Lecturas Matem´ aticas Volumen 35 (1) (2014), p´ aginas 25–56 ISSN 0120–1980

Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark Special values of L−functions: Dirichlet, Dedekind and Stark Elkin O. Quintero

Universidade de S˜ao Paulo, Brasil

Resumen. El objetivo de este escrito es servir como introducci´ on al estudio de una fascinante intersecci´ on entre los enfoques anal´ıticos y algebraicos a la teor´ıa de n´ umeros. En particular, se desea introducir al lector al estudio de la teor´ıa de las llamadas funciones zeta y L. El tema com´ un que trasciende secciones espec´ıficas de este trabajo es el de las implicaciones aritm´eticas de las propiedades anal´ıticas de tales funciones. Las funciones L son funciones meromorfas de una variable compleja s. Existe una gran variedad de tales funciones, empezando por la cl´ asica funci´ on zeta de Riemann, que se generaliza a la funci´ on zeta de Dedekind de un cuerpo de n´ umeros algebraicos arbitrario K, sin olvidar las funciones L de Dirichlet y sus generalizaciones a las funciones L de Hecke y Artin. Todas han sido utilizadas como herramientas en el estudio de problemas profundamente aritm´eticos. Key words and phrases. Zeta function, L−functions, Riemann, Dirichlet, Stark, class number. Abstract. The aim of this paper is to serve as an introduction to the study of the fascinating intersection between analytic and algebraic approaches to number theory. In particular, we want to introduce the reader to the study of the theory of zeta and L functions. The common theme that transcends specific sections of the paper is the arithmetic implications of the analytical properties of such functions. The L functions are meromorphic functions of a complex variable s. There are a variety of such functions, beginning with the classical Riemann’s zeta

26

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

function, which is generalized to the Dedekind’s zeta function of an arbitrary algebraic number field K, without forgetting the Dirichlet’s L functions and their generalizations to Hecke and Artin L functions. All have been used as tools in the study of arithmetical problems. 2010 AMS Mathematics Subject Classification. 11M06, 11M36, 11M41

1.

Introducci´ on

En la segunda secci´ on recordamos algunas de las propiedades m´as elementales de la funci´ on zeta de Riemann, la m´as simple de las funciones L. En la siguiente, nuestra atenci´ on se enfoca en el estudio de las funciones L introducidas por Dirichlet en su demostraci´on del teorema de la infinitud de primos en las progresiones aritm´eticas. Dirichlet proporciona una f´ormula del n´ umero de clases para el valor L(1, χ) en t´erminos de dos cantidades num´ericas ´ıntimamente relacionadas con las propiedades aritm´eticas de un cuerpo cuadr´atico, a saber el n´ umero de clases hd , y su regulador Rd . Luego, en la cuarta secci´ on, se retoma la evoluci´on hist´orica del estudio de valores de funciones L en s = 1, procediendo a la demostraci´on de la f´ormula del n´ umero de clases de Dedekind, que generaliza aquella de Dirichlet. La demostraci´ on de este hermoso resultado involucra partes iguales de an´alisis y aritm´etica, sintetizando resultados previos relativos a la funci´on zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet. Cabe mencionar que hacemos un estudio de las funciones L de Dedekind en el punto s = 0, pues las llamadas conjeturas de Stark se enuncian alrededor de este punto. Finalmente, en la u ´ltima secci´on, se exponen funciones L m´as generales como las de Hecke y las de Artin. Como colof´on, y sirviendo de conclusi´on natural a los temas expuestos, se explica el concepto de regulador de Stark y su conexi´ on conjetural, tambi´en debida a Stark y otros investigadores, con los valores especiales de L(0, χ) de las funciones L de Artin. 2.

La funci´ on zeta de Riemann: ζ(s)

La funci´ on zeta de Riemann conocida ampliamente por la famosa conjetura de Riemann sobre sus ceros, es la funci´on m´as simple de todas las funciones L. En seguida mencionamos hechos importantes de la funci´on ζ(s), y a lo largo del escrito, se ver´ an las relaciones que hay con las otras funciones L. Para no ir en contra de la notaci´on dada en la mayor´ıa de la bibliograf´ıa, dado un s ∈ C lo escribiremos siempre as´ı: s = σ + it. Definici´ on 2.1. Si s ∈ C, donde 1, se define la funci´on zeta de Riemann por la serie ∞ X 1 . ζ(s) = s n n=1 Para esta funci´ on se tiene el siguiente teorema.

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

27

Teorema 2.2. [Producto de Euler.] Para Re(s) > 1 se tiene la siguiente igualdad: −1 Y 1 , ζ(s) = 1− s p p donde el producto recorre todos los n´ umeros primos. Adem´ as, es bien conocido que la funci´on ζ(s) posee una extensi´on holomorfa a C \ {1}, tal como lo expresa el siguiente resultado: Teorema 2.3. La funci´ on ζ(s) tiene una extensi´on holomorfa C \ {1} la cual verifica la ecuaci´ on funcional   1−s −s/2 −(1−s)/2 π Γ(s/2)ζ(s) = π Γ ζ(1 − s) ; 2 adem´ as en s = 1 posee un polo simple, cuyo residuo es 1. Sea ξ(s) definida de la siguiente manera: 1 (1) ξ(s) = s(s − 1)π −s/2 Γ(s/2)ζ(s), 2 entonces ξ(s) es una funci´ on entera y ξ(s) = ξ(1 − s),

(2)

como se ve mediante un c´ alculo directo, gracias a la ecuaci´on funcional del teorema 2.3. 3.

Funciones L de Dirichlet.

Para hablar de funciones L de Dirichlet, es necesario hablar de los llamados caracteres de Dirichlet. Definici´ on 3.1. Si χ : Z → S1 ∪ {0} ⊂ C satisface las siguientes condiciones χ(ab) = χ(a)χ(b) para cada a, b ∈ Z ; χ(a) = 0 solamente si (a, k) 6= 1, entonces χ se llama un car´ acter de Dirichlet m´ odulo k. Si adem´as, para cada divisor d de k, en donde 1 < d < k, existe un entero a ≡ 1 (m´od d), con (a, k) = 1, tal que χ(a) 6= 1, el car´acter se dice primitivo. En caso contrario, decimos que el car´ acter χ no es primitivo. Proposici´ on 3.2. Sea χ un car´acter m´odulo k, entonces χ no es primitivo si, y solo si, χ(a) = χ(b) cada vez que (a, k) = (b, k) = 1 y a ≡ b (m´od d) para alg´ un divisor propio d de k. Demostraci´ on. Supongamos que χ no es primitivo; as´ı existe alg´ un divisor propio d de k tal que para cada l ≡ 1 (m´od d), entonces χ(l) = 1. Adem´as como (a, k) = (b, k) = 1 y a ≡ b (m´ od d), entonces existe a0 tal que aa0 ≡ 1 (m´od k), 0 0 y adem´ as aa ≡ ba (m´ od d). Por tanto, χ(aa0 ) = 1 = χ(ba0 ) .

28

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

Como χ(a0 ) 6= 0, entonces se obtiene χ(a) = χ(b). Para lo rec´ıproco, basta X tomar b = 1.  Definici´
o∗n 3.3. Si χ es un car´acter no∗primitivo m´odulo k, entonces restringido a Z/dZ , es un car´ acter num´erico χ m´odulo d, en donde d es el n´ umero que existe por la anterior proposici´on. Se dice que χ∗ induce el car´ acter χ, o que χ es inducido por χ∗ . Observaci´ on 3.4. Dado k, existen exactamente φ(k) caracteres m´odulo k. El car´ acter χ(a) = 1 para cada (a, k) = 1 ser´a denotado por χ0 y es llamado el car´ acter principal m´ odulo k. Un car´ acter del cual se hablar´a con frecuencia, es el generado por el s´ımbolo a
. Este car´ acter χk (m´od k) se define por la relaci´on de Kronecker b   k χk (n) = . n Definici´ on 3.5. Para un car´ acter de Dirichlet χ m´odulo k, se define la funci´ on L de Dirichlet asociada al car´ acter de Dirichlet χ as´ı: L(s, χ) =

∞ X χ(n) , ns n=1

donde s ∈ C, y σ > 1. Algunas propiedades que se necesitar´an posteriormente son las siguientes (sus demostraciones pueden encontrarse, por ejemplo, en [1]). Si χ es un car´ acter no principal y x > 1, entonces:   X χ(n) 1 = L(1, χ) + O (3) n x n≤x   X χ(n) log n log x = −L0 (1, χ) + O . (4) n x n≤x

Dirichlet estudi´ o estas funciones como funciones de variable real, pero despu´es de los estudios realizados por Riemann a su funci´on zeta como funci´on de variable compleja, se realiz´ o el mismo trabajo a las funciones L de Dirichlet, y se obtuvieron resultados an´ alogos como el siguiente: Teorema 3.6. L(s, χ) es una funci´on anal´ıtica y satisface el producto de Euler: −1 Y χ(p) L(s, χ) = 1− s . (5) p p

29

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

Observaci´ on 3.7. Dado que el anterior resultado es v´alido para cualquier car´ acter de Dirichlet, se tiene la siguiente igualdad:  Y 1 (6) L(s, χ0 ) = ζ(s) 1− s , p p|k

en donde ζ(s) es la funci´ on zeta de Riemann. Dado que ζ(s) tiene un polo de orden 1 en s = 1, por la anterior observaci´on se tiene que L(s, χ0 ) es una funci´on anal´ıtica en C \ {1}, y en s = 1, posee un polo simple cuyo residuo es  Y 1 1− = φ(k). p p|k

Un resultado similar se puede demostrar para χ 6= χ0 , solo que para ello el camino a recorrer es m´ as extenso. Una vez se tenga demostrado el resultado para los caracteres primitivos, se puede extender a cualquier car´acter χ 6= χ0 m´ odulo k, gracias al siguiente lema: Lema 3.8. Sea χ∗ un car´ acter primitivo modulo k1 , y χ un car´acter inducido por χ∗ m´ odulo k, entonces para Re s > 1 se tiene:  Y χ∗ (p) ∗ L(s, χ) = L(s, χ ) 1− . ps p|k p-k1

Demostraci´ on. Como χ(p) = 0 y χ∗ (p) 6= 0 si y s´olo si p|k y p - k1 , se tiene −1 Y  −1 Y   Y χ∗ (p) χ(p) χ∗ (p) 1− L(s, χ) = 1− s = 1− p ps ps p p p|k p-k1

 Y χ∗ (p) ∗ =L(s, χ ) 1− , ps p|k p-k1

con lo cual queda demostrado el lema.

X 

Dado que los caracteres m´odulo k son completamente multiplicativos, se tiene χ2 (−1) = 1. Por tanto, surge de manera natural la siguiente distinci´on: Definici´ on 3.9. Sea χ un car´acter m´odulo k. Si χ(−1) = 1, entonces χ se llama un car´ acter par; en caso contrario, χ(−1) = −1, se llama un car´ acter impar.

30

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

Esta distinci´ on es necesaria para hablar de otro resultado an´alogo al de la funci´ on zeta de Riemann que satisfacen las funciones L de Dirichlet como lo es la ecuaci´ on funcional. M´ as precisamente, se tiene el Teorema 3.10. Sea χ 6= χ0 un car´acter primitivo m´odulo k. Entonces la funci´ on L(s, χ) puede extenderse anal´ıticamente a todo el plano complejo. Adem´as, si ( 0 si χ(−1) = 1 δ= 1 si χ(−1) = −1,    − s+δ 2 s+δ π Γ L(s, χ) , ξ(s, χ) = k 2 entonces se satisface la siguiente ecuaci´on funcional: √ iδ k ξ(1 − s, χ) = ξ(s, χ), G(1, χ) Pk 2πm X donde χ es el car´ acter conjugado de χ y G(1, χ) = m=1 χ(m)e k .  Observaci´ on 3.11.

4.

δ √ 2 i k G(1, χ) = 1

La f´ ormula del n´ umero de clases de Dirichlet.

Aqu´ı vamos ahora a encontrar la primera relaci´on entre an´alisis y ´algebra, ya que se va a relacionar un concepto anal´ıtico, como es el n´ umero de clase de formas de discriminante d, con un concepto algebraico como es el n´ umero de √ clases de ideales del anillo de enteros O = A ∩ Q( ∆) del cuerpo num´eriK √ co K = Q( ∆), en donde A es el conjunto de los enteros algebraicos y ∆ est´ a relacionado con d mediante la siguiente igualdad: ( 4∆ si ∆ ≡ 2, 3 (m´od 4) d= ∆ si ∆ ≡ 1 (m´od 4), Tendremos en cuenta el siguiente teorema importante, conocido como la ecuaci´ on de Pell. √ Teorema 4.1. [La ecuaci´ on de Pell] Si d > 0, existe 1 <  = x0 + y0 d tal que cualquier soluci´ on de la ecuaci´on x2 − dy 2 = 1 puede obtenerse como ±n , en donde n = ±1 ± 2 ± 3 . . . . Esta soluci´on  se X llama la soluci´ on fundamental de la ecuaci´ on de Pell.  Si tenemos una forma cuadr´atica binaria f (x, y) = {a, b, c} = ax2 +bxy +cy 2 donde ac 6= 0, y de tal forma que no se pueda factorizar (lo que implica que d/4 = b2 /4 − ac no es un cuadrado perfecto), el discriminante d de la forma es

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

31

entonces 0 o 1 m´ odulo 4. Adem´as, si la forma satisface (a, b, c) = 1, tal forma se llama primitiva. Se puede considerar una relaci´ on de equivalencia entre formas cuadr´aticas utilizando la siguiente representaci´on:    0  a b/2 a b0 /2 T 0 0 0 0T {a, b, c} = X X, {a , b , c } = X X0 b/2 c b0 /2 c0    0 x x donde X = , X0 = . Entonces diremos que las dos formas son equivay y0 lentes: {a, b, c} ∼ {a0 , b0 , c0 } si existe una matriz A ∈ M2×2 (Z) tal que X = AX 0 y det A = 1. Teorema 4.2. Si dos formas f (x, y), g(x, y) de discriminante d < 0 son equivalentes, entonces la equivalencia se lleva a cabo mediante wd matrices diferentes, en donde:   6 si d = −3. wd = 4 si d = −4.   2 en otro caso. En el caso d > 0, la situaci´on es m´as complicada, ya que se deben buscar soluciones de la ecuaci´ on t2 − du2 = 4. Por el teorema de la ecuaci´on de Pell, dichas soluciones vienen dadas de la forma ±n . Por esta raz´ on si d > 0 se considera wd = 1. √ Si denotamos con ClK , K = Q( ∆), al conjunto de todas las clases de formas de discriminante d m´ odulo la relaci´on de equivalencia ∼, y con h(d) al n´ umero de clases de formas primitivas de discriminante d, entonces, gracias a la siguiente proposici´ on, el hecho de que h(d) sea finito sale de manera inmediata. Teorema 4.3. En cada clase de formas siempre hay una que satisface la condici´ on |b| ≤ |a| ≤ |c|. Demostraci´ on. Si la forma es positiva, como a > 0, entonces – Si c < a entonces se hace x = Y y y = −X para obtener la forma equivalente {c, −b, a}. – Si |b| > a se hace la sustituci´on x = X + uY y y = Y en donde u es tal que |b1 | = |b + 2ua| < a para obtener la forma equivalente {a, b1 , c1 } donde c1 cumple que b21 − 4ac1 = d.

32

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

Este proceso para al cabo de un n´ umero finitos pasos. El caso general se puede X obtener mediante una variaci´ on de este algoritmo.  A partir de esto se puede ver f´acilmente que cualquier forma definida positiva es equivalente a una cuyos coeficientes satisfacen: ( −a < b ≤ a si c > a (7) 0≤b≤a si c = a Si una forma cuadr´ atica se encuentra como se acaba de plantear, ella se llama una forma reducida. Definici´ on 4.4. Si #ClK = h(d), entonces d se llama un discriminante fundamental. Se observa que un discriminante fundamental D es aquel que no se puede expresar de la forma D = d0 t2 en donde d0 es un discriminante. Por tanto, si D ≡ 0 m´ odulo 4, D/4 es 2 o 3 m´odulo 4. Dado√D un discriminante fundamental, se considera el cuerpo cuadr´atico √ K = Q( D) = Q( d) donde d es tal que ( 4d si D ≡ 0 (m´od 4), D= d si D ≡ 1 (m´od 4). y tambi´en se considera el anillo de enteros OK de K, el cual en este caso particular est´ a conformado por:  √ Z[ d] si d ≡ 2, 3 (m´od 4) √ OK = Z[ 1 + d ] si d ≡ 1 (m´od 4), 2 A trav´es de un c´ alculo sencillo, se tiene que el discriminante ∆ del cuerpo K coincide justamente con D. Por otro lado, dado que las unidades α de OK satisfacen NK/Q (α) = ±1, para buscar las unidades se deben buscar por tanto soluciones de ±1 = x2 − dy 2 . Si d < 0 estas ecuaciones tienen un n´ umero√ finito de soluciones. Ellas son: {1, ζ, ζ 2 , ζ 3 = −1, ζ 4 , ζ 5 } en donde ζ = 1+ 2 −3 si d = −3, {1, i, −1, −i} si d = −1 y {1, −1} en otro caso. Si d > 0, por el teorema 4.1, la anterior ecuaci´on tiene infinitas soluciones, adem´ as existe una tal que ±n0 son todas las unidades de OK . Tal unidad 0 se llama la unidad fundamental de K. Obs´ervese que si  es la soluci´on fundamental de la ecuaci´ on de Pell y NK/Q (0 ) = −1, entonces 20 = . En caso contrario  = 0 . Sean ahora I un ideal de OK y {α1 , α2 } una base para I que satisface √ α1 α20 − α10 α2 = N (I) D , (8)

33

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

√ √ donde α0 = a − b d si α = a + b d, y N (I) es la norma del ideal. Se puede construir entonces la siguiente forma cuadr´atica: N (α1 x + α2 y) f (x, y) = . N (I) Con este procedimiento se ha relacionado cada ideal con base {α1 , α2 } a una forma cuadr´ atica. Lo importante es que su rec´ıproco tambi´en es verdadero lo que nos permite enunciar el siguiente teorema: Teorema 4.5. Cualquier forma {a, b, c} de discriminante D se relaciona con un ideal I de OK cuya base {α1 , α2 } cumple con la condici´on de la ecuaci´on (8). Demostraci´ on. Si D < 0, entonces a > 0. Al tomar α1 = a, α2 = tiene que N (I) = a y

√ b− D , 2

se

N (α1 x + α2 y) = ax2 + bxy + cy 2 . N (I) √ √ √ Si D > 0, al tomar α1 = a D, y α2 = (b− 2D) D , se tiene que N (I) = −aD y N (α1 x + α2 y) X = ax2 + bxy + cy 2 .  N (I) Definici´ on 4.6. i) Si I, J son ideales de OK tales que existe γ ∈ K \ {0} y satisface γJ = I, I, J se llaman equivalentes y escribimos I ∼ J. ii) Si γ en el anterior item satisface que NK/Q (γ) > 0, I, J se llaman estrictamente equivalentes y escribimos I ≈ J. Teorema 4.7. Dos formas cuadr´aticas son equivalentes si y solo si sus respectivos ideales son equivalentes en el sentido estricto. Demostraci´ on. (⇐). Si I = γJ en donde N (γ) > 0, y adem´as g se relaciona con J, y f se relaciona con I, entonces N (β1 x + β2 y) N (γα1 x − γα2 y) N (α1 x − α2 y) g= = = , N (J) N (J) N (I) X luego g est´ a relacionada con I, por tanto, g ∼ f .  Si denotamos por FK el conjunto de todos los ideales de OK , h0 = #(FK /∼ ), h = #(FK /≈ ), se tiene que h = h(d) y adem´as ( h si D < 0 o si D > 0 y N (0 ) = −1 h0 = h (9) si D > 0 y N (0 ) = 1. 2 Con esta u ´ltima ecuaci´ on, se han relacionado dos n´ umeros con caracter´ısticas aparentemente muy diferentes. Veamos ahora el valor exacto de h para finalmente obtener la f´ormula de Dirichlet, donde adem´ as de eso, se relaciona con el valor L(1, χd ) 6= 0.

34

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

Definici´ on 4.8. La pareja (x, y) se dice una soluci´ on propia de f (x, y) = k si satisface la ecuaci´ on y adem´ as (x, y) = 1. Definici´ on 4.9. Sea d > 0. Se dice que una soluci´on propia √ de f (x, y) = k es una soluci´ on primaria de f si cumple: Si L = 2ax + (b + d)y, entonces L L > 0 y 1 ≤ < 2 , L donde  es la soluci´ on fundamental de la ecuaci´on de Pell. Dado que hay h(d) formas primitivas de discriminante d, de cada clase se selecciona un representante fi tal que f1 , f2 , . . . , fh(d) sea un sistema completo. Teorema 4.10 1 l´ım N →∞ N

X X d  m

1≤k≤N m|k (k,d)=1

=

φ(|d|) L(1, χd ) |d|

Teorema 4.11 Sean m > 0 y una elipse o una hip´erbola centrada en el origen (en el u ´ltimo caso, se toma las dos ramas de la hip´erbola junto con las dos l´ıneas rectas que pasan a trav´es del origen). √ Se denota con I el ´area dentro de la regi´ on. Si se multiplica cada punto por N , se denota con U (N ) al n´ umero de puntos en el ret´ıculo de la figura ampliada cuyas coordenadas satisfacen: x ≡ x0

(m´od m),

y ≡ y0

(m´od m).

Entonces l´ım

N →∞

U (N ) I = 2. N m

Demostraci´ on. Al formar un ret´ıculo en la figura original con l´ıneas rectas ortogonales tales que y0 + sm √ , N √ se tiene un ret´ıculo cuadrado cuyo lado mide m/ N . Si se denota por W (N ) el n´ umero de cuadrados cuyas esquinas suroeste est´an dentro de la elipse o la hip´erbola, entonces U (N ) = W (N ). Dado que el ´area de cada cuadrado en el ret´ıculo es m2 /N , se sigue del teorema fundamental de c´alculo que ZZ m2 I= dydx = l´ım W (N ) N →∞ N x=

x0 + rm √ , N

de donde se concluye el resultado.

X 

y=

35

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

Si R(k, f ) es el n´ umero de representaciones propias de k por la forma f , se va a evaluar el promedio de R(k, f ), es decir 1 X R(k, f ), l´ım N →∞ N 1≤k≤N (k,d)=1

y ver que no depende de f , de manera que se podr´ıa hallar el valor de h(d) de una manera m´ as f´ acil. Teorema 4.12. 1 l´ım N →∞ N

X

R(k, f ) =

1≤k≤N (k,d)=1

 √2π φ(|d|)    |d| |d|

si d < 0

  φ(d)  log √ 

si d > 0.

d

d

Demostraci´ on. Si d < 0, entonces X

R(k, f )

1≤k≤N (k,d)=1

es el n´ umero de pares de enteros (x, y) que satisfacen 0 < f (x, y) ≤ N,

(f (x, y), d) = 1.

La segunda condici´ on fuerza a x, y a recorrer un sistema completo de residuos m´ odulo |d|. De ah´ı es suficiente considerar entonces los pares de enteros x, y que satisfacen f (x, y) ≤ N,

x ≡ x0

(m´od |d|),

y ≡ y0

(m´od |d|).

(10)

Ahora, si d > 0, argumentando como antes, se necesita el n´ umero de puntos (x, y) que satisfacen f (x, y) ≤ N, x ≡ x0

L 1 ≤ < 2 , L y ≡ y0 (m´od d).

L > 0,

(m´od d),

(11)

Por el teorema 4.11, tal n´ umero de puntos es U (N ), adem´as X X U (N ) = R(k, f ). (x,y) (f (x,y),d)=1

1≤k≤N (k,d)=1

Por tanto, 1 N →∞ N l´ım

X 1≤k≤N (k,d)=1

1 N →∞ N

R(k, f ) = l´ım

X (x,y) (f (x,y),d)=1

U (N ).

36

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

Por el teorema 4.11, l´ımN →∞ 1 N →∞ N l´ım

U (N ) N

X

no depende de f ni de (x, y); as´ı R(k, f ) = |d|φ(|d|)

1≤k≤N (k,d)=1

I . d2

Si se logra ver que

I=

 √2π    |d|

si d < 0

   log √ 

si d > 0,

d

el teorema quedar´ a demostrado. p Si d < 0, el ´ area de la elipse f (x, y) ≤ 1 es bien conocida. Su valor es 2π/ |d| tal como se quiere. Si d > 0, la condici´ on representa un sector de la hip´erbola acotado por dos l´ıneas rectas a trav´es del origen. Se puede asumir que a > 0. Dado que √ √ L = 2ax + (b + d)y, L = 2ax + (b − d)y, entonces se tiene que LL = 4af (x, y) y de ah´ı L > 0. RR El ´ area requerida de la hip´erbola es I = dxdy en donde la regi´on de ≤ 4a, L > 0 y 1 ≤ L/L < 2 . Al calcular esta integral integraci´ on es sobre LL √ X se tiene que I = log / d, con lo cual el teorema queda demostrado.  Teorema 4.13.

h(d) =

 p wd |d|    L(1, χd )   2π

si d < 0

√    d   L(1, χd ) log 

si d > 0.

Observaci´ on 4.13. Gracias a la ecuaci´on (9) se tiene  p   wd |d| L(1, χd ) si d < 0    2π h0 = √    d   L(1, χd ) si d > 0. 2 log 0 √ donde 0 es la unidad fundamental de Q( d).

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

5.

37

La funci´ on L de Dedekind.

Ahora vamos a recordar algunos resultados b´asicos de teor´ıa algebraica de n´ umeros. La mayor´ıa de los resultados enunciados ac´a, se encuentran demostrados en libros tales como [2, cap. 2] y [3, cap. 1]; por tal motivo, si el lector est´ a interesado en profundizar los resultados expuestos, est´a ampliamente invitado a consultar alguna de estas referencias. Sea K una extensi´ on finita de Q de dimensi´on n. Sea OK es el conjunto de enteros algebraicos de K. Proposici´ on 5.1. OK es un grupo libre de rango n sobre Z, es decir, existen α1 , α2 , . . . , αn ∈ OK tales que si α ∈ OK , existen a1 , a2 , . . . , an ∈ Z donde α = a1 α1 + · · · + an αn . El conjunto conformado por {α1 , α2 , . . . , αn } se conoce como una base entera para OK . Como cada extensi´ on finita de Q es separable, se utilizan las propiedades de traza y norma con las notaciones habituales para un elemento α ∈ K: T rK/Q (α) y NK/Q (α) respectivamente. El discriminante del cuerpo de n´ umeros K, ser´a denotado por ∆K . Si K es un cuerpo de n´ umeros de grado n sobre Q, existen exactamente n encajes distintos de K en el cuerpo C. Esos encajes se clasifican de la siguiente manera: Definici´ on 5.2. Si la imagen del cuerpo K bajo el encaje σ est´a contenido en R, tal encaje se llama real; en caso contrario, el encaje es llamado complejo. Observaci´ on 5.3. Si σ es un encaje complejo, entonces σ 6= σ, de manera que hay un n´ umero par de encajes complejos. Se va a denotar por r1 el n´ umero de encajes reales de K, y por r2 el n´ umero de encajes complejos no conjugados de K, de manera que se tiene n = r1 + 2r2 . Adem´ as, se tendr´a en cuenta el siguiente orden para dichos encajes: σ1 , σ2 , . . . , σr1 son los r1 encajes reales, y σr1 +1 , σ r1 +1 , σr1 +2 , σ r1 +2 , . . . , σr1 +r2 , σ r1 +r2 los encajes complejos. Definici´ on 5.4. Sea α1 , α2 , . . . , αn un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn , el conjunto M que consta de los vectores de la forma a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn , donde ai ∈ Z, es llamado un ret´ıculo completo sobre Rn , y {α1 , α2 , . . . , αn } una base para M. Adem´ as, si T = {a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn | 0 ≤ ai < 1},

38

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

T es llamado un paralelep´ıpedo fundamental del ret´ıculo M. Es conveniente dotar a Rr1 × Cr2 con la siguiente norma: X X x2i + 2 |xi |2 . ||x||2 = i≤r1

(12)

r1 1)

(21)

x∈M∩Y

donde M es un ret´ıculo completo en Rr1 × Cr2 cuyo covolumen est´a dado por ∆ y Y es un cono en Rr1 × Cr2 tal que el origen no est´a en Y , se tiene Teorema 6.3. La serie Z(s) converge para cada s > 1 y v l´ım (s − 1)Z(s) = , s→1 ∆ donde v es el volumen del conjunto T dado por: T = {x ∈ Rr1 × Cr2 | |N (x)| ≤ 1}. Como en la anterior f´ ormula aparece el volumen del conjunto T , ahora se va a calcular tal valor. Hay que tener en cuenta que si  es una unidad de OK , entonces la transformaci´ on en Rr1 ×Cr2 dada por x → j()x preserva el volumen de una regi´ on, pues el determinante de la transformaci´on es |NK/Q ()| = 1. Teorema 6.4. El volumen del conjunto T est´a dado por la f´ormula 2r1 (2π)r2 R v= . w Calcular el volumen v directamente no es sencillo, por esta raz´on se calcular´ a un volumen que est´ a relacionado con v. Se tendr´a en cuenta que la norma utilizada en Rr1 × Cr2 es la definida en la ecuaci´on (13). Demostraci´ on. Sea ς la ra´ız de la unidad contenida en K tal que arg σ1 (ς) = 2π/w. Para cada 0 ≤ k ≤ r se consideran los conjuntos Tk donde: T −→Tk x −→j(ς k )x . Por lo mencionado antes de este teorema, Tk tiene el mismo volumen de T . Dado que |N (j(ς k )x)| = |N (x)||N (ς k )| = |N (x)|, l(j(ς k )x) = λ(ς k ) + l(x) = l(x) arg(j(ς k )x)1 = arg x1 +

2πk w ,

entonces x ∈ Tk si a. 0 ≤ |N (x)| < 1. b. Los escalares ξi de la ecuaci´on (20) cumplen que 0 ≤ ξi < 1.

44 c.

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

2πk 2π(k + 1) ≤ arg x1 < . w w

0 Por S tanto, T = T0 , T1 , . . . , Tw−1 son conjuntos dos a dos disjuntos. Sea T = Tk y T = {x ∈ T 0 | x1 > 0, x2 > 0, . . . , xr1 > 0}. Sea el punto η = (δ1 , . . . , δr1 , 1, . . . , 1) ∈ Rr1 × Cr2 donde δi ∈ {−1, 1}. La transformaci´ on dada por x → j(η)x preserva el volumen de T , y la imagen de T bajo la transformaci´ on, es un subconjunto de T 0 . Al considerar las 2r1 posibles transformaciones, la uni´on de las im´agenes de todas ellas coincide con T 0 . Por tanto, Vol(T 0 ) = 2r1 Vol(T ). Como Vol(T 0 ) es w veces el volumen v del conjunto T, entonces

2 r1 (22) Vol(T ), w de manera que es suficiente calcular el volumen del conjunto T . Al retomar la ecuaci´ on (16), dado que |NK/Q (i )| = 1 para cada unidad fundamental, entonces por la descomposici´on de la ecuaci´on (20), se tiene que para x ∈ R r 1 × Cr 2 log |N (x)| = ξ(r1 + 2r2 ) = nξ, por tanto, el coeficiente ξ en la descomposici´on de la ecuaci´on (20) est´a dado por log |N (x)| ξ= , n y as´ı se obtiene que v=

log |N (x)| ∗ l + ξ1 λ(1 ) + · · · + ξr λ(r ); n de manera que al tomar la componente i-´esima del vector l(x) se tiene ai log |N (x)| X li (x) = + ξk λi (k ), n l(x) =

(23)

k≤r

donde ai se toma como en la ecuaci´on (15). Para calcular el volumen de T , es conveniente hacer el cambio de variable siguiente: xk = ρk  yk = ρr1 +k cos φk zk = ρr1 +k sin φk

k ≤ r1 r1 < k ≤ r1 + r2

,

donde xr1 +k = yk + izk . Un c´ alculo directo da el valor del jacobiano como J = ρr1 +1 · · · ρr1 +r2 .

(24)

El conjunto T queda descrito de la siguiente forma en t´erminos de las variables {ρi }, {φk }:

45

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

a. 0 ≤ φi < 2π. Q b. ρ1 > 0, . . . , ρr1 +r2 > 0 y ρai 1 ≤ 1. c. Los coeficientes ξi en la ecuaci´on Y  X aj aj log ρj = ξi λj (i ), log ρai i + n i i satisfacen que 0 ≤ ξi < 1. Al hacer el cambio de variable a {ξ, ξ1 , . . . , ξr } dado por X aj a log ρj j = log ξ + ξi λj (i ) n i

(25)

se tiene que ξ=

Y

ρai i .

Por tanto, el conjunto T queda determinado en las variables ξ, ξ1 , . . . , ξr por las condiciones 0 ≤ ξ ≤ 1,

0 ≤ ξi < 1

para cada i = 1, 2, . . . , r.

El jacobiano de esta u ´ltima transformaci´on es:  ρ1 ρ1 λ1 (1 ) ··· nξ  .. . .. J = det  . ρr1 +r2 ρr1 +r2 λr1 +r2 (1 ) · · · nξ 2 =

 ρ1 λ1 (r )  ..  . ρr1 +r2 λr1 +r2 (r ) 2

ρ1 · · · ρr1 +r2 R . nR = r2 nξ2r2 2 ρr1 +1 · · · ρr1 +r2

(26)

Con estos cambios de variable, dado que el producto de los dos jacobianos (24) y (26) es R/2r2 y que el elemento de volumen seg´ un la ecuaci´on (12) es 2r2 dx1 · · · dxr d Re xr1 +1 d=xr1 +1 · · · d Re xr1 +r2 d=xr1 +r2 , el volumen de T queda expresado de la siguiente forma: Z 2π Z 2π Z 1 Z 1 R Vol T = r2 ··· ··· 2r2 dξdξ1 · · · dξr dφ1 · · · dφr2 2 0 0 0 0 = (2π)r2 R. Gracias a la expresi´ on dada en la ecuaci´on (22), se tiene entonces que v=

2r1 (2π)r2 R w

X tal como se quer´ıa.  Con estos argumentos, entonces se puede calcular el siguiente l´ımite: Teorema 6.5.[N´ umero de clases de Dedekind.] l´ım (s − 1)ζK (s) =

s→1

2r1 (2π)r2 RhK p w |∆K |

46

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

donde hK es el n´ umero de clases de ideales de K, R es el regulador del cuerpo, y w es el n´ umero de ra´ıces de la unidad contenidas en K. Gracias al teorema 6.5, se sigue de inmediato el siguiente corolario. Corolario 6.6. La funci´ on ZK (s) tiene polos simples en s = 0 y s = 1 cuyos residuos son: 2r1 +r2 hK R 2r1 +r2 hK R − y , w w respectivamente. Gracias al residuo de la funci´on ZK (s) en s = 0, se puede verificar de manera f´ acil el siguiente corolario: Corolario 6.7. La funci´ on ζK (s) tiene un cero de orden r en s = 0 y su primer coeficiente en el desarrollo de Taylor al rededor de cero es −

RhK . w

La siguiente funci´ on no es m´as que una generalizaci´on de la funci´on zeta de Dedekind, y las demostraciones de los resultados que se obtienen, siguen las mismas pautas. Por tanto, los teoremas presentados no los demostraremos. Definici´ on 6.8. Por un lugar de K, se entender´a una clase de equivalencia de valores absolutos no triviales sobre el cuerpo K. Un conocido teorema dice que cada lugar de K viene de la valuaci´on p−´adica para un primo p, o es el valor absoluto de los encajes de K. A los u ´ltimos se les conoce como lugares infinitos, y con S∞ denotaremos el conjunto de tales lugares. Sea S un conjunto finito de lugares de K tal que S∞ ⊂ S. Para Re(s) > 1, la funci´ on zeta de Dedekind incompleta est´a dada por Y ζK,S (s) = (1 − N(p)−s )−1 . p6∈S S En este caso, al hablar de ideal fraccionario de K, se habla de un OK −m´odulo, y se denota por hS el n´ umero de clases de ideales de K respecto al anillo S OK . Por el corolario 5.17, si r = #S − 1 existen unidades u1 , . . . , ur tales que {u1 , u2 , . . . , ur } es una base para K S . Dado un lugar arbitrario p0 ∈ S, RS = det (log |ui |p ) 1≤i≤r p∈Sr{p0 }

es llamado el S−regulador de K, y no depende de la elecci´on de p0 . Con estas definiciones, se generaliza el corolario 6.7 mediante la siguiente proposici´ on:

47

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

Proposici´ on 6.9. La funci´ on ζK,S (s) satisface que ζK,S (s) ∼ −

hS RS r s w

en una vecindad de s = 0. No se puede dar por terminada esta parte sin antes relacionar la funci´on zeta de Dedekind con la funci´on L de Dirichlet. Teorema 6.10. La funci´ on zeta de Dedekind de un cuerpo cuadr´atico de discriminante D satisface la siguiente igualdad: ζK (s) = ζ(s)L(s, χ)

Dado que ζ(s) tiene un polo en s = 1 con residuo 1, entonces se tiene: Si D > 0, entonces r1 = 2 y r2 = 0, por tanto, seg´ un el teorema 6.5, 2R L(1, χ) = l´ım (s − 1)ζ(s)L(s, χ) = l´ım (s − 1)ζK (s) = √ h. s→1 s→1 d El regulador R de un cuerpo cuadr´atico cuando D > 0 es R = log 0 , donde 0 es la unidad fundamental de OK . Si D < 0, entonces r1 = 0 y r2 = 1, por tanto el regulador del cuerpo es 1, y seg´ un el teorema 6.5, L(1, χ) = l´ım (s − 1)ζ(s)L(s, χ) = l´ım (s − 1)ζK (s) = s→1

s→1

2π p

wd

|d|

h.

Esto es justo lo que nos dice la observaci´on 4.13. Luego hasta el momento, la funci´ on zeta de Riemann, las funciones L de Dirichlet y finalmente, la funci´on zeta de Dedekind, est´ an profundamente relacionadas. 7.

Conjeturas de Stark sobre valores especiales de funciones L m´ as generales.

En esta u ´ltima secci´ on, se dar´a una peque˜ na explicaci´on, sin entrar en detalles, acerca de funciones L m´ as generales como lo son las L de Hecke y las L de Artin; se presentar´ an su ecuaciones funcionales, y como cierre de este escrito, se expondr´ a una conjetura de Stark en su forma m´as simple, ya que a trav´es de los a˜ nos, han sido reformuladas y generalizadas, que solo entender su enunciado nos llevar´ıa quiz´ a un escrito similar a este. El lector interesado en entrar en los detalles expuestos puede consultar por ejemplo [3, 4, 5]. Antes de enunciar lo que son las funciones L de Hecke, es necesario algunas notaciones b´ asicas. Sea f un ideal entero de K, sea I(f) = {a |a es ideal fraccionario de K y es primo relativo a f}.

48

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

Por primo relativo se entender´ a un ideal a tal que ning´ un ideal primo que divide a f aparece en la descomposici´on de a; P (f) est´a definido por P (f) = PK ∩ I(f); y adem´ as K(f) = {α ∈ K | (α) ∈ P (f)}. Por Kf se notar´ a el conjunto formado por aquellos elementos α ∈ K(f) tales que α ≡ 1 m´ od ∗ f, en donde α ≡ 1 m´od ∗ f significa α≡1

m´od fOT ,

con T = ∪p|f p. Finalmente por Pf se entender´a el subgrupo de P (f) formado por los ideales principales (α) tales que α ∈ Kf . Definici´ on 7.1. Sea χ : I(f) −→ C un car´acter del grupo I(f). Si existe un homomorfismo continuo χ∞ de (R ⊗Q K)∗ −→ C que satisface χ((α)) =

1 χ∞ (α)

para cada α ∈ Kf , entonces el car´acter χ se llama un car´ acter de Hecke m´ odulo f y χ∞ es llamado su tipo infinito. Cabe recordar que R ⊗Q K ∼ = Rr1 × Cr2 si 1 ⊗ α → (σi (α)) en donde {σi } se toma como en la ecuaci´ on (14). Definici´ on 7.2. Si el car´ acter de Hecke χ m´odulo f es tal que χ0 |I(f) = χ en 0 donde χ es un car´ acter de Hecke m´odulo f0 y f0 es el ideal m´as grande para el cual se tiene la restricci´ on, entonces f0 es llamado el conductor del car´ acter χ. Definici´ on 7.3. Sea (pσ ) ∈ Rr1 × C2r2 donde σ recorre el conjunto de encajes de K, se dice que (pσ ) es un elemento admisible si pσ ∈ {0, 1} cada vez que σ sea real, y pσ pσ = 0 si σ es complejo y pσ , pσ ∈ Z+ ∪ {0}. Si para los elementos en Rr1 × C2r2 , las operaciones realizadas se hacen componente a componente, entonces el car´acter χ∞ se puede expresar de la siguiente manera: Proposici´ on 7.4. Si χ es un car´acter de Hecke m´odulo f y χ∞ es su tipo infinito, entonces existen elementos u ´nicos p, q ∈ Rr1 × C2r2 donde p es un elemento admisible tal que χ∞ (x) = N (xp |x|−p+iq ). Como los elementos p, q determinan el car´acter χ∞ , entonces se dice que el car´ acter χ es de tipo (p, q). Definici´ on 7.5. Para un car´ acter de Hecke χ m´odulo f, se define la funci´on L de Hecke asociada a χ como Y 1 L(s, χ) = , 1 − χ(p)N(p)−s p

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

49

donde el producto recorre todos los ideales primos de K, excepto aquellos que dividen a f. Como ya se mencion´ o anteriormente, Hecke logr´o demostrar que este tipo de funciones L se pod´ıa prolongar anal´ıticamente a todo el plano complejo, excepto a lo m´ as algunos puntos. John Tate en su tesis doctoral dirigida por Emil Artin en 1950, hizo una demostraci´on m´as transparente de este hecho utilizando id´eles, objetos matem´aticos que fueron introducidos por Weil y Chevalley en los a˜ nos treinta y cuarenta. La importancia del trabajo de Tate, es que fue justamente ´el, el primero en usar an´ alisis de Fourier ad´elico, en donde las funciones L surgen de manera natural, y hace que su demostraci´on sea mucho m´as sencilla. Adem´as interpret´ o los caracteres de Hecke como representaciones automorfas del grupo GL(1) de id´eles del cuerpo K, de manera que abri´o la puerta a generalizaciones de representaciones automorfas de otros grupos, por ejemplo GL(N ) cuando N > 1. En el caso en que N = 2 y K = Q, corresponde justamente a las formas modulares cl´ asicas y sus respectivas funciones L. Lo que realmente se destaca de la continuaci´on anal´ıtica, es que en la demostraci´ on lo que realmente se prueba es lo siguiente: Teorema 7.6. Sea χ un car´ acter m´odulo f y L(s, χ) su funci´on L asociada. Si se define Λ(s, χ) = (|∆K |N(f))s/2 L∞ (s)L(s, χ), donde L∞ es definido por la ecuaci´on 18, y N(f) es la norma del ideal f, entonces Λ(s, χ) admite una continuaci´on anal´ıtica a C r {T r(−p + iq)/n, 1 + T r(p + iq)/n}, donde T r es la suma de las componentes del vector evaluado, y p, q est´an dados por la proposici´ on 7.4. Adem´ as se satisface la ecuaci´on funcional Λ(s, χ) = W (χ)Λ(1 − s, χ) donde el n´ umero W (χ) que aparece en la ecuaci´on, tiene norma 1. Se observa que si el car´ acter χ es el trivial m´odulo OK , la funci´on L de Hecke no es otra cosa que la funci´on zeta de Dedekind asociada al cuerpo K, como se puede verificar gracias al teorema 5.11, funci´on de la cual se conoce m´ as que la ecuaci´ on funcional, pues tambi´en se conoce el valor de los residuo en sus dos polos. Luego las funciones L de Hecke son generalizaciones de las tres funciones mencionadas anteriormente: zeta de Riemann, L de Dirichlet y zeta de Dedekind. As´ı como se hizo con las funciones L de Hecke, se necesitan algunas nociones previas antes de definir la funci´on L de Artin. Sean F, K cuerpos de n´ umeros tal que F/K es una extensi´on de Galois finita.

50

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

Definici´ on 7.7. Sea G = Gal(F/K) y sea ρ : G → GL(V ) una representaci´on compleja de G. La funci´ on χ:G→C g → χ(g) = T rρ(g), donde T r es la funci´ on traza, se llama el car´ acter de G asociado a la representaci´ on ρ. Teorema 7.8. Dos representaciones de G son isomorfas si y solo si, tienen asociado el mismo car´ acter. Un poco de formalismo lleva a hablar del car´ acter inducido y del car´ acter obtenido por inflaci´ on. Si H ≤ G cuyo orden es h y χ es un car´acter de H, entonces 1 X χ(τ −1 στ ) IndG H χ(σ) = h τ ∈G τ −1 στ ∈H

es el car´ acter inducido por χ de H a G; y si χ es un car´acter de G/H, se denota con Infl χ = χ ◦ π donde π es la proyecci´ on de G a G/H, al car´acter obtenido por inflaci´on. Una notaci´ on est´ andar que se incluir´a es la siguiente: Si w es un lugar que divide a v, se denotar´ a por kw el cuerpo de residuos OF /Pw . Si v es un lugar finito de K, sea pv = {x ∈ OK | |x|v < 1} . deg(v)

elementos, Entonces el cuerpo de residuos kv = OK /pv tiene N v = pv donde pv es la caracter´ıstica de kv y deg(v) es el grado de la extensi´on de kv sobre Fpv . Si se define la acci´on de G sobre los lugares de F dada por (σ, w) → σw donde |x|σw = |xσ se tiene que Pσw =

−1

|w ,

Pσw .

Definici´ on 7.9. Si w es un lugar arquimediano y xw la imagen de x mediante el encaje w, entonces ( |xw | el valor absoluto de xw si el encaje w es real; |x|w = xw xw la norma usual al cuadrado de xw si el encaje w es complejo. Si w es un lugar de F , se define el grupo de descomposici´on Gw como Gw = {σ ∈ G|σw = w}. Se observa por la definici´ on que Gτ w = {σ ∈ G|στ w = τ w} = τ −1 Gw τ,

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

51

adem´ as que G act´ ua transitivamente sobre los lugares de F que dividen a un lugar fijo v de K. Por tanto, los grupos Gwi son grupos conjugados. Dado que para cada σ ∈ Gw se tiene que σ(Pw ) = Pw , entonces σ induce un automorfismo [σ] sobre kw . Se tiene entonces la siguiente definici´on: Definici´ on 7.10. El grupo de inercia Iw de w se define como Iw = {σ ∈ Gw | [σ] es el elemento trivial de Gal(kw /kv )}. Proposici´ on 7.11. La extensi´on kw /kv es c´ıclica, es decir, el grupo de Galois Gal(kw /kv ) es c´ıclico, y es generada por el automorfismo de Frobenius F rw : x 7→ xN v . Este hecho es un resultado est´andar de la teor´ıa de cuerpos. Adem´as se tiene la siguiente proposici´ on: Proposici´ on 7.12. El cociente Gw /Iw es isomorfo a Gal(kw /kv ) mediante σ 7→ [σ]. Definici´ on 7.13. Abusando de la notaci´on, se denotar´a con F rw a cualquier elemento σ ∈ Gw tal que [σ] es el automorfismo de Frobenius de kw /kv definido en la proposici´ on 7.11. Observaci´ on 7.14. Se observa que dos de tales elecciones de F rw difieren por composici´ on con un elemento σ ∈ Iw . En particular, si Iw es trivial entonces F rw est´ a un´ıvocamente definido. Si w es un lugar arquimediano, entonces Gw es generado por un elemento σw de orden 1 o 2 seg´ un sea el caso, si w es un lugar real o complejo respectivamente. Definici´ on 7.15. Sea H ≤ G un subgrupo de G, se define V H como: V H = {v ∈ V | σx = x ∀x ∈ H}.

Con estas notaciones dadas, se puede definir entonces la funci´on L de Artin: Definici´ on 7.16 Para Re(s) > 1 se define la funci´on L de Artin como Y L(s, V ) = det(1 − N (v)−s ρ(F rw )|V Iw )−1 v

donde v recorre los lugares finitos de K, para cada v se tiene que w es un lugar arbitrario de F que divide a v, y F rw es el elemento de Frobenius descrito en la observaci´ on 7.14.

52

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

En el caso en que w es un lugar de F que divide a v, y v sea un lugar ramificado, se tiene que Iw no es trivial, por tanto F rw no est´a u ´nicamente definido, sino que var´ıa sobre la clase lateral de Iw que induce el automorfismo de Frobenius de Gal(kw /kv ). Esta es la raz´on por la cual en la definici´on aparece la restricci´ on a V Iw , pues ella implica que ρ(σ1 )|V Iw = ρ(σ2 )|V Iw para cualquier par de elementos σ1 , σ2 en una misma clase lateral, de manera que el factor det(1 − N v −s ρ(F rw )|V Iw ) est´ a bien definido en t´erminos de w. Se observa que si Iw es trivial, entonces V Iw = V , y por la observaci´on 7.14, el elemento de Frobenius est´ a bien definido. Por otro lado, F rw depende de la elecci´on de w. Sin embargo, si w, w0 son lugares que dividen a v, ellos difieren por la acci´on de alg´ un elemento σ ∈ G, pues la acci´ on por conjugaci´on es transitiva. Por tanto ρ(σ) conjuga los elementos ρ(F rw ) y ρ(F rw0 ), de manera que los determinantes considerados en la definici´ on coinciden. Gracias a esto, se tiene que la definici´on anterior no depende de la elecci´ on de w. Para hablar acerca de la ecuaci´on funcional de las funciones L presentadas en los cap´ıtulos anteriores, se ha tenido que introducir algunos t´erminos adicionales dependiendo del n´ umero de lugares reales o complejos de K. En este caso se debe proceder de manera an´ aloga, solo que las dimensiones de algunos espacios juegan un papel importante. Sean X X a1 = dim(V Gw ), a2 = codim(V Gw ), v real

v real

luego el t´ermino a multiplicar en la funci´on L de Artin est´a dado por Lv|∞ (s) = LC (s)r2 χ(1) LR (s)a1 LR (s + 1)a2 . Si S 0 = {v| v es finito y se ramifica en F }, para w un lugar de F elegido arbitrariamente que divide a v, sea Iw = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · la sucesi´on de grupos de ramificaci´ on de Pw /pv . Si se denota por gi = #Gi , y X gi codim V Gi , f (χ, v) = g 0 i=0 se tiene la siguiente definici´ on: Definici´ on 7.17. El ideal f (χ) =

Y

pfv (χ,v) ,

v∈S 0

recibe el nombre de conductor de Artin asociado a χ. Con estas notaciones previas, se puede enunciar el pr´oximo teorema: Teorema 7.18. Si Λ(s, χ) = (|∆K |χ(1) N(f (χ))s/2 Lv|∞ (s)L(s, χ),

53

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

la funci´ on Λ(s, χ) satisface la ecuaci´on funcional Λ(1 − s, χ) = W (χ)Λ(s, χ), en donde |W (χ)| = 1. A diferencia de las anteriores funciones L, en las cuales se demostr´o que la ecuaci´ on funcional que ellas satisfacen son funciones anal´ıticas en casi todo el plano complejo, la continuaci´on anal´ıtica de la funci´on L de Artin no es conocida, y este es justo uno de los muchos problemas abiertos en esta ´area. Conjetura 7.19. [Artin] Las funciones L de Artin de caracteres irreducibles no triviales son funciones enteras. Desde luego, la funci´ on L de Artin de un car´acter irreducible trivial es la funci´ on zeta de Dedekind, y como se observ´o en la anterior secci´on, esta tiene polos en los puntos s = 0 y s = 1. El u ´ltimo objetivo de este trabajo, ser´a enunciar una versi´on de la conjetura de Stark en su forma m´ as simple, y para ello se va a utilizar la funci´on L de Artin relativa a un conjunto de lugares finitos S. Sea S un conjunto finito de lugares de K tal que S∞ ⊂ S, se dice que Y L(s, χ) = LS (s, χ) = det(1 − N (v)−s ρ(F rw )|V Iw )−1 v6∈S

es la funci´ on L de Artin relativa al conjunto S. Como antes, w es un lugar arbitrario de F el cual divide a v, y nuevamente ρ(F rw ) no depende de la elecci´ on de w. Por SF se denota el subconjunto de lugares de F tales que SF = {w | w divide a v para alg´ un v ∈ S}; Y ser´ a el grupo abeliano libre de base SF . Se define el conjunto X por  X  X X= nw w ∈ Y | nw = 0 . w∈SF

(27)

w∈SF

Se observa que si se hace actuar G sobre los conjuntos Y y X, ellos adquieren una estructura de G-m´ odulos y se tiene la siguiente cadena exacta: 0 −→ X −→

PY nw w

−→ Z P −→ nw

−→ 0.

Bajo estas condiciones, si se supone que: L(s, χ) = c(χ)sr(χ) + O(sr(χ)+1 )

(28)

en una vecindad de s = 0, es decir, el primer t´ermino en la serie de Taylor al rededor de s = 0 es c(χ) 6= 0, se tiene la siguiente proposici´on:

54

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

Proposici´ on 7.20. El exponente r(χ) en la ecuaci´on (28) satisface la igualdad X  Gw r(χ) = dim V − dim V G = dimC HomG (V ∗ , C ⊗Z X), v∈S

en donde a C ⊗Z X se le asocia una estructura de C[G]−m´odulo. Observaci´ on 7.21. La elecci´on de w en la anterior proposici´on s´olo depende de v, pues dado que todos los Gw son conjugados, dimC V Gw solo depende de v. Adem´ as, una consecuencia no inmediata de esta proposici´on, y que solo se menciona en este escrito, es que para cada α ∈ Aut(C) se tiene que r(χ)α = r(χα ) donde χα = α ◦ χ. Como nuestro objetivo ahora es enunciar la conjetura de Stark en su versi´on m´ as simple, necesitamos introducir el tipo de regulador necesario para tal fin. Sea U el grupo de las SK −unidades de K, es decir U = {x ∈ K| |x|w = 1 ∀w 6∈ SK },

(29)

al considerar el siguiente homomorfismo de m´odulos sobre Z[G] λ : U −→ R ⊗Z X u −→ λ(u) =

X

log |u|w ⊗ w

w∈SF

se obtiene el siguiente teorema: Teorema 7.22. El kernel de λ es el conjunto µ(K) y su imagen es un ret´ıculo completo de rango #S − 1 en R ⊗Z X. Si se hace el producto tensorial de U con R y con C, λ induce un isomorfismo ∼

R ⊗ U −→ R ⊗ X

∼

C ⊗ U −→ C ⊗ X

de m´ odulos sobre R[G] (C[G] respectivamente) donde el isomorfismo est´a dado por 1 ⊗ λ. Este isomorfismo se denotar´a a´ un por λ. Esto implica que las representaciones de Q ⊗ U y Q ⊗ X son isomorfas sobre Q, y por tanto si f : Q ⊗ X −→ Q ⊗ U es el isomorfismo de m´ odulos sobre Q[G], se denota todav´ıa por f la complificaci´ on ∼ f : C ⊗ X −→ C ⊗ U. Dado que si W es un m´ odulo sobre C[G], entonces Hom(W, C ⊗ X) es un m´ odulo sobre C[G] donde la acci´on est´a dada por (gφ)(w) = gφ(g −1 w) para φ ∈ Hom(W, C ⊗ X), g ∈ C[G] y w ∈ W , por tanto se le puede asociar una estructura de m´ odulo sobre C[G] a V ∗ , ya que V ∗ = Hom(V, C),

55

Lecturas Matem´ aticas, vol. 35 (1) (2014), p´ ags. 25–56

donde la acci´ on sobre C es la trivial. As´ı el automorfismo λ ◦ f de C ⊗ X induce por funtorialidad el automorfismo HomG (V ∗ , C ⊗ X) φ

(λ◦f )V

HomG (V ∗ , C ⊗ X) λ ◦ f ◦ φ.

−→ →

Definici´ on 7.23. Se define el regulador de Stark asociado a f como R(χ, f ) = det((λ ◦ f )V ). Dada la definici´ on de (λ ◦ f )V , el regulador depende u ´nicamente de f . m´as no de la realizaci´ on V del car´acter χ. Se observa que gracias a la proposici´on 7.20, el regulador de Stark es el determinante de un automorfismo de un espacio vectorial complejo de dimensi´ on r(χ). Por u ´ltimo, se denotar´ a por Q(χ) la extensi´on abeliana finita de Q tal que se le adjunta todos los valores χ(σ) para cada σ ∈ G. Con estas notaciones introducidas, se puede enunciar la conjetura de Stark para funciones L de Artin. Conjetura 7.24. Sean F/K una extensi´on de Galois finita de cuerpos num´ericos, sea G = Gal(F/K), χ el car´acter de una la representaci´on finito dimensional de G sobre C, y sea f como antes. Si A(χ, f ) =

R(χ, f ) ∈ C, c(χ)

entonces ( A(χ, f ) ∈ Q(χ) y α α A(χ, f ) = A(χ , f ) para todo α ∈ Gal(Q(χ)/Q)

Como se puede observar en el caso de la funci´on zeta de Dedekind, dado que χ(p) = 1 para cada ideal primo, entonces Q(χ0 ) = Q, por tanto A(χ0 , f )α = A(χα 0 , f ) de manera trivial. Para ver que A(χ0 , f ) ∈ Q, dado que el conjunto de lugares est´a compuesto por los encajes de K, se observa lo siguiente: X  X X= nσ σ | nσ = 0 σ

 =

σ

X σ∈Sr{σ}

 nσ (σ − σ0 )

56

Elkin O. Quintero. Valores especiales de funciones L: Dirichlet, Dedekind y Stark

para cualquier lugar fijo σ0 ∈ S. Luego {σi − σr1 +r2 }i≤r es una base para X. Si f : X −→ U, σi − σr1 +r2 −→ i

λ : U −→ R ⊗ X X a log |σj j (i )| ⊗ σj i −→ j≤r1 +r2

donde aj se toma como en la ecuaci´on(15) gracias a la definici´on 7.9. Entonces X λj (i ) ⊗ σj λ ◦ f (1 ⊗ (σi − σr1 +r2 )) = j≤r1 +r2

=

X

λj (i ) ⊗ (σj − σr1 +r2 )

j≤r

Se ve f´ acilmente que la matriz asociada a la aplicaci´on λ ◦ f en la base {σi − σr1 +r2 } est´ a dada por (λj (i ))j,i≤r . Por tanto el valor de su determinante es justamente R, el regulador del cuerpo. As´ı, A(χ0 , f ) queda expresado como R w A(χ0 , f ) = = − ∈ Q. c(χ) h Es interesante ver que esta conjetura relaciona dos n´ umeros de los cuales se piensa que ambos son trascendentes, mediante un cociente, que es un n´ umero algebraico. M´ as a´ un, est´ a relacionando un n´ umero con una propiedad anal´ıtica como lo es c(χ), y un n´ umero con una propiedad algebraica, como lo es el regulador de Stark, pues detr´ as de ´el, est´an involucradas las unidades fundamentales de ciertos anillos de enteros. Referencias [1] T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. Springer: New York, 1976. [2] Z. I Borevich & I. R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press: New York, 1966. ¨ rgen Neukirch, Algebraic Number Theory. Springer–Verlag: Berlin, 1999. [3] Ju [4] John Tate, Les conjectures de Stark sur les fonctions L d’Artin en s = 0. Progress in Mathematics. Birkh¨ auser: Boston, 1984. [5] J.–P. Serre, Linear Representations of Finite Groups. Springer–Verlag: New York, 1977. [6] H. M. Stark, Hilbert’s twelfth problem and L-series. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), 1072–1074.

(Recibido en abril de 2013. Aceptado para publicaci´on en abril de 2014) Elkin O. Quintero ´ ticas Departamento de Matema ˜ o Paulo, Sa ˜ o Paulo, Brasil Universidade de Sa e-mail: [email protected]