Variables aleatorias M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM Resumen El concepto de variable aleatoria como abstracción de un evento aleatorio y su definición. variable aleatoria discreta: función de probabilidad, sus propiedades y su representación gráfica. Variable aleatoria continua: función de densidad, sus propiedades y su representación gráfica. Valor esperado o esperanza matemática de la variable aleatoria discreta y de la continua y su interpretación práctica. El valor esperado como operador matemático y sus propiedades. Momentos con respecto al origen y a la media. Función generatriz de momentos de la variable aleatoria discreta y de la continua. Parámetros de las distribuciones de las variables aleatorias discretas y continuas. Medidas de tendencia central: la media, la mediana y la moda. Medidas de dispersión: el rango y aplanamiento. La varianza como el segundo momento con respecto a la media y sus propiedades.

3.1 El concepto de variable aleatoria como abstracción de un evento aleatorio y su definición. Es posible incorporar el uso de herramientas matemáticas al cálculo de probabilidades a través de realizar una operación consistente en buscar una regla de correspondencia que proyecte los resultados de un evento o experimento en la recta de los reales.

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Al asociar los resultados aleatorios a puntos sobre la recta de los reales, es decir, a la variable independiente, esta variable adquiere un carácter aleatorio. De tal forma, se le denomina variable aleatoria. De acuerdo a la naturaleza del evento, existen dos tipos de variables aleatorias: φ

φ

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es contable (ya sea finito e infinito) y si estos pueden arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteros positivos. Se dice que una variable aleatoria X es continua si sus valores consisten en uno o más intervalos de la recta de los reales.

Definir a la variable aleatoria y su naturaleza discreta o continua.

Algunos autores denominan a todo el proceso con el nombre de Distribución de Probabilidad

Asignar valores en la recta de los reales al espacio muestral

A la regla de correspondencia f(x) se le denomina función de probabilidad, siempre y cuando cumpla con una condición que se describirá más adelante. El proceso integral de creación de una variable aleatoria y su respectiva función de probabilidad puede describirse en el siguiente diagrama a bloques: Como comentario a este procedimiento, la asignación de valores en la recta de los reales para cada punto del experimento o del espacio muestral se hace de acuerdo a la experiencia del diseñador del experimento, no existe una regla escrita para hacerlo. No obstante se recomienda asignarle valores que sean representativos del experimento en ánimo de clasificar el experimento.

Definir el espacio muestral del experimento

Algunos autores denominan a este paso en el proceso

En forma gráfica Analítica

Asignar probabilidades

Definir f(x)

Por otra parte, un término muy importante dentro de la probabilidad y la Estadística es el de Distribución1.

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Distribución. (Del lat.distributio,-onis). 1.

f. Acción y efecto de distribuir.

2.

f.Com. Reparto de un producto a los locales en que debe comercializarse.

3.

f.Econ. Asignación del valor del producto entre los distintos factores de la producción.

4.

f.Mat. Función que representa las probabilidades que definen una variable aleatoria o un fenómeno aleatorio.

5.

f. Ret. Figura, especie de enumeración, en que ordenadamente se afirma o niega algo acerca de cada una de las cosas enumeradas.

De acuerdo a la anterior definición, el bloque del proceso que implica la acción de asignar la probabilidad a cada uno de los valores que puede adquirir la variable aleatoria es denominado por varios autores como distribución de probabilidad, aunque otros autores consideran como distribución de probabilidad a todo el proceso.

3.2 Variable aleatoria discreta: Función de probabilidad, sus propiedades y su representación gráfica. Función de distribución acumulativa, sus propiedades y su representación gráfica. Ejemplifiquemos aleatorio.

a partir de un evento

Determinar la distribución de probabilidad para un experimento que consiste en lanzar simultáneamente 2 dados no cargados y contabilizar la suma de los números visibles.

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Paso 1. La variable aleatoria que denote este experimento tendrá naturaleza discreta, en virtud de que cada uno de los resultados es claramente distinguible y se define como la suma de los números visibles de ambos dados. La variable aleatoria discreta X se define como la suma de las caras visibles de ambos dados. Paso 2. Definir el espacio muestral.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,6) (3,6) (5,5) (6,5) (6,6)

(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (5,6)

(2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (4,4) (5,4) (4,6)

(2,3) (2,4) (3,3) (2,5) (4,3) (3,4) (3,5) (5,3) (4,5)

Paso 3. Asignación de valores en la recta de los reales. En virtud de que el valor asignado debe ser representativo del experimento, se le asignará a cada evento la suma de las caras visibles.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,6) (3,6) (5,5) (6,5) (6,6)

(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (5,6)

Espacio Muestral

X

(2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (4,4) (5,4) (4,6)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(2,3) (2,4) (2,5) (3,5) (4,5)

(3,3) (4,3) (5,3)

(3,4)

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Paso 4. Asignación de probabilidades. En este caso se hace bajo el criterio clásico: DISCRETO (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,6) (3,6) (5,5) (6,5) (6,6)

(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (5,6)

X

Px (X)

2 3 (2,2) 4 (3,2) (2,3) 5 (4,2) (2,4) (3,3) 6 (5,2) (2,5) (4,3) (3,4) 7 (4,4) (3,5) (5,3) 8 (5,4) (4,5) 9 (4,6) 10 11 12

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Paso 5. Definir la función de probabilidad. Puede hacerse de tres formas, tabular, como se ve en la tabla anterior, gráfica:

En general una variable aleatoria discreta representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que

P( X = x ) Se entenderá la probabilidad de X tome el valor de x de esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X, esta función recibe el nombre de función e probabilidad (función masa de probabilidad) de la variable aleatoria X. Por axiomas de probabilidad se tiene:

0.2 Px ( X )

dice entonces que X es una variable aleatoria.

0.15

1)

0.1

2)

0.05

Px (X = x) ≥ 0

∑ P (X ) = 1 ∀x

x

0 0

5

10

15

Función de distribución acumulativa. Se define a la función de distribución acumulada de la variable aleatoria como la probabilidad de que x sea menor o igual a un valor específico de x.

X

Y en forma analítica.

P(X)=

6− 7− X 36 0

F(x) es la función de distribución acumulada F(x) ≡ P( X ≤ x) = ∑ Px ( X i ) X=2,3,4,...12. otros casos

Por axiomas de probabilidad. Variable aleatoria discreta. Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad. Sea X una función de valor real, definida sobre S de manera que transforme los resultados de S en punto sobre la recta de los reales, se Probabilidad y Estadística Noviembre 2009

X

i

≤ x

La función de distribución acumulada representa la suma de las probabilidades puntuales hasta el valor de x de X inclusive.

P (0) = P ( x ≤ 0) = 0 P (4) = P ( x ≤ 4) =

6 36

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Puesto que el área total bajo Fx(x) es 1, la probabilidad del intervalo a ≤ x ≤ b , es el área acotada por la función de densidad y las rectas x=a y x=b.

En general la función de distribución acumulativa P(x) de una variable aleatoria discreta es una función no decreciente de los valores de X de tal manera que:

Va riable Alea toria Continua

1) 0 ≤ P( x) ≤ 1 2) P ( X > x) = 1 − P ( X < x) 3) P ( xi) ≥ P( xj ) , si xi ≥ xj

∫

b

a

F X ( x )dx

f(x)

P (a ≤ x ≤ b ) =

3.3 Variable aleatoria continua: Función de densidad, sus propiedades y su representación gráfica. Función de distribución acumulativa, sus propiedades y su representación gráfica. Dada la naturaleza continua del espacio muestral, resulta imposible determinar el valor preciso que exactamente toma una variable; por este motivo, para fenómenos continuos resulta más apropiado visualizar probabilidades en intervalos. En el caso discreto se asignan probabilidades positivas a todos los valores puntuales de la variable aleatoria, pero la suma de todas ellas es 1, aún a pesar de que el conjunto de valores sea infinito contable. Para el caso continuo lo anterior no es posible, por esta razón la probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome un valor específico x es cero (0). La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está caracterizada por una función, llamada función de densidad o probabilidad. Esta función no es la misma que para el caso discreto. Dado que existe que la probabilidad de que X tome el valor específico x es cero, esta función determina la probabilidad en un intervalo.

P(a ≤ x ≤ b ) =

∫ F (x )dx b

a

a

x

b

Función de distribución Acumulativa.-La distribución acumulativa F(x) es una función lisa no decreciente de los valores de la variable aleatoria con las siguientes propiedades:

F (− ∞ ) = 0 F (∞ ) = 1

P(a 〈 x〈b ) = F (b ) − F (a ) d F ( x) = Fx ( x) dx Al igual que en el caso de una v.a. discreta la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algún x específico. x

P ( X ≤ x) = F ( x) = ∫ f (t )dt −∞

en donde t es una variable artificial de invariación, por lo tanto la función de distribución acumulativa es: el área acotada por la función de densidad que se encuentra a la izquierda de la recta X=x.

X

Para cualquiera a y b.

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Ejercicio. La variable aleatoria X está dada por: −x

ke 2 , x〉 0 Fx(x)=

0, otros casos Determinar el valor de k, la función de distribución acumulativa, la probabilidad de que 2