Weierstrass y aproximaci´ on uniforme Joan Cerd` a Departament de Matem` atica Aplicada i An` alisi; GARF, Barcelona

E-mail: [email protected] http://www.mat.ub.edu/˜cerda/

14 de diciembre de 2011

Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

´Indice

1

Karl Weierstrass

2

Weierstrass encuentra a Riemann

3

El teorema de aproximaci´ on

4

Nuevas demostraciones del teorema de Weierstrass

5

La escuela de Weierstrass

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1

Karl Weierstrass

2

Weierstrass encuentra a Riemann

3

El teorema de aproximaci´ on

4

Nuevas demostraciones del teorema de Weierstrass

5

La escuela de Weierstrass

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1

Karl Weierstrass

2

Weierstrass encuentra a Riemann

3

El teorema de aproximaci´ on

4

Nuevas demostraciones del teorema de Weierstrass

5

La escuela de Weierstrass

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1

Karl Weierstrass

2

Weierstrass encuentra a Riemann

3

El teorema de aproximaci´ on

4

Nuevas demostraciones del teorema de Weierstrass

5

La escuela de Weierstrass

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1

Karl Weierstrass

2

Weierstrass encuentra a Riemann

3

El teorema de aproximaci´ on

4

Nuevas demostraciones del teorema de Weierstrass

5

La escuela de Weierstrass

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WEIERSTRASS

Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

Enciclopedia Brit´anica Karl Weierstrass (1815 Ostenfelde-1897 Berl´ın)

Conocido como padre del an´ alisis moderno, Weierstrass obtuvo tests para la convergencia de series y contribuy´ o en la teor´ıa de las funciones peri´ odicas, funciones de variables reales, funciones el´ıpticas, funciones abelianas, productos infinitos convergentes y c´ alculo de variaciones. Tambi´en obtuvo progresos en la teor´ıa de formas bilineales y cuadr´ aticas. Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

Funciones el´ıpticas, abelianas e hiperel´ıpticas

Inversas de x

Z α= 0

4 X
du p P (u) = ak uk , P (u) k=0 Z x p α= R(u, f (u))du, 0

y αk =

p−1 Z X j=0

0

xj

y k dx p P (y)

(0 ≤ k < p; grau P = 2p + 1 o 2p + 2),

respectivamente.

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Del Gymnasium de Padderborn a profesor de Secundaria

Lector del Journal de Crelle en Padderborn. A los 19 a˜ nos, enviado a Bonn a estudiar leyes y econom´ıa. Lectura de la “M´ecanique c´eleste” de Laplace y del trabajo de Jacobi sobre funciones el´ıpticas, con notas de cursos de Christoph Gudermann. 1838: regreso sin haber aprobado nada. 1839: acepta ir a M¨ unster para prepararse para profesor de secundaria porque all´ıestaba Gudermann. 1840: Clases de Gudermann, 1840 ensayo sobre funciones el´ıpticas. Profesor de Gymnasium: aislado 14 a˜ nos, desarrolla de su teor´ıa de funciones abelianas y de sus principios sobre las funciones anal´ıticas (influencia de Guderman). Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

Salida del anonimato y cursos en Berl´ın

Art´ıculos de gran impacto en Crelle sobre funciones abelianas (1854) y sobre integrales hiperel´ıpticas (1856), que m´ as tarde Hilbert calificar´ıa como los m´ as grandes logros del an´ alisis. 1856: Cursos en la U. de Berl´ın: aplicaciones del an´ alisis de Fourier a la f´ısica matem´ atica, funciones anal´ıticas, funciones el´ıpticas y aplicaciones a la geometr´ıa y a la mec´ anica. Atrajeron a estudiantes de toda Europa. Con Kummer (1810-1893) y Kronecker (1823-1891), hizo de Berl´ın el mejor lugar del mundo para estudiar matem´ aticas. 1859-60: Curso sobre “Introducci´ on al An´ alisis”, presentando sus fundamentos por primera vez. 1861: Dos a˜ nos de baja por graves problemas de salud. Desde entonces tuvo que dictar sus cursos sentado, con un estudiante en la pizarra. 1863/64: Curso sobre “Teor´ıa general de funciones anal´ıticas”. Hasta 1890 ir´ıa revisando y ampliando sus cursos.

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El programa de Weierstrass

(A) Teor´ıa de funciones reales y complejas basada en representaciones en series de potencias y de funciones anal´ıticas. Weierstrass: su trabajo “no era nada m´ as que series de potencias”.

(B) Aritmetizaci´ on (o rigorizaci´ on) del An´ alisis. 1875 a Kowaleska: “lo que pido a un trabajo cient´ıfico es unidad de m´ etodo, el seguimento secuencial de un plan definido y una elaboraci´ on apropiada de los detalles”. Definiciones de Bolzano y Cauchy de continuidad, derivada y l´ımite poco u ´tiles para las demostraciones. A partir de ellas, en 1821 Cauchy “prueba” la continuidad del l´ımite puntual de funciones continuas. Weierstrass da la definici´ on ε–δ de continuidad, y de los conceptos b´ asicos en t´ erminos de desigualdades.

Sus argumentos, incluyendo pruebas por contradicci´ on y de existencia, con la adopci´ on de la teor´ıa de Cantor, fueron motivo de controversia. En 1877, Kronecker, muy amigo suyo durante 20 a˜ nos, critic´ o abiertamente a Cantor y a Weierstrass ante los estudiantes, lo que signific´ o su distanciamento definitivo.

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Convergencia uniforme Poincar´e en“Science et M´ethode”: “... il y avait tout un type de raisonnements qui se ressembaient tous et qu’on retrouvait partout; ils ´etaint parfaitement rigoureux, mais ils ´etaient longs. Un jour on a imagin´e le mot d’uniformit´e de la convergence et ce mot seul les a rendus inutiles...” Errores de Bolzano y Cauchy, creyendo que la convergencia puntual mantiene la continuidad. 1838: Gudermann observa como hecho destacado la existencia de una “convergencia de manera uniforme” si es convergencia independiente de las variables (sin aplicaciones). 1849: Considerada por Seidel (en una cr´ıtica a Cauchy) y Stokes, sin impacto. 1841 (art´ıculo publicado en 1894): la usa con precisi´ on. Hardy compar´ o las definiciones diciendo: “Weierstrass’s discovery was the earliest, and he alone fully realized its far-reaching importance as one of the fundamental ideas of analysis”. Tras Weierstrass y Riemann, la aplicaci´ on sistem´ atica de la convergencia uniforme fue desarrollada por Hankel y Paul du Bois-Reymond en Alem` ania, y por Dini y Arzel` a en Italia. Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

WEIERSTRASS ENCUENTRA A RIEMANN

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Weierstrass y Riemann ante las funciones abelianas

El tema predilecto de Weierstrass a lo largo de toda su vida fue el estudio de las funciones el´ıpticas y abelianas. Motiv´ o su teor´ıa de funciones anal´ıticas y se mantuvo como leiv motiv de muchos de los resultados que presentaba en sus cursos. 1856: no pudo demostrar que toda funci´ on abeliana era cociente de dos sumas de series de potencias: “Aqu´ı encontramos un problema que, por lo que s´e, todav´ıa no se ha estudiado de manera general, pero que es de particular importancia en la teor´ıa de funciones”. 1857: Riemann publica un tratamiento original de las integrales abelianas, con su teoria de las funciones anal´ıticas (superficies de Riemann). Considera el de Weierstrass un caso particular del suyo Weierstrass retir´ o la continuaci´ on de su trabajo, ya en prensa en la Academia de Berl´ın. La continuaci´ on prometida no aparecer´ıa nunca.

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Riemann (1826-1866)

1845 en G¨ ottingen, per` o en 1847 pasa a Berl´ın para estudiar con Steiner, Jacobi, Dirichlet y Eisenstein, con gran influencia de Dirichlet (que luego pasar´ıa a G¨ ottingen). Elabora su teor´ıa general de variables complejas. 1849, G¨ ottingen. 1851 tesis con Gauss: estudio de las funciones de variable compleja, basado en el que llam´ o Principio de Dirichlet, y de las superficies de Riemann. 1853, preparaci´ on de una Habilitationsschrift por sugerencia de Gauss, estudiando series trigonom´etricas. 1854: Presentaci´ on oral sobre geometr´ıa con enorme ´exito. 1859: Sucede a Dirichlet en G¨ ottingen y entra en la Academia a propuesta de Weierstrass, Kummer i Borchardt (de Berl´ın) presentando la que conocemos como hip´ otesis de Riemann. Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

Weierstrass versus Riemann

Con buenas relaciones personales, Weierstrass achac´ o a Riemann falta de rigor y, despu´es de la muerte de ´este, rebat´ıa sus resultados: R1 1870: ausencia de minimizador de D(ϕ) = −1 x2 ϕ0 (x)2 dx para funciones ϕ tales que ϕ(−1) = 0 y ϕ(1) = 1, rebatiendo los argumentos basados en el Principio de Dirichlet. P n an 1880: |z| = 1 es frontera natural de ∞ si a = 2m + 1, 0 < b < 1 n=0 b z y ab > 1P + 3π/2 (la parte real sobre z = eiϑ era su funci´ on continua n 2 f (ϑ) = ∞ un punto), contra n=0 b cos(a iϑ) de 1862 sin derivada en ning´ la supuesta creencia de Riemann de existencia de prolongaci´ on anal´ıtica de toda funci´ on a lo largo de caminos evitando puntos cr´ıticos. Muchos resultados de Weierstrass estuvieron motivados por su cr´ıtica a los m´etodos de Riemann y sus “fantas´ıas geom´etricas”. Pero cre´ıa en la validez de sus resultados. Poincar´e califica a Riemann como un intuitivo y a Weierstrass como un l´ ogico. Hadamard matiz´ o esta opini´ on.

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´ TEOREMA DE APROXIMACION

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1885: El teorema de aproximaci´ on de Weierstrass A los 70 a˜ nos, Weierstrass en un art´ıculo en dos partes, public´ o: TEOREMA 1. f ∈ C[a, b] y ε > 0 ⇒ |f − p| ≤ ε para alg´ un polinomio p.

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Demostraci´on En tres etapas, a partir de la funci´ on Z ∞ u−x 2 1 f (u)e−( t ) du, F (x, t) = √ t π −∞ similar a la soluci´ on de la ecuaci´ on del calor dada por Fourier y Poisson. Teorema (A) f : R → R continua acotada ⇒ Hay muchas funciones enteras, F (·, t), tales que l´ımt→0 F (x, t) = f (x) uniformemente sobre intervalos. M´etodo habitual de aproximaciones de la identidad, con integrales impropias. Teorema (B) Para f como en (A) y ε > 0, hay muchos polinomios G tales que |f (x) − G(x)| ≤ ε para todo x ∈ [x1 , x2 ]. Para t fijado, desarrolla F (·, t) en serie de potencias. Teorema (C) f como en (A) se puede “representar” en serie de polinomios uniformemente convergente sobre cada intervalo y absolutemente convergente. En la segunda parte, demuestra el TEOREMA 1 prolongando f : f (x) = f (a) si x < a y f (x) = f (b) si x > b. Con variable compleja, tambi´en prueba: TEOREMA 2. f ∈ Cper (R) y ε > 0 ⇒ |f − p| ≤ ε para alg´ un polinomio trigonom´etrico p. Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

NUEVAS DEMOSTRACIONES

Grupo de Weierstrass: Runge, Lerch, Mittag-Leffler.

Otros: Picard, Fej´er, Landau, de la Vall´ee Poussin, Phragm´en, Lebesgue, Volterra, Borel, Bernstein...

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1891: Picard y aproximaci´on a partir de la ecuaci´ on de Poisson

f : [0, 1] → R tal que |f | ≤ 1 y f (0) = f (1) = 0, se extiende por cero a [−π, π] y se periodiza. Cambia el nucleo del calor por el de Poisson ∞ 1 X |k| iks 1 − r2 1 Pr (s) = r e = 2π 2π 1 − 2r cos(s) + r2 k=−∞

y, como en (A) de Weierstrass, Z π F (ϑ, r) := f (t)Pr (ϑ − t) dt → f (ϑ) uniformemente si r ↑ 1 −π

Z

π

F (ϑ, r) =

f (t)Pr (ϑ−t) dt = −π ∞ X |k|≥N

|ck r|k| eikϑ | ≤

∞ X

ck r|k| eikϑ

k=−∞ ∞ X |k|

r

|k|≥N

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=2

(ck =

rN δ}) ≤ n δ2 n Sn = X1 + · · · + Xn tiene distribuci´ on binomial P ({|

P {Sn = k} = Cnk xk (1 − x)n−k (Cnk

(k = 0, 1, . . . , n)

maneras de obtener k caras y n − k creus en n pruebas).

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Demostraci´on de Bernstein (f : [0, 1] → R tal que |f | ≤ 1 continua) Xn Bernouilli independientes con par´ ametro x, Sn tiene distribuci´ on binomial P {Sn = k} = Cnk xk (1 − x)n−k

(k = 0, 1, . . . , n) Z X n n n X X E(Sn ) = ( kχ{Sn =k} ) dP = kP {Sn = k} = kCnk xk (1 − x)n−k k=0

f (Sn /n) =

k=0 n X

k=0

f (Sn (k)/n)χ{Sn =k} =

k=0

n X

f (k/n)χ{Sn =k}

k=0

n n k k   S  X X n = f P {Sn = k} = f Cnk xk (1−x)n−k =: Bn (f, x). E f n n n k=0 k=0 Z |f (x) − Bn (f, x)| = |E(f (x)) − E(f (Sn /n))| ≤ |f (x) − f (Sn /n)| dP = I + J Z I= |f (x) − f (Sn /n)| dP ≤ 2ε (si |f (x) − f (y)| ≤ ε). {|Sn /n−x|≤δ}

Por la ley d´ebil de los grandes n´ umeros, Z x(1 − x) Sn
Sn |f (x) − f J= | dP ≤ 2P ({| − x| > δ}) ≤ 2 . Sn n n δ2 n −x|>δ} {| n

sup |f (x) − Bn (f, x)| ≤ 2ε + 2 0≤x≤1 Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

1 ≤ 4ε∀n ≥ N δ2 n

(N gran).

LA ESCUELA DE WEIERSTRASS

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El grupo de Weierstrass Seguidors formals i informals (com Mittag-Leffler, Paul du Bois-Reymond).

Director de Fuchs (1858), K¨ onigsberger, Schwarz, Lampe, Thom´e, Berner, Biermann, Bugaev (Moscow U.), F. M¨ uller, Cantor, Schwering, Frobenius, Kiepert, Netto, Bruns, Killing, Kovalevskaya (U. G¨ ottingen), Stickelberger, Winterberg (Humboldt U.), Schottky, Hettner, Schoenflies, von Mangoldt, Hoyer, Schur, Wiltheiss (Humboldt U.), Wernicke (Humboldt U.), Wendt, Runge, Rudio, Piltz, Knoblauch, von Lilienthal, Stahl, Adrian, Weltzien (Humboldt U.), Blasendorff, Richard M¨ uller (U. Leipzig), K¨ otter, Reinhold M¨ uller, Lerch, Howe (1887). Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass

Sofia Kovalevskaya (Moscou 1850 - Stockholm 1891) “Su mayor influencia se not´ o por medio de sus estudiants (entre ellos Sof´ıa Kovalevskaya), muchos de los cuales ser´ıan matem´ aticos creativos.” Enciclopedia Brit´ anica. En San Petersburgo, muy joven, se uni´ o a la “intelligentsia”. 1868: Matrimonio ficticio con Vladimir Kovalevsky para poder viajar al estrangero. En Heidelberg tampoco se pod´ıa matricular, pero le permitieron asistir a clase (K¨ onigsberger). 1870: Weierstrass, con prohibici´ on de asistir a las clases. Clases particulares. 1874: Tres art´ıculos y doctorado en G¨ ottingen. Regreso a San Petersburgo y abandono de las matem´ aticas y la relaci´ on con Weierstrass. 1880: Reanudaci´ on de correspondencia con Weierstrass y conferencia en un congreso de S. Petersburgo, donde impresiona a Mittag-Leffler que persuadi´ o a la U. de Estocolmo para que la aceptasen como “private docent”. 1889: C´ atedra en Estocolmo tras el Premio Bordin de la Academia Francesa.

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Sonya i Weierstrass

Sofia Kovalevskaya (Moscou 1850 - Stockholm 1891), o Sonya, afirmaba: “todo mi trabajo se ha hecho en el esp´ıritu de Weierstrass”. Weierstrass le escrib´ıa “nunca he encontrado a nadie que me aportase una comprensi´ on tan grande de los elevados objectivos de la ciencia y tan agradable coincidencia con mis intenciones y principios b´ asicos como usted”. Weierstrass Riemann Aproximaci´ on Nuevas pruebas Escuela de Weierstrass