Universidad Tecnológica Nacional FRRo Cátedra: Electrotécnia II - Método de las Componentes Simétricas

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario

CATEDRA: ELECTROTECNIA II CUADERNILLO: METODO DE LAS COMPONENTES SIMETRICAS

VERSIÓN: 1 - AÑO: 2014 Alberto G. Martínez - JTP

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Contenido 1- Método de las componentes simétricas: .................................................................................. 3 2- Descomposición de un sistema asimétrico en tres sistemas simétricos. ................................. 4 3- Propiedades: ............................................................................................................................. 6 4- Impedancias: ............................................................................................................................. 9 5-Potencia Eléctrica con el método de las componentes simétricas:......................................... 15 6-Aplicaciones del método - Casos de estudio: .......................................................................... 16 7-Medición de las diferentes secuencias de tensión y corriente ................................................ 28 8-Trabajo matricial con el método. ............................................................................................. 32 9-ANEXOS .................................................................................................................................... 35

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1- Método de las componentes simétricas: Este método, está basado en el teorema de Fortescue que permite analizar fallas en sistemas trifásicos de tipo asimétricas, pero puede ser usado para resolver cualquier sistema cuyas condiciones sean asimétricas en un momento dado. Las fallas asimétricas a las que nos referiremos son:
Falla monofásica a tierra
Falla Bifásica a tierra
Falla bifásica
Pérdida de un conductor Pero también se podrá utilizar este método, cuando sea necesario resolver sistemas con cargas asimétricas.

El método establece que " Cualquier sistema asimétrico de n vectores, puede ser descompuesto en n sistemas simétricos con n vectores, cada uno" Como cada vector, puede ser correspondido en el plano complejo de Gauss por un número complejo, el método puede servir para representar tensiones, corrientes, flujos magnéticos, impedancias y reactancias. Los sistemas simétricos se designan con números de orden, esos números estarán dentro del conjunto de los naturales, incluido el cero. 0, 1, 2, 3, 4, ..... Para el orden 0, el desfasaje entre cada vector del sistema es de cero grados 0º. Para el orden 1, el desfasaje es 2π

n

, para el orden 2, será 2 x 2π

n

En los sistemas trifásicos, habrá 3 ordenes, el 0, 1 y 2. Orden 0. En este caso, el desfasaje es 0º, obtenidos de la operación

0 x 2π

n

=0

Los vectores serán colineales, con el mismo modulo, sentido y argumento. Es conocido como sistema homopolar por las condiciones de fase de los vectores (o fasores) Orden 1

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En los sistemas de orden 1, los vectores estarán desfasados en 2π

n

= 2π

3

= 120º .

Este orden también conocido como secuencia directa o positiva, ordena a los vectores (fasores) de las fases a 120º entre si y en orden R-S-T, por ejemplo. Posee el sentido de giro principal del sistema eléctrico.

Orden 2 En los sistemas de orden 2, los vectores están desfasados 2 x 2π

n

= 2 x 2π

3

= 240º , esto

implica que el orden las fases estará invertido respecto de un sistema de orden 1. El sistema de orden 2, es conocido también como secuencia negativa o secuencia inversa. El sistema de vectores gira en sentido contrario al de secuencia positiva.

La ventaja presentada es que el tratamiento de los circuitos asimétricos trifásicos se facilita al descomponerse en 3 circuitos trifásicos simétricos, permitiendo resolver circuitos monofásicos.

2- Descomposición de un sistema asimétrico en tres sistemas simétricos. Para aplicar el método, referiremos cada una de las fases a una de ellas tomándola como "fase de referencia", en lo siguiente, se referirán los sistemas de ecuaciones a la fase R o A, pero puede llegarse a idénticas conclusiones si se refirieran a cualquier otra de las dos fases. Ahora debemos definir el factor de fase, que es un operador que al multiplicarlo por otro vector, origina un cambio en la fase del mismo, sin alterar el módulo. Este factor es llamado con a = 1∠120 º

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Este operador, es entonces un fasor con argumento de 120º y módulo igual a 1 o sea un versor con fase de 120º. Cualquiera sea el ángulo de la fase tomada como referencia, podemos referir las otras fases de un sistema simétrico trifásico, separando una fase de otra en 120º y 240º tomados desde la fase de referencia. Recordando la operación de producto de vectores, podemos escribir:

a.R∠30 = 1. R ∠120 º +30 º = R ∠150 Este factor de fase a, posee algunas propiedades

a = 1∠120 º 1+ a + a2 = 0

Ec (2.1)

1+ a3 + a3 = 3

Ec (2.2)

De esta forma, un conjunto de corrientes podrá ser descompuesta inicialmente en las tres secuencias como se muestra en la siguiente figura

Notar que la secuencia negativa tiene un sentido de giro diferente, esto se ha establecido al invertir dos de las fases. Las ecuaciones de las corrientes de fase serán:

I A = I A0 + I A1 + I A 2 I B = I B 0 + I B1 + I B 2

Ec (2.3)

I C = I C 0 + I C1 + I C 2 Luego, las corrientes de fase podrán ser escritas por las sumas de las corrientes de secuencia pero referidas a la fase A.

I A = I A0 + I A1 + I A 2 I B = I A0 + a 2 I A1 + aI A 2 I C = I A0 + aI A1 + a 2 I A 2

Ec (2.4)

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De esta forma podemos obtener el valor de cada corriente de secuencia sumando el juego de ecuaciones y operando adecuadamente.

I A + I B + I C = 3 I A0

Ec (2.5)

I A = I A0 + I A1 + I A 2 = a.I B = I A0 + a 2 I A1 + aI A2

Ec (2.6)

a I C = I A0 + aI A1 + a I A 2 I A + a.I B + a 2 I C = 3I A1 2

2

I A = I A0 + I A1 + I A 2 = a.I B = I A0 + a 2 I A1 + aI A 2

Ec (2.7)

a I C = I A0 + aI A1 + a I A 2 I A + a 2 .I B + a I C = 3I A 2 2

2

En cada uno de los casos anteriores se obtuvieron las corrientes de secuencia positiva, negativa y homopolar.

3- Propiedades: 3.1- Propiedad de la descomposición Cualquier sistema de vectores simples asimétrico contenido en un mismo sistema de vectores compuesto, (esto es: cualquier sistema de vectores simples, cuyos extremos de coincidan), tendrá las mismas componentes de secuencia positiva y negativa. Demostración:

Figura 3.1 - Sistema de tensiones simples y compuestas asimétricas Nótese que hay más de una posible distribución de fasores de tensiones simples que poseen las mismas tensiones compuestas.

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Las ecuaciones de las tensiones simples se expresan como sigue: Ec (3.1)

U R = U R 0 + U R1 + U R 2 U S = U S 0 + U S 1 + U S 2 = U R 0 + a 2U R1 + aU R 2 U T = U T 0 + U T 1 + U Tt 2 = U R 0 + aU R1 + a 2U R 2 De las ecuaciones anteriores, podemos escribir las ecuaciones de las tensiones compuestas que quedarán como sigue:

U RS = U R − U S U ST = U S − U T

Ec (3.2)

U TR = U T − U R Reemplazando en este juego de ecuaciones las obtenidas en (3.1)

(

U RS = U R − U S = U R 0 + U R1 + U R 2 − U R 0 + a 2U R1 + aU R 2

)

Ec (3.3)

U RS = U R1 .(1 − a 2 ) + U R 2 .(1 − a)

(

U ST = U S − U T = U R 0 + a 2U R1 + aU R 2 − U R 0 + aU R1 + a 2U R 2 U ST = U R1 .(a 2 − a) + U R 2 .(a − a 2 )

U TR = U T − U R = U R 0 + aU R1 + a 2U R 2 − (U R 0 + U R1 + U R 2 ) U TR = U R1.(a − 1) + U R 2 .(a 2 − 1)

)

Ec (3.4)

Ec (3.5)

De las ecuaciones (3.3), (3.4) y (3.5), se desprende que las tensiones compuestas en cada caso, son obtenidas por las tensiones de secuencia positiva y negativa simples afectadas en cada caso por el operador a y por lo tanto, cada conjunto de tensiones simples encerradas en un triángulo de tensiones compuestas quedará definido por un único valor de tensiones de secuencia positiva y negativa. Dicho de otro modo, cualquier conjuntos de tensiones simples, cuyos extremos de vectores coincidan entre sí, sin importar si los centros de los sistemas coinciden, poseerán las mismas componentes de secuencia positiva y las mismas componentes de secuencia negativa.

3.2- Propiedad de la secuencia homopolar En el sistema de la figura 3.2, la distancia entre las medianas del triángulo envolvente y el extremo común o central de los vectores simples constituye el valor de la componente homopolar.

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Figura 3.2 - Sistema de tensiones simples y compuestas asimétricas y componente homopolar

3.3- Componente homopolar de los vectores compuestos Los vectores compuestos no poseen componente homopolar debido a que la suma es siempre nula. Esto, queda de manifiesto en las ecuaciones que se reescriben a continuación.

U RS = U R − U S U ST = U S − U T

Ec(3.2)

U TR = U T − U R La suma de las tensiones compuesta es:

U RS + U ST + U TR = U R − U S + U S − U T + U T − U R = 0 Aún con cualquier tipo de asimetría, no habrá componente homopolar para los vectores compuestos.

3.4-Existencia de las corrientes de secuencia homopolar En todos los casos, para que existan las corrientes de secuencia homopolar, debe existir un camino cableado que permita la circulación de corrientes que por su naturaleza se encuentran en fase. En concordancia con la ley de Kirchoff para un nudo, la suma de corrientes entrantes a un nudo, debe ser igual a la suma de las salientes. Por lo que para un sistema ∆ o Y con neutro aislado, la Z 0 = ∞ .

3.5-Cociente de simetría Se aprovecha lo expuesto en la propiedad 3.3 para definir el cociente de asimetría como el cociente entre la componente de secuencia negativa y la secuencia positiva, aprovechando la inexistencia de componente homopolar.

C=

U L2 U L1

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Siendo C < 0,05 se asumirá que el sistema es un sistema simétrico, en este caso, la solución del sistema podrá reducirse a un sistema simétrico, si la relación es superior, se considera que la asimetría es grande como para despreciarla.

4- Impedancias: Los distintos elementos de un circuito pueden comportarse de forma diferente para cada una de las secuencias por lo que hay que usar la impedancia adecuada para conformar cada circuito. La norma IEC 60909, da algunas expresiones para calcular la impedancia de algunos elementos comunes como líneas aéreas y cables. Por otro lado, permite estimar la impedancia para cada secuencia para máquinas eléctricas tales como Transformadores y generadores.

4.1-Impedancias de líneas eléctricas para cada secuencia La impedancia de una línea eléctrica dependerá de la configuración, de la cantidad de conductores por fase que posea, de la geometría de la línea, de la cantidad de hilos de guardia que posea y de la altura de los conductores. De acuerdo a la IEC 60909 parte 2 Electrical equipment - Data for short-circuit current calculations in accordance with IEC 909 (1988), puede plantearse la inductancia, la reactancia y la impedancia de una línea aérea tripolar, coplanar de acuerdo a la ec (4.1) estas expresiones son fáciles de deducir partiendo de L =

l[ Hy / m] =

µ0 2π

dφ . di

  d   0,25 + ln     rmg   

µ x[Ω / km] = ω 0 2π

  d   0,25 + ln   x1000   rmg   

Ec (4.1)

d = 3 d12 .d13 .d 23 Ec (4.2) La expresión (4.1) brinda el valor de inductancia y reactancia para la secuencia directa e inversa, la resistencia puede ser obtenida del catálogo de conductores con el que se proyecta la línea pasando el valor de resistencia dado para corriente continua a corriente alterna. La ecuación (4.2) presenta la distancia media geométrica entre conductores donde son usadas las distancias entre los conductores de fases.

 µ0  1 δ  + 3 ln z0 = + 3ω + jω 2  3 nqn 8 2π  4n  rmg .d 

ρ

µ0

  Ec (4.3)  

La Ecuación (4.3) da la impedancia homopolar para una línea que no tiene hilo de guardia o protección. Donde: δ es la resistividad del terreno

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rmg es el radio medio geométrico en el caso que se use más de un conductor por fase ρ es la resistencia específica del cable conductor μ0 es la permeabilidad del vacío La reactancia para la secuencia homopolar es distinta a las de secuencia directa e inversa debido a que para las corrientes homopolares la suma de corrientes en la línea no es cero, circulando corrientes por el o los hilos de guardia y tierra o sólo por tierra en el caso que la línea no posea hilo de guardia. Del mismo modo, la parte real de la impedancia se modifica para tener en cuenta esta vía de retorno. En la tabla siguiente se muestran un conjunto de valores para una línea de 132 kV coplanar horizontal, de un conductor por fase, con dos hilos de guardia. Línea E.T. Origen

PICHANAL

E.T. Terna Tensión Long Destino nominal total TARTAGAL

Nº

kV

km

1

132

105,00

R (1)

X

B

R0 (1)

X0

B0

ohm/km

ohm/km

µs/km

ohm/km

ohm/km

µs/km

0,1095

0,3926

2,9149

0,1752

1,1385

1,8102

Tabla 4.1.1 - Valores de reactancias directa y homopolar para una línea Al/Ac 240 mm2 (fuente: Guia de Referencia de Transnoa Año 2011)

4.2-Impedancias de secuencia de motores asincrónicos En régimen normal, el rotor gira a una velocidad menor que el campo rotante (de 1,5 a 4% menor). Si mantenemos la velocidad de giro en el mismo rango y sentido, pero ahora, alimentamos al motor con una secuencia invertida de tensiones, o sea, hacemos girar al rotor en un sentido mediante otro motor, y alimentamos las bobinas con una secuencia R-T-S en lugar de R-S-T (simulamos una secuencia negativa), podemos deducir rápidamente que el rotor girará al con velocidad aproximadamente igual pero opuesta al flujo magnético producido por la armadura del mismo. Esto hace que el rotor corte líneas de flujo al doble de la velocidad del flujo magnético. En este escenario, se inducirán fems más grandes en el rotor, lo que dará origen a corrientes mayores, en contraste con la secuencia directa donde la diferencias de velocidades alcanza a una pequeña porción de la velocidad del flujo. Las mayores corrientes que se presentan en esta condición, dan origen a campos desmagnetizantes mayores, el debilitamiento del flujo, reduce las fems inducidas en el rotor por este campo. Dado que las tensiones aplicadas al estator se equilibran por esas fems, su disminución hará que aumenten las corrientes del estator. Por lo tanto, para igual magnitud de alimentación en secuencia directa e inversa, las corrientes en secuencia inversa serán mayores. Esto lleva a concluir que la Z2