Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas
TRIGONOMETRÍA Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez
PÁGINA LEGAL
374.852-Riq-P Riquenes Rodríguez, Milagros Trigonometría en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez; Raul Hernández Fidalgo; Salvador Ochoa Rodríguez. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN 978-959-16-1958-7 . -- 77 pág. 1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas. 2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto ISBN (obra completa) 978-959-16-1959-4 Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, (
[email protected]) Depósito Legal: 9789591619587
Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, 2012 Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, 2012 La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas. Calle 23 entre F y G, No. 564. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP 10400, Cuba e-mail:
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TABLA DE CONTENIDO
1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales Ecuaciones Lineales. Ecuaciones Cuadráticas. Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Inecuaciones Lineales. Inecuaciones Cuadráticas 2. Sistema de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Método de adición algebraica. Método de Sustitución. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas. Ejercicios. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales 3. Trigonometría (este capítulo). Ángulos y medición de ángulos Fórmulas de reducción Función Periódica Gráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedades Funciones de la forma y = a sen bx con a ∈ R y b∈ R y sus propiedades Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedades Algunas identidades trigonométricas Demostración de identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Ejercicios
PRÓLOGO DE LOS AUTORES
El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos: • Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales. • Sistema de ecuaciones lineales y • Trigonometría (este capítulo). El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.
Los autores, junio 2012
3. Trigonometría Milagros Riquenes Rodríguez, Arsenio Celorrio Sánchez y Salvador Ochoa Rodríguez
Trigonometría
Ángulos y medición de ángulos. Un ángulo orientado es un par ordenado (h, k ) de rayos h y k de origen común. En lo sucesivo supondremos que el rayo k tiene una rotación de sentido positivo, que es el sentido contrario a las manecillas del reloj (Fig. 1)
B
k
O
h
( h ,k ) → ∠ AOB ( k ,h ) → ∠ BOA
A
Fig. 1
0 → Vértice del ángulo
Medidas de ángulos. Dentro de las unidades de medidas de ángulos mas usadas, tenemos el radián y el grado, estas medidas pertenecen a los sistemas circular y sexagesimal de medidas de ángulos respectivamente. Ambos sistemas se relacionan de la siguiente forma: π → 180º arc α º π = ↔ ; arc α º → α º αº 180º
α º 180 o = π arcα
ó
arc α º αº = , donde arc α ° es la π 180º
medida en radianes del ángulo α y α ° la medida en grados del ángulo α . Ejemplos a) Convertir 30º en radianes. b) Convertir
3π en grados. 4
Solución: 3π 180o → π 180o . o 4 = 180 3 = 135o x b) → = 3π 4 π x→ 4
( )
180o → π 30o .π π a) x → = = 180o 6 30o → x
En conclusión, para convertir del sistema sexagesimal al circular y viceversa se utiliza → 180º π como se mostró en los ejemplos a) y b). Cuando se convierte arc α º → α º
la relación
del circular al sexagesimal, puede hacerse sustituyendo π por 1800 y se calculan las 3π 3 180 o operaciones indicadas, es decir: ⇔ = 135o
( )
4
4
3
Trigonometría
Ejemplos. a) Para llevar 45º al sistema circular: b) Para llevar
( )
180o → π 45o .π π → = = x o 4 180o 45 → x
5π al sistema sexagesimal: 6
5π 5 1800 ⇔ = 1500 6 6
Ampliación del concepto de ángulo. Si un rayo realiza una vuelta completa y rota hasta quedar en una posición que determina un ángulo al que se le asocia la medida α, entonces el ángulo determinado por esta rotación se le asocia la medida α + 360° , la medida α + 2 .360° en la segunda vuelta y la medida α + n . 360° con n ∈ Z en la enésima vuelta. A los ángulos cuyas amplitudes en grados se diferencian sólo en un múltiplo entero de 360° se les llama coterminales. Ejemplos Los
ángulos 1820º 2540º - 1820º = 720º = 2 . 360º
y
2540º son
Los ángulos 1582º y 461º no son coterminales porque divisible por 360º
30º y - 1050º son coterminales porque
10π 4π son coterminales porque y 3 3
coterminales
porque
1582º - 461º = 1121º no es
30º - (-1050º ) = 1080º = 3 . 360º 4π 6π 10π = = 2π 3 3 3
2. Determinemos a qué ángulo α ( 0° ≤ α ≤ 360° ) es coterminal cada uno de los siguientes ángulos. a) 1725º b)
20π 3
c) - 1820º Soluciones: a) 1725º = n ( 360º) + α Para hallar los valores de n y de α , realizamos la división 1725º : 360º cociente es el valor de n y el resto es el valor de α es decir: 1725º = 4 . 360º + 285º
R/
0 1725º es coterminal con 285º ya que n = 4 y α = 285
4
donde el
Trigonometría
b) En este caso, expresamos el ángulo en el sistema sexagesimal y posteriormente apliquemos el procedimiento anterior. 20π 20(180°) ⇔ = 1200° 3 3
b)
1200° = 3.360° + 120°
R/
20π 2π es coterminal con 120° ó 3 3
Nota: Sugerimos que el ángulo coterminal esté expresado en el mismo sistema (sexagesimal o circular) que el ángulo dado. c) - 1820º = 5(-360º ) - 20º. R/ - 1820º es coterminal con - 20º. Los ángulos 0º , 90º , 180º y 270º (0, Los ángulos: 30º , 45º y 60º
π 2
,π y
3π ) se denominan ángulos axiales. 2
π π π , y 6 4 3
B β
se denominan ángulos notables. a
Definición de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante de un ángulo cualquiera.
δ
a cateto opuesto : c hipotenusa b cateto adyacente cos α = : c hipotenusa
sen α =
cot α =
b cateto adyacente : a cateto opueto
b
Fig. 2
(Fig. 2).
a cateto opuesto : b cateto adyacente
α
C
En la enseñanza media se dan las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo α como relación de los lados de un triángulo rectángulo.
tan α =
c
5
A
Trigonometría
Como estas definiciones corresponden solamente a un ángulo agudo α ( 0° ≤ α ≤ 90° ) , no se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos tales como : 0º , 90º , 120º , etc., ya que el ángulo agudo de un triángulo rectángulo no puede tomar estos valores por lo que daremos a continuación una nueva definición de estas magnitudes de manera que ellas correspondan a cualquier ángulo. Sea C(O, r) una circunferencia de centro “O” en el origen de coordenadas y radio r, tomemos un ángulo central x de la misma y un punto P de la circunferencia de coordenadas (u, v). (Fig.3) El triángulo OPQ rectángulo en ∠POQ , siendo
OQ = u, PQ = v y OP = r , se cumple: senx =
PQ v = r r
cos x =
OQ u = r r
y P (u;v) x O
v PQ v r senx tan x = = = = OQ u u cos x r u OQ u r cos x cot x = = = = PQ v v senx r
Q
x
Fig. 3
A continuación se presentan las definiciones de cada una de estas funciones trigonométricas: Definición. La función seno es el conjunto de los pares ordenados de números reales (x; sen x) con x ∈R
y se denota por y = sen x ó f ( x ) = sen x.
Definición. La función coseno es el conjunto de los pares ordenados de números reales ( x; cos x) con x ∈ R y se denota por y = cos x.
6
Trigonometría
Definición. La función tangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales π ( x; tan x) con x ∈ R ; x ≠ ( 2k + 1 ) , k ∈ Z y se denota por y = tan x. 2
Definición. La función cotangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales ( x; cot x) con x ∈ R ; x ≠ kπ , k ∈ Z y se denota por y = cot x.
De forma análoga se define las funciones trigonométricas secante y cosecante: y = sec x =
1 cos x
π con x ≠ ( 2k + 1 ) , k ∈ Z
y = csc x =
1 senx
con x ≠ kπ , k ∈ Z .
2
TABLA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS NOTABLES (N) Y AXIALES (A). 0º (A) 0
30º (N)
45º (N)
60º (N)
90º (A)
π
π
π
π
6
4
3
2
2/2
3/ 2
1/2
180º (A) 270º (A) π
3π 2
1
0
-1
0
-1
0
sen x
0
cos x
1
3/ 2
2/2
tan x
0
3/ 3
1
3
-
0
-
cot x
-
3
1
3/ 3
0
-
0
sec x
1
2 3/ 3
2
2
-
-1
-
csc x
-
2
2
2 3/ 3
1
-
-1
1/2
Todo ángulo α y sus coterminales α + n.360° con n ∈ Z , tienen el mismo valor para cada función trigonométrica. El círculo trigonométrico ( r = 1 u ) está dividido en cuatro cuadrantes (Fig. 4). Primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIIC) y cuarto cuadrante (IVC).
7
Trigonometría
Si
0º < x <
90º
→ x ∈ IC
Si
90º < x < 180º
→ x ∈ II C
y
Si 180 < x < 270º → x ∈ III C Si 270º < x < 360º
IC
II C
o
→ x ∈ IV C
O IIIC
IVC
x
Fig. 4
Signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante. I
II
III
IV
sen x
+
+
-
-
cos x
+
-
-
+
tan x
+
-
+
-
cot x
+
-
+
-
sec x
+
-
-
+
csc x
+
+
-
-
Reducción de las funciones trigonométricas al primer cuadrante. Fórmulas de reducción. Reducir un ángulo x al primer cuadrante, es determinar el ángulo α del primer cuadrante, cuyas funciones trigonométricas sean iguales en magnitud aunque pueden diferir en el signo con respecto a las funciones del ángulo. 1. Si x ∈ II Cuadrante → x = 180°-α ó x = π − α sen (180º - α ) = sen α cos (180º - α ) = − cos α tan (180º - α ) = − tan α
cot (180º - α ) = − cot α sec (180º - α) = − sec α csc (180º - α) = csc α
8
Trigonometría
2. Si x ∈ III Cuadrante → x = 180° + α ó x = π + α sen (180º + α ) = − sen α
cos (180º + α ) = − cos α tan (180º + α ) = tan α cot (180º + α ) = cot α sec (180º + α ) = − sec α csc (180º + α ) = − csc α
3. Si x ∈ IV Cuadrante → x = 360° − α ó x = 2 π − α ó x = −α sen (360º − α ) = − sen α cos (360º − α ) = cos α tan (360º − α ) = − tan α
cot (360º − α ) = − cot α sec (360º − α ) = sec α csc (360º − α ) = − csc α
Ejemplos. Calcular: a) cos 120º b) tan 225º
c) cos(−45°) d) sen
4π 3
e) sen300° f)
sen 5π / 3 cos 5π / 4 . . cos π / 6 cos 11π / 6 sen 3π / 2
Solución: Para calcular el valor de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo x que no está en el primer cuadrante (x ∉ I C), se debe conocer: En qué cuadrante está situado el lado terminal del ángulo para usar la fórmula de reducción correspondiente y con ello hallar el valor de α. Qué signo tiene la función en el cuadrante dado. a) cos 120º 120º ∈ II C, porque 90° < 120° < 180° ∴ cos 120º < 0 120º = 180º - α
α = 180° − 120° α = 60° 9
Trigonometría
Como 120º ∈ II C, y para todo ángulo del segundo cumple: cos(180º - α) = − cos α cos 120º = - cos 60º , cos 120º = - 1/2
cuadrante
se
a) tan 225° 225º ∈ III C ∴ tan 225º > 0
tan 225º = tan 45º
225º = 180º + α , α = 225° − 180 ,
α = 45°
tan 225º = 1
a) sen300° 300º ∈ IV C → 300° = 360°-α y sen 300° < 0
α = 360° − 300° , α = 60° sen 300º = -sen 60º sen 300º = -
3 2
b) cos (-45º ) − 45° ∈ IV Cuadrante∴ cos (-45º ) > 0 y por la forma en que
está expresado el ángulo
tomaremos convenientemente para el IV Cuadrante la fórmula x = -α - 45º = - α α = 45° cos (-45º ) = cos (45º ) = b) sen
2 2
4π 3
4π 1 4π es 4 .180°. = 240° ∈ III C ∴ sen 0
e) senx =
1 4
y
cot x < 0
7) Halle el valor numérico de las expresiones siguientes: a)
cot 5π/ 4 . tan 5π/ 3 . csc 2π/ 3 cos π . sec 5π/ 6
b)
sen5π / 3 cos 5π / 4 . cos π / 6 . cos11π / 6 sen3π / 2
c)
csc 5π / 6 . cos 7 π / 6 . sec π / 4 sen 4π / 3 . tan 3π / 4 24
Trigonometría
d)
cos 2π / 3 cos11π / 6 . − sec 5π / 3 tan 3π / 4 senπ / 2
8.-Prueba que: a)
sen11π / 6 . csc 5π / 6 . cos 0 =− 3 cot 5π / 3 . sen3π / 2
b) 4sen 210º + sec 2 30º +2 cot 2 150º = 16 / 3 c) cos 2 13π / 4 + sen 2 5π / 4 − csc 7 π / 6 = 3 d)
csc 2π / 3 . cos π / 2 . tan 7π / 4 =0 senπ / 2 − sec 5π / 6
e)
cot(−120º ) + cos π 1 − 3 = 2 cot(−120º ) 2
f)
senπ / 2 . cos π / 6 . sen3π / 2 = − 3/4 cot π / 4 . sec π / 3
9.- Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes con los valores dados para a: a.
cos α cos(π / 2 − α) cot(π − α) ; α = π/6 sec(π + α)
b.
cos(π + α) + cot π / 4 ; α = π/3 sen (π / 2 − α) sen (2π − α)
c.
cos α tan(π / 2 − α) ; α = π/4 sen α sen (π / 2 − α) cot α
d.
cos(π / 2 − α) sen (π / 2 − α) . csc(π + α); α = π / 6 tan α cot(2π − α)
10.- Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = 4,5 senx
− 2π ≤ x ≤ 2π
b) y = sen3x
− 2π ≤ x ≤ 2π
c) y = 2,5 sen 2 x
− π ≤ x ≤ 2π
d) y = 0,5 sen3x
− π ≤ x ≤ 2π
25
Trigonometría
e) y = 4 sen
0 ≤ x ≤ 5π
x 2
11.- Demuestra las siguientes identidades para los valores admisibles de las variables. i. (senα − cos α )2 = 1 − sen 2α ii. cot 2 x = cos 2 x + (cot x. cos x )2 iii. sen 3 x + cos 3 x = (senx + cos x )(1 − senx. cos x ) iv.
1 + cos 2 x = cos 2 x 2
v.
1 − cos 2α = tan α sen 2α
vi.
cos 2 y + sen 2 y 2
1 − cos y
= cot 2 y
(
)(
vii. (1 − tan 2 x )(1 − sen 2 x ) = 1 − 2 senx 1 + 2 senx viii.
)
cos 2 x + 2 cos x + 1 =2 cos x (cos x + 1)
8) Resolver las siguientes ecuaciones: a. senx + 2sen 2 x = 0
h. 3cos x – 2 sen2 x = 0
b. 2 cos 2 x + 3 cos x + 1 = 0
i. cot x . sen 2x = cos x
c. 2 cos2 x + sen x = 2
j. 2 sen2 2x + 4 sen x. cos x =0
d. 2 sen2 x + 3cos x = 0
k. Sen4 x – cos 4 x = 1
e. sen2 α - 2cos α + 1/4 = 0
l. Cos 2x + cos x = -1
f.
2
2sen x + 3 cos x = 0
g. cos 2x – senx = 0
m. 4sen2 x + sen2 2x = 3 n. (1 + cos x) [1/(sen x) - 1 ] = 0
9) Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0 ≤ x ≤ 2π a. 3 sen2 x = cos2 x b. 2 3 cos2 x = sen x c. 3(1 + cos x) = sen 2x. tan x d. cos 2x + 5cos x = 2 26
Trigonometría
e. cos 2x + 3sen2 x – cos2 x = 5sen x – 2 f. sen2 2x – sen 2x = 2 1 2
g. cos 2 x − cos x + sen 2 x = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π h.
sen2 x − 2 senx =1 sen x + ( senx + cos x) 2 2
10)
1 3
y x pertenece al primer cuadrante, hallar: sen x; tan x; sen 2x y
3 4
y x es un ángulo del segundo cuadrante: Halle cos x y sen 2x
Si cos x =
cos 2x 11)
Si sen x =
12)
Si x =
13)
Si tan x = − 5 4 ; cos x = − 3 5 y π 2 ≤ x ≤ π ; Hallar senx, cos2x, y sen2x
14)
Halle el valor de tan
15)
Halle los valores de x, que satisfagan la ecuación 3 tan 3x = 3
16)
Sea cos x =
2π 3
. Calcule sen 2x. tan 2x
7π + 2cos225o 4
1 3π , ≤ x ≤ 2π 3 2
a) Determine el valor de sen x. b) Determine el valor de cot x. 17) Compruebe que para los valores admisibles de x, se cumple que :
18) 19)
a)
π 2 cos( − x). cos(π + x). tan(π − x) 2 = −2 sen (π + x).sen (π − x) π π π π cot . cos tan .sen 3 6 = 3 2 3 4 + Pruebe que: π π 2 sen cos 4 6
Calcule.
sen150 + cos 90 7π tan 4 o
3π 5π + tan 2 3 9π cot 1560 o + tan 4
sen 2 225 o − cos
o
b)
27
Trigonometría
20) I)
Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 2sen2x + 5cos x = 4 en el intervalo [0; 2 π ]
II) 2sen2x - 5cos x + 1 = 0 III) sen2x - cosx = 0 IV) 2 sen 2 x cot x − cos 2 x = 3 cos x 21) Hallar los valores de x; 0 < x < 2π que son soluciones de la ecuación: sen2x - 5senx - cos2x - 2 = 0. Dar la respuesta en grados sexagesimales. 22) Para qué valores de x, las funciones f ( x) = cos 2 x y g(x) = senx alcanzan el mismo valor. 3 senx − cos 2 x
23) Sean las funciones: f ( x ) = 2 y g(x) =3x-4 . Determine los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=g(4). 24) Sea la ecuación: 4 sen 2 x − 2(k + 1) sen x + 1 = 0
con 0° ≤ x ≤ 90°
a) Halla las soluciones de esta ecuación para k = 3 2 . b) ¿Para qué valor positivo de k la ecuación tiene una sola solución? 25) Halle los valores de x ( 0 ≤ x ≤ π ) que satisfacen la ecuación:
log ( senx −cos x ) (cos 2 x − sen2 x + 7 cos x + 5) = 2 26) Sean:
1 f ( x ) = 3− sen 2 x tan x 2
g ( x ) = 1 + senx
y
π a) Calcula f 4
b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que f ( x ) = g ( x ) 27) Halla la abscisa x (0 < x < π/2 ) del punto donde se cortan los gráficos de las funciones dadas por las ecuaciones: f ( x) = 10 + 9 2 cos x 28) Dada la igualdad
y
g ( x) = 3 + cos x
A2 + cos 2 x = A cot x sen 2 x
a) Demuestre que para A = 1 la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los valores admisibles de la variable x. b) En la igualdad toda considera A = ½ y resuelve la ecuación obtenida. 28
Trigonometría
BIBLIOGRAFÍA
Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial Pueblo y Educación 1989. Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González, Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición, 1991. —152p.
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