V. Gráficos de Control por Variables (2)

V.

GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (2)

INTRODUCCIÓN____________________________________________________ Hasta ahora hemos estudiado los gráficos de control típicos tanto para variables como para atributos. Sin embargo, existe otra clase de gráficos de control por variables que pueden mejorar los ya conocidos y que pueden utilizarse en ocasiones en que los gráficos vistos ofrezcan dudas. En este capítulo presentaremos los siguientes gráficos de control por variables: •

Gráfico EWMA: gráfico de medias móviles con pesos exponenciales.

•

Gráfico de Medias Móviles: gráfico de medias móviles sin pesos.

•

Gráfico CUSUM: gráfico de sumas acumuladas de las desviaciones respecto a un valor nomial.

•

Gráfico de Zona: gráfico que asigna un peso a cada punto en función de su distancia a la línea central y representa los valores acumulados.

Los gráficos EWMA, Medias Móviles, CUSUM, y de Zona producen diagramas de control tanto para el caso de datos en subgrupos como para observaciones individuales. Típicamente se usan para evaluar el nivel del proceso. Sin embargo, tanto los diagramas EWMA como CUSUM pueden usarse también para representar gráficos de control para rangos o desviaciones estándar muestrales a fin de evaluar la variación del proceso. En el caso de los diagramas EWMA, Medias Móviles, y de Zona funcionan tanto en el caso de muestras del mismo tamaño como para muestras de distinto tamaño. Sin embargo, los gráficos CUSUM necesitan que todos los subgrupos sean del mismo tamaño.

GRÁFICOS EWMA__________________________________________________ Como ya se comentó en la introducción, un gráfico EWMA es un diagrama de medias móviles con pesos exponenciales. Cada uno de los puntos del gráfico contiene información de todos los subgrupos (u observaciones individuales) anteriores. Este tipo de gráficos se puede diseñar para detectar un cambio en el proceso de cualquier tamaño. Gracias a ello, se usan a menudo en la monitorización de los procesos, permitiendo la detección de pequeñas desviaciones respecto al objetivo. La tabla que se muestra a continuación contiene ocho medias muestrales junto con su valor EWMA asociado usando un peso de 0,2: SUBGRUPO Media EWMA

1 14,000 10,400

2 9,000 10,120

3 7,000 9,494

4 9,000 9,397

5 13,000 10,117

6 4,000 8,894

7 9,000 8,915

8 11,000 9,332

Para empezar, se define el valor EWMA para el subgrupo 0 como la media de todos los datos, en este caso 9,5. El valor EWMA para el subgrupo 1 será 0,2*(14) + 0,8*(9,5) = 10,4. El valor EWMA para el subgrupo 2 será 0,2*(9) + 0,8*(10,4) = 10,12. Así, en general, si denotamos por w al peso, el valor EWMA (Zi ) para el subgrupo i-ésimo vendrá dado por:

Z i = wx i + (1 − w) Z i −1 i.e.,

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Control Estadístico de la Calidad con MINITAB

Z i = wx i + w(1 − w) x i −1 + w(1 − w) 2 x i − 2 + ... + w(1 − w) i −1 x i + w(1 − w) i x En caso de trabajar con observaciones individuales, se usarían éstas en lugar de las medias muestrales. Ejemplo EWMA: Los datos contenidos en la columna C1 del archivo matprima.mtw representan el peso en kilos de cada lote de materia prima. Seleccionar Stat > Control Charts > EWMA :

EWMA Chart for Peso 3,0SL=951,0

950

EWMA

940 X=936,9 930 -3,0SL=922,8 920

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Sample Number

En este caso, se observa claramente que el proceso está fuera de control, tanto porque se aprecían puntos que caen fuera de los límites de control como por la existencia de un patrón no aleatorio.

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GRÁFICOS DE MEDIAS MÓVILES_____________________________________ Un gráfico de medias móviles es un diagrama en la que los puntos son medias calculadas a partir de subgrupos artificiales formados por datos consecutivos. Tales datos pueden ser observaciones individuales o medias de subgrupos. La tabla que se muestra a continuación contiene ocho medias muestrales junto con su valor de media móvil de longitud 3 asociado:

SUBGRUPO Media Media Móvil

1 14,000 14,000

2 9,000 11,500

3 7,000 10,000

4 9,000 8,333

5 13,000 9,667

6 4,000 8,667

7 9,000 8,667

8 11,000 8,000

La media móvil para el primer subgrupo es de 14,0 (coincide con la media del mismo). La media móvil para el segundo subgrupo es el promedio de las primeras dos medias, i.e., (14 + 9) / 2 = 11,5. En este caso, los dos primeros subgrupos son especiales dado que la longitud que hemos tomado era de 3. Por tal motivo, los límites de control asociados estarán más alejados de la línea central que en el resto de subgrupos. Las restantes medias móviles se calculan de la siguiente forma: para cada nuevo subgrupo, tomaremos el promedio de las últimas 3 medias (incluyéndo la del propio subgrupo).

GRÁFICOS DE SUMAS ACUMULADAS (CUSUM)_________________________ Un gráfico de sumas acumuladas muestra las sumas acumuladas de las desviaciones de cada valor muestral con respecto al valor objetivo. El gráfico puede estar basado en medias muestrales o en observaciones individuales. Cuando estamos trabajando con procesos bajo control, los diagramas CUSUM son buenos para detectar cambios con respecto al objetivo ya que dichos gráficos incorporan información procedente de la secuencia de valores muestrales. Los puntos que representamos son las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales con respecto al objetivo. Dichos puntos deberían fluctuar de forma aleatoria alrededor del cero. Si detectamos una tendencia, ya sea hacia arriba o hacia abajo, ésta debería ser considerada como una evidencia de que la media muestral se ha desplazado. Es posible representar dos tipos de gráficos CUSUM: el diagrama por defecto representa dos CUSUM unilaterales. El CUSUM superior detecta desviaciones hacia arriba en el nivel del proceso, el CUSUM inferior detecta desviaciones hacia abajo. Este tipo de gráfico utiliza límites de control para determinar cuando estamos ante un proceso fuera de control. El otro tipo de gráfico CUSUM es uno bilateral. Tal diagrama hace uso de una “máscara V” (en lugar de los habituales límites de control de 3σ) para determinar cuándo un proceso está fuera de control. Los gráficos CUSUM vienen definidos por dos parámetros, h y k.: Tipo de gráfico CUSUM h representa Unilateral El número de desviaciones estándar entre la línea central y los límites de control Bilateral (máscara V) Parte de la ecuación que se utiliza en el cálculo de la máscara V

k representa El tamaño del posible desplazamiento que queremos detectar La pendiente de los lados de la máscara V

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Control Estadístico de la Calidad con MINITAB Ejemplo CUSUM bilaterial: Supongamos que trabajamos en una planta de montaje de coches. A la hora de montar los motores, partes de la cadena de montaje se mueven verticalmente arriba y abajo a cierta distancia del nivel horizontal de referencia. A fin de asegurar la calidad de la producción, realizamos cinco mediciones cada día laborable desde el 28 de septiembre hasta el 15 de octubre, y diez mediciones diarias desde el 18 hasta el 25 de octubre. Los datos están contenidos en el archivo Motores.mtw . En el capítulo 3 ya dibujamos los gráficos X-barra y R asociados a estos datos. En el gráfico X-barra, el subgrupo 5 no satisfacía uno de los tests para causas especiales. Ahora, estamos interesados en estudiar posibles ligeras desviaciones respecto al objetivo, por lo que representaremos un gráfico CUSUM: Seleccionar Stat > Control Charts > CUSUM :

CUSUM Chart for Distancia

Upper CUSUM

Cumulative Sum

10

5,67809

5

0

-5

-5,67809

Lower CUSUM

0

5

10

15

20

25

Subgroup Number Observamos que los puntos asociados a los subgrupos 4 a 10 caen fuera del límite superior, lo que sugiere la existencia de pequeñas desviaciones con respecto al objetivo. V-4

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GRÁFICOS DE ZONAS______________________________________________ Un gráfico de zonas es un híbrido entre un gráfico X-barra (o un gráfico Individual) y un gráfico CUSUM. En el diagrama de zonas se representan valores acumulativos basados en las “zonas” situadas a 1, 2, y 3 sigmas con respecto a la línea central. Este tipo de gráficos se suelen preferir a los diagramas X-barra o Individual debido a su gran simplicidad: se considerará que un punto está fuera de control si su valor asociado es mayor o igual a 8. Así, no resultará necesario realizar un estudio sobre el posible comportamiento no aleatorio de los datos (como hacíamos en los gráficos de Shewart), ya que este método es equivalente a cuatro de los tests estándar que usábamos en los diagramas X-barra e Individual. El gráfico de zonas clasifica las medias muestrales (o las observaciones individuales) de acuerdo con su distancia respecto a la línea central. Para cada media muestral (u observación individual), el punto asociado se determina como sigue: 1.

A cada observación (media o individual) se le asigna un “valor de zona”, según la siguiente tabla: Zona donde se sitúa la observación Entre la línea central y 1σ Entre 1 y 2σ Entre 2 y 3σ Más allá de 3σ

2.

Valor de zona asignado 0 2 4 8

A cada observación se le asigna un “valor acumulado” (que será el que finalmente se represente en el gráfico), según el siguiente criterio: o o

El primer punto es simplemente el valor de zona asociado a la primera observación Cada uno de los puntos siguientes será suma del valor de zona asociado y del valor acumulado del punto anterior, teniendo en cuenta que cada vez que un nuevo punto cruce la línea central, el valor acumulado vuelve a considerarse como cero.

Cuando el valor acumulado supere el valor 8, se considera que el proceso está fuera de control. Ejemplo gráfico de zonas: Supongamos que trabajamos en una planta de producción de cilindros metálicos. Como estamos interesados en estudiar la variable longitud del cilindro, tomamos 10 muestras diarias, cada una de ellas de tamaño 5. Los datos se guardan en el archivo cilindros.mtw. Seleccionar Stat > Control Charts > Zone :

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Control Estadístico de la Calidad con MINITAB Seleccionar Options > Reset cumulative score after each signal :

Zone Chart for longitud

Weights 8 +3 sigma

601,244 4

4

10 600,852

+2 sigma 2

6

2

600,459

+1 sigma 0

600,066

Mean 0

0

0

0

599,674

-1 sigma 6

2

8 599,281

-2 sigma 4

4 -3 sigma

598,888 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Subgroup Number

Observamos que el valor acumulado del subgrupo 6 es de 8, lo cual significa que el proceso está fuera de control. Nos dicen que el operador reinició la máquina que produce los cilindros a partir del subgrupo 6 a fin de intentar solucionar el problema, reajustando para ello los parámetros de la máquina. Sin embargo, el gráfico de zona detecta que el proceso vuelve a estar fuera de control en el subgrupo 10, esta vez en el lado opuesto de la línea central, por lo que parece que el operador se excedió en el reajuste de los parámetros. V-6

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GRÁFICOS Z-MR PARA SERIES CORTAS______________________________ Los gráficos de control anteriores presuponen la existencia de un número de observaciones suficientemente grande como para estimar parámetros del proceso tales como µ y σ. Sin embargo, en ocasiones las series producidas no serán lo suficientemente largas como para que tales estimaciones sean fiables. Así, por ejemplo, podríamos usar una misma máquina para producir distintos productos, cada uno de ellos con una media y una desviación estándar diferentes, y producidos en cantidades insuficientes como para que tales parámetros sean estimables de forma fiable con las técnicas ya vistas. En tales casos, resulta necesario a recurrir a gráficos para series cortas como el Z-MR, el cual utiliza las distintas series cortas para generar gráficos de control estandarizados de observaciones individuales (Z) y rangos móviles (MR). La idea básica es la siguiente: supongamos que cada producto generado en un proceso tiene su propia media y desviación estándar. Si resulta posible estimar tales parámetros, podremos estandarizar los datos restándoles la media y dividiéndolos por la correspondiente desviación estándar. Así, los datos estandarizados provendrán de una población con media µ = 0 y desviación típica σ = 1. Ahora, podremos usar un único gráfico de control para tales datos estandarizados. Un gráfico Z-MR es un diagrama de observaciones individuales estandarizadas (Z) y de rangos móviles estandarizados (MR). A partir de la observación conjunta de ambos gráficos es posible analizar simultáneamente tanto el nivel como la variación del proceso.

Ejemplo gráfico Z-MR: Supongamos que trabajamos en una planta de producción de papel, con la característica de que el proceso productivo genera series cortas. Sabemos además, que la variación del proceso es proporcional al grosor del papel producido (por lo que usaremos la opción Relative to size a la hora de estimar σ). Producimos tres tipos distintos de papel según el grosor, y disponemos de datos procedentes de 5 series distintas en el archivo papel.mtw : Seleccionar Stat > Control Charts > Z-MR :

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Control Estadístico de la Calidad con MINITAB

Standardized Log(data)

C

A

B

3,0SL=3,000

0

X=0,00E+00

-3,0SL=-3,000

Subgroup 4

Moving Range

A

B

Z-MR Chart

5

10

15 3,0SL=3,686

3 2 1

R=1,128

0

-3,0SL=0,00E+00

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