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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL – FACULTAD REGIONAL ROSARIO INTEGRACIÓN IV
Ejemplo de Modelado de Equipos de una Planta en Estado Dinámico
Sea el diagrama de flujo de la figura. Luego de nombrar las variables restantes, se desea plantear un modelo en estado dinámico que lo represente, y proponer una estrategia de resolución.
UTN – Facultad Regional Rosario Cátedra: Integración IV – Versión 2009
Hipótesis: A) Reactor • Reacción reversible exotérmica.
A+ B ↔ C •
La cinética con A como base:
−rA = K D * C A * CB − K I * CC •
Reactor Mezcla completa. La camisa de refrigeración también se considera mezcla completa.
•
Los coeficientes cinéticos son conocidos ya que son función de la temperatura (funcional tipo Arrhenius).
•
Hola up de vapor despreciable. Evaporación del líquido despreciable.
•
Presión en el cuerpo de vapor del reactor es conocida (PR10)
•
UA es dato
•
Tanque cilíndrico de área AT.
•
C=[moles/lt]; ρ: densidad molar
•
La densidad del líquido en el reactor se comporta de acuerdo a un estado pseudoestacionario. Esto permite considerarla “independiente del tiempo”, siguiendo la dinámica de las variables diferenciales
•
Caída de presión a través de la camisa nula
B) Válvulas de control Asúmase el flujo a través de las válvulas como:
Q = Cv
(Pe − Ps ) ρf
Siendo Pe la presión de entrada y Ps la de salida, ρf la densidad del fluido. La conductividad Cvi (con i de 1 a 4) depende de la ley de control:
C vi = α i AC i Siendo ACi la acción total de control de la válvula i: ACi = APi + AI i + ADi + A0i
Siendo APi la acción proporcional del controlador i, AIi la acción integral y ADi la acción derivativa. A0 es constante. Todos los parámetros de los controladores son conocidos. Sandra Godoy, Néstor Rodríguez, Nicolás Scenna.
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Q es caudal volumétrico. C) Flash • No se producen reacciones químicas •
Adiabático
•
Opera en equilibrio L-V
•
La presión de descarga de la corriente de vapor es conocida y constante
•
La densidad del líquido se comporta de acuerdo a un estado pseudoestacionario. Esto permite considerarla “independiente del tiempo”, siguiendo la dinámica de las variables diferenciales
D) Intercambiador de calor • (UA) conocido y constante •
No se considera cambio de fase ni reacción química en ninguna de sus corrientes
•
Asumir estado pseudoestacionario
•
Caída de presión nula
Modelado del sistema: Se obtendrán las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones algebraicas complementarias. Recordar que luego el sistema debe resolverse en forma simultánea.
Reactor
A+ B ↔ C
(− rA ) = k D × C A × C B − k I × CC Balance de Materia:
dM R1 = F0 + F6 − F1 − (− rA ) × VR1 dt
ρ F1 ×
dVR1 = F0 + F6 − F1 − (− rA ) × VR1 dt
ρ F 1 × AR1 × dhR1 dt
= F0 + F6 − F1 − (− rA ) × VR1
dhR1 F0 + F6 − F1 − (− rA )× AR1 × hR1 = dt ρ F 1 × AR1 Sandra Godoy, Néstor Rodríguez, Nicolás Scenna.
(I)
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Balance de Materia por Componentes: •
Componente A:
(
d VR1 × C FA 1
0
dt
AR1 ×
)= F ×x
(
d hR1 × C FA 1 dt
(
d hR1 × C FA 1 dt
F0 A
+ F6 × x AF 6 − F1 × x AF 1 − (− rA ) × VR1
)= F ×x 0
)= F ×x 0
F0 A
F0 A
+ F6 × x AF 6 − F1 × x AF 1 − (− rA ) × VR1
+ F6 × x AF 6 − F1 × x AF 1 − (− rA ) × VR1 AR1
dC A dh F × x F 0 + F6 × x AF 6 − F1 × x AF 1 − (− rA )× VR1 = 0 A C A × R1 + hR1 × dt dt AR1 F1
F1
hR1 × dC AF 1 dt
•
dC AF 1 dt
F1 F0 × x AF 0 + F6 × x AF 6 − F1 × x AF 1 − (− rA )× VR1 C A × dhR1 = − AR1 dt
F × x F 0 + F6 × x AF 6 − F1 × x AF 1 − (− rA )× VR1 F + F6 − F1 − (− rA )× VR1 hR1 = 0 A − C AF 1 × 0 AR1 ρ F 1 × AR1
Para los tres componentes, por semejanza:
F0 × x AF 0 + F6 × x AF 6 − F1 × x AF 1 − (− rA ) × AR1 × hR1 F + F6 − F1 − (− rA ) × AR1 × hR1 − C AF 1 × 0 F1 ρ F 1 × AR1 AR1 dC A = dt hR1 F0 × x BF 0 + F6 × x BF 6 − F1 × x BF 1 − (− rA ) × AR1 × hR1 F 1 F0 + F6 − F1 − (− rA ) × AR1 × hR1 − × C B ρ F 1 × AR1 AR1 dC BF 1 = dt hR1 F0 F6 F1 F0 × xC + F6 × xC − F1 × xC + (− rA )× AR1 × hR1 F + F6 − F1 − (− rA )× AR1 × hR1 − C CF 1 × 0 F1 ρ F 1 × AR1 AR1 dC C = dt hR1
(Ecs. II, III y IV) Nótese que se ha utilizado en el miembro derecho fracciones molares y en el miembro izquierdo concentración molar. Esto es así ya que las corrientes que salen de equipos modelados en equilibrio (separación física, por ejemplo un flash) generalmente son expresadas en estas unidades. Los reactores por el contrario, al utilizar expresiones Sandra Godoy, Néstor Rodríguez, Nicolás Scenna.
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cinéticas generalmente se modelan utilizando concentraciones molares. Debe entonces transformarse las unidades cuando se lo requiera, por ejemplo mediante:
x
F1 j
=
C Fj 1 3
∑C i =1
F1 i
i= A, B y C
(1-3)
Balance de energía:
d (M R1 × H F 1 ) = F0 × H F 0 + F6 × H F 6 − F1 × H F 1 + (− rA )× (− ∆H R1 )× VR1 − QR1 dt ρ F1 ×
d (VR1 × H F 1 ) = F0 × H F 0 + F6 × H F 6 − F1 × H F 1 + (− rA ) × (− ∆H R1 ) × VR1 − QR1 dt
ρ F 1 × AR1 × H R1 ×
hR1 ×
d (hR1 × H F 1 ) = F0 × H F 0 + F6 × H F 6 − F1 × H F 1 + (− rA )× (− ∆H R1 )× VR1 − QR1 dt
dH F 1 F0 × H F 0 + F6 × H F 6 − F1 × H F 1 + (− rA )× (− ∆H R1 )× VR1 − QR1 dhR1 + hR1 × = dt dt ρ F 1 × AR1
dH F 1 F0 × H F 0 + F6 × H F 6 − F1 × H F 1 + (− rA )× (− ∆H R1 )× VR1 − QR1 dh = − H R1 × R1 dt ρ F 1 × AR1 dt
F0 × H F 0 + F6 × H F 6 − F1 × H F1 + (− rA ) × (− ∆H R1 ) × AR1 × hR1 − QR1 F + F − F − (− rA ) × AR1 × hR1 − H R1 × 0 6 1 ρF1 × AR1 ρF1 × AR1 dHF1 = dt hR1
(Ec. V) Camisa: Considerando el hold up (Ma) y la capacidad calorífica y densidad del agua de enfriamiento constantes:
d (M a × H a ) = AE0 × Cpa × (TAE 0 − TAE1 ) + QR1 dt Ma ×
d (Cpa × TAE1 ) = AE0 × Cpa × (TAE 0 − TAE1 ) + QR1 dt
M a × Cpa ×
dTAE1 = AE0 × Cpa × (TAE 0 − TAE1 ) + QR1 dt
Sandra Godoy, Néstor Rodríguez, Nicolás Scenna.
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dT AE1 AE 0 × Cp a × (T AE 0 − T AE1 ) + Q R1 = dt M a × Cp a
(VII)
Expresadas las ecuaciones diferenciales, se agregan las expresiones algebraicas que permiten calcular el miembro derecho de las ecuaciones diferenciales en cada paso de integración.
ρF1 = ∑ρ jpuro(TF1 ) × xFj1 = ρF1 (TF1, xAF1, xBF1, xCF1 ) 3
(4)
j =1
(− rA ) = k D × C AF 1 × CBF 1 − k I × CCF 1
(5)
Flujo molar a través de la válvula de control CV2:
F1 = ρ F 1 × Cv 2 ×
(PF 1 − PF 2 ) ρ F1
(6)
PF 1 = PR01 + ρ F 1 × g × hR1
(7)
PR01 : presión en el cuerpo de vapor en el reactor (se considera aquí en equilibrio con el líquido)
PR01 = f (TF 1 )
(p.ej. por Antoine)
PF 2 = PFL0 1
(8) (9)
PFL0 1 : presión en el cuerpo de vapor en el flash (Peq)
Cv 2 = α 2
AC 2
AC2 = AP2 + AI 2 + AD2 + A02
(10) (11)
A02 : Acción del controlador (2) cuando son cero las acciones P, I, D.
AP2 = Kp 2 × (hR1 − SPhR1 )
Sandra Godoy, Néstor Rodríguez, Nicolás Scenna.
(12)
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AI 2 = Ki2 × ∫ (hR1 − SPhR1 )dt , derivando queda : t
0
dAI 2 = Ki2 × (hR1 − SPhR1 ) dt
AD2 = Kd 2 ×
dhR1 dt
(VI)
(13)
3
H F 0 = ∑ xiF 0 × H iF 0 (TF 0 ) i =1
(14)
3
H F 1 = ∑ xiF 1 × H iF 1 (TF 1 ) i =1
(15)
3
H F 6 = ∑ xiF 6 × H iF 6 (TF 6 ) i =1
(16)
Nótese que se agrega una nueva ecuación diferencial (VI) debido a la acción integral del controlador. De acuerdo a la hipótesis de mezcla perfecta en la camisa de enfriamiento y en el reactor, el calor intercambiando está dado por:
QR1 = (UA)2 × (TF 1 − TAE1 )
(17)
(PAE 0 − PAE1 )
AE 0 = ρ AE 0 × Cv1 ×
ρ AE 0
(18)
Con PAE0 y PAE1 conocidas.
Cv1 = α 1
AC1
(19)
AC1 = AP1 + AI1 + AD1 + A01
(20)
AP1 = Kp1 × (TF 1 − SPTF 1 )
(21)
dAI1 = Ki1 × (TF 1 − SPTF 1 ) dt
(VIII)
AD1 = Kd1 ×
Sandra Godoy, Néstor Rodríguez, Nicolás Scenna.
dTF1 dt
(22)
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Nuevamente se agrega una ecuación diferencial (VIII) debido a la acción integral del controlador. Nota: Convención de signos Calor de reacción Reacciones exotérmicas: ∆H 0
Reacciones endotérmicas: ∆H >0 Æ
(-∆H)