Instituto Raúl Scalabrini Ortiz

Matemática 2º año

NUMEROS RACIONALES En la ecuación 2 x – 1 = 0, todos los números que aparecen son enteros. Sin embargo, cuando tratamos de resolverla, vemos que la ecuación no tiene solución entera: 2x=0+1 2x=1

x= La solución es la fracción

1 2

1 2

Los números de la forma

a con a y b enteros y con b ≠ 0, son fracciones, b

representan números racionales. El conjunto de los números racionales se llama Q Vamos a llamar número racional a todo aquel que puede ser expresado como un cociente entre dos números enteros:

2=

4 2

0,5 =

1 2

−5 =

− 15 3

1,4 =

7 5

0=

0 2

El conjunto de los números racionales esta formado por el conjunto de los

Q=Z∪F

números enteros y los números fraccionarios, y se representa con una Q. Los números racionales pueden expresarse mediante una fracción o una expresión decimal. Fracciones: Una fracción es un cociente entre dos números enteros a y b, llamados

a b

NUMERADOR DENOMINADOR

numerador y denominador, respectivamente. El denominador indica la cantidad de partes iguales en las que se divide el entero, y el numerador cuantas de esas partes debemos considerar:

3 5 7 4 3 3 Clasificación de las Fracciones: Las fracciones se clasifican en : Propias: son las que tienen el numerador menor que el denominador. Prof. Ana Rivas

1

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3 , y representan un número menor que 1. 5

Impropias: son las que tienen el numerador mayor que el denominador. Ejemplo:

7 , y representan un número mayor que 1. 4

3 3 Estas pueden expresarse mediante un número mixto: 1 = 1 + 4 4 Para obtener ese número mixto debemos efectuar la división indicada:

7 = 7:4 4

7 3

4 1

Aparentes: son las que el numerador de la fracción es un múltiplo del denominador, y por lo tanto representan un número entero. Ejemplo:

4 =1 4

10 =2 5 Resolvé los ejercicios del (1) al (3)

Fracciones equivalentes: Un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por ejemplo:

1 2 3 1 , se puede expresar como = = = .......... 2 4 6 2

De todas estas formas, la primera se llama fracción irreducible y las demás fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Para obtenerlas, se debe multiplicar o dividir, numerador y denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.

3 3.2 6 = = 5 5.2 10 Cuando se multiplica, se está amplificando la fracción.

20 20 : 5 4 4:2 2 = = = = 50 50 : 5 10 10 : 2 5 Prof. Ana Rivas

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Cuando se divide, se está simplificando la fracción. La última es una fracción irreducible. Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador de la misma son coprimos, es decir, que no tienen divisores comunes distintos de 1.

Fracciones decimales Son las que tienen como denominador la unidad seguida de ceros, por ejemplo:

3 4 45 ; ; ; etc. 10 100 1000 A partir de ellos podemos obtener la expresión decimal equivalente, dividiendo el numerador por la unidad seguida de ceros:

3 = 0,3 10

Muchas veces los números racionales se expresan como números decimales. Por ejemplo:

1 = 0,5 2

3 = 0,75. 4

Se pueden clasificar en dos grupos: finitos y periódicos. Estos últimos se pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos. Los números racionales finitos son los que en su representación decimal tienen un número fijo de números. Por ejemplo:

1 = 0,25. 4

Los números racionales periódicos son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números. Hay dos tipos de números racionales periódicos: Los periódicos puros: Un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (por ejemplo: 3,838383...) y los periódicos mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3,27838383...). Resolvé los ejercicios del (4) al (5)

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Expresiones decimales: Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción, el cociente de la división es la expresión decimal de la fracción.

1 = 1 : 4 = 0,25 4

6 = 6 : 5 = 1,2 5

1 = 1 : 3 = 0,33333....... 3

11 = 11 : 30 = 0,3666666....... 30

Pasaje de fracción a expresión decimal Se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción, el cociente de la división es la expresión decimal de la fracción. Pasaje de expresión decimal a fracción Debemos considerar diferentes casos: 1) Número decimal con un número determinado de cifras Para convertir un número decimal en fracción multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número y ponemos el número resultante en el numerador. En el denominador ponemos el número por el que hemos multiplicado el número original. Ejemplo: Convertir 3,25 en un número fraccionario. Si multiplicamos 3,25 por 100 desaparecen los decimales y nos quedaría 325. Como hemos multiplicado por 100, tenemos que dividir por 100 para que el número no cambie. Entonces nos quedaría:

325 . 100

2) Número decimal periódico puro Ejemplo: Convertir 0,252525... (25 se repite indefinidamente) en un número fraccionario. a = 0,252525... 100 a = 25,252525... Restando miembro a miembro 100 a – a nos queda: 99a = 25, luego a=

25 99

La regla práctica para resolverlo es: el numerador de la fracción es el número decimal sin la coma y el denominador, es el número formado por tantos 9 como cifras decimales periódicas tenga.

3) Número decimal periódico mixto

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Ejemplo: Convertir 3,12252525... (25 se repite indefinidamente) en un número fraccionario. a = 3,12252525... 10000a = 31225,252525... 100a = 312,252525... Restando nos queda: 9900a = 30913, luego a =

30913 9900

La regla práctica para resolverlo es: el numerador de la fracción es el número decimal sin la coma , menos la parte no periódica; y el denominador, es el número formado por tantos 9 como cifras decimales periódicas tenga y tantos 0 como cifras decimales no periódicas.

Resolvé los ejercicios del (6) al (8)

Orden y representación gráfica de números racionales: La relación de orden en el conjunto de los números racionales permite establecer cuando una fracción es menor, igual o mayor que otra. Existen dos maneras de analizar si una fracción es menor o mayor que otra: 1) Se buscan fracciones equivalentes a las dadas de igual denominador. Se comparan los numeradores de las fracciones obtenidas y es mayor la que tenga mayor numerador.

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5 3 y 6 4

5 10 = 6 12

y

3 9 = 4 12

mayor que 9 entonces:

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entonces ahora comparamos

10 9 y como 10 es 12 12

5 3 > 6 4

2) Se transforman en expresiones decimales y se las compara: Ejemplo:

5 3 y 6 4

5 = 0,83333333...... 6

y

3 =0,75 4

entonces:

5 3 > 6 4

Representación gráfica de los números racionales Para representar en la recta numérica distintas fracciones, se deben buscar fracciones equivalentes a las que se quiere representar, con igual denominador, y luego dividir en partes iguales a la unidad representada en la recta. Otra manera de representarlos, aunque menos precisa, es transformarlas en expresiones decimales.

-1 − 4

0

5

-0,8

1 2 0,5

-1

6 5 1,2

Entre dos números racionales hay siempre otro número racional. Esta propiedad se llama densidad.

Resolvé el ejercicio del (9)

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Operaciones con Racionales: Las operaciones con números racionales se pueden efectuar en forma fraccionaria o decimal. 1) Operaciones con fracciones: Para sumar y restar fracciones hay que transformarlas en fracciones equivalentes de igual denominador y luego sumar y/o restar los numeradores.

1 1 3 2 5 + = + = 2 3 6 6 6 Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores, entre sí, aplicando la regla de los signos.

1 5 1x5 5 . = = 2 3 2 x3 6 Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor.

1 5 1 3 1x3 3 : = . = = 2 3 2 5 2 x5 10 2) Operaciones con decimales: Para operar con expresiones decimales periódicas hay que transformarlas en fracciones y luego operar en forma fraccionaria. La operatoria con expresiones decimales finitas es igual a la aprendida en años anteriores.

Resolvé los ejercicios del (10) al (15)

Ecuaciones: La resolución de ecuaciones en el conjunto de los números racionales cumple con las mismas propiedades que con los números enteros. Ejemplo:

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Matemática 2º año 1 3 1 1 .x + = − .x 4 5 10 2 1 1 1 3 .x + .x = − 4 2 10 5 3 5 .x = − 4 10 3 1 .x = − 4 2 1 3 x=− : 2 4 1 4 x=− . 2 3 2 x=− 3

Para resolver un problema, se debe traducir el enunciado al lenguaje simbólico y luego plantear la ecuación correspondiente: Ejemplo: Gastón gastó la cuarta parte de su sueldo en ropa y la mitad del resto en comida. Si aún le quedan $ 225, ¿cuál es el sueldo de Gastón?

1 1⎛ 1 ⎞ .S + .⎜ S − .S ⎟ + 225 = S 4 2⎝ 4 ⎠ 1 1 3 .S + . .S + 225 =S 4 2 4 1 3 .S + .S + 225 = S 4 8 1 3 225 = S − .S − .S 4 8 3 225 = .S 8 3 225 : =S 8 8 225. = S 3 600 = S El sueldo de Gastón es de $ 600.Resolvé los ejercicios del (16) al (18)

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