Magnetismo y Óptica Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano E-mail: [email protected] Webpage: http://rpduarte.fisica.uson.mx

© 2016 Departamento de Física Universidad de Sonora

Temario A. Magnetismo 1. 2. 3.

Campo magnético. [Ene11-Ene29] (7.5 horas) Leyes del Magnetismo [Feb01-Feb19] (7.5 horas) Propiedades magnéticas de la materia. [Feb22-Feb26] (3horas)

B. Óptica 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Naturaleza y propagación de la luz. [Feb29-Mar04] (3horas) Leyes de la reflexión y refracción. [Mar07-Mar15] (4.5horas) Óptica geométrica. [Mar26-Abr15] (9horas) Difracción. [Abr18-Abr22] (3horas) Polarización óptica. [Abr25-Abr29] (3horas) Propiedades ópticas de la materia. [May02-May06] (3horas)

Magnetismo y óptica Parte II: Óptica (Tiempo aproximado: 27 horas) 3. Óptica geométrica. [Mar16-Abr15] (9 horas). a. b. c. d. e.

Reflexión en superficies planas y esféricas. Imágenes formadas por espejos esféricos. Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Imágenes formadas por lentes esféricas: Convergentes y divergentes. Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc.

Reflexión en superficies planas y esféricas. Óptica geométrica

Formación de imágenes mediante el empleo de rayos

Reflexión en superficies planas y esféricas. Óptica geométrica y óptica física

 La Óptica Física toma en cuenta el carácter ondulatorio de la luz y es necesaria para explicar fenómenos como son la interferencia y la difracción de la luz, entre otros.  La Óptica Geométrica, por otro lado, no toma en cuenta la naturaleza ondulatoria de la luz y la representa o considera como un haz de rayos, siendo muy útil en el trazo de diagramas para la formación de imágenes en los instrumentos ópticos

Esta aproximación usada por la óptica geométrica es válida siempre que la longitud de onda de la luz es mucho menor que las dimensiones de los obstáculos o discontinuidades a través de los cuales se propaga, lo cual se cumple para los instrumentos ópticos más comunes.

Introducción. Óptica Geométrica. Formación de imágenes mediante el empleo de rayos. 

Principios de la Óptica Geométrica Trayectorias rectilíneas en medios homogéneos e isótropos.



Se cumple la ley de la reflexión



Se cumple la ley de la refracción



Rayo incidente, refractado y reflejado están en un mismo plano.



Las trayectorias de la luz son reversibles.

Para observar las cosas, los rayos de luz se reflejan en los objetos y son detectados por los ojos, cámaras, etc.

Reflexión en superficies planas y esféricas. Elementos básicos Espejo. Cuando la superficie límite de un medio es totalmente reflejante constituye un espejo. n

n Medio opaco

Solamente se presenta el fenómeno de reflexión.

Medio opaco

Espejo plano

Espejo esférico

Dioptrio. Formado por dos medios de distinto índice de refracción con una superficie de separación perfectamente definida. Las lentes son un ejemplo de dioptrio. n

n’

n’

n Se presenta el fenómeno de reflexión y refracción

Dioptrio esférico

Dioptrio plano

Reflexión en superficies planas y esféricas. Formación de imágenes por reflexión

Reflexión en superficies planas y esféricas. Espejos planos

Un espejo plano es una superficie plana muy pulida que puede reflejar la luz con una capacidad reflectora de la intensidad de la luz incidente de alrededor del 95%.

Los espejos planos se utilizan con mucha frecuencia. Son los que usamos cada mañana para mirarnos. En ellos vemos nuestro reflejo, una imagen que no está distorsionada.

Reflexión en superficies planas y esféricas. Espejos planos ¿Cómo se hacen? Los espejos comunes y corrientes son placas de vidrio plateadas. Para construir un espejo se limpia muy bien un vidrio y sobre él se deposita plata metálica por reducción del ion plata contenido en una disolución amoniacal de nitrato de plata. Después se cubre esta capa de plata con una capa de pintura protectora. ¿Qué tipo de imágenes forman? Una imagen en un espejo se ve como si el objeto estuviera detrás y no frente a éste ni en la superficie. La imagen obtenida en un espejo plano no se puede proyectar sobre una pantalla, colocando una pantalla donde parece estar la imagen no recogería nada. Es, por lo tanto virtual, una copia del objeto "que parece estar" detrás del espejo. El espejo sí puede reflejar la luz de un objeto y recogerse sobre una pantalla, pero esto no es lo que queremos decir cuando decimos que la imagen virtual no se recoge sobre una pantalla.

Reflexión en superficies planas y esféricas. Características de la imagen formada en un espejo plano

• Simétrica, porque aparentemente está a la misma distancia del espejo • Virtual, porque se ve como si estuviera dentro del espejo, no se puede formar sobre una pantalla pero puede ser vista cuando la enfocamos con los ojos.

• Del mismo tamaño que el objeto, es decir, la magnificación en un espejo plano es 1. • Derecha, porque se mantiene la misma orientación que el objeto.

Reflexión en superficies planas y esféricas. Reflexión de rayos de luz un espejo plano

Reflexión en superficies planas y esféricas. Formación de imágenes en un espejo plano

La formación de imágenes en los espejos son una consecuencia de la reflexión de los rayos luminosos en la superficie del espejo. La óptica geométrica explica este familiar fenómeno suponiendo que los rayos luminosos cambian de dirección al llegar al espejo siguiendo las leyes de la reflexión. Suponiendo un punto P, que emite o refleja la luz, y que está situado frente a un espejo. En el contexto de la óptica geométrica, se dice que de este punto emergen rayos que se reflejan en el espejo (cumplen las leyes de la reflexión) y divergen. El punto simétrico respecto al espejo es el punto imagen P'. El ojo capta los rayos, y con la ayuda de la córnea y del cristalino (lentes), los hace converger en la retina. Al cerebro, al interpretarlos, parece que le llegan todos los rayos desde un punto P' situado detrás del espejo.

Reflexión en superficies planas y esféricas. Formación de imágenes en un espejo plano

Reflexión en superficies planas y esféricas. Trazo de rayos en un espejo plano

Para construir la trayectoria de los rayos procedemos de la siguiente manera: • Para cada punto del objeto hallamos su simétrico (imagen) respecto al espejo: del punto P obtenemos el punto P'. • Trazamos rayos desde P hasta el espejo. Los rayos reflejados se obtienen prolongando la recta de unión de P' con el punto de impacto del rayo que va de P al espejo. • El rayo incidente y el rayo reflejado forman el mismo ángulo con la normal

Los rayos siguen, desde el objeto hasta el ojo el camino más corto, por lo que emplean un tiempo mínimo (Principio de Fermat). De la misma manera construimos imágenes de los demás puntos de un objeto material.

Reflexión en superficies planas y esféricas. Relación entre puntos conjugados

s  s

n

O’

S

O

s

s’

O’

S

O

s

La imagen ofrecida por un espejo plano es virtual.

s’

Reflexión en superficies planas y esféricas. Formación de una imagen completa

Reflexión en superficies planas y esféricas. Ejemplo. Dos espejos plano forman un ángulo de 90o. ¿Cuantas imágenes existen para un objeto colocado ente los espejos? SOLUCIÓN:

espejo

ojo

objeto 2 espejo

1 3

Reflexión en superficies planas y esféricas. Ejemplo. Imágenes en espejos planos angulares Se conoce como espejos angulares a aquellos espejos planos que se encuentran formando cierto ángulo entre ellos. Si se ponen dos espejos planos juntos, formando un ángulo entre sí, y entre ambos se coloca un objeto, este se va a reflejar varias veces, dependiendo de lo que mida el ángulo formado por los espejos. Mientras más pequeño sea el ángulo, más veces se va a reflejar el objeto. El número de reflexiones del objeto se puede determinar mediante la siguiente fórmula: 360° 𝑛+1= 𝜃 donde 𝑛 es el número de veces que se refleja el objeto; y 𝜃 es el ángulo formado por los espejos.

Imágenes formadas por espejos esféricos. Espejos curvos

Según la forma de la superficie pulimentada de los espejos curvos, estos pueden ser esféricos, parabólicos, etc.

Espejos cóncavo curvo

Espejo convexo curvo

Imágenes formadas por espejos esféricos. Espejo Esférico

Los espejos esféricos tienen forma de casquete, como una parte de una esfera hueca pueden ser cóncavos o convexos. El espejo es cóncavo si la superficie reflejante es la interior del casquete y es convexo si la superficie reflejante es la exterior al casquete.

Espejos cóncavo

Espejo convexo

Imágenes formadas por espejos esféricos. Espejo Esférico

En un espejo esférico podemos definir las siguientes partes:

Centro de curvatura del espejo. Es el centro de la esfera a la que pertenece el casquete espejo. En la figura es el punto C. Centro de figura del espejo. Es el polo o centro geométrico del casquete. El punto A de la figura Eje principal. Es la recta que pasa por el centro de curvatura del espejo y por el centro de figura. Queda definido por la recta CA mostrada en la figura.

Imágenes formadas por espejos esféricos. Espejo Esférico

En un espejo esférico podemos definir las siguientes partes:

Eje secundario. Es cualquier recta que pasa por el centro de curvatura. Existen infinitos ejes secundarios. En la figura se ve el marcado por la recta CB. Foco principal del espejo. Es un punto del eje principal en el que se cortan, una vez reflejados, los rayos que llegan al espejo paralelos al eje principal. En la figura es el punto F.

Imágenes formadas por espejos esféricos. Espejo Esférico

Para espejos esféricos de radio de curvatura pequeño (es decir, muy cerrados), el foco principal se encuentra a la mitad de la distancia entre el centro de curvatura y el centro de figura, es decir, 𝑓 = 𝑅/2. El espejo cóncavo es un dispositivo óptico que puede formar imágenes sobre una pantalla debido a la reflexión de la luz que procede de la superficie de un objeto. En cambio, el espejo convexo solamente forma imágenes virtuales, es decir, que no pueden recogerse en una pantalla.

Imágenes formadas por espejos esféricos. Trayectorias de rayos en espejos curvos cóncavos

Los rayos rojo, azul y verde reflejados en un espejo curvo, note el color blanco en el foco

Imágenes formadas por espejos esféricos. Imagen formada en un espejo convexo

En los espejos convexos el foco es virtual (está situado a la derecha del centro del espejo, distancia focal negativa). Los rayos reflejados divergen y sólo sus prolongaciones se cortan en un punto sobre el eje principal.

Los espejos ofrecen frente a las lentes una serie de ventajas que permiten usarlos en determinados instrumentos ópticos: no muestran aberración cromática y solo es preciso pulir una superficie curva (mientras que en las lentes deben pulirse dos).

Imágenes formadas por espejos esféricos. Imagen formada en un espejo convexo

Los rayos reflejados no convergen en ningún punto, rebotan en el espejo y divergen, y por lo tanto no pueden formar una imagen sobre una pantalla. La imagen es virtual ya que está detrás del espejo

Imágenes formadas por espejos esféricos. Formación de imágenes en un espejo cóncavo esférico Para abordar la formación de imágenes en los espejos esféricos es necesario ver primero las reglas del trazo de rayos reflejándose en espejos cóncavos. Las de imágenes formadas en estos espejos pueden ser reales o virtuales, invertidas o derechas, dependiendo de la ubicación del objeto frente al espejo.

Imagen invertida

Imagen derecha

Imágenes formadas por espejos esféricos. Reglas para el trazado de rayos en los espejos esféricos Desde cualquier punto de un objeto iluminado salen infinitos rayos en todas las direcciones. No solo salen de la punta del dedo, sino también de todos los puntos del cuerpo, en todas las direcciones del espacio. Salen radialmente, no solamente en un plano, como si el objeto fuera el centro de una esfera que emite luz. Para saber dónde se forma la imagen de los rayos que recoge el espejo y construir con ellos el esquema, escogemos solamente algunos rayos situados en un plano. Seleccionamos solamente algunos de la infinidad de rayos que salen del objeto (varilla amarilla).

Imágenes formadas por espejos esféricos. Reglas para el trazado de rayos en los espejos esféricos

Recordando que la trayectoria de los rayos al incidir en el espejo cumple las leyes de la reflexión, escogemos tres rayos:

• uno que sale paralelo al eje principal, • otro que va hacia el foco y

• otro que va hacia el centro de curvatura

Todo rayo paralelo al eje principal se refleja pasando por el foco.

Imágenes formadas por espejos esféricos. Reglas para el trazado de rayos en los espejos esféricos

Todo rayo que pasa por el centro de curvatura C, se refleja en la misma dirección, pero en sentido contrario. ¡Su dirección coincide con la normal en el punto de impacto!

Todo rayo que pasa por el foco se refleja paralelo al eje principal.

Imágenes formadas por espejos esféricos. Reglas para el trazado de rayos en los espejos esféricos

El rayo que incide en el espejo forma con la normal en ese punto un ángulo igual al que forma el que se refleja. La normal de cada punto del espejo coincide con el radio de curvatura Siguiendo las reglas anteriores desde el punto P solo se pueden trazar tres rayos: • Rayo que pasa por C (que se refleja sobre si mismo). • Rayo que pasa por F (va paralelo al eje principal y se refleja pasando por F); y • Rayo que pasa por F (que sale paralelo al eje principal).

Imágenes formadas por espejos esféricos. Convenio de signos

Como origen de coordenadas se toma el vértice V del espejo, cuyo centro de curvatura es el punto C.

Todos los puntos situados frente al espejo tienen abscisa positiva, y los situados detrás del espejo tienen abscisa negativa. Todos los puntos situados por encima del eje principal poseen ordenada positiva, y los situados por debajo tienen ordenada negativa.

El radio de curvatura 𝑅 será positivo si el centro se encuentra frente al espejo (lo que ocurre con los espejos cóncavos) y será negativo si está detrás del espejo (lo que ocurre con los espejos convexos).

Imágenes formadas por espejos esféricos. Convenio de signos Considerando que • 𝑝 es la distancia del objeto al vértice; • 𝑞 es la distancia de la imagen al vértice; y • 𝑅 es el radio de curvatura (igual al doble de la distancia focal 𝑓).

Podemos resumir la convención de signos en la figura anexa

Imágenes formadas por espejos esféricos. Magnificación

Se define la magnificación 𝑀 de un espejo como la relación entre los tamaños de la imagen (ℎ′) y del objeto (ℎ), es decir ℎ′ 𝑞 𝑀= =− ℎ 𝑝 Una magnificación mayor que 1 significa una amplificación, mientras que si 𝑀 es menor que 1 tenemos una reducción en el tamaño. El signo de 𝑀 también es importante, si 𝑀 es positiva entonces la imagen está derecha, mientras que una 𝑀 negativa significa que la imagen está invertida.

Imágenes formadas por espejos esféricos. Ley de los espejos

Si nos ayudamos de los ángulos 𝛼 de la figura, es posible deducir la llamada ecuación de los espejos, que nos da una relación entre 𝑝, 𝑞 y 𝑅 (o 𝑓), a saber 1 1 2 + = 𝑝 𝑞 𝑅

o 1 1 1 + = 𝑝 𝑞 𝑓

Al emplear la ecuación anterior es sumamente importante tomar en cuenta la convención de signos establecida previamente para las cantidades involucradas (𝑝, 𝑞 y 𝑓).

Imágenes formadas por espejos esféricos. Trazo de rayos para la formación de imágenes

Un objeto iluminado o que emite luz (como la punta de una vela) se considera un Objeto en óptica geométrica. Colocando un objeto delante de un espejo cóncavo este formará una Imagen real de ese objeto Debido a que la imagen se puede formar sobre una pantalla, se le denomina imagen real. Sugerencia: Ver video en https://www.youtube.com/watch?v=xiIuPZq1QUs

Imágenes Ejemplos

formadas

por

espejos

esféricos.

Objeto colocado entre el centro de un espejo y el infinito

Para un objeto colocado entre el centro de un espejo y el infinito, la imagen es real invertida, localizada entre el foco y el centro

Imágenes Ejemplos

formadas

por

espejos

esféricos.

Objeto colocado en el centro de un espejo y entre el centro y el foco

Para un objeto colocado en el centro de un espejo, la imagen es real invertida, localizada en el centro

Para un objeto colocado entre el centro de un espejo y el foco, la imagen es real invertida, localizada entre el centro y el infinito.

Imágenes Ejemplos

formadas

por

espejos

esféricos.

Objeto colocado entre el foco y el espejo

Para un objeto colocado entre el foco y el espejo, la imagen es virtual y derecha, localizada atrás del espejo

Imágenes Ejemplos

formadas

por

espejos

esféricos.

Un objeto se coloca a 50.0cm de un espejo esférico cóncavo con una longitud focal de 20.0cm. (a) Encuentre la ubicación de la imagen; (b) ¿cuál es la magnificación del espejo?; (c) ¿La imagen es real o virtual?, ¿está derecha o invertida? Resuélvalo mediante un diagrama de rayos y verifique su resultado mediante la ecuación de los espejos. 𝑝 = 50.0𝑐𝑚 𝑓 = +20.0𝑐𝑚 (a) 𝑞 =? (b) 𝑀 =?

(c) Descripción

Imágenes Ejemplos

formadas

por

espejos

esféricos.

Un espejo esférico convexo tiene un radio de curvatura de 40.0cm. Usando un diagrama de rayos, determine la posición y características de la imagen (real o virtual, derecha o invertida, amplificada o disminuida) para un objeto colocado (a) a 30.0cm; y (b) a 60.0cm de distancia al vértice del espejo. En ambos casos, verifique sus resultados usando la ecuación de los espejos. 𝑝 = 30.0𝑐𝑚 𝑓 = −20.0𝑐𝑚 (a) 𝑞 =? (b) 𝑀 =? (c) Descripción

Imágenes Ejercicio.

formadas

por

espejos

esféricos.

Un objeto de 2.50cm de altura se coloca a 30.0cm de un espejo esférico convexo cuya distancia focal es de 10.0cm. (a) Usando un diagrama de rayos, determine la posición y características de la imagen (real o virtual, derecha o invertida), así como el tamaño de la imagen. 𝑝 = 30.0𝑐𝑚 𝑓 = −10.0𝑐𝑚 (a) 𝑞 =? (b) 𝑀 =?

(c) Descripción

Imágenes Ejercicio.

formadas

por

espejos

esféricos.

Un objeto de 2.50cm de altura se coloca a 30.0cm de un espejo esférico convexo cuya distancia focal es de 10.0cm. (a) Usando un diagrama de rayos, determine la posición y características de la imagen (real o virtual, derecha o invertida), así como el tamaño de la imagen; y (b) Repita el problema, pero ahora considere que el espejo es cóncavo. En ambos casos, verifique sus resultados usando la ecuación de los espejos. 𝑝 = 30.0𝑐𝑚 𝑓 = +10.0𝑐𝑚 (a) 𝑞 =? (b) 𝑀 =? (c) Descripción

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Refracción en una superficie esférica

Una vez estudiada la formación de imágenes mediante la reflexión en superficies planas y curvas, pasemos a analizar cómo se forma la imagen cuando la luz es refractada al pasar de un medio a otro. Para ello consideremos una frontera esférica de radio 𝑅, entre dos medios con índices de refracción 𝑛1 y 𝑛2 , tal como se muestra en la figura. El objeto se coloca en el medio de menor índice de refracción, a una distancia 𝑝 de la superficie, y la imagen se forma a una distancia 𝑞 de la superficie. Las distancias 𝑝 y 𝑞 se relacionan por la siguiente ecuación 𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1 + = 𝑝 𝑞 𝑅

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Refracción en una superficie esférica

La ecuación 𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1 + = 𝑝 𝑞 𝑅 es la llamada Ecuación fundamental de la refracción en una superficie esférica. Esta ecuación permite conocer la posición de la imagen si previamente conocemos la posición del objeto y las características de la superficie esférica. Solamente es válida para los rayos paraxiales (aquellos rayos que se separan poco del eje principal) y que convergen en el punto 𝐼.

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Convenio de signos

Convención de signos para la ecuación 𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1 + = 𝑝 𝑞 𝑅 Es importante recordar que el objeto se sitúa en el medio de menor índice de refracción (𝑛1 ) de tal forma que 𝑛2 es mayor a 𝑛1 . • 𝑝 es positivo si el objeto está frente a la superficie (objeto real), y negativo si está detrás de la superficie (objeto virtual) • 𝑞 es positivo si la imagen está detrás de la superficie (imagen real), y negativo si está frente a la superficie (imagen virtual). • 𝑅 es positivo si el centro de curvatura está detrás (superficie convexa), y negativo si está enfrente (superficie cóncava).

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Ejemplo. Refracción en una superficie esférica

Una moneda está incrustada en una bola de plástico (𝑛1 = 1.50) tal como se muestra en la figura. Si la moneda se encuentra a 2.0cm desde el borde de la esfera, ¿a que profundidad se ubica la imagen de la moneda? SOLUCIÓN. Usando

𝑛1 𝑝

+

𝑛2 𝑞

=

𝑛2 −𝑛1 𝑅

tenemos

𝑛2 𝑛2 − 𝑛1 𝑛1 = − 𝑞 𝑅 𝑝 es decir 1.00 1.00 − 1.50 1.50 = − 𝑞 −3.0𝑐𝑚 2.0𝑐𝑚 de donde 𝑞 = −1.7143𝑐𝑚 La imagen es virtual, es decir está del lado del objeto.

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Ejemplo. Refracción en una superficie plana

Cuando la superficie refractante es plana se tiene que R es infinito y entonces la ecuación 𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1 + = 𝑝 𝑞 𝑅 Se reduce a 𝑛1 𝑛2 =− 𝑝 𝑞 de donde 𝑛2 𝑞=− 𝑝 𝑛1

El signo menos significa que, acorde a la convención de signos, la imagen es virtual y se ubica del mismo lado que el objeto, tal como se muestra en la figura.

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Ejemplo. Profundidad aparente

¿Cuál es la profundidad aparente de un pez en una pecera cuando se le mira directamente desde arriba? Considere que 𝑑 = 10.0𝑐𝑚. SOLUCIÓN: Partiendo de la relación 𝑛2 𝑞=− 𝑝 𝑛1 podemos escribir 1.00 𝑞=− 10𝑐𝑚 1.33 de donde 𝑞 = −7.5188𝑐𝑚. La profundidad aparente del pez es de 7.52cm

¡¡ El signo “-” significa que la imagen y el objeto están del mismo lado !!

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Pero… ¿qué son las lentes delgadas?

Una lente es un sistema óptico centrado y formado por dos superficies, (por lo menos una suele ser esférica) y los medios externos que limitan la lente y tienen el mismo índice de refracción. Su utilidad es la formación de imágenes usando la propiedad de la refracción de la luz. Las lentes se emplean para muy diversos fines. Podemos encontrarlas en las gafas (o anteojos), en las lupas, en los prismáticos, en los microscopios, en los objetivos de las cámaras fotográficas, en proyectores de diapositivas, etc.

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Pero… ¿qué son las lentes delgadas?

Se considera una lente delgada cuando las dimensiones y espesor 𝑡 de una lente, son pequeñas comparadas con los radios de curvatura 𝑅1 y 𝑅2 . Así que considerando lo anterior, para el caso de una lente delgada podemos encontrar una relación entre las distancias objeto 𝑝 e imagen 𝑞 con los radios 𝑅1 y 𝑅2 .

Con lo que tenemos

Para lograrlo, y tomando en cuenta la convención de signos para la formación de imágenes en superficies refractantes, vamos a considerar que la lente tiene un índice de refracción 𝑛 y que está rodeada de aire (𝑛 = 1).

1 1 1 1 + = (𝑛 − 1) − 𝑝 𝑞 𝑅1 𝑅2

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Pero… ¿qué son las lentes delgadas?

La distancia focal corresponde a la distancia imagen 𝑞 cuando el objeto frente a la lente se ubica en infinito (𝑝 = ∞), por lo que usando esto en la ecuación anterior, obtenemos que

1 = 𝑛−1 𝑓

1 1 − 𝑅1 𝑅2

Esta ecuación se conoce como la Ecuación del fabricante de lentes, porque da una relación entre los radios que permiten obtener la distancia focal requerida en una lente.

En esta ecuación se considera que 𝑛 es el el índice de refracción del material con el que se fabricará la lente, considerando que estará rodeado de aire. En caso de que tenga que ser sumergida en algún material, entonces 𝑛 será la razón del índice del material de la lente entre el índice del material que rodeará a la lente.

Concepto de lente delgada. Ecuación de las lentes delgadas. Pero… ¿qué son las lentes delgadas?

Igualando la ecuación que nos relaciona las distancias objeto (𝑝) e imagen (𝑞) con las dimensiones de la lente 1 1 1 1 + = (𝑛 − 1) − 𝑝 𝑞 𝑅1 𝑅2 con la ecuación del fabricante de lentes 1 = 𝑛−1 𝑓

1 1 − 𝑅1 𝑅2

encontramos la ecuación de las lentes y que será la que usaremos para la formación de imágenes 1 1 1 + = 𝑝 𝑞 𝑓 Ecuación de las lentes delgadas

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Tipos de lentes Hay, básicamente, dos tipos de lentes delgadas: las convergentes y las divergentes, o combinaciones de ambas. Los rayos paralelos que llegan a una lente convergente se refractan y se cruzan en el foco posterior; de allí el nombre, ya que los rayos convergen. Mientras que en una lente divergente los rayos al refractarse aparentan salir del foco ubicado antes de la lente; de allí el nombre, los rayos divergen o se separan. Lente convergente

Lente divergente

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Tipos de lentes: Lente convergente Una lente convergente enfoca los rayos paralelos en un punto (posterior a la lente) llamado Punto Focal o Foco de la lente.

Punto Focal F

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Tipos de lentes: Lente convergente Las lentes del tipo convergente son más gruesas en la parte central que en los extremos y, según el valor de los radios de las caras, pueden ser: biconvexas, menisco convergentes, plano convexas, etc.

Biconvexa

Menisco convergente

Plano convexa

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Tipos de lentes: Lente divergente Una lente divergente hace que los rayos paralelos diverjan y aparenten emerger desde el punto focal 𝐹 (anterior a la lente).

Punto focal F

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Tipos de lentes: Lente divergente Las lentes del tipo convergente son más delgadas en la parte central que en los extremos y, según el valor de los radios de las caras, pueden ser: bicóncavas, menisco divergentes, plano cóncavas, etc.

Bicóncava

Menisco divergente

Plano cóncava

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Elementos de las lentes Como se mencionó anteriormente, una lente está compuesta por dos superficies esféricas, cada una con su centro de curvatura, así que la línea que une ambos centros de curvatura se llama eje principal.

Eje principal para una lente convergente

C Centro óptico de la lente

El centro geométrico de la lente es el centro óptico 𝐶 y se tomará como el origen de coordenadas para medir las distancias objeto e imagen, 𝑝 y 𝑞. Todas las rectas que pasan por el centro óptico son ejes secundarios.

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

Elementos de las lentes Se llama foco principal imagen al punto 𝐹’ en que convergen los rayos paralelos que cruzan una lente convergente, y el cual se ubica posterior al centro óptico de la lente.

Mientras que para el caso de una lente divergente el foco principal imagen es el punto 𝐹 del cual aparentan emerger los rayos paralelos que atraviesan a la lente, y el cual se ubica antes del centro óptico.

En ambos casos, el foco principal imagen se ubica sobre el eje principal de la lente.

esféricas:

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Elementos de las lentes La distancia focal 𝑓 es la distancia entre el foco principal y el centro óptico.

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Convención de signos Para la formación de imágenes en lentes (convergentes o divergentes) se toma como centro de coordenadas al centro geométrico de la lente, y a través de él se traza el eje principal, el cual pasa por los centros de curvatura de la lente. Todos los puntos situados frente a la lente tienen abscisa positiva, y los situados detrás tienen abscisa negativa. Todos los puntos situados por encima del eje principal tienen ordenada positiva, y los situados debajo tienen ordenada negativa. La distancia focal 𝑓 será positiva para las lentes convergentes y será negativa para las lentes divergentes.

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Convención de signos Considerando que • 𝑝 es la distancia del objeto al centro óptico de la lente; • 𝑞 es la distancia de la imagen al centro óptico de la lente; y • 𝑓 es la distancia focal de la lente.

Podemos resumir la convención de signos en la figura anexa

Lado anterior o virtual

Lado posterior o real

𝑝 positiva 𝑞 negativa

𝑝 negativa 𝑞 positiva

Luz incidente

Luz refractada

Lente convergente o divergente

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Magnificación

De manera análoga a como se hizo para los espejos, se define la magnificación 𝑀 de una lente como la relación entre los tamaños de la imagen (ℎ′) y del objeto (ℎ), es decir ℎ′ 𝑞 𝑀= =− ℎ 𝑝

Una magnificación mayor que 1 significa una amplificación, mientras que si 𝑀 es menor que 1 tenemos una reducción en el tamaño. De nuevo, el signo de 𝑀 también es importante, si 𝑀 es positiva entonces la imagen está derecha, mientras que una 𝑀 negativa significa que la imagen está invertida.

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Potencia de una lente

La potencia 𝑃 de una lente es la inversa de su distancia focal, es decir 1 𝑃= 𝑓 La unidad de la potencia 𝑃 es 𝑚−1 y se llama dioptría. Una dioptría es la potencia de una lente que tiene una distancia focal imagen de 1𝑚. El signo de la potencia es el mismo que el de la distancia focal imagen por lo que, siguiendo las convención de signos, la potencia de una lente convergente es positiva, mientras que para una lente divergente es negativa. f  0.20 m  P  5.0 dioptrías f  0.40 m  P  2.5 dioptrías

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Reglas de construcción de imágenes en las lentes Las trayectorias de los infinitos rayos que salen de un objeto están definidas por estas reglas:

Regla 1. Todo rayo que viaja paralelo al eje principal antes de entrar en la lente, pasa, al salir de ella, por el foco imagen, 𝐹′ .

Regla 2. Todo rayo que pasa por el foco objeto, 𝐹, llega a la lente y se refracta en ella, emergiendo paralelo al eje principal.

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Reglas de construcción de imágenes en las lentes Las trayectorias de los infinitos rayos que salen de un objeto están definidas por estas reglas: Regla 3. Todo rayo que pasa por el centro óptico (que es el centro geométrico de la lente) no sufre desviación.

Para localizar el punto imagen de un objeto frente a una lente, se debe construir al menos la trayectoria de dos de los rayos mencionados anteriormente. En el punto de cruce se forma el punto imagen

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Formación de la imagen según la posición del objeto

Las imágenes de objetos extendidos se encuentra mediante el trazo de rayos que emergen desde la parte alta y baja del objeto.

Existen diferentes situaciones que veremos a continuación

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Formación de la imagen según la posición del objeto Si el objeto está situado entre 2𝐹 y el infinito, la imagen estará entre 𝐹′ y 2𝐹′ y será invertida, real y más pequeña. Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente y 𝑞 a la de la imagen a la lente. objeto

imagen

2F 2F 𝑝 Si 𝑝 > 2𝐹, entonces 𝐹´ < 𝑞 < 2𝐹´

𝑞

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Formación de la imagen según la posición del objeto Si el objeto está situado en 2𝐹, la imagen estará en 2𝐹′, y será de igual tamaño, invertida y real. Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente y 𝑞 a la de la imagen a la lente. objeto

imagen

2𝐹 2𝐹 𝑝 Si 𝑝 = 2𝐹, entonces 𝑞 = 2𝐹´

𝑞

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Formación de la imagen según la posición del objeto Si el objeto está situado entre 2𝐹 y 𝐹, la imagen estará situada más allá de 2𝐹′ y será de mayor tamaño, invertida y real. Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente y 𝑞 a la de la imagen a la lente. objeto

imagen

2F 2F 𝑝

Si 2𝐹 > 𝑝 > 𝐹, entonces 𝑞 > 2𝐹´

𝑞

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Formación de la imagen según la posición del objeto Si el objeto está situado en 𝐹 la imagen no se forma ya que las líneas no se cruzan (las líneas paralelas no se cruzan, excepto en el infinito). Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente y 𝑞 a la de la imagen a la lente. objeto F

F 𝑝

Si 𝑝 = 𝐹, entonces 𝑞 es infinito

𝑞

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Formación de la imagen según la posición del objeto Si el objeto está situado entre 𝐹 y la lente, la imagen estará entre 𝐹 y el infinito y será virtual (la forman las prolongaciones de los rayos), de mayor tamaño y derecha. Llamemos 𝑝 a la distancia del objeto a la lente y 𝑞 a la de la imagen a la lente.

F Imagen

F 𝑞

objeto 𝑝

Si 𝑝 < 𝐹, entonces 𝑞 > 𝐹 y del mismo lado que 𝑝

Imágenes formadas por lentes Convergentes y divergentes. Ejemplos

esféricas:

Una lente convergente tiene una distancia focal de 20.0 cm. Localice la imagen para una distancia objeto de a) 40.0 cm, b) 20.0 cm y c) 10.0 cm. En cada caso diga si la imagen es real o virtual y si está hacia arriba o invertida. Determine también las amplificaciones. Resuélvalo mediante un diagrama de rayos y verifique su resultado mediante la ecuación de las lentes. 𝑓 = +20.0𝑐𝑚.

𝑝 = 40.0𝑐𝑚, 20.0𝑐𝑚, 10.0𝑐𝑚. (a) 𝑞 =? (b) 𝑀 =? (c) Descripción

Imágenes formadas por lentes Convergentes y divergentes. Ejemplos

esféricas:

Un objeto se encuentra a 50.0 cm a la izquierda de una lente divergente de 30.0 cm de distancia focal. Determine a) la localización y b) la amplificación de la imagen. c) Describa si la imagen es real o virtual y si está hacia arriba o invertida. Para ello, elabore un diagrama de rayos para esta disposición y verifique su resultado mediante la ecuación de las lentes. 𝑓 = −30.0𝑐𝑚.

𝑝 = 50.0𝑐𝑚. (a) 𝑞 =? (b) 𝑀 =? (c) Descripción

Imágenes formadas por lentes Convergentes y divergentes. Ejemplos

esféricas:

Frente a una lente divergente, cuya distancia focal es de 20.0 cm, se coloca un objeto a 12.0 cm de la misma. Mediante un diagrama de rayos, determine a) la localización y b) la amplificación de la imagen. c) Describa si la imagen es real o virtual y si está hacia arriba o invertida. Verifique su resultado mediante la ecuación de las lentes. 𝑓 = −20.0𝑐𝑚.

𝑝 = 12.0𝑐𝑚. (a) 𝑞 =? (b) 𝑀 =? (c) Descripción

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Combinación de lentes Antes de finalizar con la formación de imágenes mediante lentes, veamos el caso en que se tiene una combinación de dos o más lentes. En este caso, se procede de la siguiente manera: 1. Considerando la primera lente, se hace

el trazo de rayos a partir del objeto para ubicar la imagen producida por esta lente. 2. La imagen producida por la primera Arreglo de dos lentes convergentes

lente pasa a ser el objeto de la segunda lente.

3. Considerando lo anterior, se hace el trazo de rayos para la segunda lente,

la posición de la imagen producida por esta segunda lente corresponde a la imagen producida por ambas lentes.

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Combinación de lentes Si este misma situación la queremos resolver analíticamente, procedemos de igual manera, solo que ahora será importante considerar la convención convención de signos para la distancia objeto 𝑝 y para la distancia imagen 𝑞, sobretodo para la segunda lente.

Arreglo de dos lentes convergentes

En particular, cuando se considere a la segunda lente, si la imagen de la primera lente (objeto para la segunda lente) se forma más allá de esta segunda lente, la distancia objeto debe tomarse como negativa.

También es importante considerar que las distancias objeto 𝑝 e imagen 𝑞 se miden respecto al centro de la lente correspondiente, por lo que se deberá considerar esto al momento de darle valores numéricos a dichas cantidades.

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Combinación de lentes Un caso particular de combinación de lentes se tiene cuando estas se ubican una junto a la otra. En este caso, cuando las lentes no están separadas, se encuentra que la distancia focal combinada está dada por 1 1 1 = + 𝑓 𝑓1 𝑓2 mientras que la magnificación está dada por 𝑀 = 𝑀1 𝑀2 Pudiendo aplicarse la ecuación de las lentes modificada para esta situación: 1 1 1 1 1 + = + = 𝑝 𝑞 𝑓1 𝑓2 𝑓

Imágenes formadas por Convergentes y divergentes.

lentes

esféricas:

Aberración de lentes La aberración en una lente se presenta cuando no se tiene bien definido el foco, pudiendo ser aberración esférica o aberración cromática.  Aberración esférica. Rayos de los extremos se refractan mas que los del centro.  Aberración cromática El punto focal depende del índice de refracción 𝑛 𝑛 depende de 𝜆 𝑛𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑡𝑎 > 𝑛𝑟𝑜𝑗𝑜 .

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc.

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Introducción. Instrumentos ópticos El sistema o instrumento óptico más importante es el ojo por su importancia para la vida cotidiana. El resto de los instrumentos ópticos se pueden clasificar en instrumentos subjetivos también llamados oculares o de visión directa y en instrumentos objetivos o de proyección.  Los instrumentos subjetivos forman imágenes virtuales que son observadas directamente por el ojo. Dentro de estos se encuentran:  La lupa.  El microscopio.  Anteojo o telescopio.  Los instrumentos objetivos forman imágenes reales las cuales se recogen sobre una pantalla. Dentro de estos se encuentran:  La cámara fotográfica.  El sistema de proyección.

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. El ojo humano El ojo humano es un sistema óptico positivo o convergente que forma una imagen invertida del mundo externo sobre la capa sensible de la retina, situada al fondo del globo ocular. La estructura del ojo humano Músculos ciliares

Esclerótica

Córnea

Humor acuoso

Retina Cristalino

Pupila

Iris

Humor vítreo

Nervio óptico

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. El ojo humano En el ojo los principios de formación de la imagen son los mismos que los de un sistema óptico convencional. La luz entra en el ojo a través de la córnea, para ser enfocada en la retina después de la refracción en la córnea, el elemento refractivo de mayor potencia, y la lente del cristalino. Índices de refracción en el ojo humano • • • •

Córnea (𝑛 = 1.376) Humor acuoso (𝑛 = 1.336) Humor vítreo (𝑛 = 1.336) Cristalino (𝑛 no uniforme y variable con la edad) • Centro (𝑛 = 1.406) • Borde (𝑛 = 1.386)

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Retina

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Funcionamiento del ojo humano. La visión Visión sin acomodación

Músculo relajado

Visión con acomodación

Músculo contraído

Conceptos de punto lejano y punto cercano

Puntos cercanos 10 años 7 cm 25 años 12 cm 45 años 28 cm 50 años 40 cm 60 años 100 cm 70 años 400 cm

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Sensibilidad de ojo humano

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Colores complementarios y suma de colores La absorción y la percepción de las bandas espectrales son diametralmente opuestas en el circulo del color.

Colores complementarios

Suma de colores

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Defectos de la visión. Miopía El ojo tiene una excesiva convergencia y cuando se encuentra relajado las imágenes de objetos alejados caen delante de la retina. El punto lejano y el punto cercano se encuentran más próximos que en el ojo normal. Los síntomas de la miopía se corrigen al colocar una lente divergente o negativa frente al ojo.

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Defectos de la visión. Hipermetropía El ojo tiene menos convergencia que el ojo normal y cuando se encuentra relajado las imágenes de objetos alejados caen detrás de la retina. El punto lejano se encontrará en el infinito como en el ojo normal, pero el punto cercano se encuentran más alejado que en el ojo normal. Los síntomas de la hipermetropía se corrigen al colocar una lente convergente o positiva frente al ojo.

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Defectos de la visión Presbicia. Al perder flexibilidad el cristalino con la edad se produce un alejamiento del punto cercano. Se corrige mediante una lente convergente. Astimagtismo. Se origina cuando la córnea no es perfectamente esférica y se encuentra más curvada en un plano que en el otro. Se corrige con lentes cilíndricas.

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. La lupa La lupa es una lente convergente o positiva. La función de la lupa es proporcionar una imagen de un objeto cercano que sea mayor que la que ve el objeto por si mismo. Objeto

Imagen retiniana

𝑝 Punto cercano Lente convergente Imagen virtual

Imagen retiniana Objeto

𝑝

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. La cámara fotográfica La cámara fotográfica es un dispositivo empleado para producir imágenes reales sobre una película fotosensible (en las cámaras tradicionales) o sobre un dispositivo fotosensible (en las cámaras digitales), para lo cual emplea una lente convergente o positiva.

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. El microscopio El microscopio es un dispositivo óptico compuesto de dos lentes convergentes: • el objetivo (𝑜) cuya función es producir una imagen real y aumentada del objeto, con una distancia focal 𝑓𝑜 < 1𝑐𝑚. • el ocular (𝑒) que funciona como una lupa, con una distancia focal del orden de los centímetros 𝑓𝑒 ~𝑐𝑚. Ambas lentes se colocan en los extremos de un tubo, tal como se muestra en la figura, donde la longitud 𝐿 es tal que 𝐿 ≫ 𝑓𝑜 𝑦 𝑓𝑒 . Objetivo

Ocular

El poder amplificador del microscopio está dado por el producto de las amplificaciones de las lentes, es decir 𝑀 = 𝑀𝑜 𝑀𝑒

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. El telescopio refractor El telescopio refractor es un dispositivo óptico compuesto de dos lentes convergentes: • el objetivo (𝑜) cuya función es producir una imagen real y menor del objeto, con una distancia focal 𝑓𝑜 . • el ocular (𝑒) que funciona como una lupa y con una distancia focal 𝑓𝑒 . Objetivo

El poder amplificador del microscopio está dado por 𝑓𝑜 𝑀=− 𝑓𝑒

Ocular

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. El telescopio reflector

El telescopio reflector es un dispositivo óptico compuesto de, al menos, un espejo; de allí su nombre.

Instrumentos ópticos: El ojo humano, la cámara fotográfica, el microscopio, etc. Proyector de diapositivas

Retroproyector

Magnetismo y Óptica Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano E-mail: [email protected] Webpage: http://rpduarte.fisica.uson.mx

© 2016 Departamento de Física Universidad de Sonora

𝐶

𝐹

𝐹

𝐶

𝐹′

𝐶

𝐹

𝐹

𝐶

𝐹′