Anota las figuras del ejercicio de la página anterior, en las que el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan al mismo arco. ____________

Utilice ejemplos en los que se utilicen las medidas de los ángulos con números decimales, por ejemplo, 60.5º.

B A ¿Como se llaman los ángulos dibujados en la figura? _____________ ¿Qué arco interceptan todos esos ángulos? El arco _______________

Explique que el ángulo está formado por 60’ (sesenta minutos).

Ahora dibuja un círculo de diámetro 5 cm en una hoja de papel y marca un arco igual al de la figura anterior. Dibuja un ángulo central que intercepte el arco marcado. Luego recorta el ángulo central y coloca el vértice del ángulo sobre el centro del círculo de la figura anterior. Si haces que uno de los lados pase por el punto A, ¿el otro lado pasa por el lado B? _______ Ahora dobla el ángulo central de manera que sus lados coincidan. El doblez es exactamente la bisectriz del ángulo, y por lo tanto lo divide en dos ángulos iguales. La medida de esos nuevos ángulos es exactamente la mitad del ángulo central que recortaste.

Explique que los errores en la medición de ángulos son más comunes conforme la circunferencia es mayor.

Cápsula la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo central correspondiente.

Ahora trata de hacer coincidir ese ángulo con alguno de los ángulos inscritos de la figura. Lo primero es hacer coincidir el vértice y luego los lados. ¿Qué observas? ____________________________________ Lo que has observado lo podemos enunciar diciendo que la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que intercepta el mismo arco que el ángulo inscrito. Indica la medida del ángulo x usando las siguientes figuras: A

B

C

D 60º

x

x

=x  _____

=x  _____

x

=x  _____

x 60º

=x  _____

líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares

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En las figuras B, C, E y F el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan el mismo arco. Los ángulos de la figura se llaman ángulos inscritos. Todos interceptan el arco AB. Sí, ambos lados coinciden porque se trata de la misma circunferencia. Ese ángulo es la mitad del ángulo de la figura. El ángulo x mide: A) ∡x = 45º B) ∡x = 180º C) ∡x = 120º © NuevoMéxico

© NuevoMéxico

Propicie la reversibilidad del pensamiento, si ya enunció que la medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, entonces ahora pida a los alumnos que enuncien la relación del ángulo central respecto al inscrito: un ángulo central mide el doble de la medida del ángulo inscrito que intercepta el mismo arco.

D) ∡x = 30º

61

Sugerencias didácticas Otra consecuencia inmediata que ya se ha visto en la sección anterior es ésta: “un ángulo inscrito que abarque una semicircunferencia es un ángulo recto”.

Enfatice que los mismos problemas tienen diferentes maneras de solucionarse; el problema de las construcciones y el del piso del hotel ya habían sido resueltos con otro procedimiento; lo importante es que se den cuenta de que las razones que justifican cada paso deben ser lógicas.

X

A

O

B

1 1 En efecto, el ángulo =AXB  — =AOB  — (180°)  90° 2 2 Observa la figura de la izquierda, nuevamente es el ejemplo de la página 41. El hotel circular tiene arcos que abarcan ángulos centrales iguales, así que:

■

D

B

O

=AOB  =___________

Considera los triángulos AOB y COD, tienen: OA  OB  OC  OD, C

A

porque son radios y entonces cumplen el criterio de congruencia ___________ así, los triángulos AOB y COD son congruentes, y en particular, se tiene que AB  ___________

ConstruCCiones Considera una circunferencia con centro O, radio r y un punto P fuera de la misma. Se quiere trazar una tangente al círculo que pase por el punto P.

■

• Se traza una circunferencia con diámetro PO (primero se encuentra el punto medio M del segmento PO y después se traza la circunferencia de radio MO, que pasará por el punto P). • Se denota con A y B las intersecciones de las circunferencias. • Se trazan las rectas determinadas por PA y PB.

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Soluciones

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líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares

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  ∡AOB = ∡COD Se cumple el criterio de congruencia LAL.

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© NuevoMéxico

En particular se tiene que AB = CD.

A

3 O

O

P

P

Plantee otro ejercicio como el de la actividad 1, pero con números fraccionarios. Esto propiciará que los alumnos practiquen la utilización de fracciones y decimales, y no olviden los algoritmos de las operaciones básicas de los racionales.

B A

4

2 O

M

P

O

P B B

Observa que OP es un diámetro, así que OAP es de 90° y, por lo tanto, OA a su vez es un radio que es perpendicular a AP; esta última recta resulta ser una tangente a la circunferencia que pasa por P. Lo mismo sucede con PB, así que se tienen dos tangentes desde P.

O

C

A

Dado un triángulo ABC, se quiere trazar una circunferencia que pase por los vértices, una circunferencia circunscrita al triángulo.

■

• Se trazan las mediatrices de los lados del triángulo. Éstas se intersectan en un punto que se denota con O. • Con centro en O, se traza un círculo de radio OA.

B

Nota que el punto O al estar en la mediatriz de AB se encuentra a la misma distancia de A y de B, pero como el punto O también pertenece a la mediatriz de BC, está a la misma distancia tanto de B como de C. Por lo anterior se deduce que O está a la misma distancia de los tres puntos y por tanto es el centro del círculo que pasa por A, B y C.

O

C

A

aCtiVidades Resuelve en tu cuaderno y justifica todos los pasos. 1. El dibujo de la derecha representa algunos elementos de una circun­ ferencia en la que AC es un diámetro, P es el centro, PD es una perpen­ dicular a AB, y AB es una cuerda.

C

a) Si AP  10 y si PD  6, encuentra AB.

P

b) Si AC  12 y si PD  3, encuentra AB. c) Si AB  24 y si PD  5, encuentra AP. d) Si AC  30 y si AB  24, encuentra PD.

líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares

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A

D

B

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Página 55

Actividades 1. a) AB = ∙∙∙∙ 102 − 62 = 16 b) AB = 2∙∙∙∙ 62 − 32 = 10 c) AP = ∙∙∙∙ 122 + 52 = 13 d) PD = ∙∙∙∙∙ 152 − 122 = 9

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1

Dígales que el punto donde se intersectan las mediatrices del triángulo se llama circuncentro, por ser el centro de la circunferencia circunscrita.

63

Sugerencias didácticas Puede explicarles también la solución algebraica para el problema 2:

6 cm

6

Trace un dibujo que represente el triángulo, el plato y las tres mediatrices, como se muestra en la figura adjunta, fijándose en el triángulo sombreado.

2. La señora González llevó a la clase de Matemáticas el trozo de un plato porque quiere saber cuál era el diámetro de éste. Los estudiantes en una hoja de papel copiaron el triángulo, trazaron mediatrices e hicieron algunas mediciones:

6 cm

AB  10.4 cm

10.4 cm

x

AC  BC  6 cm

¿Cuál es el diámetro del plato? __________________________________

6

O

5.2

3. Los puntos A, B y C están en la circunferencia cuyo centro es P y se tiene que AB  BC  AC. a) ¿Cuánto mide =APB? _____________

x

b) Si PC  x, encuentra la distancia desde P al lado AC en función de x.

5.2

C

O

Aplique el teorema de Pitágoras:

6

8.96 = 2.99 2.99 62 − 5.22 =�� ∙∙∙∙ x =� ∙∙∙∙∙ Luego trace un radio (r) del centro a un vértice del triángulo para formar el triángulo rectángulo azul; aplique el teorema de Pitágoras:

P

5.2

r r2.99 6 O 5.2 2.99 r2.99

B

A

trabajo en equiPo 1. En la figura de la izquierda si AD, AC y DB son cuerdas; si E es el punto de intersección de AC y DB, si =ACD  50° y si =BDC  40°, ¿cuánto vale =DEC?

A

r O

E

D

B

2. Usa la información de la siguiente figura para calcular el valor de los ángulos DAC y CDA. A

B 2x

C

r2 = (r − 2.99)2 + 5.22 r2 = r2 − 5.98r + 8.94 + 27.04 5.98r = 35.98 r = 6.01

B

2x+15

C

A

C

3. Si ED es tangente a la circunferencia en A, si AB es un diámetro y si el ángulo BPC mide 20°, encuentra el valor de los siguientes ángulos:

P

E

x+25 3x

D

D

a) BAC

b) CAD

d) EAC

e) ABC

c) ACB

El diámetro del plato es 12.01 cm. 56

Soluciones

líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares

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30/4/08 12:04:00

Página 56

2. Primero se traza un triángulo con las medidas indicadas. Luego se trazan dos mediatrices, una por cada segmento de 6 cm. A continuación medimos la distancia que hay desde la intersección de las mediatrices hasta el vértice del triángulo, ése es el radio. El diámetro es de 12 cm, aproximadamente. 3. a) ∡  APB es igual a dos veces ∡ACB, y como ∡ACB = 60º porque se trata de un triángulo equilátero, entonces ∡APB = 120°. b) Sea D el punto medio de AC, entonces la distancia de P a AC es PD. Por el teorema de Pitágoras:





x2 = PD2 + DC2 Despejando: PD = ∙∙∙∙∙ x2 − DC2

1. ∡DEC = 180 − 50 − 40 = 90° 2. 2x + x + 25 + 3x + 2x + 15 = 360° x = 40° 3x 3(40) = = 60° 2 2 2x + x + 25 2(40) + 40 + 25 = = 72.5º ∡CDA = 2 2

∡DAC =

3. a) BAC = 10° b) CAD = 80° c) ACB = 90° e) ABC = 80°

64

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d) EAC = 90° +10° = 100° © NuevoMéxico



Trabajo en equipo

ProPorCiones y seCtores CirCulares ■

Responde lo siguiente:

Medida en grados de una circunferencia = 360°

Cápsula

¿Cómo se puede calcular la longitud de una circunferencia de un círculo de radio r? P  ____________

el radio de la tierra es de aproximadamente 6 360 km.

Perímetro de una circunferencia = 2r

¿Qué longitud tiene la mitad de esa circunferencia? ________________

Parte de la circunferencia corresponde a un ángu-

¿Qué ángulo central corresponde a media circunferencia? __________ ¿Qué proporción es dicho ángulo respecto a 360°? ________________ ¿Qué longitud tiene la octava parte de esa circunferencia? _________ ______________________________________________________________ ¿Qué ángulo central corresponde a un octavo de circunferencia? ____ ______________________________________________________________

en 1859, un profesor de la universidad de Harvard usó este símbolo para denotar a pi, que actualmente se representa con , notación que se originó en inglaterra en el siglo xviii.

lo x: dividiendo 360 . x

La longitud de un arco depende del ángulo que lo intercepta y de la medida del radio.

¿Qué proporción es ese ángulo respecto a 360°? __________________ ¿Qué longitud tiene la circunferencia que corresponde a un ángulo de 90°? _________________________________________________________ ¿Qué longitud corresponde a un ángulo de 60°?___________________ Si el ángulo central correspondiente tiene como medida x, ¿qué longitud

A B

tendrá un arco de circunferencia de radio r? ______________________

x

______________________________________________________________

r

Chicago y Estambul se encuentran en el mismo paralelo, el cual tiene un radio de 4 000 km. Entre ambas ciudades hay un ángulo de 120°. Encuentra la longitud del arco.

■

C
Chicago E
Estambul

C

120° E Ecuador

Como la longitud s de un arco correspondiente a un ángulo x está x 
 dada por s

, calcula la longitud del arco entre Chicago  360 2 r y Estambul. ___________________________________________________

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líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares

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Proporciones y sectores circulares La longitud de una circunferencia de radio r es P = (2)r.

Para un ángulo de 60° le corresponde una longitud de ( )r porque 60° es una sexta parte del 3

La longitud de la mitad de esa circunferencia es ()r.

total de la circunferencia.

El ángulo central que corresponde a media circunferencia es 180°.

Si el ángulo central mide x, entonces la longitud del arco de circunferencia de radio r es 2( )r = 2( )rx

La proporción de dicho ángulo respecto a 360° es

1 . 2

360/x

La longitud de la octava parte de esa circunferencia es ( )r . 4

A un octavo de la circunferencia le corresponde un ángulo central de 45°. 1 respecto a 360°. 8 1 A un ángulo de 90° le corresponde de la circunferencia o 4 (  )r . 2

Ese ángulo tiene una proporción de © NuevoMéxico

© NuevoMéxico

Antes de iniciar el ejercicio, ������������������� pida a los alumnos que recapitulen lo siguiente:

360

Aplicando la fórmula anterior, se tiene que Chicago y Estambul se encuentran a una distancia de: 2( )rx = 2(  )(4 000)(120) = 8 377.5 km 360

360

65

Sugerencias didácticas A

Corrija la relación para calcular el área de un sector circular a que corresponde a un ángulo de

O

medida y; dice que está dada por a = y (2r2) y 360 y 2 debe decir a =

360

Un sector circular es una región delimitada por dos radios, ya sea que el sector corresponda al arco mayor o al menor. En la figura de la izquierda el sector ACB está sombreado, mientras que el sector AKB no.

C

■

B

K

Indica cómo podrías probar que el área del sector circular a corres­ y (2 r2) 360

ponde a un ángulo de medida y, que está dada por a


______________________________________________________________

(r ).

______________________________________________________________ ______________________________________________________________

Recuerde a los alumnos que la medida del radio es igual a la medida del lado en un hexágono regular y como un hexágono regular, está formado por triángulos equiláteros, la medida del apotema del hexágono (o altura del triángulo) se obtiene con la resolución del triángulo rectángulo amarillo.

______________________________________________________________ 1.5

Indica el área del piso que corresponde a la que describe la puerta del mueble. La figura no está a escala.

■

1.5 120º

______________________________________________________________ Si el diámetro de la mesa es de 120 cm, encuentra el área de una de las partes plegadizas luego de convertirla en cuadrada. Observa, en el diagrama de la izquierda, que cada parte plegable corresponde a un ángulo de 90°.

■

A O

Área del sector

AOB  __________  __________

Área del triángulo

OAB  __________

Área de la parte plegable  __________  __________  __________

B

aCtiVidades En los siguientes ejercicios usa P  3.14

8 x

1. Encuentra en cada una de las figuras el área de la parte sombreada. a)

En la actividad 2 de la página siguiente, pídales que supongan que la medida del radio para el segundo ejercicio también es 14.

b)

B

c)

12

C

T

a

44

8 12

x 58

líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares

x 2

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Soluciones Página 58

a=

2 y ()r2 = y (  r ) al dividir el área del círculo entre 360 se 360 360

obtiene el área de un sector de un grado y el resultado se multiplica por el número de grados del sector. El área del piso es la de un sector circular a = 120( )1.5 = 2.35 2

2 Área del sector AOB = 90( )60 = 2 827.4 cm2

360

360 8 x Área del triángulo OAB = 1 800 cm2 4 Área de la parte plegable = 2 827.4 − 1 800 = 1 027.4 cm2

Actividades 1. a) Obtenemos la medida de la base del triángulo.

2a

88

a

44

8 12

x

x 2

66

S

PQRSTU es un hexágono regular y r  8

30/4/08 12:04:15

2

122 +

 x2 

x2 =

144(4) 3

= x2; 144 +

x2 3 2 = x2; x = 144; 4 4

= 192 Entonces, x = 13.85

Área triángulo = 83.1 Área círculo = 200.96 Área sombreada = 200.96 − 83.1 = 117.86 b) El área se obtiene restando del área total el área de la parte no sombreada. A = ()(122) − ()(82) = 251.2 c) Altura del triángulo = ∙∙∙∙ 82 - 42 = 6.92; Área hexágono = 166.08; Área círculo = 200.96 Área del círculo − área del hexágono = 200.96 − 166.08 = 34.88 Se divide el resultado entre 6 y se multiplica por 3 para obtener al área de las tres secciones azules. 34.88 ÷ 6 × 3 = 17.44

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88

R

75°

ABC es equilátero yr8

2a

Q

U

8 A

P

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4

Hay 2 178 km entre México, D.F., y el Ecuador, ésta es la longitud de arco. El radio terrestre es de 6 367.44 km. Sólo es cuestión de sustituir en la fórmula de la longitud de arco. s = 2 rx = 2 178 = 2  (6 367.44)x

2. Usa la figura correspondiente en cada caso para encontrar la lon­ gitud del arco AEC. A B

30°

A O 14

O

E E

C

C

360

50° B

trabajo en equiPo

despejando x:

1. Si el área sombreada de la siguiente figura es de 36 cm², encuentren la longitud de OA. A

6

La distancia entre México, D.F., y Nueva Delhi es de 14 691 km. Ésa es la longitud de arco. Para hallar el ángulo hay que sustituir en la fórmula de longitud de arco.

C

2. En la figura de la derecha encuentra el área de la zona de tiro penal, es decir, la zona cuadriculada. 3. Encuentra el área de la pista de patinar.

11 m

90° m

40 m

s = 2  rx = 14 691 = 2 (5 998.86)x 360

9. 15

61 m

360

despejando x:

r = 8.5 m r = 8.5 m

360 (2 178)(360) x= = 19.59° 2 (6 367.44)

El radio del paralelo 19 es 5 998.86 km.

16.5 m O

30 m

x=

(14 691)(360) = 140.31° 2 (5 998.86)

Entre Tombuctú y Tikal hay 9 218 km. s = 2 rx = 9 218 = 2 (5 998.86)x 360

Radios y paralelos Consulta un mapamundi para encontrar el ángulo que existe entre el ecuador y México, D.F., encuentra el radio del paralelo que corresponde a México, D.F. Calcula aproximadamente la longitud del arco entre México, D.F., y Nueva Delhi, en la India. Repite el mismo procedi­ miento para encontrar la longitud del arco entre Tikal, en Guatemala, y Timbuctú, en Malí. ¿Qué pasa?

360

despejando x:

(9 218)(360) = 88.04° 2 (5 998.86)

x=

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líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares

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Página 59

a) En la primera figura se aprecia el triángulo rectángulo AOB y sus ángulos interiores: ∡A = 90°, ∡B = 15°, ∡AOB = 75°. Entonces, ∡COA = 150°, r = 14 y x = 210° (el complemento). s = 2  rx = 2 (14)(210) = 51.28 360

2. Calculamos el área del rectángulo. AR = (16.5)(40) = 660 m2 Longitud diámetro = hipotenusa del triángulo rectángulo: d = ∙∙∙∙∙∙∙ 9.152 + 9.152 = 12.94 r = 6.47 2 (6.47)2 Área del semicírculo AC =  = = 65.75 m2

2

360

b) De forma análoga y si se considera que r = 14, la longi = 31.74 tud del arco AEC es 2 (14)(130) 360

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© NuevoMéxico

Radios y paralelos

2

El área total es la suma de las áreas individuales: AT = AR + AC = 660 m2 + 65.75 m2 = 725.75 m2 3. El área de la pista entera se calcula como sigue:

Trabajo en equipo

2 2 Área del sector = (r) = (8.5) = 56.71 m2

1. Calculamos el área del círculo blanco y la sumamos al área sombreada para obtener el área total: (r2) =  (36) = 113.04 AT = 113.04 + 36 = 149.04 AT = (r2) = 149.04

Restamos este resultado al área de un cuadrado de lado 8.5, lo multiplicamos por 4 y obtenemos el área de las partes que faltan para que la pista sea un rectángulo: 8.52 − 56.71 = 15.54 × 4 = 62.16 Se calcula el área del rectángulo: 61 × 30 = 1 830 Área de la pista = 1 830 − 62.16 = 1 767.84

Despejando: r2 = 149.04 = 47.44 

r = 6.88

4

4

67

Sugerencias didácticas

Pregunte cuál es la razón por la que el objeto cae más rápido cada vez, y si creen que la velocidad aumentará indefinidamente. Defina razón como la comparación por cociente de dos cantidades.

Razones de cambio

Tema 4

Indique a sus alumnos que calculen el tiempo que tarda en llegar el objeto al suelo.

200 m

t  0S

180 m

t  2S

VeloCidad Promedio de un objeto que Cae

160 m

140 m

Si un objeto cae desde una altura de 200 m su distancia al suelo en metros después de t segundos está dada aproximadamente por la igual­ dad d  200  5t2, en la que d indica la distancia del suelo al objetivo y t expresa el tiempo que ha transcurrido desde que se soltó el objeto. Por ejemplo, después de 2 segundos la distancia del piso al objeto es de d  200  5(2)²  200  20  180. ■

Completa la figura y coloca el punto que corresponda a cada instante: t3

t4

t5

t6

¿Qué observas en las distancias correspondientes? _________________ 120 m

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

100 m

La definición de la velocidad promedio aparece en la primera cápsula de la siguiente página. Calcula la velocidad promedio entre el instante en que se suelta el objeto y el primer segundo. Se debe calcular así:

■

3

80 m

$ 3 $

distancia al Velocidad distancia después   segundo 0  1  0 promedio de 1 segundo

[200
5(1)2]
[200
5(0)2]  ––––––––––––––  ________ 1
0

60 m

¿Qué signo tiene la velocidad? ________________ Esto indica que la altura va decreciendo. 40 m

■

Calcula la velocidad promedio de los siguientes lapsos.

1 s y 2 s ______________________________________________________ 3 s y 4 s ______________________________________________________ 20 m

5 s y 6 s ______________________________________________________ Observa en cuál de los intervalos antes calculados cae más rápido el objeto (la mayor velocidad en valor absoluto).

0m 60

Soluciones

Bloque 1

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Razón de cambio, función lineal y pendiente

30/4/08 12:04:23

Página 60

Velocidad promedio de un objeto que cae Para: t = 3 t = 4 t = 5 t = 6

d = 155 d = 120 d = 75 d = 20

Velocidad promedio en los siguientes lapsos: 1 s y 2 s –15 m/s 3 s y 4 s –35 m/s 5 s y 6 s –55 m/s El objeto cae más rápido en el intervalo entre 5 y 6 segundos.

La distancia va disminuyendo, y a mayor tiempo transcurrido, la diferencia entre una distancia y otra se va haciendo mayor. Velocidad promedio entre el instante en que se suelta el objeto y el primer segundo: = 195 − 200 = −5 m/s

68

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La velocidad tiene signo negativo.

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1

explica la razón por la que la distancia recorrida entre el segundo 4 y el 5 es mayor que la recorrida entre el segundo 1 y el 2. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Cápsula la velocidad promedio en un intervalo de tiempo es la distancia recorrida en ese lapso dividida entre el tiempo transcurrido.

_______________________________________________________________ Observa que la velocidad promedio es una razón entre la distancia y el tiempo, mide cuánto cambia en promedio la distancia respecto a un intervalo de tiempo.

La Pendiente Si un camino sube 2 m a lo largo de 4 km (4 000 m), se dice que su 2 pendiente es ———. La razón de esto es que al recorrer 4 000 m de 4 000 camino se produce una variación de altura de 2 m. Como puedes ver, mientras más empinado sea el recorrido, la medida de la pendiente será mayor, por lo que se avanzará menos en dirección horizontal pero se ganará más altura. Así tenemos una razón de cambio entre el recorrido vertical y el recorrido horizontal. Esta idea nos permitirá redefinir la pendiente de una recta: si suponemos que a lo largo del eje y se encuentra la medida de la altura, y que a lo largo del eje x se halla la distancia horizontal recorrida, tenemos la pendiente, la cual obtenemos al dividir el cambio o variación de la coordenada y entre el cambio o variación de la coordenada x.

para recordar los conceptos físicos aquí estudiados, consulta tu libro de ciencias de 2° grado.

Cápsula la pendiente es una razón de cambio entre el recorrido vertical y el recorrido horizontal.

Considera la recta y  2x  1. Para graficarla basta con encontrar

x Mayor pendiente

(0, 1) y (1, 1). Verifica que ambos pertenecen a la recta. __________

Propicie que se familiaricen con el vocabulario asemejando los términos matemáticos al lenguaje cotidiano; para ello, puede usar oraciones en las que los alumnos puedan derivar el significado del término; por ejemplo, “la pendiente del cerro es muy elevada”, les permite apropiarse del concepto de pendiente.

y

dos puntos cuyas coordenadas cumplan con la ecuación; por ejemplo,

■

Coménteles que en este caso se les proporcionan dos coordenadas para que ellos sustituyan los valores para verificar si éstas pertenecen o no a la ecuación de una gráfica, pero también puede procederse de manera contraria: si se tiene una gráfica y se quiere saber qué valores cumplen la ecuación, es posible localizar coordenadas en la gráfica y sustituirlas en la ecuación para comprobar si cumplen con ésta.

y

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Como vimos, la pendiente de una recta se obtiene dividiendo la variación de la coordenada y entre la correspondiente variación de la coordenada x. Así, en el ejemplo anterior cuando la x pasa de 0 a 1 la y pasa de 1 a 1, por tanto:

Pendiente


x Menor pendiente

variación de y 1 1 2


2 variación de x 0 1 1

Razón de cambio, función lineal y pendiente

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61

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La distancia recorrida entre el segundo 4 y 5 es mayor que la recorrida entre el segundo 1 y 2 porque tiene una velocidad mayor.

La pendiente Verificando que los puntos (0,−1) y (1,1) pertenecen a y = 2x − 1: Para (0,−1) −1 = 2(0) − 1 Para (1, 1)

1 = 2(1) − 1

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■ Ahora

Mencione a los alumnos que para calcular la pendiente de una recta, siempre deberá dividirse el valor de la variación de la ordenada entre el de la abscisa; en el caso de la página anterior, se divide la variación de d entre la de t; en el resto de los diagramas en general, se divide la variación de y entre la de x.

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Sugerencias didácticas Encuentra otros dos puntos que pertenezcan a la recta (____, ____), (____, ____)

■

Recuerde a los alumnos que para encontrar puntos que pertenezcan a la gráfica sin trazarla, basta escoger un valor para la variable independiente (x), sustituirlo en la ecuación y resolverla para obtener el valor de y.

Calcula la variación en y: ________  ________  ________ Calcula la variación en x: ________  ________  ________ variación de y Calcula la pendiente m  ———————  _________  _________ variación de x ¿Qué observas? ________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

Pida a los alumnos que obtengan otro par de puntos, calculando el valor de m y comparándolo con el obtenido. Deben concluir que no importa cuáles sean las coordenadas de la recta que se escojan, la pendiente es la misma a lo largo de la recta.

■

Si (x0, y0) y (x1, y1) son dos puntos de una recta, calcula:

la variación en y: ________  ________  ________ la variación en x: ________  ________  ________ Obtén la razón de cambio de la variación de y en la de x: Razón de cambio  _________________ ¿Cuál es la pendiente m de esta recta? Pendiente  m  razón de cambio  _____________

la imPortanCia de la VeloCidad Un auto pasa frente a una patrulla a una velocidad de 120 km/h, aun cuando la velocidad permitida es de 80 km/h. Por eso, el patrullero se alista y tarda un minuto y medio en arrancar para perseguir al auto que va a exceso de velocidad. La patrulla alcanza al auto 3 minutos después de haber empezado la persecución.

■

¿A qué velocidad crees que tuvo que ir la patrulla para alcanzar al auto? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Una manera de resolver este problema es observar que desde que el auto pasó delante de la patrulla hasta que ésta lo alcanzó pasaron 4:30 minutos (1:30  3:00); es decir, la patrulla tardó cuatro minutos y medio en alcanzar al auto. ¿A qué velocidad en km por minuto iba el auto? __________________

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Razón de cambio, función lineal y pendiente

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Soluciones

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Dos puntos que pertenecen a la recta son (2, 3) y (3, 5). Variación en y = 5 − 3 = 2 Variación en x = 3 − 2 = 1 Pendiente m =

2 =2 1

Se observa que la pendiente es la misma que la que se calculó con las otras coordenadas. La variación en y es y1 − y0 La variación en x es x1 − x0 y −y

Razón de cambio = x 1 − x0 1 0 y −y

La patrulla va a 180 km/h. El auto va a 2 km/min. 70

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La importancia de la velocidad

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Pendiente = m = x 1 − x0 1 0