VALORACIÓN DE CONTRATOS FORWARD DE LA ELECTRICIDAD

Esther Espeja Tesina CEMFI No. 0308

April 2003

CEMFI Casado del Alisal 5; 28014 Madrid Tel. (34) 914 290 551. Fax (34) 914 291 056 Internet: www.cemfi.es

Este trabajo constituye una versión revisada de la tesina presentada al completar el Programa de Estudios de Postgrado 2000-2002 del Centro de Estudios Monetarios y Financieros (CEMFI). No hubiera sido posible sin la ayuda y los comentarios de Manuel Arellano, Ángel León, Francisco Peñaranda, Javier Población y Enrique Sentana. Agradezco a Julio Segura su excelente labor de supervisión, su disponibilidad y la elección del tema que se trata en este trabajo. También quiero agradecer a mi hermana y a mis compañeros sus brillantes sugerencias que me han sacado de más de un apuro. En especial quiero agradecer a Luis el apoyo y la comprensión que me ha brindado a lo largo de estos dos años tan difíciles. Los datos han sido facilitados por InterMoney Energía S.A. (E-mail: [email protected]).

Tesina CEMFI No. 0308 April 2003

VALORACIÓN DE CONTRATOS FORWARD DE LA ELECTRICIDAD

Abstract Este trabajo pretende valorar los contratos a plazo surgidos tras la desregulación del sector eléctrico mediante dos modelos de ecuaciones diferenciales estocásticas en tiempo continuo: un modelo de un factor en el que el precio spot sigue un proceso con reversión a la media y un modelo de dos factores que permite reversión a la media en precios e incertidumbre en el nivel de equilibrio al que estos revierten. El primero se analiza bajo dos supuestos: spot inobservable y observable. Utilizando los parámetros estimados bajo el primer supuesto, se analizan las implicaciones del modelo a la hora de predecir precios.

Esther Espeja [email protected]

1

Introducción

Durante los años noventa tiene lugar un proceso de desregulación en los mercados eléctricos de muchos países. En concreto, en España se aprueba la nueva Ley del Sector Eléctrico en noviembre de 1997, que acaba con el anterior Marco Legal Estable y sienta las bases para un nuevo sistema competitivo. El anterior Marco Legal Estable sostenía un sector eléctrico estrictamente regulado en todas sus actividades: generación, transporte y distribución, fijando la tarifa eléctrica a los consumidores así como el posterior reparto de los ingresos entre los integrantes del sector. La nueva Ley entra en funcionamiento el 1 de enero de 1998 y, aunque mantiene como reguladas las actividades de transporte y distribución, liberaliza completamente la generación y establece un calendario progresivo de transición a la competencia para la actividad de comercialización. Algunos de los pasos del legislador que merecen ser destacados son los siguientes: • Puesta en marcha de un pool centralizado donde, diariamente, la energía es ofertada por generadores y agentes externos autorizados a la venta y demandada por consumidores, comercializadores, distribuidores y agentes externos autorizados a la compra, con entrega para el día siguiente, denominado Mercado Diario. • Nueva figura del Operador del Mercado, entidad encargada de gestionar los aspectos económicos del mercado. • Posibilidad de llevar a cabo transacciones bilaterales entre oferentes y demandantes de energía eléctrica al margen del Mercado Diario para su liquidación por entrega de energía eléctrica (entrega física) o por diferencias. • Puesta en marcha del Mercado Intradiario en el que se pueden rectificar posiciones tomadas en el Mercado Diario. 1

La reforma ha producido cambios radicales en la manera en que el sector eléctrico español desarrolla su actividad. Las empresas que en él participan han visto cómo el precio ha dejado de ser fijo y estable para pasar a un sistema en el que es variable. Además, al no ser un bien almacenable, presenta una variabilidad muy elevada, con aumentos bruscos y vuelta rápida a los niveles previos. Todo esto hace que el precio de la electricidad sea difícilmente previsible. La liberalización e introducción de competencia en el sector conlleva la aparición de un elemento ausente hasta entonces: el riesgo de precio o de mercado. En este entorno de riesgo cobran importancia las herramientas financieras para la gestión del citado riesgo. A tenor de todos estos hechos, a finales de 1998 se inicia la negociación de contratos bilaterales referenciados al precio del mercado diario gestionado por el Operador del Mercado Eléctrico (OMEL) como respuesta de los agentes a la hora de gestionar este riesgo de precio. El inicio de este mercado Over The Counter (OTC) ha supuesto la estandarización de varios perfiles de suministro que se han ido consolidando con el paso del tiempo y son los que se mencionan a continuación: 1. Carga base: suministro de todas las horas de todos los días del periodo negociado. 2. Horas pico: suministro en las horas de la 9 a la 24 de los días hábiles del periodo seleccionado. 3. Noches: suministro en las horas de la 1 a la 8 de los días entre semana. 4. Fin de semana: suministro durante la totalidad de las horas de sábado y domingo. 5. Valles: combinación de noches con fin de semana más las horas pico de los días festivos. 2

De todos estos perfiles, los dos primeros concentran la práctica totalidad de la liquidez del mercado, siendo el perfil de carga base el más negociado. Este mercado se ha caracterizado en su inicio por la estrechez y falta de dinamismo. No obstante, ha ido creciendo a lo largo del tiempo, no sólo en lo que a la profundidad del mismo se refiere, sino también en cuanto al volumen negociado. A este hecho ha contribuido el incremento del número de agentes que participan en él. El presente trabajo pretende valorar los contratos que han surgido para gestionar el mencionado riesgo de precio. El objetivo del análisis va a centrarse en el estudio de series de precios forward de la electricidad. La literatura en la que se enmarca este estudio es la de valoración de opciones reales a través de ecuaciones diferenciales en tiempo continuo. Dado que la electricidad no es almacenable, los modelos que se van a presentar se alejan de todos aquellos que incluyen la modelización del rendimiento de conveniencia como los modelos de dos y tres factores de Schwartz (1997), ya que, al no haber existencias, no hay ningún tipo de beneficio por el hecho de poseer la electricidad. Se van a analizar dos tipos de modelos. El primero de ellos es el modelo de un factor de Schwartz (1997), en el que se especifica que el precio spot sigue un proceso con reversión a la media. El segundo es el modelo de dos factores de Schwartz (1998), que permite reversión a la media en precios e incertidumbre en el nivel de equilibrio al que los precios revierten. Este segundo modelo trata de recoger las desviaciones en el corto plazo del logaritmo del precio spot y el nivel de equilibrio de largo plazo del logaritmo del precio. La elección del segundo de los modelos viene motivada por el hecho de tratar de analizar si con un modelo más complejo se puede recoger mejor el comportamiento que siguen las series de contratos forward.

3

Ambos modelos dan lugar a fórmulas cerradas de valoración, donde se relaciona de forma lineal el logaritmo del precio forward con el logaritmo del precio spot, para el caso del modelo de un factor, y con el componente de corto plazo y el de largo para el modelo de dos factores. Estos factores también reciben el nombre de variables de estado. Para estimar el primero de los modelos se van a hacer dos tipos de supuestos: que el precio spot no es observable y que sí es observable. En principio parece evidente que el primero de los supuestos no tiene sentido, ya que cada día se observa el precio spot de la electricidad. Sin embargo se ha creído conveniente tenerlo en consideración por dos razones: la primera de ellas es por seguir la metodología de la mayor parte de la literatura existente sobre modelos de valoración en tiempo continuo y la segunda por ver qué tipo de ventajas o desventajas se obtienen al considerar que el conjunto de información se amplía suponiendo que el spot es observable. Bajo el primer supuesto los parámetros se van estimar por el filtro de Kalman, mientras que bajo el segundo la estimación se realiza por máxima verosimilitud conjunta. Por recoger variables no observables, el modelo de dos factores se va a estimar por el filtro de Kalman. El resto del trabajo se organiza como sigue. En la sección 2 se describe formalmente el marco teórico de los dos modelos de valoración. En la sección 3 se especifican los modelos empíricos correspondientes. En la sección 4 se analizan brevemente los datos y sus estadísticos descriptivos. La sección 5 presenta los resultados de las estimaciones de los dos modelos. La sección 6 describe cómo se construye el estimador suavizado, que es el que incorpora toda la información contenida en la muestra. En la sección 7 se realiza un ejercicio de predicción a partir de los resultados empíricos. Por último, en la sección 8 se presentan las principales conclusiones del análisis realizado.

4

2

Modelos de valoración

En esta sección se presentan los modelos de valoración que se van a denominar Modelo 1 y Modelo 2. El primer modelo que se va a analizar es el modelo de un factor de Schwartz (1997), en el que se supone que el logaritmo del precio spot sigue un proceso de reversión a la media del tipo Ornstein-Uhlenbeck. En el segundo modelo se descompone el logaritmo del precio spot en dos factores que tratan de recoger el comportamiento a corto y a largo plazo del logaritmo del precio spot. Estos modelos tienen la ventaja de proporcionar soluciones cerradas para los precios forward que son ecuaciones lineales en las que estos precios dependen de los factores subyacentes o variables de estado.

2.1

Modelo 1

Se supone que el precio spot sigue el proceso estocástico en tiempo continuo que se describe en la siguiente ecuación: dS = κ (µ − ln S) Sdt + σSdz

(1)

siendo: S el precio spot, µ la media esperada del precio spot y κ el coeficiente de velocidad de ajuste que mide el grado de reversión a la media de largo plazo del precio spot. El segundo término de la ecuación caracteriza la volatilidad del proceso, siendo dz el incremento de un proceso browniano estándar. Si se define X = LnS y se aplica el lema de Ito se obtiene que el logaritmo del precio puede expresarse por el proceso: dX = κ (α − X) dt + σdz α=µ− 5

σ2 2κ

(2) (3)

Bajo la medida neutral al riesgo, que es aquella que hace que el proceso descontado siga una martingala de manera que la ecuación diferencial estocástica no tenga deriva, el proceso conjunto puede expresarse como: dX = κ (α∗ − X) dt + σdz ?

(4)

α∗ = α − λ

(5)

donde λ es la prima de riesgo de mercado que se supone constante y dz ∗ es el incremento de un movimiento browniano estándar bajo la medida neutral al riesgo. De la ecuación (4) se obtiene que la distribución condicional de X en el momento T es una normal con media y varianza: ¡ ¢ E0 [X (T )] = e−κT X (0) + 1 − e−κT α∗ V ar0 [X (T )] =

siendo T el vencimiento del contrato.

¢ σ2 ¡ 1 − e−2κT 2κ

(6) (7)

Bajo la teoría de valoración neutral al riesgo, y suponiendo que el tipo de interés es constante, el precio del contrato forward con vencimiento en T en el instante inicial es igual al valor esperado del precio spot del subyacente en el vencimiento: F (S, 0, T ) = E0 [S (T )]

(8)

siendo F el precio del forward. Dado que X sigue una distribución normal, S seguirá una distribución lognormal. Tomando logaritmos en la anterior expresión y utilizando las propiedades de la esperanza de una variable lognormal se llega a: 1 ln F (S, 0, T ) = E0 [X (T )] + V ar0 [X (T )] = 2 ¡ ¢ ¢ σ2 ¡ 1 − e−2κT = e−κT ln S + 1 − e−κT α∗ + 4κ 6

(9)

Esta ecuación, que relaciona de forma lineal el logaritmo del precio forward con el logaritmo del precio spot del subyacente, es la que se va utilizar a la hora de analizar el modelo empírico.

2.2

Modelo 2

En el modelo de dos factores se descompone el logaritmo del precio spot en: Xt = χt + ξ t

(10)

donde χt representa el componente de corto plazo que mide las desviaciones del logaritmo del precio a corto plazo y ξ t es el nivel de equilibrio de largo plazo del logaritmo del precio. Se espera que los cambios en χt no persistan en el tiempo pero sí los de ξ t . Para analizar los datos se va a suponer que estos dos factores siguen unos procesos en tiempo continuo caracterizados por las siguientes ecuaciones: dχt = −κχt dt + σ χ dzχ

(11)

dξ t = µξ dt + σ ξ dzξ

(12)

donde: µξ es la media esperada del nivel de equilibrio de largo plazo, κ es el coeficiente de reversión a la media que describe la tasa a la que se espera que desaparezcan las desviaciones de corto plazo y dzχ y dzξ son incrementos de un movimiento browniano estándar que están correlacionados según dzχ dzξ = ρχξ dt. Bajo la medida neutral al riesgo aparecen los precios del riesgo de los componentes de corto y largo plazo, que son respectivamente λχ y λξ , de forma que el proceso puede expresarse de la siguiente manera: dχt = (−κχt − λχ ) dt + σ χ dzχ∗ ¡ ¢ dξ t = µξ − λξ dt + σ ξ dzξ∗ 7

(13) (14)

siendo la correlación entre los movimientos brownianos dzχ∗ dzξ∗ = ρχξ dt. Dados los valores iniciales χ0 y ξ 0 , las variables se distribuyen1 según una normal conjunta con vector de medias y matriz de covarianzas: · ¸ ¡ ¡ ¢ ¢ −κt −κt λχ E [(χt , ξ t )] = e χ0 − 1 − e , ξ + µξ − λξ t κ 0 # " 2 −2κt σχ −κt ρχξ σχ σ ξ ) 2κ (1 − e ) κ (1 − e Cov [(χt , ξ t )] = −κt ρχξ σχ σ ξ (1 − e ) κ σ 2ξ t

(15)

(16)

De estas expresiones se obtiene que Xt se distribuye según una normal con media y varianza: ¡ ¢ λχ ¡ ¢ + µξ − λξ t E [Xt ] = e−κt χ0 + ξ 0 − 1 − e−κt κ

¡ ¡ ¢ σ 2χ ¢ ρχξ σ χ σ ξ + σ 2ξ t + 2 1 − e−κt V ar [Xt ] = 1 − e−2κt 2κ κ

(17) (18)

De nuevo, bajo la teoría de valoración neutral al riesgo, el precio del forward en el vencimiento es igual a la esperanza del precio spot en dicho instante. µ ¶ 1 F (S, T ) = E [S (T )] = exp E [XT ] + V ar [XT ] 2

(19)

Tomando logaritmos en la anterior expresión se obtiene la ecuación que relaciona el logaritmo del precio forward con las variables de estado del problema: ln F (S, T ) = e−κT χ0 + ξ 0 + A(T )

(20)

donde: A (T ) =

1

¡ ¢ ¡ ¢ λχ µξ − λξ T − 1 − e−κT + κ · ¸ ¡ ¢ σ 2χ ¢ ρχξ σ χ σ ξ 1 ¡ −2κT 2 −κT + 1−e + σξ T + 2 1 − e 2 2κ κ

Bajo la medida neutral al riesgo.

8

(21)

3

Modelo empírico

Para estimar el proceso se hará vía dos ecuaciones. Una de ellas es la ecuación de medida que se va a obtener en cada uno de los modelos a partir de la expresión que relaciona linealmente el logaritmo del precio forward con las variables de estado. Para obtener la expresión final de la ecuación de medida se añade en cada uno de los modelos una perturbación aleatoria que estaría recogiendo la idea de que los datos pueden haber sido obtenidos con un cierto error de medida. La otra es la ecuación de transición, que es la versión discreta del proceso estocástico que siguen las variables de estado, es decir, la ecuación de transición va a recoger los procesos estocásticos del logaritmo del precio spot para el modelo de un factor y del componente de corto y de largo plazo en el modelo de dos factores, relacionándolos con sus valores en el periodo anterior. En el caso del modelo de dos factores, al no ser observables las variables de estado, el procedimiento que se va a seguir a la hora de estimar es la aplicación del filtro de Kalman, que es un método recursivo de optimización basado en la información disponible hasta t (periodo actual), de forma que se actualiza la estimación del vector de variables de estado según va llegando nueva información.2 En el modelo de un factor se va a proceder de dos formas distintas. Primero se va a suponer que, al igual que en el modelo anterior, la variable de estado que es el precio spot es inobservable. En este caso la estimación se realiza de nuevo mediante la aplicación del filtro de Kalman. En el segundo de los métodos de estimación se va a incorporar toda la información disponible, es decir, el precio spot, que ahora se supone observable. En esta segunda forma de abordar el modelo se van a estimar la ecuación de medida y la de transición de forma conjunta por máxima verosimilitud. 2

Ver apéndice. Más información sobre el filtro de Kalman en Harvey (1989; capítulo 3).

9

3.1 3.1.1

Modelo 1 Spot como variable inobservable

De la ecuación (9) se obtiene la ecuación de medida: yt = d + BXt + εt ,

t = 1, ..., NT

(22)

donde: yt = [LnF (Ti )] , i = 1, ..., N, vector de observables N × 1 ¸ · ¢ ∗ σ2 ¡ ¢ ¡ −κTi −2κTi 1−e α + , i = 1, ..., N, vector N × 1 d= 1−e 4κ £ ¤ B = e−κTi , i = 1, ..., N, vector N × 1

y εt es el vector de perturbaciones serialmente incorrelacionadas de orden N × 1 con: E (εt ) = 0,

V ar (εt ) = H

siendo H una matriz diagonal y N el número de contratos forward. La ecuación de transición del modelo se obtiene a partir de la discretización de la ecuación (2). Su expresión es la siguiente: Xt = c + QXt−1 + η t ,

t = 1, ..., NT

(23)

donde: c = κα∆t,

Q = 1 − κ∆t

siendo ∆t la longitud del paso temporal y η t la perturbación serialmente incorrelacionada con: E (η t ) = 0,

V ar (η t ) = σ 2 ∆t

10

3.1.2

Spot como variable observable

A partir de la ecuación (23) se obtiene que la distribución de Xt condicional a la observación del periodo anterior es la siguiente: ¡ ¢ Xt | Xt−1 , ..., X1 ∼ N c + QXt−1 , σ 2 ∆t

(24)

De la ecuación (22) se obtiene la distribución condicional de yt : yt | Xt , ..., X1 ∼ N (d + BXt , H)

(25)

La expresión de la verosimilitud conjunta que aporta cada observación al proceso puede expresarse como: g (yt , Xt ) = g (yt | Xt , Xt−1 , ..., X1 ) .g (Xt | Xt−1 , ..., X1 )

(26)

Dado que la variable Xt sigue un proceso autorregresivo de orden 1, la ecuación anterior puede expresarse de la siguiente forma: g (yt , Xt ) = g (yt | Xt , Xt−1 ) .g (Xt | Xt−1 )

(27)

Utilizando las distribuciones condicionales de las variables, se obtiene la expresión final que aporta cada observación a la función de verosimilitud: 1 1 (Xt − c − QXt−1 )2 1 − g (yt , Xt ) = − ln (2π) − ln [V ar (η t )] − 2 2 2 V ar (η t ) −

3.2

1 1 N ln (2π) − ln [det (H)] − (yt − d − BXt )0 H −1 (yt − d − BXt ) 2 2 2

(28)

Modelo 2

La ecuación de medida que describe la relación entre los precios observados y las variables de estado se obtiene de la ecuación (20): yt = d + BXt + εt , 11

t = 1, ..., NT

(29)

donde: yt = [LnF (Ti )] ,

vector de observables N × 1

i = 1, ..., N,

d = [A (Ti )] ,

vector N × 1

i = 1, ..., N,

A(Ti ) viene dado por la ecuación (21) ¤ £ B = e−κTi , 1 ,

i = 1, ..., N,

matriz N × 2

y εt es el vector de perturbaciones serialmente incorrelacionadas de orden N × 1 con: E (εt ) = 0,

V ar (εt ) = H

siendo H una matriz diagonal y N el número de contratos forward. Por (11) y (12) la ecuación de transición que explica la evolución de las variables de estado se puede escribir como:

donde:

£ ¤0 [χt , ξ t ]0 = c + Q χt−1 , ξ t−1 + η t , ¤0 £ c = 0, µξ ∆t · −κ∆t ¸ e 0 Q= , 0 1

t = 1, ..., NT

(30)

vector 2 × 1 matriz 2 × 2

siendo ∆t la longitud del paso temporal y η t es un vector 2 × 1 de perturbaciones serialmente incorrelacionadas y normalmente distribuidas con E (η t ) = 0 y: # " ¡ ¢ 2 ¡ ¢ −2κ∆t σ χ −κ∆t ρχξ σ χ σ ξ 1 − e 1 − e κ ¢ ρ σ2κσ V ar (η t ) = ¡ σ 2ξ ∆t 1 − e−κ∆t χξ κχ ξ

4

Datos

En esta sección se presenta un análisis descriptivo de los datos que se van a utilizar para realizar las estimaciones. Las series que se estudian son el precio spot de la 12

electricidad y los precios forward a una semana, uno y dos meses y un año de la electricidad3 . Los precios forward de la electricidad están referidos a un perfil de carga base. Al ser contratos no estandarizados que se negocian individualmente entre las partes, se dispone de un precio diario de oferta y otro de demanda. Para obtener un precio diario único en los contratos, se ha tomado la media aritmética del precio de oferta y el de demanda. En la tabla I se presentan los estadísticos descriptivos del precio spot de la electricidad en España, así como de los contratos forward a una semana, un mes, dos meses y un año. Todos estos precios están referidos a un perfil de carga base. La muestra, que contiene datos diarios, empieza el 04/10/2000 y termina el 25/04/2002. El precio spot medio de entrega de un MWh se sitúa en torno a 35,19 EUR con una desviación típica de 13,50 EUR. El precio spot presenta la media y la desviación típica más altos de todas las series analizadas siendo el espectro de esta serie el más amplio de todas las estudiadas con un máximo de 103,76 EUR/MWh y un mínimo de 13,83 EUR/MWh. La mediana, que se sitúa en torno a 36,35 EUR/MWh tiene un valor superior a la media. El coeficiente de asimetría tiene un valor positivo de 1,34, que refleja que el spot tiene una distribución con mayor masa de probabilidad en la cola derecha. La media de los contratos forward va disminuyendo a medida que aumenta el vencimiento de los mismos salvo en el caso del contrato a un año, en el que la media se sitúa por encima de la del contrato con vencimiento inmediatamente inferior, mientras que la desviación típica de los contratos sigue un patrón decreciente a medida que aumenta el vencimiento. La distancia entre el máximo y el mínimo de los contratos es inferior a la del spot y se va haciendo más pequeña a medida que va creciendo el vencimiento de los mismos, 3

Para cada semana se tienen cinco datos de cada forward ya que cotizan de lunes a viernes.

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de nuevo con la excepción del contrato a un año, donde el espectro de precios es ligeramente superior al del contrato con vencimiento a dos meses. Todos los contratos presentan coeficiente de asimetría positivo y exceso de curtosis salvo el contrato con vencimiento a dos meses, que tiene coeficiente de asimetría negativo y su curtosis es muy similar a la de la normal, aunque ligeramente platicúrtica.

5

Resultados empíricos

5.1

Modelo 1

En primer lugar se estima el Modelo 1 bajo el supuesto de que el spot de la electricidad no es observable. Los resultados de las estimaciones aparecen en la tabla II. En ella se dan dos tipos de resultados. El primer bloque de estimaciones es el que procede del modelo suponiendo que las varianzas de cada uno de los cuatro contratos pueden ser distintas. Se puede apreciar que la electricidad presenta una fuerte reversión a la media, con un coeficiente de velocidad de ajuste muy significativo4 , con un valor de 1,237, mientras que la prima de riesgo es positiva y no significativa. La media y la desviación típica del rendimiento del spot tienen signo positivo, como era de esperar, y son significativas, con unos valores estimados de 3,736 y 0,693. Las desviaciones típicas de cada uno de los errores de medida de los cuatro contratos son también significativas, pero no muy elevadas. Dado que los errores de medida tienen una variabilidad menor, el siguiente paso es la estimación del mismo modelo imponiendo que la varianza de los cuatro errores de medida es la misma. Al hacer esto se pretende dotar de mayor sencillez al modelo y ver si mejora la estimación del resto de los parámetros. 4

La significatividad se mide al 95% a lo largo de todo el estudio.

14

Imponiendo este supuesto los parámetros siguen siendo significativos, todos salvo la prima de riesgo, que de nuevo es no significativa. Se obtiene una estimación de la media parecida, aunque ligeramente inferior, mientras que la desviación típica es superior. Los dos parámetros con estimaciones muy distintas respecto al caso anterior son la prima de riesgo y la velocidad de reversión. Aunque ambos conservan su signo, el primero tiene un valor muy pequeño y el segundo muy elevado, ambos en relación al caso anterior. No es de extrañar que la velocidad de reversión sea mayor que en el caso anterior, pues tiene una relación positiva con la desviación típica y como se ha dicho anteriormente, ésta había aumentado. La desviación típica común a los errores de medida de los contratos forward se sitúa en 0,086, que es un valor superior a la que tenían dos de los errores de medida de los contratos anteriores e inferior a los otros dos. Por último cabe destacar que la función log-verosimilitud tiene un valor inferior, como era de esperar, ya que hay menos variables que en el caso anterior. En la tabla III se presentan las estimaciones para el Modelo 1 de la electricidad bajo el supuesto de que el spot es observable. El primer bloque de estimaciones contiene las del modelo con varianzas libres y el segundo con varianzas restringidas. Comparando estos resultados con los del modelo en el que el spot es inobservable se puede apreciar que las estimaciones de los parámetros tienen el mismo signo y conservan su significatividad anterior, pero también se observan diferencias importantes. Una de las principales es el parámetro de velocidad de reversión que pasa de un valor de 1,237 anterior a otro actual de 9,453, lo que indica que, suponiendo conocido el spot de la electricidad, el precio revierte mucho más rápido. Otro de los parámetros que experimenta un cambio importante es la desviación estándar 15

del spot, que pasa a tener un valor de 2,299, lo que significa que el modelo capta mayor variabilidad del spot cuando se incorpora más información. Sin embargo, otros parámetros como la media y la desviación estándar tienen un valor similar. Finalmente cabe subrayar el hecho de que las desviaciones estándar de los errores de medida de los cuatro contratos se mueven en magnitudes similares. El segundo bloque de estimaciones de la tabla III es el que restringe a un único parámetro la desviación estándar de los errores de medida. Dado que en el caso en el que varían libremente se obtienen estimaciones muy parecidas, parece ahora más razonable imponer este tipo de restricción. Los resultados que se obtienen son prácticamente idénticos a los de la estimación sin restringir las varianzas.

5.2

Modelo 2

A la hora de acometer la estimación del modelo empírico se presentan una serie de problemas. El principal consiste en la elección de las condiciones iniciales de la variable de estado y de la varianza del error de predicción a partir de las cuales se van generando las series de predicción. La idea original consiste en escoger la media y la varianza incondicionales del proceso estacionario, sin embargo, y dado que el proceso no es estacionario, no está definida la distribución incondicional del vector de variables de estado. Cuando no existe información previa se recurre a lo que se denomina la distribución difusa, de modo que las condiciones iniciales de la media y la varianza son: X0 = (0, 0)0 P0 = kI

(31)

donde k → ∞. No obstante, este tipo de condición para la varianza inicial no se puede llevar a la práctica, por lo que k se sustituye por un escalar positivo suficientemente grande. 16

Antes de empezar a estimar se simula una muestra con unos valores fijos de los parámetros para luego estimar estos parámetros con la muestra simulada. Este ejercicio se realiza con el fin de asegurar que el programa de estimación recupera los parámetros a partir de los cuales se ha generado la muestra. Para asegurar la fiabilidad del programa de estimación se simulan dos muestras. La primera de ellas tiene un tamaño de mil observaciones, mientras que la segunda tiene el mismo tamaño que la muestra que se está analizando a lo largo de este trabajo. Tanto la primera como la segunda simulación arrojan el mismo resultado: los valores de los parámetros estimados se acercan más a los de simulación cuanto menor es el valor de k. Al implementar las condiciones iniciales en el programa de estimación se presentan problemas de convergencia cuanto mayor es el valor de k. Tras una paulatina reducción del valor de k para tratar de solucionar este problema, se consigue que los parámetros estimados converjan para un valor de k igual a 1. Los resultados se presentan en la tabla IV. Se obtienen una velocidad de ajuste y unas desviaciones típicas de los componentes de corto y largo plazo positivas y significativas, mientras que el coeficiente de correlación es negativo, aunque también significativo. Los parámetros que no resultan significativos son la media de largo plazo y las primas de riesgo.

6

Suavizado

Al estimar por el filtro de Kalman se va generando la serie de predicciones de la variable inobservable, de forma que la predicción se va actualizando según se va incorporando nueva información. El estimador suavizado, por el contrario, tiene en cuenta la información disponible en todo el periodo muestral. En esta sección se va a presentar la serie del estimador suavizado para el modelo de un factor bajo los supuestos de inobservabilidad del spot y varianzas no 17

restringidas. Una vez obtenidas las estimaciones de los parámetros mediante el filtro de Kalman, se almacenan las series de predicciones de la variable de estado y de su varianza condicionales a la información del mismo periodo y del periodo anterior. Con estas series y el valor estimado de los parámetros se ejecuta el filtro desde el final de la muestra hasta el instante inicial con objeto de obtener el estimador suavizado, cuya expresión es:

donde:

¡ ¢ Xt|T = Xt|t + Jt Xt+1|T − Xt+1|t ¡ ¢ Pt|T = Pt|t + Jt Pt+1|T − Pt+1|t Jt0 Jt = Pt|t QPt+1|t

t = 1, ..., T

(32)

Comparando las predicciones del spot dada la información del periodo anterior, que va a denotarse por Xt|t−1 , la que utiliza toda la información del mismo periodo, por Xt|t , y la que está basada en toda la información muestral, por Xt|T , con el precio spot debería cumplirse que el error cuadrático medio, que en adelante pasa a denominarse ECM, de la predicción que contiene toda la información muestral debería ser, en general, menor que el de los estimadores filtrados, pero en ningún caso mayor. En la tabla V se presentan los ECM de las predicciones, tanto para las series en logaritmos como en niveles. En ellas se puede apreciar que el ECM del estimador suavizado no es superior a ninguno de los estimadores filtrados, siendo incluso inferior al del estimador condicional a la información del periodo anterior. En la figura I se representa el estimador suavizado del spot condicional a todo el periodo muestral junto con el spot observado para las series de electricidad. Se puede apreciar que el estimador suavizado recoge el comportamiento del spot con un cierto retraso. Además tiene un comportamiento más suave que la serie del spot, 18

como su propio nombre indica, de forma que no se recoge bien la variabilidad de la serie. Esta situación se hace aún más evidente cuando el spot de la electricidad presenta picos de precios.

7

Predicción

Una vez obtenidas las estimaciones de los parámetros para el periodo muestral considerado, en esta sección se pretende contrastar la validez del Modelo 1, bajo los supuestos de spot no observable y varianzas no restringidas, a la hora de realizar predicciones del spot y de los contratos forward de la electricidad. Se van a presentar dos tipos de predicciones que tratan de cubrir dos horizontes de previsión claramente definidos: el corto y el largo plazo. Las predicciones a corto plazo tienen un horizonte de un día, mientras que las de largo plazo cubren un periodo de un mes. Las primeras se van a obtener mediante la aplicación del filtro de Kalman de forma que, según va llegando información del spot y los forward en cada periodo, se va actualizando la predicción, mientras que las segundas se hallan a partir de las esperanzas condicionales a la información del último día del periodo muestral. Es importante advertir en este punto que los parámetros estimados anteriormente son los que se van a utilizar en las predicciones, es decir, se van a extrapolar al periodo de predicción de forma que no se va a reestimar el modelo periodo a periodo. Esto se hace así porque el periodo muestral que se utiliza en la estimación es relativamente largo en relación a la longitud del periodo que se va a predecir (365 vs 20 en el peor de los casos5 ), por lo que se considera que no se está cometiendo un error importante. Además se pretende evaluar si el modelo estudiado es capaz de realizar buenas predicciones de los precios futuros a partir de los parámetros 5

Se supone que los contratos forward cotizan 20 días a lo largo de un mes (no cotizan los fines de semana).

19

que se han estimado.

7.1

Predicciones a corto plazo: filtro de Kalman

Las predicciones diarias tienen un objetivo claro: proporcionar información sobre la evolución de un determinado precio para la toma de decisiones rápidas. Este tipo de información puede resultar de utilidad para traders que negocian contratos a plazo de la electricidad, así como para grandes consumidores o vendedores de energía que deseen cubrirse frente a fluctuaciones de precios en el corto plazo. Las predicciones diarias se obtienen a partir de la información contenida en los precios de los contratos forward del día anterior, es decir, mediante la aplicación de las ecuaciones del filtro de Kalman: XT +1|T = (Q − KT B) XT |T −1 + KT yT + (c − KT d)

¡ ¢ PT +1|T = Q PT |T −1 − PT |T −1 B 0 FT−1 BPT |T −1 Q0 + V ar (η T )

(33) (34)

donde T es el último día del periodo muestral de estimación, XT +1|T es la predicción del precio spot para el día siguiente a ese último día de la muestra, PT +1|T es la varianza del error de predicción y FT y KT tienen las siguientes expresiones: FT = BPT |T −1 B 0 + V ar(εT )

(35)

KT = QPT |T −1 B 0 FT−1

(36)

Para obtener la predicción del día siguiente de los precios de los contratos forward, basta con tomar la esperanza condicional a la información del periodo anterior en la ecuación de medida (ver ecuación (22)): yT +1|T = d + BXT +1|T

(37)

Aplicando estas ecuaciones de forma recursiva se construyen las predicciones diarias de los precios, en este caso para un horizonte de veinte días6 . 6

Se elige este horizonte de predicción para hacer comparables los dos tipos de predicciones.

20

En la tabla VI aparecen las medias de los errores de estas predicciones, junto con los ECM, tanto para el spot como para los forward con vencimiento a una semana, un mes, dos meses y un año. A la vista de estos estadísticos se puede concluir que el precio que mejor se predice es el del contrato forward con vencimiento a un mes, ya que es el que presenta menor ECM, mientras que la predicción que peor se ajusta al valor realmente observado es la del precio spot de la electricidad. Se va a atender a los ECM a la hora de decir si una serie se predice mejor que otra en lugar de a las medias de los errores, ya que si se hace un simple promedio de los errores pueden compensarse unos con otros. Los ECM, por el contrario, dan una idea de lo alejada que está la predicción del dato realmente observado, penalizando desviaciones por encima y por debajo de forma simétrica7 . Las predicciones del precio spot y de los forward de los cuatro contratos aparecen dibujadas en la figura II. En los gráficos de esta figura también aparecen las bandas de confianza de las predicciones, que son las líneas discontinuas que siguen un perfil paralelo a las predicciones. Las bandas para las predicciones del precio spot de la electricidad se han obtenido a partir de la varianza del error de predicción de la variable inobservable, es decir, de la ecuación (34), mientras que las de los cuatro contratos vienen caracterizadas por la expresión (35), que es la ecuación de la varianza del error de predicción del precio de los contratos forward. En la figura II se presentan los gráficos de las predicciones del precio spot y de los cuatro contratos forward de la electricidad junto con el spot y los precios de los forward realmente observados para el periodo comprendido entre el 26/04/2002 y el 27/05/2002. También aparecen representados los intervalos de confianza de cada una de las predicciones. El precio spot de la electricidad junto con la predicción y sus bandas de con7

Evidentemente, no penaliza de la misma forma si se predice al alza o a la baja, más aún si se trata de un comprador o de un vendedor de este tipo de contratos.

21

fianza se presentan en el gráfico A de la figura II. En él se puede apreciar que la predicción tiene un perfil mucho más suave que el precio spot, ya que éste presenta mayor variabilidad que no es capaz de recoger la predicción. Los intervalos de confianza son estrechos y paralelos a la predicción. Las primeras observaciones del spot presentan un perfil menos estable, de forma que la mayoría de ellas se sitúan fuera de bandas. No obstante, la última parte de la muestra del spot está dentro de estas bandas, pues es donde la serie presenta menor variabilidad. En los restantes gráficos de la figura II aparecen representados los precios realmente observados de cada uno de los cuatro contratos forward de la electricidad, junto con sus predicciones y sus intervalos de confianza. El gráfico B es el del contrato con menor vencimiento, es decir, una semana (F1). Le siguen el gráfico C que es el del contrato con vencimiento a un mes (F2) y el D que es el de vencimiento a dos meses (F3). El último de ellos es el gráfico E que es el del forward con vencimiento a un año (F4). En todos ellos se puede apreciar que la predicción replica bien el comportamiento de la serie observada, ya que esta última tiene un comportamiento muy suave. La predicción que tiene intervalos de confianza más estrechos es la del contrato con vencimiento a un mes, mientras que la presenta las bandas más anchas es la del forward con vencimiento a una semana.

7.2

Predicciones de largo plazo: esperanzas condicionales

El ejercicio que se va a desarrollar consiste en la predicción de los precios de las cuatro semanas siguientes al último día del periodo muestral. Para ello, partiendo de las estimaciones obtenidas anteriormente, se van a calcular las esperanzas condicionales a la información del último día del periodo muestral.

22

Tomando esperanzas condicionales en la ecuación (23) se obtiene lo siguiente: ¡ ¢ XT +l|T = ET (XT +l ) = c 1 + Q + +... + Ql−1 + Ql XT = = c

l−1 X

Qi + Ql XT

(38)

i=0

donde: c = κα∆t,

Q = 1 − κ∆t

(39)

A partir de la ecuación (22) se llega a la expresión de la ecuación de medida en términos de esperanzas condicionales a la información del último día del periodo muestral: ¡ ¢ yT +l|T = ET (yT +l ) = d + Bc 1 + Q + +... + Ql−1 + BQl XT = = d + Bc

l−1 X

Qi + BQl XT

(40)

i=0

donde:

· ¸ ¡ ¢ ∗ σ2 ¡ ¢ −κTi −2κTi 1−e d= 1−e α + , 4κ

£ ¤ B = e−κTi

son vectores de orden N × 1 para i = 1, ..., N, y c y Q tienen las expresiones de las ecuaciones (39). A la hora de obtener las predicciones, la variable XT va a tomar el valor del estimador suavizado en el momento T, es decir, el valor de la predicción de la última observación de la variable inobservable dada la información contenida en todo el periodo muestral. La tabla VII contiene los ECM de las predicciones del spot y de los cuatro contratos forward eléctricos, así como las medias de los errores de predicción. Observando la tabla se distingue que la predicción que mejor se ajusta al precio realmente observado es la del contrato a 1 año, mientras que la que peor se predice es la del spot. Las predicciones del precio spot que da el modelo no captan bien la

23

variabilidad de la serie realmente observada debido a la linealidad de la ecuación (38). En la figura III se presentan los gráficos de las predicciones del precio spot y de los cuatro contratos forward de la electricidad para el mes siguiente al periodo muestral de estimación bajo los supuestos de inobservabilidad del precio spot y varianzas no restringidas. En todos los gráficos aparecen los intervalos de confianza, que se han obtenido a partir de las varianzas del error de predicción8 . Salvo para el caso del precio spot se puede apreciar que, en el resto de los casos, la predicción es inferior a la realización de la serie. En el gráfico A se observa que la predicción del precio spot tiene un comportamiento lineal, como se desprende de la ecuación (38), y ligeramente decreciente debido a que los coeficientes de esta ecuación son menores que uno, mientras que el spot realizado presenta una mayor variabilidad. Los intervalos de confianza se van ampliando según se va acercando el final del horizonte de predicción, de manera que algunas de las observaciones del spot de la primera parte de la muestra se sitúan fuera de dicho intervalo. A la vista de este gráfico se puede concluir que estas predicciones no recogen bien la variabilidad del spot. En el siguiente gráfico (B) se puede ver la evolución del contrato forward a una semana (F1) y su predicción para el periodo comprendido entre el 26/04/2002 y el 27/05/2002. El precio del forward a una semana tiene un comportamiento más suave que el precio spot, como se aprecia en este gráfico en relación con el anterior. Por este motivo la predicción del precio de este contrato forward, que es lineal y ligeramente decreciente, recoge mejor la evolución de la serie observada. El gráfico C de la figura III contiene el forward a un mes (F2) y su predicción para el periodo mencionado anteriormente. De nuevo, se puede observar que al ser 8

Ver apéndice. Habría que añadir, además, el error que procede de sustituir el verdadero valor de los parámetros por el estimado.

24

más suave la evolución del forward, la predicción del mismo mediante esperanzas condicionales capta en cierta medida su comportamiento, si bien es cierto que al presentar el forward una tendencia creciente, la predicción recoge mejor la primera parte de la serie. La evolución del precio del forward a dos meses (F3) y su predicción se recogen en el gráfico D de la figura III. La predicción en la primera parte de la muestra se ajusta mejor a la evolución del forward debido a que éste presenta un comportamiento cercano a la linealidad en ese periodo. Según va aumentando el horizonte temporal, la predicción recoge peor el comportamiento del precio del forward, ya que presenta una tendencia creciente al final de la muestra. El último de los gráficos de la figura III, que es el E, contiene la evolución del precio del forward a un año (F4) y su predicción según el Modelo 1. Cabe destacar que la predicción se ajusta a la evolución del forward de forma casi perfecta en la primera mitad de la muestra, mientras que se aleja un poco en el final de la misma. La causa de ello es que este contrato presenta la evolución más suave de todos los analizados, llegando a ser prácticamente lineal en una parte importante del periodo de predicción.

7.3

Comparación de predicciones

Relacionando los estadísticos de las tablas VI y VII se puede apreciar que las predicciones que mejor se ajustan a las series realmente observadas son las que se han denominado de corto plazo, que han sido obtenidas mediante la aplicación del filtro de Kalman. En todos los casos se obtiene menor media de los errores y un ECM más bajo que en el caso de las predicciones generadas por el método de esperanzas condicionales, lo que indica que las predicciones de corto plazo están más cerca de los valores reales de las series. Los gráficos contenidos en las figuras II y III corroboran esta afirmación. En 25

ellos se puede apreciar que las predicciones de corto plazo se ajustan mejor a la serie real que las de largo plazo. Las primeras replican mejor la tendencia de las series observadas, ya que las segundas tienen un comportamiento lineal y ligeramente decreciente en todos los casos, situándose las predicciones por debajo de la series que tratan de predecir.

8

Conclusiones

En este trabajo se han estudiado dos modelos de valoración de contratos a plazo como herramientas para gestionar el riesgo de precio. Ambos modelos permiten reversión a la media en precios y el segundo permite, además, incertidumbre en el nivel de equilibrio al que los precios revierten. Estos modelos se han estimado con series de precios de electricidad para el periodo comprendido entre el 04/10/2000 y el 25/04/2002. Debido a los problemas de implementación del segundo de los modelos, se concluye que el primero de ellos proporciona mejores resultados. El Modelo 1 se estima bajo dos tipos de supuestos: precio spot no observable y precio spot observable. Además se hacen dos supuestos adicionales: varianzas no restringidas y restringidas. Los mejores resultados se consiguen bajo los supuestos de spot no observable y varianzas libres. Se obtiene fuerte reversión a la media en precios y una velocidad de ajuste elevada. El resto de los parámetros son positivos y muy significativos, salvo la prima de riesgo. Las predicciones de la variable inobservable, generadas por el método de estimación del filtro de Kalman, permiten obtener la serie del estimador suavizado de esta variable de estado teniendo en cuenta toda la información contenida en la muestra. Este estimador suavizado replica con cierto retraso el comportamiento del precio spot de la electricidad. 26

Conservando los parámetros estimados del Modelo 1, se realizan dos ejercicios de predicción para un horizonte temporal de un mes. Uno de ellos proporciona predicciones de los precios a corto plazo, obtenidas por medio del filtro de Kalman, que va actualizando la predicción según va llegando información de los precios forward. El otro proporciona predicciones a largo plazo, que se obtienen tomando esperanzas condicionales a la información del último día de la muestra de estimación. Comparando ambas predicciones se puede concluir que las de corto plazo se ajustan mejor a la serie realmente observada.

27

A

Apéndice

A.1

Filtro de Kalman

Las predicciones de la variable de estado a partir de los datos contenidos en las series de precios forward se construyen a partir de las siguientes ecuaciones: Xt+1|t = (Q − Kt B) Xt|t−1 + Kt yt + (c − Kt d)

(A1)

donde la matriz de ganancia, Kt viene dada por: Kt = QPt|t−1 B 0 Ft−1

(A2)

Ft = BPt|t−1 B 0 + V ar(εt )

(A3)

siendo:

La recursión del error de covarianza se determina por la siguiente expresión:

A.2

¡ ¢ Pt+1|t = Q Pt|t−1 − Pt|t−1 B 0 Ft−1 BPt|t−1 Q0 + V ar (η t )

(A4)

Ecuaciones de actualización del filtro de Kalman

Estas ecuaciones van actualizando las predicciones de la variable de estado y de la varianza del error de predicción basándose en la información de los precios forward que van llegando en cada periodo. Las ecuaciones de actualización son las que siguen: ¡ ¢−1 ¡ ¢0 ¡ ¢ Xt|t = Xt|t−1 + BPt|t−1 BPt|t−1 B 0 + V ar (εt ) yt − yt|t−1 ¡ ¢−1 ¢0 ¡ Pt|t = Pt|t−1 − BPt|t−1 BPt|t−1 B 0 + V ar (εt ) BPt|t−1

28

(A5) (A6)

A.3

Errores de predicción

Los errores de predicción de la variable de estado, obtenidos a partir de las esperanzas condicionales al último día del periodo muestral tienen la siguiente expresión: eT +l|T = XT +l − XT +l|T =

l X

Ql−i η T +i

(A1)

i=1

Los errores de predicción de los contratos forward son: uT +l|T = yT +l − yT +l|T =

l X

BQl−i η T +i + εT +l

(A2)

i=1

A partir de las ecuaciones (B1) y (B2) se obtienen fácilmente las expresiones de las varianzas del error de predicción del spot y los contratos que son respectivamente:

l X

Q2(l−i) V ar(η T +i )

(A3)

BQ2(l−i) V ar(η T +i )B 0 + V ar(εT +l )

(A4)

V ar(eT +l|T ) =

i=1

V ar(uT +l|T ) =

l X i=1

Con estas expresiones se han obtenido los intervalos de confianza de la figura III.

29

Referencias [1] Amin, K. I. y R. A. Jarrow (1991), “Pricing Foreign Currency Options under Stochastic Interest Rates”, Journal of International Money and Finance, 10, 310-329. [2] Clewlow, L. y C. Strickland (1999), “Valuing Energy Options in a One Factor Model Fitted to Forward Prices”, QFRG Research Paper Series, 10. [3] Cox, J. C., J. E. Ingersoll, y S. A. Ross (1981), “The Relation Between Forward Prices and Futures Prices”, Journal of Financial Economics, 9, 321-346. [4] Gibson, R. y E. S. Schwartz (1990), “Stochastic Conveniece Yield and the Pricing of Oil Contingent Claims”, Journal of Finance, 45, 959-976. [5] Hamilton, J. D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press. [6] Harvey, A. C. (1989), Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press. [7] Kellerhals, B. P. (2001), “Pricing Electricity Forwards under Stochastic Volatility”, Eberhard-Karls-Universität Tübingen, Discussion Paper, 209. [8] Lucia, J. y E. S. Schwartz (2002), “Electricity Prices and Power Derivatives: Evidence from the Nordic Power Exchange”, Review of Derivatives Research, 5, 5-50. [9] Palavecino, S. (1999), “Contratación a Futuro en Mercado Eléctrico Español”, Tesina CEMFI. [10] Schwartz, E. S. (1997), “The Stochastic Behavior of Commodity Prices: Implications for Valuation and Hedging”, Journal of Finance, 52, 923-973.

30

[11] Schwartz, E. S. y J. E. Smith (2000), “Short-Term Variation and Long-Term Dynamics in Commodity Prices”, Management Science, 46, 893-911.

31

TABLA I Estadísticos muestrales de precios eléctricos (series en niveles) Tipo Media Desv. Est. Max. Med. Min. Asim. Curt. Spot 35,19 13,50 103,76 36,35 13,83 1,34 6,89 F 1 semana 33,23 10,67 78,00 34,62 16,74 1,44 7,42 F 1 mes 33,18 7,29 63,75 33,45 17,25 0,83 5,54 F 2 meses 32,47 4,68 42,63 32,75 19,50 -0,50 2,86 F 1 año 33,10 3,58 47,50 33,53 21,64 0,13 4,22 Media 33,43 7,94 67,13 34,14 17,79 0,65 5,39 Desv. Est. 1,03 4,14 24,78 1,40 2,95 0,83 1,88 Máximo 35,19 13,50 103,73 36,35 21,64 1,44 7,42 Mínimo 32,47 3,58 42,63 32,75 13,86 -0,50 2,86

Nota: Precios en EUR/MWh. Para cada contrato y el spot se presenta la media, la desviación estándar, el máximo, la mediana, el mínimo, el coeficiente de asimetría y el de curtosis. En la parte inferior de la tabla se dan los estadísticos resumidos de todas las series temporales.

TABLA II Estimaciones del Modelo 1 (spot inobservable) Sin restringir varianzas Varianzas restringidas Parámetros Estimac. Desv. Est. Estimac. Desv. Est. µ 3,736 (0, 322) 3,544 (0, 188) κ 1,237 (0, 067) 5,325 (0, 289) λ 0,163 (0, 322) 0,028 (0, 188) σ 0,693 (0, 041) 0,745 (0, 052) ξ1 0,138 (0, 005) 0,086 (0, 002) ξ2 0,016 (0, 003) ξ3 0,120 (0, 005) ξ4 0,075 (0, 003) Log-verosimilitud 1544,720 1409,364 Nota: estimaciones con 365 observaciones. Todos los coeficientes significativos al 95% salvo la prima de riesgo.

32

TABLA III Estimaciones del Modelo 1 (spot observable) Sin restringir varianzas Varianzas restringidas Parámetros Estimac. Desv. Est. Estimac. Desv. Est. µ 3,753 (0, 247) 3,753 (0, 246) κ 9,453 (0, 322) 9,446 (0, 309) λ 0,154 (0, 247) 0,157 (0, 245) σ 2,299 (0, 065) 2,298 (0, 065) ξ1 0,121 (0, 005) 0,120 (0, 002) ξ2 0,128 (0, 005) ξ3 0,118 (0, 004) ξ4 0,115 (0, 005) Log-verosimilitud 1216,680 1214,578 Nota: estimaciones con 365 observaciones. Todos los coeficientes significativos al 95% salvo la prima de riesgo. TABLA IV Estimaciones del Modelo 2 Parámetros Estimac. Desv. Est. µξ 0,212 (0, 377) κ 5,783* (0, 413) λχ -0,716 (1, 022) λξ 0,290 (0, 377) σχ 1,275* (0, 084) σξ 0,503* (0, 019) ρχξ -0,586* (0, 039) ξ1 0,150* (0, 006) ξ2 0,015* (0, 003) ξ3 0,100* (0, 004) ξ4 0,000 (0, 004) Log-verosimilitud 1960,784 Nota: estimaciones con 365 observaciones. * Significativas al 95%.

33

TABLA V Error cuadrático medio de las predicciones del spot de la electricidad Logaritmos Niveles Xt|t−1 Xt|t Xt|T Xt|t−1 Xt|t Xt|T ECM 0,0514 0,0485 0,0485 79,11 73,43 73,43 TABLA VI Error cuadrático medio y media de las predicciones de largo plazo Tipo Spot F 1 semana F 1 mes F 2 meses F 1 año

Logaritmos Niveles ECM Media ECM Media 0,0136 0,0523 20,36 2,26 0,0010 -0,0044 1,50 -0,18 0,0002 0,0077 0,28 0,30 0,0006 0,0204 0,92 0,79 0,0004 0,0017 0,50 0,07

TABLA VII Error cuadrático medio y media de las predicciones de corto plazo Tipo Spot F 1 semana F 1 mes F 2 meses F 1 año

Logaritmos Niveles ECM Media ECM Media 0,0248 0,1225 37,48 4,92 0,0044 0,0642 6,22 2,41 0,0060 0,0710 8,57 2,68 0,0066 0,0776 9,38 2,92 0,0012 0,0221 1,49 0,77

34

Figura I Spot vs. estimador suavizado (EUR/MWh) 120 100 80 60 40 20 0 04/10/2000 04/01/2001 04/04/2001 04/07/2001 04/10/2001 04/01/2002 04/04/2002

Spot

35

Estimador

Figura II: Predicciones diarias de la electricidad

A: Spot vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

11/05/02

Spot

16/05/02

Predicción

21/05/02

26/05/02

IC

B: F1 vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

F1

11/05/02

16/05/02

Predicción

36

21/05/02

IC

26/05/02

C: F2 vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

F2

11/05/02

16/05/02

Predicción

21/05/02

26/05/02

IC

D: F3 vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

11/05/02

F3

16/05/02

Predicción

37

21/05/02

IC

26/05/02

E: F4 vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

F4

11/05/02

16/05/02

Predicción

38

21/05/02

IC

26/05/02

Figura III: Predicciones de la electricidad a un mes

A: Spot vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

11/05/02

Spot

16/05/02

Predicción

21/05/02

26/05/02

IC

B: F1 vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

F1

11/05/02

16/05/02

Predicción

39

21/05/02

IC

26/05/02

C: F2 vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

F2

11/05/02

16/05/02

Predicción

21/05/02

26/05/02

IC

D: F3 vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

F3

11/05/02

16/05/02

Predicción

40

21/05/02

IC

26/05/02

E: F4 vs. predicción (EUR/MWh) 60 50 40 30 20 10 0 26/04/02

01/05/02

06/05/02

F4

11/05/02

16/05/02

Predicción

41

21/05/02

IC

26/05/02

TESINAS CEMFI 0001 V. Xavier Torres: “Dispersión salarial y cambio tecnológico en la industria española”. 0002 Manuel Naveira: “Asimetrías en las reglas de decisión de política monetaria: Alguna evidencia europea”. 0003 Leticia Rodríguez Artolazábal: “Asignación estratégica de activos: Una aplicación al mercado español”. 0004 Iván Fernández Val: “Oferta de trabajo familiar: Evidencia para el caso español”. 0005 César Martín: “Contratos temporales y productividad”. 0006 José Manuel Montero: “Dinámica conjunta de la inflación y el paro en españa: Un enfoque de incoherencia temporal de la política monetaria”. 0007 Ismael David Bahillo: “El crédito comercial: Un estudio emprírico con datos norteamericanos”. 0008 Antonio Marcelo: “Exchange rate exposure and expectations”. 0009 Graciela Sanromán: “Vivienda y fiscalidad: Un análisis empírico para la economía española”. 0010 Víctor López Pérez: “¿Ha seguido el Banco de España una regla de Taylor con información en tiempo real?”. 0101 Tatiana Alonso and Pedro L. Marín: “Cooperación en I+D: el papel de los centros públicos de investigación”. 0102 Pedro Rey: “Research incentives in competing markets: A model of the development of new vaccines”. 0103 Daniel Santabárbara: “Discriminación de precios y entrada en el mercado de las telecomunicaciones.” 0104 Fernando Navarrete: “Supply and demand shocks and the new Phillips curve”. 0201 Olga Pascual: “Riesgo soberano: ¿Existe?”. 0202 Mercedes Morris: “Conditional skewness in multifactor asset pricing models: An application to the Spanish stock market”. 0203 Jordi Soy: “Diversificación sectorial y geográfica”. 0204 Esther Moral: “Modelos dinámicos para datos de panel censurados: movilidad salarial en España en los años 80”. 0205 María Oroz: “Márgenes y ciclo en la industria manufacturera española”. 0206 Valentín Bote: “Sorting, job contacts and inequality”. 0207 Pedro del Río: “Institutions and the direction of technological progress: an analysis for OECD countries”. 0208 José Antonio Carracena: “Un procedimiento completo para la detección de estacionalidad en series económicas”. 0301 Gabriel Jiménez Zambrano: “Modified maximum likelihood estimation of Tobit models with fixed effects: Theory and application to earnings equation”. 0302 Gema Zamarro: “Evaluación microeconométrico”.

de

políticas

educativas:

un

análisis

0303 Abel Elizalde: “Credit default swap valuation: Application to Spanish firms”.

0304 Ramón Adalid: “Can we trust wealth to predict stock returns?”. 0305 Eva del Barrio: “Factores explicativos de los tipos de interés de mercado: análisis del caso español”. 0306 Carmen Martínez Carrascal: “Análisis del sector aéreo europeo: Modelización de la demanda y análisis del contacto multimercado entre compañías”. 0307 Sergio Gavilá Alcalá: “Technology shocks, nominal rigidities and real wages”. 0308 Esther Espeja: “Valoración de contratos forward de la electricidad”.