vectores y variedades lineales. Definici´ on 7.1. Dados un conjunto A, cuyos elementos se llamar´ an puntos, y un espacio eucl´ıdeo E, se dice que A es un espacio af´ın eucl´ıdeo asociado a E si existe una aplicaci´ on A×E → (P, v) →
A Q=P +v
que verifica: 1.
∀ (P, Q) ∈ A × A ∃ un u ´nico v ∈ E t.q. P + v = Q,
2.
∀ P ∈ A y u, v ∈ E, se verifica: (P + u) + v =P + (u + v).
on de Definici´ on 7.2. El espacio eucl´ıdeo E recibe el nombre de espacio de direcci´ A. 131
132
Cap´ıtulo 7. El espacio af´ın eucl´ıdeo
Nota 7.1. Se usar´an las notaciones P + v =Q, PQ = v ( PQ : vector que tiene por origen el punto P y por extremo el punto Q) y v =Q − P indistintamente. Nota 7.2. T´engase en cuenta que en los cap´ıtulos correspondientes a la parte de c´alculo los puntos se designar´an mediante letras min´ usculas con raya encima. (p en vez de P ). Proposici´ on 7.1. (Principales propiedades de un espacio af´ın eucl´ıdeo) 1.
P + v =P ⇔ v = 0,
2.
∀ P, Q ∈ A
3.
∀ P, Q, R ∈ A
4.
∀ P, Q, P 0 , Q0 ∈ A
PQ = −QP, PQ + QR = PR (relaci´ on de Chasles), si PQ = P0 Q0 entonces PP0 = QQ0 .
Definici´ on 7.3. Sea A un espacio af´ın eucl´ıdeo de dimensi´ on n asociado a un espacio vectorial E. Una referencia af´ın de A es un conjunto formado por un punto O ∈ A, llamado origen de la referencia y una base {e1 , . . . , ep } de E. Se representa por R = {O, e1 , . . . , ep } . Si {e1 , . . . , ep } es una base ortonormal se dir´ a que R es un sistema de referencia ortonormal. Definici´ on 7.4. Coordenadas de un punto en una referencia af´ın. Dada R = {O, e1 , . . . , ep } se llaman coordenadas afines de P ∈ A en R a las coordenadas de OP en la base {e1 , . . . , ep } . CAMBIO DE REFERENCIA AF´IN ª © Dadas R = {O, e1 , . . . , ep } y R0 = O0 , e01 , . . . , e0p con OO0 = (a1 , . . . , an )t las n P coordenadas de O0 en R y e0i = aji ej . Si (x1 , . . . , xn )t son las coordenadas de X j=1
en R e (y1 , . . . , yn )t las de X en R0 entonces:
x1 x2 .. . xn
=
a1 a2 .. . an
+
a11 a21 .. .
... ... .. .
a1n a2n .. .
an1
...
ann
y1 y2 .. .
yn
Definici´ on 7.5. Todo subconjunto de A con estructura de espacio af´ın recibe el nombre de variedad lineal (o subespacio af´ın o variedad af´ın). Teorema 7.1. Si B es una variedad lineal de A entonces B = {P + v P ∈ A y v ∈F } siendo F un subespacio vectorial de E. Se representa por B = P + F y se dice que B es la variedad lineal que pasa por P y tiene a F como subespacio de direcci´ on.
7.2. Representaci´ on de rectas y planos
133
Definici´ on 7.6. Se llama rango de un conjunto de puntos {P0 , P1 , . . . , Pk } al rango del conjunto de vectores {P0 P1 , P0 P2 , . . . , P0 PK }. Definici´ on 7.7. Los puntos {P0 , P1 , . . . , Pk } son afinmente independientes si los vectores {P0 P1 , P0 P2 , . . . , P0 PK } son linealmente independientes. En caso contrario se dice que los puntos son afinmente dependientes . Nota 7.3. En lo que resta de cap´ıtulo se va a trabajar u ´nicamente en el espacio geom´etrico A3 que es un espacio af´ın eucl´ıdeo de dimensi´on 3 formado por el conjunto de puntos lR3 (todos los puntos del espacio) y el espacio eucl´ıdeo formado por el espacio vectorial lR3 (todos los vectores de tres componentes, o todas las direcciones del espacio) y el producto escalar ordinario (producto escalar cuya matriz asociada en la base can´onica es la matriz unidad). Obs´ervese que al conjunto de puntos se le llama igual que al espacio vectorial porque a cada punto se le puede asociar una direcci´on: la del vector que une el origen de coordenadas con el punto en cuesti´on. En los ejemplos que se estudian a continuaci´on ser´a f´acil distinguir por el contexto cuando nos estaremos refiriendo al conjunto de puntos o cuando al espacio vectorial. Por u ´ltimo indicar que en lo que resta de cap´ıtulo se supondr´a, salvo indicaci´on contraria, que los sistemas de referencia son ortonormales.
7.2. 7.2.1.
Representaci´ on de rectas y planos Rectas en el espacio
Son las variedades lineales que pasan por un punto y tienen asociado un subespacio de direcci´on de dimensi´on 1 (son por lo tanto variedades lineales de dimensi´on 1): Recta que pasa por un punto P = (P1 , P2 , P3 )t y tiene a v = (v1 , v2 , v3 )t como vector director (vector que pertenece al subespacio de direcci´on de la recta): X = P + λv Ecuaciones param´etricas: independientes X1 = P1 + λv1 X2 = P2 + λv2 X3 = P3 + λv3 Ecuaciones impl´ıcitas: a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 = a4 b1 X1 + b2 X2 + b3 X3 = b4
134
Cap´ıtulo 7. El espacio af´ın eucl´ıdeo
Las ecuaciones impl´ıcitas se obtienen eliminando λ de las ecuaciones param´etricas. Por ejemplo despejando λ de las tres ecuaciones e igualando los tres valores despejados: X2 − P2 X3 − P3 X1 − P1 = = Ecuaci´on general v1 v2 v3 A partir de la ecuaci´on general se deducen de forma inmediata las dos ecuaciones impl´ıcitas. Obteni´endose, por ejemplo (no hay una soluci´on u ´nica), a1 = v2 , a2 = −v1 , a3 = 0, y a4 = v2 P1 − v1 P2 para la primera ecuaci´on y b1 = v3 , b2 = 0, b3 = −v1 , y b4 = v3 P1 − v1 P3 . Recta que pasa por dos puntos: P = (P1 , P2 , P3 )t y Q = (Q1 , Q2 , Q3 )t . En este caso un vector director de la recta es PQ = (Q1 − P1 , Q2 − P2 , Q3 − P3 )t y nos encontramos en el caso anterior.
7.2.2.
Planos en el espacio
Los planos son variedades lineales que pasan por un punto y tienen asociado un subespacio de direcci´on de dimensi´on 2 (son variedades lineales de dimensi´on 2). Plano que pasa por el punto P = (P1 , P2 , P3 )t y tiene a u = (u1 , u2 , u3 )t y a v = (v1 , v2 , v3 )t como vectores directores (u y v linealmente independientes). X = P + λu+µv
(7.1)
Ecuaciones param´etricas: X1 = P1 + λu1 + µv1 X2 = P2 + λu2 + µv2 X3 = P3 + λu3 + µv3 Ecuaci´on general: de (7.1) se deduce que X − P = λu+µv y por lo tanto PX, u y v son linealmente dependientes, por lo que: ¯ ¯ ¯ X1 − P1 X2 − P2 X3 − P3 ¯ ¯ ¯ ¯ u1 ¯=0 u2 u3 (7.2) ¯ ¯ ¯ v1 ¯ v2 v3 Ecuaci´on ¯ ¯ u1 u2 ¯ ¯ v1 v2
¯ ¯ u impl´ıcita: si en (7.2) se hace a = ¯¯ 2 v2 ¯ ¯ ¯ queda: ¯
¯ ¯ ¯ u1 u3 ¯¯ ¯ , b = − ¯ ¯ v1 v3
a(X1 − P1 ) + b(X2 − P2 ) + c(X3 − P3 ) = 0.
¯ u3 ¯¯ ,c= v3 ¯
7.3. Posiciones relativas de rectas y planos
135
O, lo que es lo mismo: aX1 + bX2 + cX3 = d
(7.3)
con d = aP1 + bP2 + cP3 . La ecuaci´on impl´ıcita (7.3) tambi´en se puede obtener directamente a partir de las ecuaciones param´etricas eliminando los par´ametros λ y µ. Plano que pasa por 3 puntos (afinmente independientes) P = (P1 , P2 , P3 )t , Q = (Q1 , Q2 , Q3 )t y R = (R1 , R2 , R3 )t . En este caso se tiene que PQ = (Q1 − P1 , Q2 − P2 , Q3 − P3 )t y PR = (R1 − P1 , R2 − P2 , R3 − P3 )t son dos vectores directores del plano (pertenecientes a su subespacio de direcci´on) y por la tanto se dan las condiciones del caso anterior. Nota 7.4. Un vector, w, que sea ortogonal a todos los vectores directores del plano (w · u = 0 para todo u perteneciente al subespacio de direcci´on del plano) recibe el nombre de vector caracter´ıstico del plano. Nota 7.5. Si el sistema de referencia es ortonormal, el vector (a, b, c)t es un vector caracter´ıstico del plano. Siendo a, b y c los tres coeficientes que aparecen en la ecuaci´on (7.3). Nota 7.6. Si el sistema de referencia es ortonormal y u y v son dos vectores cualesquiera del subespacio de direcci´on del plano, el vector (u × v) es un vector caracter´ıstico del plano. Nota 7.7. Cada una de las ecuaciones impl´ıcitas de una recta es la ecuaci´on de un plano. Por ello se puede afirmar que toda recta de A3 es intersecci´on de dos planos.
7.3. 7.3.1.
Posiciones relativas de rectas y planos Paralelismo y ortogonalidad
Sean r1 y r2 dos rectas de vectores directores u = (u1 , u2 , u3 )t y v = (v1 , v2 , v3 )t respectivamente y π 1 y π 2 dos planos de vectores caracter´ısticos respectivos a = (a1 , a2 , a3 )t y b = (b1 , b2 , b3 )t . Se verifica lo siguiente: 1.
Las rectas r1 y r2 son paralelas si u =λv, o, lo que es lo mismo, uv11 = µ ¶ u1 u2 u3 o, lo que tambi´en es lo mismo rg = 1. v1 v2 v3
2.
Los planos son paralelos si a = λb.
3.
Las rectas r1 y r2 son ortogonales si u · v =0.
u2 v2
=
u3 v3
⇔
136
Cap´ıtulo 7. El espacio af´ın eucl´ıdeo
4.
Los planos π 1 y π 2 son ortogonales si a · b =0.
5.
La recta r1 es paralela al plano π 1 si u · a =0.
6.
La recta r1 es perpendicular al plano π 1 si u =λa.
7.3.2.
Posiciones relativas de dos planos
Sean los planos: π 1 : a1 X + b1 Y + c1 Z = d1 π 2 : a2 X + b2 Y + c2 Z = d2 Su posici´on relativa se determina estudiando su intersecci´on. Para ello se discute el sistema: ¾ a1 X + b1 Y + c1 Z = d1 (7.4) a2 X + b2 Y + c2 Z = d2 Si se denota por M a la matriz de coeficientes de (7.4) y por N a la matriz ampliada de (7.4) se tendr´a: 1.
rg(M ) = rg(N ) = 2. En este caso el sistema (7.4) es un sistema compatible indeterminado. La soluci´on depende de un par´ametro. La intersecci´ on de los planos es una recta cuyo vector director es el producto vectorial de los caracter´ısticos del plano. Resolviendo el sistema (7.4) se obtienen unas ecuaciones param´etricas de la recta intersecci´on.
2.
rg(M ) = 1 y rg(N ) = 2. En este caso el sistema (7.4) es un sistema incompatible, los dos planos no tienen ning´ un punto en com´ un. Son planos paralelos.
3.
rg(M ) = rg(N ) = 1. En este caso los dos planos son iguales.
7.3.3.
Posici´ on relativa de dos rectas
Sean las rectas: ½ a1 X + a2 Y + a3 Z = a4 r1 : b1 X + b2 Y + b3 Z = b4
½ y r2 :
c1 X + c2 Y + c3 Z = c4 d1 X + d2 Y + d3 Z = d4
Su posici´on relativa se determina discutiendo las soluciones del sistema: a1 X + a2 Y + a3 Z = a4 b1 X + b2 Y + b3 Z = b4 c1 X + c2 Y + c3 Z = c4 d1 X + d2 Y + d3 Z = d4
(7.5)
7.3. Posiciones relativas de rectas y planos
137
Si se denota por M a la matriz de coeficientes de (7.5) y por N a la matriz ampliada de (7.5) (2 ≤ rg(M ) ≤ 3, 2 ≤ rg(N ) ≤ 4), se tendr´a: 1.
rg(M ) = 3 y rg(N ) = 4. En este caso el sistema (7.5) es un sistema incompatible. Las rectas se cruzan, no existe ning´ un punto que pertenezca a las dos rectas a la vez. Se cruzan y no son paralelas porque al ser rg(M ) = 3 la intersecci´on de los subespacios de direcci´on de cada una de las rectas contiene u ´nicamente al vector nulo y por lo tanto no tienen ninguna direcci´on com´ un.
2.
rg(M ) = rg(N ) = 3. En este caso el sistema (7.5) es un sistema compatible determinado. Las rectas se cortan en un punto (la soluci´on del sistema).
3.
rg(M ) = 2 y rg(N ) = 3. En este caso el sistema (7.5) es un sistema incompatible. Las rectas son paralelas. Son paralelas y no se cruzan porque al ser rg(M ) = 2 los subespacios de direcci´on de ambas rectas coinciden y las dos rectas tienen la misma direcci´on.
4.
rg(M ) = rg(M ) = 2. En este caso el sistema (7.5) es un sistema compatible indeterminado con una par´ametro libre. Las dos rectas coinciden: las dos ecuaciones son dos formas distintas de expresar la misma recta.
Nota 7.8. Tambi´en se puede determinar la posici´on relativa de dos rectas del siguiente modo: sup´ongase que los vectores directores de las rectas r1 y r2 son respectivamente u y v, se tienen dos casos, 1.
u = λv (los subespacios de direcci´on de ambas rectas coinciden). a) Si un punto cualquiera de r1 verifica las ecuaciones de r2 (o viceversa) ambas rectas son la misma. b) Si un punto cualquiera de r1 no verifica las ecuaciones de r2 (o viceversa) las rectas son paralelas.
2.
u∈ / hvi (los subespacios de direcci´on son distintos). a) Si PQ ∈ hu, vi (P es un punto cualquiera de r1 y Q es un punto cualquiera de r2 ). O, lo que es lo mismo, ¯ ¯ ¯ Q1 − P1 Q2 − P2 Q3 − P3 ¯ ¯ ¯ ¯ u1 u2 u3 ¯¯ = 0 ¯ ¯ v2 v2 v3 ¯ Las rectas est´an en un mismo plano y se cortan en un punto.
138
Cap´ıtulo 7. El espacio af´ın eucl´ıdeo
b) Si PQ ∈ / hu, vi . O, lo que es lo mismo, ¯ ¯ Q1 − P1 Q2 − P2 Q3 − P3 ¯ ¯ u1 u2 u3 ¯ ¯ v2 v2 v3
¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0 ¯ ¯
Las rectas est´an en planos distintos y por lo tanto se cruzan.
7.3.4. Si
Posici´ on relativa de recta y plano X = X0 + λv1 Y = Y0 + λv2 r1 : Z = Z0 + λv3
y π : aX + bY + cZ = d
son las ecuaciones param´etricas de la recta r1 y la ecuaci´on impl´ıcita del plano π respectivamente, su posici´on relativa se puede estudiar analizando la ecuaci´on: a(X0 + λv1 ) + b(Y0 + λv2 ) + c(Z0 + λc) = d,
(7.6)
ecuaci´on que se obtiene obligando a que un punto gen´erico de la recta r1 pertenezca al plano π. Sacando factor com´ un a λ en (7.6) se obtiene: λ(av1 + bv2 + λc) + aX0 + bY0 + cZ0 − d = 0
(7.7)
A partir de (7.7) se concluye lo siguiente: 1.
llamando h a av1 + bv2 + λc y k a aX0 + bY0 + cZ0 − d si h = 0 y k = 0 la ecuaci´on (7.7) se satisface para todo λ y por lo tanto la recta est´a contenida en el plano.
2.
Si h 6= 0 existe un u ´nico valor de λ (λ0 = − hk ) que verifica (7.7). En este caso la recta corta al plano en un punto determinado por λ0 .
3.
Si h = 0 y k 6= 0 la ecuaci´on (7.7) no se satisface para ning´ un λ y por lo tanto la recta y el plano ser´ an paralelos.
Nota 7.9. Otra forma de estudiar la posici´on relativa de recta y plano es analizar las soluciones del sistema: ½ a1 X + b1 Y + c1 Z = d1 r1 : a2 X + b2 Y + c2 Z = d2 π 1 : aX + bY + cZ = d
´ 7.4. Angulos y distancias
7.4.
139
´ Angulos y distancias
´ Definici´ on 7.8. Angulo que forman dos rectas r1 y r2 µ α = rd 1 r2 = arc cos
u·v kuk kvk
¶ ,
en donde u es un vector director de r1 y v uno de r2 . ´ Definici´ on 7.9. Angulo que forman dos planos π 1 y π 2 µ ¶ w1 ·w2 β = π[ π = arc cos , 1 2 kw1 k kw2 k en donde w1 es un vector caracter´ıstico de π 1 y w2 uno de π 2 . ´ Definici´ on 7.10. Angulo que forman una recta r y un plano π µ ¶ π u·w γ = rc π = − arc cos , 2 kuk kwk en donde u es un vector director de r y w es un vector caracter´ıstico de π. Definici´ on 7.11. Distancia entre dos puntos P = (P1 , P2 , P3 )t y Q = (Q1 , Q2 ,Q3 )t d(P, Q) = kPQk Definici´ on 7.12. La Distancia de un punto P a una recta r coincide con la distancia del punto P al punto intersecci´ on del plano perpendicular a r que pasa por P con la propia r. C´ alculo de la distancia de P a r. Sup´ongase que se denota por Q al punto intersecci´on del plano perpendicular a r que pasa por P con la propia r, entonces: ¯ PX0 = PQ + QX0 = PQ + Pr ¯hui PX0 (7.8) en donde X0 es un punto cualquiera de la recta (QX0 es la proyecci´on ortogonal de PX0 sobre el subespacio director de la recta). Despejando PQ de la ecuaci´on (7.8) se obtiene: ¯ PX0 · u PQ = PX0 − Pr ¯hui PX0 = PX0 − 2 u kuk donde u es un vector director de la recta. Por lo tanto: ° ° ° PX0 · u ° ° ° d(P, r) = d(P, Q) = °PX0 − 2 u° ° ° kuk
(7.9)
140
Cap´ıtulo 7. El espacio af´ın eucl´ıdeo
Nota 7.10. Una forma m´as r´apida de calcular la distancia entre punto y recta pero que no proporciona las coordenadas de Q se deduce multiplicando vectorialmente a la derecha por u en ambos miembros de la ecuaci´on (7.8): PX0 × u = (PQ + QX0 ) × u = PQ × u debido a que u y QX0 tienen la misma direcci´on. De la igualdad anterior se deduce que: kPX0 × uk = kPQ × uk lo cual implica (PQ y u son perpendiculares): d(P, Q) = kPQk =
kPX0 × uk kuk
(7.10)
Definici´ on 7.13. La distancia de un punto P a un plano π coincide con la distancia del punto P al punto Q. Siendo Q el punto intersecci´ on de la recta perpendicular a π que pasa por P con el propio π. Q recibe el nombre de proyecci´ on de P sobre el plano. C´ alculo de la distancia de P a π. Sup´ongase que el plano tiene por ecuaci´on impl´ıcita π : aX + bY + cZ = d. En este caso las ecuaciones param´etricas de la recta perpendicular a π que pasa por P ser´an: X = P1 + λa Y = P2 + λb Z = P3 + λc El punto Q, proyecci´on de P sobre el plano ser´a aquel punto de la recta que verifique la ecuaci´on del plano, a(P1 + λa) + b(P2 + λb) + c(P3 + λc) = d de donde se deduce que: λ∗ = −
aP1 + bP2 + cP3 − d a2 + b2 + c2
por lo tanto las coordenadas del punto Q ser´ an: Q = (P1 + λ∗ a, P2 + λ∗ b, P3 + λ∗ c)t y la distancia buscada, p ° ° d(P, π) = d(P, Q) = kPQk = °(λ∗ a, λ∗ b, λ∗ c)t ° = |λ∗ | a2 + b2 + c2
´ 7.4. Angulos y distancias
141
sustituyendo el valor de λ∗ , d(P, π) =
|aP1 + bP2 + cP3 − d| √ a2 + b2 + c2
(7.11)
Definici´ on 7.14. Distancia entre dos rectas r1 y r2 . Se pueden dar tres casos: 1.
Si las dos rectas se cortan la distancia es cero.
2.
Si las dos rectas son paralelas, d(r1 , r2 ) = d(P, r2 ) donde P es un punto cualquiera de la recta r1 .
3.
Si las dos rectas se cruzan, d(r1 , r2 ) = d(P, Q) en donde P y Q son los puntos de corte de r1 y r2 con la perpendicular com´ un.
Nota 7.11. La perpendicular com´ un de dos rectas que se cruzan es la recta que corta perpendicularmente a ambas. C´ alculo de la distancia entre dos rectas r1 y r2 que se cruzan. Se parte de las ecuaciones param´etricas de las dos rectas: r1 : X = X0 + λu, r2 : Y = Y0 + µv Los pies de la perpendicular com´ un (los puntos de corte de la perpendicular com´ un con cada una de las rectas), que se llamar´an P y Q, pertenecen respectivamente a r1 y r2 y por lo tanto P = X0 + λ∗ u, Q = Y0 + µ∗ v (7.12) Para calcular λ∗ y µ∗ basta con tener en cuenta que PQ · u =0 y PQ · v =0. Estas dos igualdades proporcionan un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas (λ∗ y µ∗ ), una vez resuelto se sustituyen los valores de λ∗ y µ∗ en (7.12) obteni´endose las coordenadas de P y Q. Conocidos P y Q la distancia buscada ser´a: d(r1 , r2 ) = d(P, Q) = kPQk
(7.13)
A partir de P y Q tambi´en se obtiene de forma inmediata la ecuaci´on de la perpendicular com´ un. Nota 7.12. Es posible calcular la distancia entre las rectas r1 y r2 sin necesidad de calcular los pies de la perpendicular com´ un. Utilizando la notaci´on del c´alculo anterior: PQ = PX0 +X0 Y0 +Y0 Q
142
Cap´ıtulo 7. El espacio af´ın eucl´ıdeo
el vector u × v tiene la misma direcci´on que PQ y es ortogonal a PX0 y a Y0 Q, por lo tanto: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |PQ · (u × v)| = ¯PX0 · (u × v) +X0 Y0 · (u × v)+ Y0 Q · (u × v)¯¯ {z } | {z }¯ ¯| 0
0
de donde se deduce que: kPQk ku × vk = |X0 Y0 · (u × v)| y en consecuencia: d(r1 , r2 ) = d(P, Q) = kPQk =
|X0 Y0 · (u × v)| ku × vk
(7.14)
Nota 7.13. Se puede, tambi´en, obtener la ecuaci´on de la perpendicular com´ un sin necesidad de conocer los pies de la perpendicular. Basta con expresarla como la intersecci´on de los planos π 1 (plano que pasa por X0 y tiene como vectores directores a u y u × v) y π 2 (plano que pasa por Y0 y tiene como vectores directores a v y u × v): ¾ π 1 : X0 + λu+µ(u × v) ecuaci´on de la perpendicular com´ un a r1 y r2 . π 2 : Y0 + αv+β(u × v)
7.5.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar los cap´ıtulos 11 y 12 de [2], el cap´ıtulo 3 de [7] y el cap´ıtulo 2 de [5].
7.6. 1.
Ejercicios
Sea Ax = b con A ∈ Mn (lR) y x, b ∈ lRn , un sistema compatible de ecuaciones. a) Demostrar que el conjunto S0 de soluciones del sistema homog´eneo Ax = 0 es un subespacio vectorial y que el conjunto S de soluciones del sistema completo es una variedad lineal en el espacio An . b) Dada la variedad lineal S de A3 , soluci´on del sistema de ecuaciones x1 + x2 + x3 = 2 x2 − x3 = 1 2x1 − x2 + 5x3 = 1 en el sistema de referencia can´onico (O; e1 , e2 , e3 ), expresar S como suma de un punto y un subespacio.
7.6. Ejercicios
143
c) Dar las ecuaciones del subespacio af´ın S del apartado anterior en el sistema de referencia R : (P ; e1 + e2 , e2 + e3 , e3 ) con P = (1, 0, 0)t . Soluci´ on: (b) S = (1, 1, 0)t + h(−2, 1, 1)t i 2x01 + 2x02 + x03 = 2 x01 − x03 = 1 (c) 0 0 x1 + 4x2 + 5x05 = −1 2.
En un cubo de arista a se considera la diagonal D que une los puntos (a, 0, 0)t y (0, a, a)t y una diagonal d de una de las caras (cara formada por los puntos (a, 0, 0)t , (a, a, 0)t , (a, a, a)t y (a, 0, a)t ), de tal forma que las rectas d y D se crucen. Determinar los puntos de corte de la perpendicular com´ un a d y D con d y D. Soluci´ on: ¡ 2a a a ¢t ¡ ¢t P = 3 , 3 , 3 , Q = a, a2 , a2 .
3.
Dadas las rectas r : {x = y = z} y s : {x = t + 1, y = t, z = t}, hallar los planos paralelos al plano que contiene a r y a s y que distan dos unidades del origen. Soluci´ on: √ √ y − z + 2 2 = 0 y y − z − 2 2 = 0.
4.
Sean los planos : bx + 2y + z + 2 − a = 0, ay + z = 0 y 3x + 2y + z − 3 = 0. Determinar para que valores de a y b forman un triedro (se cortan en un punto) y obtener el lugar geom´etrico del v´ertice del triedro (punto de corte). Soluci´ on: 6 2, el lugar geom´etrico de los posibles Forman un triedro para b 6= 3 y a = v´ertices es el plano 3x + 2y + z − 3 = 0.
5.
En el espacio geom´etrico y respecto de una referencia cartesiana R = {O, e1 , e2 , e3 }, se consideran los puntos O0 = (1, 2, 1)t , A = (2, 3, 1)t , B = (2, 2, 2)t y C = (4, 3, 1)t . Sea R0 = {O, u1 , u2 , u3 } una referencia cuyos ejes son las rectas O0 A, O0 B, O0 C, y D un punto cuyas coordenadas son (2, 1/2, 1/3)t en la referencia R y (1,1,1)t en R0 . Hallar las ecuaciones que facilitan el cambio de coordenadas. Soluci´ on: x1 = 1 − x =2− 2 x3 = 1 −
37y1 12 37y1 12 2y2 3
− +
2y2 57y3 3 + 12 19y3 12
144
Cap´ıtulo 7. El espacio af´ın eucl´ıdeo
Cap´ıtulo 8
M´ etodos num´ ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales 8.1.
Introducci´ on
En este tema se van a estudiar diversos m´etodos num´ericos para resolver un sistema lineal de ecuaciones, Ax = b, compatible determinado de n ecuaciones con n inc´ognitas. Los m´etodos num´ericos de resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales se pueden dividir en dos grupos: 1.
M´etodos directos. Se obtiene la soluci´on exacta (si se desprecian los errores de redondeo) mediante un algoritmo finito. En los m´etodos directos debe examinarse con detalle el n´ umero de operaciones aritm´eticas elementales que se realizan tanto por el tiempo de c´alculo que conllevan como por la posible acumulaci´on de errores de redondeo. Un primer ejemplo de algoritmo directo podr´ıa ser el m´etodo de Cramer. Es f´acil estimar el n´ umero de operaciones en coma flotante1 necesarias para obtener la soluci´on mediante este algoritmo: hay que calcular n + 1 determinantes de orden
1 Los
n´ umeros reales se codifican en el ordenador mediante un n´ umero (variable) de bits. Una de las formas m´ as habituales de codificaci´ on consiste en dedicar un conjunto de bits para codificar la mantisa, otro para codificar el exponente, un bit para el signo y otro para el punto decimal (coma en espa˜ nol). Las operaciones aritm´ eticas elementales entre n´ umeros reales codificados de esta forma se denominan operaciones en coma flotante.
145
146
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
n y efectuar n divisiones. Suponiendo que cada determinante se calculase “a lo bruto” se necesitar´ıan n!(n − 1) productos y n! − 1 sumas para calcular cada uno de ellos y en consecuencia el n´ umero total de operaciones ser´ıa, (n + 1)n!(n − 1) multiplicaciones, (n + 1)(n! − 1) sumas, n divisiones. En total (n+1)(n!(n−1)+n!−1)+n = (n+1)!n−1 operaciones en coma flotante ≈ (n + 1)!n operaciones en coma flotante (para n suficientemente grande). Esto se suele expresar diciendo que el m´etodo de Cramer necesita un n´ umero de operaciones en coma flotante del orden de O((n + 1)!n) Un segundo m´etodo puede ser el c´alculo de la matriz inversa del sistema, A−1 y tras ello la determinaci´on de la soluci´on mediante x = A−1 b. En esto caso el n´ umero de operaciones en coma flotante es del orden O(2n3 ). En la pr´actica no se utiliza ninguno de los dos m´etodos anteriores porque el n´ umero de operaciones en coma flotante que necesitan es demasiado grande para valores de n elevados. Los m´etodos que se utilizan habitualmente consisten en: a) buscar otro sistema, habitualmente triangular, equivalente al inicial y de resoluci´on sencilla y “barata” (desde el punto de vista del n´ umero de operaciones). Un ejemplo de este tipo de m´etodos ser´ıa el m´etodo de Gauss. b) expresar la matriz A como producto de dos (o m´as) matrices triangulares o diagonales de forma que la soluci´on del sistema Ax = b pueda resolverse resolviendo dos (o m´as) sistemas triangulares o diagonales. Un ejemplo de este tipo de m´etodos ser´ıa el m´etodo LU. 2.
M´etodos iterativos. Se obtiene la soluci´on del sistema con una cierta precisi´on mediante algoritmos convergentes pero infinitos. Algunos de los m´etodos iterativos m´as sencillos son: M´etodo de Jacobi. M´etodo de Gauss-Seidel. M´etodo de relajaci´on. M´etodos de tipo gradiente.
En este cap´ıtulo se van a estudiar u ´nicamente algunos m´etodos directos.
8.2. Algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan
8.2. 8.2.1.
147
Algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan Algoritmo de Gauss
El m´etodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales ya ha sido explicado en el tema 2. Ahora se trata de describir dicho m´etodo paso a paso descomponi´endolo en operaciones elementales de forma que se pueda describir mediante un lenguaje de programaci´on (C, Fortran, Pascal, Ada,..) y permitir que un ordenador resuelva el correspondiente sistema lineal. Esta descripci´on del m´etodo mediante un n´ umero finito de operaciones aritm´etico-l´ogicas elementales se denomina algoritmo del m´etodo. El algoritmo del m´etodo de Gauss es el siguiente: ´ ALGORITMO DEL METODO DE GAUSS (sin pivote) Comienzo del algoritmo ´ Paso 1: (TRIANGULARIZACION) Para k = 1, . . . , n − 1 Paso 1.1: (Intercambio de filas si es necesario) si akk = 0, intercambiar la fila k por la fila i (con i > k) para poner en la posici´on (k, k) un elemento no nulo. Si ello no es posible, abandonar pues el sistema no es compatible determinado. Paso 1.2: (“Pivoteo” hacia abajo) Para i = k + 1, . . . , n ik mik ← − aakk Para j = (k + 1), . . . , n aij ← aij + mik akj Fin bucle en j bi ← bi + mik bk aik ← 0 Fin bucle en i Fin bucle en k Paso 2: (REMONTE) n bn ← abnn Para i = (n − 1), . . . , 1 sum ← 0 Para k = (i + 1), . . . , n sum ← sum + aik bk Fin bucle en k bi ← (bi −sum) aii Fin bucle en i Fin del algoritmo
148
8.2.2.
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
Algoritmo de Gauss con pivote parcial
Cuando en el etapa k del paso 1 del algoritmo de Gauss el n´ umero akk es muy peque˜ no en relaci´on a alg´ un otro elemento de la columna k, por ejemplo el ajk (j > k), se produce una ampliaci´on de los errores de redondeo que pueden llegar a desvirtuar por completo la soluci´on. En efecto, en el supuesto anterior mjk = ajk /akk es mucho mayor que 1 y como los errores de redondeo introducidos en el c´alculo de uno de los t´erminos akl se multiplicar´an por mjk cuando se calcula ajl , el error inicial puede incrementarse fuertemente. As´ı mismo en la etapa de remonte ak,n+1 − xk =
n P
akj
i=k+1
akk
,
lo cual implica que con un valor peque˜ no de akk cualquier error del numerador puede aumentar extraordinariamente por la divisi´on entre akk . En el siguiente ejemplo se ilustra este problema. Ejemplo 8.1. El sistema lineal E1 : 0,003000x1 + 59,14x2 E2 : 5,291x1 − 6,130x2
= =
59,17 46,78
tiene soluci´on exacta x1 = 10,00 y x2 = 1,000. Sup´ongase que se realiza la eliminaci´on gaussiana del sistema anterior con una precisi´on de cuatro d´ıgitos. El primer elemento que se toma como pivote es un n´ umero peque˜ no: a11 = 0,003000 y su multiplicador asociado 5,291 m21 = = 1763,66 0,003000 se redondea al n´ umero 1764. Al realizar E2 − m21 E1 con el redondeo adecuado se obtiene 0,003000x1 + 59,14x2 ≈ 59,17 −104300x2 ≈ 104400 en vez de los valores precisos 0,003000x1 + 59,14x2 −104309,376x2
= =
59,17 −104309,376
la disparidad de las magnitudes m21 , a13 y a23 ha ocasionado un error de redondeo importante en los coeficientes de la segunda ecuaci´on, pero aun no se ha propagado. El proceso de remonte produce x2 ≈ 1,001
8.2. Algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan
149
que es una aproximaci´on aceptable para x2 = 1,000. Pero debido al pivote peque˜ no a11 = 0,003000 x1 ≈
59,17 − (59,14)(1,001) = −10,00 0,003000
que es una aproximaci´on inaceptable para el valor real x1 = 10,00.
Para evitar el problema anteriormente descrito, se busca entre los elementos de la columna k aquel que tenga mayor valor absoluto y se coloca en la posici´on (k, k) mediante el oportuno cambio de filas. Este nuevo algoritmo se denomina algoritmo de Gauss con pivote parcial y se diferencia del anterior u ´nicamente en el paso 1.1: ´ ALGORITMO DEL METODO DE GAUSS (con pivote parcial)
Comienzo del algoritmo ´ Paso 1: (TRIANGULARIZACION) Para k = 1, . . . , n − 1 Paso 1,1: (B´ usqueda del pivote) pvt = |akk | , f pvt = k Para j = k + 1, . . . , n Si |ajk | > pvt entonces pvt = |ajk | , f pvt = j Fin condici´on Fin bucle en j Si pvt = 0 parar porque el sistema no es compatible determinado Intercambiar la fila k con la fila f pvt Paso 1.2: (“Pivoteo” hacia abajo) Para i = k + 1, . . . , n ik mik ← − aakk Para j = (k + 1), . . . , n aij ← aij + mik akj Fin bucle en j bi ← bi + mik bk aik ← 0 Fin bucle en i Fin bucle en k
150
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
Paso 2: (REMONTE) n bn ← abnn Para i = (n − 1), . . . , 1 sum ← 0 Para k = (i + 1), . . . , n sum ← sum + aik bk Fin bucle en k bi ← (bi −sum) aii Fin bucle en i Fin del algoritmo
8.2.3.
N´ umero de operaciones del m´ etodo de Gauss
Paso 1.2 (en el paso 1.1 no se realizan operaciones en coma flotante) Para cada etapa k se realizan: 1.
n − k divisiones en la matriz del sistema.
2.
(n − k)(n − k) sumas en la matriz del sistema.
3.
(n − k)(n − k) productos en la matriz del sistema.
4.
n − k sumas en el vector de t´erminos independientes.
5.
n − k productos en el vector de t´erminos independientes.
Por lo tanto, teniendo en cuenta que se realizan n − 1 etapas, el n´ umero total de operaciones realizadas en el paso 1.2 ser´a: tot2 =
n−1 X k=1
3(n − k)+
n−1 X
2(n − k)2 = 3
k=1
n−1 X k=1
k+2
n−1 X k=1
k2 = 3
n(n − 1) 2 3 1 + n − n2 + n 2 3 3
Paso 2 En todo el proceso de remonte se realizan n divisiones. Adem´as para cada etapa k del remonte se realizan n − k sumas y n − k divisiones. Como se realizan n − 1 etapas se tiene que el n´ umero total de operaciones realizadas en el paso 2 ser´a: tot3 = 2
n−1 X k=1
(n − k) + n = n2 − n + n = n2
8.2. Algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan
151
Sumando el n´ umero de operaciones realizadas en ambos pasos se obtiene el n´ umero total de operaciones del m´etodo de Gauss:
tot = tot2 + tot3 =
2 3 1 2 7 2 3 7 n + n − n + n2 = n3 + n2 − n ≈ O 3 2 6 3 2 6
µ
2 3 n 3
¶
Si se compara el n´ umero de operaciones para valores concretos de la dimensi´on, n, del sistema seg´ un se utilice el m´etodo de Cramer o el m´etodo de Gauss, se observa el ahorro que representa la utilizaci´on de este u ´ltimo en lugar del primero. n 10 100 1000
8.2.4.
operaciones (Gauss) 805 681550 668165500
operaciones (Cramer) 399167999 ∼ 10162 ∼ 102573
Algoritmo de Gauss-Jordan
El algoritmo del m´etodo de Gauss-Jordan es el siguiente:
´ ALGORITMO DEL METODO DE GAUSS-JORDAN (con pivote)
Comienzo del algoritmo ´ Paso 1: (DIAGONALIZACION) Para k = 1, . . . , n Paso 1,1: (B´ usqueda del pivote) pvt = |akk | , f pvt = k Para j = k + 1, . . . , n Si |ajk | > pvt entonces pvt = |ajk | , f pvt = j Fin condici´on Fin bucle en j Si pvt = 0 parar porque el sistema no es compatible determinado Intercambiar la fila k con la fila f pvt
152
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
Paso 1.2: (“Pivoteo” hacia abajo y hacia arriba) Para i = 1, . . . , (k − 1), (k + 1), . . . , n ik mik ← − aakk Si (k 6= n) entonces Para j = (k + 1), . . . , n aij ← aij + mik akj Fin bucle en j Fin condici´on bi ← bi + mik bk aik ← 0 Fin bucle en i Fin bucle en k Paso 2: (REMONTE) Para i = n, . . . , 1 bi ← abiii Fin bucle en i Fin del algoritmo
8.2.5.
N´ umero de operaciones del m´ etodo de Gauss-Jordan
Paso 1.2 (en el paso 1,1 no se realizan operaciones en coma flotante) Para cada etapa k se realizan: 1.
n − 1 divisiones en la matriz del sistema.
2.
(n − 1)(n − k) sumas en la matriz del sistema.
3.
(n − 1)(n − k) productos en la matriz del sistema.
4.
n − 1 sumas en el vector de t´erminos independientes.
5.
n − 1 productos en el vector de t´erminos independientes.
Por lo tanto, teniendo en cuenta que se realizan n etapas y que en la u ´ltima etapa no se realizan ni sumas ni multiplicaciones en la matriz del sistema, el n´ umero total de operaciones realizadas en el paso 1.2 ser´a: tot2
= 3n(n − 1) + 2(n − 1)
n−1 X
(n − k) = 3n2 − 3n +
k=1 2
= 3n − 3n + n − 2n + n = n3 + n2 − 2n Paso 2
3
2
2(n − 1)n(n − 1) 2
8.3. El m´etodo LU
153
En el proceso de remonte se realizan n divisiones y ninguna operaci´on m´as, por lo tanto: tot3 = n Sumando el n´ umero de operaciones realizadas en ambos pasos se obtiene el n´ umero total de operaciones del m´etodo de Gauss-Jordan: ¡ ¢ tot = tot2 + tot3 = n3 + n2 − 2n + n = n3 + n2 − n ≈ O n3 Se observa que el n´ umero de operaciones es ligeramente menor en el m´etodo de Gauss que en el m´etodo de Gauss-Jordan. Por lo tanto para resolver un sistema lineal de ecuaciones puestos a escoger entre el m´etodo de Gauss o el m´etodo de Gauss-Jordan se debe escoger el m´etodo de Gauss. Sin embargo el m´etodo de Gauss-Jordan tiene la ventaja de que si, adem´as de resolver el sistema de ecuaciones se quiere hallar la inversa de la matriz del sistema, se tiene gran parte del trabajo hecho (´ unicamente faltar´ıa realizar las operaciones que se han ido haciendo sobre la matriz del sistema sobre cada una de las columnas de la matriz unidad). Para terminar mostramos una nueva tabla similar a la anterior pero a˜ nadiendo en la comparaci´on las operaciones del m´etodo de Gauss-Jordan para distintos valores de n. n 10 100 1000
8.3.
operaciones (Gauss) 805 681550 668165500
operaciones (Gauss-Jordan) 1090 1009900 1000999000
operaciones (Cramer) 399167999 ∼ 10162 ∼ 102573
El m´ etodo LU
Si almacenamos las operaciones elementales que se realizan en el algoritmo del m´etodo de Gauss en una matriz obtenemos una variante del m´etodo de Gauss con “memoria”, en el sentido de que si tenemos que resolver otro sistema con la misma matriz (con t´ermino independiente distinto) no es necesario volver a realizar el proceso de triangularizaci´on de la matriz. El m´etodo LU, como veremos, consiste en dado un sistema lineal, Ax = b, factorizar la matriz, A, del sistema en la forma A = LU en donde L es una matriz triangular inferior con diagonal de “unos” y U es una matriz triangular superior, para despu´es resolver los dos sistemas triangulares Ly = b y U x = y, obteniendo la soluci´on x del sistema inicial. En el caso de que hubiera que resolver otro sistema con la misma matriz de coeficientes, la factorizaci´on LU ya estar´ıa realizada yu ´nicamente habr´ıa que resolver los dos sistemas triangulares (uno por descenso y otro por remonte) con un b distinto.
154
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
8.3.1.
Factorizaci´ on LU de una matriz cuadrada
Teorema 8.1. Si A es una matriz cuadrada no singular, existe al menos una matriz F tal que F A puede expresarse como el producto de dos matrices LU donde L es una matriz triangular inferior con sus elementos diagonales iguales a 1 y U es una matriz triangular superior. El c´alculo de las tres matrices F, L y U que intervienen en el teorema anterior puede realizarse mediante el m´etodo de Gauss. En efecto, si la matriz A es la matriz de coeficientes de un sistema compatible determinado, la matriz U es la matriz triangular superior a la que conduce el m´etodo de Gauss. En lo que respecta a la matriz F puede construirse como el producto: F = F n−1 F n−2 . . . F 2 F 1
donde cada matriz F k es la matriz elemental asociada al cambio de filas que se introduce en el paso 1.1 de la etapa k − e´sima del m´etodo de Gauss. M´as concretamente, si en la etapa k − e´sima del primer paso del m´etodo se intercambian la fila j − e´sima por la fila i − e´sima (con i > j) la matriz F k ser´a:
Fk
=
1 0 0 1 .. .. . . 0 0 0 0 0 0 .. .. . .
... ... .. .
... ... ... .. .
0 0 0 0 0 0 .. .. .. . . . 1 0 0 0 0 0 0 0 1 .. .. .. . . . 0 0 0 0 1 0 0 0 0 .. .. .. . . .
... ... ... .. .
0 0 0 .. .
0 0 0 .. .
0
0
...
0 0 ↑
0
col. j
... ... .. .
... ... ... .. .
0 0 0 0 0 0 .. .. .. . . . 0 0 0 0 1 0 0 0 0 .. .. .. . . . 1 0 0 0 0 0 0 0 1 .. .. .. . . .
...
0 0
... ... ... .. .
0
... ... .. .
0 0 .. .
... ... ... .. .
0 0 0 .. .
... ... ... .. .
0 0 0 .. .
...
1
← Fila j ← Fila i
↑
col. i
Como se puede apreciar f´acilmente, la matriz F k se obtiene intercambiando las filas i y j de la matriz unidad. Obviamente, si en ninguna etapa del m´etodo se realizan cambios de filas, la matriz F ser´a la matriz unidad. Finalmente la matriz L puede
8.3. El m´etodo LU
155
calcularse a partir de la matriz triangular inferior
1 −m21 .. .
R= −mk1 .. . −mn1
0 1 .. .
... ... .. .
0 0 .. .
... ... .. .
0 0 .. .
−mk2 .. .
... .. .
1 .. .
0 .. .
−mn2
...
−mnk
... .. . ...
1
en donde los n´ umeros mij (con i > j) son los que con la misma notaci´on se utilizaron en el paso 1.2 de la etapa k − e´sima del m´etodo de Gauss. Para obtener L a partir de R basta con realizar en la columna k − e´sima de R los cambios de filas que se realizan en el m´etodo de Gauss en las etapas (k + 1), . . . , (n − 1). Ejemplo 8.2. Factorizar en forma LU, utilizando pivote parcial, la matriz
0 1 A= 4 0
−2 −1 −4 1
2 3 −8 1
−6 −2 −2 1
Soluci´ on: 1a etapa (k = 1) Paso 1.1: intercambio de la 1a fila por la 3a fila
0 0 F 1A = 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0 4 1 0
−2 −1 −4 1
2 3 −8 1
−6 4 1 −2 = −2 0 1 0
−4 −1 −2 1
−8 3 2 1
−2 −2 −6 1
Paso 1.2 : m21 = − 14 , m31 = 0, m41 = 0
1 −1/4 P 1F 1A = 0 0 2a etapa (k = 2)
0 0 0 4 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
−4 −1 −2 1
−8 3 2 1
−2 4 −4 −8 0 −2 0 5 = −6 0 −2 2 1 0 1 1
−2 −3/2 −6 1
156
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
Paso 1.1 : intercambio de la 2a fila por la 1 0 0 ¡ ¢ 0 0 1 F 2 P 1F 1A = 0 1 0 0 0 0
3a fila 0 0 0 1
4 −4 0 −2 = 0 0 0 1 Paso 1.2 : m32 = 0, m42 =
−2 −3/2 −6 1
−2 −6 −3/2 1
1 2
0 0 4 −4 0 −2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 −8 −2 2 −6 5 −3/2 2 −2
¡ ¢ P 2F 2 P 1F 1A
−8 2 5 1
4 −4 −8 0 0 5 0 −2 2 0 1 1
1 0 0 1 = 0 0 0 1/2 4 −4 0 −2 0 0 0 0
−8 2 5 1
−2 −6 = −3/2 1
3a etapa (k = 3) Paso 1.1 : no se intercambian filas ¡ ¡ ¢¢ F 3 P 2F 2 P 1F 1A
=
1 0 0 0 4 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
−4 −2 0 0
0 4 −4 0 −2 0 0 0 0 1 0 0 −8 −2 2 −6 5 −3/2 2 −2
−8 2 5 2
−2 −6 = −3/2 −2
Paso 1.2 : m43 = − 25 ¡ ¡ ¢¢ P 3F 3 P 2F 2 P 1F 1A
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 −2/5
0 4 −4 0 −2 0 0 0 0 1 0 0
−8 2 5 2
−2 −6 = −3/2 −2
8.3. El m´etodo LU
157
4 −4 −8 0 −2 2 0 0 5 0 0 0
−2 −6 −3/2 −7/5
Llegados a este punto ya se han obtenido las tres matrices de la factorizaci´on LU. En efecto la matriz triangular superior U ser´a: 4 −4 −8 −2 0 −2 2 −6 U = 0 0 5 −3/2 0 0 0 −7/5 La matriz de cambios de filas 1 0 3 2 1 F =F F F = 0 0
F ser´a: 0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 1 = 0 0 La matriz R ser´ a:
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1
1 0 0 0 1/4 1 0 0 R= 0 0 1 0 0 −1/2 −2/5 1
y para construir a partir de ella la matriz L, se observa que en el paso 1.1 de la segunda etapa se ha intercambiado la fila 2a por la 3a , por lo que someteremos a la primera columna de R a dicho cambio, obteniendo: 1 0 0 0 0 1 0 0 1/4 0 1 0 0 −1/2 −2/5 1 Los cambios de filas de la tercera etapa afectar´an a los elementos de las columnas 1a y 2a , pero como en dicha etapa no se intercambiaron filas, la matriz no cambia, por
158
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
lo que finalmente:
1 0 0 1 L= 1/4 0 0 −1/2
0 0 0 0 1 0 −2/5 1
siendo f´acil comprobar que F A = LU. Obs´ervese que la factorizaci´on LU depende de la matriz F de cambios de fila que se utilice en el proceso de triangularizaci´on.
8.3.2.
Aplicaci´ on de la factorizaci´ on LU a la resoluci´ on de sistemas lineales
Sup´ongase un sistema lineal de n ecuaciones con n inc´ognitas Ax = b con A no singular, y sea F una matriz tal que F A = LU. El m´etodo LU para resolver sistemas lineales consiste en: 1.
Transformar el sistema Ax = b en el sistema (F A)x =F b.
2.
Factorizar la matriz (F A) en la forma LU, transformando el sistema en: LU x =F b
3.
Resolver por el m´etodo de descenso el sistema triangular inferior Ly = F b
4.
Resolver por el m´etodo de remonte el sistema triangular superior Ux = y
De las cuatro etapas anteriores, la primera no exige realizar operaciones aritm´eticas, la segunda necesita las mismas operaciones que el m´etodo de Gauss (O(2n3 /3), la u ´nica diferencia radica en que en la factorizaci´on LU hay que almacenar los coeficientes mij en la matriz L) y las dos u ´ltimas exigen, cada una de ellas, n2 operaciones. Por lo tanto, al igual que en el m´etodo de Gauss, el n´ umero total de operaciones del m´etodo LU es del orden O(2n3 /3). La ventaja del m´etodo LU sobre el m´etodo de Gauss estriba en la resoluci´on de sistemas de ecuaciones distintos que compartan la misma matriz del sistema. Por ejemplo, si se tienen ns sistemas de ecuaciones Ax = b1 , Ax = b2 , . . . , Ax = bns
8.3. El m´etodo LU
159
una vez resuelto por el m´etodo LU el primero de ellos y, por lo tanto, conocida la factorizaci´on LU de la matriz A, cada uno de los restantes ns − 1 sistemas se puede resolver, tras los correspondientes cambios de filas en los vectores b2 , . . . , bns , mediante las etapas 3 y 4 antes descritas; necesitando, cada uno de ellos, u ´nicamente 2n2 operaciones para su resoluci´on.
8.3.3.
Algoritmo del m´ etodo LU
El algoritmo del m´etodo LU para resolver ns sistemas de ecuaciones, todos ellos con la misma matriz del sistema es el siguiente. Los ns t´erminos independientes estas almacenados en una matriz B de dimensi´on n × ns
´ ALGORITMO DEL METODO LU (con pivote)
Comienzo del algoritmo ´ LU) Paso 1: (FACTORIZACION Para k = 1, . . . , n − 1 Paso 1.1: (B´ usqueda del pivote) pvt = |akk | , f pvt = k Para j = k + 1, . . . , n Si |ajk | > pvt entonces pvt = |ajk | , f pvt = j Fin condici´on Fin bucle en j Si pvt = 0 parar porque la matriz A es singular Intercambiar la fila k con la fila f pvt, if il(k) = f pvt Paso 1.2: (“Pivoteo” hacia abajo) Para i = k + 1, . . . , n ik aik ← − aakk Para j = (k + 1), . . . , n aij ← aij + aik akj Fin bucle en j Fin bucle en i Fin bucle en k ´ DE LOS ns SISTEMAS) Paso 2: (RESOLUCION Para j = 1, . . . , ns
160
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
Paso 2.1: (cambios en las filas del segundo t´ermino) Para k = 1, . . . , n − 1 Si (if il(k) 6= k) entonces aux ← bk,j bk,j ← bif il(k),j bif il(k),j ← aux Fin condici´on Fin bucle en k on del sistema triangular inferior por DESCENSO) Paso 2.2: (Soluci´ Para i = 2, . . . , n aux ← 0 Para k = 1, . . . , i − 1 aux ← aux + aik bkj Fin bucle en k bij ← bij − aux Fin bucle en i Paso 2.3: (Soluci´ on del sistema triangular superior por REMONTE ) bnj bnj ← ann Para i = (n − 1), . . . , 1 aux ← 0 Para k = (i + 1), . . . , n aux ← aux + aik bkj Fin bucle en k (b −aux) bij ← ij aii Fin bucle en i Fin bucle en j Fin del algoritmo Observaciones:
1.
En el algoritmo anterior se ha aprovechado el espacio de memoria destinado a almacenar la matriz A para almacenar las matrices L y U. En la parte triangular superior de A, incluyendo la diagonal, quedan almacenados los elementos de la parte triangular superior, incluyendo la diagonal, de la matriz U (el resto de los elementos de U son nulos) y en la parte triangular inferior de A, sin incluir la diagonal, quedan almacenados los elementos de la parte triangular inferior, sin incluir la diagonal, de L (el resto de los elementos de L bien son nulos, bien est´an en la diagonal, en cuyo caso se sabe de antemano que valen 1).
2.
As´ı mismo, se ha aprovechado el espacio en el que se almacenaban los ns segundos miembros (la matriz B) para guardar las ns soluciones de los ns sistemas.
8.4. Referencias bibliogr´ aficas
8.4.
161
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 1 de [1]. Para profundizar m´as en el tema ver [60], [65], [69], [61] y [63].
8.5.
Ejercicios
1.
Expl´ıquese c´omo se puede utilizar el m´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la inversa de una matriz A.
2.
Consid´erese la matriz
2 7/2 1 A = 1 −7/4 2 4 1 1 La factorizaci´on LU con pivote parcial de la matriz A permite expresar el producto F A en la forma LU , donde L =matriz triangular inferior, U = matriz triangular superior y F = matriz de cambio de filas. Se pide determinar estas tres matrices (L , U y F ). Soluci´ on:
1 L = 1/2 1/4
3.
0 0 4 1 1 0 , U = 0 3 −2/3 1 0 0
Consid´erese la matriz
2 1 A= 0 4
2 2 4 7
0 1 6 5
1 0 1/2 , F = 1 25/12 0
0 0 1
1 0 0
4 3 12 23
Se pide a) Determinar las tres matrices L, U y F de la factorizaci´on LU con pivote parcial de la matriz A. b) Utilizar el resultado del apartado anterior para resolver los cuatro sistemas de ecuaciones lineales siguientes: −2 −2 1 −4 −2 −1 1 −3 Ax = 0 , Ax = 4 , Ax = 0 y Ax = −20 1 2 1 −35
162
Cap´ıtulo 8. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales
Soluci´ on: a)
1 0 L= 1/4 1/2
0 0 1 0 1/16 1 −3/8 2/5
0 4 7 0 , U = 0 4 0 0 0 1 0 0
0 0 F = 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
5 6 −5/8 0
23 12 , −7/2 −8/5
1 0 0 0
b) Las soluciones de los cuatro sistemas son:
−3 −3/2 −3/8 0 −1/2 9/8 , −2 , 0 −1/2 1 1/2 −1/8
1 y 1 0 −2
Cap´ıtulo 9
L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable 9.1.
Introducci´ on
En las ciencias experimentales son cruciales los conceptos de funci´on, l´ımite y derivada. Cuando uno quiere describir un cierto fen´omeno lo hace habitualmente en t´erminos de causa-efecto que, caso de ser cuantificables, conducen naturalmente a la noci´on de funci´on. A menudo, tal descripci´on no s´olo conlleva un enunciado del tipo “la causa A origina el efecto B”, sino que tambi´en se desea dar una idea cuantitativa de c´omo var´ıa B dependiendo de c´omo var´ıa A. Esto da lugar a la noci´on natural de velocidad de variaci´on. Dependiendo de la magnitud de variaci´on de A tendremos estimaciones diversas de esa velocidad de variaci´on. La u ´nica que es absoluta es la correspondiente a una variaci´on de A que tiende a cero. Esto conduce a la noci´on de velocidad instant´anea que corresponde, matem´aticamente, a la definici´on de derivada. En todas las disciplinas que involucren el uso de funciones, antes o despu´es se introducir´an aproximaciones mediante polinomios de Taylor. El conocimiento de ciertos hechos que se usan, por ejemplo, en f´ısica, como la aproximaci´on de sen x por x para x peque˜ no en un p´endulo o las aproximaciones lineales para deformaciones peque˜ nas es condici´on b´asica para la comprensi´on de estas disciplinas. Los conceptos de m´aximo, m´ınimo, punto de inflexi´on, crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de una funci´on son de uso com´ un en ciencia e ingenier´ıa y 163
164
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
tienen su significado e interpretaci´on en clave cient´ıfica. Pensemos por ejemplo en la noci´on de m´ınimo de potencial (el´ectrico o gravitatorio) como punto de estabilidad.
9.2.
Concepto de funci´ on
Definici´ on 9.1. Dados dos conjuntos A y B, se llama funci´ on definida en A con valores en B a toda aplicaci´ on entre A y B (cons´ ultese el tema de aplicaciones lineales). Definici´ on 9.2. Si f es una funci´ on entre A y B, el conjunto A recibe el nombre de dominio de f o conjunto de definici´ on de f . Nota 9.1. Si a es un punto del dominio de f , se sigue de la definici´on de funci´on que existe un u ´nico b ∈ B tal que b = f (a). Ejemplo 9.1. Casos particulares de funciones. 1.
De lR en lR. El ´area de un c´ırculo depende de su radio a trav´es de la relaci´on A = πr2 . As´ı A puede verse como una funci´on A : lR −→ lR dada por A(r) = πr2 . La velocidad v de una pelota en ca´ıda libre dentro del campo gravitacional terrestre aumenta con el tiempo hasta que alcanza la superficie terrestre (si se desprecia el rozamiento del aire). Si g denota la aceleraci´on de la gravedad la funci´on ser´ıa v(t) = gt.
2.
De lRn en lR: El ´area de un tri´angulo depende de la base y la altura del mismo A(b, h) = 1 2 bh. El volumen de una caja rectangular depende de la anchura, l, profundidad, w y altura h v(l, w, h) = lwh. La diferencia de potencial, E, entre dos soluciones salinas separadas por una membrana depende de las movilidades de los iones Na+ (x) y Cl− (y) as´ı como del cociente z = cc12 , donde c1 y c2 son las concentraciones medias de NaCl a ambos lados de la membrana. La funci´on que describe esta relaci´on es RT x − y Lnz. E(x, y, z) = F x+y
9.2. Concepto de funci´ on
3.
165
De lR en lRn La trayectoria de una part´ıcula en el espacio x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) donde para cada i ∈ {1, . . . , 3}, xi (t) : lR −→ lR es una funci´on.
Nota 9.2. Las funciones se pueden definir a trozos: 1,75 0≤x≤1 f (x) = 1,75 + 0,5(x − 1) 1 < x x |x| = g(x) =
−x
0≤x x 0 ∃δ > 0 ((0 < |x − a| < δ y x ∈ A) ⇒ |f (x) − L| < ε)
x→a
Nota 9.5. Obs´ervese que no es necesario que a pertenezca a A (f puede no estar definida en a) pero si es necesario que A ∩ (a − δ, a + δ) − {a} sea no vac´ıo ∀δ > 0. Dicho de otro modo es necesario que a sea un punto de acumulaci´ on de A. Nota 9.6. En general, δ depende de ε. Representaremos esto a menudo como δ(ε). Nota 9.7. La definici´on de l´ımite es no constructiva, esto es, no proporciona un m´etodo para averiguar el l´ımite de una funci´on en un punto, sino que se limita a proporcionar una manera de decidir si un valor dado es o no dicho l´ımite. Esto hace que sean necesarias otras t´ecnicas aparte de la definici´on para calcular los l´ımites de funciones. Dados una funci´on f y un punto a, el l´ımite de f cuando x tiende a a no tiene por qu´e existir. Hay casos en los que existe y casos en los que no. Veamos por ejemplo que no existe el l´ımite cuando x tiende a 0 de la funci´on f (x) = sen( x1 ). Supongamos que existiera dicho l´ımite y llam´emosle L. Sea ε = 12 . Para este ε deber´ıa de existir un δ > 0 tal que cuando |x − 0| = |x| < δ se tenga que f (x) = sen( x1 ) ∈ (L − 12 , L + 21 ).
9.3. L´ımites de funciones reales de variable real
167
Pero esto es imposible ya que para cualquier δ > 0, el conjunto { x1 : 0 < x < δ} ⊂ lR contiene (infinitos casos de) intervalos de amplitud 2π y por tanto el conjunto {sen( x1 ) : 0 < x < δ} ⊂ lR contiene (infinitas copias de) el intervalo (−1, 1). Como este intervalo tiene di´ametro 2, es imposible que “quepa” dentro de un intervalo de di´ametro 1 como es el (L − 21 , L + 12 ). M´as sencillo resulta ver que la propia funci´on f (x) = x1 no tiene l´ımite cuando x tiende a 0. La idea ahora es observar que para cualquier δ > 0, f ((0, δ)) = {
1 1 : 0 < x < δ} = ( , +∞) x δ
y esto no puede estar contenido dentro de ning´ un intervalo (L − ², L + ²).
1
0.5
–2
–1
0
1
2
x
–0.5
–1
Figura 9.1: L´ımite oscilante de la funci´on sen( x1 ) en x = 0. Nota 9.8. Sea f una funci´on real definida en al menos un entorno reducido de un punto a ∈ lR. Se verifica que: 1.
Si f tiene l´ımite en a, entonces f tiene un solo l´ımite en a.
2.
Si f tiene l´ımite en a, entonces f est´a acotada “cerca de a”.
Definici´ on 9.5. 1.
Se dice que l´ım f (x) = L
x→+∞
si para todo ε > 0, existe un M ∈ lR tal que si x > M entonces |f (x) − L| < ε.
168
2.
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
Se dice que l´ım f (x) = L
x→−∞
si para todo ε > 0, existe un M ∈ lR tal que si x < M entonces |f (x) − L| < ε. 3.
Se dice que l´ım f (x) = +∞
x→a
si para todo M ∈ lR, existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces f (x) > M . 4.
Se dice que l´ım f (x) = −∞
x→a
si para todo M ∈ lR, existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces f (x) < M . 5.
Se dice que l´ım f (x) = +∞
x→+∞
si para todo M ∈ lR, existe un N ∈ lR tal que si x > N entonces f (x) > M . An´ alogamente se definen los siguientes l´ımites: l´ım f (x) = −∞,
x→+∞
l´ım f (x) = +∞ y l´ım f (x) = −∞.
x→−∞
x→−∞
Nota 9.9. N´otese que en todos los casos anteriores, la idea en las definiciones es considerar que el conjunto (M, +∞) juega el papel de un intervalo “centrado” en +∞, an´alogamente, que (−∞, M ) juega el papel de un intervalo “centrado” en −∞. N´otese tambi´en que en los casos (3), (4) y (5) de la definici´on anterior, el l´ımite de f en el punto considerado propiamente no existe, ya que para existir deber´ıa ser un n´ umero real y +∞ y −∞ no son n´ umeros reales, sino meras formas de indicar que algo se hace “tan grande o tan negativamente grande como queramos”. Por ejemplo, la definici´on (3) podr´ıa leerse: “Diremos que el l´ımite cuando x tiende a a de la funci´on f es m´as infinito si dado cualquier n´ umero real M (arbitrariamente grande), podemos encontrar un intervalo centrado en a de manera que todo punto de dicho intervalo se transforma por f en un punto mayor que M ”. Existe otra presentaci´on posible de las ideas anteriores, que consiste en dotar de existencia a las nociones de +∞ y −∞ definiendo el conjunto lR = lR ∪ {−∞, +∞} y extendiendo a este conjunto la relaci´on de orden de lR y su aritm´etica, esto es, la suma y el producto. Dos son los motivos por los que elegimos no dar esa presentaci´on: el primero es que no es posible dar una definici´on satisfactoria de −∞ + ∞, 0 · (±∞), entre otras expresiones, por lo que no se puede dotar a lR de estructura de cuerpo. El
9.3. L´ımites de funciones reales de variable real
169
segundo es que para la gran mayor´ıa (si no todas) de aplicaciones, la noci´on de ∞ es innecesaria: no hay cantidades infinitas de energ´ıa, ni de mol´eculas, ni en general de magnitudes medibles. Definici´ on 9.6. Si la variable x tiende al valor fijo a s´ olo por la derecha (x → a+ ) − o s´ olo por la izquierda (x → a ), al correspondiente l´ımite de f se le llama l´ımite lateral por la derecha o por la izquierda. Con mas rigor: L es el l´ımite de f cuando x tiende a a por la izquierda, y lo escribimos L = l´ım− f (x) x→a
si y s´ olo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < a − x < δ entonces |f (x) − L| < ε. L es el l´ımite de f cuando x tiende a a por la derecha, y lo escribimos L = l´ım+ f (x) x→a
si y s´ olo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x − a < δ entonces |f (x) − L| < ε. Nota 9.10. Si L es el l´ımite de la funci´on f en el punto a entonces los dos l´ımites laterales en a de f son iguales entre si e iguales a L. Por el contrario si los dos l´ımites laterales son distintos entonces no existe el l´ımite de la funci´on en a.
6
5
4
3
2
1
–1
1
2
3
4
x
Figura 9.2: L´ımites laterales coincidentes.
5
170
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
1
0.5
–3
–1
–2
1
2
3
x
–0.5
–1
Figura 9.3: La funci´on signo(x), l´ımites laterales no coincidentes en x = 0. Ejemplo 9.3. Sea la funci´on signo definida como 1 x>0 0 x=0 signo(x) = −1 x < 0 Es f´acil ver que l´ım signo(x) = 1 y que l´ım− signo(x) = −1.
x→0+
x→0
Nota 9.11. Sea f una funci´on definida al menos en un entorno reducido1 de un punto a. Se dice que f es un infinit´esimo en a si l´ım f (x) = 0. x→a
Proposici´ on 9.1 (Propiedades aritm´ eticas de los l´ımites). Sean f y g dos funciones reales de variable real, definidas en al menos un entorno reducido de a (incluyendo la posibilidad de que a valga ±∞). Si l´ım f (x) = L1 y l´ım g(x) = L2
x→a
x→a
entonces 1 Entorno reducido de a: entorno de a del que se ha extra´ ıdo el punto a (V (a) − {a}). En el caso de lR todo intervalo abierto de centro a es un entorno de a.
9.3. L´ımites de funciones reales de variable real
171
l´ımx→a (f ± g)(x) = L1 ± L2 l´ımx→a (f g)(x) = L1 L2 Si L2 6= 0 entonces l´ım
x→a
f L1 (x) = g L2
Adem´ as, cuando m´ as adelante veamos la definici´ on de funci´ on continua, se podr´ a demostrar que si h es una funci´ on continua en L1 entonces ³ ´ l´ım h(f (x)) = h l´ım f (x) = h(L1 ). x→a
x→a
En particular, usando la continuidad de las funciones implicadas, se puede demostrar Si L1 > 0, y n > 0, n 6= 1, entonces ³ ´ l´ım logn f (x) = logn l´ım f (x) = logn L1 .
x→a
x→a
Si n > 0 , entonces l´ım nf (x) = n(l´ımx→a f (x)) = nL1 .
x→a
Si L1 y L2 no son simult´ aneamente 0, entonces l´ım f (x)g(x) =
³
x→a
´l´ımx→a g(x) 2 l´ım f (x) = LL 1 .
x→a
Proposici´ on 9.2. Sean f y g funciones reales de variable real, definidas en al menos un entorno reducido de a. Se verifica que: 1.
Si l´ımx→a f (x) = +∞ y existe un intervalo centrado en a en el que g est´ a acotada inferiormente, entonces l´ımx→a (f +g)(x) = +∞. En particular, si l´ımx→a g(x) = L, se tiene l´ım (f + g)(x) = +∞ x→a
lo que, abusando de notaci´ on, se escribe l´ım (f + g)(x) = +∞ + L = +∞
x→a
Lo mismo es cierto si cambiamos en la expresi´ on anterior +∞ por −∞ y “acotada inferiormente” por “acotada superiormente”.
172
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
2.
Si l´ımx→a f (x) = +∞ y existen ε > 0 y un intervalo centrado en a en el que g(x) > ², entonces, l´ım (f g)(x) = +∞. x→a
En particular, si l´ımx→a g(x) = L > 0, se tiene que l´ım (f g)(x) = (+∞)L = +∞
x→a
con un abuso de notaci´ on similar al anterior. Se tienen resultados an´ alogos, siguiendo el convenio de signos habitual, considerando las diferentes combinaciones posibles entre l´ımx→a f (x) = ±∞ y g(x) > ² > 0 ´ o g(x) < ² < 0. 3.
l´ımx→a f (x) = +∞ si y s´ olo si l´ımx→a f1 (x) = 0 y f (x) ≥ 0 para todo x perteneciente a alg´ un intervalo centrado en a (abreviaremos todo ello diciendo que l´ımx→a f1 (x) = 0+ ). An´ alogamente, l´ımx→a f (x) = −∞ si y s´ olo si 1 − l´ımx→a f (x) = 0 .
Proposici´ on 9.3 (Indeterminaciones). Diremos que un l´ımite es indeterminado cuando desconocemos su valor, o no estamos seguros de su existencia. 1.
Si l´ımx→a f (x) = +∞ y l´ımx→a g(x) = +∞ entonces l´ım (f − g)(x) es indeterminado.
x→a
2.
Si l´ımx→a f (x) = ±∞ y l´ımx→a g(x) = 0 entonces l´ım (f g)(x) es indeterminado.
x→a
3.
Si l´ımx→a f (x) = 0 y l´ımx→a g(x) = 0 o si l´ımx→a f (x) = ±∞ y l´ımx→a g(x) = ±∞ entonces f l´ım (x) es indeterminado. x→a g
4.
Si l´ımx→a f (x) = 1 y l´ımx→a g(x) = ±∞ o si l´ımx→a f (x) = ±∞ y l´ımx→a g(x) = 0 o si l´ımx→a f (x) = 0 y l´ımx→a g(x) = 0 entonces l´ım f (x)g(x) es indeterminado.
x→a
Cuando un l´ımite es indeterminado, tenemos que manipularlo hasta determinar su existencia o no, y su valor si fuera el caso. No hay una misma regla v´alida siempre, sino una multitud de “t´ecnicas de c´alculo de l´ımites”. Quiz´as merezca la pena mencionar el siguiente resultado: Para todo a > 1, m > 0 y b > 1 se tiene
9.4. Continuidad de funciones de una variable
173
xm bx loga x (E(x))! = l´ ım = l´ ım =0 = l´ım x→∞ bx x→∞ (E(x))! x→∞ x→∞ xm xx l´ım
M´as adelante, cuando est´en a nuestra disposici´on las t´ecnicas de derivaci´on, describiremos la Regla de L’Hˆopital, otra herramienta muy u ´til para la resoluci´on de ciertas indeterminaciones.
9.4.
Continuidad de funciones de una variable
Definici´ on 9.7. Sea una funci´ on, f, de A ⊂ lR en lR Si a ∈ A, se dice que la funci´ on f es continua en a si l´ım f (x) = f (a). x→a
Nota 9.12. N´otese que la igualdad de la anterior implica tres condiciones: la existencia del l´ımite de f en el punto a, la existencia de f (a) y la coincidencia de ambos.
4
2
x –4
–2
2
4
–2
–4
Figura 9.4: Funci´on continua en todos los puntos del intervalo [−40 5, 40 5] salvo en x = −40 25 y x = 3. Proposici´ on 9.4. Sean f, g dos funciones continuas en un punto a. Entonces las funciones f ± g y f g tambi´en son continuas en a. Adem´ as, si g(a) 6= 0, entonces la funci´ on fg tambi´en es continua en a. Proposici´ on 9.5. Si g es continua en a y f es continua en g(a) entonces f ◦ g es continua en a (n´ otese que se requiere que f sea continua en g(a), no en a).
174
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
Obs´ervese que la definici´on de continuidad es esencialmente puntual: una funci´on es continua en un punto a si verifica una determinada condici´on en dicho punto. En las dos definiciones siguientes se extiende el concepto de continuidad a un intervalo abierto y a un intervalo cerrado: Definici´ on 9.8. Si f es continua en x ∀x ∈ (a, b) entonces se dice que f es continua en (a, b). Definici´ on 9.9. Si f es continua en x ∀x ∈ (a, b) y si l´ım+ f (x) = f (a) y l´ım− f (x) = f (b) entonces se dice que f es continua en [a, b].
x→a
x→b
Teorema 9.1. Si f es continua en [a, b] entonces: 1.
Si f (a) < c < f (b) existe x ∈ [a, b] t.q. f (x) = c.
2.
f est´ a acotada en [a, b], es decir, existe K ∈ lR tal que, para todo x ∈ [a, b], |f (x)| ≤ K.
3.
f alcanza sus valores m´ aximo y m´ınimo en [a, b], es decir, existen a, b ∈ C tales que, para todo x ∈ [a, b], m = f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) = M.
9.5.
Definici´ on de funci´ on derivable y propiedades b´ asicas
Definici´ on 9.10. Sea A ⊂ lR un intervalo abierto y sea f : lR −→ lR. Se dice que f es derivable en el punto a ∈ A si existe el siguiente l´ımite f (x) − f (a) . x→a x−a l´ım
Llamando h = x − a, el l´ımite anterior tambi´en se puede escribir como f (a + h) − f (a) . h→0 h l´ım
En ese caso, es decir, cuando ese l´ımite exista, a su valor se le denomina derivada de f en a, y se le representa por f 0 (a). Definici´ on 9.11. Llamamos derivada lateral por la derecha de f en a al valor de l´ım+
h→0
f (a + h) − f (a) h
9.5. Definici´ on de funci´ on derivable y propiedades b´ asicas
175
cuando este exista. An´ alogamente, llamamos derivada lateral por la izquierda de f en a al valor de f (a + h) − f (a) l´ım h h→0− cuando exista. Una funci´on f se dice derivable en un intervalo abierto A si lo es en cada punto de A. f se dice derivable en [a, b] si es derivable en (a, b), derivable en a por la derecha y derivable en b por la izquierda. Definici´ on 9.12. Sean la funci´ on f : A ⊂ lR → lR y el punto a ∈ A tal que exista f 0 (a). Se denomina diferencial de f en a a la aplicaci´ on lineal: df (a; ·) :
lR → h →
lR f 0 (a)h
Nota 9.13 (Interpretaci´ on geom´ etrica de la derivada). La derivada de f en a, f 0 (a) se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto (a, f (a)). La diferencial de f en a se puede interpretar como la paralela a dicha tangente pasando por el origen.
2
g(1)+dg(1;x) 1.5
1
g(x)
dg(1;x) 0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 9.5: Dibujo de una funci´on, g, su tangente, g(1) + g 0 (1)x ´o g(1) + dg(1; x), y su diferencial, dg(1; ·), en x0 = 1. Definici´ on 9.13. Sea f : lR −→ lR una funci´ on derivable en un intervalo A ⊂ lR. Entonces podemos definir la funci´ on f0 :
A x
→ lR → f 0 (x)
176
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
La funci´ on f 0 recibe el nombre funci´ on derivada de f . Proposici´ on 9.6. Si f : A ⊂ lR −→ lR es derivable en a ∈ A entonces f es continua en a. Demostraci´ on. Por definici´on, f es continua en a si y s´olo si l´ımx→a f (x) = f (a), y esto es equivalente a que l´ımx→a f (x) − f (a) = 0. Se trata pues de evaluar este u ´ltimo l´ımite: f (x) − f (a) l´ım f (x) − f (a) = l´ım (x − a). x→a x→a x−a Por la Proposici´on 9.1, y usando el hecho de que f es derivable en a y que por tanto (a) existe l´ımx→a f (x)−f , tenemos que x−a l´ım
x→a
f (x) − f (a) f (x) − f (a) (x−a) = l´ım l´ım (x−a) = f 0 (a) l´ım (x−a) = f 0 (a)0 = 0, x→a x→a x→a x−a x−a
de donde se sigue que f es continua en a. ¤ Nota 9.14. La rec´ıproca de la proposici´on anterior no es cierta, una funci´on puede ser continua en un punto y no derivable en dicho punto; consid´erese por ejemplo la funci´on |x|, que es continua y no derivable en 0.
4
3
2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x –1
Figura 9.6: La funci´on f (x) = |x| y su derivada en el intervalo [−4, 4]. Proposici´ on 9.7. Sean f, g : lR −→ lR dos aplicaciones derivables en un mismo punto a ∈ A. Entonces: 1.
f ± g es derivable en a y (f + g)0 (a) = f 0 (a) ± g 0 (a)
9.5. Definici´ on de funci´ on derivable y propiedades b´ asicas
2.
177
f g es derivable en a y (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a)
3.
f es derivable en a y g µ ¶0 f f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a) (a) = g g(a)2
Demostraci´ on. Haremos la demostraci´on del caso f + g y f g. El caso f − g es totalmente an´alogo a f + g y el caso fg es tan s´olo algo mas complicado que el caso f g: (f + g)(a + h) − (f + g)(a) (f + g)0 (a) = l´ım = h→0 h f (a + h) + g(a + h) − (f (a) + g(a)) f (a + h) − f (a) = l´ım = l´ım + h→0 h→0 h h g(a + h) − g(a) + l´ım = f 0 (a) + g 0 (a). h→0 h (f g)(a + h) − (f g)(a) = (f g)0 (a) = l´ım h→0 h f (a + h)g(a + h) − f (a)g(a) = l´ım = h→0 h f (a + h)g(a + h) − f (a + h)g(a) + f (a + h)g(a) − f (a)g(a) = = l´ım h→0 h f (a + h) (g(a + h) − g(a)) g(a) (f (a + h) − f (a)) = l´ım + l´ım = h→0 h→0 h h f (a + h) − f (a) g(a + h) − g(a) + g(a) l´ım = = l´ım f (a + h) l´ım h→0 h→0 h→0 h h = f (a)g 0 (a) + f 0 (a)g(a).¤ Ejercicio 9.1. Comprobar que, para todo n ∈ lN 0
(f n (x)) = nf n−1 (x)f 0 (x) Lo haremos por inducci´on. Ya sabemos que el resultado es cierto para n = 1 y n = 2. Supong´amoslo cierto para n = k − 1 y veamos qu´e ocurre en el caso n = k: ¡ k ¢0 ¡ ¢0 f (x) = f (x)f k−1 (x) = f 0 (x)f k−1 (x) + f (x)(k − 1)f k−2 (x)f 0 (x) = = f 0 (x)f k−1 (x) + (k − 1)f 0 (x)f k−1 (x) = kf 0 (x)f k−1 (x). El resultado es cierto tambi´en, con una prueba similar, en el caso de que n sea un entero negativo.
178
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
Teorema 9.2 (Regla de la cadena). Sean A ⊂ lR y B ⊂ lR dos intervalos abiertos y f : A −→ lR, g : B −→ lR dos funciones tales que f (A) ⊂ B. Si f es derivable en a ∈ A y g es derivable en b = f (a) ∈ B entonces la aplicaci´ on compuesta (g ◦ f ) : A −→ lR es derivable en a ∈ A y se cumple (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a). Teorema 9.3 (Derivada de la funci´ on inversa). Sea A ⊂ lR un intervalo y sea f : A −→ lR una funci´ on continua en A y derivable en un punto a del interior de A (es decir, del conjunto A excluyendo los bordes de los intervalos que lo forman). Si f 0 (a) 6= 0 entonces la aplicaci´ on inversa f −1 : f (A) ≡ Im(f ) −→ A es derivable en b = f (a) y ¡ −1 ¢0 1 1 f (b) = 0 = 0 −1 f (a) f (f (b)) Ejemplo 9.4 (Derivada de arcsen(x)). Sea f (x) = sen(x), que como es bien sabido es continua y derivable en todo punto. Entonces f −1 =arcsen: [−1, 1] −→ lR. Calculemos cu´anto vale arcsen0 (x) utilizando el Teorema 9.3: ¡ ¢0 arcsen0 (x) = f −1 (x) = =
9.6.
1 1 1 =p =√ 2 cos (arcsen(x)) 1 − x2 1 − sen (arcsen(x))
Tabla de derivadas de funciones elementales
1.
d(au) du =a dx dx
2.
d(u + v − w) du dv dw = + − dx dx dx dx
3.
d(uv) dv du =u +v dx dx dx
4.
1 1 = = f 0 (f −1 (x)) sen0 (arcsen(x))
du dv v( ) − u( ) d(u/v) dx dx = dx v2
5.
d(un ) du = nun−1 dx dx
6.
d(ln u) 1 du = dx u dx
7.
d(loga u) 1 du = dx u ln a dx
9.6. Tabla de derivadas de funciones elementales
8.
d(v u ) dv du = uv u−1 + v u (ln v) dx dx dx
9.
d(eu ) du = eu dx dx
10.
d(au ) du = au ln(a) dx dx
11.
d(sen u) du = cos u dx dx
12.
d(cos u) du = − sen u dx dx
13.
d(tg u) 1 du = dx cos2 u dx
14.
du d(arcsen u) 1 =√ 2 dx 1 − u dx
15.
d(arc cos u) 1 du = −√ dx 1 − u2 dx
16.
d(arctg u) 1 du = dx 1 + u2 dx
17.
d(Sh u) du = Ch u dx dx
18.
d(Ch u) du = Sh u dx dx
19.
d(Th u) 1 du = dx Ch2 u dx
20.
d(ArgSh u) 1 du =√ 2 dx 1 + u dx
21.
d(ArgCh u) 1 du =√ dx u2 − 1 dx
22.
d(ArgTh u) 1 du = dx 1 − u2 dx
179
180
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
9.7.
Derivaci´ on de funciones definidas impl´ıcitamente y param´ etricamente
Definici´ on 9.14. Sea F : lR2 −→ lR. Se dice que la ecuaci´ on F (x, y) = 0 define impl´ıcitamente la funci´ on y = f (x) cuando para todo x en el dominio de f se verifica F (x, f (x)) = 0. Nota 9.15. En general, en las condiciones de la definici´on anterior, la misma funci´on F podr´ıa definir impl´ıcitamente m´as de una funci´on: por ejemplo, la ecuaci´on F (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 define impl´ıcitamente dos funciones p p f1 (x) = 1 − x2 y f2 (x) = − 1 − x2 . Proposici´ on 9.8. Sean F y f como en la Definici´ on 9.14 y sea a un punto en el dominio de f . Para hallar la derivada de f en a se deriva la expresi´ on F (x, f (x)) respecto de x, se particulariza en a, se iguala a 0 y se despeja f 0 (a). Veamos esto con un ejemplo, Ejemplo 9.5. Hallar la derivada de la funci´on y = f (x) definida impl´ıcitamente por la ecuaci´on F (x, y) = 2x6 + y 4 − 9xy = 0 en el punto x = 1 sabiendo que f (1) = 2. Hemos llamado y = f (x) y por tanto F (x, f (x)) = 2x6 + f (x)4 − 9xf (x). Derivemos ahora la expresi´on de arriba con respecto a x: dF (x, f (x)) = 6 · 2x5 + 4f (x)3 f 0 (x) − 9f (x) − 9xf 0 (x). dx Igualando a 0 y despejando obtenemos que f 0 (x) = de donde f 0 (1) =
9f (x) − 12x5 4f 3 (x) − 9x
6 23 .
Proposici´ on 9.9 (Derivaci´ on de una funci´ on definida param´ etricamente). Sean x = x(t) e y = y(t) dos funciones dependientes del par´ ametro t ∈ [a, b]. Si adem´ as y es funci´ on de x (y = f (x)) se verifica dy = dx
dy dt dx dt
=
y 0 (t) . x0 (t)
9.8. Teoremas del valor medio
9.8.
181
Teoremas del valor medio
Teorema 9.4 (Teorema de Rolle). Sea f : [a, b] −→ lR una funci´ on continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que f (a) = f (b). Entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que f 0 (ξ) = 0. A partir del Teorema de Rolle es muy f´acil demostrar el Teorema 9.5 (Teorema de los incrementos finitos). Sea f : [a, b] −→ lR una funci´ on continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe ξ ∈ (a, b) tal que f 0 (ξ) =
f (b) − f (a) . b−a
La idea del teorema es que en alg´ un punto del intervalo la “tasa de variaci´on” de la funci´on es precisamente la “tasa de variaci´on media” de la funci´on en todo el intervalo. on derivable en un punto x0 ∈ A. Definici´ on 9.15. Sea f : A ⊂ lR una funci´ 1.
Se dice que f es creciente en x0 si existe un intervalo (a, b) ⊂ A tal que f (x) ≤ f (x0 ) para todo x ∈ (a, x0 ) y f (x) ≥ f (x0 ) para todo x ∈ (x0 , b).
2.
Se dice que f es decreciente en x0 si existe un intervalo (a, b) ⊂ A tal que f (x) ≥ f (x0 ) para todo x ∈ (a, x0 ) y f (x) ≤ f (x0 ) para todo x ∈ (x0 , b).
Definici´ on 9.16. Sea f : A ⊂ lR una funci´ on derivable en un intervalo (a, b) ⊂ A. 1.
Se dice que f es mon´ otona creciente en (a, b) si para todo par de puntos x1 , x2 de (a, b) tales que x1 < x2 entonces f (x1 ) ≤ f (x2 ). (f es creciente en todos los puntos de (a, b)).
2.
Se dice que f es mon´ otona decreciente en (a, b) si para todo par de puntos x1 , x2 de (a, b) tales que x1 < x2 entonces f (x1 ) ≥ f (x2 ). (f es decreciente en todos los puntos de (a, b)).
Teorema 9.6. Sea f : (a, b) −→ lR una funci´ on derivable en (a, b). Entonces: 1.
f (x) es mon´ otona creciente en (a, b) Ssi f 0 (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b).
2.
f (x) es mon´ otona decreciente en (a, b) Ssi f 0 (x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b).
3.
f (x) es constante en (a, b) Ssi f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b).
4.
f (x) es inyectiva en (a, b) si f 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b).
182
9.9.
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
Reglas de L’Hˆ opital
Teorema 9.7. Sea A ⊂ lR un intervalo abierto y sea a ∈ A. Dadas dos funciones f, g : A \ {a} :−→ lR derivables en A tales que l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0
x→a
x→a
y tales que g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ A \ {a}. Si f 0 (x) =L x→a g 0 (x) l´ım
entonces l´ım
x→a
f (x) =L g(x)
Teorema 9.8. Sea A ⊂ lR un intervalo abierto y sea a ∈ A. Dadas dos funciones f, g : A \ {a} :−→ lR derivables en A tales que l´ım f (x) ± ∞
, l´ım g(x) = ±∞
x→a
x→a
y tales que g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ A \ {a}. Si f 0 (x) =L x→a g 0 (x) l´ım
entonces l´ım
x→a
f (x) =L g(x)
Nota 9.16. Teoremas an´alogos se verifican cuando x tiende a ±∞.
9.10.
F´ ormula de Taylor
Definici´ on 9.17. Sea A ⊂ lR un intervalo abierto, f : A −→ lR una aplicaci´ on derivable en todo A y sea f 0 la funci´ on derivada de f . Si f 0 es a su vez derivable en A, a su derivada se le denomina derivada segunda de f y se representa por f 00 2 f (x) 00 ´ o f (2) ´ o d dx es tambi´en derivable denotamos su derivada por f 000 ´ o f (3) . El 2 . Si f proceso se puede repetir mientras que las sucesivas derivadas que obtengamos sean a su vez derivables. N´ otese que si f posee derivada k-´esima se tiene que cumplir que f, f 0 , f 00 ,. . . ,f (k−1) deben ser derivables en A y por tanto continuas, pero f (k) no tiene por qu´e ser continua. Una funci´ on f que verifique que existe f (k) y es continua se dice que es una funci´ on de clase k y se representa como f ∈ C k (A).
9.10. F´ ormula de Taylor
183
Teorema 9.9. Sea A un intervalo abierto y f : A −→ lR una funci´ on que posee derivada n-´esima f (n) en A. Sea a ∈ A. Se define el polinomio de Taylor de grado n − 1 de f alrededor de a como pn−1 (x) = f (a) +
f 0 (a) f 00 (a) f (n−1) (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n−1 1! 2! (n − 1)!
.
Entonces, para cada x ∈ A − {a}, existe ξ ∈ (a, x) ´ o (x, a) tal que f (x) = pn−1 (x) +
f (n) (ξ) (x − a)n . n!
Esta u ´ltima expresi´ on se conoce como f´ ormula de Taylor. Nota 9.17. Al polinomio de Taylor alrededor de a = 0 se le denomina polinomio de Mac-Laurin. Ejemplo 9.6. Hallar el polinomio de Mac-Laurin de grado 5 de las funciones f (x) = sen x y f (x) = ex . Soluci´ on: Para calcular el polinomio correspondiente a la funci´on sen x deberemos calcular el valor de la funci´on de sus 5 primeras derivadas en x = 0: f (x) f 0 (x) f 00 (x) f 000 (x) f iv (x) f v (x) Por tanto, p5 (x) = x −
x3 3!
+
= = = = = =
sen x → f (0) = 0 cos x → f 0 (0) = 1 − sen x → f 00 (0) = 0 − cos x → f 000 (0) = −1 sen x → f iv (0) = 0 cos x → f v (0) = 1
x5 5! .
En cuanto a la funci´on exponencial, f (x) f 0 (x) f 00 (x) f 000 (x) f iv (x) f v (x) y, por tanto, p5 (x) = 1 + x +
x2 2!
+
= = = = = = x3 3!
+
ex ex ex ex ex ex
→ f (0) = 1 → f 0 (0) = 1 → f 00 (0) = 1 → f 000 (0) = 1 → f iv (0) = 1 → f v (0) = 1
x4 4!
+
x5 5! .
184
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
3
p1(x)
2
1
p5(x)
sen(x) –3
–2
–1
0
1
2
3
x –1
p3(x) –2
–3
Figura 9.7: La funci´on sen(x) y sus tres primeros polinomios de Taylor: p1 (x), p3 (x) y p5 (x). Ejemplo 9.7. Demostrar la f´ormula de Euler eix = cos(x) + i sen(x) Soluci´ on: Por lo visto en el ejemplo anterior, eix = 1 + (ix) +
(ix)2 (ix)3 (ix)4 (ix)5 (ix)6 + + + + + .... 2! 3! 4! 5! 6!
Como i2n = (−1)n , i2n+1 = (−1)n i, podemos escribir x2 x3 x4 x5 x6 −i + +i − + .... 2! 3! 4! 5! 6! ¶ µ ¶ µ x4 x6 x3 x5 x2 + − + ... + i x − + − ... = cos(x) + i sen(x) = 1− 2 4! 6! 3! 5! eix = 1 + (ix) −
9.11.
Extremos de funciones
Definici´ on 9.18. Sea f : A ⊂ lR −→ lR. 1.
Se dice que f alcanza un m´ aximo relativo en a ∈ A si existe un entorno V de a tal que, para todo x ∈ V ∩ A, f (x) ≤ f (a).
2.
Se dice que f alcanza un m´ınimo relativo en a ∈ A si existe un entorno V de a tal que, para todo x ∈ V ∩ A, f (x) ≥ f (a).
9.11. Extremos de funciones
185
exp(x)
4.5
p3(x)
4
3.5
p2(x) 3
2.5
p1(x) 2
1.5
p0(x) 1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
x
Figura 9.8: La funci´on ex y sus cuatro primeros polinomios de Taylor: p0 (x), p1 (x), p2 (x) y p3 (x). 3.
Los m´ aximos y m´ınimos relativos se denominan globalmente extremos relativos.
4.
Se denomina supremo o extremo superior de f en A al supx∈A {f (x)}.
5.
Se denomina ´ınfimo o extremo inferior de f en A al inf x∈A {f (x)}.
6.
Cuando el supremo y el ´ınfimo de f en A existen y pertenecen al conjunto f (A) se denominan m´ aximo absoluto y m´ınimo absoluto de f en A. Globalmente se denominan extremos absolutos.
Teorema 9.10 (Condici´ on necesaria de existencia de extremos relativos). Sea A ⊂ lR un conjunto abierto y sea la aplicaci´ on f : A −→ lR. Si f posee un extremo relativo en a ∈ A y f es derivable en a, entonces necesariamente f 0 (a) = 0. Demostraci´ on. Supongamos que f alcanza un m´ınimo relativo en a y que f es derivable en a. Entonces f 0 (a) = l´ım
x→a
f (x) − f (a) f (x) − f (a) f (x) − f (a) = l´ım+ = l´ım− . x−a x−a x−a x→a x→a
Como a es un m´ınimo relativo de f , existe un entorno V de a tal que, para todo x ∈ V ∩ (a, +∞), f (x) − f (a) ≥ 0, x−a y por tanto se tiene que f 0 (a) = l´ım+ x→a
f (x) − f (a) ≥ 0. x−a
186
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
Por otro lado, para ese mismo entorno V se tiene que, para todo x ∈ V ∩ (−∞, a), f (x) − f (a) ≤ 0, x−a y por tanto
f (x) − f (a) ≤ 0, x−a y por tanto necesariamente se ha de tener que f 0 (a) = 0. El caso en que a fuera un m´aximo relativo se demuestra de manera totalmente an´aloga. ¤ f 0 (a) = l´ım− x→a
Nota 9.18. Debe quedar claro que la anterior es una condici´on necesaria pero no suficiente: pueden existir puntos de A tales que f 0 (a) = 0 pero que no sean extremos. Los puntos de A que verifican f 0 (a) = 0 se denominan puntos cr´ıticos. Teorema 9.11 (Condici´ on suficiente de existencia de extremos relativos). Sea A ⊂ lR un intervalo abierto. Sea una aplicaci´ on f : A −→ lR con derivada n-´esima f (n) continua en A, es decir f ∈ C n (A). Sea a ∈ A tal que f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0 y f (n) (a) 6= 0. Entonces: 1.
Si n es par y f (n) (a) < 0, f alcanza en a un m´ aximo relativo.
2.
Si n es par y f (n) (a) > 0, f alcanza en a un m´ınimo relativo.
3.
Si n es impar, entonces a no es un extremo relativo de f sino un punto de inflexi´ on, concepto este que se definir´ a m´ as adelante.
Demostraci´ on. El problema de hallar si una funci´on f tiene un extremo en el punto a se reduce a comprobar si existe un δ > 0 tal que, f (x) − f (a) tenga siempre el mismo signo para todo x ∈ (a − δ, a + δ). Por la f´ormula de Taylor, f (x) = f (a) + + Como
f 0 (a) f 00 (a) f (n−1) (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n−1 + 1! 2! (n − 1)!
f (n) (a) f (n+1) (a + θ(x − a)) (x − a)n + (x − a)n+1 (n)! (n + 1)! f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0,
se tiene que (para x suficientemente pr´oximo a a): Signo(f (x) − f (a)) = Signo( Consideremos tres posibles casos:
f (n) (a) (x − a)n ). n!
.
9.12. Estudio global de la gr´ afica de una funci´ on
1.
187
n es par y f (n) (a) > 0. Entonces, para todo x ∈ (a − δ, a + δ), f (x) − f (a) =
f (n) (a) (x − a)n ≥ 0 n!
y por tanto a es un m´ınimo relativo de f . 2.
n es par y f (n) (a) < 0. Entonces, para todo x ∈ (a − δ, a + δ), f (x) − f (a) =
f (n) (a) (x − a)n ≤ 0 n!
y por tanto a es un m´aximo relativo de f . 3.
n es impar. Si, por ejemplo, f (n) (a) > 0, entonces f (x) − f (a) > 0 si x > a y f (x) − f (a) < 0 si x < a y por tanto a no es extremo relativo de f . ¤
on f : A ⊂ lR −→ lR derivable en A, es c´ oncava Definici´ on 9.19. Se dice que la funci´ (respectivamente convexa) en a ∈ A si existe un entorno V de a tal que, para todo x ∈ (V \ {a}) ∩ A, δ(x) = f (x) − t(x) > 0 (respectivamente < 0) siendo t(x) la recta tangente a f en a: t(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a). Si δ(x) cambia de signo al pasar de los puntos a la izquierda de a a los puntos a la derecha de a, se dice que f posee en a un punto de inflexi´ on. Nota 9.19. A la vista de esta definici´on, es f´acil comprobar que en el caso 3 del teorema anterior, f tiene un punto de inflexi´on en a. Nota 9.20. Si la funci´on alcanza un m´ınimo (respectivamente m´aximo) en a la funci´ on es c´oncava (respectivamente convexa) en a. La implicaci´on contraria, sin embargo, no es cierta. Nota 9.21. Como consecuencia de la definici´on anterior, tendremos que si en un cierto punto x es f 00 (x) > 0 entonces la funci´on es c´oncava y si f 00 (x) < 0 entonces la funci´on es convexa.
9.12.
Estudio global de la gr´ afica de una funci´ on
Estudio local de la gr´ afica de una funci´ on. La gr´afica de una funci´on real f : I → lR, definida en un intervalo I es el siguiente conjunto de puntos de un plano ©
(x, y) ∈ lR2 y = f (x), x ∈ I
ª
188
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
Se supondr´a que en lR2 se toma la referencia cartesiana ordinaria: la que tiene su origen en el punto (0,0) y cuya base est´a formada por los vectores (1,0)t y (0,1)t . En los apartados anteriores se ha estudiado c´omo determinar, dado un punto a ∈ I, el crecimiento o decrecimiento de f en a, la existencia o no de un extremo relativo de f en a (y determinar si el extremo es un m´aximo o un m´ınimo), la concavidad o convexidad de f en a y si a es un punto de inflexi´on. Esto es lo que se denomina un estudio local de la funci´on f en un entorno de a y permite dibujar de forma aproximada la gr´afica de f en dicho entorno. A continuaci´on se describe brevemente c´omo se puede extender este estudio local a todo lR. Estudio global de la gr´ afica de una funci´ on. El procedimiento para investigar una funci´on y dibujar su gr´afica en todo lR consta de las siguientes etapas: 1.
Estudiar el dominio de la funci´on.
2.
Obtener los puntos de discontinuidad de la funci´on y sus as´ıntotas verticales.
3.
Estudiar la paridad y periodicidad de la funci´on.
4.
Obtener los puntos de intersecci´on de la gr´afica con los ejes de coordenadas.
5.
Estudiar la caracter´ıstica de la funci´on en el infinito: as´ıntotas horizontales y oblicuas.
6.
Determinar cuales son los intervalos de monoton´ıa de la funci´on y calcular los extremos relativos de la funci´on.
7.
Estudiar la concavidad y convexidad de la funci´on, puntos de inflexi´on.
8.
Dibujo de la gr´afica utilizando la informaci´on obtenida en las etapas anteriores. Si es necesario se calculan im´agenes de puntos intermedios.
Para poder realizar las etapas anteriores es necesario recordar que son las as´ıntotas de una funci´on. Definici´ on 9.20. (As´ıntota vertical) Se dice que una funci´ on f tiene una as´ıntota vertical en a ∈ lR si
l´ım f (x) = ±∞ ´o
x→a+
l´ım f (x) = ±∞
x→a−
Definici´ on 9.21. (As´ıntota horizontal y As´ıntota oblicua) (Comportamiento de la funci´ on en el infinito). Se dice que la recta y = b es una as´ıntota horizontal de la funci´ on f si
9.12. Estudio global de la gr´ afica de una funci´ on
189
l´ım f (x) = b ´ o l´ım f (x) = b.
x→−∞
x→∞
Se dice que la recta y = mx + b (m 6= 0) es una as´ıntota oblicua de la funci´ on f si l´ım f (x) − mx − b = 0 ´ o l´ım f (x) − mx − b = 0.
x→−∞
x→∞
Ejemplo 9.8. Dibujar la gr´afica de la funci´on y = f (x) =
2x2 −8 x2 −16 .
Soluci´ on : 1.
Dominio de la funci´on: lR− {−4, 4}.
2.
l´ım 2x2 −8 = x→a x −16 dominio.
2
l´ım −
x→−4
l´ım
x→4−
2x2 −8 x2 −16
2x2 −8 x2 −16
2a2 −8 a2 −16
(a ∈ lR − {−4, 4}). La funci´on es continua en todo el
= ∞, l´ım + x→−4
= −∞, l´ım
x→4+
2x2 −8 x2 −16
2x2 −8 x2 −16
= −∞ ⇒ x = −4 es una as´ıntota vertical.
= ∞ ⇒ x = 4 es una as´ıntota vertical.
3.
La funci´on es par, f (x) = f (−x). No es peri´odica. De la paridad de la funci´on se deduce que es sim´etrica respecto al eje OY.
4.
Intersecci´on con el eje y; y = f (0) = 1/2. Intersecci´on con el eje x; 2x2 − 8 = 0 ⇒ x = 2, x = −2.
5.
2x2 −8 2 x→∞ x −16
As´ıntotas horizontales: l´ım
= 2,
2x2 −8 2 x→−∞ x −16
l´ım
= 2 (se podr´ıa haber
obtenido directamente por simetr´ıa). No hay as´ıntotas oblicuas. 6.
Extremos de la funci´on: d2 y dx2
2
+16 = 48 (x3x2 −16) 3 ⇒ relativo en x = 0.
dy dx
x = −48 (x2 −16) ıtico 2 = 0 ⇒ x = 0 es un punto cr´
d2 y dx2 |x=0
3 = − 16 < 0 ⇒ y = f (x) alcanza un m´aximo
Intervalos de monoton´ıa: se comprueba el signo de
dy dx
:
dy dx
x = −48 (x2 −16) 2 < 0
⇔ −48x < 0 (x 6= 4), la inecuaci´on se satisface ∀x ∈ lR+ − {4} ⇒ la funci´on es mon´otona decreciente en (0, 4) y en (4, ∞) y, por simetr´ıa, es mon´otona creciente en (−∞, −4) y en (−4, 0). 7.
2
d y Concavidad y convexidad: se estudia el signo de la funci´on dx 2 . El signo de 2 2 depende del signo de x − 16 puesto que 3x + 16 es siempre positivo:
d2 y dx2
190
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
Si x ∈ (−∞, −4) ∪ (4, ∞) entonces x2 −16 > 0 y es c´oncava en x ∈ (−∞, −4) ∪ (4, ∞). Si x ∈ (−4, 4) entonces x2 − 16 < 0 y en x ∈ (−4, 4).
d2 y dx2
d2 y dx2
> 0. Por lo tanto la funci´on
< 0. Por lo tanto la funci´on es convexa
No existen puntos de inflexi´on. 8.
Dibujo de la gr´afica de la funci´on
infinity
y
-infinity
0
infinity x
-infinity
Figura 9.9: Gr´afica de la funci´on f (x) =
9.13.
2x2 −8 x2 −16 .
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar los cap´ıtulos 2, 3 y 4 de [43], los cap´ıtulos 1, 2 y 3 de [37], el cap´ıtulo 7 de [8] y los cap´ıtulos 2 y 3 del primer tomo de [25].
9.14.
Ejercicios √
1.
Demostrar, utilizando la definici´on δ − ε, que l´ım x→a √ √ √ . t´engase en cuenta que x − a = √(x−a) x+ a
2.
Demostrar, utilizando la definici´on M − ε, que l´ım
x=
√
x2 2 1+x x→∞
a para a > 0. Ayuda:
= 1.
9.14. Ejercicios
191
3.
Demostrar, utilizando la definici´on M − ε que l´ım ekx = 0 ∀k < 0.
4.
Demostrar, utilizando la definici´on δ − ε, que l´ım (x3 + 2x) = 33.
5.
Determinar qu´e valor habr´ıa que adjudicar a f (0) para que la funci´on f (x) = tg(2x) resulte continua en x = 0. x
x→∞
x→3
Soluci´ on: f (0) = 2 6.
Calcular el l´ımite
ex − esen x x − sen x
l´ım
x→0
Soluci´ on: 1 7.
Demostrar, utilizando la definici´on δ − N, que si l´ım f (x) = ∞ y g(x) ≥ f (x) x→x0
para todo x perteneciente a alg´ un entorno reducido de x0 entonces l´ım g(x) = 1+cos2 x 2 x→1 (1−x)
∞. Utilizar el resultado anterior para demostrar que l´ım 8.
x→x0
= ∞.
√ Calcular l´ımx→∞ ( x2 + 1 − x). Interpretar el resultado geom´etricamente considerando un tri´angulo rect´angulo de catetos de longitudes 1 y x respectivamente. Soluci´ on: El l´ımite vale 0. La interpretaci´on geom´etrica aparece en la figura 9.10, en donde se aprecia que para x muy grandes la diferencia entre la hipotenusa del tri´angulo y el cateto de longitud x se hace despreciable. x 2
+ 1
1
x
Figura 9.10: Interpretaci´on geom´etrica del resultado del problema 8. 9.
Calcular los siguientes l´ımites: a) b) c) d)
l´ım
x→0
(3+x)2 −9 x
l´ım
x→0+
(x3 −1)|x| x
l´ım 2 x−2 x→∞ x +2x+1 l´ım+
x→1
ex −1 x−1
192
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
e)
l´ım
x→1−
ln(2x) x−1
Soluci´ on: a) 6 b) -1 c) 0 d) ∞ e) −∞ 10.
1
Dada la funci´on f (x) = xe x se verifica que: a) es continua en todo el eje real. b) es discontinua en el punto x = 0. c) d)
l´ım f (x) = 0.
x→0
l´ım f (x) = ∞.
x→0
Soluci´ on: la u ´nica respuesta correcta es la (b). 11.
Sea la funci´on
½ f (x) =
x2 si x < 1 0 si x ≥ 1
a) ¿Es f continua en el intervalo [0, 1]? b) ¿Est´ a f acotada en el intervalo [0, 1]? c) ¿Alcanza valores m´aximos y m´ınimos la funci´on f en el intervalo [0, 1]? Soluci´ on: a) No. b) Si. c) Si alcanza valores m´ınimos pero no alcanza valores m´aximos. 12.
El n´ umero de individuos en una poblaci´on en el instante t est´a dado por N (t) = N0 3 2
e3t . + e3t
Determinar el valor del l´ım N (t) y discute su significado biol´ogico. t→∞
Soluci´ on: N0 . A largo plazo la poblaci´on alcanza un equilibrio de N0 individuos.
9.14. Ejercicios
13.
193
La temperatura, T (x, t), en el tiempo t y en la posici´on x de una barra situada a lo largo de 0 ≤ x ≤ l en el eje x se puede expresar, aproximadamente, como: T (x, t) = B1 e−µ1 t sen(λ1 x) + B2 e−µ2 t sen(λ2 x) + B3 e−µ3 t sen(λ3 x) donde µ1 , µ2 , µ3 , λ1 , λ2 y λ3 > 0. Se pide determinar el l´ım T (x, t) ∀x ∈ [0, l] e t→∞ interpretar el resultado. Soluci´ on: 0. La ecuaci´on representa le transporte de calor en una barra sin la presencia de ninguna fuente t´ermica y permitiendo que el calor se disipe por la parte derecha de la barra. l´ım T (x, t) = 0 indica que a largo plazo la barra se t→∞
enfr´ıa totalmente (se pierde todo el calor por el lado derecho). 14.
Determinar que valor habr´ıa que adjudicar a f (0) para que la funci´on f (x) = tan(2x) resulte continua en x = 0. x Soluci´ on: f (0) = 2
15.
Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 de la funci´on f (x) = Soluci´ on:
16.
x
√e 1+x
= 1 + 12 x + 38 x2 −
1 3 48 x
x √e 1+x
en x = 0.
+ O(x4 )
Siendo g(x) = xf (x) y sabiendo que f (x) es continua en x = 0, calcular g 0 (0) Soluci´ on: g 0 (0) = f (0)
17.
Dada la funci´on
½ f (x) =
x3 + 2x + 2 si x < 0 x3 − 3x + 2 si x ≥ 0
a) estudiar la continuidad y derivabilidad en x = 0, y calcular las sucesivas derivadas en x = 0 cuando existan. b) hallar m´aximos y m´ınimos de f (x) en [-2,2]. Soluci´ on: a) es continua y no es derivable, b) m´ınimos relativos(mr ): 0, −10; max. rel.(Mr ): 2, 4; min.abs.=-10; Max. abs. (Ma )=4. 18.
Calcular los extremos relativos y absolutos de: a) f (x) = x3 + x2 − 5x + 1; x ∈ lR, b) f (x) = (x + 2)ex ; x ∈ lR, c) f (x) = 5 + (x − 3)2/3 ; x ∈ lR, d ) f (x) =
|ax| 1+x2 ;
a > 0; x ∈ lR,
194
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
e) f (x) = x2 ln x; x ∈ lR+ , f ) f (x) = ln(1 + x2 ) − |x − 2| ; x ∈ [−2, 3]. Soluci´ on: a) mr = −2; Mr = 202/27 b) mr =ma = −e−3 c) mr =ma = 5 d ) mr =ma = 0; Mr =Ma = a/2 e) mr =ma = −1/(2e) f ) mr = ln 10 − 1, ln 5 − 4, ma = ln 5 − 4; Mr =Ma = ln 5 19.
Sea f : IR → IR, f (x) =
2x 1+x2 .
Hallar Im f.
Soluci´ on: [-1,1] 20.
Hallar la distancia m´ınima del origen a la par´abola y = 2(x − 23 )2 . Soluci´ on:
√ 5 2
21.
Hallar la superficie m´ınima de un cilindro cuyo volumen es 27m3 . 18π 1 2 Soluci´ on: 18(2π) 3 + 1 m (4π 2 ) 3
22.
Hallar las dimensiones de un tri´angulo rect´angulo de ´area m´axima, sabiendo que su hipotenusa mide 5 cm. Soluci´ on: ambos catetos miden
√5 2
cm.
23.
Si se viaja 1 Km en 60 + x segundos, demuestra que una buena aproximaci´on de la velocidad media para x peque˜ nos es 60 − x Km/h. Deduce el error de la aproximaci´on si x = 1, −1,5, −5, 10, −10.
24.
En un cierto proceso qu´ımico industrial, la producci´on diaria de productos de desecho, y, depende de la producci´on total del proceso, x, de acuerdo con la siguiente f´ormula emp´ırica: y = 0,01x + 0,00003x2 donde x e y est´an expresadas en Kg. Si se ganan 100 euros por Kg de producto sin desechos y se pierden 20 euros por Kg de desecho producido, ¿De cu´antos Kilos debe ser la producci´on diaria para maximizar el beneficio?
25.
Para calcular el seno de 36o con una calculadora que no dispone de funciones trigonom´etricas, una ingeniera realiza el siguiente proceso: introduce 3.1415926 divide por 5 e introduce el resultado en la memoria, el resultado se designar´a por x. Despu´es calcula x(1 − x2 /6), valor que toma como sen(36o ).
9.14. Ejercicios
195
a) ¿Cu´al fue el valor calculado por la ingeniera? b) ¿Que precisi´on tiene? (error cometido). c) Justifica el resultado en t´erminos del desarrollo en serie de Taylor de una funci´on. d ) Describe un m´etodo similar para calcular tan(10o ). Soluci´ on: a) 0.5869768. b) |0,5869768 − sen(36o )| ≤ 0,0065 sen(36o ). c) 36o = π/5 radianes y se han utilizado los dos primeros t´erminos del polinomio de Taylor de la funci´on seno para aproximar sen(36o ). π d ) Se pasa 10o a radianes (10o = 18 radianes) y se utilizan los dos primeros t´erminos del desarrollo en serie de Taylor de la funci´on tan(x), tan(x) ≈ x(1 + x2 /3).
26.
Sup´ongase que se quiere quitar el sedimento de un l´ıquido haci´endolo pasar por un filtro c´onico de 16 cm de altura y 4 cm de radio en la secci´on circular del borde superior. Se supondr´a tambi´en que el l´ıquido sale del filtro por la parte inferior a una velocidad constante de 2 cm3 /min. Se pide: a) Encontrar una f´ormula que relacione la tasa de variaci´on de la altura del fluido en el cono en funci´on de la propia altura. b) Una vez obtenida la f´ormula anterior, ¿disminuye la altura del l´ıquido a una velocidad constante? c) ¿A que velocidad est´a disminuyendo la altura del l´ıquido en el momento que dicha altura es de 8 cm? Soluci´ on: a)
dy dt
32 = − πy 2 , y = altura. El signo menos indica que la altura disminuye con el tiempo.
b) La altura no disminuye a una velocidad constante puesto que su tasa de disminuci´on depende de y. Cuanto m´as peque˜ na es la altura mas r´apido disminuye esta. ¯ ¯ c) dy = −0,16 cm/min. dt ¯ y=8
196
Cap´ıtulo 9. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de una variable
Cap´ıtulo 10
L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables 10.1.
Introducci´ on
Muchos de los modelos qu´ımicos o medioambientales est´an formulados para funciones de varias variables que habitualmente dependen del espacio y el tiempo. Pensemos por ejemplo en la concentraci´on de un cierto contaminante vertido en el mar. Dicha concentraci´on cambiar´a de punto a punto del espacio y, adem´as, variar´a con el tiempo. Esta idea conduce a una funci´on (la concentraci´on) que depender´a de varias variables (las coordenadas de los puntos del espacio y el tiempo). La cuesti´on que se plantea es la siguiente: ¿Podemos introducir nociones de continuidad, l´ımite y derivada (ritmo de variaci´on) cuando una funci´on no depende s´olo de una variable sino que depende de varias? En este cap´ıtulo daremos respuesta a esta cuesti´on. El problema es crucial de cara a las aplicaciones, ya que hay leyes f´ısico-qu´ımicas, expresables en forma de ecuaciones llamadas de transporte, en las que intervienen dichas nociones.
197
198 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
10.2.
Bolas, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en lRn
Definici´ on 10.1. Definimos bola abierta de centro a1 ∈ lRn y radio ² ∈ lR al conjunto de puntos x ∈ lRn tales que v u n uX d(x, a) = t (xi − ai )2 < ² i=1
siendo (a1 , a2 , ..., an ) y (x1 , x2 , ..., xn ) las coordenadas de los puntos a y x respectivamente. La denotaremos por B(a, ²). Definici´ on 10.2. Definimos bola cerrada de centro a ∈ lRn y radio ² al conjunto de puntos x ∈ lRn tales que v u n uX d(x, a) = t (xi − ai )2 ≤ ² i=1
La denotaremos por B(a, ²). Definici´ on 10.3. Un punto a ∈ lRn se dice que es interior a Ω ⊂ lRn si se puede poner como centro de una bola abierta que contiene solamente puntos de Ω. Un punto a ∈ lRn se dice que es exterior a Ω si toda bola abierta que lo tenga como centro contiene puntos que no son de Ω. Un punto a ∈ lRn se dice que es frontera de Ω si toda bola abierta que lo tenga como centro contiene puntos que son de Ω y puntos que no son de Ω. Definici´ on 10.4. Un conjunto Ω ⊂ lRn es abierto si todos sus puntos son interiores (no tiene puntos frontera). Un conjunto Ω ⊂ lRn es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera. Definici´ on 10.5. Sea E un espacio m´etrico. Se dice que x ∈ E es un punto de acumulaci´ on de A ⊂ E si la intersecci´ on de toda bola abierta de centro x con A no es vac´ıa y contiene puntos de A distintos de x. 1 Como ya se advirti´ o en el Cap´ıtulo Espacio Af´ın-Eucl´ıdeo, a partir de ahora a los puntos se les designar´ a mediante letras min´ usculas con una raya encima. Los vectores se seguir´ an representando en negrita.
10.3. L´ımites de funciones de varias variables
10.3.
199
L´ımites de funciones de varias variables
Definici´ on 10.6. Sea f : lRn −→ lR una funci´ on cuyo dominio es un abierto Ω ⊂ lRn . n Sea a ∈ lR un punto de Ω. Se dice que el l´ımite de f cuando x tiende a a es L ∈ lR y se escribe l´ım f (x) = L x→a
si para todo ² > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ B(a, δ) ∩ Ω, con x 6= a, se tiene que f (x) ∈ B(L, ²). N´ otese que x ∈ B(a, δ) ∩ Ω, x 6= a es equivalente a 0 < d(x, a) < δ y que f (x) ∈ B(L, ²) es equivalente a |f (x) − L| < ². Proposici´ on 10.1. Si existe el l´ımite de f en a, ´este es u ´nico. Nota 10.1. A los l´ımites de funciones f : lR2 −→ lR se les denomina l´ımites dobles. Definici´ on 10.7. Sea f : lR2 −→ lR y sea (a1 , a2 ) un punto de acumulaci´ on del dominio de f . Entonces 1.
Se denominan l´ımites reiterados de f (x, y) en el punto (a1 , a2 ) a los dos n´ umeros reales (cuando existen) dados por µ l´ım
x→a1
l´ım
y→a2
2.
¶ l´ım f (x, y)
µ
y→a2
¶
l´ım f (x, y)
x→a1
Sea ϕ : lR −→ lR una funci´ on tal que ϕ(a1 ) = a2 (esto es, ϕ “pasa” por (a1 , a2 )). Se denomina l´ımite direccional de f en el punto (a1 , a2 ) seg´ un la curva y = ϕ(x) al n´ umero real (cuando exista) dado por l´ım f (x, ϕ(x)).
x→a1
En el caso particular en que ϕ(x) = k(x − a1 ) + a2 , al l´ımite anterior se le denomina l´ımite radial. Nota 10.2. Es f´acil ver que si existe el l´ımite de f en (a1 , a2 ) y vale L entonces existen los l´ımites reiterados de f en (a1 , a2 ) y tambi´en valen L y, para toda ϕ que pase por (a1 , a2 ), existe el l´ımite direccional de f en (a1 , a2 ) seg´ un la curva ϕ y vale L. La rec´ıproca en cambio no es cierta: la existencia y coincidencia de los l´ımites reiterados de f en (a1 , a2 ) y cualquier cantidad finita o infinita de l´ımites direccionales de f en (a1 , a2 ) no bastan para garantizar la existencia del l´ımite de f en (a1 , a2 ).
200 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
Proposici´ on 10.2 (Propiedades aritm´ eticas de los l´ımites). Sean f, g : lRn −→ lR dos funciones tales que a es un punto de acumulaci´ on del dominio de ambas y tales que l´ım f (x) = L1 y l´ım g(x) = L2 . x→a
x→a
Entonces, an´ alogamente a la Proposici´ on 9.1, se tiene: l´ım (f ± g)(x) = L1 ± L2 .
x→a
l´ım (f g)(x) = L1 L2 .
x→a
µ ¶ f L1 (x) = . x→a g L2
Si L2 6= 0, entonces: l´ım
Ejemplo 10.1. Hallar los l´ımites reiterados y radiales de la funci´on f (x, y) = cuando (x, y) → (0, 0). ¿Existe el l´ımite doble? Soluci´ on: Los l´ımites reiterados son µ ¶ x2 − y 2 l´ım l´ım = x→0 y→0 x2 + y 2 µ ¶ x2 − y 2 l´ım l´ım 2 = y→0 x→0 x + y 2
x2 −y 2 x2 +y 2
µ
¶ x2 − 02 l´ım =1 x→0 x2 + 02 µ 2 ¶ 0 − y2 l´ım = −1 y→0 02 + y 2
Los l´ımites radiales son l´ımites a lo largo de las l´ıneas y = kx: x2 − k 2 x2 1 − k2 = 2 2 2 x→0 x + k x 1 + k2
l´ım f (x, kx) = l´ım
x→0
Como los l´ımites reiterados son distintos, no puede existir el l´ımite doble. Esta conclusi´on tambi´en se podr´ıa haber deducido de los l´ımites radiales (que son todos distintos y dependen de k). Proposici´ on 10.3. Sean f , g : lRn → lR tales que |f (x) − L| ≤ |g(x) − L| en un entorno de x0 y l´ımx→x0 g(x) = L. Entonces l´ımx→x0 f (x) = L. A g(x) se le llama funci´ on mayorante de f (x). Ejemplo 10.2. Probar que x2 y + y 2 + x2 =1 y 2 + x2 (x,y)→(0,0) l´ım
10.4. Continuidad
201
Soluci´ on: Buscaremos una funci´on mayorante para acotar ¯ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ x y + y 2 + x2 ¯ ¯ x2 y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − 1¯ = ¯ 2 ¯ y 2 + x2 y + x2 ¯ Para ello, escribimos la u ´ltima expresi´on en polares. Es decir, haciendo el cambio x = r cos θ, y = r sen θ. Llegamos entonces a ¯ ¯ p ¯ ¯ ¯ r3 cos2 θ sen θ ¯ ¯ ¯ = r ¯cos2 θ sen θ¯ ≤ r = x2 + y 2 |f (x, y) − 1| = ¯ 2 → 0 ¯ 2 2 2 r sen θ + r cos θ (x,y)→(0,0) p Una funci´on mayorante es pues g(x, y) = x2 + y 2 +1 que tiende a 1 cuando (x, y) → (0, 0). Por lo que, aplicando la proposici´on 10.3, el l´ımite de f (x, y) es 1.
10.4.
Continuidad
Definici´ on 10.8. Sea f : lRn −→ lR una funci´ on cuyo dominio es A ⊂ lRn . Si a ∈ A, se dice que la funci´ on f es continua en a si l´ım f (x) = f (a).
x→a
Nota 10.3. N´otese que la igualdad anterior implica tres condiciones: la existencia del l´ımite de f en el punto a, la existencia de f (a) y la coincidencia de ambos. Usando la Proposici´on 10.2 es muy f´acil entender la siguiente proposici´on. Proposici´ on 10.4. Sean f, g dos funciones continuas en un punto a. Entonces las funciones f ± g y f g tambi´en son continuas en a. Adem´ as, si g(a) 6= 0, entonces la funci´ on fg tambi´en es continua en a. Obs´ervese que la definici´on de continuidad es esencialmente puntual: una funci´on es continua en un punto a si verifica una determinada condici´on en dicho punto. Necesitamos por tanto una definici´on m´as: on f es continua en cada punto de C, Definici´ on 10.9. Sea C ⊂ lRn . Si una funci´ entonces f se dice continua en C. Teorema 10.1. Sea C ⊂ lRn un conjunto cerrado y acotado, y sea f : lRn −→ lR una funci´ on continua en C. Entonces: 1.
f est´ a acotada en C, es decir, existe K ∈ lR tal que, para todo x ∈ C, |f (x)| ≤ K.
2.
f alcanza sus valores m´ aximo y m´ınimo en C, es decir, existen a, b ∈ C tales que, para todo x ∈ C, m = f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) = M.
202 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
10.5.
Derivada direccional y derivadas parciales
Definici´ on 10.10. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω → lR y a ∈ Ω. Se define la derivada direccional de f en el punto a seg´ un la direcci´ on u (con u ∈ lRn , u 6= 0, kuk = 1) como el siguiente l´ımite, cuando existe df f (a + hu) − f (a) (a) = Du f (a) = l´ım h→0 du h Proposici´ on 10.5. Para cada punto a y cada direcci´ on u se puede definir la siguiente funci´ on de una variable: φa,u (t) = f (a + tu). fu0 (a) =
Verific´ andose que
df du (a)
coincide con φ0a,u (0).
Ejemplo 10.3. Sea
(
f (x, y) =
x2 sen y+y 2 sen x x2 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)
0
Calcular la derivada direccional de f (x, y) en (0, 0) seg´ un la direcci´on u = (u1 , u2 ). Soluci´ on: df f (a + hu) − f (a) f (hu1 , hu2 ) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım h→0 h→0 du h h = l´ım
h→0
h2 u21 sen(hu2 )+h2 u22 sen(hu1 ) h2 u21 +h2 u22
h
−0
u2 u2 + u2 u21 1 u21 sen(hu2 ) + u22 sen(hu1 ) = 1 2 2 2 h→0 h u1 + u2 u1 + u22
= l´ım
Definici´ on 10.11. Si en la definici´ on anterior el vector u, adem´ as de ser unitario, coincide con el vector ei de la base can´ onica de lRn , dicha derivada se denomina ∂f derivada parcial respecto a la variable xi y se representar´ a por ∂x (a). i De la definici´on anterior y de la proposici´on 10.5 se deduce f´acilmente que si existe ∂f a como la derivada de: ∂xi (a) esta se calcular´ φa,ei (t) = f (a + tei ) = f (a1 , . . . , ai + t, . . . , an ) en t = 0. Dicho de otra manera, para hallar todas las dem´as variables constantes.
∂f ∂xi (a)
se derivar´a f respecto a xi dejando
Nota 10.4. Como consecuencia de la proposici´on 10.5 se verifican las siguientes igualdades ∂(f + g) ∂f ∂g (a) = (a) + (a) ∂xi ∂xi ∂xi ∂(f · g) ∂g ∂f (a) = f (a) (a) + g(a) (a) ∂xi ∂xi ∂xi
10.6. Diferenciabilidad y diferencial de una funci´ on de varias variables
Ejemplo 10.4. Sea f (x, y, z) = x2 y cos z − z sen x cos y. Calcular
203 ∂f ∂f ∂f ∂x , ∂y , ∂z .
Soluci´ on: ∂f (x, y, z) = ∂x ∂f (x, y, z) = ∂y ∂f (x, y, z) = ∂z
¢ ∂ ¡ 2 x y cos z − z sen x cos y = 2xy cos z − z cos x cos y ∂x ¢ ∂ ¡ 2 x y cos z − z sen x cos y = x2 cos z + z sen x sen y ∂y ¢ ∂ ¡ 2 x y cos z − z sen x cos y = −x2 y sen z − sen x cos y ∂z
Proposici´ on 10.6. La existencia de todas las derivadas direccionales de f en a respecto a los distintos vectores u no nulos, no es condici´ on necesaria ni suficiente para que f sea continua en a.
10.6.
Diferenciabilidad y diferencial de una funci´ on de varias variables
Vemos por tanto (proposici´on 10.6) que la existencia de todas las derivadas direccionales en un punto no implica necesariamente la continuidad en dicho punto. Por esta raz´on las derivadas direccionales constituyen una extensi´on poco satisfactoria del concepto de derivada unidimensional. Ello nos lleva a buscar una generalizaci´on m´as conveniente. En el caso unidimensional una funci´on f con derivada en a se puede aproximar por medio de un polinomio lineal (el polinomio de Taylor de grado 1) en las proximidades de a: f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h +
f 00 (ξ) 2 h = f (a) + f 0 (a)h + O(h)h 2!
(10.1)
En donde l´ımh→0 O(h) = 0. Si se despeja f 0 (a)h de la ecuaci´on (10.1) se obtiene: f 0 (a)h = f (a + h) − f (a) − O(h)h Lo cual indica que cuando h es suficientemente peque˜ no f 0 (a)h es una buena aproximaci´on de f (a + h) − f (a). Tomando l´ımites en la expresi´on anterior o en (10.1) se obtiene: f (a + h) − f (a) − f 0 (a)h =0 h→0 h l´ım
(10.2)
204 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
que, utilizando la notaci´on empleada para representar la diferencial de funciones de una variable, se convierte en: f (a + h) − f (a) − df (a; h) =0 h→0 h l´ım
(10.3)
A continuaci´on se va a generalizar la expresi´on 10.3 para definir la diferencial de una funci´on de varias variables. Definici´ on 10.12. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω → lR y a ∈ Ω. Se dice que f es on lineal T de lRn en lR tal que diferenciable en a si existe una aplicaci´ l´ım
h→0
f (a + h) − f (a) − T h =0 khk
(10.4)
Nota 10.5. Se dice que f es diferenciable en B ⊂ Ω si f es diferenciable en todo punto de B. Proposici´ on 10.7. Si f es diferenciable en a la aplicaci´ on T es u ´nica. Definici´ on 10.13. La u ´nica aplicaci´ on T que verifica (10.4) recibe el nombre de diferencial de f en el punto a. Se representa por df (a; ·), Df (a; ·) ´ o dfa (·). Proposici´ on 10.8. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω → lR y a ∈ Ω. Si f es diferenciable en a, entonces existen todas las derivadas direccionales de f en a. Adem´ as para cada u ∈ lRn , u 6= 0, kuk = 1, se tiene que df (a, u) =
df (a) du
Teorema 10.2. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω → lR y a ∈ Ω. Si f es diferenciable en a entonces f es continua en a. Definici´ on 10.14. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω → lR y a ∈ Ω. Si f es diferenciable en a, entonces como la diferencial de f en a, df (a; ·), es una aplicaci´ on lineal de lRn n en lR tendr´ a una expresi´ on matricial en la base can´ onica de lR . A la matriz fila de la aplicaci´ on se le denomina vector gradiente traspuesto de f y se representa por t (∇f (a)) t (10.5) df (a; h) = (∇f (a)) h Proposici´ on 10.9. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω ⊂ lRn → lR una funci´ on diferenciable en a ∈ Ω, y sea u = (u1 , u2 , ..., un ) ∈ lRn , u 6= 0, k u k= 1. Entonces n
X ∂f df (a) = ui (a) du ∂xi i=1
10.6. Diferenciabilidad y diferencial de una funci´ on de varias variables
205
Proposici´ on 10.10. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω ⊂ lRn → lR y a ∈ Ω. Si f es diferenciable en a, el vector gradiente viene dado por µ ¶t ∂f ∂f ∂f t (∇f (a)) = (a), (a), ..., (a) ∂x1 ∂x2 ∂xn Nota 10.6. Se tiene, pues, que el vector gradiente est´a definido en todos los puntos donde existen derivadas parciales, aunque la funci´on no sea diferenciable. Nota 10.7. Si la funci´on es diferenciable las derivadas parciales de f en a existen (la existencia de derivadas parciales es una condici´on necesaria de diferenciabilidad, aunque no suficiente). Nota 10.8. En muchas ocasiones ∇f (a) se denota por grad f (a). Nota 10.9. Si la funci´on es diferenciable existen todas las derivadas direccionales (la existencia de todas las derivadas direccionales es una condici´on necesaria de diferenciabilidad). Nota 10.10. A menudo, en los libros de f´ısica y qu´ımica, aparece la f´ormula (10.5) escrita en la forma n X ∂f df = dxi (10.6) ∂x i i=1 donde (h1 , h2 , ..., hn ) se ha sustituido por (dx1 , dx2 , ..., dxn ) y df (a; h) por df . De este modo df ser´ıa la derivada direccional en un punto cualquiera (x1 , x2 , ..., xn ) seg´ un una direcci´on cualquiera (dx1 , dx2 , ..., dxn ). Un ejemplo claro es la primera ley de la Termodin´amica para un gas que se puede expresar mediante la siguiente f´ormula dU =
∂U ∂U dS + dV ∂S ∂V
(10.7)
∂U con ∂U ıa interna de un sistema, U , es ∂S = T , ∂V = −P . Se considera que la energ´ funci´on de la entrop´ıa S y del volumen V , es decir U : lR2 → lR. Entonces, la derivada direccional de U en un punto (S, T ) a lo largo de la direcci´on (dS, dV ) viene dada por (10.7).
Nota 10.11. A partir de la expresi´on (10.4) se obtiene f (a + h) = f (a) + df (a; h) + O(k h k) k h k
(10.8)
que es una generalizaci´on al caso de varias variables de la expresi´on (10.1). Por lo tanto se puede decir que df (a; h) es una buena aproximaci´on de f (a + h) − f (a) para h de norma suficientemente peque˜ na. Esta u ´ltima observaci´on es la que motiva que en los libros de f´ısica y qu´ımica antes citados la diferencial de una funci´on en un punto a aparezca definida como “el incremento infinitesimal experimentado por f en a al incrementar las variables una cantidad infinitesimal (dx1 , dx2 , ..., dxn )”, definici´on imprecisa (no queda claro que es un “incremento infinitesimal de una variable”) e incorrecta (la diferencial no es el incremento sino la aplicaci´on lineal que produce el incremento).
206 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
Nota 10.12. Al igual que suced´ıa en el caso de una variable, en el caso de funciones de dos variables se le puede dar una interpretaci´on geom´etrica a la diferencial. Si se hace x = x1 , y = x2 , a = (x0 , y0 ) y h = (x − x0 , y − y0 ) se obtiene f (a) + df (a; h) = f (x0 , y0 ) +
∂f ∂f (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ) ∂x ∂y
que es la ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (x0 ,y0 , f (x0 , y0 )). En consecuencia se puede afirmar que la diferencial de una funci´on de dos variables, f , en un punto (x0 , y0 ) es (la aplicaci´on lineal representada por) la ecuaci´on del plano que pasa por el origen y es paralelo al plano tangente a la superficie z = f (x, y) en (x0 ,y0 , f (x0 , y0 )).
En la figura 10.1 se muestra un caso particular relacionado con la nota anterior: el plano tangente en el punto (0, 1/2, 31/4) a la superficie z = f (x, y) = −x2 − y 2 + 8, plano que tiene por ecuaci´on z = 33/4 − y. Como se puede comprobar f´acilmente la diferencial de f en (0, 1/2) es df ((0, 1/2); h) = −h2 . Esta aplicaci´on lineal se puede representar por el plano z = −y que es el plano paralelo a 33/4 − y pasando por el origen. Obs´ervese, por u ´ltimo, quepel plano tangente, 33/4−y, es una buena aproximaci´ on de f (0 + h1 , 1/2 + h2 ) para (h1 )2 + (h2 )2 suficientemente peque˜ no o, dicho de otra manera, es una buena aproximaci´on de f en un entorno suficientemente peque˜ no de (0, 1/2); y que la diferencial en (0, 1/2), z = −y, es una buena aproximaci´ o n de p f (0 + h1 , 1/2 + h2 ) − f (0, 1/2) para (h1 )2 + (h2 )2 suficientemente peque˜ no.
10 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 –8
–2 –3
–2
–1
0 0 y
1
2
2
x
3
Figura 10.1: Dibujo de la funci´on f (x, y) = −x2 − y 2 + 8 y su plano tangente en (0, 1/2, 31/4).
10.7. Condiciones suficientes de diferenciabilidad y continuidad
10.7.
207
Condiciones suficientes de diferenciabilidad y continuidad
Teorema 10.3. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω ⊂ lRn → lR y a ∈ Ω. Si existen las ∂f ∂f ∂f derivadas parciales de f , es decir, ∂x (x), ∂x (x), ..., ∂x (x) para todo x en un entorno 1 2 n de a y dichas derivadas parciales son continuas en a, entonces f es diferenciable en a. Nota 10.13. La continuidad de las derivadas parciales en un punto es condici´on suficiente de diferenciabilidad pero no es necesaria. Nota 10.14. Podemos resumir la relaci´on entre continuidad, diferenciabilidad, existencia de derivadas direccionales y existencia de derivadas parciales en el siguiente esquema: f continua en a f tiene derivadas parciales continuas en a
−→ f diferenciable en a
% & f posee en a todas las derivadas direccionales
donde todas las dem´as posibles implicaciones son falsas como mostramos en los siguientes ejemplos. Ejemplo 10.5. (funci´on con derivadas direccionales pero no continua). La funci´on ( 3 x y si y 6= 0 f (x, y) = 0 si y = 0 no es continua en (0, 0) ya que f (0, 0) = 0, pero los l´ımites direccionales a lo largo de y = kx3 son x3 1 l´ım f (x, kx3 ) = l´ım = 3 x→0 x→0 kx k En cambio, las derivadas direccionales en (0, 0) existen: df f ((0, 0) + t(u1 , u2 )) − f (0, 0) f (tu1 , tu2 ) − 0 (0, 0) = l´ım = l´ım t→0 t→0 du t t t3 u31 = 0 si u2 6= 0 t→0 t2 u2
= l´ım y, si u2 = 0,
df f ((0, 0) + t(u1 , 0)) − f (0, 0) df 0−0 (0, 0) = l´ım = (0, 0) = l´ım =0 t→0 t→0 du t du t
208 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
Ejemplo 10.6. (funci´on continua pero sin derivadas direccionales) f (x, y) = es una funci´on continua en (0, 0), ya que f (0, 0) = 0 =
l´ım
(x,y)→(0,0)
p
x2 + y 2
f (x, y)
En cambio, los l´ımites direccionales no existen ya que el l´ımite df f ((0, 0) + t(u1 , u2 )) − f (0, 0) f (tu1 , tu2 ) − 0 (0, 0) = l´ım = l´ım t→0 t→0 du t t p q q 2 2 2 2 t u1 + t u2 |t| = u21 + u22 l´ım = u21 + u22 l´ım signo(t) = l´ım t→0 t→0 t t→0 t no existe. Ejemplo 10.7. (funci´on no diferenciable pero con derivadas direccionales) La funci´on ( 2 3x y−2x3 si x 6= 0 x2 +y 4 f (x, y) = 0 si x = 0 tiene todas sus derivadas direccionales bien definidas en (0, 0). En efecto, si u1 6= 0 df f ((0, 0) + t(u1 , u2 )) − f (0, 0) f (tu1 , tu2 ) − 0 (0, 0) = l´ım = l´ım t→0 t→0 du t t = l´ım
t→0
3t3 u21 u2 −2t3 u31 t2 u21 +t4 u42
t
−0
= l´ım u21 t→0
3u2 − 2u1 = 3u2 − 2u1 u21 + t2 u42
y si u1 = 0, df f ((0, 0) + t(0, u2 )) − f (0, 0) 0−0 (0, 0) = l´ım = l´ım =0 t→0 t→0 du t t Notemos que a lo largo de la direcci´on (1, 0) la derivada direccional es −2. Por tanto, ∂f ∂x (0, 0) = −2. A lo largo de (0, 1) la derivada direccional se anula y por tanto ∂f on diferenciable, la diferencial ha de ser ∂y (0, 0) = 0. De ser la funci´ df ((0, 0); h) = −2h1 Veamos si la funci´on es diferenciable. Para ello, deber´ıa anularse el l´ımite f ((0, 0) + (h1 , h2 )) − f (0, 0) − (−2h1 ) 3h1 + 2h32 p p = l´ ım h h 1 2 h→0 h→0 h21 + h22 (h21 + h42 ) h21 + h22 l´ım
Calculemos l´ımites radiales a lo largo de h2 = kh1 (h1 > 0). Su valor es 3kh31 + 2h1 k 4 h41 3k 3k + 2k 4 h21 p √ =√ = l´ ım 2 2 4 2 2 4 2 4 2 h1 →0 (h + k h ) h + k h h1 →0 (1 + k h ) 1 + k 1 + k2 1 1 1 1 1 l´ım
que depende de k. El l´ımite no existe y la funci´on, por tanto, no es diferenciable.
10.7. Condiciones suficientes de diferenciabilidad y continuidad
209
Ejemplo 10.8. (funci´on diferenciable pero sin derivadas parciales continuas). Sea ( f (x, y) =
´ ³ 1 (x2 + y 2 ) sen x2 +y si (x, y) 6= (0, 0) 2 0 si (x, y) = (0, 0)
Las derivadas parciales de f son µ ¶ µ ¶ ∂f 1 2x 1 (x, y) = 2x sen − 2 cos si (x, y) 6= (0, 0) ∂x x2 + y 2 x + y2 x2 + y 2 µ ¶ µ ¶ 1 ∂f 2y 1 (x, y) = 2y sen − 2 cos si (x, y) 6= (0, 0) 2 2 2 2 ∂y x +y x +y x + y2 Las derivadas parciales en (x, y) = (0, 0) valen f (∆x, 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım ∆x→0 ∆x→0 ∂x ∆x µ l´ım ∆x l´ım sen
∆x→0
∆x→0
1 [∆x]2
[∆x]2 sen
ni
∂f ∂y
´ =
¶ =0
∂f f (0, ∆y) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım ∆y→0 ∆y→0 ∂y ∆y µ ¶ 1 l´ım ∆y l´ım sen =0 ∆y→0 ∆y→0 [∆y]2 ∂f ∂x
1 [∆x]2
∆x
[∆y]2 sen
Sin embargo, ni
³
³
1 [∆y]2
∆y
´ =
son continuas en (0, 0) pues
µ µ ¶ µ ¶¶ ∂f 1 1 1 2 1 1 l´ım (x, kx) = l´ım 2x sen − cos = 0− x→0 ∂x x→0 x2 1 + k 2 x 1 + k2 x2 1 + k 2 −
2 l´ım 1 + k 2 x→0
µ
1 cos x
µ
1 1 x2 1 + k 2
¶¶
que es oscilante (y no existe por tanto)2 . No obstante, f si es diferenciable en (0, 0): f (0 + h) − f (0) − df (0; h) khk f (∆x, ∆y) − f (0, 0) − 0∆x − 0∆y p l´ım ∆x→0 [∆x]2 + [∆y]2 ∆y→0 l´ım
h→0
2 Se
realiza u ´ nicamente la comprobaci´ on para
∂f , ∂x
= = 0
la comprobaci´ on para
∂f ∂y
es similar.
210 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
10.8.
Derivadas parciales de orden superior
Definici´ on 10.15. Sea Ω ⊂ lRn un abierto y f : Ω → lR. Si para cada x ∈ Ω existe ∂f on ∂xi (x), entonces se puede definir la funci´ ∂f ∂xi
:
Ω x
→ →
lR ∂f ∂xi (x)
Las derivadas parciales de estas funciones se denominan derivadas parciales de segundo orden. ∂2f ∂xj ∂xi
: Ω x
→
lR ,
→
∂2f ∂xj ∂xi (x)
(derivada parcial de f en x con respecto a xi y xj ) ³ ´ ∂f ∂ = ∂x ∂xi (x) j
Teorema 10.4 (Teorema de Schwarz). Sea Ω ⊂ lRn un abierto y f : Ω → lR.. Si 2 2 f f las funciones ∂x∂i ∂x y ∂x∂j ∂x son continuas en el punto a ∈ Ω, entonces j i ∂2f ∂2f (a) = (a) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Definici´ on 10.16. De forma an´ aloga a como se han definido las derivadas parciales de segundo orden, se pueden definir las derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden, etc. En general µ n−1 ¶ ∂ ∂nf ∂ f (x) = (x) ∂xk ∂xj ...∂xi ∂xk ∂xj ...∂xi Definici´ on 10.17. Sea Ω ⊂ lRn un abierto y f : Ω → lR. Se dice que f es una funci´ on de clase C 1 en Ω si existen las derivadas parciales de f de primer orden y son continuas en Ω (f ∈ C 1 (Ω, lR)). Definici´ on 10.18. Sea Ω ⊂ lRn un abierto y f : Ω → lR. Se dice que f es una ∂f ∈ C 1 (Ω, lR) funci´ on de clase C 2 en Ω y se representa por f ∈ C 2 (Ω, lR) si ∂x i (i = 1, 2, ..., n). Definici´ on 10.19. En general, si q ∈ lN, se dice que f es una funci´ on de clase C q ∂f q−1 q en Ω si ∂xi ∈ C (Ω, lR) (i = 1, 2, ..., n) y se representa por f ∈ C (Ω, lR).
10.9.
Derivadas direccionales de orden superior
Si una funci´on es diferenciable en un punto a, entonces n
X ∂f df ∂f ∂f ∂f (a) = ∇f (a) · u = (a)u1 + (a)u2 + ... + (a)un = (a)ui du ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂xi i=1
10.10. F´ ormula de Taylor y extremos de funciones de n variables
211
Si f es diferenciable en un abierto Ω ⊂ lRn puede hablarse de la funci´on derivada direccional de f en la direcci´on u df du
: Ω ⊂ lRn x
→ →
lR df du (x)
=
Pn
∂f i=1 ∂xi (x)ui
Esta funci´on a su vez, si es diferenciable en a puede derivarse nuevamente respecto a u en a µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n X n X X d2 f df ∂f ∂f d d ∂ (a) = (a) = (a)ui = (a)uj ui = du2 du du du ∂xi ∂xj ∂xi i=1 i=1 j=1 ¶ n X n µ X ∂2f (a)uj ui ∂xi ∂xj i=1 j=1 Teniendo en cuenta el teorema de Schwarz, la expresi´on anterior puede escribirse como à n !2 X d2 f ∂ (a) = f (a) ui du2 ∂xi i=1 En general, se cumple que dm f (a) = dum
10.10.
à n X
∂ ui ∂x i i=1
!m f (a)
F´ ormula de Taylor y extremos de funciones de n variables
Proposici´ on 10.11. Sea Ω ⊂ lRn un abierto, f : Ω → lR y a ∈ Ω. Sup´ ongase que f es diferenciable en a y que ∇f (a) 6= 0. Entonces ∇f (a) tiene la direcci´ on en la cual f crece m´ as r´ apidamente (la direcci´ on en la que la derivada direccional es m´ axima es la direcci´ on del gradiente). Nota 10.15. Si ∇f (a) = 0 la derivada direccional es nula en cualquier direcci´on u. Nota 10.16. La derivada direccional m´axima adem´as de tener la direcci´on del gradiente vale k∇f (a)k. Proposici´ on 10.12. Si f : Ω ⊂ lR2 → lR , ∇f es ortogonal a las curvas de nivel (f (x, y) = cte.). Si f : Ω ⊂ lR3 → lR , ∇f es ortogonal a las superficies de nivel (f (x, y, z) = cte.). En general, si f : Ω ⊂ lRn → lR, entonces ∇f es ortogonal a las variedades f (x) = cte.
212 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
F´ ormula de Taylor para funciones de n variables Proposici´ on 10.13. Siendo f una funci´ on de clase C m+1 (Ω, lR) para todo a ∈ Ω ⊂ lRn y para todo u ∈ lRn tal que a + tu ∈ Ω existe un n´ umero real θ ∈ (0, 1) tal que f (a+tu) = f (a)+
df 1 d2 f 1 dm f 1 d2 f (a)t+ (a)t2 +...+ (a)tm + (a+θu)tm+1 2 m du 2! du m! du (m + 1)! dum+1 (10.9)
Nota 10.17. La igualdad (10.9) recibe el nombre de F´ ormula de Taylor. Nota 10.18. El polinomio f (a) +
df 1 d2 f 1 dm f 2 (a)t + (a)t + ... + (a)tm du 2! du2 m! dum
recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado m de la funci´on f en el punto a en la direcci´on u. Tambi´en se llama desarrollo en serie de Taylor de orden m en el entorno de a en la direcci´on u. Desarrollo en serie de Taylor de orden 2 de funciones de n variables Proposici´ on 10.14. Sea f : Ω ⊂ lRn → lR tal que f ∈ C 3 (Ω, lR). Entonces f (a + tu) = f (a) + t
n X i=1
ui
n 1 X ∂f ∂2f (a) + t2 ui uj (a) + R3 (t, a) ∂xi 2 i,j=1 ∂xi ∂xj
3
1 d f 3 siendo R3 (t, a) = 3! du3 (a + θu)t = existe un C ∈ lR tal que
1 3!
³P
|R3 (t, a)| ≤ Ct3
n i=1
∂ ui ∂x i
´3
f (a + θu)t3 = O(t3 ); es decir,
para todo vector u
En el caso particular de f : Ω ⊂ lR2 → lR, tenemos · ¸ ∂f ∂f f (a + tu) = f (a) + u1 (a) + u2 (a) t ∂x1 ∂x2 · ¸ 2 1 2 ∂2f ∂2f 2∂ f + u1 2 (a) + 2u1 u2 (a) + u2 2 (a) t2 + R3 (t, a) 2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 o, en forma matricial, µ f (a + tu) = f (a) +
∂f ∂f (a) , (a) ∂x1 ∂x2
¶µ
u1 u2
¶ t+
10.10. F´ ormula de Taylor y extremos de funciones de n variables
1 (u1 , u2 ) 2
Ã
∂2f ∂x1 ∂x2 (a) ∂2f (a) ∂x22
∂2f (a) ∂x21 ∂2f ∂x1 ∂x2 (a)
!µ
u1 u2
213
¶ t2 + R3 (t, a) ≡
1 f (a) + ∇f (a)t ut+ ut Hf (a)ut2 + R3 (t, a) 2 donde Hf (a) es una matriz que recibe el nombre de matriz Hessiana de f en el punto a. En el caso f : Ω ⊂ lRn → lR, tenemos 1 f (a + tu) = f (a) + ∇f (a)t ut+ ut Hf (a)ut2 + R3 (t, a) 2 donde
µ
¶ ∂f ∂f ∂f (a) , (a), ....., (a) ∇f (a) = ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂2f 2 f (a) .. ∂x∂1 ∂x (a) ∂x21 n .. .. .. Hf (a) = . . . 2 2 ∂ f ∂ f (a) ... (a) 2 ∂xn ∂x1 ∂x n
N´otese que el vector tu se puede expresar en t´erminos de las componentes (x1 , . . . , xn ) de un punto de lRn en la direcci´on de u a partir de las relaciones x1 = tu1 + a1 , x2 = tu2 + a2 , . . . , xn = tun + an . Se puede entonces escribir 1 t f (x) = f (a) + ∇f (a)t (x − a) + (x − a) Hf (a) (x − a) + R3 (kx − ak , a). 2 En el caso n = 2 quedar´ıa
µ
¶µ ¶ ∂f ∂f x1 − a1 f (x1 , x2 ) = f (a1 , a2 ) + (a), (a) x2 − a2 ∂x1 ∂x2 à ∂2f !µ ¶ ∂2f ³ ´ (a) ¢ 1¡ x1 − a1 3 ∂x1 ∂x2 (a) ∂x21 x1 − a1 , x2 − a2 + + O kx − ak 2 2 ∂ f ∂ f x2 − a2 2 2 (a) ∂x ∂x (a) 2
1
∂x2
Extremos libres de funciones de n variables Definici´ on 10.20. Sea f : Ω ⊂ lRn → lR. Se dice que f alcanza un m´ aximo relativo (o m´ aximo local) en el punto a ∈ Ω si existe un entorno de a tal que en todo punto del mismo f (x) ≤ f (a)
214 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
Definici´ on 10.21. Sea f : Ω ⊂ lRn → lR. Se dice que f alcanza un m´ınimo relativo (o m´ınimo local) en el punto a ∈ Ω si existe un entorno de a tal que en todo punto del mismo f (x) ≥ f (a)
2 1.5 1 0.5 0 –1
–1 –0.5
–0.5 y
0
0
x
0.5
0.5 1
1
Figura 10.2: Geometr´ıa de un m´ınimo relativo.
0 –0.5 –1 –1.5 –2 –1
–1 –0.5
–0.5 y
0
0
x
0.5
0.5 1
1
Figura 10.3: Geometr´ıa de un m´aximo relativo. Definici´ on 10.22. Sea f : Ω ⊂ lRn → lR. Se dice que f es un punto de silla (o punto de ensilladura) en el punto a ∈ Ω si para todo entorno de a existen dos puntos x,y tales que f (x) > f (a) , f (y) < f (a) Teorema 10.5. (condici´ on necesaria de extremo) Si f : Ω ⊂ lRn → lR es diferenciable aximo o un m´ınimo) entonces en Ω y f alcanza en a ∈ Ω un extremo relativo (un m´ df (a; ·) = 0.
10.10. F´ ormula de Taylor y extremos de funciones de n variables
215
4
2
0
–2
–4 –2 –1 0 y
1 22
1
–1
0
–2
x
Figura 10.4: Geometr´ıa de un punto de ensilladura. Corolario 10.6. Si f es diferenciable en Ω ⊂ lRn y a ∈ Ω, una condici´ on necesaria para que f alcance un extremo en a es que ∂f ∂f (a) = ... = (a) = 0 ⇔ ∇f (a) = 0 ∂x1 ∂xn
(10.10)
Definici´ on 10.23. Los puntos que satisfacen las ecuaciones (10.10) reciben el nombre de puntos cr´ıticos de la funci´ on f . Tambi´en reciben el nombre de puntos cr´ıticos los puntos en los que la funci´ on no es diferenciable y los puntos de la frontera de Ω. ongase que a es un punto cr´ıtico Teorema 10.7. Sea a ∈ lRn y f ∈ C 3 (B(a, ε)). Sup´ de f . Se tiene entonces i) Si Hf (a) es definida positiva (ut Hf (a)u > 0 para todo u ∈ lRn ), f tiene en a un m´ınimo local. ii) Si Hf (a) es definida negativa (ut Hf (a)u < 0 para todo u ∈ lRn ), f tiene en a un m´ aximo local. iii) Si Hf (a) es indefinida (ut Hf (a)u < 0, vt Hf (a)v > 0 para algunos u, v ∈ lRn ), a es un punto silla. iv) Si Hf (a) es semidefinida positiva (ut Hf (a)u ≥ 0) o semidefinida negativa (ut Hf (a)u ≤ 0 ), no se puede afirmar nada y a es un punto dudoso. En el caso particular n = 2, el car´acter de Hf (a) se determina mediante su determinante: Sea a un punto cr´ıtico (es decir, ∇f (a) = 0) y H = det Hf (a). Entonces i) Si H > 0, f alcanza un extremo en a. Si local. Si
∂2f ∂x2 (a)
∂2f ∂x2 (a)
> 0 entonces f alcanza un m´ınimo
< 0 entonces f alcanza un m´aximo local.
ii) Si H < 0, no hay extremo y a es un punto de ensilladura.
216 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
iii) Si H = 0, a es un punto dudoso. Definici´ on 10.24. Sup´ ongase que f : Ω ⊂ lRn → lR. Se dice que f alcanza en a ∈ lRn un m´ aximo absoluto (o un m´ınimo absoluto) si f (x) ≥ f (a)
para todo x ∈ Ω
Teorema 10.8. Sea Ω cerrado y acotado en lRn y sea f : Ω → lRn continua. Entonces f alcanza valores m´ aximo absoluto y m´ınimo absoluto en algunos puntos a y b (no necesariamente u ´nicos) de Ω. El procedimiento para calcular los puntos de m´aximo absoluto o m´ınimo absoluto de una funci´on f en un dominio Ω = Ω + ∂Ω en el que f es diferenciable constar´ıa de los siguientes pasos: i) localizar los puntos cr´ıticos de f en Ω. ii) Calcular los puntos cr´ıticos de la restricci´on de f a ∂Ω. iii) a) Calcular el valor de f en todos los puntos cr´ıticos en que f alcance un m´aximo relativo y seleccionar el mayor. Este ser´ıa el m´aximo absoluto. b) Calcular el valor de f en todos los puntos cr´ıticos en que f alcance un m´ınimo relativo y seleccionar el menor. Este ser´ıa el m´ınimo absoluto. Ejemplo 10.9. Hallar los m´aximos relativos, m´ınimos relativos y puntos de silla de la funci´on f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 20 Soluci´ on: Hallamos en primer lugar los puntos cr´ıticos como soluciones de las ecua∂f ciones ∂f ∂x (x, y) = ∂y (x, y) = 0. Tendremos entonces ∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) ∂y
=
3x2 − 3 = 0 =⇒ x = ±1
=
3y 2 − 12 = 0 =⇒ y = ±2
Los puntos cr´ıticos son entonces (1, 2), (−1, 2), (1, −2), (−1, −2). Evaluamos a continuaci´on la matriz Hessiana y su determinante: µ ¶ 6x 0 Hf (x, y) = 0 6y det Hf (x, y)
=
36xy
Entonces, en (1, 2) se tiene det Hf (1, 2) = 72 > 0, m´ınimo relativo.
∂2f ∂x2 (1, 2)
= 6 > 0. En (1, 2) hay un
10.10. F´ ormula de Taylor y extremos de funciones de n variables
En (−1, 2) se tiene det Hf (−1, 2) = −72 < 0, un punto de ensilladura. En (1, −2) se tiene det Hf (1, −2) = −72 < 0, punto de ensilladura.
∂2f ∂x2 (−1, 2)
∂2f ∂x2 (1, −2)
En (−1, −2) se tiene det Hf (−1, −2) = 72 > 0, hay un m´aximo relativo.
217
= −6 < 0. En (−1, 2) hay
= 6 > 0. En (1, −2) hay un
∂2f ∂x2 (−1, −2)
= −6 > 0. En (−1, −2)
Ejemplo 10.10. Hallar los extremos relativos y absolutos de la funci´on f (x, y) = 2 2 ex −y en el disco x2 + y 2 ≤ 1. Soluci´ on: Hallamos en primer lugar los extremos relativos en el interior del dominio. Para ello buscamos los puntos cr´ıticos: ∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) ∂y
=
2xex
2
−y 2 2
= −2yex
= 0 =⇒ x = 0
−y 2
= 0 =⇒ y = 0
El u ´nico punto cr´ıtico es entonces el (0, 0). La matriz Hessiana es, en un punto gen´erico (x, y), ! Ã 2 2 2 2 (2 + 4x2 )ex −y −4xyex −y Hf (x, y) = 2 2 2 2 −4xyex −y (−2 + 4y 2 )ex −y Por tanto, det Hf (0, 0) = −4 < 0,
∂2f ∂x2 (0, 0)
= 2 > 0. En (0, 0) hay un punto de silla.
A continuaci´on estudiamos el comportamiento de la funci´on en el borde del dominio. El borde es el conjunto de puntos que satisfacen x2 +y 2 = 1 (es decir, la circunferencia unidad). Describamos tales puntos por sus coordenadas polares. Se tendr´a entonces x = cos θ, y = sen θ. La funci´on en polares y sobre la circunferencia unidad es f (x, y) = 2 2 f (cos θ, sen θ) = ecos θ−sen θ . Calculamos a continuaci´on los puntos cr´ıticos de esta funci´on de θ imponiendo 2 2 2 2 d cos2 θ−sen 2 θ e = −4 sen θ cos θecos θ−sen θ = −2 sen(2θ)ecos θ−sen θ = 0 dθ
Las soluciones de esta u ´ltima ecuaci´on son θ = 0, π, π2 , 3π aximos o 2 . Para ver si hay m´ m´ınimos relativos de la funci´on calculamos la segunda derivada: ¢ 2 2 d2 cos2 θ−sen 2 θ ¡ = −4 cos(2θ) + 4 sen 2 (2θ) ecos θ−sen θ 2e dθ Evaluando, se tiene que la derivada segunda vale −4 en θ = 0, π y vale 4 en θ = π2 , 3π 2 . Volviendo a las coordenadas cartesianas, eso significa que hay m´aximos relativos en los puntos (1, 0) y (−1, 0) y m´ınimos relativos en (0, 1) y (0, −1).
218 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
Podemos evaluar f (0, 0) = 1, f (±1, 0) = e, f (0, ±1) = e−1 . El m´aximo absoluto se alcanza en los puntos (±1, 0) y vale e mientras que el m´ınimo absoluto se alcanza en los puntos (0, ±1) y vale e−1 .
10.11.
Funciones vectoriales
Hasta ahora se ha trabajado con funciones definidas sobre lRn con valores en lR. Estas funciones no son m´as que un caso particular de las funciones definidas de lRn a lRm (funciones vectoriales). Ejemplo 10.11. f : lR2 → lR4 definida como µ ¶ µ ¶ x x →f = y y
xy x+y x−y x + y + xy
La funci´on f asocia a un punto de lR2 con coordenadas (x, y)t el punto de lR4 con coordenadas (xy, x + y, x − y, x + y + xy)t . En general, una funci´on de este tipo que llamaremos funci´on vectorial se representar´a por m funciones escalares de n variables cada una f1 (x1 , x2 , ..., xn ) f2 (x1 , x2 , ..., xn ) f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) = ... fm (x1 , x2 , ..., xn ) Todos los conceptos vistos para funciones de lRn → lR se extienden de forma natural a este tipo de funciones actuando componente a componente. 1) El vector
L1 L2 L= ... Ln
es el l´ımite de la funci´on f (x) cuando x → a si Li = l´ım fi (x1 , x2 , ..., xn ) x→a
i = 1, 2, ..., m
2) Se dir´a que f (x) es continua en el punto a cuando sean continuas en dicho punto todas las componentes fi (x) de f (x).
10.12. Diferencial de una funci´ on compuesta
219
3) La diferencial de una funci´on vectorial f : Ω ⊂ lRn → lRm en un punto a ser´a una aplicaci´on lineal de lRn en lRm (df (a; ·) : lRn → lRm ). Cada una de sus componentes dfi (a; ·) ser´a la diferencial de cada una de las componentes de f , fi . La matriz asociada a la diferencial ya dimensi´on m × n: ∂f ∂f1 1 (a) ∂x (a) 1 2 ∂x ∂f2 ∂f2 (a) ∂x2 (a) df (a; h) = ∂x1 ... ... ∂fm ∂fm (a) ∂x1 ∂x2 (a)
no ser´a una matriz fila sino una matriz de ... ... ... ...
h1 h2 ≡ [Df (a)] · h ... ... ∂fm hn ∂xn (a) ∂f1 ∂xn (a) ∂f2 ∂xn (a)
A la matriz [Df (a)] se le denomina matriz jacobiana de f en el punto a. Cuando n = m al determinante de la matriz jacobiana se le denomina jacobiano de f en a y se representa por Jf (a) = |Df (a)|. 4) Para que una funci´on f sea diferenciable es necesario y suficiente que lo sean cada una de sus componentes fi .
10.12.
Diferencial de una funci´ on compuesta
Teorema 10.9. (Regla de la cadena). Sean U y V dos subconjuntos abiertos de lRn y lRm respectivamente. Si las aplicaciones f : U → lRm y g : V → lRk son diferenciables en x0 ∈ U y f (x0 ) ∈ V respectivamente, entonces la aplicaci´ on h = g ◦ f : U → lRk es diferenciable en x0 y adem´ as dh(x0 ; ·) = dg(f (x0 ); ·) ◦ df (x0 ; ·) Nota 10.19. Expresi´on matricial: [Dh(x0 )] = [Dg(f (x0 ))] [Df (x0 )] y por tanto m
X ∂gi ∂fl ∂hi (x0 ) = (f (x0 )) (x0 ) ∂xj ∂yl ∂xj
i = 1, . . . , k j = 1, . . . , n
l=1
El caso n=1, m=2, k=1 (funci´ on de dos variables, dependientes cada una de ellas de un par´ ametro) Esquem´aticamente f
t
→
g
lR → lR2 → lR (x, y) = (f1 (t), f2 (t)) → g(x, y) = g(f1 (t), f2 (t))
220 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
y por tanto h(t) = g(f1 (t), f2 (t)) de donde se deduce dh ∂g df1 ∂g df2 (t0 ) = (f1 (t0 ), f2 (t0 )) (t0 ) + (f1 (t0 ), f2 (t0 )) (t0 ) dt ∂x dt ∂y dt 2
Ejemplo 10.12. Sea T (x, y) = exy la temperatura en los puntos (x, y) del plano y sea (x(t), y(t)) = (cos t, sen t) la trayectoria de una part´ıcula. Hallar dΦ dt (t), en donde Φ es la funci´on que describe la variaci´on de la temperatura en funci´on del tiempo. Soluci´ on: Lo hacemos usando la regla de la cadena: ∂T dx(t) ∂T dy(t) dΦ (t) = (x(t), y(t)) + (x(t), y(t)) dt ∂x dt ∂y dt = y 2 (t)ex(t)y
2
(t) dx(t)
dt
+ 2x(t)y(t)ex(t)y
2
(t) dy(t)
dt
= (− sen 3 t + 2 cos2 t sen t)ecos t sen
2
t
El caso n=2, m=2, k=1 (funci´ on de dos variables, dependiendo cada variable de dos par´ ametros) Esquem´aticamente f
(x, y) →
g
lR2 → lR2 → lR (u, v) = (f1 (x, y), f2 (x, y)) → g(u, v) = g(f1 (x, y), f2 (x, y)) ≡ h(x, y)
y por tanto µ ¶ ∂h ∂h (x, y), (x, y) = [Dh(x, y)] = [Dg(f1 (x, y), f2 (x, y))] [Df (x, y)] = ∂x ∂y µ
∂g ∂g (f1 (x, y), f2 (x, y)), (f1 (x, y), f2 (x, y)) ∂u ∂v
¶Ã
∂f1 ∂x (x, y) ∂f2 ∂x (x, y)
∂f1 ∂y (x, y) ∂f2 ∂y (x, y)
!
de donde se deduce ∂h (x, y) ∂x ∂h (x, y) ∂y
= =
∂g ∂f1 (f1 (x, y), f2 (x, y)) (x, y) + ∂u ∂x ∂g ∂f1 (f1 (x, y), f2 (x, y)) (x, y) + ∂u ∂y
∂g ∂f2 (f1 (x, y), f2 (x, y)) (x, y) ∂v ∂x ∂g ∂f2 (f1 (x, y), f2 (x, y)) (x, y) ∂v ∂y
10.13. Algunas aplicaciones a la ingenier´ıa
10.13.
221
Algunas aplicaciones a la ingenier´ıa
Las derivadas parciales de funciones de varias variables aparecen en numerosos contextos diferentes relacionados con las ciencias medioambientales. Habitualmente aparecen combinadas entre s´ı en forma de ecuaci´on. Por ejemplo, ∂C ∂2C ∂C ∂2C ∂2C +U = Dx 2 + Dy 2 + Dz 2 ∂t ∂x ∂x ∂y ∂z
(10.11)
es una ecuaci´on que involucra a las derivadas parciales de la funci´on de cuatro variables C(x, y, z, t) y a constantes U, Dx , Dy , Dz . A una ecuaci´on de este tipo se le denomina ecuaci´ on en derivadas parciales. Las relaciones del tipo (10.11) se deducen a partir de principios f´ısicos o qu´ımicos fundamentales y el problema consisten en hallar funciones C(x, y, z, t) que sustituidas en (10.11) hagan que la ecuaci´on se cumpla.
Transporte de contaminantes en la atm´ osfera La ecuaci´on (10.11) representa un modelo simplificado para la distribuci´on espacial y temporal de la concentraci´on de una sustancia contaminante y se deduce a partir de principios f´ısicos fundamentales. Para un (x, y, z) dado y para un tiempo t dado, C(x, y, z, t) es la concentraci´on de una cierta sustancia contaminante. El par´ametro U es la velocidad del viento que suponemos que sopla en la direcci´on del eje x. Los dem´as par´ametros dependen de la sustancia contaminante de que se trate. Si C(x, y, z, t) no depende del tiempo ( ∂C ∂t = 0 por tanto) y suponemos Dx = 0 (hay ciertas razones que permiten suponer esto) entonces (10.11) se reduce a U
∂C ∂2C ∂2C = Dy 2 + Dz 2 ∂x ∂y ∂z
y una soluci´on de (10.12) es la siguiente: # " (z−H)2 (z+H)2 y2 y2 −U −U Q 2 2Dy x + 2Dz x 2 2Dy x + 2Dz x p +e C(x, y, z) = e 2πx Dy Dz
(10.12)
(10.13)
con Q y H par´ametros arbitrarios. Esta funci´on representa la distribuci´on de la concentraci´on de humo que sale de una chimenea de altura H situada en (x, y) = (0, 0) que emite Q gramos de gas por unidad de tiempo. Verifiquemos que la expresi´on (10.13) satisface la relaci´on (10.12). Para ello calculamos todas las derivadas parciales de C que aparecen en (10.12): h i Q ∂C F1 (x,y,z) F2 (x,y,z) p (x, y, z) = − e + e ∂x 2πx2 Dy Dz
222 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
¶ ¸ y2 (z + H)2 F2 (x,y,z) e + + e 2Dy x2 2Dz x2 µ ¶h i ∂C yU (x, y, z) = G(x) − eF1 (x,y,z) + eF2 (x,y,z) ∂y 2Dy x "µ # ¶2 h i ∂2C yU U F1 (x,y,z) F2 (x,y,z) (x, y, z) = G(x) − − e + e ∂y 2 2Dy x 2Dy x ·µ ¶ µ ¶ ¸ U (z − L) F1 (x,y,z) ∂C U (z + L) F2 (x,y,z) (x, y, z) = G(x) − e + − e ∂z 2Dz x 2Dz x h i U ∂2C (x, y, z) = − G(x) eF1 (x,y,z) + eF2 (x,y,z) + 2 ∂z 2Dz x # "µ µ ¶2 ¶2 U (z + L) U (z − L) eF1 (x,y,z) + − eF2 (x,y,z) +G(x) − 2Dz x 2Dz x
U +G(x) 2
·µ
y2 (z − H)2 + 2Dy x2 2Dz x2
¶
µ
F1 (x,y,z)
en donde
Q p 2πx Dy Dz µ 2 ¶ µ 2 ¶ U y (z − H)2 U y (z + H)2 F1 (x, y, z) = − + , F2 (x, y, z) = − + 2 2Dy x 2Dz x 2 2Dy x 2Dz x G(x) =
Sustituyendo en (10.12) y simplificando se comprueba que se verifica la ecuaci´on. Con la f´ormula (10.13) podemos usar toda la teor´ıa desarrollada en este tema y empezar a responder cuestiones interesantes. Por ejemplo, ¿en qu´e puntos del plano xy es m´axima la concentraci´on de contaminante? Esto tiene aplicaciones pr´acticas importantes, ya que si habitualmente hay vientos de velocidad U en la regi´on entonces no es buena idea colocar un parque infantil en la zona donde la concentraci´on es m´axima y un ingeniero ambiental ha de saber d´onde est´an las zonas m´as contaminadas. La restricci´on de la funci´on al plano xy (z = 0) da una funci´on de las variables x e y: C(x, y) =
Q −U p e 2 πx Dy Dz
y2 H2 2Dy x + 2Dz x
Esta funci´on de dos variables es continua y diferenciable (por ser composici´on de funciones continuas y diferenciables) en todo punto excepto quiz´as en los puntos tales que x = 0. Busquemos los extremos de la funci´on en lR+ × lR. Primero los puntos cr´ıticos: (z−H)2 y2 −U ∂C Q 2 2Dy x + 2Dz x + (x, y) = − 2 p e ∂x πx Dy Dz µ ¶ U y2 (z−H)2 − 2 2Dy x + 2Dz x y2 H2 Q U + e + p =0 2 2 2Dz x πx Dy Dz 2 2Dy x
10.13. Algunas aplicaciones a la ingenier´ıa
∂C Q p (x, y) = ∂y πx Dy Dz
µ
yU − 2Dy x
223
¶ e
−U 2
y2 H2 2Dy x + 2Dz x
=0
De la segunda ecuaci´on deducimos que y = 0. De la primera, con y = 0, la relaci´on U H2 1 − =0 2 2Dz x2 x que lleva a x = H2 ( U4D , 0) z
U H2 4Dz .
Es f´acil (pero laborioso) calcular la Hessiana en el punto cr´ıtico 2
2
H y verificar que su determinante es positivo. Adem´as, ∂∂xC2 ( U4D , 0) < 0, lo z cual implica que en el punto cr´ıtico hay un m´aximo relativo. Concluimos entonces que la m´axima concentraci´on de contaminante tiene lugar en la direcci´on del viento H2 y a una distancia U4D de la chimenea. Esa m´axima concentraci´on es z
s Cm´ax
4Q = πeU H 2
Dz Dy
Notemos que disminuye de forma inversamente proporcional al cuadrado de la altura de la chimenea. Es por ello que las directivas medioambientales de muchos pa´ıses exigen chimeneas de emisi´on de gases contaminantes por encima de una cierta altura. Debemos se˜ nalar que el modelo analizado es demasiado simple en muchas circunstancias y, en la pr´actica de la ingenier´ıa ambiental, se suelen usar modelos m´as sofisticados pero que son variantes de ´este.
La derivada sustancial (o material) Imaginemos una part´ıcula que se mueve en el espacio siguiendo una curva definida en forma param´etrica por (x(t), y(t), z(t)), siendo t la variable temporal. En cada punto del espacio hay definida una temperatura T (x, y, z) (o cualquier otra funci´on de tres variables). La derivada sustancial de la temperatura ser´a la variaci´on de la temperatura que siente la part´ıcula por unidad de tiempo. Para calcular tal derivada uno debe hacer uso de la regla de la cadena para la derivaci´on de funciones vectoriales compuestas. La funci´on vectorial x que asigna a cada tiempo t la posici´on de la part´ıcula en el espacio es una funci´on de lR a lR3 . La funci´on T que asigna a cada punto del espacio una temperatura es una funci´on de lR3 a lR. La funci´on compuesta de x con T , τ = T ◦ x, es de lR a lR y asigna a cada tiempo la temperatura que siente la part´ıcula en ese momento. Para derivar esta funci´on con respecto al tiempo debemos usar la regla de la cadena y obtener as´ı dτ ∂T dx ∂T dy ∂T dz = + + = v·∇T dt ∂x dt ∂z dt ∂x dt siendo v = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) el vector velocidad de la part´ıcula en el instante t.
224 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
Si la temperatura en cada punto dependiera tambi´en del tiempo, es decir T = T (x, y, z, t), entonces podemos considerar τ = T ◦ x con T : lR4 → lR y x : lR → lR4 siendo x(t) = (t, x(t), y(t), z(t)). La regla de la cadena entonces implica la f´ormula dτ ∂T dt ∂T dx ∂T dy ∂T dz ∂T = + + + = + v·∇T . dt ∂t dt ∂x dt ∂z dt ∂x dt ∂t A menudo se denota a la funci´on compuesta (que es una temperatura dependiente del tiempo) tambi´en con la letra T , y entonces concluimos dT ∂T = + v·∇T . dt ∂t A dT dt se le llama derivada sustancial o material de T y su significado es el de la variaci´on de la temperatura (o concentraci´on, o lo que corresponda) con respecto al tiempo que siente la part´ıcula que se mueve con velocidad v en el instante t. Estas derivadas sustanciales aparecen en el modelado de fen´omenos de transporte y en mec´anica de fluidos.
10.14.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar los cap´ıtulos 10 y 11 de [43], los cap´ıtulos 13, 14, 15 y 16 de [37], el cap´ıtulo 11 de [8] y los cap´ıtulos 2 y 3 del tomo 2 de [25].
10.15. 1.
Ejercicios
Hallar el dominio de las siguientes funciones √ a) f (x, y) =arcsen( x2 ) + xy p √ b) f (x, y) = 1 − x2 + 1 − y 2 p c) f (x, y) = sen(x2 + y 2 ) d ) f (x, y) =
1 x−y
+
1 y
e) f (x, y) = ln(x2 + y) Soluci´ on: a) {(x, y) − 2 ≤ x ≤ 0, y ≤ 0} ∪ {(x, y) 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 0} b) {(x, y) − 1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1} © ª c) (x, y) ∃k ∈ Z : 2kπ ≤ x2 + y 2 ≤ 2(k + 1)π
10.15. Ejercicios
225
d ) {(x, y) x 6= y, y 6= 0} ª © (x, y) y > −x2 e) 2.
Trazar las curvas de nivel de las funciones: a) f (x, y) = x + y b) f (x, y) = x2 + y 2 c) f (x, y) =
y x2
Soluci´ on: a) Rectas de pendiente −1. b) Circunferencias de centro le origen. abolas de ecuaci´on y = kx2 . c) Par´ 3.
Calcular los l´ımites radiales y el l´ımite doble en (0, 0) de la funci´on f (x, y) =
x2 y x2 + y 2
Soluci´ on: l´ımites radiales: 0; l´ımite doble: 0 4.
π Hallar en (0, 0) los l´ımites reiterados y el l´ımite doble de f (x, y) = xy sen( x2 +y 2)
Soluci´ on: l´ımites reiterados: 0, l´ımite doble: 0 5.
Calcular
ln(1 + x2 + y 2 ) p l´ım x → 0 1 − 1 + x2 + y 2 y→0
Soluci´ on: -2 6.
Demostrar que
x2 −y 2 2 +2y 2 x (x,y)→(0,0)
l´ım
no existe mediante el c´alculo de los l´ımites
radiales y de los l´ımites reiterados. Soluci´ on: l´ımites radiales: 7.
(1−k2 ) 1+2k2 ,
Consid´erese la funci´on f (x, y) =
l´ımites reiterados - 21 y 1.
x3 −y 2 1−cos x+y .
Se pide
a) Calcular los l´ımites reiterados en (0, 0). b) Calcular los l´ımites radiales en (0, 0). c) Calcular los l´ımites direccionales seg´ un las curvas y = λxα con α > 0. d ) ¿Existe el l´ımite doble?
226 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
Soluci´ on: Los reiterados valen 0, los radiales valen 0, los direccionales valen 0 salvo en el caso en que α = 2 y λ = − 21 en que no existe. El l´ımite doble no existe. 8.
Si f : Ω ⊂ lRn → lR es diferenciable en Ω, probar que x → f 2 (x)+2f (x) tambi´en es diferenciable en Ω, y calcular su diferencial. Soluci´ on: a) Se demostrar´a en primer lugar que si f y g son diferenciables entonces f +g tambi´en lo es y su diferencial vale d(f + g)(x; ·) =df (x; ·) + dg(x; ·): h→0
l´ım
f (x+h)+g(x+h)−f (x)−g(x)−df (x;h)−dg(x;h) khk
l´ım
(f +g)(x+h)−(f +g)(x)−df (x;h)−dg(x;h) khk
h→0
=0⇔
= 0 ⇒ f + g es diferenciable Ssi.
d(f + g)(x; h) =df (x; h) + dg(x; h). ¤
b) En segundo lugar se comprobar´a que f y g son diferenciables entonces f g tambi´en lo es y su diferencial vale d(f g)(x; .) =g(x)df (x; ·) + f (x)dg(x; ·) h→0
l´ım
f (x+h)g(x+h)−f (x)g(x)−d(f g)(x;h) khk
l´ım
f (x)(g(x+h)−g(x))+g(x+h)(f (x+h)−f (x))−d(f g)(x;h) khk
h→0
=0⇔ =0⇔
g(x+h)−g(x) (x) + g(x) l´ım f (x+h)−f − l´ım d(f g)(x;h) =0⇔ khk khk khk h→0 h→0 h→0 (x;h)−d(f g)(x;h) l´ım f (x)df (x;h)+g(x)df = 0 ⇒ f g es diferenciable Ssi. khk h→0
f (x) l´ım
d(f g)(x; h) =f (x)dg(x; h)+g(x)df (x; h). ¤ Aplicando los dos resultados anteriores es evidente que x → f 2 (x)+2f (x) es diferenciable y su diferencial en el punto x es: 2(f (x)+1)df (x; ·). 9.
Probar que las siguientes funciones son diferenciables, y hallar sus diferenciales en un punto arbitrario a) f : lR2 → lR, f (x, y) = 2 b) f : lR2 → lR, f (x, y) = x + y c) f : lR2 → lR, f (x, y) = 2 + x + y d ) f : lR2 → lR, f (x, y) = x2 + y 2 e) f : lR2 → lR, f (x, y) = exy p © ª f ) f : U → lR, f (x, y) = 1 − x2 − y 2 , U = (x, y) x2 + y 2 < 1 g) f : lR2 → lR, f (x, y) = x4 − y 4 Soluci´ on: a) Si es diferenciable. df (x; h) =0h1 + 0h2 (dz = 0dx + 0dy).
10.15. Ejercicios
227
b) Si es diferenciable. df (x; h) =h1 + h2 (dz = dx + dy). c) Si es diferenciable. df (x; h) =h1 + h2 (dz = dx + dy). d ) Si es diferenciable. df (x; h) =2xh1 + 2yh2 (dz = 2xdx + 2ydy). e) Si es diferenciable. df (x; h) =yexy h1 + xexy h2 (dz = yexy dx + xexy dy). f ) Si es diferenciable. df (x; h) = − √ x2 2 h1 + − √ y 2 2 h2 (dz = − √
x dx 1−x2 −y 2
−√
1−x −y y dy). 1−x2 −y 2
1−x −y
g) Si es diferenciable. df (x; h) =4x3 h1 − 4y 3 h2 (dz = 4x3 dx − 4y 3 dy). Nota: entre par´entesis aparece otra forma de representar el resultado, en donde z = f (x, y), dz = df (x; h), dx = h1 y dy = h2 . 10.
Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en (0,0) de las siguiente funci´on de dos variables. ( √ xy si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) Soluci´ on: Es continua.
11.
∂f ∂x (0, 0)
= 0.
∂f ∂y (0, 0)
= 0. No es diferenciable.
Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en (0,0) de las siguiente funci´on de dos variables. f (x, y) = |x| + |y| Soluci´ on: Es continua. No existen las derivadas parciales en el origen. No es diferenciable.
12.
Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en (0,0) de las siguiente funci´on de dos variables. ( xy 2 si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 4 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) Soluci´ on: No es continua.
13.
∂f ∂x (0, 0)
= 0.
∂f ∂y (0, 0)
= 0. No es diferenciable.
Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en (0,0) de las siguiente funci´on de dos variables. ½ 1 si (x, y) 6= (0, 0) xy sen( x2 +y 2) f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0)
228 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
Soluci´ on: Es continua. ∂f ∂x (0, 0) = 0. = 0h1 + 0h2 = 0. 14.
∂f ∂y (0, 0)
= 0. Es diferenciable en (0,0): df ((0, 0); h)
Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la siguiente funci´on de lR2 en lR3 , ex+y sen(x − y) si x 6= 0 1 2 ) x sen( x f (x, y) = ey sen(−y) si x = 0 0 Soluci´ on: La funci´on es diferenciable en el origen. df1 ((0, 0); h) df ((0, 0); h) = df2 ((0, 0); h) = df3 ((0, 0); h)
1 = 1 0 15.
∂f1 ∂x (0, 0) ∂f2 ∂x (0, 0) ∂f3 ∂x (0, 0)
∂f1 ∂y (0, 0) ∂f2 ∂y (0, 0) ∂f3 ∂y (0, 0)
µ
h1 h2
¶
µ ¶ 1 h1 −1 h2 0
Determinar la ecuaci´on impl´ıcita del plano tangente a la superficie f (x, y) =
ex x2 + y 2
en el punto (1,2). Soluci´ on: z = 16.
e 5
+
3e 25 (x
− 1) +
4e 25 (y
− 2).
Determinar el plano tangente al cono z 2 = x2 + y 2 en el punto donde x = 3, y = 4 y z > 0. Soluci´ on: z = 25 + 6(x − 3) + 8(y − 4).
17.
Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie S dada por x2 y+y 2 z+z 2 x = 5 en el punto (1, −1, 2). Soluci´ on: 2x − 3y + 5z = 0.
18.
Obtener la expresi´on de las siguientes derivadas parciales o totales utilizando la regla de la cadena. a) ∂h/∂x, donde h(x, y) = f (x, u(x, y)).
10.15. Ejercicios
229
b) dh/dx, donde h(x) = f (x, u(x), v(x)). c) ∂h/∂x, donde h(x, y, z) = f (u(x, y, z), v(x, y), w(x)). Soluci´ on:
19.
a)
∂h ∂x
=
b)
dh dx
=
c)
∂h ∂x
=
∂f ∂x ∂x ∂x ∂f dx ∂x dx ∂f ∂u ∂u ∂x
+ + +
∂f ∂u ∂f ∂f ∂u ∂u ∂x = ∂x + ∂u ∂x ∂f du ∂f dv ∂f ∂f du ∂u dx + ∂v dx = ∂x + ∂u dx ∂f ∂v ∂f dw ∂v ∂x + ∂w dx
+
∂f dv ∂v dx
Un cilindro circular recto var´ıa de tal manera que su radio r crece a la tasa de 3 cm/min y su altura h decrece a la tasa de 5 cm/min. ¿A qu´e tasa var´ıa el volumen con respecto al tiempo cuando el radio es de 10cm y la altura de 8cm? Soluci´ on: ≈ 62,8 cm3 /min. 2
20.
2 Sea w(x, y, z) = 4x + y 2 + z 3 , donde x(r, s) = ers , y = ln r+s t y z = rst , hallar ∂w . ∂s ∂w 2 2 3 2 6 (r, s) = 8rsers + r+s Soluci´ on: ln r+s t + 3r s t . ∂s
21.
Sea v = v(x, y). Si se verifica que x = eθ e y = eϕ , transformar la expresi´on E = e2θ
2 ∂2v ∂v ∂v 2ϕ ∂ v (x, y) + e (x, y) + eθ (x, y) + eϕ (x, y) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
de forma que u ´nicamente aparezcan derivadas parciales respecto de θ y ϕ. Soluci´ on: E = 22.
∂2v ∂2v 2 (θ, φ) + ∂ϕ2 (θ, φ) ∂θ
Cambiar las variables u y v en la expresi´on µ 2 ¶ ∂ ϕ ∂ϕ E = cos u (u, v) − (u, v) ∂u∂v ∂u por las variables x e y mediante las ecuaciones de cambio: x=
ev ; y = ev tgu cos u
Soluci´ on: µ E = xy
¶ ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ (x, y) + (x, y) + (x2 + y 2 ) (x, y) 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y
230 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
23.
Sean f : lR3 → lR y g : lR3 → lR diferenciables. Probar que: ∇(f g) = f ∇g + g∇f
24.
Siendo f (x, y) = x3 + 6x3 y + 2xy 5 y x = 1 + t2 e y = t3 − 2t + 1 calcular Soluci´ on: -32
25.
µ
t2 + 1 Siendo g(t) = 3 t − 2t + 1 jacobiana [Dg(0, 0)].
¶ y siendo t = x4 +6x3 y +2xy 5 . Calcular la matriz
Soluci´ on:
µ [Dg(0, 0)] = µ
26.
Siendo f (x, y) =
x2 + y xy
¶
0 0 0 0
¶ , calcular el jacobiano de (f ◦ f ◦ f ) en (1, 2).
Soluci´ on:
µ D(f ◦ f ◦ f )(1, 2) =
27.
df dt (0)
318 159 194 97
¶ , Jf ◦f ◦f (1, 2) = 0
¿D´onde falla el siguiente razonamiento? Sup´ongase que w = f (x, y) e y = x2 . Por la regla de la cadena, ∂w ∂w dx ∂w dy ∂w ∂w = + = + 2x ∂x ∂x dx ∂y dx ∂x ∂y
(10.14)
por lo tanto 0 = 2x ∂w ı ∂w ∂y , y as´ ∂y = 0. Dar un ejemplo claro en el que se ponga de manifiesto que esto es incorrecto. Soluci´ on: sup´ongase la funci´on w = f (x, y) = x + y, en este caso ∂w ∂y = 1 6= 0. El razonamiento falla por un abuso de notaci´on que lleva a considerar que el ∂w ∂x que est´a a la izquierda de la igualdad (10.14) es igual al ∂w a a la de∂x que est´ recha (siendo falso). Si se plantea correctamente el problema: w(x) = f (u, v) = f (u(x), v(x)) con u(x) = x y v(x) = x2 , dw ∂f du ∂f dv ∂f ∂f (x) = (u, v) (x) + (u, v) (x) = (x) + 2x (x) dx ∂u dx ∂v dx ∂u ∂v con lo que: ∂f 1 (x) = ∂v 2x
µ
¶ dw ∂f (x) − (x) dx ∂u
que utilizando la notaci´on del enunciado (incorrecta) se convertir´ıa en: µ ¶ ∂w 1 dw ∂w = − ∂y 2x dx ∂x que evidentemente no es siempre 0 porque
dw dx
6=
∂w ∂x .
10.15. Ejercicios
28.
231
Sup´ongase que un pato est´a nadando en el c´ırculo x = cos t, y = sen t y que la temperatura del agua est´a dada por la f´ormula T = x2 ey − xy 3 . Hallar dT /dt, la tasa de cambio instant´anea de temperatura que puede sentir el pato. Soluci´ on: dT (t) = −2 cos t sen t(esen t ) + sen4 t + cos3 t(esen t ) − 3 cos2 tsen2 t dt
29.
Sup´ongase que la temperatura en el punto (x, y, z) en el espacio es T (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Dada una part´ıcula que viaja por la h´elice circular recta σ(t) = (cos t, sen t, t) y sea T (t) su temperatura en el tiempo t. Calcular T 0 (t). Soluci´ on: T 0 (t) = 2t
30.
La altura h del volc´an hawaiano Mauna Loa se describe (aproximadamente) mediante la funci´on h(x, y) = 2,59 − 0,024y 2 − 0,065x2 donde h es la altura sobre el nivel del mar en millas y x e y miden distancias este - oeste y norte sur, respectivamente, en millas, a partir de la cima de la monta˜ na. En el punto (x, y) = (−2, 4) : a) ¿Con qu´e rapidez se incrementa la altura en la direcci´on (1, 1) (esto es, hacia el nordeste)? Expresar la respuesta en millas de altura por milla de distancia recorrida. b) ¿En qu´e direcci´on se sube m´as r´apidamente? Soluci´ on: dh (−2, 4) = a) u = √12 (1, 1); du
√1 2
√ (−0,13(−2), −0,048(4)) = 0,034 2 t
t
b) ∇h(−2, 4) = (−0,13(−2), −0,048(4)) = (0,26, −0,192) 31.
Sup´ongase que f es una funci´on diferenciable de una variable y que una funci´on u = g(x, y) est´a definida por µ ¶ x+y u = g(x, y) = xyf xy Demu´estrese que u satisface una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales de la forma ∂u ∂u x2 (x, y) − y 2 (x, y) = G(x, y)u(x, y) ∂x ∂y determinando la expresi´on de G(x, y). Soluci´ on: G(x, y) = x − y
232 Cap´ıtulo 10. L´ımites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables
32.
Hallar todos los puntos cr´ıticos de f (x, y) = 8x3 − 24xy + y 3 e indicar para cada uno de ellos si es un m´aximo relativo, un m´ınimo relativo, un punto silla o un punto dudoso. Soluci´ on:los puntos cr´ıticos son (0, 0) y (2, 4). El punto (0, 0) es un punto de ensilladura, el (2, 4) es un m´ınimo relativo.
33.
Hallar todos los extremos relativos y puntos de ensilladura de f (x, y) = x2 y 4 . Soluci´ on: los puntos del eje y y los del eje x son todos cr´ıticos. Si se analiza el Hessiano de f para los puntos de los ejes se concluye que son todos dudosos. Esta duda se puede resolver si se tiene en cuenta que para todo punto perteneciente a los ejes coordenados f (x, y) = 0 y f (x, y) = x2 y 4 > 0 cuando x 6= 0 e y 6= 0 por lo tanto todos los puntos cr´ıticos son m´ınimos relativos.
34.
Determinar los extremos absolutos de la funci´on f (x, y) = ex x2 + y 2 ≤ 0.
2
−y 2
en el disco
Soluci´ on: El m´aximo absoluto de la funci´on f en el disco es e y se alcanza en los puntos (1, 0) y (−1, 0). El m´ınimo absoluto de f en el disco es e−1 y se alcanza en los puntos (0, 1) y (0, −1). 35.
Dada la funci´on f (x, y) = (y 2 − 1) sen(x) determinar los puntos cr´ıticos pertenecientes al dominio n o π D = (x, y) ∈ lR2 0 ≤ x ≤ , −1 ≤ y ≤ 1 2 y el tipo de punto cr´ıtico que es cada uno. Soluci´ on: (0, −1) : punto de silla, (0, 1) : punto de silla y ( π2 , 0) : m´ınimo relativo de valor f ( π2 , 0).
Cap´ıtulo 11
Integraci´ on de funciones de una variable 11.1.
Introducci´ on
La integraci´on es una operaci´on sobre funciones que proporciona una “suma continua” de todos los valores de la funci´on en un intervalo. Existen numerosos ejemplos de la integraci´on a la resoluci´on de problemas f´ısicos y t´ecnicos, algunos de ellos son:
La distancia recorrida por un objeto que se desplaza seg´ un una recta es la integral de la velocidad respecto del tiempo (se generaliza la f´ormula espacio= velocidad × tiempo, que es v´alida cuando la velocidad es constante). El volumen de un cable de secci´on variable se obtiene integrando el ´area de la secci´on a lo largo de la longitud del cable. La energ´ıa el´ectrica consumida en una casa a lo largo de un d´ıa se obtiene integrando la funci´on de potencia utilizada a lo largo del d´ıa.
En este cap´ıtulo se recuerdan los aspectos b´asicos de la integraci´on de funciones de una variable con vistas a preparar el estudio de la integraci´on de funciones de varias variables. 233
234
11.2.
Cap´ıtulo 11. Integraci´ on de funciones de una variable
Primitivas (o antiderivadas)
Definici´ on 11.1. La primitiva de una funci´ on f es otra funci´ on cuya derivada es f . Ejemplo 11.1. Sea f (x) = 2x + 3. Entonces la funci´on x2 + 3x es una primitiva de f. Nota 11.1. La funci´on x2 +3x no es la u ´nica posible soluci´on del problema planteado en el ejemplo anterior. Tambi´en lo son las funciones x2 + 3x + 1, x2 + 3x + 2, etc. Como la derivada de una constante es cero, las funciones de la forma x2 + 3x + C son todas ellas primitivas de f . En general, si F es una primitiva de f , tambi´en lo es cualquier funci´on de la forma F + C con C ∈ lR. Se puede conseguir que el problema de hallar la primitiva de una funci´on dada tenga soluci´on u ´nica imponiendo alguna condici´on adicional sobre la primitiva, por ejemplo alguna condici´on del tipo F (a) = b. Ejemplo 11.2. La velocidad de una part´ıcula que sigue una trayectoria recta es v(t) = 3t + 5 m/s. En el instante t = 1s la part´ıcula est´a en la posici´on x = 4m (x(1) = 4). Determinar la posici´on de la part´ıcula en t = 10s (x(10)). Soluci´ on: Como
dx(t) dt se tiene que x(t) es una primitiva de v(t), por tanto x(t) = 32 t2 +5t+C. Como sabemos que x(1) = 4, se sigue que C = − 52 , y x(t) = 32 t2 + 5t − 52 , y, por tanto, x(10) = 197,5 metros. v(t) =
11.3.
Integral de Riemann de funciones de una variable
En el caso de funciones de una variable se define la integral de Riemann (o integral definida) sobre un intervalo [a, b] como el ´area que encierra la funci´on a integrar entre su gr´afica y el eje de abscisas en el intervalo [a, b], y consideramos como ´area “positiva” la que se encierra por encima de dicho eje y como ´area “negativa” la que se encierra ´ por debajo de ´el. Esta es una definici´on bastante intuitiva pero poco rigurosa. Para dar una definici´on m´as precisa introducimos previamente los siguientes conceptos: Sea f : [a, b] −→ lR. Consideremos los puntos a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. Entonces al conjunto P = {a = x0 , x1 , . . . , xn−1 , xn = b} se le denomina una partici´on
11.3. Integral de Riemann de funciones de una variable
235
Sn de [a, b] (N´otese que [a, b] = k=1 [xk−1 , xk ] y que los intervalos (xk−1 , xk ) son dos a dos disjuntos). Para todo k ∈ {1, . . . , n}, definamos Mk =
sup
{f (x)} y mk =
x∈(xk−1 ,xk )
inf
x∈(xk−1 ,xk )
{f (x)}.
Definamos ahora las denominadas suma superior y suma inferior de Riemann mediante U (f, P ) =
n X
Mk ∆xk y L(f, P ) =
k=1
n X
mk ∆xk
k=1
donde ∆xk = xk − xk−1 . Gr´aficamente (figuras 11.1 y 11.2) se aprecia que estas sumas representan una aproximaci´on por exceso o por defecto, respectivamente, del ´area que encierra la funci´on. Es f´acil ver que si se van haciendo particiones cada vez m´as finas, esto es, con m´as puntos y por tanto con intervalos cada vez m´as peque˜ nos, las sumas superiores de Riemann van decreciendo y las sumas inferiores van creciendo (figuras 11.1 y 11.2). 40
40
30
30
20
20
10
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
2
0.2
x
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
40
30
20
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
Figura 11.1: Aproximaciones cada vez m´as finas a la integral de Riemann mediante sumas superiores. Definici´ on 11.2. Sea f : [a, b] −→ lR. Se define la integral superior de f en [a, b] como inf U (f, P ), P
236
Cap´ıtulo 11. Integraci´ on de funciones de una variable
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
2
0.2
x
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
40
30
20
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.4
1.2
1.6
1.8
2
x
Figura 11.2: Aproximaciones cada vez m´as finas a la integral de Riemann mediante sumas inferiores. y se representa mediante
Z
b
f (x)dx. a
Se define la integral inferior de f en [a, b] como sup L(f, P ), P
y se representa mediante
Z
b
f (x)dx. a
Se dice que f es integrable en [a, b] si Z
Z
b
b
f (x)dx = a
f (x)dx. a
En ese caso, a ese valor com´ un se le denomina integral de f en [a, b], y se representa mediante Z b Z b f (x)dx. f, ´ o a
a
11.4. El teorema fundamental del c´ alculo
237
Proposici´ on 11.1 (Condici´ on de Riemann). Sea f : [a, b] −→ lR. f es integrable en [a, b] si y s´ olo si para todo ² > 0 existe δ > 0 tal que, si P es una partici´ on tal que todos los intervalos tienen longitud xk − xk−1 < δ, entonces U (f, P ) − L(f, P ) < ². Definici´ on 11.3. Un subconjunto A ⊂ lR tiene medida nula si para todo ² > 0 existe un recubrimiento {Si }i∈I de A por intervalos cerrados tal que la suma de las longitudes de los intervalos Si sea menor que ². No es dif´ıcil ver que si A es finito o numerable, entonces A tiene medida nula (recordamos que un conjunto es numerable si se pueden ordenar sus elementos formando una sucesi´ on). Teorema 11.1. (Criterio de Lebesgue para la existencia de la integral de Riemann). Sea f : [a, b] −→ lR. Si f es continua salvo en un conjunto de medida nula, entonces f es integrable.
Propiedades de la integral definida Z
a
1.
f (x)dx = 0. a
Z
Z
b
f (x)dx = −
2. a
a
f (x)dx. b
Z 3.
Si a < b < c entonces
Z
c
f (x)dx = a
11.4.
Z
b
c
f (x)dx + a
f (x)dx. b
El teorema fundamental del c´ alculo
Teorema 11.2. Sea f : [a, b] −→ lR integrable y definamos Z t F (t) = f (x)dx. a
Entonces, F es continua en [a, b] y si f es continua en c ∈ [a, b], se tiene que F es derivable en c y F 0 (c) = f (c). Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que la funci´on F es una primitiva de f , y como toda primitiva de f se diferencia respecto de f en una constante: Z Z t f (x)dx + Cte = F (t) + Cte. f (t)dt = a
238
Cap´ıtulo 11. Integraci´ on de funciones de una variable
A partir de la igualdad anterior es f´acil demostrar el siguiente teorema: Teorema 11.3. Sea f : [a, b] −→ lR integrable en [a, b], entonces: Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a). a
Este u ´ltimo teorema se conoce como teorema fundamental del c´alculo, f´ormula de Newton - Leibniz o regla de Barrow.
11.5.
Repaso de reglas b´ asicas de integraci´ on
11.5.1.
Integrales inmediatas
Z
Z (f (x) + g(x))dx =
Z f (x)dx +
g(x)dx
Z Si a es una constante, Z Si n 6= −1,
xn dx =
Z
Z af (x)dx = a
xn+1 + cte n+1
(cn xn + · · · + c1 x + c0 )dx = Z Z
cn n+1 c1 x + · · · + x2 + c0 x + cte n+1 2
1 dx = ln |x| + cte x ex dx = ex + cte
Z ax dx = Z
ax + cte, ln a
(0 < a = 6 1)
sen xdx = − cos x + cte Z cos x = sen x + cte Z tan xdx = − ln | cos x| + cte Z
f (x)dx
1 dx = arctan x + cte 1 + x2
11.5. Repaso de reglas b´ asicas de integraci´ on
Z √
239
1 dx = arcsen x + cte 1 − x2
Z 1 − √ dx = arc cos x + cte 1 − x2
11.5.2.
Cambio de variable
El m´etodo de integraci´on mediante cambio de variable (o por sustituci´on) se basa en la regla de la cadena: (F (g(x)))0 = F 0 (g(x))g 0 (x) y por tanto
Z F 0 (g(x))g 0 (x)dx = F (g(x)) + cte
Es c´omodo introducir una variable intermedia (de donde viene el nombre de cambio de variable) u = g(x) Z F 0 (u)
du dx = F (u) + cte dx
Si a F 0 (u) se le llama f (u) y se hace Z f (u)du = F (u) + cte se tiene
Z
du f (u) dx = dx
Z f (u)du.
Esta f´ormula es f´acil de recordar si uno piensa que se “cancelan” las dx. Cuando la funci´on a integrar es complicada no es f´acil encontrar el cambio de variable adecuado (si es que hay alguno). Se puede seguir el siguiente algoritmo para ensayar un cambio determinado. R Dada una integral h(x)dx, para resolverla mediante un cambio de variable 1.
Se elige una nueva variable u = g(x).
240
Cap´ıtulo 11. Integraci´ on de funciones de una variable du dx
= g 0 (x) y se “despeja” dx; dx =
du g 0 (x) .
2.
Se obtiene
3.
Se reemplaza dx en el integrando por la expresi´on encontrada en 2.
4. 5.
Se intenta expresar el integrando u ´nicamente en t´erminos de u (eliminando x) (si no se puede, ensayar otro cambio u otro m´etodo de integraci´on). R Resolver la nueva integral f (u)du.
6.
Expresar el resultado en t´erminos de x.
7.
Comprobar el resultado derivando.
Ejemplo 11.3. Calcular la integral Z x2 + 2x √ I= dx. 3 x3 + 3x2 + 1 Soluci´ on: Hacemos el cambio de variable
u = x3 + 3x2 + 1 y entonces du du = 3x2 + 6x y por tanto dx = 2 dx 3x + 6x As´ı pues, Z Z 31 2 1p 1 x2 + 2x 1 1 √ √ du = I= du = u 3 + cte = 3 (x3 + 3x2 + 1)2 + cte. 3 3 2 3 23 2 u 3x + 6x u Nota 11.2. Si se utiliza el cambio de variable u = g(x) para resolver la integral Rb definida a h(x)dx hay que modificar los l´ımites como se indica a continuaci´on: Z
Z
b
g(b)
h(x)dx = a
11.5.3.
f (u)du, donde h(x) = f (u) g(a)
du dx
Integraci´ on por partes
Se basa en la derivaci´on de un producto de funciones: (F (x)G(x))0 = (F G)0 (x) = F 0 (x)G(x) + F (x)G0 (x)
11.5. Repaso de reglas b´ asicas de integraci´ on
241
es decir, F (x)G(x) es una primitiva de F 0 (x)G(x) + F (x)G0 (x), y por tanto, Z (F 0 (x)G(x) + F (x)G0 (x))dx = F (x)G(x) + cte de donde se sigue que Z Z F (x)G0 (x)dx = F (x)G(x) − F 0 (x)G(x)dx + cte. La constante se puede agrupar con la constante de finalmente Z
R
F 0 (x)G(x)dx y entonces se tiene
Z 0
F (x)G (x)dx = F (x)G(x) −
F 0 (x)G(x)dx.
(11.1)
Nota 11.3. Si se hace u = F (x) y v = G(x), la expresi´on 11.1 se convierte en Z Z dv dv u dx = uv − v dx, dx dx es decir, Z
Z udv = uv −
vdu.
(11.2)
Nota 11.4. Cuando se utiliza la integraci´on por partes, para integrar una funci´on h hay que escribir h(x) como F (x)G0 (x) en donde G0 (x) es una funci´on de la cual 0 se conoce como R calcular su primitiva. Con una buena elecci´ R on de F (x) y G (x) se consigue que F 0 (x)G(x)dx sea m´as f´acil de integrar que F (x)G0 (x)dx. Ejemplo 11.4. Calcular la siguiente integral Z x2 ex dx Soluci´ on: Utilizamos la estrategia de integraci´on por partes para eliminar el factor polin´omico (x2 ) mediante derivaci´on. M´as precisamente, hacemos en primer lugar u = x2 , dv = ex dx de modo que v = ex . Se tiene Z Z 2 x 2 x x e dx = x e − 2xex dx Hacemos ahora u = x, dv = 2ex dx de modo que v = 2ex . Tendremos Z Z 2 x 2 x x x e dx = x e − (2xe − 2ex dx) = (x2 − 2x + 2)ex + C
242
Cap´ıtulo 11. Integraci´ on de funciones de una variable
11.6.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar los cap´ıtulos 5 y 6 de [43], los cap´ıtulos 4 y 7 de [37], los cap´ıtulos 8 y 9 de [8] y el cap´ıtulo 4 del primer tomo de [25].
11.7.
Ejercicios Z
1.
2.
Calcular
x2 dx (x3 − 2)5
1 Soluci´ on: − 12 (x3 − 2)−4 + C Z tdt √ Calcular 1 − t4
Soluci´ on: 12 arcsen(t2 ) + C Z
1
ex dx 1 + e2x
3.
Calcular
4.
Soluci´ on: arctan(ex ) − Z Calcular x2 e−x dx
5.
Soluci´ on: −e−x (x2 + 2x + 2) + C Z Calcular e2x sen xdx
0
π 4
Soluci´ on: 15 e2x (2 sen x − cos x) + C Z 6.
Calcular
π 4
arctgxdx
0
Soluci´ on:
π π 4 arctg 4
Z 7.
Sabiendo que
π 2
−
1 2
sen2 (x)dx =
0
Z
π
Z
0 π
sen2 (x/2)dx
a) b) π 2
ln(1 +
sen2 (x − π2 )dx
π2 16 ) π 4,
resolver las siguientes integrales:
11.7. Ejercicios
Z
243
π/4
cos2 (2x)dx
c) 0
Soluci´ on: a) b) c) 8.
π 2 π 4 π 8
Dadas dos funciones f y g, se define una funci´on h mediante Z 1 f (x − t)g(t)dt h(x) = 0
Se pide demostrar que Z
x
h(x) =
g(x − t)f (t)dt x−1
9.
10.
Determinar el ´area encerrada entre la curva y = (x + 1)/(x2 + 2x + 2)3/2 y el eje x entre x = 0 y x = 1. √ √ Soluci´ on: (5 2 − 2 5)/10 Z π2 cos2 x sen xdx mediante el cambio u = cos x. Hallar 0
Soluci´ on:
1 3
244
Cap´ıtulo 11. Integraci´ on de funciones de una variable
Cap´ıtulo 12
Integraci´ on de funciones de varias variables 12.1.
Introducci´ on
El concepto de integral m´ ultiple aparece casi ub´ıcuamente en ciencia. Es una herramienta necesaria en el c´alculo de vol´ umenes, ´areas, centros de masa, momentos de inercia y, de modo indirecto, en el c´alculo de flujos y circulaciones.
12.2.
Integrales dobles
12.2.1.
Introducci´ on
La integral doble tiene una interpretaci´on geom´etrica b´asica como volumen y se puede definir rigurosamente como l´ımite de sumas de Riemann. Si denotamos por I el rect´angulo [a, b] × [c, d] y por V la regi´on del espacio acotada por la gr´afica de f : I → lR, el rect´angulo I y los cuatro planos x = a, x = b, y = c e y = d, entonces se define la integral doble de f como el volumen de V (ser´a positivo cuando est´e situado por encima del plano z = 0 y negativo cuando est´e situado por debajo) y se representa por Z
Z f,
I
Z f (x, y)dA ,
I
Z Z f (x, y)dxdy ,
I
I
245
Z
d
Z
b
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy , c
a
246
12.2.2.
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
Rect´ angulos en lR2
Siendo (a1 , b1 ) y (a2 , b2 ) dos intervalos de lR se denomina rect´ angulo de lados paralelos a los ejes, al dominio de lR2 formado por el producto cartesiano I = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ). Cuando hablemos de rect´angulo nos referiremos a uno de lados paralelos. angulo I, µ(I) al ´ area de dicho rect´ anguDefinici´ on 12.1. Se llama medida del rect´ lo, esto es el valor resultante de multiplicar las longitudes de los intervalos (a1 , b1 ) y (a2 , b2 ): µ (I) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ). Definici´ on 12.2. Dado un rect´ angulo I, de denomina partici´ on P de I en subrect´ angulos a toda subdivisi´ on de I en rect´ angulos de menor medida y tal que todos los rect´ angulos en los que se subdivide I, tengan interiores disjuntos y la uni´ on de todos ellos sea exactamente I. Definici´ on 12.3. Se denomina tama˜ no de una partici´ on P a la medida del mayor de los rect´ angulos que la forman. Definici´ on 12.4. Dadas dos particiones P y P 0 de un mismo rect´ angulo I diremos que P es m´ as fina que P0 si el tama˜ no de P es menor que el tama˜ no de P 0 .
12.2.3.
Integral doble sobre un rect´ angulo
Consideremos una partici´on P de I en N (P ) subrect´angulos Ik (k = 1, 2, ..., N (P )). Definamos Mk =
sup {f (x, y)} y mk = (x,y)∈Ik
inf
(x,y)∈Ik
{f (x, y)}.
Definamos ahora las denominadas suma superior y suma inferior de Riemann mediante X X U (f, P ) = Mk µ (Ik ) y L(f, P ) = mk µ (Ik ) P
P
Es f´acil ver que si se van haciendo particiones cada vez m´as finas, esto es, con m´as puntos y por tanto con rect´angulos cada vez m´as peque˜ nos, las sumas superiores de Riemann van decreciendo y las sumas inferiores van creciendo. Definici´ on 12.5. Sea f : [a, b] × [c, d] → lR. Se define la integral superior de f en [a, b] × [c, d] como inf U (f, P ), P
12.2. Integrales dobles
247
y se representa mediante
Z
d
Z
b
f (x, y)dxdy. c
a
Se define la integral inferior de f en [a, b] × [c, d] como sup L(f, P ), P
y se representa mediante
Z
d
Z
b
f (x, y)dxdy. c
a
Se dice que f es integrable en I si Z
d
Z
Z
b
d
Z
f (x, y)dxdy = c
b
f (x, y)dxdy.
a
c
a
En ese caso, a ese valor com´ un se le denomina integral de f en [a, b] × [c, d], y se representa mediante Z dZ b Z dZ b f o´ f (x, y)dxdy. c
a
c
a
Proposici´ on 12.1 (Condici´ on de Riemann). Sea f : [a, b] × [c, d] −→ lR. f es integrable en [a, b] × [c, d] si y s´ olo si para todo ² > 0 existe δ > 0 tal que, si P es una partici´ on tal que todos los rect´ angulos Ik de la misma verifican que µ(Ik ) < δ, entonces U (f, P ) − L(f, P ) < ². RR Proposici´ on 12.2. La idea de que f (x, y)dxdy es el volumen de la regi´ on V hace I evidentes las siguientes propiedades i)
Z Z
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
I1 ∪I2
f (x, y)dxdy
I1
I2
para todos I1 , I2 de interiores disjuntos. ii)
Z Z
Z Z (f (x, y) + g(x, y))dxdy = I
iii)
Z Z f (x, y)dxdy +
I
Z Z
Z Z λf (x, y)dxdy = λ
I
g(x, y)dxdy I
f (x, y)dxdy I
para todo λ real
248
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
Para calcular
RR I
f (x, y)dxdy es u ´til el siguiente teorema:
Teorema 12.1. (Teorema de Fubini) Sea f una funci´ on continua con dominio rectangular I = [a, b] × [c, d]. Entonces, ! ! Z Z Z b ÃZ d Z d ÃZ b f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy I
a
c
c
a
Ejemplo 12.1. Consid´erese el rect´angulo I = [0, 1] × [0, 2]. Calculemos Para ello, aplicamos el teorema de Fubini: ¶ Z Z Z 1 µZ 2 Z 1 à 2 2 ¯2 ! x y ¯¯ 2 2 x ydxdy = x ydy dx = dx 2 ¯0 I 0 0 0 Z =
1
2x2 dx =
0
RR I
x2 ydxdy.
2 3
Tambi´en se puede calcular la integral de la siguiente forma: ¶ Z Z Z 2 µZ 1 Z 2 à 3 ¯1 ! Z 2 x y ¯¯ y 2 2 2 x ydxdy = x ydx dy = dy = dy = ¯ 3 3 3 I 0 0 0 0 0
12.2.4.
Integral doble sobre un dominio no rectangular
on definida y acotada sobre un dominio D de Definici´ on 12.6. Sea f (x, y) una funci´ lR2 . Consid´erese un rect´ angulo I que incluya a D. Sobre I se define la funci´ on ½ f (x, y) si (x, y) ∈ D (12.1) g(x, y) = 0 si (x, y) ∈ /D Se dice que f (x, y) es integrable sobre D en el sentido de Riemann si existe Z Z g(x, y)dxdy. I
Adem´ as, el valor de la integral de f (x, y) sobre D se define como Z Z Z Z f (x, y)dxdy = g(x, y)dxdy D
I
Nota 12.1. Puesto que g(x, y) es nula fuera de D, el volumen encerrado entre la superficie g(x, y) y el rect´angulo I del plano z = 0 coincide conRelR volumen encerrado por la superficie f (x, y) y el dominio D del plano z = 0. Luego D f (x, y)dxdy sigue representando el volumen encerrado por la superficie f (x, y) sobre el dominio plano D.
12.2. Integrales dobles
249
Proposici´ on 12.3. i) Si D1 y D2 son tales que su uni´ on es D y la intersecci´ on de sus interiores es vac´ıa, entonces se verifica Z Z Z Z Z Z f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy D
ii)
D1
Z Z
D2
Z Z
Z Z
(f (x, y) + h(x, y)) dxdy =
f (x, y)dxdy +
D
iii)
D
Z Z
h(x, y)dxdy D
Z Z λf (x, y)dxdy = λ D
f (x, y)dxdy D
´ CALCULO DE UNA INTEGRAL DOBLE: Desde el punto de vista del c´alculo se pueden considerar 3 tipos de dominios en lR2 . 1) Dominios del tipo 1. Son dominios limitados por las curvas y = ϕ1 (x) e y = ϕ2 (x) entre los valores a1 ≤ x ≤ b1 : D = {(x, y)/ a1 ≤ x ≤ b1 , ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} Si encerramos D en el rect´angulo [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] y definimos g(x, y) como en (12.1), entonces ! Z Z Z b1 Z b2 Z b1 ÃZ ϕ2 (x) f (x, y)dxdy = g(x, y)dxdy = f (x, y)dy dx D
a1
a2
a1
ϕ1 (x)
2) Dominios del tipo 2. Dominios limitados por las curvas x = ψ 1 (y) y x = ψ 2 (y) entre los valores a2 ≤ y ≤ b2 : D = {(x, y)/ a2 ≤ y ≤ b2 , ψ 1 (y) ≤ x ≤ ψ 2 (y)} Aplicando el mismo razonamiento que en el caso anterior ! Z Z Z b2 ÃZ ψ2 (y) f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy D
a2
ψ 1 (y)
3) Dominios del tipo 3. Aquellos dominios que se pueden expresar tanto como dominios del tipo 1 como dominios del tipo 2. 4) Dominios que son la uni´on de dominios de los tipos anteriores. En este caso, las integrales se calculan partiendo los dominios en subdominios de los tipos 1,2 ´o 3, calculando cada integral por separado y aplicando el primer apartado de la Proposici´on 12.3.
250
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
Ejemplo 12.2. Las curvas y = x − x2 , y = x2 delimitan una regi´on D (contenida en el primer cuadrante). Calcular ZZ (e2x − y 2 )dxdy D
Soluci´ on: Hallemos los valores de x que delimitan nuestra regi´on. Para ello buscamos los puntos de intersecci´on de ambas curvas imponiendo x − x2 =
x 2
La soluci´on es : x = 0, x = 12 . Nuestra regi´on es de Tipo 1, y para integrarla haremos 0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 12.1: Regi´on de integraci´on(sombreada) correspondiente al ejemplo 12.2. uso de la f´ormula de integraci´on para regiones de este tipo: ! ZZ Z 21 ÃZ x−x2 2x 2 2x 2 (e − y )dxdy = (e − y )dy dx D
(12.2)
x 2
0
N´otese que el l´ımite inferior de integraci´on en y es x2 . Esto se debe a que, en el intervalo (0, 12 ), la curva y = x2 est´a por debajo de la curva x − x2 . Evaluamos la integral en (12.2): ! ¯x−x2 ! Z 12 ÃZ x−x2 Z 12 à y 3 ¯¯ 2x 2x 2 e y− ¯ I= (e − y )dy dx = dx x 3 x 0 0 2 2
Z
1 2
= 0
Ã
! ¢3 x − x2 x3 2x x 2 e ( −x )− + dx 2 3 24 ¡
Evaluemos por separado las distintas integrales que han aparecido: ¯ 12 Z 12 Z 1 ¯ x 1 x 1 2 2x 1 e2x ( − x2 )dx = e2x ( − x2 )¯¯ − e ( − 2x)dx 2 2 2 2 0 2 0 0
12.2. Integrales dobles
251
¯ 12 ¯ 12 Z 12 ¯ ¯ 1 2x x 1 2x 1 1 2 ¯ ¯ = e ( − x )¯ − e ( − 2x)¯ − 2 e2x dx 2 2 4 2 4 0 0 0 1 1 1 3 1 = 0 − (− e − ) − (e − 1) = − e + 8 8 4 8 8 (hemos integrado por partes), ¢3 Z 12 ¡ Z 1 ¢ x − x2 1 2¡ 3 1 − dx = − x − 3x4 + 3x5 − x6 dx = − 3 3 840 0 0 Z 12 3 x 1 dx = 1536 0 24 La integral buscada ser´a pues 3 1 1 1 20131 1 + =− e+ I =− e+ − 8 8 840 1536 8 53760
12.2.5.
Algunas propiedades de la integral doble
a) Linealidad. Z Z Z Z Z Z (αf (x, y) + βg(x, y)) dxdy = α f (x, y)dxdy + β g(x, y)dxdy D
D
D
b) Si f y g son integrables en D y f (x, y) ≤ g(x, y) para todos (x, y) ∈ D, entonces Z Z Z Z f (x, y)dxdy ≤ g(x, y)dxdy D
D
RR ´ c) Area de un dominio plano. El ´area de un dominio plano D es igual a 1dxdy. D La raz´on es que el volumen encerrado por la funci´on f (x, y) = 1 sobre D es el ´area de D multiplicado por la unidad. d) Cotas de la integral. Si m y M son respectivamente los valores m´aximo y m´ınimo de la funci´on f en D entonces Z Z ´ ´ m × Area(D) ≤ f (x, y)dxdy ≤ M × Area(D) D
e) Teorema del valor medio. Si f es continua en un dominio acotado y cerrado D entonces existe al menos un punto (x∗ , y ∗ ) de D tal que Z Z ´ f (x, y)dxdy = f (x∗ , y ∗ ) × Area(D) D
252
12.2.6.
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
Cambio de variables en la integral doble
Definici´ on 12.7. Se denomina cambio de variables en lR2 a toda aplicaci´ on ϕ : 2 D∗ ⊂ lR → D ⊂ lR2 tal que µ ¶ ϕ1 (u, v) (u, v) → ϕ(u, v) = ϕ2 (u, v) que verifica las tres condiciones siguientes 1) ϕ es una aplicaci´ on biun´ıvoca (biyectiva): D = ϕ (D∗ ). ¡ ¢2 2) ϕ ∈ C 1 (D∗ ) . 3) El jacobiano de ϕ no se anula en ning´ un punto de D∗ : ¯ ¯ ¯ ∂ϕ1 ¯ ∂ϕ ¯ ∂u (u, v) ∂v1 (u, v) ¯ Jϕ (u, v) = ¯ ∂ϕ2 ¯ 6= 0 para todo (u, v) ∈ D∗ ∂ϕ2 ¯ ∂u (u, v) ∂v (u, v) ¯ La cuesti´on ahora es la siguiente: ¿c´omo cambia una integral doble ante un cambio de variables? El resultado esencial se recoge en el siguiente teorema: Teorema 12.2. (cambio de variables para integrales dobles) Sean D y D∗ dos regiones del plano y sea ϕ : D∗ → D una funci´ on de cambio de variables. Entonces para cualquier funci´ on integrable se tiene Z Z Z Z f (x, y)dxdy = f (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)) |Jϕ (u, v)| dudv D∗
D
donde (x, y) = (ϕ1 (u, v), ϕ2 (u, v)). Un cambio importante es el de coordenadas cartesianas (x, y) ∈ lR2 a polares (r, θ) ∈ lR+ × [0, 2π). Se define en la forma x y
= r cos θ = r sen θ
En este cambio, el Jacobiano es
¯ ¯ Jϕ (r, θ) = ¯¯
Ejemplo 12.3. Calcular
∂x ∂r (r, θ) ∂y ∂r (r, θ)
∂x ∂θ (r, θ) ∂y ∂θ (r, θ)
¯ ¯ ¯=r ¯
ZZ ln(x2 + y 2 )dxdy
I= D
siendo D la regi´on © ª D = (x, y) ∈ lR2 / x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ b2 , x2 + y 2 ≥ a2
12.3. Integrales triples
253
Soluci´ on: En primer lugar nos hacemos una idea de la geometr´ıa de la regi´on. Notemos que por ser x ≥ 0, y ≥ 0, nos encontraremos en el primer cuadrante. La regi´on x2 +y 2 ≤ b2 es un c´ırculo de radio b, mientras que la regi´on x2 +y 2 ≥ a2 es el exterior a un c´ırculo de radio a. Nuestra regi´on ser´a por tanto la parte del anillo de radio interior a y radio exterior b que est´a en el primer cuadrante. La geometr´ıa sugiere un cambio a coordenadas polares, ya que nuestra regi´on, en esas coordenadas, est´a acotada por constantes. M´as precisamente: a≤
r
0≤ θ
≤b π ≤ 2
pudi´endose entonces escribir Z
r=b
Z
I= r=a
θ= π 2
(ln r2 )rdrdθ
θ=0
que se integra f´acilmente usando el teorema de Fubini: Z r=b Z θ= π2 Z b ¡ ¢ ¢ π ¡ 2 ¡ 2¢ π I= (ln r2 )rdrdθ = 2 r ln rdr = b ln b − b2 − a2 ln a2 + a2 2 a 4 r=a θ=0
12.3.
Integrales triples
12.3.1.
Paralelep´ıpedos y particiones de paralelep´ıpedos en lR3 .
Definici´ on 12.8. Siendo [a1 , b1 ] , [a2 , b2 ] , [a3 , b3 ] tres intervalos de lR, se denomina paralelep´ıpedo I de caras paralelas a los planos cartesianos, al dominio de lR3 formado por el producto cartesiano de los tres intervalos [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] I
= =
[a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] . © ª (x, y, z) ∈ lR3 / a1 ≤ x ≤ b1 , a2 ≤ x ≤ b2 , a3 ≤ x ≤ b3
Puesto que los paralelep´ıpedos de caras paralelas a los planos coordenados ser´an los u ´nicos que utilizaremos los designaremos simplemente como paralelep´ıpedos. Definici´ on 12.9. Se denomina medida del paralelep´ıpedo I y se representa por µ(I), al volumen de dicho paralelep´ıpedo. Definici´ on 12.10. Dado un paralelep´ıpedo I se denomina partici´ on P de I (en subparalelep´ıpedos) a toda divisi´ on de I en paralelep´ıpedos I1 , I2 , ..., IN (P ) de menor medida y tal que todos los paralelep´ıpedos en los que se subdivide I tengan interiores disjuntos y la uni´ on de todos los paralelep´ıpedos de la partici´ on sea exactamente I.
254
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
Definici´ on 12.11. Se denomina tama˜ no de una partici´ on P del paralelep´ıpedo I a la medida del mayor de los paralelep´ıpedos que la forman. Definici´ on 12.12. Dadas dos particiones P y P 0 de un mismo paralelep´ıpedo, se dice que P es m´ as fina que P0 si el tama˜ no de P es menor que el tama˜ no de P 0 . Definici´ on 12.13. Dadas dos particiones P, P 0 del mismo paralelep´ıpedo, se dice que P es posterior a P 0 si P es m´ as fina que P 0 y adem´ as todo paralelep´ıpedo de la partici´ on P est´ a incluido en un paralelep´ıpedo de la partici´ on P 0 .
12.3.2.
Integral triple de Riemann sobre un paralelep´ıpedo
Consideremos una partici´on P de I en N (P ) subparalelep´ıpedos Ik (k = 1, 2, ..., N (P )). Definamos Mk =
sup
{f (x, y, z)} y mk =
(x,y,z)∈Ik
inf
(x,y,z)∈Ik
{f (x, y, z)}.
Definamos ahora las denominadas suma superior y suma inferior de Riemann mediante X X Mk µ (Ik ) y L(f, P ) = mk µ (Ik ) U (f, P ) = P
P
Es f´acil ver que si se van haciendo particiones cada vez m´as finas, esto es, con m´as puntos y por tanto con paralelep´ıpedos cada vez m´as peque˜ nos, las sumas superiores de Riemann van decreciendo y las sumas inferiores van creciendo. Definici´ on 12.14. Sea I = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] → lR3 . Se define la integral superior de f en [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] como inf U (f, P ), P
y se representa mediante Z
b3
Z
b2
Z
b1
f (x, y, z)dxdydz. a3
a2
a1
Se define la integral inferior de f en [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] como sup L(f, P ), P
y se representa mediante Z
b3
Z
b2
Z
b1
f (x, y, z)dxdydz. a3
a2
a1
12.3. Integrales triples
255
Se dice que f es integrable en I si Z
b3
Z
b2
Z
Z
b1
Z
b3
Z
b2
b1
f (x, y, z)dxdydz = a3
a2
a1
f (x, y, z)dxdydz . a3
a2
a1
En ese caso, a ese valor com´ un se le denomina integral de f en [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ], y se representa mediante Z
b3
Z
b2
Z
Z
b1
b3
Z
b2
Z
b1
f (x, y, z)dxdydz. o´ a3
a2
f (x, y, z)dV.
a1
a3
a2
a1
Proposici´ on 12.4 (Condici´ on de Riemann). Sea f : [a1 , b1 ]×[a2 , b2 ]×[a3 , b3 ] −→ lR3 . f es integrable en [a1 , b1 ]×[a2 , b2 ]×[a3 , b3 ] si y s´ olo si para todo ² > 0 existe δ > 0 tal que, si P es una partici´ on tal que todos los rect´ angulos Ik de la misma verifican que µ(Ik ) < δ, entonces U (f, P ) − L(f, P ) < ². Teorema 12.3. (Teorema de Fubini para integrales triples sobre un paralelep´ıpedo). Siendo I = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ]: Z Z Z
Z
b1
ÃZ
b2
ÃZ
f (x, y, z)dxdydz = I
Z
b1
ÃZ
b3
ÃZ
=
! f (x, y, z)dy dz
a1
12.3.3.
a3
f (x, y, z)dz a1
b2
a2
!
b3
a2
!
! dy dx
a3
Z
b3
ÃZ
b2
ÃZ
b1
dx = ... =
!
!
f (x, y, z)dx dy dz a3
a2
a1
Integral triple de Riemann sobre un dominio cualquiera de lR3
Sea f una funci´on definida y acotada sobre un dominio D de lR3 . Sea I un paralelep´ıpedo de lR3 que incluya a D. Sobre I se define la funci´on ½ f (x, y, z) si (x, y, z) ∈ D (12.3) g(x, y, z) = 0 si (x, y, z) ∈ /D Definici´ on 12.15. Se R Rdice R que f es integrable en el sentido de Riemann sobre el dominio D si existe g(x, y, z)dxdydz. El valor de la integral de Riemann de I f (x, y, z) sobre el dominio D se define como: Z Z Z Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = g(x, y, z)dxdydz D
I
256
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
12.3.4.
Propiedades de la integral triple de Riemann
a) Linealidad. Z Z Z
Z Z Z (αf (x, y, z) + βg(x, y, z)) dxdydz = α
D
Z Z Z +β
f (x, y, z)dxdydz D
g(x, y, z)dxdydz D
b) Si f y g son integrables en D y f (x, y, z) ≤ g(x, y, z) para todos (x, y, z) ∈ D, entonces Z Z Z Z Z Z f (x, y, z)dxdydz ≤ g(x, y, z)dxdydz D
D
3 3 Rc)RVolumen de un dominio de lR . El volumen de un dominio D de lR es igual a 1dxdydz. D
d) Cotas de la integral. Si m y M son respectivamente los valores m´aximo y m´ınimo de la funci´on f en D entonces Z Z Z m × Volumen(D) ≤ f (x, y, z)dxdydz ≤ M × Volumen(D) D
e) Aditividad sobre dominios. Si f es integrable sobre el dominio D y se considera D subdividido en dos dominios D1 y D2 tales que su interior sea disjunto y su uni´on sea el propio dominio D, entonces f es integrable tanto sobre D1 como sobre D2 se verifica: Z Z Z Z Z Z Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz + f (x, y, z)dxdydz D
D1
D2
f) Teorema del valor medio. Si f es continua en un dominio acotado y cerrado D entonces existe al menos un punto (x∗ , y ∗ , z ∗ ) de D tal que Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = f (x∗ , y ∗ , z ∗ ) × Volumen(D) D
g) Teorema de Lebesgue. Toda funci´on f definida y acotada sobre el dominio acotado D que sea discontinua a lo sumo en un subconjunto de medida nula de D es integrable sobre D y viceversa. h) Teorema de Fubini para el c´ alculo de la integral triple. Si D es un dominio definido como: © ª D = (x, y, z) ∈ lR3 /(x, y) ∈ Ωxy , ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)
12.3. Integrales triples
257
entonces para toda funci´on f (x, y, z) integrable sobre D: ÃZ Z Z Z Z Z ϕ2 (x,y)
f (x, y, z)dxdydz = D
Ωxy
!
f (x, y, z)dz
dxdy
ϕ1 (x,y)
An´alogamente, si el dominio D se define mediante © ª D = (x, y, z) ∈ lR3 /(x, z) ∈ Ωxz , ϕ1 (x, z) ≤ y ≤ ϕ2 (x, z) entonces para toda funci´on f (x, y, z) integrable sobre D: ÃZ Z Z Z Z Z φ2 (x,z)
f (x, y, z)dxdydz = Ωxz
D
!
f (x, y, z)dy dxdz
φ1 (x,z)
An´alogamente, si el dominio D se define mediante © ª D = (x, y, z) ∈ lR3 /(y, z) ∈ Ωyz , ψ 1 (y, z) ≤ x ≤ ψ 2 (y, z) entonces para toda funci´on f (x, y, z) integrable sobre D: ÃZ Z Z Z Z Z ψ 2 (y,z)
f (x, y, z)dxdydz = D
12.3.5.
Ωyz
!
f (x, y, z)dx dydz
ψ 1 (y,z)
Cambio de variables en la integral triple
on Definici´ on 12.16. Se denomina cambio de variables en lR3 a toda aplicaci´ ∗ ϕ : D ⊂ lR3 → D ⊂ lR3 tal que ϕ1 (u, v, w) (u, v, w) → ϕ(u, v, w) = ϕ2 (u, v, w) ϕ3 (u, v, w) que verifica las tres condiciones siguientes: 1) ϕ es una aplicaci´ on biun´ıvoca (biyectiva): D = ϕ (D∗ ). ¡ ¢3 2) ϕ ∈ C 1 (D∗ ) . 3) El jacobiano de ϕ no se anula en ning´ un punto de D∗ : ¯ ¯ ∂ϕ1 (u, v, w) ∂ϕ1 (u, v, w) ∂ϕ1 (u, v, w) ¯ ∂u ∂v ∂w ¯ 2 2 2 Jϕ (u, v, w) = ¯ ∂ϕ (u, v, w) ∂ϕ (u, v, w) ∂ϕ ∂u ∂v ∂w (u, v, w) ¯ ∂ϕ3 ∂ϕ ∂ϕ ¯ ∂u (u, v, w) ∂v3 (u, v, w) ∂w3 (u, v, w)
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0 ∀(u, v, w) ∈ D∗ ¯ ¯
258
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
Teorema 12.4. (cambio de variables para integrales triples) Sean D y D∗ dos regiones del espacio y sea ϕ : D∗ → D una funci´ on de cambio de variables. Entonces para cualquier funci´ on integrable se tiene Z Z Z f (x, y, z)dxdydz D Z Z Z = f (ϕ1 (u, v, w), ϕ2 (u, v, w), ϕ3 (u, v, w)) |Jϕ (u, v, w)| dudvdw D∗
donde (x, y, z) = (ϕ1 (u, v, w), ϕ2 (u, v, w), ϕ3 (u, v, w)). En el espacio tridimensional, hay dos cambios importantes: 1.
el cambio de cartesianas ((x, y, z) ∈ lR3 ) a cil´ındricas ((r, θ, z) ∈ lR+ ×(−π, π]× lR) se define como: x y z
= r cos θ = r sen θ = z
y su jacobiano es: Jϕ (r, θ, z) = r 2.
el cambio de cartesianas (x, y, z) ∈ lR3 a esf´ ericas ((r, θ, φ) ∈ lR+ × (−π, π] × [0, π]) se define como: x = y = z = y su jacobiano es:
r sen φ cos θ r sen φ sen θ r cos φ
Jϕ (r, θ, φ) = −r2 sen φ
12.4.
Aplicaciones de las integrales triples y dobles
12.4.1.
Valor medio de una funci´ on en un dominio
La media de n n´ umeros reales x1 , x2 , ..., xn esta definida por Pn xi x = i=1 n
12.4. Aplicaciones de las integrales triples y dobles
259
Si se conocen los valores que toma una funci´on f en un n´ umero discreto de puntos x1 , x2 , ..., xn espaciados regularmente (tal que xk − xk−1 = h para k = 2, . . . , n), entonces la media de f en este conjunto de puntos es: Pn Pn f (xi )h i=1 f (xi ) = i=1 n nh El concepto anterior lleva a definir el valor medio de una funci´on de una variable en el intervalo [a, b] por Rb f (x)dx f= a b−a El valor medio de una funci´on de dos variables en una regi´on bidimensional D ser´a: RR f (x, y)dxdy D RR f= dxdy D y de una funci´on de tres variables en una regi´on tridimensional D: RRR f (x, y)dxdydz RD RR f= dxdydz D
12.4.2.
Centro de masas
Si se tienen m1 , m2 , ..., mn masas en los puntos x1 , x2 , ..., xn , sobre el eje x, el centro de masas se define como Pn mi xi xCM = Pi=1 m i=1 mi Si la distribuci´on de masa es continua con densidad ρ(x), entonces R xρ(x)dx xCM = R ρ(x)dx En el caso de materiales bidimensionales que ocupan una regi´on D (por ejemplo una placa), RR RR xρ(x, y)dxdy yρ(x, y)dxdy D xCM = R R , yCM = R RD ρ(x, y)dxdy ρ(x, y)dxdy D D y en el caso tridimensional (por ejemplo una caja), RRR RRR yρ(x, y, z)dxdydz xρ(x, y, z)dxdydz D R R R xCM = , yCM = R R RD , ρ(x, y, z)dxdydz ρ(x, y, z)dxdydz D D
zCM
RRR zρ(x, y, z)dxdydz = R R RD ρ(x, y, z)dxdydz D
260
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
12.4.3.
Momentos de inercia
El momento de inercia de un conjunto de n masas mi que giran respecto a un eje y est´an a una distancia ri del mismo se define como: I=
n X
mi ri2
i=1
En el caso de una distribuci´on continua de masas (un s´olido r´ıgido por ejemplo) Z Z Z I= r2 (x, y, z)ρ(x, y, z)dxdydz D
donde r(x, y, z) es la distancia del punto (x, y, z) al eje.
12.5.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 12 de [43], el cap´ıtulo 17 de [37], el 21 de [8] y el cap´ıtulo 4 del tomo 2 de [25].
12.6. 1.
Ejercicios
Determinar las coordenadas del centro de masas del s´olido incluido en el cilindro ρ = 2 cos θ limitado superiormente por el paraboloide z = ρ2 , e inferiormente por el plano z = 0. Se supondr´a que la densidad es constante. Soluci´ on: xcm = 43 , ycm = 0, zcm =
2.
10 9
Hallar la masa de un plato circular de radio r sabiendo que la densidad superficial en cada punto es proporcional al cuadrado de su distancia a un punto de la circunferencia. Soluci´ on: 32 kπr4 , con k = constante de proporcionalidad.
3.
Determinar el centro de masas de una figura plana delimitada por la par´abola y 2 = 8x y la recta x = 2, sabiendo que la densidad superficial en cada punto es proporcional a su distancia a la recta x = 2. Soluci´ on: ( 67 , 0)
4.
Hallar el momento de inercia, con respecto al eje x, de una figura plana delimitada por la curva y = sen x, el eje x y las rectas x = 0 y x = π, sabiendo que la densidad de cada punto es proporcional a su distancia al eje x.
12.6. Ejercicios
Soluci´ on: figura. 5.
261 3 32 kπ
=
3 8 m,
k = constante de proporcionalidad, m = masa de la
Hallar la masa de una esfera de radio r sabiendo que la densidad en cada punto es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro. Soluci´ on: 4kπr, con k = constante de proporcionalidad.
6.
Determinar el centro de masas de un cilindro circular recto de radio r y altura h sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a su distancia a la base. Soluci´ on: (0, 0, 23 h)
7.
La temperatura de los puntos del cubo W = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] es proporcional al cuadrado de la distancia al origen. Se pide a) ¿Cu´al es la temperatura promedio? b) ¿En que puntos del cubo la temperatura es igual a la temperatura promedio? Soluci´ on: a) Tm = c, con c = constante de proporcionalidad. b) Los puntos de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 (que est´a inscrita en el cubo W ).
8.
Una placa de oro, D, esta determinada por 0 ≤ x ≤ 2π y 0 ≤ y ≤ π (cent´ımetros) y tiene una densidad superficial ρ(x, y) = y 2 sen2 4x + 2 (gramos por cent´ımetro cuadrado). Si el oro cuesta 7 euros por gramo, ¿Cu´anto vale la placa? Soluci´ on: 503.06 euros.
9.
Un s´olido con densidad constante est´a acotado por arriba por el plano z = a y por debajo por el cono descrito en coordenadas esf´ericas por ϕ = k, donde k es una constante (0 ≤ k ≤ 2π). Escribir una integral que determine el momento de inercia del s´olido alrededor del eje z. Z k Z 2π Z cosa ϕ ρ4 sen3 ϕdρdθdϕ Soluci´ on: ρ 0
10.
0
0
Calcular el momento de inercia de una cubo de arista a con respecto a una cualquiera de sus aristas, siendo la densidad en cada punto igual al cuadrado de su distancia a un extremo de dicha arista. Soluci´ on:
38 2 45 a m,
m = masa del cubo.
262
Cap´ıtulo 12. Integraci´ on de funciones de varias variables
Cap´ıtulo 13
C´ alculo vectorial 13.1.
Introducci´ on
Muchas cantidades f´ısicas de inter´es tienen car´acter vectorial. La posici´on de un punto en el espacio, por ejemplo, queda completamente descrita por sus coordenadas respecto a un cierto sistema de referencia. Estas tres coordenadas son las componentes de un vector, el vector de posici´on del punto. Si el punto esta en movimiento, entonces la direcci´on a lo largo de la cual se mueve en un instante dado es tambi´en un vector, ya que queda completamente descrita por sus tres coordenadas respecto a la base del sistema de referencia utilizado para expresar las coordenadas de los puntos. Si ahora consideramos, en lugar de un solo punto, un gran n´ umero de puntos, entonces para cada uno de ellos podremos designar vectores para su posici´on y su velocidad. Tendremos as´ı una familia de vectores distribuidos en el espacio, y esto constituye un campo vectorial. A continuaci´on describiremos con detalle todas estas ideas.
13.2.
Campos vectoriales
Definici´ on 13.1. Un campo vectorial A(x, y, z) es una aplicaci´ on de lR3 en lR3 que asigna a cada punto de una regi´ on del espacio un vector de tres componentes. Se puede denotar por A(x, y, z) = Ax (x, y, z)i + Ay (x, y, z)j + Az (x, y, z)k donde [i, j, k] constituyen una base ortonormal de lR3 . Utilizando la notaci´on empleada en los temas de ´algebra lineal, ser´ıan los vectores i = e1 = (1, 0, 0); j = e2 = (0, 1, 0); 263
264
Cap´ıtulo 13. C´ alculo vectorial
k = e3 = (0, 0, 1). Los conceptos de continuidad, diferenciabilidad, etc. son los ordinarios de funciones de lR3 en lR3 . Ejemplo 13.1. Consideremos el campo vectorial: A(x, y, z) = 3x2 yi + yz 2 j − xzk Las primeras derivadas de A ser´ıan ∂A = 6xyi + 0j − zk = 6xyi − zk ∂x ∂A = 3x2 i + z 2 j − 0k = 3x2 i + z 2 j ∂y ∂A = 0i + 2yzj − xk = 2yzj − xk ∂z es decir, nuevos campos vectoriales. Un concepto tambi´en importante es el de campo escalar: Definici´ on 13.2. Un campo escalar φ(x, y, z) es una aplicaci´ on de lR3 en lR que asigna a cada punto del espacio un n´ umero real (un escalar).
13.3.
Gradiente, divergencia y rotacional
En el cap´ıtulo 10 se defini´o el gradiente de una funci´on de lRn en lR. Un caso particular (para n = 3) es el gradiente de un campo escalar en el espacio: Definici´ on 13.3. Si un campo escalar φ(x, y, z) tiene primeras derivadas parciales continuas en una regi´ on del espacio, entonces el gradiente de un campo escalar φ es un campo vectorial definido por µ ¶ ∂ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂φ grad φ = ∇φ = i +j +k φ=i +j +k ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z a definido por Definici´ on 13.4. El operador ∇ (se pronuncia nabla) est´ ∇=i
∂ ∂ ∂ +j +k ∂x ∂y ∂z
Si un campo vectorial A(x, y, z) tiene primeras derivadas parciales continuas en una regi´on del espacio, entonces se pueden definir:
13.3. Gradiente, divergencia y rotacional
265
Definici´ on 13.5. La divergencia de un campo vectorial A es un campo escalar definido por µ ¶ ∂ ∂ ∂ div A = ∇ · A = i +j +k · (Ax i + Ay j + Az k) ∂x ∂y ∂z =
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z
Definici´ on 13.6. El rotacional de un campo vectorial A es un campo vectorial definido por µ ¶ ∂ ∂ ∂ rot A = ∇ × A = i +j +k × (Ax i + Ay j + Az k) ∂x ∂y ∂z ¯ ¯ ¯ ∂ ¯ ∂ ¯ i ¯ ¯ ∂ ¯ ¯ j k ¯¯ ∂ ¯ ∂ ¯ ∂ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ ¯ ∂ ∂ ¯ ∂y ∂z ∂x ∂y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂x ∂z = ¯ ∂x ∂y ∂z ¯ = i ¯ − j¯ + k¯ Ax Az ¯ Ay Az ¯ Ax Ay ¯ ¯ Ax Ay Az ¯ µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Ay =i − −j − +k − ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Ejemplo 13.2. Sean φ(x, y, z) A(x, y, z)
= x2 yz 2 = xzi − y 2 j + 2x2 yk
Calculemos ∇φ, ∇ · A y ∇ × A: ∇φ =
∂φ ∂φ ∂φ i+ j+ k = 2xyz 2 i + x2 z 2 j + 2x2 yzk ∂x ∂y ∂z
∂Ay ∂Az ∂Ax + + = z − 2y + 0 = z − 2y ∂x ∂y ∂z µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂Az ∂Ay ∂Az ∂Ax ∂Ay ∂Ax ∇×A=i − −j − +k − ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ¡ 2 ¢ 2 = i 2x − 0 − j (4xy − x) + k (0 − 0) = 2x i + (x − 4xy) j ∇·A=
Teorema 13.1. (Algunas propiedades). Sean A y B dos campos vectoriales y U y V dos campos escalares. Entonces: 1) ∇(U + V ) = ∇U + ∇V 2) ∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B 3) ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B
266
Cap´ıtulo 13. C´ alculo vectorial
4) ∇ · (U A) = (∇U ) · A + U (∇ · A) 5) ∇ × (U A) = (∇U ) × A + U (∇ × A) 6) ∇ · (A × B) = B · ∇ × A − A · ∇ × B 7) ∇ × (A × B) = (B · ∇) A − B (∇ · A) − (A · ∇) B + A (∇ · B) 8) ∇(A · B) = (B · ∇) A + (A · ∇) B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B) 9) ∇· (∇U ) = ∆U, donde ∆ =
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
es el llamado laplaciano.
10) ∇ × (∇U ) = 0 11) ∇· (∇ × A) = 0 12) ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇·A) − ∆A
13.4.
Integral curvil´ınea. Circulaci´ on
Sea C una curva en el espacio (x, y, z) que une los puntos p1 (a1 , b1 , c1 ) y p2 (a2 , b2 , c2 ). Sea A(x, y, z) = (Ax (x, y, z), Ay (x, y, z), Az (x, y, z)) un campo vectorial definido a lo largo de C. Subdividamos C en n partes eligiendo (n − 1) puntos de la misma dados por (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), ...., (xn−1 , yn−1 , zn−1 ). Denotemos por ∆xk = xk − xk−1 , ∆yk = yk −yk−1 , ∆zk = zk −zk−1 con k = 1, 2, ..., n, siendo (a1 , b1 , c1 ) = (x0 , y0 , z0 ) y (a2 , b2 , c2 ) = (xn , yn , zn ). Tomemos puntos (ξ k , η k , ζ k ) de C situados entre los puntos (xk , yk , zk ) y (xk−1 , yk−1 , zk−1 ). La integral curvil´ınea a lo largo de C se define como l´ım
n→∞
n X
(Ax (ξ k , η k , ζ k )∆xk + Ay (ξ k , η k , ζ k )∆yk + Az (ξ k , η k , ζ k )∆zk )
k=1
Z =
Z (Ax dx + Ay dy + Az dz) =
C
A · dr C
donde dr = (dx, dy, dz) = dxi + dyj + dzk. Teorema 13.2. (Propiedades de las integrales curvil´ıneas). Sea C una curva que une los puntos (a1 , b1 , c1 ) y (a2 , b2 , c2 ). Entonces 1)
Z
Z
C
Z
(a2 ,b2 ,c2 )
(a1 ,b1 ,c1 )
A · dr
A · dr = −
A · dr = (a1 ,b1 ,c1 )
(a2 ,b2 ,c2 )
13.4. Integral curvil´ınea. Circulaci´ on
2)
Z
Z
267
Z
(a2 ,b2 ,c2 )
A · dr =
A · dr =
C
(a1 ,b2 ,c1 )
Z
(a3 ,b3 ,c3 )
(a2 ,b2 ,c2 )
A · dr + (a1 ,b2 ,c1 )
A · dr (a3 ,b3 ,c3 )
donde (a3 , b3 , c3 ) es un punto de C. Nota 13.1. En el caso de que la curva se pueda parametrizar en la forma r = (σ 1 (t), σ 2 (t), σ 3 (t)), dr se podr´a expresar como dr = σ 0 (t)dt. Por consiguiente la integral de l´ınea se podr´a escribir como Z t2 A(σ(t)) · σ 0 (t)dt t1
siendo σ(t1 ) = (a1 , b1 , c1 ) y σ(t2 ) = (a2 , b2 , c2 ). EjemploR 13.3. Sea A(x, y, z) = (3x2 − 6yz)i + (2y + 3xz)j + (1 − 4xyz 2 )k. Calculemos C A · dr donde C es una curva entre los puntos (0, 0, 0) y (1, 1, 1) dada param´etricamente por (x, y, z) = (t, t2 , t3 ). Z
Z
£ 2 ¤ (3x − 6yz)dx + (2y + 3xz)dy + (1 − 4xyz 2 )dz
A · dr = C
C
Notemos que el punto (0, 0, 0) corresponde a t = 0 y el punto (1, 1, 1) a t = 1. Adem´as (dx, dy, dz) = (dt, 2tdt, 3t2 dt) y por tanto Z Z A · dr = C
1
£ 2 ¤ (3t − 6t2 t3 )dt + (2t2 + 3tt3 )2tdt + (1 − 4tt2 (t3 )2 )3t2 dt
0
Z =
1
(3t2 − 6t5 + 4t3 + 6t5 + 3t2 − 12t11 )dt = 2
0
Definici´ on 13.7. Curva simple cerrada es una curva cerrada que no se corta a s´ı misma en ning´ un punto. Una regi´ on plana que tiene la propiedad de que toda curva cerrada de la regi´ on se puede reducir a un punto sin salir de la regi´ on se dice que es simplemente conexa. Si no, se dice que es m´ ultiplemente conexa. Definici´ on 13.8. La circulaci´ on de un vector a lo largo de una curva cerrada C es la integral curvil´ınea a lo largo de dicha curva, y se denota por I A · dr C
268
Cap´ıtulo 13. C´ alculo vectorial
1
0.8
0.6 z 0.4
0.2
0 0.2 x
0.4 y
0.5
0.6
0.8
1
1
Figura 13.1: Curva C en el ejemplo 13.3. ∂Q Teorema 13.3. (Teorema de Green en el plano). Sean P , Q, ∂P ∂y y ∂x , uniformes y continuas en una regi´ on simplemente conexa R del plano xy. Supongamos adem´ as que el contorno de R es una curva simple cerrada C. Entonces ¶ I ZZ µ ∂Q ∂P − P dx + Qdy = dxdy ∂x ∂y C R
donde suponemos que C se recorre en sentido opuesto a las agujas del reloj. R Teorema 13.4. Una condici´ on necesaria y suficiente para que C A · dr sea independiente del camino C que une dos puntos cualesquiera en una regi´ on R es que en R se tenga ∂Ax ∂Ay ∂Az ∂Ax ∂Ay ∂Az = , = , = ∂y ∂x ∂x ∂z ∂z ∂y o, equivalentemente, ∇×A=0 Adem´ as, en este caso, A · dr es una diferencial exacta. Es decir, existe una funci´ on φ(x, y, z) tal que dφ = A · dr y entonces Z
Z
(x1 ,y1 ,z1 )
A · dr = C
A · dr = φ(x1 , y1 , z1 ) − φ(x0 , y0 , z0 ) (x0 ,y0 ,z0 )
Nota 13.2. En F´ısica, a menudo el campo vectorial A(x, y, z) representa un campo de fuerzas y la integral curvil´ınea representa el trabajo empleado por el campo para mover una part´ıcula puntual de un punto inicial a un punto final. Si dicha integral curvil´ınea es independiente del camino, entonces se dice que el campo A(x, y, z) es conservativo. El que un campo de fuerzas sea conservativo es, por el teorema anterior, equivalente a ser irrotacional (es decir, tener rotacional id´enticamente nulo en todo punto).
´ 13.5. Integrales de superficie. Area de una superficie
269
Teorema 13.5. Si C es cerrada y ∇ × A = 0 entonces I A · dr = 0 C
13.5.
´ Integrales de superficie. Area de una superficie
Sea S una superficie bil´atera (con dos lados, al contrario de lo que sucede con otras superficies, como la cinta de M¨obius, que tienen un s´olo lado) cuya proyecci´on sobre el plano xy es R. Sup´ongase que una ecuaci´on de S sea z = f (x, y), donde f es uniforme y continua para todo x e y de R. Dividimos R en n subregiones de ´area ∆Ap , p = 1, 2, ..., n y levantamos una columna sobre cada una de estas subregiones hasta que corte a S donde determinan un ´area ∆Sp . Sea φ(x, y, z) uniforme y continua en todo punto de S. Formemos la suma n X
φ(ξ p , η p , ζ p )∆Sp
p=1
siendo (ξ p , η p , ζ p ) un punto de ∆Sp . Si existe el l´ımite de esta suma para n → ∞ de modo que cada ∆Sp → 0, se dice que ese l´ımite es la integral de superficie de φ(x, y, z) sobre S y se designa por Z Z φ(x, y, z)dS S
¯ ¯ Como ∆Sp = ¯sec γ p ¯ ∆Ap aproximadamente, siendo γ p el ´angulo que forma la normal a S con el eje positivo z, el l´ımite de la suma se puede escribir Z Z φ(x, y, z) |sec γ| dA R
donde
s 1 |sec γ| = = |np · k|
µ 1+
∂z ∂x
¶2
µ +
∂z ∂y
¶2
Si z = f (x, y) tiene derivadas continuas en R, entonces la integral se escribe en coordenadas cartesianas como s µ ¶2 µ ¶2 Z Z ∂f ∂f φ(x, y, f (x, y)) 1 + + dxdy ∂x ∂y R
270
Cap´ıtulo 13. C´ alculo vectorial
Si la ecuaci´on de S esta dada en forma impl´ıcita, es decir F (x, y, z) = 0, entonces la integral se puede escribir como p Z Z (Fx )2 + (Fy )2 + (Fz )2 dxdy φ(x, y, z) |Fz | R Se ha supuesto en todo momento que S es tal que toda paralela al eje z corta S en un solo punto. Si S no es de ese tipo se puede, por lo general, subdividir S en superficies S1 , S2 , ... que son de ese tipo. Entonces la integral sobre S se define como la suma de las integrales de superficie sobre S1 , S2 , .... El ´ area de una superficie se calcula con la integral sobre dicha superficie de la funci´on φ(x, y, z) = 1. Ejemplo 13.4. Eval´ ua la integral de superficie ZZ xzdS S
donde S es la parte del plano x + y + z = 1 que se encuentra en el primer octante. Soluci´ on: En primer lugar, observemos que nuestra superficie es un tri´angulo cuyos v´ertices se apoyan en los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y de aristas los segmentos de rectas y = 1 − x, z = 1 − y, x = 1 − z con x, y, z ∈ (0, 1). La superficie puede escribirse en la forma z = 1 − x − y ≡ f (x, y). Nuestra integral de superficie se podr´a escribir como s µ ¶2 µ ¶2 Z Z ∂f ∂f φ(x, y, f (x, y)) 1 + + dxdy ∂x ∂y R Z Z p = x(1 − x − y) 1 + (−1)2 + (−1)2 dxdy R µ ¶ Z 1 Z y=1−x √ √ Z 1 (1 − x)2 = 3x(1 − x − y)dxdy = 3 (x − x2 )(1 − x) − x dx 2 x=0 y=0 0 1√ = 3 24
13.6.
Flujo de un campo vectorial. Teoremas integrales del an´ alisis vectorial
Definici´ on 13.9. Flujo de un campo vectorial A(x, y, z) a trav´ es de una superficie cerrada S es Z Z A(x, y, z) · n(x, y, z)dS S
13.6. Flujo de un campo vectorial. Teoremas integrales del an´ alisis vectorial
271
donde n(x, y, z) es el vector normal de la superficie en el punto (x, y, z) ∈ S dirigido hacia el exterior de la superficie. Teorema 13.6. (Teorema de la divergencia o teorema de Gauss) Sea S una superficie cerrada que encierra una regi´ on de volumen V . T´ omese como direcci´ on positiva la de la normal exterior a la superficie. Sea A(x, y, z) un campo vectorial diferenciable. Entonces Z Z Z Z Z A(x, y, z) · n(x, y, z)dS = ∇ · AdV S
V
Es decir, el flujo de A a trav´es de S es igual a la integral de la divergencia de A en el volumen encerrado por S. Teorema 13.7. (Teorema del rotacional o teorema de Stokes) Sea S una superficie abierta bil´ atera cuyo contorno sea una curva cerrada C que no se corta a s´ı misma (curva simple cerrada). Consid´erese una recta normal a S como positiva si est´ a a un lado de la superficie S y negativa si est´ a al otro lado de S. La elecci´ on del lado positivo es arbitraria, pero debe hacerse de antemano. T´ omese como sentido positivo sobre C el que deja la superficie a la izquierda de un observador que va recorriendo C con su cabeza dirigida en el sentido de la normal positiva. Entonces si el campo vectorial A(x, y, z) es diferenciable en una regi´ on del espacio que contenga a S, se tiene I Z Z A(x, y, z) · dr = (∇ × A) · ndS C
S
Ejemplo 13.5. Sea S la superficie que consiste en porci´on de la superficie z = 1 − x2 − y 2 sobre el plano xy junto con el c´ırculo unidad en el plano xy (es decir, x2 + y 2 < 1). Encontrar el flujo del campo vectorial A(x, y, z) = xi + yj + zk a trav´es de S.
1
0.8
0.6
0.4
0.2 1
1 0.5
0.5
–1
–0.5 x
y –1
Figura 13.2: Superficie S en el ejemplo 13.5. Soluci´ on: Calculemos los flujos a trav´es del paraboloide y del c´ırculo por separado. A trav´es del paraboloide tendremos Z Z f lujo1 = A(x, y, z) · n(x, y, z)dS1 S1
272
Cap´ıtulo 13. C´ alculo vectorial
Z Z =
(xi + yj + f (x, y)k) · (2xi + 2yj + k) dA1 A1
Z Z
Z Z
2
=
2
2
2
(x2 + y 2 + 1)dxdy
(2x + 2y + 1 − x − y )dxdy = A1
A1
2 2 donde A1 es el c´ırculo unidad en el plano xy,³ hemos definido ´ f (x, y) = 1 − x − y ∂f ∂f y hemos calculado la normal exterior como − ∂x , − ∂y , 1 = (2x, 2y, 1). Entonces, pasando a polares, Z θ=2π Z r=1 3π f lujo1 = (r2 + 1)rdrdθ = 2 θ=0 r=0
A trav´es del c´ırculo tendremos Z Z Z Z f lujo2 = A(x, y, z) · n(x, y, z)dS2 = S2
(xi + yj) · (−k) dS2 = 0 S2
3π 2 .
Por tanto, el flujo total es
Como la superficie es cerrada, el flujo se puede calcular tambi´en aplicando el teorema de la divergencia: Z Z Z Z Z Z Z θ=2π Z 1 Z z=1−r2 f lujo = div AdV = 3dV = 3 rdrdθdz = θ=0
Z
θ=2π
Z
1
3 θ=0
µ
r(1 − r2 )drdθdz = 6π
r=0
r=0
1 1 − 2 4
¶
z=0
=
3π 2
Ejemplo 13.6. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial A(x, y, z) = 2zi + 3xj + 5yk siendo S la porci´on del paraboloide z = 4 − x2 − y 2 con z ≥ 0 y C la circunferencia de radio 2, x2 + y 2 = 4 que constituye el borde del paraboloide y se recorre en el sentido contrario a las agujas del reloj. Soluci´ on: La circunferencia unidad se puede parametrizar mediante (x(θ), y(θ)) = (2 cos θ, 2 sen θ) con θ ∈ [0, 2π]. Entonces Z Z 2π A(x, y, z) · dr = (0i + 6 cos θj + 10 sen θk) · (−2 sen θi + 2 cos θj) dθ = C
0
Z
2π
= 12
cos2 θdθ = 12π
0
Calculemos ahora la circulaci´on aplicando el teorema de Stokes ¯ ¯ ¯ i ¯ ¯ ∂ j∂ k∂ ¯ ¯ ∇ × A = ¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ = 5i + 2j + 3k ¯ 2z 3x 5y ¯
13.7. Referencias bibliogr´ aficas
Por tanto, Z Z
273
Z Z (∇ × A) · ndS =
(5i + 2j + 3k) · (2xi + 2yj + k) dA1
S
A1
Z Z
Z
=
θ=2π
Z
r=2
(10x + 4y + 3)dxdy = A1
13.7.
(10r cos θ + 4r sen θ + 3)rdrdθ = 12π θ=0
r=0
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 13 de [43], el cap´ıtulo 18 de [37], los cap´ıtulos 22 y 23 de [8] y el libro completo de [38].
13.8. 1.
2.
Ejercicios
Demostrar que el campo vectorial gradiente correspondiente a una funci´on escalar de tres variables es perpendicular a las superficies de nivel de la funci´on en todo punto. R Si A = (3x2 + 6yz)i + (2y + 3xz)j + (1 − 4xyz 2 )k, calcular A·dr de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) a lo largo de los siguientes caminos C: (a) x = t, y = t2 , z = t3 . (b) Los segmentos de (0, 0, 0) a (0, 0, 1), de (0, 0, 1) a (0, 1, 1) y de (0, 1, 1) a (1, 1, 1). (c) El segmento de recta de (0, 0, 0) a (1, 1, 1).
3.
Soluci´ on: (a) 2, (b) −3, (c) 65 . RR Calcular S A · ndS, donde A = xyi − x2 j + (x + z)k, S es la parte del plano 2x + 2y + z = 6 que queda en el primer octante y n es un vector normal unitario a S. Soluci´ on:
4.
27 4 .
Comprobar el teorema de Stokes para A = 3yi−xzj+yz 2 k, siendo S la superficie del paraboloide 2z = x2 + y 2 limitada por z = 2 y C su contorno. Soluci´ on: La circulaci´on a lo largo de C es 20π.
274
Cap´ıtulo 13. C´ alculo vectorial
Cap´ıtulo 14
Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias 14.1.
Introducci´ on
Las ecuaciones que se han resuelto hasta ahora respond´ıan a la necesidad de obtener los valores num´ericos de ciertas magnitudes. En las aplicaciones de las matem´aticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la inc´ ognita es una funci´ on, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto a otras. Por ejemplo al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar c´omo var´ıa la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella debe determinarse la dependencia de sus coordenadas polares respecto del tiempo, etc. A menudo es posible plantear una ecuaci´on que permita encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho puede decirse que ya conocemos el ejemplo m´as sencillo y primitivo de ecuaci´on funcional: las funciones impl´ıcitas. En este cap´ıtulo se va a estudiar la clase m´as importante de ecuaciones funcionales: las llamadas ecuaciones diferenciales, ecuaciones en las que adem´as de la funci´on desconocida aparecen tambi´en sus derivadas de distintos ´ordenes.
275
276
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
14.2.
Conceptos b´ asicos
Comenzaremos introduciendo los conceptos b´asicos relacionados con la clasificaci´on de las ecuaciones y el concepto de soluci´on de una ecuaci´on diferencial.
14.2.1.
Tipos de ecuaciones
Definici´ on 14.1. Se llama ecuaci´ on diferencial a cualquier ecuaci´ on en la que aparecen relacionadas - una o m´ as variables independientes, - una funci´ on de dichas variables, - las derivadas de la funci´ on con respecto a una o m´ as variables independientes. Definici´ on 14.2. 1.
Ecuaci´ on diferencial ordinaria (EDO) : una ecuaci´ on diferencial en la que la funci´ on inc´ ognita depende de una sola variable independiente. Se puede expresar de dos formas: a)
Ecuaci´ on en forma impl´ıcita (no aparece despejada la derivada de mayor orden): F (x, y(x), y 0 (x), y 00 (x), ...., y (n) (x)) = 0
b)
Ecuaci´ on en forma normal (aparece despejada la derivada de mayor orden y (n) (x)): y (n) (x) = f (x, y(x), y 0 (x), ...., y (n−1) (x))
2.
Ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales: aquella ecuaci´ on diferencial en la que la funci´ on inc´ ognita depende de varias variables.
Ejemplo 14.1. 1.
Ecuaci´on diferencial ordinaria en forma impl´ıcita. x2 y 00 − 3xy = 0 , sen(y 000 ) + 4x2 y 0 + 5y cos x = 0
2.
Ecuaci´on diferencial ordinaria en forma normal. y 00 = 4xy + sen x ; y 000 = −6xy 00 − cos x
3.
Ecuaci´on diferencial en derivadas parciales. Sea z = f (x, y), ∂2z ∂2z ∂z ∂2z ∂z + + =0 , + =z 2 ∂x ∂x ∂x∂y ∂y ∂x2
14.2. Conceptos b´ asicos
14.2.2.
277
Orden y grado
Definici´ on 14.3. Se llama orden de una ecuaci´ on diferencial al de la mayor derivada que aparece en la ecuaci´ on. Definici´ on 14.4. Se llama grado de una ecuaci´ on diferencial al exponente, si es un numero natural, al que est´ a elevada la derivada de mayor orden que aparece en ella. Si esta derivada no est´ a elevada a un exponente natural no es posible definir el grado de la ecuaci´ on. Ejemplo 14.2. ¿Cu´al es el orden, el grado y la forma en que se han expresado las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias? 1.
x2 y 00 + 2xy 0 + 2x = 0, EDO de segundo orden y primer grado en forma impl´ıcita.
2.
y 000 = 3y 00 − sen(x − 1) = 0, EDO de tercer orden y primer grado en forma normal.
3.
(y 00 )2 = 4x(1 − y 02 )2 , EDO de segundo orden y segundo grado en forma normal.
4.
(y 000 )2 = cos x + yex , EDO de tercer orden y segundo grado en forma normal.
14.2.3.
Ecuaciones diferenciales lineales
Definici´ on 14.5. Una ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal de orden n es una ecuaci´ on en la que la derivada n-´esima de la variable y es una funci´ on lineal de las dem´ as derivadas, de la propia funci´ on y, y de una funci´ on cualquiera de x que recibe el nombre de t´ ermino independiente. Por lo tanto, una EDO lineal de orden n es de la forma an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + ....a1 (x)y 0 + a0 (x)y = b(x) . Si b(x) ≡ 0, entonces se dice que la ecuaci´ on diferencial es homog´ enea. Ejemplo 14.3. Algunos casos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales. d2 y dy +5 + 6y = 0 es lineal 2 dx dx µ 2 ¶3 d y dy + 5y + 6y 2 = 0 no es lineal dx2 dx x tan y + y 0 = x + cos x 0
y tan x + y = x + cos x
no es lineal es lineal
278
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
14.2.4.
Soluciones de una EDO
Definici´ on 14.6. Se llama soluci´ on de una EDO a toda funci´ on y = f (x) que satisface dicha EDO. El proceso de hallar las soluciones de una EDO se denomina integrar la ecuaci´ on. Ejemplo 14.4. Dada la ecuaci´on y 00 + y = 0, la funci´on y = sen x es soluci´on de ella ya que: y 0 (x) = cos x , y 00 (x) = − sen x
y por tanto y 00 + y = − sen x + sen x = 0
De la misma manera, se comprueba que y(x) = cos x es soluci´on. En general, y = C1 cos x + C2 sen x son soluci´on para cualesquiera valores reales de C1 y C2 , tal como se puede comprobar f´acilmente. Definici´ on 14.7. Soluci´ on general de una EDO: Conjunto de todas las funciones que verifican dicha ecuaci´ on. Nota 14.1. En general son familias n-param´etricas de curvas siendo n el orden de la ecuaci´on. Cuando existe alguna soluci´on que no pertenece a dicha familia, esta funci´on recibe el nombre de soluci´ on singular. Definici´ on 14.8. Soluci´ on particular de una EDO: cualquier funci´ on que satisfaga la EDO Se puede obtener fijando el valor de las constantes de la soluci´ on general. Ejemplo 14.5. La soluci´on general de la ecuaci´on y 0 − y = 0 es el conjunto de funciones y(x) = Cex , que es una familia de funciones dependientes de un solo par´ametro (C). Una soluci´on particular de dicha ecuaci´on es y(x) = ex . 3
Ejemplo 14.6. Puede comprobarse que la familia y(x) = (x + C) 2 es soluci´on de la 1 ecuaci´on y 0 = 32 y 3 . La funci´on y = 0 es tambi´en soluci´on de la ecuaci´on y no pertenece a la familia dada, por lo que constituye una soluci´on singular de la ecuaci´on. Nota 14.2. Una de las aplicaciones pr´acticas de las EDOs aparece en problemas con una ecuaci´on y una o m´as condiciones (en funci´on del orden de la ecuaci´on) que ha de verificar la soluci´on de la ecuaci´on dada. Se trata de determinar una soluci´on particular de la ecuaci´on. Definici´ on 14.9. Si todas las condiciones se refieren a un mismo valor x, se denomina problema de valor inicial o problema de Cauchy. Ejemplo 14.7. Un ejemplo de problema de Cauchy o de valor inicial es el siguiente: 2 d y dx 2 + y = 0 y(1) = 3 0 y (1) = −4
14.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
279
Definici´ on 14.10. Si las condiciones dadas se refieren a valores diferentes de la x, se denomina problema de contorno. Ejemplo 14.8. Un ejemplo de problema de contorno es el siguiente: 2 d y dx 2 + y = 0 y(0) = 1 0 π y (2) = 5
14.3.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
14.3.1.
Distintas expresiones de las ecuaciones de primer orden
- Forma normal y 0 (x) = F (x, y(x)) - Forma impl´ıcita F (x, y(x), y 0 (x)) = 0 - Forma diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (x,y) Se obtiene a partir de la forma normal si F (x, y(x)) = − M N (x,y) :
dy M (x, y) =− ⇒ N (x, y)dy + M (x, y)dx = 0 dx N (x, y) Ejemplo 14.9. La ecuaci´on que en forma normal se escribe y 0 (x) =
x2 + y 2 x−y
se escribe en forma diferencial como (x2 + y 2 )dx − (x − y)dy = 0 y en forma impl´ıcita como (x − y)y 0 − (x2 + y 2 ) = 0
280
14.3.2.
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Resoluci´ on de diferentes tipos de ecuaciones de primer orden
Ecuaciones del tipo y 0 = f (x) Sin duda el caso m´as sencillo. Se resuelve por simple integraci´on Z Z Z 0 y (x) = f (x) ⇔ dy = f (x)dx ⇒ dy = f (x)dx + C ⇒ y = f (x)dx + C (y(x) es la primitiva de f ). Ejemplo 14.10. La soluci´on de la ecuaci´on diferencial y 0 = cos(3x) + 5 es
Z y(x) =
(cos(3x) + 5) dx =
sen(3x) + 5x + C 3
y la soluci´on de la ecuaci´on diferencial y 0 = e2x − x es
Z y(x) =
¡
¢ e2x x2 e2x − x dx = − +C 2 2
Ecuaci´ on de variables separadas La forma general de este tipo de ecuaciones es F (x)G(y)dx + H(x)P (y)dy = 0 ´o
dy F (x)G(y) =− dx H(x)P (y)
Son ecuaciones en las que ambas variables, dependiente e independiente, pueden separarse. Para resolverlas, se procede a dicha separaci´on y se integra respecto de cada variable. El proceso de resoluci´on consiste en “enviar” todo lo que implique x y todo lo que implique y a distintos lados de una igualdad: P (y) F (x) dy = − dx G(y) H(x)
14.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
281
A continuaci´on, se integra Z
P (y) dy = − G(y)
Z
F (x) dx H(x)
y se obtiene f (x) + g(y) = C donde f (x) es la primitiva de
F (x) H(x)
y g(y) es la primitiva de
P (y) G(y) .
Ejemplo 14.11. Z
dy =− 2y
2ydx + 3xdy = 0 ⇒
Z
2 dx ⇒ y = Cx− 3 3x
Ecuaciones de tipo homog´ eneo Este es un tipo de ecuaci´on que, aunque no es de variables separadas, se puede reducir a una de ellas mediante un cambio de variable adecuado. Definici´ on 14.11. Una funci´ on f (x1 , x2 , ..., xn ) es homog´ enea de grado r si f (λx1 , λx2 , ..., λxn ) = λr f (x1 , x2 , ..., xn )
para todo λ ∈ lR
Ejemplo 14.12. Casos particulares de funciones homog´eneas: 1.
2.
f (x, y) = x2 + y 2 − xy
¡ ¢ 2 Se eval´ ua f (λx, λy) = (λx) + (λy)2 − λxλy = λ2 x2 + y 2 − xy = λ2 f (x, y), y f (x, y) es por tanto una funci´on homog´enea de grado 2. f (x, y) = x2 + y 3 2
Se eval´ ua f (λx, λy) = (λx) + (λy)3 = λ2 x2 + λ3 y 3 6= λr f (x, y) para ning´ un r. f , por tanto, es no homog´enea. 3.
1
f (x, y) = (x + y) 2 1
1
1
1
Se eval´ ua f (λx, λy) = (λx + λy) 2 = λ 2 (x + y) 2 = λ 2 f (x, y). f es por tanto homog´enea de grado 21 . Definici´ on 14.12. Ecuaci´ on de tipo homog´ eneo1 . Dada una ecuaci´ on diferencial 0 ordinaria y = f (x, y), se dice que es una ecuaci´ on de tipo homog´eneo si la funci´ on f (x, y) es homog´enea de grado 0. 1 No confundir las ecuaciones de tipo homog´ eneo con las ecuaciones homog´ eneas de las que se habl´ o en el apartado de conceptos b´ asicos y de las que se volver´ a a hablar cuando se estudien las ecuaciones lineales.
282
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Nota 14.3. Una EDO de primer orden, expresada en forma diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es de tipo homog´eneo si M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´eneas de igual grado. ´ DE UNA EDO DE TIPO HOMOGENEO: ´ RESOLUCION Si M (x, y)dx+N (x, y)dy = 0 es una ecuaci´on de tipo homog´eneo, el cambio de variable y = ux la transforma en una ecuaci´on de variables separadas en u y x: 0 = M (x, ux)dx + N (x, ux)(udx + xdu) = xr M (1, u)dx + xr N (1, u)(udx + xdu) de donde se deduce [M (1, u) + uN (1, u)] dx + xN (1, u)du = 0 que es una ecuaci´on de variables separadas. Ejemplo 14.13. Resolver la EDO (x2 − 3y 2 )dx + 2xydy = 0 En primer lugar, obs´ervese que la ecuaci´on se puede escribir en la forma normal x2 − 3y 2 dy =− ≡ f (x, y) dx 2xy y la funci´on f (x, y) es homog´enea de orden cero, ya que f (λx, λy) = −
(λx)2 − 3(λy)2 λ2 (x2 − 3y 2 ) = f (x, y) =− 2λxλy λ2 (2xy)
Si hacemos ahora y = ux, entonces (x2 − 3(ux)2 )dx + 2xux(xdu + udx) = 0 y, separando variables,
1 2u du = − dx 2 1−u x
Solo resta integrar para obtener
¯ ¯ ln ¯1 − u2 ¯ = ln |x| + C
que implica
¯ ¯ ¯1 − u2 ¯ = |Kx|
y deshaciendo el cambio y = ux, obtenemos la soluci´on al problema en forma impl´ıcita: ¯ ¯ 2¯ ¯ ¯1 − y ¯ = |Kx| ¯ x2 ¯ Tambi´en se puede obtener la soluci´on en forma expl´ıcita despejando y: p y = ±x 1 + K1 x
14.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
283
Ecuaciones exactas Definici´ on 14.13. Ecuaci´ on exacta. Dada una ecuaci´ on diferencial M (x, y) + N (x, y)y 0 (x) = 0 se dice que es exacta si existe una funci´ on F de lR2 en lR tal que 0 N (x, y)y (x); es decir, ∂F = M (x, y) ∂x
y
dF (x,y(x)) dx
= M (x, y)+
∂F = N (x, y) ∂y
Ejemplo 14.14. La ecuaci´on y 2 dx + 2xydy = 0 es exacta ya que tomando la funci´on F (x, y) = xy 2 se verifica que ∂F = y 2 = M (x, y) , ∂x
∂F = 2xy = N (x, y) ∂y
´ DE UNA EDO EXACTA: Por definici´on de ecuaci´on exacta, existe una SOLUCION = 0. Eso implica que F (x, y(x)) = K y esta es funci´on F (x, y(x)) tal que dF (x,y(x)) dx la soluci´on (dada en forma impl´ıcita). Teorema 14.1. La EDO M (x, y) + N (x, y)y 0 (x) = 0 donde M (x, y) y N (x, y) admiten derivadas primeras continuas en un dominio D, es exacta si y solo si ∂M ∂N = ∂y ∂x La u ´nica dificultad en este tipo de ecuaciones reside en encontrar la funci´on F (x, y). Como ∂F ∂x = M (x, y), entonces necesariamente Z F (x, y) =
M (x, y)dx + C1 (y)
con C1 (y) una funci´on desconocida. Pero F (x, y) debe verificar tanto Z ∂ M (x, y)dx + C10 (y) = N (x, y) ∂y con lo cual C10 (y)
∂ = N (x, y) − ∂y
∂F ∂y
= N (x, y), y por
Z M (x, y)dx
Se puede comprobar que la funci´on a la derecha no depende de x y ello nos permite encontrar C1 (y).
284
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 14.15. Obtener la soluci´on general de la EDO y 2 dx + 2xydy = 0 En este caso M (x, y) = y 2 y N (x, y) = 2xy. La ecuaci´on es exacta, ya que ∂N ∂M = 2y , = 2y ∂y ∂x y por tanto
Z F (x, y) =
y 2 dx + C1 (y) = y 2 x + C1 (y)
Por otra parte 2xy = N (x, y) =
∂F = 2xy + C10 (y) ∂y
de lo que se deduce C10 (y) = 0 y por tanto C1 (y) = K. En consecuencia la soluci´on general es xy 2 + K = 0 Ejemplo 14.16. Obtener la soluci´on general de la EDO 3y + ex + (3x + cos y)
dy =0 dx
En este caso M (x, y) = 3y + ex y N (x, y) = 3x + cos y. La ecuaci´on es exacta, ya que ∂M ∂N =3 , =3 ∂y ∂x y por tanto Z F (x, y) =
(3y + ex ) dx + C1 (y) = 3yx + ex + C1 (y)
Por otra parte 3x + cos y = N (x, y) =
∂F = 3x + C10 (y) ∂y
de lo que se deduce C10 (y) = cos y y por tanto C1 (y) = sen y + C1 . Nuestra soluci´on general es por tanto 3yx + ex + sen y = K
14.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
285
Factores integrantes Muchas ecuaciones, a´ un no siendo exactas, se pueden convertir en una ecuaci´on exacta multiplic´andolas por una funci´on (llamada factor integrante). No toda ecuaci´on posee un factor integrante, pero veremos ciertos casos en los que tal factor se puede hallar f´acilmente. Consideremos la ecuaci´on M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 Multipliquemos por el factor integrante µ(x, y). Se obtiene entonces µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 para que esta ecuaci´on sea exacta es necesario que ∂ (µ(x, y)N (x, y)) ∂ (µ(x, y)M (x, y)) = ∂y ∂x Esto es, M
∂M ∂µ ∂N ∂µ +µ =N +µ ∂y ∂y ∂x ∂x
lo que representa una ecuaci´on en derivadas parciales para µ. En general es muy dif´ıcil resolver este tipo de ecuaciones, pero hay ciertos casos en los que no lo es tanto: 1) El factor es de la forma µ(x). Se obtiene entonces la ecuaci´on µ y por tanto
∂M ∂µ ∂N =N +µ ∂y ∂x ∂x
· ¸ 1 ∂M (x, y) ∂N (x, y) 1 ∂µ = − µ ∂x N (x, y) ∂y ∂x
Una h condici´oin para tener factor integrante que dependa solo de x es entonces que ∂N 1 ∂M tambi´en dependa solamente de x. Si se sigue operando: N ∂y − ∂x · ¸ 1 ∂µ ∂ ln µ 1 ∂M (x, y) ∂N (x, y) = = − ≡ g(x) µ ∂x ∂x N (x, y) ∂y ∂x y µ(x) = Ke
R
g(x)dx
2) El factor es de la forma µ(y). Entonces, la condici´on que deben cumplir M y N es · ¸ 1 ∂M (x, y) ∂N (x, y) − ≡ h(y) M (x, y) ∂y ∂x
286
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
y el factor integrante es
µ(x) = Ke−
R
h(y)dy
3) El factor integrante es de la forma µ(z) con z = z(x, y). La condici´on para M y N es entonces h i ∂M (x,y) (x,y) − ∂N∂x ∂y ≡ f (z) ∂z ∂z N (x, y) ∂x − M (x, y) ∂y y el factor integrante es entonces µ(z) = Ke
R
f (z)dz
Ecuaciones lineales Una EDO de primer orden lineal es de la forma y 0 (x) + p(x)y(x) = r(x)
(14.1)
Hay dos tipos esenciales: 1) homog´eneas. Si r(x) = 0. 2) no-homog´eneas (o completas). Si r(x) 6= 0. La ecuaci´on homog´enea asociada a un problema no-homog´eneo como el (14.1) es y 0 (x) + p(x)y(x) = 0 La raz´on de introducir esta diferenciaci´on proviene del siguiente teorema: Teorema 14.2. La soluci´ on general de una ecuaci´ on lineal completa puede escribirse como suma de la soluci´ on general de la ecuaci´ on homog´enea asociada m´ as una soluci´ on particular de la ecuaci´ on lineal completa. Demostraci´ on. Sea yp (x) una soluci´on del problema no-homog´eneo, y escribamos y(x) = yh (x) + yp (x) Entonces,
0
(yh (x) + yp (x)) + p(x) (yh (x) + yp (x)) = r(x) o, agrupando t´erminos, £ 0 ¤ yp + p(x)yp + [yh0 + p(x)yh ] = r(x)
14.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
287
Pero yp0 + p(x)yp = r(x) por definici´on de yp . Por tanto, yh debe satisfacer yh0 + p(x)yh = 0 es decir, debe ser soluci´on del problema homog´eneo asociado. ¤ ´ DE LA ECUACION ´ HOMOGENEA: ´ RESOLUCION Si y 0 + p(x)y = 0 entonces
y0 = −p(x) y
y por tanto
y(x) = ±e−
R
p(x)dx+C
= Ke−
R
p(x)dx
´ DE LA ECUACION ´ NO-HOMOGENEA: ´ RESOLUCION En virtud del Teorema 14.2, para resolver un problema no-homog´eneo debemos: 1) Calcular la soluci´on general yh (x) de la ecuaci´on homog´enea, lo cual se ha hecho en el apartado anterior. 2) Encontrar alguna soluci´on del problema no-homog´eneo. Esta soluci´on se llama soluci´ on particular. 3) Sumarlas. La dificultad radica entonces en el paso 2). Hay dos m´etodos esenciales para encontrar soluciones particulares: El m´ etodo de variaci´ on de constantes. Consiste en suponer que la soluci´on del problema no-homog´eneo tiene un aspecto muy parecido a la soluci´on del problema homog´eneo: R yp (x) = K(x)e− p(x)dx (14.2) pero con la constante sustituida por una funci´on desconocida de x. Si introducimos (14.2) en la ecuaci´on obtenemos ³ ´0 R R K(x)e− p(x)dx + p(x)K(x)e− p(x)dx = K 0 (x)e− y por tanto
R
p(x)dx
− p(x)K(x)e−
R
p(x)dx
K 0 (x) = r(x)e
y
Z K(x) =
r(x)e
R
R
+ p(x)K(x)e−
p(x)dx
p(x)dx
dx + C
R
p(x)dx
= r(x)
288
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
C es una constante arbitraria, pero como buscamos solo una soluci´on particular, la escogemos igual a cero. Entonces, la soluci´on particular buscada es Z R R − p(x)dx yp (x) = e r(x)e p(x)dx dx Ejemplo 14.17. Encontrar la soluci´on general de la ecuaci´on y 0 + 2xy = 4x. Paso 1). Encontremos soluci´on general del problema homog´eneo asociado: yh0 + 2xyh = 0 Entonces
yh (x) = e−
R
2xdx+C
= Ke−x
2
Paso 2). Encontremos soluci´on particular del problema no-homog´eneo. yp (x) = e−
R
Z p(x)dx
r(x)e
R
Z p(x)dx
2
dx = e−x
2
4xex dx = 2
Paso 3). Sumarlas para obtener la soluci´on general 2
y(x) = Ke−x + 2 Uso de factores integrantes. Se trata simplemente de darse cuenta de que µ(x) = R e p(x)dx es un factor integrante de una ecuaci´on lineal y usar este hecho para integrar la ecuaci´on.
14.4.
Resoluci´ on de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de orden n
Recordemos que una ecuaci´on lineal de orden n tiene la forma general an (x)y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + .... + a1 (x)y 0 (x) + a0 (x)y(x) = b(x)
(14.3)
y que un problema de valores iniciales asociado a una ecuaci´on lineal de orden n consiste en la ecuaci´on (14.3) junto con las n condiciones: (n−1)
y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , y 00 (x0 ) = y000 , ....., y (n−1) (x0 ) = y0
(14.4)
Recordemos tambi´en que si b(x) ≡ 0, la ecuaci´on (14.3) recibe el nombre de ecuaci´on lineal homog´enea.
14.4. Resoluci´ on de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de orden n
289
Con respecto al problema (14.3)-(14.4) podemos probar el siguiente teorema que garantiza la existencia y unicidad de soluciones: Teorema 14.3. Dado el problema de valor inicial (14.3)-(14.4), si b(x), ai (x) (i = 0, 1, ..., n) son funciones continuas en un intervalo (a, b) que contiene a x0 , entonces el problema tiene una u ´nica soluci´ on en (a, b).
14.4.1.
Ecuaci´ on lineal homog´ enea
on de una ecuaci´ on Proposici´ on 14.1. Dadas y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) funciones soluci´ lineal homog´enea, toda combinaci´ on lineal de ellas n X
Ci yi (x)
i=1
es tambi´en soluci´ on de dicha ecuaci´ on. Definici´ on 14.14. Un conjunto de n soluciones linealmente independientes de una EDO homog´enea de orden n recibe el nombre de sistema fundamental de soluciones de dicha ecuaci´ on. Definici´ on 14.15. Wronskiano: Dadas las funciones fine su Wronskiano como el determinante ¯ ¯ y1 (x) y2 (x) ¯ ¯ y10 (x) y20 (x) W [y1 , y2 , ..., yn ] = ¯¯ ... ... ¯ (n−1) (n−1) ¯ y (x) y (x) 1 2
y1 (x), y2 (x), ..., yn (x), se de... ... .. ...
yn (x) yn0 (x) ... (n−1) (x) yn
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Teorema 14.4. Un conjunto de n soluciones de una EDO lineal de orden, y1 (x), y2 (x), ..., yn (x), tales que W [y1 , y2 , ..., yn ] 6= 0 para todo x en el intervalo (a, b) constituyen un sistema fundamental en dicho intervalo. Toda soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea se puede escribir como combinaci´ on lineal de estas soluciones.
14.4.2.
Ecuaci´ on lineal no-homog´ enea
Teorema 14.5. La soluci´ on general de la EDO lineal completa resulta de a˜ nadir a la soluci´ on general de la homog´enea asociada una soluci´ on particular de la completa. El conjunto de soluciones de la ecuaci´ on lineal completa tiene estructura de espacio vectorial af´ın al espacio vectorial de las soluciones de la homog´enea asociada.
290
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Por tanto, para resolver una ecuaci´on lineal no homog´enea, debemos: 1) hallar la soluci´on general yh (x) del problema homog´eneo asociado. 2) hallar una soluci´on particular yp (x) del problema no-homog´eneo. 3) sumarlas para obtener soluci´on general del problema no-homog´eneo. En general, este plan se puede complicar desde el principio por el hecho de que no hay recetas generales para calcular las soluciones del problema homog´eneo. Un caso en el que si las hay, es el de coeficientes constantes.
14.4.3.
Ecuaciones lineales homog´ eneas de coeficientes constantes
Una EDO homog´enea de coeficientes constantes tiene la forma an y (n) + an−1 y (n−1) + an−2 y (n−2) + ... + a1 y 0 + a0 y = 0
con a0 , a1 , a2 , ..., an ∈ lR (14.5) Es natural buscar como soluciones funciones tales que sus derivadas tengan el “mismo aspecto” que ellas, de modo que los t´erminos de la ecuaci´on se puedan cancelar para todo valor de x. Unas funciones que cumplen esta propiedad son las exponenciales. Si introducimos y(x) = emx en (14.5) obtenemos £ ¤ an mn + an−1 mn−1 + an−2 mn−2 + .... + a1 m + a0 emx = 0 As´ı es que emx ser´a soluci´on si y solo si Pn (m) ≡ an mn + an−1 mn−1 + an−2 mn−2 + .... + a1 m + a0 = 0 Definici´ on 14.16. Al polinomio Pn (m) se le llama polinomio caracter´ıstico asociado a la ecuaci´ on (14.5). La existencia de soluciones exponenciales est´a entonces ligada a la existencia de ra´ıces del polinomio caracter´ıstico. Sabemos que todo polinomio de grado n tiene n ra´ıces m1 , m2 , ..., mn (algunas reales, algunas complejas y algunas que pueden estar repetidas) en el campo de los complejos. Se presentan entonces varias posibilidades: a) Todas las ra´ıces son reales y simples. Entonces son soluciones y1 (x) = em1 x , y2 (x) = em2 x , ......, yn (x) = emn x se puede verificar que su Wronskiano es no nulo y constituyen por tanto un sistema fundamental. Entonces, la soluci´on general ser´a: y(x) = C1 em1 x + C2 em2 x + ... + Cn emn x
14.4. Resoluci´ on de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de orden n
291
b) Existe alguna ra´ız compleja mj = λ+µi. Entonces λ−µi es tambi´en ra´ız y podemos construir dos soluciones complejas al problema homog´eneo: yC1 (x) = yC2 (x) =
e(λ+µi)x = eλx (cos(µx) + i sen(µx)) e(λ−µi)x = eλx (cos(µx) − i sen(µx))
Combinando las dos soluciones complejas se obtienen dos soluciones reales linealmente independientes: y1 (x) = eλx cos(µx) , y2 (x) = eλx sen(µx) c) Existe alguna ra´ız mj real repetida r veces (multiplicidad r). Entonces, podemos construir r soluciones de la forma y1 (x) = y2 (x) = y3 (x) = yr (x) =
emj x xemj x x2 emj x ... xr−1 emj x
d) Existe alguna ra´ız mj = λ + µi compleja repetida r veces. Entonces la compleja conjugada tambi´en est´a repetida r veces. En este caso, por tanto, se pueden construir 2r soluciones de la forma
y1 (x) = y2 (x) = yr (x) = yr+1 (x) = yr+2 (x) = y2r (x) =
eλx cos(µx) xeλx cos(µx) ... xr−1 eλx cos(µx) eλx sen(µx) xeλx sen(µx) ... xr−1 eλx sen(µx)
Se puede verificar que el Wronskiano de todas las soluciones construidas es no nulo (en todo punto) y por tanto constituyen un sistema fundamental.
292
14.4.4.
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
C´ alculo de una soluci´ on particular de la ecuaci´ on nohomog´ enea
M´ etodo de variaci´ on de constantes Si hemos sido capaces de encontrar un sistema fundamental de soluciones para la ecuaci´on homog´enea (ya sea porque vienen dadas o porque la ecuaci´on es de coeficientes constantes y aplicamos el m´etodo del apartado anterior), entonces encontrar una soluci´on particular para la ecuaci´on completa es relativamente simple mediante el m´etodo de variaci´on de constantes. Este m´etodo parte de la hip´otesis de que las soluciones de una EDO lineal son de la misma forma que la ecuaci´on lineal homog´enea asociada, pero donde las constantes dependen de la variable independiente. Dada an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + ... + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = b(x)
(14.6)
y calculada la soluci´on de an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + ... + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 que ser´a de la forma y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x) se impondr´a que la soluci´on de (14.6) sea de la forma y(x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) + ... + Cn (x)yn (x) De este modo, deben determinarse los valores Ci (x) con i = 1, 2, ..., n. Para ello han de establecerse n ecuaciones: n X Ci0 (x)yi (x) = 0 i=1 n X
Ci0 (x)yi0 (x) =
i=1 n X i=1 n X i=1
0 ....
(n−2) Ci0 (x)yi (x)
(n−1)
Ci0 (x)yi
=
(x) =
0
(14.7)
b(x) an (x)
Las primeras n − 1 ecuaciones se imponen a priori y la u ´ltima se deduce del hecho de que y(x) tiene que ser soluci´on de (14.6) y de las anteriores. El sistema (14.7) es un sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas (C10 (x), C20 (x), ..., Cn0 (x)). N´otese que el determinante del sistema no es m´as que el Wronskiano de y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) y es no nulo si estas funciones forman un conjunto fundamental. Resolviendo el sistema encontramos Ci0 (x) (i = 1, 2, ..., n) y mediante simple integraci´on hallamos Ci (x).
14.4. Resoluci´ on de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de orden n
293
M´ etodo de los coeficientes indeterminados Este es un m´etodo que solo funciona en ciertos casos: cuando la ecuaci´on es lineal de coeficientes constantes y cuando el t´ermino b(x) tiene una forma particular. El m´etodo consiste en proponer como soluci´on una cierta funci´on que contiene coeficientes arbitrarios, y fijar dichos coeficientes de modo que la funci´on propuesta sea realmente una soluci´on a la ecuaci´on. M´as precisamente, si el segundo miembro de la ecuaci´on tiene la forma b(x) = eαx [sen(βx)Pm (x) + cos(βx)Qn (x)] , donde Pm y Qn son polinomios de grado m y n respectivamente se podr´a utilizar el m´etodo de los coeficientes indeterminados que consistir´a en buscar una soluci´on particular de la forma: h i fk (x) + cos(βx)Q fk (x) , yp (x) = xs eαx sen(βx)P fk y Q fk son polinomios de grado k de coeficientes a en donde k = m´ax{m, n}; P determinar; y s es el orden de la multiplicidad de la ra´ız α ± βi en la ecuaci´on caracter´ıstica (s = 0 si α + βi no es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica). Como casos particulares se tendr´a: b(x) Pn (x) = A0 xn + A1 xn−1 + ... + An Pn (x)eαx Pm (x) sen(βx) + Qn (x) cos(βx)
y(x) fn (x) xs (B0 xn + B1 xn−1 + ... + Bn ) = xs P sf αx x Phn (x)e i fk (x) + cos(βx)Q fk (x) xs sen(βx)P
Ejemplo 14.18. Determ´ınese una soluci´on particular para la ecuaci´on y 00 + 4y = xex + x sen(2x)
(14.8)
Soluci´ on: Por el principio de superposici´on una soluci´on particular ser´a suma de las soluciones particulares de las ecuaciones y 00 + 4y y 00 + 4y
= xex = x sen(2x)
(14.9) (14.10)
Buscamos una soluci´on particular de (14.9) en la forma y(x) = (B0 x + B1 )ex . Introduciendo esta expresi´on en (14.9) obtenemos la ecuaci´on: (2B0 + B0 x + B1 ) ex + 4(B0 x + B1 )ex = xex y tenemos as´ı las siguientes ecuaciones para los coeficientes indeterminados B0 y B1 : 2B0 + 5B1 5B0
= =
0 1
294
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 cuya soluci´on es B1 = − 25 , B0 = 15 . Para la ecuaci´on (14.10) tenemos que proponer
y(x) = x(B0 x + B1 ) cos(2x) + x(C0 x + C1 ) sen(2x) ya que sen(2x) y cos(2x) son soluciones del problema homog´eneo (o, lo que es lo mismo, 2i y −2i son ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on homog´enea asociada a (14.10)). Introduciendo y(x) en (14.10) obtenemos : (2B0 + 8xC0 + 4C1 ) cos 2x + (−8xB0 − 4B1 + 2C0 ) sen 2x = x sen(2x) de donde se deduce el sistema 2B0 + 4C1 8C0 −4B1 + 2C0 −8B0 con soluci´on B1 = 0, C0 = 0, C1 =
1 16 , B0
= = = =
0 0 0 1
= − 18 .
Por tanto, una soluci´on particular de (14.8) es µ ¶ 2 1 1 1 y(x) = − + x ex − x2 cos(2x) + x sen(2x) 25 5 8 16
14.5.
Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Se puede decir sin miedo a exagerar que las matem´aticas alcanzan su grado m´aximo de aplicabilidad a las ciencias a trav´es de las ecuaciones diferenciales. La raz´on estriba en el hecho de que muchas leyes naturales se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. Esto es natural, ya que los hechos experimentales sobre los que se apoyan tales leyes suelen implicar la variaci´on de una cierta magnitud en funci´on de unas causas dadas y eso conlleva una relaci´on entre velocidad de variaci´on (derivada) y causas (una funci´on de ciertas magnitudes). En esta secci´on nos centraremos en aplicaciones a la cin´etica qu´ımica, la desintegraci´ on nuclear, la evoluci´on de poblaciones, la mec´anica y las mezclas. Los ejemplos son solo una muestra de las aplicaciones que habr´a de usar un Ingeniero Qu´ımico o Medioambiental.
14.5.1.
Aplicaciones a la cin´ etica qu´ımica
En cin´etica qu´ımica se enuncia la siguiente ley con respecto a las reacciones de la forma A
→ B
14.5. Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
A+B
295
→ X
Ley de acci´ on de masas: La velocidad de una reacci´on qu´ımica a una temperatura dada depende u ´nicamente de las concentraciones de las sustancias involucradas. Las reacciones se clasifican seg´ un el siguiente criterio: 1) La reacci´on A → B se llama de primer orden si la velocidad de reacci´on es proporcional a la concentraci´on de A (que denotamos por [A] (t)). Entonces d [A] (t) = −k1 [A] (t) dt 2) La reacci´on A → B se llama de segundo orden si la velocidad de reacci´on es proporcional al cuadrado de la concentraci´on de A. Entonces d [A] (t) 2 = −k2 [A] (t) dt 3) La reacci´on A + B → X es de primer orden en A y de primer orden en B si la velocidad de reacci´on es proporcional a las concentraciones de A y B. Si denotamos por x(t) la concentraci´on de X en el instante t y [A] (0) = a, [B] (0) = b, se tendr´a que las mol´eculas de A y B desaparecen simult´aneamente para dar lugar a una mol´ecula de X. Si medimos las concentraciones en moles/l, tendremos dx(t) = k3 (a − x(t))(b − x(t)) dt
14.5.2.
Aplicaciones a las desintegraciones nucleares
Algunos n´ ucleos at´omicos con un cierto n´ umero de protones y neutrones experimentan transformaciones espont´aneas para convertirse en otros n´ ucleos con menor n´ umero de protones o neutrones. La masa restante es emitida en forma de radiaci´on. Un ejemplo puede ser la presente desintegraci´on, llamada desintegraci´on alfa: 236 88 Ra
→
232 86 Rn
+ 42 He
Un n´ ucleo de Radio con 88 protones y 236 − 88 neutrones se transforma en un n´ ucleo de Rad´on con 86 protones y 232 − 86 neutrones. Sale emitido, en forma de radiaci´on, un n´ ucleo de Helio (radiaci´on alfa). Las desintegraciones radioactivas satisfacen la siguiente ley: Ley de desintegraci´ on radiactiva: La cantidad de ´atomos de una sustancia radiactiva que se desintegran por unidad de tiempo es proporcional a la cantidad de ´atomos presentes.
296
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Si se denota por Q(t) el n´ umero de ´atomos de 236 88 Ra, tendremos de acuerdo con la ley de desintegraci´on radiactiva, que dQ(t) = −kQ(t) dt donde k es una constante (distinta para cada n´ ucleo que se desintegra). Una aplicaci´on interesante de la ley de desintegraci´on radiactiva es la dataci´on de restos hist´oricos (el c´elebre carbono 14) o las aplicaciones a la dataci´on de estructuras geol´ogicas o f´osiles. Se ver´an ejemplos en los ejercicios. Otro contexto en el que aparece, es la estimaci´on de la vida y el nivel de riesgo de residuos radiactivos.
14.5.3.
Aplicaciones a la ecolog´ıa
Las variaciones que experimentan las poblaciones (ya sea de animales, plantas o personas) se pueden deber a varias causas. Hay dos b´asicas: el nacimiento y la muerte de individuos. Otra causa que puede afectar es la existencia de corrientes migratorias. Vamos a centrarnos en esta corta exposici´on en el caso de sistemas cerrados. Es decir, sistemas en los que no entran ni salen individuos. La cantidad de individuos que nacen se puede medir con un par´ametro α llamado tasa de natalidad. Nos da el n´ umero de individuos que nacen por cada 1000 habitantes y por a˜ no (la escala de n´ umero de habitantes y tiempo puede cambiar). La cantidad de individuos que mueren se mide con un par´ametro β llamado tasa de mortalidad. Nos da el n´ umero de individuos que mueren por cada 1000 habitantes y por a˜ no. Si denotamos por N (t) el n´ umero de miles de individuos que contiene la poblaci´on, tendremos que dN (t) = αN (t) − βN (t) dt A r = α − β se le llama tasa de crecimiento. Este modelo de crecimiento es muy simplista ya que, si r > 0, se tiene N (t) = N (0)ert que se traduce en un crecimiento exponencial e ilimitado de la poblaci´on, lo cual es imposible dado lo limitado de los recursos. Lo que se hace en muchos modelos ecol´ogicos es sustituir la ley anterior por la llamada ley log´ıstica: µ ¶ dN (t) N (t) 2 = αN (t) − βN (t) − γN (t) = rN (t) 1 − dt k donde el nuevo t´ermino modela el hecho de que la poblaci´on, cuando es excesivamente grande, experimenta problemas de subsistencia y muchos individuos fallecen por causas distintas al ciclo de vida normal (luchas, hambre, etc.). El modelo, aunque muy
14.5. Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
297
simple, se ha revelado correcto en muchos contextos. Al par´ametro k se le llama nivel de saturaci´on, ya que las soluciones N (t) de la ecuaci´on han de ser menores que k. Intuitivamente, mide el nivel m´aximo de poblaci´on que el sistema admite.
Figura 14.1: Comparaci´on entre la ley de crecimiento exponencial y la ley log´ıstica.
14.5.4.
Problemas de mec´ anica
La ley fundamental de la mec´anica es la segunda ley de Newton, que establece que la masa de una part´ıcula m´ovil por su aceleraci´on es igual a la resultante de la suma de todas las fuerzas que act´ uan sobre la part´ıcula. Si nos restringimos al caso de part´ıculas que se mueven en una dimensi´on, la ley se expresa matem´aticamente en la forma N d2 x(t) X m = Fi (x(t), x0 (t), t) dt2 i=1 Esta es una ecuaci´on de segundo orden y, en general, no lineal. Los casos particulares que sabemos resolver ahora corresponden a fuerzas que dependen s´olo del tiempo, o s´ olo de x0 (t), en cuyo caso definimos x0 (t) = v(t) y escribimos N
m
dv X = Fi (v(t)) dt i=1
o dependen linealmente de x(t): N
m
d2 x(t) X = ki x(t) dt2 i=1
298
14.5.5.
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Problemas de mezclas
Una cierta sustancia entra en un recipiente (que puede ser un contenedor o la cuenca de un lago) disuelta en agua o directamente. Se trata de conocer la concentraci´on de sustancia que hay en el recipiente en cada instante. Pensemos, por ejemplo, en un lago al que afluyen r´ıos que llevan disueltos una sustancia contaminante o sobre el que se arroja el contaminante directamente. Al lago llegan r litros por segundo de agua con k g/l de sustancia disuelta. Sobre el lago se arrojan P g/s de sustancia y del lago salen (al mar, por ejemplo) r litros por segundo de agua. ¿Cu´al es la concentraci´on de sustancia en cada instante? La ecuaci´on que describir´a el proceso es Q(t) dQ(t) = kr − r +P dt V donde Q(t) es la cantidad de sustancia presente en el lago y V es el volumen de agua en el lago.
14.5.6.
Aplicaciones m´ as avanzadas de las ecuaciones diferenciales ordinarias
En el siguiente cap´ıtulo se estudiar´an los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. No obstante, con manipuladores simb´olicos (tipo Maple), se pueden hallar soluciones aproximadas y deducir propiedades cualitativas de las soluciones. Discutiremos dos ejemplos: 1) Evoluci´ on de cadenas radiactivas Las sustancias radiactivas, por lo general, se desintegran siguiendo ciertas cadenas, en la que unos n´ ucleos se desintegran en otros y esos otros en unos nuevos. Por ejemplo, la evoluci´on de cuatro de los primeros is´otopos de la 2a cadena radiactiva Cm246 –> Pu242 –> U238 –> U234 se rige mediante el sistema de cuatro ecuaciones diferenciales: dy1 dt dy2 dt dy3 dt dy4 dt
=
−1,46 × 10−4 y1
=
1,46 × 10−4 y1 − 1,842 × 10−6 y2
=
1,842 × 10−6 y2 − 1,551 × 10−10 y3
=
1,551 × 10−10 y3 − 2,83 × 10−6 y4
donde y1 , y2 , y3 e y4 son las cantidades de los is´otopos Cm246, Pu242, U238 y U234 respectivamente y las constantes que las multiplican en el sistema anterior son las
14.5. Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
299
constantes de desintegraci´on de dichos is´otopos expresadas en (1/a˜ nos). Suponiendo que se considera un contenedor de residuos radiactivos donde inicialmente hay 1000 gr. de Cm246, 300gr de Pu242, 800gr de U238 y 500gr de U234, ¿Qu´e cantidad habr´a de cada una de las sustancias en los primeros 100.000 a˜ nos? La soluci´on anal´ıtica del sistema anterior aparece en la figura 14.2, en donde se representa la cantidad de cada unos de los is´otopos presentes en funci´on del tiempo.
Pu242
1200
1000 U238 800
600 U234 400
200 Cm246 0
20000
40000
60000
80000
100000
t
Figura 14.2: Evoluci´on de cuatro is´otopos de la 2a cadena radiactiva. 2) Evoluci´ on de sistemas depredador-presa En un sistema cerrado, conviven zorros y conejos. Los zorros comen conejos para subsistir. Tantos m´as conejos hay, m´as zorros pueden ser mantenidos. Pero si la poblaci´on de zorros aumenta mucho, entonces comen demasiados conejos, y la poblaci´on de estos puede disminuir dr´asticamente, con lo cu´al los zorros no tienen que comer y mueren de hambre. Estas consideraciones dan una idea de lo compleja que es, a priori, la din´amica de poblaciones cuando unas dependen de otras. El modelo generalmente utilizado es el llamado de Lotka-Volterra o depredador presa. Si denotamos por x(t) la poblaci´on de conejos (en miles) y por y(t) la poblaci´on de zorros (en miles) el sistema que describe la evoluci´on de tales poblaciones es dx(t) dt dy(t) dt
= a1 x(t) − a2 x(t)y(t) = −a3 y(t) + a4 x(t)y(t)
con ai constantes positivas. Consideremos por ejemplo a1 = 1, a2 = 0,5, a3 = 0,75, a4 = 0,25 y que en el instante inicial hay 4000 conejos y 500 zorros. La soluci´on del
300
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
problema se halla num´ericamente con un ordenador y la gr´afica que representa la evoluci´on de las poblaciones de zorros y conejos aparece en la figura 14.3.
conejos 8
6
zorros
y 4
2
0
5
10
15
20
t
Figura 14.3: Evoluci´on de las poblaciones de presas(conejos) y depredadores(zorros).
14.6.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar los cap´ıtulos 1, 2, 3, 4 y 5 de [59] y los cap´ıtulos 16 y 17 de [55].
14.7. 1.
Ejercicios
Indicar el orden y el grado de las siguientes e.d.o.: 00
a) x2 y + 2xy 0 + 2x = 0. ( Sol: orden 2, grado 1 ). b) y
000
00
= 3(y )2 − sen(x − 1). ( Sol: orden 3, grado 1).
00
c) (y )2 = 4x(1 − y 0 )6 . ( Sol: orden 2, grado 2 ). 000
d ) (y )2 = cos x + yex . ( Sol: orden 3, grado 2). µ 2 ¶2 ∂ y ∂y e) sen x + 3xy + yex = 0. ( Sol: orden 2, grado 2). 2 ∂x ∂x µ ¶2 ∂2y ∂y 2 f) + 5x + 6y = 0. ( Sol: orden 2, grado 1 ). ∂x2 ∂x 2.
Indicar si son lineales o no las siguientes e.d.o.:
14.7. Ejercicios
301
00
a) y + 5y 0 + 6y = x2 cos x. ( Sol: Si). 000
b) (y )3 + 5y 0 y + 6y 2 = 0. ( Sol: No). c) xtg(y) + y 0 = x + cos x. ( Sol: No). d ) y 0 + x2 − 1 = y. ( Sol: Si). e) ydx + (xy + x − 3y)dy = 0. ( Sol: No). 00
f ) 3xy − 4y 0 y + y sen x = 4x. ( Sol: No). 00
g) y − 2y + 3 = ex . ( Sol: Si). h) 4xy 0 + cos y = 5x. ( Sol: No). 3.
Demuestra que las funciones dadas son soluciones de las e.d.o que las acompa˜ nan: 00
a) y(x) = C sen x + K cos x
y + y = 0.
b) y(x) = ex
y 0 − y = 0.
c) y(x) = x + e−x
y 0 + y = x + 1. 00
d ) y(x) = 2e3x − 5e4x 4.
y − 7y 0 + 12y = 0.
Verifica si las siguientes funciones son soluci´on general de las e.d.o. que las acompa˜ nan: 00
a) y(x) = C1 + C2 e−x
y + y 0 = 0. ( Sol: Si). 00
b) y(x) = C1 e−4x + C2 e−2x 5.
y − 2y 0 − 8y = 0. ( Sol: No).
Determina los valores de m para los cuales la funci´on y(x) = emx es una soluci´on 00 particular de la e.d.o.: −3y + 4y 0 − 2y = 0. Soluci´ on: m =
2 3
±
√
8 6 i
6.
Verifica que la funci´on dada mediante la relaci´on x2 + y 2 − 4 = 0 es una soluci´on de la e.d.o.: y 0 = − xy .
7.
Verifica que la funci´on: ( y(x) =
−x2
si x < 0
x2
si x ≥ 0
es soluci´on de la e.d.o.: xy 0 − 2y = 0. 8.
Sabiendo que y(x) = C1 sen x + C2 cos x es la soluci´on general de la ecuaci´on 00 diferencial y + y = 0 determina la funci´on que es soluci´on de los problemas de Cauchy siguientes:
302
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
a) 00 y +y =0 y(0) = 0 0 y (0) = 0 (Soluci´ on: y(x) = 0.) b) 00 y +y =0 y(1) = 3 0 y (1) = 4 (Soluci´ on: y(x) = (3 sen 1 + 4 cos 1) sen x + (−4 sen 1 + 3 cos 1) cos x.) 9.
Sabiendo que y(x) = C1 sen x + C2 cos x es la soluci´on general de la ecuaci´on 00 diferencial y + y = 0 determina, si existen, las funciones que son soluci´on de los problemas de contorno siguientes: a) 00 y +y =0 y(0) = 0 y(π/2) = 1
( Sol: y(x) = sen x.)
b) 00 y +y =0 y(0) = 1 y(π/2) = 5
( Sol: y(x) = 5 sen x + cos x.)
c) 00 y +y =0 y(0) = 1 0 y (π/2) = 5
( Sol: No existe soluci´on.)
14.7. Ejercicios
303
d) 00 y +y =0 y(0) = 1 0 y (π/2) = −1 10.
( Sol: y(x) = C sen x + cos x.)
Resolver el problema de valor inicial (1 + ey )y 0 = cos t,
y(π/2) = 3
Soluci´ on: y + ey = 2 + e3 + sen t 11.
Resolver el siguiente problema de valor inicial ey Soluci´ on: y(t) = ln(e −
12.
dy − (t + t3 ) = 0, dt 3 4
+
t2 2
+
y(1) = 1
t4 4)
Halla las soluciones generales y dibuja las curvas integrales de las e.d.o. siguientes: a) yy 0 = −x. √ √ ( Sol: y(x) = ± C − x2 , circunferencias de centro (0, 0) y radio C.) b) y 0 = − xy . ( Sol: curvas de ecuaci´on y(x) = C/x.)
13.
Hallar la soluci´on general de las EDOs: 1 3 2x
a) y 0 = cos(3x) + 5. ( Sol: y(x) = 0
b) y = e c) y 14.
000
2x
− x. ( Sol: y(x) =
1 2 (e
sen(3x) + 5x + C) − x2 ) + C)
1 = cos(3x) + 5. ( Sol: y(x) = − 27 sen(3x) + 56 x3 + K1 x2 + K2 x + K3 .)
Hallar la soluci´on general de la e.d.o.: 2ydx + 3xdy = 0. Soluci´ on: y(x) = Kx−2/3 .
15.
Hallar la soluci´on general de la e.d.o.: ex dx − (1 + ex )ydy = 0. Soluci´ on: y(x) = ±(2 ln(1 + ex ) + C)1/2 .
16.
Hallar la soluci´on de la e.d.o.: y 2 dx + (xy + 1)dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante que es funci´on de z(x, y) = xy. Soluci´ on: Factor integrante: µ(x, y) = exy . Soluci´on general dada por: yexy + K = 0.
304
17.
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Hallar la soluci´on del problema de Cauchy: ( 2 (x + 1)y 0 + 4xy = x
4
( Sol: y(x) =
y(2) = 1 18.
2
19+ x4 + x2 (x2 +1)2
a) Hallar el valor de la constante K para que la e.d.o. (y 3 − Kxy 4 − 2x)dx + (3xy 2 + 20x2 y 3 )dy = 0 sea una e.d.o. exacta. ( Sol: K = −10.) b) Con dicho valor del par´ametro K hallar la soluci´on general de la e.d.o. ( Sol: La soluci´on general est´a dada por la ecuaci´on: y 3 x+5x2 y 4 −x2 = C.)
19.
Sabiendo que la e.d.o. ydx + 2xdy = 0 admite un factor integrante que s´olo depende de y, se pide: a) Determinar el factor integrante. ( Sol: µ(y) = y.)
q b) Hallar la soluci´on general de la e.d.o. ( Sol: y(x) = ± K x .)
20.
Hallar la soluci´on general de la e.d.o. y(y − 1)dx + x(x − 1)dy = 0. Soluci´ on: y(x) =
21.
Dada la e.d.o. ex
3
x x−C(x−1) ,
−y 2
+
y 0 x2 y
siendo una soluci´on particular y(x) = 0. = 0 se pide:
a) Hallar la soluci´on general. q ¡ ¢ ( Sol: y(x) = ± ln C − 23 ex3 .) b) Hallar la soluci´on de la e.d.o. que verifica y(1) = 1. q ¡ ¢ ( Sol: y(x) = + ln 53 e − 23 ex3 .) 22.
Hallar la soluci´on general de la e.d.o. (1 + ex )yy 0 = ex . p Soluci´ on: y(x) = ± 2 ln (1 + ex ) + K.
23.
x Hallar la soluci´on general de la e.d.o. y 0 = − 3y . q ( Soluci´ on: y(x) = ± 13 (C − x2 ).)
24.
Encontrar las soluciones generales de las siguientes e.d.o.: a) y 0 = − x12 + ex sen 3x. ( Sol: y(x) =
1 x
−
3 x 10 e
0
b) y = ln x. ( Sol: y(x) = x ln(x) − x + C.) c) y 0 = e2x − x. ( Sol: y(x) = 12 (e2x − x2 ) + C.)
cos 3x +
1 x 10 e
sen 3x + C.)
14.7. Ejercicios
305
d ) 2ydx + 3xdy = 0. ( Sol: y(x) =
¡
¢2 C .) x1/3
e) (5 + ex )yy 0 = ex . ( Sol: y(x) = ± f ) y 0 = y 2 . ( Sol: y(x) =
1 C−x ;
g) yy 0 = 2x. ( Sol: y(x) = ±
p
p 2 ln(5 + ex ) + C.)
tambi´en es soluci´on y(x) = 0.)
2(x2 + C).) q 2 h) (1 + y 2 ) + xyy 0 = 0. ( Sol: y(x) = ± K x2 − 1.) 25.
Hallar las soluciones (general o particular seg´ un el caso) de: a) (x − 2)y 2 dx − x(y 2 − 1)dy = 0. ( Sol: y + 2
c)
= x − 2 ln x + C.) √ con la condici´on y(0) = 1. ( Sol: y(x) = 1± x3 + 2x2 + 2x.)
3x +4x+2 2(y−1) y cos x y 0 = 1+2y 2 con
b) y 0 =
1 y
la condici´on y(0) = 1. ( Sol: Dada por ln(y) + y 2 =
sen(x) + 1.) q¡√ p √ ¢2 d ) x 1 + y 2 + y 1 + x2 y 0 = 0. ( Sol: y(x) = ± 1 + x2 + C − 1.) 26.
Sabiendo que la e.d.o. (3x + 2y + y 2 )dx + (x + 4xy + 5y 2 )dy = 0 admite un factor integrante dependiente de la funci´on z = x + y 2 , se pide: a) Determinar la expresi´on del factor integrante. ( Sol: µ(x, y) = x + y 2 .) b) Resolver la e.d.o. ( Sol: Dada por la ecuaci´on x3 + x2 y + 2x2 y 2 + 2xy 3 + xy 4 + y 5 = C.)
27.
Hallar las soluciones generales de las siguientes e.d.o.: 2
a) y 0 + 2xy = 4x. ( Sol: y(x) = 2 + Ce−x .) b) y 0 =
y x
+
x2 +1 x .
( Sol: y(x) = x2 + Cx − 1.)
c) y 0 + y = cos x. ( Sol: y(x) = 12 (sen x + cos x) + Ce−x .) 00
d ) y = xex . ( Sol: y(x) = (x − 2)ex + C1 x + C2 .) 00
e) y = sen x. ( Sol: y(x) = − sen x + C1 x + C2 .) 28.
Sabiendo que la funci´on y1 (x) = x es una soluci´on particular de la e.d.o. 00
(x2 + 1)y − 2xy 0 + 2y = 0 hallar la soluci´on general de dicha ecuaci´on. Soluci´ on: y(x) = C1 (x2 − 1) + C2 x. 29.
00
Hallar la soluci´on general de la e.d.o. xy −y 0 −4x3 y = 0 sabiendo que la funci´on 2 y1 (x) = ex es una soluci´on particular de ella. 2
2
Soluci´ on: y(x) = C1 e−x + C2 ex .
306
30.
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Hallar las soluciones generales de las siguientes e.d.o.: 00
a) y − 9y = 0. ( Sol: y(x) = C1 e3x + C2 e−3x .) 00
b) y − 6y 0 + 9y = 0. ( Sol: y(x) = (C1 + C2 x)e3x .) 000
00
c) y − 4y − 3y 0 + 18y = 0, sabiendo que las ra´ıces del polinomio m3 − 4m2 − 3m + 18 son m1 = −2 (ra´ız simple) y m2 = 3 (ra´ız doble). ( Sol: y(x) = C1 e−2x + (C2 + C3 x)e3x .) 00
d ) y − 4y 0 + 13y = 0 ( Sol:y(x) = e2x + (C1 cos 3x + C2 sen 3x). 000
00
e) y (v −2y (iv +2y +4y +y 0 −2y = 0 sabiendo que el polinomio caracter´ıstico m5 −2m4 +2m3 +4m2 +m−2 tiene por ra´ıces m1 = 2 (ra´ız simple), m2 = i (ra´ız doble) y m3 = −i (ra´ız doble) . ( Sol: y(x) = C1 e2x + (C2 + C3 x) cos x + (C4 + C5 x) sen x.) 31.
00
Dada la e.d.o.: x2 y − 4xy 0 + 6y = 0 se pide: a) Demostrar que las funciones y1 (x) = x2 y y2 (x) = x3 son soluciones particulares de ella. b) Siendo y1 (x) e y2 (x) dos soluciones particulares de la e.d.o. demuestra que la funci´on y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) es la soluci´on general de la e.d.o.
32.
Hallar la soluci´on general de las siguientes e.d.o.: a) 2y 00 − 4y 0 − 6y = 3e2x . (Sol: y(x) = C1 e3x + C2 e−x − 21 e2x ) b) y 00 + 2y 0 = 3 + 4 sen(2x). (Sol: y(x) = C1 + C2 e−2x + 32 x − 1 2 cos(2x))
1 2
sen(2x) −
1 c) y 00 + 9y = x2 e3x + 6. (Sol: y(x) = C1 cos(3x) + C2 sen(3x) + 18 (x2 − 32 x + 1 3x 2 + 3) 9 )e ³√ ´ ³√ ´ x x d ) y 00 + y 0 + y = sen2 x. (Sol: y(x) = C1 e− 2 cos 23 x + C2 e− 2 sen 23 x + 1 2
33.
−
1 13
sen(2x) +
3 26
cos(2x))
Una reacci´on qu´ımica de segundo orden involucra la interacci´on (colisi´on) de una mol´ecula de una sustancia P con otra de una sustancia Q para producir una mol´ecula de una nueva sustancia X; P + Q → X es la notaci´on usual. Sup´ongase que p y q son las concentraciones iniciales de las sustancias P y Q, respectivamente, y sea x(t) la concentraci´on de X en el tiempo t. Entonces p − x(t) y q − x(t) son las concentraciones de P y Q al tiempo t, y la velocidad a la que ocurre la reacci´on est´a descrita por la ecuaci´on dx = α (p − x(t)) (q − x(t)) dt
14.7. Ejercicios
307
donde α es una constante positiva. Si x(0) = 0, encontrar x(t). Soluci´ on: x(t) = 34.
pq [eα(q−p)t −1]
[qeα(q−p)t −p]
.
Sup´ongase que en una cierta reacci´on qu´ımica una sustancia P se transforma en otra sustancia X. Sea p la concentraci´on inicial de P y x(t) la concentraci´on de X en el tiempo t. Entonces p − x(t) es la concentraci´on de P a tiempo t. Sup´ongase adem´as que la reacci´on es autocatal´ıtica, esto es, que la reacci´on se estimula por la misma sustancia que se produce. Por lo tanto dx dt es proporcional a x(t) y a p − x(t), y dx = αx(p − x) dt donde α es una constante positiva. Si x(0) = x0 , encontrar x(t). Soluci´ on: x(t) =
35.
px0 [(p−x0 )e−pαt +x0 ] .
Consid´erese un lago de volumen constante V que contiene en el tiempo t una cantidad Q(t) de agente contaminador, homog´eneamente distribuido en todo el lago con una concentraci´on c(t) donde c(t) = Q(t) ongase que agua que V . Sup´ contiene una concentraci´on k de contaminante entra al lago a una velocidad r, y que sale agua del lago a la misma velocidad. Sup´ongase que hay adem´as contaminantes que se agregan directamente al lago a una velocidad constante P . N´otese que las suposiciones hechas desprecian un n´ umero de factores que pueden, en algunos casos, ser importantes; por ejemplo, el agua agregada o perdida por precipitaci´on, absorci´on, y evaporaci´on; el efecto estratificador de las diferencias de temperatura en un lago profundo; la tendencia de las irregularidades de la orilla del lago a producir bah´ıas protegidas; y el hecho de que los contaminantes no se depositan homog´eneamente en todo el lago, sino que (generalmente) se depositan en puntos aislados alrededor de su per´ımetro. a) Si al tiempo t = 0 la concentraci´on de contaminante es c0 , encontrar una expresi´on para la concentraci´on c(t) para cualquier tiempo t. ¿A qu´e concentraci´on l´ımite se tiende cuando t → ∞? b) Si se termina la introducci´on de contaminantes en el lago (k = 0 y P = 0 para t > 0), determ´ınese el intervalo de tiempo T que deber´a transcurrir antes de que la concentraci´on de contaminantes se reduzca al 50 % de su valor original y al 10 % de su valor original. c) En la siguiente tabla se dan los datos para algunos grandes lagos de Am´erica: Lago Superior Michigan Erie Ontario
V (km3 · 10−3 ) 12.2 4.9 0.46 1.6
r (km3 /a˜ no) 65.2 158 175 209
308
Cap´ıtulo 14. Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Usando estos datos determ´ınese de la parte b) el tiempo T necesario para reducir la contaminaci´on de cada uno de estos lagos al 10 % de su valor original. £ ¤ rt Soluci´ on: a) c(t) = k + Pr + c0 − k − Pr e− V , b) T = Vr ln 2; T = Vr ln 10 , c) Superior: T = 430 a˜ nos, Michigan: T = 71,4 a˜ nos, Erie: T = 6,05 a˜ nos, Ontario: T = 17,6 a˜ nos. 36.
En una cierta comunidad aislada, la velocidad de crecimiento de la poblaci´on es una funci´on de la poblaci´on, es decir, dp = f (p) dt a) La expresi´on m´as simple para f (p) es f (p) = ²p, donde ² es una constante positiva. Encontrar p(t) en este caso si p(0) = p0 . ¿Cu´al es el l´ımt→∞ p(t)? b) Una suposici´on mejor en muchas situaciones es que f (p) = ²p − kp2 donde ² y k son ambas constantes positivas. El t´ermino −kp2 se justifica por el hecho de que para grandes valores de p dan como resultado un aumento de muertes y una disminuci´on en el ritmo de nacimientos. Si p(0) es igual a p0 , encontrar una expresi´ on para la poblaci´on como funci´on del tiempo. Encontrar el l´ımite de la poblaci´on cuando t → ∞. Comparar estos resultados con los de la parte a). Soluci´ on: a) p(t) = p0 e²t ; b) p(t) =
37.
Sobre un cuerpo que cae en un fluido relativamente denso, aceite por ejemplo, act´ uan tres fuerzas: Una fuerza resistiva R, una fuerza de flotaci´on B, y su peso debido a la gravedad. La fuerza de flotaci´on es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. Para un cuerpo esf´erico de radio a que se mueve lentamente, la fuerza resistiva est´a dada por la ley de Stokes R = 6πµa |v|, donde v es la velocidad del cuerpo y µ es el coeficiente de viscosidad del fluido circundante. Encu´entrese la velocidad l´ımite de una esfera s´olida de radio a y densidad ρ cayendo libremente en un medio de densidad ρ0 y coeficiente de viscosidad µ. Soluci´ on: vl =
38.
2 0 2 a g(ρ−ρ ) . 9 µ
Un cierto material radiactivo tiene una vida media de dos horas. Encu´entrese el intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada de este material decaiga hasta un d´ecimo de su masa original. Soluci´ on: t =
39.
p0 e²t . 1+ k² p0 (e²t −1)
2 ln 10 ln 2
horas.
Una masa de 20 gr estira un resorte espiral una distancia de 5 cm. Si el resorte est´a conectado a un amortiguador de aceite que tiene una constante de amortiguamiento de 400 dinas/seg/cm, determ´ınese el movimiento subsecuente si la masa es empujada hacia abajo una distancia adicional de 2 cm y soltada luego. √ √ Soluci´ on: u(t) = e−10t (2 cos(4 6t) + √56 sen(4 6t)) cms.
Cap´ıtulo 15
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 15.1.
Introducci´ on
A menudo, en una ecuaci´on diferencial ordinaria para una funci´on x(t) aparecen funciones cuya forma expl´ıcita no es conocida y sobre las cu´ales tenemos la u ´nica informaci´on de que son soluci´on de otras ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas ecuaciones pueden, a su vez, contener a la propia funci´on x(t). Esta situaci´on da lugar a los sistemas de ecuaciones diferenciales, en los que tenemos que resolver todas las ecuaciones “simult´aneamente”.
15.2.
Conceptos generales
Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales es de la forma dx1 (t) = a11 (t)x1 (t) + a12 (t)x2 (t) + ... + a1n (t)xn (t) + F1 (t) dt dx2 (t) = a21 (t)x1 (t) + a22 (t)x2 (t) + ... + a2n (t)xn (t) + F2 (t) dt ... dxn (t) = an1 (t)x1 (t) + an2 (t)x2 (t) + ... + ann (t)xn (t) + Fn (t) dt
(15.1) (15.2) (15.3)
donde suponemos que todas las funciones aij (t) y Fi (t) son continuas en el intervalo real a ≤ t ≤ b. 309
310
Cap´ıtulo 15. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Definici´ on 15.1. Si Fi (t) = 0, i = 1, 2, .., n para todo t, el sistema (15.1)-(15.3) se llama homog´eneo. En caso contrario recibe el nombre de no-homog´eneo. Definici´ on 15.2. Si aij (t), i, j = 1, 2, ..., n, es constante para todo t, el sistema (15.1)-(15.3) se llama de coeficientes constantes. El sistema (15.1)-(15.3) puede escribirse en forma compacta como sigue: n
X dxi (t) = aij (t)xj (t) + Fi (t) (i = 1, 2, ..., n). dt j=1 y de forma a´ un m´as compacta mediante a11 (t) a21 (t) A(t) ≡ . ..
el uso de vectores y matrices. Sean a12 (t) ... a1n (t) a22 (t) ... a2n (t) .. .. . . an1 (t) an2 (t) ... ann (t)
F(t) ≡
F1 (t) F2 (t) .. .
, x(t) ≡
Fn (t)
x1 (t) x2 (t) .. .
xn (t)
Entonces, el sistema (15.1)-(15.3) es dx (t) = A(t)x(t) + F(t) dt
(15.4)
expresi´on a menudo llamada ecuaci´ on diferencial vectorial correspondiente al sistema. Definici´ on 15.3. Por soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial vectorial (15.4) entendemos una funci´ on vectorial columna n × 1 φ1 (t) φ2 (t) φ≡ . .. φn (t) cuyas componentes φ1 , φ2 , ..., φn tienen, cada una de ellas, derivada continua en el intervalo real a ≤ t ≤ b, y satisfacen dφ (t) = A(t)φ(t) + F(t) dt para todo t ∈ [a, b].
15.3. Sistemas lineales homog´eneos
311
La existencia de soluciones de un sistema dado est´a garantizada por el siguiente teorema: Teorema 15.1. Supongamos que todas las componentes de A(t) y F(t) son funciones continuas en [a, b]. Sea t0 un punto de [a, b] y sea c1 c2 c≡ . .. cn un vector columna formado por n n´ umeros reales arbitrarios. Entonces existe una soluci´ on u ´nica en [a, b] de la ecuaci´ on (15.4), φp , tal que φp (t0 ) = c Concluimos esta secci´on haciendo notar que una ecuaci´on diferencial lineal de orden n es reducible a un sistema de orden n. En efecto, consideremos la ecuaci´on dn x dn−1 x dx + a (t) + ... + a1 (t) + a0 (t)x = F (t) n−1 n n−1 dt dt dt y hagamos x(t) ¶ dx1 (t) dx(t) = dt dt µ ¶ 2 d x(t) dx2 (t) = dt2 dt2 µ ¶ dn−1 x(t) dn−1 x(t) = dtn−1 dtn−1 µ
≡
x1 (t)
≡
x2 (t)
≡
x3 (t)
≡
xn (t)
Entonces se verifica: dxn (t) = F (t) − an−1 (t)xn (t) − ... − a1 (t)x2 (t) − a0 (t)x1 (t) dt Este hecho reduce el c´alculo de soluciones de una ecuaci´on de orden n al c´alculo de soluciones del sistema de n ecuaciones lineales asociado.
15.3.
Sistemas lineales homog´ eneos
Una familia importante de sistemas lineales son los homog´eneos (es decir, aquellos en los que F(t) = 0). La raz´on estriba en el hecho de que las soluciones de los sistemas
312
Cap´ıtulo 15. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
lineales generales se construyen a partir de las soluciones de los sistemas homog´eneos asociados que se obtienen de los primeros haciendo F(t) = 0. Una propiedad esencial del conjunto de soluciones de un sistema lineal homog´eneo es su car´acter de espacio vectorial. Teorema 15.2. Una combinaci´ on lineal de m soluciones de la ecuaci´ on diferencial vectorial homog´enea dx (t) = A(t)x(t) (15.5) dt es tambi´en soluci´ on de 15.5 Veremos que, de hecho, el conjunto de soluciones, que tiene estructura de espacio vectorial, tiene como base un conjunto de n soluciones si el sistema es de orden n. Supongamos que encontramos n soluciones: φ1 , φ2 ,...,φn que en notaci´on de vectores columna ser´ıan φ11 φ12 φ1n φ21 φ22 φ2n φ1 = . , φ2 = . , ..., φn = . .. .. .. φn1
φn2
Definici´ on 15.4. El determinante n × n ¯ ¯ φ11 φ12 ¯ ¯ φ21 φ22 ¯ ¯ .. .. ¯ . . ¯ ¯ φ φ n1
n2
φnn
...
φ1n φ2n .. .
...
φnn
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
se denomina Wronskiano de las n funciones vectoriales y se denota por W (φ1 ,φ2 ,...,φn ) y su valor en t por W (φ1 ,φ2 ,...,φn )(t). Teorema 15.3. Sean φ1 ,φ2 ,...,φn n soluciones de una ecuaci´ on diferencial vectorial homog´enea en el intervalo [a, b]. entonces W (φ1 , φ2 , ..., φn )(t) = 0 para todo t ∈ [a, b] o bien W (φ1 , φ2 , ..., φn )(t) = 6 0 para todo t ∈ [a, b] Una consecuencia de este teorema es que n soluciones φ1 ,φ2 ,...,φn de una ecuaci´on diferencial vectorial homog´enea son linealmente independientes en todo el intervalo de t si lo son en un punto. Si esto ocurre, constituyen una base del conjunto de todas las soluciones. Se dice entonces que forman un conjunto fundamental y a la matriz φ11 (t) φ12 (t) ... φ1n (t) φ21 (t) φ22 (t) φ2n (t) .. .. .. . . . φn1 (t) φn2 (t) ... φnn (t)
15.4. Sistemas lineales no homog´eneos
313
se le llama matriz fundamental. Teorema 15.4. a) Existe un conjunto fundamental del sistema homog´eneo de orden n dx (t) = A(t)x(t) dt b) Toda soluci´ on del sistema homog´eneo es expresable como combinaci´ on lineal de las n soluciones del conjunto fundamental.
15.4.
Sistemas lineales no homog´ eneos
Al igual que en el caso de las ecuaciones lineales de orden n, las soluciones de un sistema lineal no homog´eneo son tambi´en suma de una soluci´on particular del problema homog´eneo y la soluci´on general del problema homog´eneo asociado. M´as precisamente, Teorema 15.5. Sea φ0 una soluci´ on cualquiera (soluci´ on particular) de la ecuaci´ on diferencial vectorial lineal no homog´enea dx (t) = A(t)x(t) + F(t); (15.6) dt sea φ1 , φ2 , ..., φn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´ on homog´enea correspondiente dx (t) = A(t)x(t) dt y sean c1 , c2 ,...,cn n n´ umeros reales. Entonces la funci´ on vectorial φ0 + c1 φ1 + c2 φ2 + ... + cn φn
(15.7)
es tambi´en una soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial no homog´enea para cualesquiera valores de ci . Adem´ as, toda soluci´ on de la ecuaci´ on no homog´enea es de la forma (15.7) para elecciones adecuadas de c1 , c2 , ..., cn . A la expresi´ on (15.7) se le llama soluci´ on general del sistema. Notemos que la soluci´on general se puede expresar en la forma φ0 (t) + Φ(t)c siendo Φ(t) la matriz fundamental y
c=
c1 c2 .. . cn
314
Cap´ıtulo 15. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Busquemos la soluci´on particular φ0 mediante variaci´on de constantes. Supongamos que es de la forma Φ(t)c(t). Si insertamos esta expresi´on en (15.6) obtendremos dΦ(t) dc(t) c(t) + Φ(t) = A(t)Φ(t)c(t) + F(t) dt dt = A(t)Φ(t) (por ser cada columna de Φ soluci´on del Usando el hecho de que dΦ(t) dt problema homog´eneo) podemos deducir a partir de la ecuaci´on anterior Φ(t)
dc(t) = F(t) dt
De donde podemos concluir Z
t
c(t) =
Φ−1 (τ )F(τ )dτ
0
y una soluci´on particular es pues Z φ0 (t) = Φ(t)
t
Φ−1 (τ )F(τ )dτ
0
El problema de resolver un sistema lineal no homog´eneo queda pues reducido a hallar un sistema fundamental del problema homog´eneo asociado. Esto no es sencillo en general. Nosotros nos concentraremos en los sistemas con coeficientes constantes para los que s´ı existe una teor´ıa relativamente simple que permite hallar conjuntos fundamentales de sistemas homog´eneos.
15.5.
Sistemas lineales con coeficientes constantes
15.5.1.
Soluci´ on en el caso general
Si la matriz A(t) de un sistema homog´eneo tiene todos sus coeficientes independientes del tiempo, entonces se puede expresar simplemente como A y el sistema homog´eneo asociado como dx (t) = Ax(t) (15.8) dt Las soluciones las buscaremos de la forma x(t) = αeλt siendo α un vector de componentes reales e independientes de t y λ un n´ umero (no necesariamente real en principio) a determinar. Insertando esta expresi´on en la ecuaci´on se obtiene λαeλt = Aαeλt
15.5. Sistemas lineales con coeficientes constantes
315
o, simplificando, λα = Aα lo cual implica que λ es un autovalor de A y α un autovector. Por tanto, un primer paso para hallar soluciones de (15.8) es buscar autovalores y autovectores de A, es decir, resolver (A − λI) α = 0 Recordemos que los autovalores se hallan calculando las n ra´ıces complejas λ1 , λ2 ,...,λn de |A − λI| = 0 y los autovectores correspondientes resolviendo (A − λi I) α = 0. Una vez calculados los n autovalores, se presentan las siguientes posibilidades: 1) Todos los autovalores son distintos a) Si el autovalor λj es real, entonces una soluci´on del sistema es αj eλj t siendo αj el correspondiente autovector. b) Si un cierto autovalor λj es complejo, es decir, de la forma λj = α + βi con α y β reales, entonces necesariamente su conjugado α − βi ha de ser tambi´en autovalor. La autofunci´on compleja de A correspondiente a α + βi ser´a αj y la de α − βi ser´a αj . Dos soluciones complejas ser´an pues αj e(α+βi)t y αj e(α−βi)t Evidentemente, no nos sirven las soluciones complejas para nuestro sistema (sus soluciones han de ser reales), pero con las soluciones complejas construidas se pueden hallar dos reales linealmente independientes: αj e(α+βi)t + αj e(α−βi)t αj e(α+βi)t − αj e(α−βi)t y 2 2i que se pueden combinar para formar las soluciones β 1 eαt cos(βt) , β 2 eαt sen(βt) en donde β 1 y β 2 son dos vectores de componentes reales. 2) Existen autovalores repetidos Si un cierto autovalor λj est´a repetido r veces y la dimensi´on del subespacio propio es r entonces r soluciones son de la forma α1j eλj t , α2j eλj t , ..., αrj eλj t donde α1j , α2j , ..., αrj son base del subespacio propio. Si la dimensi´on del subespacio propio es m < r la situaci´on se vuelve m´as complicada. Concentr´emonos en el caso
316
Cap´ıtulo 15. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
m´as simple: r = 2. Hay dos posibilidades. La primera es que el subespacio propio sea de dimensi´on 2 y estamos en la situaci´on de arriba. La segunda es que el subespacio propio sea de dimensi´on 1. Entonces una soluci´on es α1j eλj t con α1j un autovector y la otra es β j teλj t con β j satisfaciendo (A − λI) β j = α1j
15.5.2.
Soluci´ on en el caso n = 2
En este caso es corriente dibujar las soluciones en el plano x1 x2 en forma de curva parametrizada con t. Hay varias situaciones posibles dependiendo del car´acter de los dos autovalores λ1 , λ2 . I. Las ra´ıces λ1 , λ2 son reales y distintas. a) λ1 < 0, λ2 < 0. El punto (x1 , x2 ) = (0, 0) se denomina nodo estable. b) λ1 > 0, λ2 > 0. El punto (x1 , x2 ) = (0, 0) se denomina nodo inestable. c) λ1 > 0, λ2 < 0. El punto (x1 , x2 ) = (0, 0) se denomina punto de ensilladura. II. Las ra´ıces λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ son complejas conjugadas. a) α < 0, β 6= 0. El punto (x1 , x2 ) = (0, 0) se denomina foco estable. b) α > 0, β 6= 0. El punto (x1 , x2 ) = (0, 0) se denomina foco inestable. c) α = 0, β 6= 0. El punto (x1 , x2 ) = (0, 0) se denomina centro. III. Las ra´ıces son m´ ultiples, λ1 = λ2 . Dependiendo de que el signo sea positivo o negativo ser´a en (0, 0) un nodo inestable o estable. Nota 15.1. Esta clasificaci´on del origen dependiendo del comportamiento de las soluciones cerca de ´el se puede extender a los puntos de equilibrio en sistemas de ecuaciones no lineales. Consideremos un sistema de la forma dx1 = f1 (x1 , x2 ) (15.9) dt dx2 = f2 (x1 , x2 ) (15.10) dt y supongamos que f1 (x01 , x02 ) = f2 (x01 , x02 ) = 0 para un punto (x01 , x02 ) (es decir, el punto (x01 , x02 ) es de equilibrio, ya que una soluci´on del sistema es (x1 (t), x2 (t)) = (x01 , x02 )). Podemos hacer un desarrollo de Taylor lineal de f1 , f2 en torno a (x01 , x02 ) y obtener fi (x1 , x2 ) ' fi (x01 , x02 ) +
∂fi ∂fi (x01 , x02 )(x1 − x01 ) + (x01 , x02 )(x2 − x02 ) ∂x1 ∂x2
15.6. Referencias bibliogr´ aficas
317
= 0 + ai1 (x1 − x01 ) + ai2 (x2 − x02 ) Definiendo xi − x0i = xei tendremos que el sistema (15.9),(15.10) se escribe, cerca del punto de equilibrio, df x1 dt df x2 dt
=
a11 x f1 + a12 x f2
(15.11)
=
a21 x f1 + a22 x f2
(15.12)
y el comportamiento de las soluciones corresponde con el de las soluciones de este sistema homog´eneo.
15.6.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 8 de [59] y los cap´ıtulos 18 y 19 de [55].
15.7. 1.
Ejercicios
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias: ½ dx dt = x − 2y a) dy dt = x + 3y ½ b)
dx dt + 3x + y = 0 dy dt − x + y = 0
con condiciones iniciales x(0) = y(0) = 1 ½
c)
dx dt = −7x + y dy dt = −2x − 5y
Soluci´ on: a) x(t) = (C1 − C2 )e2t cos t − (C1 + C2 )e2t sen t , y(t) = (C1 sen t + C2 cos t)e2t , b) x(t) = e−2t (1 − 2t), y(t) = e−−2t (1 + 2t), c) x(t) = (C1 − 3C1 t − 3C2 )e5t , y(t) = (C1 t + C2 )e5t . 2.
Determinar el car´acter de los puntos de equilibrio para los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: ½ a)
dx dt = 3x + y dy dt = −2x + y
318
Cap´ıtulo 15. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
½ b) ½ c)
dx dt = −x + 2y dy dt = x + y dx dt = −x + 3y dy dt = −x + y
Soluci´ on: a) Foco inestable, b) Punto de ensilladura, c) Centro.
Cap´ıtulo 16
T´ ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´ erico 16.1.
Introducci´ on
La mayor´ıa de los problemas matem´aticos importantes relacionados con la integraci´on, la diferenciaci´on y las ecuaciones diferenciales son resolubles mediante una computadora aunque no se sepan resolver anal´ıticamente. Evidentemente, la soluci´on de la que hablamos es aproximada, pero a efectos pr´acticos (obtenci´on de resultados cualitativamente correctos y cuantitativamente tan pr´oximos al resultado correcto como la potencia del computador permita) es correcta. La formulaci´on exacta de los procedimientos num´ericos no es tan importante como el comprender la filosof´ıa de los m´etodos, y es por ello que haremos ´enfasis fundamental en la deducci´on de estos u ´ltimos y en el error que acarrean.
16.2.
Interpolaci´ on de Lagrange
Se considera a continuaci´on el problema de hallar un polinomio que coincida con los valores que una funci´on toma en un conjunto finito y discreto de puntos de un intervalo. Al proceso de encontrar tales polinomios se le denomina Interpolaci´ on de Lagrange. Se considerar´a un intervalo cerrado [a, b] de lR, acotado, una funci´on f definida en [a, b] y un conjunto de n + 1 puntos distintos {x0 , x1 , ..., xn } pertenecientes a [a, b]. 319
320
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
En cuanto a la funci´on f se refiere, bastar´a con conocer los valores que toma la funci´on n en los puntos {xi }i=0 . Teorema 16.1. En las condiciones anteriores el polinomio n X
pn (x) =
f (xi )Li (x)
(16.1)
i=0
con Li (x) =
n Y (x − xj ) (x i − xj ) j=0 i6=j
es el u ´nico polinomio de grado menor o igual que n (∈ Pn (x)) que verifica pn (xi ) = f (xi ) , i = 0, 1, ..., n Definici´ on 16.1. a) El polinomio definido por (16.1) se denomina polinomio inn terpolador de Lagrange de f respecto a los puntos {xi }i=0 . b) Las funciones Li (x) (i = 0, 1, ..., n) se denominan Polinomios de base de Lan grange asociados a los puntos {xi }i=0 . n
c) Al conjunto de puntos {xi }i=0 se le denomina soporte de la interpolaci´ on. Nota 16.1. Li (x) es el u ´nico polinomio de grado menor o igual a n tal que Li (x) = δ ji .
1
L0
L1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Figura 16.1: Polinomios de base de Lagrange de grado 1.
16.3. Acotaci´ on del error de interpolaci´ on
1
321
L0
L2
0.8
L1
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
Figura 16.2: Polinomios de base de Lagrange de grado 2.
16.3.
Acotaci´ on del error de interpolaci´ on
Si se va a utilizar el polinomio interpolador de Lagrange para “predecir ” el valor que toma una cierta funci´on f en alg´ un punto de un intervalo [a, b] es conveniente conocer el error que se comete: E(x) = f (x) − pn (x) Evidentemente, si el punto en que se estima el error es un punto del soporte de la interpolaci´on, dicho error ser´a nulo. Por otro lado, si de f no se conoce m´as que los valores que toma en los puntos del n soporte, {f (xi )}i=0 , es evidente que nada se puede decir sobre E(x). En efecto, se puede cambiar f fuera del soporte sin modificar pn (x). Por tanto se deben hacer hip´otesis suplementarias sobre la funci´on f . Dichas hip´otesis ser´an fundamentalmente hip´otesis de regularidad. Teorema 16.2. Si f ∈ C n+1 ([a, b] , lR) para todo x ∈ [a, b], entonces existe ξ x perteneciente al m´ as peque˜ no intervalo cerrado que contenga a x, x0 , ...., xn tal que E(x) = f (x) − pn (x) =
f (n+1) (ξ x ) Πn (x) (n + 1)!
donde pn (x) es el polinomio interpolador de Lagrange de f en el soporte {x0 , x1 , ..., xn } y n Y Πn (x) = (x − xi ) i=0
322
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
Corolario 16.3. Designando por ¯ ¯ ¯ ¯ M = m´ax ¯f (n+1) (x)¯ x∈[a,b]
se verifica |E(x)|x∈[a,b] ≤
M |Πn (x)| (n + 1)!
En la figura 16.3 se ha dibujado, en el intervalo [0, 3π/2], la funci´on sen(πx) y sus tres primeros polinomios de Lagrange. En la figura se aprecia como al aumentar el n´ umero de puntos del soporte de interpolaci´on y por lo tanto el grado del polinomio interpolador el error disminuye.
1
f
p3
p2
0.5
0
–0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
p1
–1
Figura 16.3: La funci´on sen(x) y los polinomios de Lagrange de grados 1, 2 y 3.
16.4.
F´ ormula de Newton
Consid´erese el polinomio interpolador de Lagrange, pn , de una funci´on f en un soporte de n puntos. Sup´ongase que con el fin de reducir el error de interpolaci´on, se decide a˜ nadir un punto m´as al soporte. Esto obligar´ıa, dado que se han utilizado los polinomios de base de Lagrange, a rehacer todos los c´alculos para obtener pn+1 . A continuaci´on se ver´a c´omo simplificar este proceso mediante una nueva t´ecnica de c´alculo del polinomio de Lagrange en la que no es necesario calcular los polinomios de base, y en la que el polinomio pn+1 se puede obtener a partir del polinomio pn . Definici´ on 16.2. Se denomina diferencia dividida de una funci´ on f respecto a un
16.4. F´ ormula de Newton
323
soporte {x0 , x1 , ..., xn } al siguiente n´ umero real f [x0 , ..., xn ] =
f [x0 , ..., xn−1 ] − f [x1 , ..., xn ] (x0 − xn )
con f [xi ] = f (xi ) (i = 0, 1, ..., n). Nota 16.2. La forma de obtener las diferencias divididas es por lo tanto recursiva. Se calculan a partir de su propia definici´on aplicada a un soporte disminuido en un punto: f (x0 ) → f [x0 , x1 ] % f (x1 ) → f [x1 , x2 ] % f (x2 ) → f [x2 , x3 ] % f (x3 ) ... ... ...
→ f [x0 , x1 , x2 ] % → f [x1 , x2 , x3 ] %
..f [x0 , ..., xn−1 ]
...
....
...
f (xn−2 ) → f [xn−2 , xn−1 ] % f (xn−1 ) → f [xn−1 , xn ] % f (xn )
→ %
f [x0 , ..., xn ]
..f [x1 , x1 , ..., xn ]
→ f [xn−2 , xn−1 , xn ] %
Esta tabla se llama “tabla de Frasser y Logenze”. Nota 16.3. El valor de la diferencia dividida es independiente del orden en el que se tomen los puntos del soporte. Teorema 16.4. (F´ ormula de Newton). Sea f una funci´ on definida sobre un intervalo [a, b] de la que se conocen los valores que toma en un soporte {x0 , x1 , ..., xn }. El n polinomio interpolador de Lagrange de f respecto a {xi }i=0 se puede calcular mediante la siguiente f´ ormula: pn (x) = f (x0 ) +
n X
f [x0 , ..., xi ]
i=1
i−1 Y
(x − xj )
j=0
Nota 16.4. La f´ormula anterior permite calcular pn a partir de pn−1 pn (x) = pn−1 (x) + f [x0 , ..., xn ]
n−1 Y
(x − xi )
i=0 n−1
De este modo si se ha realizado una interpolaci´on sobre n puntos {xi }i=0 , y si se quiere realizar una nueva interpolaci´on a˜ nadiendo un puntoQal soporte no es necesario n−1 rehacer todos los c´alculos, basta con calcular f [x0 , ..., xn ] i=0 (x − xi ).
324
16.5.
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
Derivaci´ on num´ erica
En los problemas f´ısicos y t´ecnicos muchas veces deben manejarse funciones tan solo conocidas en un conjunto discreto de puntos o que tienen expresiones demasiado complicadas para su r´apida derivaci´on mediante un programa de c´alculo simb´olico. En estos casos el c´alculo del valor aproximado de la derivada de una de tales funciones se realiza mediante derivaci´on num´erica. La derivaci´on num´erica resuelve, por lo tanto, el siguiente problema: “Conocidos los valores de una funci´on f (x0 ), . . . , f (xn ) en un soporte de n + 1 puntos, {xi }ni=0 ∈ [a, b], calcular el valor (aproximado) de la derivada de la funci´on en un punto x∗ ∈ [a, b] ”. Empezaremos introduciendo el ejemplo m´as sencillo de f´ormula de derivaci´on num´erica. Sea f ∈ C 1 ([a, b], lR), entonces
f 0 (x) = l´ım
h→0
f (x + h) − f (x) h
Si h es suficientemente peque˜ no:
f 0 (x) ≈
f (x + h) − f (x) = c0 f (x + h) + c1 f (x) h
(16.2)
con c0 = h1 , c1 = − h1 . Si se conocen los valores de la funci´on en los puntos x y x + h se puede calcular el valor de f 0 en x a partir de la f´ormula (16.2). Desarrollos m´as completos y con m´as puntos soporte conducen, en general, a f´ormulas del siguiente tipo (expresi´ on general de una f´ ormula de derivaci´ on num´erica):
f 0 (x) =
n X
ci f (xi ) + R(f )
(16.3)
i=1
n
n
En donde: {xi }i=0 = soporte de la f´ ormula, {ci }i=0 = coeficientes de la f´ ormula, R(f ) = error de la f´ ormula. Se dir´a que la f´ormula (16.3) es exacta de orden k si es exacta para los k + 1 monomios {1, x, . . . , xk } es decir R(xi ) = 0 (i = 0, . . . , k). Es f´acil demostrar que si una f´ormula de derivaci´on num´erica es exacta de orden k entonces es exacta para cualquier polinomio de grado ≤ k. En el siguiente apartado se va a estudiar un subconjunto importante de las f´ormulas (16.3): las f´ormulas de derivaci´on num´erica de tipo interpolatorio.
16.6. F´ ormulas de derivaci´ on num´erica de tipo interpolatorio
16.6.
325
F´ ormulas de derivaci´ on num´ erica de tipo interpolatorio
Para obtener f´ormulas de aproximaci´on de la derivada de tipo interpolatorio, supongamos que {x0 , x1 , ..., xn } son (n + 1) n´ umeros distintos en alg´ un intervalo I y que f ∈ C n+1 (I). Entonces, por interpolaci´on de Lagrange, f (x) =
n X
f (xi )Li (x) +
i=0
f (n+1) (ξ x ) Πn (x) . (n + 1)!
Al derivar esta expresi´on obtenemos 0
f (x) =
n X
f (xi )L0i (x)
i=0
Pero en xj se tendr´a que
¡ (n+1) ¢0 f (ξ x ) f (n+1) (ξ x ) 0 Π (x) + Πn (x) + (n + 1)! n (n + 1)! 0
f (n+1) (ξ xj ) (n+1)!
f 0 (xj ) =
n X
Πn (xj ) = 0 de modo que
f (xi )L0i (xj ) +
i=0
=
n X i=0
f (xi )L0i (xj ) +
f (n+1) (ξ xj ) (n + 1)!
n f (n+1) (ξ xj ) Y
(n + 1)!
Π0n (xj )
(xj − xk )
(16.4)
k=0 k6=j
A esta f´ormula se le llama f´ ormula de derivaci´ on num´ erica de tipo interpolatorio de (n + 1) puntos para aproximar f 0 (xj ), ya que se usa una combinaci´on lineal de los n + 1 valores f (xk ) para k = 0, 1, ..., n. Es por lo tanto un caso particular de la f (n+1) (ξ x ) Qn f´ormula (16.3) en donde ci = L0i (xj ) (i = 0, . . . , n) y R(f ) = (n+1)! j k=0 (xj −xk ). k6=j
En la pr´actica no se utiliza esta expresi´on para estimar el error, sino que se utilizan los desarrollos de Taylor en los puntos en donde se eval´ ua la funci´on. Se puede demostrar que la f´ormula (16.4) es exacta de orden n1 , o dicho de otra forma, que es exacta para todo polinomio de grado menor o igual que n. En toda f´ormula exacta de orden n al estimar el error, combinando pertinentemente los desarrollos de Taylor, el resto resultante (y por lo tanto el error) es igual a O(hn ). As´ı, si consideramos tres puntos equidistantes, x0 , x1 = x0 +h, x2 = x0 +2h, podemos deducir las siguientes f´ormulas de 3 puntos: · ¸ 1 3 1 h2 0 f (x0 ) = − f (x0 ) + 2f (x1 ) − f (x2 ) + f (3) (ξ 0 ) h 2 2 2 1 puede
ser de orden aun mayor, pero el orden n esta garantizado.
326
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico 0
f (x1 )
=
f 0 (x2 )
=
· ¸ 1 1 1 h2 − f (x0 ) + f (x2 ) − f (3) (ξ 1 ) h 2 2 6 · ¸ 1 1 3 h2 f (x0 ) − 2f (x1 ) + f (x2 ) + f (3) (ξ 2 ) h 2 2 3
La tercera ecuaci´on es igual a la primera tras intercambiar x0 por x2 y h por −h, de modo que hay solo dos aproximaciones a la derivada distintas. La primera se puede reescribir (haciendo x0 = a) como · ¸ 1 1 h2 3 0 f (a) = − f (a) + 2f (a + h) − f (a + 2h) + f (3) (ξ) h 2 2 2 y la segunda (haciendo x1 = a), · ¸ 1 1 h2 1 − f (a − h) + f (a + h) − f (3) (ξ) f 0 (a) = h 2 2 6 Con polinomios de Lagrange de grado 4 es posible obtener las siguientes f´ormulas de cinco puntos que aproximan a la derivada con errores O(h4 ): f 0 (a) = f 0 (a) =
16.7.
1 h4 [f (a − 2h) − 8f (a − h) + 8f (a + h) − f (a + 2h)] + f (5) (ξ) 12h 30 1 [−25f (a) + 48f (a + h) − 36f (a + 2h) + 16f (a + 3h)] 12h h4 −3f (a + 4h) + f (5) (ξ) 30
Integraci´ on num´ erica
Ya se ha comentado anteriormente que en muchas ocasiones hay que manejar funciones de las que u ´nicamente se conoce el valor que toman en un conjunto finito de puntos (soporte). Para integrar estas funciones en un intervalo [a, b] no se puede hallar su antiderivada y aplicar el teorema fundamental del c´alculo. Hay que integrarlas num´ericamente utilizando la u ´nica informaci´on de que se dispone, que es el valor que toman en los puntos del soporte. La integraci´on num´erica tambi´en se aplica en los casos en que no es posible o es dif´ıcil hallar la primitiva de una funci´on. Incluso aunque la primitiva sea f´acil de calcular, es dif´ıcil describir mediante procesos elementales su c´alculo, por lo que en las aplicaciones en las que el tiempo de c´alculo sea cr´ıtico es necesario usar integraciones num´ericas. De forma similar al problema de la derivaci´on num´erica, el problema de integraci´ on Rb num´erica consiste en hallar a f (x)dx a partir de los valores conocidos de f en un
16.8. F´ ormulas de integraci´ on num´erica de tipo interpolatorio
327
cierto soporte {f (x0 ), ..., f (xn )}. En general las f´ormulas num´ericas de integraci´on (o de cuadratura) son de la forma Z
b
f (x)dx = a
n X
ci f (xi ) + R(f )
(16.5)
i=0 n
Al igual que en las f´ormulas de derivaci´on num´erica a los {xi }i=0 se les conoce como n soporte de la f´ ormula, a los {ci }i=0 como coeficientes de la f´ ormula y a R(f ) como error de la f´ ormula. Es deseable que dicho error sea lo menor posible. Se dir´a que la f´ormula (16.5) es exacta de orden k si es exacta para los k + 1 monomios {1, x, . . . , xk } es decir R(xi ) = 0 (i = 0, . . . , k). Es f´acil demostrar que si una f´ormula de integraci´on num´erica es exacta de orden k entonces es exacta para cualquier polinomio de grado ≤ k. En el siguiente apartado se va a estudiar un subconjunto importante de las f´ormulas (16.5): las f´ormulas de integraci´on num´erica de tipo interpolatorio.
16.8.
F´ ormulas de integraci´ on num´ erica de tipo interpolatorio
Consid´erese un soporte de (n + 1) puntos {x0 , x1 , ..., xn } en los que se conoce {f (x0 ), f (x1 ), ..., f (xn )}. Seg´ un lo visto en la interpolaci´on de Lagrange f (x) = pn (x) + E(x) =
n X
f (xi )Li (x) + E(x)
i=0
Por tanto, se podr´ıa construir una f´ormula de integraci´on num´erica del siguiente modo ! Z b Z b Z b ÃX Z b n f (x)dx = (pn (x) + E(x)) dx = f (xi )Li (x) dx + E(x)dx a
a
a
=
n X
ÃZ f (xi )
a
i=0
!
b
Li (x)dx
Z
=
n X
E(x)dx a
a
i=0
b
+
ci f (xi ) + R(f )
i=0
con Z ci
Li (x)dx Z
R(f )
b
= a b
E(x)dx
= a
(16.6)
328
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
La f´ormula (16.6) se denomina f´ormula de integraci´ on num´ erica de tipo interpolatorio. Teorema 16.5. La f´ ormula Z b f (x)dx = a
n X
ci f (xi ) + R(f )
i=0
es exacta para todo polinomio de grado menor o igual que n si y solo si es de tipo interpolatorio. Nota 16.5. En los siguientes apartados se van a obtener diversas f´ormulas de tipo interpolatorio. Estas f´ormulas se obtendr´an integrando el polinomio interpolador de n Lagrange de la funci´on f (funci´on a integrar) sobre el soporte {xi }i=0 (soporte de integraci´on). Para ello no es imprescindible calcular los polinomios de base de Lagrange. Se pueden utilizar otras formas m´as r´apidas de c´alculo del polinomio interpolador como por ejemplo la f´ormula de Newton. Nota 16.6. (Estimaci´on del error). En principio la expresi´on del error se obtiene integrando la expresi´on del error de interpolaci´on correspondiente. Sin embargo, dicha integraci´on no es siempre sencilla. Por ello se utilizar´an desarrollos de Taylor para evaluar R(f ). Esta evaluaci´on, al igual que suced´ıa con las f´ormulas de derivaci´on num´erica de tipo interpolatorio, se realiza dejando la expresi´on del error en funci´on de la separaci´on, h, de dos puntos consecutivos del soporte que se supondr´a equidistante.
16.9.
F´ ormulas m´ as usuales de integraci´ on num´ erica
16.9.1.
F´ ormulas construidas sobre un soporte de un punto
Dado el soporte de un punto {x0 }, el polinomio interpolador de Lagrange sobre este soporte de la funci´on f (x) ser´a p0 (x) = f (x0 ), entonces Z
Z
b
f (x)dx = a
Z
b
b
p0 (x)dx + a
E(x)dx = f (x0 )(b − a) + R(f ) a
a) F´ ormula del rect´ angulo. En este caso el soporte coincide con el extremo izquierdo del intervalo de integraci´on (x0 = a). Z b f (x)dx = f (a)(b − a) a
Estimaci´on del error: R(f ) = O(h2 ) (la f´ormula es exacta de orden 2).
16.9. F´ ormulas m´ as usuales de integraci´ on num´erica
329
Nota 16.7. Tambi´en se puede definir la f´ormula del rect´angulo con soporte en el lado derecho (x0 = b). b) F´ ormula del punto medio. x0 = Z
a+b 2 .
b
f (x)dx = f ( a
Entonces
a+b )(b − a) + R(f ) 2
Estimaci´on del error: R(f ) = O(h3 ).
f(x)
f((a+b)/2)
a (a+b)/2
b
Figura 16.4: F´ormula del punto medio.
16.9.2.
F´ ormulas construidas sobre un soporte de dos puntos
Dado un soporte de dos puntos {x0 , x1 } el polinomio interpolador de Lagrange sobre este soporte ser´a p1 (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ] (x − x0 ) Entonces Z b Z f (x)dx = a
a
Z
b
p1 (x)dx+
Z
b
E(x)dx = f (x0 )(b−a)+f [x0 , x1 ] a
b
(x−x0 )dx+R(f ) a
·
¸ (b − x0 )2 (a − x0 )2 = f (x0 )(b − a) + f [x0 , x1 ] − + R(f ) 2 2 Pero f [x0 , x1 ] =
f (x0 ) − f (x1 ) f (a) − f (b) = x0 − x1 a−b
330
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
y por tanto
Z
b
f (x)dx = a
f (a) + f (b) (b − a) 2
Estimaci´on del error: O(h3 ). Esta u ´ltima f´ormula se denomina F´ ormula del trapecio. f(b)
f(x)
f(a)
a
b
Figura 16.5: F´ormula del trapecio.
16.10.
F´ ormulas de Newton-Cotes
ormulas de Newton-Cotes a las f´ ormulas de Definici´ on 16.3. Se denominan f´ integraci´ on de tipo interpolatorio obtenidas al tomar un soporte equidistante. Se distinguen dos casos: 1) Si el soporte de integraci´on incluye los extremos del intervalo. Entonces se tienen f´ ormulas de Newton-Cotes cerradas. Por lo tanto el soporte se puede escribir como ½ ¾ b−a E = xi / xi = a + ih , (i = 0, 1, ..., n), h = n donde n es el n´ umero de subintervalos en los que se divide [a, b]. 2) Si el soporte de integraci´on no incluye los extremos de los intervalos. Entonces se tienen f´ ormulas de Newton-Cotes abiertas. Por lo tanto el soporte se puede escribir como ½ ¾ b−a E = xi / xi = a + (i + 1)h , (i = 0, 1, ..., n), h = n+2
16.10. F´ ormulas de Newton-Cotes
16.10.1.
331
F´ ormulas de Newton-Cotes cerradas
a) Soporte de 2 puntos {x0 , x1 }. Se obtiene de nuevo la f´ormula del trapecio. b) Soporte de 3 puntos {x0 , x1 , x2 }. x0 = a, x1 =
a+b 2 ,
x2 = b. Entonces,
f (x) = p2 (x) + E(x) siendo p2 (x) el polinomio interpolador de Lagrange de f en el soporte E. Da lugar a la f´ ormula de Simpson: Z
b a
· µ ¶ ¸ b−a a+b f (x)dx = f (a) + 4f + f (b) 6 2
Estimaci´on del error: O(h5 ).
f(b)
p(x)
f(a) f(x) f((a+b)/2)
a
(a+b)/2
b
Figura 16.6: F´ormula de Simpson. Para n puntos el soporte est´a formado por los puntos x0 = a, x1 = a + h, ..., xi = a + ih, ..., xn = a + nh = b con h = b−a n . En consecuencia, para el caso general, las f´ormulas de Newton-Cotes abiertas son de la forma: Z
n
b
f (x)dx = a
b−aX cj f (xj ) + Error D j=0
332
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
donde los par´ametros se pueden esquematizar en la siguiente tabla: n 1 (un punto) 2 (dos puntos) 3 (tres puntos) 4 (cuatro puntos) 5 (cinco puntos) 6 (seis puntos)
16.10.2.
cj 1,1 1,4,1 1,3,3,1 7,32,12,32,7 19,75,50,50,75,19 41,216,27,272,27,216,41
D 2 6 8 90 288 840
|Error| h3 00 12 f (ξ) h5 iv 90 f (ξ) 3h5 iv 80 f (ξ) 8h7 vi 945 f (ξ) 275h7 vi f (ξ) 12096 9h9 viii f (ξ) 1400
Nombre Trapecio Simpson Regla 38 Milne Weddle
F´ ormulas de Newton-Cotes abiertas
El soporte esta formado por los puntos x0 = a + h, ..., xi = a + (i + 1)h, ..., xn = b−a a + (n + 1)h = b − h con h = n+2 . Las f´ormulas de Newton-Cotes abiertas son de la forma: Z b n b−aX f (x)dx = cj f (xj ) + Error D j=0 a donde cj , D y el error vienen dados en la siguiente tabla: n 1 (un punto) 2 (dos puntos) 3 (tres puntos) 4 (cuatro puntos)
16.11.
cj 1 1,1 2,-1,2 11,1,1,11
D 1 2 3 24
|Error| h3 00 3 f (ξ) 3h3 00 4 f (ξ) 14h5 iv 45 f (ξ) 95h5 iv 144 f (ξ)
Nombre Punto Medio
F´ ormulas de integraci´ on num´ erica de tipo interpolatorio compuestas
Cuanto m´as se quiera aproximar el valor de una integral mediante las f´ormulas de Newton-Cotes, m´as puntos se deber´an incluir en el soporte de integraci´on. Al aumentar el n´ umero de puntos del soporte se ir´an complicando los c´alculos y aumentando los errores de redondeo que inciden sobre el error total. Puede llegarse as´ı al caso en que aumentar el soporte en un punto conduzca a un mayor error total de integraci´on num´erica en lugar de a una disminuci´on. El valor n (n´ umero de puntos del soporte) tiene un l´ımite que no conviene sobrepasar. Surge entonces la idea de subdividir el intervalo [a, b] en un cierto n´ umero de subintervalos y emplear sobre cada uno de ellos una f´ormula con un soporte de pocos puntos.
16.12. Resoluci´ on num´erica de problemas de valor inicial para EDOs
333
Sea ∆ una partici´on de [a, b] en N subintervalos Ii = [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, ..., N ). Sobre ni cada subintervalo Ii se supondr´a conocida la funci´on f en (ni + 1) puntos {xij }j=0 . Entonces: Z b ni N Z xi N X N X X X f (x)dx = f (x)dx ' aij f (xij ) + Ri [f ] a
i=1
xi−1
i=1 j=0
i=1
donde {aij } son los coeficientes de las f´ormulas de integraci´on basadas en ni +1 puntos utilizada sobre el intervalo Ii .
16.12.
Resoluci´ on num´ erica de problemas de valor inicial para EDOs
Las ecuaciones diferenciales que se pueden resolver anal´ıticamente son muy escasas. Habitualmente, cuando deseamos resolver un problema de valor inicial (PVI) asociado a una cierta ecuaci´on diferencial ordinaria seremos incapaces de hacerlo. No obstante, a menudo uno est´a interesado no en la soluci´on anal´ıtica concreta, sino en valores aproximados de la soluci´on para ciertos valores de las variable o en propiedades cualitativas de la misma. En estos casos, se impone el uso de m´etodos num´ericos que, si bien no resuelven la ecuaci´on, dan lugar a conjuntos de puntos muy pr´oximos (de hecho, tan pr´oximos como uno quiera) a puntos de la soluci´on.
16.12.1.
El m´ etodo de Euler
Consideremos el problema de valor inicial dy (t) = f (t, y(t)) , t0 ≤ t ≤ b dt y(t0 ) = y0 . En general, la soluci´on de este problema es imposible de hallar en forma anal´ıtica. Los m´etodos num´ericos de resoluci´on de EDOs generan aproximaciones a la soluci´on en varios puntos, llamados puntos de red, en el intervalo [t0 , b]. Una vez obtenida la aproximaci´on en los puntos, podemos obtener por interpolaci´on la soluci´on aproximada en otros puntos del intervalo. En primer lugar colocamos los puntos de la red distribuidos uniformemente en todo el intervalo [t0 , b]. Para ello seleccionamos un entero positivo N y los puntos de la red {t0 , t1 , ..., tN } donde ti = t0 + ih, para cada i = 0, 1, 2, ..., N.
334
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
La distancia com´ un entre los puntos h = (b − t0 )/N recibe el nombre de tama˜ no de paso. Supongamos que y(t), soluci´on del problema de valor inicial, tiene dos derivadas continuas en [t0 , b], de modo que podemos escribir, desarrollando por Taylor 1 1 y(ti+1 ) = y(ti ) + y 0 (ti )(ti+1 − ti ) + y 00 (ξ i )(ti+1 − ti )2 = y(ti ) + y 0 (ti )h + y 00 (ξ i )h2 . 2 2 Como y(t) satisface la ecuaci´on diferencial se puede escribir 1 y(ti+1 ) = y(ti ) + f (ti , y(ti ))h + y 00 (ξ i )h2 = y(ti ) + f (ti , y(ti ))h + O(h2 ) 2
(16.7)
El m´etodo de Euler construye wi ≈ y(ti ) para cada i = 1, 2, ..., N al eliminar el t´ermino restante (que es de orden cuadr´atico en el tama˜ no de paso) en 16.7; obteni´endose, por tanto, el siguiente algoritmo: w0 wi+1
= y0 = wi + f (ti , wi )h (i = 0, . . . , N − 1).
Teorema 16.6. Si la funci´ on f (t, y) es diferenciable en [t0 , b] × (−∞, ∞) y ∂f ∂y est´ a acotada, entonces las aproximaciones generadas con el m´etodo de Euler para cualquier tama˜ no de paso h aproximan a la soluci´ on del problema de valor inicial con un error O(h). Cuanto m´as peque˜ no sea el tama˜ no de paso, entonces, menor ser´a el error cometido al aproximar la soluci´on del PVI por la aproximaci´on de Euler.
16.12.2.
Regla del punto medio
Cerca de un ti podemos escribir, gracias a la f´ormula de Taylor, 1 y(t) = y(ti ) + y 0 (ti )(t − ti ) + y 00 (ti )(t − ti )2 + O((t − ti )3 ) 2 De modo que
y(ti+1 ) y(ti−1 )
1 = y(ti ) + f (ti , y(ti ))h + y 00 (ti )h2 + O(h3 ) 2 1 = y(ti ) − f (ti , y(ti ))h + y 00 (ti )h2 + O(h3 ) 2
16.13. Referencias bibliogr´ aficas
335
Restando ambas ecuaciones concluimos y(ti+1 ) − y(ti−1 ) = 2f (ti , y(ti ))h + O(h3 ) y deducimos la regla del punto medio: wi+1 = wi−1 + 2f (ti , wi ))h El problema de esta regla es que para calcular todos los valores de y(ti ) necesitamos aparte de y(t0 ) el valor de y(t1 ). Esto exigir´ıa el empleo de otro m´etodo para estimar y(t1 ) (Euler por ejemplo) y si queremos preservar el orden del error, hacer esa estimaci´on con un tama˜ no de paso mucho m´as peque˜ no que h. El error es O(h2 ).
16.12.3.
M´ etodos de Runge-Kutta
Los m´etodos de Runge-Kutta alcanzan mayores precisiones (de hecho, el m´etodo de Euler se puede considerar un caso particular de los m´etodos de Runge-Kutta). El m´etodo de Runge-Kutta de segundo orden aproxima la soluci´on del PVI por w0
=
y0
wi+1
=
wi +
1 [hf (ti , wi ) + hf (ti , wi + hf (ti , wi ))] . 2
El error es O(h2 ). El m´etodo de Runge Kutta de cuarto orden aproxima la soluci´on del PVI por w0
=
y0
wi+1
=
wi +
donde k1
=
k3
=
1 [k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ] 6 h k1 hf (ti , wi ), k2 = hf (ti + , wi + ), 2 2 h k2 hf (ti + , wi + ), k4 = hf (ti+1 , wi + k3 ) . 2 2
El error es O(h4 ).
16.13.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones m´as detalladas de la materia tratada en este tema consultar los cap´ıtulos 3, 4 y 5 de [60]. Para profundizar m´as en el tema, ver [62], [65], [60] y [64].
336
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
16.14.
Ejercicios
1.
Determinar el polinomio ¤ interpolador de Lagrange de © la funci´ ª on f (x) = £ sen x en el intervalo 0, π2 con el soporte de interpolaci´on 0, π4 , π2 . √ √ Soluci´ on: p(x) = π82 (1 − 2)x2 + π2 (2 2 − 1)x.
2.
Sea f (x) = sen(5x + 2). Siendo x0 = 0 y x1 =
π 10
se pide:
a) Determinar los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte {x0 , x1 }. 10 Soluci´ on: L0 (x) = 1 − 10 π x, L1 (x) = π x. b) Determinar el polinomio interpolador de Lagrange sobre el soporte {x0 , x1 }. Soluci´ on: ³ ´ 10 ³ π´ p(x) = sen 2 + sen 2 + − sen 2 x ≈ 00 9092974268 − 40 219020124x π 2 c) Determinar la expresi´ on del error de interpolaci´ on. £ π¤ £ π¤ Soluci´ on: ∀ x ∈ 0, 10 , ∃ c ∈ 0, 10 tal que E(x) =
−25 sen(5c + 2) ³ 2 π x − x 2 10
d ) Hallar una cota del error de interpolaci´ on en el intervalo [x0 , x1 ]. 2 0 0 Soluci´ on: E(x) ≤ 25 sen 0 024674 ≈ 0 2804501. 2 3.
Sea f (x) = 2xe−(4x+2) . Siendo x0 = 00 2 y x1 = 1 se pide: a) Determinar los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte {x0 , x1 }. Soluci´ on: L0 (x) = −10 25x + 10 25, L1 (x) = 10 25x −0 25. b) Determinar el polinomio interpolador de Lagrange sobre el soporte {x0 , x1 }. Soluci´ on: p(x) = 00 0291656 − 00 0242081x. c) Determinar la expresi´ on del error de interpolaci´ on. 0 0 Soluci´ on: ∀ x ∈ [0 2, 1], ∃ c ∈ [0 2, 1] tal que E(x) =
(32c − 16)e−(4c+2) 2 (x − 10 2x + 00 2). 2
d ) Hallar una cota del error de interpolaci´ on en el intervalo [x0 , x1 ]. Soluci´ on: E(x) ≤ 00 04670212809.
16.14. Ejercicios
4.
337
Siendo f (x) = 2xe−(4x+2) y considerando en el intervalo [00 2, 1] los puntos x0 = 00 2, x1 = 00 6 y x2 = 1 se pide: a) Determinar los polinomios de base de Lagrange sobre el soporte {x0 , x1 , x2 }. Soluci´ on: L0 (x) =
x2 − 10 6x + 00 6 x2 − 10 2x + 00 2 , L (x) = − , 1 00 32 00 16 L2 (x) =
x2 − 00 8x + 00 12 00 32
b) Determinar el polinomio interpolador de Lagrange de la funci´on f (x) sobre el soporte {x0 , x1 , x2 }. Soluci´ on: p(x) = −50 75 · 10−4 x2 − 00 0235177x + 00 0290505. c) Escribir la expresi´ on del error de interpolaci´ on. 0 0 Soluci´ on: ∀ x ∈ [0 2, 1], ∃ c ∈ [0 2, 1] tal que E(x) =
1 (96 − 128c)e−(4c+2) (x − 00 2)(x − 00 6)(x − 1). 6
on. d ) Determinar una cota del error de interpolaci´ Soluci´ on: |E(x)| ≤ 00 0175762. 5.
Sea f (x) = sen(5x + 2). Siendo x0 = 0, x1 =
π 20 ,
x2 =
π 10 ,
se pide:
a) Determinar los polinomios de base de Lagrange sobre el soporte de tres puntos {x0 , x1 , x2 }. Soluci´ on: L0 (x) =
x2 −
3π 20 x π2 200
+
π2 200
, L1 (x) =
−x2 + π2 400
π 10
, L2 (x) =
x2 −
π 20 x
π2 200
.
b) Determinar el polinomio interpolador de Lagrange de la funci´on f (x) sobre el soporte {x0 , x1 , x2 }. Soluci´ on: p(x) = −40 1393675x2 − 20 9185993x + 00 9092974. c) Escribir la expresi´ on del error de interpolaci´ on. £ π¤ £ π¤ Soluci´ on: ∀ x ∈ 0, 10 , ∃ c ∈ 0, 10 tal que E(x) =
π ´³ π ´ −125 cos(5c + 2) ³ x− x x− x 6 20 10
338
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
d ) Determinar una cota del error de interpolaci´ on. Soluci´ on: |E(x)| ≤ 00 0310416. 6.
Calcular los polinomios de base de Lagrange para el soporte de interpolaci´on formado por los puntos {10 2, 20 4, 40 6, 50 0, 50 7, 60 3}. Soluci´ on: L0 (x) = 50 5709 − 60 5081x + 20 9189x2 − 00 6350x3 + 00 0675x4 − 00 0028x5 L1 (x) = −110 2194 + 170 7815x − 90 3918x2 + 20 2643x3 − 00 2581x4 + 00 0113x5 L2 (x) = 920 4217 − 1640 896x + 1020 552x2 + 280 595x3 + 30 681x4 − 00 012x5 L3 (x) = −1320 284 + 2380 317x − 1500 429x2 + 420 752x3 − 50 617x4 + 00 278x5 L4 (x) = 600 827 − 1110 077x + 710 599x2 − 200 931x3 + 20 842x4 − 00 146x5 L5 (x) = −140 3159 + 260 3817x − 170 2501x2 + 50 1444x3 − 00 7166x4 + 00 0379x5
7.
Hallar el polinomio interpolador de Lagrange de la funci´on f (x) = cos x © ª en el soporte 0, π6 , π3 , π2 . Hallar el valor del polinomio en el punto x = 1 y comparar con el resultado exacto. Comp´arese el error real con la cota del error de interpolaci´on. Soluci´ on: p(x) = 1 + π1 00 0884572x −
1 0 2 π 2 5 9422863x 0
+
1 0 3 π 3 3 5307436x .
Valor en x = 1: p(1) = 00 5399493 y cos 1 = 0 5403023. Error real: 00 000353, Cota del error: 00 000535. 8.
Construir la tabla de diferencias ©divididas ª de la funci´on f (x) = sen x en ulese el polinomio el soporte formado por los puntos 0, π4 , π2 . Con ella calc´ interpolador de Lagrange de la funci´on sen x en el soporte anterior. Soluci´ on: x0 = 0
0 √ 2 2 π
x1 =
x2 =
π 4
π 2
√
2 2
≈ 00 9003 √ 8(1− 2) 2 π
≈ 00 7071 √ 2(2− 2) π
≈ −00 3357
≈ 00 3729
1 √ √ 4 2−2 8(1 − 2) 2 p(x) = x+ x π π2
9.
Construir la tabla de diferencias © divididasª de la funci´on f (x) = sen x en el soporte formado por los puntos 0, π6 , π4 , π3 , π2 . Con ella calc´ ulese el polinomio interpolador de Lagrange de la funci´on sen x en el soporte anterior.
16.14. Ejercicios
339
Soluci´ on: x0 = 0
0 00 9003
x1 =
π 4
00 7071
−00 3357 00 3729
x2 =
π 2
−00 1214 −00 3993
1 00 4775
x3 =
π 6
00 5
00 0185 −00 0913
−00 4232 00 6991
x4 =
π 3
00 8660
√ √ ³ 2 2 8(1 − 2) ³ π´ π´³ π´ 0 p(x) = x+ x x − − 0 1214 x x − x − + π π2 4 4 2 ´ ³ ´ ³ ´ ³ π π π +00 0185 x x − x− x− 4 2 6 10.
Utilizar la tabla de diferencias divididas de la funci´on f (x) = x5 en el soporte formado por los puntos {−2, −1, 0, 1, 2} para calcular el polinomio interpolador de Lagrange de dicha funci´on. Soluci´ on:
x0 = −2
−32 31
x1 = −1
−1
−15 1
x2 = 0
0
5 0
1 x3 = 1
1
0 5
15 31
x4 = 2
32
p(x) = −32 + 31(x + 2) − 15(x + 2)(x + 1) + 5(x + 2)(x + 1)x. 11.
Hallar el polinomio interpolador de Lagrange y una cota del error de interpolaci´on que se comete al interpolar en [0, 2] la funci´on f (x) = x4 con los siguientes soportes:
340
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
a) {0, 1, 2} Soluci´ on: p2 (x) = 7x2 − 6x, |E(x)| ≤ 30 0792014. b) {0, 00 5, 1, 2} Soluci´ on: p3 (x) = 30 5x3 − 30 5x2 + 6x, |E(x)| ≤ 40 2925. c) {0, 00 5, 1, 10 5, 2} Soluci´ on: p4 (x) = x4 , E(x) = 0. NOTA: En el desarrollo de este ejercicio ser´a necesario resolver la ecuaci´on: 4x3 − 100 5x2 + 7x − 1 = 0 Una ra´ız de dicha ecuaci´on est´a en el intervalo [0, 2] y es 10 663175. 12.
El censo de poblaci´on de una determinada ciudad proporciona los siguientes datos del n´ umero de habitantes en diferentes a˜ nos: A˜ no 1,910 1,930 1,950 1,970 1,980 Poblaci´on
125,350
133,420
117,183
120,323
145,311
Se pide: a) Hallar un polinomio interpolador de Lagrange que interpole a la funci´on de evoluci´on de la poblaci´on en esta ciudad con los datos anteriores. Soluci´ on: p(x) = 125,350 + 4030 5(x − 1,910) + 300 38375(x − 1,910)(x − 1,930)− −00 910083(x − 1,910)(x − 1,930)(x − 1,950)+ +00 010733(x − 1,910)(x − 1,930)(x − 1,950)(x − 1,970) b) Estimar la poblaci´on existente en el a˜ no 1,964. Soluci´ on: p(1,964) = 116,402. 13.
Se considera la funci´on f (x) = x3 −4x2 +2 y el soporte de interpolaci´on {1, 2, 3}. Se pide: a) Determinar los polinomios de base de Lagrange y representarlos gr´aficamente. Soluci´ on: L0 (x) =
x2 − 5x + 6 , 2
L1 (x) = −(x2 − 4x + 3),
L2 (x) =
x2 − 5x + 6 . 2
b) Hallar el polinomio interpolador de Lagrange de f (x) sobre el soporte dado. Soluci´ on: p2 (x) = 2x2 − 11x + 8.
16.14. Ejercicios
341
c) Hallar una cota del error de interpolaci´on cometido en [1, 3]. Soluci´ on: |E(x)| ≤ 00 3849001. d ) Utilizar la expresi´on del polinomio interpolador para hallar el valor aproximado de f 0 (2). Soluci´ on: p0 (2) = −3, (siendo f 0 (2) = −4). e) Al soporte dado se le a˜ nade el punto 20 5. Determinar el nuevo polinomio interpolador de Lagrange. Soluci´ on: p3 (x) = x3 − 4x2 + 2. 14.
De una funci´on se conoce la siguiente tabla de valores: x
0
2
5
6
f (x)
3
6
100 5
24
Se pide: a) Construir la tabla de diferencias divididas y, utilizando la f´ ormula de Newton, hallar el polinomio interpolador de Lagrange de la funci´on sobre el soporte dado. Soluci´ on: x0 = 0 3 10 5 x1 = 2
6
0 0
00 5
15 x2 = 5
100 5
3 0
13 5 x3 = 6
24
p(x) = 00 5x3 − 30 5x2 + 60 5x + 3 b) Evaluar el valor interpolado en x = 4 con el polinomio del apartado a). Soluci´ on: p(4) = 5. 15.
© ª Sea f (x) = x2 cos(5x + 2) y consid´erese el soporte 0, π3 , π2 . Se pide: a) Determinar los polinomios de base de Lagrange sobre el soporte anterior y representarlos gr´aficamente. Soluci´ on: L0 (x) =
6x2 − 5πx + π 2 , π2
L1 (x) = −
18x2 − 9πx , π2
L2 (x) =
12x2 − 4πx π2
342
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
16.
b) Determinar el polinomio interpolador de Lagrange de f (x) sobre el soporte anterior. 0 0 Soluci´ on: p2 (x) = − 38 360139 x2 + 14 692866 x. π2 π π c) Al soporte dado se le a˜ nade el punto 6 . Evaluar el nuevo polinomio interpolador. 0 0 0 Soluci´ on: p3 (x) = − 152 π18195 x3 + 88 45815 x2 − 10 670792 x 3 π2 π ¡ ¢ Sea el soporte {0, 00 6, 2} y sea la funci´on f (x) = e−x + cos 4x π . Se pide: a) Calcular y representar gr´aficamente los polinomios de base de Lagrange asociados al soporte anterior. Soluci´ on: L0 (x) =
x2 − 2x x2 − 00 6x x2 − 20 6x + 10 2 , L1 (x) = − 0 , L2 (x) = . 0 12 0 84 20 8
b) Sabiendo que los valores de la funci´on en el soporte son: f (00 6) = 10 2709251,
f (0) = 2,
f (2) = −00 6927495
calcular el polinomio interpolador de Lagrange. Soluci´ on: p2 (x) = −00 0937499x2 − 10 1588749x + 2. c) Al soporte anterior se le a˜ nade el punto 10 4. Calc´ ulese el nuevo polinomio interpolador de Lagrange. Soluci´ on: p(x) = 00 2342095x3 − 00 7026948x2 − 00 8778234x + 2. 17.
De una funci´on se conoce la siguiente tabla de valores: x
0
1
2
3
4
f (x)
2
30 086
70 524
200 135
540 616
Se pide: a) Encontrar el polinomio interpolador de Lagrange de f (x) sobre el soporte dado utilizando para ello diferencias divididas. Soluci´ on: p(x) = 2 − 10 202x + 30 3336667x2 − 10 4155x3 + 00 3698333x4 . b) Indicar la expresi´on del error de interpolaci´on sabiendo que f (x) = e−x +ex . Soluci´ on: ∀ x ∈ [0, 4] ∃ c ∈ [0, 4] tal que: E(x) = 18.
e−c + ec 5 (x − 10x4 + 35x3 − 50x2 + 24x) 120
Siendo f (x) = e−x + cos x y designando © por ªp(x) al polinomio interpolador de Lagrange de f (x) sobre el soporte 0, π3 , π2 , indicar cual de las siguientes opciones recoge una cota del error de interpolaci´on cometido. En el caso de que varias opciones expresen una cota de dicho error, se˜ nala u ´nicamente la que, de entre ellas, sea menor:
16.14. Ejercicios
343
a) |f (x) − p(x)| ≤ 00 138350 . 00 3032603 b) |f (x) − p(x)| ≤ 00 333334 . 00 0905972 c) |f (x) − p(x)| ≤ 00 138350 . 00 0905972 d ) |f (x) − p(x)| ≤ 00 333334 . 00 3032603 Soluci´ on: La u ´nica cota del error de interpolaci´on es la dada en la opci´on d). 19.
1 Dada la funci´on f (x) = 1+x 2 se desea hallar su polinomio interpolador de Lagrange sobre el soporte {0, 1, 2}. Indica entre las siguientes opciones cu´al recoge correctamente la expresi´on de los polinomios de base de Lagrange asociados a dicho soporte y la del polinomio interpolador.
a) L0 (x) =
1 2 (x − 3x + 2), 2
L1 (x) = 2x − x2 ,
p(x) =
L2 (x) =
1 2 (x − x), 2
L2 (x) =
1 2 (x − x), 2
1 2 3 x − x+1 10 5
b) L0 (x) =
1 2 (x − 3x + 2), 2
L1 (x) = 2x − x2 ,
p(x) =
4 2 1 x − x+1 3 20
c) L0 (x) =
1 (2x2 + 4x − 3), 2
L1 (x) = 2(3x2 − 1),
p(x) =
L2 (x) =
1 2 x + 1, 2
L2 (x) =
1 2 x + 1, 2
1 2 3 x − x+1 10 5
d) L0 (x) =
1 (2x2 + 4x − 3), 2
L1 (x) = 2(3x2 − 1),
p(x) =
4 2 1 x − x+1 3 20
Soluci´ on: La opci´on correcta es la recogida en el apartado a).
344
20.
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
¢ ¡ El polinomio interpolador de Lagrange de la funci´on f (x) = cos 4x−π sobre el π soporte {0, 1} est´a dado por p(x) = 00 5403 + 00 4226 x. Se˜ nala, entre las opciones siguientes cu´al de ellas recoge una cota del error de interpolaci´on en el intervalo [0, 1]. En el caso de haber m´as de un valor que pueda ser cota del error, se˜ nala la m´as peque˜ na de las posibles cotas: a) 10 05,
b)
00 21,
c) 00 14,
b) 00 03
Soluci´ on: La opci´on correcta es la recogida como b). 21.
De una funci´on f (x) se conocen los siguientes valores: x
−1
0
1
3
4
f (x)
7
1
−1
−41
−43
Se pide obtener mediante la f´ormula de Newton un polinomio de grado menor o igual que 4 que interpole a la funci´on f (x) en el soporte {−1, 0, 1, 3, 4}. Soluci´ on: p(x) = 1 + x + x2 − 5x3 + x4 . 22.
a) Obtener la f´ormula de Newton-Cˆotes abierta con dos puntos de soporte. Hallar tambi´en la expresi´on del error de integraci´on num´erica correspondiente a dicha f´ormula. Rb 3 3 00 on: a f (x)dx ≈ 3h b) Soluci´ 2 (f (x0 ) + f (x1 )). Error= 4 h f (x1 ) + .... c) Evaluar con ayuda de la f´ormula anterior una aproximaci´on del valor de la integral: Z 2 (x3 − 2x2 + 1)dx. 0
Soluci´ on: Paso de integraci´on: h = 2/3. Puntos de integraci´on: x0 = 2/3, x1 = 4/3. Z 2 2 (x3 − 2x2 + 1)dx ≈ 9 0 23.
Sean x0 , x1 y x2 tres puntos pertenecientes a un intervalo [a, b]. Se pide: a) Hallar una f´ormula de integraci´on num´erica de tipo interpolatorio con dicho soporte. Rb 2 2 0) + Soluci´ on: a f (x)dx ≈ f (x0 )(b − a) + f [x0 , x1 ] (b−x0 ) −(a−x 2 µ +f [x0 , x1 , x2 ]
¶ (b3 − a3 ) (b2 − a2 ) − (x0 + x1 ) + x0 x1 (b − a) 3 2
16.14. Ejercicios
345
b) Particularizar la f´ormula al caso en que x0 = a, x1 = a+b y x2 = b 2 determinando la expresi´on del error de integraci´on num´erica. Rb Soluci´ on: a f (x)dx ≈ (b−a) ormula de Simp6 (f (x0 ) + 4f (x1 ) + f2 (x2 )) (F´ son). 5
(iv Error= − (b−a) (x1 ) + .... 2880 f
c) Aplicar la f´ormula del apartado anterior a la estimaci´on de la integral R1 x e dx. 0 R1 Soluci´ on: 0 ex dx ≈ 10 7188612 (Valor exacto: e − 1 = 10 7182818...). 24.
a) Deducir la f´ormula de Milne compuesta y la expresi´on de su error. Soluci´ on: Siendo N el n´ umero de subintervalos en que se subdivide [a, b], H la longitud de cada subintervalo en que se divide [a, b] (es decir que H H = (b−a) N , h = 4 y considerando los puntos de soporte: x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., x1 = a + ih, ..., x4N = a + 4N h = b la f´ormula de Milne resulta ser: Z
b
f (x)dx ≈ a
+12
N X
N X 4h [7f (x0 ) + 32 (f (x4,i−3 ) + f (x4,i−1 ))+ 90 i=1
f (x4,i−2 ) + 14
i=1
N −1 X
f (x4,i ) + 7f (x4,N )]
i=1
b) Escribir un programa que eval´ ue integrales mediante la f´ormula de Milne compuesta. c) Aplicar dicho programa a la estimaci´on del valor aproximado de la integral: Z
3
(cos x − x sen x)dx 1
subdividiendo el intervalo [1, 3] en N subintervalos y dando a N los valores: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 y 250. Soluci´ on: Para los distintos valores de N se obtienen los siguientes resultados:
346
25.
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
N
H
Valor aproximado
error
2
10 00000000
−30 0763240
−00 4396472
4
00 50000000
−30 3120220
−00 1982579
8
00 25000000
−30 4195440
−00 0907359
16
00 12500000
−30 4673693
−00 0429103
32
00 06250000
−30 4894821
−00 0207975
64
00 03125000
−30 5000493
−00 0102303
128
00 01562500
−30 5052034
−00 0050762
250
00 00800000
−30 5076880
−00 0025921
De una funci´on f (x) se conoce la siguiente tabla de valores: x
f (x)
0
1,0000000
π/12
00 9659258
π/6
00 8660254
π/4
00 7071067
π/3
00 5000000
5π/12
00 2588190
π/2
00 0000000
Se pide evaluar una aproximaci´on de
R π/2 0
f (x)dx:
a) Mediante la f´ormula de Weddle. ( Soluci´ on: 10 0000000). b) Mediante la f´ormula del trapecio compuesta. ( Soluci´ on: 00 9942818). c) Mediante la f´ormula de Simpson compuesta. ( Soluci´ on: 10 0000263). d ) Mediante la regla de 3/8 compuesta. ( Soluci´ on: 10 0000596).
16.14. Ejercicios
26.
347
Consid´erense los puntos del intervalo [a, b] definidos por: x0 = a,
x1 = a + h,
x2 = a + 2h,
x3 = a + 3h,
x4 = b,
con h = (b−a) on de clase C 2 ([a, b]), se pretende calcular 4 . Siendo f (x) una funci´ la integral de f (x) en el intervalo [a, b] subdividiendo el intervalo de integraci´on seg´ un la expresi´on: Z b Z x2 Z x3 Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx a
a
x2
x3
y aproximando la integral en [a, x2 ] mediante la f´ormula de Simpson, en el intervalo [x2 , x3 ] mediante la f´ormula del trapecio y la integral sobre [x3 , b] mediante la f´ormula del trapecio. Se pide encontrar la f´ormula de integraci´on compuesta correspondiente al proceso anterior y la expresi´on de su error. Rb Soluci´ on: a f (x)dx ≈ h6 [2f (x0 ) + 8f (x1 ) + 5f (x2 ) + 6f (x3 ) + 3f (x4 )] h 00 i h2 (iv 2 Error= − (b−a) h f (ξ) + f (µ) . 24 15 27.
Consid´erense los puntos x1 < x2 < .... < x10 que forman un soporte equidistante y sea h la distancia entre dos puntos consecutivos del soporte. Sobre el soporte anterior se suponen conocidos los valores f1 , f2 , ...., f10 que toma Runa funci´on x f (x) en ellos y se desea calcular una aproximaci´on de la integral x110 f (x)dx. Para ello se propone descomponer la integral en suma de las cuatro integrales siguientes: Z x10 Z x3 Z x5 Z x7 Z x10 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx x1
x1
x3
x5
x7
y calcular el valor aproximado de cada una de las tres primeras mediante la f´ormula de Simpson y la cuarta mediante una f´ormula de Newton-Cˆotes abierta de soporte con 2 puntos. Se pide obtener la expresi´on de la f´ormula de integraci´on compuesta resultante as´ı como la expresi´on del error de integraci´on cometido. Rx Soluci´ on: x110 f (x)dx ≈ h6 [2(f1 + f7 ) + 4(f3 + f5 ) + 8(f2 + f4 + f6 ) + 9(f8 + f9 )]. 5
Error= − h30 f (iv (ξ) + 28.
3h3 00 4 f (µ).)
Aplicar el m´etodo de Euler para aproximar las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial en el intervalo dado: a) y 0 = te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0 con h = 0,5. b) y 0 = 1 + (t − y)2 , 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1 con h = 0,5. c) y 0 = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2 con h = 0,25. d) y 0 = cos(2t) + sen(3t), 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1 con h = 0,25. Resolver las ecuaciones en forma exacta y comparar los valores reales con las aproximaciones del m´etodo de Euler.
348
Cap´ıtulo 16. T´ecnicas b´ asicas de c´ alculo num´erico
29.
Resolver los problemas de valor inicial del problema anterior usando los m´etodos de Euler modificado, de Runge-Kutta de segundo orden y de Runge-Kutta de orden cuatro. Comparar los errores de cada m´etodo con las soluciones exactas.
Cap´ıtulo 17
M´ etodos num´ ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones no lineales 17.1.
Introducci´ on
Muchos de los fen´omenos f´ısicos y qu´ımicos con los que tiene que enfrentarse un ingeniero son no lineales. La resoluci´on de modelos no lineales implica que en alg´ un momento se deban resolver ecuaciones y sistemas que no son lineales. Aunque el tema es complicado y requiere, para su estudio en profundidad, una base matem´atica que no hemos podido desarrollar en los temas anteriores, hemos optado por incluir este cap´ıtulo con el objetivo de exponer los dos m´etodos m´as sencillos para resolver ecuaciones y sistemas no lineales: el m´etodo de aproximaciones sucesivas y el m´etodo de Newton. Incluimos previamente un apartado de conceptos previos que contiene un breve resumen de los resultados necesarios para abordar el estudio de los m´etodos antes citados.
17.2.
Conceptos previos
Los m´etodos que se van a estudiar en este tema son iterativos. Los m´etodos iterativos consisten en generar una sucesi´on de vectores que, en el mejor de los casos, se vaya aproximando hacia el vector soluci´on. Para determinar el grado de aproximaci´on, 349
350
Cap´ıtulo 17. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones no lineales
ser´a necesario trabajar en conjuntos sobre los que se haya definido una forma de medir la distancia entre sus elementos. Este tipo de conjuntos recibe el nombre de espacios m´etricos (un caso particular de espacio m´etrico es el espacio eucl´ıdeo). Las distancias m´as habituales en lRn son: v u n n X uX 2 |xi − yi | , d2 (x, y) =t |xi − yi | , d∞ (x, y) = M ax {|xi − yi |} d1 (x, y) = i=1
1≤i≤n
i=1
Estas tres distancias, por tanto, definen tres espacios m´etricos distintos sobre lRn ; espacios que se representan respectivamente por (lRn , d1 ), (lRn , d2 ); y (lRn , d∞ ). A continuaci´on se enuncian algunas definiciones y propiedades elementales de los espacios m´etricos que ser´an de utilidad en la descripci´on y el an´alisis de los m´etodos que se estudiar´an en los apartados siguientes. Definici´ on 17.1. se dice que la sucesi´ on infinita de elementos, {xi }∞ i=0 , del espacio m´etrico (E, d), es convergente hacia el elemento x∗ ∈ E, si para cualquier valor ² > 0 siempre se puede encontrar un n´ umero natural N tal que para todo ´ındice n > N se verifica que d(xn , x∗ ) < ². Al elemento x∗ anterior, si existe se le denomina l´ımite de la sucesi´ on {xi }∞ i=0 . Definici´ on 17.2. Dada una sucesi´ etrion infinita de elementos {xi }∞ i=0 del espacio m´ co (E, d) se dice que la sucesi´ on es una sucesi´ on de Cauchy, si para cualquier valor ² > 0 siempre se puede encontrar un n´ umero natural N tal que para todos los ´ındices n > N y m > N se verifica que d(xn , xm ) < ². Se observa que las sucesiones de Cauchy son tales que las distancias entre todos sus elementos pueden hacerse inferiores a cualquier valor ², a partir de un cierto ´ındice N (que depender´a del valor ² elegido). Dicho de otra forma, parece que estas sucesiones convergen hacia “algo”, pero no se sabe si dicho “algo” pertenece al espacio m´etrico considerado, si perteneciese, ser´ıa el l´ımite de la sucesi´on. Para evitar problemas en lo sucesivo se trabajar´a con espacios que incluyan entre sus elementos a todos los posibles l´ımites de sus sucesiones, espacios que reciben el nombre de espacios m´etricos completos. Expresado de forma rigurosa: Definici´ on 17.3. Se dice que el espacio m´etrico (E, d) es un espacio m´ etrico completo si toda sucesi´ on de Cauchy de elementos de E es una sucesi´ on convergente en (E, d). Cuando se estudien los m´etodos para resolver sistemas de ecuaciones ser´a necesario trabajar sobre espacios vectoriales puesto que las soluciones de los sistemas ser´an vectores. Para medir distancias en un espacio vectorial, adem´as de la norma eucl´ıdea v u n uX kxk2 = t (xi )2 i=1
17.2. Conceptos previos
351
ya introducida en el cap´ıtulo dedicado al estudio del espacio eucl´ıdeo, se suelen utilizar las dos normas siguientes: n X |xi | y kxk∞ = M ax {|xi |} kxk1 = 1≤i≤n
i=1
Se recuerda que una norma definida sobre un lR−espacio vectorial V verifica las propiedades siguientes: 1.
kxk = 0 ⇔ x = 0.
2.
kλxk = |λ| kxk ,
3.
kx + yk ≤ kxk + kyk,
∀λ ∈ lR,
∀x ∈ V.
∀x, y ∈V.
A todo espacio vectorial sobre el que se ha definido una norma se le denomina espacio vectorial normado. En el tema dedicado al estudio del espacio eucl´ıdeo se introdujo el concepto de distancia asociada a una norma, concepto que ahora recordamos: Proposici´ on 17.1. Siendo (E, k·k) un espacio vectorial normado, se verifica que la aplicaci´ on d(x, y) = kx − yk es una distancia denominada distancia asociada a la norma k·k Las distancias asociadas a las normas k·k1 , k·k2 y k·k∞ se denominan d1 , d2 y d∞ respectivamente. Los espacios vectoriales normados (lRn , k·k1 ), (lRn , k·k2 ), y (lRn , k·k∞ ) son espacios m´etricos completos con las distancias d1 , d2 y d∞ . En los m´etodos iterativos que se van a plantear en este cap´ıtulo la sucesi´on de vectores que, en su caso, vaya a ir convergiendo hacia la soluci´on de la ecuaci´on o del sistema se generar´a a partir de un vector inicial x0 mediante un esquema de c´alculo que se traducir´a en determinar una funci´on g(x), a partir de la cual se generar´a la sucesi´on en cuesti´on: i+1
x
=
x0 conocido g(xi ) (i = 1, 2, . . .)
(17.1)
Convendr´a, por lo tanto, trabajar con funciones g para las cuales se pueda asegurar que la sucesi´on que con ella se genere es convergente hacia alguna soluci´on del sistema que se quiera resolver. Si x∗ fuese el l´ımite de la sucesi´on generada por el esquema anterior y adem´as la aplicaci´on g(x) fuese continua se verificar´a que: l´ım (xi+1 ) = l´ım g(xi ) ⇔ x∗ = g(x∗ )
i→∞
i→∞
Los puntos x∗ , del dominio sobre el que est´a definida la aplicaci´on g, que verifican que x∗ = g(x∗ ) reciben el nombre de puntos fijos de la aplicaci´on. M´as concretamente:
352
Cap´ıtulo 17. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones no lineales
Definici´ on 17.4. Siendo g una aplicaci´ on definida en un espacio m´etrico (E, d) y con valores en el mismo espacio m´etrico se denomina punto fijo de la aplicaci´ on g a todo elemento x∗ de E tal que x∗ = g(x∗ ). Interesar´a, por tanto, trabajar con funciones g que posean un punto fijo. Un tipo de tales funciones son las que se denominan contracciones. Definici´ on 17.5. Sean (E, d) y (V, d0 ) dos espacios m´etricos y sea g : E → V una aplicaci´ on definida en E y con valores en V. Se dice que g es una aplicaci´ on lipschitciana cuando existe una constante real k > 0 tal que: d0 (g(x), g(y)) ≤ kd(x, y)
∀x, y ∈ E
A la menor constante k que verifica la condici´on anterior se le denomina constante de Lipschitz de la aplicaci´on. Nota 17.1. En el caso de que se est´e trabajando con espacios vectoriales normados 0 (E, k·k) y (V, k·k ) toda aplicaci´on g : E → V que sea lipschitciana de constante k verificar´a: 0 kg(x)−g(y)k ≤ k kx − yk , ∀x, y ∈E Definici´ on 17.6. Toda aplicaci´ on lipschitciana que verifique las dos condiciones siguientes: 1.
Ser una aplicaci´ on de un espacio m´etrico (E, d) sobre si mismo,
2.
Tener una constante de Lipschitz estrictamente inferior a 1,
recibe el nombre de contracci´ on en E. El hecho de que para las contracciones se garantice la convergencia de la sucesi´on generada mediante el esquema (17.1) se debe al teorema del punto fijo que se enuncia a continuaci´ on. Teorema 17.1 (del punto fijo). Toda contracci´ on definida sobre un espacio m´etrico completo admite un u ´nico punto fijo.
17.3.
Caso de una u ´ nica ecuaci´ on
17.3.1.
M´ etodos de aproximaciones sucesivas (o del punto de fijo)
El m´etodo de aproximaciones sucesivas (o del punto fijo) para determinar una soluci´on de la ecuaci´on no lineal f (x) = 0 se basa en el teorema del punto fijo. Por ello la
17.3. Caso de una u ´nica ecuaci´ on
353
primera etapa de este m´etodo consiste en reescribir la ecuaci´on f (x) = 0 en la forma x = g(x) (reescritura que no es u ´nica). Posteriormente el m´etodo busca un punto fijo de la funci´on g mediante el siguiente esquema de c´alculo: ∞
Dado un valor x0 se genera la sucesi´ on {xi+1 = g(xi )}i=0 Seg´ un se ha visto en el apartado anterior: si g es una contracci´on definida sobre un intervalo [a, b] entonces el m´etodo de aproximaciones sucesivas que se acaba de describir genera, a partir de cualquier valor inicial x0 ∈ [a, b], una sucesi´on {xi }∞ i=0 que converge hacia la u ´nica soluci´on de la ecuaci´on x = g(x) en el intervalo [a, b]. Conviene, por tanto, elegir la funci´on g de forma que sea una contracci´on. Gr´aficamente (ver la figura 17.1) el m´etodo se puede interpretar como la b´ usqueda de la intersecci´on entre la bisectriz del primer cuadrante y la curva y = g(x) mediante sucesivos “escalones” comprendidos entre la gr´afica de g(x) y la bisectriz del primer cuadrante.
y=x
y = g(x)
x
0
x
1
x
2
Figura 17.1: Representaci´on gr´afica del m´etodo de punto fijo.
17.3.2.
M´ etodo de Newton
El m´etodo de Newton es un procedimiento general que se puede aplicar en muy diversas situaciones. Cuando se emplea para localizar los ceros de una funci´on real de variable real, se suele llamar m´etodo de Newton-Raphson. Sea r un cero de f (x). Es decir, una soluci´on de la ecuaci´on f (x) = 0. Sea x una aproximaci´on a r. Si f 00 existe y es continua, por el teorema de Taylor sabemos que: 0 = f (r) = f (x + h) = f (x) + hf 0 (x) + O(h2 )
354
Cap´ıtulo 17. M´etodos num´ericos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones no lineales
donde h = r − x. Si |h| 0 arctg( ab ) arctg( ab ) + π si a < 0 y b ≥ 0 arctg( ab ) − π si a < 0 y b < 0 π si a = 0 y b > 0 2 − π2 si a = 0 y b < 0 indeterminado si a = 0 y b = 0
(A.1)
Las figuras A.1 y A.2 muestran la representaci´on √ geom´etrica √ de cuatro n´ umeros complejos. En la figura A.1 aparecen los complejos 1+ 3i y −1− 3i; el m´odulo de ambos es 2 y los argumentos son, respectivamente, π/3 y −2π/3 como se puede comprobar gr´aficamente√o aplicando la expresi´on A.1. En la figura A.2 aparecen los complejos √ 3 − i y − 3 + i; en este caso el m´odulo de ambos es 2 y los argumentos son, respectivamente, −π/6 y 5π/6. La representaci´on de un complejo a+bi mediante su m´odulo y su argumento principal, (ρ)θ , se denomina forma m´odulo-argumental de representaci´on del complejo.
En forma trigonom´ etrica Siendo a + bi un n´ umero complejo de m´odulo ρ y argumento θ se verifica que: a = ρ cos θ y b = ρ sen θ por lo que a + bi = ρ(cos θ + i sen θ). Esta u ´ltima expresi´on es la representaci´on en forma trigonom´etrica del complejo a + bi.
A.3. Distintas formas de expresar las operaciones elementales
365
1
0.5
–1
–1.5
–0.5
0.5
1
1.5
–0.5
–1
Figura A.2: Rep. geom´etrica de los complejos
√
√ 3 − i y − 3 + i.
En forma exponencial A partir de la f´ormula de Euler: eix = cos(x) + i sen(x), igualdad que se demuestra en la secci´on 9.10, el complejo z = a + bi se puede tambi´en representar (forma exponencial de representar el complejo) como: z = ρeiθ en donde ρ es el m´odulo del complejo y θ el argumento.
A.3.
Distintas formas de expresar las operaciones elementales
A.3.1.
Suma de complejos
En forma bin´omica: a1 + b1 i + a2 + b2 i = a1 + a2 + (b1 + b2 )i En forma de par: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
366
N´ umeros Complejos
En forma m´odulo-argumental: (ρ1 )α1 + (ρ2 )α2 = (ρ3 )α3 en donde ρ3 =
p
(ρ1 )2 + (ρ2 )2 + 2ρ1 ρ2 (cos(α1 − α2 ))
y α3 se obtiene aplicando la expresi´on (A.1) con a = ρ1 sen α1 + ρ2 sen α2 y b = ρ1 cos α1 + ρ2 cos α2 . En forma trigonom´etrica: ρ1 (cos α1 + i sen α1 ) + ρ2 (cos α2 + i sen α2 ) = ρ3 (cos α3 + i sen α3 ) con ρ3 y α3 obtenidos de la misma manera que en el caso anterior.
A.3.2.
Producto de complejos
En forma bin´omica: (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i En forma de par (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) En forma m´odulo-argumental: (ρ1 )α1 (ρ2 )α2 = (ρ1 ρ2 )α2 +α1 En forma trigonom´etrica: ρ1 (cos α1 + i sen α1 )ρ2 (cos α2 + i sen α2 ) = ρ1 ρ2 (cos(α1 + α2 ) + i sen(α1 + α2 )) En la figura A.3 se muestra la representaci´on gr´afica √ del producto de dos complejos. Obs´ervese que el m´odulo del complejo resultante (≈ ( 50)2,35619 ) es el producto de los m´odulos de los dos factores y su argumento es la suma de los argumentos de los dos factores.
A.3. Distintas formas de expresar las operaciones elementales
367
5
4
3
2
1
–5
–4
–3
–1
–2
1
2
√ Figura A.3:√Rep. geom´etrica del producto de los complejos 2 + i ≈ ( 5)0,46365 y −1 + 3i ≈ ( 10)1,89255 .
A.3.3.
Inverso de un n´ umero complejo no nulo
En forma de par
µ (a, b)−1 =
a −b , a2 + b2 a2 + b2
¶
En forma bin´omica (a + bi)−1 =
a −b + 2 i a2 + b2 a + b2
En forma m´odulo-argumental: −1
((ρ)α )
=
µ ¶ 1 ρ −α
En forma trigonom´etrica: (ρ(cos α + i sen α))
A.3.4.
−1
=
1 (cos(−α) + i sen(−α)) ρ
Cociente de dos complejos
En forma bin´omica z1 a1 + b1 i a1 a2 + b1 b2 a2 b1 − a1 b2 = = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i)−1 = + i z2 a2 + b2 i a22 + b22 a22 + b22
368
N´ umeros Complejos
En forma de par: z1 (a1 , b1 ) = = (a1 , b1 )(a2 , b2 )−1 = z2 (a2 , b2 )
µ
a1 a2 + b1 b2 a2 b1 − a1 b2 , a22 + b22 a22 + b22
¶
En forma m´odulo-argumental: (ρ1 )α1 = (ρ2 )α2
µ
ρ1 ρ2
¶ α1 −α2
En forma trigonom´etrica: ρ ρ1 (cos α1 + i sen α1 ) = 1 (cos(α1 − α2 ) + i sen(α1 − α2 )) ρ2 (cos α2 + i sen α2 ) ρ2 Nota A.4. De lo anterior es f´acil concluir que para realizar sumas de n´ umeros complejos conviene expresarlos en forma de par o en forma bin´omica. Por el contrario para realizar productos, cocientes o calcular inversos de complejos conviene expresarlos en forma m´odulo-argumental o en forma trigonom´etrica.
A.3.5.
Conjugado de un n´ umero complejo
Definici´ on A.7. Dado el complejo a + bi se denomina complejo conjugado de ´este, y se representa por (a + bi), al n´ umero complejo definido mediante (a + bi) = a − bi. Nota A.5. En forma m´odulo-argumental: (ρ)α = (ρ)−α . Proposici´ on A.6. (a + bi)(a + bi) = a2 + b2 , ∀a + bi ∈ C.
A.4.
Potenciaci´ on de n´ umeros complejos
Proposici´ on A.7. Sea a + bi un n´ umero complejo de m´ odulo ρ y argumento α. Se verifica la siguiente relaci´ on: n
((ρ)α ) = (ρn )nα ,
∀ (ρα ) ∈ C
Como ejemplos de potenciaci´on de complejos obs´ervense las figuras A.4 y A.5. En la primera se muestra la representaci´on geom´etrica del complejo z = 1,2 + 0,9i y de sus 6 2 3 4 5 6 primeras potencias: p z, z , z , z , z y z . En la segunda se representa geom´etricamente el complejo v = (3)/2 + (1/2)i y sus primeras once potencias. Como en este caso el m´odulo de v es igual a 1, sus potencias siempre tienen m´odulo 1 y lo u ´nico que var´ıa es el argumento: los extremos de las distintas potencias dibujadas est´an siempre situados en una circunferencia de radio unidad.
A.5. Radicaci´ on compleja
369
2
–8
–6
–4
–2 0
–2
–4
–6
Figura A.4: Rep. geom´etrica del complejo z = 1,2+0,9i y de sus primeras 6 potencias.
v^3 1
v^4
v^2
v
v^5 0.5
v^6
–1
–0.5
1
0.5
–0.5
v^7
v^11
v^8
–1
v^10
v^9
Figura A.5: Rep. geom´etrica del complejo v = potencias.
√
3/2 + (1/2)i y de sus primeras once
Proposici´ on A.8. Se verifica la siguiente f´ ormula llamada F´ ormula de Moivre: n
(cos(α) + i sen(α)) = cos(nα) + i sen(nα)
A.5.
Radicaci´ on compleja
Proposici´ on A.9. Sea a + bi un n´ umero complejo de m´ odulo ρ y de argumento θ. Se verifica la siguiente relaci´ on: q n
√ (ρ)α = ( n ρ)ϕ , k
donde ϕk =
2π α +k , n n
(k = 0, . . . , n − 1).
370
N´ umeros Complejos
Nota A.6. De la proposici´on anterior se deduce que las n ra´ıces n-´esimas de un n´ umero complejo z tienen el mismo m´odulo y sus argumentos difieren en 2π n radianes; por lo tanto los extremos de estas ra´ıces son los v´ e rtices de un pol´ ıgono regular de n √ lados inscritos en una circunferencia de radio n r (r = m´odulo del complejo z).
2
1
–2
0
4
2
6
8
–1
–2
Figura A.6: Rep. geom´etrica del complejo z = 8 + 0i y sus tres ra´ıces c´ ubicas.
A.6.
Referencias bibliogr´ aficas
Para obtener explicaciones mas detalladas de la materia tratada en este tema consultar el cap´ıtulo 1 de [24], el ap´endice de [22], el cap´ıtulo 10 de [1], el ap´endice B de [10] y el cap´ıtulo 1 de [40]. Para profundizar m´as en el tema, incluyendo variable compleja, ver [26], [41], [31] y [36].
A.7. 1.
Ejercicios
Calcular a) (5 + 3i) + (3 − 2i). b) (5 + 3i)(3 − 2i). c)
(5+3i) (3−2i) .
Soluci´ on: (a) 8 + i, (b) 21 − i, (c)
9 13
+
19 13 i.
A.7. Ejercicios
2.
371
Expresar en forma m´odulo - argumental, trigonom´etrica, de par ordenado y exponencial los siguientes complejos: (a) 5 + 3i, (b) 3 − 2i, (c) 1 + i, (d) −4i. Soluci´ on: √ √ √ a) ( 34)0,54 = 34(cos(0,54) + i sen(0,54)) = (5, 3) = 34e0,54i √ √ √ b) ( 13)−0,588 = 13(cos(−0,588) + i sen(−0,588)) = (3, −2) = 13e−0,588i √ √ √ π c) ( 2) π4 = 2(cos( π4 ) + i sen( π4 )) = (1, 1) = 2e 4 i π
d ) (4)− π2 = 4(cos(− π2 ) + i sen(− π2 )) = (0, −4) = 4e− 2 i 3.
Dibujar el vector que representa geom´etricamente a cada uno de los siguientes complejos: (a) 2 + 3i, (b) −4, (c) −3 − 2i, (d) −5i. Soluci´ on: Consultar la figura A.7
2+3i -4
-3-2i -5i
Figura A.7: Rep. geom´etrica de los complejos 2 + 3i, −4, −3 − 2i y −5i. 4.
Determinar la forma m´odulo-argumental de los siguientes complejos: √ √ (a) 2i, (b) −4, (c) 5 + 5i, (d) −6 + 6 3i, (e) −3 − 3i (f) 2 3 − 2i. Soluci´ on:
5.
√ √ (a) (2) π2 , (b) (4)π , (c) (5 2) π4 , (d) (12) 2π , (e) (3 2)− 3π (f) (4)− π6 3 4 √ √ Expresar z1 = i, z2 = 1 − 3i y z3 = 3 + i en forma trigonom´etrica. Utilizar el resultado para calcular z1z3z2 . Comprobar el resultado realizando los c´alculos en forma binomial. Soluci´ on:z1 = cos( π2 ) + i sen( π2 ), z2 = 2(cos(− π3 ) + i sen(− π3 )), z3 = 2(cos( π6 ) + π i sen( 6 )) z1 z2 =1 z3
6.
Determinar las ra´ıces cuadradas de −i. Dibujar el resultado. Soluci´ on: Consultar la figura A.8
372
N´ umeros Complejos
1
1
2
2
i
π
π 4 1
1
2
2
i
Figura A.8: Ra´ıces cuadradas de −i. 7.
Determinar todas las soluciones de las dos ecuaciones siguientes (a) z 4 − 16 = 0,
(b) z 4 + 64 = 0
Soluci´ on: a) ±2, ±2i. b) ±(2 + 2i), ±(2 − 2i). 8.
√ Determinar las cuatro ra´ıces de orden 4 de −8 + 8 3i y representarlas gr´aficamente. Soluci´ on: Consultar la figura A.9
9.
¿Cu´al es el efecto geom´etrico de dividir un n´ umero complejo por i? Soluci´ on: girarlo 90o en sentido horario.
10.
Hallar la parte real y la parte imaginaria de los siguientes complejos. √ π (a) z1 = 3eπi , (b) z2 = 3e−πi , (c) z3 = 2e− 2 i , (d)z4 = 3e−2πi . Soluci´ on: a) Real(z1 ) = −3, Imag(z1 ) = 0 b) Real(z2 ) = −3, Imag(z2 ) = 0 √ c) Real(z3 ) = 0, Imag(z3 ) = − 2 d ) Real(z4 ) = 3, Imag(z4 ) = 0
A.7. Ejercicios
373
-1+ 3i
3 +i
π 2
π 6
- 3-i
1-
3i
√ Figura A.9: Las cuatro ra´ıces de orden 4 de −8 + 8 3i.
374
N´ umeros Complejos
Ap´ endice B
Ex´ amenes propuestos en la URJC con sus soluciones B.1. 1.
Prueba de control de noviembre de 1999
Dado el complejo z = −64 se pide: √ a) calcular todos los valores de 6 z; b) dibujar el resultado indicando cu´al es la figura geom´etrica que se obtiene al unir los extremos de los complejos hallados en el apartado anterior. √ Soluci´ on: z = (64)π , y = 6 z = (2) π + 2kπ (k = 0, . . . , 5) 6
6
a) y0 = (2) π6 , y1 = (2) π2 , y2 = (2) 5π , y3 = (2)− 5π , y4 = (2)− π2 , y5 = (2)− π6 . 6 6 b) Las cinco soluciones son los v´ertices de un hex´agono regular inscrito en una circunferencia de radio 2. En la figura B.1 se representa gr´aficamente el resultado. 2.
Dado el sistema de ecuaciones x1 + x2 + x3 = 0 x1 + ax2 + x3 = 1 bx1 + x2 + ax3 = 1 se pide discutir las soluciones del sistema en funci´on de los valores de a y b (a, b ∈ lR). Soluci´ on: 375
376
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
y1 2
y0 y2
–2
1
–1
1
2
–1
y3
y5
–2
y4
Figura B.1: Representaci´on gr´afica de la soluci´on del problema 1.
1 1 Matriz de coeficientes: A = 1 a b 1 1 1 1 Matriz ampliada: Ab = 1 a 1 b 1 a a 6= 1.
1 1 1 1 0 1 ∼ 0 a−1 a 0 0 a−b 1 1 1 0 0 con 0 1 1 ∼ 0 a−1 0 0 a − b a−2+b 1 a−1
Si a 6= 1 a) Si a = b, rg(A) = 2. y rg(Ab ) = 3 (2a − 2 6= 0 salvo si a = 1) ⇒ Sistema incompatible. b) Si a 6= b, rg(A) = 3 y rg(Ab ) = 3 ⇒ Sistema compatible determinado. Si a = 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 ∼ 0 1 − b 1 − b , b 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 Ab = 1 1 1 1 ∼ 0 1 − b 1 − b b 1 1 1 0 0 0
0 1 , 1
a) Si b = 1, rg(A) = 1 y rg(Ab ) = 2 ⇒ Sistema incompatible. b) Si b 6= 1, rg(A) = 2 y rg(Ab ) = 3 ⇒ Sistema incompatible. 3.
Demostrar que si T ∈ M3 (lK) es una matriz triangular superior inversible, la inversa de T tambi´en es triangular superior.
B.1. Prueba de control de noviembre de 1999
377
Soluci´ on: Si la matriz T −1 es la inversa de la matriz T se verifica T T −1 = I3 . La ecuaci´on T T −1 = I3 se puede expresar como: −1 −1 T (t−1 1 , t2 , t3 ) = (e1 , e2 , e3 ) −1 (t1−1 , t−1 2 , t3 )
donde pectivamente:
y (e1 , e2 , e3 ) representan las columnas de T
t−1 1
(B.1)
−1 t−1 t12 11 −1 −1 = t−1 , t = t22 2 21 −1 −1 t31 t32 0 1 e1 = 0 , e2 = 1 0 0
−1
e In res-
t−1 13 , t−1 t−1 y 3 = 23 t−1 33 0 , e3 = 0 1
De (B.1) se deduce que para obtener los elementos de T −1 se deben resolver los siguientes 3 sistemas de ecuaciones lineales (cada uno de ellos con 3 ecuaciones y 3 inc´ognitas): −1 −1 −1 t12 t13 t11 1 0 0 −1 −1 0 1 0 T t−1 = T = T = t t 21 22 23 −1 −1 0 0 1 t−1 t t 31 32 33 Resolviendo el primero −1 −1 t11 t−1 11 + t12 t21 + t13 t31 −1 −1 −1 0t11 + t22 t21 + t23 t31 −1 −1 0t−1 11 + 0t21 + t33 t31
= = =
1 0 0
⇒ ⇒
t−1 21 = 0 t−1 31 = 0
= = =
1 0 0
⇒
t−1 32 = 0
Resolviendo el segundo −1 −1 t11 t−1 12 + t12 t22 + t13 t32 −1 −1 −1 0t12 + t22 t22 + t23 t32 −1 −1 0t−1 12 + 0t22 + t33 t32
−1 lo que implica que t−1 es una ik = 0 si i > k (i, k = 1, 2, 3) y por lo tanto T matriz triangular superior como se quer´ıa demostrar. ¤
4.
Sean
½
H1 H2
µ
¾ = A ∈ M2 (lR) A = , a, b, c ∈ lR y ½ µ ¶ ¾ −b a = A ∈ M2 (lR) A = , a, b ∈ lR a b 1 a b c
¶
dos subconjuntos de M2 (lR). ¿Son subespacios de M2 (lR)? Justifica la respuesta. Soluci´ on:
378
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
µ
¶ µ ¶ µ ¶ 1 a 1 d 1 a a) A = ∈ H1 , B = ∈ H1 . λA + µB = λ + b c e f b c µ ¶ µ ¶ 1 d λ + µ λa + µd µ = ∈ H1 u ´nicamente si λ + µ = 1 ⇒ e f λb + µe λc + µf existen valores de λ y µ para los cuales λA + µB ∈ / H1 y por lo tanto H1 no es un subespacio de M2 (lR). µ ¶ µ ¶ −b a −d c b) A = ∈ H2 , B = ∈ H2 . a b c d µ ¶ µ ¶ µ ¶ −b a −d c −(λb + µd) λa + µc λA+µB = λ +µ = ∈ a b c d λa + µc (λb + µd) H2 ∀λ, µ ∈ lR ⇒ H2 es un subespacio de M2 (lR). 5.
Sean {e1 , . . . , en } , {u1 , . . . , un } y {w1 , . . . , wn } tres bases de un espacio vectorial de dimensi´on n de las que se conoce las relaci´on entre {ei } y {wi } : n n P P ei = aji wj y entre {wi } y {ui } : wi = bji uj . Si se denota por A a j=1
j=1
(aij )n×n y por B a (bij )n×n se pide obtener, en funci´on de A y B, la matriz de cambio de base que transforma las componentes de un vector en la base {ei } en las componentes del mismo vector en la base {ui } . Soluci´ on: ¡ ¢t x1 . . . xn → componentes de x en la base {e1 , . . . , en } ¢t ¡ 0 x1 . . . x0n → componentes de x en la base {u1 , . . . , un } ¢ ¡ 00 t x1 . . . x00n → componentes de x en la base {w1 , . . . , wn } A = (e1 , . . . , en ){wi } , B = (w1 , . . . , wn ){ui } 00 x1 x1 .. . . = (e1 , . . . , en ){wi } .. = A
x1 .. . 00 x x x n n 0 n 00 00 ⇒ x1 x1 x1 .. . . . = (w1 , . . . , w3 ){ui } .. = B .. 0 00 00 xn xn xn x01 .. . = BA x0n
x1 .. ⇒ . xn
La matriz de cambio de base de {ei } a {ui } es BA.
B.2. Examen parcial de febrero de 2000
B.2. 1.
379
Examen parcial de febrero de 2000
√ Dados los complejos z1 = −2 3 + 2i y z2 = 10 + 10i, se pide: z1 · z2 . z2 · z 2 √ b) calcular todos los valores de 4 z1 y dibujar el resultado.
a) calcular
Puntuaci´ on de la pregunta: 3 puntos. ((a) 1 punto, (b) 2 puntos) Soluci´ on: √ ¡√ ¢ ¢ ¡√ z1 = 4 · 3 + 4 arctg( √ = (4) 5π 200 arctg( 10 ) = (10 2) π4 , , z2 = −1 )+π 6 10
3
a) b)
√ (40 2) 5π + π
¡√2¢ z1 · z2 6 4 = = 200 5 13 12 π z2 · z 2 √ ¡ ¢ ¡√ ¢ √ 4 4 z = 4 (5π/6) + 2kπ (k = 0, 1, 2, 3) = 2 5π + kπ (k = 0, 1, 2, 3) = 1 4
4
24
2
¡√ ¢ r1 = 2 5π (k = 0) ¡√ ¢ 24 r2 = 2 17π (k = 1) ¡√ ¢ 24 r3 = 2 − 19π (k = 2) 24 r = ¡√2¢ 7π (k = 3) 4 − 24
r2 r1
1
0.5
–1
–0.5
0
0.5
1
–0.5
r3 –1
r4
Figura B.2: Representaci´on gr´afica de la soluci´on.
380
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
2.
Justificar si es cierta o falsa la proposici´on “si u, v y w son tres vectores pertenecientes a un espacio vectorial V tales que hu, vi = hu, wi , entonces hu, vi = hu, v, wi”. Puntuaci´ on de la pregunta: 3 puntos. Soluci´ on: Se denominar´a S al subespacio generado por u y v, que es el mismo que el generado por u y w (S = hu, vi = hu, wi). Debido a que {u, v} es un sistema generador de S, cualquier vector de S se podr´a expresar como combinaci´on lineal de u y v. Como por otro lado w pertenece a S (por pertenecer a un sistema generador de S), w se puede expresar como combinaci´on lineal de u y v. En consecuencia hu, vi = hu, v, wi puesto que si a un sistema generador se le a˜ nade un vector combinaci´on lineal de los ya existentes el subespacio que generan sigue siendo el mismo.
3.
Consid´erese el e.v. V = M2 (lR), de las matrices cuadradas de tama˜ no 2 × 2, y sea S = {M1 , M2 , M3 , M4 } el sistema formado por las matrices: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 0 0 0 1 1 1 1 1 M1 = M2 = M3 = M4 = 0 1 1 1 0 0 0 1 Se pide: a) estudiar s´ı S es una base de V . b) Si S es una base de V, hallar las coordenadas x1 , x2 , x3 , x4 en la base S de una matriz gen´erica, M, de V. µ ¶ a b M= c d Si S no es una base de V escoger un subconjunto de S formado por matrices linealmente independientes y determinar unas ecuaciones param´etricas del subespacio que generan. Expresar las matrices restantes como combinaci´on lineal de las linealmente independientes. Puntuaci´ on de la pregunta: 6 puntos. ((a) 2 puntos, (b) 4 puntos). Soluci´ on: a) Para que {M1 , M2 , M3 , M4 } sea una base de M2 (lR), cualquier matriz de dimensi´on 2 × 2 se tiene que poder expresar de forma u ´nica como combinaci´on lineal de M1 , M2 , M3 y M4 . Para ello el siguiente sistema de ecuaciones tiene que tener soluci´on u ´nica para cualesquiera a, b, c y d 0x1 + 0x2 + x3 + x4 0x1 + x2 + x3 + x4 0x1 + x2 + 0x3 + 0x4 x1 + x2 + 0x3 + x4
= = = =
a b c d
B.2. Examen parcial de febrero de 2000
381
y para ello es necesario y suficiente que la matriz de coeficientes del sistema anterior, A, tenga rango 4: 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 A= 0 1 1 1 ∼ 0 0 0 −1 = A 0 0 0 1 0 0 0 0 y por lo tanto el rango de A es 3 y S = {M1 , M2 , M3 , M4 } no es una base de M2 (lR). b) Existen distintas soluciones a este apartado debido a que se pueden coger distintos subconjuntos de S formados por matrices linealmente independientes. A continuaci´on se da una de ellas en la que se ha escogido un subconjunto formado por el m´aximo n´ umero de matrices linealmente independientes que se pueden encontrar en S : 3 (rg(A) = 3). Las filas de la matriz A son las componentes de las cuatro matrices M1 , M2 , M3 y M4 en la base µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 0 1 0 0 0 0 B1 = B2 = B3 = B4 = 0 0 0 0 1 0 0 1 (1a fila = componentes de M4 , . . . , 4a fila = componentes de M1 ). Como el rango de A es 3, el n´ umero de matrices linealmente independientes que hay en S es tres. Como adem´as observando A se aprecia que la u ´ltima fila es combinaci´on lineal de la primera y la segunda (4a fila = 1a fila -2a fila), el subconjunto de S, S 0 = {M4 , M3 , M2 }, es un subconjunto formado por matrices linealmente independientes. Llamando W al subespacio generado por S 0 sus ecuaciones param´etricas son: α+β x1 = x2 = α + β + γ W = x3 = γ x4 = α+γ La matriz restante, M1 , se podr´a expresar como M1 = −M3 + 0M2 + M4 . 4.
Sean f : lR2 → lR3 una aplicaci´on lineal y 2 1 A = 1 −1 1 0 la matriz asociada a f en las bases B1 = {c1 = (1, 0)t , c2 = (1, 1)t } de lR2 y B2 = {b1 = (1, 0, 0)t , b2 = (1, 1, 0)t , b3 = (1, 1, 1)t } de lR3 . Si v = c1 + c2 .
382
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Determinar f (v). Nota: Todos los vectores del enunciado est´an referidos a las bases can´onicas de lR2 y lR3 respectivamente. El resultado, f (v), tambi´en se debe expresar en la base can´onica de lR3 . Puntuaci´ on de la pregunta: 4 puntos. Soluci´ on: f (v) =f (c1 + c2 ) = f (c1 ) + f (c2 ) = (2, 1, 1)tB2 + (1, −1, 0)tB2 = (3, 0, 1)tB2 = 3b1 + b3 = 3(1, 0, 0)t + (1, 1, 1)t = (4, 1, 1)t . 5.
Se define un homomorfismo f : V → W entre dos lK−e.v. de dimensiones 3 y 4 respectivamente de manera que f (e1 − e2 ) = u3 + u2 + u4 , f (2e2 ) =2u1 + 2u2 + 2u4 y f (4e2 − e3 ) =2u1 +4u2 − 2u3 , donde B = {e1 , e2 , e3 } es una base de V y B 0 = {u1 , u2 , u3 , u4 } es una base de W. Se pide: a) matriz asociada a f en las bases B y B 0 , b) ecuaciones impl´ıcitas de Im(f ), c) ecuaciones param´etricas del n´ ucleo de f. d ) Clasificar la aplicaci´on (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna de las tres cosas). Puntuaci´ on de la pregunta: 7 puntos ((a) 2 puntos, (b) 2 puntos, (c) 2 puntos, (d) 1 punto). Soluci´ on: a) con los datos del enunciado se pueden obtener las columnas de la matriz pedida: f (e1 − e2 ) = f (e1 ) − f (e2 ) = u3 + u2 + u4 f (2e2 ) =2f (e2 )=2u1 + 2u2 + 2u4 f (4e2 − e3 ) =4f (e2 ) − f (e3 )=2u1 +4u2 − 2u3 Las tres igualdades anteriores constituyen un sistema de ecuaciones del que se pueden despejar f (e1 ), f (e2 ) y f (e3 ) en funci´on de u1 , u2 , u3 y u4 , obteni´endose: f (e1 ) = u1 +2u2 + u3 + 2u4 f (e2 ) = u1 +u2 + u4 f (e3 ) = 2u1 +2u3 + 4u4 Con lo que la matriz asociada a f en las bases B y B 0 es: 1 1 2 2 1 0 1 0 2 2 1 4
B.2. Examen parcial de febrero de 2000
383
1 2 1 2 1 2 1 2 0 ⇒ f (e1 ), f (e2 ) y f (e3 ) son b) 1 1 0 1 ∼ 0 −4 0 2 0 2 4 0 0 −1 −1 linealmente independientes y por lo tanto constituyen una base de Im(f ). Una vez conocida una base de Im(f ) es f´acil construir sus ecuaciones param´etricas: , x1 = λ x2 = 2λ − 4µ 4 Im(f ) = x ∈ lR x3 = λ − α x4 = 2λ − α eliminando λ, µ y α se obtiene la ecuaci´on impl´ıcita de Im(f ). Im(f ) = {x ∈ lR4 x4 − x3 − x1 = 0}. c) Como dim(V )=dim(Im(f )) + dim(ker(f )), se deduce que dim(ker(f )) = 0 | {z } | {z } 3
3
y sus ecuaciones param´etricas ser´an: , x =0 1 x2 = 0 ker(f ) = x ∈ lR3 x3 = 0 d ) La aplicaci´on es inyectiva porque ker(f ) = {0}. No es sobreyectiva porque dim(Im(f )) < dim(W ) y por lo tanto habr´a vectores de W que no tengan antecedente. 6.
Sea B = {v1 , v2 , v3 } una base de un espacio eucl´ıdeo, E, de dimensi´on 3 que verifica: v1 · v2 = 0, v1 · v1 = 1, v2 · v2 = 1, v3 · v3 = 3 ⊥
y adem´as v1 − v3 ∈ hv1 , v2 i . Se pide: a) obtener la matriz del producto escalar respecto de la base B, b) calcular el ´angulo formado por los vectores v2 y v3 , as´ı como el que forman v1 − v2 y v1 + v2 , c) Obtener una base ortonormal de E. ¿Qu´e matriz tiene asociada el producto escalar en dicha base?, d ) ¿cu´ales son las coordenadas de los vectores w y v respecto de la base ortonormal calculada en el apartado anterior si respecto de la base B son w = (1, 3, −1)t y v = (1, 2, 0)t ? e) Calcular el producto escalar w · v expresando w y v en la base B. Volver a calcular el producto escalar w · v expresando w y v en la base ortonormal obtenida anteriormente. ¿Qu´e relaci´on hay entre los dos valores obtenidos?, raz´onese la respuesta.
384
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Puntuaci´ on de la pregunta: 7 puntos ((a) 1 punto, (b) 1 punto, (c) 2 puntos, (d) 2 puntos, (e) 1 punto). Soluci´ on:
½
(v1 − v3 ) · v1 = 0 ⇒ v3 v1 = v1 v1 = 1 (v1 − v3 ) · v2 = 0 ⇒ v1 v2 = v3 v2 = 0 Con los dos productos escalares que se acaban de calcular se tienen todos los elementos de la matriz de Gram: 1 0 1 G= 0 1 0 1 0 3 ⊥
a) v1 − v3 ∈ hv1 , v2 i ⇒
b) arc cos(v\ 2 , v3 ) =
v2 ·v3 kv2 kkv3 k
= 0 ⇒ v\ 2 , v3 =
arc cos((v1 − v\ 2 )(v1 + v2 )) = π 2.
π 2,
(v1 −v2 )·(v1 +v2 ) kv1 −v2 kkv1 +v2 k
= 0 ⇒ (v1 − v\ 2 )(v1 + v2 ) =
c) Como v1 · v2 = 0, v1 y v2 son ortogonales con lo que c1 y c2 se pueden calcular directamente sin m´as que dividir v1 y v2 por sus respectivas normas c1 = kvv11 k = v1 = (1, 0, 0)t{vi } , c2 = kvv22 k = v2 = (0, 1, 0)t{vi } , c3 se calcula mediante la tercera etapa del m´etodo de Gram - Schmidt: c3 = kzz33 k = √12 (−1, 0, 1)t{vi } , z3 = v3 − (v3 · c1 )c1 − (v · c2 )c2 = (0, 0, 1) − (1, 0, 0) = (−1, 0, 1)t{vi } , 1 0 1 −1 2 kz3 k = z3 · z3 = (−1, 0, 1) 0 1 0 0 = 2. 1 0 3 1 La matriz del producto escalar en la base {c1 , c2 , c3 } es 1 0 0 G0 = 0 1 0 0 0 1 puesto que ci · cj = δ ji . d ) Para realizar el cambio de base ser´a necesario expresar {vi } en funci´on de {ci } c 1 = v1 v1 = c1 c 2 = v2 v2 = c ⇒ √2 c = − √1 v + √1 v v = 2c3 + c1 3 1 3 3 2 2 √ √ w = v1 + 3v2 − v3 = c1 + 3c2 − ( 2c3 + c1 ) = 3c2 − 2c3 v = v1 + 2v2 = c1 + 2c2 = c1 + 2c2 .
B.2. Examen parcial de febrero de 2000
385
1 0 1 1 e) En la base {vi } : w · v = (1, 3, −1) 0 1 0 2 = 6. 1 0 3 0 1 0 0 1 1 En la base {vi } : w · v = (1, 3, −1) 0 1 0 2 = (1, 3, −1) 2 0 0 1 0 0 = 6. Los dos valores son iguales puesto que el producto escalar de dos vectores es siempre el mismo independientemente de cu´al sea la base en la que se expresen los vectores. 7.
Dada la matriz
1 A= 2 4
2 3 1 1 −1 2
se pide: a) utilizando el m´etodo LU con pivote parcial, determinar las matrices F, L y U que satisfacen que F A = LU. b) resolver el sistema de ecuaciones Ax = b mediante el m´etodo LU con pivote parcial en el caso en que b = (1, 0, 1)t . Puntuaci´ on de la pregunta: 7 puntos ((a) 5 puntos, (b) 2 puntos). Soluci´ on:
4 −1 2 0 , IFIL(1)=3 a) Etapa 1, A1 = 1/2 3/2 1/4 9/4 5/2 4 −1 2 5/2 , IFIL(2)=3 Etapa 2, A2 = 1/2 9/4 1/4 2/3 −5/3 Por lo tanto: 1 0 0 4 −1 2 0 0 1 0 , U = 0 9/4 5/2 , F = 1 0 L = 1/4 1/2 2/3 1 0 0 −5/3 0 1
1 0 . 0
b) Se transforma el sistema F Ax =F b en el sistema LU x =F b (1) utilizando la factorizaci´on obtenida en el apartado anterior. Para resolver (1) se resuelve en primer lugar el sistema Ly =F b, obteni´endose y = (1, 3/4, −1)t . A continuaci´on se resuelve el sistema U x = y obteni´endose x = (−2/15, − 1/3, 3/5)t que es la soluci´on del sistema Ax = b.
386
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
8.
Demostrar, utilizando la definici´on δ − ε, que l´ım (x3 + 2x) = 33. Nota: si para x→3
resolver la pregunta se utiliza la propiedad l´ım (f (x) + g(x)) = l´ım f (x)+ l´ım x→a
x→a
g(x) ser´a necesario demostrarla previamente utilizando la definici´on δ − ε.
x→a
Puntuaci´ on de la pregunta: 3 puntos. Soluci´ on: teniendo en cuenta que x = x − 3 + 3, x3 = (x − 3)3 + 9(x − 3)2 + 27(x − 3) + 27 se deduce que: ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯x + 2x − 33¯ = ¯(x − 3)3 + 9(x − 3)2 + 29(x − 3)¯ ≤ |x − 3|3 + 9 |x − 3|2 + 29 |x − 3| . Para todos los x que pertenezcan ¯ al intervalo ¯ abierto de centro 3 y radio δ se verificar´a |x − 3| < δ por lo que: ¯x3 + 2x − 33¯ < δ 3 +9δ 2 +29δ ≤ 39δ (si se supone δ ≤ 1) y por lo tanto: l´ım(x3 + 2x) = 33 debido a que: ∀ε > 0 ∃(δ ≤
B.3. 1.
ε y δ ≤ 1) t.q. (0 < |x − 3| < δ ⇒ |x3 + 2x − 33| < ε) 39
Prueba de control de abril de 2000
(3 puntos) Considerar la funci´on y = f (x) definida impl´ıcitamente por F (x, y) ≡ x2 + y 4 − 2 = 0 y tal que f (1) = −1 Hallar
df dx
en el punto x = 1.
Soluci´ on: Si F (x, y) define impl´ıcitamente una funci´on y = f (x), entonces F (x, f (x)) = 0 Tomando derivadas a ambos lados de la igualdad obtenemos dF (x, f (x)) =0 dx es decir,
¢ d ¡ 2 x + f 4 (x) − 2 = 0 dx
Operando, 2x + 4f 3 (x)f 0 (x) = 0 es decir, f 0 (x) =
−2x x =− 3 4f 3 (x) 2f (x)
B.3. Prueba de control de abril de 2000
387
Si (x, f (x)) = (1, −1), tendremos f 0 (1) = − 2.
1 1 = 3 2(−1) 2
Dadas las funciones f (x) g(x)
= =
√
1+x ln(1 + sen x)
a) (1.5 puntos) Hallar los polinomios de Taylor de orden 2 alrededor de x = 0 de f (x) y g(x). Soluci´ on:
f (x) = g(x) =
f 00 (0) 2 x + O(x3 ) = P2 (x) + O(x3 ) 2 g 00 (0) 2 g(0) + g 0 (0)x + x + O(x3 ) = Q2 (x) + O(x3 ) 2
f (0) + f 0 (0)x +
Se calcula autom´aticamente f (0) = 1, g(0) = 0. Calculemos las derivadas de f en cero hasta el orden segundo: f 0 (x) = f 00 (0)
=
g 0 (0)
=
g 00 (0)
=
1 1 1 (1 + x)− 2 , f 0 (0) = 2 2 1 1 − 32 00 − (1 + x) , f (0) = − 4 4 1 0 cos x , g (0) = 1 1 + sen x sen x cos2 x , g 00 (0) = −1 − − 1 + sen x (1 + sen x)2
Por tanto, P2 (x) = Q2 (x) =
1 1 1 + x − x2 2 8 x2 x− 2
b) (1.5 puntos) Usar esta informaci´on para calcular √ 1 + x − 1 − x2 l´ım . x→0 ln(1 + sen x) − x Soluci´ on: Podemos escribir ¡ ¢ √ 1 + 12 x − 18 x2 + O(x3 ) − 1 − 1 + x − 1 − x2 ¢ ¡ l´ım = l´ım 2 x→0 ln(1 + sen x) − x x→0 x − x2 + O(x3 ) − x
x 2
388
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
= l´ım
− 18 x2 + O(x3 )
x→0
³ x2 − 81 + ³ = l´ım x→0 2 x − 12 + 3.
O(x3 ) x2 O(x3 ) x2
´
2
− x2 + O(x3 )
´ = l´ım
x→0
− 18 + − 12 +
O(x3 ) x2 O(x3 ) x2
=
− 18 1 1 = 4 −2
(3 puntos) Se debe hacer un embudo c´onico que tenga la generatriz igual a 20 cms. ¿Cu´al debe ser la altura del embudo para que su volumen sea el m´aximo posible? (Nota: el volumen de un cono es un tercio del ´area de la base multiplicado por la altura). Soluci´ on: El volumen en funci´on de la altura h y del radio r ser´a V (r, h) =
1 2 πr h 3
La generatriz mide 20 cms. La generatriz, el radio y la altura forma un tri´angulo rect´angulo. Por tanto r2 + h2 = 202 = 400 Es donde podemos despejar r : r=
p
400 − h2
y obtener as´ı
¢ 1 ¡ π 400 − h2 h 3 Para hallar el m´aximo (si existe) calculemos el o los puntos cr´ıticos imponiendo V (h) =
¢ dV (h) 1 ¡ = π 400 − 3h2 = 0 dh 3 20 . Para ver si es m´aximo el volumen en este punto, que se cumple con h = √ 3 calculemos la segunda derivada
d2 V (h) d2 V 20 −40π = −2πh , (√ ) = √ < 0 dh2 dh2 3 3 20 Por tanto, hay un m´aximo local para h = √ y esta ser´a la altura del embudo 3 para la cual el volumen es m´aximo y vale µ ¶ 1 400 20 16000 √ √ = Vm´ax = π 400 − π 3 = 3224,5 cm3 3 3 27 3
4.
Considerar la funci´on de dos variables f (x, y) = −x2 − 14 y 4 .
B.3. Prueba de control de abril de 2000
389
a) (1 punto) Calcular la derivada direccional de f en el punto (x, y) = (1, 1) a lo largo de la direcci´on u = ( √12 , √12 ). Soluci´ on: La funci´on f tiene derivadas parciales ∂f ∂x ∂f ∂y
=
−2x
=
−y
que son dos funciones continuas en lR2 . Ser´a en particular continua en (1, 1). Por tanto, la funci´on f es diferenciable en (1, 1) y eso implica que tiene todas sus derivadas direccionales y estas se expresan en la forma µ ¶ µ ¶ df ∂f ∂f (1, 1) = (1, 1) u1 + (1, 1) u1 = −2u1 − u2 du ∂x ∂y Si u = ( √12 , √12 ), entonces df 1 1 3 (1, 1) = −2 √ − √ = − √ du 2 2 2 b) (1 punto) Calcular la diferencial de f en ese punto. Soluci´ on: Como f es diferenciable, se tendr´a µ ¶ µ ¶ ∂f ∂f df ((1, 1); h) = (1, 1) h1 + (1, 1) h1 = −2h1 − h2 ∂x ∂y c)
(1 punto) Calcular la ecuaci´on del plano tangente en el punto. Soluci´ on: El plano tangente tiene ecuaci´on µ ¶ µ ¶ ∂f ∂f z − f (1, 1) = (1, 1) (x − 1) + (1, 1) (y − 1) ∂x ∂y Calculando, z+
5 = (−2)(x − 1) + (−1)(y − 1) 4
Simplificando, z=
7 − 2x − y 4
d ) (1 punto extra) Si en lugar de f consideramos la funci´on ( −x2 − 41 y 4 si (x, y) 6= (0, 0) x2 +xy 2 + 14 y 4 g(x, y) = −1 si (x, y) = (0, 0) ¿Ser´ a continua esta funci´on en (0, 0)?
390
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Soluci´ on: Tenemos que ver si se verifica l´ım
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = −1
Calculemos l´ımites radiales −x2 − 14 k 4 x4 −1 − 14 k 4 x2 = l´ ım = −1 1 x→0 x2 + k 2 x3 + k 4 x4 x→0 1 + k 2 x + 1 k 4 x2 4 4
l´ım g(x, kx) = l´ım
x→0
Intentemos hallar una mayorante. Haciendo cambio a polares g(x, y) = =
−r2 cos2 θ − 14 r4 sen4 θ r2 cos2 θ + r3 cos θ sen2 θ + 14 r4 sen4 θ − cos2 θ − 14 r2 sen4 θ cos2 θ + r cos θ sen2 θ + 14 r2 sen4 θ
y por tanto − cos2 θ− 14 r 2 sen4 θ cos2 θ+r cos θ sen2 θ+ 14 r 2 sen4 θ
g(x, y) + 1 =
+1
2
θ)(cos θ) = 4r 4 cos2 θ+4r cos θ−4r(sen cos3 θ+r 2 −2r 2 cos2 θ+r 2 cos4 θ ≡ 4rh(r, θ)
El producto de r por una funci´on de r y θ. Si esta funci´on est´a acotada, entonces el mayorante ser´a r y g(x, y) tender´a a −1. Desafortunadamente este no es el caso, ya que (sen2 θ) (cos θ) sen2 θ = cuando r → 0 4 cos2 θ 4 cos θ
h(r, θ) →
que no es acotada. Esto hace sospechar que quiz´as el l´ımite no sea −1. Busquemos una trayectoria y = ϕ(x) tal que g(x, ϕ(x)) = M 6= 0. Tendremos g(x, ϕ(x)) =
−x2 − 14 ϕ4 (x) = −M x2 + xϕ2 (x) + 14 ϕ4 (x)
−x2 − 14 y 2 = −M x2 + xy + 14 y 2 Una posible ϕ(x) ser´a s ϕ(x) =
³ ´ p 1 −4M x + 4 (−x2 + 2M x2 ) 2 (M − 1)
que solo ser´a tendr´a sentido cuando M verifique (M − 1) < 0 , 2M − 1 > 0 , (2M − 1) < M 2
B.3. Prueba de control de abril de 2000
391
¢ ¡ y esto solo ocurre si M ∈ 12 , 1 . La funci´on g, por tanto, no es continua en (0, 0). √ Otra posibilidad es la de darse cuenta de que a lo largo de y = k x se tiene √ f (x, y) = f (x, k x) = 5.
−x2 − 14 k 4 x2 −1 − 14 k 4 = 6= −1 x2 + k 2 x2 + 14 k 4 x2 1 + k 2 + 14 k 4
(3 puntos) Hallar los extremos relativos y/o puntos de silla de la funci´on f (x, y) =
1 5 x + y 3 − 12y − 12x3 − 15 5
definida en lR2 . Soluci´ on: Hallemos primero los puntos cr´ıticos. Imponemos ∂f ∂x ∂f ∂y
= x4 − 36x2 = 0 = 3y 2 − 12 = 0
De la primera ecuaci´on obtenemos x = 0 ´o x = ±6. De la segunda obtenemos y = ±2. Hay por tanto 6 puntos cr´ıticos: (0, 2), (0, −2), (6, 2), (6, −2), (−6, 2), (−6, −2). La matriz Hessiana es à Hf =
∂2f ∂x2 ∂2f ∂x∂y
∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y 2
!
µ =
4x3 − 72x 0
0 6y
¶
Por tanto, ∆2 = det Hf = 24x3 y − 432xy , ∆1 =
∂2f = 4x3 − 72x ∂x2
En (0, 2) y (0, −2), ∆2 = 0. Por tanto, son todos puntos dudosos. ¡ ¢ ¡ ¢ En (6, 2), ∆2 = 24 63 2 − 432(12) = 5184 > 0, ∆1 = 4 63 − 72(6) = 432 > 0. Hay, por tanto, un m´ınimo relativo. ¡ ¢ En (6, −2), ∆2 = 24 63 (−2) + 432(12) = −5184 < 0. Hay, por tanto, un punto de silla. En (−6, 2), ∆2 = −5184 < 0. Hay, por tanto, un punto de silla. ¡ ¢ En (−6, −2), ∆2 = 5184 > 0. ∆2 = 4 (−6)3 + 72(6) = −432 < 0. Hay, por tanto, un m´aximo relativo.
392
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
B.4. 1.
Examen final de la convocatoria de junio de 2000
Hallar el polinomio de Taylor de tercer grado en torno a x = 0 de las funciones f (x) =
sen(x −
g(x) =
e−x − 1
x2 ) 2
Usar estos polinomios para calcular l´ım
x→0
f (x) + g(x) x3
Soluci´ on: Calculamos x2 ) , f (0) = 0 2 x2 f 0 (x) = (1 − x) cos(x − ) , f 0 (0) = 1 2 2 x x2 f 00 (x) = − cos(x − ) − (1 − x)2 sen(x − ) , f 00 (0) = −1 2 2 2 x2 x f 000 (0) = 3(1 − x) sen(x − ) − (1 − x)3 cos(x − ) , f 000 (0) = −1 2 2 f (x) =
sen(x −
Por tanto f (x) = 0 + x −
x2 x3 − + O(x4 ) 2 6
El desarrollo de la exponencial es conocido: ex = 1 + x + tanto, x2 x3 g(x) = −x + − + O(x4 ) 2 6 Podemos concluir
x2 2
+
x3 6
+ O(x4 ). Por
3
− x3 + O(x4 ) f (x) + g(x) 1 O(x4 ) = = − + x3 x3 3 x3 y finalmente ¶ ¶ µ µ f (x) + g(x) 1 1 1 O(x4 ) O(x4 ) l´ım = l´ım − + = − + l´ım =− x→0 x→0 x3 3 x3 3 x→0 x3 3 2.
Consid´erese la funci´on f (x, y) =
½
p sen x2 + y 2 en lR2 \(0, 0) 0 en (0, 0) x−y x2 +y 2
B.4. Examen final de la convocatoria de junio de 2000
393
a) ¿Es continua en (0, 0)? b) Calcular ∂f ∂x (1, 1) y de la direcci´on u =
∂f ∂y (1, 1) y √1 (1, −1) 2
la derivada direccional de f (x, y) a lo largo en el punto a = (1, 1).
Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 50 %, apartado (b) 50 %. Soluci´ on: a) No es continua. Calculemos los l´ımites direccionales: ! Ã p q 2 1 − λ 1 + λ x − λx sen |x| 2 l´ım f (x, λx) = l´ım sen x2 + (λx) = l´ım x→0 x→0 x2 + (λx)2 x→0 x 1 + λ2 1−λ =p l´ım 1 + λ2 x→0
Ã
! p sen |x| 1 + λ2 p x 1 + λ2
Podemos ahora calcular p sen |x| 1 + λ2 p l´ım x→0+ x 1 + λ2 p sen |x| 1 + λ2 p l´ım x→0− x 1 + λ2
= +1 =
−1
y concluir 1−λ l´ım f (x, λx) = p , + x→0 1 + λ2
λ−1 l´ım f (x, λx) = p + x→0 1 + λ2
que s´olo son cero si λ = 1. La funci´on, por tanto, no es continua en (0, 0). b) Fuera del punto (0, 0) la funci´on es diferenciable (composici´on de funciones diferenciables). Por tanto µ ¶ p p ∂f x(x − y) 1 2x(x − y) 2 + y2 + x x2 + y 2 = − sen cos 3 ∂x x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 ) 2 µ ¶ p p ∂f −1 2y(x − y) y(x − y) = − sen x2 + y 2 + x2 + y 2 3 cos 2 2 2 2 2 2 2 ∂y x +y (x + y ) (x + y ) 2 Podemos calcular entonces ∂f sen 2 ∂f sen 2 (1, 1) = , (1, 1) = − ∂x 2 ∂y 2 La derivada direccional buscada ser´a entonces df ∂f ∂f sen 2 1 sen 2 √ − (1, 1) = (1, 1)u1 + (1, 1)u2 = du ∂x ∂y 2 2 2
µ ¶ 1 sen 2 −√ = √ 2 2
394
3.
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
La temperatura T en un lago est´a dada en cada punto por la f´ormula 1 1 T (x, y, z) = 4 − (x2 + y 2 ) + z − z 2 4 10 donde (x, y, z) son las coordenadas de un punto del lago en un cierto sistema de referencia. Un pez sigue la trayectoria x(t) = t y(t) = t z(t) = 1 + t2 con 0 ≤ t ≤ 2. ¿En qu´e instantes (valores de t) siente el pez la m´axima y m´ınima temperaturas y cu´ales ser´an ´estas? Soluci´ on: Denotemos por τ (t) la temperatura que siente el pez en cada instante. Dicha funci´on es el resultado de componer la ecuaci´on vectorial de la trayectoria con la funci´on T (x, y, z) que da la temperatura en cada punto del espacio. Es decir τ (t) = T (x(t), y(t), z(t)). Para calcular los extremos globales de τ (t) deberemos hallar primero los locales y, para ello, los puntos cr´ıticos. Aplicando la regla de la cadena obtenemos ∂T dx ∂T dy ∂T dz dτ = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt (las derivadas parciales se eval´ uan en (x(t), y(t), z(t))). Se obtiene entonces µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ ¢ dτ 1 1 1 1¡ 2 = − x(t) 1+ − y(t) 1+ 1 − z(t) (2t) = −t+2t 1 − 1+t dt 2 2 5 5 =
3 2 t − t3 5 5
Los puntos cr´ıticos (puntos en los que se anula segunda derivada es 3 6 d2 τ = − t2 2 dt 5 5
dτ dt )
q son t = 0 y t =
3 2.
La
q que es positiva para t = 0 y negativa para t = 32 . La funci´on τ (t) (definida en todo q lR) tendr´a por tanto un m´ınimo local en t = 0 y un m´aximo local en
9 El m´ınimo local es τ (0) = T (0, 0, 1) = 4 + 10 = 49 10 , mientras que el q q q m´aximo local es τ ( 32 ) = T ( 32 , 32 , 52 ) = 4 − 34 + 52 − 58 = 41 8 . Como estamos en el intervalo t ∈ [0, 2], para calcular los extremos globales en el intervalo deberemos comparar los extremos locales con los valores de la funci´on en el borde. τ (0) ha sido calculado arriba, y τ (2) = T (2, 2, 5) = 4 − 2 + 5 − 52 = 92 . Como τ (2) < τ (0), el m´ınimo global se alcanza en t = 2 y vale 29 . El m´aximo q global se alcanza en t = 32 y vale 41 8 .
t=
3 2.
B.4. Examen final de la convocatoria de junio de 2000
4.
395
Una caja de base rectangular (lados de la base de longitud x e y, altura z) sin tapa superior ha de tener un volumen de 32 dec´ımetros c´ ubicos. ¿Cu´ales han de ser las dimensiones de la caja de modo que el ´area sea m´ınima? Soluci´ on: El volumen de la caja es V = xyz = 32
(B.2)
y el ´area total ser´a el ´area de los cuatro lados m´as el ´area de la base: A = xz + yz + xz + yz + xy = 2xz + 2yz + xy De (B.2) deducimos z =
32 xy ,
y, por tanto A=
64 64 + + xy y x
Es decir, el ´area es una funci´on de dos variables que denotaremos por A(x, y). Para calcular el ´area m´ınima, tendremos que encontrar el m´ınimo global de A(x, y). Busquemos sus puntos cr´ıticos: ∂A ∂x ∂A ∂y
= =
64 +y =0 x2 64 − 2 +x=0 y
−
De la primera ecuaci´on obtenemos y = x642 , que introducido en la segunda lleva a 1 − x4 + x = 0 64 con soluciones x = 0 (no realista) y x = 4. El correspondiente valor de y 64 ser´a (4) a pues z = (4322 ) = 2. Compro2 = 4. El correspondiente valor de z ser´ bemos que A(x, y) tiene un m´ınimo en (x, y) = (4, 4). Para ello calculamos la matriz Hessiana à 2 ! µ ¶ ∂ A ∂2A 128 1 2 3 ∂x ∂x∂y x H= = 128 ∂2A ∂2A 1 y3 2 ∂x∂y
∂y
¶ 2 2 1 . Como ∂∂xA2 (4, 4) = 2 > 0 y det(H) = 1 2 3 > 0, concluimos que, efectivamente, hay un m´ınimo de A(x, y) en (4, 4). Las dimensiones de la caja de ´area m´ınima son entonces 4 × 4 × 2 (las longitudes tienen dimensiones de dec´ımetros). µ
En (4, 4) la Hessiana es H =
5.
Las curvas y = x, y = x2 delimitan una regi´on D (contenida en el primer cuadrante). Calcular ZZ (ex + y)dxdy D
396
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Soluci´ on: Es elemental dibujar las curvas: una recta y una par´abola. Dichas curvas tienen intersecci´on en los puntos (0, 0) y (1, 1). En el intervalo x ∈ (0, 1) la par´abola est´a por debajo de la recta. Estamos pues ante una regi´on del Tipo 1 y la integral se calcular´a con la f´ormula ¶ Z 1 µZ x x I= (e + y)dy dx 0
x2
En primer lugar, ¯x Z x y 2 ¯¯ x2 x4 x x (e + y)dy = e y + ¯ = ex x + − ex x2 − 2 x2 2 2 x2 y la integral buscada es entonces ¶ Z 1 Z 1 Z 1µ Z 1 2 Z 1 4 x x x2 x4 x x 2 x x 2 e x+ −e x − dx = e xdx+ dx− e x dx− dx 2 2 2 0 0 0 0 0 2 Las u ´nicas integrales que no se calculan en forma directa son las que involucran exponenciales, que debemos integrar por partes Z 1 Z 1 1 ex xdx = ex x|0 − ex dx = e − e + 1 = 1 0 1
Z
0
x 2
e x dx
¯
1 e x x 2 ¯0
=
0
Z
1
−
2xex dx = e − 2
0
Nuestra integral ser´a entonces I =1+ 6.
Calcular
ZZ
1 1 46 − (e − 2) − = −e 6 10 15 q 3 x 1 − (x2 + y 2 ) 2 dxdy
D
donde D es la regi´on del primer cuadrante (x ≥ 0 e y ≥ 0) limitada por la circunferencia x2 + y 2 = 1 y los ejes x e y. Soluci´ on: Dado que parte de la regi´on est´a delimitada por una circunferencia, parece natural intentar expresar la regi´on en coordenadas polares. Nuestra re£ π¤ gi´on es el conjunto de puntos con ρ ∈ [0, 1] y θ ∈ 0, , es decir, el rect´angulo en 2 © £ ¤ª polares D∗ = (ρ, θ) ∈ [0, 1] × 0, π2 . Despu´es del cambio a polares, la integral ser´a (sin olvidar el jacobiano!): ZZ q ZZ p 3 x 1 − (x2 + y 2 ) 2 dxdy = ρ cos θ 1 − ρ3 ρdρdθ D
D∗
B.4. Examen final de la convocatoria de junio de 2000
Z
π 2
=
Z
0
Z
π 2
0
7.
µZ cos θ
1
p
1
cos θ
397
p
1 − ρ3 ρ2 dρdθ =
0
Ã
¶ 1−
ρ3 ρ2 dρ
0
π 2
dθ = sen θ|0
¯ ! ¢ 3 ¯1 2¡ 2 3 2¯ − 1−ρ = ¯ 9 9 0
Hallar la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y 0 + 2xy = xe−x
2
b) 2y 00 + y 0 − y = 2ex Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 50 %, apartado (b) 50 %. Soluci´ on: a) La soluci´on al problema homog´eneo: yh0 + 2xyh = 0 ser´a yh (x) = e−
R
2xdx
= e−x
2
+C
= Ke−x
2
Para encontrar una soluci´on al problema no homog´eneo ensayamos el m´etodo de variaci´on de constantes 2
yp (x) = K(x)e−x Introducimos yp (x) en la ecuaci´on y se obtiene 2
2
2
K 0 (x)e−x − 2xK(x)e−x + 2xK(x)e−x = xe−x Por tanto
Z
Z 2
2
xe−x ex dx =
K(x) =
xdx =
x2 2
La soluci´on final ser´a por tanto y(x) = yh (x) + yp (x) =
¶ µ 2 x2 K+ e−x 2
b) Ecuaci´on homog´enea: 2yh00 + yh0 − yh = 0
2
398
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Para hallar la soluci´on general, encontramos las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico correspondiente: 2r2 + r − 1. Dichas ra´ıces son r = −1, 21 , y la soluci´on general: x yh (x) = C1 e−x + C2 e 2 La soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea la hallaremos por el m´etodo de coeficientes indeterminados. Probemos una soluci´on de la forma yp (x) = Aex , que introducida en la ecuaci´on lleva a 2Aex + Aex − Aex = 2ex de donde deducimos 2A = 2. Por tanto, A = 1 y la soluci´on general de nuestra ecuaci´on ser´a x y(x) = C1 e−x + C2 e 2 + ex 8.
Una bala de masa m penetra en una tabla cuyo grosor es h = 10 cms., con una velocidad v0 = 200 m/seg. Al atravesarla, sale por el otro lado con una velocidad v1 = 80 m/seg. Considerando la fuerza de la resistencia que ofrece la tabla proporcional al cuadrado de la velocidad de ´esta (con constante de proporcionalidad k), calcular el tiempo invertido por la bala en atravesar la k tabla. Calcular el valor de γ = m . (Nota: el resultado es independiente de los valores de k y de m, pero su cociente γ se puede calcular a partir de los datos del problema). Soluci´ on: La fuerza resistiva es proporcional al cuadrado de la velocidad. Entonces, ignorando todos los efectos que no son relevantes (por peque˜ nos) para nuestro problema, como es la gravedad, resistencia del aire, p´erdida de masa de la bala, etc., y aplicando la ley de Newton, obtenemos la ecuaci´on m
d2 x = FR = −kv 2 dt2
El signo menos se debe al hecho de que la fuerza resistiva se opone al movimiento de la bala, y x(t) es la distancia de la bala al lado de entrada de la tabla. La ecuaci´on diferencial es de segundo orden para x(t), pero de primer orden para v = dx dt : dv m = −kv 2 dt Dividamos la ecuaci´on por m y llamemos
k m
= γ. Entonces
dv = −γv 2 dt una ecuaci´on diferencial ordinaria, de primer orden, separable. Podemos escribir entonces dv − 2 = γdt v
B.4. Examen final de la convocatoria de junio de 2000
e integrando
1 = γt + C v(t)
399
(B.3)
Fijemos como tiempo inicial el tiempo al cual llega la bala a la tabla. Entonces 1 =C v0 y obtenemos de (B.3) v(t) =
1 + γt
1 v0
(B.4)
Denotemos por T el tiempo que emplea la bala en cruzar la tabla. Entonces v(T ) = v1 y obtenemos la ecuaci´on v1 =
1 v0
1 + γT
de donde podemos calcular la constante γ γ=
v0 − v1 v1 v0 T
(B.5)
Para hallar la trayectoria de la bala (y poder imponer x(T ) = h), tenemos que integrar la ecuaci´on dx(t) = v(t) dt que es simplemente la definici´on de velocidad. v(t) se calcul´o arriba y est´a dada por (B.4). Obtenemos entonces la ecuaci´on dx = dt
1 v0
1 + γt
1 v0
dt + γt
que es separable y equivalente a dx = Integrando ambos lados, Z x=
¯ ¯ ¯ dt 1 ¯¯ 1 ¯+C + C = ln + γt 1 ¯ ¯ γ v0 v0 + γt
Si imponemos x(0) = 0 obtenemos ¯ ¯ 1 ¯¯ 1 ¯¯ 0 = ln ¯ ¯ + C γ v0
400
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
y entonces
1 1 C = − ln γ v0
La trayectoria de la bala es por tanto ¯ ¯ µ µ ¶ ¶ ¯ 1 1 ¯¯ 1 1 1 1 1 1 ¯ x(t) = ln ¯ + γt¯ − ln = ln + γt − ln = ln γ v0 γ v0 γ v0 v0 γ =
1 v0
+ γt 1 v0
1 ln (1 + v0 γt) γ
La salida de la bala ocurre cuando t = T y x = h. Entonces 1 ln (1 + v0 γT ) γ
h=
y substituyendo γ dada por (B.5) se obtiene µ ¶ µ ¶ 1 1 v0 − v1 v0 − v1 1 v0 h = ln 1 + v0 T = ln 1 + = ln γ v1 v0 T γ v1 γ v1 que lleva a γ=
ln vv01
h Vamos finalmente a (B.5) con nuestra ”γ” y obtenemos ln vv10 h
=
v0 − v1 v1 v0 T
Resolvemos esta u ´ltima ecuaci´on para T y obtenemos T =h
v0 −v1 v1 v0 ln vv10
Substituyendo los n´ umeros dados en el problema se concluye 200−80
T = 0,1 200×80 = 8,19 × 10−4 segundos ln 200 80 Finalmente, podemos calcular γ=
ln vv01 h
=
ln 52 = 9,1629 m−1 0,1
9. Escribir, si es posible, el vector u = (1, 2, 0)t ∈ lR3 como combinaci´on lineal de los siguientes vectores de lR3 .
B.4. Examen final de la convocatoria de junio de 2000
401
a) (1, 1, 2)t , (1, 23 , 83 )t b) (2, −2, 0)t , (−1, 1, 2)t c) (2, 0, 1)t , (0, 8, −2)t , (−2, 4, −2)t Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 30 %, apartado (b) 30 %, apartado (c) 40 %. Soluci´ on: a) Hay que encontrar α y β tales que: α+β =1 α + 23 β = 2 2α + 83 β = 0 El sistema anterior es compatible determinado de soluci´on α = 4 y β = −3, por lo que 2 8 u =4(1, 1, 2)t − 3(1, , )t . 3 3 b) En este segundo apartado hay que encontrar α y β tales que: 2α − β = 1 −2α + β = 2 2β = 0 En este caso el sistema es incompatible y por lo tanto no es posible expresar u como combinaci´on lineal de (2, −2, 0)t y (−1, 1, 2)t . c) En el u ´ltimo apartado hay que encontrar α, β y δ tales que: 2α + δ = 1 8β + 4δ = 2 α − 2α − 2β = 0 El sistema es compatible indeterminado y por lo tanto existen infinitas formas de expresar u como combinaci´on lineal de (2, 0, 1)t , (0, 8, −2)t y (−2, 4, −2)t (adem´as como el rango de la matriz ampliada es 2 y el n´ umero de inc´ognitas es 3, las soluciones del sistema depender´an de un par´ametro): 1−2t α = 1+2t 2 , β = 4 , y δ = t; entonces: u=
1 + 2t 1 − 2t (2, 0, 1)t + (0, 8, −2)t + t(−2, 4, −2)t , 2 4
Dando un valor al par´ametro (por ejemplo t = 1) se obtiene una soluci´on particular: 3 1 u = (2, 0, 1)t − (0, 8, −2)t + (−2, 4, −2)t 2 4
402
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
10. Sea P2 el espacio vectorial formado por los polinomios de grado menor o igual que 2 y B = {u1 (x) = 1 + x + 2x2 , u2 (x) = −x2 , u3 (x) = 1 + 2x} una base de P2 . Se pide: a) Determinar la expresi´on del polinomio q = (4, 3, −2)tB en la base B 0 = {e1 (x) = 1, e2 (x) = x, e3 (x) = x2 } b) Hallar la matriz de cambio de base que transforma las coordenadas de un polinomio en la base B 0 en sus coordenadas en la base B. Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 50 %, apartado (b) 50 %. Soluci´ on: a) q(x) = 4(1 + x + 2x2 ) + 3(−x2 ) − 2(1 + 2x) = 2 + 5x2 ⇒ q(x) = 2e1 (x) + 0e2 (x) + 5e3 (x), y, por lo tanto las coordenadas de q en la base B 0 son (2, 0, 5)tB 0 . b) La matriz de cambio de base de B a B 0 es: 1 ¡ ¢ P = u1 u2 u3 {e } = 1 i 2
0 1 0 2 −1 0
siendo la matriz de cambio de base de B 0 a B la inversa de P :
P −1 =
¡
e1
e2
e3
¢ {ui }
1 = 1 2
−1 2 0 1 0 2 = 4 −1 −1 0
−1 −2 1
0 −1 0
11. Dado el espacio eucl´ıdeo E, formado por el espacio vectorial lR3 y el producto escalar x · y = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 + x3 y2 + x2 y3 + 3x3 y3
{ei } ,
determinar la proyecci´on ortogonal del vector a = (1, 1, 3)t{ei } sobre el subespacio vectorial © ª S = x ∈ lR3 2x1 − x2 + x3 = 0 Soluci´ on:
B.4. Examen final de la convocatoria de junio de 2000
403
Expresi´on matricial del producto escalar: 1 −1 0 y1 ¡ ¢ x1 x2 x3 −1 2 1 y2 = xt Gy 0 1 3 y3 Base de S : {a1 = (1, 2, 0)t , a2 = (0, 1, 1)t }. Base ortonormal de S, a1 1 = √ (1, 2, 0)t ka1 k 5 1 −1 0 2 1 2 = 5 0 1 3
u1 = 2
ka1 k =
¡
1
2
0
¢
1 −1 0
z2 1 = √ (−1, −1, 1)t kz2 k 2 z2 = a2 − (a2 · u1 )u1 = (0, 1, 1)t − (1, 2, 0)t = (−1, −1, 1)t 1 −1 0 1 ¡ ¢ 1 5 0 1 1 −1 2 1 2 = √ (a2 · u1 ) = √ 5 5 0 1 3 0 1 −1 0 −1 ¡ ¢ 2 2 1 −1 = 2 kz2 k = −1 −1 1 −1 0 1 3 1 u2 =
Se calcula la proyecci´on ortogonal utilizando la base ortonormal reci´en calculada, µ ¶t 6 7 1 15 8 Pr| aS = (a · u1 )u1 + (a · u2 )u2 = √ u1 + √ u2 = − , , 5 5 5 5 2 12. Consid´erese el sistema de ecuaciones: ax − x + x
2y y
+ + +
z 2z az
=1 =a =1
Se pide: a) Discutir, en funci´on del valor que tome el n´ umero real a, si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. b) Si se considera a > 1 y tal que el sistema sea compatible determinado, factorizar la matriz de coeficientes del sistema anterior mediante el m´etodo LU con estrategia de pivote parcial, especificando las matrices F , L y U que intervienen en dicha factorizaci´on.
404
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 50 %, apartado (b) 50 %. Soluci´ on: a) Se considera la matriz ampliada del sistema y su matriz de coeficientes a −2 1 1 a −2 1 1 2 a , 1 2 A= 1 Ac = 1 1 0 a 1 1 0 a y se utiliza el m´etodo de Gauss para obtener una matriz escalonada equivalente. 1a etapa (se suma a la segunda fila de A la primera multiplicada por (− a1 ) y a la tercera la primera multiplicada tambi´en por (− a1 ))
a 0 A1 = 0
−2 a+2 a 2 a
1 2a−1 a a2 −1 a
1 2
a −1 a a−1 a
2a etapa (se suma a la tercera fila de A1 la segunda multiplicada por 2 (− a+2 )). a −2 1 1 2a−1 a2 −1 A2 = 0 a+2 a a a 2 1−a 0 0 a +2a−5 a+2 a+2 Las operaciones realizadas u ´nicamente son v´alidas para aquellos casos en que a sea distinto de 0 ´o −2. Antes de estudiar el caso general estudiaremos estos dos casos particulares por separado. Para a = 0 1 1 2 0 0 −2 1 1 1 1 2 0 v 0 −2 1 A= 1 5 1 0 0 1 0 0 − 2 12 luego en este caso el sistema es compatible determinado porque el rango de la matriz de coeficientes (Ac ) coincide con el rango de la matriz ampliada (A). Para a = −2 −2 −2 1 1 −2 −2 1 1 3 1 2 −2 v 0 −1 − 32 A= 1 2 5 1 0 −2 1 0 0 − 32 2 y en este caso el sistema tambi´en es compatible determinado.
B.4. Examen final de la convocatoria de junio de 2000
405
Para el resto de los casos se estudia la matriz escalonada A2 . El rango de Ac ser´a menor que 3 si se anula el t´ermino a33 de la matriz A2 , es decir: √ √ a2 + 2a − 5 = 0 ⇔ a = −1 + 6 ´o a = −1 − 6 Para ambos valores de a el t´ermino a34 de A2 no se anula, por lo que el rango de la matriz ampliada (A) es 3 y el sistema es incompatible. Tambi´en podr´ıa ser el rango de Ac menor que 3 si se anularan el t´ermino a11 o el t´ermino a22 pero ninguno de los dos se anulan para a distinto √ de 0 ´o −2. √ En consecuencia para todos los valores de a distintos de −1+ 6 ´o −1− 6 el sistema es compatible determinado. Resumiendo: √ √ 1) Si a = −1 + 6 ´o a = −1 − 6 el sistema es incompatible. √ √ 2) Si a 6= −1 + 6 y a 6= −1 − 6 el sistema es compatible determinado. b) Para contestar este segundo apartado se puede aprovechar el trabajo realizado en el primero. Al observar las dos etapas del m´etodo de Gauss se observa que, debido a que a > 1, el elemento de mayor valor absoluto de la columna correspondiente est´a situado en la posici´on de pivote en ambas etapas (a > 1 y a+2 > a2 ). Consecuencia de ello es que no es necesario a realizar cambios de filas, coincidiendo la matriz F con la matriz identidad. 1 0 0 F = 0 1 0 0 0 1 La matriz U coincide con la matriz A02 (resultado de aplicar el m´etodo de Gauss con pivote parcial a la matriz Ac ) ya calculada (basta con quitar la u ´ltima columna a A2 ).
a 0 U= 0
−2
1
a+2 a
2a−1 a 2 a +2a−5 a+2
0
La matriz L ser´a una matriz triangular inferior con “unos” en su diagonal y por debajo de la diagonal los coeficientes que multiplican al pivote en cada una de las etapas del m´etodo de Gauss cambiados de signo. 1 0 0 1 0 L = a1 1 2 1 a a+2 F Ac = LU
406
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
B.5. 1.
Examen final de la convocatoria de septiembre de 2000
Hallar el polinomio de Taylor de tercer grado en torno a x = 0 de las funciones ln(1 + x + x2 )
f (x)
=
g(x)
= e
x2 2
− 1 + sen x
Usar estos polinomios para calcular l´ım
x→0
f (x) − g(x) x3
Soluci´ on: Calculemos los valores de f (x) y g(x) as´ı como sus tres primeras derivadas en x = 0 : f (0) = g(0) =
f 00 (x)
=
g 00 (x)
=
f 000 (x) = =
ln 1 = 0 1 − 1 + sen 0 = 0
f 0 (x) =
1 + 2x , f 0 (0) = 1 1 + x + x2
g 0 (x) =
xe
d dx
µ
1 + 2x 1 + x + x2
x2 2
+ cos x , g 0 (0) = 1
¶ =−
−1 + 2x + 2x2 (1 + x + x2 )
2
, f 00 (0) = 1
´ x2 d ³ x2 xe 2 + cos x = (1 + x2 )e 2 − sen x , g 00 (0) = 1 dx à ! −1 + 2x + 2x2 d − 2 dx (1 + x + x2 ) −
g 000 (x)
2 + 4x 2
(1 + x + x2 )
= =
+2
−1 + 2x + 2x2 (1 + x + x2 )
3
(1 + 2x) , f 000 (0) = −4
´ x2 d ³ (1 + x2 )e 2 − sen x dx ¡ ¢ 1 2 1 2 2xe 2 x + 1 + x2 xe 2 x − cos x , g 000 (0) = −1
En consecuencia, f (x) = g(x) =
x2 4 − x3 + O(x4 ) 2 6 2 x 1 x+ − x3 + O(x4 ) 2 6
x+
B.5. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2000
407
El l´ımite pedido ser´a pues − 64 x3 + 16 x3 + O(x4 ) f (x) − g(x) 1 = l´ ım =− x→0 x→0 x3 x3 2 l´ım
2.
Un farol debe ser colgado exactamente encima del centro de una plazoleta circular de radio R. ¿A qu´e altura deber´a estar el farol para que ilumine, lo mejor posible, una senda que rodea la plazoleta? (La iluminaci´on de la plazoleta es directamente proporcional al coseno del ´angulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el foco luminoso y la plazoleta en cuesti´on). Soluci´ on: Denotemos por h la altura del farol, por d la distancia del farol a la senda, y por α el ´angulo de incidencia. De acuerdo con el enunciado, si llamamos I la iluminaci´on de la senda, se tendr´a I=
cos α d2
El farol, y los segmentos que unen un punto arbitrario de la senda con la base y el extremo superior del farol, forman un tri´angulo rect´angulo. Por tanto, cos α
=
h2 + R2
=
h d d2
Haciendo uso de estas f´ormulas, podemos escribir la Iluminaci´on como una funci´on de h: h I(h) = 3 2 (h + R2 ) 2 Para calcular el m´aximo de la iluminaci´on, hallamos los puntos cr´ıticos de I(h). Eso se hace imponiendo dI(h) 1 3h2 R2 − 2h2 = 3 − 5 = 5 = 0 dh (h2 + R2 ) 2 (h2 + R2 ) 2 (h2 + R2 ) 2 de donde deducir´ıamos
d dh
µ
R h= √ 2 R2 − 2h2
¶
5
(h2 + R2 ) 2
Verifiquemos que este punto cr´ıtico es un m´aximo. Para ello, hallamos la segunda derivada de I(h): 2h2 − 3R2 d2 I(h) = 3h 7 2 dh (h2 + R2 ) 2
408
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
y la evaluamos en el punto cr´ıtico: µ ¶ R d2 I R −2R2 16 √ √ = 3√ 3 3 0. Esta es, para λ dado, una curva que pasa por el origen. En 2 efecto, n´otese que, cuando r → 0, senr r ∼ r y entonces λ
1−
a 2
sen(2θ) ∼r cos θ
B.5. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2000
409
es decir, θ ∼ 12 arc sen a2 . En resumen, la curva propuesta pasa por el origen a lo largo de la direcci´on θ = 21 arc sen a2 y, a lo largo de la misma, el l´ımite es λ. b) ∂ ∂x
Ã
¡ ¢! x sen x2 + y 2 = (x2 + y 2 − axy)
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ (x2 + y 2 − axy) sen x2 + y 2 + 2x2 cos x2 + y 2 − (2x − ay)x sen x2 + y 2 (x2 + y 2 − axy)2 Ã ¡ ¢! x sen x2 + y 2 ∂ ∂y (x2 + y 2 − axy) ¡ ¢ ¡ ¢ (x2 + y 2 − axy)2xy cos x2 + y 2 − (2y − ax)x sen x2 + y 2 = (x2 + y 2 − axy)2 Por tanto, ∂f (1, 0) ∂x ∂f (1, 0) ∂y
= − sen 1 + 2 cos 1 = a sen 1
La derivada direccional ser´a df 1 2 cos 1 − (a + 1) sen 1 √ = √ (− sen 1 + 2 cos 1 − a sen 1) = du 2 2 4.
Hallar y clasificar los extremos (m´aximos, m´ınimos y puntos de ensilladura) de la funci´on f (x, y) = 5 − 5x2 − y 2 + x2 y 2 Soluci´ on: Hallemos en primer lugar los puntos cr´ıticos. Para ello, resolvemos el sistema: ∂f ∂x ∂f ∂y
= −10x + 2xy 2 = 0
(B.6)
= −2y + 2x2 y = 0
(B.7)
2 De (B.6) √ deducimos que o bien es x = 0 o bien 2y − 10 = 0 (lo que implica √ y = ± 5). Si x = 0, entonces la u ´nica soluci´on de (B.7) es y = 0. Si y = ± 5, entonces de (B.7) √ se deduce √ x = ±1.√Hay, por tanto, cinco puntos cr´ıticos: (0, 0), √ (1, 5), (−1, 5), (1, − 5), (−1, − 5). La naturaleza de estos puntos cr´ıticos
410
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
la deduciremos a partir del c´alculo del Hessiano y de la segunda derivada con respecto a x: Ã 2 ! µ ¶ ∂2f ∂ f −10 + 2y 2 4xy ∂x2 ∂x∂y Hf (x, y) = = 2 2 ∂ f ∂ f 4xy −2 + 2x2 2 ∂x∂y
∂2f (x, y) = ∂x2
∂y
−10 + 2y 2 2
Evaluemos en cada punto. En (0, 0), det(Hf (0, 0)) = 20 > 0, ∂∂xf2 (0, 0) = −10 < 0. Hay, por tanto, un m´aximo. √ En (1, 5), det(Hf (0, 0)) = −80 < 0. Hay, por tanto, un punto de ensilladura. √ En (−1, 5), det(Hf (0, 0)) = −80 < 0. Hay, por tanto, un punto de ensilladura. √ En (1, 5), det(Hf (0, 0)) = −80 < 0. Hay, por tanto, un punto de ensilladura. √ En (−1, − 5), det(Hf (0, 0)) = −80 < 0. Hay, por tanto, un punto de ensilladura. 5.
Las curvas y = x − x2 , y = cuadrante). Calcular
x 2
delimitan una regi´on D (contenida en el primer ZZ (e2x − y 2 )dxdy D
Soluci´ on: Hallemos los valores de x que delimitan nuestra regi´on. Para ello buscamos los puntos de intersecci´on de ambas curvas imponiendo x − x2 =
x 2
La soluci´on es : x = 0, x = 12 . Nuestra regi´on es de Tipo 1, y para integrarla haremos uso de la f´ormula de integraci´on para regiones de este tipo: ! 2 ZZ Z 1 ÃZ x−x
2
(e2x − y 2 )dxdy = D
(e2x − y 2 )dy dx
(B.8)
x 2
0
N´otese que el l´ımite inferior de integraci´on en y es x2 . Esto se debe a que, en el intervalo (0, 21 ), la curva y = x2 est´a por debajo de la curva x − x2 . Evaluamos la integral en (B.8): ! ¯x−x2 ! Z 12 ÃZ x−x2 Z 12 à y 3 ¯¯ 2x 2 2x I= (e − y )dy dx = e y− ¯ dx x 3 x 0
0
2
Z
1 2
= 0
Ã
! ¢3 x − x2 x3 2x x 2 e ( −x )− + dx 2 3 24 ¡
2
B.5. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2000
411
Evaluemos por separado las distintas integrales que han aparecido: Z
1 2
e2x (
0
¯ 12 Z 1 ¯ x 1 2 2x 1 1 x e ( − 2x)dx − x2 )dx = e2x ( − x2 )¯¯ − 2 2 2 2 0 2 0
¯ 21 ¯ 12 Z 12 ¯ ¯ 1 2x x 1 2x 1 1 2 ¯ e2x dx = e ( − x )¯ − e ( − 2x)¯¯ − 2 2 2 4 2 4 0 0 0 1 1 1 1 3 = 0 − (− e − ) − (e − 1) = − e + 8 8 4 8 8 (hemos integrado por partes), Z
¡
1 2
− 0
x − x2 3
¢3
1 dx = − 3 Z
Z
1 2
0 1 2
0
¡
¢ 1 x3 − 3x4 + 3x5 − x6 dx = − 840
1 x3 dx = 24 1536
La integral buscada ser´a pues 3 1 1 1 20131 1 I =− e+ − + =− e+ 8 8 840 1536 8 53760 6.
Calcular el momento de inercia de un c´ırculo de radio R y densidad ρ constante con respecto a un eje tangente al mismo. Nota: recordar que el momento de inercia de un cuerpo plano con respecto a un eje se obtiene integrando el cuadrado de la distancia de cada punto del mismo al eje multiplicado por la densidad. Soluci´ on: Fijemos el c´ırculo en el centro de coordenadas y el eje en torno al cu´al se calcula el momento de inercia en la l´ınea x = R. El momento de inercia vendr´a dado por ZZ ρ(x − R)2 dxdy
I= D
Dada la geometr´ıa del problema, es conveniente hacer un cambio a coordenadas polares Z
2π
Z
R
I= 0
Z
0
"Z
2π
0
Z
R
=ρ 0
2π
ρ(r cos θ −R)2 rdrdθ = ρ Z r3 cos2 θdrdθ −
0
0
"Z
2π
Z
=ρ
R
r 0
0
31
2
2π
Z
R
Z
R
(r3 cos2 θ −2Rr2 cos θ +R2 r)drdθ
0
Z
2π
(2Rr2 cos θ)drdθ +
0
0
Z
2π
Z
R
Z
R
# (R2 r)drdθ
0
# 2
(2Rr cos θ)drdθ
(1 + cos(2θ))drdθ − 0
0
412
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Z
2π
Z
+ρ 0
R
· (R2 r)drdθ = ρ
0
¸ R4 1 5 (2π) + 0 + R4 (2π) = ρ πR4 8 2 4
Si deseamos escribir el momento de inercia en funci´on de la masa, entonces 5 M 5 4 5 I = ρ πR4 = πR = M R2 4 πR2 4 4 7.
Hallar la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y 0 + 2x2 y = x2 b) 2y 00 − 10y 0 + 12y = 3 sen x Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 50 %, apartado (b) 50 %. Soluci´ on: a) La soluci´on general del problema homog´eneo ser´a la soluci´on de yh0 + 2x2 yh = 0 es decir, 2
yh (x) = Ke− 3 x
3
Una soluci´on del problema no homog´eneo se encontrar´a por el m´etodo de variaci´on de constantes en la forma 2
yp (x) = K(x)e− 3 x
3
que introducida en la ecuaci´on da lugar a la relaci´on 2
3
2
3
2
3
K 0 (x)e− 3 x − 2x2 K(x)e− 3 x + 2x2 K(x)e− 3 x = x2 De donde deducimos
2
K 0 (x) = x2 e 3 x
y, por tanto,
3
Z K(x) =
2
3
x2 e 3 x dx =
1 2 x3 e3 2
donde se ha integrado mediante un cambio de variable. La soluci´on general ser´a pues 2 3 1 y(x) = yh (x) + yp (x) = Ke− 3 x + 2
B.5. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2000
413
b) La soluci´on general del problema homog´eneo ser´a la soluci´on general de 2yh00 − 10yh0 + 12yh = 0
(B.9)
El polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on (B.9) es 2r2 − 10r + 12 = 0 cuyas ra´ıces son r = 3, r = 2. Por tanto, yh (x) = C1 e3x + C2 e2x Una soluci´on particular del problema no homog´eneo la buscaremos mediante el m´etodo de los coeficientes indeterminados yp (x) = A sen x + B cos x expresi´on que introducida en la ecuaci´on da lugar a las siguientes relaciones entre A y B: −2A + 10B + 12A −2B − 10A + 12B
= 3 = 0
un sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc´ognitas cuya soluci´on es: 3 3 A = 20 , B = 20 . La soluci´on general de la ecuaci´on ser´a por tanto y(x) = yh (x) + yp (x) = C1 e3x + C2 e2x + 8.
3 3 sen x + cos x 20 20
Un recipiente cuyo volumen es de 100 litros contiene agua con 10 Kgs. de sal disueltos. En el recipiente entra el agua, con una velocidad de 3 litros/min, produci´endose una mezcla que, a su vez, se trasvasa, con la misma velocidad, a un segundo recipiente, de igual volumen (es decir, 100 litros) y relleno previamente de agua pura. De este segundo recipiente sale el exceso de l´ıquido. ¿Cu´anta cantidad de sal contiene el segundo recipiente al pasar una hora? ¿Cu´al es la cantidad m´axima de la sal en el segundo recipiente? ¿Cu´ando se logra esta cantidad m´axima? (Nota: se supone que las concentraciones de sal son homog´eneas en todo momento en cada recipiente). Soluci´ on: Llamemos Q1 (t) la cantidad de sal (en Kgs.) que hay en el primer recipiente. Q1 (t) evolucionar´a de acuerdo con la ecuaci´on dQ1 (t) 3 =− Q1 (t) dt 100 1 (t) donde hemos tenido en cuenta, a la derecha de la ecuaci´on, que salen Q100 kilogramos de sal por litro de agua y 3 litros de agua por minuto. Teniendo en cuenta que Q1 (0) = 10, llegamos a 3
Q1 (t) = 10e− 100 t
414
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
El agua que sale del primer recipiente entra en el segundo a un ritmo de 3 litros por minuto. Sea Q2 (t) la cantidad de sal en el segundo recipiente. Entonces 3
dQ2 (t) 10e− 100 t Q2 (t) =3 −3 dt 100 100 − 3 t
donde hemos tenido en cuenta que entran 10e100100 kilogramos de sal por litro 2 (t) de agua a un ritmo de 3 litros por minuto y salen Q100 kilogramos de sal por litro de agua tambi´en a un ritmo de 3 litros por minuto. La ecuaci´on es lineal y debemos resolverla teniendo como condici´on inicial Q2 (0) = 0. Podemos escribir la ecuaci´on en la forma 3
e− 100 t
3 ´ d ³ 3 t 10e− 100 t e 100 Q2 (t) = 3 dt 100
Por tanto,
´ 3 d ³ 3 t e 100 Q2 (t) = dt 10 Integrando en t y usando la condici´on inicial tendr´ıamos 3
e 100 t Q2 (t) = Es decir, Q2 (t) =
3 t 10
3 −3t te 10 10
Al cabo de una hora Q2 (60) =
9 180 − 180 e 100 = 18e− 5 = 2,9754 Kgs. 10
El m´aximo de Q2 (t) se alcanzar´a cuando 3 dQ2 (t) 3 − 3 t 9 = e 100 − 3 te− 100 t = 0 dt 10 10
es decir t=
100 = 33,3 minutos 3
La cantidad m´axima ser´a Q2 (
100 ) = 10e−1 = 3,6788 Kgs. 3
9 Sup´ongase que la placa de la figura B.3 representa una secci´on transversal de un poste met´alico, con flujo de calor despreciable en la direcci´on perpendicular a la placa. Si T1 , T2 , T3 y T4 son las temperaturas en los cuatro nodos interiores
B.5. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2000 2
1
0
0
2 º
T º
0
º
T 1
T 1
0
0
º
2
T 3
º
2
2
415
0
4
4
4
0
0
º
º
º
Figura B.3: Secci´on transversal del poste met´alico. de la malla de la figura B.3 y se supone que la temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de los cuatro nodos m´as cercanos (a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo), se pide determinar la temperatura en los cuatro nodos interiores de la malla. Soluci´ on: Para determinar las temperaturas pedidas hay que resolver el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con cuatro inc´ognitas: 4t1 − t3 − t2 −t1 + 4t2 − t4 −t1 + 4t3 − t4 −t2 − t3 + 4t4
= = = =
30 60 30 60
sistema equivalente a 4t1 − t3 − t2 −t2 + 4t3 + 4t4 −4t3 + 14t4 12t4 cuya soluci´on es: t1 =
75 4 , t2
=
105 4 , t3
=
= 30 = 60 = 585 2 = 315
75 4 , t4
=
105 4 .
10 Consid´erese el espacio vectorial C3 (C representa el cuerpo de los complejos) y los subconjuntos de C3 formados por los vectores (α, β, γ)t tales que: a) α = 0 + 0i b) β = 0 + 0i c) α + β = 0 + 0i d ) α + β = 1 + 0i e) α es real
416
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Se pide determinar, de entre los cinco subconjuntos anteriores, cu´ales son subespacios de C3 y cu´ales no. Soluci´ on: a) λ(0+0i, β 1 , γ 1 )+µ(0+0i, β 2 , γ 2 ) = (0+0i, λβ 1 +µβ 2 , λγ 1 +µγ 2 ) ∀λ, µ, β 1 , β 2 , γ 1 , γ 2 ∈ C. Por consiguiente el conjunto de los vectores (α, β, γ)t tales que α = 0 + 0i es un subespacio de C3 . b) λ(α1 , 0+0i, γ 1 )+µ(α2 , 0+0i, γ 2 ) = (λα1 +µα2 , 0+0i, λγ 1 +µγ 2 ) ∀λ, µ, α1 , α2 , γ 1 , γ 2 ∈ C. Por consiguiente el conjunto de los vectores (α, β, γ)t tales que β = 0 + 0i es un subespacio de C3 . c) λ(−β 1 , β 1 , γ 1 ) + µ(−β 2 , β 2 , γ 2 ) = (−λβ 1 − µβ 2 , λβ 1 + µβ 2 , λγ 1 + µγ 2 ) ∀λ, µ, β 1 , β 2 , γ 1 , γ 2 ∈ C. Por consiguiente el conjunto de los vectores (α, β, γ)t tales que α + β = 0 + 0i es un subespacio de C3 . d ) λ(1−β 1 , β 1 , γ 1 )+µ(1−β 2 , β 2 , γ 2 ) = (λ+µ−λβ 1 −µβ 2 , λβ 1 +µβ 2 , λγ 1 +µγ 2 ) y como, en general, λ + µ − λβ 1 − µβ 2 + λβ 1 + µβ 2 = λ + µ 6= 1 el conjunto de los vectores (α, β, γ)t tales que α + β = 1 no es un subespacio de C3 . e) λ(α1 , β 1 , γ 1 )+µ(α2 , β 2 , γ 2 ) = (λα1 +µα2 , λβ 1 +µβ 2 , λγ 1 +µγ 2 ), escogiendo λ = i, queda claro que iα1 + µα2 ∈ / lR y, por lo tanto el conjunto de los vectores (α, β, γ)t tales que α ∈ lR no es un subespacio de C3 . 11 Dado un espacio vectorial, E, de dimensi´on 2 y dos bases de dicho espacio B = {e1 , e2 } y B 0 = {u1 , u2 } que est´an relacionadas por las dos ecuaciones siguientes: e1 = a11 u1 + a21 u2 , e2 = a12 u1 + a22 u2 se pide expresar las coordenadas de un vector x en la base B en funci´on de las coordenadas del mismo vector en la base B 0 . Soluci´ on: Expresi´on del vector x en funci´on de la base B : x =x1 e1 + x2 e2 . Expresi´on del vector x en funci´on de la base B 0 : x =x01 u1 + x02 u2 . x =x1 e1 + x2 e2 = x1 (a11 u1 + a21 u2 ) + x2 (a12 u1 + a22 u2 ) = (a11 x1 + a12 x2 )u1 + (a21 x1 + a22 x2 )u2 . Como la descomposici´on de un vector en funci´on de una base dada es u ´nica, de la igualdad anterior se deduce que: x01 = a11 x1 + a12 x2 , x02 = a21 x1 + a22 x2 que expresado matricialmente se convierte en: µ 0 ¶ µ ¶µ ¶ x1 a11 a12 x1 = x02 a21 a22 x2
B.5. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2000
Finalmente para encontrar la relaci´on pedida hay que despejar µ ¶ µ ¶−1 µ 0 ¶ x1 a11 a12 x1 = x2 a21 a22 x02
417
¡
x1
x2
¢t
,
12 Dados el espacio eucl´ıdeo E, formado por el espacio vectorial lR3 y el producto escalar x · y = 2x1 y1 + x2 y2 + x3 y2 + x2 y3 + 2x3 y3 {ei } , determinar la proyecci´on ortogonal del vector a = (1, 1, 3)t{ei } sobre el subespacio vectorial © ª S = x ∈ lR3 x1 − 2x2 + x3 = 0 Soluci´ on: Expresi´on matricial del producto escalar: 2 0 0 y1 ¡ ¢ x1 x2 x3 0 1 1 y2 = xt Gy 0 1 2 y3 Base de S : {a1 = (2, 1, 0)t , a2 = (−1, 0, 1)t }. Base ortonormal de S, a1 1 = (2, 1, 0)t ka1 k 3 0 0 2 1 1 1 = 9 1 2 0
u1 = 2
ka1 k =
¡
2
1
0
¢
2 0 0
z2 1 = √ (−1, 1, 3)t kz2 k 3 3 1 1 1 t t z2 = a2 − (a2 · u1 )u1 = (−1, 0, 1) + (2, 1, 0) = (− , , 1)t 3 3 3 2 0 0 2 ¢ 1¡ −1 0 1 0 1 1 1 = −1 (a2 · u1 ) = 3 0 1 2 0 1 2 0 0 −3 ¡ ¢ 2 kz2 k = − 13 13 1 0 1 1 13 = 3 0 1 2 1 u2 =
Se calcula la proyecci´on ortogonal utilizando la base ortonormal reci´en calculada, µ ¶t 8 23 25 47 23 Pr| aS = (a · u1 )u1 + (a · u2 )u2 = u1 + √ u2 = , , 3 27 27 9 3 3
418
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
B.6. 1.
Prueba de control de diciembre de 2000
Sup´ongase que se suman los complejos (ρ1 )θ1 y (ρ2 )θ2 obteni´endose el complejo p (ρ3 )θ3 . Se pide demostrar que ρ3 = (ρ1 )2 + (ρ2 )2 + 2ρ1 ρ2 cos(θ1 − θ2 ). (2 puntos). Soluci´ on: (ρ1 )θ1 + (ρ2 )θ2 = (ρ1 cos θ1 + iρ1 sen θ1 ) + (ρ2 cos θ2 + iρ2 sen θ2 ) = ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2 + (ρ1 sen θ1 + ρ2 sen θ2 )i. El m´odulo de este nuevo complejo ser´a: ρ3
2.
=
p
(ρ cos θ1 + ρ2 cos θ2 )2 + (ρ1 sen θ1 + ρ2 sen θ2 )2 = p 1 (ρ )2 + (ρ2 )2 + 2ρ1 ρ2 cos θ1 cos θ2 + 2ρ1 ρ2 sen θ1 sen θ2 = p 1 (ρ1 )2 + (ρ2 )2 + 2ρ1 ρ2 cos(θ1 − θ2 )
Razonar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, a) Un sistema de ecuaciones lineales con m´as ecuaciones que inc´ognitas no puede tener una u ´nica soluci´on. b) Un sistema de ecuaciones lineales con menos ecuaciones que inc´ognitas no puede tener una u ´nica soluci´on. c) Si la matriz de coeficientes de un sistema lineal escalonado de 3 ecuaciones y 5 inc´ognitas tiene tres cabeceras de fila entonces el sistema es compatible. d ) Si todas las columnas de la matriz de coeficientes de un sistema escalonado compatible contienen una cabecera de fila entonces la soluci´on del sistema es u ´nica. (2 puntos). Soluci´ on: a) Falsa. Un sistema de ecuaciones lineales con m´as ecuaciones que inc´ognitas puede tener una u ´nica soluci´on. Por ejemplo, el siguiente sistema de tres ecuaciones con dos inc´ognitas tiene una u ´nica soluci´on: 2x1 − x3 x1 + x3 x1 − 2x1
= = =
1 2 −1
b) Verdadera. El rango de la matriz de coeficientes es menor o igual que el n´ umero de ecuaciones y por lo tanto ser´a menor que el n´ umero de inc´ognitas por lo que el sistema nunca podr´a ser compatible determinado.
B.6. Prueba de control de diciembre de 2000
419
c) Verdadera. Si la matriz de coeficientes, A, de un sistema escalonado tiene tres cabeceras de fila entonces el rango de A es 3. Por otro lado la matriz ampliada, Ab , de un sistema con tres ecuaciones no puede tener un rango mayor que 3. De lo anterior se deduce que rg(A) = rg(Ab ) por lo que el sistema es compatible. d ) Verdadera. Si todas las columnas de la matriz de coeficientes de un sistema escalonado contienen una cabecera de fila, el rango de dicha matriz coincide con el n´ umero de columnas y por lo tanto con el n´ umero de inc´ognitas del sistema. Como adem´as se supone que el sistema es compatible, el sistema ser´a compatible determinado. 3.
Un m´edico, especialista en nutrici´on, est´a preparando una comida que proporcione 100 mg de vitamina C, 300 mg de calcio y 200 mg de magnesio. Para ello utiliza tres alimentos que contienen, cada uno de ellos, la vitamina y los dos elementos qu´ımicos en las proporciones siguientes (en mg por unidad de alimento): Vitamina C Calcio Magnesio
Alimento 1 10 50 30
Alimento2 20 40 10
Alimento3 20 60 40
Se pide contestar a las dos preguntas siguientes: a) ¿Es posible, utilizando los tres alimentos de la tabla, obtener una comida que contenga exactamente las cantidades de vitamina C, calcio y magnesio requeridas? b) Si la respuesta a la primera pregunta es afirmativa, ¿existe una sola combinaci´on de alimentos posible, o existe m´as de una? ¿Cu´al (o cu´ales) es (o son) esta (o estas) combinaci´on (o combinaciones)? (2 puntos). Soluci´ on: a) Se plantea el sistema de ecuaciones lineales pedida: 10x1 + 20x2 + 20x3 = 100 50x1 + 40x2 + 60x3 = 300 30x1 + 10x2 + 40x3 = 200
que proporciona la soluci´on ← Vitamina C ← Calcio ← Magnesio
en donde: x1 = unidades de alimento 1, x2 = unidades de alimento 2, x3 = unidades de alimento 3. La matriz ampliada de un sistema escalonado equivalente es: 1 2 2 10 0 −6 −4 −20 20 4 0 0 3 3
420
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Por lo tanto el rango de la matriz ampliada es igual al de la matriz de coeficientes y el sistema tiene soluci´on: si es posible, utilizando los tres alimentos de la tabla, obtener una comida que contenga exactamente las cantidades de vitamina C, calcio y magnesio requeridas. b) Como le rango de la matriz de coeficientes es tres el sistema es compatible determinado y existe una u ´nica combinaci´on de alimentos posible que se obtiene resolviendo el sistema: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 5 4.
Sea P2 el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos. Se pide: a) Demostrar que el conjunto V formado por polinomios de la forma p(x) = 2bx2 + (a − b)x + 3b + a con a y b reales, es un subespacio vectorial de P2 . b) Sea W el subespacio generado por los polinomios q(x) = 2x2 − 4x y q(x) = −2x2 + 3x − 1. Demostrar que V = W. (2 puntos). Soluci´ on: a) Para demostrar que V es un subespacio de P2 se comprobar´a que cualquier combinaci´on lineal de dos polinomios cualesquiera de©V pertenece a V. Para ª ello referiremos los polinomios de V a la base B = 1, x, x2 de P2 . t(x) = 2bx2 + (a − b)x + 3b + a = (3b + a, a − b, 2b)tB = tB s(x) = 2dx2 + (c − d)x + 3d + c = (3d + c, c − d, 2d)tB = sB αtB + βsB = (α(3b + a) + β(3d + c), α(a − b) + β(c − d), α2b + β2d)tB = (3(αb + βd) + αa + βc, αa + βc − (αb + βd), 2(αb + βd))tB = (3f + g, g − f, 2f )tB ∈ V ∀α, β ∈ lR Con f = αb + βd y g = αa + βc. b) Unas ecuaciones param´etricas de V son: x1 = a + 3b x2 = a − b V = x3 = 2b y, por lo tanto una base de V estar´a formada por: {(1, 1, 0)tB , (3, −1, 2)tB } . Como r(x) y s(x) son linealmente independientes, una base de W estar´a formada por {(0, −4, 2)tB , (−1, 3, −2)tB } . Por otro lado 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 −1 2 2 ∼ 0 −4 ∼ 0 −4 2 , 0 −4 2 0 −4 2 0 0 0 −1 3 −2 0 4 −2 0 0 0
B.6. Prueba de control de diciembre de 2000
421
con lo que se comprueba que los dos vectores de la base de W son combinaci´on lineal de los de la base de V lo cual implica que V = W. 5.
Consid´erese el espacio eucl´ıdeo formado por el espacio vectorial lR3 y el producto escalar x · y = x1 y1 + x2 y2 + 4x3 y3 + x1 y3 + x3 y1 expresado en una cierta base {e1 , e2 , e3 } . Se pide: a) Determinar una base ortonormal del espacio eucl´ıdeo. b) Determinar las coordenadas del vector x = e2 + e3 en la base ortonormal hallada en el apartado anterior. (2 puntos). Soluci´ on: a) e1 y e2 son ortogonales y unitarios por lo que se pueden escoger como los dos primeros vectores de la base ortonormal: c1 = (1, 0, 0)t{ei } , c2 = (0, 1, 0)t{ei } El tercer vector de la base se obtiene aplicando el m´etodo de GramSchmidt: z3 = e3 − (e3 · c1 )c1 − (e3 · c2 )c2 = (0, 0, 1)t − (1, 0, 0)t = (−1, 0, 1)t c3 =
z3 1 = √ (−1, 0, 1)t{ei } kz3 k 3
b) Se conocen las coordenadas del vector x en la base {ei } y se piden sus coordenadas en la base {ci } : 0 x1 x1 ¡ ¢ x = x02 = e1 e2 e3 {c } x2 i x03 {c } x3 {e } i i −1 1 0 − √13 1 0 1 0 0 0 1 = 0 1 √0 1 = 0 1 1 √ 1 {e } 1 {e } 0 0 0 0 3 3 i i 1 √ = c1 + c2 + 3c3 = √1 3 {c } i
(2 puntos).
422
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
B.7. 1.
Examen parcial de febrero de 2001
Discutir las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones en funci´on de los valores de los par´ametros a y b x + y − z + at = 1 2x − 3y + bz − 4t = 3 x − 4y + 2z − 5t = 2 Encontrar las soluciones, si las hubiera, para los casos en que b = 1. Soluci´ on: Se obtiene la forma escalonada de la de coeficientes del sistema: 1 1 1 1 −1 a 1 b −4 3 ∼ 0 −5 Ab = 2 −3 0 0 1 −4 2 −5 2 1 1 −1 a 1 b −4 ∼ 0 A = 2 −3 0 1 −4 2 −5
matriz ampliada y de la matriz −1 a b + 2 −4 − 2a 1 − b −1 + a
1 1 0
1 −1 a −5 b + 2 −4 − 2a 0 1 − b −1 + a
de donde se deduce lo siguiente: a) b = 1 1) a = 1, rg(A) = rg(Ab ) = 2 < 4, sistema compatible indeterminado. La soluci´on depender´a de dos par´ametros (4-2). 2) a 6= 1, rg(A) = rg(Ab ) = 3 < 4, sistema compatible indeterminado. La soluci´on depender´a de un par´ametro (4-3). b) b 6= 1, rg(A) = rg(Ab ) = 3 < 4, sistema compatible indeterminado. La soluci´ on depender´a de un par´ametro (4-3). Soluci´ on del sistema para b = 1. Se utiliza la t´ecnica de remonte a partir de la expresi´ on escalonada del sistema Seg´ un la discusi´on anterior habr´a que distinguir dos casos: a) a = 1, en este caso la tercera ecuaci´on es nula. Se dejan como par´ametros libres las variables z y t 1 6 2 + z+ t 5 5 5 1 3 6 y=− + z− t 5 5 5 z=z t=t x=
B.7. Examen parcial de febrero de 2001
423
b) a 6= 1, se deja como par´ametro libre z 6 2 + z 5 5 1 3 y=− + z 5 5 z=z t=0 x=
Puntuaci´ on de la pregunta: 6 puntos. 2.
Consid´erese el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos, P2 , y un conjunto, S, formado por 5 polinomios de grado menor o igual que dos: S = {p1 (x), p2 (x), p3 (x), p4 (x), p5 (x)} . Se pide razonar la veracidad o falsedad de las tres afirmaciones siguientes: a) El conjunto S siempre ser´a un sistema generador de P2 . b) El subespacio vectorial generado por S nunca podr´a tener una dimensi´on mayor que tres. c) En ning´ un caso se podr´a extraer de S un subconjunto que sea una base del espacio P2 . Soluci´ on: a) La afirmaci´on es falsa. Basta con encontrar un contraejemplo: el conjunto S: S = {1, 2, 3, 4, 5} esta formado por cinco polinomios de grado menor o igual que 2 y no es un sistema generador de P2 . b) La afirmaci´on es verdadera. El espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 tiene dimensi´on tres y por lo tanto ninguno de sus subespacios (el subespacio generado por S siempre es un subespacio de P2 ) puede tener dimensi´on mayor que tres. c) La afirmaci´on es falsa. Como en el primer caso para demostrarlo basta con encontrar un contraejemplo: © ª S = 1, x, x2 , 4 + x2 , x + x + x2 , © ª del conjunto anterior se puede extraer el subconjunto S1 = 1, x, x2 que es una base de P2 .
424
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Puntuaci´ on de la pregunta: 5 puntos ((a) 5/3 puntos, (b) 5/3 puntos, (c) 5/3 puntos).
3.
Sean {e1 , . . . , en } , {u1 , . . . , un } y {w1 , . . . , wn } tres bases de un espacio vectorial de dimensi´on n de las que se conoce las relaci´on entre {wi } y {ei } : n n P P wi = aji ej y entre {ui } y {ei } : ui = bji ej . Si se denota por A a (aij )n×n j=1
j=1
y por B a (bij )n×n , se pide obtener, en funci´on de A y B, la matriz de cambio de base que transforma las componentes de un vector en la base {wi } en las componentes del mismo vector en la base {ui } . Soluci´ on: ¡ ¢t x1 x2 x3 → componentes de x en la base {e1 , . . . , en } ¡ 0 ¢ t x1 x02 x03 → componentes de x en la base {u1 , . . . , un } ¡ 00 ¢ t x1 x002 x003 → componentes de x en la base {w1 , . . . , wn } A = (w1 , w2 , w3 ){ei } , B = (u1 , u2 , u3 ){ei } 0 x1 x1 x02 = (e1 , e2 , e3 ){ui } x2 = B −1 0 x3 x3 x1 x001 x2 = (w1 , w2 , w3 ){wi } x002 = A x3 x003
x1 x2 x3 ⇒ x001 x002 x003
00 x01 x1 x02 = B −1 A x002 x03 x003 Puntuaci´ on de la pregunta: 5 puntos.
4.
Sup´ongase el espacio eucl´ıdeo formado por el espacio vectorial lR4 y el producto escalar 1 0 0 0 y1 0 2 0 0 y2 x · y = (x1 , x2 , x3 , x4 ) 0 0 3 1 y3 0 0 1 1 y4 {e } i
Se pide hallar una base ortonormal del subespacio vectorial W de lR4 generado por los vectores (1, 2, 1, 0)t{ei } y (1, 2, 3, 2)t{ei } . Soluci´ on:
B.7. Examen parcial de febrero de 2001
425
n o t t base de W = a1 = (1, 2, 1, 0) , a2 = (1, 2, 3, 2) . Se ortonormaliza la base de W utilizando el m´etodo de Gram-Schmidt: ¡ ¢t 1 1 2 1 0 c1 = kaa11 k = 2√ , 3 1 0 0 0 1 ¡ ¢ 0 2 0 0 2 2 ka1 k = 1 2 1 0 0 0 3 1 1 = 12, 0 0 1 1 0 √ ¡ ¢ t 3 − 23 − 43 43 2 c2 = kzz22 k = √56 , ¡ ¢ 5¡ ¢ ¡ ¢ z2 = a2 −(a2 ·c1 )c1 = 1 2 3 2 − 3 1 2 1 0 = − 32 − 43 43 2 , 1 1 0 0 0 √ ¡ ¢ 0 2 0 0 1 2 10 1 2 1 0 (a2 · c1 ) = (c1 · a2 ) = 2√ 0 0 3 1 3 = 3 3, 3 0 0 1 1 2 2 −3 1 0 0 0 ¡ 2 ¢ 0 2 0 0 − 4 56 2 4 4 3 = kz2 k = − 3 − 3 3 2 3 . 0 0 3 1 43 0 0 1 1 2 Nota: todos los resultados est´an referidos a las bases {ei }(i = 1, 2, 3, 4) de lR4 . Puntuaci´ on de la pregunta: 5 puntos. 5.
Dada la aplicaci´on lineal, f, de lR3 en lR3 , cuya matriz asociada en la base can´onica de lR3 es: 2 5 −3 7 −4 , A= 4 −6 −3 1 se pide: a) Hallar una base de la imagen y el n´ ucleo de f . b) Indicar, razon´andolo, si la aplicaci´on f es inyectiva. c) Indicar, razon´andolo, si la aplicaci´on f es sobreyectiva. Soluci´ on: a)
2 4 −6
5 7 −3
−3 2 −4 ∼ 0 1 0
5 −3 0
−3 2 ⇒ dim(Im(f )) = 2 0
426
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Base de Im(f ) = {(2, 5, −3)t , (0, −3, 2)t } . Las ecuaciones impl´ıcitas del n´ ucleo ser´an: ½ 2x1 + 5x2 − 3x3 = 0 −3x2 + 2x3 = 0 despejando x1 y x2 en funci´on de x3 se obtienen sus ecuaciones param´etricas x1 = − 16 α 2 x2 = 3α x3 = α © ª Por lo que una base de ker(f ) ser´a: (− 16 , 23 , 1)t . b) dim(ker(f )) = 1 6= 0 ⇒ f no es inyectiva. c) dim(Im(f )) = 2 ⇒ Im(f ) 6= lR3 ⇒ f no es sobreyectiva. Puntuaci´ on de la pregunta: 5 puntos ((a) 3 puntos, (b) 1 punto, (c) 1 punto).
6.
Diagonalizar por semejanza, si es posible, las dos matrices siguientes, es decir, escribir, si existen, las matrices D y P tales que A = P DP −1 . a)
0 0 5
0 0 5
4 0 A= 1 4 0 0 b) 0 0 A= 0 0 3 0 Soluci´ on: a)
¯ ¯ ¯ 4−λ 0 0 ¯¯ ¯ 1 4−λ 0 ¯¯ = (4 − λ)2 (5 − λ) = 0 ⇒ |A − λI| = ¯¯ ¯ 0 0 5−λ ¯ ½ λ1 = 4 (doble, m1 = 2) los valores propios de f son : λ2 = 5 (simple, m2 = 1)
B.7. Examen parcial de febrero de 2001
427
Los subespacios propios son: V4 V5
= =
©
ª x ∈lR (A − 4I) x = 0 =
©
ª x ∈lR (A − 5I) x = 0 =
½
x=0 x ∈lR z=0
3
¾
3
½
3
x=0 x ∈lR x−y =0
¾
3
Por lo tanto Base de V1 Base de V2
ª v1 = (0, 1, 0)t , dim(V1 ) = 1, s1 = 1 ª © = v3 = (0, 0, 1)t , dim(V2 ) = 1, s2 = 1
=
©
Como s1 6= m1 f no es diagonalizable y en consecuencia la matriz A no se puede diagonalizar por semejanza. b) |A − λI| = los valores propios de f son
:
¯ ¯ ¯ −λ 0 0 ¯¯ ¯ ¯ 0 −λ 0 ¯¯ = λ2 (5 − λ) = 0 ⇒ ¯ ¯ 3 0 5−λ ¯ ½ λ1 = 0 (doble, m1 = 2) λ2 = 5 (simple, m2 = 1)
Los subespacios propios son: © ª © ª V4 = x ∈lR3 (A − 0I) x = 0 = x ∈lR3 3x + 5z = 0 ½ ¾ © ª x=0 3 3 V5 = x ∈lR (A − 5I) x = 0 = x ∈lR y=0 Por lo tanto Base de V1 Base de V2
½
¾ 5 v1 = (0, 1, 0)t , v2 = (− , 0, 1)t , dim(V1 ) = 2, s1 = 2 3 © ª = v3 = (0, 0, 1)t , dim(V2 ) = 1, s2 = 1
=
Como s1 = m1 y s2 = m2 f es diagonalizable A se puede diagonalizar por semejanza. −1 0 0 0 0 0 − 35 0 0 0 0 = 1 0 0 0 0 0 5 3 0 1 1
y en consecuencia la matriz 0 0 0
0 0 0 1 5 0
Por lo tanto las matrices pedidas en el enunciado son: 0 0 0 0 − 35 0 0 0 1 0 D= y P = (v1 , v2 , v3 ) = 0 0 5 0 1
− 53 0 1 0 0 1
0 0 1
428
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Puntuaci´ on de la pregunta: 6 puntos ((a) 3 puntos, (b) 3 puntos). 7.
Estudiar la continuidad en el origen (x = 0) de la funci´on f : lR → lR definida para todo x por: sen(x) x 6= 0 |x| f (x) = 0 x=0 Soluci´ on: l´ım+ f (x) = 1 y l´ım− f (x) = −1 ⇒ l´ım+ f (x) 6= l´ım− f (x) ⇒ f no x→0
es continua en x = 0.
x→0
x→0
x→0
Puntuaci´ on de la pregunta: 3 puntos. 8.
Consid´erese la funci´on y de lR en lR definida mediante la siguiente ecuaci´on: x3 + ln(y(x)) − x2 ey(x) = 0 Se pide: a) Hallar y 0 (x), (el resultado se puede dejar en funci´on de y(x)). b) Hallar y 0 (0). Soluci´ on: a) Derivando impl´ıcitamente en la ecuaci´on del enunciado: 3x2 +
y0 − 2xey − x2 y 0 ey = 0, y
despejando y 0 se obtiene el resultado pedido y0 =
(2xey − 3x2 )y 1 − yx2 ey
b) x = 0, x3 + ln(y) − x2 ey = 0 ⇒ ln(y) = 0 ⇒ y = 1 y reemplazando los valores de x e y en la expresi´on de y 0 se obtiene y 0 (0) =
(2(0)e1 − 3(0)2 )1 =0 1 − 1(0)2 e1
Puntuaci´ on de la pregunta: 5 puntos ((a) 3 puntos, (b) 2 puntos).
B.8. Prueba de control de marzo de 2001
B.8. 1.
429
Prueba de control de marzo de 2001
(2 puntos). Calcular los extremos relativos y absolutos de la siguiente funci´on: f (x) = x2 − 3x + 2 , x ∈ [0, 4] Soluci´ on: La funci´on es un polinomio. Por tanto, es diferenciable en (0, 4). Para buscar los extremos relativos en [0, 4] miraremos si los puntos cr´ıticos en (0, 4) y los puntos de los bordes del dominio son extremos relativos. Puntos cr´ıticos:
f 0 (x) = 2x − 3 = 0
Hay un punto cr´ıtico en x = 32 ( 32 ∈ (0, 4)). Como f 00 (x) = 2 > 0, el punto cr´ıtico es un m´ınimo relativo y f ( 32 ) = 94 − 92 + 2 = − 14 . En x = 4, f 0 (4) = 8 − 3 = 5 > 0. La funci´on llega creciendo al borde derecho del dominio. Por tanto, hay un m´aximo relativo en x = 4 y f (4) = 6. En x = 0, f 0 (0) = −3. La funci´on sale decreciendo del borde izquierdo del dominio. Por tanto hay un m´aximo relativo en x = 0 y f (0) = 2. M´aximo absoluto=M´ax(M´ax relativos)=M´ax(6,2)=6. El M´aximo absoluto se alcanza en x = 4. M´ınimo absoluto=− 14 y se alcanza en x = 32 . 2.
(2 puntos). Sea f (x) g(x)
= ln(1 + x − sen x) = (ex − 1)3
a) Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 en torno a x = 0 de f (x) y g(x). b) Usar la informaci´on del apartado a) para calcular el l´ımite l´ım
x→0
f (x) g(x)
Soluci´ on: Calculemos los valores de f (x) y g(x) as´ı como sus tres primeras derivadas en x = 0 : f (0) g(0) f 0 (x)
=
g 0 (x)
=
= ln 1 = 0 = (1 − 1)3 = 0
1 − cos x , f 0 (0) = 0 1 + x − sen x 2 3 (ex − 1) ex , g 0 (0) = 0
430
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos 2
sen x (1 − cos x) − , f 00 (0) = 0 1 + x − sen x (1 + x − sen x)2
f 00 (x)
=
g 00 (x)
= 6 (ex − 1) e2x + 3 (ex − 1) ex , g 00 (0) = 0
2
3
f 000 (x) =
cos x sen x (1 − cos x) −3 2 (1 − cos x) + 2 3 1 + x − sen x (1 + x − sen x) (1 + x − sen x) 2
f 000 (0) = 1, g 000 (x) = 6e3x + 18 (ex − 1) e2x + 3 (ex − 1) ex , g 000 (0) = 6 En consecuencia, f (x) = g(x) =
1 3 x + O(x4 ) 3! x3 6 + O(x4 ) 3!
El l´ımite pedido ser´a pues 4
O(x ) 1 3 1 x + O(x4 ) f (x) 1 3! + x3 l´ım = l´ım 3!1 3 = l´ ım = 4 x→0 g(x) x→0 6 x + O(x4 ) x→0 6 1 + O(x ) 6 3 3! 3!
3.
x
(2 puntos). Sea la funci´on vectorial x2 + y 2 √ xy x2 +y2 si y 6= 0 ex+y f (x, y) = x2 0 si y = 0 ex a) ¿Es la funci´on continua en (0, 0)? b) ¿Existen las derivadas parciales (de cada una de las componentes) en (0, 0)? c) ¿Es la funci´on diferenciable? Soluci´ on: Las cuestiones de continuidad, existencia de derivadas direccionales y diferenciabilidad de una funci´on vectorial se resuelven estudi´andolas para cada una de sus componentes. Las componentes f1 (x, y) y f3 (x, y) se pueden escribir como x2 + y 2 y ex+y respectivamente. f1 (x, y) es un polinomio, que es una funci´on continua y diferenciable (tantas veces como se quiera). f3 (x, y) es la composici´on de dos funciones continuas y diferenciables: el polinomio x + y y la exponencial. Es por tanto una funci´on continua y diferenciable. Estas funciones tienen tambi´en todas las derivadas direccionales bien definidas, ya que la diferenciabilidad implica existencia de derivadas direccionales (en particular, existen las parciales).
B.8. Prueba de control de marzo de 2001
431
La cuesti´on de continuidad y diferenciabilidad se centra entonces en la continuidad y diferenciabilidad de f2 (x, y). Continuidad: f (0, 0) = 0. Miremos el l´ım
(x,y)→(0,0)
f2 (x, y) =
l´ım
(x,y)→(0,0)
xy
p
x2 + y 2
(notar que f2 (x, y) se puede definir globalmente como √ xy 2
x +y 2
fuera de (0, 0)).
Queremos probar que el l´ımite es cero para probar que la funci´on es continua. Busquemos una funci´on mayorante haciendo un cambio a coordenadas polares: f2 (x, y) = √
r cos θr sen θ = r cos θ sen θ r2 cos2 θ + r2 sen2 θ
Por tanto, |f2 (x, y)| = |r cos θ sen θ| ≤ r
→
(x,y)→(0,0)
0
p y el l´ımite es cero, ya que la mayorante g(x, y) = x2 + y 2 tiende a cero. La funci´on f2 es continua en (0, 0) y la funci´on vectorial f es pues continua en (0, 0). Existencia de derivadas parciales: ∂f2 (0, 0) = ∂x ∂f2 (0, 0) = ∂y
f2 ((0, 0) + t(1, 0)) − f2 (0, 0) f2 (t, 0) − f2 (0, 0) = l´ım =0 t→0 t t f2 ((0, 0) + t(0, 1)) − f2 (0, 0) f2 (0, t) − f2 (0, 0) l´ım = l´ım =0 t→0 t→0 t t l´ım
t→0
Las dos derivadas parciales existen y son nulas. Diferenciabilidad: Si la diferencial existe ha de ser df2 ((0, 0); h) = 0h1 +0h2 = 0. Veamos si la funci´on es diferenciable o no. Para ello evaluamos el siguiente l´ımite: f2 ((0, 0) + h) − f2 (0, 0) − df2 ((0, 0); h) h→0 khk l´ım
=
f2 (h1 , h2 ) − f2 (0, 0) − 0 p (h1 ,h2 )→(0,0) h21 + h22 l´ım
=
l´ım
h1 h2 + h22
2 (h1 ,h2 )→(0,0) h1
Este l´ımite no existe, ya que si probamos l´ımites radiales (a lo largo de h2 = kh1 ) obtenemos l´ım
h1 →0 h2 1
k kh21 = + kh21 1 + k2
que son distintos dependiendo de k. La funci´on f2 no es diferenciable en (0, 0) y la funci´on vectorial f es pues no diferenciable.
432
4.
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
(2 puntos). Calcular los puntos cr´ıticos de la funci´on x3 9 + y 3 − 2x − y 2 + 6y + 12 6 2
f (x, y) =
Clasificarlos como m´aximo relativo, m´ınimo relativo o punto de ensilladura. Soluci´ on: hallemos en primer lugar los puntos cr´ıticos. Para ello, resolvemos el sistema: ∂f ∂x ∂f ∂y
x2 −2=0 2
(B.10)
= 3y 2 − 9y + 6 = 0
(B.11)
=
√
De (B.10) deducimos que x = ±2. De (B.11) deducimos y = 9± 81−72 = 2, 1. 6 Los puntos cr´ıticos son por tanto (2, 2), (−2, 2), (2, 1) y (−2, 1). La naturaleza de estos puntos cr´ıticos la deduciremos a partir del c´alculo del Hessiano y de la segunda derivada con respecto a x: Ã 2 ! µ ¶ ∂ f ∂2f x 0 2 ∂x ∂x∂y Hf (x, y) = = ∂2f ∂2f 0 6y − 9 2 ∂x∂y
∂2f (x, y) = ∂x2
∂y
x
Evaluemos en cada punto. En (2, 2), det(Hf (0, 0)) = 6 > 0,
∂2f ∂x2 (0, 0)
= 2 > 0. Hay, por tanto, un m´ınimo.
En (−2, 2), det(Hf (0, 0)) = −6 < 0. Hay, por tanto, un punto de ensilladura. En (2, 1), det(Hf (0, 0)) = −6 < 0. Hay, por tanto, un punto de ensilladura. En (−2, 1), det(Hf (0, 0)) = 6 > 0, m´aximo relativo. 5.
∂2f ∂x2 (0, 0)
= −2 < 0. Hay, por tanto, un
(3 puntos) Un petrolero sufre un accidente y derrama petr´oleo al oc´eano. En un cierto instante, un helic´optero sobrevuela el vertido y comprueba que tiene forma el´ıptica con el eje mayor a = 500 m. y el eje menor b = 400 m.. Poco despu´es la mancha sigue siendo el´ıptica pero los ejes han aumentado de tama˜ no de modo que se estima que el eje mayor crece a una velocidad de 100 m/hora y el menor a una velocidad de 80 m/hora. 1) ¿A qu´e velocidad aumenta el ´area de la mancha cuando a = 550 m. y b = 440 m.? 2) Si el espesor de la capa de petr´oleo sobre el mar la suponemos uniforme y de 0,2 cms., ¿A qu´e velocidad aumenta el volumen de petr´oleo vertido cuando a = 550 m. y b = 440 m.?
B.8. Prueba de control de marzo de 2001
433
3) Si el volumen de petr´oleo que vierte el barco por unidad de tiempo es constante y el barco llevaba 50 millones de litros (es decir, dm3 ) de petr´oleo, ¿cu´ando acabar´ a el vertido? 4) Si la mancha es siempre el´ıptica y la proporci´on entre los ejes de la elipse 5 permanece siempre constante ( a(t) a la mancha a una playa que b(t) = 4 ), ¿llegar´ se encuentra a 5 kms. del barco en la direcci´on del eje mayor de la elipse? Ayuda: el ´area de la elipse es πab. Soluci´ on: a) Sea A(a, b) = πab una funci´on de R2 a R que da el ´area de la elipse en funci´on del tama˜ no de los ejes. Sea la funci´on vectorial x de R a R2 que asigna a un tiempo t el par (a, b). La funci´on compuesta A ◦ x es de R en R y asigna a un tiempo dado el ´area de la elipse en ese instante. Para calcular la derivada de esta funci´on compuesta debemos aplicar la regla de la cadena para funciones vectoriales. Entonces dA ∂A da ∂A db da db (t) = (a(t), b(t)) (t) + (a(t), b(t)) (t) = πb(t) (t) + πa(t) (t) dt ∂a dt ∂b dt dt dt En el instante considerado
da dt
= 100,
db dt
= 80. Entonces, en ese instante,
dA = π · 440 · 100 + π · 550 · 80 = 2,646 × 105 m2 /hora dt b) V (a, b) = 2 · 10−3 · πab. Entonces, an´alogamente a a), µ ¶ dV da db −3 (t) = 2 · 10 πb(t) (t) + πa(t) (t) dt dt dt En el instante considerado, dV = 2 · 10−3 (π · 440 · 100 + π · 550 · 80) = 552,92 m3 /hora dt c) Si el flujo de petr´oleo es constante, el vertido durar´a t=
50 · 103 = 90,429 horas ≈ 3,77 d´ıas 552,92
donde hemos convertido los litros a metros c´ ubicos. d) El volumen de la elipse al final de vertido ser´a de 50 · 103 m3 . Tendremos entonces 4 V = 2 · 10−3 · πab = 2 · 10−3 · · π · a2 = 50 · 103 5 de donde se obtiene, despejando a, a = 3153,9 metros es decir, menos de 5 Kms.. La mancha no llega a la playa.
434
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
B.9. 1.
Examen final de la convocatoria de junio de 2001
a) Hallar el polinomio de Taylor de cuarto grado en torno a x = 0 de la funci´on f (x) = 6 arctan x b) Usar ese polinomio de Taylor para aproximar f ( √13 ) = π. ¿Qu´e error se comete en dicha aproximaci´on? c) El procedimiento descrito es un modo de hallar el n´ umero π con toda la precisi´ on que se desee. Prop´on un m´etodo similar para hallar el n´ umero e con toda la precisi´on que se quiera. Soluci´ on: a) Podemos evaluar f (x) = 6 arctan x ⇒ f (0) = 0 6 ⇒ f 0 (0) = 6 1 + x2 −12x ⇒ f 00 (0) = 0 f 00 (x) = (1 + x2 )2 12 x2 000 f 000 (x) = − + 48 2 3 ⇒ f (0) = −12 (1 + x2 ) (1 + x2 ) 144 x3 iv f iv (x) = x − 288 3 4 ⇒ f (0) = 0 (1 + x2 ) (1 + x2 ) f 0 (x)
=
Por tanto :
12 3 x = 6x − 2x3 3! = 3,0792. El error cometido es π−3,0792 = 6,2393×10−2 . P4 (x) = 6x −
b) P4 ( √13 ) =
√6 −2 13 3 32
c) Sea f (x) = ex . Tenemos entonces f (1) = e. Si aproximamos f (x) por un polinomio, al evaluarlo en x = 1 tendremos un valor aproximado del n´ umero e. 2.
Una ventana tiene forma de rect´angulo rematado por un semic´ırculo. Si el per´ımetro de la ventana es de 10 metros, hallar las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad m´as grande posible de luz. Soluci´ on: Sea a la base del rect´angulo, b la altura. El radio del semic´ırculo ser´a entonces a2 . El per´ımetro de la ventana es P = 2b + a + π Por tanto,
a = 10 2
1 1 b = − a − πa + 5 2 4
B.9. Examen final de la convocatoria de junio de 2001
El ´area de la ventana es A=
435
π ³ a ´2 + ab 2 2
Sustituyendo el valor hallado de b, µ ¶ π ³ a ´2 1 1 1 1 A(a) = + a − a − πa + 5 = − πa2 − a2 + 5a 2 2 2 4 8 2 Para hallar el m´aximo de A(a) buscamos sus puntos cr´ıticos 1 5 A0 (a) = − πa − a + 5 = 0 ⇒ a = 4 1+
π 4
Adem´as,
1 A00 (a) = − π − 1 < 0 4 El extremo es, en efecto, un m´aximo. Las dimensiones de la ventana son a = 20 10 4+π , b = 4+π . 3.
Hallar y clasificar los extremos (m´aximos, m´ınimos y puntos de ensilladura) de la funci´on f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 Soluci´ on: Para hallar los extremos de f (x, y) buscamos sus puntos cr´ıticos: ∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) ∂y
=
6x2 + y 2 + 10x = 0
=
2xy + 2y = 0
De la segunda ecuaci´on obtenemos que, necesariamente, y = 0 ´o x = −1. Si y = 0, entonces de la primera ecuaci´on obtenemos 6x2 + 10x = 0 que lleva a x = 0 ´o x = − 53 . Si x = −1, entonces de la primera ecuaci´on se sigue y 2 − 4 = 0, es decir, y = ±2. Los puntos cr´ıticos son pues (0, 0), (− 53 , 0), (−1, 2), (−1, −2). Para determinar su naturaleza, calculamos la matriz Hessiana: ¶ µ 12x + 10 2y Hf (x, y) = 2y 2x + 2 El determinante de esta matriz es det Hf (x, y) = (12x + 10) (2x + 2) − 4y 2 . Evaluando en cada punto cr´ıtico, (x, y) = (0, 0) ⇒ det Hf (x, y) = 20 > 0, 12 × 0 + 10 = 10 > 0 y entonces (0, 0) es un m´ınimo relativo. ¡ 5¢ (x, y) = (x = − 53 , 0) ⇒ det Hf (x, y) = 40 3 > 0, 12 × − 3 + 10 = −10 < 0 y entonces (− 35 , 0) es un m´aximo relativo.
436
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
(x, y) = (−1, 2) ⇒ det Hf (x, y) = −16 < 0 y entonces (−1, 2) es un punto de silla. (x, y) = (−1, −2) ⇒ det Hf (x, y) = −16 < 0 y entonces (−1, −2) es un punto de silla. 4.
Consid´erese la funci´on
(
f (x, y) =
(x2 +y 2 ) sen(x2 +y 2 ) (x2 +ay 2 +2xy)
en lR2 \(0, 0)
0 en (0, 0)
a) ¿Para qu´e valores de a ser´a la funci´on continua en (0, 0)? ∂f b) Sea a = 1. Calcular ∂f ∂x (1, 0) y ∂y (1, 0) y la derivada direccional de f (x, y) a lo largo de la direcci´on u = √12 (1, −1) en el punto a = (1, 0).
Soluci´ on: a) Para que sea la funci´on continua se ha de cumplir que l´ım
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = f (0, 0) = 0.
Intentemos buscar una mayorante para f . ¯ ¯ ¯ ¯ r2 sen r2 ¯ |f (r cos θ, r sen θ)| = ¯¯ 2 2 2 r (cos θ + a sen θ + 2 sen θ cos θ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯sen r2 ¯ =¯ 2 ¯ cos θ + a sen2 θ + 2 sen θ cos θ ¯ ¯ ¯ ¯ Si el t´ermino ¯ cos2 θ+a sen2 1θ+2 sen θ cos θ ¯ est´a acotado por K, entonces |f (r cos θ ¯ ¯ , r sen θ)| ≤ K ¯sen r2 ¯ ≤ Kr2 →0 y la funci´on ser´a continua. Para que (x,y)→(0,0) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cos2 θ+a sen2 1θ+2 sen θ cos θ ¯ est´e acotado es necesario que cos2 θ+a sen2 θ+2 sen θ cos θ no cambie nunca de signo, es decir, que no tenga ning´ un cero. Los ceros de esta funci´on satisfacen cos2 θ + a sen2 θ + 2 sen θ cos θ = 0 Podemos escribir, dividiendo la ecuaci´on por cos2 θ, 1 + a tan2 θ + 2 tan θ = 0 de donde se deduce
−2 ±
√
4 − 4a = h± 2a Existir´an soluciones reales si y solo si a ≤ 1. Con a > 1 podemos asegurar que la funci´on no cambia de signo y, en consecuencia, f (x, y) es continua en (0, 0). tan θ =
Podemos escribir cos2 θ + a sen2 θ + 2 sen θ cos θ = cos2 θ (tan θ − h+ ) (tan θ − h− )
B.9. Examen final de la convocatoria de junio de 2001
437
Si a ≤ 1, entonces a lo largo de las direcciones θ± = arctan h± podemos tener l´ımites distintos de cero. Nos basta tomar la direcci´on (en polares) £ ¤ r2 = arcsin K cos2 θ (tan θ − h+ ) (tan θ − h− ) para que el l´ımite sea K. b)
¶ (x2 + y 2 ) sen(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 + 2xy) ¡ ¢ 2x sen(x2 + y 2 ) + 2x(x2 + y 2 ) cos(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 + 2xy) = (x2 + y 2 + 2xy)2 ∂f ∂ (x, y) = ∂x ∂x
µ
−(2x + 2y)(x2 + y 2 ) sen(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 + 2xy)2 µ ¶ ∂ (x2 + y 2 ) sen(x2 + y 2 ) ∂f (x, y) = ∂x ∂x (x2 + y 2 + 2xy) ¡ ¢ 2y sen(x2 + y 2 ) + 2y(x2 + y 2 ) cos(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 + 2xy)− = (x2 + y 2 + 2xy)2 −
−
(2x + 2y)(x2 + y 2 ) sen(x2 + y 2 ) (x2 + y 2 + 2xy)2
Entonces, ∂f ∂f (1, 0) = 2 cos 1 , (1, 0) = −2 sen 1 ∂x ∂y La derivada direccional buscada ser´a df ∂f ∂f 1 (1, 0) = (1, 0)u1 + (1, 0)u2 = √ (2 cos 1 + 2 sen 1) du ∂x ∂y 2 5.
Las curvas y = 2x2 , y = 1 + x2 delimitan una regi´on D. Calcular ZZ (ex + y 2 )dxdy D
Soluci´ on: Las dos curvas intersectan cuando 2x2 = 1 + x2 , lo que implica x = ±1. La regi´on resultante es del tipo 1 y est´a delimitada por las curvas y = 2x2 (tapa inferior), y = 1 + x2 (tapa superior). Entonces ZZ
Z x
2
1
ÃZ
1+x2
(e + y )dxdy = D
! x
2
Z
1
(e + y )dy dx = −1
2x2
−1
Ã
¯1+x2 ! y 3 ¯¯ e y+ ¯ dx 3 2x2 x
438
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
µ ¶ (1 + x2 )3 (2x2 )3 ex (1 − x2 ) + − dx 3 3 −1 ¶ Z 1 Z 1µ (1 + x2 )3 (2x2 )3 ex (1 − x2 )dx + − = dx ≡ I1 + I2 3 3 −1 −1 Z
1
=
La primera integral se hace por partes Z
1
I1 = −1
¯1 e (1 − x )dx = e (1 − x )¯−1 + x
2
x
Z
2
Z
1
x
2xe dx = −1
1 2xex |−1
1
−
2ex dx
−1
1
= 2e + 2e−1 − 2ex |−1 = 4e−1 La segunda, despu´es de desarrollar las potencias, directamente ¶ ¶ Z 1µ Z 1µ 16 (2x2 )3 1 7 (1 + x2 )3 − dx = + x2 + x4 − x6 dx = 3 3 3 3 15 −1 −1 La integral buscada es entonces ZZ 16 (ex + y 2 )dxdy = 4e−1 + 15 D
6.
Un bosque tiene forma de c´ırculo de 2 kil´ometros de radio. Los ´arboles no est´an distribuidos homog´eneamente en el c´ırculo y se ha estimado que la densidad de ´arboles se ajusta aproximadamente a la f´ormula d(x, y) = 1+10−60,5 (x2 +y 2 ) (´arboles por m2 ) siendo (x, y) un sistema de coordenadas cartesianas centradas en el centro del c´ırculo. a) Estimar el n´ umero de ´arboles que hay. b) Un incendio reduce el bosque a un c´ırculo de radio 1,5 kil´ometros. ¿Cu´antos ´arboles se habr´an quemado? Soluci´ on: a) La cantidad total de ´arboles vendr´a dada por la f´ormula ZZ ZZ 0,5 N= d(x, y)dxdy = dxdy 1 + 10−6 (x2 + y 2 ) D
D
Dada la geometr´ıa de la regi´on D (un c´ırculo), es recomendable hacer un cambio a coordenadas polares. Por tanto, Z
2π
Z
2000
N= 0
0
0,5r drdθ = 1 + 10−6 r2
Z 0
2000
πr dr 1 + 10−6 r2
¡ ¢¯¯2000 π π = 106 ln 1 + 10−6 r2 ¯ = 106 ln 5 = 2,5281 × 106 ´arboles 2 2 0
B.9. Examen final de la convocatoria de junio de 2001
439
es decir, unos dos millones y medio. b) Se habr´an quemado Z
2π
Z
2000
M= 0
1500
0,5r drdθ = 1 + 10−6 r2
Z
1500
0
πr dr 1 + 10−6 r2
¢¯¯2000 π 6 ¡ 10 ln 1 + 10−6 r2 ¯ 2 1500 π 1+4 = 106 ln = 6,7667 × 105 ´arboles 2 1 + 1,52 =
7.
a) Hallar la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1.-
xy 0 − xy = (1 + x2 )ex
2.-
17 cos(2x) 2 c) Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial: ½ xy 0 = y ln y y(1) = e y 00 + 2y 0 + 5y = −
Soluci´ on: a) 1.- Es una ecuaci´on lineal de primer orden. y(x) = yh (x) + yp (x), donde xyh0 − xyh = 0 ⇒ yh (x) = Kex y yp (x) es una soluci´on particular que buscamos de la forma yp (x) = K(x)ex . Sustituyendo en la EDO, ¶ Z µ 1 0 x 2 x xK (x)e = (1 + x )e ⇒ K(x) = + x dx = ln x + x2 x Por tanto,
¡ ¢ y(x) = Kex + ln x + x2 ex
a) 2.- Es una ecuaci´on lineal de segundo orden y de coeficientes constantes. y(x) = yh (x) + yp (x), donde yh00 + 2yh0 + 5yh = 0 El polinomio caracter´ıstico √asociado a esta EDO es P2 (m) = m2 + 2m + 5, cuyas ra´ıces son m1,2 = −2± 2 4−20 = −1 ± 2i. La soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea ser´a pues yh (x) = C1 e−x cos(2x) + C2 e−x sen(2x)
440
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Buscamos a continuaci´on una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea. Lo m´as sencillo es usar el m´etodo de coeficientes indeterminados y buscar la soluci´ on en la forma yp (x) = A cos(2x) + B sen(2x) de modo que yp0 (x) = −2A sen(2x) + 2B cos(2x) yp00 (x) = −4A cos(2x) − 4B sen(2x) y sustituyendo en la EDO, (−4A cos(2x) − 4B sen(2x)) + 2 (−2A sen(2x) + 2B cos(2x)) +5 (A cos(2x) + B sen(2x)) = −
17 cos(2x) 2
lo que lleva a −4A + 4B + 5A
=
−
−4B − 4A + 5B
=
0
17 2
y, resolviendo el sistema, A = − 12 , B = −2. La soluci´on buscada es y(x) = C1 e−x cos(2x) + C2 e−x sen(2x) −
1 cos(2x) − 2 sen(2x) 2
b) La ecuaci´on propuesta es separable. Podemos escribir Z Z dy dx = ⇒ ln ln y = ln x + C y ln y x que es la soluci´on general en forma impl´ıcita. Para imponer la condici´on inicial, nos damos cuenta de que y ha de valer e cuando x = 1. Sustituyendo, ln ln e = ln 1 + C ⇒ C = 0 Nuestra soluci´on es pues ln ln y = ln x o, equivalentemente, 8.
y = ex
Un taller mec´anico se encuentra en un recinto cerrado de volumen V metros c´ ubicos. Debido a la operaci´on de las m´aquinas, se emiten de forma constante P gramos por minuto de contaminante. Llegado un nivel de k gramos por metro c´ ubico de contaminante, es peligroso permanecer en el taller. Por tanto, se decide
B.9. Examen final de la convocatoria de junio de 2001
441
instalar un sistema de ventilaci´on que permita la entrada de r metros c´ ubicos por minuto de aire puro y extraiga esa misma cantidad de aire contaminado del interior. Hallar el valor m´ınimo que ha de tener r en funci´on de V , P y k para asegurar que el nivel de contaminaci´on no llegue nunca a ser k. Soluci´ on: Nos encontramos ante un problema de mezclas. Llamando Q(t) la cantidad de contaminante que hay en el recinto (medida en gramos). Esta cantidad var´ıa con el tiempo de modo que cont. que entra cont. que sale dQ(t) = − dt unidad de tiempo unidad de tiempo El aporte positivo de contaminante lo de la emisi´on directa que es de P gramos por minuto. El aporte negativo es lo que sale gracias al sistema de ventilaci´on, que ser´a la concentraci´on de contaminante presente por el caudal de salidas, es decir, Q(t) V r gramos por minuto. Entonces Q(t) dQ(t) =P − r dt V La soluci´on general de la EDO es r
Z r
Q(t) = Ke− V t + e− V t
r
r
e V t P dt = Ke− V t +
PV r
El instante inicial es en el que empieza el taller a operar. En ese momento, Q(0) = 0. Entonces, r PV Q(t) = (1 − e− V t ) r El M´aximo de contaminante (y por tanto de concentraci´on) se alcanza cuando t → ∞. PV l´ım Q(t) = t→∞ r Si el m´aximo admitido es k gramos por metro c´ ubico, hemos de imponer ¡PV ¢ P r ≤k⇒r≥ V k El ventilador ha de ser capaz de evacuar P/k metros c´ ubicos de aire por minuto. 9. Determinar a y b sabiendo a b 1−b a 0 1−b Dn = det .. .. . . 0 0 0 0
que: 0 b a .. .
0 ... 0 ... b ... .. .
0 0
0 0
... ...
0 0 0 .. .
0 0 0 .. .
1−b a 0 1−b
0 0 0 .. .
1 = (3n+1 +(−1)n 2n+1 ) 5 b a
442
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Soluci´ on: para n = 1, D1 = a =
1 2 (3 + (−1)1 22 ) = 1 5
para n = 2, D2
=
b2 − b − 6
=
¯ ¯ a b ¯ ¯ 1−b a ½ 0⇒b=
¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯=¯ ¯ ¯ 1−b
¯ 1 b ¯¯ = b2 − b + 1 = (33 + (−1)2 23 ) = 7 ⇒ 1 ¯ 5
3 −2
10. Dadas las aplicaciones lineales f : lR3 → lR5 y g : lR5 → lR4 definidas respectivamente en las bases can´onicas por las matrices: 1 1 2 1 −1 −1 1 0 1 0 1 −1 1 1 0 1 B= A= 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 se pide responder a los siguientes apartados: a) Calcular ker f, Im f, ker g e Im g. b) ¿Es Im f = ker g? c) ¿Es Im g = ker f ? d ) Indicar si g es inyectiva y/o sobreyectiva. Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 40 %, apartado (b) 30 %, apartado (c) 15 %, apartado (d) 15 %. Soluci´ on: a) Las columnas de la matriz A constituyen un sistema generador de Im f. Se estudia si son linealmente independientes: 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 At = 1 0 1 0 0 ∼ 0 −1 1 0 0 . 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 No son linealmente independientes y por lo tanto no constituyen una base de Im f. Extraemos del sistema generador dos vectores linealmente independientes para obtener una base: n¡ ¢t ¡ ¢t o 1 1 0 0 0 , 0 −1 1 0 0 Base de Im f : ,
B.9. Examen final de la convocatoria de junio de 2001
443
dim( Im f ) = 2 Visto el resultado anterior la dimensi´on 1 1 2 1 0 1 ker f = x ∈lR3 0 1 1 0 0 0 0 0 0
del n´ ucleo debe ser 1, en efecto: 0 0 x1 x2 = 0 , 0 x3 0
y resolviendo el sistema: x1 = −α n¡ x2 = −α ⇒ Base de ker f = −1 x3 = α Operando igual con la aplicaci´on 1 −1 0 −1 1 0 t −1 1 0 B = 1 0 1 0 1 1
Base de Im g
:
dim( Im g) =
n¡
1
−1
0
−1 1
¢t o
g: 0 0 0 0 1
0
∼
¢t ¡ , 0
1 0 0 0 0
1
−1 1 0 0 0
0 1 0 0 0
1
0
0 0 1 0 0
.
¢t ¡ , 0 0
0
1
¢t o
,
3
Como dim(Im g) + dim(ker g) = 5 entonces dim(ker g) = 2 : x1 1 −1 −1 1 0 x2 −1 1 1 0 1 x3 = ker g = x ∈lR5 0 0 0 1 1 x4 0 0 0 0 1 x5 x1 = λ + µ x2 = λ n¡ x3 = µ 1 ⇒ Base de ker g = x = 0 4 x5 = 0
1
0
0
0
0 0 0 0
¢t ¡ , 1 0
1
0
b) Im f y ker g son dos subespacios de dimensi´on 2 de lR5 , si se demuestra que los vectores de una de las dos bases son combinaci´on lineal de los de
0
¢t o
444
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
la otra se habr´a comprobado 1 1 0 0 0 −1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0
que los dos subespacios son iguales: 0 1 1 0 0 0 0 ∼ 0 −1 1 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
y por lo tanto Im f = ker g. c) Im g es una subespacio de dimensi´on 3 de lR4 y no puede ser igual a ker f que es un subespacio de dimensi´on 1 de lR3 . d ) g no es inyectiva porque dim(ker g) 6= 0. Tampoco es sobreyectiva porque dim(Im g) 6= dim(lR4 ). 11 Hallar una base ortonormal del espacio eucl´ıdeo E, formado por el espacio vectorial lR3 y el producto escalar x · y = x1 y1 − x1 y3 − x3 y1 + 2x2 y2 + x3 y2 + x2 y3 + 3x3 y3
{ei } .
Soluci´ on: La matriz de Gram del producto escalar es: 1 0 −1 1 . G= 0 2 −1 1 3 Los vectores e1 y e2 son ortogonales puesto que e1 · e2 = 0 al ser nulos los t´erminos (1, 2) y (2, 1) de la matriz de Gram, por ello: c1
=
c2
=
c3
=
z3
=
e3 · c1
=
e3 · c2
=
kz2 k
=
e1 / ke1 k = e1 = (1, 0, 0)t{ei } √ 1 e2 / ke2 k = e2 / 2 = √ (0, 1, 0)t{ei } 2 √ √ 2 2 z3 / kz3 k = √ (e3 + e1 − 1/2e2 ) = √ (1, −1/2, 1)t{ei } 3 3 e3 − (e3 · c1 )c1 − (e3 · c2 )c2 = e3 + e1 − 1/2e2 1 ¡ ¢ 0 0 1 G 0 = −1 0 1 ¢ 1 ¡ 1 √ 0 0 1 G 0 = √ 2 2 0 1 0 −1 1 ¢ ¡ 3 1 −1/2 1 0 2 1 −1/2 = 2 −1 1 3 1
B.9. Examen final de la convocatoria de junio de 2001
445
12 Sea A una matriz cuadrada de dimensi´on dos con valores propios λ1 = 3 y λ2 = 1/3, y vectores propios respectivos v1 = (1, 1)t y v2 = (−1, 1)t . Dada la ecuaci´on en diferencias xk+1 = Axk , se pide: a) Obtener una f´ormula que proporcione xk en funci´on de x0 y k. b) Calcular x1 y x8 , sabiendo que x0 = (9, 1)t . Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 50 %, apartado (b) 50 %. Soluci´ on: a) µ A es una matriz diagonalizable y por lo tanto existe una matriz D = ¶ 3 0 tal que: 0 1/3 D = P −1 AP, o, despejando, A = P DP −1 en donde:
µ P =
1 1
−1 1
¶
Sustituyendo A por D en xk+1 = Axk se obtiene: xk+1 = Axk = P DP −1 xk y, entonces, xk
= =
¡ ¢k P DP −1 x0 = P Dk P −1 x0 ¶µ k ¶µ 1 µ 3 0 1 −1 2 1 1 − 12 0 (1/3)k
1 2 1 2
¶µ
x01 x02
¶ .
Finalmente se expresa la f´ormula pedida componente a componente: ³ ¡ ¢k ´ 0 ³ 1 k 1 ¡ 1 ¢k ´ 0 x1 + 2 3 − 2 3 x2 xk1 = 21 3k + 12 13 ³ ¡ ¢ ´ 0 ³ 1 k 1 ¡ 1 ¢k ´ 0 1 k 1 1 k k x2 = 2 3 − 2 3 x1 + 2 3 + 2 3 x2 b) En el caso particular en que x0 = (9, 1)t , calculamos x1 y x8 : ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¡ ¢¢ x11 = ¡ 21 3 + 12 ¡ 13 ¢¢ 9 + ¡ 12 3 − 12 ¡ 13 ¢¢ 1 = 49 3 x12 = 12 3 − 12 13 9 + 12 3 + 12 13 1 = 41 3 ³
³ ¡ 1 ¢8 ´ 1 8 3 ´ 9 + ³23 − ¡ ¢ 8 x82 = 21 38 − 12 13 9 + 21 38 +
x81 =
1 8 3 ³2
+
1 2
¡ 1 ¢8 ´ 1= 3 ¡ ¢ ´ 1 1 8 1= 2 3 1 2
215233609 6561 215233609 6561
446
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
B.10. 1.
Examen final de la convocatoria de septiembre de 2001
a) Hallar los polinomios de Taylor de segundo grado en torno a x = 0 de las funciones √ f (x) = ex − 1 + 2x g(x) = sen x2 b) Usar esos polinomios de Taylor para hallar el l´ımite √ ex − 1 + 2x x→0 sen x2 l´ım
Soluci´ on: a) f (x) = f 0 (x) = f 00 (x) =
ex −
√
1 + 2x → f (0) = 0 1 ex − √ → f 0 (0) = 0 1 + 2x 1 00 ex + 3 → f (0) = 2 (1 + 2x) 2
Por tanto, el polinomio de Taylor para f (x) es P2 (x) =
2 2 x = x2 2!
Por otra parte, g(x) = sen x2 → g(0) = 0 g 0 (x) = 2x cos x2 → g 0 (0) = 0 g 00 (x) = 2 cos x2 − 4x2 sen x2 → g 00 (0) = 2 y entonces, el polinomio para g(x) es Q2 (x) = b)
2 2 x = x2 2!
√ 1+ ex − 1 + 2x x2 + O(x3 ) l´ım = l´ ım = l´ım x→0 x→0 x2 + O(x3 ) x→0 1 + sen x2
O(x3 ) x2 O(x3 ) x2
=1
B.10. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2001
2.
447
La pantalla de un cine tiene una altura h y se sit´ ua verticalmente a una distancia d de la tarima que se encuentra justo en la l´ınea visual del p´ ublico. ¿A qu´e distancia hemos de situarnos del plano vertical que contiene a la pantalla para ver mejor la pel´ıcula? Soluci´ on: Sea x la distancia que separa al observador del plano vertical de la pantalla y sea α el ´angulo que forman la l´ınea que une los ojos del observador con la parte inferior de la pantalla con la l´ınea que une los ojos del observador con la parte superior de la pantalla. Sea β el ´angulo que forma la l´ınea que une los ojos del observador con la l´ınea que une parte inferior de la pantalla con la tarima. Entonces, tan β
=
tan(α + β) =
d x d+h x
Se trata de hallar el valor de x que hace α m´aximo. De la segunda ecuaci´on se tiene µ ¶ d+h α = −β + arctan x y usando la primera ecuaci´on se obtiene µ ¶ µ ¶ d d+h α(x) = − arctan + arctan x x Busquemos el punto cr´ıtico de α(x): d+h d dα(x) x2 x2 = ¢2 = 0 ¡ d ¢2 − ¡ dx 1+ x 1 + d+h x
Operando se tiene ³ ´ ¡ ¢ 2 d x2 + (d + h) − (d + h) x2 + d2 = 0 o, simplificando, −x2 + d (d + h) = 0 con soluci´on x=
p
d (d + h)
Es claro que α(x) tiende a cero cuando x → 0 y cuando x → ∞. Nuestro punto cr´ıtico es, pues, un m´aximo. 3.
Sea f (x, y) = x3 − 4x2 y + y 2
448
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
a) Hallar el gradiente de f . b) Determinar la derivada direccional de f en el punto (0, −1) a lo largo de la direcci´on u = ( 53 , 45 ). Soluci´ on: a) b)
4.
− → ∇ f = (3x2 − 8xy, −4x2 + 2y) df 3 4 8 − → (0, −1) = ∇ f (0, 1) · u = (0, −2) · ( , ) = − du 5 5 5
Hallar los extremos relativos (m´aximos, m´ınimos y puntos de ensilladura) de la funci´on f (x, y) = 10x2 y − 5x2 − 4y 2 − x4 Soluci´ on: Busquemos los puntos cr´ıticos: ∂f ∂x ∂f ∂x
= 20xy − 10x − 4x3 = 0 = 10x2 − 8y = 0
De la segunda ecuaci´on se obtiene y = 54 x2 , que insertado en la primera resulta en la ecuaci´on 25x3 − 10x − 4x3 = x(21x2 − 10) q 21 con soluciones x = 0, ± 21 an y = 0, 21 10 . Los respectivos valores de y ser´ 8 , 8 . q q 21 21 21 Los puntos cr´ıticos son pues (0, 0), ( 21 10 , 8 ), (− 10 , 8 ). Para determinar la naturaleza de los puntos cr´ıticos calculamos la matriz Hessiana: µ ¶ 20y − 10 − 12x2 20x Hf (x, y) = 20x −8 En (0, 0) se tiene det Hf (0, 0) = 80 > 0. Como el elemento 1, 1 de la matriz vale −10 en (0, 0), podemos concluir que hay un m´aximo relativo. q q 21 21 21 4892 , ) se tiene det H ( En ( 21 f 10 8 10 , 8 ) = − 5 < 0 lo que implica que este es un punto de ensilladura. q q 21 21 21 4892 En (− 21 , ) se tiene det H (− f 10 8 10 , 8 ) = − 5 < 0 lo que implica que este es un punto de ensilladura. 5.
Las curvas y = 1 − x2 , y = 2x2 delimitan una regi´on D. Calcular ZZ (x + y 2 )dxdy D
B.10. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2001
449
Soluci´ on: Las dos curvas se cruzan en los puntos (x, y) tales que 1 − x2 = 2x2 √ es decir, con coordenadas x = ± 13 3. Como la par´abola y = 2x2 est´a por debajo √ ¢ ¡ √ de la par´abola y = 1 − x2 para x ∈ − 13 3, 13 3 , nuestra regi´on es del tipo 1 y la integral se puede evaluar seg´ un la f´ormula: ! 2 ZZ Z 1 √ ÃZ 3
(x + y 2 )dxdy =
I= D
Z
√ 1 3 3
y3 ( xy + √ 3 − 13 3
¸1−x2
Z
1 3
)dx =
√ 3
− 13
2x2
3
√ − 13 3
√ 3
1−x
(x + y 2 )dy dx
2x2
(x(1 − x2 ) +
¡ ¢3 1 − x2 8x6 − 2x3 − )dx 3 3
¢3 ¡ Expandiendo la potencia 1 − x2 y calculando las integrales (son todos los t´erminos potencias de x) se llega a µ ¶¸ 13 √3 3 4 1 2 3 7 1 5 1 3 1 16 √ I= − x + x − x + x − x + x = 3 √ 4 2 7 5 3 3 105 −1 3 3
6.
Hallar
ZZ p
1 + (x2 + y 2 )2 xydxdy
D
siendo D un c´ırculo de radio unidad centrado en el origen. Soluci´ on: Dado que el dominio es sim´etrico con respecto al eje x y la funci´on a integrar es antisim´etrica en y, podemos concluir inmediatamente que la integral ha de ser cero. No obstante, hagamos el c´alculo. Es conveniente hacer el cambio a polares y escribir nuestra integral como Z 2π Z 1 p I= 1 + (r2 )2 r cos θr sen θrdrdθ θ=0
r=0
Z
Z
Simplificando,
2π
1
I= θ=0
p
1 + r4 r3 cos θ sen θdrdθ
r=0
La integraci´on en θ se puede hacer de varios modos. Uno es usar la f´ormula del seno de ´angulo doble para concluir Z Z Z ³ ´ 1 2π 1 p 1 1 p 2π 3 4 I= 1 + r r sen(2θ)drdθ = − 1 + r4 r3 cos(2θ)]0 dr = 0 2 θ=0 r=0 4 r=0 2π
ya que cos(2θ)]0 = cos(4π) − cos 0 = 0.
450
7.
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
a) Hallar la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1.-
1+x dy = dx xy
2.-
dy x 3x − y= dx 1 + x2 1 + x2 b) Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial: 00 y + 3y 0 + 2y = e3x y(0) = 1 y 0 (0) = 0 Soluci´ on: a) 1.- Esta ecuaci´on es separable: 1+x dx x
ydy =
Integrando ambos lados se obtiene Z Z y2 1+x dx → = ln |x| + x + C ydy = x 2 o, en forma expl´ıcita,
p y = ± 2 ln |x| + 2x + 2C
2.- Esta ecuaci´on es tanto lineal, como separable. Usemos el hecho de que es lineal: podemos escribir y(x) = yp (x) + yh (x) con dyh x − yh = 0 dx 1 + x2 es decir,
dyh x = dx yh 1 + x2
que tras integraci´on lleva a Z Z dyh x 1 = dx → ln yh = ln(1 + x2 ) + K 2 yh 1+x 2 es decir, 1
2
yh (x) = e 2 ln(1+x
)+K
=C
p
1 + x2
√ Busquemos ahora yp (x) por variaci´on de constantes. Sea yp (x) = C(x) 1 + x2 . Sustituyendo en la ecuaci´on, p 3x C 0 (x) 1 + x2 = 1 + x2
B.10. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2001
que lleva a
Z
3x
C(x) =
(1 + x2 )
3 2
451
¡ ¢− 1 dx = −3 1 + x2 2
La soluci´on general ser´a pues y(x) = C
p
1 + x2 − 3
b) La ecuaci´on es lineal y podemos escribir y(x) = yp (x) + yh (x) con yh00 + 3yh0 + 2yh = 0 El polinomio caracter´ıstico es r2 + 3r + 2 √
con ra´ıces r1,2 = −3±2 9−8 = −2, −1. La soluci´on general del problema homog´eneo ser´a pues yh (x) = C1 e−2x + C2 e−x La soluci´on particular la buscamos por coeficientes indeterminados. Sea yp (x) = Ae3x . Sustituyendo se tiene (9A + 9A + 2A) e3x = e3x que lleva a A =
1 20 .
La soluci´on general ser´a y(x) = C1 e−2x + C2 e−x +
1 3x e 20
Imponemos a continuaci´on las dos condiciones iniciales que llevan a las relaciones: 1 20 3 −2C1 − C2 + 20 C1 + C2 +
=
1
=
0
con soluci´on C1 = − 45 , C2 = 74 . La soluci´on buscada es por tanto 4 7 1 y(x) = − e−2x + e−x + e3x 5 4 20 8.
La poblaci´on de una cierta especie de peces en una regi´on del oc´eano est´a modelada por la ecuaci´on diferencial log´ıstica µ ¶ dP P = 0,08P 1 − dt 1000
452
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
donde P son los miles de unidades de peces que hay y el tiempo viene dado en meses. a) Si la poblaci´on inicial es P (0) = 500, ¿cu´antos peces habr´a al cabo de 20 meses? b) En ese instante se comienza a pescar esa especie a un ritmo de c miles de peces por mes. Escribe la ecuaci´on diferencial que modelar´ıa la evoluci´on en la poblaci´on. c) Hallar el valor de c por encima del cu´al la poblaci´on tender´ıa a la extinci´on. Soluci´ on: a) Debemos resolver la ecuaci´on diferencial con dato inicial P (0) = 500. La ecuaci´on es separable: dP ¡ ¢ = 0,08dt P P 1 − 1000 Integrando,
Z
dP ¡ ¢= P P 1 − 1000
Z 0,08dt
que lleva a ln P − ln |−1000 + P | = 0,08t + C Imponiendo la condici´on inicial se deduce C=0 Por tanto, ln
P = 0,08t 1000 − P
de donde se deduce P (t) =
1000e0,08t e0,08t + 1
A los 20 meses, P (20) =
1000e1,6 = 832,02 miles de peces e1,6 + 1
b) La ecuaci´on que modela este caso ser´ıa µ ¶ dP P = 0,08P 1 − −c dt 1000 donde c es la cantidad de peces que desaparecen por mes al ser pescados. c) La poblaci´on permanecer´a estacionaria si dP dt = 0 para todo tiempo. Eso ocurre si P y c son tales que µ ¶ P 0,08P 1 − −c=0 1000
B.10. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2001
453
Como en nuestro ejemplo se tiene P = 832,02, el valor de c tal que la poblaci´on permanece constante ser´ıa µ ¶ 832,02 c = 0,08 × 832,02 1 − = 11,181 miles de peces por mes. 1000 ¡ ¢ P Cualquier valor superior de c har´a que 0,08P 1 − 1000 −c < 0 para todo P > 0, con lo cual la poblaci´on terminar´a desapareciendo. 9. Expresar los siguientes n´ umeros complejos en forma m´odulo - argumental ¡ √ ¢2 1 + −3 . √ 1+i 3 √ . b) 1−i 3 c) Las seis ra´ıces sextas de 64.
a)
Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 30 %, apartado (b) 30 %, apartado (c) 40 %. Soluci´ on: ´2 √ ¡ √ ¢2 ³ −3 = 1 + 3i = (2) π , 1 + −3 = (2) π = (4) 2π . 3 3 3 √ (2) 1+i 3 π/3 √ = b) = (1)2π/3 . (2)−π/3 1−i 3 p c) zk = 6 (64)0 = (2)0+2kπ/6 , k = 0, 1, 2, . . . , 5,
a) 1 +
√
z0 = (2)0 z1 = (2)0+π/3 = (2)π/3 , z2 = (2)0+2π/3 = (2)2π/3 , z3 = (2)0+3π/3 = (2)π , z4 = (2)0+4π/3 = (2)−2π/3 , z5 = (2)0+5π/3 = (2)−π/3 . 10. Dados los vectores de lR3 a = (1, 2, 3)t{ei } , u1 = (3, 1, 2)t{ei } , u2 = (2, 1, 2)t{ei } y u3 = (1, 1, 0)t{ei } , se pide: a) Obtener las coordenadas de a respecto de la base {u1 , u2 , u3 }. b) Hallar las coordenadas de a respecto de la base {v1 = u1 + u2 + u3 , v2 = u1 − u2 , v3 = u1 }.
454
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
Nota: la valoraci´on de cada apartado en la calificaci´on global del ejercicio es la siguiente: apartado (a) 50 %, apartado (b) 50 %. Soluci´ on:
3 2 a) (a){ui } = 1 1 2 2 5 −2 = 4 1 2
1 b) (a){vi } = 1 1 1
−1 1 1 1 −1 1 2 = −1 1 0 3 0 1
−1 5 −2 1 1 0 −1 0 4 = 0 1 0 0 1 2
0 −1 1
− 12 1 1 2 3 − 12
5 −2 1 1 4 1 −2 2
2
= − 72 1 2
11. Sup´ongase que un endomorfismo, f, tiene dos vectores propios, v y w, asociados, respectivamente a los valores propios λ y µ con λ 6= µ. Si av+bw es un vector propio de f se pide demostrar que necesariamente a = 0 ´o b = 0. Soluci´ on: por ser av + bw un vector propio de f : f (av + bw) = α(av + bw) = αav + αbw,
(B.12)
en donde α es el valor propio asociado a av + bw. Por ser f lineal y v y w vectores propios de f : f (av + bw) = aλv + bµw.
(B.13)
De las ecuaciones (B.12) y (B.13) se deduce: a(λ − α)v+b(µ − α)w = 0, como v y w son dos vectores asociados a vectores propios distintos, deben ser, necesariamente, linealmente independientes, por lo que la igualdad implica: a(λ − α) = 0 y b(µ − α) = 0 de donde se deduce que a = 0 ´o b = 0 puesto que es imposible que se puedan anular a la vez λ − α y µ − α al ser λ distinto de µ.
B.10. Examen final de la convocatoria de septiembre de 2001
12 La funci´on y, dependiente de x, est´a definida por la ecuaci´on arctan xy = dy Se pide calcular dx , expresando el resultado en funci´on de x e y.
455 1 2
¡ ¢ ln x2 + y 2 .
Soluci´ on: derivando y aplicando la regla de la cadena en ambos lados de la ecuaci´ on: 1 y0 x − y 1 1 = (2x + 2yy 0 ) 2 2 y2 2 (x + y 2 ) 1+ 2 x x
1 1 (y 0 x − y) = 2 (x + yy 0 ) 2 2 (x + y ) (x + y 2 ) y 0 (x − y) = x + y finalmente, despejando y 0 se obtiene el resultado pedido: dy x+y = y0 = dx x−y
456
Ex´ amenes propuestos en la Universidad Rey Juan Carlos
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´Indice alfab´ etico Adjunto, 50 ´ Angulo de dos planos, 139 de dos rectas, 139 de dos vectores, 108 de recta y plano, 139 Antecedente, 84 Aplicaci´on, 83 Aplicaci´on biyectiva, 92 inyectiva, 91 lineal, 84 sobreyectiva, 92 ´ Area de un dominio plano, 251 de una superficie, 270 Argumento principal, 364 As´ıntota horizontal, 188 oblicua, 188 vertical, 188 Automorfismo, 92 Autovalor, 122 Autovector, 122
Cambio de variable, 252 Cambio de variables, 257 Campo escalar, 264 vectorial, 263 Centro, 316 Centro de masas, 259 Circulaci´on, 267 Cociente de dos complejos, 367 Combinaci´on lineal, 34 Complemento ortogonal, 111 C´oncava, 187 Condici´on de Riemann, 237 Conjugado de un n´ umero complejo, 368 Conjunto fundamental, 312 origen, 84 Convexa, 187 Coordenadas afines de un punto, 132 de un vector, 67 Criterio de Lebesgue, 237 Curva simple cerrada, 267
Base, 66 Base can´onica, 78, 93 ortogonal, 109 ortonormal, 109, 111
Dependencia lineal, 34 Derivada, 174 Derivada k-´esima, 182 de la funci´on inversa, 178 direccional, 202 impl´ıcita, 180 lateral, 174 material, 223
Cabecera de la fila, 26 Cambio de base, 93, 106 Cambio de referencia af´ın, 132 463
464
param´etrica , 180 parcial, 202 parcial de orden n, 210 sustancial, 223 Descenso, 160 Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 107 triangular, 107 Determinante, 49, 50 Diagonalizable por semejanza, 125 Diagonalizaci´on, 151 Diferencial, 204 Diferencial de funci´on compuesta, 219 Diferencias divididas, 322, 323 Dimensi´on, 68 Distancia, 107 Distancia de un punto a un plano, 140 de un punto a una recta, 139 entre dos puntos, 139 entre dos rectas, 141 Divergencia, 265 Dominio de integraci´on tipo 1, 249 tipo 2, 249 tipo 3, 249 Dominio de una funci´on, 164 Ecuaci´on caracter´ıstica, 124 diferencial, 276 diferencial de tipo homog´eneo, 281 de variables separadas, 280 en derivadas parciales, 276 exacta, 283 homog´enea, 277 lineal, 277 lineal de coeficientes ctes. , 290 lineal homog´enea, 289 lineal no homog´enea, 289 ordinaria, 276 vectorial, 310
´INDICE ALFABETICO ´
lineal, 19, 20 no lineal, 20 Ecuaciones impl´ıcitas, 73 Ecuaciones param´etricas, 73 Endomorfismo, 84, 121 Endomorfismo diagonalizable, 125 Error de interpolaci´on, 321 de redondeo, 145 Espacio af´ın eucl´ıdeo, 131 de direcci´on, 131 eucl´ıdeo, 104 m´etrico completo, 350 vectorial, 61 Euler m´etodo de, 333 Extremos absolutos, 185 relativos, 185 Factor integrante, 285 Factorizaci´on LU, 154 Flujo, 270 Foco, 316 Foco inestable, 316 Forma diferencial de una e.d.o., 279 impl´ıcita de una e.d.o., 279 normal de una e.d.o., 279 F´ormula de Newton, 322 de Simpson, 331 del paralelogramo, 107 del punto medio, 329 del rect´angulo, 328 del trapecio, 329 F´ormulas de Newton-Cotes, 330 Funci´on, 164 Funci´on c´oncava, 187
´INDICE ALFABETICO ´
continua, 173 continua de varias variables, 201 convexa, 187 de clase k, 182, 210 derivable, 175 diferenciable, 204 inversa, 165, 178 lineal, 19 vectorial, 218 Gradiente, 204, 264 Grado de una EDOs, 277 Gr´afica, 187 Homomorfismo, 84 Imagen, 83, 87 Incrementos finitos (Teorema de), 181 ´Indice libre, 23 ´Indice mudo, 23 Inflexi´on, 187 Integraci´on cambio de variable, 239 por partes, 240 Integral curvil´ınea, 266 de Riemann, 234 de superficie, 269 doble, 248 triple, 253 Integral definida, 234 Interpolaci´on de Lagrange, 319 Inverso de un no complejo, 367 Isomorfismo, 92 Jacobiano, 219, 257 Laplaciano, 266 Ley de acci´on de masas, 295 de desintegraci´on radiactiva, 295 log´ıstica, 296 L´ımite, 166 L´ımite
465
direccional, 199 doble, 199 indeterminado, 172 lateral, 169 radial, 199 reiterado, 199 Linealmente dependiente, 34 independiente, 34 Mac-Laurin (polinomio de), 183 Matrices congruentes, 106 iguales, 36 producto de, 37 producto de propiedades, 38 semejantes, 94 simplificables, 39 suma de, 37 suma de propiedades, 37 Matriz, 23 Matriz ampliada, 23, 24 antisim´etrica, 38 columna, 38 cuadrada, 38 de cambio de base, 70 de coeficientes, 23 de Gram, 105 de la aplicaci´on lineal, 85 diagonal, 38 diagonalizable por semejanza, 125 escalonada, 26 escalonada reducida, 27 fila, 38 Hessiana, 213 inversa, 39 jacobiana, 219 nula, 37 opuesta, 37 sim´etrica, 38
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singular, 41 traspuesta, 38 triangular inferior, 38, 153 triangular superior, 38, 153 unidad, 38 M´aximo absoluto, 185, 216 relativo, 184, 213 Menor, 49 M´etodo de aproximaciones sucesivas, 352 de Cramer, 145 de descenso, 158 de Euler, 333 de Gauss, 28, 147 de Gauss - Jordan, 28 de Gauss-Jordan, 151 de Gram - Schmidt, 111 de los coef. indeterminados, 293 de Newton, 353 de Newton-Raphson, 353 de Runge-Kutta, 335 de variaci´on de constantes, 292 LU, 153, 159 Mezclas, 298 M´ınimo absoluto, 185, 216 relativo, 184, 214 Momento de inercia, 260 Multiplicidad algebraica, 125 geom´etrica, 125 Newton f´ormula de, 322 m´etodo de, 353 Nodo estable, 316 inestable, 316 Norma, 106 N´ ucleo, 87 N´ umero complejo, 361 Operaciones elementales
´INDICE ALFABETICO ´
sobre ecuaciones lineales, 24 sobre filas de una matriz, 24 sobre un conjunto de vectores, 35 Orden de una reacci´on qu´ımica, 295 Orden de una EDOs, 277 Partici´on, 246 Partici´on tama˜ no de, 246 Pies de la perpendicular com´ un, 141 Pivote, 28, 147, 151, 159 Pivote parcial, 148 Plano, 134 Plano ecuaci´on impl´ıcita, 134 ecuaciones param´etricas, 134 vector caracter´ıstico, 135 Polinomio caracter´ıstico, 124, 290 de base, 320 de Mac-Laurin, 183 de Taylor, 183 interpolador, 320 Polinomio de Taylor, 212 Polinomios, 62 Potenciaci´on de un no complejo, 368 Primitiva, 234 Principio de superposici´on, 86 Problema de valor inicial, 278, 279 Producto de complejos, 362 Producto escalar, 104 Producto mixto, 114 Producto vectorial, 113 Proyecci´on ortogonal, 111 Punto cr´ıtico, 186, 215 de inflexi´on, 187 de silla, 214 Punto de ensilladura, 316 Puntos
´INDICE ALFABETICO ´
afinmente dependientes, 133 afinmente independientes, 133 Radicaci´on compleja, 369 Rango, 87 Rango de un conjunto de puntos, 133 de un conjunto de vectores, 35 de una matriz, 36 Recta, 133 Recta ecuaciones impl´ıcitas, 133 ecuaciones param´etricas, 133 Referencia Af´ın, 132 Regla del punto medio, 334 Regla de L’Hˆopital, 182 Regla de la cadena, 178, 219 Remonte, 26, 147, 152, 160 Representaci´on de complejos en forma trigonom´etrica, 364 m´ odulo-argumental, 363 par ordenado, 363 Riemann condici´on de, 237 suma de, 235 Riemann (integral de), 234 Rolle (Teorema de), 181 Rotacional, 265 Rouch´e (Teorema de), 36 Runge-Kutta m´etodo de, 335 Schwarz (Teorema de), 210 Sistema compatible, 20 compatible determinado, 20 indeterminado , 20 de e.d.o. con coeficientes ctes., 314 de e.d.o. homog´eneo, 310 de e.d.o. lineales, 309 de e.d.o. no homog´eneo, 313 de ecuaciones lineales, 20
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depredador-presa, 299 escalonado, 27 escalonado reducido, 27 fundamental, 289 generador, 65 homog´eneo, 32 incompatible, 20 Soluci´on de una e.d.o., 278 general de una e.d.o., 278 particular de una e.d.o., 278 singular de una e.d.o., 278 Soporte de la interpolaci´on, 320 Subespacio, 63 Subespacio de direcci´on, 132 generado, 65 ortogonal, 110 propio, 122 Subespacios independientes, 75 intersecci´on, 64 ortogonales, 110 suma directa, 75 uni´on, 64 Submatriz, 49 Sucesi´on de Cauchy, 350 Suma de complejos, 362 Suma de Riemann, 235 Tabla de Frasser y Logenze, 323 Taylor f´ormula de, 183, 212 polinomio de, 183, 212 Teorema de Fubini, 248 de Green, 268 de la divergencia (o de Gauss), 271 de la proyecci´on, 111 de Pit´agoras, 109 del rotacional (o de Stokes), 271 fundamental del c´alculo, 237 T´ermino independiente, 277
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Transporte de contaminantes, 221 Traza de una matriz, 38 Triangularizaci´on, 147 Valor medio de una funci´on, 258 Valor propio, 122 Variables cartesianas, 252, 258 cil´ındricas, 258 esf´ericas, 258 polares, 252 Variedad lineal, 132 Vector, 32, 62 Vector de t´erminos independientes, 23 gradiente, 204 normal, 271 propio, 122 unitario, 107 Vectores ortogonales, 108 Wronskiano, 289, 312
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